Maxwell Tekerleği
advertisement
Deney No Deneyin Adı Deneyin Amacı : M4 : MAXWELL TEKERLEĞİ Teorik Bilgi : : İzole sistemlerde enerjinin korunumu ilkesini ve potansiyel ile kinetik enerji arası dönüşümlerini gözlemlemek/türetmek Maxwell tekerleği deneyi potansiyel enerji ile lineer kinetik enerji ve dönme kinetik enerjisi arasındaki dönüşümleri incelemek için gerçekleştirilir. Fiziksel olguları çevre ile etkileşimlerine göre; izole ve izole-olmayan sistemler olarak sınıflayabiliriz. İzole-olmayan sistemlerde, sistem içerisine ve dışarısına enerji transferi olmaktadır, fakat izole sistemlerde böyle bir enerji transferi gerçekleşmez. Bundan dolayı izole sistemlerde toplam enerji korunmaktadır. Enerji farklı formda bulunabilir (örneğin; mekanik, ısı, nükleer, kimyasal, ışıma, elektrik, vb...) ve bu formlar birbirlerine dönüşebilir. Örneğin, buhar makinaları ısı enerjisini mekanik enerjiye, atom reaktörleri nükleer enerjiyi mekanik enerjiye oradan da elektrik enerjisine, dinamolar ve hidroelektrik santraller ise mekanik enerjiyi elektrik enerjisine dönüştüren sistemlerdir. Bu örneklerden hidroelektrik santralleri ele alalım. Bir baraj kapağını çok kısa bir süre açıp hemen kapatır ve zamanı durdurup sistemi incelersek (t=0) belirli bir h yüksekliğinde bir miktar su hareketsiz durmakta, sudan h mesafe aşağıda ise türbinler hareketsiz durmaktadır. Bu durumda aşağıdaki bulunan türbine göre h yükseklikteki suyun belirli bir potansiyel enerjisi vardır. Zamanı ilerletip, su türbine ulaşmadan tekrar durduralım (t=t1). Bu durumda su belirli bir mesafe kat etmiş (h=x) ve sahip olduğu potansiyel enerjinin bir kısmı artık hareket enerjisine yani kinetik enerjiye dönüşmüştür. Tribünler hala hareketsiz şekilde durmaktadır. Bu durumda sistemde hiç enerji kaybı olmadığına göre (sürtünmeler ihmal edilmektedir) toplam enerjinin sabit kalması gerekmektedir. Zaman tekrar ilerletilip tribünlerin dönme anı incelenir ise (t > t1), artık suyun bütün potansiyel enerjisinin kinetik enerjiye dönüştüğü, bu kinetik enerjinin de tribünlere aktarılarak tribünlere bir dönme kinetik enerjisi kazandırdığı görülür. Maxwell tekerleği işte bu üç tür enerjinin dönüşümünü inceleyen bir deney sistemidir. Deney düzeneğinde, merkezinden bir mil geçirilmiş katı bir disk kullanılır. Mil, her iki ucunda bulunan iplerle asılı durumdadır. İplerin mile sarılması ile disk belirli bir yüksekliğe çıkartılır ve serbest bırakılır. İlk hızı olmadan serbest bırakılan disk kendi ekseni etrafında dönerek aşağı doğru düşer. Mile sarılı ip tamamen açıldıktan sonra (denge konumu) diskin dönmesi sayesinde ters yönde tekrar mil üzerine sarılmaya başlar ve disk bu sefer yukarı doğru hareket eder. Sürtünme ihmal edilecek olursa toplam enerjinin korunumu ilkesi sebebiyle bu 1 disk dönerek ilk konumuna yükselecek ve bu hareketini periyodik olarak sonsuza ya da bir müdahale olana kadar sürdürecektir. Bu sistemi detaylı bir şekilde inceleyecek olursak: Diskin en yüksek pozisyonda (milin tamamen sarılı) bulunduğu durumu x=h, denge konumunu (ipin tamamen açık) ise x=0 olarak alalım. Disk