3. EĞİK DÜZLEMDE HAREKET Hazırlayanlar Arş. Grv. M

3. EĞİK DÜZLEMDE HAREKET
Hazırlayanlar
Arş. Grv. M. ERYÜREK
Arş. Grv. H. TAŞKIN
AMAÇ
Eğik düzlemdeki ivmeli hareketi gözlemek ve bu hareket için yol-zaman, hız-zaman ilişkilerini
incelemek, yerçekimi ivmesini ve eğik düzlem ile sürtünme katsayısını ölçmek.
ARAÇLAR
Eğik düzlem ,tahta blok, cetvel, kronometre, dinamometre.
GİRİŞ
Bir cismin ortalama hızı onun birim zamanda aldığı yol olarak tanımlanır. Yani cisim bir ∆t
süresince ∆x kadar yer değiştirmiş ise ortalama hızı
vort =
∆x
∆t
(1)
x
x
2
olarak tanımlanır.
Hızın sabit olduğu (zamanla değişmediği) bir harekette yolzaman grafiği Şekil 1' de görüldüğü gibi bir doğrudur.
x
1
t
1
t
t
2
Şekil 1. Sabit hızla hareket
eden cismin yol-zaman
grafiği.
Bu doğrunun eğimi cismin sabit v hızını verir.
v = tan θ =
∆x
θ
∆t
x 2 − x1
∆x
=
∆t
t 2 − t1
(2)
Böylece hızın sabit olduğu bir hareket için yol-zaman grafiğinin denklemi
x = vt
(3)
olacaktır.
Hızın sabit olduğu durumdaki hız zaman grafiği ise Şekil 2’ deki gibi zaman eksenine paralel
bir doğru olacaktır. Bu grafik bize hızının zamanla değişmediğini, sabit kaldığını
anlatmaktadır.
Hızın sabit olmadığı (zamanla değiştiği) hareketlere ivmeli hareketler denilmektedir.
31
v
Eğer bir cismin hızı zamanla doğrusal olarak artıyor ya da
azalıyorsa cismin bu hareketine sabit ivmeli hareket
v
denilmektedir.
Böylece ivme birim zamandaki hız değişimi, yani
t
Şekil 2. Sabit hızla
hareket eden cismin
hız-zaman grafiği.
(4)
olarak tanımlanmaktadır. (Eğer hız zamanla azalıyorsa bu durumda cisim negatif ivmeli bir
hareket yapıyordur.)
Sabit ivmeli bir harekette yol-zaman grafiği eğer ilk hız sıfır ise Şekil 3’ deki gibi bir parabol
olur.
x
Bu parabolün denklemi
x=
1
2
at 2
(5)
∆x
θ
biçimindedir. Görüldüğü gibi burada alınan yol zamanla
0
∆t
t'
t
doğrusal olarak değil zamanın karesiyle orantılı olarak
Şekil3. Sabit ivmeli hareket
artmaktadır.
yapan bir cismin yol-zaman
grafiği
Eğer cismin herhangi bir andaki hızını (anlık hız veya ani
hız) bulmak istersek, yol-zaman eğrisinde göz önüne aldığımız, bu zamana karşılık gelen
noktadaki “teğetin eğimini” hesaplamamız gerekir.
v
Böylece Şekil 3' deki t' anı için ani hız
v( t ') = tan θ =
∆x
∆t
(6)
bağıntısından hesaplanır.
v(t')
v
2
v
1
θ
İlk hızın sıfır olduğu bir ivmeli harekette hız-zaman
t
t
t
grafiği ise hız zamanla doğrusal olarak arttığından Şekil
t'
1
2
4’ deki gibi bir doğru olur. Bu doğrunun denklemi
Şekil 4. Sabit ivmeli hareket
v = at
(7)
yapan cismin hız-zaman grafiği.
biçimindedir. Bir t anındaki anlık hız v( t') grafikten doğrudan bulunabilmektedir. Bu doğrunun
eğimi de bize hareketin ivmesini verecektir.
32
v − v1 ∆v
a = tan θ = 2
=
t2 − t1
∆t
(8)
Hızın zamanla doğrusal olarak değişmediği hareketlerde vardır. Bu tür hareketlere değişken
ivmeli hareketler denilmektedir. Şekil 5’ deki hız-zaman grafiği değişken ivmeli bir harekete
aittir.
v
∆V
θ
∆t
t
t'
Şekil 5. Değişken ivmeli bir hareket için hız-zaman grafiği.
Burada herhangi bir t' anındaki ivme (ani ivme) t' anına karşılık gelen noktadaki teğetin
eğiminin hesaplanmasıyla bulunur. Yani
a( t ') = tan θ =
∆v
(9)
∆t
olur.
SÜRTÜNME KUVVETİ, STATİK SÜRTÜNME KUVVETİ
Sürtünme kuvvetinin daha iyi anlaşılabilmesi için basit bir deney yapmak faydalı olacaktır.
F
(a)
(b)
Şekil 6a-6b. Sürtünme kuvvetinin belirlenmesi için gerekli deney düzenekleri
Bunun için size verilen bir tahta bloğu, tahta zemin üzerine yerleştiriniz. Tahta bloğa bir
dinamometreyi tutturunuz (Şekil 6a). Dinamometrenin ucundan yavaşca çekiniz, uyguladığınız
kuvvetin bloğu harekete geçirmediğini göreceksiniz. Newton 'un ikinci yasasına göre bir cisim,
uygulanan kuvvetin etkisi ile ivmeli hareket yapmalıdır. Bu durumda cisim hareket etmediğine
göre cisme etki eden net kuvvet sıfırdır (eylemsizlik prensibi). Ancak görünen tek kuvvet
sizin uyguladığınız kuvvettir. Burada cismin hareketini engelleyen ve uygulanan kuvvete zıt
yönde yönelmiş bir kuvvetin varlığı söz konusudur. İşte bu kuvvete sürtünme kuvveti denir.
Sürtünme kuvveti her zaman hareketi engelleyici yöndedir. Yatay bir yüzey üzerinde duran bir
cismi harekete geçirmek için üzerinde bulunduğu yüzeye paralel doğrultuda uygulanması
33
gereken minimum kuvvet statik sürtünme kuvvetine eşit olmalıdır. Bu tanımlara göre statik
sürtünme kuvvetini kolayca ölçebilirsiniz. Bunun için cisme uyguladığınız kuvveti arttırınız.
Cismin harekete başladığı andaki kuvveti dinamometreden okuyunuz. Ölçtüğünüz kuvvet
statik sürtünme kuvvetine eşittir. Böylece tahta yüzeyin cisim üzerine uyguladığı sürtünme
kuvvetini bulmuş olursunuz. Yapılan deneyler sürtünme kuvvetinin, sürtünen yüzeyleri
sıkıştıran normal kuvvetle orantılı ve yüzeylerin cinsine ve fiziksel durumuna bağlı olduğunu
göstermişlerdir. k sürtünme katsayısı, N normal kuvvet olmak üzere sürtünme kuvveti;
Fs=kN
(10)
N
dir. Şekil 7’ ye göre N=W=mg, F=Fs olduğundan
cismin kütlesi biliniyorsa sürtünme katsayısı
Fs
F
kolayca bulunabilir. Eşitlik (10)’ da görüldüğü gibi
W
sürtünme kuvveti sürtünen yüzeylerin büyüklüğüne
Şekil 7. Sürtünmeli yüzey üzerindeki
bağlı değildir. Bunu görebilmek için cismin farklı
cisme etkiyen kuvvetlerin gösterimi
bir yüzeyini tahta düzleme oturtunuz ve yaptığınız
işlemleri tekrarlayarak, sürtünme kuvvetini ve
katsayısını bulunuz. Elde ettiğiniz değerlerin birbirlerine yakın olduğunu göreceksiniz.
SÜRTÜNMELİ, SÜRTÜNMESİZ EĞİK DÜZLEM
Bilindiği gibi yeryüzü yakınında serbest düşmeye bırakılan tüm cisimler sabit g = 9.80 m/s2
ivmesi ile düşerler. Serbest düşme hareketi ayrıntıları ile kolayca gözlenemeyecek kadar hızlı
bir harekettir. Bu nedenle yapacağımız deneyde yerçekimi ivmesini ölçebileceğimiz eğik
düzlem deney düzeneğini kullanacağız.
N=mgcos θ
F=mgsin θ
h
θ
N`=mgcos θ
θ
W=m
D
Şekil 8. Sürtünmesiz eğik düzlem.
Şekil 8' deki sürtünmesiz eğik düzlemi göz önüne alalım. Burada m kütleli cismi hareket
ettiren kuvvet onun W=mg ağırlığının düşey bileşeni olan
34
F = mg sinθ
(11)
kuvvetidir. W=mg ağırlığının yatay bileşeni olan N' = mg cos θ kuvveti ise sadece cismi yüzeye
bastırmaya çalışır, yani harekete bir etkisi yoktur. N = mg cos θ kuvveti, bu kuvveti dengeleyen
bir tepki kuvveti olarak ortaya çıkar.
Newton' un 2. yasası cisme etki eden kuvvetin
F=ma
(12)
ya eşit olacağını söyler. Böylece denklem (11) ve denklem (12) in birbirlerine eşitlenmesi ile
kayma ivmesi için,
a = g sinθ
(13)
ifadesi bulunur. Görüleceği gibi kayma ivmesi a daima g yerçekimi ivmesinden küçük
olmaktadır. Çünkü sinθ daima 1 den küçüktür.
