VEKTÖRLER

1. BÖLÜM
VEKTÖRLER
1
Tanım:Matematik, istatistik, mekanik,… gibi çeşitli
bilim dallarında uzunluk, alan, hacim, yoğunluk,
kütle, elektriksel yük,… gibi büyüklükler, cebirsel
kurallara göre ifade edilirler.
Bu tür çokluklara
“Skaler”
büyüklükler denir.
2
Tanım: hareket, hız, kuvvet,…
gibi hem yönü, hem
doğrultusu, hem de büyüklüğü
olan çokluklara “Vektörel
Büyüklükler” denir.
3
Vektörel Büyüklüğün Matematiksel Tanımı :
·
• Yönlü doğru parçalarına
vektör denir.
B
u
• A : Başlangıç noktası,
• B : Bitim noktasıdır.

• u  AB yada u ile gösterilir.
·
A
4
GENEL TANIMLAR
Tanım: Başlangıç ve bitim noktaları çakışık olan vektöre
SIFIR vektörü denir.
AA ya da 0
Sıfır vektörü sonsuz sayıda doğrultu ve yöne sahiptir.
Tanım: Sabit bir başlangıç noktasına sahip olan vektöre
KONUM/YER vektörü denir.
Tanım: Başlangıç noktası sabit bir doğru üzerinde değişen
vektöre KAYAN vektör denir.
Tanım: Eğer başlangıç noktası üzerinde hiçbir kısıt yoksa
SERBEST vektör denir.
GENEL TANIMLAR
Tanım: u ile v gibi iki vektörün, yönleri aynı ve
büyüklükleri eşit ise EŞİT vektörlerdir.
u=v
Tanım: u ile yönü zıt fakat büyüklüğü eşit olan
vektör
-u
ile gösterilir.
u
v
u
-u
6
VEKTÖREL İŞLEMLER: Toplama
Tanım: u ve v gibi ili vektörün toplamı, v
vektörünün başlangıç noktasını u vektörünün bitim
noktasına yerleştirdikten sonra u vektörünün
başlangıç noktasını v vektörünün bitim noktasına
birleştiren vektördür.
u   u1 , u2  v   v1 , v2  ise
u  v   u1  v1 , u2  v2 
Vektörlerin toplamı yine bir vektördür.
v
u
w
VEKTÖREL İŞLEMLER: Toplama
Paralelkenar Yöntemi
u+v toplam vektörü u ve v vektörlerinin oluşturduğu
Paralelkenarın köşegenlerinden birine eşittir.
VEKTÖREL İŞLEMLER: n Adet
Vektörün Toplanması
Tanım: Vektörler sırası ile birinin başlangıç noktası
v2
v1
v3 v4
diğerinin bitim noktasına gelecek şekilde yerleştirilir
ve ilk vektörün başlangıç noktasını son vektörün
bitim noktası ile birleştiren vektör TOPLAM ya da
V
BİLEŞKE vektör olarak adlandırılır.
v  v1  v 2 
v   v11  v21 
 vn
 vn1 ,
, v1n  v2 n 
 vnn 
vn
VEKTÖREL İŞLEMLER: Vektörün
Bir Skaler İle Çarpımı
Tanım: Bir u vektörü ve
k

bir skaler olmak üzere ku
çarpımı, u vektörü ile aynı yönde ve uzunluğu u vektörün k
katı olan bir vektördür.
Bir vektörün bir skaler ile çarpım sonucu yine bir vektördür.
u
ku
VEKTÖREL İŞLEMLER: Vektörün
Bir Skaler İle Çarpımı
Eğer k 

ise elde edilen –ku vektörü u vektörü ile aynı
doğrultuda fakat zıt yöndedir.
-ku
u
VEKTÖREL İŞLEMLER:
Vektörlerin Farkı
Tanım: Bir u vektörünün ku çarpımında k=-1 ise, (-1)u
vektörüne, u vektörünün toplamaya göre tersi denir:
u+(-u)=0
Tanım: u ve v her hangi iki vektör ise bunların farkı,
vektörlerin karşılıklı elemanlarının cebirsel farkı ile elde
edilen vektördür:
u+(-v)=u-v=w
w   u1  v1 ,
, un  vn 
w
-v
u
u+v
v
VEKTÖREL İŞLEMLER:
Vektörlerin Farkı
Paralelkenar Yöntemi
w fark vektörü u ve v vektörlerinin tanımladığı Paralelkenarın
diğer köşegenidir.
İki Noktanın Tanımladığı Vektör
Tanım: İki boyutlu uzayda (düzlemde) A(a1,a2),
B(b1,b2) noktaları verilmiş olsun. Bu iki noktanın
tanımladığı vektörün elemanları:
AB  OB  OA
AB  OB  OA


