Olasılık

© 2000 Prentice-Hall, Inc.
İşletme Ve Ekonomi İçin
İstatistik
Olasılık
Bölüm 3
3-1
Beyin Fırtınası
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Madeni Para İle Yazı Tura
Attığımızda Yazı Gelme
Olasılığı Nedir? Eğer
Denersek Gelmeyebilir
ama Diğer Seçenek ise
Mutlaka Doğrudur.
Parayı Tekrar Atalım.Yazı
mı, Tura
mı,Gelecek?Burada ki
Anlam Nedir?
3-2
Yapılan Birçok Deneme!
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Toplam Tura Kısmı /
Yapılan Yazı-Tura Denemesi
1.00
0.75
0.50
0.25
0.00
0
25
50
75
100
125
Yapılan Yazı-Tura Denemesi
3-3
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Deneme,
Sonuç & Olay
3-4
Deneyler Ve Sonuçlar
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
1. Deney

Gözlem Yapma İşlemi, Sonuç Veya Basit
Bir Olaydır
Örnek Kütle
2. Örnek

Deneysel
Olmalıdır
Deneyin En Temel Sonuçlarıdır
3. Örnek Kütle (S)

Olabilecek Bütün Sonuçların Toplamıdır
3-5
Sonuç Örnekleri
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Deney
Örnek Uzay
Yazı-Tura atılır
2 Para Yazı-Tura atılır
Kart Seçildiğinde,
Kart Seçildiğinde
Futbol Oynanınca
Kaliteye Bakılınca
Cinsiyete Bakılınca
Tura,Yazı
TT, YZ, TY, YY
2, 2, ..., A (52)
Kırmızı, Siyah
Kazanır,Kaybeder,Eşit
Bozuk, Tamam
Erkek,Bayan
3-6
Sonuç Özellikleri
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Deney: Cinsiyet Gözlemi
1.

İki sonuç aynı anda
gerçekleşemez
 Bir İnsan Hem Erkek
Hem Bayan olamaz

Örnek kütlenin en az bir
sonucu olmalı

Erkek Veya Bayan
2.
© 1984-1994 T/Maker Co.
3-7
Olay
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
1. Örnek Noktaların Bazılarının Toplamı
2. Basit Olay



Sonucun tek bir özelliği vardır.
Sonuçların Ve Basit Olayların
Toplanması
2 Veya Daha Fazla Özellik
Ortak Olay
3. Bileşik Olay

3-8
2 Olay Eş zamanlı Olabilir
Örnek Olay
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Bir deneyde: İki defa para atılırsa …sonuçlar.
Olay
Örnek Kütle
1 Tura & 1 Yazı
İlki Tura
Sonuncu Tura
İki Yüzde Yazı
3-9
Olayın Sonucu
TT, TY, YT, YY
HT, TH
TT, TY
TT, TY, YT
TT
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Örnek Kütle
3 - 10
Örnek Kütlenin Gösterimi
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
1.
Listelenmesi

S = {Yazı, Tura}
2.
Venn Şeması
3.
Olasılık Tablosu
4.
Ağaç Şemasının Yorumlanması
3 - 11
Venn Şeması
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Deney: 2 kere Yazı Tura Atalım.
Yazı
YT
TT
Sonuç
TY
TT
S
S = {TT, TY, YT, YY}
3 - 12
Örnek Kütle
Bileşik
Durum
Olasılık Tablosu
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Deney: 2 Kere Parayı Atalım.
2
st
1 Para
Basit
Olay
(İlkinde
Tura)
Tura
Yazı
Toplam
Tura
Para
Yazı
Toplam Sonuç:
(Her
TT
YT
TT, TY zaman
Gösterilen
YT
YY
YT, YY toplam
%’lik
TT, YT TY, YY
S
hesaplanır)
S = {TT, TY, YT, YY}
3 - 13
nd
Örnek Kütle
Ağaç Şeması
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Deney: 2 Adet Parayı Atın ve Sonucu
Kaydedin.
T
TT
Y
TY
T
Sonuç
T
YT
Y
YY
Y
S = {TT, TY, YT, YY}
3 - 14
Örnek Kütle
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Olayların Birlikte Gerçekleşmesi
3 - 15
Olayların Birlikte
Gerçekleşme Şekli
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
1. Kesişim



Sonuçlar Aynı Olaylarda ise A Ve B
‘VE’ İfadesi
 Sembol’ü (i.e., A  B)
2. Beraber



