Kuantum Mekaniği

Kuantum Mekaniği
1900 – 1930’s…
Revolution in physics:
behaviour of light & atoms cannot be explained by
Newton’s classical laws of physics
needed to create a “new physics”
Classical mechanics
the PHYSICS of the
MACROSCOPIC world
Quantum mechanics
the PHYSICS of very
small things (electrons,
light…)
CLASSICAL PHYSICS
At the beginning of the 20th century:
Matter:
Discrete particles
Electromagnetic radiation: Continuous waves
The two were thought to be quite separate…..
The beginning of building a new kind of physics…
Max Planck (1900):
Matter cannot absorb/emit
just any amount of energy…
Energy can only be transferred
in multiples of discrete units
(packets of energy), called “quanta”.
Max Planck
1858-1947
Nobel Prize in
Physics 1918
Energy is not continuous
Energy is quantized
Kilometre taşları
Siyahcisim ışıması
Fotoelektrik olay
Alfa saçılması ve atom modeli
Atom spektrumunun açıklanması
Madde dalgası kavramı
Dalga denklemi
Belirsizlik ilkesi
Relativistik kuantum mekaniği
(1900, Max Planck)
(1905, Albert Einstein)
(1911, Ernest Rutherford)
(1913, Niels Bohr)
(1923, Louis de Broglie)
(1926, Erwin Schrödinger)
(1926, Werner Heisenberg)
(1932, Dirac)
De Broglie teorisi (1923)
elektronun dalga özelliği
De Broglie sadece fotonun değil elektron, çekirdek, atom,top..v.s. gibi
momentuma sahip diğer taneciklerin de dalga özelliği göstermesi gerektiği
varsayımında bulundu
h
h
λ =
=
p
mv
λ: taneciğin dalga boyu
h: Planck sabiti
m: taneciğin kütlesi
p: taneciğin momentumu
v: taneciğin hızı
Davisson ve Germer (1927) : elektronun da foton gibi kırınıma uğradığını
gösterdiler
(elektron mikroskopu)
Wave properties of electrons
photons have both wave and particle properties
electrons have both wave and particle properties
Planck (1900):
E  h 
Einstein (1908):
E  mc 2
 mc 
2
hc

DeBroglie (1929):
waveparticle
dualism
hc

(energy of a photon)
m = mass of a photon
h
or  
= h/photon momentum
mc
 = h/mv = h/electron momentum
The diffraction pattern caused by light passing through two adjacent slits.
Slit sizes comparable
to wavelength of light
Electron beams also show diffraction,
And thus show wavelike properties!
Comparing the diffraction patterns of x-rays and electrons
In-phase diffraction
Bright lines
(Interatomic distances in Al(s) ~  of x-rays)
ÖRNEK : 1) 40 g Golf topunun hızı 30 ms-1 dir. Bu topa eşlik eden dalga
boyu nedir ?
2) Bir nötronun (m : 1.674x10-27 kg) hızı 2000 ms-1 dir.
Bu nötrona eşlik eden dalga boyu nedir?
1.
If a ball with a mass of 0.450 kg is thrown at a speed
of 102 km/h, what is its wavelength?
 = h/mv
1 J = 1 Nm = 1 kgm2s-2
-1)
28.3
= (6.626x10-34 Js)/(0.450kg)(______ms
  = 5.20x10-35 m
v = 102 km x 1000 m x
Wavelength « ball’s size (d ≈ 0.1 m)
 Wave properties NOT noticeable
1h
= 28.3 ms-1
1 km
1h .
3600 s
2.
If an electron (mass 9.109x10-31 kg) is traveling at
40.0% the speed of light, what is its wavelength?
 = h/mv
= (6.626x10-34 Js)/(9.109x10-31kg)(0.400 x 2.998x108 ms-1)
= 6.06x10-12 m
Diameter of a H atom is ~ 0.7 Å
  = 0.0606 Å
…wavelength of electron is almost 10%
of this distance! VERY NOTICEABLE!
WAVE-PARTICLE DUALITY…..
All matter and energy shows both particle-like
and wave-like properties.
Large pieces of matter are mainly particle-like, with
very short wavelengths.
Small pieces of matter are mainly wave-like with longer
wavelengths.
MASS
Baseball Proton
Particle-like
Electron
Photon
  object size  behave as BOTH !!
Wave-like
Heisenberg Belirsizlik İlkesi (1926)
Bir ölçüm yapılırken mutlaka bir hata yapılır.
Gelişmiş aletler ve ölçüm teknikleri ile bu hata azaltılabilir.
Heisenberg yapılacak hatanın bir alt limiti olduğunu göstermiştir.
pxx 
h
4
x :
p :
Yerdeki belirsizlik
Momentumdaki belirsizlik
Bir taneciğin yerini ve momentumunu aynı anda
sonsuz duyarlıkta ölçebilmek imkansızdır.
Bu imkansızlık, ölçme işleminin kendisinden kaynaklanır.
ÖRNEK: Hızdaki belirsizliği 1% olan 80 kg ağırlığındaki bir
öğrencinin kampüsteki hızı 1.3 m/s ise yerindeki
belirsizliği ne olur?
p = m v = (80kg)(0.013 m/s) = 1.04 kg.m/s
34
6.626x10
J.s

h
x 

 5.07x1035 m
4p 4 1.04kg.m /s
Çok küçük….nerede olduğu kesin olarak belli.

