Cebir Notları - Soruhane.com

www.mustafayagci.com, Kasım 2005
Cebir Notları
Mustafa YAĞCI, [email protected]
Basit Eşitsizlikler
Bir x sayısı, a sayısından büyük ise bunu x > a,
b sayısından küçük ise bunu da x < b olarak gösteriyorduk. x sayısı a’dan büyük ve b’den küçük ise
a ile b arasındadır. Bu iki eşitsizliği birleştirip arasında olmak ile ilgili bir gösterim yazacağız. x > a
ile a < x aynı şeydi. Bundan sonra a < x ile x < b
eşitsizliklerini birleştirerek x’in a ile b arasında
olmasını a < x < b yazarak göstereceğiz. Aksi iddia edilmedikçe böyle bir gösterimde a, x, b değerleri reeldir. Yani, 3 < x < 5 eşitsizlikleri bize
x’in 4 olduğunu değil, 3 ile 5 arasında bir reel sayı
olduğunu anlatmalıdır.
x’in a ile b arasında olduğunu bize anlatacak
tek gösterim a < x < b değildir. Sayıların üzerine
sırayla dizildiğini düşündüğümüz sayı doğrusunu
göz önüne getirin. Sayı doğrusu üzerindeki a ve b
noktaları arasını (a, b) yazarak gösteririz. O halde
x ∈ (a, b) yazmakta bir mahzur yoktur. a ve b değerleri bu aralıkta olmadığından, bu aralığa açık
aralık denir. a ≤ x ≤ b şeklindeki eşitsizlikler içinse x ∈ [a, b] yazarız. Böyle bir aralığa da kapalı
aralık denir.
Konuyla ilgili zaten biliyor olduğunuz bilgileri
tekrar hatırlamakta fayda var:
x, y, a, b birer reel sayı ve n sayma sayısı olmak üzere;
x < y ise x + a < y + a
x < y ise x – a < y – a
x < y ise x⋅a < y⋅a (a pozitifse)
x < y ise x⋅a > y⋅a (a negatifse)
x < y ve a < b ise x + a < y + b
x < y ve a < b ise x⋅a < y⋅b
x < a ve a < y ise x < y
0 < a < b ise 0 < an < bn
a < b < 0 ise a2n−1 < b2n−1 < 0
a < b < 0 ise a2n > b2n > 0
0 < x < 1 ise 0 < xn < x < 1
−1 < x < 0 veya x < 1 ise xn < x
x < −1 ise x2n−1 < x
x < −1 ise x2n < x
x⋅y > 0 ve x < y ise
x⋅y < 0 ve x < y ise
1 1
>
x y
1 1
<
x y
Kısaca özetleyelim: İlk iki teorem bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayıyı ekler ya da her iki
tarafından aynı sayıyı çıkartırsanız eşitsizlik bozulmaz diyor. Sonraki iki teoremde ise bir eşitsizliğin her iki yanını bir pozitif sayıyla çarpabilirsiniz ama negatif bir sayıyla çarpacaksanız eşitsizliğin yönü değişir diyor. Beşinci teorem toplama
yapabileceğinizi, altıncısı da böyle bir durumda
çarpma yapabileceğinizi söylüyor. Yedinci teoremin ne demek istediği çok açık. Sekizinci teoremde pozitif sayıların pozitif tam kuvvetleri okların
yönünü korur, dokuz ve onda ise negatif sayıların
tek tam kuvvetleri sıralamayı bozmaz ama çift tam
kuvvetleri bozar diyor. Onbirinci teorem en çok
karşılaşacağınız teoremlerden biri. Pozitif basit
kesirlerin kuvvetleri arttıkça sayının küçüleceğini
söylüyor.
Diğerlerinin yorumunu ise size bırakıp, konumuzu işlemeye devam edelim.
x’in hangi aralıkta olduğu belliyken x + 1, 2x –
1, x2, –x,
1
gibi ifadelerin de hangi aralıkta oldukx
ları bulunabilir. Ayrıca diğerlerinin konumu belliyken de x’in konumu bulunabilir. Örneklerle görelim.
Örnek. 2 < x < 5 iken x + 1, 2x – 1, x2, –x,
1
x
değerlerinin hangi aralıkta olabileceğini bulalım.