Sonuçlar Ayrı Olaylarda ise A Veya B
Veya Her ikiside
‘Veya’ İfadesi
 Sembol’ü (i.e., A  B)
3 - 16
Kesişim Olayı:
Venn Şeması
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Deney: Bir Kart Çekin. Rengini Ve Şeklini
Kaydedin
Siyah
Örnek Kütle:
2R, 2R,
2B, ..., AB
As
As olayı:
AR, AR, AB, AB
3 - 17
Olay
Siyah:
2B, ...,
AB
S
Ortak Olay (AS  Siyah):
AB, AB
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Kesişim Olayı:
Olasılık Tablosu
Deney: Bir Kart Çekin. Rengini Ve Şeklini Kaydedin
Renk
Örnek Kütle
Çeşit
(S):
As
2R, 2R,
2B, ..., AB
Kırmızı
Siyah Toplam
AS ve As ve
Kırmızı Siyah
Kırmızı ve Siyah ve
As
As olayı ile
olmayan olmayan olmayan
siyahı bağlayın Toplam
Kırmızı Siyah
Siyah:
AB, AB
3 - 18
Ace
As ve
olmayan
S
Basit
As
Olayı:
AR,
AR,
AB,
AB
Basit Siyah Olayı: 2B, ..., AB
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Olayların Bağlanması :
Venn Şeması
Deney: Bir Kart Çekin. Çeşidini,Şeklini,Rengini
Kaydedin.
Siyah
Örnek kütle:
2R, 2R,
2B, ..., AB
As
Olay AS:
AR, AR, AB, AB
3 - 19
S
Olay:
Siyah
2B,
2B, ...,
AB
Sonuç (As  Siyah):
AR, ..., AB, 2B, ..., KB
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Olayların Bağlanması :
Olasılık Tablosu
Deney: Bir Kart Çekin. Çeşidini,Şeklini,Rengini
Kaydedin.
Renk
Çeşit
Örnek Kütle
Kırmızı Siyah Toplam
(S):
As
As & As &
As
2R, 2R, 2B,
Kırmızı Siyah
..., AB
Kırmızı
Hiçbiri & As ve as
Bağlanmış Olay As olmayan ve
olmayan
olmayan
Siyah
AS veya Siyah
Toplam
Kırmızı Siyah
S
AR, ...,
AB, 2B, ...,
Basit olay Siyah:
KB
2B, ..., AB
3 - 20
Basit
olay As:
AR,
AR,
AB,
AB
Özel Durumlar
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Boş Küme
1.

Bir Kart Çekilmesinde
Sinek veya Karo
Olayın Tümleyeni
2.

A olayı için, Bütün Olaylar
A olayının içinde değildir A:
A’
3.
Birbirini Dışlayan
Olaylar

Olaylar Eşzamanlı
Oluşmaz
3 - 21
Boş olayı

© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Olayın Tümleyeni
Örneği
Deney: Bir Kart Çekin. Çeşidini,Şeklini,Rengini
Kaydedin.
Siyah
Örnek Kütle:
2R, 2R,
2B, ..., AB
S
Siyah Olayı:
2B, 2B, ..., AB
3 - 22
Siyah Olayının Tümleyeni :
2R, 2R, ..., AR, AR
Birbirini Dışlayan
Olaylara Örnek
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Deney: Bir Kart Çekin. Çeşidini,Şeklini,Rengini
Kaydedin.
Örnek
Kütle:
2, 2,
2, ..., A


Maça Olayı:
2, 3, 4, ..., A
3 - 23
S
Kalp
Olayının
Sonucu :
2, 3,
4, ..., A
Olaylar  & Birbirini Dışlayan
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Olasılık
3 - 24
Olasılık Nedir?
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
1.
Olabilirliğin Sayısal
Ölçümünde



P(Olay)
P(A)
Olasılık(A)
2.
0 & 1 Arası Geçersizdir.
3.
Olayların Toplamı 1’dir
1
.5
0
3 - 25
Kesin
İmkansız
Olaylara Olasılık Atamak
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
1.
(Deneyden Önce) Olasılık nedir?
Önsel Klasik Yöntem
2.
Deneysel Klasik
Yöntem
3.
Öznel Yöntem
3 - 26
Önsel Klasik Yöntem
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
1.
Yöntem Öncesi Bilgi
2.
Deneyden Önce
3.
P(Olay) = X / T



X = Olay Sonuçlarının Sayısı
© 1984-1994 T/Maker Co.
T = Örnek Kütleden Çıkan Toplam Sonuç
Her bir T Sonucu Eşit Olasılıktadır
 P(Sonuç) = 1/T
3 - 27
Deneysel Klasik Yöntem
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
2.
Doğru Datalar Toplandı 100 Parça
İncelendi,Sadece
Deneyden Sonra
3.
P(Olay) = X / T
1.
Tanesi Hatalı


