ispat teknikleri - Özel Ege Lisesi

9 / A SINIFI MATEMATİK PROJESİ
İSPAT TEKNİKLERİ
HAZIRLAYANLAR:
Alphan DİNÇ
Çağatay YÜCEL
Murat KUZU
Evrim GÖKSEL
Yiğit GÜLBAĞ
Ders Öğretmeni: Vildan MERİÇ
1
İçindekiler...
1. İspat Amacı
2. Matematiğin Temel İlkeleri
3. İspat Teknikleri
a-) Doğrudan İspat
b-) Ters Durum İspatı
c-) Olmayana Ergi Tekniği
d-) Tümevarım Tekniği İle İspat
4. Kullanım Alanları
5. İspat Tekniklerinin Öğrenciye Katkıları
2
İSPATIN AMACI
İnsanlar kendilerini ifade edebildikleri ilk dönemlerden beri yaşadıkları olaylar hakkında
çeşitli fikirler ortaya koymuşlar sonucunda da fikir ayrılıkları ortaya çıkmıştır. Bu zihin
çatışmalarının en büyük nedeni ise insanların öne sürdükleri fikirlerin doğruluğunu ispat
edememeleridir.
Eğer kişi yaptığı işi ispat ederek ortaya çıkarırsa başka bir kişinin ona itiraz etmesi çok
zordur. Örneğin; ilk çağlarda bazı gruplar Dünyanın tepsi gibi düz olduğunu, dünyanın bir
öküzün boynuzları üzerinde olduğu ve öküzün sinirlendiği zaman tepsiyi sarstığını
düşünerek depreme böyle bir açıklama getirmişler. Bu dönemlerde insanların dinsel
inanışlarının güçlü olması bunlara inanmalarını kolaylaştırmıştır. Zaten o zamanki
teknolojinin de yetersiz olması ve dünyanın yuvarlak oluşunun ispatlanamaması inanmayı
kolaylaştırmıştır.
Fakat yaşadığımız döneme kadar insanlar bilimi geliştirerek yapılan çalışmalar sonucu
uzaydan Dünyanın fotoğrafını çekerek Dünyanın yuvarlak olduğunu ispat etmişlerdir.
Artık birinin çıkıp da buna itiraz etmesi hem zor bir olasılık hem de saçma bir
davranıştır. Kısaca ispat, gerçekleşen olayın garanti belgesidir. Her bilimde ispat olduğu
gibi matematikte fikir karmaşası sonucunda da ispat yöntemleri ortaya çıkmıştır.
Matematikteki terimlerin bazıları tanımlı bazıları tanımsızdır. Matematik konuları bu
unsurlarında içeren dört temel başlıktan meydana gelmiştir. Bunlar:
1. Tanımsız terimler,
2. Tanımlı terimler,
3. Doğruluğu apaçık görülen önermeler,
4. Aksiyomlardan yararlanarak doğruluğu ispat edilebilen önermeler.
3
Matematik bilimini oluşturan bu unsurlar çok uzun süren tartışmalar deneyler sonucu
ispatlanarak
ortaya
çıkarılmıştır.
Matematikteki
düşüncelerin
ispatlarının
varlığı
matematiği diğer dallardan ayırt eder.
Diğer alanlarda (fizik,biyoloji, astronomi gibi) gözlemciler nesnel olurlar ve daha çok
varolan gerçek şeyler üzerinde tahminlerde bulunurlar daha sonra bu tahminleri doğal
olaylar veya matematik gibi diğer bilimler aracılığıyla ispat ederler. Bir fizikçi güneş
sistemindeki gezegenleri ve bunların hareketlerini diferansiyel denklemle açıklar. Bunun
sonucunda bir fizik konusunu ispat ederken diğer bir bilim dalından yararlandığı için kendi
kendisine ispat yapması çok zordur.
Matematik ise ispatlarken birincisi aksiyom ya da postulat denilen kesin kurallarda
anlaşırlar, ikincisi tanım denilen bazı yardımcı kavramlar ortaya atarlar, üçüncüsü ise
aksiyom ya da tanımlarda yer alan kavramlarla ilintili olan önermelere bağlı teorem,
önerme, yardımcı teori (lemma) ya da gerekli sonuçlar denilen ifadeleri türetirler. Bir
matematikçi matematiksel bir düşünceyi ispatlarken sadece matematiği kullanır yani
matematik ispatın temelini oluşturmaktadır.
“İspat kavramından yoksun bir matematik deneysel bir bilime benzer.” Matematikte
3+2=5 olmasının nedeni insanlar için çok önemli değildir. Fakat düşünüldüğünde
matematiğin sanal temellere dayandığı daha sonra bunların geliştirildiği ortaya çıkar.
Matematikte ispatın önemi çok büyüktür. Öncelikle ispatlanamayan bir şey insanlar
tarafından kabul edilmez. İspatı yapan kişinin öncelikle çok iyi bir karşılaştırma yeteneği
olmalıdır ki doğru ve yanlışı ayırabilmelidir. Düşüncesini soyutlar sonra da ispatla ya da
ispatlayamadığına karşıt örneklerle ortaya çıkarır.
Matematik mantıksal sistemler üzerine dayandığından insanlar tarafından kolay anlaşılan
bir bilimdir. Matematik bütün hayatımız içinde yer aldığı için eğer ispat olmasaydı
hayatımızı olasılıklar üzerine kurmuş olurduk. İnsanların yaptıkları işlemlerin nereden
geldiğini, kullandığı formüllerin nelere dayanarak ortaya çıktığını bilmesi bunları
4
kullanırken kişiye güven verir çünkü kişi yaptıklarının yüzde yüz doğru olduğunu iddia
edebilmektedir.
Sonuçta öngörülen olayı kesin olarak belirlememiz halinde, bu genel olayın
gerçekleşmesi için sayısız yol vardır. Çok ender gerçekleşen öngörülen sadece belirli
olanlarıdır.
MATEMATİĞİN TEMEL İLKELERİ
Her kelimeyi tanımlamak mümkün olmadığı gibi her hükmü de ispat etmek mümkün
değildir. Bir kelime başka kelimelerle tanımlanır o da başka kelimelerle tanımlanır.
Böylece kullanılan her kelimeyi tanımlamak için sonsuz şekilde geriye gitmek
gerekmektedir ki bunun imkansız olduğu ortaya çıkar.
Bunun gibi Matematikte bir teorem başka teoremlerle, o teoremlerde başka teoremlerle
ispat edilir. Her şeyi ispat etmek için, imkansız olan, bir sonsuz geriye gitmek lazım
olduğundan,
ister
istemez
bir
yerde
durmak gerekiyor.
Şu halde nasıl ki,
tanımlanamayan şeyler varsa, öylece ispat edilemeyen teoremlerde vardır. Bu
teoremlere Matematikte “prensipler” denir. Prensipler ispat edilememesine rağmen
bütün ispatlar temellerini bunlardan alırlar. Bunların ispatsız kabul edilmelerinin nedeni
de budur.
Matematiğe ait, sistematik eserler meydana getiren eski Yunan matematikçileri, bazı
hükümleri ispatsız kabul etmek gerektiğinin farkına varmışlardır. Bunlar Oklid,
“Elementler” adlı eserinin başında, bu gibi hükümleri ifade etmiştir. Bunlara da “Kabulü
İstenen Şeyler” adını vermiştir. Zamanla bu kabulü istenen şeylerin sayısı değişmiştir.
Örneğin; 19.yy.’la kadar matematikçiler Oklid’in ispatsız kabul ettiği ve Oklid Postülot’ı
denilen “Bir Doğrunun Dışındaki Noktadan, Yalnız Bir Paralel Doğru Çizilebilir.”
şeklindeki hükmünü ispat etmeye çalışmışlardır. Fakat, daima ispatsız bir takım
hükümler, yeni yeni prensipler kabul etmiştir. Eskiden beri matematikçiler tarafından
matematiğin temel prensipleri üç grupta toplanmıştır.
5
Bunlar:
Tanımlar
Aksiyomlar
Postülotlar
İSPAT TEKNİKLERİ
Matematikte teoremler ve önermeler kendilerine özgü bir iç estetiğe sahip ispatlara
dayanır. Zaten matematiği ispat ve ispat tekniklerinden ayrı olarak düşünmek mümkün
değildir. İspat tekniklerini genel olarak dört ana başlık altında toplayabiliriz:
1. Doğrudan İspat
2. Ters Durum İspatı
3. Olmayana Ergi (Çelişki) yöntemi
4. Tümevarım ile ispat
Şimdi bu teknikleri açıklama ve örnekleriyle birlikte inceleyelim.
1 - Doğrudan İspat : En bilinen ve kolay ispat tekniklerinden biridir. Bu ispat
tekniğinde, bize teorem veya önerme içinde verilen şartlar aynen alınıp gösterilmek
istenen sonuca ulaşılmaya çalışılır. Yani bilinen veya bize teoremde verilen bilgileri
kullanarak istenilen sonuca ulaşmaya çalışacağımız tekniktir. Bu teknik genel olarak;
P --> Q (P ise Q)
Şeklinde gösterilir. P hipotezinin (sol tarafın) doğru olduğu kabul edilerek, sağ tarafın (Q
nun) doğruluğu elde edilir.