Çözüm: 2 < x < 5 ise
0 1 2 3 4 5 6
3 < x + 1 < 6 olur. Çünkü 2’ye çok yakın x’lerin
1
fazlaları 3’e çok yakın
0 1 2 3 4 5 6
olur, 5’e çok yakın
x’lerin 1 fazlaları da 6’ya çok yakın olur. Ama x
Mustafa Yağcı
Basit Eşitsizlikler
sayısı 2 ve 5 değerlerini alamadığından x + 1 sayısı da 3 ve 6 değerlerini alamaz. Buradan çıkaracağımız sonuç genel itibariyle (istisnalar var, göreceğiz), x’e nasıl bir işlem uygulanmışsa eşitsizliklerin sınır değerlerine de aynı işlemi uygularız. O
halde 2 < x < 5 iken 2⋅2 – 1 < 2x – 1 < 2⋅5 – 1 yani
3 < 2x – 1 < 9 olur. Benzer şekilde 4 < x2 < 25.
Ama –x ve
varlığı. Bu özel durumlar neler? Örneklerle açıklayalım:
2 < x < 5 ise 4 < x2 < 25,
–5 < x < −2 ise 4 < x2 < 25,
–2 < x < 5 ise 0 ≤ x2 < 25,
–5 < x < 2 ise 0 ≤ x2 < 25.
Fark ettiğiniz üzere son iki örnekte bir şeyler
olup bitiyor.
İlk dikkat edilmesi gereken husus reel sayıların
karelerinin hiçbir zaman negatif olamayacağı.
Ama bunun için de yine (4, 25) aralığını cevap
olarak söylemeyeceğiz. İkinci olarak dikkat etmemiz gereken husus da, eğer x sayısı negatif bir
sayı ile pozitif bir sayı arasında oynuyorsa, x sayısı sıfır değerini de alabileceğinden, sıfırın karesi
de sıfır olduğundan, x2 sayısı [0, 25) aralığında
oynar.
Eğer bu x’lerin karesi yerine kübü sorulsaydı
bir değişiklik olmayacaktı, sınırların kübünü almak yeterdi. Demek istediğimiz genel olarak çift
kuvvet alırken dikkat edilmesi.
1
ifadelerinde kazın ayağı öyle değil.
x
Çünkü a < x < b gibi bir ifadenin geçerli olabilmesi a’nın b’den küçük olmasıyla mümkün.
Eşitsizliğin sınırlarını ‘’–‘’ ile çarpmak ve başağı çevirmek küçük sayıları büyük, büyük sayıları küçük yapacağından ya okların yönünü değiştirmeliyiz, ya da sonuçta çıkan sayılardan küçüğünü daima sola, büyüğünü daima sağa yazmalıyız.
Biz ilerde toplama, çarpma gibi işlemler yapacağımızı düşünerek, okların yönünü değiştirmek yerine sınırların yerini değiştirmeyi tercih edelim.
0 1 2 3 4 5 6
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
Eşitsizliklerin toplanması. Eşitsizlikler de aynen sayılar gibi toplanabilirler. Zira eşitsizlik deyince o aralıktaki tüm reel sayıları kastetmiyor
muyuz? Aynı anda birçok hatta sonsuz çoklukta
toplamayı birden yaparız. Örneğin,
x < 5 ve y < 7 eşitsizlikleri verilirse x + y < 12
denebilir. Gerçekten de her x sayısı 5’ten, her y
sayısı da 7’den küçükse toplamlarının 12’den küçük olması kadar doğal ne olabilir ki?
Eğer eşitsizlikler x ≤ 5 ve y ≤ 7 şeklinde olsaydı x + y ≤ 12 der ve yazardık. x sayısı 5, y sayısı da
7 olabiliyorsa x + y neden 12 olamasın?
Ama eğer x < 5 ve y ≤ 7 olsaydı x + y sizce 12
olabilir miydi? Düşünelim: y sayısı 7 olabiliyor
ama 7’den daha fazla olamıyor. O halde x + y toplamının 12 olabilmesi x’in 5 olabilmesine bağlı.
Peki, x sayısı 5 olabiliyor mu? Hayır, demek ki x +
y toplamı da 12 olamaz. O halde sembolik olarak
şunu yazabiliriz:
<+<=<
<+≤=<
≤+≤=≤
Aynı eşitlikleri > ve ≥ sembolleri için de yazabilirdik.
O halde yukarda resmedildiği üzere 2 < x < 5
iken –5 < x < –2 olur ve benzer şekilde
1 1 1
< <
5 x 2
olur.
Örnek. 2 < 3x + 5 ≤ 9 iken x hangi aralıktadır?
Çözüm: Amacımız 3x + 5 sayısını x’e çevirmek olacak.
2 < 3x + 5 ≤ 9
–3 < 3x ≤ 4 (Her taraftan 5 çıkardık)
–1 < x ≤
4
(Her tarafı 3’e böldük)
3
Örnek. 2 < 3x + 5 ≤ 9 iken –4x + 7 hangi aralıktadır?