Deney T Kere Tekrarlanır
Olay X Kere Gözlemlenir
4.
Böylece Göreceli
Frekans Yöntemi Olarak
Adlandırılır
3 - 28
Öznel Yöntem
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
1. Bireylerin Bilgisinin
Durumu
2. Deneyden Önce
3. 1 Kere Yapılır

Tekrar Edilemez
4. Kişilere Göre Değişik
Olasılıklar Vardır
Örnek…. at yarışı - borsa
endeksi
3 - 29
© 1984-1994 T/Maker Co.
Birlikte Gerçekleşen
Olayın Olasılığı;
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
1. Olasılığın Sayısal Ölçümün de Bileşik
Olay oluşacaktır.
2. Olasılık Tablosu Sıkça Kullanılır

Sadece 2 Değişken için
3. Formül Metotları



Toplama-Toplama Kuralı
Şartlı-Şartlı Olasılık Kuralı
Çarpım-Çarpma Kuralı
3 - 30
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Örnek Kütleler
Bütün Sonuçların İhtimallerinin Toplamı
Ör. Zarın 6 Tane yüzü:
Ör. Briç Destesi’nin 52 kağıdı:
3 - 31
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Olaylar
•Tek Olay: Örnek Kütlenin Sonucunun Kendi
özgü bir özelliği vardır
Örnek. Kart Destesindeki Kırmızı Kart.
• Ortak Veya Bileşik Olay: Eşzamanlı 2 Sonucu
İçerir
Örn. Kart Destesindeki As Aynı Zamanda Kırmızı
Karttır .
AS aynı zamanda Kırmız Karttır
3 - 32
Olayların Canlandırılması
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
•Olasılık Tablosu
As
•Ağaç Gösterimi
3 - 33
As olmayan Toplam
Siyah
Kırmızı
2
2
24
24
26
26
Toplam
4
48
52
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Basit Olaylar
Mutlu Yüzlerin Olayı
18 Tane işaretten 5 Tanesi Mutlu Yüz
3 - 34
Ortak Olaylar
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Mutlu Yüzlerin Olayı ve Açık Renkler
3 - 35
3 yüz Açık Renklidir
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Bileşik Olaylar
Mutlu Yüzlerin Olayı Veya Açık Renklilerin
12 öğe, 5 Mutlu Yüz Ve 7 Farklı Renkli öğe
3 - 36
Bağımlı Ve Bağımsız
Olaylar
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Verilen Mutlu Yüzler Açık Renklidir
E = Mutlu Yüz Acık Renk
3 Öğe, Verilen 3 Mutlu Yüz Açık Renklidir
3 - 37
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Olasılık Tablosu
Kırmızı As
52 Kart Destesi
AS
As
Toplam
olmayan
Kırmızı
2
24
26
Siyah
2
24
26
Toplam
4
48
52
Örnek Kütle
3 - 38
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Ağaç Gösterim
Olay İhtimalleri
As
Kırmızı
kartlar
Dolu Kart
Destesi
As
olmayan
As
Siyah
Kartlar
3 - 39
As olmayan
Olasılık Tablosu Kullanarak
Olayların Olasılıkları
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Olay
Olay
B1
B2
Toplam
A1
P(A1  B1) P(A1  B2) P(A1)
A2
P(A2  B1) P(A2  B2) P(A2)
Toplam
Bileşik Olasılık
3 - 40
P(B1)
P(B2)
1
Marjinal (Basit) Olasılık
Olasılık Tablosu Örneği
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Deney: Bir Kart Çekin. Çeşidini,Şeklini,Rengini
Kaydedin.
Renk
Çeşit
As
2/52
Siyah Toplam
2/52
4/52
As olmyn. 24/52
24/52 48/52
26/52
26/52 52/52
Toplam
P(Kırmızı)
3 - 41
Kırmızı
P(As)
P(As VE Kırmızı)
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Beyin
Fırtınası
Olasılık Nedir?
P(A) =
P(D) =
P(C  B) =
P(A  D) =
P(B  D) =
3 - 42
Olay
A
Olay
C
D Toplam
4
2
6
B
1
3
4
Toplam
5
5
10
Çözüm*
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Olasılıklar:
P(A) = 6/10
P(D) = 5/10
P(C  B) = 1/10
P(A  D) = 9/10
P(B  D) = 3/10
3 - 43
Olay
A
Olay
C
D Toplam
4
2
6
B
1
3
4
Toplam
5
5
10
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Toplama Kuralı
3 - 44
Toplama Kuralı
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
1. Bağdaşır Olaylar İçin Olasılıkların
Bileşenleri Kullanılır
2. P(A Veya B)= P(A  B)
= P(A) + P(B) - P(A  B)
3. Bağdaşmayan Olaylar İçin:
P(A Veya B)= P(A  B) = P(A) + P(B)
3 - 45
Toplama Kuralı Örnek
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Deney: Bir Kart Çekin. Çeşidini,Şeklini,Rengini
Kaydedin.
Renk
Çeşit
As
Kırmızı
Siyah Toplam
2
2
4
As olmyn
24
24
48
Toplam
26
26
52
P(As Veya Siyah) = P(As) + P(Siyah)- P(As
4
26
2
28




52 52 52 52
3 - 46
 Siyah)
Beyin Fırtınası
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Toplama Kuralını Kullanarak Olasılık
Nedir?
P(A  D) =
P(B  C) =
3 - 47
Olay
A
Olay
C
D Tolam
4
2
6
B
1
3
4
Toplam
5
5
10
Çözüm*
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Toplama Kuralını Kullanarak Olasılıklar:
P(A  D) = P(A) + P(D) - P(A  D)
6
5
2
9




10 10 10 10
P(B  C) = P(B) + P(C) - P(B  C)
4
5
1
8




10 10 10 10
3 - 48
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Koşullu Olasılık
3 - 49
Koşullu Olasılık
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
1. Olayın Olasılığı Başka Bir Olayın
Olmasına Bağlıdır
2. Yeni Bilgiler için Orijinal Örnek
Kütlemizin Hesaplarını Gözden
Geçirelim

Kesin Olan Sonuçları Çıkaralım
3. P(A | B) = P(A and B)
P(B)
3 - 50
Koşullu Olasılığı Venn
Şemasında Kullanalım
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Siyah
As
Olay (As VE Siyah)
3 - 51
S
Siyah ‘Oldu’:
Diğer Sonuçları
Çıkaralım
Siyah
(S)
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Koşullu Olasılığın Olasılık
Tablosunda Kullanımı
Deney: Bir Kart Çekin. Çeşidini,Şeklini,Rengini
Kaydedin.
Renk
Kırmızı Siyah Toplam Değiştirilmiş
Örnek Kütle
Çeşit
2
2
4
As Olmyn
24
24
48
Toplam
26
26
52
As
P(As | Siyah) =
3 - 52
P(As VE Siyah)
P(Siyah)

2 / 52
26 / 52

2
26
İstatistiksel Bağımsızlık
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
1.
Olayın Oluşu Başka
Bir Olayın Olasılığına Etki
Etmez.

1 Parayı 2 Keren YazıTura Atın
2.
Nedensellik Olmaz
3.
Testler:


P(A | B) = P(A)
P(A Ve B) = P(A)*P(B)
3 - 53
Ağaç Gösterimi
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Deney: 20 Kalemden 2 Tanesini Seçin: 14
Mavi & 6 Kırmızı. Yerlerini Değiştirmeyiniz.
P(R) = 6/20
Bağımlı!
P(B) = 14/20
3 - 54
P(R|R) = 5/19
K
P(B|R) = 14/19
P(R|B) = 6/19
M
K
P(B|B) = 13/19
M
K
M
Beyin Fırtınası
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Tablo Ve Formül’ü Kullanarak Olasılık
nedir?
P(A|D) =
P(C|B) =
Olay
A
B
C&B
Bağımsızlar mıdır? Toplam
3 - 55
Olay
C
D Toplam
4
2
6
1
3
4
5
5
10
Çözüm*
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Formülü Kullanarak Olasılıklar Aşağıdaki Gibidir:
P(A  D) 2 / 10 2
P(A | D) =


P(D)
5 / 10 5
P(C  B) 1 / 10 1
P(C | B) =


P(B)
4 / 10 4
5 1
P(C) =

10 4
3 - 56
Bağımlı
2-4 Şartlı Olasılık
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Şartlı Olasılığın Kuralları:
Bundan
P
(
A

B
)
P( A  B)  P( A B) P( B)
P( A B) 
P( B)
dolayı
 P( B A) P( A)
Eğer A ve D olayları istatiksel Bağımsız ise:
P ( A D)  P ( A)
P ( D A)  P ( D)
3 - 57
Bundan
dolayı
P( A  D)  P( A) P( D)
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Olasılık Tablosu –
Örnek 2-2
Hesap
AT& T
IBM
Toplam
Haberleşme
40
10
50
Bilgisayar
20
30
50
Toplam
60
40
100
AT& T
IBM
Total
Haberleşme
.40
.10
.50
Bilgisayar
.20
.30
.50
Toplam
.60
.40
1.00
IBM tarafından üstlenilen
Projenin Olasılığı
Verilmiştir .Bu Bir
Haberleşme Projesidir.
Olasılıklar
3 - 58
P ( IBM  T )
P(T )
.10