Örnek 1 : Bir tek ve bir çift tamsayının toplamı tektir.
6
İspat 1 : Önce m ve n gibi iki tane tamsayı ele alalım. Açıklamada da belirtildiği gibi
bunlardan birinin tek, diğerinin çift olduğunu kabul ederek, toplamlarının tek olduğunu
göstereceğiz. Mesela m tek ve n de çift olsun. m+n nin tek olduğunu göstereceğiz. m
tek ve n de çift olduğundan;
m = 2a + 1
n = 2b
olacak şekilde öyle a ve b tamsayıları vardır. Yani tüm tek sayıları 2a+1 ve tüm çift
sayıları 2b şeklinde yazabiliriz. Bizden m+n isteniyordu.
m + n = 2a + 1 + 2b = 2a + 2b + 1 = 2(a + b) + 1
olur. a ve b tamsayı olduğundan a + b de bir tamsayıdır ve a + b ye k gibi bir tamsayı
dersek;
m + n = 2(a + b) + 1 = 2k + 1 olur.
Yani m + n = 2k + 1 şeklinde yazılabilir. Öyleyse m + n tek sayı olmalıdır. İspat
tamamlanır.
Örnek 2 : Bir tamsayı 6 ile bölünebilirse, 2 katı 4 ile bölünebilir.
İspat 2 : Bir a tamsayısını ele alalım. 6 ile bölünebildiğini kabul edelim. O zaman k bir
tamsayı olmak üzere a=6k şeklinde yazılabilir. (Yani 6 ile bölünebiliyorsa k gibi bir
tamsayının 6 katı olacaktır). Bunun 2 katı 4 ile bölünebilir mi diye bakacağız. 2 katını
alırsak;
2a = 2.6k = 12k olur.
Biz 12 yi aynı zamanda 4.3 olarak da yazabiliriz. O zaman;
2a = 12k = (4.3)k = 4.(3k) olur.
k bir tamsayı olduğundan 3k da bir tamsayı olacaktır. Dolayısıyla buna m gibi bir
tamsayı dersek;
2a = 4.(3k) = 4m olur.
7
Bu da bize 2a nın, 4 ün bir katı olduğunu yani 4 ile bölünebildiğini gösterir. Böylece ispat
tamamlanır.
Bu tür önermeleri doğrudan ispat tekniğini kullanarak görüldüğü gibi ispatlayabiliriz. Bu
ispat tekniği kolay olmasına karşın bize her zaman yardımcı olmayabilir. Mesela "Karesi
çift olan bir sayının kendisi de çifttir" şeklindeki bir önermenin ispatını bu yöntemle
vermek oldukça güçtür. Bu sebeple başka ispat yöntemleri geliştirilmiştir. Sıradaki ispat
tekniğini açıkladıktan sonra bu soruya tekrar dönüp, ispatının nasıl yapılabileceğini
açıklamaya çalışacağım.
2 - Ters Durum İspatı : Bu ispat genel olarak P ise Q yu göstermek yerine Q değil
ise P nin de olamayacağını göstermeye dayanır. Yani bu ifadeyi sözle açıklamak
istersek; bize verilen kabullerden yararlanarak istenileni bulmak yerine, istenilenin
olmaması (değilinin olması) durumunda, kabullerimizin de olamayacağını (yani
değillerinin doğru olması gerektiğini) göstermeye dayanan bir ispat tekniğidir. Bu tekniği
örnekler üzerinde daha rahat anlaşılabilir. Az önce belirttiğimiz önermeyi bu yöntemle
ispatlamaya çalışalım;
Örnek 3 : Karesi çift olan bir sayının kendisi de çifttir.
İspat 3 : Burada P dediğimiz olay sayımızın karesinin çift olması, Q dediğimiz olay da bu
sayının kendisinin çift olması yani;
P = a sayısının karesi çifttir.
Q = a sayısının kendisi çifttir.
(hatırlatma : bize verilen kabuller P olarak, istenen ise Q olarak kabul edilir). İlk ispat
tekniğimizde P ise Q yu gösteriyorduk ve o teknikle bunu ispatlamanın güç olacağına
deyinmiştik. Öyleyse şimdiki ispat tekniği ile yani Q değil ise P nin de olamayacağını
gösterelim. Bunu söz ile ifade etmek istersek, bizim göstereceğimiz "Eğer a sayısı tek
ise karesi de tektir." Bu ispat tekniğinde dikkat edilmesi gereken nokta bu Q değil ise P
nin olmayacağını doğru olarak ifade etmektedir. Özetleyecek olursak; bu ispat
8
tekniğinde "a nın karesi çift ise a da çifttir" ifadesini göstermek yerine "a tek ise karesi
de tektir" ifadesini göstereceğiz. Şimdi bunu görelim. a yı tek kabul ettiğimizden, öyle bir
k tamsayısı için a yı;
a = 2k + 1 olarak yazabiliriz.
a nın karesinin tek olduğunu göreceğiz. Karesini alırsak;
a2 = 4k2 + 4k + 1 = 4(k2 + k) + 1 olur.
ve k2 + k bir tamsayı olacağından buna m dersek;
a2 = 4(k2 + k) + 1 = 4m + 1 = 2.2m + 1
2m ifadesine de t dersek;
a2 = 2t +1 olur.
