HAREKET DENKLEMLERİ: SABİT BİR EKSEN ETRAFINDA

HAREKET DENKLEMLERİ: SABİT BİR EKSEN
ETRAFINDA DÖNME HAREKETİ
Amaçlar
1. Dönme hareketi yapan rijit bir
cismin düzlemsel kinetik analizi.
UYGULAMALAR
Petrol pompasına bağlı krank, bir
motordan sağlanan M torku ile sabit bir
eksen etrafında dönmektedir.
Krank döndükçe, pinde dinamik
reaksiyonlar oluşacaktır. Bu reaksiyon,
açısal hızın, ivmenin ve krankın
pozisyonunun bir fonksiyonudur.
Dönme merkezinde
pinli!
HARAKET DENKLEMİ: SABİT BİR EKSEN
ETRAFINDA DÖNEN CİSİM
Rijit bir cisim sabit bir eksen etrafında
döndüğünde (sayfa düzlemine dik) cismin
kütle merkezi G, yarıçapı rG olan dairesel
bir yörüngede döner. Bu durumda, G
noktasının ivmesi teğetsel (aG)t = rG α ve
normal (aG)n = rG ω2 bileşenlerine sahip
olacaktır.
Cismin açısal ivmesi olacağı için, cismin ataleti Igα
büyüklüğünde bir moment oluşturacaktır, bu moment dış
kuvvetlerin G’de oluşturdukları momente eşittir. Bu durumda
skaler hareket denklemleri aşağıda verilmiştir:
∑ Fn = m (aG)n = m rG ω2
∑ Ft = m (aG)t = m rG α
∑ MG = I G α
HARAKET DENKLEMİ: SABİT BİR EKSEN
ETRAFINDA DÖNEN CİSİM (devam)
Dikkat edilirse, ∑MG denklemi herhangi bir noktaya göre
moment denklemiyle yer değiştirebilir. Örneğin O dönme
noktasına göre momentlerin toplamı yazılabilir:
∑MO = IGα + rG m (aG) t = [IG + m(rG)2] α
Paralel eksenler teoreminden, IO = IG + m(rG)2, olduğu
görülür, böylece parantez içindeki terimin IO olduğu görülür.
Sonuç olarak cisim için üç hareket
denklemi yazılabilir:
∑Fn = m (aG)n = m rG ω2
∑Ft = m (aG)t = m rG α
∑MO = IO α
ANALİZ YÖNTEMİ
Sabit bir eksen etrafında dönen rijit cismin kinetik problemi,
aşağıda sıralan yöntemi izleyerek analiz edilebilir:
1. Referans eksenleri oluşturun ve (aG)n ve (aG)t için yön ve işaret
kabulleri yapın,
2. Tüm dış kuvvet ve momentler için serbest cisim diyagramı
çizin. Bu kuvvetlerden dolayı oluşan atalet kuvvetlerini ve
momentleri ayrı bir kinetik diyagramında gösterin,
3. IG veya IO kütle atalet momentlerini hesaplayın,
4. Üç hareket denklemini yazın ve bilinmeyenleri belirleyin.
Bilinmeyenler için denklemleri çözün.
5. Eğer üç bilinmeyenden fazla bilinmeyen varsa, kinematikten
yaralanın çünkü hareket denklemleri ile en fazla üç
bilinmeyenin bulunabilir.
ÖRNEK 1
Verilen: Üniform narin çubuğun kütlesi
15 kg’dır.
G
rG
Aranan: Kablo kesildikten hemen
sonra, O noktasındaki reaksiyon
kuvvetlerini ve çubuğun açısal
ivmesini bulunuz.
Yöntem: G kütle merkezi, yarıçapı 0.15 m olan dairesel bir
yörüngede dönecektir. Tam ipin kesildiği anda
çubuğun kütle merkezi G’nin bir ivmesi olacaktır.
Analiz yöntemini uygulayıp soruyu çözünüz!
ÖRNEK 1 (devam)
Çözüm:
Serbest Cisim ve Kinetik Diyagramları:
rG
=
S
K
Hareket Denklemleri (Ox ve Oy reaksiyon kuvvetleri):
+ ∑Fn = man = mrGω2
⇒ Ox = 0 N (tam o anda açısal hız sıfır)
+ ∑Ft = mat = mrGα
⇒ -Oy + 15(9.81) = 15(0.15)α (1)
+ ∑MO = IG α + m rG α (rG) ⇒ (0.15) 15(9.81)= IG α + m(rG)2 α
IG = (ml2)/12 ve rG = (0.15) ise aşağıdaki ifade yazılabilir:
IG α + m(rG)2 α = [(15×0.92)/12 + 15(0.15)2] α = 1.35 α
ÖRNEK 1 (devam)
rG
=
Buradan açısal ivme bulunur:
22.07 = 1.35 α ⇒ α = 16.4 rad/s2
Denklem (1)’den Oy bulunur:
-Oy + 15(9.81) = 15(0.15)α
⇒ Oy = 15(9.81) − 15(0.15)16.4 = 110 Ν (Statik durumdan
farklı!)
ÖRNEK 2
Verilen: mküre = 30 kg
mçubuk = 10 kg
Aranan: AB kesildiği anda, O
noktasındaki mafsalda oluşan
reaksiyon kuvvetler nelerdir?
1m
2m
Yöntem:
Küre ve çubuğun tümü için serbest cisim ve kinetik
diyagramlarını çizin ve hareket denklemlerini
uygulayın.
Örnek 2 (devam)
Çözüm:
Serbest cisim ve kinetik diyagramlar:
30 kg
msphere(3)(0)2
10 kg
1m
(IG)sphereα
Ox
3m
Oy
(IG)rodα
mrod(1.0)(0)2
=
msphere(3α)
mrod(1.0α)
Hareket Denklemi: an = rω2 (durağan halde!)
∑Fn = m(aG)n: Ox = (30)(3)(0)2 + (10)(1.0)(0)2
⇒ Ox = 0 N (o yönde etkiyen dış kuvvet yok!)
Örnek 2 (devam)
30 kg
mküre(3)(0)2
10 kg
1m
(IG) küre α
Ox
3m
(IG)çubukα
m çubuk(1.0)(0)2
=
Oy
m küre(3α)
m çubuk(1.0α)
∑Ft = m(aG)t: - Oy + 9.81*(30 + 10) = (30) (3α) + (10) (1.0α)
⇒ Oy = 40 – 100 α
Kürenin kütle mer.
göre kütle atalet mom IG = 0.4mr2.
∑MO = Ioα:
9.81*(30(3.0) + 10(1.0)) = [ 0.4 (30) (1)2 + (30) (3)2 ]küre α
+ [ (1/12) (10) (2)2 + (10) (1)2 ]çubuk α
⇒ 100 = 315.3 α
Bu durumda, α = 0.32 rad/s2, Oy = 8 N