BÖLÜM

BÖLÜM 6
POTANSİYEL
6.1 Elektrik Potansiyel Enerjisi
Herhangi bir yüzey üzerinde sürtünmesiz aşağı doğru kayan bir cismin hızı, cismin
kinetik enerjisindeki artmanın potansiyel enerjisindeki azalmaya eşit olduğunu yazarak
bulabiliriz. Şimdi burada enerjinin korunumunu, bir elektrik alan içinde bulunan bir
elektrona veya bir yüklü cisme aynı tarzda uygulanabileceğini göreceğiz.
Yüklü qı olan bir parçacık bir elektrik alan içinde hareket edecek olursa , ona etkiyen
kuvvetlerden biri qı .E dir. Bu kuvvetin gördüğü iş;
Wel = F ds = E. q' .ds olur.
Alanın 1 noktasından 2 noktasına kadar yer değiştirmesinde görülen toplam iş ;
S2
Wel = q .
1
 E.ds
S1
Bu yer değiştirmeler sırasında bütün diğer kuvvetlerin (Elektriksel kuvvetlerin
dışındaki kuvvetler ) gördüğü toplam iş W1 ile gösterelim. İş – Enerji prensibine göre ;
W1 + Wel = EK2 – EK1 yazılır.
Yüklü bir parçacığa etkiyen elektrostatik kuvvetler korunumlu kuvvetlerdir. Bunu
göstermek için q gibi hareketsiz bir nokta yükün meydana getirdiği ışınsal elektrik alanı
göz önüne alalım. Bu alan içerisinde q1 gibi bir sınama yükünün yer değiştirmesiyle
elektriksel kuvvetlerin gördüğü iş , bir ağırlık kuvvetinin gördüğü işin aynısıdır.
F
qı
2
ds
F=qı.E
dr
r2
θ
q
+
ds
θ dr
ı
q
r1
1
Şekil.6.1 q’ yükünün bir elektrik alan içindeki hareketi.
83
Şekil.6.1. de görüldüğü gibi q1 sınama yükünün q yükünün meydana getirdiği ışınsal
alan içinde ds kadar yer değiştirmesinde q1 yükünün üzerinde elektriksel kuvvetlerin
gördüğü iş:
dWel = q'.E.ds = q'.E.cos θ.ds
cos θ = dr / ds
dr = ds.cos θ
E
1 q
.
olduğundan
40 r 2
dWel = q'. ∫ E.cos θ.ds dır.
q.q '
dWel 
40
r2
dr
r r 2
1
, Wel  
q.q '
40
1 1
  
 r2 r1 
Buna göre iş sadece r1 ve r2 uzaklığına bağlı olduğunda elektriksel kuvvetlerde
korunumlu kuvvetlerdir. İş – Enerji prensibine göre ;
W' + Wel = Ek2 – Ek1
W' elektriksel kuvvetlerin dışındaki kuvvetlerin yaptığı işdir
W1 
qq1
40
1 1
    E K 2  E K1
 r1 r2 
 qq1
qq1 

W 1  ( EK2 – EK1) + 

 40 r2 40 r1 
olur.
Buna göre q1 yükünün q yükünden herhangi bir r uzaklığında bulunduğu zamanki
potansiyel enerjisi ;
qq1
EP 
. olur.
40 r
Elektriksel potansiyel enerji denkleminde potansiyel enerjinin sıfır olması için r nin
∞ olması gerekir. Bu demektir ki q1 sınama yükünün potansiyel enerjileri için bir referans
noktası q yükünden sonsuz uzaklıkta bulunan bir noktadır.
Denklemimizdeki r uzaklığı daima pozitif olacağından potansiyel enerjinin işareti q
84
ve q1 yükünün işaretine bağlı olacaktır. Bu yüklerin ikisi de pozitif veya negatif olursa
çarpımları pozitif olur ve potansiyel enerji pozitiftir. Bu demektir ki bir +q yükünün
alanında bulunan bir sınama q1 yükü sonsuzda bulunan bir noktaya göre bir pozitif
potansiyel enerjiye sahiptir.
Bu iki yükün işaretleri zıt ise çarpımları negatif olur. Yani negatif bir q1 yükünün
pozitif bir q yükün alanı içindeki potansiyel enerjisi sonsuzdaki bir noktaya göre negatiftir.
q1 yükü q yükünden uzaklaştıkça potansiyel enerjisi artar.
Şimdi q1, q2, q3 gibi nokta yüklerden
r1, r2, r3 uzaklıklarda bulunan bir P
noktasında bir elektrik alan meydana gelmiş olsun.
Bu noktaya q1 yükünü koyalım ve bu yüke sabit yüklerin her biri bir kuvvet
uygulayacaktır. q1 yükünün herhangi bir noktadaki elektrik potansiyel enerjisi, her bir
yükün o noktada meydana getirmiş olduğu elektrik potansiyel enerjileri toplamına eşit olur.
Şekil.6.2 Elektriksel Potansiyel Enerji.
EP 
q1
q
.q1  2 .q1  ........
40
40
EP 
q
q1
 i olur. ( nokta yükler için )
40 ri
Elektrik alanı meydana getiren yükler bir takım yüzeylere dağılmış ise o zaman
üstteki denklem deki toplam yerine integral alınır.
Ep 
q'
dq