Bu da bize a2 nin tek olduğunu gösterir. Öyleyse a sayısı eğer tek ise karesinin de
mutlaka tek olması gerektiğini gösterdiğimizden, karesi çift ise sayının kendisinin de çift
olması gerektiğini söyleyebiliriz. Bu yöntemle önermeyi ilk yönteme göre çok daha
kolaylıkla ispatlamış oluyoruz. Bu ispat yönteminin kullanılabileceği başka örnekler de
vermeye çalışalım;
Örnek 4 : Eğer bir x sayısı pozitif ise ardışığı da pozitiftir.
İspat 4 : Bizden soruda x>0 ise x+1>0 olduğunu göstermemizi istiyor. Ters durum ispat
tekniği ile bunu ispatlamaya çalışırsak; P olayımız x>0 olması ve Q olayımız da x+1>0
olması olduğundan, tekniğe göre Q değil ise P nin de olamayacağını yani; x+1<0 ise
x<0 olması gerektiğini göstermeliyiz. (sıfıra eşit olma durumunu göz önüne almıyoruz
çünkü x+1=0 olduğunda x=-1<0 olduğu ve şartı sağladığı aşikardır). Öyleyse elimizde
şimdi x+1<0 kabulü var.
x+1<0 ise x<-1 ve -1<0 olduğundan x<-1<0 yani x<0 dır.
Böylece x+1<0 ise x in mutlaka x<0 şartını sağlayacağını gösterdiğimizden x>0
olduğunda
x+1 mutlaka x+1>0 şartını sağlamalıdır diyebiliriz.
9
Örnek 5 : X.Y tek sayıdır ancak ve ancak X ve Y nin her ikisi de tektir.
İspat 5 : Ancak ve ancak türünden ifade edilen önermelerde, önermeyi iki taraflı
ispatlamalıyız. Önce sol tarafın doğruluğunu kabul edip sağ tarafı gösterelim. Yani, X.Y
tek sayı ise X ve Y nin her ikisinin de tek olması gerektiğini görelim. Bunu ters durum
ispatı ile gösterelim.
(==>)
P = X.Y nin tek sayı olması
Q = X ve Y nin her ikisinin de tek olması.
Burada tekniğe göre öncelikle Q nun değilini alıp, buradan P nin değilini elde etmemiz
gerekir. Sizin de gördüğünüz gibi bu önermede Q nun değili 2 ye ayrılmaktadır. Yani X
ve Y nin her ikisinin birden tek olmaması durumu, ya ikisinin de çift olması ya da birinin
çift diğerinin tek olması durumunu getirir. Önce her ikisinin de çift olması durumunu
inceleyelim;
X ve Y her ikisi de çift ise öyle A ve B tamsayıları için
X = 2A ve Y = 2B olsun. Öyleyse;
X.Y = 2A.2B = 2(A.2B)
ve A.2B de bir tamsayı olacağından buna C dersek;
X.Y = 2(A.2B) = 2C yani X.Y = 2C olur.
Öyleyse X.Y çifttir. X ve Y nin her ikisini de çift olduğu takdirde X.Y nin çift olması
gerektiğini gösterdiğimizden ispatın bu bölümü tamamlandı.
X tek ve Y çift olması durumunu ele alalım. Öyleyse uygun A ve B tamsayıları için;
X = 2A+1 ve Y = 2B olsun.
X.Y = (2A+1).(2B) = 4AB + 2B = 2(2AB + B) olur.
Yine 2AB + B sayısı bir tamsayı olacağından buna C gibi bir tamsayı dersek;
10
X.Y = 2(2AB + B) = 2C olur.
Yani yine X.Y nin bir çift sayı olduğunu bulduk.
Öyleyse ters durum ispatına göre Q nun değili durumları olan X ve Y nin çift olması
veya birinin çift diğerinin tek olası durumlarında P nin değili yani X.Y nin çift olması
gerektiğini gösterdiğimizden ispatın bu tarafı tamamlanır. Şimdi de ispatın diğer yönünü
yani, sağ tarafın doğru olduğunu kabul edip, sol tarafı gösterelim. Söz ile ifade edersek
X ve Y nin her ikisinin de tek olması durumunda X.Y nin de tek olacağını göreceğiz.
(<==) Bu tarafı göstermek için ilk gördüğümüz ispat yöntemi olan doğrudan ispat
yöntemi daha uygundur. X ve Y nin her ikisinin de tek olduğunu kabul ederek X.Y nin de
tek olması gerektiğini göstereceğiz. X ve Y tek ise, uygun A ve B tamsayıları için;
X = 2A + 1 ve Y = 2B + 1 olsun.
X.Y = (2A + 1).(2B + 1) = 4AB + 2A + 2B + 1 = 2(2AB + A + B) + 1
Burada yine 2AB + A + B ifademiz bir tamsayı olacağından buna C dersek;
X.Y = 2(2AB + A + B) + 1 = 2C + 1 olacaktır.
Buradan da görüldüğü gibi X.Y tek sayı bulunur. Öyleyse doğrudan ispat tekniğiyle de
ispatın bu yönünü göstermiş bulunuyoruz.
Her iki yönden de önermenin doğruluğunu gösterdiğimize göre ispatı tamamlamış
bulunuyoruz.
Bu örnekten de görüleceği üzere bazı önermeleri ispatlamak için birden fazla ispat
tekniğini kullanmamız gerekebiliyor. Her ispat tekniğinin kendine göre getirdiği
kolaylıklar bulunmaktadır. Şimdiye kadar görmüş olduğumuz doğrudan ispat ve ters
durum ispatından başka "olmayana ergi" adı verilen bir diğer ispat yöntemini de ifade
etmeye çalışalım;
11
3 - Olmayana Ergi (Çelişkiyle ispat) Tekniği : Bu ispat tekniğinde hipotez
aynen alınırken, hükmün bir parçası olumsuz alınır ve bir çelişki ortaya çıkarılır. O
zaman yanlışın baştaki kabule dayandığı söylenerek ispat yapılır. Bunu örnekler ile
görelim.
Örnek 6 : Kendi kendisiyle toplandığında kendisini veren sayı sıfırdır.
İspat 6 : Bir x sayısını ele alalım. Önermede bizden x+x=x ise x=0 olduğunu
göstermemiz isteniyor. Bu teknik ile ispatı göstermeye çalışalım. Hükmü (veya bazı
durumlarda hükmün bir parçasını) olumsuz olarak alalım. Yani kabul edelim ki, x
sıfırdan farklı bir sayı olsun. Bu durumda x+x ifadesine bakalım. Önermede bize x+x in x
olduğu verilmişti. Yani x+x=x denilmişti. Ayrıca biz biliyoruz ki x+x=2x tir. Öyleyse bu
eşitlikleri birleştirerek;
x = 2x elde ederiz. x i sıfırdan farklı kabul ettiğimizden dolayı taraf tarafa x leri
sadeleştirirsek (x in sıfırdan farklı olduğunu kabul etmeseydik bu sadeleştirmeyi
yapamazdık).
1 = 2 sonucu elde edilir. Bu ise bir çelişkidir. Bu çelişki x i sıfırdan farklı almamızdan
kaynaklanmaktadır. Öyleyse x=0 olmalıdır. Sonuç olarak x=0 olması gerektiğinden ispat
tamamlanmış oldu.
Bu önermeden de görüldüğü gibi hükmü olumsuz kabul ederek bize verilen hipotezi
kullanıp bir çelişkiye vardık. Bu çelişkinin sebebi de hükmü olumsuz kabul etmemizdir.
Tabi bu önermede x in sıfır olması gerektiği kolaylıkla görülebiliyor ancak tekniği
anlayabilmek açısından böyle bir önerme seçtim.
Örnek 7 : sayısının rasyonel sayı olmadığını gösterin.
İspat 7 : Önermede bizden sayısının irrasyonel bir sayı olduğunu göstermemiz isteniyor.
12
Olmayana ergi yöntemiyle bu ispatı yapmaya çalışalım. Tekniğe göre hükmü olumsuz
kabul edelim, yani sayısı rasyonel bir sayı olsun diyelim ve bir çelişkiye varalım. O
zaman sayısını, tek ortak böleni 1 olan p ve q gibi iki tamsayının oranı şeklinde
yazabiliriz. (Not: p ve q nun tek ortak böleninin 1 olması p/q nun bir tamsayı değil
rasyonel sayı olmasını ve p/q da pay ve paydanın herhangi bir tamsayı ile
sadeleştirilemeyeceğini verir). Yani = p/q diyebiliriz. Her iki tarafın da karesini alalım. 2 =
p2/q2 olur. Her iki yanı q2 ile çarparsak;
2q2 = p2 olur. Öyleyse buradan p2 nin bir çift sayı olduğunu söyleyebiliriz. O zaman 3
nolu örnekte ispatladığımız sonucu kullanarak p nin de bir çift sayı olduğunu
söyleyebiliriz. p çift bir sayı ise öyle bir n tamsayısı için p=2n olarak alalım.
