matrisin determinantı

DETERMİNANT VE HESAPLANMASI
VE
HESAPLAMADA KULLANILAN NÜMERİK
YÖNTEMLER
MATRİSİN DETERMİNANTI
Determinant, kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur.
Determinant fonksiyonunun, kare matrisi eşlediği o sayıya matrisin determinantı denir.
A matrisinin determinantı, detA veya |A| biçiminde gösterilir.
|A|, matrislerde mutlak değer anlamına gelmez. |A| sıfır veya negatif de olabilir.
Kural
Türü ne olursa olsun, birim matrisin determinantı 1 dir.
1. Sarrus Kuralı
A = [aij]3×3 biçimindeki matrislerin determinantını bulmak için Sarrus kuralı kullanılır.
3  3 türündeki bir matrisin determinantı şöyle bulunur:
1. İlk iki satır sırasıyla alta birer defa daha yazılır.
2. Köşegeni oluşturan a11, a22, a33 çarpılır; çarpım sağa yazılır.
3. Köşegenin hemen altındaki a21, a32, a13 çarpılır; çarpım sağa yazılır.
4. Aynı yaklaşımla a31, a12, a23 çarpılır; çarpım sağa yazılır.
5. Sağa yazılan üç çarpımın toplamı T1 olsun
6. Diğer köşegeni oluşturan a13, a22, a31 çarpılır; çarpım sola yazılır.
7. Diğer köşegenin hemen altındaki a23, a32, a11 çarpılır; çarpım sola yazılır.
8. Aynı yaklaşımla a33, a12, a21 çarpılır; çarpım sola yazılır.
9. Sola yazılan üç çarpımın toplamı T2 olsun,
10. A matrisinin determinantı: detA = T1 – T2 dir.
2. İşaretli Minör (Kofaktör)
Bir kare matriste aij elemanının minörü Mij olsun.
aij elemanının işaretli minörü (kofaktörü):
Kural
matrisi verilsin.
Bir matrisin determinantı, bu matrisin herhangi bir satır veya sütun elemanları ile
bu elemanların işaretli minörlerinin çarpımlarının toplamına eşittir.
i. satıra göre determinant:
j. sütuna göre determinant:
3. Determinantın Özellikleri
Özellik
Bir satır veya bir sütunun tüm elemanları sıfır olan matrislerin determinantı
sıfırdır.
Herhangi iki satır veya iki sütunun elemanları eşit olan matrisin determinantı
sıfırdır.
Herhangi iki satır veya iki sütunun elemanları orantılı olan matrisin
determinantı sıfırdır.
Herhangi iki satır veya iki sütunun yerleri değişirse determinantının işareti
değişir.
Bir kare matrisin determinantı ile transpozunun determinantı eşittir.
Kare matrislerin çarpımlarının determinantı, bu matrislerin determinantları
çarpımına eşittir.
det(A  B) = detA  detB
Bir kare matrisin kuvvetinin determinantı, determinantının kuvvetine eşittir.
detAn = (detA)n
Bir kare matrisin çarpmaya göre tersinin determinantı, determinantının tersine
eşittir.
A = [aij|m×n matrisinin k ile çarpımının determinantı,
A nın determinantının kn ile çarpımına eşittir.
Bir kare matrisin bir satır ve bir sütunun tüm elemanları
k ile çarpılırsa, elde edilen matrisin determinantı ilk matrisin determinantının k ile
çarpımına eşittir.
Bir matrisin herhangi bir satırını k ile çarpıp diğer bir satıra ekleyince veya
herhangi bir sütununu k ile çarpıp diğer bir sütuna ekleyince determinantının değeri
değişmez.
Sadece bir satır veya bir sütun elemanları farklı olan matrislerin determinantları
toplamı, diğer satır veya sütunları aynı olan ve farklı sütunu farklı sütunların
toplamı kadar olan yeni matrisin determinantına eşittir.
DETERMİNANT HESAPLAMALARINDA KULLANILAN NÜMERİK
YÖNTEMLER
Bazı matrislerin determinantlarının hesaplanmasında normal bilinen yollar uzun ve
zorlu olabilir. Bu gibi durumlarda determinant hesaplamaları için Nümerik Analiz
yöntemlerinin yardımına ihtiyaç duyarız. Determinant hesaplanması için iki adet nümerik
yöntem vardır.
1) Gauss Eleminasyon Yöntemi
2) CHIO Yöntemi
1) Gauss Eleminasyon Yöntemi:
Bu yöntem alt ya da üst üçgen matrisin determinantının asal köşegen elemanlarının
çarpımı olduğu esasına dayanır. Bu yöntemde determinantı alınacak matris elementer
işlemler yardımıyla üst ya da alt üçgen matrise dönüştürülür ve determinant hesaplanır.
Ancak elementer satır veya sütun işlemleri sırasında asal köşegen üzerinde sıfırdan farklı
elemanlar olması istenir. Eğer asal köşegen üzerindeki elemanlardan en az birisi sıfır ise
satırlar arası değişimlerle bu durum ortadan kaldırılabilir. Eğer hiçbir şekilde asal köşegen
üzerindeki sıfır sayısından kurtulamıyorsak determinant sıfırdır.
Elementer satır işlemlerini sembolik olarak ifade etmek istersek;
Hij(k) = j. Satırı k ile çarp i. Satıra ekle
Şimdi bu yöntemi 4x4 lük bir matris üzerinde uygulayalım. A matrisi 4x4 lük bir
matris olsun.
 a11 a12 a13 a14 
a
a22 a23 a24 
21

A=
Bu matrisi bir üst üçgen matris haline getirerek
 a31 a32 a33 a34 


 a41 a42 a43 a44 
determinantını
hesaplayalım. O halde asal köşegenin altında kalan elemanların sıfır olması gerekir. Yani a21,
a31, a32, a41, a42 ve a43 elemanını sıfır yapmalıyız.
 a11
a
 21
 a31

 a41
a12
a13
a22
a23
a32
a33
a42
a43
a14 
 a11



a
0
H 21  21 
a24 
 a11 


 a31
a34 


a44 
 a41
a12

a22
a13

a23
a32
a33
a42
a43
a14 
 
a24

a34 

a44 
 a 
H 21  21 
 a11 
 satır elementer işlemi ile a21 elemanını sıfır yaptık. Benzer şekilde diğer
elemanları da satır elementer işlemleri ile sıfır yaparsak elde ettiğimiz matris;
 a11
0
A =
0

0
a12
a22
a13

a23
0

a33
0
0
a14 
 
a24
 olur. Bu matrisin determinantı da ;
 
a34

 
a44
 .a33
 .a44
 olacaktır.
det (A) = A = a11.a22
 2 1 1


Örnek: A=  2 3 1  matrisinin determinantını gauss eleminasyon yöntemi ile
 3 2 3


hesaplayınız.
 2 1 1


 2 3 1
 3 2 3



2
2
1
1


3
H 31 ( )



H 21 ( 1)
2

 0
 0 2 0  
 3 2 3



0

1
2
1
2





1
2 1 1

 H32 ( 41 ) 
 0 2 0 
0  

3
3
0 0



2
2
Elementer işlemler ile matrisi bir üst üçgen matris haline getirdik. Determinant asal köşegen
elemanları çarpımına eşittir.
3
Det (A) = 2.2. = 6 olarak bulunur.
2
2 ) CHIO Yöntemi :
Bu yöntemde determinant hesabı, hesaplanacak matrisin her bir adımda bir mertebe
indirgenmesiyle hesaplanır. Burada mertebe verilen kare matrisin satır ya da sütun sayısını
ifade eder. (Örneğin 4x4 lük bir matrisin mertebesi 4tür.) Matris indirgenirken 2x2lik
determinant hesaplarıyla matris indirgenir.
n x n tipinde bir matris alarak bu yöntemin çalışma şeklini inceleyelim.
 a11
a
 21
A=  :

 an1
det (A) =
an 2
... a1n 
... a2 n 
tipinde n mertebeli bir matris olsun.
: 

... ann  nxn
a11
a12
... a1n
a21
a22
... a2 n
:
:
a12
a22
:
an1
:
an 2 ... ann
şu şekilde hesaplanır; A matrisinin determinantını;
a21
a12 a11
a22 a21
a13 a11 a14
a
a1n
...... 11
a23 a21 a24
a21 a2 n
a11
a12 a11
a13 a11
a31
a32 a31 a33 a31 a34
a11
det (A) =
1
a11( n  2)
a14
......
a11
a1n
a31 a3n
:
:
:
:
:
:
:
:
a11
a12 a11
a13 a11
a14
an1
an 2 an1 an 3 an1 an 4
......
a11
şeklinde bir determinanta
a1n
an1 ann
( n 1) x ( n 1)
dönüştürdük. Bu matrisin içindeki 2x2lik determinantları hesaplarsak;
det(A)=
1

a11
a21

a12

a22
a11( n  2)
:
:
a(n 1)1
...
...
a1( n 1)
 n 1)
a2(
tipinde ve mertebesi bir mertebe
:
a(n 1)2 ... a(n 1)( n 1)
( n 1) x ( n 1)
indirgenmiş bir matris elde ederiz. Bu determinantta da aynı yöntemi uygularsak;
a11 a12 a11 a13
......
 a23

 a22
 a21
a21
det (A) =
1
( n  2)
11
a
1
a
( n 1 2)
11
a11

a31
a12 a11
 a31

a32
a13
......

a33
:
:
:
:
elde ederiz. Gördüğünüz gibi
( n  2) x ( n  2)
artık determinantımız (n-2) mertebeli oldu. Bu şekilde işlemlere devam ederek determinantı
2x2lik bir determinanta dönüştürürüz ve hesaplarız. Bu hesaplama yönteminde
a11  0 olmalıdır.
1
2

Örnek : A= 1

3
3 5 6
4 7 8 
1 2 2  matrisinin determinantını CHIO yöntemi ile hesaplayınız.

3 5 64 x4
1 3 1 5 1 6
1 3 5 6
det (A) =
2 4 7 8
1 1 2 2
3 3 5 6
2 4 2 7 2 8
1 1 31 51 6
= 2
1 1 11 21 2
1 31 51 6
3 33 5 3 6
devam edelim bir mertebe daha indirgeyelim ;
2
3
4
= 2
3
4
6 10 12
2
3
4
2
3
4 =
6 10 12
2 3 2 4
1 2 3 2 4
1 0 0
=
= 0 bulmuş olduk.
1
2 2 0
(2) 2 3 2 4
6 10 6 12
det(A)= 0