Manyetik Alanın Kaynakları

Manyetik Alanın Kaynakları
BİOT-SAVART YASASI
Jean Biot ve Felix Savart isimli bilim adamları akım taşıyan bir tel
parçasının yakınlarında oluşan manyetik alanın matematiksel olarak
nelere bağlı olduğunu ortaya koyabilmek için bir dizi deneyler
gerçekleştirmişlerdir. Bu deney 𝐼 akımı taşıyan ve şekilde gösterilen
bir tel parçasıyla ilgili olup bu tel parçası üzerindeki bir 𝑑𝒔 uzunluk
elemanın 𝑃 noktasında oluşturduğu 𝑑𝑩 manyetik alanla ilgilidir.
Yapılan deneylerde şu sonuçlar elde edilmiştir.
1. İletken üzerindeki 𝑑𝒔 uzunluk elemanın 𝑃 noktasında oluşturduğu
𝑑𝑩 manyetik alan vektörü, hem 𝑑𝒔 vektörüne (akım yönüne) hem de
𝑑𝒔 den 𝑃’ ye doğru yönelen 𝒓 birim vektörüne diktir.
2. İletken üzerindeki 𝑑𝒔 uzunluk elemanın 𝑃 noktasında oluşturduğu
𝑑𝑩 manyetik alan vektörünün büyüklüğü 𝑟 2 ile ters orantılıdır.
Burada 𝑟, 𝑑𝒔 uzunluk elemanın 𝑃 noktasına olan uzaklığıdır.
3. İletken üzerindeki 𝑑𝒔 uzunluk elemanın 𝑃 noktasında oluşturduğu
𝑑𝑩 manyetik alan vektörünün büyüklüğü tel içinden geçen akımla
(yani 𝐼) ve 𝑑𝒔 uzunluk elemanın büyüklüğü (yani 𝑑𝑠) ile orantılıdır.
4. İletken üzerindeki 𝑑𝒔 uzunluk elemanın 𝑃 noktasında oluşturduğu
𝑑𝑩 manyetik alan vektörünün büyüklüğü sin⁡(𝜃) ile orantılıdır.
Burada ifade edilen 𝜃 , 𝑑𝒔 uzunluk elemanı vektörü ile 𝒓 birim
vektörüne arasındaki açıdır.
Bu gözlemler ışığı altında Biot-Savart yasasına göre bir tel parçası
üzerindeki bir 𝑑𝒔 uzunluk elemanın 𝑃 noktasında oluşturduğu 𝑑𝑩
manyetik alan matematiksel olarak aşağıdaki gibi ifade edilmektedir.
Serbest uzayın manyetik
alan geçirgenliği
Manyetik alanın yönü; Baş parmak akımın gösterecek biçimde sağ-el
ile tel kavranır, diğer dört parmak manyetik alanın yönünü gösterir.
Bu ifade bir tel parçası üzerindeki bir 𝑑𝒔 uzunluk elemanın 𝑃
noktasında oluşturduğu 𝑑𝑩 manyetik alanın matematiksel ifadesidir.
Tüm telin 𝑃 noktasında oluşturduğu 𝑩 manyetik alan ise yukarıdaki
ifadenin her iki tarafının integrali alınarak hesaplanır.
Örnek: İnce Doğrusal Bir İletkeni Çevreleyen Manyetik Alan
Şekilde gösterildiği gibi 𝑥 ekseni boyunca yerleştirilen ve sabit bir 𝐼
akımı taşıyan ince doğrusal bir tel veriliyor. Bu telden geçen akımın
𝑃 noktasında oluşturduğu manyetik alanın büyüklüğünü ve yönünü
belirleyiniz.
Çözüm:
Çözüm için önce tel üzerinde 𝑑𝒔 kadar çok çok küçük bir uzunluk
elemanı alalım ve bu elemanın 𝑃 ye olan uzaklığı 𝑟 olsun.
𝑑𝒔 × 𝒓
vektörel
çarpımını yapmaya
çalışalım.
𝑑𝒔 = 𝑑𝑥𝒙
𝒓 bir birim vektör olup büyüklüğü birdir. Şekle göre bu vektör
𝒓 = cos 𝜃 𝒙 + sin⁡(𝜃)𝒚 ile ifade edilir.
