ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

AKM 205-BÖLÜM 7-UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ
1. Şekildeki rüzgar tüneli, bir uçak üzerinden akan havadaki basınç
dağılımını ölçmek için kullanılmaktadır. Rüzgar tünelindeki hava
hızı sıkıştırabilme etkisi ihmal edilebilecek ölçüde düşüktür. Bölüm
5’te açıklandığı gibi Bernoulli denklemi böyle bir akış durumunda
uçağın ve rüzgar tünelinin duvar yüzeylerine çok yakın olan
bölgeler ile modelin arkasındaki art izi bölgesi dışındaki her yerde
geçerlidir. Modelden çok uzakta hava V hızı ve P basıncı ile
akmaktadır ve hava yoğunluğu  yaklaşık olarak sabit kalmaktadır.
Hava akışlarında yerçekimi etkisi genellikle ihmal edilebilir. Buna
göre Bernoulli denklemini aşağıdaki gibi yazabiliriz:
P
1
1
V 2  P  V2
2
2
Bu denklemi boyutsuzlaştırınız ve Bernoulli denkleminin geçerli olduğu akışın herhangi bir
noktasındaki basınç katsayısı Cp için bir ifade oluşturunuz. Cp aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır.
Cp 
P  P
1
V2
2
Kabuller:
1. Akış sıkıştırılamazdır.
2. Bernoulli denklemindeki yerçekimi terimleri , diğer terimlere kıyasla ihmal edilebilir düzeydedir.
Çözüm: Bernoulli denklemini dinamik basınç terimiyle boyutsuzlaştırıyoruz. Dinamik basınç:
Boyutsuzlaştırma:
P
1
V 2
2

P
V2

1
2
1
2
V
V
2
P  P
V2
1 2
Düzenlersek; C p 
1
V
V2
2
2. Bir grup öğrenci tasarım yarışmasında insan gücüyle çalışan
denizaltı tasarlayacaklardır. Prototip denizaltının toplam uzunluğu
4.85 m’dir. Öğrenciler bunun suya tamamen dalmış halde 0.440
m/s’lik bir hız ile hareket edebileceğini umuyorlar. Akışkan T=
15°C’de tatlı sudur (göl suyu). Tasarım grubu, üniversitelerinin
rüzgar tünelinde test etmek üzere denizaltının 1/5 ölçekli modelini
yapıyor. Direnç terazisi dikmesini çevreleyen bir kalkan vardır.
Böylece dikmenin aerodinamik direnci, ölçülen direnci
etkilememektedir. Rüzgar tünelindeki hava 25°C’de ve 1 atm
1
V 2
2
standart atmosfer basıncındadır. Benzerliği elde edebilmek için öğrenciler rüzgar tünelini hangi hava
hızında çalıştırmalıdırlar?
Kabuller:
1. Havanın sıkıştırılabilirliği ihmal edilmiştir.
2. Rüzgar tünelinin duvarları modelden yeterince uzak olduğu için modelin aerodinamik direncinde
duvar etkisi yoktur.
3. Model, prototiple geometrik benzerdir.
Özellikler:
T=15° ve atmosfer basıncında suyun yoğunluğu = 999.1 kg/m3 ve viskozitesi = 1.138x10-3kg/ms
T=25° ve atmosfer basıncında havanın yoğunluğu =1.184kg/m3 ve viskozitesi =1.849x10-5 kg/ms
Çözüm:
Model ve prototip arasında benzerlik, modelin ve prototipin Reynolds sayıları eşit olduğunda sağlanır.
Re m 
 pV p L p
 mVm Lm
 Re p 
m
p
    p  L p 
 1.849x10-5 kg / ms  999.1kg / m 3 
   (0.440m / s )

(5)  30.2m / s
Vm  V p  m 
3
3 
  
L
1
.
138
x
10
kg
/
ms
1
.
184
kg
/
m
p
m
m










Kontrol:
Verilen hava sıcaklığında, ses hızı 346m/s’dir. Bu durumda rüzgar tünelindeki Mach sayısı
Ma=30.2/346=0.0873’tür. Yani, yapmış olduğumuz sıkıştırılamazlık kabulü doğru bir yaklaşım
olmuştur.
3. Bir silindir üzerinden üniform bir akışta aşağıakımda periyodik Karman vorteks caddesi oluşur.
Tekrarlayan değişkenler yöntemini kullanarak Karman vorteks kopma frekansı fk için serbest akış hızı
V,akışkan yoğunluğu , akışkan viskozitesi  ve silindir çapı D’nin fonksiyonu olarak boyutsuz bir ilişki
oluşturunuz.
Çözüm:
Adım 1: İlgili parametreler: f k  f (V ,  ,  , D)
n=5
Adım 2: Parametrelerin ana boyuları:
fk


