İstatistik ve Olasılık - Erzurum Teknik Üniversitesi

Olasılık Teorisi
İstatistik ve Olasılık
Ders 4: OLASILIK TEORİSİ
Prof. Dr. İrfan KAYMAZ
Erzurum Teknik Üniversitesi
Giriş
Olasılık Teorisi
Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular:
Rastgele Olay
Örnek Uzayı
Olasılık Aksiyomları
Bağımsız ve Ayrık Olaylar
Olasılık Kuralları
Koşullu Olasılık
Permütasyon ve Kombinasyon
Erzurum Teknik Üniversitesi
Tanım
Olasılık Teorisi
Olasılık Teorisi:
Matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır ve rastgele
değişkenleri inceler.
Rastgele Değişken:
Gelecekteki bir gözlemde alacağı değer önceden kesinlikle bilinemeyen bir
değişkendir.
Örneğin:
Bir zar atışında gelecek sayının önceden bilinememesi
Herhangi bir gün gözlenecek yağış yüksekliği
Makine elemanının hasara uğrama zamanı vb.
Belirsizliğin Kaynağı:
Daha önceden tahmin edilemeyen çok sayıda etkene bağlı olunması
Doğal olaylardaki mevcut değişkenliklerin olması
Bu tür olaylarda değişkenler deterministik bir yaklaşımla incelenemez
 Değişkenin alacağı değeri önceden kesinlikle belirleyen yasalar elde edilemez.
Bunun yerine probabilistik (olasılığa dayalı) yaklaşım gerekir.
Erzurum Teknik Üniversitesi
Tanım
Olasılık Teorisi
Belirsizliklerden hareketle elde edilen verilerden bazı sonuçlar çıkarmak ve
tahmin yapabilmek istatistiğin konusudur.
“Bugün hava muhtemelen yağışlı ve biraz soğuk olacak”, “bu dersten büyük bir
ihtimalle geçerim”, “bu ameliyatın başarı düzeyi %95 dir”, ...... vb gibi olmak üzere
günlük hayatta olasılık kavramı sık sık gündeme gelir.
Aslında bu ifadeleri kullanan kişi, daha önceki bilgi ve deneyimleri vasıtasıyla bu
sonuçlara varmaktadır.
Elde edilen sonuçlar kesin olmamakla birlikte belirli bir güven (doğruluk payı)
taşımaktadır.
Erzurum Teknik Üniversitesi
Rastgele Olay
Olasılık Teorisi
Rastgele değişkenin alacağı değer kesin olarak belirlenemeyeceğinden ancak
değişkenin belirli bir değeri alma ihtimali belirlenebilir.
Bir rastgele değişkenin bir gözlem sırasında belli bir değeri almasına rastgele olay
denir.
Hangi rastgele olayın görüleceği önceden kesinlikle bilinememekle birlikte
herhangi bir rastgele olayın görülme ihtimalini belirlemek mümkündür.
Örneğin:
Bir zar atışında seçilen bir sayının (tabii 1 ile 6 arasında) görülmesi bir
rastgele olay olup bunun ihtimali hesaplanabilir.
Erzurum Teknik Üniversitesi
Örnek Uzayı ve Küme Kavramı
Olasılık Teorisi
Örnek Uzayı:
İlgilenen rastgele olayın alabileceği tüm değerleri içeren uzaydır.
Örneğin:
Bir zar atışında gelebilecek sayıların tümü
Bir deneyde gözlemlenecek değerlerin tümü
Olasılık teorisinde küme teorisi, rastgele olayların tanımlanması kolaylaştıran
bir yaklaşımdır.
Küme kesin olarak tanımlanmış elemanlardan oluşur.
Kümenin adı büyük harfle, elemanları bu harfe karşılık gelen küçük harf ile
gösterilir.
Örneğin:
Türkçedeki sesli harfler kümesi
Zar atışında görülecek sayıların kümesi:
Erzurum Teknik Üniversitesi
Küme Kavramı
Olasılık Teorisi
Bir elemanın bir kümeye ait olduğunu
şeklinde gösterilir.