AB   b1 , b2    a1 , a2 
AB   b1  a1 , b2  a2 
AB  B  A
İki Noktanın Tanımladığı Vektör
Tanım: İki boyutlu uzayda (düzlemde) A(a1,a2),
B(b1,b2) noktaları verilmiş olsun. Düzlemdeki her
K noktası için
KB  KA  AB
VEKTÖRÜN UZUNLUĞU
NORMU
Tanım: Bir u vektörünün uzunluğu vektör elemanlarının
karelerinin toplamının kareköküdür ve u ile tanımlanır:
u  u12  u22 
 un2
Uzunluk skaler bir değerdir.
VEKTÖRÜN UZUNLUĞU
NORMU: Geometrisi
Üç boyutlu konum vektörünün
uzunluğunun karesi;
2
2
2
2
2
2
r  OA  OC  CA
2
 OB  BC  CA
 x2  y 2  z 2
Uzunluk,
r  x2  y 2  z 2
BİRİM (NORMALİZE) VEKTÖR
Tanım: Uzunluğu ya da salt değeri BİR (1)’e eşit olan
vektörlere BİRİM vektör denir. Bir u vektörü,
u
uN 
u
İşlemi ile birim vektöre dönüştürülebilir. Bir u vektörü birim
vektör ve uzunluğu cinsinden yazılabilir:
u  u uN
NORMALİZE VEKTÖR
Tanım: Bir vektörün normalize edilmesi, uzunluğunun bir
birim olacak şekilde ölçeklenmesidir. Bu amaçla vektörün tüm
bileşenleri vektörün uzunluğuna bölünürler.
u   u1 , u2 ,
, un 
u  u12  u22 
 un2
ise
 u1 u2
uN   , ,
u u
un 
, 
u
İki Nokta Arasındaki Mesafe
Tanım: Üç boyutlu uzayda iki nokta P1(x1,y1,z1) ve
P2(x2,y2,z2) verilmiş olsun. Bu iki nokta arasındaki
mesafe P1P2 vektörünün,
P1P2   x2  x1 , y2  y1 , z2  z1 
uzunluğu olarak belirlenir ve d ile gösterilir.
d  P1P2 
 x2  x1    y2  y1    z2  z1 
2
2
2
İki Nokta Arasındaki Mesafe
VEKTÖRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Tanım: Üç boyutlu kartezyen sistemde başlangıç (orijin) O
(0,0,0) noktasını; (1,0,0), (0,1,0) ve (0,0,1) noktalarına
birleştiren vektörlere sırası ile ox, oy, oz eksenlerinin BİRİM
vektörleri denir. i, j, k ile gösterilirler:
i  1,0,0  j   0,1,0
k   0,0,1
Tanım: n-boyutlu uzayda eksenlerin birim vektörleri
e1, e2,…,en
VEKTÖRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Tanım: Üç boyutlu kartezyen sisteminde başlangıç O (0,0,0)
noktasını bir A noktasına birleştiren OA vektörüne A
noktasının KONUM vektörü adı verilir.
VEKTÖRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ
r  OA  OB  BC  CA
 OB  OD  OE
VEKTÖRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem: Üç boyutlu uzaydaki her hangi bir u   u1 , u2 , u3 
vektörü i, j, k birim vektörlerinin doğrusal derlemesi olarak
yazılabilir:
u  u1i  u2 j  u3k
Bu ifadeye u vektörünün ANALİTİK gösterimi denir.
VEKTÖRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem: n-boyutlu uzaydaki her hangi bir u   u1 , u2 ,
, un 
konum vektörü e1, e2,…,en birim vektörlerinin doğrusal
derlemesi olarak yazılabilir:
u  u1e1  u2e2 
 unen
Bu ifadeye u konum vektörünün ANALİTİK gösterimi denir.
VEKTÖRLERİN ANALİTİK
İNCELENMESİ
Teorem: u  u1i  u2 j  u3k   u1 , u2 , u3 
v  v1i  v2 j  v3k   v1 , v2 , v3  ve k 
olmak üzere,
u  v   u1  v1  i   u2  v2  j   u3  v3  k
ku  ku1i  ku2 j  ku3k   ku1 , ku2 , ku3 
VEKTÖRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ:
İki Boyut
y
M(x,y)
M  x, y 
OM  OP  PM

