NÜMERİK ANALİZ Giriş Sayısal Yöntemlerde Hatalar Sayısal
advertisement
20.02.2017 Giriş • Hata, problem için kullanılan sayısal yöntemlerle elde edilen sonucun analitik çözümle karşılaştırılması sonucu bulunur. • Sayısal Yöntemler kullanılarak yapılan hesaplamalarda, karşılaşılan hata kadar bu hatanın kabul edilebilirliği de önemlidir. NÜMERİK ANALİZ Sayısal Yöntemlerde Hatalar Yrd. Doç. Dr. Hatice ÇITAKOĞLU 2016 1 2 Sayısal Yöntemlerde Hatalar Sayısal Yöntemlerde Hatalar • Problemin sayısal yöntem ve analitik yöntemle çözülmesi durumunda ikisi arasında ortaya çıkan farka hata denilmektedir. • Sayısal yöntemlerle gerçekleştirilen hesaplamalarda, ne kadar hata yapıldığı kadar yapılan hatanın kabul edilebilirliği de önemlidir. • Yuvarlama Hataları: Sayılar, bilgisayarlarda sonlu sayıda bit ile gösterildiğinden yuvarlama hataları, bilgisayarların bu sayıları ifade etmek için sınırlı sayıda basamak kullanmasından kaynaklanır. 3 4 1 20.02.2017 Sayısal Yöntemlerde Hatalar Toplam Hata ve Yakınsama Kontrolü • Kesme Hataları: Sayısal hatalar, sayısal büyüklüklerin yaklaşık değerlerle ifade edilmelerinden ortaya çıkmaktadır. • Kesme hatası, gerçek ya da gerçeğe yakın değerlerin hesaplanmasında çok fazla veya sonsuz sayıda terim alınması durumunda meydana gelen hatadır. • 1/6 gibi • Sayısal çözüm yaklaşık bir değerdir. • Sayısal çözüm, her zaman yönteme bağlı olarak yuvarlama ve kesme hatasını içerir. • Yuvarlama ve kesme hataları toplam sayısal hatayı oluşturur. • Yuvarlama hatalarını en aza indirmenin yolu anlamlı basamak sayısını artırmak, adım büyüklüğünü küçültülerek kesme hatalarını azaltılabilir. 5 Toplam Hata ve Yakınsama Kontrolü 6 Gerçek Mutlak Hata: • Gerçek Mutlak Hata • Gerçek çözüm ve sayısal çözüm arasındaki fark olarak bilinen gerçek hatanın mutlak değeridir. • Eğer gerçek değer biliniyorsa bu değer ile herhangi bir sayısal yöntem kullanılarak elde edilen en son değerin farkı alınarak, yakınsama kontrol edilmektedir: • Yaklaşık Mutlak Hata x • Gerçek Mutlak Bağıl Hata • Yaklaşık Mutlak Bağıl Hata 7 xgerçek xn 8 2 20.02.2017 Yaklaşık Mutlak Hata: Gerçek Mutlak Bağıl Hata: • Ardışık iterasyonlarda bulunan iki farklı kök değeri arasındaki farkın mutlak değeridir. • Yakınsama, yaklaşık mutlak hatanın, problemin başında belirlenen bir değerinden küçük olmasıyla kontrol edilir. • Fonksiyonun gerçek değeriyle sayısal yöntemlerle elde edilen yaklaşık değer arasındaki farkın, gerçek değere oranıdır. x gerçek xn x gerçek xn 1 xn 9 10 Nümerik Analiz Ders İçeriği Yaklaşık Mutlak Bağıl Hata 1. Tek değişkenli denklem kökünün hesabı • İkiye bölme yöntemi, • Lineer iterasyon yöntemi, • Newton-Raphson yöntemi, • Kiriş iteratif yöntemi 2. Homojen olmayan lineer denklemler takımının çözümü • Gauss yok etme yöntemi, • Gauss-Jordan yok etme direkt yöntemi 3. Non-lineer denklemler takımının Newton-Raphson iteratif yöntemiyle çözümü • Fonksiyonun gerçek değeri bilinmiyorsa kullanılmaktadır. • Ardışık adımlarda hesaplanan değişkenlerin farkının, en son bulunan değişkene oranıdır. xn 1 xn xn 1 11 12 3 20.02.2017 Nümerik Analiz Ders İçeriği 4. Öz-değer probleminin tanımı, analitik çözümü, karakteristik polinom, reel ve kompleks öz-değerler ve reel öz-değerlerin öz-vektörleri. 5. Lagrange ve Newton formülleri ile interpolasyon. 6. Yamuk formülü ve Simpson formülü ile nümerik integrasyon. 7. Nümerik türev. 8. Sınır değer problemi türünden n.inci dereceden adi diferansiyel denklemin sonlu farklar yöntemiyle çözümü. 9. Birinci mertebeden adi diferansiyel denklemlerin (1) Taylor Serisi açılımı ve (2) 2.nci derece Runge-Kutta yöntemleriyle nümerik çözümü. n.inci mertebeden adi diferansiyel denklemlerin Taylor Serisi açılımı yöntemiyle nümerik çözümü. 13 4