2q2 = p2 bulmuştuk. p nin 2n olan değerini burada yerine koyarsak;
2q2 = p2 = (2n)2 = 4n2 olur. Yani 2q2 = 4n2 dir. 2 leri sadeleştirirsek;
q2 = 2n2 olur. Bu ise bize q nun da bir çift sayı olduğunu gösterir. Öyleyse yine 3 nolu
örnekte ispatladığımız sonucu kullanırsak q nun da bir çift sayı olduğunu söyleyebiliriz.
q çift bir sayıysa öyle bir m tamsayısı için q=2m olarak yazabiliriz.
Bir önceki adımda da p=2n olarak bulmuştuk. Öyleyse p=2n ve q=2m olduğundan p ve
q nun 2 gibi bir ortak böleni vardır. Ancak başta p ve q nun tek ortak böleninin 1
olduğunu söylemiştik. Bu durumda bir çelişki karşımıza çıkmıştır. Bu çelişkinin nedeni yi
rasyonel bir sayı olarak kabul edip tek ortak böleni 1 olan p ve q tamsayılarını
kullanarak p/q şeklinde yazmamızdan kaynaklanmaktadır. Öyleyse sayısı rasyonel bir
sayı olmaz, yani irrasyoneldir.
Bu ispat yöntemi ters durum ispatına benzemesine rağmen farklı olarak hipotezin
olumsuzu yerine bir çelişkiye varmaya çalışıyoruz. Bu ispat tekniklerinden farklı olarak
bir de tümevarım ile ispat tekniği vardır. Şimdi bu tekniği açıklayıp örnekler verelim.
13
4 - Tümevarım İle İspat Tekniği : En çok bilinen ve kullanılan ispat tekniklerinden
biridir. Bu teknikte, ispatın yapılacağı kümede, eleman sayısının sayılabilir sonsuzlukta
olması durumunda, bir p özelliğinin "1" için var olduğu gösterilir. Sonra k için özelliğin
var olduğu kabul edilir ve k+1 için özelliğin ispatı yapılır.
k yı en kötü durumda 1 olarak düşündüğümüzde ve 1 için ispatın sağlandığını ilk
adımda göstermiş olduğumuzdan, önermenin k için doğru olduğunu kabul etmemiz
yanlış bir kabul olmayacaktır. Sonra k+1 için sağlandığını ispatladığımızdan 2 için de
sağlandığı gösterilmiş olur. Bu sefer 2 için sağlandığından, k yı 2 gibi düşünürsek k+1
yani 3 için de ispat sağlanacak, 3 için sağlandığından yine aynı mantıkla 4 için de
sağlanacak ... ve bu şekilde genel bir ispat yapılmış olacaktır. İlk başlangıç adımının her
zaman "1" olması zorunlu değildir, "3 ten büyük tamsayılar için önermenin sağlandığını
gösterin" gibi bir durumda başlangıç adımını 3 gibi bir sayı da seçebiliriz. Sonra yine
aynı şekilde k için doğru olduğunu kabul edip, k+1 için doğruluğunu göstererek ispatı
genelleriz. Bu tekniği kullanarak ispatı yapılan bir çok önerme bulunmaktadır. Şimdi
bunlara bir kaç örnek verelim.
Örnek 8 : 1 + 3 + 5 + ... + 2n-1 biçimindeki sayıların toplamının n=1,2,3,4,5,...
tamsayılarının her biri için n2 olduğunu gösteriniz.
İspat 8 : Tümevarım tekniği ile ispatı yapılabilen toplam serileri üzerine iyi bilinen
örneklerden biridir. Tekniğe göre ilk adım olarak "1" için önermenin doğruluğunu
görelim;
n=1 için : n=1 için bakacak olursak serinin toplamı 1 olacaktır. Sonuçta
1 = 12 olduğundan n=1 için önerme doğrudur.
n=k için önerme doğru olsun : Yani 1 + 3 + 5 + ... + 2k-1 = k2 olsun.
n=k+1 için : n=k+1 için önermenin doğru olduğunu göstermek için;
14
1 + 3 + 5 + ... + 2(k+1)-1 = (k+1)2 olduğunu göstermeliyiz. Burada eşitliğin sol
tarafındaki en son terimden bir önceki terim de yazılacak olursa;
1 + 3 + 5 + ... + 2k-1 + 2(k+1)-1 = (k+1)2 olduğunu göstermek istiyoruz. Bir önceki
adımdaki kabulümüzden dolayı;
1 + 3 + 5 + ... + 2k-1 = k2 olduğunu biliyoruz. Bunu yerine yazarsak
1 + 3 + 5 + ... + 2k-1 + 2(k+1)-1 = k2 + 2(k+1)-1 olacaktır. Bunun da (k+1)2 ye eşit
olduğunu göreceğiz.
k2 + 2(k+1)-1 = k2 + 2k + 1 = (k+1)2 dir.