j
O
OP  xi

i
x
P
PM  yj
OM  xi  yj
28
VEKTÖRLERİN ANALİTİK İNCELENMESİ:
Üç Boyut
z

i
x
M(x,y,z)

k

j
O
Şekil.5
y
OM   x y z 
OM  xi  y j  z k
29
Vektörlerin Çarpımı
1. Skaler Çarpım
2. Vektörel Çarpım
Skaler Çarpım
Tanım: u ve v gibi sıfırdan farklı iki vektörün skaler çarpımı
uv ile gösterilir:
uv  u v Cos
0  
 vektörler arasındaki açıdır.
Önemli: Çarpım sonucu skaler bir büyüklüktür.
Skaler çarpım; İç (inner) Çarpım ya da Nokta (dot) Çarpım
olarak da adlandırılır.
Skaler Çarpım: Geometrik Anlamı
uv  OA.OB
 OC.OB
 OC . OB
Cos 
OC
OA
OC  OA Cos
uv  OB OA Cos
uv  u v Cos
Skaler Çarpım: Geometrik Anlamı
1.İki vektör birbirine dik (ortogonal) ise =/2 olup skaler
çarpım:
uv  u v Cos
0
2. İki vektörün yönleri aynı ise =0 olup skaler çarpım:
uv  u v Cos
u v
3. İki vektörün yönleri zıt ise = olup skaler çarpım:
uv  u v Cos
u v
Skaler Çarpım: Analitik Anlamı
Üç boyutlu iki vektörün;
u   u1 , u2 , u3  v   v1 , v2 , v3 
Skaler çarpımının analitik ifadesi:


uv  u1i  u2 j  u3 k v1i  v2 j  v3 k
 u1v1ii  u1v2ij  u1v3ik
u2 v1 ji  u2 v2 jj  u2 v3 jk
u3v1ki  u3v2 kj  u3v3 kk

Skaler Çarpım: Analitik Anlamı
Birim vektörlerin skaler çarpımı:
ii  jj  kk  1 ve ij  ik  jk  0
Skaler çarpım sonucu:
uv  u1v1  u2v2  u3v3
Genel durum: n-boyutlu vektörler için
uv  u1v1  u2v2 
n
  ur vr
r 1
 unvn
İki Vektör Arasındaki Açı
uv
Cos 
u v
u
u1v1  u2v2 
Cos 
u v
 un vn
v
Ortogonal (Dik) Vektörler
n- boyutlu iki vektör;
u   u1 , u2 ,
, un  v   v1 , v2 ,
Birbirine Ortogonal (dik) ise
uv  u1v1  u2v2 
 unvn  0
, vn 
Skaler Çarpımın Özellikleri
  
u , v , w sıfır olmayan üç vektör olmak üzere;
 
a ) u .v  v .u
  2
2

b) u.u  u , ( u  u )
  
  
c) u .(v  w)  u .v  u .w

 


d ) m (u .v )  ( m u ).v  u .( m v ) (m : skaler)


e) u  1  u.u  1
 

f ) u  v  u.v  0
38
Vektörel Çarpım
Tanım: Sıfırdan farklı u ve v gibi iki
vektörün vektörel çarpımı
 
u v
u  v ya da u  v
ile gösterilir:
w  u  v  e u v Sin
Vektörel çarpımın sonucu bir vektördür.
Doğrultusu u ve v vektörlerinin
oluşturduğu düzleme diktir.