Çözüm: Bu sefer amacımız 3x + 5 sayısını –4x
+ 7’ye çevirmek olacak. Bunun için önce x’e çevirmeliyiz, bunu demin yapmıştık zaten.
2 < 3x + 5 ≤ 9
4
(Bir önceki örnekte açıkladık)
3
16
–4 < 4x ≤
(Her tarafı 4’le çarptık)
3
16
– ≤ –4x < 4 (Her tarafı – ile çarptık)
3
5
≤ –4x + 7 < 11 (Her tarafa 7 ekledik)
3
–1 < x ≤
Eşitsizliklerde çıkarma. Başlığa bakarak eşitsizliklerde çıkarma yapabileceğinizi sanmayın.
Burada buna izniniz yok. Aslında çıkarma gerçekte de yok. 5’ten 3’ü çıkarmak dediğiniz şey 5 ile –
3’ü toplamak değil midir? Biz de şimdi sırtımızı
Bir aralığın karesini almak. Bu konu için ayrı
bir başlık açmamızın nedeni bazı özel durumların
2
Mustafa Yağcı
Basit Eşitsizlikler
buna yaslayarak, eşitsizliklerde bir nevi çıkarma
işlemini başarmış olacağız.
Verilen 3 < x ≤ 7 ve 2 < y ≤ 4 için x – y sayısının hangi aralıkta oynadığını bulalım. Unutmayın
x – y aslında x + (–y) olacak. Bu amaçla önce –
y’nin bulunduğu aralığı bulalım ve x’in bulunduğu
aralık ile toplayalım:
3< x ≤7
–4 ≤ –y < –2
+_________
–1 < x – y < 5
Böylelikle sorumuz kolaylıkla çözülmüş olacak. Yukardaki dört örneğe de atom modelini tatbik edin sonra da aşağıdaki soru ve çözümü çok
dikkatli inceleyin, bir hata yapacağım, onu anlamaya çalışın.
Soru. –3 < x < 5 ve –2 < y < 1 eşitsizlikleri veriliyor. x⋅y – y’nin alabileceği en küçük ve en büyük tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır?
İki farklı çözüm sunacağım. Lütfen kendiniz
çözmeye uğraşın. Çözemezseniz iki çözümü de
inceleyin. Sonra hangisinin doğru olduğuna benim
cevabıma bakmadan karar vermeye çalışın.
Çözüm 1: Atom modelinden –10 < x⋅y < 6 çıkar. Diğer yandan –1 < –y < 2 olduğundan taraf
tarafa toplama yapılırsa –11 < x⋅y – y < 8 bulunur
ki en küçük tamsayı değeri –10, en büyük tamsayı
değeri de 7 olduğundan cevap –3 olmalıdır. Siz
öyle zannedin!
Çözüm 2: x⋅y – y = y⋅(x – 1) olduğundan x – 1
sayısının bulunduğu aralığı bulup, y’nin bulunduğu aralıkla çarpmayı hedefliyoruz. İnşallah ilk çözümün sonucuyla aynı çıkar☺
–4 < x – 1 < 4 ve –2 < y < 1 olduğundan –8 <
x⋅y – y < 8 olur. En küçük tamsayı değeri –7, en
büyük tamsayı değeri de 7 olduğundan cevap 0
olmalıdır.
Eeee, şimdi n’olacak? Birinci çözüm mü doğru, yoksa ikincisi mi? Hatta bu çözümler arasında
doğru cevap var mı?
Doğru çözüm ikincisiydi. Birincisi yanlıştı. Birincideki yanlışlık şundan kaynaklanıyor: Dikkat
ederseniz x⋅y – y ifadesinin alabileceği en küçük
tamsayı değerine ulaşmak için –10 < x⋅y ve –1 < –
y eşitsizliklerini kullandık. Halbuki x.y çarpımının
–10 sayısına çok yaklaşmasını sağlayan y değeri 2 alınmışken diğer eşitsizlikte sanki o y farklı
y’ymiş gibi –1’e çok yakın alınmış. Bu gibi hatalara bundan sonra düşmek istemiyorsanız topladığınız ya da çarptığınız eşitsizliklerin her katında
farklı değişkenlerin olmasına özen gösterin. İki
farklı katta iki aynı değişken varsa bile birinin aldığı değeri aynı anda diğerinin de alması gerektiğini unutmayın. İkinci çözümdeki y ve x – 1 ifadeleri birbirlerinden bağımsız olduğundan çözümde
herhangi bir sorun yoktur.