Böylece önermenin k için doğru olduğunu kabul ederek k+1 için de sağlandığını
göstermiş ve genel anlamda ispatlamış oluyoruz.
Örnek 9 : Bazı pozitif n tamsayıları için 22n -1 in 3 ün katı olduğunu gösterin.
İspat 9 : Bu önerme de tümevarım ile kolaylıkla gösterilebilir.
n=1 için : 22n -1 = 22.1 -1 = 22 -1 = 4 - 1 = 3 olur. Yani 3 ün bir katıdır. Öyleyse n=1 için
önerme sağlanır. Şimdi n=k için sağlandığını kabul edip, n=k+1 için inceleyelim;
n=k için önerme doğru olsun : Yani n=k için 22n -1, 3 ün bir katı olmuş olsun. Bunu öyle
bir m tamsayısı için 22k -1 = 3m (*) olarak gösterelim.
n=k+1 için : 22(k+1) -1 ifadesinin 3 ün bir katı olduğunu göstermemiz gerekiyor. Bu ifadeyi
açacak olursak;
22(k+1) -1 = 22k+2 -1 = 22k.22 -1 = 4.22k -1 (**) elde ederiz. Kabulümüzden, yani (*) dan 22k
yı çekersek;
22k -1 = 3m dediğimizden 22k = 3m + 1 elde ederiz. Bunu (**) ifadesinde yerine
yazarsak;
15
22(k+1) -1 = 4.22k -1 = 4.(3m+1) - 1 = 12m + 4 - 1 = 12m + 3
12m + 3 ifadesini de 3 parantezine alırsak 3(4m+1) elde edilir. Burada 4m+1 ifadesi bir
tamsayı olacağına göre, buna p gibi bir tamsayı dersek;
22(k+1) -1 = 12m + 3 = 3p olacaktır. Öyleyse 22(k+1) -1 ifadesi 3 ün bir katıdır. Böylece
n=k+1 için de önermenin doğruluğunu ispatlamış olduk. O zaman tümevarım ile bu
önermenin genel olarak sağlandığını söyleyebiliriz.
Tümevarım tekniğinin kullanımı üzerine başta açıklama yaparken her ispatta ilk adım
olarak n=1 almak zorunda olmadığımıza, n=2 , 3 veya önermeye göre başlangıç için
farklı tamsayılar alabileceğimize deyinmiştik. Şimdi bunun üzerine bir önermenin ispatını
verelim.
Örnek 10 : 2 den büyük ve eşit tamsayılar için n2 > n+1 eşitsizliğinin sağlandığını
gösterin.
İspat 10 : Burada başlangıç adım olarak 2 seçmemiz gerekiyor, çünkü önermemizin 2
den büyük tamsayılar için sağlandığını ispat etmemiz isteniyor.
n=2 için : n2 > n+1 olduğunu görmeliyiz.
n2 = 22 = 4 > 3 = 2+1 = n+1 olduğundan n2 > n+1 eşitsizliği n=2 için sağlanır.
n=k için önerme doğru olsun : n=k için n2 > n+1 özelliği sağlanıyor olsun, yani k2 > k+1
eşitsizliğinin sağlandığını kabul edelim.
n=k+1 için : (k+1)2 > (k+1)+1 sağlandığını göstermeliyiz. Eşitsizliğin sol tarafındaki kare
ifadeyi açalım;
(k+1)2 = k2 + 2k + 1 elde edilir. Kabulümüzden k2 > k+1 olduğundan, k2 yerine ondan
daha küçük olan k+1 yazarsak;
16
(k+1)2 > k2 + 2k + 1 > (k+1) + 2k + 1 = 3k + 2 elde ederiz. Burada k değişkenimiz, 2 den
büyük veya eşit bir tamsayı olduğundan 3k yerine k yazdığımızda ifademiz küçülecektir.
Öyleyse;
(k+1)2 > 3k + 2 > k + 2 = (k+1) + 1 elde ederiz. Böylece n=k+1 için de aradığımız özellik
olan (k+1)2 > (k+1)+1 özelliği sağlanmış olur, ispat tamamlanır.
