EMEL_TEZ

1. HIZLANDIRICI FİZİĞİNE GİRİŞ
1.1. GİRİŞ
Parçacık hızlandırıcıları; yüklü parçacık demetlerini oluşturmak ve hızlandırmak
için geliştirilmiş deneysel cihazlardır. Yüksek enerji fiziğinde; parçacık demetleri atomik
çekirdeğin iç yapısını ve elementer parçacıklar arasındaki etkileşimleri çalışmada kullanılır.
Uygulamalı fizik alanında, parçacık demetlerinden elde edilen yüksek yoğunluklu sinkrotron
ışınımı (ultra rölativistik hızlandırılmış yüklü parçacıklardan yayınlanan ışık), sağlık alanında
kullanılan izotopların üretimi ve malzemelerin fiziksel, kimyasal ve mekanik özelliklerini
düzenlemek için kullanılır.
İlk parçacık hızlandırıcıları 1928’lerde Van de Graff, Cockraft ve Walton tarafından
elektrostatik hızlandırıcılar olarak kurulmuştur. Şekil 1.1. Bu elektrostatik hızlandırıcılardaki
parçacık demetlerinin kinetik enerjileri düşüktür ve proton demetinin lityum atomuna
çarpıştırılmasıyla bu çekirdeği iki  parçacığına dönüşmesinde olduğu gibi bu demetler
nükleer reaksiyonları tetiklemek için kullanıldı. Büyük hızlandırıcı laboratuarlarında, bu
hızlandırıcılar daha yüksek enerjili hızlandırıcıya enjeksiyon gerçekleşmeden önce
hızlandırmanın birinci aşamasında kullanıldı.
Elektrostatik hızlandırıcıların büyük başarısından sonra, değişik hızlandırma
prensiplerine dayanan yeni makineler gözüktü. Büyük magnetler ve radyofrekans kaviteleri
gibi yeni teknolojik ürünler geliştirildi. Bu siklotron ve betatron dönemiydi. 50’ler boyunca,
yüklü prçacıkları vakumda ışık hızına yakın hızlara ulaştıran, adı sinkrotron olan, ilk büyük
makineler ortaya çıktı.
Daha gelişmiş performansta parçacık hızlandırıcısı talebi geçen 10 yılda sayıda,
çeşitlilik ve kullanım alanlarında gelişmenin önünü açmıştır. Yüksek çarpışma enerjileri,
oranları ve yüksek demet şiddetleri için yapılan araştırmalar geniş ve komleks süper
çarpıştırıcıların önünü açmaktadır.
Diğer taraftan, “özel fiziksel durum”un detaylı çalışılmasındaki ilginin azalması,
imalat için gerekli olan büyük hızlandırıcılar, parçacıkların oluşturulması ve önhızlandırılmasıyla, parçacık fabrikaları ve depolama halkaları olarak tahsis edilmiş küçük
makinelerin gelişmesine yol açılmıştır. Tüm bu bilimsel ve teknolojik gelişmeler ve ?????
1.2 TIP VE ENDÜSTRİDE HIZLANDIRICILAR
Yüksek derecedeki teknolojik gelişme, parçacık hızlandırıcıların yapımında ulaşılan
teknolojik gelişmenin derecesi ve etkinliği teknolojik uygulamaların geliştirilmesinin
maliyetlerini azaltmıştır.
Endüstri ve tıpta kullanılan hızlandırıcılar kullanım alanlarının çeşitlerine göre iki
gruba ayrılabilir. Birinci grup makinelerde parçacıklar; serlik, özdirenç, sürtünme ve
elektriksel iletkenlik gibi kendi fiziksel ve kimyasal özelliklerini değiştirmeden hedefe
çarptırılırlar. İkinci grup makinelerde parçacıklar ganellikle elektron ve pozitronlardır. Bu
parçacıklar sinkrotron ışınımı oluşturmak için kullanılırlar. Her iki durumda da bu
hızlandırıcıların boyutları, yüksek enerji fiziğinin geniş sinkrotronları ile karşılaştırıldığında
daha küçüktür.
Hızlandırıcıların endüstriyel uygulamalarının ilki hedef maddenin belirli derinliğine
yapılan iyon implantasyonudur. Böylece yarı iletken maddenin alt tabakasına hassas bir
şekilde iyon yerleştirmek mümkün olur. Bu yöntem elektronik devrelerin imalatındaki
maddelerin tayininde kullanılır. Diğer taraftan iyon implantasyonu motorlar ve yapay
protezlerde olduğu gibi gerilim altındaki maddelerin sertlik ve özdirencini arttırır.
Parçalanma ve iyonizasyon için alt tabakaların bombardımanı değişik fiziko-kimyasal
özelliklere sahip yeni maddeler üretir. Bu yeni maddelerin iyonik çözücüler içindeki
çözünürlüğü azalır veya ısıya, gerilime ve biyolojik etkileşimlere karşı özdirenci artar. Bu
durumlarda yeni maddeler tekstil, elektrik tellerinin yalıtımı gibi alanlarda kullanılır.
Deterjan gibi kimyasal ürünlerin arındırılmasında, endüstriyel artıkların belirli
kimyasal reaksiyonlarla temizlenmesini hızlandırmakta (katalizör etkisi yapmakta ), medikal
araç-gereçlerin ve taze besinlerin kimyasal maddeler kullanılmadan sterilize edilmesinde,
nükleer santrallerin radyoaktif ürünlerinin arıdırılmasında; arkeolojik objelerin analiz ve yaş
tayinlerinde de parçacık demetleri kullanılır.
Tıpta parçacık demetleri, Pozitron Emisyon Tomogrofisi (PET) için radyo-izotop
üretiminde, piyon demetleri ile sağlıklı hücrelere verilen zararı en aza indirmeye çalışarak
tümör tedavisinde ve ameliyatlarda kullanılır.
Sinkrotron ışınımı başlangıçta atom fiziği ve spektroskopide kullanılmıştır. Birkaç
maddenin soğurum, yansıtma, aydınlanma (lüminesans) ve fotoemisyon özellikleri üzerinde
yapılan bazı deneyler, ultraviyole ışınım alanında yapılmıştır.
Sinkrotron
ışınımında
kullanılan
diğer
teknikler;
zamana
bağlı
çözülüm
spektroskopisini, fotoelektronik spektroskopiyi, küçük ve büyük açılarda X-ışınlarının
kırınımını, X-ışını mikroskopisini, mikrotomogrofi ve optik aletlerin hassas radyometrik
kalibrasyonunu, proteinlerin kristallogrofisini, X-ışını bölgesinde ince yapıların (EXAFS)
soğurum spektroskopisini içerir. Bu teknikler, havacılık, tıp, farmakoloji, seramik, çelik
üretimi, holografi, kimya otomobil, petrol ve uzay endüstrilerinde kullanılacak olan ürünleri
imal etmede kullanılır.
Diğer taraftan, hızlandırıcılar, yakın gelecekte, 0,5 mikronun altındaki boyutlarda
yarıiletkenlerin üretiminde kullanılacak olan X-ışın litogrofisi için iyi odaklanmış X-ışın
kaynaklarıdır. Bunun entegre devrelerin üretimindeki esas teknik olması beklenmektedir.
Günümüzde temel tekniklerin litogrofi ile boyutları 1 ila 100 mikron arasında değişen
mikromotor ve türbinlerin üretimi mümkündür.
Günümüzde APS (ARGONNE, ABD), ALS (Berkeley, ABD), BESSY Π (Berlin,
Almanya), ESRF (Grenable, Fransa), ELETTRA (Trieste, İtalya), SRRC (Tayvan), Postech
(R. Kore), RIKEN (Soitomo, Japonya) ve STA (Japonya) gibi hızlandırıcılar çalışmalarının
ilk aşamasındadırlar.
1.3. PARÇACIK HIZLANDIRICILARINDA LİNEER OLMAYAN OLAYLAR
Hızlandırıcılardaki parçacık demetleri boşluktaki ışık hızına yakın bir hızda
saniyelerden saatlere veya bazen günlere kadar süren bir periyotla dolaşırlar. Böylece
milyonlardan yüz milyar kilometrelere varan mesafeleri kat ederler.
Hızlandırıcılardaki bulunan kuvvetlerdeki küçük lineer olmama etkileri demetteki
parçacık yoğunluğu artıkça daha da önemli hale gelir. Kuvvetlerin bu periyodik karakterleri,
non lineer etkilerin artması ve parçacık demetleri dinamiğinin kuvvetlice tedirgenmesi
şeklinde ortaya çıkar.
Büyük düzeneklerde, bu tür etkiler ihmal edilemez ve sonuçta hızlandırıcı içinde
dolanan parçacıkların doğrusal bir dinamiğe sahip olmaları yerine doğrusal olmayan hareket
denklemlerinin oluşmasına neden olur. Bu da hızlandırıcının performansına belirli bir
sınırlama getirir. Bu etkilerinin azaltılması için hızlandırıcılarda daha dizayn aşamasında
dikkatli bir çalışma uygulanmalıdır.
Doğrusal olmayan kuvvetler manyetik alan eksiklikleri, sextupoller ve diğer lineer
olamayan manyetik elementler, hızlandırıcının vakum odasında bulunan diğer demetler ve
iyon demetleri ile ilgilidir.
Sextupol magnet kuvvetinin kullanımı eğici magnetlerin üretiminden kaynaklanan
eksiklikleri gidermek ve momentum hatalarını telafi etme mekanizması olarak kaçınılmazdır.
Bir çarpıştırıcının vakum boşluğu içinde zıt yönde dolanan iki demet etkileşir (demetdemet etkisi) ve hızlandırıcıda demet iyon paketleri arasındaki etkileşimle modern
hızlandırıcılarda kaçınılmaz olan lineer olmayan kuvvetli etkiler oluşur.
Parçacık demetleri hızlandırıcının vakum odası içinde bir elektrostatik potansiyel
indüklerler ve demet ekseni boyunca potansiyel kuyularına iyonlar sızmaya başlar. Demet ile
ortamda bulunan gaz arasındaki etkileşmeler sonucunda coulomb çarpışmaları ile kalıcı
iyonlar ortaya çıkar. Bu iyonlar demetin hareket yönüne enine düzlemde doğrusal olmayan
titreşimler oluştururlar ve titreşimlerin frekansları, iyonların kütlelerine, demet boyutlarına,
yoğunluk ve titreşim genliğine bağlıdır. Lokalize olmuş iyon boşluklarının varlığı endüstriyel
amaçlarda kullanılan depolama halkalarına sınırlandırmalar getirir. Lineer olmayan kuvvetler
demet dinamiğine güçlü etkisi olan, bazen karakteristiğini değiştiren, demeti bozan ve hızlı
kararsızlıklar çıkaran, iyonlar tarafından oluşturulur.
1.4. YÜKLÜ PARÇACIKLARIN YÖNLENDİRİLMESİ VE HIZLANDIRILMASI.
FİZİKSEL PRENSİPLER
Modern hızlandırıcılarda, parçacıkların hızı boşluktaki ışık hızına yakındır. Yüksek ve
daha yüksek enerjilere ulaşma ihtiyacı temel parçacıkların iç yapılarının boyutlarının
küçüklüğünden kaynaklanır. Yüksek enerji demetleri, birbirine çok yakın olan parçacıklar
arasındaki etkileşimlerin ölçülmesini uzun süreli olarak mümkün kılar.
Temel seviyede, özel görelilik (izafiyet) teorisini en iyi, parçacık hızlandırıcıları test
edebilir.
Parçacığın eylemsizliği onun enerjisi ile ilgilidir ve durgun enerjisine bağlıdır.
Wo = m c2
1.1.
Burada c= 2,9979 x 108 m/sn boşluktaki ışık hızıdır m ise parçacığın kütlesidir.
Serbest parçacığın toplam enerjisi;
W2 
1
1
v2
m2c 2v 2  m2c 4
1.2.
c2
Burada v, eylemsiz laboratuar çerçevesindeki hızdır. Ağır parçacığı, ışık hızına
ulaştırmak için sonsuz enerji gerekir.
Durgun enerji ve kütle birbirinden c2 sabiti kadar farklıdır ve bu değer referans
çerçevesine bağlı değildir. Kütle, enerji birimlerinin c2 ile bölünmüş şekli ile de ifade edilir.
Böylece elektronun kütlesi 511 keV/c2 ve durgun enerjisi ise 511 keV dir. Elektron-Volt (eV)
1 voltluk elektriksel potansiyel farkı altında hareket eden bir elektron tarafında kazanılan
enerjidir. Bu birimler SI birim sistemine, 1 eV= 1,6022 x 10-19 joule bağıntısıyla dönüştürülür.
Parçacık hızlandırıcılarında ölçülen enerjiler için eV ve onun katları en uygun enerji birimi
olarak kullanılır. (1 keV = 103 eV , 1MeV = 106 eV, 1GeV = 109 eV, 1TeV = 1012 eV.)
Enerji ve kütle birimleri birbirine 1 eV/c2= 1,7802 x10-36 kg bağıntısı ile bağlıdır.
Elektron ve proton için ise,
é : 511 keV/c2 = 9,097 x10-31 kg
p : 938 MeV/c2= 1,670 x 10-27 kg
Boşluktaki ışığın hızına yakın hızlar için, parçacığın toplam enerjisi onun durgun
enerjisinden büyüktür ve,
W
1
1
mvc  pc
1.3.
v2
c2
Burada p=mvγ yani çizgisel momentumdur ve ;
 
