Slide 1 - Ninova
advertisement
Bazı diğer yerel dallanmalar için koşullar x f ( x, ), x R, R n Uç Dallanması: f xx ( x*,d ) 0, f ( x*,d ) x* denge noktasının d parametre değerinde bir uç dallanma noktası olması için sağlaması gereken koşullar aşağıdakilerdir: f ( x*,d ) 0 denge noktası f x ( x*,d ) 0 Hiperbolik değil f xxx ( x*,d ) 0 f x ( x*,d ) Dallanma noktasında kuadratik terimler içermemekte ancak kübik terimler içermekte Çaprazlık koşulu ile tanımlanan ve lineer bağımsız Uç Dallanması için önörnek: x x x3 F.C.Hoppensteadt, E.M. Izhikevich, “Weakly Connected Neural networks”, Springer, 1997. x f ( x, ), x R, R n Diren Dallanması: x* 0 denge noktasının d parametre değerinde bir uç dallanma noktası olması için sağlaması gereken koşullar aşağıdakilerdir: f ( x*,d ) 0 denge noktası f x ( x*,d ) 0 Hiperbolik değil f xxx ( x*,d ) 0 f x ( x*,d ) 0 Dallanma noktasında kuadratik terimler içermemekte ancak kübik terimler içermekte Çaprazlık koşulu Diren Dallanması için önörnek: x x x3 Ayrık zamanda bir parametreye bağlı yerel dallanmalar için basit koşullar x f ( x, ), x R, R Katlanma Dallanması : x x x2 Çevirme Dallanması : x (1 ) x x3 Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004. Teorem Kuznetsov’04 (123) x f ( x, ), x R, R * f C , f( 0 ,0 ) 0 , ˆ f x (0,0) 1 (1) f xx( 0 ,0 ) 0 ( 2) f α( 0 ,0 ) 0 Teorem Kuznetsov’04 (127) * Sistemini 2 O( 3 ) dönüştüren tersinir koordinat ve parametre dönüşümleri vardır. x f ( x, ), x R, R * f C , f( 0 ,0 ) 0 , ˆ f x (0,0) 1 1 1 2 (1) ( f xx( 0 ,0 )) f xxx( 0 ,0) 0 2 3 (2) f xα( 0 ,0 ) 0 * Sistemini (1 ) 3 O( 4 ) dönüştüren tersinir koordinat ve parametre dönüşümleri vardır. Hiperbolik olmazsa ne yapabiliriz? x f ( x), x R n x* hiperbolik olmayan denge noktası olsun f x ( x* ) ‘in özdeğerlerinden reel kısımları sol kompleks düzlemde olanlara ilişkin özvektörlerin v1 , v2 ,..., vn oluşturduğu genelleştirilmiş özuzay T s span v1, v2 ,..., vn “kararlı altuzay”, f x ( x* ) ‘in özdeğerlerinden reel kısımları sağ kompleks düzlemde olanlara ilişkin özvektörlerin vs 1, v2 ,..., vn oluşturduğu genelleştirilmiş özuzay T u span vn 1, v2 ,..., vn “kararsız altuzay”, f x ( x* ) ‘in özdeğerlerinden reel kısımları sıfır olanlara ilişkin özvektörlerin vn 1, v2 ,..., vn0 oluşturduğu genelleştirilmiş özuzay T C span vn 1, v2 ,..., vn0 R T T T n s u “merkez altuzay” ise c Neyi temsil ediyor? Rn T h T c x f ( x), x R n x f ( x), x R n * ¤ Teorem 11: (Merkez Manifold ) H : T c T h , H (0) 0, H x (0) 0 R n ‘de x 0 ‘ın bir komşuluğu U olsun, M x H ( x) x T c manifoldu aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa “merkez manifold”’dur (değişmezlik) M , U ‘nun komşuluğunda * veya ¤ için yerel olarak değişmez kümedir. u (çekicilik) T 0 ise M yerel olarak çekici bir kümedir. Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004. Kaos’a varmanın yolları Nasıl? Düzen Kaos Umulmadık yapısal değişiklikler ile Bu nasıl oluşabilir? Ardışıl bir dizi dallanma ile, peryod katlanmasına yol açan dallanmalar ile durum uzayındaki davranış değişmeye başlayıp durum uzayında kalıcı çözüm tuhaf çekiciye dönüşebilir. Bir örnek: Lorenz Sistemi x ( y x) y x( z ) y x* 0, y* 0, R z* 0, z xy z Denge noktaları Hangi dallanma? x* ( 1) , y* ( 1) , 1 z* 1, Lineerleştirelim: x* 0, y* 0, z* 0, Özdeğerler x y x y x y z z 1 Ne zaman kararlı, ne zaman kararsız ? 1 1 2,3 1 ( 1)2 4 ( 1) 2 2 * * * Lineerleştirelim: x ( 1) , y ( 1) , z 1 x y x y x y ( 1) z z ( 1) ( x y ) z Özdeğerler 3 ( 1)2 ( ) 2 ( 1) 0 3 ( 1)2 ( ) 2 ( 1) 0 Denge noktalarının var olması için 1 olmalı f ( ) 0, 0 http://www.cg.tuwien.ac.at/~fischel/Lorenz97/raleigh.html 0 .5 6 http://www.cg.tuwien.ac.at/~fischel/Lorenz97/raleigh.html 19 24.1