.2
.50
P ( IBM T ) 
2-5 Olayların
Bağımsızlığı
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
A ve B Olaylarının istatiksel Bağımsızlığı İçin Koşullar:
P ( A B )  P ( A)
P ( B A)  P ( B )
VE
P ( A  B )  P ( A) P ( B )
P ( As
P ( As  Kalp )
P ( Kalp )
1
1
 52 
 P ( As )
13 13
52
Kalp ) 
P ( AS  Kalp ) 
3 - 59
P ( Kalp
P ( Kalp  As )
P ( As )
1
1
 52   P ( Kalp )
4
4
52
As ) 
4 13 1

 P ( As ) P ( Kalp )
52 52 52
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Joint Probability Using
Contingency Table
Olay
B1
Olay
B2
Toplam
A1
P(A1 and B1) P(A1 and B2) P(A1)
A2
P(A2 and B1) P(A2 and B2) P(A2)
Toplam
Bileşik Olasılık
3 - 60
P(B1)
P(B2)
1
Marjinal (Basit) Olasılık
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Çarpım Kuralı
3 - 61
Çarpım Kuralı
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
1. Olayların Kesişimi için Olasılıkların
Bileşenleri Kullanılır

Bileşik Olayı Olarak Adlandırılır
2. P(A ve B) = P(A  B)
= P(A)*P(B|A)
= P(B)*P(A|B)
3. Bağımsız Olaylar İçin:
P(A ve B) = P(A  B) = P(A)*P(B)
3 - 62
Çarpma Kuralına Örnek
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Deney: Bir Kart Seçin Ve Rengini Şeklini
Kaydedin.
Renk
Çeşit
As
Kırmızı
Siyah Toplam
2
2
4
As olmyn
24
24
48
Toplam
26
26
52
P(As VE
Siyah) = P(As)  P(Siyah | As)
 4  2
 2 
       
 52   4 
 52 
3 - 63
Beyin Fırtınası
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Çarpma Kuralını Kullanarak Olasılık
Nedir?
P(C  B) =
Olay
C
D Toplam
4
2
6
P(B  D) =
Olay
A
P(A  B) =
B
1
3
4
Toplam
5
5
10
3 - 64
Çözüm*
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Çarpma Kurallarını Kullanarak Çözüm:
P(C  B) = P(C)  P(B|C) = 5/10 * 1/5 = 1/10
P(B  D) = P(B)  P(D|B) = 4/10 * 3/4 = 3/10
P(A  B) = P(A)  P(B|A)  0
3 - 65
Bir Kart Seçin:
Örnek Kütle
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
Kalpler Karolar
As ve Kalp
Olaylarının
Bileşimi
A
K
Q
J
10
9
8
7
6
5
4
3
2
P ( Kalp U As ) 
n ( Kalp U As )

n (S )
16
52

4
A
K
Q
J
10
9
8
7
6
5
4
3
2
Sinekler
A
K
Q
J
10
9
8
7
6
5
4
3
2
Maçalar
A
K
Q
J
10
9
8
7
6
5
4
3
2
Olay ‘As’
P ( As ) 
n ( As )
n(S )

4
1

52
13
13
As Ve Kalp Olaylarının Kesiştiği Yer
İki kere Çember İçine Alınan Noktadır :
Kalplerin As’ıdır.
Olay ‘Kalp’
P ( Kalp ) 
n ( Kalp )
n (S )

13
52

1
4
P ( Kalp  As ) 
n ( Kalp  As )
n(S )
3 - 66

1
52
Ders Kitabınızdan Notlar
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
3 - 67
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
3 - 68
İKİ DEĞİŞKENLİ
OLASILIK
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
3 - 69
Koşullu Olasılık
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
P(Arasıra izleme;Orta Gelır)=P(Arasira izleme n Orta Gelir) / P(Orta Gelir)
=0.11/0.41
= 0.27
3 - 70
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
P(Arasıra izleme;Orta Gelir)=P(Arasira izleme n Orta Gelir) / P(Orta Gelir)
=0.11/0.41
= 0.27
P(Orta Gelir : Arasira Izleme)=P(Arasira izleme n Orta Gelir) / P(Arasira Izleme)
=0.11/0.27
= 0.41
3 - 71
© 2000 Prentice-Hall, Inc.
3 - 72