Bir elemanın bir kümeye ait olmadığı
şeklinde gösterilir.
Hiçbir elemanı bulunmayan bir küme boş küme olarak adlandırılır.
Bir kümenin bütün elemanları diğer bir kümenin de elemanları ise ilk
küme ikinci kümenin alt kümesidir.
Örnek:
Herhangi iki küme A ve B için, A’nın tüm elemanları B kümesinde ise:
A B’nin alt kümesi
Veya B A’yı kapsar denir.
Erzurum Teknik Üniversitesi
Venn Diyagramı
Olasılık Teorisi
Bir küme ile alt kümeleri arasındaki ilişkileri grafiksel gösterim kullanarak
kolayca tanımlamak için kullanılır.
Erzurum Teknik Üniversitesi
Venn Diyagramı
Olasılık Teorisi
Bir A kümesi ile B kümesinin ortak elemanları yok ise yani:
A B  
birbirinden tamamen farklı birbirini engelleyen olaylar (mutually exclusive)
olarak adlandırılır.
Erzurum Teknik Üniversitesi
Olasılık Kavramı
Olasılık Teorisi
Bir deneme farklı N sonucu ortaya koyuyor ve bunlardan n tanesinde A olayı
meydan geliyorsa, A olayının ortaya çıkma olasılığı,
P(A) 
n
N
Rastgele değişkeni büyük harfle (X), rastgele değişkenin bir gözlem sırasında
aldığı değeri bu harfe karşılık gelen küçük harfle (x) ile gösterirsek X=xi
rastgele olayın olasılığı:
Erzurum Teknik Üniversitesi
Olasılık Aksiyomları
Olasılık Teorisi
Aksiyom 1:
Herhangi bir E rastgele olayının ihtimal 0  P( E )  1
P(E): E rastgele olayının ihtimalini gösterir.
Aksiyom 2:
Eğer örnek uzayı S ise P(S )  1
yani örnek uzayındaki olayların olasılıklarının toplamı 1’e eşittir.
Aksiyom 3:
Eğer E1 , E2 , E3 ,....., En birbirlerini engelleyen (mutually exclusive) olaylar ise
 n  n
P  Ei    P( Ei )
 i 1  i 1
Bu aksiyomdan hareketle aşağıdaki özellikler belirlenebilir:
Erzurum Teknik Üniversitesi
Farklı – Bağımsız olaylar
Olasılık Teorisi
İstatistikte olayların bağımsızlığı, bir olay hakkındaki bilgi başka bir olaya bağlı
değilse bu olay istatistiksel olarak bağımsızdır (independent events).
Karşılıklı olarak birbirini engelleyen olaylar (mutually exculsive events) ise bir
olayın olması durumunda diğer başka bir olayın gerçekleşme ihtimalinin sıfır
olmasıdır.
Bağımsız olaylar asla birbirlerini engelleyen olaylar (mutually exculsive events)
olmazlar.
Örneğin:
52’lik bir desteden çekilen bir kağıdın “kalp olması” ve “sinek olması” farklı
olaylardır, zira sinek çekilmiş ise bunun kalp olma ihtimali yoktur.
Fakat çekilen kartın “kalp olması” ve kırmız olması” birbirlerini engelleyen olaylar
değildir zira bu iki durumun aynı anda olma ihtimali vardır.
Erzurum Teknik Üniversitesi
Olasılık hesaplamaları
Olasılık Teorisi
Örnek 1:
Bir torbada 5 kırmızı, 7 siyah ve 3 beyaz bilye bulunmaktadır. Bu torbadan
rastgele çekilecek bir bilyenin kırmızı gelme olasılığı nedir?
Örnek 1 Çözüm:
n
5
5 1
P( A )  


N 5  7  3 15 3
Erzurum Teknik Üniversitesi
Olasılık hesaplamaları
Olasılık Teorisi
Örnek 2:
Bir önceki örnekteki bilgileri kullanarak;
a) Herhangi bir renkte bilye gelme olasılığını hesaplayınız.
b) Mavi renkte bilye gelme olasılığını hesaplayınız.
c) Siyah renkte bilye gelme olasılığını hesaplayınız
Örnek 2 Çözüm:
Erzurum Teknik Üniversitesi
Olasılık Kuralları
Olasılık Teorisi
Olasılık olayları:
birbirini tamamıyla engelleyen
birlikte meydana gelebilen olaylar olmak üzere iki gruba ayrılmaktadır.