1
1
v2
rölativistik faktördür.
c2
pc ve mc2’ nin ikiside enerji boyutundadırlar, momentum ve kütle sırasıyla eV/c ve
eV/c2 şeklinde ölçülür ve bu değerler arasında doğru bir karşılaştırma yapılmasına izin verir.
Örneklere bakılırsa, 1.2. bağıntısını v ‘ye göre çözersek;
v  c 1
w02
w2
1.4.
ifadesini elde ederiz.
Böylece 511 keV enerjili bir elektronun hızı sıfır, ama 1000 keV= 1MeV enerjili bir
elektronun hızı v=0,859c’dir. Benzer hesaplamayla, 10 MeV enerjili bir elektronun hızı
v=0,9987c olur.
Şimdi de hızlandırıcıların bazı karakteristiklerini tanımlayan tablo 1.2 deki sayılar
analiz edilebilir. LEP için, elektronlar 50 GeV enerjilidir ve hızları v=0,9999999998c’dir.
SPS deki protonların enerjisi 450 GeV dir ve hızları v=0,9999978c dir.
SPS ve CERN PS’nin enerji ve hızlarını karşılaştırdığımızda, kinetik enerjideki artışın
% 1630 buna karşılık hızdaki artışın ise % 0,07 olduğu görülür. Yani ışık hızına yakın
hızlarda, yüklü parçacıkları hızlandırmak daha zordur.
Yüklü parçacıkların momentumunu değiştirmek için kullanılan kuvvetlerin doğası
elektromagnetiktir. Magnetik ve elektrik alanların etkisi altındaki, yüklü bir parçacık Lorentz
denklenine uyar.

  
dP
 q( E  VxB)
dt
1.5


Burada q birimi Coulomb (C) olan elektrik yüküdür. E ve B ise sırasıyla V/m ve
Tesla (T) birimlerindeki elektrik ve magnetik alanlardır. Lorentz denklemi magnetik alan
bileşenlerinin

P ’ye dik olduğunu ve momentumun sadece
yönünün (büyüklüğünü

değiştirmeden) değiştiğini gösterir. Momentumun büyüklüğündeki artış, P ’ye paralel
bileşenleri olan elektrik alana bağlıdır. (1.2.) bağıntısı ve Lorentz eşitliğinden (1.5.)
dW c 2 dp
c2

p
q
pE
dt
W
dt
W
olur.
Başlangıç doğrultusuna paralel bileşeni olan dış elektrik alandaki yüklü parçacık bu
doğrultu boyunca hızlandırılır.düzgün magnetik alanın varlığında, parçacığın enerjisi korunur
ve örüngesi Şekil 1.3. ‘de görüldüğü gibi alan yönünde ekseni olan bir helikstir. Heliksin
yarıçapı  ve dönme frekansı  cyc ek-1 ‘de verilmiştir.

qBc 2
p
v
ve  cyc 

qB
W

1.6.
Denklem 1.6. ‘da tanımlanan  siklotron yarıçapı,  cyc ise siklotron frekansıdır.
Parçacık hızının magnetik alan doğrultusunda bileşeni olmadığı özel durumlarda,
heliks, alan çizgilerine dik bir daire şeklini alır.
Bu durumlarda, elektromagnetik alanların parçacık hızlandırıcılarındaki değişik
kullanımları aşağıdaki gibidir.
i) Elektrik alan, parçacıkları hızlandırır. (Hızlandırıcı alan)
ii) Hareket düzlemine dik olan magnetik alanlar, parçacıkların yörüngelerini magnetik
lens etkisiyle daireselleştirirler. (Yönlendirici alan)
Parçacık hızlandırıcıların yapımındaki fiziksel prensipler bu iki etkiye dayanır.
1.5. HIZLANDIRICI ÇEŞİTLERİ
1.5.1. LİNEER HIZLANDIRICLAR
En basit hızlandırıcı olup, bir veya birkaç DC hızlandırma yapısı olan vakum
odalarıdır. Burada elektrik alanı parçacıkları hareket doğrultusunda ve doğrusal yörüngelerde
hareket ettirir. Lineer hızlandırıcıların avantajları pahalı magnetlerin kullanılmaması ve
sinkrotron ışınımından kaynaklanan enerji kaybının olamamasıdır. Parçacıkların enjekte
edilmesi ve çıkarılması yöntemleri daha basite indirgenmiştir. Pratikte, sistemde yükse voltaj
kullanılarak ulaşılandan daha yüksek enerjilere çıkılır ve elektrik alanları radyofrekans
rezonans boşluklarında (kaviteler) uyarılırlar. (Hızlandırıcı yapılar)
Bununla beraber, bu metot her bir hızlandırıcı yapı için metre başına kazanılan enerji
ile sınırlıdır ve parçacıkların takip ettiği yol boyunca birkaç hızlandırıcı yapının art arda
konulmasına ihtiyaç duyulur. Büyük enerji kazançları için bir çok hızlandırıcı hücreden
oluşan uzun hızlandırıcılar kullanılır. Lineer hızlandırıcılara alternatif olarak parçacıkları
hızlandırıcı hücrelerden periyodik olarak geçmeye zorlayan magnetik alanlar hızlandırıcı
yapıların (rf kaviteleri) sayılarını azaltmak amacıyla kullanılabilir.
1.5.2. SİKLOTRON
En basit dairesel hızlandırıcıdır. (Şekil 1.4.) 1931 yılında Lawrence ve Livingstone
tarafından tasarlanmıştır.
Bu makinelerde, yönlendirici magnetik alan ve hızlandırma frekansları sabittir.
Parçacıkların yörüngeleri spiraller şeklindedir ve yarıçap parçacıkların hızlandırma
boşluğundan her geçişlerinde artar. (Şekil 1.4.) Eş zamanlılığın korunması için, hızlandırıcı
alan frekansı, sabit olan parçacık dönme frekansına eşit olmalıdır. Bunu için enerji yaklaşık
olarak sabit olmalıdır. Enerjinin sabit olması sadece   1 ve W  mc 2  mc 2 iken yani
rölativistik olmayan bölgede mümkündür. Bu tip makinelerle ulaşılan enerjide bir üst limit
oluşur. Bu limitten en iyi avantajı sağlamak için siklotronlar ağır parçacıkları hızlandırmakta
kullanılırlar. (protonlar, döteronlar, -parçacıkları vs.)
1.5.3. EŞ ZAMANLI SİKLOTRON
Protonun kinetik enerjisinin birkaç 10 MeV’in üstüne çıkmasıyla, rölativistik etkiler
önem kazanır ve dönme frekansı daha fazla sabit tutulamaz. (Bu durum ağır parçacıklar için
yüksek enerjilerde gözlenir.)
Parçacıklar ve hızlandırma alanları arasında faz farkı oluştuğunda hızlandırma olmaz.
Yüksek enerjiler elde etmek için bazı değişiklerin yapılması zorunludur.
Çözüm; dönme frekansındaki enerji artışında dengeyi sağlamak için magnetik alanı,
hızlandırma alanının frekansını sabit tutarak değiştirmektir. 1938 yılında Thomas [Th38],
magnetik alandaki değişimin parçacıkların sabit dikey hareketini sağlamak için sadece radyal
değil aynı zamanda azimuthal olduğunu gösteren bir makine tasarlamıştır. Bu karakterlerde
magnet yapısı ile ilgili zorluklar nedeniyle ilk eş zamanlı siklotronun yapımı 1950 yılına
kadar ertelenmiştir. Bununla beraber, bu makinelerin bazıları bugünlerde de çalışmaktadır.
1.5.4. SİNKROSİKLOTRON
İzonkron sinkrotronda kullnılan metoda bir alternatifte parçacıkların dolanım
frekansları ile eş zamanlılığı sağlamak üzere hızlandırıcı yapının frekansını modüle etmektir.
Bu çözüm 1945’te McMillan ve Veksler [45] tarafından önerildi. Bu yöntem modülasyondan
kaynaklanacak parçacıkların azimuthal (açı ile ilgili) salınımlarını önleyecek şekilde
geliştirilmiştir. Bu faz kararlılığının keşfi bu ilkeleri kullanan siklotronları tasarım ve inşasını
mümkün kılmıştır. Bu tip siklotronlar sinkrosiklotron olarak bilinir.
1.5.5. BETATRON
Betatron 1941 yılında Kerst tarafından bulunmuştur. Magnetik alanla kuşatılmış
dairesel bir makine olup hızlandırmanın yeni yöntemidir.
Bu
makine,
siklotronlarla
yeterli
olarak
hızlandırılamayan
elektronlar
için
tasarlanmıştır. Elektronların belirlediği dairesel yörüngelere neredeyse dik, zamanla değişen
magnetik alanla oluşmuş olan rotasyonal elektrik alanı tarafından parçacıklar hızlandırılır.
Belirli sınırlandırmalar nedeniyle ve sinkrotronlar daha başarılı olduğundan betatronlar
genelde terk edilmiş, kullanılmamışlardır. Bununla beraber betatron titreşicileri adını alan,
ideal dairesel yörünge çevresinde parçacıkların enine titreşim teorisinin gelişmesine yardım
etmede betatronlar önemli rol oynamışlardır.
1.5.6. SİNKROTRON
Sinkrosiklotron önerisiyle birlikte, Veksler ve McMillan yeni bir makine hazırladılar.
Bu makinede frekans modülasyon prensibi kullanıldı, ama buna ek olarak parçacıkların
kinetik enerjilerindeki artışla magnetik alanın zamanla değişimi ile dönme yarıçapı sabit
kalacak şekilde ayrıştırılmışlardı. Bu metot, siklotronlardaki ana kısıtlamaların üstesinden
gelir. Modern dairesel hızlandırıcılar daha çok değişken gradyentli sinkrotronlardır.
Sinkrotronların iki önemli çeşidi depolama halkaları ve çarpıştırıcılardır. Depolama
halkaları parçacıkların bir araya getirildiği ve sabit bir enerjiyle uzun süre dairesel harekette
tutulduğu küçük sinkrotronlardır. Depolama halkaları ayrıca yüksek şiddette oluşturup daha
güçlü makinelere enjekte etmekte veya sinkrotron ışınımı fabrikaları şeklinde kullanılırlar.
Çarpıştırıcılar zıt yönlerde dairesel hareket eden iki demeti keşiştirmeke ve parçacıkların
çarpışan demetlerinin ağırlık merkezlerinde kullanılan en yüksek enerjiyi elde etmekte
kullanılırlar. Çarpıştırıcılar genellikle yüksek enerjili çarpışmalarda kullanılırlar ve boyutları
daha büyüktür.
Sinkrotronlarda, magnetik alan belirli dipol magnetler tarafından oluşturulur ve
siklotron yarıçapını sabit tutmak için parçacıkların enerjileri ile lineer olarak artar. Yüksek
enerjilerde, W=pc ve birim yüklü parçacığın enerjisi magnetik alanla oluşan yarıçap ile
orantılıdır ve
W[GeV]  0,29979B[T]  [m]
Ve magnetik alanların sonucunda oluşan en yüksek değerlerin sınırlarına sadece büyük
yarıçaplarda ulaşılır. Mesela, LHC için gerekli olan magnetik alan B=10T ve siklotron
yarıçapı 2,7 km’dir.
Siklotronların sinkrotronlardan farkı, sinkrptronlarda parçacıkların yörüngeleri uzayda
(boşlukta) ilerleme ve enine yönlerde salınımı birlikte içeren (toric) bir alan kaplarlar ve
hızlandırıcının içini tamamen kaplayan ağır magnetlerden kaçınılır. Bu zorluk magnetlerdeki
ve diğer cihazlardaki boyutları azaltır, tutarı düşürür ve diğer güçlükleri kaldırır. Diğer
taraftan, parçacık yörüngeleri kapalıdır ve genelde düzgün dairesel değildir. Parçacık
yörüngeleri eğri şeklindeki arkların ve doğrusal bölgelerin ardışık sıralanmasından ibarettir.
Bu parçacıkların enjeksiyono, fokuslanması, hızlandırılması ve çıkarılması için ve diğr
deneysel ve teşhis araç-gereçlerinde kullanılan serbest alan bölgeleri sağlar.
1.6. SİNKROTRON HIZLANDIRICISININ YAPIMI
Fiziksel prensipler sinkrotronun yapımında, optimizasyonunda ve çalıştırılmasında
temel teşkil ederler ve parçacıkların bir yerde toplanma, hızlandırılma ve odaklanma
fonksiyonlarını gerçekleştirmelerini sağlarlar. Bunu takip eden paragraflarda basit magnet
kafes takımlarını ve demet odaklayan makinelerin anlaşılmasını sağlayan bu üç temel prensip
anlatılmıştır. Yapılan analiz hızlandırıcıdaki eşzamanlı parçacığın referans yörüngesine yakın
yörüngeli test parçacığının dinamiği ile kısıtlanmıştır.
1.6.1. DEMET OLUŞUMU VE YÖRÜNGE HATTI
1.4. bölümde görüldüğü gibi düzgün magnetik alandaki q yüklü parçacığı alan
çizgilerine paralel düzlemde dairesel yörüngeye sahiptir. Yörünge yarıçapı ise;
 [ m] 
mv
qB
1
1
v2
dir.
1.7
c2
demek ki parçacığı veya demeti sınırlandırmak için uzayda dairesel bir alandaki magnetik
alanın
düzgün
kalmasını
sağlamak
yeterlidir
ve
bu
magnetik
dipol
ile
oluşturulabilir.(Şekil1.5)
1.7’den, eğer toplam kinetik enerji W, ile magnetik alanı aynı anda arttırılırsa,
siklotron yarıçapını sabit tutmak ve parçacık demetlerini hızlandırmak mümkündür.
Sinkrotronlarda, sınırlı olan birkaç magnetik dipolü, yanyana koyup  yarıçaplı bir
daire şeklini vererek oluşturulur.(Şekil 1.6.a)
Fokuslama, hızlandırma, enjeksiyon deneylerinin yapıldığı, deneysel alanlarda, vakum
pompaları vb gibi vakum odalarında küçük dipoller ayrı bir tarafta oluşturulmuş ve doğrusal
hızlandırma bölgeleri ile birbirine bağlanmışlardır.
Bu doğrusal hızlandırma bölgeleri boyunca sinkrotronun etkin yarıçapı R’dir. R>  .
Doğrusal bölgeler boyunca parçacıklar doğrusal yörüngalere sahiptirler. (Şekil 1.6.b) Örneğin
CERN’deki SPS’de 2 Teslalık dipollerdeki magnetik alanlar için etkin yarıçap R=1100m,
siklotron yarıçapı  =225m ve protonların enerjisi 450 GeV’dir. HERA’da süperiletken
malzemeler kullanılarak dipol alanı 4,7 Teslaya ulaşır ve yaklaşık aynı çerçeveye sahip olan
SPS’ye göre iki kat toplam enerji elde edilir.
Diğer taraftan, büyük makineler küçük kırılma açılarına uygun çok sayıdaki dipol
magnetlerle yapılmıştır. Örneğin, SPS magnet başına kırılma açısı 0.2
o
ve her birinin
uzunluğu 6.26 m. olan 747 tane dipol magnete sahiptir. 26,7 km. uzunluğundaki LHC’de 17,5
km. dipoller ve 9,2 km. doğrusal bölümler vardır.
1.6.2. HIZLANDIRMA
Düzgün bir elektrik alan bulunan bir yerden pozitif yüklü bir parçacık geçirildiğinde
hızlandırma, alan şiddeti ve alan çizgilerinin doğrultularıyla orantılıdır.