Görüldüğü gibi tümevarım kullanılarak, bize verilen önermenin genel olarak sağlanıp
sağlanmadığını ispatlayabiliyoruz.
İSPAT’IN KULLANIM ALANLARI
İspat, günlük yaşantımızda ve neredeyse bilimin her dalında kullandığımız bir araçtır.
İspat mantığa dayanır ve mantıkta insanların karar vermede kullandığı en önemli
dayanaktır. Bu yüzden ispat günlük yaşantımızda büyük yer tutar. İnsanlar, daima
doğrulara ulaşmak ister. Bu her dalda geçerlidir ve buldukları sonuçları sabitleyebilmek
için ispata gerek duyarlar.
Bilimde ispat temeldir. Eğer biz hipotezlerimizi kanıtlamak istiyorsak, bunu deneyler ve
çeşitli yollarla kanıtlamalıyız. Aksi taktirde hipotezlerimiz kanıtlanamaz, teori veya kanun
olamazlar.
PROBLEM
VERİ
PROBLEME DAYALI HİPOTEZ KURMA
DENEY(ispat) =>> KABUL veya TERK
17
Bu şekilden de anladığımız gibi ispat bilimin her dalında hipotezin kanıtlanması için
kullanılır. Eğer deney kısmında hipotezimizi ispatlayamazsak hipotez terk edilir bu
yüzden bilimde ispatın yeri büyüktür.
İspat, bilimin her alanında kullanılır. Örneğin;
Geometride bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir. Çünkü iki iç açının toplamı bir
dış açıya eşittir ve bu dış açının bütünleyeni toplama alınmayan diğer iç açıdır ve bu üç
açının toplamı 180 derece yapar. Bunu öğrenciye kanıtlamazsak hem öğrencinin kafası
karışır hem de bilgi öğrencinin kafasına tam olarak oturmadığı için tam anlamıyla bir
öğrenme sağlanamaz.
C1
C2
A
B
Der(A)+der(B)=der(C1)
180 –der(C1)=der(C2)
ise der(A)+der(B)+der(C2)=180
Biz ispatı coğrafyada da kullanırız. Örneğin;
Dünyanın yuvarlak olduğu sürekli batıya giderek bulunmuştur çünkü biz sürekli batıya
gidersek en sonunda başlangıç noktamıza geri dönüş yapmış oluruz ve bundan
yararlanarak dünyanın yuvarlak olduğunu söyleyebiliriz.
Eğer öğrenci dünyanın
yuvarlak olduğunu sadece sözel bir kavram olarak düşünürse elbette ki bu bilgi kalıcı
18
olmayacaktır. Bu sebeple bir bilgiyi sunduğundunuz kişilere mutlaka o bilginin nereden
geldiğini göstermek gerekir.
İspatın amacı bilgilerin doğruluğunu kanıtlamaktır ve bu düşünen insanların bulunduğu
her yerde geçerli ve gereklidir .İspat amaçladığı öncelikli olarak budur.
İspatın Öğrenciye Katkıları
Matematiksel iddiaların ispatlarının varlığı matematiği diğer dallardan ayırt eder. İspat
kavramından yoksun matematik deneysel bir bilime benzer. Her şeyden önce
ispat,ispatı yapanın sağlam muhakemeli olmasını ister. Daha sonra matematikte
araştırmalarını soyutlama ile yapar,tahminlerini ya ispat yada ispatlayamadığında karşıt
örneklerle sonuçlandırmaya çalışır. İspat tüm bilimlerde önemlidir. Ortaya atılan bir
teorinin doğruluğunun ispatlanması gerekir. Aksi halde teori geçersiz veya şüphelidir.
Matematikte de bir teorinin ispatı aksiyonlar yardımı ile yapılır. Aksiyomlar doğruluğunu
akıl ve mantığımızla kabul ettiğimiz kurallardır.
İspat yapan öğrenci teoremi daha iyi anlar,uzun süre unutmaz. Öğrencinin problemler
hakkında kafasında biriken soru işaretleri kaybolur. Çözdüğü problemler daha anlamlı,
daha akılcı olacağı için çözene zevk verir, başarılı olmasını sağlar. İnsan beyninin
muhakemeli olarak çalışmasını sağlar. Zaten insan beyni sağlıklı kaynaklara dayalı
olarak düşünmelidir. Sonuç olarak ispat insanın seviyesine göre olmalıdır, ve
yapılmalıdır.
19
KAYNAKÇA
1. www.matematikce.com
2. www.sanalmatematik.com
3. www.matematikdunyasi.com
4. www.google.com
5. www.arabul.com
6. http://matematikce.kolayweb.com.tr
20