Ayrımın özelliğine göre kullanılacak olasılık kuralları da farklı olmaktadır.
TOPLAMA KURALI
Karşılıklı olarak birbirini engelleyen olaylardan (mutually exclusive) birinin
veya diğerinin ortaya çıkma olasılığı, bu olayların ayrı ayrı ortaya çıkma
olasılıkları toplamına eşittir.
A ve B gibi birbirini engelleyen (ayrık) iki olaydan herhangi birisinin
meydana gelme olasılığı:
zira
Erzurum Teknik Üniversitesi
Olasılık Kuralları
Olasılık Teorisi
Örnek 3:
Kusursuz bir tavla zarı atıldığında 2 veya 3 gelmesi olasılığı nedir?
Örnek 3 Çözüm:
Bu olay birbirini engelleyen özellikte olup, herhangi bir anda sadece tek yüz ile
karşılaşılacağından toplama kuralı kullanılmalıdır.
Erzurum Teknik Üniversitesi
Olasılık Kuralları
Olasılık Teorisi
ÇARPMA KURALI
Birbirinden bağımsız ve aynı zamanda meydana gelebilen olayların olasılığı, bu
olayların ayrı ayrı ortaya çıkma olasılıkları çarpımına eşittir.
Örnek 4:
Kusursuz bir tavla zarı ve madeni para birlikte atıldığında, paranın yazı ve zarın
5 gelmesi olasılığı nedir?
Örnek 4 Çözüm:
Bu olaylar birlikte meydana gelebilen özellikte olup, birbirini engellemez.
Bu nedenle çarpma kuralı kullanılmalıdır.
Erzurum Teknik Üniversitesi
Olasılık Kuralları
Olasılık Teorisi
Bazı olaylarda ise hem birlikte ortaya çıkma ve hem de birbirlerini engelleme
söz konusu olabilir.
Bu gibi olaylarda çarpma ve toplama kuralı birlikte kullanılır.
Çarpma ve toplama kuralının birlikte kullanıldığı olay sayısı 2 ise (A ve B) formül
Olay sayısı 3 (A,B ve C) olduğunda
P( A veya B veya C)  P( A )  P( B )  P( C)  P( A ve B )  P( A ve C)  P( B ve C)  P( A ve B ve C)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Erzurum Teknik Üniversitesi
Olasılık Kuralları
Olasılık Teorisi
Örnek 5:
Bir torbada 1’den 5’e kadar numaralanmış 5 beyaz, 6’dan 12’ye kadar
numaralanmış 7 tane siyah bilye vardır. Bu torbadan yapılacak bir çekilişte
çıkacak bilyenin beyaz veya tek numaralı olması olasılığını hesaplayınız.
Örnek 5 Çözüm:
B : beyaz bilye
T : tek sayılı bilye olmak üzere olayı Venn
diyagramında gösterelim.
iki olayın elemanlarından bazıları birbirlerini
engelleyen özellikte iken bazıları da birlikte ortaya
çıkma özelliğindedir.
Sözgelimi, çift sayılı beyaz bir bilyenin gelmesi halinde tek sayılı beyaz bir
bilye gelemez, oysa hem beyaz, hem de tek sayılı gelince iki olay birlikte
ortaya çıkmış olmaktadır. Buna göre beyaz veya tek sayılı bilye gelme olasılığı
Erzurum Teknik Üniversitesi
Koşullu Olasılık
Olasılık Teorisi
Bir olayın ortaya çıkma olasılığı, daha önce ortaya çıkan başka bir olaya göre
değişiyorsa sözü edilen olaylar arasında bağımlılık vardır ve koşullu olasılık kuralı
uygulanır.