dP
 qE
dt
Düzgün bir elektrik alan, levhaları arasına potansiyel fark uygulanmış olan bir
kondansatörden elde edilebilir. Şekil 1.7. Eğer potansiyel zamanla değişirse, elde edilen
elektrik alan da değişken olur.
Yüklü parçacıkları hızlandırmadaki en basit yöntem, onları kondansatörün
levhalarında bulunan küçük deliklerden geçmeye zorlayarak, kondansatörü böylece
geçmelerini sağlamaktır. Bu rf kavitenin en basit modelidir. Şekil 1.8.
vc
olduğunda yani rölativistik hızlarda, parçacık hızlandırıcıdaki magnetik kafeste
T  Ls / c periyoduyla dolanır. Burada Ls makinenin boyudur. T periyoduyla dönme frekansını
ω= c/Ls Hz ‘e benzetebiliriz. Eğer parçacıklar makinede demetler halinde dolanırlarsa ve
dolanan belirli demet varsa rf kavitelerini doğrusal bölmeler içinde tanımlarız ve salınım
frekansı ωRF=hc/Ls Hz ile bulunur. Burada h, harmonik sayıdır ve hızlandırıcıdaki demetlerin
tam katıdır. Eğer demetteki her bir parçacık rf kaviteleri geçerken enerjiyi ΔW kadar arttırırsa,
siklotron yarıçapı sabit kalmak üzere eğme magnetlerindeki magnetik alanı parçacık enerjisini
çoğaltarak, arttırmak mümkündür. Bu tür makinelere sinkrotron denme sebebi budur, yani rf
kavitelerdeki enerji artışı ve dipollerdeki magnetik alan değişimi eş zamanlı olmak
zorundadır.
Şimdi bir demet parçacığın rf kaviteyi geçtiğinde neler olduğuna bakalım. Yüklü
parçacık demetlerinin her biri kütle merkezinde bulunan ve adı eş zamanlı parçacık olan tek
bir parçacıkla tanımlanır. Rf kavitenin potansiyeli zamana bağlı olarak değişir.
V(t)=Vo sin 2π ωRF t = Vo sin  (t)
1.8.
Eğer eş zamanlı parçacık kaviteye  (t) = 0 için ulaşırsa hızlandırma olmaz. Eş
zamanlı parçacıktan önce ulaşan parçacıklar negatif bir potansiyel hissederler ve
yavaşlatılırlar. (  (t) <0) Böylece demetteki daha ilerlemiş parçacıklar azalır. Rf kaviteye eş
zamanlı parçacıklardan sonra ulaşan parçacıklar pozitif fazla karşılaşır ve hızlandırılırlar. Rf
kaviteyi birkaç geçişten sonra demet daha yoğun hale gelir ve paketcikleme etkiye sahip olur.
Parçacıkların tüm demetini hızlandırmak için, eş zamanlı parçacıkların  s fazıyla eş zamanda
gelmelerini sağlamak yeterlidir.
 s>0 ve  s< π
Bu durumda, rf kaviteden her bir geçişte, eş zamanlı parçacık tarafından kazanılan
enerji miktarı;
ΔW=qVo sin  s’dir.
Diğer taraftan, hızlandırma yöntemi, eğici magnetlerden geçişe bağlı olarak demetdeki
enerji kayıplarını karşılar. Enerji kaybı eğici magnetlerdeki enine hızlandırmayla oluşan
sinkrotron ışınımına bağlıdır. Örneğin 1 GeV enerjili rölativistik elektronlar 1 Teslalık
magnetik alanda sinkrotron ışınımından dolayı tur başına 10 MeV ‘lik enerji kayıp ederler. Bu
enerji kaybına uygun olarak siklotron yarı çapı tur başına 1 mm. azalır. Yani rf kavitelerin
parçacıkları hızlandırmak ve sinkrotron ışınımıyla kaybedilen enerjiyi karşılamak gibi iki
fonksiyonu vardır. Bu etki bölüm 1.7. ‘de daha detaylı olarak işlenecektir.
Örneğin, LEP için harmonik sayı h= 31320 ve rf frekansı ωRF= 352 MHz, SPS için h=
4620 ve ωRF= 200 MHz dir. SPS gibi büyük sinkrotronlar 3 tane, LEP 32 rf kaviteye sahiptir.
1.6.3. ODAKLAMA
1500’lü yılların başlarında, sinkrotronların gelişimindeki önemli yöntem değişken
gradyen prensibinin keşfi ile oluşmuştur. Bu prensipte kullanılacak negatif ve pozitif yönlü
alan gradyenlerinin değerleri, daha önce vurgulanan dar limitlerin dışında değerler olmalıdır.
Bu karakterdeki alanlar, enine pozisyonlarla, lineer olarak değişen alanların olduğu
kuadropoller ile magnetler kullanılarak belirlenir. Kuadropoller eğici magnetler arasındaki
doğrusal bölgeleri düzenlerler ve parçacıkların takip ettiği ideal kapalı yörünge üzerine
etkileri yoktur.
Hızlandırıcı magnet kafes düzlemindeki momentumu ps olan yüklü parçacığın
yörüngesi eğer düzgün bir magnetik alan varsa, daireseldir. Bununla beraber momentumun
doğrultusu ve büyüklüğündeki küçük sıralama hataları için parçacık dikey radyal olarak
sürüklenir, vakum odasının duvarlarına çarpar ve hızlandırma ve demet oluşumu (yörünge
hattı) amacı için bir kayıp teşkil eder. Parçacıkları makineye tamamen yatay olarak enjekte
etmek imkansızdır, çünkü küçükte olsa hareketin her zaman düşey bir bileşeni vardır.
Parçacıkların depolama halkalarında günlerce veya haftalarca kalmalarının gerekmesi,
makinenin performansında belirli bir limit teşkil eder. Alanlarda eksiklik ve kusurların
bulunması sadece bu durumun kötüleşmesine katkıda bulunur. Bu durumu sabit olarak
koruyabilmek
için
mekanizma
küçük
momentum
hatalarını
düzeltebilmelidir.
Bu
mekanizmayı sağlamanın en kolay yolu, ideal yörüngeden sapmış parçacıklara ideal
yörüngeden sapma mesafesiyle orantılı bir ayar magnet kuvveti uygulamaktır. Eğer magnetik
alan granyenti negatif ise, bu düşey olarak geri çağırıcı ve yatay olarak itici kuvvet bileşenleri
ortaya koyar. (Eğer gradyent pozitif ise tam tersi durum söz konusudur.) Düşey hareket,
kuvvetin düzeltilmiş düşey bileşeni ile dengelenir, ama yatay denge; odaklama etkisi ile
oluşan magnetik eğici ve merkezkaç kuvvekleri ile yatay bileşenlerin birleşimiyle başarılır.
Hem yatay hem dikey denge aşağıdaki gibi gösterilebilir. [Sc87]
0
 B
 1,
B0 
Burada B0 ideal yörüngedeki ideal dipol alandır. Bu limitlerin dışında, hareket sabit
değildir ve ideal yörüngeye olan mesafe üstel olarak artar.B alanı parçacıkların zayıf
odaklanmasından sorumludur.
Bununla beraber bu mekanizma küçük magnetik alan gradyentlerine bağlı pratikteki
kullanımlar için çok zayıftır. Eğer ardışık olarak odaklayıcı ve ayırıcı alanlar ile güçlü
gradyentleri varsayarsak, güçlü net odaklama kuvvetini elde ederiz. Bu güçlü odaklama
ilkesidir.
Güçlü odaklama prensibini açıklamak için, hızlandırıcıda ideal yörüngesinden sapan
bir parçacık olduğunu varsayarız. Analizi basitleştirmek için, hızlandırıcıdaki bu yörünge
doğrusal bölgede olabilir. Şimdi de yatay olarak odaklamayan ve düşey odaklama kuvvetine
sahip olan bir kuadrapol alan olduğunu varsayalım. Yatay düzlemde eğer parçacık ideal
yörüngeden sapan kuadrapole girerse, bu ideal yörüngeye olan uzaklıkla orantılı olan bir
odaklamayan kuvvet görecektir. Sonra eğer parçacık yatay odaklayıcı (düşey ayırıcı)
kuadrapolden geçerse (Şekil 1.10.b) ideal yörüngeden daha kuvvetli odaklama kuvveti ile
sapacaktır ve sonunda net odaklama kuvveti kuadrapollerin ve birleşik etkilerin her ikisine de
bağlı olup, güçlü bir odaklama etkisi verecektir.
Her iki kuadrapolun birleşik etkisinden net odaklayıcı kuvvet daha kuvvetli bir
odaklayıcı etki verecektir.
İdeal yörüngeden sapan parçacıklar pozitif gradyentli kuadropoller tarafından dik
olarak fokuslanmış ve yatay olarak ayrılmıştır. Şekil 1.10. Negatif gradyentli kuadropollerde
tam ters durum yani yatay odaklanma ve dikey ayrılma oluşur.
Tespit edilen belirli koşullar altına, bu durum kuadropol çiftinin odaklama ve ayırma
gücüne ve kuadropollerin uzaklıklarına bağlıdır, zıt lenslerin başarısı parçacıkların ideal
yörünge etrafında sürekli salınımlar yapmasını sağlar. Alan gradyentlerindeki teknolijik
limitlerin çok yüksek olmasıyla, odaklama şu anda bu prensibi takip etmeyen makinelere göre
daha kuvvetlidir.
Bu güçlü odaklayıcı makinelerdeki parçacıkların enine salınım çokluğu çok küçüktür,
çoğu kez maksimum değerler 1 mikrondan daha küçük olup, aynı enerjilerdeki zayıf
odaklama makineleri için ulaşılmaz değerdir. Bu durum demetlerin boyutlarını önemli bir
şekilde azaltır ve böylece büyük yoğunluklu demetlerin oluşmasına izin veren daha küçük
vakum odaları ve magnetler söz konusudur.
Artık sinkrotron hızlandırıcısının basit şemasını belirlemek için çoktandır bahsedilen
magnetik elementleri ve rf kaviteleri birleştirebiliriz. Şematik plan şekil 1.11. de gösterildiği
gibidir.
Momentum doğrultusundaki sıralama hatalarına bağlı olarak parçacık odaklama
mekanizmaları tartışıldı. Bununla beraber büyük makineler ve depolama halkalarındaki
momentumun büyüklüğündeki hatalar önemlidir. Bu durumlarda, değişken gradyent alanları
prensibi ayrıca momentum hatalarını düzeltmek için de kullanılır. (değişken gradyent alanlı
sextupoller düzeltici magnetlerdir.)
Diğer taraftan, sextupoldeki magnetik alan, ideal yörüngeden sapmanın karesiyle
orantılı olduğu gibi, değişken gradyent sextupol çiftlerinin ortaya çıkması sinkrotronlarda,
tasarım ve kullanımında kontrol edilmesi gereken kuvvetli lineer olmayan etkilerin olduğunu
gösterir.
Teknolojik bakımdan kuadropoller ve sextupollerin tasarımı kolaydır. Magnetostatik
kuadropolar ve sextupolar alanlar skaler potansiyelle belirlenebilir.
B(x,z)=-gradV(x,z), Vkuad = -xz ve Vsex = (z3-3r2 z)/6 yani bu magnetlerin demir bağ
yüzeyleri Vkuad ve Vsex ‘in eş potansiyel çizgilerini takip etmelidirler. Şekil 1.12.
1.7 SİNKROTRON IŞINIMI
Yüklü parçacık hızlandırıcı dipolün magnetik dipollerini rölativistik hızlarda geçtiği
zaman, parçacıklar yörüngeyle teğet olan doğrultu boyunca, radyal hızlandırmanın idaresi
altında radyasyon yayınlarlar.(fotonlar) Bu elektromagnetik ışıma ilk defa sinkrotron
hızlandırıcılarında sezildiği için sinkrotron ışımasıdır.
Dairesel hızlandırıcıda tam bir dönüş sonunda, sinkrotron ışıması sayesinde oluşan
toplam kayıp enerji radyal hızlandırmaya bağlı olarak aşağıdaki şekilde ifade edilir.
W GeV  
6,034 x10
 m
18
 W GeV 

