Manyetik Alanın Kaynakları

advertisement
Manyetik Alanın Kaynakları
BİOT-SAVART YASASI
Jean Biot ve Felix Savart isimli bilim adamları akım taşıyan bir tel
parçasının yakınlarında oluşan manyetik alanın matematiksel olarak
nelere bağlı olduğunu ortaya koyabilmek için bir dizi deneyler
gerçekleştirmişlerdir. Bu deney  akımı taşıyan ve şekilde gösterilen
bir tel parçasıyla ilgili olup bu tel parçası üzerindeki bir  uzunluk
elemanın  noktasında oluşturduğu  manyetik alanla ilgilidir.
Yapılan deneylerde şu sonuçlar elde edilmiştir.
1. İletken üzerindeki  uzunluk elemanın  noktasında oluşturduğu
 manyetik alan vektörü, hem  vektörüne (akım yönüne) hem de
 den ’ ye doğru yönelen  birim vektörüne diktir.
2. İletken üzerindeki  uzunluk elemanın  noktasında oluşturduğu
 manyetik alan vektörünün büyüklüğü  2 ile ters orantılıdır.
Burada ,  uzunluk elemanın  noktasına olan uzaklığıdır.
3. İletken üzerindeki  uzunluk elemanın  noktasında oluşturduğu
 manyetik alan vektörünün büyüklüğü tel içinden geçen akımla
(yani ) ve  uzunluk elemanın büyüklüğü (yani ) ile orantılıdır.
4. İletken üzerindeki  uzunluk elemanın  noktasında oluşturduğu
 manyetik alan vektörünün büyüklüğü sin⁡() ile orantılıdır.
Burada ifade edilen  ,  uzunluk elemanı vektörü ile  birim
vektörüne arasındaki açıdır.
Bu gözlemler ışığı altında Biot-Savart yasasına göre bir tel parçası
üzerindeki bir  uzunluk elemanın  noktasında oluşturduğu 
manyetik alan matematiksel olarak aşağıdaki gibi ifade edilmektedir.
Serbest uzayın manyetik
alan geçirgenliği
Manyetik alanın yönü; Baş parmak akımın gösterecek biçimde sağ-el
ile tel kavranır, diğer dört parmak manyetik alanın yönünü gösterir.
Bu ifade bir tel parçası üzerindeki bir  uzunluk elemanın 
noktasında oluşturduğu  manyetik alanın matematiksel ifadesidir.
Tüm telin  noktasında oluşturduğu  manyetik alan ise yukarıdaki
ifadenin her iki tarafının integrali alınarak hesaplanır.
Örnek: İnce Doğrusal Bir İletkeni Çevreleyen Manyetik Alan
Şekilde gösterildiği gibi  ekseni boyunca yerleştirilen ve sabit bir 
akımı taşıyan ince doğrusal bir tel veriliyor. Bu telden geçen akımın
 noktasında oluşturduğu manyetik alanın büyüklüğünü ve yönünü
belirleyiniz.
Çözüm:
Çözüm için önce tel üzerinde  kadar çok çok küçük bir uzunluk
elemanı alalım ve bu elemanın  ye olan uzaklığı  olsun.
 × 
vektörel
çarpımını yapmaya
çalışalım.
 = 
 bir birim vektör olup büyüklüğü birdir. Şekle göre bu vektör
 = cos   + sin⁡() ile ifade edilir.
 = 
Dolayısıyla
 = cos   + sin⁡()
 × 
vektörel
çarpımı;
 ×  = {} ×{cos   + sin⁡()}= sin⁡()
Bu sonuca göre  manyetik alan vektörü  ekseninde olup sayfa
düzlemi dışına doğrudur. Elde edilen bu yön, sağ el kuralı ile de
bulunabilir.
Bu durumda tel parçası üzerindeki bir  uzunluk elemanın 
noktasında oluşturduğu  manyetik alanın matematiksel ifadesi;
Elde edilen bu ifadenin integrali alınarak tüm iletkenin  de
oluşturduğu manyetik alanın büyüklüğü bulunabilir. Ancak ifadeye
bakıldığında  , 
ve 
birer değişkendir. Bu nedenle bu
değişkenlerinin birbiri cinsinden ifade edilmesi gerekmektedir.
Şekil incelendiğinde;⁡⁡nin değeri dik üçgenden aşağıdaki gibi ifade
edilebilir.
Kosekant
Aynı şekilde dik üçgenden aşağıdaki ifade yazılabilir.
Şekle göre negatif  eksenidir.
Buradan  çekilirse;
Her iki tarafın türevi alınırsa;
Yukarıdaki ifade de elde edilen değerler yerine yazılırsa sadece 
değişkenine bağlı bir ifade elde edilir.;
Elde edilen bu ifade aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi açı değerleri 1
den 2 ye kadar olan tüm elemanlar üzerinden integral alınırsa
manyetik alanın büyüklüğü aşağıdaki gibi elde edilir.
Özel bir durum olarak akım taşıyan tel sonsuz uzunlukta olursa
uzunluk elemanları için 1 = 0 ve 2 =  olur ve bu durum için
(cos 1 − cos 2 = (cos 0 − cos  = 2) elde edilerek sonsuz
uzunluktaki iletkenin  noktasında oluşturduğu manyetik alan ifadesi
aşağıdaki gibi elde edilir.
Örnek: Kavisli Bir Tel Parçasından Kaynaklanan Manyetik Alan
Şekilde gösterilen akım-taşıyan tel parçası için  noktasındaki
manyetik alanı hesaplayınız. Tel, iki doğru parçası ve bir  açısını
gören  yarıçaplı çembersel bir yaydan oluşmuştur. Tel üzerindeki ok
uçları akımın yönünü göstermektedir.
Çözüm: ′ ve  ′ doğru parçalarındaki akımların  noktasında
oluşturdukları manyetik alan sıfırdır. Çünkü bu yollar boyunca 
uzunluk elemanları vektörü ile  birim vektörleri birbirine paraleldir.
( × =0)
Öte yandan  yolu boyunca her  uzunluk elemanı,  noktasından
 kadar uzaklıkta olup her elemandaki akım  noktasında düzlemden
içe doru yönelmiş bir  manyetik alanı oluşturmaktadır. Bu yolun
bir çember olması nedeniyle  üzerindeki her noktada  uzunluk
elemanları vektörü ile  birim vektörleri birbirine diktir. Bu nedenle
 parçası için  × =  olup bu vektörel çarpımın büyüklüğü 
dir.
Dolayısıyla  yolu boyunca her  uzunluk elemanını  noktasında
oluşturduğu manyetik alanın büyüklüğü aşağıdaki gibi ifade edilebilir.
Bu ifadenin her iki tarafının integrali alınırsa tüm telin  noktasında
oluşturduğu manyetik alanın büyüklüğü elde edilebilir. Burada  ve 
sabittir.
Download