u


v
Vektörel Çarpım: Paralelkenarın Alanı
u ve v vektörleri düzlemde bir paralelkenar tanımlar.
Paralelkenarın alanı A olsun. Şekilden görülebileceği
gibi
u sin  paralelkenarın yüksekliği
v
verir.
paralelkenarı taban uzunluğunu
A   taban  yükseklik 
 v u sin 
Vektörel Çarpım: Sonuç
u ve v vektörlerinin vektörel çarpımından elde edilen
w  u  v vektörünün uzunluğu u ve v vektörlerinin
tanımladığı paralelkenarın alanına eşittir.
Birim Vektörlerin Vektörel Çarpımı
Dairesel
Permütasyon
i i  0
i  j k
i k  j
j  i  k
j j 0
j k i
k i  j
k  j  i
k k 0
Vektörel Çarpım: Analitik İfadesi
Üç boyutlu iki vektörün;
u   u1 , u2 , u3  v   v1 , v2 , v3 
Skaler çarpımının analitik ifadesi:

 
u  v  u1i  u2 j  u3 k  v1i  v2 j  v3 k
 u1v1i  i  u1v2i  j  u1v3i  k
u2v1 j  i  u2v2 j  j  u2v3 j  k
u3v1k  i  u3v2 k  j  u3v3k  k

Vektörel Çarpım: Analitik İfadesi
Birim vektörlerin vektörel çarpımları kullanılarak:
u  v   u2v3  u3v2  i   u3v1  u1v3  j   u1v2  u2v1  k
  u2v3  u3v2 , u3v1  u1v3 , u1v2  u2v1 
Not: Determinant konusu ile ilişkilidir.
Vektörel Çarpım
Teorem: Eğer u ve v üç boyutlu uzaydaki iki vektör ise,
1. u.  u  v   0
u  v vektörü u vektörüne ortogonaldir.
2. v.  u  v   0
u  v vektörü v vektörüne ortogonaldir.
3. u  v  u v   u.v 
Lagrange özdeşliği
2
2
2
2
Vektörel Çarpım: Determinant İfadesi

i
 
v1  v 2  x1
x2

j
y1
y2

k
z1
z2
Üçlü Vektörel Çarpım
Tanım: u , v ve w vektörlerinin üçlü vektörel çarpımı:
u   v  w    uw  v   uv  w
Üçlü vektörel çarpımın sonucu yine bir vektördür.
u   v  w çarpım vektörü
v ve w vektörlerinin oluşturduğu düzleme paralel,
v  w ikili vektörel çarpım vektörüne dik bir vektördür.
Vektörel Çarpımın Özellikleri
  
u , v , w sıfır olmayan üç vektör olmak üzere;
 
 
a ) u  v  v  u

 
   
b) u  (v  w)  u  v  u  w
 

 

c) m (u  v )  (m u )  v  u  (m v )
(m : skaler)
  


d ) u  v  0  u ile v paraleldir .
e) u ve v vektörlerinin vektörel çarpımının değeri
(skaler büyüklüğü) u ve v vektörleri üzerine
kurulan PARALELKENAR’ın alanını verir.
48
Karışık Çarpım
Tanım: u , v ve w aynı düzlemde bulunmayan üç vektör
olmak üzere,
u  v  w   u v  w Cos
çarpımına karışık çarpım denir.
Karışık çarpım v  w vektörü ile u vektörünün skaler çarpımı
olduğu için sonuç bir skalerdir.
Karışık Çarpım: Geometrik Anlamı
Karışık Çarpım: Geometrik Anlamı
u  v  w   v  w u Cos
İlk bileşen v  w : OBCD paralelkenarının alanı
İkinci bileşen u Cos : paralelyüzün yüksekliği
Karışık Çarpım: u , v ve w vektörleri üzerine kurulan
paralelyüzün hacmine eşittir.
Karışık Çarpım :Determinat İfadesi
x1
  
u.(v  w)  x2
x3
y1
y2
y3
z1
z2
z3
52
Vektörlerin İzdüşümü
• Vektörel İzdüşüm
• Skaler İzdüşüm
Vektörlerin İzdüşümü
ox ekseni için birim vektör e olsun.
OA vektörünün ox ekseni üzerindeki vektörel izdüşümü:
izd .OA  OB
OB  OB e
OB  OA Cos e
OA vektörünün ox ekseni üzerindeki skaler izdüşümü:
OB  OA Cos
OB  OA.e
ya da
Vektörlerin İzdüşümü: Geometrik
BİRİNCİ
BÖLÜM
BİTTİİİİİİİ
56