40 r
olur.
85
6.2 Potansiyel
Bir elektrik alan içinde q' sınama yüküne etkiyen kuvveti göz önüne alacak yerde bu
kuvvetin yüke oranını kullanmak daha uygun olur. E 
F
q'
F = q' . E
Aynı şekilde q' yükünün alanın herhangi bir noktasındaki EP potansiyel enerjisini alacak
yerde bu potansiyelin yüke oranını almak daha uygun olacaktır . V 
EP
EP = q' . V
q'
olur. Potansiyel skaler bir büyüklük olup birimi M.K.S de joule / coul dur. Buna volt
ismi verilir.
V = joule / coul = volt , 1volt = 10-3 milivolt = 10-6 mikrovolt
1 kilovolt = 10 3 volt , 1Megavolt = 106 volt
q' sınama yükü sabit bir q yükünden r kadar uzaklıkta bulunacak olursa kazandığı
Potansiyel enerji ;
EP 
Potansiyel ise ;
V
1 q.q '
.
40 r
1 q
. olur
40 r
Belirli yüklerin meydana getirdiği alanın bir noktadaki potansiyel;
V
1
40
q
r
( yükler nokta yük ise )
Yükler herhangi bir şekilde yüzeylere dağılmış ise ;
V
1
40

dq
r
olmalıdır.
Bu denklemlerin yazılışında potansiyeller için referans düzeyi sonsuzda bulunan bir
nokta alınmıştır.
Herhangi bir noktada meydana gelen potansiyelin işareti bu alanı meydana getiren
yükün işaretine bağlıdır. Bir q nokta yükünün (sonsuzda bulunan bir noktaya göre)
potansiyeli, yük pozitif ise pozitif yük negatif ise negatiftir.
86
6.3 Potansiyel Farkı.
Bir yük bir noktadan başka bir noktaya hareket ettiği zaman potansiyel enerjisinin
değişimini potansiyel farkı tayin eder. Alan içindeki noktaları gösterecek olursak bu
noktalar arasındaki potansiyel farkı :
Va – Vb = Vab ,
Vb – Va = Vba ,
Vab = -Vba
Potansiyel voltla ifade edildiği için potansiyel farkı da voltla ifade edilir. Potansiyel
farkları elektroskop, elektro metre, voltmetre ile ölçülür.
Şekil.6.3. de görüldüğü gibi bir akümülatör bataryasının kutupları arasındaki
potansiyel farkı 12 volttur. + kutbu daha fazla potansiyeldedir. Kutuplar arasında bir
elektrik alan mevcuttur. Bir + yükü a’dan b’ye gidecek olursa bu yükün potansiyel enerjisi
12 volt kadar azalır. Bu enerji otomobilin, ampülün fitilinde ısı şeklinde, motorunda
mekanik enerji şeklinde kendini gösterir.
Şekil 6.3. Akümülatör
Vba = -12 volt , Vab = 12 volt
İki nokta arasındaki potansiyel farkı için genel bir denklem çıkaralım. Bir q’ yüküne
elektrik kuvvetlerinin yaptığı iş;
b
Wel  q . E.ds
'
a
Bu iş q' yükünün potansiyel enerjisindeki azalma (Epa- Epb) kadardır.
Epa - Epb = q' ∫ E. ds ,
b
b
E
 PB   E.ds , Va  Vb   E.ds
q'
q'
a
a
E PA
b
Vab   E. cos .ds
a
b
Wel  q ' . E.ds ,
Wel = q' .( Va – Vb ) olur.
a
87
ÖRNEK.1 Yüklerin meydana getirdiği alanın A, B ve C noktalarındaki
potansiyelleri ne kadardır?
V
1 q
.
4O r
9
12.10 9
9  12.10
VA = V1A + V2A = 9.10 .
 9.10 .
 900volt
6.10 2
4.10 2
9
9
12.10 9
9  12.10
VB = V1B+ V2B = 9.10 .
 9.10 .
 2700  770  1930 volt
4.10 2
14.10 2
9
VC = 0 ( uzaklık ve büyüklükler aynı olduğu için)
ÖRNEK.2 E elektrik alan şiddetleri simetri dolayısıyla düzgün ve levhaların
yüzeyine dikeydir. Buna göre levhalar arasındaki potansiyel farkı ne kadardır?
+
+a
+
+
+
+
b-
WeL = q' . E. ds
Vab = ∫ E.cos θ.ds , E = sabit , θ = 0 , cos θ =1 , ds = dx
Vab = E ∫ dx = E .(xb -xa ) = E.d , E 
Vab
,
d
E

