YARI-KOTANJANT DEMET Furkan YILDIRIM Doktora Tezi
advertisement
YARI-KOTANJANT DEMET
Furkan YILDIRIM
Doktora Tezi
Matematik Anabilim Dalı
Geometri Bilim Dalı
Prof. Dr. Arif SALİMOV
2015
Her hakkı saklıdır
ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DOKTORA TEZİ
YARI-KOTANJANT DEMET
Furkan YILDIRIM
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Geometri Bilim Dalı
ERZURUM
2015
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Doktora Tezi
YARI-KOTANJANT DEMET
Furkan YILDIRIM
Atatürk Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Geometri Bilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. Arif SALİMOV
Bu tezde ilk olarak, bir B manifoldu üzerindeki M fibre demeti kullanılarak, dejenere
simplektik yapıya sahip olan, t*B yarı-kotanjant (pull-back) demetin tanımı yapıldı.
Daha sonra M üzerindeki izdüşümü olan geometrik objelerin yarı-kotanjant demete olan
lift problemleri incelendi. Ayrıca, liftleri alınmış objeler ile dejenere simplektik yapı
arasındaki ilişki incelendi. Son olarak, TM tanjant demet izdüşümü (submersion) ile
tanımlı T*M kotanjant demetinin t*M pull-back (yarı-kotanjant) demeti tanımlanıp,
t*M pull-back (yarı-kotanjant) demetinde vektör ve (1,1) tipli tensör alanları olan
afinorların tam ve yatay liftleri ile ilgili bazı problemler ele alınmıştır.
2015, 150 sayfa
Anahtar Kelimeler: Vektör alanları, tam lift, yatay lift, temel 1-form, pull-back demet,
yarı-kotanjant demet.
i
ABSTRACT
Ph.D. Thesis
SEMI-COTANGENT BUNDLE
Furkan YILDIRIM
Atatürk University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Discipline of Geometry
Supervisor: Prof. Dr. Arif SALIMOV
In this thesis; firstly, using the fiber bundle M over a manifold B, the definition of semicotangent (pull-back) bundle t*B which has a degenerate symplectic structure was
given. Secondly, lifting problems of projectable geometric objects on M to the semicotangent bundle were analyzed. Relations between lifted objects and a degenerate
symplectic structure were also presented. Then, a pull-back (semi-cotangent) bundle
t*M of cotangent bundle T*M by using projection (submersion) of the tangent bundle
TM was investigated. Finally, complete and horizontal lifts of vector and affinor (tensor
of type (1,1)) fields for pull-back (semi-cotangent) bundle t*M were examined.
2015, 150 pages
Keywords: Vector field, complete lift, horizontal lift, basic 1-form, pull-back bundle,
semi-cotangent bundle.
ii
TEŞEKKÜR
Doktora tezi olarak sunduğum bu çalışma Atatürk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik
Bölümü’nde yapılmıştır.
Çalışmalarımda her türlü desteği sağlayan, hocam Sayın Prof. Dr. Arif SALİMOV’a en
içten teşekkürlerimi sunarım.
Çalışmalarımda ve tezin hazırlanışında yakın ilgilerini gösterip, bana yol gösteren ve
bilgilerine her zaman ihtiyaç duyacağım değerli hocalarım; Sayın Prof. Dr. Abdullah
MAĞDEN, Sayın Doç. Dr. Kürşat AKBULUT, Sayın Doç. Dr. Necmi CENGİZ, Sayın
Doç. Dr. Murat İŞCAN, Sayın Doç. Dr. Ömer TARAKÇI, Sayın Doç. Dr. Aydın
GEZER’e ve arkadaşlarım Sayın Suna AY ile Sayın Selahattin GENÇ’e, çalışmalarım
esnasında vermiş oldukları destek ve teşvikten dolayı aileme ayrıca burs imkanı
sağlayan TÜBİTAK-BİDEP’e sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
Furkan YILDIRIM
Ocak, 2015
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET.................................................................................................................................. i
ABSTRACT ...................................................................................................................... ii
TEŞEKKÜR ..................................................................................................................... iii
SİMGELER DİZİNİ......................................................................................................... vi
1. GİRİŞ ....................................................................................................................... 1
2. KURAMSAL TEMELLER .................................................................................... 4
2.1.
Diferensiyellenebilir Manifoldlar........................................................................ 4
2.2.
Tensör Alanları.................................................................................................... 6
2.3.
Diferensiyellenebilir Manifold Üzerinde Afin (Levi-Civita) Konneksiyon ..... 12
2.3.1. Afin konneksiyonlu uzaylar .............................................................................. 18
2.3.2. Eğrilik ve burulma tensörleri ............................................................................ 22
2.3.3. Konneksiyonların dönüşümü ............................................................................ 24
2.3.4. Burulması sıfır olan uzaylar .............................................................................. 27
3. MATERYAL ve YÖNTEM.................................................................................. 34
3.1.
Tanjant Demet ................................................................................................... 34
3.1.1. Fonksiyonun dikey lifti ..................................................................................... 37
3.1.2. Vektör alanının dikey lifti ................................................................................. 37
3.1.3. 1-formun dikey lifti ........................................................................................... 38
3.1.4. Vektör alanının tam lifti .................................................................................... 39
3.1.5. Afinor alanının tam lifti .................................................................................... 39
3.1.6. operatörü .................................................................................................... 40
3.1.7. Yatay lift............................................................................................................ 40
3.2.
Kotanjant Demet ............................................................................................... 42
3.2.1. Fonksiyonun dikey lifti .................................................................................... 46
3.2.2. Kovektör alanının dikey lifti ............................................................................ 46
3.2.3. Vektör alanının tam lifti .................................................................................... 47
3.2.4. Afinor alanının tam lifti .................................................................................... 47
3.2.5. operatörü ................................................................................................... 47
3.2.6. Vektör alanının yatay lifti ................................................................................. 48
iv
3.2.7. Afinor alanının yatay lifti .................................................................................. 49
3.3.
Yarı-Tanjant Demet .......................................................................................... 50
3.3.1. Fonksiyonun dikey lifti ..................................................................................... 52
3.3.2. Vektör alanının dikey lifti ................................................................................ 53
3.3.3. Kovektör alanının dikey lifti ............................................................................ 53
3.3.4. Fonksiyonun tam lifti ........................................................................................ 53
3.3.5. Vektör alanının tam lifti .................................................................................... 54
4. ARAŞTIRMA BULGULARI ve TARTIŞMA ................................................... 55
4.1.
Yarı-Kotanjant Demet ....................................................................................... 55
4.1.1. Yarı-kotanjant demette temel 1-form ................................................................ 58
4.1.2. 1-formun dikey lifti ........................................................................................... 58
4.1.3. operatörü .................................................................................................... 64
4.1.4. Vektör alanlarının tam lifti ................................................................................ 66
4.1.5. Afinor alanlarının tam lifti ................................................................................ 85
4.1.6. Vektör alanlarının yatay lifti ............................................................................. 88
4.1.7. (1,1) tipli tensör alanlarının yatay lifti ............................................................ 102
4.2.Tanjant Demet İzdüşümü ile Tanımlı Kotanjant Demetinin Pull-Back Demeti . 106
4.2.1. Vektör alanlarının tam lifti .............................................................................. 108
4.2.2. (0,2) tipli tensör alanlarının dikey lifti ............................................................ 118
4.2.3. (1,1) tipli tensör alanlarının tam lifti ............................................................... 119
4.2.4. operatörü .................................................................................................. 125
4.2.5. Vektör alanlarının yatay liftleri ....................................................................... 133
4.2.6. (1,1) tipli tensör alanlarının yatay lifti ............................................................ 144
5. SONUÇ ................................................................................................................. 148
KAYNAKLAR ............................................................................................................. 149
ÖZGEÇMİŞ .................................................................................................................. 151
v
SİMGELER DİZİNİ
Tkmi
Afin Deformasyon (Gerilme) Tensörü
S ijh
Burulma Tensörü
Burulmasız Afin Konneksiyon
t * ( Bm )
Bm Üzerindeki Yarı-kotanjant Demet
ij
Cristoffel Sembolü
h
Dejenere Simplektik Yapı
vv
Dikey Lift
h
Rijk
Eğrilik Tensörü
Gama Operatörü
F
İzdüşümlü Afinor Alanları
X
İzdüşümlü Vektör Alanları
T * (M n )
M n Üzerindeki Kotanjant Demet
T Mn
M n Üzerindeki Tanjant Demet
g
Pseudo-Riemannian Metriği
C
Pür Çarpım
p
t * ( Bm ) ’nin Temel 1-formu
Tabii İzdüşüm
cc
Tam Lift
Wn
Weyl Uzayı
X
X Vektör Alanına Göre Kovaryant Türev
LX
X Vektör Alanına Göre Lie Türevi
HH
Yatay Lift
vi
1
1. GİRİŞ
Diferensiyel geometri geometrik problemleri, diferensiyel ve integral hesaplama
tekniklerini kullanarak çözümlemeye çalışan matematiğin bir alt disiplinidir. XVII.
yüzyılda ortaya çıkan ve güncelliğini koruyan Diferensiyel geometrinin esas konusu,
eğrilerin ve Öklid uzayında yüzeylerin incelenmesi olmuştur.
Diferensiyel Geometri’de önemli bir yere sahip olan tensör kavramı güncel anlamda ilk
olarak aslında bir fizikçi olan Woldemar Voigt tarafından 1898’de kullanıldı. Tensör
hesaplamaları 1890’lı yıllarda kısaca Ricci olarak alınan Gregorio Ricci-Curbastro
tarafından mutlak diferensiyel hesaplamalar başlığı altında incelendi ve bu çalışmalar
1892 yılında kendisi tarafından sunuldu. Daha sonra Ricci and Tullio Levi-Civita
(1900) mutlak diferensiyel hesaplama metodları ve uygulamaları adı altında
çalışmalarını yayımladılar.
Uzayda her bir noktaya sırasıyla bir skaleri veya vektörü tayin eden skaler alanın veya
vektör alanın genelleşmiş hali olan tensör alanı, manifold üzerinde tanımlı olup
manifoldun her bir noktasına bir tensör karşılık getiren bir dönüşümdür. Matematiksel
yapılarda ise tensör alanı ifadesi yerine kısaca tensör kullanılır.
Diferensiyel Geometri’de önemli bir konu olan Riemannian manifoldda tanjant
demetlerin Diferensiyel Geometri’sinin incelenmesi ilk olarak Sasaki (1958) tarafından
yapılmıştır. Daha sonra Dombrowski (1962), tanjant demetteki geometrilerin
gelişmesine katkıda bulunmuştur. Yano and Ledger (1965), simetrik uzaylarda tanjant
demeti tanımlamışlar ve bununla ilgili çalışmalarda bulunmuşturlar.
1966 yılında tanjant demette liftler çalışılmaya başlanmıştır. İlk çalışma Kobayashi and
Yano (1966)’ya ait tanjant demette tensör alanlarının ve konneksiyonların tam ve dikey
liftleri olmuştur. Ama “lift” kavramı “genişleme” anlamında Yano and Kobayashi’den
daha önce yapılan Sasaki (1958)’nin çalışmalarında “devam” adı altında görülmektedir.
2
Kandatu (1966), lineer olmayan konneksiyona sahip bir manifoldda tanjant demeti
tanımlamıştır.
Yano and Ishihara (1967) tanjant demette konneksiyonların ve tensör alanlarının yatay
liftleriyle ilgili çalışmalarda bulunmuşlardır. Morimoto (1970) tanjant demette tensör
alanlarının ve konneksiyonların liftleri hakkında çalışmalarda bulunmuştur.
Yano and Petterson (1967) çalışmasında lift konusu, kotanjant demet için de
incelenmiştir. Yano and Ishihara (1973) çalışmasında ise, hem tanjant hem de kotanjant
demetlerdeki dikey, tam, yatay ve diagonal liftlerle ilgili elde edilmiş önemli sonuçlara
yer verilmiştir.
Yarı-tanjant demet ise Duc (1979) tarafından tanımlanmış olup yarı-tanjant demete ait
bazı özellikleri Vishnevskii (2002) tarafından incelenmiştir. Yarı-tanjant demette Lie ve
kovaryant türevlerinin tam liftleri ise Salimov and Kadıoğlu (2000) tarafından
çalışılmıştır.
Sunulan bu tezde ise öncelikle yarı-kotanjant demetin tanımı yapılmış daha sonra ise
yarı-kotanjant demette fonksiyonun ve 1-formun dikey liftleri, vektör ve afinor
alanlarının tam ve yatay liftleri ayrıntılı olarak incelenmiştir. Bu amaçla, çalışmamızın
anlaşılabilmesi için ve konunun sınırlanması bakımından ikinci bölümde konumuzla
ilgili bazı kavramların tanımları ve özellikleri kuramsal temeller adı altında verilmiştir.
Üçüncü bölümde ise tanjant demet, kotanjant demet ve yarı-tanjant demetin tanımları ile
bu demetlerdeki tensör alanlarının çeşitli liftlerine ilişkin bilgiler yer almaktadır.
Dördüncü bölümde yarı-kotanjant demetin tanımı yapılmış ve yarı-kotanjant demetin,
kotanjant demetinin bir pull-back demeti olduğu gösterilmiştir. Daha sonra yarıkotanjant demette çeşitli tensör alanlarının tam, dikey ve yatay liftleri tanımlanmış ve
bunlara ilişkin çeşitli lift problemleri incelenmiştir. Son olarak tanjant demet izdüşümü
ile tanımlı kotanjant demetinin pull-back demeti tanımlanmış olup ayrıca bu demette yer
3
alan tensör alanlarının tam, dikey ve yatay liftleri ile bunlara ilişkin çeşitli lift
problemleri incelenmiştir.
Tezdeki sonuçların büyük bir kısmı (Yıldırım 2013; Salimov and Yıldırım 2014;
Yıldırım and Salimov 2014a, 2014b) çalışmalarında yer almaktadır.
4
2. KURAMSAL TEMELLER
2.1. Diferensiyellenebilir Manifoldlar
Tanım 2.1.1: X Hausdorff uzay olmak üzere herhangi bir U X açık kümesinden
V n kümesine tanımlanan
:U V
homeomorfizmine X ’de n boyutlu koordinat sistemi veya harita, U ’ya ise
haritasının koordinat komşuluğu veya koordinat bölgesi denir ve
U ,
şeklinde
gösterilir. Eğer x U ise
x x1 , x 2 ,..., x n
n
olur. Burada x 1 ,..., x n reel sayılarına haritasında x noktasının koordinatları denir.
Tanım 2.1.2: Eğer X Hausdorff uzayının n-boyutlu haritalarının U bölgeleri bu
uzayı örterse, yani
X
U
, ( A-indisler kümesi )
A
ise X ’e n-boyutlu topolojik manifold veya sadece n-boyutlu manifold denir.
Tanım 2.1.3: X Hausdorff uzay ve k ise 0 k şartını sağlayan tam sayı olsun.
Aşağıdaki şartları sağlayan
U , : A,U
üzerinde C k sınıfından n-boyutlu atlas adı verilir:
X lokal koordinatlar ailesine X
5
1. Lokal haritaların U bölgesi X ’i örter, yani X, n-boyutlu topolojik manifolddur.
2. Keyfi , A için U U ise
: U U U U
1
dönüşümü C k sınıfındandır. Bu şarta bazen U , ve U , haritalarının C k
uzlaşması şartı da denir.
1 dönüşümüne ise koordinatların dönüşümü
u
i
u i uj , i, j 1,..., n
U U
denir. Burada
noktasının koordinatları, u j ise
u i ,
U
U ,
,
haritasındaki
x
haritasındaki x noktasının
koordinatlarıdır.
U U ise bu durumda 1 dönüşümü tanımlanamaz. Ancak, bu durumda
1 dönüşümünün C k sınıfından olduğu kabul edilecektir. 2. şart, 1
dönüşümlerinin C k sınıfından difeomorfizmler olmasına denktir. Bu ise, 1
koordinat dönüşümünün Jakobi matrisinin determinantının sıfırdan farklı olması
demektir.
Tanım 2.1.4:
U ,
ve
U
, , C k sınıfından herhangi iki atlas olsun. Bu
atlasların keyfi U , ve U , haritaları C k uzlaşmış ise yani,
U
U ,
ve
, atlaslarının birleşimi C k sınıfından atlas ise verilen atlaslara denk atlaslar
denir.
Tanım 2.1.5: X Hausdorff uzayı üzerinde C k atlaslarının denklik sınıfına C k -yapı
denir. C k -yapısının tüm C k atlaslarının birleşiminin oluşturduğu C k atlasına
maksimal C k atlas adı verilir.
6
X üzerindeki C k atlaslarının her bir denklik sınıfı, kendisinin bir elemanı ile ifade
edilir. Yani, C k -yapısı, onun keyfi C k atlası yardımıyla oluşturulabilir. Buradan da X
üzerindeki her bir C k -yapısının bu yapıdan olan bir C k atlas ile verilebileceği sonucu
çıkar.
C 0 -yapıya topolojik yapı, C k 1 k yapıya ise düzgün (smooth) yapı denir.
Bundan sonra yalnız C -yapılara bakılacaktır.
Tanım 2.1.6: M, sayılabilir baza sahip Hausdorff uzay olsun. Eğer, M üzerinde nboyutlu C atlaslarının C yapısı verilmişse M uzayına n-boyutlu C sınıfından
diferensiyellenebilir manifold veya düzgün manifold denir ve M n ile gösterilir.
2.2. Tensör Alanları
Tanım 2.2.1: Bn , n boyutlu reel vektör uzayı, Bn* ise onun dual uzayı olsun.
i
x j Bn , j 1,..., q ve Bn , i 1,..., p kovektör değişkenlerinin
1
p
2
t ( x1 , x 2 ,..., x q , , , ..., )
reel değerli fonksiyonunu göz önüne alalım. Eğer bu fonksiyon her bir değişkene göre
lineerlik şartını sağlarsa, fonksiyona multilineer fonksiyon denir.
Mesela birinci vektör değişkenine göre lineerlik şartı , olmak üzere
1
2
p
1
2
p
1
2
p
t ( x y, x2 ,..., xq , , ,..., ) t (x , x2 ,..., xq , , ,..., ) t ( y, x2 ,..., xq , , ,..., )
biçiminde gösterilebilir. Bu multilineer fonksiyona karşılık gelen
7
p
n
t : Bn Bn ... Bn B ... Bn
q
operatörüne B n uzayında p dereceden kontravaryant, q dereceden kovaryant tensör adı
verilir ve bu şekildeki tüm tensörlerin uzayı qp ( Bn ) ile gösterilir. p 0, q 0 olmak
üzere s = p+q sayısına ise tensörün valentliği, (p,q) sembolüne ise tensörün tipi denir.
(p,0) tipli tensöre kontravaryant tensörler, (0,q) tipli tensörlere ise kovaryant tensörler
denir.
S 2 Bn , 02 ( Bn ) uzayının bütün simetrik tensörlerinin alt uzayı olmak üzere herhangi
bir g S 2 Bn tensörünü alalım.
g x, y 0, y Bn
şartında x 0 olursa, bu taktirde g tensörüne regüler tensör denir.
(2.1) eşitliği koordinatlarla
g ij x i y j 0
biçiminde yazılır. Bu eşitlik her y j için sağlandığından
gij xi 0 , j 1,..., n
bulunur. Bu denklem sisteminin x i 0 çözümüne sahip olması için
Det g ij 0
olması gerekir. Burada g ij , g tensörüne karşılık gelen matristir.
(2.1)
8
g S 2 Bn tensörü regüler tensör ise g tensörüne B n uzayında esas tensör adı verilir.
Esas tensöre karşılık gelen g ij matrisinin tersini g~ ij ile gösterelim. Bu takdirde
g~ kj g ji ik
(2.2)
yazılır. B n ve B n uzayları arasında
i g ik x k , (i g ik y k )
(2.3)
dönüşümü, (2.2) eşitliğine göre
x k g ki i , ( y k g kii )
(2.4)
olur. g S 2 Bn tensörüne karşılık gelen invaryant bilineer formu
g x, y g ij x i y j
şeklinde yazalım. Burada (2.3) ve (2.4) eşitliklerini dikkate alırsak
g x, y g ij x i y j x i i g~ ij i j
olur. Yani, g esas tensörü verildiğinde biz kovektör değişkenlerinin g~ ij i j
invaryant bilineer formunu buluruz. Buna göre de
g~ ij , (2,0) tipli tensörün
koordinatlarıdır. Bu tensöre g tensörünün ters tensörü denir. Ayrıca
g~ ,
g~ ,
g~ ij i j i x i g ik y k x i ,
g~ ji j i j y j g jk x k y j
g ki x i y k g ki y k x i g~ ,
9
olduğundan g~ ij tensörü simetriktir.
Böylece B n uzayında g tensörü verildiğinde Bn ’den Bn ’a bir izomorfizm bulunur.
Buna göre vektör ve kovektörler aynılaştırılır ve aynı x sembolü ile gösterilir. Yani
xk g ki x i ,
x i g ik xk
yazılır. Bu işlemlere indisin indirilmesi x i x k ve yükseltilmesi x k x i işlemleri
denir. Buna göre, S x , y tensörü göz önüne alınırsa
S .pj g pi Sij , Si .p g pj Sij , S .pq. g pi g pj Sij
ifadelerinin her biri S ij tensöründen indislerin yükseltilmesi işlemi
S .p j g pi S ij , S ip. g pj S ij , S .pq. g pi gqj S ij
ifadelerinin her biri ise verilmiş S ij tensöründen indislerin indirilmesi işlemidir.
Eğer g x , y , B n uzayında (0,2) tipli tensör ise, her x , y Bn vektörlerinin skaler
çarpımı denildiğinde g tensörünün x ve y vektörleri üzerindeki izi anlaşılır ve xy
veya x , y biçiminde gösterilir. Yani
xy g x, y gij xi y j x j y j
biçiminde tanımlanır.
Eğer Det g ij 0 olursa bu takdirde (2.5) skaler çarpımına regüler çarpım denir.
(2.5)
10
Tanım 2.2.2: M n , C sınıfından bir manifold ve T p , her p M n noktasındaki tanjant
uzayı olsun. M n manifoldunun her p M n noktasına T p uzayından bir X p vektörü
karşılık getiren X vektör değerli fonksiyonuna vektör alanı denir (Salimov ve Mağden
2008).
f , M n manifoldunda bir dönüşüm ise Xf ’de M n manifoldunda
Xf p X p f
ile tanımlanan bir dönüşümdür.
U Mn
koordinat komşuluğunu alalım. Bu
komşuluktaki bir vektör alanı
X ii
olarak yazılır. i ’ler U ’daki lokal koordinatlara bağlıdır. Yani
i i x i ,..., x n , i 1,..., n
olur.
M n , C sınıfından bir manifold olmak üzere her m M n noktasındaki her bir (p,q)
tipli tensör için uygun bir qp (m) tensör uzayı vardır.