 m GeV / c 2






4

1.9.
Protonların kütlesinin elektronların kütlesinden çok daha fazla olmasıyla (mp=1836
me), aynı toplam enerji ve siklotron yarıçapı için; elektronlar tarafından ışınan enerji
protonlarınkinden 10 x 109 defa daha büyüktür. Yani, proton makinelerinde, sinkrotron
ışınımı sadece çok yüksek enerjiler için gözlenebilir.
Elektron makinelerinde yayınlanan enerjinin parçacıkların toplam enerjilerine güçlü
şekilde bağlı olması, ışın kayıplarının rf kaviteleri tarafından karşılanması gerektiğini gösterir.
Rf rezonans boşluğu tarafından parçacığa aktarılan maksimum enerjide teknolojik limitin
olmasıyla, hızlandırıcılardaki elektron demetlerinin enerjileri için bir üst sınır oluşur. Bu limit
aşağıdaki formülle verilir.
Wmax GeV   10 mWmax
1 / 4
1.10.
Burada Wmax rf kavite boyunca bir geçişte serbest bırakılan maksimum enerjidir.
Böylece rf kaviteleri tarafından serbest bırakılan aynı güç için W max daki artış, büyük boyutlu
hızlandırıcılar tarafından bulunur. Yüksek enerjiler için büyük hızlandırıcılara ihtiyaç
duyulmasının bir nedeni budur.
Mesela, LEP’te 50 GeV’e kadar olan elektron ve pozitron hızlandırıcılarında siklotron
yarıçapı ρ=3100 m. ve makinenin uzunluğu 27 kilometredir. Böylece devir ve parçacık başına
sinkrotron ışınımı sayesindeki enerji kaybı 0,18 GeV dir. Hızlandırcı kafeste 650 devir ve
yaklaşık 59 milisaniyelik uçuş süresi sonunda parçacıkların enerjisi, kendi enerji değerlerinin
yarısına düşer. 1.10.’a göre, LEP ’in iki katı enerjiye ulaşmak için, aynı çeşit rf kaviteleri olan
ancak siklotron yarıçapı 16 kat büyük olan bir makine yapılması gerekir.
Bununla beraber, bu sınırlandırmalar başka amaçlarla kullanılabilir. Dairesel
yörüngedeki elektronların yörüngeye teğet olarak θ açısıyla ışık konisi şeklinde ışın yaymaları
aşağıdaki gibi verilir.
  1
v2

c2
mc 2
511

W
W keV 
1.11.
(Ultra rölativistik durum yani ışık hızına yakın hızlarda) [LaLi70] θ=10-4 o ile θ=10-5 o
arasındaki açılar için elektronların enerjileri 90 MeV ile 1GeV arasında bulunur.
Bu hizaya sokulmuş demetler sonradan hedefe yüksek bir kesinlikle nüfuz ettirilebilir.
Sinkrotron ışınımının bu özelliği endüstriyel uygulamalar içinde araştırılmaktadır.
Gözlenen frekanslar X-ışınlarından kızıl ötesi bölgesine kadar gider ve ultraviyole ışık
ile görünür ışığı verir.
Sinkrotron ışınımının diğer bir karakteristiği, spekturumun siklotron frekansının
yüksek harmoniklerini içermesidir ve bu durum maksimumu  cyc /  syn  0,44 ’te bulunan
sürekli bir fonksiyon olarak Şekil 1.14. ‘de görülmektedir. Burada
 W 

