DÜZLEMSEL KİNETİK HAREKET DENKLEMİ: ÖTELENME

DÜZLEMSEL KİNETİK HAREKET DENKLEMİ:
ÖTELENME
Amaçlar:
1. Düzlemsel hareket halinde
bulunan bir cisme üç hareket
denkleminin uygulanması.
2. Ötelenme hareketi içeren
problemlerin analizi.
UYGULAMALAR
Şekildeki tekne ve kızak
doğrusal hareket yapmakta.
Kızağın tekerleklerinde oluşan
tepkileri ve teknenin ivmesini
bulmak için teknenin ve
kızağın serbest cisim ve
kinetik diyagramlarını
çizmemiz gerekmektedir.
Bu problemi çözmek için kaç tane hareket denklemine
ihtiyaç vardır?
UYGULAMALAR (devam)
Traktör yükü yukarı doğru
kaldırdığında, eğer forklift
dönme hareketi
yapmıyorsa, yük eğrisel
ötelenme hareketi yapar.
Eğer yük çok hızlı kaldırılırsa, kasa sola veya sağa hareket eder
mi?
Kasa kaymadan ne kadar hızla kaldırılabilir?
DÜZLEMSEL KİNETİK HAREKET DENKLEMİ
• Rijit cisimlerin düzlemsel kinetiğini sabit bir referans eksenine
göre simetrik olan cisimler için sınırlayacağız. Cisme etkiyen
kuvvetler de bu eksene göre yine simetrik etkiyecek.
• Bir önceki bölümde incelendiği gibi, bir cisim genel düzlemsel
harekete yapıyorsa, ötelenme ve dönme hareketlerinin
kombinasyonu şeklinde hareket ediyor demektir.
• Önce P gibi bir noktada
koordinat sistemi oluşturulur.
x-y eksenleri dönmemelidir.
Eksenler bir yere sabit olmalı
veya sabit bir hızla hareket
edebilir.
ÖTELENME HAREKET DENKLEMLERİ
• Bir cisim ötelenme hareketi yapmaktaysa hareket denklemi
ΣF = m aG (vektörel) olacaktır. Bu denklem skaler formda
yazılabilir.
Σ Fx = m(aG)x
ve
Σ Fy = m(aG)y
• Bu denklemler ne ifade eder:
Cisme etkiyen tüm kuvvetlerin
toplamı cismin kütlesi çarpı kütle
merkezinin ivmesine eşittir (iki
yönde de bu sağlanmalıdır).
DÖNME YOK!
DÖNME HAREKET DENKLEMLERİ
Şimdi, dış kuvvetlerin oluşturduğu momentlerin etkisini yani
dönme hareketini de dikkate alalım:
Bu kuvvetlerin bir P noktasına göre momenti aşağıdaki gibi
hesaplanır:
Σ (ri × Fi) + Σ Mi = r × maG + IGα
Σ Mp = Σ(Mk)p
Burada r = x i + y j ve Σ Mp tüm dış kuvvetlerin P noktasında
yarattığı momenttir. Σ(Mk)p terimi P noktasına göre kinetik
moment denir.
r
DÖNME HAREKET DENKLEMLERİ (devam)
P noktası cismin kütle merkezi G ile çakışıyorsa, yukarıdaki
denklem skaler tek bir denkleme indirgenir ΣMG = IG α.
Bu denklem ne ifade eder: Etkiyen tüm dış kuvvetlerin kütle
merkezine göre yarattığı bileşke moment, G noktasına göre
kütle atalet momenti × açısal ivmeye eşittir.
Böylece genel düzlemsel hareket için, üç adet bağımsız skaler
denklem kullanarak, rijit bir cismin genel hareket denklemi
tanımlanabilir. Bu denklemler aşağıda özetlenmiştir:
Atalet
Kuvvetleri
Σ Fx = m(aG)x
Σ Fy = m(aG)y
Σ MG = IGα veya Σ Mp = Σ (Mk)p
P nok. herhangi bir nokta!
HAREKET DENKLEMİ: SADECE ÖTELENME
Eğer rijit bir cisim sadece ötelenme hareketi yapıyorsa, bu
durumda cisim üzerindeki tüm parçalar eşit ivmeye sahiptir yani
aG = a ve α = 0.
Bu durumda hareket denklemi aşağıdaki hali alır:
Σ Fx = m(aG)x
Σ Fy = m(aG)y
Σ MG = 0
Eğer problemi kolaylaştıracaksa, moment denklemi kütle
merkezinin dışında başka bir noktaya göre alınarak
uygulanabilir. Örneğin A noktası kullanılırsa:
ΣMA = (m aG ) d
HAREKET DENKLEMİ: SADECE ÖTELENME
EĞRİSEL ÖTELENME (devam)
Eğer rijit bir cisim eğrisel ötelenme
hareketi yapıyorsa, n-t koordinatlarını
kullanmak en uygun durumu oluşturur.