x=h konumunda bulunurken (t=0) sistemin toplam enerjisi; 𝐸 = 𝑚𝑔𝑥 = 𝑚𝑔ℎ (8.1) olur. Burada m disk ve milin toplam kütlesidir. Disk serbest bırakıldığında aşağı doğru düşer ve mile sarılı ipin açılması sebebiyle kendi etrafında dönmeye başlar. Bu durumda artık sistemde, hem değişen yükseklikten (x=hx) dolayı bir potansiyel enerji farkı, hem aşağı doğru hareketten (vx) kaynaklı bir lineer kinetik enerji (EKL), hem de diskin dönmesinden (ωx) kaynaklı bir dönme kinetik enerjisi (EKR) vardır. Kısaca sistemin ilk durumda sahip olduğu potansiyel enerji artık kinetik enerjiye dönüşmektedir. Sistemde sürtünme ihmal edilirse toplam enerji korunacaktır. Dolayısıyla toplam enerji ilk duruma eşit olmalıdır. Bu enerjileri ve toplam enerjiyi yazacak olursak; 1 𝐼𝜔𝑥 2 2 1 1 = 𝑚𝑔ℎ𝑥 + 𝑚𝑣𝑥 2 + 𝐼𝜔𝑥 2 = 𝑚𝑔ℎ 2 2 𝐸𝑝 = 𝑚𝑔ℎ𝑥 , 𝐸𝐾𝐿 = 𝐸 = 𝐸𝑝 + 𝐸𝐾𝐿 + 𝐸𝐾𝑅 1 𝑚𝑣𝑥 2 2 , 𝐸𝐾𝑅 = (8.2) (8.3) olur. Diskin hareketine devam edip denge konumuna ulaştığı durumu inceleyecek olursak; yükseklik x=0 olmuş lineer ve dönme hızları maksimum değerine ulaşmış olur. Fakat ip tamamen açıldıktan sonra ters yönde sarılmaya başlar ve disk yükselir. Bu anda artık sistemin sahip olduğu kinetik enerji potansiyel enerjiye dönüşmeye başlar. 𝐸𝑝 = 𝑚𝑔0 = 0 , 𝐸𝐾𝐿 = 𝐸 = 𝐸𝑝 + 𝐸𝐾𝐿 + 𝐸𝐾𝑅 = 1 𝑚𝑣 2 2 , 𝐸𝐾𝑅 = 1 2 𝐼𝜔 2 1 1 𝑚𝑣 2 + 𝐼𝜔2 = 𝑚𝑔ℎ 2 2 (8.4) (8.5) Eğer sistem tekrar x=hx yüksekliğine ulaştığında durumu incelersek, sitemin enerjisi (8.3) ile , sistem x=h yüksekliğine ulaştığında ise (8.1) ile ifade edilecektir. 2 Disk x=hx yüksekliğinden geçerken bir şekilde diskin dönme periyodunu ölçebilseydik yapabileceğimiz hesapları inceleyelim. (8.3) numaralı denklem tekrar düzenlenirse; 1 1 𝑚𝑣𝑥 2 + 𝐼𝜔𝑥 2 = 𝑚𝑔(ℎ − ℎ𝑥 ) 2 2 1 1 (ℎ − ℎ𝑥 ) = 𝑥 , 𝑚𝑔𝑥 = 𝑚𝑣𝑥 2 + 𝐼𝜔𝑥 2 2 2 (8.6) (8.7) Burada ω diskin açısal hızıdır ve ipin mil etrafında açılması/sarılması ile oluşur. 𝑑𝑥⃗ = 𝑑𝜃⃗ × 𝑟⃗ ⃗⃗ 𝑥 ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑑𝜃 𝑑𝑥 ⃗⃗⃗⃗ × 𝑟 ⃗⃗ = × 𝑟⃗⃗ ≡ 𝜔 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑣 = 𝜔. 𝑟 𝑣 𝜔= 𝑟 ⃗⃗ ≡ 𝑣 𝑟⃗⃗ 𝑑𝑥⃗ (8.8) (8.9) (8.10) (8.11) 𝑑𝜃⃗ Şekil 8.1 Burada r milin çapıdır. Bu durumda toplam enerji denklemi; 𝑣𝑥 2 𝐼 (𝑚 + 2 ) 2 𝑟 (8.12) 𝑣𝑥 2 𝐼 (1 + ) 2 𝑚𝑟 2 (8.13) 𝑚𝑔𝑥 = 𝑔𝑥 = olur. Kendi ekseni etrafında dönen iç içe iki diskten oluşan sistemin eylemsizlik momenti, her birisinin eylemsizlik momentine eşittir. Bu durumda iki diskin toplam eylemsizlik momentini yaklaşık olarak şu şekilde alabiliriz (R diskin yarıçapı); 𝐼 = 𝐼𝑑𝑖𝑠𝑘 + 𝐼𝑚𝑖𝑙 = 1 1 1 𝑚𝑚𝑖𝑙 𝑟 2 + 𝑚𝑑𝑖𝑠𝑘 𝑅 2 ≅ 𝑚𝑅 2 2 2 2 3 (8.14) Burada m toplam kütleye eşittir. Bu durumda (8.13) ve (8.14) kullanılarak, diskin x noktasından geçerken sahip olduğu yaklaşık hız şu şekilde hesaplanabilir; 𝑔𝑥 = 𝑣𝑥 2 𝑅2 (1 + 2 ) 2 2𝑟 𝑣𝑥 = √ (8.15) 2𝑔𝑥 𝑅2 (1 + 2 ) 2𝑟 (8.16) Deneyin Yapılışı: Şekil 8.2 Deney düzeneğini şekildeki gibi kurunuz. İp tamamen açık durumda iken bir su terazisi yardımıyla diskin yatay düzlemle paralelliğini kontrol ediniz, gerekiyorsa ayarlayınız. Diskin (R) ve milin (r) çaplarını ölçerek yarıçaplarını hesaplayınız ve kaydediniz. R =............ r =............ 