Buna çok benzer bir hata ikinci dereceden bir
ifadenin minimum ve maksimum değerlerini bulurken de yapılıyor. Örneğin, hangi aralıkta olduğu verilmiş bir x sayısı için x2 – 2x sayısının oynadığı aralık sorulduğunda, x ve x – 2 sayılarının bulunduğu aralıklar bulunup, hemen atomdan çözüm
Eşitsizliklerde çarpma. Verilen iki değişkenin
çarpımının hangi aralıkta değiştiğini çalışacağız.
Amacımız bu çarpımın en az kaç ve en çok kaç
olabileceğini ya da olamayacağını bulmak olacak.
Bunun için de düşünmek gerekecek. Neyi düşüneceğiz? İki sayının çarpımının olabildiğince küçük
olabilmesi için illa da her iki sayıyı olabildiğince
küçük almak yetmeyebilir. Çünkü sayının biri pozitif biri negatif seçilirse, pozitif olanı mümkün
olduğunca büyük veya negatif olanı mümkün olduğunca küçük almak da çözüme götürür bazen.
Hatta ne bazeni, böyle bir durumda bundan başka
yol da yoktur.
Siz aşağıdaki örnekleri incelemeye koyulun.
Ben de bu gibi sorularda bulduğum metodu ufak
ufak yazmaya başlayayım.
2<x<5
3 < y < 7 ise 5 < x⋅y < 35
–2 < x < 5
3 < y < 7 ise –14 < x⋅y < 35
–2 < x < 5
–3 < y < 7 ise –15 < x⋅y < 35
–2 < x < 5
–3 < y < 1 ise –15 < x⋅y < 6
Eşitsizliklerde çarpma yaparken dikkat edilmesi gereken birçok husus olduğundan ve hata yapılma oranı yüksek olduğundan n’olur n’olmaz
diye şu atom modeli’ni de göstereyim:
a<x<b
a<x<b
c<y<d
ise
yandaki gibi bir atom
c<y<d
modeli çizip, ac, bd, ad ve
bc çarpımlarını hesaplayacağız, en küçüğü hangisiyse x.y eşitsizliğinin soluna, en büyüğü hangisiyse de sağına yazacağız.
3
Mustafa Yağcı
Basit Eşitsizlikler
yapıyorlar. Halbuki x’in sınırlarına bağlı olarak
baştan aşağı yanlış bir çözüm olabilir. Yapılması
gerek doğru hareket (x – 1)2 – 1 haline getirmektir.
Biz de buna bir örnek çözelim:
6.
x ve y tamsayıları için 2 < x < 6 ve 5 < y < 8 ise x
– 2y farkı en az ve en çok kaç olur?
Örnek. –4 ≤ x < 2 için x2 + 6x + 2 ifadesinin
alabileceği en küçük ve en büyük tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm: Sakın ola ki ‘’önce şu x⋅(x + 6) ifadesinin nerde olduğunu bulalım, sonra her tarafa 2
ekleriz’’ demeyin.
A = x2 + 6x + 2 = x2 + 6x + 9 – 7 = (x + 3)2 – 7
olduğundan önce x + 3 sayısının hangi aralıkta bulunduğunu bulacağız, sonra o aralığın karesini alacağız, sonra da her taraftan 7 çıkartacağız.
–4 ≤ x < 2
–1 ≤ x + 3 < 5 (Her tarafa 3 ekledik)
0 ≤ (x + 3)2 < 25 (Aralığın karesini aldık)
–7 ≤ (x + 3)2 – 7 = A < 18 (Her taraftan 7 çıkardık)
O halde A sayısının alabileceği en küçük tamsayı değeri –7, en büyük tamsayı değeri de 17’dir.
Böylelikle cevabımız –7 + 17 = 10 olmalıdır.
7.
–2 < x < 5 ve –3 < y < 6 ise x.y çarpımı hangi aralıktadır?
8.
2x + 3y = 10 ve 2 < x < 5 ise y hangi aralıktadır?
9.
0 < a ≤ 1 iken a⋅b = 1 ise a artan değerler alırken b
nasıl değişir?
10.
a > b > 0 ve c =
lıktadır?
Alıştırmalar
1.
2 < x < 8 ise x + 1, 2x,
x
, 3x – 1, x2 değerleri han4
gi aralıktadır?
2.
2 < x < 8 ise –x ve
1
değerleri hangi aralıktadır?
x
3.
7 < 3x + 1 < 22 ise 2 – x değeri hangi aralıktadır?
4.
2 < x < 5 ve 3 < y < 6 ise x + y ve x – y değerleri
hangi aralıktadır?
5.
x ve y tamsayıları için 2 < x < 6 ve 5 < y < 8 ise x
+ y toplamı en az ve en çok kaç olur?
4
a+b
olduğuna göre c hangi arab
Mustafa Yağcı
Basit Eşitsizlikler
5