 mc 2 
2
 syn   cyc 
ve W dairesel yörüngedeki toplam enerjisidir.
2.HAREKET DENKLEMLERİ
Sinkrotron hızlandırıcılarında, yüklü parçacıklar dipol ve doğrusal bölümlerin
tanzimiyle tanımlanan kapalı bir yörüngeyi takip etmeye zorlanırlar. Sekil 2.1. bu kapalı
yörünge, sinkrotronların tasarımındaki ideal yörüngedir.
Sinkrotron hızlandırıcıları parçacık demetlerini uzun bir süre boyunca hızlandırmak ve
saklamak için güvenilir makineler olmalıdırlar. Bu yüzden parçacıkların tüm zamanlarda ideal
yörüngeye en yakın olacağı başlangıç koşullarını tespit etmek esastır. Bu ideal yörüngenin
kararlılık problemidir. Sinkrotronlarda; magnetlerin, doğrusal bölgelerin ve rf boşluklarının
yerleştirilmesinde sağlam bir tasarım yapılmak zorundadır. Parçacıkların momentumunun
doğrultu ve büyüklüğündeki küçük hatalar, hızlandırma ve sınırlandırılmış alanlardaki
kusurlar demetlerin dinamiğine sezilebilir bir etki yapmamalıdırlar.
Sinkrotronun ideal yörüngesindeki kararlılık ile güneş sisteminin kararlılık problemi
yakın benzerlik gösterir. [Mos78]her ikiside küçük düzensizlikler altında devam eden
periyodik hareketlerle ilgilidir. Bununla beraber, söz konusu gözlem süreleri tamamen
farklıdır. ????????????????
Genellikle parçacık demetleri gaussien bir şekle sahiptir ve herbiri ideal yörüngeye
yakın bir yörüngeyi takip etmek zorundadırlar. Demetlerin tutarlılık ve ömürlerini
sürdürmeleri için, parçacıklar ideal yörüngedeki kastedilen pozisyonda enine salınırlar. Bu
enine salınımların devamlılığı, magnet kafesi boyunca bulunan değişken gradyent kuadropol
çiftleri ile sağlanır. Makinedeki sextupoller boyuna momentum hatalarını düzeltmek için ve rf
boşlukları parçacıkları hızlandırmak için yerleştirildiğinde, lineer olmayan etkiler ideal
yörüngenin kararlılığını etkileyerek, demetin dinamiğini bozarlar.
Eğer demetlerin yoğunluğu küçükse, ideal yörüngenin kararlılığını sağlamak zor değildir.
Demet içinde bulunan saçılma ve uzay-yükü etkileri ihmal edilebilir ve hızlandırıcıdaki
magnetik alanlar sadece dipoller ve kuadropollerdir.
Burada, sinkrotronun ideal yörüngesinin kararlılık problemi sinkrotron vakum odası boyunca
yüklü parçacığın genel hareket denklemeleri çıkartılarak formüle edilmiştir. Doğrusal
bölgelerin, dipollerin, kuadropollerin, rf boşluklarının bulunduğu durumlardaki ideal
yörüngenin kararlılığının analizi yapılmaktadır. Sonuçlar bununla ilgili diğer lineer olmayan
problemlerin analizi için temel oluşturacaktır.
2.1. ENİNE DÜZLEMDEKİ HAREKET DENKLEMLERİ
Sinkrotron ideal yörüngesi başlangıçtan beri dairesel şekle yakın olan bir kapalı
yörüngedir. İdeal yörüngenin yatay düzlemde olduğunu ve Z yönünde magnetik alan içeren
dipolü göz önüne alabiliriz. Laboratuar referans çerçevesi (X,Y,Z) ‘nin orijini ideal
yörüngenin iç bölgesinde bir noktadır. Şekil 2.1.
Tasarım aşamasında, demet hemen hemen ideal yörüngeyi takip eden eşzamanlı
parçacık tarafından tanımlanmıştır. İdealde, demetin kütle merkezi eş zamanlı parçacığın
konumudur. Sinkrotronun ideal yörüngesi, eş zamanlı parçacığın yörüngesidir. İdeal
yörüngenin kararlılığı, eş zamanlı parçacığa yakın başlangıç koşulları ile parçacığın
yörüngesinin sınırlanmaması problemine özdeştir.
Demetin kararlılığını çalışmak için, orijini eş zamanlı parçacıkta veya demetin kütle
merkezinde olan bir hareketli referans çerçevesi tanımlıyoruz. Bu referans çerçevesinde,
parçacıkların yatay enine hareketi x-ekseni boyunca olan sapmaları ve dikey enine harekette
z-ekseni boyunca olan sapmaları ifade eder. Şekil 2.1. boyuna salınımlar eş zamanlı
hızlandırma işlemi ile tanımlanır.
Pratik bir bakış açısıyla bakılırsa, ideal yörünge; sıraya dizilmiş dipoller, birbirine
eklenmiş doğrusal bölgeler, elektrik ve magnetik alanlardan bağımsız bölgelerle tanımlanır.
Şekil 2.2. dipollerde ideal yörünge  yarıçaplı (siklotron yarıçapı) bir daire parçasıdır.
Doğrusal bölgelerde ideal yörünge, vakum odasının simetri ekseni tarafından belirlenir.
Kuadropoller ve sextupoller gibi özel amaç magnetlerinin simetri eksenleri doğrusal
bölgelerin simetri eksenlerine denktir. Şekil 2.2.
Genelde, dipollerdeki eğriliğin merkezi laboratuar referans çerçevesinin merkezi ile
uyuşmaz. Böylece tüm hızlandırıcıdaki parçacıkların hareket denklemleri, her bir hızlandırıcı
örgü elemanı içindeki hareket denklemlerinin bir araya gelmesiyle ve ideal yörüngenin
sürekliliği sağlanacak şekilde belirlenir. Şekil 2.1’de verilen ideal yörüngeye dik enine
hareket düzlemlerindeki yüklü parçacıkların yörünge denklemlerini türetmek için iki farklı
strateji türetmek mümkündür. Birinci durumda, sinkrotronun her bir kısım veya elementindeki
hareket Lorentz denklemi ile tanımlanabilir. Bu kuvvetler ele alınan makinenin her bir
elemanı için özel forma sahiptir. Hareketin tam denklemi sinkrotronun her bir kısmındaki
hareket denklemlerinin, sürekliliğini sağlayarak bir araya getirilmesiyle bulunur. Bu koşullar
altında parçacıkların yörüngeleri makinenin (s) boyuna koordinatının sürekli fonksiyonlarıdır,
ama enine hızlar ve kuvvetler sürekli değildir.
İkinci yaklaşım Hamiltoniyen dinamiğine dayanır. Laboratuar referans sisteminin
koordinatlarında , rölativistik Hamiltoniyen fonksiyonu
H  qV  W02  c 2  p  qA2
şeklindedir.
Burada V ve A sırasıyla elektromagnetik alanın skaler ve vektörel potansiyelleridir.
İdeal yörüngeye dik olan düzlemdeki hareket denklemlerini türetmek için, değişkenlerin
laboratuar referans çerçevesi koordinatlarından, harejet referansı çerçevesi koordinatlarına bir
kanonik dönüşümünü gerçekleştirmek mümkündür. [CoS58] Bununla beraber, bu kabul
edilen dönüşümlerin teorisi sinkrotron boyunca sürekli olmayan h fonksiyonunun
kanonikliğine sıkı bir şekilde bağlıdır.bu yaklaşım analitik ve Lie grup perturbasyon
(tedirgenme) tekniklerine dayanan gelişimlerin önünü açar. [Fo86]
Bu iki yaklaşım farklı doğaya sahiptirler ancak sonuç ikisinde de aynıdır. [EdS93]
Genel olarak, fiziksel güçlüğü ve yaklaşımların doğasını kontrol altına alan ve sinkrotron
tasarımındaki geometrik anlayışa imkan veren ilk yaklaşım benimsenmiştir.
2.1.1. DOĞRUSAL KISIMLARDAKİ ENİNE HAREKET
Sinkrotronların, dış kuvvetlerin bulunmadığı basit doğrusal bölmelerinde, eş zamanlı
parçacıkların hareket denklemleri açıkça elde edilmiştir. Hız sabittir ve eş zamanlı parçacığın

momentumu laboratuar referans çerçevesinde p s  mv s e s dir. Burada es hareket doğrultusuna
teğet olan birim vektördür. es= es (ex, ey, ez) şeklinde gösterilir. Lorentz denklemi Lorentz
dönüşümleri altında değişmez olduğundan laboratuar çerçevesinde ve düzgün olarak hareket
eden enine çerçevede hissedilen kuvvetler sıfırdır. Yani enine hareket düzlemine dik
doğrultuda

dp s 
= 0 dır. Burada tı eş zamanlı parçacığın onun çerçevesindeki uygun
dt 
zamanıdır. Eş zamanlı olmayan parçacık için, Δs’i enine hareket düzleminden orijine olan ve
es doğrultusunda ölçülen uzaklık olarak tanımlarız.

dp s 
=0,    1 / 1  v 2 / c 2 , tı=t/γ,
dt 
Δpı=mγıdΔs/dtı olduğundan;
2
dp  m d 2 s
2 d s


m

0
dt 
dt  2
dt 2
2.1.
bulunur. Burada t; γı=1 iken vı<<c yaklaşımında tanımlanan laboratuar referans
çerçevesindeki zamandır. 2.1. denklemi eş zamanlı parçacıktan küçük sapması olan eş
zamanlı olmayan parçacığın hareket denklemidir ve rölativistik olmayan sabit momentum
sapması, es boyunca Δpı dür.
(s,x,z) koordinatlarındaki eş zamanlı parçacığın uygun referans çerçevesinde



dp  / dt   m dv  / dt   mdv  / dt   0 denklemlerinden bulunan enine hızlardaki küçük rölativistik
olmayan düzensizliklere izin verilebilir, hareket denklemleri;
m 2
d 2x
dt 2
 0 , m 2
d 2z
0
dt 2
2.2.
dır. Burada t=γtı laboratuar referans çerçevesindeki uygun zamandır.
Şimdi hızlandırıcının ideal yörüngesi boyunca olan ark’ın uzunluğunun ölçümü olan s
parametresini tanımlayalım.
s = vst
2.3.
olsun, burada vs, eş zamanlı parçacığın boyuna hızıdır. s bağımsız bir koordinat olmak üzere
2.1. ve 2.2. denklemleri aşağıdaki denklere dönüştürülür.
m 2 v s 2
d 2x
ds 2
 0 , m 2 v s 2
d 2z
ds 2
 0 , m 2 v s 2
d 2 s
ds 2
0
2.4.
mγ2vs2 sabit olduğundan üstteki denklemler aşağıdaki şekilde basitleştirilebilir.
d 2x
ds 2
=0,
d 2z
ds 2
=0,
d 2 s
ds 2
=0
2.5.
Eş zamanlı parçacık için, başlangıç koşulları ve hızları sıfırdır ve 2.5. ‘in çözümleri
x(s) =0 , z(s)=0, Δs(s)=0 dır. Yani doğrusal bölümlerde laboratuar referans çerçevesindeki eş
zamanlı parçacığın boyuna konumu 2.3. denklemi ile tanımlanmıştır ve eş zamanlı olmayan
parçacık enine hareketli düzlem içerisinde düzgün bir harekete sahiptir.
2.1.2. ÖZEL AMAÇ MAGNETLERİ İÇEREN DOĞRUSAL BÖLMELERDEKİ
ENİNE HAREKET
Sinkrotron makinelerinde, kuadropol ve sextupol gibi özel amaçlı magnetleri 1.6.1. ve
1.6.3. kesimlerinde tartışıldığı gibi demetlerin optik özelliklerini kontrol eden statik magnetik
alanlar oluştururlar. Optik özellikler parçacıklar ideal yörünge boyunca enine yayılımları

tarafından belirlendiği için odaklayıcı ve toparlayıcı magnetik alanın ( B ) boyuna bileşeninin
değişimi mümkün olduğu kadar sıfıra yakın olmalıdır. Bu yaklaiım magnetlerin sınırlı
boyutlarına bağlı etkiler ihmal edildiğinde gerçekçi olur. Yani, özel amaç magnetleri
tarafından oluşturulan magnetik alanların sadece enine koordinatlar olan x ve z ‘nin
fonksiyonu olduklarını varsayabiliriz.

Makinenin vakum odasında akımların ve yüklerin olmama durumda, rot B = 0

Maxwell denklemi tarafından, B = -gradV iken V (x,z) magnetostatik potansiyel fonksiyonu

oluşur. Vektör alan B (x,z) nin bir analitik fonksiyon tarafından tanımlanabildiği hipotez
altında, bunu daha kullanışlı çok kutup formda yazabiliriz. [IsN88],

B( x, z )  B z ( x, z )  iBx ( x, z )  B0

 n! (b
1
n
 ian )( x  iz) n
2.6.
n 0
Bo dipol kılavuz alanının şiddetidir ve Bo >0 dır. bn/n! ve an/n! ise boyutları [bn]=[an] =m-n
olan n kutuplu magnetik gradiyentlerdir. Tablo 2.1. de n-kutuplu magnetostatik alanın
bileşenleri tanımlanmıştır.