4 Sensörü olabilecek en büyük yüksekliğe çıkartarak sabitleyiniz. Diski en üst pozisyona kadar sarınız ve bu durumda diskin kütle merkezi ile sensörün orta noktası arası yükseklik farkını (x=h-hx) ölçerek kaydediniz. x1 =............ Ölçüm cihazından sensörü başlatınız ve diski ilk hızsız ve yalpa yapmayacak şekilde dikkatlice serbest bırakınız. Sensör, diskin üzerinde bulunan bir yarığın, kendisinden sonra gelen yarığın konumuna ulaşması için geçen süreyi ölçer (ΔT) . Disk üzerinde 36 adet yarık bulunduğu için bu süre diskin tam bir tur yapması için geçen sürenin (periyot (T)) 1/36’sı dır. Bu değeri kaydedin ve periyodu hesaplayın. (not: her ölçümü 3 kere tekrar edin ve ortalamasını alın) ΔT1=............ T1 =............ Sensörü iki farklı x değerine ayarlayınız ve aynı ölçümleri tekrar ediniz. x2 =............ ΔT2=............ T2 =............ x3 =............ ΔT3=............ T3 =............ Periyot bir tam tur için geçen süredir, bir tam turun ise açı cinsinden 2π olduğunu bildiğimize göre, ortalama açısal hızı 𝜔= 2𝜋 𝑇 (8.17) 5 şeklinde yazabiliriz. Lineer hız ile açısal hız arasındaki bağıntı ise daha önce formül (8.11) ile verilmişti. Bu iki formülü (8.11), (8.17) kullanarak her farklı yükseklik değeri için lineer hızları hesaplayınız. v1D =............... v2D =............... v3D =............... Bu hesaplanan hız değerleri deneysel yollarla elde edilmiş değerlerdir. Teorik kısımda ise kütlesi ve çapı bilinen bir diskin belirli bir yükseklikten geçerken hangi hıza sahip olacağını bulmuştuk. Bu formülü (8.16) kullanarak her üç yükseklik için beklenen hız değerlerini hesaplayınız. v1T =............... 6 v2T =............... v3T =............... Bulduğunuz bu hız değerlerinin bağıl hatalarını (Δv) hesaplayınız ve bütün değerleri tabloya kaydediniz. Bulduğunuz hız değerlerinin yüksekliğe göre değişimini bir grafik üzerinde gösteriniz (Teorik değerleri uygun bir biçimde birleştirerek, deneysel değerleri ise sadece veri noktaları olarak). Δv1 =............... Δv2 =............... Δv3 =............... Tablo 8.1 x (m) ΔT (s) T (s) ω (R/s) 7 vD (m/s) vT (m/s) Δv (m/s) Yorum Ve Sonuçlar : (İpuçları: Deneyde öğrendikleriniz. Olası hatalar ve sebepleri. Detaylı açıklayınız. Deneyi özetleyiniz) ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………...……………………………………………… …………………………...……………………………………………………………………… …...…………………………………………………………………………...………………… ………………………………………………………...………………………………………… ………………………………...………………………………………………………………… ………...…………………………………………………………………………...…………… ……………………………………………………………...…………………………………… 8 Sorular : 1) Deneyde sürtünmeden kaynaklı bir enerji kaybı vardır. Bunu hesaplamak istesek toplam enerji formüllerinde (bkz. teorik bilgi) nasıl değişiklikler yapmalıyız. Yeni Formülü türetiniz. 2) Teorik bilgide verilen baraj örneği için her üç duruma ait toplam enerji denklemlerini türetiniz. (t=0 ; suyun en tepede olduğu an, t=t1 ; suyun belirli bir yükseklikten düşmüş ama türbine ulaşmadığı durum ve t=t3 ; suyun türbine çarpıp türbinin döndüğü durum.) ……………………………………………………………………………………………...…… ………………………………………………………………………………………...………… …………………………………………………………………………………...……………… ……………………………………………………………………………...…………………… ………………………………………………………………………...………………………… …………………………………………………………………...……………………………… ……………………………………………………………...…………………………………… ………………………………………………………...………………………………………… …………………………………………………...……………………………………………… ……………………………………………...…………………………………………………… ………………………………………...………………………………………………………… …………………………………...……………………………………………………………… ……………………………...…………………………………………………………………… ………………………...………………………………………………………………………… …………………...……………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………...………………………………………………………………………………………… …...……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...…… ………………………………………………………………………………………...………… …………………………………………………………………………………...……………… ……………………………………………………………………………...…………………… ………………………………………………………………………...………………………… …………………………………………………………………...……………………………… ……………………………………………………………...…………………………………… ………………………………………………………...………………………………………… …………………………………………………...……………………………………………… ……………………………………………...…………………………………………………… ………………………………………...………………………………………………………… …………………………………...……………………………………………………………… ……………………………...…………………………………………………………………… ………………………...………………………………………………………………………… …………………...……………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………...………………………………………………………………………………………… …...……………………………………………………………………………………………... 9 ……………………………………………………………………………………………...…… ………………………………………………………………………………………...………… …………………………………………………………………………………...……………… ……………………………………………………………………………...…………………… ………………………………………………………………………...………………………… …………………………………………………………………...……………………………… ……………………………………………………………...…………………………………… ………………………………………………………...………………………………………… …………………………………………………...……………………………………………… ……………………………………………...…………………………………………………… ………………………………………...………………………………………………………… …………………………………...……………………………………………………………… ……………………………...…………………………………………………………………… ………………………...………………………………………………………………………… …………………...……………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………...………………………………………………………………………………………… …...……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...…… ………………………………………………………………………………………...………… …………………………………………………………………………………...……………… ……………………………………………………………………………...…………………… ………………………………………………………………………...………………………… …………………………………………………………………...……………………………… ……………………………………………………………...…………………………………… ………………………………………………………...………………………………………… …………………………………………………...……………………………………………… ……………………………………………...…………………………………………………… ………………………………………...………………………………………………………… …………………………………...……………………………………………………………… ……………………………...…………………………………………………………………… ………………………...………………………………………………………………………… …………………...……………………………………………………………………………… ……………...…………………………………………………………………………………… ………...………………………………………………………………………………………… …...……………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………...…… ………………………………………………………………………………………...………… …………………………………………………………………………………...……………… ……………………………………………………………………………...…………………… ………………………………………………………………………...………………………… …………………………………………………………………...……………………………… ……………………………………………………………...…………………………………… 10