A olayının meydana gelmesi koşulu ile B olayının ortaya çıkma olasılığı P(B/A)
şeklinde gösterilir ve aşağıdaki formül yardımıyla hesaplanır.
P( B / A ) 
P( A ve B ) P( A  B )

P( A )
P( A )
.
.
Yukarıdaki ifade düzenlenirse:
Erzurum Teknik Üniversitesi
Koşullu Olasılık
Olasılık Teorisi
Bayes Teoremi:
E1 , E 2 ,..., E n ayrık olaylar olsun ve hep
birlikte şekilde verildiği gibi S örnek uzayını
oluştursun. A olayı bu örnek uzayında bir
olay ise
Erzurum Teknik Üniversitesi
Koşullu Olasılık
Olasılık Teorisi
Bayes Teoreminin uygulandığı durumlar:
 Örnek uzayının E1 , E 2 ,..., E n şeklinde ayrık olaylara bölündüğü
 Bu örnek uzayında, P(B)>0 şartını sağlayan bir B rastgele olayın varlığında

P(Ek  B)
olasılığının hesaplanması istendiğinde
Aşağıda tanımlanan ihtimallerden en az birinin bilindiği durumlarda
Tüm E k için P(Ek  B)
Tüm E k için P(Ek ) ve P(B | E k )
Erzurum Teknik Üniversitesi
Koşullu Olasılık
Olasılık Teorisi
Örnek 6:
Bir torbada 3 mavi, 4 beyaz ve 7 kırmızı bilye bulunmaktadır. Üst üste yapılacak iki
çekilişten birincisinde mavi, ikincisinde beyaz bilye gelme olasılığını hesaplayınız
Örnek 6 Çözüm:
M :mavi bilye
B :beyaz bilye yi göstersin. Bu problemin çözümünde
bilyelerin torbadan çekiliş durumuna bağlı olarak iki farklı yol izlenebilir:
Erzurum Teknik Üniversitesi
Koşullu Olasılık
Olasılık Teorisi
Örnek 7:
Kusursuz bir tavla zarı atıldığında sonucun çift bir sayı olduğu biliniyor. Bu sayının
4 çıkma olasılığını hesaplayınız.
Örnek 7 Çözüm:
Erzurum Teknik Üniversitesi
Koşullu Olasılık
Olasılık Teorisi
Örnek 8:
Bir bölgede seçmenlerin %40’ı A partisine %60 ise B partisine oy vermişlerdir.
Bir kamuoyu yoklamasında A partisine oy verenlerin %30 ile B partisine oy
verenlerin %70’i Avrupa Birliğine girmeyi desteklemektedirler. Bu bölgeden
rastgele seçilen birinin Avrupa Birliğini desteklediği bilindiğine göre B
partisinde olma ihtimali nedir?
Örnek 8 Çözüm:
Erzurum Teknik Üniversitesi
Koşullu Olasılık
Olasılık Teorisi
Örnek 8:
Elektrik ampulü üreten bir fabrikanın üretiminin %20’si A tipi, %80’ide B tipi
ampullerden oluşmaktadır. Hatalı üretim oranı A tipi ampullerde %36, B tipi
ampullerde ise %18’dir. Rasgele seçilen bir ampulün hatalı olduğu bilindiğine
göre bu ampulün A tipi olma olasılığı nedir?
Örnek 8 Çözüm:
C : hatalı üretim oranını göstersin istenen olasılık P(A/C)=? dır
P ( A / C) 
P ( A  C)
P ( C)
ancak bu formülün payındaki ifadenin değeri bilinmiyor.
Erzurum Teknik Üniversitesi
Uygulama Soruları
Olasılık Teorisi
Uygulama Sorusu 1:
Şekilde verilen 7 elemanlı yapıda “i” elemanın hasarı Fi olarak, i elemanın
hasara uğrama ihtimali ise P(Fi) olarak tanımlanmaktadır. Yapıdaki
elemanlarının hasara uğraması birbirinden bağımsızdır. Yapıdaki herhangi bir
elemanın hasara uğraması ile yapının yıkılacağı varsayılmıştır.