in ordinary life, wavelength is so short and frequency so high that we are
not directly aware of the wave (geometrical optics limit).
ÖRNEK : 1Å yarıçaplı bir yörüngede bulunan elektronun
hızındaki belirsizlik nedir? Konum belirsizliği : %1
x = (1 Å)(0.01) = 1 x 10-12 m
34
6.626x10
J.s

h
23
p 


5.27x10
kg.m /s
12
4 x
4 1x10 m
p 5.27x1023 kg.m /s
7m
v 


5.7x10
s
m
9.11x1031 kg
çok büyük
Belirsizlik ilkesi
SONUÇ
Mikroskopik dünyada foton veya elektron kolayca tanımlanamaz.
Foton ve elektron hem dalga hem tanecik özelliği gösterir.
Mikroskopik dünyayı anlamaya çalışırken her ikisini birden dikkate almalıyız.
Enerji-zaman belirsizlik bağıntısı
E●t ≥ ћ / 2 = h / 4
Enerjideki belirsizlik
Zamandaki belirsizlik
ÖRNEK : Uyarılmış bir enerji düzeyindeki yarıömrü 1.6 x 10-8 saniye
olan bir atom temel düzeye indiğinde 8000 Å dalgaboylu bir
foton yayınlamaktadır. Fotonun enerjisindeki ve dalga
boyundaki belirsizlik ne olur?
 t = 1.6 x 10-8 s
E●1.6 x 10-8 = h / 4
E = hc/
E = 2.1x10-8 eV
 = 1x10-4 Å
KUANTUM MEKANİĞİ
Klasik mekaniğin alternatifleri
Dalga mekaniği (Erwin Schrodinger)
Matris mekaniği (Werner Heisenberg)
Sonunda her iki mekaniğin aynı olduğu gösterilmiştir.
Makroskopik dünyaya yaklaşırken kuantum mekaniği,
klasik mekanik ile bütünleşir. Buna karşılığı bulunma ilkesi
(correspondence principle ) denir.
Kuantum mekaniği
1. varsayım: Bir fiziksel sistemin belirli bir t anındaki durumu
(r,t) dalga fonksiyonu ile belirlenir.
İlerleyen dalgaya, bir dalga fonksiyonu eşlik eder.
(r,t) = yer ve zamanın fonksiyonu olarak dalganın genliği
Dalga  Tanecik özelli ğz
i(tkx )
(x,t)  e
i
 (Et px)
e
E   (Einstein - Planck)
ve
p  k (de Broglie ilkesi)

h
2
veya , k 
p

 (psi), ışık ile mukayese edilebilir
Işık dalga gibi düşünülürse, ışık şiddeti elektrik alan şiddetinin karesi ile orantılıdır.
Işık bir tanecik akımı gibi düşünülürse, ışık şiddeti foton sayısı ile orantılıdır.
Foton sayısı ve alan şiddetinin karesi birbiri ile orantılıdır.
 ışık ile mukayese edildiğinde, mutlak değerinin karesi 2, tanecik
sayısı veya benzeri bir şey olmalıdır.
Uzayda bir yerde fotonların bulunma olasılığı E2 ile orantılıdır.
Uzayda bir yerde taneciklerin bulunma olasılığı 2 ile orantılıdır.
||2 = * bir taneciğin belirli bir yerde bulunma olasılığı
Lokalize dalga paketi
veya
Tanecik (elektron)
duran dalga
2(xyz)  elektronun (x,y,z) de bulunma olasılığı
2(xyz), her zaman pozitiftir,  negatif olsada
 nin fiziksel gerçek bir çözümü için gereken bazı şartlar…
1.  dalga fonksiyonu tek değerli olmalıdır.
Uzayın herhangi bir noktasında bir elektron için iki olasılık mevcut olmaz.
2.  dalga fonksiyonu ve onun birinci türevi sürekli olmalıdır.
Uzayın tüm noktalarında olasılık tanımlı olmalıdır ve bir noktadan diğerine
geçişte âni bir şekilde değişemez.
3. r sonsuza giderken  dalga fonksiyonu sıfıra yaklaşmalıdır.
Çekirdekten uzak mesafelerde, olasılık gittikçe küçülmelidir.
4. Uzayın herhangi bir yerinde elektronun toplam bulunma olasılığı 1 dir.
Buna dalga fonksiyonunun normalizasyon şartı denir.
 . * d = 1
tüm uzay
5. Bir atomdaki tüm orbitaller birbirleriyle ortogonal olmalıdır.
∫A.B d =0
Örneğin, px, py pz orbitalleri birbirine diktir.
Kararlı Dalga veya Duran Dalga
standing wave
Dalga mekaniğine göre, belirli bir enerji seviyesinde bulunan
elektron “duran dalga” gibi kabul edilebilir.
Çekirdeğin etrafında sadece belirli dalgalar mevcut olabilir. Bunlara
kararlı dalga veya duran dalga adı verilir.
Her kararlı dalga belirli bir enerji seviyesine sahiptir.
Schrödinger H atomundaki elektronun enerjisini hesaplamak için
duran dalgaları kullanmış ve bir eşitlik geliştirmiştir.
Duran dalga
düğümler
Standing Electron waves
in an atomic corral
 Duran dalga, gitar teli gibi, dalganın
ilerlemediği bir harekettir