𝑑𝒔 = 𝑑𝑥𝒙
Dolayısıyla
𝒓 = cos 𝜃 𝒙 + sin⁡(𝜃)𝒚
𝑑𝒔 × 𝒓
vektörel
çarpımı;
𝑑𝒔 × 𝒓 = {𝑑𝑥𝒙} ×{cos 𝜃 𝒙 + sin⁡(𝜃)𝒚}= 𝑑𝑥sin⁡(𝜃)𝒛
Bu sonuca göre 𝑑𝑩 manyetik alan vektörü 𝒛 ekseninde olup sayfa
düzlemi dışına doğrudur. Elde edilen bu yön, sağ el kuralı ile de
bulunabilir.
Bu durumda tel parçası üzerindeki bir 𝑑𝒔 uzunluk elemanın 𝑃
noktasında oluşturduğu 𝑑𝑩 manyetik alanın matematiksel ifadesi;
Elde edilen bu ifadenin integrali alınarak tüm iletkenin 𝑃 de
oluşturduğu manyetik alanın büyüklüğü bulunabilir. Ancak ifadeye
bakıldığında 𝑑𝑥 , 𝜃
ve 𝑟
birer değişkendir. Bu nedenle bu
değişkenlerinin birbiri cinsinden ifade edilmesi gerekmektedir.
Şekil incelendiğinde;⁡𝑟⁡nin değeri dik üçgenden aşağıdaki gibi ifade
edilebilir.
Kosekant
Aynı şekilde dik üçgenden aşağıdaki ifade yazılabilir.
Şekle göre negatif 𝑥 eksenidir.
Buradan 𝑥 çekilirse;
Her iki tarafın türevi alınırsa;
Yukarıdaki ifade de elde edilen değerler yerine yazılırsa sadece 𝜃
değişkenine bağlı bir ifade elde edilir.;
Elde edilen bu ifade aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi açı değerleri 𝜃1
den 𝜃2 ye kadar olan tüm elemanlar üzerinden integral alınırsa
manyetik alanın büyüklüğü aşağıdaki gibi elde edilir.
Özel bir durum olarak akım taşıyan tel sonsuz uzunlukta olursa
uzunluk elemanları için 𝜃1 = 0 ve 𝜃2 = 𝜋 olur ve bu durum için
(cos 𝜃1 − cos 𝜃2 = (cos 0 − cos 𝜋 = 2) elde edilerek sonsuz
uzunluktaki iletkenin 𝑃 noktasında oluşturduğu manyetik alan ifadesi
aşağıdaki gibi elde edilir.
Örnek: Kavisli Bir Tel Parçasından Kaynaklanan Manyetik Alan
Şekilde gösterilen akım-taşıyan tel parçası için 𝑂 noktasındaki
manyetik alanı hesaplayınız. Tel, iki doğru parçası ve bir 𝜃 açısını
gören 𝑅 yarıçaplı çembersel bir yaydan oluşmuştur. Tel üzerindeki ok
uçları akımın yönünü göstermektedir.
Çözüm: 𝐴𝐴′ ve 𝐶𝐶 ′ doğru parçalarındaki akımların 𝑂 noktasında
oluşturdukları manyetik alan sıfırdır. Çünkü bu yollar boyunca 𝑑𝑠
uzunluk elemanları vektörü ile 𝑟 birim vektörleri birbirine paraleldir.
(𝑑𝒔 × 𝒓=0)
Öte yandan 𝐴𝐶 yolu boyunca her 𝑑𝒔 uzunluk elemanı, 𝑂 noktasından
𝑅 kadar uzaklıkta olup her elemandaki akım 𝑂 noktasında düzlemden
içe doru yönelmiş bir 𝑑𝐁 manyetik alanı oluşturmaktadır. Bu yolun
bir çember olması nedeniyle 𝐴𝐶 üzerindeki her noktada 𝑑𝒔 uzunluk
elemanları vektörü ile 𝒓 birim vektörleri birbirine diktir. Bu nedenle
𝐴𝐶 parçası için 𝑑𝒔 × 𝒓= 𝑑𝒔 olup bu vektörel çarpımın büyüklüğü 𝑑𝑠
dir.
Dolayısıyla 𝐴𝐶 yolu boyunca her 𝑑𝒔 uzunluk elemanını 𝑂 noktasında
oluşturduğu manyetik alanın büyüklüğü aşağıdaki gibi ifade edilebilir.
Bu ifadenin her iki tarafının integrali alınırsa tüm telin 𝑂 noktasında
oluşturduğu manyetik alanın büyüklüğü elde edilebilir. Burada 𝐼 ve 𝑅
sabittir.