Bu durumda, n-t koordinatları için
yazılmış hareket denklemlerini
kullanmak gerekir:
Σ Fn = m(aG)n
Σ Ft = m(aG)t
Σ MG = 0 or
+
Σ MB = e[m(aG)t] – h[m(aG)n]
ANALİZ YÖNTEMİ
Sadece ötelenme hareketi yapan rijit bir cismin kinetiği
aşağıdaki adımlar izlenerek çözülebilir:
1. x-y veya n-t referans eksenleri oluşturulmalıdır ve kütle
merkezinin ivmesi aG için bir yön tayin edilmelidir,
2. Tüm dış kuvvetleri ve atalet kuvvetlerini gösterir serbest cisim
ve kinetik diyagramlar çizilmelidir,
3. Bilinmeyenler gösterilmelidir,
4. Üç hareket denklemi uygulanmalıdır (aşağıdaki gruplardan biri
ya da ötekisi):
Σ Fx = m(aG)x
Σ Fy = m(aG)y
Σ Fn = m(aG)n Σ Ft = m(aG)t
Σ MG = 0 veya Σ MP = Σ (Mk)P Σ MG = 0 veya Σ MP = Σ (Mk)P
5. Sürtünme kuvvetleri her zaman hareket yönünün tersi yönünde
etki etmektedir.
ÖRNEK 1
Verilen: 50 kg’lık kasa yatay bir
yüzeyde durmaktadır.
Yüzeyin kinetik
sürtünme katsayısı µk =
0.2.
Aranan: P = 600 N ise,
kasanın ivmesi nedir?
Yöntem: Analiz yöntemini uygula!
Dikkat edilirse, P kuvveti kasayı devirmeden kaydırabilir
veya devirebilir. Önce, devrilmeden hareket ettiğini
düşünelim. Bu kabulü daha sonra kontrol edeceğiz!
Çözüm:
ÖRNEK (devam)
Koordinat eksenleri ve serbest
cisim diyagramı gösterilmiştir.
Kasanın ağırlığı (50)(9.81) N kütle
merkezine ve normal kuvvet Nc ise
O’ya etkimektedir (çünkü P’nin
oluşturduğu devrilme momentine
karşı koymaktadır). O noktası
kasanın merkezinden bir x
mesafesine etkimektedir.
Bilinmeyenler Nc, x, ve aG’dir.
Hareket denklemlerini uygularsak:
Nc = 490.5 N
Σ Fx = m(aG)x: 600 – 0.2 Nc = 50 aG
⇒ x = 0.467 m
Σ Fy = m(aG)y: Nc – 490.5 = 0
2
a
=
10.0
m/s
G
Σ MG = 0: -600(0.3) + Nc(x) – 0.2 Nc(0.5) = 0
ÖRNEK (devam)
x = 0.467 m < 0.5 m, olduğu için kasa kabul edildiği gibi
devrilmeden kaymaktadır.
x, 0.5 m’den büyük olsaydı, problemi devrilme kabulü altında
tekrar çözmek gerekecekti. Bu durumda NC’nin A noktasına
etkidiği kabul edilecekti.
ÖRNEK 2
Verilen: El arabası 200 kg kütleye
sahiptir ve kütle merkezi G
noktasındadır. Kola P=50 N’luk bir
kuvvet etki etmektedir. Araba yatay
düzlemde hareket halindedir ve
tekerleklerin ağırlığı ihmal
edilmiştir.
Aranan: A ve B tekerleklerindeki normal reaksiyonlar nedir?
Plan: Analiz yöntemini uygula!
ÖRNEK 2 (devam)
Çözüm: El arabası doğrusal bir yörüngede hareket edecektir.
Serbest cisim ve kinetik diyagramlar çizilirse:
y
Kinetik Diyagram
x
=
Hareket denklemlerini uygularsak:
+
←Σ Fx = m(aG)x
50 cos 60° = 200 aG
aG = 0.125 m/s2
ÖRNEK 2 (devam)
Hareket denklemlerini uygulamaya devam:
y
x
=
+↑Σ Fy = 0 ⇒ NA + NB –1962 –50 sin 60° = 0
NA + NB = 2005 N
(1)
ΣMG = 0 (sadece ötelenme hareketi yapmakta)
⇒ -(0.3)NA+(0.2)NB+0.3(50 cos 60°) – 0.6(50 sin 60°) = 0
− 0.3 NA+ 0.2 NB = 18.48 N m (2)
Denklem (1) ve (2) kullanılarak NA ve NB bulunur.
NA = 765 N, NB = 1240 N
ΣMA = Σ(Mk)A
ÖRNEK 3
Şekildeki yük sepeti 150 kg kütleye sahiptir ve kütle merkezi G ile
gösterilmiştir. P = 600 N’luk yatay kuvvet etkisinde ise, çekicinin
ivmesini ve A ile B tekerleklerinde oluşan tepki kuvvetlerini bulunuz.
Tekerleklerde sürtünme kuvveti oluşmamakta ve kütleleri de ihmal
edilebilmektedir.
Çözüm: Serbest cisim ve kinetik diyagramları ele alalım: