KUANTUM MEKANĠĞĠNDE CEBĠRSEL YÖNTEMLER Selim

KUANTUM MEKANĠĞĠNDE CEBĠRSEL
YÖNTEMLER
Selim AYDIN
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ
FĠZĠK
GAZĠ ÜNĠVERSĠTESĠ
FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
AĞUSTOS 2009
ANKARA
Selim AYDIN tarafından hazırlanan KUANTUM MEKANĠĞĠNDE CEBĠRSEL
YÖNTEMLER adlı bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak uygun olduğunu onaylarım.
Dç. Dr. Hakan ÇĠFTCĠ
Tez DanıĢmanı, Fizik Anabilim Dalı
Bu çalıĢma, jürimiz tarafından oy birliği ile Fizik Anabilim Dalında Yüksek Lisans
tezi olarak kabul edilmiĢtir.
Prof. Dr. Süleyman ÖZÇELĠK
…………………………………………..
Fizik , Gazi Üniversitesi
Doç.Dr. Hakan ÇĠFTCĠ
…………………………………………..
Fizik, Gazi Üniversitesi
Yrd.Doç.Dr. Engin ATEġER
…………………………………………..
Fizik, Aksaray Üniversitesi
Tarih:
/ / 2009
Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini
onamıĢtır.
Prof. Dr. Nail ÜNSAL
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
TEZ BĠLDĠRĠMĠ
Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranıĢ ve akademik kurallar çerçevesinde elde
edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu
çalıĢmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf
yapıldığını bildiririm.
Selim AYDIN
iv
KUANTUM MEKANĠĞĠNDE CEBĠRSEL
YÖNTEMLER
(Yüksek Lisans Tezi)
Selim AYDIN
GAZĠ ÜNĠVERSĠTESĠ
FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
Ağustos 2009
ÖZET
Bu tez çalıĢmasında esas olarak değiĢik türdeki potansiyeller için Radyal
Schrödinger denkleminin cebirsel yöntemler kullanarak çözümü incelendi.
Enerji öz değer ve öz fonksiyonları bulundu. Elde edilen dalga fonksiyonları
kullanılarak merdiven operatörleri kuruldu. Ve bu operatörlerin hangi grubun
komütasyon bağıntısını sağladığı anlaĢılmaya çalıĢıldı. Elde edilen
yorumlandı.
Bilim Kodu
: 202.1.149
Anahtar Kelimeler : Schrödinger denklemi, cebirsel metod , merdiven
iĢlemciler, harmonik ossilatör potansiyeli
Sayfa Adedi
: 91
Tez Yöneticisi
: Doç. Dr. Hakan ÇĠFTCĠ
sonuçlar
v
ALGEBRAIC METHODS IN
QUANTUM MECHANICS
(M.Sc. Thesis)
Selim AYDIN
GAZI UNIVERSITY
INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
August 2009
ABSTRACT
In this thesis the solution of radyal Schrodinger equation for different types of
potentials by using algebraic methods is analyzed. Energy eigenvalue and eigen
functions are found. By using wave functions that are obtained ladder operators
are set and which group's commutation relation is provided by these operators
are tried to be investigated. And the results are interpreted.
Science Code
Key Words
Page Number
Adviser
: 202.1.149
: Schrödinger equation, algebraic method, ladder
operators , oscillator potentials
: 91
: Assoc. Prof. Dr. Hakan ÇĠFTCĠ
vi
TEġEKKÜR
ÇalıĢmalarım boyunca yardım ve katkılarıyla beni yönlendiren sayın hocam Dç. Dr.
Hakan ÇĠFTCĠ‟ye Ģükranlarımı sunarım.
Sevgili arkadaĢlarım Hatice AKDERE
ve Serdar BADOĞLU‟na tezimin
hazırlanmasında yardımcı oldukları için teĢekkür ederim.
Ayrıca maddi ve manevi yardımlarını hiçbir zaman eksik etmeyen, çalıĢmalarım
süresince beni sabırla destekleyip anlayıĢ gösteren canım anneme teĢekkürü bir borç
bilirim.
vii
ĠÇĠNDEKĠLER
Sayfa
ÖZET .................................................................................................................... iv
ABSTRACT ............................................................................................................ v
TEġEKKÜR ........................................................................................................... vi
ĠÇĠNDEKĠLER ...................................................................................................... vii
ÇĠZELGELERĠN LĠSTESĠ ..................................................................................... ix
ġEKĠLLERĠN LĠSTESĠ ........................................................................................... x
SĠMGELER VE KISALTMALAR ......................................................................... xi
1. GĠRĠġ .................................................................................................................. 1
2. ÇEġĠTLĠ POTANSĠYELLER ĠÇĠN SCHRÖDĠNGER DENKLEMĠNĠN
STANDART DĠFERANSĠYEL DENKLEM ÇÖZÜMLERĠ .............................. 3
2.1.Bir Boyutlu Harmonik Salınıcı ..................................................................... 3
2.2.Küresel Simetrik Potansiyeller .................................................................... 10
2.2.1 Üç boyutlu harmonik salınıcı ............................................................. 10
2.2.2.Hidrojen atomu .................................................................................. 12
3. CEBĠRSEL YÖNTEMLER ................................................................................ 17
3.1. Bir Boyutlu Harmonik Salınıcı için Cebirsel YaklaĢım ............................. 17
3.2. Hidrojen Atomu ve Üç Boyutlu Harmonik Salınıcı için
Cebirsel YaklaĢım .................................................................................... 19
3.2.1. Hidrojen atomu için cebirsel yapı ................................................... 27
3.2.2. Üç boyutlu harmonik salınıcı için cebirsel yapı .............................. 31
viii
Sayfa
3.3. Harmonik Salınıcı Ve Ters Kare Potansiyeli için Cebirsel YaklaĢım ......... 35
3.4. Morse Potansiyeli Ġçin Cebirsel YaklaĢım ................................................. 42
3.4.1. Morse potansiyeli için harmonik limit ............................................. 50
3.5. Ġki Boyutlu Pseudoharmonik Potansiyel için Cebirsel YaklaĢım ............. 53
3.6. N Boyutlu Pseudoharmonik Potansiyel için Cebirsel YaklaĢım ............... 58
3.7. Pöschl-Teller Potansiyeli için Cebirsel YaklaĢım .................................... 68
3.8. Harmonik Salınıcı, Ters Kare ve Coulomb Potansiyeli
için Cebirsel YaklaĢım ........................................................................... 74
4. SONUÇ ............................................................................................................. 81
KAYNAKLAR ...................................................................................................... 82
EKLER .................................................................................................................. 85
EK– 1 Laguerre polinomları için tekrarlama bağıntılarının ispatı .......................... 86
EK –2 Konfluent hipergeometrik fonksiyonlar ..................................................... 89
ÖZGEÇMĠġ ........................................................................................................... 91
ix
ÇĠZELGELERĠN LĠSTESĠ
Çizelge
Sayfa
Çizelge 2.1. Harmonik Ossilatör için normalize edilmiĢ ilk dört dalga fonksiyonu
ve enerji özdeğerleri ....................................................................... .... 9
x
ġEKĠLLERĠN LĠSTESĠ
ġekil
Sayfa
ġekil 2.1. Harmonik ossilatörün potansiyel enerjisi ve enerji
özdeğerlerinin grafiği .........................................................................
9
ġekil 2.2. Harmonik ossilatör için ilk dört enerji özdeğeri ve
olasılık yoğunlukları ............................................................................
10
ġekil 3.1. a- , a+ ve N iĢlemcilerinin merdiven yapısının gösterimi .....................
19
ġekil 3.2. Hidrojen atomu – Coulomb potansiyel eğrileri ....................................
28
ġekil 3.3. Hidrojen atomu enerji spektrumunda alçaltıcı ve yükseltici
operatörlerin etkisi ...............................................................................
30
ġekil 3.4. Harmonik ossilatör potansiyeli eğrisi ...................................................
32
ġekil 3.5. Harmonik ossilatörün enerji spektrumunda alçaltıcı ve yükseltici
operatörlerin etkisi ...............................................................................
34
ġekil 3.6. Harmonik ossilatör ve Morse potansiyel eğrilerinin artan enerji
düzeylerinde karĢılaĢtırılması..............................................................
43
ġekil 3.7.  2 / m için Pöschl-Teller Potansiyeli .................................................
68
xi
SĠMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalıĢmada kullanılmıĢ bazı simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte
aĢağıda sunulmuĢtur.
Simgeler
Açıklama
E
Enerji
H
Hamiltonyen
Ψ
Dalga Fonksiyonu
P
Momentum
h
Planck Sabiti

h/2π
n
BaĢ Kuantum Sayısı

Yörünge Kuantum Sayısı
λ
Dalga Boyu
V
Potansiyel Enerji
Kısaltmalar
Açıklama
PT
Pöschl-Teller
1
1. GĠRĠġ
Kuantum mekaniğinde fiziksel sistemlerin herhangi bir t anındaki durumları sürekli,
türevlenebilir ,sanal değerli olan ve Ψ(r,t) dalga fonksiyonu denilen bir fonksiyon ile
belirlenir. Bu dalga fonksiyonunun uzay ve zaman içindeki evrimi ise kısmi türevli
bir çizgisel denklem olan schrödinger denklemi ile belirlenir. Kuantum mekaniğinin
baĢarısı schrödinger denkleminin çözümlerinin doğanın özellikle mikro yapısında
varolan pek çok deneysel gerçek ile tam uyuĢumlu sonuçlar vermesine dayanır.
Ayrıca bire boylandırılabilen Ψ fonksiyonu sistemle ilgili tüm bilgileri taĢır.
Kuantum mekaniğinde Hamiltonyen iĢlemcisi için özdeğer denklemi ĤΨ=EΨ
Ģeklinde verilir. Burada Ĥ toplam enerjiyi ifade eder. Klasik mekanikten
hatırlanacağı gibi H
( P 2 / 2m) V Ģeklinde verilir.Ġlk terim kinetik enerjiyi , ikinci
terim (V) potansiyel enerjiyi ifade eder.Kuantum mekaniğinde ise her fiziksel
gözlenebilire bir hermityen iĢlemci karĢılık gelir. Momentum P
i
yazılabilir. Ayrıca dalga fonksiyonunun zaman içindeki evrimi i
Ģeklinde
t
H
Ģeklinde ifade edilen zamana bağlı schrödinger denklemi ile ifade edilir.Bu ifadeler
toplam
hamiltonyende
yerine konulursa
[
2
2m
2
V]
i (
t
)
Ģeklinde
schrödinger denklemi elde edilir.Burada m; parçacığın kütlesini, V; potansiyeli,
 10,1 10
34
J.s değerindeki Planck sabitini ve Ψ parçacığın dalga fonksiyonunu
ifade eder.
Bu tez çalıĢmasında çeĢitli potansiyeller için schrödinger denleminin enerji
özdeğerleri ve özfonksiyonları cebirsel yöntemler kullanılarak bulundu.
Ġkinci bölümde, önce bir boyutlu sonra üç boyutlu harmonik ossilatör ve hidrojen
atomu için schrödinger denkleminin standart diferansiyel denklem çözümleri
incelendi.
2
Üçüncü bölümde çeĢitli potansiyeller için hamiltonyen, faktörizasyon metodu
uygulanarak çarpanlarına ayrıldı, elde edilen komütasyon bağıntılarından hangi grup
yapısının sağlandığı bulundu. Enerji özdeğerleri, özfonksiyonları ve beklenen
değerler bu yöntemle bulunup cebirsel yöntemlerin daha sade ve daha Ģık bir metod
oldukları gösterildi.
Dördüncü bölümde elde edilen sonuçlar yorumlandı.
3
2. ÇEġĠTLĠ POTANSĠYELLER ĠÇĠN SCHRÖDĠNGER DENKLEMĠNĠN
STANDART DĠFERANSĠYEL DENKLEM ÇÖZÜMLERĠ
2.1. Bir Boyutlu Harmonik Salınıcı
Denge konumları civarında küçük genlikli salınımlar yapan çok serbestlik dereceli
pek çok sistemin en genel salınım hareketi; her birinin kendine özgü frekansı olan
normal kiplerinin bir çizgisel üst üste gelimi olan bir harekettir. Tüm sistemin bir
kipteki hareketi tek frekanslı bir salınım olup her bir serbestlik derecesinin hareketi
bir basit harmonik salınıcının hareketi ile özdeĢtir.[1]
Bir boyutlu bir harmonik salınıcının klasik hamilton fonksiyonu Ģu Ģekildedir ;
2
H ( x, p x )
Px
2m
1 2
kx
2
(2.1)
Harmonik salınıcı kuantum mekaniğinde de çok önemli bir yere sahiptir.
Moleküllerin.örgü titreĢimlerinin denge konumu civarında titreĢim hareketleri,siyah
cisim ıĢımasında kovuk içindeki ossilatörlerin (elektromagnetik alan salınımlarının)
kuantum mekaniksel incelemelerinde vb. birçok örnekte harmonik salınıcı önemli bir
yer tutar. Harmonik salınıcının bir diğer önemi de; özdeğer problemi tam çözülebilen
belli baĢlı problemlerden olduğundan sık sık baĢvurulan bir model olmasıdır.
2
H ( x, p x )
Px
2m
H ( x, p x )
2 d 2
2m dx 2
1 2
kx
2
;
2
0
k/m
1 2
kx
2
ĤU(x)=EU(x) Ģeklinde hamilton iĢlemcisi uygulanırsa
(2.2)
(2.3)
4
 2 d 2U ( x)
2m dx 2
d 2U ( x)
dx 2
1 2
kx U ( x)
2
mK ( x) 2
x U ( x)
2
EU ( x)
(2.4)
2mE
U ( x)
2
(2.5)
çözümde takip edilecek teknikler sırasıyla Ģu Ģekildedir,
a) BoyutsuzlaĢtırma
b) Asimptotik davranıĢ
c) Standart diferansiyel denklem çözüm yöntemleri
a) BoyutsuzlaĢtırma:
[X] =Uzunluk boyutunda olduğuna göre boyutsuzlaĢtırma
yapmak için problemde [α]= 1/uzunluk olan bir terim aranır. Buna göre
x
boyutsuz bir değiĢkendir.
1
( m /  ) 2 = [1/uzunluk] Ģeklinde seçilmelidir.
d
dx
d d
dx d
d2
dx 2
2
d
d
(2.6)
d2
d 2
(2.7)
bu ifadeler EĢ. 2.5 „de yerine yazılırsa,
d 2U ( x)
d 2
2
U ( x)
2mE
U ( x)
2 2

;
2mE
2 2

(2.8)
5
 2mE
m 2
[
2E
]

(2.9)
Boyutsuz
böylece diferansiyel denklem;
d 2U
d 2
2
(
)U
(2.10)
0
formuna dönüĢür.
b) Asimptotik DavranıĢ :
ξ „nin büyük değerlerinde U nasıl bir davranıĢ gösterir ?
~
d 2U
d 2
U
2
0 ; (ξ→±∞)
U
2
H ( )e
(2.11)
/2
(2.12)
burada H(ξ) ; ξ „nin sonlu dereceli bir polinomudur.
U' =
e
U'' = U
2
/2
2
2
H( ) e
U
2 e
2
/2
/2
(2.13)
H( )
H( ) e
2
/2
H ( )
(2.14)
alınan türevler EĢ. 2.11 ifadesinde yerine yazılırsa
H ( ) 2 H( ) (
bu denklem ;
1) H ( )
0
(2.15)
6
y ( x) 2 xy ( x) 2ny ( x)
(2.16)
0
olan hermite diferansiyel denklem formundadır. Bu yüzden ;
λ-1=2n →
2En

 (n
1
)
2
En
(2.17)
1 2n
(2.18)
Ģeklinde enerji spektrumu elde edilir.
EĢ 2.15 ifadesi kuvvet serisi veya Frobenius yöntemiyle çözülebilir.[2] Çünkü
x=0‟da singularite bulunmaktadır. Bunun için H(ξ) hermite polinomu kuvvet serisi
Ģeklinde yazılırsa ;
H( )
cm
m
c0
c1
c2
2
c3
3
...
m 0
H( )
mcm
m 1
m 0
H ( )
m 2
m( m 1)c m
(2.19)
m 0
alınan türevler EĢ. 2.15 ifadesinde yerine yazılırsa ;
c m m(m 1)
m 2
m 0
2
m 1
cm m
(
1)
m 0
cm
m
0
(2.20)
m 0
„in katsayıları alınırsa ;
(m 2)( m 1)c m
2
2mcm
(
1)
m
cm
0
(2.21)
7
katsayıları için aĢağıdaki tekrarlama bağıntısı elde edilir.
buradan
cm
2m 1
cm
(m 1)( m 2)
2
(Rekürans Bağıntısı )
(2.22)
serinin yakınsaklık testine bakıldığında ;
cm 2
cm
lim m
2 / m Ģeklinde davrandığı görülür.
4
2
e
2
1
2!
m
...
(m / 2)!
(m 2 / 2)!
lim m
m 2
(m / 2)! (( m 2) / 2)!
lim m
[1 /( m / 2)]
...
2/m
(2.23)
(2.24)
Ģeklinde exponansiyel fonksiyonla aynı davranıĢı göstermektedir. Bununla beraber
EĢ 2.12 ifadesi kullanıldığında ;
U
2
2
e e
/2
e
2
/2
(ıraksak çözüm)
(2.25)
ıraksak olan çözümden kurtulabilmek için çift ve tek kuvvetli serilerin sonlu sayıda
terime sahip olmaları gerekir.Yani sonlu sayıda terimden sonra gelen terimler sıfır
olmalıdır. Bu yüzden bir m = n değerinde seri kesilir. EĢ. 2.22 ifadesinden ;
2n+1-λ=0
(2.26)
olmalıdır. Böylece dalga fonksiyonu;
2/2
Un ( )
N n H n ( )e
(n=0,1,2,…)
(2.27)
8
Ģeklinde elde edilir. Dalga fonksiyonu normalize edilerek N sabiti bulunabilir.
Hermite polinomlarının diklik bağıntısı ;
I nm
H n ( ) H m ( )e
2
1/ 2
d
2 n n!
(2.28)
nm
Ģeklinde verilir. Buradan;
1
Nn
Nn
2
H n ( ) H n ( )e
2
(2.29)
d
(2.30)
2 n n!
olarak elde edilir. Böylece normalize edilmiĢ dalga fonksiyonları ;
2/2
Un( )
e
2 n n!
(2.31)
Hn( )
enerji spektrumu ise; E n
(n 1 / 2)
Ģeklinde elde edilir. Taban durum
enerjisinin (n=0) sıfırdan farklı oluĢu tamamen kuantal bir etkidir. Çünkü E=0
olsaydı, P=0
ve X=0 olması anlamına gelirdi ki bu ise Heisenberg Belirsizlik
Ġlkesi‟ne aykırıdır.
Harmonik salınıcının ilk birkaç kuantum durumu için enerji özdeğerlerinin ve
olasılık yoğunlıklarının grafikleri aĢağıdaki gibi verilmiĢtir.
9
Çizelge 2.1 Harmonik ossilatör için normalize edilmiĢ ilk dört dalga fonksiyonu ve
enerji özdeğerleri
n
Ψ
0
( / )1 / 4 e
1
( / )1 / 4 2 e
2
( / )1 / 4 (1 / 2 )(2
2
1)e
3
( / )1 / 4 (1 / 3)(2
3
3 )e
E
2
 /2
/2
2
3 / 2
/2
2
5 / 2
/2
2
/2
7 / 2
ġekil 2.1 Harmonik ossilatörün potansiyel enerji ve enerji özdeğerlerinin grafiği
10
ġekil 2.2 Harmonik ossilatör için ilk dört enerji özdeğeri ve olasılık yoğunlukları
2.2 Küresel Simetrik Potansiyeller
Kuantum mekaniğinde karĢılaĢılan sistemler genelde üç boyutlu, çok parçacıklı
sistemlerdir. Üç boyutlu izotropik harmonik salınıcının kr 2 / 2 potansiyeli,
Ze 2 / r
Coulomb potansiyeli (Hidrojen atomu) birer küresel simetrik potansiyeldir. Küresel
simetrik sistemlerin genel bir özelliği olarak potansiyel açılardan bağımsızdır. Bu tür
sistemlerin analizi zordur, ve bu yüzden, eğer varsa, sistemin sahip olduğu
simetrilerden yararlanarak sonuçlar elde edilmeye çalıĢılır. Simetriden faydalanarak
yapılan çözümler bölüm 3‟de anlatılmıĢtır.
2.2.1 Üç Boyutlu Harmonik Salınıcı :
3-Boyutlu harmonik salınıcı hamiltonyeni,
H
P2
2m
1
m
2
2
x2
1
m
2
2
y2
1
m
2
2
z2
(2.32)
11
olur. Burada x 2
y2
r 2 olduğundan potansiyel küresel simetriktir; θ ve φ
z2
açılarından bağımsızdır. O halde radyal schrödinger denklemi küresel koordinatlarda
yazılırsa,
H
RE
2
2m
1
m
2
2
2
r2
(2.33)
 2 1 d 2 dR
(
(r
)) V (r ) R
2m r 2 dr
dr
2mEr 2
R
2
d 2 dR
(r
))
dr
dr
d 2 dR
(r
)
dr
dr
2mr 2 ( E V (r ))
2
(2.34)
2mV (r )r 2
R
2
(2.35)
R
(2.36)
burada potansiyel aĢağıdaki gibidir,
V (r )
1
m
2
d 2 dR
(r
)
dr
dr
2
r2 ,
2mr 2
[E
2
(2.37)
l (l 1)
2
m
r2
2
l (l 1) 2
]R ( r )
2mr 2
0
(2.38)
basit olması açısından s durumları alınırsa ( l =0) merkezkaç terim kalkar.[3]
d 2 dR
(r
)
dr
dr
2mr 2
[E
2
2
m
2
r 2 ]R ( r )
0
(2.39)
R= χ(r)/r olarak seçilirse dalga fonksiyonu ve enerji özdeğeri aĢağıdaki gibi olur,
12
d 2 (r )
dr 2
(r )
2m
[E
2
2
m
r 2 ] (r )
2
N 2 n 1 H 2n 1 ( r )e
2r 2 / 2
0
,
(2.40)
En
( 2n
3
)
2
(2.41)
2.2.2 Hidrojen Atomu :
Küresel simetrik bir sisteme diğer bir örnek olarak hidrojen atomu verilebilir. Üç
boyutlu uzayda schrödinger denklemi ,
2
2
( 2
2m x
2
2
y2
z2
) (r ) V (r ) (r )
E (r )
(2.42)
Ģeklinde verilir. Kutupsal koordinatlara geçilip radyal denklem yazılırsa;
d 2 dR
(r
)
dr
dr
2mr 2
[E
2
Ze 2
r
l (l 1) 2
]R ( r )
2mr 2
0
(2.43)
burada,
V (r )
Ze 2
r
olarak alınmıĢtır. Takip edilecek yöntemler yine,
a) BoyutsuzlaĢtırma
b) Asimptotik davranıĢ
c) Standart diferansiyel denklem çözüm yöntemleri
Ģeklindedir.
(2.44)
13
a) BoyutsuzlaĢtırma: [r]→uzunluk boyutunda olduğundan,
[
8m E
2
]1 / 2
(2.45)
[1 / uzunluk ]
olmak üzere ρ=βr olsun.Burada ρ boyutsuzdur. ρ cinsinden EĢ. 2.42 tekrar yazılırsa,
d
(
d
2
dR
) [
d
2
Ze 2

burada;
l (l 1)]R(r )
4
m
2E
0
(2.46)
tanımlaması yapıldı.
b) Asimptotik davranıĢ : ρ→∞ durumu için ;
d 2 Rnl ( )
d 2
1
Rnl ( )
4
0
(2.47)
olur. Çözümler ;
Rnl ( )
/2
e
G nl ( )
(2.48)
rl
(2.49)
Ģeklindedir.
lim r
0
R(r )
olduğu için Gnl ( ) aĢağıdaki gibi seçilirse denklem,
G nl ( )
l
Lnl ( ) ;
(2.50)
14
l
Rnl ( )
/2
e
(2.51)
Lnl ( )
haline gelir. Bu denklem EĢ. 2.42 ifadesinde yerine yazılırsa;
Lnl ( ) (2l 2
) Lnl ( ) (
l 1) Lnl ( )
0
(2.52)
olur. Frobenius metoduyla;
L( )
c0
c1
c2
2
...
ci
i
(2.53)
i 0
gerekli türevler alınıp
ci
1
i
„nin katsayıları yazılırsa rekürans bağıntısı;
i l 1
(i 1)( 2l 2 i )
(2.54)
serinin yakınsaklık testine bakıldığında;
lim i
ci 1
ci
1
i
(2.55)
bu seri i→∞ için exp(ρ) ‟nun davranıĢıyla aynıdır.
exp( )
i
1
i
i
(2.56)
bu durumda dalga fonksiyonu;
Rnl ( )
l
e
/2
Lnl ( )
l
e
/2
e
l
e
/2
(2.57)
15
sonuç ıraksak olduğundan çözümün fiziksel olabilmesi için seri bir yerde
kesilmelidir. Bunun için de tek yol;
l 1 seçilmelidir.
imax
nr ve λ→n ile gösterilirse ;
imax
n
(2.58)
nr
l 1
(2.59)
olur. Burada nr ve n „ye sırasıyla radyal ve baĢ kuantum sayısı denir.
Ze 2

n
m
2E
(2.60)
mZ 2 e 4
(Enerji spektrumu)
2n 2  2
En
(2.61)
olur. Bu durumda EĢ. 2.48 ifadesi ;
L
[2(l 1)
]L
[n (l 1)]L
0 olur.
(2.62)
bu ifade aĢağıdaki asosiye Laguerre diferansiyel denklemi ile karĢılaĢtırılırsa;
Lqp
p=2l+1
[p 1
ve
]Lqp
[q
p]Lqp
0
q=n+l
elde edilir. Böylece dalga fonksiyonu;
(2.63)
(2.64)
16
Rnl ( )
N nl
l
e
/2
L2nl l1 ( )
olarak bulunur. [4-5]
(2.65)
17
3. CEBĠRSEL YÖNTEMLER
3.1. Bir Boyutlu Harmonik Salınıcı Ġçin Cebirsel YaklaĢım
Çarpanlara ayırma yöntemiyle Ĥ ayrıĢtırılıp aynı cebri sağlayan ve birbirinden bir
sabit çarpan kadar farklı olan merdiven operatörleri kurulabilir.
a) En sade biçimde ;
2
H ( x, p x )
Px
2m
H ( x, p x )
(
1 2
kx
2
Px
2m
i
(3.1)
P
k
x)( x
2
2m
i
k
x)
2
(3.2)
bu Ģekilde denklem klasik olarak çarpanlarına ayrılmıĢ olur.[6] Fakat kuantum
mekaniğinde x ve Px sıra değiĢtirme özelliğine sahip değildir.
a- (
Px
i
2m
2
P
aa = x
2m
- +
k
x)
2
,
a+ (
1 2 i k
kx +
( px
2
2 m
xp)
Px
2m
i
k
x)
2
(3.3)
(3.4)
a-a+=
+
i
[ p, x ]
2
(3.5)
a-a+=
+

2
(3.6)
[a- , a+] =  ω
(3.7)
[H,a±] =±  ωa±
(3.8)
18
2
Px
2m
b) H ( x, p x )
1 2
kx
2
(3.9)
Hamiltonyen boyutsuz olarak aĢağıdaki Ģekilde yazılabilir.
P
p
q
ve
m 
m

X
(3.10)
Ĥ=

(p2+q2)
2
(3.11)
Ĥ=

(q+ip)(q-ip)
2
(3.12)
a-
1
2
1
(q ip ) ve a+
2
(q ip )
(3.13)
benzer Ģekilde [q,p]=i olduğu ve aynı cebri sağladığı gösterilebilir.[7]
c)
Schrödinger
denklemini
boyutsuzlaĢtırırken
(m / )
1
2
tanımlaması
yapılmıĢtı. a- ve a+ , α cinsinden yazılırsa ;
a- =
2
a+=
2
(x i
px
)
 2
(x i
px
)
 2
2
2
(x
1 d
)
2
dx
(3.14.a)
(x
1 d
)
2
dx
(3.14.b)
bu operatörlerin dalga fonksiyonuna etkisi,
a
n
n 1
n 1
ve
a
n
n
n 1
(3.15)
19
Ģeklindedir.[8] Merdiven iĢlemcilerinin cebirsel yapıları Ģu Ģekildedir.
[a-,a+] =1 , N= a+a- , [N,a-] = - a- , [N,a+] = a+
(3.16)
enerji özdeğeri ise
En=  ω(n+1/2)
(3.17)
Ģeklindedir. [9]
ġekil 3.1 a- , a+ ve N iĢlemcilerinin merdiven yapısının gösterimi
{1,a-,a+ [a-,a+]= 1 }→Heisenberg – Weyl Cebri
{1,a-,a+,N [a-,a+]=1, [a-,N]= a-, [a+,N]= -a+ }→Harmonik Salınıcı Cebri [10]
Üç boyutlu harmonik salınıcı da küresel simetriye sahiptir.
H=  ω( a1 a1
[ ai , a j ]=
a2 a2
ij
a3 a3
3/ 2)
, [ai,aj]=[ ai , a j ]= 0
(3.18)
(3.19)
20
3.2. Hidrojen Atomu ve Üç Boyutlu Harmonik Salınıcı Ġçin Cebirsel YaklaĢım :
Hidrojen atomunda Ze 2 / r (coulomb) veya kr 2 / 2 (üç boyutlu harmonik salınıcı)
potansiyelleri küresel simetrik potansiyellerdir. Küresel simetrik potansiyellerin
genel bir özelliği olarak ;
[H,L2]= 0 , [H,Lz]= 0 ve
[L2,Lz]= 0
(3.20)
komütasyon bağıntıları sağlanır. a+ ve a- iĢlemcilerine benzer olarak L±=Lx±iL y
açısal momentum iĢlemcileri vardır. Sağladığı komütasyon bağıntıları,
[L+,L-]= 2LZ
ve
[Lz,L±]= L
(3.21)
Ģeklindedir. En basit durumda hamiltonyen aĢağıdaki Ģekilde çarpanlarına ayrılabilir,
H
2 d 2
(
2m dr 2
A
d
dr
l
r
2 d
r dr
1
l
l (l 1)
)
2r 2
A
d
dr
(3.22)
l
r
1
l
(3.23)
Ģeklinde merdiven operatörleri kurulur.
A-A+= H 
1
2
(3.24)
olduğu kolayca görülebilir. L+ , L- ve Lz „den oluĢan cebre açısal momentum veya R3
„te dönme cebri (SO(3) cebri ) denir.
Merkezi kuvvet problemlerinden olan hidrojen atomu ve üç boyutlu harmonik
salınıcıya ait merdiven operatörleri, dalga fonksiyonları ve enerji özdeğerlerini genel
olarak elde edebilmek için aĢağıdaki yöntem kullanılabilir; [11]
21
H Elm
(3.25)
E Elm
burada hamiltonyen,
H
P2
2m
l (l 1) 2
2mr 2
V (r )
(3.26)
olarak verilir.
Cebirsel Yapının Kurulması
Quantum mekaniksel problemlerin cebirsel çözümlerinde kullanılan iyi bilinen bir
örnek açısal momentum problemidir;
[ Lx , L y ]
iLz
(3.27)
[ L y , Lz ]
iL x
(3.28)
[ Lz , Lx ]
iL y
(3.29)
EĢ. 3.25 ifadesinin cebirsel çözümü için aĢağıdaki komütasyon bağıntısı
kullanılabilir;
[r , p m ]
imp m
1
(3.30)
EĢ. 3.30 ifadesinden;
[r a , r b p]
r b (iar a 1 )
iar a
b 1
olur. EĢ. 3.27 – EĢ. 3.29 ifadeleri kapalı bir cebir oluĢtururlar. Bu yüzden r a
(3.31)
b 1
, ra
„ya eĢit olmalıdır.Bu yüzden b=1 ve [ra,rp]=ia  ra olmalıdır. Benzer Ģekilde diğer
komütasyon bağıntıları yazılabilir,
22
[ra,r2-ap2]=a(a-1)  2+2ia  rp
[rp,r
2-a
2
(3.32)
2-a 2
p ]=ia  r p
(3.33)
Bu adımdan sonra aĢağıdaki değiĢken değiĢtirmeleri yapılabilir.
V1 = r a
V2
V3 =
1
[ rp
a
(3.34)
1
i ( a 1) ]
2
(3.35)
1 2a 2
r p
a2
(3.36)
EĢ. 3.31, EĢ. 3.32 ve EĢ. 3.33‟deki komütasyon bağıntıları aĢağıdaki gibi yazılabilir,
[ V1 , V2 ]=i  V1 ,
(3.37)
[ V2 , V3 ]=i  V3 ,
(3.38)
[ V3 , V1 ]=-2i  V2 ,
(3.39)
EĢ. 3.34 ifadesinden r a = V1
[ V2 , V1 1 ] =i  V1
1
yazılabileceğinden,
1
(3.40)
Böylece EĢ. 3.38 ve EĢ. 3.40‟ dan aĢağıdaki komütasyon bağıntısı elde edilir.
[ V2 , ( V3 +τ V1 1 ] =i  ( V3 + τ V1 1 )
(3.41)
burada τ bir sabit veya V1,V2 ,V3 ile komüte eden herhangi bir operatördür. EĢ. 3.37
-3.39 ifadeleri V3 ve V3+ τ V1
1
ifadesinin değiĢtirilmesi sonuncunda invaryant
kaldığı görülür. V1,V2 ,V3 „ün son bir lineer kombinasyonu ile aĢağıdaki operatörler
kurulabilir,
23
T1 =
1
( V3 + τ V1 1 - V1 ) ,
2
(3.42)
T2 = V2 ,
(3.43)
1
T3 = ( V3 + τ V1 1 + V1 )
2
(3.44)
Komütasyon bağıntılarının oluĢturduğu cebir ise Ģu Ģekildedir ;
[T1, T2] = -i  T3
(3.45)
[T2, T3] = i  T1
(3.46)
[T3, T1] = i  T2
(3.47)
EĢ. 3.45 - 3.47‟ deki ifadeler ile EĢ. 3.27 – 3.29‟ daki ifadeler, EĢ. 3.45 ve EĢ.
3.27‟deki iĢaret farklılığı haricinde birbirine özdeĢtir. Lx, Ly, Lz „den oluĢan cebre
SO(3) cebri, T1 ,T2, T3‟den oluĢan cebre ise SO(2,1) cebri denilir. Bu iki cebir
aĢağıdaki gibi karĢılaĢtırılabilir;
[T1, T2]=iγ  T3
(3.48)
[T2, T3]=i  T1
(3.49)
[T3, T1]=i  T2
(3.50)
Burada SO(3) için γ= +1 , SO(2,1) için γ= -1 „dir.[12] T± artırıcı-eksiltici iĢlemci
olmak üzere ;
[T+, T-]=2γ  T3
(3.51)
[T3, T±]=±  T±
(3.52)
T2= γ(T12+ T22)+ T32 = γ T+T- + T32-  T3
= γ T-T+ + T32+  T3
[T2,Tk] =0 , k=1,2,3
(3.53)
(3.54)
24
T2 ve T3‟ün dalga fonksiyonuna etkileri ise,
T 2 Qq
Q Qq
(3.55)
T3 Qq
q Qq
(3.56)
T3T Qq
(q )T Qq
(3.57)
Ģeklindedir. Bu Ģekilde T3 için özdeğerler ve özvektörler elde edilmiĢ olur. Taban
durumundaki dalga fonksiyonu için ,
T Qq 0
0
(3.58)
bulunur. EĢ. 3.55 - 3.57 bağıntılarından yararlanılarak,
T 2 Qq 0
T32
( TT
(q02
T3 ) Qq 0
q0 ) Qq 0
q0 (q0
) Qq
(3.59)
yazılabilir. SO(3) cebrinde L2 „nin özdeğerleri ( 1) Ģeklinde olmasına karĢılık,
SO(2,1) cebrinde
T2 „nin özdeğerleri
q0 (q0
) Ģeklindedir. q0 taban durum
özdeğeri için T2 açılımı kullanılarak aĢağıdaki ifade yazılabilir,
T2= -T12- T22+ T32 = ( T3- T1)(T3+T1) - [ T3 ,T1] - T22
= V1 ( V3+ τ V1 1 ) - i  V2 - V22
(3.60)
EĢ. 3.35 ifadesi kullanılarak ,
V22 =
1 2 2
[r p
a2
ia rp
(
a 1 2
) ]
2
EĢ. 3.34 - 3.36 ifadeleri kullanılarak EĢ. 3.60 ifadesi aĢağıdaki gibi yazılabilir,
(3.61)
25
2
(1 a 2 )
4a 2
T2
Qq 0 T 2 Qq 0
(3.62)
)
q0 (q0
(3.63)
denkleminden ,
q02
2
(1 a 2 )]
2
4a
q0  [
0
(3.64)
denklem tekrar düzenlendiğinde q0 için aĢağıdaki ifade bulunur,
q0

1
2
4
2
1
a2
(3.65)
taban durumu dalga fonksiyonu aĢağıdaki Ģekilde bulunabilir,
(T
T3 ) Qq 0
q0 Qq 0
(3.66)
T-= T1 - iT2 ve EĢ. 3.42 - 3.44 denklemleri kullanılarak ;
(V1 iV2
q0 ) Qq 0
0
(3.67)
V1 ve V2 „nin açık ifadesi yazıldığında
[r a
irp
a
a 1
q 0 ] Qq 0
2 a
(3.68)
0
r→α-1r , p→-i  α d/dr ve Qq 0
0
(r ) dönüĢümleri yapıldığında ,
26
r
d
(r ) a r a
[ ( )
dr

böylece
0
0
(r )
(3.69)
0
(1 /  )( r / ) a
burada C
aq0
1
1
2
4a 2
2
C
0
(r ) aĢağıdaki gibi elde edilir.
Ar c e
(r )
aq0
]

a 1
2
0
1
(3.70)
1 / 2(a 1) olur . q0 „ ın değeri EĢ. 3.65 ifadesinden yazıldığında,
1
(3.71)
olur. ġimdi SO(2,1) grubunun operatörü T3 ile Hamiltonyen operatörü arasındaki
bağıntı hesaplanabilir,
(T3-qn)=αrβ (H-E)
(3.72)
EĢ. 3.42 - 3.44 ifadeleri ve hamiltonyenin açık ifadesi yazılırsa,
1 1 2a 2
( r p
2 a2
ra
r
r a ) qn
(
P2
2m
l (l 1) 2
2mr 2
V (r ) E
(3.73)
P2 „ nin katsayıları eĢitlenirse α = ma-2 ve β = 2-a olur. Böylece EĢ. 3.73 ifadesi
aĢağıdaki ifadeye indirgenir,
1
(
2
l (l 1) 2
)
a2
r 2a
2
r a qn
m 2
r V (r )
a2
m 2
r E
a2
0
(3.74)
27
r 2V (r ) „nin r cinsinden kuvvet serisi aĢağıdaki gibi yazılabilir,
r 2V (r )
A Br 2 a
Dr a
(3.75)
EĢ. 3.75 ifadesi EĢ. 3.74 „de yazıldığında,
1
(
2
l (l 1) 2
a2
m
1
A) (
2
2
a
m
B)r 2 a
2
a
(q0
m
D)r a
2
a
m 2
r E
a2
0
(3.76)
bulunur. EĢ. 3.75 ifadesi yeniden düzenlenirse ,
V (r )
A
r2
Br 2 a
2
Dr a
2
(3.77)
olur. Burada A=0 ve a=1 iken Coulomb potansiyeli A=0 ve a=2 iken harmonik
ossilatör potansiyeli , A≠0 ve a=1 için A‟nın iĢaretine göre ya Davidson veya Kratzer
molekül potansiyeli elde edilir.[13]
Bu adımdan sonra elde edilen cebirsel yöntemle hidrojen atomu ve üç boyutlu
harmonik ossilatörün enerji özdeğer ve özfonksiyonları hesaplanabilir;
a) Hidrojen Atomu için cebirsel yapı :
[
p2
2
e2
4
0
r
l (l 1) 2
2 r2
E ] Elml
0
bu denklemdeki Coulomb ve merkezkaç potansiyel grafiği aĢağıdaki gibidir.
(3.78)
28
ġekil 3.2. Hidrojen atomu – Coulomb potansiyel noktalı olan çizgi, merkezkaç
potansiyeli kesikli olan çizgi, toplam potansiyel ise sürekli olan çizgidir.
EĢ 3.78‟de her iki taraf μαr ile çarpılıp R→ α-1r ve P→ αp değiĢken değiĢtirmesi
yapılırsa,
[
RP 2
2
e2
4 0
l (l 1) 2
2R
2
RE ] Elml
(3.79)
0
EĢ. 3.34 – 3.36‟daki ifadeler kullanılarak denklem,
1
[V3
2
e2
2 0
l (l 1) 2V1 1
2
2
V1 E ] Elml
0
(3.80)
olur. Burada a= 1 „dir. EĢ. 3.80 ifadesi , EĢ. 3.44 ifadesi ile karĢılaĢtırıldığında,
l (l 1) 2
(3.81)
29
2
q
2
E
(3.82)
1
e2
4 0
(3.83)
böylece EĢ. 3.80 ifadesi ,
[T3
q] elml
0
(3.84)
denklemine indirgenir. q değerleri T3 „ün özdeğerleridir. EĢ. 3.65 ifadesinden,
q0

(1 (2l 1))
2
(3.85)
q0 „ın pozitif özdeğerli olması gerekeceğinden ,
q0
(l 1)
(3.86)
T2
l (l 1) 2
(3.87)
son üç denklemden hidrojen atomunun spektrumunda merdiven operatörlerinin etkisi
aĢağıda bulunan grafikteki gibi gösterilebilir.
30
ġekil 3.3 Hidrojen atomu enerji spektrumunda alçaltıcı ve yükseltici operatörler bir
durumu bir üst veya bir alt duruma geçirirler.
Ģekilde görüldüğü gibi q özdeğerindeki artıĢların nr  kadar olduğu düĢünüldüğünde,
q
nr 
q0
(l 1) nr 
e2
4 0
(3.88)
buradan α çekildiğinde,
4
e
0
2

[(l 1) nr ]
(3.89)
EĢ. 3.82 ifadesi kullanıldığında,
E
e4
32
2
2
0
1
2
 (l 1 nr ) 2
;
n l 1 nr
(3.90)
31
Ry
E
(3.91)
n2
Ģeklinde enerji özdeğerleri elde edilir.
0
(r )
Ar c e
(1 /  )( r / ) a
denklemi kullanılarak,
e2r
0
0
(r )
Ar e
4
(r )
Ar c e
r / na0
0
c
2
n
(3.92)
(3.93)
burada a0 Bohr yarıçapıdır. C sabiti EĢ. 3.71 ifadesinden ;
C
1
1
2
(3.94)
4l (l 1) 1
olarak bulunur. Pozitif değerler için,
C
(3.95)
l 1
olarak elde edilir.
b) Üç Boyutlu Harmonik Salınıcı için cebirsel yapı :
p2
[
2m
1
m
2
2
r
2
l (l 1) 2
2mr 2
E ] Elml
0
(3.96)
bu denklemdeki harmonik ossilatör ve merkezkaç potansiyelinin grafiği Ģekilde
görüldüğü gibidir,
32
ġekil 3.4. Harmonik ossilatör potansiyeli noktalı olan çizgi, merkezkaç potansiyeli
kesikli olan çizgi, toplam potansiyel ise sürekli olan çizgidir.
EĢ.3.96‟da her iki taraf β2/4 ile çarpılıp R= β- r ve P = βp yazılırsa,
2
[
8m
1
m
8
1 2
[ (
2 4m
2
4
1
m
4
l (l 1) 2
8mR 2
R2
2
4
R2
2
4
l (l 1) 2
)
4mR 2
E
] Elml
2
E
4
0
] Elml
(3.97)
0
(3.98)
EĢ. 3.34 – 3.36 ifadesinden ,
1
[
(V3
2m
1 2
m
4
2
4
V1
l (l 1) 2
)
4V1
2
4
E
] Elml
0
(3.99)
bu denklem EĢ. 3.44 ifadesi ile karĢılaĢtırıldığında
1 2
m
4
2
4
1
(3.100)
33
l (l 1) 2
4
(3.101)
özdeğer deklemi yazılabilir,
2
mE
Elml
4
T3
(3.102)
0
EĢ. 3.65 ifadesinden,
q0
1

2
4
2
a2
1
  l (l 1)
2
1
(  (l
2
q0
1
4
1
))
2

(l 3 / 2)
2
(3.103)
(3.104)
bulunur. Böylece enerji özdeğerleri,
E
(2nr
E
(N
l 3 / 2)
;
N
2nr
l
3 / 2)
(3.105)
(3.106)
olur. EĢ. 3.104 ve EĢ. 3.105‟ den yararlanarak harmonik ossilatörün enerji spektrum
grafiğinde de merdiven operatörlerinin etkisi Ģekildeki gibi gösterilebilir,
34
ġekil 3.5. Harmonik ossilatörün enerji spektrumunda alçaltıcı ve yükseltici
operatörler bir durumu bir üst veya bir alt duruma geçirirler.
dalga fonksiyonu aĢağıdaki gibidir ,
0
(r )
Ar C e
r2 /
2

(3.107)
β „ nın değeri yerine yazıldığında,
0
(r )
Ar C e
m r 2 / 2
(3.108)
olur. EĢ. 3.71 ifadesinden C sabiti,
C
1
[1
2
4l (l 1) 1]
pozitif değerler için,
(3.109)
35
C
(3.110)
l 1
elde edilir.
3.3. Harmonik Salınıcı Ve Ters Kare Potansiyeli Ġçin Cebirsel YaklaĢım :
Keyfi bir N boyutunda schrödinger denklemi ,
2
2m
2
N
( x) [ E V (r )] ( x)
(3.111)
ile verilir. Burada V(r) ;
V (r )
1
m
2
2
2
2mr 2
r2
(3.112)
Ģeklindedir.[14] Dalga fonksiyonu ;

 , N 2... 1
r
r
1
(r n
n 1
Ģeklindedir.
3
( N 1) / 2
( x)
1
sin
r
N
1
r
R(r )Y, N
1
r2
)
2,,,1
( x)
(3.113)
(3.114)
N
sadece açısal değiĢkenleri içerir. Örneğin N=3 için ;
(sin
)
1
sin 2
2
2
(3.115)
N>3 için ΛN „in açık ifadesine gerek yoktur. Çünkü orijine göre küresel simetrik
olan bir fonksiyon orijin merkezli ve r yarıçaplı küre üzerindeki noktalarda sadece r
36
yarıçapına bağlı olup θ ve φ değiĢkenlerine bağlı değildir. Laplasyenin kullanıĢlı bir
ifadesi ;
2
L2
r2
N 1
r
r
2
r2
(r , )
r
( N 1) / 2
Ģeklindedir.[15] Burada Ylm ( ) ; L2 „nin (
Böylece 
d 2 R(r )
dr 2
N
R (r )Ylm ( )
(3.116)
2) özdeğerli özfonksiyonudur.
1 seçildiğinde ;
m
L( L 1)
) R(r )
r2
(2 E r 2
1
2
olur. Burada ; L
0
(3.117)
( 1 N / 2) 2 Ģeklinde sabittir. ρ=r2 seçilerek EĢ.
3.117 ifadesi aĢağıdaki Ģekilde elde edilir.
d 2 R(r )
d 2
1 dR
2 d
(
1
4
L( L 1)
4 2
E
) R(r )
2
0
(3.118)
Asimptotik DavranıĢ : ρ→∞ limiti için ;
d 2 R(r )
d 2
Rnl ( )
1
R( )
4
e
/2
benzer Ģekilde
0
(3.119)
Fnl ( )
(3.120)
ρ→0 limiti için ;
Rnl ( )
bu durumda dalga fonksiyonu ;
(3.121)
37
Rnl ( )
e
/2
Fnl ( ) ;
(3.122)
(L 1) / 2
bu çözüm EĢ. 3.118 ifadesinde kullanılırsa ;
1
2
F ( ) (2
)F ( ) (
E
2
1
)F ( )
4
(3.123)
0
olur. Özfonksiyon konfluent hipergeometrik fonksiyon cinsinden ;
R( )
N
e
/2
E
2
F(
1
,2
4
1
; )
2
(3.124)
Ģeklinde yazılabilir. Enerji özdeğerleri ;
Ln ( x )
(n
n! (
n
E
2
1
4
2n
2
En
1
2
olarak
elde
1)
F ( n,
1)
(3.125)
1; x)
(3.126)
2n
edilir.
L
3
2
Laguerre
(3.127)
polinomlarının
dikliğinden
faydalanılarak
N
normalizasyon katsayısı bulunabilir.
y e y Ln ( y ) Lm ( y )dy
0
buradan N;
(
n 1)
n!
nm
(3.128)
38
Nn
2n!/ (2
Rn ( )
Nn
e
/2
n 1 / 2) ve
(3.129)
L2n
(3.130)
1/ 2
( )
olur. Merdiven operatörlerini kurmak için d / d
türev operatörü dalga fonksiyonuna
etki ettirilir ;
d
Rn ( )
d
(
1
) Rn ( )
2
Nn
e
/2
d 2
Ln
d
1/ 2
( )
(3.131)
Laguerre polinomları için kullanılan iki rekürans bağıntısı aĢağıdaki gibidir;
nLn ( x) (n
x
(3.132)
) Ln 1 ( x )
d
Ln (x)
dx
(n 1) Ln 1 ( x) (n
(3.133)
1 x ) Ln ( x )
EĢ. 3.132 ifadesi EĢ. 3.131‟de kullanılırsa;
1
Nn
d 2
Ln
d
Nn
n
d 2
Ln
d
/2
e
1/ 2
e
1/ 2
( ) {nL2n
/2
Rn ( ) (
[nL2n
n 2
1/ 2
( )
1/ 2
(3.134)
( ) (n 2
1/ 2
1 / 2)}L2n
( ) (n 2
)N n
e
1 / 2) L2n
/2
L2n
denklemi Rn-1cinsinden yazabilmek için ;
1/ 2
1
1/ 2
1
( )]
1/ 2
1
( )]
( )
(3.135)
(3.136)
(3.137)
39
Nn
Nn 1
n
n 1/ 2
2
(3.138)
ile verilir. Böylece EĢ. 3.131 denklemi ;
(
d
d
n
1
) Rn ( )
2
(n 2
1 / 2) N n
Rn 1 ( )
Nn 1
(3.139)
haline gelir. Benzer Ģekilde EĢ. 3.133 bağıntısı kullanılarak EĢ. 3.131 ifadesinin sağ
tarafı ;
Nn
e
Nn
Nn 1
/2
[( n 1) L2n
1/ 2
1
( ) (n 2
1/ 2
) L2n
1/ 2
( )]
n 2
1/ 2
n 1
(3.140)
(3.141)
haline gelir. Böylece EĢ. 3.131 ifadesi ,
(
d
d
n
1/ 2
1
) Rn ( )
2
(n 1) N n
Rn 1 ( )
Nn 1
(3.142)
olur. EĢ. 3.139 ifadesi –ρ , EĢ. 3.142 ifadesi de ρ ile soldan çarpılırsa ;
M
d
d
n
2
ve M
d
d
n
1
2
2
(3.143)
elde edilir. Burada n sayı operatörü olup ;
n Rn ( )
nRn ( ) .
(3.144)
40
Ģeklinde tanımlanır. Merdiven operatörlerinin özdeğerleri ,
M Rn ( )
m Rn 1 ( )
m
(n 2
m
(n 1)
1 Nn
)
2 Nn 1
Nn
Nn 1
,
M Rn ( )
n( n 2
(n 1)( n 2
(3.145)
m Rn 1 ( )
(3.146)
1 / 2)
(3.147)
1 / 2)
olarak bulunur. Taban durum dalga fonksiyonuna artırıcı iĢlemci n defa uygulanırsa;
Rn ( )
R0 ( )
N n M n R0 ( )
2 / (2
(3.148)
1 / 2)
e
/2
(3.149)
bulunan operatörlerin komütasyon bağıntıları Ģu Ģekildedir.;
d
d
[ M , M ]Rn ( ) [
[ M , M ]Rn ( )
n
2
,
d
d
n
Rn ( )
1
2
2
]
(3.150)
(3.151)
M- ve M+ ifadeleri toplanırsa ;
2n 2
[M , M ]
1/ 2 M
2(n
M
bulunur.
) 1/ 2 m
n ', n 1
(3.152)
m
n ',n 1
(3.153)
41
[M , M ]
2m0 ; m0
M0
(n
1 / 4)
(3.154)
1 / 4)
(3.155)
(n
[ M 0 , M ]Rn ( )
M 0 (M Rn ( ))
M0 m n 1
=m (
M (M 0 Rn ( ))
[M 0 , M ]
m M0 n 1
1 / 4 n) n 1
M (n
1 / 4) n
(
(
1 / 4)( n 1)m n 1
1 / 4)m n 1
(3.156)
(3.157)
(3.158)
M
benzer Ģekilde ;
[M 0 , M ]
M
(3.159)
böylece cebir yapısı ;
[M , M ]
2M 0 , [ M 0 , M ]
M , [M 0 , M ]
M
(3.160)
olarak elde edilir. Bu ise
[ K1 , K 2 ]
K
iK 0 [ K 2 , K 0 ] iK 1
[ K 0 , K1 ] iK 2
i( K1 iK 2 )
[K 0 , K ]
K
,
(3.161)
(3.162)
[K , K ]
2K 0
(3.163)
grup jeneratörlerine sahip olan SU(1,1) cebrini sağlar.[16] Beklenen değerler
aĢağıdaki gibi bulunur,
42
2n 2
d
d
1/ 2 M
1
(M
2
M
Rn' (r )r 2 Rn (r )dr
M
(3.164)
1 / 2)
( 2n
2
(3.165)
1 / 2)
n ', n
0
n( n 2
1 / 2)
(n 1)( n 2
Rn' (r )
0
r d
Rn (r )dr
2 dr
n ', n 1
1 / 2)
( 2n
(3.166)
n ', n 1
2
1 / 2)
n ', n
1 / 2 (n 1)( n 2
1 / 2 n( n 2
1/ 4
1 / 2)
1 / 2)
n ', n
n ', n 1
n ', n 1
(3.167)
3.4. Morse Potansiyeli Ġçin Cebirsel YaklaĢım :
Çift atomlu moleküllerdeki atomların denge konumları etrafındaki titreĢimleri Morse
potansiyel enerjisi ile verilir. Gerçek bir molekül tam bir harmonik ossilatör gibi
davranmaz. Çünkü iki atomlu bir molekülün daha yüksek titreĢim halleri bilinen
harmonik ossilatör potansiyel fonksiyonuna tam olarak uymaz. ġekil3.6‟dan
görüleceği gibi enerji düzeyleri arttıkça, molekülün potansiyel enerjisine ait
parabolik yaklaĢıklık daha az doğru olur; yani molekülün potansiyel enerjisi bu
yaklaĢıklıktan uzaklaĢır; Bu sebepten gerçek moleküllere anharmonik (harmonik
olmayan) ossilatör denir. Böylece Morse potansiyel fonksiyonu harmonik ossilatör
potansiyel fonksiyonundan daha iyi bir yaklaĢıklık olmaktadır.
43
ġekil 3.6. Harmonik ossilatör ve Morse potansiyel eğrilerinin artan enerji düzeyinde
karĢılaĢtırılması
Morse potansiyeli Ģu Ģekildedir,
VM(x) = De(1-e-β(x-x0))2
(3.168)
burada x0 denge uzaklığı, x bağ uzunluğu, De ise molekülün ayrıĢma enerjisini ölçen
bir niceliktir.(veya potansiyelin minimum derinliği). β ise potansiyel kuyusunun
geniĢliğini belirleyen moleküle ait bir sabit olup
k / 2V0 ile verilir.
Quantum harmonik ossilatöre benzer Ģekilde, hamiltonyen için faktörizasyon metodu
uygulanıp merdiven operatörleri kurularak, Morse potansiyeli için de
enerji öz
fonksiyonları ve özdeğerleri hesaplanabilir. Ve komütasyon bağıntılarından hangi
cebir yapısını sağladığı bulunabilir.
44
Birbirinden ayrık olan (serbest) atomların enerji düzeyleri, enerjinin sıfır olduğu limit
olarak kabul edilirse Morse potansiyeli aĢağıdaki Ģekilde yazılabilir, [17]
V ( x)
V0 ( e
2 x
2e
x
(3.169)
)
Morse potansiyeli için Schrödinger dalga dekleminin çözümü Ģu Ģekildedir,
d2
dx 2
2
( E V0 e
2
2 x
2V0 e
x
)
0
(3.170)
aĢağıdaki biçimde verilen,
y
2 2 V0

x
e
(3.171)
değiĢkeni kullanıldığında Schrödinger denklemi,
( y)
1
y
(
1
4
n
s 1/ 2
y
s2
)
y2
0
(3.172)
biçimine indirgenebilir. Burada,
s
n
2 E

2 V0

(3.173)
( s 1 / 2)
(3.174)
dönüĢümleri yapılmıĢtır. Sınır koĢulları göz önüne alındığında (y→∞ ve y→0), EĢ.
3.172 ifadesi için yalnız e
y/2
ve y s çözümleri uygundur.[18]
45
y/2
e
y s w( y )
(3.175)
yazılabilir. Bu fonksiyon EĢ. 3.172 ifadesinde yerine konursa
yw
(2s 1 y ) w
nw
(3.176)
0
Ģeklinde elde edilen denklem asosye Laguerre diferansiyel denklemidir. Ve w( y )
fonksiyonu,
w( y )
n! (2s 1) 2 s
Ln
(2s n 1)
F ( n,2s 1, y )
(3.177)
Ģeklinde yazılabilir. Böylece dalga denkleminin çözümü,
n
( y)
Nn e
y/2
y s L2ns ( y ) ,
(3.178)
Ģeklinde olur. L2ns ( y ) birleĢik Laguerre fonksiyonudur. Burada y
ifade , konum koordinatıdır ve
e
EĢ. 3.178‟deki dalga fonksiyonu
x
ile verilen
normalize
edildiğinde N n normalizasyon sabiti,
Nn
(
2n 1) ( n 1)
(
n)
(3.179)
olarak bulunur. 2s=υ-2n-1 sınır Ģartı kullanılarak υ ve s değiĢkenleri sırasıyla
8 V0
2 2

,
s
2 E
2 2

(3.180)
Ģeklinde verilir. Burada μ , molekülün indirgenmiĢ kütlesidir. Diferansiyel
operatörler, aĢağıdaki yöntem kullanılarak kurulabilir.
46
( y)
o
A ( y)
d
dy
n
( y)
(3.181)
B ( y)
(3.182)
n 1
buna göre d/dy diferansiyel operatörü dalga fonksiyonuna etki ettirilirse;
d
dy
n
1
2
( y)
n
( y)
1
s
y
n
( y)
Nn e
y/2
ys
d 2s
Ln ( y )
dy
(3.183)
olur. BirleĢik Laguerre fonksiyonu için aĢağıdaki tekrarlama bağıntısı kullanılabilir,
d
Ln ( y )
dy
1
(
1)
[ yLn 12 ( y ) nLn ( y )]
(3.184)
bu denklem EĢ. 3.183 ifadesinde yerine yazılırsa ,
[
d
1
(2s 1) ( s
dy
y
1
)( 2s 1) n]
2
denklemi elde edilir.
n
Nn
Nn 1
( y)
Denklemde
Nn / Nn
1
n 1
( y)
(3.185)
değeri gama fonksiyonundan
yararlanılarak , 2s=ν-2n-1 sınır Ģartı altında yazıldığında aĢağıdaki eksiltici operatör
tanımlanabilir,
Nn
Nn 1
K
s
s 1
n(
d
(2 s 1)
dy
n)
1
s (2 s 1)
y
(3.186)
2
s 1
s
(3.187)
47
eksiltici operatörün dalga fonksiyonuna etkisi,
K
n
( y)
k
n 1
(3.188)
( y)
Ģeklindedir. Burada k - ;
k
n(
(3.189)
n)
olarak bulunur. Artırıcı operatör de benzer Ģekilde bulunabilir. Laguerre polinomları
için verilen iki rekürans bağıntısı aĢağıdaki gibidir,
nLn ( y ) (n
y
(3.190)
) Ln 1 ( y )
d
Ln ( y )
dy
(n 1) Ln 1 ( y ) (n
1 y ) Ln ( y )
(3.191)
EĢ. 3.190 ve EĢ. 3.191 ifadeleri birbirine eĢitlenirse,
(n 1) Ln 1 ( y ) (2n
1 y ) Ln ( y ) ( n
) Ln 1 ( y )
0
(3.192)
denklemi elde edilir. EĢ. 3.192 ifadesi tekrar EĢ. 3.190 ifadesinde kullanılarak;
y
d
Ln ( y )
dy
( n
1 y ) Ln ( y ) (n 1) Ln 1 ( y )
Laguerre polinomları için verilen Ln 1 ( y )
Ln ( y )
(3.193)
Ln 1 ( y ) eĢitliği kullanılarak
EĢ. 3.192 bağıntısı Ģu hale gelir,
1
n
Ln 1 ( y )
(
y 1
) Ln ( y )
n
Ln 12 ( y )
(3.194)
48
bu ifade EĢ. 3.193 bağıntısında kullanılarak ,
(
1)
d
dy
n
d
Ln ( y ) [(
dy
( y)
(
s
y
(
n)
1
2
1)
y
2s n
)
2s 1
n
( y)
]Ln ( y )
(n 1)( n
y
)
N n (n 1)( n 2s)
2s 1
Nn 1
Ln 12 ( y )
n 1
( y)
(3.195)
(3.196)
K operatörüne benzer Ģekilde,
d
(2 s 1)
dy
K
1
s (2 s 1)
y
2
s 1
s
(3.197)
artırıcı operatörün dalga fonksiyonuna etkisi,
K
n
( y)
k
n 1
(3.198)
( y)
Ģeklindedir. Burada k+ ,
k
(n 1)(
(3.199)
n 1)
olarak bulunur.
Ģimdi
K ve K operatörlerinin komütasyonuna bakılabilir,
[K ,K ] =K K
=K
= n(
n(
n - K K
n) n 1 - K
n) n(
n
(n 1)(
n) n - (n 1)(
n 1) n 1
n 1) (n 1)(
n 1) n
49
2n
(3.200)
1
buna göre aranılan komütasyon bağıntısı,
[K , K ]
n
( y)
2k 0
n
(3.201)
( y)
Ģeklindedir. Burada k0 ,
k0
1
n
(3.202)
2
olarak verilir. Bu ifadeden aĢağıdaki operatör tanımlanabilir,
K0
1
n
(3.203)
2
[ K 0 , K ] ve [ K 0 , K ] komütasyonları da benzer Ģekilde bulunabilir. Sonuç olarak
K , K ve K 0 operatörleri için aĢağıdaki komütasyon bağıntıları elde edilir.
[K , K ] 2 K 0 , [K 0 , K ]
K
,
[K 0 , K ]
2K
(3.204)
Komütasyon bağıntıları SU(2) grubunu sağlar.[19]
K , K ifadeleri kullanılarak 1/y ve d/dy ifadeleri bulunabilir. EĢ. 3.187 – EĢ. 3.197
ifadelerinden, K
ve
K
ifadeleri toplanarak d/dy
, çıkartılarak
1/y ifadesi
hesaplanır.
d
dy
K [
1
s
]
2(2s 1) s 1
K [
1
s
]
2(2s 1) s 1
2(2s 1)( 2s 1)
(3.205)
50
1
y
K [
1
s
]
2s(2s 1) s 1
K [
1
s
]
2s(2s 1) s 1
(2 s 1)( 2 s 1)
(3.206)
olarak bulunur. Bu iki fonksiyon için beklenen değerler hesaplanabilir,
m
1
n
y
1
(n 1)(
n 1)
2n 2 (
2n 1)(
2n 3)
=
1
2n (
+
+
(
n(
n)
2n 1)(
2n 1)
2n 2)(
2n)
m,n 1
m ,n 1
(3.207)
m,n'
benzer Ģekilde d/dy için aĢağıdaki ifade bulunur,
m
d
n
dy
=
+
(n 1)(
1
2n 2)
2(
n(
1
2(
2n)
2(
2n)(
n 1)( 2n 1)
2n 3
n)( 2n 1)
2n 1
2n 2)
m,n 1
m,n 1
m,n'
(3.208)
3.4.1. Morse potansiyeli için harmonik limit
β→0 ve V0→∞ limitinde Morse potansiyel problemi standart harmonik ossilatör
problemine dönüĢtürülebilir. (
k / 2V0 )
51
VMORSE ( x)
V0 ( e
2 x
x
2e
(3.209)
)
denklemi V0→∞ limitinde
ex
1 x
x2
2!
x3
3!
...
xn 1
...
(n 1)!
(3.210)
açılımı kullanılarak ,
1 2
kx
2
lim VMORSE
V0
(3.211)
β→0 limitinde y
y
(1
x)
,
e
1
y
x
1
denklemi,
(1
(3.212)
x)
denklemine dönüĢür. Böylece d/dy ifadesi,
d
dy
1 1 d
y dx
(3.213)
denklemine indirgenir.
lim
d
dy
lim [
1 1
(1
x)
bu limit durumunda GSU ( 2)
d
]
dx
1 1 d
dx
{K , K , K 0 } cebrinin de
(3.214)
harmonik salınıcı cebrine
dönüĢmesi beklenir. Bu yüzden SU(2) grubunun jeneratörleri olan K , K , K 0
iĢlemcilerinin ν→∞ limitindeki değerleri yazılabilir..
52
b
K
b
K
K0
b0
(3.215)
Ģeklinde tekrar normalize edilebilir.

Burada H
lim b
x
2
=
lim b
lim b0
2
2
x
x
 2
2
K 02 ve
1
olduğundan,
d
dx

d
dx
a
(3.216)

d
dx
a
(3.217)
2
2
1
2
(3.218)
a ve a+ operatörleri beklendiği gibi aĢağıdaki bağıntıları sağlarlar.
[a,a+] = 1 , [a+,a+] = [a,a] = 0
böylece harmonik limitde SU(2) cebri Weyl cebrine büzülür.
lim GSU ( 2)
{a , a,1}
Ģeklinde ifade edilebilir.
(3.219)
53
3.5. Ġki Boyutlu Pseudoharmonik Potansiyel Ġçin Cebirsel YaklaĢım :
Pseudoharmonik potansiyel harmonik potansiyele benzemekle beraber anharmonik
tipte bir potansiyeldir. Ve molekül sistemlerinin daha doğru bir matematiksel
yaklaĢımını vermektedir. Bu potansiyel lineer, nonlineer sistemleri ve molekül
titreĢimlerini tanımlamak kullanılabilir. Ayrıca iki atomlu moleküllerin de
karakteristik yapısı bu potansiyel tanımıyla analiz edilebilir.
Ġki boyutta pseudoharmonik potansiyel için yazılan schrödinger denklemi sadece
orijinden olan r uzaklığına bağlıdır.
H (r , )
2 1
(
r
2
r r r
1
r2
2
2
) (r , ) V (r ) (r , )
E (r , )
(3.220)
burada μ indirgenmiĢ kütle, E enerji, k kuvvet sabiti, r0 bağ denge uzunluğudur.
burada V(r), pseudoharmonik potansiyel olarak,
V (r )
1 2 r
kr0 (
8
r0
r0 2
)
r
(3.221)
ile verilir.[20] Bu potansiyel için schrödinger denklemi çözülerek dalga fonksiyonu,
(r , )
Ne
r 2 im
r R( r )
(3.222)
olarak elde edilir. Burada m=1,2… açısal momentum kuantum sayısı, N
normalizasyon katsayısı olarak verilir. Bulunan dalga fonksiyonu (3.220)
denkleminde yerine konulursa radyal denklem,
54
d 2 R(r )
dr 2
r 1 [2
kr0
+
2 2
1 4 r2]
dR(r ) 2 E
[ 2
dr

r 2 (4
2
1) r 2 (
4 (
Ģeklinde elde edilir. Burada α
2
k
)
4 2
2
kr04
)] R (r )
4 2
m2
(3.223)
0
ve β parametreleri r 2
ve
r
2
„li terimleri
kaldırabilmek için aĢağıdaki gibi seçilebilir.
k
4
(m
2
kr04 1 / 2
)
4 2
(3.224)
2 r 2 Ģeklinde yeni bir değiĢken değiĢtirmesi yapıldığında EĢ. 3.223 ifadesi
aĢağıdaki Ģekilde yazılır.
d 2 R( )
[
d 2
dR( ) 1
]
[
d

1
k
E
r02
k
4
1
(
2
1)]R( )
0
(3.225)
bu denklem asosiye Laguerre diferansiyel denklemidir. Bu denklemin çözümünden
elde edilen dalga fonksiyonu aĢağıdaki gibidir.
n,m
(r , )
N n,m e
/ 2 im
/2
k 2
r
2
,
Ln ( )
(3.226)
bu dalga fonksiyonu Laguerre fonksiyonlarının diklik bağıntısından faydalanarak
normalize edildiğinde normalizasyon katsayısı,
N n,m
n! k
2 (n
)!
,
(m 2
kr04 1 / 2
)
4 2
Ģeklinde bulunur. Enerji özdeğerleri aĢağıdaki gibidir,
(3.227)
55
E n ,m

k
r02
1
[n
k
4
2
]
(3.228)
burada r0 çok büyük veya çok küçük olduğunda,
E n,m
E n,m


k
k
m 2
[n
1
2
[n
m 1
2
2r0
2
k
r02
r02 >>
;
]
kr04
]
16m 2
k
4
2
(3.229)
k
r02 <<
;
2
(3.230)
k
Asosiye laguerre fonksiyonları için aĢağıdaki rekürans bağıntıları yazılabilir
(n 1) Ln 1 ( ) (n
) Ln 1 ( ) (
nLn ( ) (n
2n
1) Ln ( )
(3.231)
0
(3.232)
) Ln 1 ( )
d
Ln ( )
d
{n 1) Ln 1 ( ) (n
n ,m
1
) Ln ( )
(r , )
N n ,m e
(3.233)
( r , ) dalga fonksiyonunun türevi
n,m
(r , )
1
2
n,m
(r , )
2
n,m
/ 2 im
/2
d
Ln ( )
d
Ģeklindedir. EĢ.3.231 „den aĢağıdaki tekrarlama bağıntısı elde edilir.
(n 1)( n
1)
( n 1), m
(r , )
n( n
)
( n 1), m
(r , )
(3.234)
56
= ( 2n
1
1
2
[
2n
2
1
2
[
)
]
n ,m
2n 2
]
2
n ,m
(r , )
n ,m
(3.235)
(r , )
n( n
)
( n 1), m
(n 1)( n
(r , )
(3.236)
(r , )
1)
( n 1), m
(r , )
(3.237)
bu adımdan sonra çarpanlarına ayırma metodu ile merdiven operatörleri kurulabilir
ve grup yapısı elde edilebilir. Ġlk olarak aĢağıdaki gibi üç operatör tanımlayalım,
±
n
n ,m
n,m

(r , )
(r , )
n
( n 1), m
n,m
(r , )
(3.238)
(r , )
(3.239)
burada n sayı operatörü olarak tanımlanır. Yaratıcı ve yok edici operatörler
aĢağıdaki gibidir,
+=
2
2
1
2
-=
2
n 1
(3.240)
n
(3.241)
EĢ. 3.236 ve EĢ. 3.237‟den
-
+
n ,m
(r , )

(r , )

n ,m
( n 1), m
(r , )
( n 1), m
(r , )
,
,

n(n

(n 1)(n
)
(3.242)
1)
(3.243)
57
elde edilir. Komütasyon bağıntısı
[
-,
+]
n ,m
(r , )
( 2n
Ģeklindedir. Burada
0
(
=n
0
1)
n ,m
(r , )
2
(3.244)
0
,
1)
(3.245)
2
Ģeklinde tanımlanır.
0
n,m
0
(r , )
0
(r , )
n,m
n
(
1)
(3.246)
2
elde edilen komütasyon bağıntıları Ģu Ģekildedir.
[
-,
±
+]=2
ve
[
0 ,
±]=±
0,
(3.247)
±
operatörlerinin komütasyon bağıntıları SU(1,1) grubunu sağlar. Matris
0
elemanları aĢağıdaki Ģekilde hesaplanabilir.
ξ= 2
2
n
0
-
+
+-
-
-
--
n 2
n
n
1
0
= ( 2n
n2
(3.248)
-
(3.249)
+-
1)
n
+
n,n '
-
n
-
-
--
(n' 1)( n'
1 n
1)
n ( n ' 1)
n' ( n'
)
n ( n ' 1)
(3.250)
58
(n' 1)( n'
1)
n' ( n'
n ( n ' 1)
)
n ( n ' 1)
nn '
(3.251)
3.6. N Boyutlu Pseudoharmonik Potansiyel Ġçin Cebirsel YaklaĢım :
Bölüm (3.4)‟ de incelenen Pseudoharmonik Potansiyel
problemi N boyuta
genelleĢtirilebilir.[21]
r0 2
)
r
1 2 r
kr0 (
8
r0
V (r )
(3.252)
Ģeklinde verilen pseudoharmonik potansiyel ile keyfi bir N boyutunda schrödinger
denklemi,
[
2
2m
1 2 r
kr0 (
8
r0
2
N
r0 2
) )] (r ,
r
N
)
E (r ,
N
)
(3.253)
Ģeklinde yazılır. N boyutta laplasyen aĢağıadaki gibidir,
N
r
N 1
Burada
2
N
2
1
2
(
N
N
r
(r N
1
r
)
N
(
r2
N
)
(3.254)
,
)Ym (
N
)
( N 2)Ym (
N
)
(3.255)
Ģeklindedir.
nr , , m
(r ,
N
)
Rnr , (r )Ym (
N
)
(3.256)
59
EĢ. 3.256 ifadesi EĢ. 3.253 ifadesinde yazıldığında
Rnr ,  ( r ) (
2
[E
2
2
N
(
N
N 1
) R nr ,  ( r )  ( 
r
1 2 r
kr0 (
8
r0
)Ym (
N
N
2)
r0 2
) ] Rn r ,  ( r )
r
0
)  (
N
2)Ym (
Rnr ,  ( r )
r2
(3.257)
N
)
(3.258)
0
olur. Burada E enerji özdeğeri ve  açısal momentum kuantum sayısıdır. AĢağıda,
K2
2 E
2
(3.259)
ġeklinde bir terim tanımlanırsa EĢ. 3.257 ifadesi,
N 1
R (r ) (
) R (r ) [ K 2
r
kr02
2 2
kr 2
4
2
l
(
N
l
r
2
2)
]R ( r )
0
(3.260)
formunda olur. Burada
l
1 ( N 2)
[
2
2
(2 N
2) 2
k

2
r04 ]
(3.261)
ile verilir. Radyal dalga fonksiyonunun r→0 ve r→∞ limitindeki kabul edilebilir
çözümleri,
R( r )
Cr l e
r2
f (r )
Ģeklindedir. Bu çözüm EĢ. 3.260 ifadesinde yerine konulduğunda,
(3.262)
60
f (r ) [
N 1)
l
kr 2
2 (2
2
4
k
4 2
2
4 r ] f (r )
r
kr02
2 2
+[
4
(2
N) 4 2r 2
l
1
4
K 2 ] f (r )
0
(3.263)
(3.264)
k
Ģeklinde λ değeri de denklemde yazılırsa,
f (r ) [
1
- [( 2
2
(2
N 1)
l
k
2
r
k
N)
l

2
kr02
2 2
r ] f (r )
K 2 ] f (r )
0
(3.265)
olur. AĢağıdaki değiĢken değiĢtirmesi yapılırsa EĢ. 3.265 ifadesi
2 r2
f ( ) [
-[
(2
(3.266)
2
N
l
2
N)
l
4
]f ( )
1 2 2
K ]f ( )
2
k
k 2
r0
16 2
0
(3.267)
formunda olur. Bu denklemin çözümü konfluent hipergeometrik fonksiyonlar
cinsinden ,
f( )
1
F
(2
4
l
2
0
N) r
k
2
2K
2
2 2 l N
,
;
k
2
(3.268)
61
Ģeklinde yazılabilir. Hipergeometrik fonksiyonun içindeki virgülden önceki ilk terim
aĢağıdaki gibi,
1
2
[2 K 2
4
k
nr
r02
k
2
2
N ] ; nr = 0,1,2…
l
(3.269)
Ģeklinde adlandırılırsa bu denklem bize aĢağıdaki enerji özdeğerlerini verir.
E n,r
(nr
2
N
l
4
)
2k
kr0
4
2
1
(n
2
N 2k
)
2
kr02
4
(3.270)
Böylece radyal Schrödinger denkleminin normalize edilmeyen özfonksiyonu,
Rn,l (r , )
C n,l r l exp(
2
N
k 2
k
r ) F ( nr , l
;
)
2
2
16
4 2
(3.271)
Ģeklindedir.
2
Rn ,l (t ) r N 1 dr
denklemi
(3.272)
1
kullanılarak
dalga
fonksiyonu
normalize
edilebilir.
Konfluent
hipergeometrik fonksiyonun Laguerre polinomu cinsinden açılımı,
F(-γ,m+1;Z) =
!m! m
L (Z )
(
m)!
Ģeklindedir. Laguerre polinomları için diklik bağıntısı ise aĢağıdaki gibidir,
(3.273)
62
(
y e y Ln ( y ) Lm ( y )dy
0
n 1)
n!
(3.274)
nm
buna göre normalizasyon sabiti,
1/ 2
1
C n ,l
k (2 l N )
2( 2 ) 4
nr !
4
=
N
(nr
)
l
2
(
nr
l
N
2
2
N
n r !(
l
2
2
)!
(3.275)
)
olarak bulunur. Böylece EĢ. 3.271 ifadesi ,
1/ 2
1
R(r )
k (2
2( 2 ) 4
4
(nr
l
N)
nr !
N
)
2
l
r l exp
l
k 2
r Ln
2
16
N 2
2
k 2
r
4 2
(3.276)
ve bu dalga fonksiyonuna karĢı gelen enerji özdeğeri,
E n,r
2
(nr
N
l
4
)
2k
kr0
4
2
1
(n
2
N 2k
)
2
kr02
4
(3.277)
olarak bulunur. Sonuç olarak N boyutta bu potansiyelin toplam enerji
özfonksiyonları,
nr , , m
(r ,
N
)
Cn,l Rnr , (r )Ym (
N
)
Ģeklinde özetle verilebilir. Daha önce bahsedildiği gibi
harmoniklerdir.
(3.278)
Ym (
N
)
küresel
63
Dalga fonksiyonu elde edildiğinden merdiven operatörleri kurulabilir. Artırıcı
eksiltici operatörlerin dalga fonksiyonuna etkisi aĢağıdaki gibidir,
±
n ,m

(r , )
( n 1), m
(3.279)
(r , )
bu operatörler genel olarak aĢağıdaki diferansiyel operatör formundadırlar.
±
= A (r )
d
dr
(3.280)
B (r )
EĢ. 3.276‟ daki dalga fonksiyonu λ cinsinden tekrar yazılabilir,
Rn,l (r )
l
n
N r exp(
l
2
r ) Ln
l
N 2
2
(2 r 2 )
(3.281)
Benzer Ģekilde normalizasyon sabiti de λ cinsinden yazılabilir,
1/ 2
Nn
2(2 ) ( 2
(nr
l
l
N)/2
nr !
(3.282)
N
)!
2
EĢ. 3.280 ifadesine göre dalga fonksiyonunun her iki tarafının r ' ye göre türevi
alındığında ,
d
R n ,l ( r )
dr
l
r
Rn ,l (r ) 2 rR n ,l (r )
N n r exp(
l
d l
r ) Ln
dr
2
N 2
2
(2 r 2 )
(3.283)
olur. Bu denklemin son kısmı için Laguerre polinomlarının aĢağıdaki
x
d
Ln ( x )
dx
nLn ( x) (n
) Ln 1 ( x )
(3.284)
64
rekürans bağıntısı kullanılabilir. (x = 2λr2)
r d
Ln ( 2 r 2 )
2 dr
nLn (2 r 2 ) (n
) Ln 1 ( 2 r 2 )
(3.285)
bu denklem EĢ. 3.283 ifadesinde kullanıldığında,
d
Rn,l (r )
dr
2
(nr
r
l
Rn,l (r ) 2 rRn,l (r )
r
2 Nn
)
Rn
2
Nn 1
N
l
elde edilir. N n / N n
1
d
[ r
2
dr
böylece
-=
2 r2
-
1
2n r
1,l
2n r
Rn,l (r )
r
(3.286)
(r )
değeri denklemde yerine yazıldığında,
l
]Rn,l (r )
nr (nr
N
l
2
2
) Rn
1,l
(r )
(3.287)
iĢlemcisi
1
d
[ r
2
dr
2 r2
2 nr
l
]
(3.288)
olarak bulunur.
-
-

R n ,l ( r )
 Rn
1,l
(r )
(3.289)
N 1
)
2
(3.290)
özdeğerleri de,
nr (nr
l
65
olarak bulunur. Benzer Ģekilde
d
R n ,l ( r )
dr
l
r
+
bulunabilir.
Rn ,l (r ) 2 rR n ,l (r )
d l
r ) Ln
dr
2
N n r exp(
l
N 2
2
(2 r 2 )
(3.291)
dalga fonksiyonunun türevinin son kısmı için bu defa,
x
d
Ln ( x )
dx
( n 1) Ln 1 ( x) ( n
(3.292)
1 x ) Ln 1 ( x )
rekürans bağıntısı kullanıldığında,
+=
1 d
[r
2 dr
2 r2
2n r
(3.293)
N]
l
bulunur.
R n ,l ( r )
+
+
 Rn
1,l
(3.294)
(r )
özdeğerleri de,

(nr
1)( nr
l
N
)
2
Ģeklinde bulunur. Buna göre
[ -,
+]
R nr ,  ( r ) =
=
-{
(nr
- nr (nr
(3.295)
-
ve
+
‘nın komütasyonu,
+ Rnr , ( r ) }-
+{
1)( nr
N
){
2
l
l
N 1
){
2
- Rnr , ( r )
+
-
Rn
Rn
1,l
1,l
}
(r ) }
(r ) }
66
= (2 nr
N
) = 2  0 R nr ,  ( r )
2
l
(3.296)
olur. Burada,
0
nr
2
N
l
4
olarak tanımlanır.
[
0,
ve
0,
(3.297)
4
komütasyonuna bakıldığında,
-
0{
- Rnr , ( r )
}-
-{
0 Rnr , ( r )
}
nr (nr
l
N 1
){
2
nr (nr
l
N 1
2 l N
) {( nr -1 +
)
4
2
nr (nr
0
N 1
) Rn
2
l
0,
bulunur. Benzer Ģekilde
0,
N
l
-] R n r ,  ( r )
=
[
2
nr
0
+
Rn
1,l
1,l
2
( r ) } – ( nr
 Rn
(r ) =
N
l
){
4
( nr
1,l
2
N
l
4
(r ) =
- Rnr , ( r )
)} Rn
- R nr ,  ( r )
1r , 
0{
+ Rnr , ( r )
(r )
(3.298)
komütasyonu
+] R n r ,  ( r )
=
}
(3.299)
}-
+{
0 Rnr , ( r )
}
= (nr
1)( nr
l
N
){
2
0
Rn
= (nr
1)( nr
l
N
) Rn
2
1,l
( r ) =  Rn
1,l
( r ) } – ( nr
1,l
2
(r ) =
N
l
4
){
+ R nr ,  ( r )
bu komütasyon bağıntıları SU(1,1)~SO(2,1) grubunu sağlar.[22]
+ Rnr , ( r )
}
(3.300)
67
AĢağıdaki ifadeler
r 2 R nr ,  ( r )
r
1
[2
2
d
R n , ( r ) (
dr r
± ve
0
(
0
++
-) R n r ,  ( r )
(3.301)
N
R nr ,  ( r )
2
-)
+
operatörleri kullanılarak hesaplanabilir,
(3.302)
r 2 matris elemanı için,
R mr ,  ( r ) r 2 R nr ,  ( r )
1
[ Rm ,  ( r ) 2
2
R mr ,  ( r )
1
[
2
0
0
+
N
l
2
1r ,
(r ) dr
N
l
2
)
Rnr , ( r )
-
Rmr , (r ) Rnr , (r ) dr
2
 R mr ,  ( r ) R n
1
( 2n r
2
R mr ,  ( r )
Rnr , ( r )
2
2n r
R nr ,  ( r ) ]
0
m,n
0

 R mr ,  ( r ) R n
m,n 1

1r ,
(r ) dr ]
(3.303)
m,n 1
Ģeklinde bulunur. Benzer Ģekilde,
Rnr , (r ) r
d
Rn , (r )
dr r
= Rm ,  ( r )
Rm ,  ( r )
=
0
0
+
-
R nr ,  ( r )
R nr ,  ( r )
 Rmr , (r ) Rn
1r ,
(r ) dr
N
Rmr , (r ) Rnr , (r ) dr
2
Rm ,  ( r )
0
N
2
R nr ,  ( r )
 Rmr , (r ) Rn
1r ,
(r ) dr ]
68

m,n 1

m ,n 1
N
2
m,n
(3.304)
bulunur.
3.7. Pöschl-Teller Potansiyeli Ġçin Cebirsel YaklaĢım
Anharmonik tipte bir potansiyeldir. Ve molekül sistemlerinin titreĢim enerjilerini
tanımlar. Moleküldeki her bir bağ bu anharmonik tipteki potansiyeli içeren salınıcı
gibi düĢünülebilir. Ayrıca bağların bükülme titreĢimlerini tanımlamak için uygundur.
Potansiyel ifadesi Ģu Ģekildedir,
V ( x)
D
cosh 2 ( x )
(3.305)
Burada D kuyu derinliği α , potansiyelin büyüklüğüyle ilgili bir sabit ve x denge
noktasından olan bağıl uzaklıktır. Bu potansiyelin grafiği aĢağıdaki gibidir.
ġekil 3.7  2 / m için Pöschl-Teller Potansiyeli
Bu potansiyel ile birlikte schrödinger denklemi,
69
d2
q
n
2
( x)
2
(E
2
dx
D
)
cosh 2 ( x)
q
n
( x)
(3.306)
0
Ģeklindedir Burada μ molekülün indirgenmiĢ kütlesidir. Ve q potansiyelin derinliği
ile ilgilidir. Denklemin çözümünden elde edilen dalga fonksiyonu aĢağıdaki
gibidir,[23]
q
n
q
n
(u )
2
N (1 u )
/2
q
Cn
2
, q (q 1)
2
2
2k
1
n
2
2
(u ) , E n
2 D
, q
2 2

2
2
(q n) 2 , n=0,1,2…
1
( 1 2k ) , k
2
1
4
(3.307)
2 D
,
2 2

(3.308)
2q 1
burada,
1
)( 2q 2n)!
2
1/ 2
(q n 1)!(2q n)!
n!(q n
u
tanh( x) ,
q
n
0, N nq
(3.309)
ile verilir. ġimdi PT potansiyeline ait merdiven operatörlerini kurmak için
faktörizasyon metodu uygulanabilir,
P
q
n
(u )
p
q
n 1
(u )
(3.310)
bu operatör genel olarak aĢağıdaki diferansiyel formda yazılır,
P
A (u )
d
du
B (u )
(3.311)
Pöschl-Teller dalga fonksiyonuna d/du diferansiyel operatörü etki ettirilerek artırıcıeksiltici iĢlemciler kurulabilir .
70
d
q
n
(u)
du
u(q n)
1 u2
q
n
q
n
2
(u) N (1 u )
/2
q
d
Cn
du
1
n
2
(3.312)
(u)
denklemin sol tarafındaki türevden kurtulmak için,
dC n (t )
dt
2 C n 11 (t )
(3.313)
eĢitliği kullanıldığında [24] , EĢ. 3.312,
d
q
n
(u )
du
u ( q n)
1 u2
q
n
(u )
2q 2n 1 N nq
q
1 u2 Nn 1
q
n 1
(3.314)
(u )
olur. Normalizasyon sabitinin değeri denklemde yerine yazılırsa
1 u2
d
du
u ( q n)
1 u2
q n 1
q n
q
n
(u )
n(2q n 1)
q
n 1
(u )
(3.315)
denklemi elde edilir. Buradan P eksiltici operatör tanımlanabilir,
1 u2
P
q
P
d
du
u ( q n)
1 u2
q n 1
q n
(3.316)
n değeri yerine yazılırsa,
1 u2
d
du
u
1 u2
1
olur. Eksiltici operatörün dalga fonksiyonuna etkisi aĢağıdaki gibidir,
(3.317)
71
P
n
(u )
2
p
2n 1
n 1
(3.318)
(u )
2n değeri yerine yazılırsa EĢ. 3.315 ifadesinden eksiltici
2q
operatörün özdeğeri aĢağıdaki gibi bulunur.
p
n(
n)
(3.319)
denklemden de anlaĢıldığı gibi eksiltici operatör
0
(u ) taban durumunu yok
etmektedir.
Eksiltici operatöre benzer Ģekilde, P artırıcı operatör aĢağıdaki tekrarlama bağıntısı
kullanılarak bulunabilir,[25]
2(
1)( 2
1) xCn ( x)
4 (
1)(1 x 2 )C n 11 ( x) (2
n 1)( n 1)C n 11 ( x)
(3.320)
q
n 1
(3.321)
EĢ. 3.313 ifadesi bu denklemde yerine yazılırsa,
d
q
n
(u )
du
u ( q n)
1 u2
q
n
N nq
q
1 u 2 (2q 2n 1) N n 1
(n 1)( 2q n)
(u )
(u )
normalizasyon sabitinin değeri yerine yazıldığında denklem,
1 u2
d
du
u ( q n)
1 u2
q n 1
( q n)
q
n
(u )
(n 1)( 2q n)
q
n 1
(u )
(3.322)
haline gelir. Buradan P artırıcı operatör tanımlanabilir,
P
1 u2
d
du
u
1 u2
1
(3.323)
72
bu operatörün dalga fonksiyonuna etkisi,
P
n
(u )
p
n 1
(3.324)
(u )
Ģeklindedir. Özdeğerleri ise,
p
(n 1)(
(3.325)
n 1)
Ģeklindedir. Artırıcı operatörün taban durum dalga fonksiyonuna etkisi aĢağıdaki
gibidir.
n
(u )
Nn P
0
(3.326)
(u )
bulunan merdiven operatörlerinin komütasyon bağıntıları aĢağıdaki gibidir.
[P , P ]
(u )
n
2 p0
n
(3.327)
(u )
burada p0 ;
p0
(
1
2
(3.328)
n)
Ģeklindedir. Bu değere karĢılık gelen P0 operatörü aĢağıdaki Ģekilde tanımlanabilir,
P0
n
1
(3.329)
2
sonuç olarak P , 0 operatörleri aĢağıdaki komütasyon bağıntılarını sağlarlar,
[P , P ]
2 P 0 , [P 0 , P ]
P
,
[P 0 , P ]
P
(3.330)
73
bu komütasyon bağıntıları SU(2) grubunu sağlarlar. Ayrıca aĢağıdaki ifadeler
merdiven operatörleri kullanılarak hesaplanabilir,
u
1
P
2
1 u2
1 u2
n'
(u )
d
du
1
(
1
P
2
u
n
1 u2
1)
(
1
P
P
1)
(u )
n'
=
+
(
1)
(
1)
(u ) sinh( x)
(3.331)
(3.332)
n
(u )
n(
n)
2n 1)(
2n 1)
(
(n 1)(
n 1)
(
2n 1)(
2n 3)
n ', n 1
(3.333)
n ', n 1
benzer Ģekilde,
n'
(u ) 1 u 2
d
du
n
(u )
n'
=
( x)
cosh( x) d
dx
1 n(
n)(
2n 1)
2
(
2n 1)
n
( x)
n ', n 1
1 (n 1)(
n 1)(
2n 1)
2
(
2n 3)
olarak elde edilir.
n ', n 1
(3.334)
74
3.8. Harmonik Salınıcı, Ters Kare ve Coulomb Potansiyeli Ġçin Cebirsel
YaklaĢım
Harmonik salınıcı için hermite; coulomb, morse , pseudoharmonik ve diğer
potansiyeller için Laguerre denklemi kullanılmıĢtır. Buna göre aynı anda verilen bu
üç potansiyel için Schrödinger denkleminin çözümü hangi diferansiyel denklem
formundadır ?
Genel olarak bu etkin potansiyel,
Veff
g
l (l 1)
r2
olmak üzere; ( 
R(r )
n
r
ak r k
(3.335)
k 1
m 1)
(r ) / r
(3.336)
seçilirse EĢ. 3.111 denkleminde verilen Schrödinger denklemi,
d 2 (r )
2 [ E Veff ] (r ) 0
dr 2
d 2 (r )
dr 2
olur. r
d 2 (r )
du 2
2 E
g l (l 1)
r2
(3.337)
n
r
ak r k
(r )
0
(3.338)
k 1
u 2 dönüĢümü yapıldığında,
1d
u du
bulunur. Burada,
8u 2 E
g l (l 1)
u4
n
u
ak u 2k
2
k 1
(u )
0
(3.339)
75
du
dr
1
1
2u
2 r
d 2u
dr 2
,
1
4r 3 / 2
1
4u 3
(3.340)
kullanılmıĢtır. Denklemin çözümü için dalga fonksiyonu aĢağıdaki gibi seçilirse,
(u )
e ig (u ) (u )
d2
du 2
8u 2 ( E Veff )
i
d 2g
du 2
(
dg 2
)
du
(3.341)
i
(u ) (2i
dg
du
(u )
dg
du
1 d (u )
)
u du
(3.342)
0
denklemi bulunur. Parantezlerin içi ayrı ayrı sıfır olması gerekeceğinden,
dg
du
i
2u
(3.343)
bulunur. Her iki tarafın integrali alınırsa,
g (u )
i
nu ,
2
d 2g
du 2
i
,
2u 2
(
dg 2
)
du
1
4u 2
(3.344)
olur. Bunlar EĢ. 3.342 ifadesinde yerine yazılırsa,
d2
du 2
8u 2 ( E Veff )
3
4u 2
(u )
0
(3.345)
elde edilir. EĢ. 3.338 ile verilen etkin potansiyel ifadesi bu eĢitlikte yazılıp denklem
düzenlenirse,
76
d 2 (u )
du 2
olur.
8 [ g ( 1)] 3 / 4
8
u2
n
8u 2 E 8
ak u 2 ( k
1)
(3.346)
(u ) 0
k 1
(u ) fonksiyonu EĢ. 3.341 ve EĢ. 3.344 ifadeleri kullanıldığında,
(u )
u
(3.347)
(u )
Ģekline dönüĢmüĢ olur.
d (u )
du
d 2 (u )
du 2
1
u
2
1/ 2
1
u
4
(u )
3/ 2
u
d (u )
du
(u ) u
1/ 2
(3.348)
d (u )
du
u
d 2 (u )
du 2
(3.349)
değerleri EĢ.3.339 ifadesinde yazılıp denklem düzenlenirse,
d 2 (u )
du 2
3
u
2
8u 2 ( E Veff )
(u )
0
(3.350)
Ģeklinde Schrödinger tipi denklem elde edilir, buradan da verilen bir n değeri için
(u ) fonksiyonu belirlenip diferansiyel denklem sadece cebrik iĢlemlerle çözülebilir.
Sonuçlardan da parametreler arasındaki iliĢkiler yardımıyla enerji özdeğerleri
belirlenir.[26]
Genel olarak anharmonik tipte kuvvet serisi Ģeklindeki bazı potansiyeller için
Schrödinger denkleminin tam çözümü,
y ' ' ( x)
1
[ f ( x ) 2a ] y ' ( x )
x
1
[( a
x2
kx) f ( x) k 2 x 2
a (a 1)] y ( x)
0
(3.351)
77
Ģeklinde verilen Kamke diferansiyel denklemi ve bu denklemin çözümleri olan,
x ae
y ( x)
bx
C1
C 2 exp( 2kx'
f ( x' ' )
dx' ')dx '
x' '
(3.352)
ile verilir.
P
1
( f ( x ) 2a )
x
Q
1
(a
x2
kx) f ( x) k 2 x 2
1
P( x) y ' ( x)
x
y ' ' ( x)
(3.353)
a (a 1)
1
Q( x) y ( x)
x2
0
(3.354)
(3.355)
formuna gelir.
bu potansiyele ait bir cebir yapısı incelenebilir,
H
1 d2
2 dx 2
H0
a
B2
; V
H0 V
1
2
(x
(a ) 2
x2
2
d
) ,
dx
g 2 / x2
a a
a
g2
, B2
x2
olarak tanımlanırsa,
(3.356)
1
2
1
2
a2
(3.357)
(x
g2
x2
d
)
dx
(3.358)
(3.359)
78
2 B2 , [ H , B2 ]
[ H , B2 ]
2B2 , [ B2 , B2 ]
olur. Bu sonuca göre H , B2
ve
(3.360)
4H
B2 SU(1,1)‟in grup jeneratörleridir.[27]
Komütasyon bağıntıları hesaplanırken,
2
[V ( x), a ] f
xf
(3.361)
f d 2V
2 dx 2
[a a,V ( x), ] f
[a 2 ,V ( x)] f
f d 2V
2 dx 2
dV
dx
xf
dV
dx
(3.362)
f d 2V
2 dx 2
(3.363)
bağıntıları kullanılmıĢtır. Buna göre
H
E
E
E
(x) , hamiltonyenin özfonksiyonu ise,
(3.364)
E
yazılabileceğinden B2
E
( x) ve
B2
E
( x) „de hamiltonyenin sırasıyla (E+2) ve
(E-2) özdeğerli özfonksiyonlarıdır. Hamiltonyenin enerji özdeğer ve özfonksiyonları
Schrödinger denklemi çözülmeden sadece cebirsel iĢlemle bulunabilir.
0
taban
durum dalga fonksiyonu olmak üzere,
B2
0
(3.365)
0
olduğundan
0
c0 x exp( x 2 / 2)
olur. Enerji özdeğerleri,
,
1
2
1
4
1/ 2
2g 2
(3.366)
79
H
0
E0
(3.367)
0
özdeğer denkleminden,
E0
(3.368)
1/ 2
olarak bulunur. Keyfi bir n boyutunda
n
dalga fonksiyonu, yükseltici operatörün
taban durum dalga fonksiyonuna n defa uygulanması ile aĢağıdaki gibi bulunabilir.
n
c n ( B2 ) n
0
( x) ,
En
2n E 0
(3.369)
Eğer potansiyel,
V ( x)
g2
x2
(3.370)
x
Ģeklinde ise,
C2
(a ) 2
C2
a2
g2
x2
g2
x2
(3.371)
x
(3.372)
x
olarak tanımlanan operatörlerin de, EĢ. 3.361-3.362.-3.363. ifadeleri kullanılarak,
aĢağıdaki komütasyon bağıntılarını sağladıkları görülür.
[H , C2 ]
2C 2 , [ H , C 2 ]
2C 2 , [C 2 , C 2 ]
4H
(3.373)
80
Yazılan komutasyon bağıntılarına göre C 2
, C2
ve H operatörleri de SU(1,1)
grubunun jeneratörleridir. EĢ. 3.65 ifadesine benzer Ģekilde
0
taban durum dalga
fonksiyonu olmak üzere,
C2
0
(3.374)
0
olduğundan
0
c0 x exp(
1
2
1
4
2x
x 2 / 2) 1 F1
2
, 2 , 2 2x
(3.375)
1/ 2
2g
2
Ģeklinde bulunur.
(3.376)
81
4. SONUÇ
Bu tez çalıĢmasında çeĢitli potansiyeller için Schrödinger denkleminin iĢlemciler
metodu kullanılarak çözümü incelendi. enerji özdeğerleri ve özfonksiyonları
bulundu.
Bu metod genel olarak radyal Schrödinger denkleminin faktörizasyon metodu
uygulanarak ayrıĢtırılması esasına dayanır.
Faktörizasyon metoduyla hamiltonyen ayrıĢtırıldıktan sonra merdiven iĢlemcileri
kurulur. Bu adımdan sonra enerji özdeğerleri ve özfonksiyonları, beklenen değerler
ve sistemle ilgili her türlü ifade merdiven iĢlemciler kullanılarak bulunabilir.
Faktörizasyon metodunun bilinen kuantum sistemlerine uygulanması, 2. Bölümde
anlatılan ve oldukça uzun hesaplar gerektiren standart diferansiyel denklem
çözümlerinin yerini alacaktır. Bu ise kuantum mekaniğinin hem anlatılması hem de
hesaplanmasını oldukça sadeleĢtirecektir.
Bu metod, bir sistem için merdiven operatörleri kurulup elde edilen komütasyon
bağıntılarından sistemin sağladığı cebir bulunduğunda, aynı cebri sağlayan benzer
sistemlere de uygulanabilmektedir. Ve benzer sistemin çözümü doğrudan
öngörülebilmektedir. Ayrıca üçüncü bölümde incelenen potansiyellerin Schrödinger
denkleminin çözülmesinden elde edilen diferansiyel operatörler, aynı sistem için
farklı Ģekillerde kurulabilmektedir. [28]
82
KAYNAKLAR
1. Dereli,T., Verçin, A.,“Harmonik salınıcı”, Kuantum mekaniği 1, Metu press,
Ankara,125-126 (2000).
2. Karaoğlu,B.,“ Tek boyutlu sistemler”, Kuantum mekaniğine giriĢ, Seyir
yayıncılık, Ġstanbul, 80-83 (2003).
3. Karaoğlu,B., “3 Boyutlu problemler boyutlu”, Kuantum mekaniğine giriĢ, Seyir
yayıncılık, Ġstanbul, 138-139 (2003).
4. BaĢar B., “Bir elektronlu atom ve iyon”, Birsen yayıncılık, Ġstanbul, 260-266,
425-434 (2000).
5. Dereli,T., Verçin, A.,“Küresel simetrik potansiyeller ve hidrojen atomu”,
Kuantum mekaniği 1, Metu press, Ankara,171-184 (2000).
6. Dikici, M., “Kuantum mekaniğinde iĢlemci yöntemi”, Kuantum fiziğine giriĢ,
Ondokuz Mayıs Üniv. Yayınları, Samsun,157-163 (1994).
7. Zettili, N., “One-dimensional problems”, Quantum mechanics, John Wiley &
sons, England, 227-231 (2003).
8. Griffiths,. J.D., “Time-Idependent schrödinger equation”, Quantum mechanics,
Pearson Education, U.S.A., 42-49 (2005).
9. Dereli,T., Verçin, A.,“Harmonik salınıcı”, Kuantum mekaniği 1, Metu press,
Ankara,134-141 (2000).
10. Cooper F., Khare A., Sukhatme U., “Factorization of a general hamiltonian”,
Supersymmetry in quantum mechanics, World scientific, London, 28-33 (2000)
11. T. H., Cooke and J. L., Wood, “An algebraic method for solving central force
problems”, Am. J. Phys., 70(9):945-950(2002)
12. Sternberg, S., “Compact groups and lie groups”, Group theory and physics,
Cambridge University Press, Australia, 173-198 (1995)
13. Eğrifes H., “Klasik ortogonal polinomlar ile kuantum mekaniksel sistemlerin tam
çözümlerinin araĢtırılması”, Doktora Tezi, Ege Üniversitesi Fen Bilimleri
Enstitüsü, Ġzmir, 122-128 (1997)
14. Dong,S.H., M. Lozada-Cassou, “Algebraic approach to a harmonic oscillator
plus an inverse squared potential and its recurrence relation”, Phys. Scr.,
73(2):173-177(2006)
83
15. Par N., “Schrödinger denkleminin çeĢitli potansiyellerle ve değiĢik matematiksel
yöntemlerle çözümleri”, Yüksek Lisans Tezi, Ankara Üniversitesi Fen
Bilimleri Enstitüsü, Ankara, 3-5 (1994)
16. Hassani S., “Groups and Lie algebras”, Mathematical Physics, Springer-Verlag,
Berlin, 833-868 (1985)
17. Dong, S.H., LEMUS, R., FRANK, A., “Ladder operators for the Morse
potential”, Int. Jour. Quant. Chem. 86(5):433-439(2001)
18. Landau L.D, Lifshitz E.M. “Schrödinger denklemi”, Kuantum Meaniği 1, Bilim
yayıncılık, Ankara, 110-112, (2000).
19. Gilmore, R., “Lie Algebras”, Lie groups, Lie Algebras and some of their
applications, John Wiley & sons, New York, 120-128 (1974).
20. Dong,S.H, Zhong Q.M., “Algebraıc approach to the Pseudoharmonic Oscillator
in 2D”, Int. Jour. of Mod Phys, 11(2):155-160 (2002).
21. Oyewumi, K.J., Akinpelu, F.O., Agboola, A.D., “Exactly complete Solutions of
the Pseudoharmonic Potential in N-Dimensions”, Int. J.Theor Phys., 47:10391057 (2008)
22. Ata E.., “SO(n) Özel ortogonal ve SU(n) özel üniter grupları ve bu grupların
kuantum mekaniğine uygulamaları ”, Yüksek Lisans Tezi, Anadolu Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü, EskiĢehir, 63-66 (2001)
23. Dong, S.H., LEMUS, R.,” A new dynamical group approach to the Modified
Pöschl-Teller potential”, Springer 52(6):753-764 (2001)
24. Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M., “Tables of Integrals, Series, and Products”,
Academic Press, New York, 934-935 ( 1994)
25. Talman, J. D., Special Functions:A group theoretic approach, Mathematical
Physics Monograph Series, New York, 10.43 (1968).
26. Uğur ,ġ., ”Bazı anharmonik ve singüler (r=0) potansiyeller için Schrödinger
denkleminin çözüm metodları”, Yüksek Lisans Tezi, Gazi Üniversitesi Fen
Bilimleri Enstitüsü, Ankara, 33-42 (1994)
27. Perelomov, A., “Quantum singular ocillator”, Generalized coherent states and
their applications, Springer-Verlag, Berlin, 217-226 (1985)
28. Nunez-Yepez, H.,N., Lopez-Bonilla, J.L., Navarette D. and Salas-Brito A.L.,”
Oscillator in one and two dimensions and ladder operators for the Morse and
Coulomb problems”, Int. Jour. Quant. Chem. 62(2):177-183 (1997)
84
29. Bayın, S.,ġ., “Gauss denklemi ve çözümleri”, Fen ve Mühendislik Bilimlerinde
Matematik Yöntemler, Metu press, Ankara,68-74 (2004).
85
EKLER
86
EK - 1 Laguerre polinomları için tekrarlama bağıntılarının ispatı
Tekrarlama bağıntılarının ispatında kullanılacak olan Lagurre polinomları için
doğurucu fonksiyon aĢağıdaki gibidir,
e s /1 s
(1 s ) k 1
G( , s)
i) Lkm ( )
Lkm ( ) s m
m 0
Lkm 11 ( )
bu eĢitliğin ispatı için doğurucu fonksiyonun ρ‟ ya göre türevi alınırsa,
s
(1 s) k
2
e
s /1 s
Lkm ( ) s m
m 0
Lkm 1 ( ) s m
1
m 0
Lkm ( ) s m
m 0
Toplamlar sadeleĢtirildiğinde,
Lkm ( )
Lkm 11 ( )
bulunur.
ii) Lkm ( )
Lkm ( ) Lkm 1 ( )
denklemin ispatı için ilk ispattaki denklem tekrar yazılırsa
s
e
(1 s) k 1
s /1 s
Lkm ( ) s m
(1 s)
m 0
87
EK - 1 (Devam) Laguerre polinomları için tekrarlama bağıntılarının ispatı
Lkm ( ) s m
1
Lkm ( ) s m
(1 s )
m 0
m 0
Lkm ( )
Lkm ( ) Lkm 1 ( )
olarak bulunur.
iii)
Lkm ( )
(2m k 1) Lkm ( ) (m
k ) Lkm 1 ( ) (m 1) Lkm 1 ( )
bu eĢitliğin ispatı için de doğurucu fonksiyonun bu defa s‟ ye göre türevi alınırsa,
e /1 s k 1
(1 s) k 1 1 s
1
1 s
s
(1 s) 2
mLkm ( ) s m
1
m 0
paydalar eĢitlendiğinde,
(k 1)
Lkm ( ) s m
(k 1) s
(1 2 s
m 0
s2 )
mLkm ( ) s m
1
m 0
s m ‟ in katsayıları alınıp toplamlar sadeleĢtirilirse,
Lkm ( )
(2m k 1) Lkm ( ) (m
k ) Lkm 1 ( ) (m 1) Lkm 1 ( )
bulunur.
iv)
Lkm ( )
mLkm ( ) (m k ) Lkm 1 ( )
Bu eĢitliğin ispatı için üçüncü bağıntının ρ‟ ya göre türevi alınırsa,
88
EK - 1 (Devam) Laguerre polinomları için tekrarlama bağıntılarının ispatı
Lkm ( )
Lkm ( )
(2m k 1) Lkm ( ) (m k ) Lkm 1 ( ) (m 1) Lkm 1 ( )
ikinci ispatta bulunan Lkm 1 ( ) değeri bu denklemde yerine yazılırsa,
Lkm ( )
Lkm ( )
(2m k 1) Lkm ( ) (m k ) Lkm 1 ( ) (m 1) Lkm ( ) (m 1) Lkm ( )
denklem düzenlendiğinde,
Lkm ( )
(m k ) Lkm ( ) (m k ) Lkm 1 ( ) mLkm ( )
olur. Lkm 1 ( ) ifadesi yerine yine ispat 2‟de verilen denklem yazılırsa (bu defa m→
m-1)
Lkm 1 ( )
Lkm ( ) Lkm 1 ( )
bu ifade de yukarıdaki denklemde yazılırsa gerekli sadeleĢtirmelerden sonra,
Lkm ( )
bulunur.
mLkm ( ) (m k ) Lkm 1 ( )
89
EK – 2 Konfluent Hipergeometrik Fonksiyonlar
Hipergeometrik
fonksiyonlar
diğer
özel
fonksiyonların
kendisi
cinsinden
yazılabildiği çok genel bir fonkiyondur. Hipergeometrik (veya Gauss) diferansiyel
denklemi,
x(1 x) y ' ' ( x) [c (a b 1) x] y ' ( x) ab y ( x)
0
Ģeklindedir.[29]
Pek çok 2. derece diferansiyel denklem hipergeometrik denklem ve (a,b,c) gibi üç
parametre cinsinden sınıflandırılabilir. Tezde kullanılan ve
hipergeometrik
fonksiyonların özel bir hali olan konfluent hipergeometrik diferansiyel denklemi
aĢağıdaki gibidir,
xy' ' ( x) [c
x] y ' ( x) a y ( x)
0
Laguerre fonksiyonları, konfluent hipergeometrik fonksiyon cinsinden,
L(n ) ( x)
(
(
n 1)
1 F 1 ( n,
1)n!
1, x)
Ģeklindedir. Burada 1F 1 ,
1
F 1(a, c, x)
n
an x n
0 c n n!
Ģeklindedir. Benzer Ģekilde Bessel fonksiyonları, konfluent hipergeometrik fonksiyon
cinsinden,
90
EK - 2 (Devam) Konfluent Hipergeometrik Fonksiyonlar
J n ( x)
e ix x n
( ) 1F 1 (n 1 / 2,2n 1,2ix )
n! 2
Ģeklindedir. Benzer Ģekilde Legendre fonksiyonları, konfluent hipergeometrik
fonksiyon cinsinden;
Pn ( x)
2
F 1 (n 1 / 2,2n 1,2ix )
Ģeklinde verilir.
91
ÖZGEÇMĠġ
KiĢisel Bilgiler
Soyadı, adı
: AYDIN, Selim
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri
: 26.03.1983, AMASYA
Medeni hali
: Bekar
Telefon
: 0 (507) 247 98 94
e-mail
: [email protected]
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi
Mezuniyet tarihi
Lisans
Ankara Üniversitesi
2005
Lise
Erbaa Ġ.H.L.
2000
Yabancı Dil
Ġngilizce
Hobiler
Bilgisayar programı çalıĢmak, elektronik devre yapmak, kuantum fiziği okumak,
spor yapmak.