Şimdi de Şekil 9' daki sürtünmeli eğik düzlemi gözönüne alalım. Burada cismi harekete
geçiren net kuvvet artık F = mg sinθ değil
Fnet = mg sin θ − Fs = mg sin θ − kmg cos θ
(14)
N=mgcos θ
Fs=kN
F=mgsin θ
θ
h
θ
W=m
N`=mgcosθ
D
Şekil 9. Sürtünmeli eğik düzlemde bir cismin serbest cisim diyagramı.
kuvvetidir. Çünkü sürtünme kuvveti harekete daima zıt yönlüdür ve idealize edilmiş şekliyle
sadece normal kuvvete ve birbiri üzerinde kayan maddelerin cinsine bağlıdır. Temas yüzeyinin
alanına ve hıza bağlı değildir (k, sürtünme katsayısıdır). Denklem (14)’ ün ma 'ya
eşitlenmesiyle cismin sürtünmeli eğik düzlemdeki kayma ivmesi
a = g( sin θ − k cos θ)
(15)
olarak hesaplanır.
35
Eğer net kuvvet Fnet=0 ise Newton'un 2. yasası gereği cisim ya durgun kalacaktır ya da küçük
bir itmeyle sabit hızla (ivmesiz) kaymaya başlayacaktır. Net kuvvetin sıfıra eşitlenmesiyle sınır
açısı yani cismin tam kaymaya başladığı andaki açı;
θs = tan −1( k )
(16)
olarak hesaplanır.
DENEYİN YAPILIŞIYAPILACAK İŞLER
1.Statik Sürtünme Kuvveti ve Sürtünme Katsayısının Bulunması: Terazi yardımıyla
bloğun kütlesini ölçünüz. Tahta bloğu düzleme yerleştiriniz ve dinamometre yardımıyla üç
farklı statik sürtünme kuvvet değerlerini tespit ederek ölçümleri deney raporuna yazınız .
2.Sürtünmeli Eğik Düzlemde Sınır Açısının Belirlenmesi: Tahta bloğunuzu eğik düzleminiz
üzerinde bir konuma yerleştiriniz. Eğik düzlemi üzerinde bulunan vida aracılığı ile
yükseltiniz.(tahta bloğu yükseltirken yavaş hareket ediniz.) Tahta bloğun kaymaya başladığı
andaki yükseklik için beş farklı değeri deney raporuna yazınız. Burada önemli olan tahta bloğu
her ölçüm için eğik düzlemin farklı noktalarına yerleştirmenizdir, çünkü sürtünme katsayısı
eğik düzlem üzerinde her noktada farklı olabilir.
3.Sürtünmeli Eğik Düzlemde, Alınan Yolun Zamana Bağımlılığının İncelenmesi
Eğik düzlemin eğim açısını ayarlayınız.(eğim açısını 2.kısımda hesapladığınız sınır açısından
büyük bir değere ayarlayınız. Neden böyle bir seçim yapıldığını deney raporunun sonuç-yorum
bölümünde yorumlayınız.) Tahta bloğu daha önceden belirlenmiş (x= 20,40,60,80,100 cm) beş
farklı konumdan kaymaya bırakınız ve kronometre yardımı ile her nokta için dört kez iniş
sürelerini ölçünüz. Ölçtüğünüz bu değerleri deney raporuna yazınız.
VERİLERİN ÇÖZÜMLENMESİ
1. Ölçtüğünüz farklı statik sürtünme kuvveti değerlerinden ve tahta bloğun kütlesinden
yararlanarak gerekli bağıntılar yardımıyla her bir veri için sürtünme katsayını
hesaplayarak ortalama değerini bulunuz.
2. Ölçtüğünüz farklı yükseklik değerleri (h) ile bu yükseklik değerlerine karşılık gelen
taban uzunlukları için sınır açısını hesaplayınız ve sürtünme katsayısını bulunuz.
3. Ölçtüğünüz t değerleri için x-f(t) ve x-f(t2) grafiklerini çiziniz. Grafiğin eğiminden tahta
bloğun ivmesini hesaplayınız.gerekli bağıntılardan yararlanarak g yerçekimi ivmesini
bulunuz ve bilinen değer ile karşılaştırınız.
36
KAYNAKLAR
1. D. Halliday -R. Resnick , Temel Fizik ( çeviri)
2. Richards Sears,Werh Zemansky, Modern Üniversite Fiziği (çeviri)
3. İsmet Ertaş , Denel Fizik Dersleri, Ege Üni. Basımevi
4. Enis Erdik , Mekanik ve Maddenin Özellikleri, Ank. Üni. Fen Fak. Yayınları
37