Tanım 2.2.3: M n , C sınıfından bir manifold ve qp (m) , her m M n noktasındaki
(p,q) tipli tensör uzayı olsun. M n manifoldunun her m M n noktasına qp (m) tensör
uzayından bir t qp m tensörü karşılık getiren T fonksiyonuna (p,q) tipli tensör alanı
denir (Bishop and Goldberg 1968).
11
Eğer p 1, q 0 ise vektör alanı elde edilir. Yani, (1, 0) tipli tensör alanı bir vektör
alanıdır.
Eğer p q 0 ise her m M n noktasına bir skaler değer karşılık gelir. Bu yüzden
(0,0) tipli tensör alanı reel değerli bir fonksiyondur.
Eğer U M n bölgesinde f fonksiyonu C sınıfından ise her x U için df x 10 ( x)
olur. Böylece f fonksiyonunun diferensiyeli olan df operatörü (0,1) tipli bir tensör
alanıdır.
Herhangi bir m noktasındaki Tm tensörü simetrik tensör ise T tensör alanına simetrik
tensör alanı denir. Eğer herhangi bir m noktasındaki Tm tensörü antisimetrik tensör ise
T tensör alanına antisimetrik tensör alanı denir.
T, ( p,q ) tipli tensör alanı olsun. 1 ,..., p (0,1) tipli tensör alanları ve X 1 ,..., X q vektör
alanları olmak üzere
T 1 ,..., p , X 1 ,..., X q m Tm 1 m ,..., p m , X 1 m ,..., X q m
ifadesi reel değerli fonksiyon tanımlar. Özelikle x i koordinatlarına göre T tensör
alanının bileşenleri
T j11... jpq T dxi1 ,..., dx q , j1 ,..., j p
i ...i
i
biçiminde reel değerli fonksiyonlardır (Bishop and Goldberg 1968).
T tensör alanının bileşenleri C sınıfından fonksiyonlar ise T tensör alanına C
sınıfındandır denir. C sınıfından olan (0,1) tipli tensör alanına 1-form (Pfaffian form)
denir.
12
(p,q) tipli T tensör alanının C sınıfından olması için gerek ve yeter şart her bir
1 ,..., p 1-formları ve her bir
C sınıfından
X 1 ,..., X q
vektör alanları için
T 1 ,..., p , X 1 ,..., X q fonksiyonunun C sınıfından olmasıdır.
Tanım 2.2.4: (ij ) , (0,2) tipli bir tensör olsun. (ij ) tensöründe i ve j
indislerine göre antisimetriklik varsa (ij ) tensörüne 2-form veya dış form denir.
Bir k-forma dış diferensiyel uygulanırsa sonuçta k+1-form elde edilir. Yani , k-form
ise d k 1 ( M n ) olup k+1-form oluşur. Böyle k+1 formlara tam form denir.
d 2 d (d ) 0
olması tam formların en önemli özelliğidir. Yani tam formlara dış diferensiyel
uygulanırsa sonuç sıfır olur.
2.3. Diferensiyellenebilir Manifold Üzerinde Afin (Levi-Civita) Konneksiyon
M n diferensiyellenebilir manifoldunun : u i u i t eğrisi boyunca konneksiyon
tanımlanması eğrinin noktalarına uygulanan vektörler arasında bağlantı oluşturma
kuralıdır. Eğer eğrisinin herhangi bir noktasındaki v i vektörü t parametresine bağlı
olarak değiştikçe verilen konneksiyona göre başlangıçtaki ile uygun kalırsa, bu durumda
bu vektör verilen konneksiyona göre eğrisi boyunca paralel kaydırılmış olur. Eğer
konneksiyon diferensiyellenebilirse, o zaman paralel kaydırmayı ifade eden v i v i t
fonksiyonları da diferensiyellenebilir fonksiyonlar olur. Eğer vektörlerin paralel
kaydırılması halinde lineer bağımlılık korunursa verilen konneksiyona afin veya lineer
konneksiyon adı verilir.
Afin konneksiyonun
eğrisinin çeşitli noktalarına uygulanan vektörler arasında
uygunluğu ifade eden şartı, yani vektörün eğri boyunca verilmiş afin konneksiyona göre
13
paralel kaydırılması şartını bulalım. eğrisinin başlangıç noktasındaki a , k 1,...n
i
k
lokal bazını alalım ve farz edelim ki a t ’nin lineer bağımlılığı, baz vektörlerin
i
k
verilen eğri boyunca paralel kaydırılma kuralını ifade etmiş olsun. Keyfi v i k a
i
k
vektörünün verilen afin konneksiyona göre eğrisi boyunca paralel kaydırılması için
gerek ve yeter şart k katsayılarının sabit olmasıdır. Bu nedenden istifade edilerek
dv i k d a
i
(2.6)
k
ifadesi yazılabilir. v i k a eşitliğinden
i
k
k
k a i v i
(2.7)
i
eşitliği yazılır. Burada a baz vektörü olduğundan buna karşılık gelen kobaz vektörü
k
k
s
a i ile gösterilir. Dolayısıyla a a i ks olur. (2.7) ifadesi (2.6) eşitliğinde kullanılırsa
i
k
dv i ki v k 0
(2.8)
eşitliği elde edilir. (2.8) denkleminde ik ,
s
ik a i d a
s
k
(2.9)
biçimindedir. (2.8) şartı v i vektörünün verilen afin konneksiyona göre paralel
kaydırılması şartıdır. (2.9) biçiminde tanımlanan ik objelerine konneksiyon formları
(bağlantı objeleri) denir.
14
a ,
Teorem 2.3.1: 1. Konneksiyon formları
i
k
k 1,..., n
bazının seçilişinden
bağımsızdırlar.
2. Konneksiyon formları, eğrisel koordinatların dönüştürülmesi durumunda tensör
dönüşüm kuralına göre dönüşmezler.
İspat: 1. ik ve i k farklı iki baza karşılık gelen konneksiyon formları olsun. Paralel
kaydırılan v i vektörü için
dv i ki v k 0 ,
(2.10)
dv i ki v k 0
(2.11)
şartlarını yazabiliriz. (2.10) ve (2.11) şartlarından ve v i vektörünün başlangıç değerinin
keyfiliği şartından ki ki bulunur.
2. M n manifoldunda u i eğrisel koordinatların değişmesi halinde baz vektörlerinin ve
kovektörlerinin dönüşüm kuralı
k
k
a Aii' a
a i Aii ' a i ' ,
şeklinde yazılabilir. Burada Ai '
i
u i
u i '
i
i'
(2.12)
u i '
u i
biçimindedir. (2.12)’deki ikinci
k
k
, Ai
i'
eşitliğin diferensiyelini alırsak
da dAii' a Aii' d a
i
k
i'
k
k
i'
(2.13)
elde edilir. (2.9) denkleminde (2.12)’nin birinci eşitliği ve (2.13) eşitliği göz önüne
alınırsa
15
k
k
ij a j d a A jj ' a j ' dAii' a Aii' d a
i
k
i'
k
i'
k
ve gerekli işlemlerden sonra
ij A jj ' Aii' ij'' A jj ' dAij '
(2.14)
bulunur. (2.14) eşitliği, ij konneksiyon formlarının, tensörün koordinatları olamadığını
gösterir.
Şimdi ise kovektörün
eğrisi boyunca verilen afin konneksiyona göre paralel
kaydırılması şartını inceleyelim.
Tanım 2.3.1: i kovektörünün eğrisi boyunca paralel kaydırılan keyfi v i vektörü
üzerindeki izi bu eğri boyunca sabit kalırsa, i kovektörüne eğrisi boyunca verilen
afin konneksiyonuna göre paralel kaydırılmıştır denir.
Bu tanıma göre
d v i i dv i i v i d i 0
(2.15)
eşitliği yazılabilir. v i vektörünün paralel kaydırılması şartından
dv i ki v k
yazılır. (2.16) eşitliğini (2.15) ifadesinde kullanılırsa
d
i
ik k v i 0
(2.16)
16
eşitliği bulunur. v i vektörünün keyfiliğinden dolayı i kovektörün eğrisi boyunca
verilen afin konneksiyona göre paralel kaydırılma şartı
d i ik k 0
(2.17)
biçiminde olur. Vektörün ve kovektörün (1-form) eğrisi boyunca paralel kaydırılması
şartını kullanarak, eğrinin çeşitli noktalarına uygulanmış keyfi tipli tensörün de paralel
kaydırılmasını verebiliriz. eğrisi boyunca p, q tipli keyfi tensörün izi
p
1
Z t j11 ... jpq v 1 ... v q i1 ... i p
i ... i
j
j
1
q
şeklinde verilmiş olsun. Z fonksiyonunun vektör ve kovektör değişkenlerinin eğrisi
boyunca paralel kaydırılması şartları dahilinde diferensiyeli
p
1
p
1
dZ dt j11 ... jpq v 1 ... v q i1 ... i p t j11 ... jpq d v 1 ... v q i1 ... i p
i ... i
j
j
1
i ... i
j
q
1
... t j11 ... jpq v 1 ... v
i ... i
j
j
1
p
1
i ...d i
jq
1
q
q
(2.18)
p
1
p
i ...i
i ...i
i ...i
si ...i
i
dt j11 ... jpq sj1 tsj12 ...pjq ... sjq t j11 ...sp si1 tsj22... jpq sp t ij11......sjq v 1 ... v q i1 ... i p
j
j
1
q
olarak yazılır. Bu eşitlikte
t j ... j dt j ... j sj tsj ... j ... sj t j ...s si t j ... j s t ij ......sj
i1 ...i p
1
q
i1 ...i p
1
q
i1 ...i p
1
2
i1 ...i p
q
q
1
1
si2 ...i p
1
q
ip
1
1
q
(2.19)
olarak alınırsa
1
p
dZ t j11 ... jpq v 1 ... v q i1 ... i p
i ... i
j
1
j
q
(2.20)
elde edilir. eğrisi boyunca verilen afin konneksiyona göre paralel kaydırılan vektör
ve kovektör değişkenlerinin multilineer fonksiyonunun diferensiyeli de değişkenlerin
17
multilineer fonksiyonu olur. O halde dZ multilineer fonksiyonuna belirli bir tensör
i ... i
karşılık gelecektir. Bu tensörün tipi t j11 ... jpq tensörünün tipi ile aynı olur. Koordinatları ise
(2.19) eşitliği ile verilmiştir. t j11 ... jpq tensörüne t j11 ... jpq tensörünün mutlak diferensiyeli
i ... i
i ... i
denir.
Tensörün mutlak diferensiyelinin tanımından çıkartılan sonuçlar şöyle ifade edilebilir:
a. Vektörün ve kovektörün paralel kaydırılması şartları
v i 0 , i 0
şeklinde olur. Dolayısıyla keyfi tipli bir tensörün paralel kaydırılması şartı
t j ... j 0
i1 ... i p
1
q
olarak verilir.
b. Birim tensörün mutlak diferensiyeli sıfıra eşittir, yani
i j 0
olur.
(2.19) eşitliğinden dolayı tensörlerin mutlak diferensiyelleri için aşağıdaki özellikleri
yazabiliriz:
1. t1 t 2 t1 t 2 , t1 ve t 2 aynı tipli tensörlerdir,
2. t d t t , -skalerdir,
3. A B A B A B , A ve B keyfi tipli tensörlerdir, - tensör çarpımını
gösterir.
18
4. Tensörlerin simetrikleştirme, alterneleştirme ve kontraksiyon işlemleri mutlak
diferensiyelleme işlemi ile işlem öncelik sırası değişebilir.
2.3.1. Afin konneksiyonlu uzaylar
Tanım 2.3.1.1: X n diferensiyellenebilir manifoldunun her bir eğrisi boyunca afin
konneksiyonu verilmiş olsun. Lineerlik şartını sağlayan X n diferensiyellenebilir
manifolduna n- boyutlu afin konneksiyonlu uzay denir.
Bu tanımdaki lineerlik şartı şu şekilde ifade edilir:
X n manifoldunun keyfi M noktası ve bu noktanın komşuluğunda keyfi vektör alanları
verilmiş olsun. Keyfi v i vektör alanının M noktasından geçen keyfi bir eğri için
hesaplanmış mutlak diferensiyeli, bu eğri boyunca elementer yer değişme du i
vektörünün lineer fonksiyonudur, yani
v i v ki du k
(2.21)
olarak yazılır. Burada v ki , v i ’ye ve noktaya bağlı fonksiyon, du k ise her bir vektöre
teğet vektörün koordinatlarıdır. Diğer taraftan dv i k v i du k olduğundan
v i dv i ki v k k v i du k ki v k
(2.22)
olur. (2.21) ve (2.22) eşitliklerinden
ki v k v si s v i du s
(2.23)
ifadesi bulunur. vk , s v i ’nin ve v si ’ler ise u i ’lerin fonksiyonlarıdır. ki formları v i
vektör alanlarının seçilişine bağlı olmadığından ki
fonksiyonu olur, yani
formları
du k
’nın lineer
19
ki isk du s
(2.24)
olarak yazılır. Burada isk katsayıları afin uzayın bir noktasının fonksiyonlarıdır.
Bunlara afin konneksiyonun katsayıları denir. Katsayıların verilmesi X n ’de afin
konneksiyonunu tayin eder.
Şimdi isk afin konneksiyon katsayılarının dönüşüm kuralını verelim. (2.24) eşitliği
kullanılarak
ij'' ik' ' j ' du k ' ik' ' j ' Akk ' du k
eşitliği yazılabilir. Ayrıca
A jj ' dAij ' A jj ' k Aij ' du k
olduğundan ve diğer taraftan A jj ' Aij ' ij eşitliğin her iki tarafının k
(2.25)
kısmi
diferensiyeli alındığında
k A jj ' Aij ' k ij 0
k
A jj ' Aij ' A jj ' k Aij ' 0
A jj ' k Aij ' k A jj ' Aij '
olur. Bu son eşitlik (2.25) denkleminde kullanılırsa
A jj ' dAij ' Aij ' k A jj ' du k
(2.26)
elde edilir. (2.26), (2.24) ve (2.14) eşitlikleri kullanılarak konneksiyon katsayılarının
dönüşüm kuralı
ikj Aii' A jj ' Akk ' ik' ' j ' Aii' Akji '
(2.27)
20
olarak verilir. Burada Akji ' k Aij' biçimindedir.
(2.24) denklemini kullanarak afin konneksiyonlu uzayda verilen keyfi vektör alanı için
mutlak diferensiyel
v i ( k v i iks v s ) du k
(2.28)
biçiminde olur. (2.28) denkleminin sol tarafı bir tensör ve du k vektör olduğundan
parantezin içindeki ifade bir tensörün koordinatları olur. Bu tensöre, verilen v i
tensörünün kovaryant türevi denir ve
k v i k v i iks v s
(2.29)
olarak gösterilir. Bu türevin sonucu (1,1) tipinde bir tensördür.
Benzer şekilde j kovektör alanının kovaryant türevi
k j k j kjs s
(2.30)
olur ve sonuç (0,2) tipli bir tensördür.
i ... i
(2.24) eşitliğinden, (p,q) tipli t j11 ... jpq tensörünün mutlak diferensiyeli
p
t j ... j ( k t j ... j iks t j ... j
i1 ... i p
1
q
i1 ... i p
1
q
i1 ... s ... i p
1
1
q
q
kjs t j11 ... sp... jq )du k
i ... i
(2.31)
1
biçiminde olur. (2.31) denkleminin sol tarafı bir tensör ve du k vektör olduğundan
i ... i
parantezin içindeki ifade bir tensörün koordinatlarıdır. Bu tensöre, verilen t j11 ... jpq
tensörünün kovaryant türevi denir ve
21
p
q
k t j11 ... jpq k t j11 ... jpq iks t j11 ... jq p kjs t j11 ... sp... jq
i ... i
i ... i
i ... s ... i
i ... i
(2.32)
1
1
biçiminde gösterilir. Tensörün kovaryant türevi tanımından, (p,q) tipli tensörün
kovaryant türevi (p,q+1) tipli bir tensör olduğu görülür. Yani kovaryant türev,
uygulanan tensörün kovaryantlık mertebesini bir artırır.
Kovaryant türevin tanımından yararlanılarak aşağıdaki özelikleri yazabiliriz:
1. k (t j11 ... pjq t j11 ... pjq ) k t j11 ... pjq k t j11 ... pjq
i ...i
1
i ...i
2
i ...i
i ...i
1
2. k (t j11 ... jpq ) k t j11 ... jpq
i ...i
i ...i
2
k t j ... j , F ( M n )
i1 ...i p
1
q
3. k (t j11 ... jpq g s11 ... spq ) k t j11 ... jpq g s11 ... spq t j11 ... jpq k g s11 ... spq
i ... i
l ... l
i ... i
l ... l
i ... i
l ... l
4. Tensörlerin simetrikleştirme, alterneleştirme ve kontraksiyon işlemleri mutlak
diferensiyelleme işlemi ile işlem öncelik sırası değişebilir.
Afin (lineer) konneksiyonun invaryant tanımı aşağıdaki gibi verilir:
Tanım 2.3.1.2: M n manifoldu üzerinde 10 ( M n ) vektör alanlarının modülü olmak
üzere
X Y X ,Y : 10 ( M n ) 10 ( M n ) 10 ( M n )
dönüşümü
i. fX gY Z f X Z g Y Z ; f , g 00 ( M n ) , X , Y , Z 10 ( M n )
ii. Z fX gY Zf X f Z X Zg Y g Z Y
şartlarını sağlıyorsa ’ya afin konneksiyon denir. Burada
X : 10 ( M n ) 10 ( M n )
22
dönüşümüne de X vektör alanı boyunca kovaryant diferensiyellenme denir (Bishop and
Goldberg 1968).
2.3.2. Eğrilik ve burulma tensörleri
An afin konneksiyonlu uzayında
f f u 1 ,..., u n
diferensiyellenebilir fonksiyonu
verilmiş olsun. Bu fonksiyonun tam diferensiyeli, yani
df i fdu i
ifadesi,
koordinatların dönüşümü halinde invaryant kalır ve df fonksiyonu du i vektörünün
lineer fonksiyonu olur. Bu lineer fonksiyona karşılık gelen kovektörün koordinatları
Vi i f
(2.33)
ile gösterilir. Bu kovektöre f fonksiyonunun gradienti, f fonksiyonuna ise bu kovektör
alanın potansiyel fonksiyonu denir. Keyfi Vi kovektörünün herhangi bir skaler alanın
gradienti olması için gerek ve yeter şart
j Vi 0
(2.34)
olmasıdır (Yano 1968).
Vi gradient kovektörünün kovaryant türevi
jVi jVi kji Vk
(2.35)
biçimindedir. (2.35) denkleminde j ve i indislerine göre alterneleştirme işlemi yapılır ve
(2.34) eşitliği kullanılırsa
jVi S ijk Vk
(2.36)
23
elde edilir. Burada
S ijk kij
(2.37)
olarak verilmiştir. (2.36) denkleminin sol tarafındaki kovaryant türev (0,2) tipli tensör
olduğundan S ijk kemiyetleri aşağı indislerine göre antisimetrik olan (1,2) tipli tensörün
bileşenlerini ifade eder. Bu tensöre An uzayının burulma (torsion) tensörü denir. An
manifoldundan alınmış keyfi X, Y vektör alanları için burulma tensörünün invariyant
formda yazılışı ise
S X , Y X Y Y X X , Y
(2.38)
biçimindedir (Kobayashi and Nomizu 1963). Burada X , Y , X ve Y vektör alanlarının
Lie parantezi olup
X , Y f
X Yf Y Xf
şeklindedir.
Keyfi vi vektörünün s v i s v i ism v m kovaryant türevi (1,1) tipli tensör belirtir.
Bu tensörün kovaryant türevi ise
r s v i r s v i irm s v m mrs m v i
r ( s v i isk v k ) irm ( s v m
m
sk
vk )
m
rs
mvi
2rs v i r isk v k isk r v k irm s v m irm msk v k mrs m v i
biçiminde bulunur. Bu eşitlikte r, s indislerine göre alterneleştirme işlemi uygulanırsa
2r svi Rrsk i v k 2Srsk k vi
(2.39)
24
denklemi elde edilir. (2.39) denkleminde
Rrsk i r isk s irk irm msk ism
m
rk
(2.40)
2( r is k ir m ms k )
olarak alınmıştır. (2.39) denkleminin sol tarafındaki terim ve sağ tarafındaki ikinci terim
i
tensör ve v i keyfi vektör olduğundan Rrsk
ifadesi (1,3) tipli tensördür. Bu tensöre An
uzayının Eğrilik tensörü veya Riemannian- Christoffel tensörü denir.
(2.39) formülüne benzer olarak aşağıdaki formüller yazılabilir:
m
2 r s k Rrsk
m 2S rsm mk ,
(2.41)
j
m
2 r s i j Rrsm
im Rrsi
mj 2S rsk k i j ,
(2.42)
i1
p
2 r s t j11 ... jpq Rrsm
t j1 ...2 jq p ... Rrsm
t ij11......mjq
i ... i
mi ... i
i
(2.43)
m
m
Rrsj
t 1 p ... Rrsj
t 1 p 2 S rsk k t j11 ... jpq .
1 mj2 ... j q
q j1 ... m
i ... i
i ... i
i ... i
(2.41)’e k kovektörünün (2.42) formülüne ise i j afinorunun Ricci özdeşliği denir.
Keyfi X , Y , Z An vektör alanları için eğrilik tensörünün invaryant formda yazılışı ise
R X , Y Z X Y Z Y X Z X ,Y Z
(2.44)
biçimindedir (Kobayashi and Nomizu 1963).
2.3.3. Konneksiyonların dönüşümü
Keyfi iki afin konneksiyonlu uzayların difeomorfizmine bakalım. Bu durumda, bu
uzayların karşılıklı noktalarının koordinatları aynı olacak şekilde uygun eğrisel
25
koordinat sistemi verilebilir. Bu tür karşılık getirme, aynı bir X n differensiyellenebilir
manifoldunda iki keyfi afin konneksiyonun verilmesiyle de oluşturulabilir. Bu duruma,
konneksiyonların birinden diğerine geçmeye, konneksiyonların dönüştürülmesi veya
paralel kaydırma kuralının dönüştürülmesi olarak bakılabilir. Aynı manifold üzerinde
çeşitli konneksiyonlar dahil etmek mümkündür. M n manifoldu üzerinde ijk ve ijk
konneksiyon katsayılarına sahip ve konneksiyonları verilmiş olsun. Keyfi v i
vektör alanının bu konneksiyonlara göre kovaryant türevleri
i
i
k v i k v i km
v m , k v i k v i km
vm
biçiminde olur. Bu iki eşitliği taraf tarafa çıkarırsak
i
k v i k v i Tkm
vm
(2.45)
eşitliği elde edilir. Burada
i
i
i
Tkm
km
km
(2.46)
biçimindedir. (2.45) eşitliği ile verilen T kmi , (1,2) tipli tensör meydana getirir. Bu tensöre
afin deformasyon (gerilme) tensörü denir.
i
Teorem 2.3.3.1: T kmi , (1,2) tipli tensör ve km
ise afin konneksiyonunun katsayıları
olmak üzere (2.46) eşitliği ile verilen kmi katsayıları da diğer bir afin konneksiyonun
katsayıları olur.
İspat: (2.46) eşitliğinden
ijk ijk Tijk
yazılır. ijk için konneksiyon katsayılarının dönüştürülmesi halinde
26
ijk Tijk Akk' Aii ' A jj ' i k' j'' Ti 'kj'' Akk' Aijk '
(2.47)
olur. Burada Tijk tensör olduğundan
Tijk Akk' Aii ' A jj 'Ti 'kj''
(2.48)
eşitliğini yazabiliriz. (2.48) eşitliği (2.47) eşitliğinde kullanılırsa
ijk Akk' Aii ' A jj ' i k' j'' Akk' Aijk '
olduğu bulunur. Bu ise, ijk katsayılarının, konneksiyonların dönüştürülmesi kuralına
göre dönüştüğünü ifade eder. Dolayısıyla bir afin konneksiyondur.
Bu teoremin bazı sonuçlarını ifade edelim:
1
Sonuç 1.
k
ij
2
ve
k
ij
afin konneksiyon katsayıları olmak üzere her skaleri için
1
k
ij
2
ijk ijk
(2.49)
1
değeri de bir afin konneksiyonun katsayılarıdır.
İspat: (2.49) eşitliği
1
ijk ijk
1
2
1
( ijk ijk )
(2.50)
biçiminde yazılabilir. (2.50) eşitliğinin sağ tarafındaki ikinci terim tensör olduğundan
Teorem 2.3.2’e göre ijk
afin konneksiyon olur. Yani iki farklı konneksiyon
kullanılarak yeni bir konneksiyon oluşturulmuş olur.
27
Özel halde 1 alırsak
1
k
ij
1
2
ijk ijk
(2.51)
2
2
bulunur. ijk konneksiyonuna ijk ve ijk konneksiyonlarına göre orta konneksiyon
denir.
~
Sonuç 2. ijk afin konneksiyonu verilmiş olsun. Bu taktirde, ijk ijk katsayıları da
afin konneksiyon tayin eder.
İspat: Burulma tensörünün ifadesi
S ijk kij
1 k
ij jik
2
olduğundan
~
~
jik jik 2S ijk , jik jik
(2.52)
~
~
yazılır. Teorem 2.3.2’den dolayı jik katsayıları bir afin konneksiyon belirtir. jik ve jik
konneksiyonlarına karşılıklı konneksiyon denir.
2.3.4. Burulması sıfır olan uzaylar
Burulmasız afin konneksiyonlu uzayların burulma tensörü sıfıra eşit olduğundan bu
uzayların konneksiyon katsayıları alt indislerine göre simetriktir, yani
kji ijk ijk
28
olur. Burulmasız afin konneksiyonlu uzayın herhangi eğrisel koordinat sistemine göre
koordinatları u 1,..., u n olan O (u i ) noktasını alalım ve konneksiyon katsayılarının
verilmiş olduğu koordinat sistemine göre bu noktadaki değerlerinin ijk katsayıları ile
verildiğini kabul edelim. ki ' Kronecker sembolü olmak üzere
u i ' ki ' {(u k u k )
1 k
pq (u p u p )(u q u q )}
2
(2.53)
biçiminde yeni koordinatları tanımlayalım. Bu ifade u i ’den u i ’ne bir dönüşümdür.
(2.53) dönüşümü difereniyellenebilirdir ve u i ' koordinatlarının u i koordinatlarına göre
kısmi türevleri
Aii ' ii ' ki ' ipk (u p u p ) , Aiji ' ki ' ijk
(2.54)
biçiminde yazılır. (2.54) eşitliği O noktasında ve civarında det Aii ' 0 şartını sağlar.
Yani, (2.53) dönüşümü diferensiyellenebilir manifoldun tanımındaki mümkün olan
dönüşümler sınıfındandır. (2.54) türev fonksiyonları O noktasında yazılırsa
Aii ' ii ' , Aiji ' ki ' ijk
(2.55)
olur.
Şimdi ise konneksiyon katsayılarının yeni koordinat sistemine göre O noktasındaki
değerlerini hesaplayalım. Bunun için (2.55) ve (2.27) eşitlikleri kullanılarak
ijk jj ' kk ' ii' ij''k ' ii' li ' lkj
veya
29
ij' 'k ' 0
bulunur. Böylece burulmasız afin uzayın her bir noktasında öyle bir koordinat sistemi
verilebilir ki, konneksiyon katsayıları bu sisteme göre bu noktadaki bütün değerleri sıfır
olur. (2.53) ile verilen koordinatlara normal koordinat sistemi denir.
Burulmasız afin konneksiyonlu uzaylarda
1. Rrs k 0,
i
2. Rrsk 0,
i
3. t Rrsk 0 (Bianchi-Padov eşitliği), (Bianchi’nin 2. özdeşliği)
i
eşitlikleri geçerlidir.
Bu eşitliklerin her üçünün de invaryant (tensör) karakter taşıdığını dikkate alırsak,
bunların ispatını normal koordinat sisteminde incelemek yeterli ve daha kolaydır.
Burulmasız afin konneksiyonlu uzayda simetrik ve regüler a ij tensörü verilmiş olsun.
Bu tensörün tersi a~ ij olmak üzere, a ij tensörünün kovaryant türevi
k a ij a kij
şeklinde olsun. (2.56) eşitliğinde indislerin yeri dairesel olarak değiştirilerek
k aij kim a mj kjm a mi k aij ,
i a jk ijm a mk ikm a jm i a jk ,
j a ki jkm a mi jim a km j a ki .
eşitlikleri yazılır.
(2.56)
30
Sonuncu iki eşitlikten birinci eşitlik çıkartılırsa
2ijm amk i a jk j aik k aij aijk a jik akij
(2.57)
eşitliği bulunur. (2.57) eşitliğinin her iki tarafı a~ rk tensörü ile çarpılırsa
ijr
12 a~ a
r
ij
a jik a kij
(2.58)
j a ik k a ij
(2.59)
rk
ijk
olur. Burada
12 a~ a
r
ij
rk
i
jk
şeklindedir. (2.59) ifadesine a ij tensörünün Riemannian konneksiyon katsayıları, LeviCivita konneksiyonu veya Christoffel sembolü denir. Burulmasız afin konneksiyonlu
uzayın konneksiyon katsayıları regüler ve simetrik a ij tensörünün Christoffel sembolü
ve kovaryant türevleri yardımıyla ifade edilir.
e
Tanım 2.3.4.1: Burulmasız afin konneksiyonlu An uzayında ei1i2 ...in
0
es en
es en
, n-
vektörü olmak üzere v, v,..., v lineer bağımsız vektörleri üzerine kurulan paralelyüzün
1
2
n
hacmi
V ei1i2 ...in v 1 v 2 ... v n
i
1
olsun.
i
2
i
n
(2.60)
v, v,..., v vektörlerinin paralel taşınması sonucunda V hacmi korunursa,
1
2
n
burulmasız An uzayına eş afin (denk afin) uzay denir.
31
(2.60) denkleminden
ei ...i 0 veya k ei ...i 0
1
n
1
n
(2.61)
olur. Eş afin uzayın konneksiyonu (2.61) denklemiyle belirlenir. (2.61) şartı
k ei1 ...in kis 1 esi2 ...in ... kis n ei1 ...s 0
(2.62)
biçiminde yazılabilir. n-vektörün antisimetrikliğine göre (2.62) sisteminin bütün
denklemleri
k e12 ... n ks1e s 2... n ... kns e12 ... s 0
(2.63)
denklemine denk olur. e12... n e olarak yazılırsa bu durumda (2.63) eşitliğinden
kss k ln e
(2.64)
yazılır. Eş afin uzay bu şart ile de karakterize edilebilir. (2.64) eşitliğindeki eş afin
konneksiyonun katsayıları ile belirlenen kss toplamı gradiyentdir. Bu gradiyentin
potansiyel fonksiyonu ise ln e olur.
Rij Rkij k ijk i kjk klk ijl kil ljk
k
(2.65)
tensörüne Ricci tensörü denir. Eş afin konneksiyonu
Rij R ji
şartı ile de karakterize edilebilir.
(2.66)
32
Burulmasız afin konneksiyonlu uzaylarda eğrilik tensörünün Rrsk i 0 ve Rrsk 0
i
şartlarını sağladığını göz önüne alırsak
Rrsk Rrs Rsr
k
(2.67)
eşitliğini yazabiliriz. (2.66) ve (2.67) eşitlikleri eş afin konneksiyonunun
Rrsk 0
k
şartı ile de karakterize edilebileceğini gösterir.
Tanım 2.3.4.2: Burulmasız afin konneksiyonlu uzayın her bir noktasındaki tanjant
uzayında verilen simetrik, (0,2) tipli g tensörü, tanjant uzayın paralel kaydırılması
durumunda korunuyorsa böyle uzaya metrik uzay denir. Burada simetrik, (0,2) tipli g ij
tensörüne metrik tensör denir.
Tanım 2.3.4.3: Metrik uzayın g metrik tensörü regüler ise yani det g ij 0 ise uzaya
Weyl uzayı denir ve Wn ile gösterilir.
Tanım 2.3.4.4: Eğer Weyl uzayı eş-afin uzay olursa, bu uzaya Riemannian uzayı denir
ve V n ile gösterilir.
Riemannian uzayı burulmasız konneksiyona sahip olan uzaydır ve bu uzayın
Riemannian konneksiyonu
k g ij 0
şartı ile karekterize edilir. V n Riemannian uzayının konneksiyon katsayıları
(2.68)
33
ijk
12 g g
k
ij
kr
i
rj
j g ir r g ij
(2.69)
biçiminde verilir. Yani, V n uzayının konneksiyon katsayıları g tensörünün Christoffel
sembolleriyle
çakışır.
(2.69)
katsayılarıyla
verilen
konneksiyona
Riemannian
konneksiyonu veya Levi-Civita konneksiyonu denir. Diğer taraftan Riemannian
manifoldu üzerinde g 0 şartını sağlayan ama burulması olan konneksiyonlar da
vardır. Bu tür konneksiyonlara ise metrik konneksiyon denir.
Riemannian uzayında R jkl g si Rijkl olmak üzere
s
1. Rij kl 0
2. Rijk l 0
3. s Rij kl 0
4. Rij kl 0
5. Rijkl R klij
eşitlikleri geçerlidir.
34
3. MATERYAL ve YÖNTEM
3.1. Tanjant Demet
M n , C sınıfından n - boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold ve M n manifoldunun
P noktasındaki tanjant uzay TP M n olmak üzere
T Mn
PM n
TP M n
(3.1)
ile tanımlanan T M n kümesine tanjant demet denir (Yano and Ishihara 1973).
T M n ’nin herhangi bir P TP M n noktası için M n manifoldu üzerindeki T M n
tabii demet yapısını doğuran : T M n M n , P P doğal demet izdüşümünü
tanımlar. 1 P P TP M n kümesine M n baz uzayının P noktasındaki fibresi
denir.
f : M n T M n diferensiyellenebilir dönüşümü ile tanımlanan f kesitine bakalım:
f id
Mn
. M n manifoldunun keyfi P noktasındaki f P görüntüsünü, TP M n ’nin
sıfır vektörüne götüren f kesitine sıfır kesit denir. f M n sıfır kesiti M n baz uzayı ile
aynıdır ve bu nedenle M n manifoldunun kendisi T M n ’de diferensiyellenebilir
imbedding olmuş (içine daldırılmış) altmanifolddur (Yano and Ishihara 1973).
( x h ) , U koordinat komşuluğunda lokal koordinatlar olmak üzere M n baz uzayı U ; x h
koordinat komşuluk sistemiyle örtülmüş olsun. R n ise, R üzerindeki n -boyutlu vektör
uzayı olsun.
35
P TP M n
P U noktası P, X sıralı çifti ile gösterildiğinden ve X Rn
vektörünün bileşenleri TP M n tanjant uzayında h h h doğal bazına göre P ’nin
x
yh xh
h n 1,..., 2n
kartezyen koordinatları olduğu için 1 U T M n açık
kümesi U R n direkt çarpımına difeomorfizm olacaktır. U komşuluğunda P P ’nin
h 1,..., n ile gösterilirse ve
koordinatları x h
alınırsa, 1 U T M n açık kümesinde
x , x P
h
h
x , x
h
h
1
U olduğu dikkate
lokal koordinatlar sistemi elde
edilir ve x h , x h ’ye, x h ’dan indirgenmiş (elde edilmiş) 1 U ’daki koordinatlar
denir (Yano and Ishihara 1973).
M n manifoldunun P P
noktasını ihtiva eden diğer bir koordinat komşuluğu
U , x olmak üzere, U koordinat komşuluğuda P noktasını ihtiva eder.
'
h'
1
'
1 U ' koordinat komşuluğuna göre P noktasının indirgenmiş koordinatları
( x h ' , y h ' ) ile gösterilir. Buradaki dönüşüm kuralı
xh' xh' xh ,
h ' x h ' h
x h y
x
(3.2)
şeklindedir (Yano and Ishihara 1973). Burada, x h ' x h ; x1 , x 2 ,..., x n değişkenlerinin
C sınıfından olan diferensiyellenebilir fonksiyonlarıdır.
xh yh ,
xh' yh'
ile
gösterilirse (3.2) dönüşümü
x H ' x H ' x H , H 1,..., n, n 1,..., 2n
(3.3)
36
olarak yazılır. (3.2) dönüşümünün Jakobi matrisi
x H ' Ahh '
H h'
x Ah y
0
Ahh '
(3.4)
ile tanımlıdır. Burada
Ahh '
x h '
2 xh'
h'
,
A
h
x h
x h x
eşitlikleri geçerlidir. (3.2) dönüşümünün tersi ise
xh xh xh' ,
h x h h '
x h' y
x
(3.5)
xH xH xH '
(3.6)
veya
olarak yazılır. (3.5) dönüşümünün Jakobi matrisi
x H Ahh'
H' h '
x Ah ' ' y
0
Ahh'
(3.7)
ile verilir. (3.4) ve (3.7) matrisleri T M n tanjant demetin daima yönlendirilebilir
olduğunu gösterir (Yano and Ishihara 1973).
M n manifoldu üzerindeki C -sınıfından
rs M n ve bunların direkt toplamı ise
r, s
tipli tüm tensör alanlarının kümesi
37
M n
M
r , s 0
r
s
n
ile gösterilir. Benzer olarak T M n tanjant demetindeki uygun kümeler sırasıyla
rs T M n ve T M n ile gösterilir.
3.1.1. Fonksiyonun dikey lifti
f , M n ’de bir fonksiyon olsun. T M n tanjant demette
f : M n R ve : T M n M n olmak üzere
v
v
f fonksiyonuna bakalım:
f f olsun.
v
f :T Mn R
fonksiyonuna f fonksiyonunun dikey lifti denir. Burada
v
olup
v
f P
f P v f x, y f P f P f x P, 1 U , P xi , y i
değeri fibre boyunca sabittir ve P 1 P M n noktasındaki f P
değerine eşittir (Yano and Ishihara 1973).
3.1.2. Vektör alanının dikey lifti
M n manifoldu üzerinde herhangi bir X 10 M n vektör alanı verilmiş olsun. T M n
tanjant demetinde
v
ile tanımlanan
Ishihara 1973).
v
X v X
(3.8)
X vektör alanına X vektör alanının dikey lifti denir (Yano and
38
Burada kovektörü M n ’nin U komşuluğunda i dx i şeklindeki koordinatlara
1
sahip olup ise U ’da i y i indirgenmiş koordinatlarına sahiptir.
(3.8) eşitliğinden X vektör alanının
v
X
dikey liftinin, T M n tanjant demette
indirgenmiş koordinatlara göre bileşenleri
v
0
X h
X
(3.9)
şeklindedir (Yano and Ishihara 1973).
3.1.3. 1-formun dikey lifti
M n manifoldu üzerinde 10 M n 1-formu verilsin. T M n tanjant demetinde ’nın
dikey lifti olan v 10 T M n 1-formu indirgenmiş koordinatlara göre
v
h , 0
(3.10)
bileşenlerine sahiptir (Yano and Ishihara 1973).
(3.10) eşitliğinden her bir 1 U açık kümesinde
v
dx dx
olarak yazılır (Yano and Ishihara 1973).
h
h
(3.11)
39
3.1.4. Vektör alanının tam lifti
M n manifoldu üzerinde X 10 M n vektör alanı verilmiş olsun. T M n tanjant
demetinde X vektör alanının tam lifti olan c X 10 T M n vektör alanı indirgenmiş
koordinatlara göre
c
Xh
X s
y X h
s
(3.12)
bileşenlerine sahiptir (Yano and Ishihara 1973).
(3.12) eşitliğinden her bir 1 U açık kümesinde
c
h h
(3.13)
olarak bulunur (Yano and Ishihara 1973).
3.1.5. Afinor alanının tam lifti
M n manifoldu üzerinde F 11 M n afinor alanı verilmiş olsun. T M n tanjant
demetinde F afinor alanının tam lifti olan c F 11 T M n afinor alanı indirgenmiş
koordinatlara göre
c
Fh
F s i h
y s Fi
bileşenlerine sahiptir (Yano and Ishihara 1973).
0
Fi h
40
3.1.6. operatörü
F , M n üzerinde tanımlı bir afinor alanı olmak üzere T M n tanjant demetinde
F 10 T M n vektör alanı indirgenmiş koordinatlara göre
0
y F
F
s
h
s
(3.14)
bileşenlerine sahiptir (Yano and Ishihara 1973).
T 12 T M n olmak üzere, T M n tanjant demetinde T 11 T M n afinor alanı
indirgenmiş koordinatlara göre
0
0
T
0
s
h
s h
yT
(3.15)
bileşenlerine sahiptir (Yano and Ishihara 1973).
3.1.7. Yatay lift
M n , diferensiyellenebilir manifoldu üzerinde afin konneksiyonu verilmiş olsun.
Keyfi X 10 M n için
H
ile tanımlanan
burada
H
X C X ( X )
(3.16)
X 10 T M n vektör alanına, X vektör alanının yatay lifti denir ve
41
( X ) ( X )
şeklindedir (Yano and Ishihara 1973).
X ’in
H
X yatay lifti, T M n tanjant demeti üzerindeki indirgenmiş koordinatlara
göre
H
Xh
X h i
X
i
(3.17)
ih y s s h i
(3.18)
bileşenlerine sahiptir. Burada
şeklindedir.
F 11 ( M n ) ’in T M n tanjant demeti üzerindeki
H
H
F yatay lifti
F C F F
(3.19)
ile tanımlıdır (Yano and Ishihara 1973).
Burada F
F y F
şeklinde tanımlıdır. F
’in
indirgenmiş koordinatlara göre
H
F
s
s
i
h
i dx h
(3.20)
yatay lifti, T M n tanjant demeti üzerindeki
42
H
Fi h
F h s
Fi si F h
s
s
0
Fi h
(3.21)
bileşenlerine sahiptir (Yano and Ishihara 1973).
3.2. Kotanjant Demet
M n , C -sınıfından n - boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold ve M n manifoldunun
P noktasındaki kotanjant uzayı TP* M n olmak üzere
T* Mn
PM n
TP* M n
(3.22)
ile tanımlanan T * M n kümesine kotanjant demet denir (Yano and Ishihara 1973).
T * M n ’nin herhangi bir P TP* M n noktası için M n manifoldu üzerindeki T * M n
tabii demet yapısını doğuran : T * M n M n , P P doğal demet izdüşümünü
tanımlar. 1 P P TP* M n kümesine M n baz uzayının P noktasındaki fibresi
denir (Yano and Ishihara 1973).
f : M n T * M n diferensiyellenebilir dönüşümü ile tanımlanan f kesitine bakalım:
f id
Mn
. M n manifoldunun keyfi P noktasındaki f P görüntüsünü, TP* M n ’nin
sıfır vektörüne götüren f kesitine sıfır kesit denir. f M n sıfır kesiti M n baz uzayı ile
aynıdır ve bu nedenle M n manifoldunun kendisi T * M n ’de diferensiyellenebilir
imbedding olmuş (içine daldırılmış) altmanifolddur (Yano and Ishihara 1973).
43
( x h ) , U koordinat komşuluğunda lokal koordinatlar olmak üzere M n baz uzayı U ; x h
koordinat komşuluk sistemiyle örtülmüş olsun. R n ise, R üzerindeki n -boyutlu vektör
P, p
uzayı olsun. P TP* M n P U noktası
sıralı çifti ile gösterildiğinden ve
p R n kovektörünün bileşenleri TP* M n kotanjant uzayında dx h doğal kobazına göre
’nin
P
pi x h
h n 1,..., 2n
kartezyen
koordinatları
olduğu
için
1 U T * M n açık kümesi U Rn direkt çarpımına difeomorfizm olacaktır (Yano
and Ishihara 1973).
U komşuluğunda P P
x , p P U
1
h
i
x , p
h
i
’nin koordinatları x h
h 1,..., n ile gösterilirse ve
olduğu dikkate alınırsa, 1 U T M n açık kümesinde
lokal koordinatlar sistemi elde edilir ve x h , pi ’ye, x h ’dan indirgenmiş
(elde edilmiş) 1 U ’daki koordinatlar denir (Yano and Ishihara 1973).
M n manifoldunun P P
noktasını ihtiva eden diğer bir koordinat komşuluğu
U , x olmak üzere, U koordinat komşuluğuda P noktasını ihtiva eder.
'
h'
1
'
1 U ' koordinat komşuluğuna göre P noktasının indirgenmiş koordinatları x h , pi
ile gösterilir (Yano and Ishihara 1973). Buradaki dönüşüm kuralı
xh' xh' x ,
x i
p
pi
i'
x i '
şeklindedir. Burada,
xh ' x ;
x1 , x 2 ,..., x n
(3.23)
değişkenlerinin
C -sınıfından
olan
diferensiyellenebilir fonksiyonlarıdır. x h ph , x h ' ph ' ile gösterilirse (3.23) dönüşümü
44
x H ' x H ' x H , H 1,..., n, n 1,..., 2n
(3.24)
olarak yazılır. (3.23) dönüşümünün Jakobi matrisi
x H ' Aih '
H i' h
x Ai Ai ' h ' ph
0
Ahi '
(3.25)
ile tanımlıdır. Burada
Aii '
xi '
2 xh
x h '
h
h'
,
,
A
A
i 'h '
i
xi
xi 'x h '
xi
eşitlikleri geçerlidir. (3.23) dönüşümünün tersi ise
xh xh x' ,
x h '
p
ph '
h
x h
(3.26)
veya
xH xH xH '
(3.27)
olarak yazılır. (3.26) dönüşümünün Jakobi matrisi
x H Ahi '
H ' i h'
x Ai ' Aih ph '
ile verilir. (3.25) ve (3.28) matrisleri
0
Aih '
T* Mn
(3.28)
kotanjant demetinin daima
yönlendirilebilir olduğunu gösterir (Yano and Ishihara 1973).
45
r, s
M n manifoldu üzerindeki C -sınıfından
tipli tüm tensör alanlarının kümesi
rs M n ve bunların direkt toplamı ise
M n
M
r
s
r , s 0
n
ile gösterilir. Benzer olarak T * M n kotanjant demetindeki uygun kümeler sırasıyla
rs T * M n ve T * M n ile gösterilir.
p pi dx i 1-formuna, T * M n kotanjant demetindeki temel 1-form denir. 1 U
komşuluğunda dp dış diferensiyeli dp dpi dx i şeklindeki 2-formu belirtir. Bu
nedenle
1
dp CB dx C dx B
2
yazılırsa
i j
0
( CB )
j
i
0
(3.29)
elde edilir. (3.29) matrisi regüler olduğundan B A CB CA olacak şekilde B A ters
matrisi vardır. B A matrisi
(
BA
0
) i
h
şeklindedir (Yano and Ishihara 1973).
ih
0
(3.30)
46
3.2.1. Fonksiyonun dikey lifti
M n manifoldu üzerinde f : M n R fonksiyonu verilmiş olsun. : T * M n M n
izdüşüm dönüşümü olmak üzere
v
f f
(3.31)
fonksiyonuna f fonksiyonunun T * M n kotanjant demete dikey lifti denir. P TP* M n
olmak üzere
v
f P f P
elde edilir (Yano and Ishihara 1973).
3.2.2. Kovektör alanının dikey lifti
10 ( M n ) üzerindeki B B A lokal bileşenlerine sahip ve koordinatlarla ifadesi
A
i dx i şeklindeki 1-form olmak üzere 1-formunun dikey lifti olan
v
vektör
alanı T * M n kotanjant demetinde indirgenmiş koordinatlara göre
v
0
i
bileşenlerine sahiptir (Yano and Ishihara 1973).
(3.32)
47
3.2.3. Vektör alanının tam lifti
M n manifoldu üzerinde X 10 M n vektör alanı verilmiş olsun. T * M n kotanjant
demetinde X vektör alanının tam lifti olan c X 10 T * M n vektör alanı indirgenmiş
koordinatlara göre
c
Xh
X
pi h X i
(3.33)
bileşenlerine sahiptir (Yano and Ishihara 1973).
3.2.4. Afinor alanının tam lifti
M n manifoldu üzerinde F 11 M n afinor alanı verilmiş olsun. T * M n kotanjant
demetinde F afinor alanının tam lifti olan c F 11 T * M n afinor alanı indirgenmiş
koordinatlara göre
c
Fi h
F
s
s
ps ( i Fh h Fi )
bileşenlerine sahiptir (Yano and Ishihara 1973).
3.2.5. operatörü
0
Fhi
(3.34)
48
X , M n üzerinde tanımlı bir vektör alanı olmak üzere T * M n kotanjant demeti
üzerindeki X fonksiyonu
X ps X s
(3.35)
ile tanımlanır.
F , M n üzerinde tanımlı bir afinor alanı olmak üzere T * M n kotanjant demetinde
F 10 T * M n vektör alanı indirgenmiş koordinatlara göre
0
ps Fi
F
(3.36)
s
bileşenlerine sahiptir (Yano and Ishihara 1973).
T 12 M n olmak üzere, T * M n kotanjant demetinde T 11 T * M n afinor
alanı indirgenmiş koordinatlara göre
0
T
s
p sT j i
0
0
(3.37)
bileşenlerine sahiptir (Yano and Ishihara 1973).
3.2.6. Vektör alanının yatay lifti
M n diferensiyellenebilir manifoldu üzerinde simetrik afin konneksiyonu verilmiş
olsun. Keyfi X 10 M n için
49
H
ile tanımlanan
H
X C X (X )
(3.38)
X 10 T * M n vektör alanına, X vektör alanının yatay lifti denir ve
burada X s ’in i X s kovaryant türevi
(i X s ) i X s X j j s i
şeklindedir (Yano and Ishihara 1973).
X ’in
H
X yatay lifti, T * M n kotanjant demeti üzerindeki indirgenmiş koordinatlara
göre
H
Xi
X j
X
ji
(3.39)
bileşenlerine sahiptir. Burada
ji ps j s i
(3.40)
şeklindedir.
3.2.7. Afinor alanının yatay lifti
F 11 ( M n ) ’in T * M n kotanjant demeti üzerindeki
H
H
F yatay lifti
F C F [F ]
ile tanımlıdır. Burada [F ] , keyfi X ,Y 10 ( M n ) vektör alanları için
(3.41)
50
[F ]( X , Y ) X ( FY ) Y ( FX )
ile tanımlı (1,2) tipli bir tensör alanıdır. F ’in
H
(3.42)
F yatay lifti, T * M n kotanjant
demeti üzerindeki indirgenmiş koordinatlara göre
H
Fi h
F
F s F s
hs i
is h
0
i
Fh
(3.43)
bileşenlerine sahiptir (Yano and Ishihara 1973).
3.3. Yarı-Tanjant Demet
M n ile Bm sırasıyla C
sınıfından n ve m -boyutlu diferensiyellenebilir manifoldlar ve
1 : M n Bm submersionu tarafından tanımlanan diferensiyellenebilir bir demet olsun.
Bu demette a, b,... 1,..., n m ; , ,... n m 1,..., n ; i, j,... 1, 2,..., n olmak üzere,
( x a , x ) ( x i ) lokal koordinat sistemine bakalım, burada x ’lar Bm ’nin lokal
koordinatları, x a ’lar ise, 1 : M n Bm demetinin fibre koordinatlarıdır (Vishnevskii et
al. 1985). ( x a ' , x ' ) demetteki bir diğer yerel koordinatlar olmak üzere
x a x a x b , x ,
'
'
x x x
dönüşümü yazılır. (3.44)’de belirtilen dönüşümün Jakobi matrisi
a
x i Ab
A x j 0
i
j
biçimindedir.
Aa
A '
(3.44)
51
Tx ( Bm ) , Bm ’in ( x 1 ( x), x x a , x M n ) x noktasındaki tanjant uzayı olsun.
Tx ( Bm ) uzayındaki { } doğal çatısına göre X ’in bileşenleri X dx X olmak
üzere, M n manifoldu üzerinde lokal koordinatları ( x I ) ( x a , x , x ) , ( x = y , =
m, I 1,..., n m) olan t ( Bm )
yarı-tanjant demeti elde edilir (Duc 1979;
Vishnevskii et al. 1985).
t ( Bm ) yarı-tanjant demeti, Bm üzerinde doğal demet yapısına ve : ( x a , x , x ) ( x )
a
a
şeklinde tanımlı : t ( Bm ) Bm izdüşümüne sahiptir. Eğer, 2 : ( x , x , x ) ( x , x )
ile, 2 : t ( Bm ) M n dönüşümü tanımlanacak olursa; t ( Bm ) , M n üzerinde de bir demet
yapısına sahip olur. Buradaki izdüşümü dönüşümleri arasında 1 2 eşitliği
yazılabilir (Salimov and Kadıoğlu 2000).
M n ’nin lokal koordinatlarının (3.44)’e göre, t ( Bm ) üzerinde belirttiği koordinat
dönüşümü
x a x a x b , x ,
'
'
x x x ,
'
x ' x x
x
(3.45)
şeklindedir. (3.45) dönüşümünün Jakobi matrisi
Aba '
A AJI ' 0
0
biçimindedir. Burada
Aa '
A '
'
A y
0
0
A '
(3.46)
52
'
A
2 x '
x x
şeklindedir. (3.46)’da belirtilen matris için
Det ( Aba ' ) 0 , Det ( A ' ) 0
olduğundan DetA 0 ’dır. Yarı-tanjant demetin boyutu dim t ( Bm ) n m olur (Duc
1979; Vishnevskii et al. 1985). Özel olarak n m olması durumunda t ( Bm ) yarı-tanjant
demeti, T ( M n ) tanjant demetine dönüşür (Salimov and Kadıoğlu 2000).
F Bm , Bm üzerindeki C
sınıfından reel değerli fonksiyonların belirttiği halka olmak
üzere, Bm ’deki p, q tipli tüm tensör alanlarının F Bm üzerindeki modülü qp Bm
ile gösterilir.
3.3.1. Fonksiyonun dikey lifti
f,
Bm üzerinde tanımlı bir fonksiyon olmak üzere, t ( Bm ) yarı-tanjant demeti üzerinde,
: t ( Bm ) Bm ve
v
f f 1 dönüşümleri vasıtasıyla tanımlanan f fonksiyonunun
dikey lifti
vv
f v f 2 f 1 2 f
şeklindedir (Ay 2013).
Buradan
vv
f ( xa , x , x ) f ( x )
(3.47)
53
elde edilir. Böylece
vv
f değeri : t ( Bm ) Bm ’deki her bir fibre boyunca sabittir (Ay
2013).
3.3.2. Vektör alanının dikey lifti
a
X 10 M n , X X ( x ) olmak üzere X X ( x , x ) a X ( x ) şeklindeki
a
bir izdüşümü olan vektör alanının t ( Bm ) yarı-tanjant demetine dikey lifti indirgenmiş
koordinatlara göre (Vishnevskii 2002)
vv
0
X 0
X
vv
vv
bileşenlerine sahiptir. Buradan ve (3.46) eşitliğinden ( X ') A( X ) elde edilir (Ay
2013).
3.3.3. Kovektör alanının dikey lifti
, Bm üzerindeki lokal bileşenlerine sahip ve koordinatlarla ifadesi dx
şeklinde olan 1-form olmak üzere 1-formunun t ( Bm ) yarı-tanjant demetine dikey lifti
indirgenmiş koordinatlara göre
vv
0, , 0
(3.48)
bileşenlerine sahiptir. Buradan ve (3.46) eşitliğinden ( vv ) A( vv ') elde edilir (Ay
2013).
54
3.3.4. Fonksiyonun tam lifti
Eğer f f ( x a , x ) , Bm üzerinde bir fonksiyon ise f fonksiyonunun t ( Bm ) yarı-tanjant
demetine tam lifti
cc
f df
x f
y f
ile tanımlanır (Salimov and Kadıoğlu 2000).
3.3.5. Vektör alanının tam lifti
a
X 10 M n , X X ( x ) olmak üzere X X ( x , x ) a X ( x ) şeklindeki
a
bir izdüşümü olan vektör alanının t ( Bm ) yarı-tanjant demetine tam lifti indirgenmiş
koordinatlara göre (Vishnevskii 2002)
Xa
cc
X X
y X
(3.49)
cc
cc
bileşenlerine sahiptir. Buradan ve (3.46) eşitliğinden ( X ') A( X ) elde edilir
(Vishnevskii et al. 1985).
55
4. ARAŞTIRMA BULGULARI ve TARTIŞMA
4.1. Yarı-Kotanjant Demet
M n ile Bm sırasıyla C
sınıfından n ve m -boyutlu diferensiyellenebilir manifoldlar ve
1 : M n Bm submersionu tarafından tanımlanan diferensiyellenebilir bir demet olsun.
Bu demette a, b,... 1,..., n m ; , ,... n m 1,..., n ; i, j,... 1, 2,..., n olmak üzere,
( x a , x ) ( x i ) lokal koordinat sistemine bakalım, burada x ’lar Bm ’in lokal
koordinatları, x a ’lar ise, 1 : M n Bm demetinin fibre koordinatlarıdır. ( x a ' , x ' )
demetteki bir diğer yerel koordinatlar olmak üzere
x a x a x b , x ,
'
'
x x x
(4.1)
dönüşümü yazılır. (4.1) ’de belirtilen dönüşümün Jakobi matrisi
a
x i Ab
A x j 0
i
j
Aa
A '
biçimindedir.
Tx* ( Bm ) , Bm ’in ( x 1 ( x), x x a , x M n ) x noktasındaki kotanjant uzayı olsun.
p ’lar ( p pi dx i ), p Tx* ( Bm ) ’in {dx } doğal koçatısına göre bileşenleri olmak
üzere, M n manifoldu üzerinde lokal koordinatları ( x I ) ( x a , x , x ) , ( x = p , =
56
m, I 1,..., n m) olan t * ( Bm ) yarı-kotanjant demeti elde edilir (Yıldırım and
Salimov 2014b).
t * ( Bm )
yarı-kotanjant
demeti,
Bm
üzerinde
doğal
demet
yapısına
ve
: ( x a , x , x ) ( x ) şeklinde tanımlı : t * ( Bm ) Bm izdüşümüne sahiptir. Eğer,
2 : ( x a , x , x ) ( x a , x ) ile, 2 : t * ( Bm ) M n dönüşümü tanımlanacak olursa; t * ( Bm ) ,
M n üzerinde de bir demet yapısına sahip olur. Buradaki izdüşümü dönüşümleri
arasında 1 2 eşitliği yazılabilir (Yıldırım and Salimov 2014b).
:E B
fibre demeti ve
f :B ' B diferensiyellenebilir bir dönüşüm olsun.
İndirgenmiş demet veya Whitney çarpımı olarakta bilinen pull-back demeti
f * E (b ', e) B ' E f (b ') (e) B ' E
total uzayı ile tanımlanır (Steenrod 1951; Lawson and Michelsohn 1989; Husemoller
1994). Bu demetin ' : f * E B ' izdüşümü ilk değişken üzerine izdüşümü şeklindedir,
yani ' b ', e b ' . Pull-back demetinin yüksek mertebeden durumlara genellemeleri
Pontryagin demetleri olarak bilinir (Pontryagin 1962). (t * ( Bm ), 2 ) yarı-kotanjant
demetin yukarıda yer alan tanımından görülür ki yarı-kotanjant demet, Bm üzerinde
tanımlı kotanjant demetin 1 dönüşümü yardımıyla bir pull-back demetidir (Yıldırım
and Salimov 2014b).
M n ’nin lokal koordinatlarının (4.1)’e göre, t * ( Bm ) üzerinde belirttiği koordinat
dönüşümü
57
x a x a x b , x ,
'
'
x x x ,
x ' x x
x '
(4.2)
şeklindedir. (4.2) dönüşümünün Jakobi matrisi
Aba '
A AJI ' 0
0
Aa '
'
'
' '
A
p A A
0
0
A'
(4.3)
biçimindedir. Burada
' '
A
2 x
' '
x x
şeklindedir. (4.3) ’de belirtilen matris için
Det ( Aba ' ) 0 , Det ( A ' ) 0 , Det ( A ' ) 0
olduğundan DetA 0 ’dır. Yarı-kotanjant demetin boyutu dim t * ( Bm ) n m olup özel
olarak n m olması durumunda t * ( Bm ) yarı-kotanjant demeti T * ( M n )
kotanjant
demetine dönüşür (Yıldırım and Salimov 2014b).
Yarı-tanjant demet ve bazı özellikleri (Duc 1979; Salimov and Kadıoğlu 2000;
Vishnevskii 2002) çalışmalarında incelenmiş olup bu tezde ise yarı-kotanjant demet ve
yarı-kotanjant demetteki bazı lift problemleri ele alınacaktır.
58
F Bm , Bm üzerindeki C
olmak üzere, Bm ’deki
sınıfından reel değerli fonksiyonların belirttiği halka
p, q
tipli tüm tensör alanlarının F Bm üzerindeki modülü
qp Bm ile gösterilir.
4.1.1. Yarı-kotanjant demette temel 1-form
1 (U ) t * ( Bm ), U Bm koordinat komşuluğunda bileşenleri (0, p , 0) şeklinde olan,
p 1-formuna t * ( Bm ) ’nin temel 1-formu denir. (4.3) ’deki dönüşüm matrisi
kullanılarak, p Ap ' olduğu gösterilebilir.
Burada
p (0, p , 0) , p ' (0, p ' , 0)
şeklindedir. p temel 1-formunun dp dış diferensiyeli dp dp dx şeklindeki 2-
1
A
B
formu belirtir. A (a, , ) , B (b, , ) olmak üzere, dp AB dx dx eşitliği
2
kullanılırsa ’nın
0 0
( AB ) dp 0 0
0
0
0
(4.4)
bileşenlerine sahip olduğu görülür. Burada d d 2 p 0 olduğundan, aşağıdaki teorem
elde edilir:
Teorem 4.1.1.1: t * ( Bm ) yarı-kotanjant demeti dejenere simplektik yapısına sahiptir
(Yıldırım and Salimov 2014b).
59
4.1.2. 1-formun dikey lifti
Bm üzerinde tanımlı bir f fonksiyonunun t * ( Bm ) demetindeki dikey lifti
vv
f v f 2 f 1 2 f
(4.5)
şeklinde tanımlanır.
Buradan
vv
f ( xa , x , x ) f ( x )
elde edilir (Yıldırım and Salimov 2014b).
*
X , t ( Bm ) üzerinde bir dikey vektör alanı olmak üzere,
X
’in ( x a , x , x )
Xa
indirgenmiş koordinatlara göre bileşenleri X ise, bu durumda
X
a
X a vv f X vv f X vv f 0
X vv f 0
X 0
elde edilir. Buradan, ( x a , x , x ) koordinatlarına göre t * ( Bm ) üzerindeki bir X dikey
vektör alanının koordinatlarının
Xa
A
X (X ) 0
X
60
şeklinde olduğu görülür.
, Bm üzerindeki lokal bileşenlerine sahip ve koordinatlarla ifadesi dx
şeklinde olan 1-form olmak üzere, 1-formunun t * ( Bm ) yarı-kotanjant demetine
dikey lifti indirgenmiş koordinatlara göre
vv
0
0
(4.6)
bileşenlerine sahiptir. Buradan ve (4.3) eşitliğinden ( vv ') A( vv ) elde edilir.
Keyfi f 00 Bm için
vv
olduğundan
vv
(vv f ) 0
bir dikey vektör alanı belirtir. Eğer p alınırsa
vv
*
p ’ye, t ( Bm )
üzerinde tanımlı bir Liouville kovektör alanı denir (Yıldırım and Salimov 2014b).
(4.6) ’daki eşitlik kullanılarak, aşağıdaki teorem elde edilir:
Teorem 4.1.2.1: Keyfi , 10 Bm ve f 00 Bm için
(i)
vv
( ) vv vv ,
(ii)
vv
( f ) vv f vv
eşitlikleri geçerlidir (Yıldırım and Salimov 2014b).
Her U açık komşuluğundaki dx doğal koçatısı için 1 (U ) açık komşuluğunda (4.6)
eşitliği kullanılarak, ( x a , x , x ) koordinatlarına göre
61
vv
(dx )
p
elde edilir.
Tanım 4.1.2.1: t * ( Bm ) yarı-kotanjant demeti üzerinde, X vektör alanı C sınıfından
H fonksiyonu ve dejenere simplektik dp yapısı için X dH şartını sağlıyor ise
(yani, X dahili çarpımı exact (tam form) ise), bu durumda X vektör alanına
Hamiltonian vektör alanı denir. Eğer LX 0 ise, X vektör alanına simplektik vektör
alanı denir. dp yapısı için simplektik vektör alanları lokal olarak Hamiltonian
LX d X X d
vektör alanıdır. Bunu kolayca
(Cartan’nın sihirli formülü)
formülünden görmek mümkündür (Yıldırım and Salimov 2014b).
10 ( Bm ) kovektör alanının
vv
dikey lifti bir vektör alanı belirtip
vv
için
LX d X X d (Cartan’nın sihirli formülü) kullanıldığında
Lvv dp d vv dp vv d dp d vv dp vv d 2 p d vv dp
elde edilir. Buradan
Lvv dp 0 şartı dahilinde
vv
vektör alanı lokal olarak
Hamiltonian vektör alanı olduğu elde edilir ve
vv
A AK L K vv A A L L vv A K A 0
şartı sağlanır. (4.6) ve dp dejenere simplektik yapısının bileşenleri son eşitlikte
kullanılarak 0 0 eşitliği elde edilir.
İspat: Yukarıda yer alan vv A AK L K vv A A L L vv A K A 0 eşitliğinden
62
0 K vv a a L K vv L K vv L L vv a K a L vv K L vv K
0 K vv L L vv K
0 K L L K
elde edilir. K ’nın indisleri K c, , ve L ’nin indisleri L d , , olmak üzere
(i) Buradan K c ve L d için
c d d c
0
0
0
0 0,
(ii) K c ve L için
c c
0
0
c
0
0
0 0,
(iii) K c ve L için
c c
0
0
0
0 0,
(iv) K ve L d için
d
0
d 0
63
d
0
0
0 0,
(v) K ve L için
0
0
0
0
0 0,
(vi) K ve L için
0
0
0
0
0 0,
(vii) K ve L d için
d
0
d d 0
0
0 0,
(viii) K ve L için
0
0
64
0
0
0 0,
(ix) K ve L için
0
0
0
0 0.
Buradan aşağıdaki teorem elde edilir:
Teorem 4.1.2.2: dp dejenere simplektik yapısıyla birlikte, 10 ( Bm ) kovektör
alanının yarı-kotanjant demete
vv
dikey lifti Hamiltoniandır.
4.1.3. operatörü
X , Bm üzerinde tanımlı bir vektör alanı olmak üzere t * ( Bm ) üzerindeki X
fonksiyonu
X p X
(4.7)
ile tanımlanır.
Keyfi F 11 Bm için (4.3) matrisi kullanılarak ( F ) ' A( F ) olduğu gösterilebilir.
Burada F ( x a , x , x ) koordinat sisteminde
65
0
( F ) ( F ) 0
p F
A
(4.8)
şeklindeki bileşenlere sahiptir.
Keyfi f T00 ( Bm ) için
( F )vv ( f ) 0
olduğu açıktır ve F , t * ( Bm ) üzerinde tanımlı bir dikey vektör alanı belirtir.
Keyfi T 12 Bm için
0
( T ) ( T ) 0
0
0
A
B
0
pT
0
0
0
(4.9)
ile verilir. (4.3) matrisi yardımıyla TBA' ' AAA ' ABB' TBA olduğu kolaylıkla gösterilebilir.
Burada ( A ) 1 ( ABB' ) matrisiyle A ’nın tersi gösterilmiştir. Ayrıca, 10 Bm ve
T 12 Bm olmak üzere
( T )( vv ) 0
eşitliği elde edilir (Yıldırım and Salimov 2014b).
66
R
bileşenleriyle tanımlı keyfi
R 13 ( Bm )
için (4.3) matrisi yardımıyla
RI ' KJ '' AKK ' AII ' AJJ ' RI KJ olduğu kolaylıkla gösterilebilir. t * ( Bm ) üzerindeki indirgenmiş
K
koordinatlara göre, R tensörü R I J ile ifade edilmek üzere R bileşeni
R p R
(4.10)
olup diğer tüm bileşenler sıfıra eşittir. Burada I ( a, , ) , J (b, , ) , K (c, , )
şeklindedir.
4.1.4. Vektör alanlarının tam lifti
X 10 M n , X X ( x ) olmak üzere X X ( x a , x ) a X ( x ) şeklindeki
a
bir izdüşümü olan vektör alanının t * ( Bm ) yarı-kotanjant demetine tam lifti indirgenmiş
koordinatlara göre (Vishnevskii 2002)
Xa
cc
X X
p ( X )
(4.11)
cc
cc
bileşenlerine sahiptir. Buradan ve (4.3) eşitliğinden ( X ) ' A( X ) elde edilir
(Yıldırım and Salimov 2014b). Tanım 4.1.2.1 ’den; LX d X X d (Cartan’nın
sihirli formülü)
cc
X tam lifti için kullanıldığında
Lcc dp d cc
X
X
dp
cc
X
d dp d cc
X
dp
elde edilir. Buradan Lcc dp 0 şartı dahilinde
X
Hamiltonian vektör alanı olduğu elde edilir ve
cc
X
cc
X
d 2 p d cc
X
dp
vektör alanı lokal olarak
67
cc
A
X AK L K
cc
X
A
AL
cc
L
A
X
KA
0
şartı sağlanır. (4.11) ve dp dejenere simplektik yapısının bileşenleri son eşitlikte
kullanılarak 0 0 eşitliği elde edilir.
İspat: Yukarıda yer alan
cc
K
K
a
cc
X a L K X
cc
A
X AK L K
L
cc
K
X
cc
X
A
AL
cc
a
cc
L
X
cc
A
KA
0 eşitliğinden
cc
L L X K a L X K L X K 0
X a a L K X L K p X L L X a K a L X K L p X K 0
elde edilir. K ’nın indisleri K c, , ve L ’nin indisleri L d , , olmak üzere
(i) Buradan K c ve L d için
0 c X a a d c X d c p X d d X a c a d X c d p X c
0
0
0
0
0
0
0 0,
(ii) K c ve L için
0 c X a a c X c p X X a c a X c p X c
0
0
0 c p X
0 c p X
0
0 0,
(iii) K c ve L için
0
0
0
68
0 c X a a c X c p X X a c a X c p X c
0
0
0
0
0
0 c X
0
0 0,
(iv) K ve L d için
0 X a a d X d p X d d X a a d X d p X
0
0
0
0
0
0 d p X
0
0 0,
(v) K ve L için
0 X a a X p X X a a X p X
0
0
0
0
0 p X p X
0 p X p X
2
2
0 p X X
0
0 0,
(vi) K ve L için
0 X a a X p X X a a X p X
0
0
0 X p X
0
0
69
0 X X
0 0,
(vii) K ve L d için
0 X a a d X d p X d d X a a d X d p X
0
0
0
0
0
0 d X
0 d X
0 0,
(viii) K ve L için
0 X a a X p X X a a X p X
0
0
0
0
0 p X X
0 X X
0 X X
0 0,
(ix) K ve L için
0 X a a X p X X a a X p X
0
0 X X
0 X X
0 0
0
0
0
70
0 0.
Buradan aşağıdaki teorem elde edilir:
Teorem 4.1.4.1: dp dejenere simplektik yapısıyla birlikte, X izdüşümü olan
vektör alanının yarı-kotanjant demete
cc
X tam lifti Hamiltoniandır (Yıldırım and
Salimov 2014b).
Keyfi X , Y 10 M n ve f 00 Bm için (4.6) ve (4.11) kullanılarak
cc
X (vv f ) vv ( Xf ) ,
(ii)
cc
( X Y ) cc X cc Y ,
(iii)
cc
( f X ) vv f ( cc X ) ( X ) vv ( df )
(i)
eşitlikleri elde edilir.
Teorem 4.1.4.2: Bm üzerindeki X ve Z izdüşümleri ile X , Z 10 M n izdüşümü
olan vektör alanları olsun. Keyfi f 00 Bm , 10 Bm ve F 11 Bm için
(i)
vv
vv f 0 ,
(ii)
vv
( Z ) vv ( ( Z )) ,
(iii)
( F )(vv f ) 0 ,
(iv)
( F ) Z ( FZ ) ,
(v)
cc
X ( Z ) [ X , Z ] ,
(vi)
cc
X
vv
f vv ( Xf )
eşitlikleri elde edilir (Yıldırım and Salimov 2014b).
İspat: (i) Keyfi 10 ( Bm ) olmak üzere, (4.5) ve (4.6) ’dan
vv
vv f vv I I vv f
71
vv a a vv f vv vv f vv vv f
0
0
0
0
0
elde edilir.
(ii) M n üzerinde Z izdüşümü olan vektör alanı ve keyfi 10 ( Bm ) için (4.6) ve (4.7)
’den
vv
( Z ) vv I I ( Z )
vv a a ( p Z ) vv ( p Z ) vv ( p Z )
0
0
Z
vv ( ( Z ))
elde edilir.
(iii) Her F 11 ( Bm ) için (4.5) ve (4.8) ’den
( F )( vv f ) ( F ) I I ( vv f )
( F )a a (vv f ) ( F ) (vv f ) ( F ) (vv f )
0
0
0
0
elde edilir.
1
(iv) M n üzerinde Z izdüşümü olan vektör alanı ve keyfi F 1 ( Bm ) için (4.7) ve (4.8)
kullanılarak
( F ) Z ( F ) I I ( Z )
72
( F ) a a ( p Z ) ( F ) ( p Z ) ( F ) ( p Z )
0
0
p F ( p Z )
p F Z p ( FZ )
( FZ )
elde edilir.
(v) M n üzerinde X ve Z izdüşümü olan vektör alanları için (4.7) ve (4.11)
kullanılarak
cc
X ( Z ) cc X I I ( Z )
cc X a a ( p Z ) cc X ( p Z ) cc X ( p Z )
0
X ( p Z ) p ( X )Z
p ( X Z Z X )
p [ X , Z ]
[X , Z]
elde edilir.
(vi) X , M n üzerinde verilmiş izdüşümü olan vektör alanı olmak üzere, keyfi
f 00 Bm için (4.5) ve (4.11) kullanılarak
cc
vv
X f cc X I I vv f
cc X a a vv f cc X vv f cc X vv f
0
0
73
X vv f
vv ( Xf )
elde edilir.
Teorem 4.1.4.3: X 10 ( Bm ) ve Y 10 ( Bm ) izdüşümler olmak üzere X , Y 10 M n
izdüşümü olan vektör alanları olsun. Keyfi , 10 ( Bm ) ve F , G 11 ( Bm ) için Lie
parantezi kullanılarak
(i)
[vv ,vv ] 0,
(ii)
[vv , F ] vv ( F ),
(iii)
[ F , G] [ F , G],
(iv)
[cc X ,vv ] vv ( LX ),
(v)
[cc X , F ] ( LX F ),
(vi)
[ cc X ,cc Y ] cc [ X , Y ]
eşitlikleri elde edilir. Burada yer alan
F
1-formu keyfi
Z 10 ( Bm ) için
( F )(Z ) ( FZ ) ile tanımlanmıştır, X ’e göre Lie türevi LX ile gösterilmiştir
(Yıldırım and Salimov 2014b).
İspat: (i) Keyfi , 10 ( Bm ) için t * ( Bm ) üzerinde ( xb , x , x ) koordinatlarına göre
[ vv ,vv ]b
[ vv ,vv ] ’nın bileşenleri [ vv ,vv ]
vv vv
[ , ]
olmak üzere (4.6) kullanılarak
[ vv ,vv ]J vv I I vv J vv I I vv J
vv a a vv J vv vv J vv vv J
0
0
vv a a vv J vv vv J vv vv J
0
0
74
vv J vv J
yazılır. Burada (4.6) kullanılarak, J b için
[ vv ,vv ]b vv b vv b
0
0
0,
J için
[ vv ,vv ] vv
vv
0
0
0,
son olarak J için
[ vv ,vv ] vv vv
0
0
0
elde edilip, [vv ,vv ] 0 eşitliği gösterilmiş olur.
(ii) Keyfi 10 ( Bm ) ve F 11 ( Bm ) için ( xb , x , x ) koordinatlarına göre t * ( Bm )
[vv , F ]b
üzerinde tanımlı [ vv , F ] ’nın bileşenleri [vv , F ] olmak üzere (4.6) ve (4.8)’den
vv
[ , F ]
[ vv , F ]J vv I I ( F ) J ( F ) I I ( vv ) J
vv a a ( F ) J vv ( F ) J vv ( F ) J
0
0
75
( F ) a a vv J ( F ) vv J ( F ) vv J
0
0
vv ( F ) J ( F ) vv J
( F ) J p F vv J
elde edilir. Burada (4.6) ve (4.8) kullanılarak, J b için
[vv , F ]b ( F )b p F vv b
0
0
0,
J için
[ vv , F ] ( F ) p F vv
0
0
0,
son olarak J için
[ vv , F ] ( F ) p F vv
p F
0
p F p F
0
F
( F )
elde edilir. ( xb , x , x ) koordinatlarına göre t * ( Bm ) üzerindeki ( F ) ’in dikey lifti
0
vv
( F ) 0
( F )
76
şeklindeki bileşenlere sahip olup [vv , F ] vv ( F ) eşitliği gösterilmiş olur.
(iii) Keyfi F , G 11 ( Bm ) için ( xb , x , x ) koordinatlarına göre t * ( Bm ) üzerinde tanımlı
[ F , G ]b
[ F , G] ’nin bileşenleri [ F , G ]
[ F , G ]
olmak üzere (4.8)’den
[ F , G ]J ( F ) I I ( G ) J ( G ) I I ( F ) J
( F ) a a ( G ) J ( F ) ( G ) J ( F ) ( G ) J
0
0
( G ) a a ( F ) J ( G ) ( F ) J ( G ) ( F ) J
0
0
( F ) ( G ) J ( G ) ( F ) J
p F
p G
p F ( G) J p G ( F ) J
eşitliği yazılır. Burada (4.8) kullanılarak, J b için
[ F , G ]b p F ( G )b p G ( F )b
0
0
0,
J için
[ F , G ] p F ( G ) p G ( F )
0
0,
son olarak J için
0
77
[ F , G ] p F ( G ) p G ( F )
p G
p F
p F p G p G p F
p F G p G F
p ( F G G F )
p [ F , G]
elde edilir. ( xb , x , x ) koordinatlarına göre t * ( Bm ) üzerindeki [ F , G] ’nin bileşenleri
0
[F , G] 0
p [ F , G ]
şeklinde olup [ F , G] [ F , G] eşitliği gösterilmiş olur.
(iv) Keyfi X 10 M n izdüşümü olan vektör alanı ve 10 ( Bm ) için ( xb , x , x )
[cc X ,vv ]b
koordinatlarına göre t * ( Bm ) üzerinde tanımlı [ cc X ,vv ] ’nın bileşenleri [cc X ,vv ]
cc vv
[ X , ]
olmak üzere
[cc X ,vv ]J (cc X ) I I (vv ) J (vv ) I I (cc X ) J
eşitliği yazılır. Burada (4.6) ve (4.11) kullanılarak, J b için
[cc X ,vv ]b (cc X ) I I (vv )b (vv ) I I (cc X )b
0
(vv )a a (cc X )b (vv ) (cc X )b (vv ) (cc X )b
0
0
Xb
78
(vv ) X
b
0
0,
J için
[ cc X ,vv ] ( cc X ) I I ( vv ) ( vv ) I I ( cc X )
0
(vv )a a (cc X ) (vv ) (cc X ) (vv ) ( cc X )
0
X
0
(vv ) X
0
0,
son olarak J için
[cc X ,vv ] (cc X ) I I (vv ) (vv ) I I (cc X )
(cc X ) a a (vv ) (cc X ) (vv ) (cc X ) (vv )
Xa
X
0
0
( vv ) a a ( cc X ) ( vv ) ( cc X ) ( vv ) ( cc X )
0
0
p ( X )
(cc X ) ( vv ) ( vv ) ( cc X )
X
p ( X )
X p ( X )
X ( X )
( LX )
elde edilir. ( xb , x , x ) koordinatlarına göre t * ( Bm ) üzerindeki ( LX ) ’nin dikey lifti
79
0
vv
( LX ) 0
(L )
X
şeklindeki bileşenlere sahip olduğundan, [cc X ,vv ] vv ( LX ) eşitliği elde edilir.
(v) Keyfi X 10 M n izdüşümü olan vektör alanı ve F 11 ( Bm ) için ( xb , x , x )
[cc X , F ]b
cc
koordinatlarına göre t * ( Bm ) üzerinde tanımlı [ cc X , F ] ’nın bileşenleri [ X , F ]
cc
[ X , F ]
olmak üzere
[cc X , F ]J (cc X ) I I ( F ) J ( F ) I I (cc X ) J
eşitliği yazılır. Burada (4.8) ve (4.11) kullanılarak, J b için
[cc X , F ]b ( cc X ) I I ( F )b ( F ) I I (cc X )b
0
( F ) a a (cc X )b ( F ) (cc X )b ( F ) (cc X )b
0
0
0
0,
J için
[cc X , F ] (cc X ) I I ( F ) ( F ) I I (cc X )
X
0
( F ) a a X ( F ) X ( F ) X
0
0,
son olarak J için
0
0
80
[cc X , F ] (cc X ) I I ( F ) ( F ) I I (cc X )
(cc X )a a ( F ) (cc X ) ( F ) (cc X ) ( F )
( F ) a a ( cc X ) ( F ) ( cc X ) ( F ) ( cc X )
0
0
X a a p F X p F p ( X ) p F p F p ( X )
0
X p F p ( X ) F p F ( X )
p ( X F X F X F )
p ( LX F )
elde edilir. ( xb , x , x ) koordinatlarına göre t * ( Bm ) üzerindeki ( LX F ) ’in bileşenleri
0
( LX F ) 0
p ( L F )
X
şeklinde olup [cc X , F ] ( LX F ) eşitliği bulunur.
(vi) Keyfi
X , Y 10 M n
izdüşümü olan vektör alanları için
( xb , x , x )
[cc X ,cc Y ]b
cc cc
koordinatlarına göre t * ( Bm ) üzerinde tanımlı [ cc X ,cc Y ] ’nin bileşenleri [ X , Y ]
cc cc
[ X , Y ]
olmak üzere
[cc X ,cc Y ]J (cc X ) I I (cc Y ) J (cc Y ) I I (cc X ) J
eşitliği yazılır. Burada (4.11) kullanılarak, J b için
81
[cc X ,cc Y ]b (cc X ) I I (cc Y )b (cc Y ) I I (cc X )b
(cc X )a a (cc Y )b (cc X ) (cc Y )b (cc X ) (cc Y )b
0
0
(cc Y ) a a (cc X )b (cc Y ) (cc X )b (cc Y ) (cc X )b
0
0
(cc X ) (cc Y )b (cc Y ) (cc X )b
X Y b Y X b
[ X , Y ]b
J için
[cc X ,cc Y ] (cc X ) I I (cc Y ) (cc Y ) I I (cc X )
(cc X )a a (cc Y ) (cc X ) (cc Y ) (cc X ) (cc Y )
0
0
(cc Y ) a a (cc X ) (cc Y ) (cc X ) (cc Y ) (cc X )
0
0
(cc X ) (cc Y ) (cc Y ) (cc X )
X Y Y X
[ X , Y ]
son olarak J için
[cc X ,cc Y ] (cc X ) I I (cc Y ) (cc Y ) I I (cc X )
(cc X )a a (cc Y ) (cc X ) (cc Y ) (cc X ) (cc Y )
(cc Y )a a (cc X ) (cc Y ) (cc X ) (cc Y ) (cc X )
(cc X ) a a p ( Y ) (cc X ) p ( Y ) (cc X ) p ( Y )
0
( cc Y ) a a p ( X ) ( cc Y ) p ( X ) ( cc Y ) p ( X )
0
82
(cc X ) p ( Y ) (cc X ) ( Y ) (cc Y ) p ( X ) (cc Y ) ( X )
X p ( Y ) p X ( Y ) Y p ( X ) p Y ( X )
p ( X Y Y X Y X X Y )
p ( ( X Y Y X ))
[ X ,Y ]
p ( [ X , Y ] )
elde edilir. ( xb , x , x ) koordinatlarına göre t * ( Bm ) üzerindeki
cc
[ X , Y ] ’nin bileşenleri
[ X , Y ]b
J
cc
[ X , Y ] [ X , Y ]
p ( [ X , Y ] )
şeklinde olup [ cc X ,cc Y ] cc [ X , Y ] eşitliği gösterilmiş olur.
Teorem 4.1.4.4: X , M n üzerinde izdüşümü olan vektör alanı olsun. S X , Bm ’de keyfi
Z 10 ( Bm ) için S X ( Z ) S ( X , Z ) eşitliğini sağlayan (1,1) tipli bir tensör alanı olmak
üzere eğer 10 ( Bm ) , F 11 ( Bm ) ve S , T 12 ( Bm ) ise
cc
(i)
( S ) X ( S X ) ,
(ii)
( S )( vv ) 0 ,
(iii)
( S )( F ) 0 ,
(iv)
( S )( T ) 0
eşitlikleri elde edilir (Yıldırım and Salimov 2014b).
İspat: (i) Burada (4.9) ve (4.11) kullanılarak
83
0
cc
( S ) X 0
0
0
0
p S
a
0 X
0 X
0 p ( X )
0
0
0
0
p S X p ( S )
X
(S X )
elde edilir. Benzer şekilde
( S )( vv ) 0 , ( S )( F ) 0 , ( S )( T ) 0
eşitlikleri bulunur.
Teorem 4.1.4.5: X 10 ( Bm ) ve Y 10 ( Bm ) izdüşümler olmak üzere X , Y 10 M n
izdüşümü olan vektör alanları olsun. Keyfi , 10 ( Bm ) ; F , G 11 ( Bm ) ve R 13 ( Bm ) için
(i)
( R )( cc X ,cc Y ) ( R ( X , Y )),
(ii)
( R )( vv , vv ) 0,
(iii)
( R )( vv , ccY ) 0,
(iv)
( R )( vv , G ) 0,
(v)
( R )( cc X , G ) 0,
(vi)
( R)( F , G) 0
eşitlikleri elde edilir (Yıldırım and Salimov 2014b).
84
İspat: (i) Keyfi X , Y 10 M n izdüşümü olan vektör alanları ve R 13 ( Bm ) için
( x c , x , x )
koordinatlarına göre t * ( Bm )
[( R )( cc X ,cc Y )]c
cc
cc
bileşenleri [( R )( X , Y )]
cc
cc
[( R )( X , Y )]
üzerinde tanımlı [( R )( cc X ,cc Y )] ’nin
olmak üzere, (4.10) ve (4.11) kullanılarak H c için
c
cc
cc
cc
cc
cc
cc
[( R )(cc X ,cc Y )]c ( R ) X
Y
0
0,
H için
[( R)(cc X ,cc Y )] ( R ) X
Y
0
0,
elde edilir. Son olarak H için
[( R)(cc X ,cc Y )] ( R ) X
X
Y
Y
p R X Y
p ( R ( X , Y ))
bulunur.
( x c , x , x )
koordinatlarına göre t * ( Bm )
üzerindeki
bileşenleri
0
( R( X , Y )) 0
p ( R ( X , Y ))
( R( X , Y )) ’nin
85
şeklinde olup ( R )( cc X ,cc Y ) ( R ( X , Y )) elde edilir. Benzer şekilde Teorem 4.1.4.5’
deki diğer eşitlikler kolaylıkla bulunabilir.
4.1.5. Afinor alanlarının tam lifti
F 11 ( M n ) , F F ( x ) dx izdüşümü ile verilen afinor alanı olsun. Yani,
( x a , x ) koordinatlarına göre F ’in bileşenleri
F ba ( x a , x ) F a ( x a , x )
F (F )
0
F
(
x
)
i
j
şeklindedir (Vishnevskii 2002). F izdüşümü olan afinor alanının t * ( Bm ) yarı-kotanjant
demetine tam lifti indirgenmiş koordinatlara göre
F ba
cc
cc
I
F ( FJ) 0
0
bileşenlerine sahiptir. Burada (4.3)’den
a
F
F
p ( F F )
cc
0
0
F
(4.12)
cc
F matrisinin bileşenlerini
I'
cc
I
F J ' AII ' AJJ ' F J
eşitliğinde yerine koyarak bu eşitliğin sağlandığını görürüz (Yıldırım and Salimov
2014b).
İspat: Gerçekten de F' ' bileşeni
cc
cc
F' ' A ' A ' F A ' A ' F A ' A ' F
cc
cc
cc
p A A ' A ' F A' A ' p ( F F ) A' ( p ' A ' A ' ) F
p ( A ) A ' A ' F p A' A ' ( F ) p A' A ' F p ' A ' A ' F'
86
p ( A ) A ' F' p A' ' F p A ' A' F p ' ( A ' ) A ' F'
p ' ( A ) F' p ' F' p A ' ' F p ( A ' ) F'
p ' F' p ' F' p ' F' p ' A ' A A '' A A'' ( A ' ) F'
p ' F' p ( ' F' ' F' ) p ' A ' A A'' ( A ' ) F'
p ' F' p ' ( ' F' ' ' F' ' ) p ' A ' A ' A'' ( A ) F'
p ' F' p ' ( ' F' ' ' F' ' ) p ' A ' A ' A'' F'
p ' F' p ' ( ' F' ' ' F' ' ) p ' F'
p ' ( ' F' ' ' F' ' )
şeklindedir. Böylece F' ' p ' ( ' F' ' ' F' ' ) elde edilir.
cc
cc
I'
F J ' ’nin diğer bileşenleri
de benzer yolla bulunabilir.
F , G 11 ( Bm )
Teorem 4.1.5.1:
ve
X 10 ( Bm )
sırasıyla
F , G 11 M n
ve
X 10 M n afinor ve vektör alanlarının izdüşümleri olsun. Keyfi 10 ( Bm ) için
cc
(i)
cc
(ii)
cc
(iii)
F ( G ) (G F ),
cc
cc
F X ( FX ) ( LX F ) ,
F vv vv ( F )
eşitlikleri elde edilir (Yıldırım and Salimov 2014b).
İspat: (i) F , G 11 M n izdüşümü olan afinor alanları olmak üzere (4.8) ve (4.12)
kullanılarak
F ba
cc
F ( G ) 0
0
a
F
F
p ( F F )
0 0
0 0
F p G
87
0
0
0
0
p G F p (GF )
(G F )
elde edilir.
(ii) F ve X , sırasıyla M n üzerinde izdüşümü olan afinor ve vektör alanları olsun.
(4.11) ve (4.12) kullanılarak
F ba
cc
cc
F X 0
0
a
F
F
p ( F F )
b
0 X
0 X
F p ( X )
F ba X b F a X
F X
p ( F F ) X p ( X ) F
( FX ) a
( FX )
p ( FX )
cc
( FX )
0
0
p ( X F ( X ) F ( X ) F )
p ( LX F )
( LX F )
cc
( FX ) ( L X F )
elde edilir.
(iii) 10 ( Bm ) ve F , M n üzerinde izdüşümü olan afinor alanı olmak üzere (4.6) ve
(4.12) kullanılarak
88
F ba
cc
F vv 0
0
a
F
F
p ( F F )
0
0
F
0 0
0 0
F
0
0
( F )
vv ( F )
elde edilir.
4.1.6. Vektör alanlarının yatay lifti
X 10 M n , X X ( x ) olmak üzere X X ( x a , x ) a X ( x ) şeklindeki
a
bir izdüşümü olan vektör alanının (Vishnevskii 2002) t * ( Bm ) üzerindeki
HH
X yatay
lifti
HH
cc
X X (X )
(4.13)
ile tanımlıdır. Burada , diferensiyellenebilir Bm manifoldundaki simetrik afin
konneksiyonudur.
cc
X ve (X ) ’in t * ( Bm ) üzerindeki ( x a , x , x ) koordinatlarına
göre bileşenleri
Xa
0
cc
, (X ) 0
X X
p ( X )
p ( X )
şeklindedir (Yıldırım 2013). X ’nın X kovaryant türevi
89
( X ) X X
ile tanımlıdır. X ’nın
HH
X yatay lifti, t * ( Bm ) üzerindeki ( x a , x , x ) koordinatlarına
göre
Xa
HH
X X
X
(4.14)
bileşenlerine sahiptir. Burada
p
(4.15)
şeklindedir (Yıldırım 2013).
Tanım 4.1.2.1’den; LX d X X d (Cartan’nın sihirli formülü)
HH
X yatay lifti için
kullanıldığında
L HH dp d HH
X
X
dp
HH
X
d dp d HH
X
dp
elde edilir. Buradan alırız ki, L HH dp 0 şartı dahilinde
HH
X
HH
X
d 2 p d HH
X
dp
X vektör alanı lokal olarak
Hamiltonian vektör alanı olduğu elde edilir ve
HH
A
X AK L K
HH
X
A
AL
HH
L
X
A
KA
0
şartı sağlanır. (4.14) ve dp dejenere simplektik yapısının bileşenleri son eşitlikte
kullanılarak X 0 şartı dahilinde 0 0 eşitliği elde edilir.
90
İspat: Yukarıda yer alan
HH
K
X
a
aL
X
a
K
aL
K
HH
K
X
HH
A
X AK L K
L
HH
K
X
HH
L
X
HH
L
A
AL
X
a
HH
L
Ka
HH
L
X
X
A
0 eşitliğinden
KA
K
HH
L
X
K
0
X L K p X L L X a K a L X K L p X K 0
elde edilir. K ’nın indisleri K c, , ve L ’nin indisleri L d , , olmak üzere
(i) Buradan K c ve L d için
0 c X a a d c X d c p X d d X a c a d X c d p X c
0
0
0
0
0
0
0 0,
(ii) K c ve L için
0 c X a a c X c p X X a ca X c p X c
0
0
0
0
0
0 c p X
0
0 0,
(iii) K c ve L için
0 c X a a c X c p X X a c a X c p X c
0
0 c X
0
0 0,
(iv) K ve L d için
0
0
0
0
91
0 X a a d X d p X d d X a a d X d p X
0
0
0
0
0
0 d p X
0
0 0,
(v) K ve L için
0 X a a X p X X a a X p X
0
0
0
0 p X p X p X p X
0 p X p X
0
0 p X p X p X p X
0 p X p X p X p X
0 p X p X p X p X
0 0,
(vi) K ve L için
0 X a a X p X X a a X p X
0
0 X p X
0 X X
0 X X
0 X X
0 X
0 X ,
0
0
0
92
(vii) K ve L d için
0 X a a d X d p X d d X a a d X d p X
0
0
0
0
0
0 d X
0
0 0,
(viii) K ve L için
0 X a a X p X X a a X p X
0
0
0
0
0 p X X
0 X X
0 X X
0 X X
0 X
0 X ,
(ix) K ve L için
0 X a a X p X X a a X p X
0
0 X X
0 X X
0 0
0
0
0
93
0 0.
Buradan aşağıdaki teorem elde edilir:
Teorem 4.1.6.1: dp dejenere simplektik yapısıyla birlikte, X izdüşümü olan
vektör alanının yarı-kotanjant demete
Hamiltoniandır.
X j j X
i
i
Burada
yer
HH
X ;
alan
X
yatay lifti X 0 şartı dahilinde
(1,1)
tipli
bir
tensör
alanı
olup
j X i şeklindedir (Yıldırım 2013).
Teorem 4.1.6.2: Bm üzerindeki X ve Z izdüşümleri ile X , Z 10 M n izdüşümü
olan vektör alanları olsun. Keyfi f 00 Bm için
(i)
(ii)
HH
X (vv f ) vv ( Xf ),
HH
X ( Z ) ( X Z )
eşitlikleri geçerlidir (Yıldırım 2013).
0
İspat: (i) Keyfi X 10 M n izdüşümü olan vektör alanı ve f 0 Bm için (4.5) ve
(4.14)’den
HH
X (vv f )
HH
X I (vv f )
I
HH
X a f
a
0
X f
vv ( Xf )
elde edilir.
HH
X f
HH
X f
0
94
(ii) M n üzerinde X ve Z izdüşümü olan vektör alanları için (4.7) ve (4.14)
kullanılarak
HH
X ( Z )
HH
HH
I
X I ( Z )
a
X a ( p Z )
HH
X ( p Z )
HH
X ( p Z )
0
X ( p Z ) p ( X )Z
p X ( Z Z )
( X Z )
p ( X Z )
( X Z )
elde edilir.
Teorem 4.1.6.3: X 10 ( Bm ) ve Y 10 ( Bm ) izdüşümler olmak üzere X , Y 10 M n
izdüşümü olan vektör alanları olsun. Keyfi 10 ( Bm ) ve F 11 ( Bm ) için
HH
X ,vv ] vv ( X ),
HH
X , F ] ( X F ),
(i)
[
(ii)
[
(iii)
[
(iv)
[ X,
HH
cc
X,
HH
HH
Y]
Y]
HH
HH
[ X , Y ] R( X , Y ),
[ X , Y ] ( LX )Y
eşitlikleri elde edilir. Burada R , ’nın eğrilik tensörü olup konneksiyonu
üzerindeki Lie türevi ( LX )Y Y X R( X , Y ) ile tanımlıdır (Yıldırım 2013).
95
X 10 M n izdüşümü olan vektör alanı ve 10 ( Bm ) için
İspat: (i) Keyfi
( xb , x , x ) koordinatlarına göre t * ( Bm ) üzerinde tanımlı [
[ HH X ,vv ]b
[ HH X ,vv ]
[ HH X ,vv ]
[
HH
HH
X ,vv ] ’nın bileşenleri
olmak üzere
X ,vv ]J
HH
X I vv J vv I I
I
HH
X a vv J
a
HH
vv a a
HH
HH
X vv J
J
HH
X vv
0
J
X
J
HH
X vv J
X vv
HH
X
J
0
a
X a vv J X vv J p X vv J
HH
X
J
eşitliği yazılır. Burada (4.6) ve (4.14) kullanılarak, J b için
[
HH
X ,vv ]b
HH
X I vv b vv I I
I
a
vv
X a vv b X
0
HH
X
b
b p X vv b
0
HH
X
b
0
X b
0
0,
J için
[
HH
X ,vv ]
HH
I
X I vv vv I I
a
X a vv X
0
X
0
0,
vv
HH
X
p X vv
0
0
HH
X
96
son olarak J için
[
HH
X ,vv ]
HH
I
X I vv vv I I
HH
X
a
X a vv X vv p X vv
HH
X
a
X a X p X p X
0
0
X X
X ( )
( X )
elde edilir. ( xb , x , x ) koordinatlarına göre t * ( Bm ) üzerindeki ( X ) ’nin dikey lifti
vv
0
( X ) 0
( )
X
şeklindeki bileşenlere sahip olduğundan, [
HH
X ,vv ] vv ( X ) eşitliği elde edilir.
(ii) Keyfi X 10 M n izdüşümü olan vektör alanı ve F 11 ( Bm ) için ( xb , x , x )
[ HH X , F ]b
HH
koordinatlarına göre t * ( Bm ) üzerinde tanımlı [ X , F ] ’nın bileşenleri [ HH X , F ]
[ H H X , F ]
olmak üzere
[
HH
X , F ]J
HH
X I ( F ) J ( F ) I I
I
HH
X a ( F ) J
a
HH
HH
X
J
X ( F ) J
HH
X ( F ) J
97
( F ) a a
HH
0
J
X ( F )
HH
J
X ( F )
HH
X
J
0
a
X a ( F ) J X ( F ) J p X ( F ) J p F
HH
J
X
eşitliği yazılır. Burada (4.8) ve (4.14) kullanılarak, J b için
[
HH
X , F ]b
HH
I
X I ( F )b ( F ) I I
HH
X
b
a
X a ( F )b X ( F )b p X ( F )b p F X b
0
0
0
0
0,
J için
[
HH
X , F ]
HH
I
X I ( F ) ( F ) I I
HH
X
a
X a ( F ) X ( F ) p X ( F ) p F X
0
0
0
0
0,
son olarak J için
[
HH
X , F ]
HH
I
X I ( F ) ( F ) I I
HH
X
a
X a ( F ) X ( F ) p X ( F ) p F
a
HH
X
X a p F X p F p X p F p F p X
0
X p F p X F p F X
p ( X F X F F X )
p [ X ( F F F )]
p ( X F )
98
elde edilir. ( xb , x , x ) koordinatlarına göre t * ( Bm ) üzerindeki ( X F ) ’in bileşenleri
0
( X F ) 0
p ( F )
X
şeklinde olup [
X , F ] ( X F ) eşitliği bulunur.
X , Y 10 M n
(iii) Keyfi
koordinatlarına
[ HH X , HH Y ]b
[ HH X , HH Y ]
[ HH X , HH Y ]
HH
göre
( xb , x , x )
izdüşümü olan vektör alanları için
üzerinde
t * ( Bm )
tanımlı
HH
[
HH
X,
’nin
Y]
bileşenleri
olmak üzere
[
HH
X,
HH
Y ]J
HH
X I (
HH
X a
HH
I
a
a
Y a
X aa
Y a a
HH
HH
HH
HH
HH
Y )J
J
HH
Y
J
X
HH
HH
HH
HH
HH
HH
HH
Y
J
J
X
Y X
X Y
I
Y I (
X )J
J
Y
J
X
HH
HH
HH
X,
HH
Y ]b
HH
I
X I (
HH
Y )b
HH
J
Y p X
J
X p Y
I
Y I (
HH
X )b
X a aY b X Y b p X Y b
0
0
Y a a X b Y X b p Y X b
0
Y
eşitliği yazılır. Burada (4.14) kullanılarak, J b için
[
X
0
HH
HH
HH
HH
Y
X
Y
X
J
J
J
J
99
X Y b Y X b
[ X , Y ]b
J için
[
HH
X,
HH
Y ]
HH
I
X I (
HH
Y )
HH
I
Y I (
HH
X )
X a aY X Y p X Y
0
0
Y a a X Y X p Y X
0
0
X Y Y X
[ X , Y ]
son olarak J için
[
HH
X,
HH
Y ]
HH
I
X I (
HH
Y )
HH
I
Y I (
HH
X )
X a a p Y X ( p Y ) p X p Y
0
Y a a p X Y ( p X ) p Y p X
0
X ( p Y ) p X Y
Y ( p X ) p Y X
p X ( Y ) p X Y p X Y
p Y ( X ) p Y X p X Y
[ p ( X ( Y ) Y ( X )) ]
[ X ,Y ]
p [ X Y ( )]
( R ( X ,Y ))
p [ X , Y ] p ( R( X , Y ))
100
elde edilir. ( xb , x , x ) koordinatlarına göre t * ( Bm ) üzerindeki
HH
[ X , Y ] R( X , Y ) ’nin
bileşenleri
[ X , Y ]b
0
[ X , Y ]b
HH
[ X , Y ] R( X , Y ) [ X , Y ]
0
[ X ,Y ]
p [ X , Y ] p ( R( X , Y )) p [ X , Y ] p ( R( X , Y ))
şeklinde olup [
HH
X,
HH
Y]
HH
[ X , Y ] R( X , Y ) eşitliği gösterilmiş olur.
(iv) Bm üzerindeki X ve Y izdüşümleri ile X , Y 10 M n izdüşümü olan vektör
alanları olmak üzere, Teorem 4.1.6.3’ün (ii) ve (iii)’ü ile (4.13) eşitliği kullanılarak
cc
[ X,
cc
bulunup, [ X ,
HH
Y]
HH
HH
Y] [
HH
[
HH
X (X ),
X,
HH
Y][
HH
HH
Y]
Y , (X )]
HH
[ X , Y ] ( R( X , Y ) Y X )
HH
[ X , Y ] ( L X )Y
[ X , Y ] ( LX )Y eşitliği elde edilir.
Teorem 4.1.6.4: Sırasıyla F 11 ( Bm ) ve X 10 ( Bm ) izdüşümleri ile birlikte tanımlı,
F 11 M n ve X 10 M n izdüşümü olan afinor ve vektör alanları olmak üzere
cc
F(
HH
X)
HH
( FX ) ([F ] X )
elde edilir. Burada [F ] X 11 ( Bm ) , keyfi Y 10 ( Bm ) için
[F ]X Y ( X F )Y (Y F ) X
101
ile tanımlıdır (Yıldırım 2013).
İspat: Teorem 4.1.5.1’in (i) ile (ii) eşitliklerinden (4.13)’e göre
cc
F(
HH
cc
cc
X ) F ( X (X ))
cc ( FX ) ( LX F ) ((X ) F )
HH
( FX ) (( FX )) ( LX F ) ((X ) F )
HH
( FX ) (( FX )) ( X F (X ) F F (X ) ((X ) F )
HH
( FX ) ( X F F (X ) ( FX ))
[ F ] X
elde edilir. Y 10 ( Bm ) için
( X F F (X ) ( FX ))Y ( X F )Y F Y X Y ( FX )
( X F )Y (Y F ) X
olduğundan Teorem 4.1.6.4 ispatlanmış olur.
Teorem 4.1.6.5: X 10 M n izdüşümü olan vektör alanı ve keyfi S 12 ( Bm ) için
( S )(
HH
X ) SX
eşitliği elde edilir (Yıldırım 2013).
İspat: (4.9) ve (4.14) kullanılarak
( S )(
HH
0
X ) 0
0
0
0
p S
00
00
0 p X
102
0
0
p S X
0
0
p ( S )
X
(S X )
elde edilir.
4.1.7. (1,1) tipli tensör alanlarının yatay lifti
F 11 ( M n ) , F F ( x ) dx izdüşümü ile verilen afinor alanı olmak üzere
(Vishnevskii 2002), F izdüşümü olan afinor alanının t * ( Bm ) üzerindeki
HH
F yatay
lifti
HH
cc
F F [F ]
(4.16)
ile tanımlıdır (Yıldırım 2013). Burada [F ] , keyfi X ,Y 10 ( Bm ) vektör alanları için
[F ]( X , Y ) X ( FY ) Y ( FX )
(4.17)
ile tanımlı (1,2) tipli bir tensör alanıdır. (4.12), (4.16) ve (4.17)’den t * ( Bm ) üzerindeki
( x a , x , x ) koordinatlarına göre F ’in,
F ba
HH
HH
I
F ( FJ) 0
0
HH
F yatay lifti
a
F
F
F F
0
0
F
(4.18)
bileşenlerine sahiptir. Burada F ’lar F ’in lokal bileşenleri, ’ler ise t * ( Bm )
üzerindeki ’nın bileşenleri olup , (4.15) ile tanımlıdır (Yıldırım 2013).
103
İspat: (4.12), (4.16) ve (4.17)’den
F ba
HH
cc
F F [F ] 0
0
F ba
HH
HH
I
F ( FJ) 0
0
a
F
0 0
0
0
F
0 0
0
0
p ( F F ) F 0 p ( F F F F ) 0
Y ( FX )
X ( FY )
([ F ]( X ,Y ))
a
F
F
F F
0
0
F
elde edilir.
Teorem 4.1.7.1: Sırasıyla F 11 ( Bm ) ve X 10 ( Bm ) izdüşümleri ile tanımlı,
F 11 M n ve X 10 M n izdüşümü olan afinor ve vektör alanları olmak üzere,
keyfi 10 ( Bm ) için
(i)
(ii)
HH
HH
F (vv ) vv ( F ),
F(
HH
X)
HH
( FX )
eşitlikleri elde edilir (Yıldırım 2013).
İspat: (i) 10 ( Bm ) ve F , M n üzerinde izdüşümü olan afinor alanı olmak üzere (4.6)
ve (4.18) kullanılarak
F ba
HH
F ( vv ) 0
0
a
F
F
F F
0 0
0 0
F
104
0
0
F
0
0
( F )
vv ( F )
elde edilir.
(ii) F ve X , sırasıyla M n üzerinde izdüşümü olan afinor ve vektör alanları olsun.
(4.14) ve (4.18) kullanılarak
F ba
HH
HH
F( X ) 0
0
a
F
F
F F
b
0 X
0 X
F p X
a
a b
Fb X F X
F X
p F X p F X p X F
p ( FX )
HH
a
( FX )
( FX )
p ( FX )
( FX )
elde edilir.
Teorem 4.1.7.2: F , G 11 M n izdüşümü olan afinor alanları olmak üzere, keyfi
S 12 ( Bm ) için
(i)
(ii)
HH
F ( G) (G F ),
HH
F ( S ) ( SF )
eşitlikleri elde edilir. Burada SF , keyfi X , Y 10 ( Bm ) için (SF )( X , Y ) S ( X , FY ) ile
tanımlıdır (Yıldırım 2013).
105
İspat: (i) F , G 11 M n izdüşümü olan afinor alanları olmak üzere (4.8) ve (4.18)
kullanılarak
F ba
HH
F ( G ) 0
0
a
F
F
F F
0
0
p G F
0
0
p (G F )
0 0
0 0
F p G
(G F )
elde edilir.
(ii) S 12 ( Bm ) ve M n üzerinde F izdüşümü olan afinor alanı için (4.9) ve (4.18)
kullanılarak
F ba
HH
F ( S ) 0
0
0
0
0
0
0
0
a
F
F
F F
0
0
p S F
0
0
p ( SF )
(SF )
elde edilir.
0
0
0
0
0
0
0 0
0 0
F 0
0
0
p S
0
0
0
106
4.2. Tanjant Demet İzdüşümü ile Tanımlı Kotanjant Demetinin Pull-Back Demeti
Mn ,
C
sınıfından
n -boyutlu
diferensiyellenebilir
manifold
ve
T Mn ,
1 : T M n M n doğal izdüşümü (submersion) ile tanımlanan tanjant demet olsun. Bu
demette , ,... 1,..., n; , ,... n 1,..., 2 n; i, j,... 1,..., 2n olmak üzere, ( x , x ) ( x i )
lokal koordinat sistemine bakalım, burada x ’lar M n ’nin lokal koordinatları, x y
’lar ise, T M n tanjant demetinin fibre koordinatlarıdır. ( x ' , x ' ) , T M n tanjant
demetindeki bir diğer yerel koordinatlar olmak üzere
' x '
x y ,
x
'
x x ' x
(4.19)
dönüşümü yazılır. (4.19)’de belirtilen dönüşümün Jakobi matrisi
'
x i A
i'
A
j x j 0
A' y
A '
biçimindedir. Burada
x '
2 x '
'
A , A
x
x x
'
eşitlikleri geçerlidir (Salimov and Yıldırım 2014).
Tx* ( M n ) , M n ’in ( x 1 ( x), x ( x , x ) T M n ) x noktasındaki kotanjant uzayı
olsun. p ’lar ( p pi dx i ), p Tx* ( M n ) ’in {dx } doğal koçatısına göre bileşenleri
olmak üzere, M n manifoldu üzerinde lokal koordinatları ( x I ) ( x , x , x ) , ( x = p ;
I , J ,...=1,..., 3n ) olan tanjant demet izdüşümü ile tanımlı kotanjant demetinin, t * ( M n )
107
pull-back demeti elde edilir. t * ( M n ) pull-back demetinin boyutu dim t * ( Bm ) 3n
olmaktadır (Salimov and Yıldırım 2014).
t * ( M n ) pull-back demeti, M n üzerinde doğal demet yapısına ve : ( x , x , x ) ( x )
*
şeklinde tanımlı : t ( M n ) M n izdüşümüne sahiptir. Eğer, 2 : ( x , x , x ) ( x , x ) ile,
2 : t * ( M n ) T ( M n ) dönüşümü ve 1 : T M n M n izdüşümüyle kotanjant demetinin
pull-back demeti tanımlanacak olursa, t * ( M n ) ; M n üzerinde de bir demet yapısına
sahip olur (Steenrod 1951; Pontryagin 1962; Lawson and Michelsohn 1989; Salimov
and Yıldırım 2014). Buradaki izdüşümü dönüşümleri arasında 1 2 eşitliği
yazılabilir (Yıldırım and Salimov 2014b). Böylece t * ( M n ), 1 2
kompozit demeti
veya step-like demeti tanımlar (Ostianu 1974; Poor 1981). Burada keyfi 1 : M n Bm
fibre demeti yerine 1 : T M n M n tanjant demet alınarak yarı-kotanjant demetin
özel bir sınıfı tanımlanmıştır (Salimov and Yıldırım 2014).
T ( M n ) ’nin lokal koordinatlarının (4.19)’e göre, t * ( M n ) üzerinde belirttiği koordinat
dönüşümü
' x '
x y ,
x
'
'
x x x ,
x ' x p
x '
(4.20)
şeklindedir. (4.20) dönüşümünün Jakobi matrisi
A '
A AJI ' 0
0
'
A
y
A '
'
' '
p A A
0
0
A'
(4.21)
108
biçimindedir. Burada
A '
x '
2 x '
2 x
x
'
,
,
A
,
A
A
' '
'
x
x x
x 'x '
x '
şeklindedir. (4.21)’de belirtilen matris için
Det ( A ' ) 0
olduğundan DetA 0 ’dır. F M n , M n üzerindeki C
sınıfından reel değerli
fonksiyonların belirttiği halka olmak üzere, M n ’deki p, q tipli tüm tensör alanlarının
F M n üzerindeki modülü qp M n ile gösterilir (Salimov and Yıldırım 2014).
4.2.1. Vektör alanlarının tam lifti
X 10 (T M n ) , X X şeklinde tanımlı bir vektör alanı olmak üzere, X ’in
tanjant demete olan
c
X tam lifti
c
X X y X
ile tanımlanır (Yano and Ishihara 1973).
c
*
X 10 (T M n ) vektör alanının t ( M n ) pull-back demetine olan
cc
X tam lifti
indirgenmiş koordinatlara göre
y X
cc
X cc X X
p ( X )
(4.22)
109
bileşenlerine sahip olup (4.21) dönüşümü yardımıyla
cc
X ' A( cc X ) eşitliği kolaylıkla
gösterilebilir (Salimov and Yıldırım 2014).
Tanım 4.2.1.1: t * ( M n ) pull-back demeti üzerinde, X vektör alanı C sınıfından H
fonksiyonu ve dejenere simplektik dp yapısı için X dH şartını sağlıyor ise
(yani, X dahili çarpımı exact (tam form) ise), bu durumda X vektör alanına
Hamiltonian vektör alanı denir. Eğer LX 0 ise, X vektör alanına simplektik vektör
alanı denir. dp yapısı için simplektik vektör alanları lokal olarak Hamiltonian
vektör alanıdır. Bunu kolayca
LX d X X d
(Cartan’nın sihirli formülü)
formülünden görmek mümkündür. Tanım 4.2.1.1’den; LX d X X d (Cartan’nın
sihirli formülü)
cc
X tam lifti için kullanıldığında
Lcc X dp d cc X dp cc X d dp d cc X dp cc X d 2 p d cc X dp
elde edilir. Buradan L
cc
X
dp 0 şartı dahilinde
cc
X
vektör alanı lokal olarak
Hamiltonian vektör alanı olduğu elde edilir ve
cc
X A AC B C cc X A A B B cc X A C A 0
şartı sağlanır. (4.4) ve (4.22) yukarıdaki ifadede kullanılarak 0 0 eşitliği elde edilir.
İspat: Yukarıda yer alan
cc
X A AC B C cc X A A B B cc X A C A 0 eşitliğinden
0
cc
C
X C cc X C cc X cc X C cc X C cc X C 0
elde edilir. B ’nin indisleri B , , ve C ’nin indisleri C , , olmak üzere
110
(i) Buradan, B ve C için
0 y X cc X cc X cc X cc X cc X
0
0
0
0
0
0
0 0,
(ii) B ve C için
0 y X cc X cc X cc X cc X cc X
0
0
0
0
0
0
0 0,
(iii) B ve C için
0 y X cc X cc X cc X cc X cc X
0
0
0
0
0
0
0 0,
(iv) B ve C için
0 y X cc X cc X cc X cc X cc X
0
0
0
0
0
0
0 0,
(v) B ve C için
0 y X cc X cc X cc X cc X cc X
0
0
0 p X p X
0 p X p X
0
0
111
0 p 2 X 2 X
0
0 0,
(vi) B ve C için
0 y X cc X cc X cc X cc X cc X
0
0
0
0
0 p X X
0 X X
0 0,
(vii) B ve C için
0 y X cc X cc X cc X cc X cc X
0
0
0
0
0
0
0 0,
(viii) B ve C için
0 y X cc X cc X cc X cc X cc X
0
0 X p X
0 X X
0 X X
0 0,
0
0
0
112
(ix) B ve C için
0 y X cc X cc X cc X cc X cc X
0
0
0
0
0
0
0 0.
Buradan aşağıdaki teorem elde edilir:
Teorem 4.2.1.1: dp dejenere simplektik yapısıyla birlikte, X vektör alanının
t * ( M n ) pull-back demetine
cc
X tam lifti Hamiltoniandır.
Teorem 4.2.1.2: T M n üzerindeki keyfi X ,Y vektör alanları ve M n üzerindeki keyfi
f fonksiyonu için
(i)
cc
( X Y ) cc X cc Y ,
(ii)
cc
X vv f vv ( Xf )
eşitlikleri geçerlidir (Salimov and Yıldırım 2014).
İspat: (i) Bu eşitlik (4.22) yardımıyla kolaylıkla gösterilebilir.
(ii) X 10 (T M n ) olmak üzere, (4.5) ve (4.22)’den
cc
vv
X f cc X I I vv f
cc X vv f cc X vv f cc X vv f
0
X vv f
vv ( Xf )
bulunur.
0
113
Teorem 4.2.1.3: Keyfi X ,Y 10 (T M n ) ; 10 ( M n ) ve F 11 (T M n ) için Lie parantezi
kullanılarak
(i)
[cc X ,cc Y ] cc [ X , Y ] ( Lcc
(ii)
[ cc X ,vv ] vv ( LX ),
(iii)
[ cc X , F ] ( LX F )
cc
X
Y
cc
LX Y ),
eşitliği elde edilir. Burada LX ile X ’e göre Lie türevi gösterilmiştir (Salimov and
Yıldırım 2014).
İspat: (i) Keyfi X ,Y 10 (T M n ) için ( x , x , x ) koordinatlarına göre t * ( M n )
[cc X ,cc Y ]
cc cc
üzerinde tanımlı [ cc X ,cc Y ] ’nin bileşenleri [ X , Y ] olmak üzere (4.22)’den
cc cc
[ X , Y ]
[ cc X ,cc Y ]J ( cc X ) I I (cc Y ) J ( cc Y ) I I ( cc X ) J
yazılır. Burada (4.22) kullanılarak, J için
[cc X ,cc Y ] (cc X ) I I (cc Y ) (cc Y ) I I (cc X )
(cc X ) (cc Y ) (cc X ) (cc Y ) (cc X ) (cc Y )
0
(cc Y ) (cc X ) (cc Y ) (cc X ) (cc Y ) (cc X )
0
y X y Y X ( y Y )
y Y y X Y ( y X )
y X Y y X Y
114
y Y X y Y X
y [ X , Y ]
elde edilir. J için
[ cc X ,cc Y ] ( cc X ) I I ( cc Y ) ( cc Y ) I I ( cc X )
(cc X ) (cc Y ) (cc X ) (cc Y ) (cc X ) (cc Y )
0
0
(cc Y ) (cc X ) (cc Y ) (cc X ) (cc Y ) (cc X )
0
0
(cc X ) (cc Y ) (cc Y ) (cc X )
X Y Y X
[ X , Y ]
elde edilir. Son olarak J için
[cc X ,cc Y ] ( cc X ) I I (cc Y ) ( cc Y ) I I ( cc X )
(cc X ) (cc Y ) (cc X ) (cc Y ) (cc X ) (cc Y )
0
( cc Y ) ( cc X ) ( cc Y ) (cc X ) ( cc Y ) (cc X )
0
X p ( Y ) p X ( Y ) Y p ( X ) p Y ( X )
p ( X Y Y X Y X X Y )
p ( ( X Y Y X ))
[ X ,Y ]
p ( [ X , Y ] )
elde edilir. ( x , x , x ) koordinatlarına göre t * ( M n ) üzerindeki
cc
[ X , Y ] tam lifti
115
y [ X , Y ]
cc
[ X , Y ] [ X , Y ]
p ( [ X , Y ] )
şeklindeki bileşenlere sahip olup [cc X ,cc Y ] cc [ X , Y ] eşitliği gösterilmiş olur.
(ii) Keyfi 10 ( M n ) ve X 10 (T M n ) için ( x , x , x ) koordinatlarına göre
[cc X ,vv ]
cc vv
t * ( M n ) üzerinde tanımlı [ cc X ,vv ] ’nın bileşenleri [ X , ] olmak üzere (4.6) ve
cc vv
[ X , ]
(4.22)’den
[ cc X ,vv ]J ( cc X ) I I ( vv ) J ( vv ) I I ( cc X ) J
yazılır. Burada (4.6) ve (4.22) kullanılarak, J için
[ cc X ,vv ] ( cc X ) I I ( vv ) ( vv ) I I ( cc X )
0
(vv ) (cc X ) (vv ) (cc X ) ( vv ) ( cc X )
0
y X
0
( vv ) y X
0
0
elde edilir. J için
[ cc X ,vv ] ( cc X ) I I ( vv ) ( vv ) I I ( cc X )
0
( vv ) ( cc X ) ( vv ) ( cc X ) ( vv ) ( cc X )
0
0
X
116
( vv ) X
0
0
elde edilir. Son olarak J için
[cc X ,vv ] (cc X ) I I (vv ) (vv ) I I (cc X )
( cc X ) ( vv ) (cc X ) (vv ) (cc X ) (vv )
y X
X
0
0
(vv ) (cc X ) (vv ) (cc X ) (vv ) (cc X )
0
0
p ( X )
(cc X ) (vv ) (vv ) (cc X )
X
p ( X )
X p ( X )
X ( X )
( LX )
elde edilir. ( x , x , x ) koordinatlarına göre t * ( M n ) üzerindeki ( LX ) ’nın
dikey lifti
vv
0
( LX ) 0
(L )
X
şeklindeki bileşenlere sahip olup [ cc X ,vv ] vv ( LX ) eşitliği gösterilmiş olur.
vv
( LX )
117
(iii) Keyfi F 11 (T M n ) ve X 10 (T M n ) için ( x , x , x ) koordinatlarına göre
[cc X , F ]
t * ( M n ) üzerinde tanımlı [ cc X , F ] ’in bileşenleri [cc X , F ] olmak üzere (4.8) ve
cc
[ X , F ]
(4.22)’den
[ cc X , F ]J ( cc X ) I I ( F ) J ( F ) I I ( cc X ) J
yazılır. Burada (4.8) ve (4.22) kullanılarak, J için
[ cc X , F ] ( cc X ) I I ( F ) ( F ) I I ( cc X )
0
( F ) (cc X ) ( F ) (cc X ) ( F ) (cc X )
0
0
0
0
elde edilir. J için
[ cc X , F ] ( cc X ) I I ( F ) ( F ) I I ( cc X )
X
0
( F ) X ( F ) X ( F ) X
0
0
0
0
elde edilir.
Son olarak J için
[cc X , F ] (cc X ) I I ( F ) ( F ) I I (cc X )
(cc X ) ( F ) (cc X ) ( F ) (cc X ) ( F )
118
( F ) (cc X ) ( F ) (cc X ) ( F ) (cc X )
0
0
y X p F X p F
0
p ( X ) p F p F p ( X )
X p F p ( X ) F p F ( X )
p ( X F X F X F )
p ( LX F )
elde edilir. ( x , x , x ) koordinatlarına göre t * ( M n ) üzerinde tanımlı ( LX F )
0
( LX F ) 0
p ( L F )
X
şeklindeki bileşenlere sahip olup [ cc X , F ] ( LX F ) eşitliği gösterilmiş olur.
4.2.2. (0,2) tipli tensör alanlarının dikey lifti
G lokal bileşenlerine sahip olan keyfi G 02 ( M n ) ’nin t * ( M n ) pull-back demetine
vv
G dikey lifti, ( x , x , x ) koordinatlarına göre
G
vv
G vv GI J 0
0
0
0
0
0 G
0
(4.23)
119
bileşenlerine sahiptir. (4.21) yardımıyla
vv
GI ' J ' AII ' AJJ 'vv GI J
olduğu kolaylıkla
gösterilebilir. Burada ( AJJ ' ) ( A)1 şeklinde tanımlıdır.
Teorem 4.2.2.1: Keyfi X ,Y 10 (T M n ) ; G 02 ( M n ) için
vv
G cc X ,ccY vv G X ,Y
eşitliği geçerlidir.
İspat: Keyfi X ,Y 10 (T M n ) ; G 02 ( M n ) için, (4.22) ve (4.23) kullanılarak
vv
G cc X ,ccY vv GI J cc X I ,ccY J vv G
cc
X
cc
Y vv G
cc
X
cc
Y vv G
0
vv G cc X
cc
0
vv G
cc
X
0
cc
Y vv G
cc
X
cc
Y
0
cc
cc
Y vv G cc X cc Y vv G cc X
0
Y
Y
0
cc
X
cc
Y vv G
cc
X
0
G y X y X G p ( X ) p ( X )
vv G X ,Y
bulunur.
4.2.3. (1,1) tipli tensör alanlarının tam lifti
M n ’in U komşuluğundaki F bileşenleri ile verilen F F dx şeklindeki
F 11 (T M n ) afinor alanının t * ( M n ) pull-back demetine tam lifti indirgenmiş
koordinatlara göre
120
F
cc
cc
F ( FJI ) 0
0
y F
F
p ( F F )
bileşenlerine sahiptir. Burada (4.21)’den
cc
0
0
F
(4.24)
F matrisinin bileşenleri
cc
cc
FJI'' AII ' AJJ ' FJI
eşitliğinde yerine koyarak bu eşitliğin sağlandığını görürüz (Salimov and Yıldırım
2014).
İspat: Gerçekten de (4.21) ve (4.24) eşitliği dikkate alınarak F' ' bileşeni
cc
cc
F' ' A ' A ' F A ' A ' F A ' A ' F
cc
cc
cc
A ' A ' ' y ' F A ' A ' y ' ' F A ' ' y ' A ' F
y ' ' A ' A ' F A ' A ' y ' ' F y ' ' A ' A ' F
y ' A ' ' A ' F y ' A ' A ' ' F y ' ' A ' A ' F
y ' ' A ' A ' F
y ' ' F' '
şeklindedir. Böylece
cc
F' ' y ' ' F' ' elde edilir.
cc
FJI ’nin diğer bileşenleride benzer
yolla bulunabilir.
Teorem 4.2.3.1: Keyfi X 10 (T M n ) , 10 ( M n ) ve F 11 (T M n ) için
(i)
cc
cc
(ii)
F X cc ( FX ) ( LX F ) ,
cc
F vv vv F
eşitlikleri elde edilir. Burada LX ile X ’e göre Lie türevi gösterilmiştir (Salimov and
Yıldırım 2014).
121
İspat: (i) X 10 (T M n ) ve F 11 (T M n ) olmak üzere (4.8), (4.22) ve (4.24)’den
0 y X
F
0 X
p ( F F ) F P ( X )
F
cc
cc
F X 0
0
y F
F y X y F X
F X
p ( F F ) X p ( X ) F
y F X F y X
FX
p ( F F ) X p ( X ) F
y FX
FX
p FX
y FX
FX
p FX
cc
0
0
p ( X F ( X ) F ( X ) F )
p ( LX F )
0
0
p ( LX F )
( LX F )
( FX )
cc ( FX ) ( LX F )
elde edilir. Böylece
cc
F X cc ( FX ) ( LX F ) eşitliği gösterilmiş olur.
cc
(ii) Keyfi 10 ( M n ) ve F 11 (T M n ) için (4.6) ve (4.24)’den
F
cc
F vv 0
0
y F
0 0
F
0 0
p ( F F ) F
122
0
0
F
0
0
( F )
vv ( F )
elde edilir. Böylece
cc
F vv vv F eşitliği gösterilmiş olur.
Teorem 4.2.3.2: Keyfi F 11 (T M n ) için F 2 I olmak üzere
F
cc
2
I ( NF )
eşitliği geçerlidir (Salimov and Yıldırım 2014).
İspat: Keyfi F 11 (T M n ) için (4.9) ve (4.24)’den
F
cc
2
F
0
0
0
0
y F
F
p ( F F )
0
F
p ( N )
0 F
0 0
F 0
0
0 0
0
y F
F
p ( F F )
0
0
I
0
0
F
0 0
0
0 0
0
0 p ( N F )
0
0
0
( N F )
I (NF )
bulunur. Burada N F 12 ( M n ) , F 11 (T M n ) afinor alanının Nijenhuis tensörüdür.
123
Teorem 4.2.3.3: N F ve N cc
F
sırasıyla F 11 (T M n ) ve
cc
tam liftlerinin
F
Nijenhuis tensörleri olsun. N cc 0 olması için gerek ve yeter şart N F 0 olmasıdır
F
(Salimov and Yıldırım 2014).
İspat: Burada (4.24) eşitliği dikkate alınarak N cc
N
cc
F
F
bileşeni
F F F F F F F F
cc
cc
cc
cc
cc
cc
cc
cc
F y F F F F y F F F
F F F F F F F F
F F F F F F F
N F
0
olduğundan
N F
0
elde edilir.
N cc : N cc
F
A
’nin benzer şekilde diğer
F BC
bileşenlerinin de sıfıra eşit olduğu bulunabilir. Burada A , , , B , , ,
C , , .
Teorem 4.2.3.4: Keyfi X 10 (T M n ) ve F 11 (T M n ) için Lcc
cc
X
F 0 olması
LX F 0 ile mümkündür (Salimov and Yıldırım 2014).
İspat: Eğer X ,Y ,Z 10 (T M n ) ve F 11 (T M n ) ise, Teorem 4.2.1.3 ve Teorem
4.2.3.1 kullanılarak
124
L
cc
cc
X
F
cc
Y Lcc
Lcc
cc
cc
X
X
LX
cc
cc
cc
cc
X
Y
cc
cc
F
LX Y
FY L X LY F F LX Y [ X ,Y ] F
cc
cc
L FY F L Y L
cc
X
cc
cc
FY LY F
X
cc
cc
F Y F L cc
cc
X
LY F [ X ,Y ] F
LX F Y
L F Y L
X
[ Y , F ] [ X ,Y ] F
cc
cc
X
(4.25)
bulunur. Jakobi özdeşliği [ X , [Y , Z ]] [Y , [Z , X ]] [Z , [ X , Y ]] 0 yardımıyla, Teorem
4.2.1.3’ün (i) ve (iii)’ü kullanılarak
[ X , [ Y , F ]] [ Y , [ F , X ]] [ F ,[ X , Y ]] 0 ,
cc
cc
cc
cc
cc
cc
[ X , [ Y , F ]] [ Y , [ F , X ]] [[ X , Y ], F ] 0 ,
cc
cc
cc
cc
cc
cc
[ X , [ Y , F ]] [ Y , [ F , X ]] [ [ X , Y ], F ] 0 ,
cc
cc
cc
cc
cc
Lcc [ Y , F ] [ Y , [ F , X ]] [ X ,Y ] F 0 ,
cc
cc
cc
X
Lcc [ Y , F ] [ X ,Y ] F [ Y , [ F , X ]]
cc
cc
cc
X
elde edilir.
(4.26) eşitliği (4.25)’de yerine yazılarak, Teorem 4.2.1.3’den
cc
L F Y [
cc
Y , [ F , X ]]
cc
Y , [ X , F ]]
X
cc
L F Y [
X
cc
L F Y [
X
cc
cc
cc
cc
Y , LX F ]
L F Y L L F
X
Y
X
(4.26)
125
elde edilir. LX F 0 olması durumunda, son eşitlikten Lcc
cc
X
F 0 olur.
(T M n , F ) , n 2k ; N F 0 şartı dahilinde kompleks manifold olmak üzere,
(T M n , F ) kompleks manifoldu üzerinde LX F 0 olması koşuluyla X vektör alanı
bir holomorfik vektör alanını tanımlar (Salimov and Yıldırım 2014).
Buradan; Teorem 4.2.3.2, Teorem 4.2.3.3 ve Teorem 4.2.3.4 yardımıyla aşağıdaki
teorem elde edilir:
Teorem 4.2.3.5: X vektör alanı F ’e göre holomorfik ise
cc
X tam lifti,
cc
F
kompleks yapısına göre holomorfiktir (Salimov and Yıldırım 2014).
4.2.4. operatörü
Bu bölümde, t * ( M n ) üzerinde yeni operatörleri tanımlanacaktır. X , T M n
üzerinde tanımlı bir vektör alanı olmak üzere t * ( M n ) üzerindeki X fonksiyonu
X p X
(4.27)
ile tanımlıdır (Salimov and Yıldırım 2014).
Keyfi
F 11 (T M n )
için (4.21) matrisi kullanılarak
( F ) ' A( F )
olduğu
gösterilebilir. Burada F ( x , x , x ) koordinat sistemine göre
y F
F ( F A ) 0
p F
(4.28)
126
şeklindeki bileşenlere sahiptir (Salimov and Yıldırım 2014).
Keyfi T 12 ( M n ) için
0 y T
T ( TBA ) 0
0
0 p T
0
0
0
(4.29)
ile verilir. (4.21) matrisi yardımıyla TBA' ' AAA' ABB' TBA olduğu kolaylıkla gösterilebilir.
Burada ( A ) 1 ( ABB' ) matrisiyle A ’nın tersi gösterilmiştir (Salimov and Yıldırım
2014).
Teorem 4.2.4.1: Keyfi X , Z 10 (T M n ) , f 00 ( M n ) , 10 ( M n ) ve F 11 (T M n ) için
(i)
vv
( Z ) vv ( ( Z )),
(ii)
( F )( vv f ) 0,
(iii)
( F ) Z ( FZ ),
(iv)
cc
X ( Z ) [ X , Z ]
eşitlikleri elde edilir (Salimov and Yıldırım 2014).
İspat: (i) Keyfi 10 ( M n ) ve Z 10 (T M n ) için (4.6) ve (4.27)’den
vv
( Z ) vv I I ( Z )
vv ( p Z ) vv ( p Z ) vv ( p Z )
0
Z
vv ( ( Z ))
elde edilir.
0
127
(ii) Keyfi F 11 (T M n ) için (4.5) ve (4.28) kullanılarak
( F )(vv f ) ( F ) I I (vv f )
( F ) ( vv f ) ( F ) ( vv f ) ( F ) ( vv f )
0
y F f p F f
0
0
0
elde edilir. Ayrıca ( F )( vv f ) 0 eşitliğinden F ’in t * ( M n ) üzerinde dikey vektör
alanı olduğu görülmektedir.
(iii) Keyfi F 11 (T M n ) ve Z 10 (T M n ) için (4.27) ve (4.28)’den
( F ) Z ( F ) I I ( Z )
( F ) ( p Z ) ( F ) ( p Z ) ( F ) ( p Z )
0
y F ( p Z ) p F ( p Z )
0
p F Z p ( FZ )
( FZ )
bulunur.
(iv) Keyfi X , Z 10 (T M n ) için (4.22) ve (4.27) kullanılarak
cc
X (Z ) cc X I I ( Z )
cc X ( p Z ) cc X ( p Z ) cc X ( p Z )
0
128
X ( p Z ) p ( X )Z
p ( X Z Z X )
p [ X , Z ]
[X ,Z]
elde edilir.
Teorem 4.2.4.2: Keyfi
X 10 (T M n ) ve F , G 11 (T M n ) için Lie parantezi
kullanılarak
(i)
[ F , G ] [ F , G ] 2 [ F , G ],
(ii)
[cc X , F ] ( LX F )
eşitlikleri elde edilir. Burada X ’e göre Lie türevi LX ile gösterilmiştir (Salimov and
Yıldırım 2014).
İspat: (i) Keyfi F , G 11 (T M n ) için t * ( M n ) üzerinde ( x , x , x ) koordinatlarına göre
[ F , G ]
[ F , G ] ’nin bileşenleri [ F , G ] olmak üzere (4.28) kullanılarak
[ F , G ]
[ F , G]J ( F ) I I ( G) J ( G) I I ( F ) J
( F ) ( G ) J ( F ) ( G ) J ( F ) ( G ) J
0
( G ) ( F ) J ( G ) ( F ) J ( G ) ( F ) J
0
( F ) ( G) J ( F ) ( G) J
( G) ( F ) J ( G) ( F ) J
129
yazılır. Burada (4.28) kullanılarak, J için
[ F , G] ( F ) ( G) ( F ) ( G) ( G) ( F ) ( G) ( F )
y F y G p F y G y G y F p G y F
0
0
y F G y G F
y F G G F
y F ,G
J için
[ F , G ] ( F ) ( G ) ( F ) ( G ) ( G ) ( F ) ( G ) ( F )
0
0
0
0
0,
son olarak J için
[ F , G] ( F ) ( G) ( F ) ( G) ( G) ( F ) ( G) ( F )
y F p G p F p G y G p F p G p F
0
0
p F G p G F
p ( F G G F )
p [ F , G]
elde edilir. ( x , x , x ) koordinatlarına göre t * ( M n ) üzerindeki [ F , G ] ve [ F , G] ’nin
bileşenleri, (4.8) ve (4.28)’den sırasıyla
130
y F ,G
[F , G] 0
p [ F , G ]
0
, [F , G] 0
p [ F , G ]
şeklinde olup buradan
y F ,G
[ F , G ] 0
p [ F , G ]
y F ,G
0
p [ F , G ]
0
0
2 p [ F , G ]
[ F , G ] 2 [ F , G ]
eşitliği elde edilir.
(ii) Keyfi F 11 (T M n ) , X 10 (T M n ) için ( x , x , x ) koordinatlarına göre
[ cc X , F ]
t * ( M n ) üzerinde tanımlı [ cc X , F ] ’in bileşenleri [ cc X , F ] olmak üzere
cc
[ X , F ]
[cc X , F ]J (cc X ) I I ( F ) J ( F ) I I (cc X ) J
eşitliği yazılır. Burada (4.22) ve (4.28) kullanılarak, J için
[cc X , F ] (cc X ) I I ( F ) ( F ) I I (cc X )
(cc X ) ( F ) (cc X ) ( F ) (cc X ) ( F )
0
( F ) (cc X ) ( F ) (cc X ) ( F ) (cc X )
0
0
y X y F X y F y F y X
y X F y X F y F X
131
y X F X F F X
y L X F
J için
[cc X , F ] (cc X ) I I ( F ) ( F ) I I (cc X )
(cc X ) ( F ) (cc X ) ( F ) ( cc X ) ( F )
0
0
0
( F ) (cc X ) ( F ) (cc X ) ( F ) (cc X )
0
0
0
0,
son olarak J için
[cc X , F ] (cc X ) I I ( F ) ( F ) I I (cc X )
(cc X ) ( F ) ( cc X ) ( F ) ( cc X ) ( F )
0
( F ) ( cc X ) ( F ) ( cc X ) ( F ) ( cc X )
0
0
(cc X ) ( F ) (cc X ) ( F ) ( F ) (cc X )
X p F p ( X ) p F p F p ( X )
X p F p ( X ) F p F ( X )
p ( X F X F X F )
p ( LX F )
elde edilir. ( x , x , x ) koordinatlarına göre t * ( M n ) üzerindeki ( LX F ) ’in bileşenleri
132
y LX F
( LX F ) 0
p ( LX F )
şeklinde olup [cc X , F ] ( LX F ) eşitliği gösterilmiş olur.
Teorem 4.2.4.3: X 10 (T M n ) olmak üzere S X , M n ’de keyfi Z 10 (T M n ) için
S X ( Z ) S ( X , Z ) eşitliğini sağlayan (1,1) tipli bir tensör alanı ayrıca 10 ( M n ) ,
F 11 (T M n ) ve S , T 12 ( M n ) ise
(i)
( S )cc X ( S X ) ,
(ii)
( S )( vv ) 0 ,
(iii)
( S )( F ) 0 ,
(iv)
( S )( T ) 0
eşitlikleri elde edilir (Salimov and Yıldırım 2014).
İspat: (i) Burada (4.22) ve (4.29) kullanılarak
0 y S
( S ) cc X 0
0
0 p S
y S X y ( S X )
0 y X
0 X
0
0
(S X )
0 p ( X )
p S X p ( S X )
elde edilir. Benzer şekilde
( S )( vv ) 0 , ( S )( F ) 0 , ( S )( T ) 0
eşitlikleri bulunur.
Teorem 4.2.4.4: T M n üzerindeki keyfi F , G afinor alanları için
133
cc
F ( G) (G F )
eşitliği geçerlidir (Salimov and Yıldırım 2014).
İspat: F ve G , T M n üzerinde birer afinor alanları olmak üzere, (4.24) ve
(4.28)’den
F
cc
F ( G ) 0
0
0 y G
F
0 0
p ( F F ) F p G
y F
y G F
0
p G F
y G F
0
p G F
(G F )
bulunur. Böylece F ( G) (G F ) eşitliği gösterilmiş olur.
cc
4.2.5. Vektör alanlarının yatay liftleri
*
T M n üzerinde X X olmak üzere X ’in t ( M n ) üzerindeki
HH
HH
X yatay lifti
X cc X (X )
ile tanımlıdır. Burada , diferensiyellenebilir M n manifoldundaki simetrik afin
konneksiyonudur (Yıldırım and Salimov 2014a).
cc
X ve (X ) ’in sırasıyla t * ( M n ) üzerindeki ( x , x , x ) koordinatlarına göre
bileşenleri
134
y X
y X
A
cc
X cc X A X
, (X ) (X ) 0
p ( X )
p ( X )
ile tanımlıdır. X ’nun X kovaryant türevi
( X ) X X
ile tanımlıdır. X ’in
HH
X yatay lifti, t * ( M n ) üzerindeki ( x , x , x ) koordinatlarına
göre
X
HH
X HH X A X
X
(4.30)
y , p
(4.31)
bileşenlerine sahiptir. Burada
şeklindedir (Yıldırım and Salimov 2014a).
Tanım 4.2.1.1’den; LX d X X d (Cartan’nın sihirli formülü)
HH
X yatay lifti için
kullanıldığında
LHH X dp d HH X dp HH X d dp d HH X dp HH X d 2 p d HH X dp
elde edilir. Buradan L
cc
X
dp 0 şartı dahilinde
Hamiltonian vektör alanı olduğu elde edilir ve
HH
X vektör alanı lokal olarak
135
HH
X A AB C B HH X A AC C HH X A B A 0
şartı sağlanır. (4.30) ve dp dejenere simplektik yapısının bileşenleri son eşitlikte
kullanılarak X 0 şartı dahilinde 0 0 eşitliği elde edilir (Yıldırım and Salimov
2014a).
İspat: Yukarıda yer alan
HH
B
HH
X A AB C B HH X A AC C HH X A B A 0 eşitliğinden
X C B HH X C B HH X C C HH X B C HH X B C HH X B 0
B y X C B X C B p X C C y X B C X B C p X B 0
elde edilir. B ’nin indisleri B , , ve C ’nin indisleri C , , olmak üzere
(i) Buradan B ve C için
0 y X X p X y X X p X
0
0
0
0
0
0
0 0,
(ii) B ve C için
0 y X X p X y X X p X
0
0
0
0
0
0
00,
(iii) B ve C için
136
0 y X X p X y X X p X
0
0
0
0
0
0
0 0,
(iv) B ve C için
0 y X X p X y X X p X
0
0
0
0
0
0
0 0,
(v) B ve C için
0 y X X p X y X X p X
0
0
0
0
0 p X p X p X p X
0 p X p X
0 p X p X p X p X
0 p X p X p X p X
0 p X p X p X p X
0 0,
(vi) B ve C için
0 y X X p X y X X p X
0
0 X p X
0
0
0
137
0 X X
0 X X
0 X X
0 X
0 X ,
(vii) B ve C için
0 y X X p X y X X p X
0
0
0
0
0
0
0 d X
0
0 0,
(viii) B ve C için
0 y X X p X y X X p X
0
0
0 p X X
0 X X
0 X X
0 X X
0 X
0 X ,
(ix) B ve C için
0
0
138
0 y X X p X y X X p X
0
0
0
0
0
0
0 0.
Teorem 4.2.5.1: dp dejenere simplektik yapısıyla birlikte, X vektör alanının
t * ( M n ) pull-back (yarı-kotanjant) demete
Hamiltoniandır.
X j j X
i
i
Burada
yer
X ;
alan
HH
X yatay lifti X 0 şartı dahilinde
(1,1)
tipli
bir
tensör
alanı
olup
j X i şeklindedir (Yıldırım and Salimov 2014a).
Teorem 4.2.5.2: T M n üzerinde tanımlı keyfi X ,Z vektör alanları ve M n üzerinde
tanımlı keyfi f fonksiyonu için
(i)
HH
X (vv f ) vv ( Xf ),
(ii)
HH
X ( Z ) ( X Z )
elde edilir (Yıldırım and Salimov 2014a).
İspat: (i) Keyfi X 10 (T M n ) vektör alanı için (4.5) ve (4.30)’dan
HH
X ( vv f )
HH
X I I ( vv f )
HH
X f
HH
X f
HH
X f
0
X f
vv ( Xf )
elde edilir.
(ii) Keyfi X 10 (T M n ) için (4.27) ve (4.30) kullanılarak
0
139
HH
X ( Z )
HH
X I I ( Z )
HH
X ( p Z )
HH
X ( p Z )
HH
X ( p Z )
0
X ( p Z ) p ( X )Z
p X ( Z Z )
( X Z )
p ( X Z )
( X Z )
elde edilir.
Teorem 4.2.5.3: Keyfi X ,Y 10 (T M n ) ve 10 ( M n ) için
(i)
[ HH X ,vv ] vv ( X ),
(ii)
[ HH X , HH Y ]
HH
[ X , Y ] R( X , Y )
eşitlikleri elde edilir. Burada R , ’nın eğrilik tensörü olup afin konneksiyonu
üzerindeki Lie türevi ( LX )Y Y X R( X , Y ) ile tanımlıdır (Yıldırım and Salimov
2014a).
İspat: (i) Keyfi X 10 (T M n ) , 10 ( M n ) için ( x , x , x ) koordinatlarına göre
[ HH X ,vv ]
t * ( M n ) üzerinde tanımlı [ HH X ,vv ] ’nın bileşenleri [ HH X ,vv ]
HH vv
[ X , ]
olmak üzere, (4.6)
ve (4.30)’dan
[ HH X ,vv ]J
HH
X I I vv J vv I I
HH
X vv J HH X vv J HH X vv J
vv
0
HH
HH
X J vv
0
XJ
HH
X J vv
HH
XJ
140
y X vv J X vv J
p X vv J
HH
XJ
eşitliği yazılır. Burada (4.6) ve (4.30) kullanılarak, J için
[ HH X ,vv ] y X vv X vv p X vv
0
0
HH
X
HH
X
0
y X
0
0,
J için
[ HH X ,vv ] y X
vv
X vv p X vv
0
0
0
X
0
0,
son olarak J için
[ HH X ,vv ] y X vv X vv p X vv
0
HH
X
0
X p X
X X
X ( )
( X )
elde edilir. ( x , x , x ) koordinatlarına göre t * ( M n ) üzerindeki ( X ) ’nin dikey lifti
141
vv
0
( X ) 0
( )
X
şeklindeki bileşenlere sahip olduğundan, [ HH X ,vv ] vv ( X ) eşitliği elde edilir.
(ii) T M n üzerindeki keyfi X ve Y vektör alanları için ( x , x , x ) koordinatlarına
[ HH X , HH Y ]
göre t * ( M n ) üzerinde tanımlı [ HH X , HH Y ] ’nin bileşenleri [ HH X , HH Y ] olmak üzere,
HH HH
[ X , Y ]
(4.30) kullanılarak
[ HH X , HH Y ]J
HH
X I I ( HH Y ) J
HH
X HHY J HH X HHY J HH X HHY J
HH
Y I I ( HH X ) J
HHY HH X J HHY HH X J HHY HH X J
y X HHY J X HHY J p X HHY J
y Y
HH
X J Y
HH
X J p Y
HH
XJ
eşitliği yazılır. Burada (4.30) kullanılarak, J için
[ HH X , HH Y ] y X y Y X y Y p X y Y
0
y Y y X Y y X p Y y X
0
y X y Y X y Y y Y y X Y y X
X y Y y X Y Y y X y Y X
y X Y y X Y y X Y
142
y Y X y X Y y X Y
y X Y Y X
[ X ,Y ]
y X Y
( R ( X ,Y ))
y [ X , Y ] y ( R( X , Y ))
J için
[ HH X , HH Y ] y X
y Y
HH
HH
Y X
X Y
HH
HH
Y p X
X p Y
HH
HH
Y
X
y X Y X Y p X Y
0
0
y Y X Y X p Y X
0
0
X Y Y X
[ X , Y ]
son olarak J için
[ HH X , HHY ] y X HHY X HHY p X HHY
y Y
HH
X Y
HH
X p Y
HH
X
y X p Y X p Y p X p Y
0
y Y p X Y p X p Y p X
0
X ( p Y ) p X Y
Y ( p X ) p Y X
p X ( Y ) p X Y p X Y
143
p Y ( X ) p Y X p X Y
[ p ( X ( Y ) Y ( X )) ]
[ X ,Y ]
p [ X Y ( )]
( R ( X ,Y ))
p [ X , Y ] p ( R( X , Y ))
elde edilir. ( x , x , x ) koordinatlarına göre t * ( M n ) üzerindeki
HH
[ X , Y ] R ( X , Y ) ’nin
bileşenleri
y [ X , Y ] y ( R( X , Y )) y [ X , Y ] y ( R( X , Y ))
HH
[ X , Y ] R ( X , Y ) [ X , Y ]
0
[ X ,Y ]
p [ X , Y ] p ( R ( X , Y )) p [ X , Y ] p ( R ( X , Y ))
şeklinde olup [ HH X , HH Y ]
HH
[ X , Y ] R ( X , Y ) eşitliği gösterilmiş olur.
Teorem 4.2.5.4: Keyfi X 10 (T M n ) ve S 12 ( M n ) için
( S )( HH X ) S X
eşitliği geçerlidir (Yıldırım and Salimov 2014a).
İspat: (4.29) ve (4.30) kullanılarak
0 y S
( S )( HH X ) 0
0
0 p S
0 y X
0 X
0 p X
144
y S X y ( S X )
0
0
p S X p ( S )
X
(S X )
elde edilir.
4.2.6. (1,1) tipli tensör alanlarının yatay lifti
F F dx ile tanımlı M n ’in bir U komşuluğunda F bileşenlerine sahip
F 11 (T M n ) ’in t * ( M n ) üzerindeki
HH
HH
F yatay lifti
F cc F [F ]
(4.32)
ile tanımlıdır (Yıldırım and Salimov 2014a). Burada [F ] , keyfi X ,Y 10 (T M n )
vektör alanları için
[F ]( X , Y ) X ( FY ) Y ( FX )
(4.33)
ile tanımlı (1,2) tipli bir tensör alanıdır. (4.24), (4.32) ve (4.33)’den, t * ( M n ) üzerindeki
( x , x , x ) koordinatlarına göre F ’in,
F
HH
F ( HH FJI ) 0
0
HH
F yatay lifti
F F
F
F F
0
0
F
(4.34)
145
bileşenlerine sahiptir. Burada F ’lar F ’in lokal bileşenleri, ’lar ise t * ( M n )
üzerindeki ’nın bileşenleri olup ve ’lar ise (4.31) ile tanımlıdır (Yıldırım
and Salimov 2014a).
İspat: (4.24), (4.32) ve (4.33)’den
F
HH
F 0
0
F F
F
F F
0
0
F
F
0
0
y F F F
0
y F
0 0
F
0 0
0
0
p ( F F ) F 0 p ( F F F F ) 0
Y ( FX )
X ( FY )
([ F ]( X ,Y ))
F
0
0
y F
0 0
F
0 0
0
p ( F F ) F 0 p ([F ]( X , Y ))
y F
0
0
0
cc F [F ]
elde edilir.
Teorem 4.2.6.1: T M n üzerindeki keyfi F
10 ( M n ) için t * ( M n ) ’de
(i)
HH
F (vv ) vv ( F ),
(ii)
HH
F ( HH X )
HH
( FX )
eşitlikleri elde edilir (Yıldırım and Salimov 2014a).
afinor ve X
vektör alanları ile
146
İspat: (i) Keyfi 10 ( M n ) , F 11 (T M n ) için (4.6) ve (4.34) kullanılarak
F
HH
F (vv ) 0
0
F F
F
F F
0
0
F
0 0
0 0
F
0
0
( F )
vv ( F )
elde edilir.
(ii) T M n üzerindeki keyfi F afinor ve X vektör alanları için (4.30) ve (4.34)’den
F
HH
F ( HH X ) 0
0
F F
F
F F
0 y X
0 X
F p X
y X F y F X y F X
y FX
F X
p F X p F X p X F
p ( FX )
y FX
( FX )
p ( FX )
elde edilir.
HH
( FX )
FX
( FX )
( FX )
147
Teorem 4.2.6.2: Keyfi F , G 11 (T M n ) afinor alanları ve S 12 ( M n ) için
(i)
HH
F ( G ) (G F ),
(ii)
HH
F ( S ) ( SF )
eşitlikleri
elde
edilir.
Burada
SF ,
X , Y 10 (T M n )
keyfi
için
(SF )( X , Y ) S ( X , FY ) ile tanımlıdır (Yıldırım and Salimov 2014a).
İspat: (i) F , G 11 (T M n ) afinor alanları için (4.28) ve (4.34) kullanılarak
F
HH
F ( G ) 0
0
F F
F
F F
0 y G
0 0
F p G
y G F y (G F )
0
0
p G F p (G F )
(G F )
elde edilir.
(ii) S 12 ( M n ) ve F , T M n üzerinde afinor alanı olmak üzere (4.29) ve (4.34)
kullanılarak
F
HH
F ( S ) 0
0
0
0
0
F F
F
F F
y S F
0
p S
( SF )
elde edilir.
F
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
F 0
y S
0
p S
y ( SF )
0
p ( SF )
0
0
0
0
0
0
148
5. SONUÇ
(1)
Sunulan bu tezde ilk olarak yarı-kotanjant demetin tanımı yapıldı.
(2)
Yarı-kotanjant demetin, kotanjant demetinin bir pull-back demeti olduğu
gösterildi.
(3)
Yarı-kotanjant demetin dejenere simplektik yapısına sahip olduğu ispatlandı.
(4)
Vektör ve afinor alanlarının tam ve yatay liftleri tanımlanarak, bunların
geometrik problemleri incelendi.
(5)
Tanjant demet izdüşümüne sahip kotanjant demetinin pull-back demeti
tanımlandı.
(6)
Tanjant demet izdüşümüne sahip kotanjant demetinin pull-back demetinde
vektör ve afinor alanlarının tam ve yatay liftleri incelendi.
149
KAYNAKLAR
Ay, S., 2013. Yarı Tanjant Demet. (Y. Lisans Tezi), Fen Bilimleri Enstitüsü, Atatürk
Üniversitesi.
Bishop, R.L. and Goldberg S.I., 1968. Tensor Analysis on Manifolds. The Macmillan
Company, p.19-135, New York.
Dombrowski, P., 1962. On the Geometry of the Tangent Bundle. Journal für die reine
und angewandte Mathematik. 210: 73-88.
Duc, T.V., 1979. Structure presque-transverse. J. Diff . Geom., 14, No:2, 215-219.
Husemoller, D., 1994. Fibre Bundles. Springer, New York.
Kandatu, A., 1966. Tangent bundle of a manifold with a non-linear connection. Kodai
Mathematical Seminar Reports. 18, no. 4, 259-270.
Kobayashi, S. and Nomizu K., 1963. Foundations of differential geometry. Vol. I,
Interscience Publishers, New York-London.
Lawson, H.B. and Michelsohn M.L., 1989. Spin Geometry. Princeton University Press.,
Princeton.
Ledger, A.J. and Yano K., 1965. The Tangent Bundle of a Locally Symmetric Space.
Jour. London Math. Soc., 40, 487-492.
Morimoto, A., 1970. Liftings of Tensor Fields and Connections to Tangent Bundles of
Higher order. Nagoya Math. Jour., 40, 99-120.
Ostianu, N.M., 1974. Step-fibred spaces. Tr. Geom. Sem., 5, VINITI, 259–309,
Moscow.
Pontryagin, L.S., 1962. Characteristic classes of differentiable manifolds. Transl. Amer.
Math. Soc., 7, 279-331.
Poor, W.A., 1981. Differential Geometric Structures. McGraw-Hill, New York.
Ricci, G. and Levi-Civita, T., 1900. Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs
applications. Mathematische Annalen. 54 (1–2): 125–201.
Salimov, A.A. and Kadıoğlu E., 2000. Lifts of derivations to the semitangent bundle.
Turk J. Math, 24, 259-266.
Salimov, A.A. ve Mağden A., 2008. Diferensiyel Geometriye Giriş. Atatürk
Üniversitesi.
Salimov, A.A. and Yıldırım F., 2014. A pull-back bundle of cotangent bundles defined
by projection of the tangent bundle. XII. Geometry Semp., Bilecik.
Sasaki, S., 1958, On Differential Geometry of Tangent Bundle of Riemannian
Manifolds, I, Tohoku Math, Jour., 14, 146-155.
Sasaki, S., 1962, On Differential Geometry of Tangent Bundle of Riemannian
Manifolds, II, Tohoku Math, Jour., 10, 238-354.
Steenrod, N., 1951. The Topology of Fibre Bundles. Princeton University Press.,
Princeton.
Vishnevskii, V.V., 2002. Integrable affinor structures and their plural interpretations.
Geometry, 7.J. Math. Sci., 108, no. 2, 151-187, New York.
Vishnevskii, V.V., Shirokov A.P. and Shurygin V.V., 1985. Spaces over Algebras.
Kazan. Kazan Gos. Univ. Russian.
Voigt, W., 1898. The fundamental physical properties of crystals in an elementary
presentation, p. 20, Leipzig, Germany.
150
Yano, K. and Ako M., 1968. On certain operators associated with tensor fields. Kodai
Math. Sem. Rep., 20, 414-436.
Yano, K. and Ishihara S., 1967. Horizontal Lifts of Tensor Fields and Connections to
Tangent Bundles. Jour. Math. and Mech., 16, 1015-1030.
Yano, K. and Ishihara S., 1973. Tangent and Cotangent Bundles. Marcel Dekker, Inc.,
New York.
Yano, K. and Kobayashi, S., 1966, Prolongations of Tensor Fields and Connections to
Tangent Bundles, I. General Theory, Jour. Math. Soc. Japan, 18, 194-210.
Yano, K. and Ledger A.J., 1965. The Tangent Bundle of a Locally Symmetric Space. J.
London Math. Soc, 40: 487-492.
Yano, K. and Patterson E.M., 1967. Vertical and complete lifts from a manifold to its
cotangent bundles. Jour. of Math. Soc., Japan.
Yıldırım F. and Salimov A., 2014. Horizontal lift problems in a special class of semicotangent bundle. IECMSA-2014 Vienna, Austria.
Yıldırım, F. and Salimov A., 2014. Semi-cotangent bundle and problems of lifts. Turk J.
Math, 38, 325-339.
Yıldırım, F., 2013. Horizontal Lift Problems in the Semi-Cotangent Bundle. IECMSA2013 Sarajevo, Bosnia and Herzegovina.
151
ÖZGEÇMİŞ
Furkan YILDIRIM 1985 yılında Erzurum’da dünyaya geldi. İlk ve orta öğrenimini
Erzurum’da tamamladı. Lise öğreniminide Erzurum Nevzat Karabağ Anadolu
Öğretmen Lisesi’nde tamamladı. 2003 yılında girdiği Atatürk Üniversitesi K. Karabekir
Eğitim Fakültesi İlköğretim Matematik Bölümü’nden 2007 yılında mezun oldu. Aynı
yıl Atatürk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü’nde yüksek lisans öğrenimine
ve Erzurum’un Horasan İlçesi Anadolu Lisesi’nde matematik öğretmeni olarak görevine
başladı. Çeşitli ortaokullarda çalışıp, 2013 yılında Gazi Ahmet Muhtar Paşa
Ortaokulu’na tayin oldu. Halen burada görevini sürdürmektedir.