B = -gradV olduğundan, magnetostatik skaler potansiyeli an ve bn parametreleriyle
tanımlanan iki bileşene ayırabiliriz.
V(x,z)= Va(x,z)+Vb(x,z)
Burada Va
2.7.
ve Vb fonksiyonlarının her ikisi de Laplace denklemini sağlarlar.
 2Va ( x, z) =0 ve  2Vb ( x, z) =0
(Couchy-Riemann bağıntılarından.) Bu sebeple, Va ve Vb
fonksiyonlarının ikisi de birbirleriyle ortogonal olan Va= sabit1 ve Vb=sabit2 eğrileri ile
magnetostatik alanları tanımlarlar. [FeL64] Bu katsayı normal çok kutuplara ve an katsayısı da
birbirne eğrisel olan çok kutuplar karşılık gelir.
n-kutuplu magnetostatik alanlardan magnetostatik potansiyelleri türetebiliriz. 2.6. daki
her bir bileşenin integralinden ve 2.7. ‘nin ayrıştırılmasından, Tablo 2.2. ‘de gösterilen nkutuplu magnetostatik potansiyelleri elde edebiliriz.
Diğer taraftan, magnetlerin demir gövdesinin iç yüzeinin eş potansiyel çizgileri
oluşturmasıyla, n-kutuplu magnetlerin iç şekillerin tasarımında Tablo 2.2.’ deki ifadeleri
kullanabiliriz. Şekil 2.3. ‘de magnetik n-kutupların eş potansiyel çizgileri gösterilmiş ve karşı
gelen magnetik alan bileşenlerin yönleri normal ve eğrisel magnetler için belirtilmiştir.
Hareketli referans çerçevesindeki parçacığın enine hareketi rölativistik değilse, γı=1 ile
Lorentz kuvvet kanunu tarafından hareketli enine eylemsizlik düzlemi içindeki hareket
denklemleri aşağıdaki gibidir;
m 2
d 2x
dt
2
 
 q ( v B ) x
2.8
m 2
d 2z
dt
2
 
 q(v B) z
Burada q ve m test parçacığının sırasıyla yükü ve kütlesidir, t ise laboratuar referans
çerçevesindeki zamandır. Boyuna değişken s=vst ile 2.3 ve 2.8’de verilen denklemler
aşağıdaki gibi tekrar yazılabilir.
d 2x
ds
2

q
m
2 2
vs
 
(v B) x
2.9
d 2z
ds
2

q
m
2 2
vs
 
(v B) z
Bunlar ideal yörüngeye dik düzlemdeki test parçacığının hareket denklemleridir, ve
bağımsız değişken sinkrotronun ideal yörüngesinin arkının uzunluğudur. (s)
Şimdi n>0 iken 2.9 denklemini magnetik n-kutupların belirli çeşitleri için ayrı ayrı ele
alalım. Dipollerin n=0 olma durumu 2.1.3. te anlatılacaktır.
Kuadropoller için, Tablo 2.1 den
 
v B =Bo(-vsb1x
+
vsa1z)ex+Bo(vsa1x+vsb1z)ez+Bo(vxb1x-vza1x-vxa1z-vzb1z)es’dır.
v x  v s ve v z  v s olduğundan Bo(vxb1x-vza1x-vxa1z-vzb1z)=0 yaklaşımını yapabiliriz ve
kuadropollerin simetri eksenine yakın olan test parçacığının enine hareket denklemleri
aşağıdaki gibidir.
d 2x
ds
2

q b1
q a1
x
z
q 
q 
2.10
d 2z
ds
2

q b1
q a1
z
x
q 
q 
burada m  vs/ q Bo=  aldık.
Aynı şekilde, sextupollerin simetri eksenlerine yakın olan test parçacığının hareket
denklemleri ise;
d 2x
ds
2

q b2
q a2
(x 2  z 2 ) 
xz
q 2
q 
2.11
d 2z
ds
2

q b2
q a2
xz 
(x 2  z 2 )
q 
q 2
şeklindedir.
2.1.3 DİPOLLER İÇİNDEKİ ENİNE HAREKET
Şimdi dipollerin içindeki test parçacığının hareket denklemlerini çıkaralım. Bu
durumda, enine hareket düzlemi artık laboratuar çerçevesine bağlı eylemsizlik çerçevesi
değildir.
Dipollerin bölgesinin içinde ideal yörünge daireseldir ve eğriliğin merkezinin
laboratuar referans çerçevesinin orijininde olması önemli değildir. İdeal yörüngenin eğrilik
merkezinde orijini olan (Xı, Yı, Z) koordinatlarında yeni bir referans çerçevesi ele alınsın
Şekil 2.4. Bu yapıda, yeni referans çerçevesi laboratuar çerçevesine göre eylemsizdir. Bu yeni
eylemsiz çerçevede, Lorentz eşitlikleri
m

d 2r 
dt
Silindirik
2
 
 q ( v B )
koordinatların
r  (r  r  2 )er   (2r   r )e  ze z ,
tanımı,
Xı=rı
cosθ
Yı=rı
Cosθ
Z=z,
şeklindedir. Buan göre Lorentz denklemleri aşağıdaki gibi
yazılabilir.
m
d r
2
dt 2
2
 d 
 mr 
  q(vB) r 
 dt 
2.12.
m
d r
2
dt 2
2
 d 
 mr 
  q(vB) z
 dt 
Yaklaşımlar; r d / dt  v ve r      x  ( p s  p) / q B0  x    p / p s  x , burada Δp
boyuna momentum sapması ve ρı ise hızı v olan parçacığın siklotron yarıçapıdır. (2.12.)’deki
birinci denklemaşağıdaki şekli alır.
d 2x
dt 2
2

vs
q

(vB) x
p
m

x
ps
Bağımsız değişken s= vst ile, 1 /(   p / p s  x)  (1  x /   p / p s ) /  ve er, ex gibi iki
doğrultulu aynı zamanlı olduğundan, son denklem aşağıdaki şekilde basitleştirilir.
2
d x
ds
2

x

2

1


q
mv
2
(vB) x 
p
p s
2.13.
Tablo 2.1.’deki dipollerden, vB  (v s B0 b0 )e x  (v s B0 a0 )e x  B0 (v x b0  v z a0 )es ’yi elde
ederiz. v x  v s
ve
v z  v s olduğundan B0(vxbo-vza0)=0 yaklaşımı yapılır. Denklem
(2.13.)’e magnetik kuvvetin değerleri eklendiğinde dipol içinde ve ideal yörüngeye dik
düzlemde, eşzamanlı olmayan test parçacığının hareket denklemleri;
2
d x
ds
2

q
q
p
p
p
1 
x
x
1  bo    2 b0

 2 


 q

p s p s
p s
q

2.14.
2
d z
ds
2

q a0
q 
olur. Burada ρ= m γv/(|q| B0), ps = mγvs dir.2.6. ‘daki magnetik alanın dipolar alan katsayısı
Bo ile çarpımından ve eş zamanlı parçacığın hareket doğrultusunun yük ve dipol alanın
işaretleri ile uygun olduğundan q bo/ |q| = 1 olduğunu kabul ettik. Bu kabulle bo=  1 olur.
B0>0 iken b0=1 saatin ters yönünde dolanan protonlar için ve b0=-1 ise saat yönünde dolanan
elektronlar içindir.
(2.5.), (2.10.),(2.11.) ve (2.14.) denklemleri ideal yörüngeye yakın test parçacığının
enine hareketini veren, sinkrotron içindeki enine hareketin kararlılığını analiz eden temel
denklemlerdir. Aşağıdaki kabullerle,
K x ( s)  1 / 
( 0)
2
, K x(1) (s)  qb1 ( s) / q  ,
K x ( s )  qb2 ( s) / q 
( 2)
2.15.
K z(0) (s)  0 ,
K z(1) ( s )  qb1 ( s ) / q 
,
K z( 2) ( s )  qb2 ( s ) / q 
bu denklemler aşağıdaki şekilde yazılabilir.
2
d x
ds 2
( 2)

K ( s) 2
p
( 0)
(1)
2
 K x ( s) x  K x ( s) x  x
( x  z )  .....
 ( s) p s
2
2.16.
2
d z
ds
2
  K z(1) ( s ) z  K z( 2) ( s ) xz  ....
burada an ≡ 0 (n>0) ile basitleştirdik ve noktalar yüksek magnetik n-kutup terimlerini ifade
etmektedir. n-kutup magnetlerin yerleşimi K x( n, z) ( s ) katsayılarının boyuna bağımsız değişken s’e
bağlılığı tarafından verilir. K x( n, z) ( s ) fonksiyonları s’de maximum ???????????????
Burada Ls sinkrotronun ideal yörüngesinin ark uzunluğudur. Şekil 2.5’de CERN Antiproton
Akümülatöründeki dipollerin ve kuadropollerin K x(0) ( s) , K x(1) ( s) ve K z(1) ( s) fonksiyonları ile
verilen dağılımları gösterilmektedir.
Sinkrotronun tasarım aşamasında analiz denklem 2.16’da sadece dipolar ve
kuadropolar terimler varsayılarak basitleştirilebilinir ve enine hareket denklemleri lineer hale
gelir. Bu analiz ve tasarımı basitleştirir.
İdeal yörüngenin kararlılığı sonradan lineer otonom olmayan denklem sisteminin
kaynağının kararlılığını özdeştir. Daha yoğun ve daha yüksek enerjili demetlerin, ceya
sextupol ile ilgili terimlerin, non-lineer etkilerin varlığı, ideal yörüngenin kararlılığı ile
yakından ilgilidir. Sextupollerin momentum odaklamasını sağlayan en basit mekanizmalar
oldukları gibi, ideal yörüngenin lineer olmayan kararlılık analizi ise, sinkrotronların
performansı için asıl problemlerden birisidir.
2.2.İDEAL YÖRÜNGE VE KARARLILIĞI
Sinkrotronun tasarımındaki ilk adım ideal yörüngeyi tasarlamaktır. Bu yörünge
dipollerin ve doğrusal bölgelerin düzenlenmesiyle tanımlanır. Kuadropoller, sextupoller, rf
boşlukları, vakum pompaları, çıkarma, deneysel ve enjekte bölgeleri doğrusal bölgelerde yer
alırlar.
Burada gelişen bakış açısıyla, buradaki hedef genel koşullar altında ideal yörüngenin
kararlılığını tanımlamaktır, tasarım parametreleri demet tarafından oluşan maksimum enerji
ile toplam sayı, sinkrotron ve doğrusal bölgelerin uzunluğunu oluşturmada kullanılan dipol ve
kuadropollerin güçleri ile tanımlanır. Doğrusal bölgelerin uzunluğu, donanımların boyutlarına
bağlı olarak seçilmelidir. Tasarımın uygulanabilir olması, rf boşlukların magnetlerin
yapılarında seçilen teknoloji ve malzemelere bağlıdır.
Denklem 2.16. ile ideal yörüngenin düzensizliklerinin nasıl hesaplanacağına basit bir
örnek üzerinde bakılırsa, dört dipolü ve dört doğrusal bölgesiyle uzunluğu ds= 2,0 m olan
basit bir sinrotron düşünelim. Birimleri normalize etmek için, eş zamanlı parçacığın boyuna
hızını vs=1 şeklinde seçelim, bükülme yarıçapı ρ=1 ve dipol katsayısı b0 = 1 olsun. Şimdilik
momentum sapmasını Δp= 0 alalım. Bu durumda, ideal yörüngeden yatay sapan test parçacık
için, dipollerdeki enine yatay hareket denklemleri xt   x d . Denklem 2.14. ve doğrusal
bölgelerdeki xss  0 denklem 2.15. dir. bu denklemlerin çözümleri
x d (s)  x d 0 cos(s  s 0 )  x d 0 sin(s  s 0 )
2.17.
x ss (s)  x ss0 (s  s 0 )  x ss0
burada x d 0 , x ss0 , x d 0 ve x ss0 ideal yörüngenin normali doğrultusundaki enine yatay başlangıç
pozisyonları ve hızlarıdır. Noktalar ideal yörüngenin boyuna parametresi s’e göre türevi
belirtir.
Şekil 2.6.a. ‘da ideal yörüngenin parameterizasyonu gösterilmiştir. İdeal yörüngenin
uzunluğu Ls= (2π+8) m. dir. diğer yandan dipollerin yerleşimi ise s  [1,1+π/2],
s  [3+π/2,3+π], s  [5+π,5+3π/2], s  [7+3π/2,7+2π] ve sıfır için K x0 (s)  1 fonksiyonunca
belirlenir. Bundan dolayı enine hareketin kararlılığı için denklem;
x   K x(0) (s) x
2.18.
Denklem 2.18., x için lineerdir fakat değişken katsayı K x(0) ( s) katsayısına sahiptir.
Denklem 2.18. ‘in çözümü, 2.17. çözümlerinin dipolar ve doğrusal bölgeler arasındaki geçiş
noktalarında birleştirilmesiyle elde edilir.
İdeal yörüngeden enine olarak sapan parçacığın dinamik davranışını analiz etmek için
ideal yörünge boyunca olan 2.17.’nin parametrik çizimine bakılmalıdır. Şekil 2.6.b. ‘de s=0
‘da enine yatay doğrultu boyunca başlangıç koşulları x d 0  0,01 ve x d 0  0 olan parçacığın
yörüngesi verilmiştir. Yörüngeden görüldüğü gibi test parçacığı ideal yörüngeden sapar.
Parçacık paketçikleri için ve parçacıklar arası etkileşme olmadığı durumda paketçiğin
enine boyutları bağımsız değişken s boyunca artan bir genlikle salınır. Eğer sinkrotronun
içindeki süreklilik zamanı büyükse, parçacıklar dipollerin içindeki vakum odasının içine
çarparlar ve demet kaybolur. Bu örnekte, parçacık yörüngesinin ideal yörünge dışındaki
başlangıç koşulları kararlı değilse, görülmelidir ki eğici magnetler arasındaki düz kısımların
keyfi belirlenmesi demette kararsızlığa yol açar.
Genel çözümler (2.17.) matris formunda yazılabilir.
 x d ( s)   cos(s  s 0 )

  
 x d ( s)    sin(s  s 0 )
sin(s  s 0 )  x d 0 
x 

  A( s  s 0 ) d 0 
cos(s  s 0 )  x d 0 
 x d 0 
2.19.
ve
( s  s 0 )  x ss0 
x 
  B( s  s 0 ) ss0 