V
t  L t  m L 
1
1 1
1 3
D
m L t 
1 1 1
L 
1
Adım 3: İlk tahmin olarak j, problemde verilen ana boyutların sayısı (m,L,t) olan 3’e eşit alınır. j=3
 lerin sayısı k=n-j k=5-3=2
Adım 4: j=3 olduğu için 3 tane tekrarlayan parametre seçmemiz gerekmektedir.
Tekrarlayan parametreler: V, ve D
Adım 5: Bağımlı  oluşturulur.
 1  (t 1 )( L1t 1 ) a1 (m1 L3 )b1 ( L1 ) c1
 1  f kV a1  b1 D c1
   
Time (zaman): t   t t   a1  1
Length (uzunluk): L   L L L   c1  1
Mass (kütle): m 0  m b1  b1  0
1  a1
0
0
1 
fk D
 St
V
a1 3b1 c1
(Strouhal sayısı)
 2   (m1 L1t 1 )( L1t 1 ) a 2 (m1L3 )b 2 ( L1 ) c 2 
 2  V a 2  b 2 D c 2
  

Mass (kütle): m 0  m 1 m b 2  b 2   1
  
Length (uzunluk): L   L L
Time (zaman): t 0  t 1t  a 2  a 2  1
0
2 

VD
 1 / Re
1 a 2

L3b 2 Lc 2  c 2  1
(1/Reynolds sayısı)
Adım 6: Final bağıntı yazılır: St=f(Re)
4. Büyük bir tank içerisindeki kimyasal maddeleri karıştırmak için bir karıştırıcı kullanılmaktadır.
Karıştırıcının kanatlarına aktarılan mil gücü W ; karıştırıcı çapı D, sıvı yoğunluğu , sıvı viskozitesi  ve
kanat açısal hızı ’nın bir fonsiyonudur. Tekrarlayan değişkenler yöntemini kullanarak bu
parametreler arasında boyutsuz bir ilişki bulunuz. Tüm işlemlerinizi gösteriniz ve gerektiğinde
değişiklik yaparak  gruplarınızı tespit ediniz.
Çözüm:
Adım 1: İlgili parametreler: W  f ( ,  ,  , D )
n=5
Adım 2: Parametrelerin ana boyuları:
W

m L t 
1 2 3


t 
1
m L 
1 3
D
m L t 
1 1 1
L 
1
Adım 3: İlk tahmin olarak j, problemde verilen ana boyutların sayısı (m,L,t) olan 3’e eşit alınır. j=3
 lerin sayısı k=n-j k=5-3=2
Adım 4: j=3 olduğu için 3 tane tekrarlayan parametre seçmemiz gerekmektedir.
Tekrarlayan parametreler: ω, ve D
Adım 5: Bağımlı  olusturulur.
 1  W  a1  b1 D c1
 1  (m1 L2t 3 )(t 1 ) a1 (m1L3 )b1 ( L1 ) c1
   
Time (zaman): t   t t   a1  3
Length (uzunluk): L   L L L   c1  5
Mass (kütle): m 0  m1m b1  b1  1
3  a1
0
0
1 
W
 Np
D 5 3
3b1 c1
2
(Power number)
 2   (m1 L1t 1 )(t 1 ) a 2 (m1 L3 ) b 2 ( L1 ) c 2 
 2   a 2  b 2 D c 2
  

Mass (kütle): m 0  m 1 m b 2  b 2   1
  
Length (uzunluk): L   L L
Time (zaman): t 0  t 1t  a 2  a 2  1
0
2 
1 3b 2 c 2
L
  c2  2

