Tanım - Ninova

2. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümü
 x1   a11
 x   a
 2   21
a12   x1   b1 
  u ,



a22   x2  b2 
x  Ax  Bu ,
x(t0 )  x0
x(t0 )  x0
Çözüm, 1. mertebeden diferansiyel denklemlerin çözümlerine benzer
şekilde
x (t )  x (t )  x (t )
T
h
özel
Homojen kısım: x
  Ax,
xh (t )  Set
x(t0 )  x0
 S1  t
  e
 S2 
Set  ASet
S  AS
I  AS  0
detI  A  0
Çözüm Tahmini
belirlememiz gereken kaç
büyüklük var?
sıfırdan farklı çözüm erin
olması nasıl mümkün olur?
2  a  b  0
Karakteristik
Denklem
Karakteristik denklemin kökleri:
1, 2 özdeğerler
Belirlememiz gereken S özvektör
Hangi uzayın elemanı?
O uzaya ait neyi belirlersek
aradığımızı bulmuş oluruz?
1I  AS1  0 1‘e ilişkin özvektör
2 I  AS2  0 2‘e ilişkin özvektör
S1  c1V1
S2  c2V2

1t
xh (t )  e V1

 c1 
 c1 
e V2    M (t )  
c2 
c2 
2t
M (t )
Özel çözüm:
 x1ö zel (t ) 
xözel (t )  

x
(
t
)
 2ö zel 
Tam çözüm:
Temel Matris
Nasıl belirleyeceğiz?
x(t )  M (t )C  xözel (t )
C  M (t0 )1x(t0 )  xözel (t0 )
x(t )  M (t )M 1(t0 )x(t0 )  xözel (t0 )  xözel (t )
x(t0 )  M (t0 )C  xözel (t0 )
x(t )  M (t )M 1(t0 )x(t0 )  xözel (t0 )  xözel (t )
 (t )
Durum Geçiş
Matrisi
x(t )  (t ) x(t0 )  xözel (t )  (t ) xözel (t0 )
x(t )  (t ) x(t0 )  xözel (t )  (t ) xözel (t0 )
öz çözüm
zorlanmış çözüm
t
x(t )  e At x(t0 )   e A(t  ) Bu ( )d
öz çözüm
t0
zorlanmış çözüm
 x1   3 0   x1  0
 x   
 x    u (t ),

 2   2  2  2  1
 x1 (0)  4 Durum denklemleri ile verilen
 x (0)   
 2  5 sistem için tam çözümü bulunuz.
Bir özel hal:
x (t )  Ax(t )
Çözümü bir daha yazarsak
Otonom sistem
özvektörler
x(t )  e1 (t to ) S1x1 (t0 )  e2 (t to ) S2 x2 (t0 )  .....en (t to ) Sn xn (t0 )
özdeğerler
Çözüm, özvektörler ve özdeğerler ile nasıl değişir
.............................................................................................................
Özvektörleri aynı özdeğerleri farklı iki sistem
0
A1  
1
 5
 2
11  1  2i
12  1  2i
 2  5
A2  

1

4


21  3  2i
22  3  2i
0.9129
0.9129




S11  
S 21  


 0.1826  0.3651i 
 0.1826  0.3651i 
S12
0.9129


0.9129


S 22  




0
.
1826

0
.
3651
i


 0.1826  0.3651i 
Hangisi daha hızlı sıfıra yaklaşıyor ?
A1
sistemi
A2
sistemi
Özdeğerleri aynı özvektörleri farklı iki sistem
 0.2  5 
B1  

1

0
.
3


11  0.25  2.235i
12  0.25  2.235i
 0.2  1 
B2  

5

0
.
3


21  0.25  2.235i
22  0.25  2.235i
0.9125


S11  

0
.
0051

0
.
4081
i


0.0051  0.4081i 
S 21  

0
.
9125


0.9125




0
.
0051

0
.
4081
i


0.0051  0.4081i 


0
.
9125


S12
S 22
B1
sistemi
B2
sistemi
Bu durumda lineer sistemin çözümleri neler olabilir?
Tüm bu durum portrelerinde ortak bir şey var, ne?
S. Haykin, “Neural Networks- A Comprehensive
Foundation”2nd Edition, Prentice Hall, 1999,
New Jersey.
Dinamik sistemin özel bir çözümü: Denge noktası
Tanım: (Denge noktası) x  f (x) sisteminin x(t )  xd , t  t0 sabit
çözümleri, sistemin denge noktalarıdır.
xd nasıl belirlenir? 0  f ( x ) Cebrik denkleminin çözümleri denge noktalarıdır.
d
xd lineer sistemde
A matrisi tersinir ise tek aksi taktirde sonsuz
0

Ax
d
nasıl belirlenir?
tane
Hatırlatma
(Norm) V vektör uzayı olmak üzere aşağıdaki üç özelliği
sağlayan bağıntı “norm”’dur
. :V  R
x 0  x0
x   x
x  y  x  y , x, y V
Bazı normlar Euclid Normu
Taksi Şöförü Normu
Hamming Mesafesi
Kararlılık
Sıfır giriş kararlılığı x (t )  Ax(t ), x(t0 )  x0
Tanım: (Lyapunov anlamında kararlılık)
x (t )  f ( x(t ))
herhangi bir   0
sistemine ilişkin bir denge noktası xd olsun. Verilen
için
x(t0 )  xd   ( , t0 )
eşitsizliği
x(t )  xd   , t  t0
eşitsizliğini gerektirecek şekilde bir ( , t0 ) bulunabiliyorsa xd denge
noktası Lyapunov anlamında kararlıdır.
Tanım: (Asimptotik kararlılık)
x (t )  f ( x(t ))
sistemine ilişkin bir denge noktası xd olsun.
1) Sistem Lyapunov anlamında kararlı,
2)
x(t0 )  xd   ( , t0 ) eşitsizliği
lim x(t )  xd  0, t  t0 ifadesini gerektirecek
t 
şekilde bir  ( , t0 ) bulunabiliyorsa xd denge
noktası Asimptotik kararlıdır.
Teorem:
x (t )  Ax(t ), x(t0 )  x0 Sistemi Lyapunov anlamında kararlıdır

Nasıl oluyorda sistemin Lyapunov anlamında
kararlılığından bahsedebiliyoruz?
(t , t0 )  c, t  t0