 Duran dalga düğüm noktaları içerir ve
bu noktalarda hareket etmez.
 Dalga boyunun tam veya yarım katları
duran dalgalara karşılık gelir.
 = genlik, dalga yüksekliği
de Broglie , Bohr’un öngördüğü izinli yörüngelerin duran dalga
şartlarını sağlayan yörüngeler olduğunu ileri sürmüştür.
Birinci harmonik
İkinci harmonik
Üçüncü harmonik
not allowed
Madde Dalgaları ve Bohr Atomu
Matter waves and the Bohr model
If the radius of a Bohr orbit is r, the path length of the electron around the atomic
nucleus is 2r.
If electrons act like waves, stable orbits require path lengths of integer numbers of
wavelength: n = 2r.
Otherwise the electron waves must decay from self-cancellation.
n=4
n=5
n = 4.5
Kararlı
Kararlı
Kararsız
2r = n
λ =
h
mv
Kararlı Dalga Şartı
De Broglie
2. Varsayım : Bir sistemin (r, t) dalga fonksiyonunun zaman içindeki gelişmesi
Schrödinger denklemi ile belirlenir.
Zamandan bağımsız Schrödinger denklemi
Hˆ   E
Hamiltonian operatörü
Toplam enerji özdeğeri

ˆ
H
Kinetik enerji
Toplam enerji operatörü
Potansiyel enerji
Schrödinger Dalga Eşitliği
Tek doğrultuda (x) hareket eden (1D), kütlesi m olan bir taneciğin
enerjisi
kinetik enerji
potansiyel enerji
E = taneciğin özdeğer (eigenvalue) enerjisi
Ψ = özfonksiyonlar (eigenfunction)
m = kütle
x = konum
Ћ ( h-bar) = h/2π
3D boyutta Schrödinger eşitliği
wave function
d2
dx2
+
d2
dy2
mass of e
+
d2
dz2
how  changes in space
potential energy of e
82m
+
h2
(E-V(x,y,z)(x,y,z) = 0
Kinetic energy of e
Laplacian operator
(okunuşu, del kare)
Potansiyel enerji ve Kuantlaşma
• 1 boyutta (1D) serbestçe hareket eden bir tanecik düşünün.
p
“Serbest Tanecik”
x
Potansiyel E = 0
• Schrödinger Eşitliği şöyle olacaktır:
2
2
 pˆ 2

ˆ
p
p
1 2
ˆ
H    PE  ( p) 
 ( p) 
 ( p)  mv  ( p)  E ( p)
2m
2m
2
2m 0

• Enerji aralığı 0 dan sonsuza kadar değişir….. Kuantize
değildir…..
Kutudaki tanecik
Particle in a Box
Bir potansiyel tarafından
sınırlandırılırsa taneciğin
yeri ne olur?
“Kutudaki tanecik”
Potansiyel E
= 0 , 0 ≤ x ≤ a için
=  , diğer x değerlerinde
• Bu durumda, taneciğin yeri kutunun boyutuna göre sınırlanmıştır.
Dalga fonksiyonu neye benzer?
2  nx 
 x  
sin 

a  a 
n = 1, 2, ….
Duran dalgalara

*
Enerjiler nasıldır?
2 2
nh
E
8ma2
n = 1, 2, …
Enerji kuantizedir
E

*
a : kutunun boyutu
ÖRNEK: Bir boya molekülünün uzunluğu 8x10-10 m dir ve kutunun
uzunluğu olarak kabul edilebilir. Buna göre, molekülün n = 1 ve n = 2
arasındaki ΔE ve buna karşılık gelen ışığın dalga boyu nedir?
a = 8 x10-10 m
h = 6.62 x 10-34 J.s
m = 9.10 x 10
–31
kg
(6.62x1034 ) 2
2 1)  2.8x1019 J

(
2
8(9.1x1031)(8x1010 ) 2
hc (6.62 x1034 )(3x108 )
7
 

7
.
09
x
10
m
19
  700nm
E
2.8 x10
( denel 680 nm)
Potansiyel enerji sınırlandırılırsa, sistemin
enerjisi kuantlaşır.
• Hidrojen atomunda..
er
0
r
0
Schrodinger
Equation
P+
potential
e 2
V (r) 
r
Recovers the “Bohr” behavior