P( F1 )  P( F3 )  P( F5 )  P( F7 )  0.02
P( F2 )  P( F6 )  0.01 P( F4 )  0.03
ise yapının hasara uğrama ihtimalini hesaplayınız.
Erzurum Teknik Üniversitesi
Uygulama Soruları
Olasılık Teorisi
Uygulama Sorusu 2:
2 hilesiz zarın atılmasında gelen rakamların toplamı 7 ise, zarlardan birisinin
1 gelme olasılığı nedir?
ÖDEV 3:
Bir makine parçasının montajında kullanılan 23 cıvatadan 20 tanesi
emniyet açısından uygun 3 tanesi ise uygun olmadığı tespit edilmiştir. Bu
cıvata kutusundan makine parçasını monte etmek için bir seferde 3 cıvata
alınmaktadır.
a)Montajın hatasız cıvatalardan yapılma olasılığını belirleyiniz.
b)En azından bir hatalı cıvata kullanılmış olma olasılığını hesaplayınız.
Erzurum Teknik Üniversitesi
Permütasyon ve Kombinasyon
Olasılık Teorisi
Olasılık hesaplarının yapılmasında en önemli husus, olayın meydana gelebileceği
yolların sayısı (N) ile istenen olayın meydana gelebileceği yolların sayısını (n)
belirlemektir.
Bu iki sayı belirlendikten sonra olasılık formülleri vasıtasıyla hesaplama kolayca
yapılabilir.
Olayların meydana gelebileceği sayısı belirlenirken permütasyon ve
kombinasyon işlemleri uygulanabilir
Erzurum Teknik Üniversitesi
Permütasyon (Dizilem)
Olasılık Teorisi
İncelenen n bireyden her defasında r adedi alınarak, sıra gözetilmek
kaydıyla, kaç farklı dizi oluşturulabileceği
n!
n Pr 
( n  r )!
şeklindeki permütasyon formülü ile hesaplanır.
Erzurum Teknik Üniversitesi
Permütasyon (Dizilem)
Olasılık Teorisi
Örnek 9:
20 kişilik genel kurul toplantısında başkan, başkan yardımcısı ve sekreter
olmak üzere 3 kişilik idare heyeti seçilecektir. Buna göre,
a) İdare heyeti için kaç farklı heyet oluşturulabilir?
b) Bilinen 3 kişiden A’nın başkan, B’nin başkan yardımcısı ve C’nin de sekreter
seçilmesi olasılığı nedir?
Örnek 9 Çözüm:
3 pozisyon için yapılacak seçimde sıra gözetileceğinden (yani oluşturulan bir
ABC heyetinde A başkan, B yardımcı, C sekreter iken, BAC heyetinde B başkan,
A yardımcı ve C sekreterdir) permutasyon formülü kullanılır.
Erzurum Teknik Üniversitesi
Kombinasyon (Bileşim)
Olasılık Teorisi
İncelenen n bireyden her defasında r adedi alınmak ve sıra gözetilmemek kaydıyla
oluşturulabilecek kombinasyon sayısı
nCr 
n!
( n  r )! r !
.
Örnek 10:
10 profesörün bulunduğu bir gruptan seçilecek 3 kişilik jürinin istenen
şahıslardan meydana gelme olasılığı nedir?
Örnek 10 Çözüm:
3 pozisyon için yapılacak seçimde sıra gözetilmeyeceğinden (yani oluşturulan
bir XYZ jürisinde heyetinde X jüri üyesi, Y jüri üyesi, Z jüri üyesi iken, YXZ
jürisinde de Y jüri üyesi, X jüri üyesi, Z jüri üyesidir) kombinasyon formülü
kullanılır.
Erzurum Teknik Üniversitesi
Kombinasyon
Olasılık Teorisi
Örnek 11:
4 tarih, 3 felsefe ve 3 matematik kitabı olmak üzere toplam 10 kitap rafta kaç
değişik şekilde sıralanabilir?
Örnek 11 Çözüm:
Erzurum Teknik Üniversitesi
Gelecek dersin konusu
Olasılık Teorisi
Rastgele Değişkenlerin Dağılımları….
Erzurum Teknik Üniversitesi