0
88
6.4 Yüklü İletken Bir Kürenin Potansiyeli.
E
V
1 q
40 a
1 q
40 r 2
.
.
V
1 q
40 r
.
Şekil.6.4 Yüklü bir iletkenin içindeki ve dışındaki noktalardaki E ve V değerleri.
Yüklü iletken bir kürenin dışında bir noktada elektrik alanın, iletken kürenin bütün
yükünün merkezde toplanmış iken meydana getirdiği alan ile aynı olduğunu görmüştük.
Buna göre böyle bir iletkenin dışındaki bir noktada potansiyeli, yine nokta yükün
potansiyeline eşit olacaktır.
r > a ise
V
1 q
.
40 r
Kürenin içindeki noktalarda potansiyel, yüzeydeki potansiyele eşittir.
V
1 q
.
40 a
r = kürenin dışında bir nokta. a = kürenin yarıçapı
89
PROBLEMLER
PROB.1 2,5.10-8 coulomb’luk bir yük yukarı doğru yönelmiş 5.104 nt/coul’luk
düzgün bir alan içinde bulunuyor. Bu yük;
a) Sağ tarafa doğru 45 cm yer değiştirirse
b) Aşağı doğru 80 cm yer değiştirirse
c) Sağ yukarı doğru yatayla 450 açı yapacak şekilde 260 cm yer değiştirirse, elektrik
alanlara karşı ne kadar iş görülmüştür?
Çözüm : q' = 2,5.10-8 C , E = 5.104 N / C
a) Wel = q' ∫ E.cos θ.(x2-x1)
Wel = 2,5.10-8.5.104.cos90.0,45 = 0
b) Wel = q' .E.cos θ.∆x
= 2,5.10-8.5.104.cos180.0,8
Wel = -10-3 joule
c) Wel = q' .E.cos θ.∆x
= 2,5.10-8.5.104.cos45.2,6
Wel = 2,3.10-3 joule
PROB.2 0,2 gr kütleli küçük bir küre 5 cm aralıklı düşey iki levha arasına asılmıştır.
Küre üzerinde 6.10-9 coulomb kadar bir yük bulunmakta ise levhalar arasındaki potansiyel
farkı ne olmalıdır ki ip düşeyle 300 lik açı yapsın?
90
Çözüm : F = q'.E , m = 0,2 gr , d = 5 cm
Vab = ? , θ = 300 , q = 6.10-9 C
Va b = E. d , tg 
q ' .E q ' .Vab 1
.
.
m.g
d m.g
,
Vab 
tg.m.g.d
q'
Vab = 0,578.0,2.10-3.0,8.5.10-2 / 6.10-9 = 9,44.103 volt
PROB. 3) Her birinin değeri q olan pozitif iki nokta yük, y ekeseni üzerinde y =+a
ve y = -a olan noktalara yerleştirilmiştir.
a) Eksenlerin başlangıç noktasındaki Vo potansiyeli?
b) x ekseni üzerinde herhangi bir noktadaki potansiyeli ne olur.
Çözüm: a )
V0 = ?
V0 = V10 + V20
q1
x2  a2
a
O
x
P
a
x2  a2
q2
VO 
1 q
1 q
. 
.
4O a 4o a
V0 
2q
40 .a
91
b) x ekseni üzerinde herhangi bir noktadaki potansiyeli; Vp = ?
Vp 
1
q
1
q
.

.
40 a 2  x 2 40 a 2  x 2
Vp 
2
q
.
40 a 2  x 2
PROB.4 Her birinin yarıçapı 10 cm olan iki iletken küre merkezleri arasındaki
uzaklık 1m’dir. A küresine 30.10-9 luk B küresine -60.10-9 luk şarj verildiği zaman her bir
kürenin potansiyeli ne olur.
A
B
+
- 1m
+ +
+
+
++ +
- - qA = 30.10-9 c ,
qB = -60.10-9 c
Çözüm:
VA = VA' + VB
VA = 9.109 .
9
30.10 9
9  60.10

9
.
19
.
 2160volt
1
10.10 2
VB = VB' +VA
9
 60.10 9
9 30.10
VB=9.10 .
 9.10
 5400  270  5130volt
1
10.10 2
9
VA-VB = 2160 + 5130 = 7290 volt
92
PROB.5 Şekilde görüldüğü gibi
q1
q2
q3
yüklerinin
q1=2.10-9 c
K noktasında
meydana getirdikleri toplam potansiyel
5 cm
sıfır olduğuna göre a ) LM uzaklığını
b)
530
L noktasındaki toplam potansiyeli
K
bulunuz.
530
q3=10-8 c
L
M
cos37 = sin 53 = 0,8
5 cm
sin37 = cos 53 = 0,6
-9
q2=-5.10 c
Çözüm : VK = 0 , LM = ?
a ) KL = x , cos37 =
VL = ?
x
, x = 5.cos37 = 4 cm
5
sin37 =
y
, y = 5.0,6 = 3 cm
5
VK = Vq1K + Vq2K + Vq3K
9.109
5
30
2.10 9
3.10  2

2
30
 9.109.

5.10 9
3.10  2
1
,
KM
 9.109
10 1
KM.10  2
KM = 10 cm
q1=2.10-9 c
LM = KM – KL = 10 – 4 = 6 cm
5 cm
y
530
370
x
K
VL =
1800
5
2.10 9
5.10  2

4500
5
 9.109.

9000
6
5.10 9
5.10  2
L
M
5 cm
b) VL = VL1 + VL2 + VL3 ,
VL= 9.109
530
q3=10-8 c
-9
q2=-5.10 c
 9.109.
10 8
6.10  2
 360  900  1500  960
volt
93
PROB.6 Yarıçapları 2 cm olan küreler şekildeki konumda olduklarına göre ;
a ) M noktasında potansiyelin
1080 volt olması için
MC
-9
A qA=2.10 c
uzaklığı ne olmalıdır.
MC = x
MA = 5 cm
MB = 5 cm
b ) C noktasındaki potansiyeli
M
bulunuz.
C
x
qC=8.10-9 c
B
qB=-4.10-9 c
Çözüm : a) r = 2 cm , VM = 1080 V , MC = ?
MA = 5 cm , MB = 5 cm
V = k.
q
r
,
VM = VA + VB + VC
1080 = 9.109.
2.10 9
5.10  2
1080 = 360 – 720 +
b ) VC = VA + VB + V 'C ,
 9.109.
7200
MC
5.10  2
 9.109
8.10 9
MC.10  2
MC = 5 cm
VC’ = kendi yükünden dolayı kazandığı potansiyel .
MC = 5 cm , r2 = 25 + 25 = 50
VC = 9.109.
 4.10 9
2.10 9
7.10  2
r = 7,07 cm
 9.109.
4.10 9
7.10  2
 9.109
8.10 9
2.10  2
VC = 257 – 514 + 3600 = 3343 volt
PROB.7
Şekildeki +4q ve qx yüklerinin L noktasındaki potansiyelleri eşit
büyüklükte iseler bu yüklerin K ve M deki toplam potansiyellerinin VK / VM oranı ne
olur.
+4q
d
d
d
K
L
qx
d
M
94
Çözüm: V  k
q
q
4q
, k
 k x  q x  2q
d
2d
d
K noktasındaki potansiyel; VK  k
q
4q
q
 k x  5k
d
2d
d
M noktasındaki potansiyel; VM  k
4q
2q
q
k
 3k
4d
d
d
VK 5
 olur.
VM 3
95