1  x ss0 
 x ss0 
 x ss ( s)   1

  
 x ss ( s)   0
2.20.
Burada A(s-so) ve B(s-so), hızlandırıcıdaki parçacığın s’deki hızı ve pozisyonu ile
s=so’daki hızı ve pozisyonu ile bağdaştıran transfer matrisleridir.
Dipollerin ve doğrusal bölgelerin uzunlukları sırasıyla π/2 m. ve 2 m. olduğundan
makinenin bir turu sonunda, s0=0 ‘da başlangıç pozisyonu ve hızı x0 ve x 0 olan bir parçacık
aşağıdaki şekilde pozisyona ve hıza sahip olur.
 x( L) 

 = B (1)
 x ( L) 
1
4
= 
n
tur
 x0 

 x 0 
A(π/2) B(2) A(π/2) B(2) A(π/2) B(2) A(π/2) B(1) 
0  x 0 
 
1  x 0 
sonunda,
2.21.
x(nL)  x(( n  1) L)
ve
x (nL)  4 x(( n  1) L)  x (( n  1) L) olur.
Fark
denklemlerinin çözümleri x(nL)  x0 ve x(nL)  4nx0  x 0 dır. Büyük n için, enine hız artar ve ilk
dipol içinde dairesel yörünge sürüklenir ve parçacık vakum odasına çarpar. Böylece, bu
durumda, ds = 2 olduğunda ideal yörünge kararsızdır.
Şimdi doğrusal bölgelerin boyuna ds değişkeni olarak alalım ve dipollerin boyunu
π/2’ye sabitleyelim. 2.19. ve 2.20. denklemlerinden 2.21. denklemi aşağıdaki şekilde yeniden
yazılabilir.
 x( L)  1  2ds 2  ds 4 / 2

  
3

 x ( L)    2ds  ds
3
5
2ds  3ds / 2  ds / 4  x0 
 
1  2ds 2  ds 4 / 2  x0 
2.22.
Kesikli fark denklemi 2.22. ‘nin çözümleri x(nL)  c11n  c 2 n2 ve x(nL)  c3 1n  c 4 n2 dir.
Burada λ1,2 (2.22.) ‘deki matrisin öz değerleridir ve ci katsayılar da başlangıç koşulları ile
tanımlanır. [Ar74] Özdeğerler 1,2  1  2ds 2  ds 4 /  ds(ds 2  2) ds 2  4 / 2 olduğundan |λ1,2|=1
şekline dönüşür ve ds< 2,0 için |Gerçel (λ1,2)|  1,0 olur. Bundan dolayı eğer doğrusal
bölgelerin uzunluğu ds<2,0 olursa, ideal yörünge karalı olur. (Şekil 2.7) Bu basit örnek, ideal
yörünge kararlılığının doğrusal bölgelerin uzunluğuna bağlı olduğunu gösterir.
Daha genel bir durumda, dipol bükme açısı =2π/n ve doğrusal bölgelerin uzunluğu ds
olduğunda, makinedeki doğrusal bölge sayısını “n” alırız. M test parçacığının enine yatay
pozisyonu ve hızı ile sinkrotronun önceki turdaki pozisyon ve hızı arasında bağıntı kuran
matris olsun. Bu yapıda
M= B(ds/2)(A()B(ds))n-1A ()B(ds/2)
Denklem 2.20. tarafından detB=1, B(ds/2)-1 M B(ds/2)=(A()B(ds))n olduğundan M
matrisleri ve B(ds/2)-1 M B(ds/2) çiftlenimli (konjuge) ve öz değerleri aynıdır. Diğer taraftan
eğer {λi} C matrisinin öz değerlerinin grubu ise, Cn ‘nin özdeğerleri {λin} dir. yani eğer λ1 ve
λ2 A() B (ds) matrisinin özdeğerleri ise M’nin özdeğerleri λ1n ve λ2n dir. bu yüzden iideal
yörüngenin kararlılığı A() B(ds) matrisinin özdeğerleri tarafından tanımlanır.
Bu koşullar altında ve dipollerin xd   x /  2 eşitliği ile genel çözüm
x d (s)  x d 0 cos((s  s 0 ) /  )  x d 0 sin((s  s 0 ) /  )
ve
2.23.
 cos 

A( ) B(ds)   sin 
 

ds cos    sin  

ds
cos   sin  


burada =(s-s0)/ρ dur. A()B(ds) ‘nin özdeğerleri;
1,2  cos  
ds
sin 
sin  
2
2
ds sin   4ds cos   4  sin 
2
2
2.24
Daha önce gördüğümüz gibi sinkrotronun ideal yörüngesi eğer |Gerçel λ1,2| < 1 ise
yatay olarak kararlıdır. Böylece 2.24.’den
ds 
2
2

tan  sin 
2.25.
ve dipolerden ve doğrusal bölgelerden yapılmış basit sikrotronun ideal yörüngesini kararlı
hale sokmak için, 2.25. koşulu sağlanmalıdır. Şekil 2.8.
Boyuna momentum sapması ile durumu analiz etmek için Δp/ps  0 (2.14.) dipoller
için olan denkleme bakarız.
x d s   
xd   x d /  2  p /  p s   ,
bunun çözümü ;
p 
p 
 cos   x d 0 sin 
  x d 0  
ps 
p s 
2.26.
ve genel hareket denklemi
x   K x(0) ( s) x  X ( s)
p
p s
2.27.
Burada dipol içindeki parçacık için X (s)  1 , diğer durumda X (s)  0 olur. Hareket
denklem çözümlerinin matris formları ise
 x d ( s)  p / p s   cos 

 
x d ( s)

    sin  / 

 
p / p s
0

 
 sin 
cos 
0
0  x d 0  p / p s 


0 
x d 0




1 
p / p s

2.28.
 x d 0  p / p s 


 A
x d 0



p / p s


dipoller içinde ve
 x ss ( s)  p / p s   1

 
x ss ( s)

  0

 0
p / p s

 
(s  s 0 )
1
0
0  x ss0  p / p s 


0 
x ss0




1 
p / p s

 x ss0 ( s)  p / p s 


 B
x ss0




p
/
p
s


Doğrusal bölgeler içinde.
Momentum sapması olduğunda ideal yörüngenin kararlılık analizi için aynı tekniği
takip ederiz. Yukarıda gibi (2.28.) ve (2.29.)’dan
 cos 

A( )  B(ds)    sin  / 

0

ds cos    sin 
cos   ds sin  / 
0
0

0
1 
A() B(ds) matrisinin özdeğerleri (2.24.) ile verilen λ1,2 dir ve λ3 =1 dir. böylece eğer
momentum sapması dahil edilirse, ideal yörüngenin kararlılık özellikleri değişmez ve 2.25.
şartı doğruluğunu sürdürür. Bununla beraber, bu durumda eğer Δp/ps  0 ise kapalı yörünge
yeni yatay koordinat x*=ρΔp/ps ile yeniden tanımlanmalıdır ve eski kapalı yörünge etrafındaki
salınımlar daha büyük olabilir ve parçacıklar hızlandırıcının vakum odasına çarparlar.
Şekil 2.9.’da ideal yörünge üzerinde başlangıç koşullarında olan parçacığın
yörüngesini Δp/ps=0,02 ve Δp/ps=0,05 olan momentum hataları ile verilmektedir. Açıka
görüldüğü gibi eğer parçacık paketçiğindeki Δp/ps çok fazla artarsa, paketçik kararlı kalır ama
salınımların genliği büyür ve parçacıklar sinkrotronun bakım odasının duvarları karşısında
kaybolur. Parçacık paketçiğindeki maksimum momentum hataları üzerine olan bu sınırlama
sinkrotronların tasarımı ile ilgili olarak diğer sınırlamaları ortaya koyar.
2.3.KUADROPOL ÇİFTLERİNİN ODAKLAMA ÖZELLİKLER
Önceki bölümde, parçacıkların ideal yörüngeden küçük yatay sapmalarından dolayı
ideal yörüngenin kararlılık özellikleri analiz edildi. Dikey enine doğrultu boyunca sapmalar
için demet kararsızdır. Bu yüzden demetteki parçacıkların her iki enine doğrultuda karalı hale
sokabilmek için bir odaklama mekanizması tanımlamaya ihtiyaç duyulur.
Hızlandırıcıda, ikisi de normal ama zıt işaretli gradiyentleri olan bir çift kuadropole
sahip bir doğrusal bölgeyi göz önüne alalım. (Şekil 2.10.) birinci kuadropol için qb1/(|q| γρ)=b
ve a1=0 , ikinci kuadropol için qb1/(|q| γρ)=-b ve a1=0 iken, 2.10. denklemi ile her iki
kuadropol için hareket denklemleri sırasıyla
d 2 x1
ds
2
 bx1
d 2 x2
ds
2
 bx2
2.30.
d 2 z1
ds
2
d 2 z2
 bz1
ds
 bz 2
2
denklem 2.30. ‘un çözümleri
x1 ( s)  x 01 cos( b ( s  s 0 )) 
x 01
b

sin b ( s  s 0 )

z 01
z1 ( s)  z 01 cosh( b ( s  s 0 )) 

sinh b ( s  s 0 )
b

2.31.
x 2 ( s)  x 02 cosh( b ( s  s 0 )) 
z 2 ( s)  z 02 cos( b ( s  s 0 )) 
x 02
b
z 02
b

sinh b ( s  s 0 )

sin b ( s  s 0 )


Bir test parçacığının doğrusal bölgenin başlangıç ve bitişi arasındaki enine pozisyon
ve hızlarının (Şekil 2.10.) matris şeklinde ifadesi 2.20. ve 2.31. denklemlerinden kolayca
oluşturulur.
2.31. denkleminden, her kuadropol için transfer matrisleri srasıyla;


 cos b dQ

  b sin b dQ
A1  
0


0





sin b dQ / b
0
cos b dQ
0






0

sinh b dQ / b 
cosh b dQ 
0

0
cosh b dQ
0
b sinh b dQ






2.32.


 cosh b dQ

 b sinh b dQ
A2  
0


0





sinh b dQ / b
0
cosh b dQ
0




0
cos b dQ
0
 b sin b dQ




0

sin b dQ / b 
cos b dQ 
0





Burada dQ=s-s0 kuadropollerin uzunluklarıdır.
Eğer x0 , z 0 , x 0 ve z 0 test parçacığının ilk doğrusal bölgenin başlangıcındaki
pozisyonları ve hızlarıysa, ikinci doğrusal bölgenin sonunda, (Şekil 2.10)
 x1 
 
 x1   B(ds)
 z    0
 1 
 z 
 1
0   B(dl )
 A2 
B(ds)   0
0   B(ds)
 A1 
B(dl )   0
 x0 
 