 1 / Re (1/Reynolds sayısı)
D 2
2 
Düzenlenmiş 2:
D 2  ( D ) D

 Re


Adım 6: Final bağıntı yazılır: Np=f(Re)
5. Sınır tabaka, viskoz kuvvetlerin önemli olduğu ve içerisindeki akışın dönümlü olduğu ince bir
bölgedir (çoğunlukla çeper boyuncadır). İnce düz bir levha boyunca gelişen bir sınır tabakayı
düşününüz. Akış daimidir. Tekrarlayan değişkenler yöntemini kullanarak herhangi bir aşağıakım
mesafesindeki sınır tabaka kalınlığı  için; aşağıakım uzaklığı x, serbest akım hızı V , akışkan
özellikleri  ve ’nün fonksiyonu olarak boyutsuz bir ilişki bulunuz.
Çözüm:
Adım 1: İlgili parametreler:   f ( x, V ,  ,  )
n=5
Adım 2: Parametrelerin ana boyuları:
x

L  L  L t 
1
1


V
1 1
m L  m L t 
1 3
1 1 1
Adım 3: İlk tahmin olarak j, problemde verilen ana boyutların sayısı (m,L,t) olan 3’e eşit alınır. j=3
 lerin sayısı k=n-j k=5-3=2
Adım 4: j=3 olduğu için 3 tane tekrarlayan parametre seçmemiz gerekmektedir.
Tekrarlayan parametreler: x, ve V
Adım 5: Bağımlı  olusturulur.1 bağıntısı kolay elde edilebileceği için hesapları kafamızdan
yapabiliriz. d’nın ana boyutları, tekrarlayan parametrelerden x’in ana boyutuyla aynı olduğu için:
1 

x
 2   (m1 L1t 1 )( L1 ) a (m1 L3 )b ( L1t 1 ) c 
 2  x a  bV c
  

Mass (kütle): m 0  m 1 m b 2  b 2   1
  
Length (uzunluk): L   L L L
Time (zaman): t 0  t 1t  c  c  1
0
2 

 1 / Re
Vx
1 a
3b

Lc  a  1
(1/Reynolds sayısı)
Vx

 2  Re x 
Düzenlenmiş 2:
Adım 6: Final bağıntı yazılır:

x
 f (Re x )
6. D çapındaki bir pervane, yoğunluğu  ve viskozitesi  olan bir sıvının içerisinde  açısal hızıyla
dönmektedir. Dönme momenti T’nin; D, ,  ve ’nün bir fonksiyonu olduğu belirlenmiştir. Boyut
analizini kullanarak boyutsuz bir ilişki oluşturunuz ve elde ettiğiniz boyutsuz parametreleri
tanımlayınız. İpucu: Tutarlılık için ( ve mümkün olduğu her zaman); uzunluk, yoğunluk ve hızı ( ya da
açısal hızı) tekrarlayan değişkenler olarak seçmek akıllıca olacaktır.
Çözüm:
Adım 1: İlgili parametreler: T  f (  ,  , D,  )
n=5
Adım 2: Parametrelerin ana boyuları:

T


D
m L t  m L  t  L  m L t 
1 2 2
1 3
1
1 1 1
1
Adım 3: İlk tahmin olarak j, problemde verilen ana boyutların sayısı (m,L,t) olan 3’e eşit alınır. j=3
 lerin sayısı k=n-j k=5-3=2
Adım 4: j=3 olduğu için 3 tane tekrarlayan parametre seçmemiz gerekmektedir.
Tekrarlayan parametreler: ω, ve D
Adım 5: Bağımlı  olusturulur.
 1  (m1 L2t 2 )(m1 L3 ) a1 (t 1 )b1 ( L1 ) c1 
 1  T a1 b1 D c1
   
Time (zaman): t   t t   b1  2
Length (uzunluk): L   L L L   c1  5
Mass (kütle): m 0  m1m a1  a1  1
2  b1
0
0
2
3 a1 c1
1 
T
(Tork katsayısı)
D 5 2
 2   (m1 L1t 1 )(m1 L3 ) a 2 (t 1 ) b 2 ( L1 ) c 2 
 2   a 2 b 2 D c 2
  

Mass (kütle): m 0  m 1 m a 2  a 2  1
  
Length (uzunluk): L   L L
Time (zaman): t 0  t 1t  b 2  b 2  1
0
2 
1 3 a 2 c 2
L
  c2  2

 1 / Re (1/Reynolds sayısı)
D 2
Düzenlenmiş 2:
2 
Adım 6: Final bağıntı yazılır:
D 2  ( D ) D

 Re


 D 2 
T



f
D 5 2
  