0  x 0 
 
B(ds)  z o
 
 z 
 0
2.33
 x0 
 
0
 x 0 

B(ds)C1 B(dl )C 2 B(ds)  z 0 
 
 z 
 0
 B(ds)C 2 B(dl )C1 B(ds)
 
0

Buradaki B matrisi (2.20)’de tanımlanmıştır ve



 cos b dQ
C1  

  b sin b dQ




sin b dQ 

b

cos b dQ 





 cosh b dQ
C2  

 b sinh b dQ




sinh b dQ 

b

cosh b dQ 


2.34.
B(ds)C2B(dl)C1B(ds) ve B(ds)C1B(dl)C2B(ds) matrislerinin özdeğerleri aynıdır ve
böylece değişken gradiyentli kuadropol çiftlerinin dinamik özellikleri yatay ve dikey
doğrultuların her ikisinde de aynıdır. Bundan dolayı bir doğrultuda kararlılığı belirleyen
sistemin dinamik davranışına bakmak yeterlidir.
x 
 x1 
   B(ds)C 2 B(dl )C1 B(ds) 0 

x
 1
 x 0 
2.35.
|Gerçel(λ1,2)| < 1,0 kararlılık koşuluyla, sistemin fark denklemleri eğer aşağıdaki koşul
sağlanırsa kararlıdır.
|Gerçel(λ1,2)|= |cosh( bdQ ) (cos( bdQ )- (dl/2+ds) b sin( bdQ )
+ sinh ( bdQ ) ((dl/2+ds) b cos( bdQ )-b dl ds sin ( bdQ )) | <1
2.36.
Yeni değişkenler x1= bdQ , x2=dl/dQ ve x3= ds/dQ ile, 2.36. koşulu aşağıdaki gibi
yazılabilir.
|cosh(x1)(cos(x1)-(x1x2/2+x3) sin (x1))
+ sinh(x1) ((x1x2/2+x3) cos (x1)-x12 x2 x3 sin (x1)) | <1
2.37.
x1=0 etrafındaki Taylor serilerinde 2.37. ‘yi geliştirirken |1-2x13 x3/3- ...| <1 ‘i elde ederiz ve
küçük x1 =
b dQ için, (2.36.) dQ, b, ds, ve dl gibi bütün parametreler için çözüme sahiptir.
Bu koşullar altında, enine doğrultular boyunca sapan parçacıkları kararlı hale sokan değişken
gradiyentli kuadropol çiftleri için parametre değerlerini seçmek mümkündür.
Şekil 2.11. ‘de 2.37. kararlılık koşulu (x1, x2, x3) uzayında gösterilmiştir.
Değişken
gradiyent
kuadropllerini
geçen
parçacık
demetlerinin
dinamik
davranışlarının analizi için, dQ=1, ds=1,0, b=0,5 ve dl=1,0 parametreleri alınır. 2.36.’dan
|Gerçel (λ1,2)| =0,39<1 dir.
Şekil 2.12.’de ideal yörüngede merkezlenmiş bir daire boyunca dağılmış ve başlangıç
hızları x 0  z 0  0 olan bir grup eş zamanlı olmayan parçacığın yörüngeleri gösterilmiştir.
Birinci yatay odaklama kuadropolünü geçişten sonra (Şekil 2.10. ‘daki A1) parçacıklar dikey
olarak dağılırlar. İkinci kuadropolde (A2), dikey olarak odaklanıp, yatay olarak dağılırlar.
İkinci kuadropolde (A2), dikey olarak odaklanıp, yatay olarak dağılırlar.
Kesim 1.6.3. ‘de gösterildiği gibi, kuadropolleri olmayan ideal sinkrotronlarda, test
parçacığının dikey hareketi daima kararsızdır. Yani değişken gradiyent kuadropol çiftlerinin
tanımlanmasının bir etkiside demette dikey salınımlardan kaynaklanan dikey hareketi kararlı
hale getirmektir. Diğer taraftan değişken kuadropol çiftleri, örneğin deney alanlarının
bulunduğu uzun doğrusal bölgelerindeki yatay düzlem yer değiştirmelerinin kararlılığını
sağlamak için kullanılır. Sinkrotron tasarım terminolojisinde bu bölgelere “magnet ekleme
yerleri” denir. [Bri87]
2.4.BOYUNA HAREKET
Kesim 1.6.2. ‘de görüldüğü gibi sinkrotronun ideal yörüngesini takip ederek eş
zamanlı parçacığı hızlandırmak için, rf boşluğunu 0 ve π arasındaki bir  s fazıyla geçmek
yeterlidir. Rf boşluğunun aralığı boyunca voltaj V(t)= V0 sin 2π  RF t= V0 sin  (t) ve aralığı
geçtikten sonraki
kinetik enerji kazancı W  q V0 sin  s ’dir. Rf-boşluğunun frekansı
 RF  hvs / Ls ’dir. burada h, harmonik sayı )kesim 1.6.2), vs, eşzamanlı parçacığın hızı ve Ls
ise makinenin boyu veya ideal yörünge boyunca ölçülen ardışık iki hızlandırma yapısı
arasındaki uzaklıktır.
Eş zamanlı parçacığın hızlandırılmasından sonra siklotron yarıçapını sabit tutabilmek
için sınırlandırılmış alan B0’ı arttırmak gereklidir. Eş zamanlı parçacık hızlandırma boşluğunu
geçtiği zaman, yeni bir momentum (pı=p + Δp) kazanır ve siklotron yarıçapı ρı=pı/(|q|B0) > ρ
olur. ρı=ρ olması için yeni dipol alanı B0’dan daha büyük olmalıdır. Siklotron yarıçapını sabit
tutabilmek için
B0
dB
dp
p 0
dt
dt
denklemini ifade eden
d
 0 koşulu
dt
sağlanmalıdır ve hızlandırma
metodundaki enerjinin artması
dB
L
dB
dW dW dp

 vs q  0  s q  0
dt
dp dt
dt
s
dt
Burada dW/dp =v s ve τs=Ls/vs eşzamanlı parçacığın hızlandırma boşluğunun ardışık
iki geçişi arasındaki uçuş zamanıdır. Bu yüzden bir rf-boşluklu sinkrotronda eşzamanlı
parçacığın tur başına enerji artışı
W s  L s q 
dB0
dt
2.38
Eğer dB0/dt=sbt ise, eşzamanlı parçacığın her bir turdaki enerji artışının aynı olması
mümkündür. Bununla beraber bu koşul, hızlandırıcı yapının frekansının her hızlandırma
devrinde artması gerektiğini ifade eder.
 RF
h

q
vs
ps


B0 (t )
Ls mLs mLs
 RF ’ nin zamanla değişimi hesaplanabilir. γ=W/W0 ve W2=c2p2+W02=q2c2ρ2B02+W02
olduğundan;
 RF (t )
h

q
mL s
B0 (t ) 
c
Ls
B0 (t )
2
 mc 

B0 (t )  
 q 
2.39.
2
2
olarak elde edilir.
(2.38) ile verilen bir hızlandırıcı yapısının her bir geçişinde kinetik enerjideki sabit
kazanç, (2.39)’a göre rf-boşluğunun frekansındaki eş zamanlı artışı ortaya koyar. (2.39 )
denklemi hızlandırıcı kuvvet ile sınırlandırılmış alanın eş zamanda olmasını, siklotron
yarıçapının sabit tutulmasını sağlayan önemli bir ilişkidir. Diğer taraftan W  q V0 sin  s
olduğundan ve (2.38)ile karşılaştırılmasından;
Ls 
dB0
 V 0 sin  s
dt
2.40
Bu denklem hızlandırma boyunca V0sin  s ’nın sabit olduğunu ifade eder.
Sinkrotronun
uygulama
imkanı
için
diğer
önemli
nokta,
parçacıkların
momentumlarındaki küçük hatalara karşılık hızlandırma mekanizmasının kararlı olduğunu
göstermektir. Başka bir deyişle, parçacıkların bir paketçiği fazda küçük bir dağılmayla
hızlandırma yapısına vardıklarında parçacıkların paketçiğinin net hızlandırılması ideal eş
zamanlı parçacığın net hızlandırılması ile aynı olması önemlidir.
Ls uzaklığında iki rf boşluğu olduğunu düşünelim. Burada Ls ideal yörünge boyunca
ölçülen lineer boyuttur. (Şekil 2.13)  nsyn ve W nsyn eş zamanlı parçacığın ilk rf boşluğu
geçmeden hemen önceki fazı ve kinetik enerjisi olsun.
Eş zamanlı parçacığın ikinci boşluğu geçmeden hemen önceki, enerjisi ve fazı;
syn
Wnsyn
 q V0 sin  s
1  W n
syn
 nsyn
 2 RF  nsyn
1   n
 n 1
Burada  nsyn
 n 1 hızlandırılmış eş zamanlı parçacığın iki boşluk arasındaki uçuş
zamanıdır.
Yani
 nsyn
 n 1 = Ls / v s  mL s  / p s dir.
Burada
ps
eş
zamanlı
parçacığın
momentumudur.  RF  hvs / Ls olduğundan (2.41.b)
syn
 nsyn
1   n  2h
2.42.
ve (2.40) kullanılarak
B0n 1  B0n 
V0
sin  s elde edilebilir.
vs 
Burada B 0( n ) ve B0( n 1) hızlandırıcı aralığını geçişten önceki ve sonraki dipol alanlarıdır.
syn
  s dir.
Bu durumda h, harmonik sayı tam sayı olduğundan  nsyn
1   n
Eş zamanlı olmayan bir parçacık için,  n ve Wn rf boşluğunu geçmeden hemen önceki
faz ve kinetik enerji olsun. Böylece (2.41)’e benzer olarak,
Wn1  Wn  q V0 sin  n
2.43.a
 n1   n  2 RF nn1
2.43.b
elde edilir.
Eş zamanlı ve eş zamanlı olmayan parçacık arasındaki enerji farkının tanımı
W n 1  W n 1  W n 1
syn
şeklindedir ve 2.41.a’dan 2.43.a’yı çıkararak; enerji artışı için;
Wn1  Wn  q V0 (sin  n  sin  s )
2.44.
denklemini elde ederiz.
Hızlandırma aralığını geçtikten sonra, eş zamanlı olmayan parçacığın uçuş zamanı
 nn1  L / v dir. Burada L ve v eş zamanlı parçacığın yörüngesine yakın düzensiz yörünge
boyunca ölçülmüş olan uzunluk ve hızdır. Böylece
 nn 1
 nsyn
n 1

 nn 1   nsyn
n 1
 nsyn
n 1

L v

Ls v s
2.45
p=mγv olduğundan,
2
v dp
v
 1  2  2   2 ardından (2.45)’in sağ tarafındaki ikinci terim
p dv
c
v
1 p

vs  2 ps
2.46
Önce ilk terim hesaplanacak olursa, sinkrotronun doğrusal bölgelerinin
uzunluğu C olduğu durumda L=2πρ+C ve ρ=p/(|q|B0) olduğundan
ve böylece
toplam
p s dL p s 2
2


L s dp L s q B0
Ls
dir
L 2 p

Ls
Ls p s
2.47
(2.46) ve (2.47)’yi (2.45)’de yerine koyarak;
 2
p
1  p 
   nsyn
 2 
n 1
 Ls   p s 
ps



 nn1   nsyn
n 1
2.48
denklemini elde ederiz. Burada
 2
1

 Ls  2

 




2.49
“kayma” faktörüdür.
(2.48)’i faz eşitliği olan (2.43.b)’de yerine koyarak ve  RF  nsyn
 n 1  h ile
 n 1   n  2h
p
ps
2.50
2 2
denklemini elde ederiz. Ama
2
p dW p c
v


2
2
W dp
W
c
olduğundan (2.50) denklemi