SPEKTRUM HESAPLAMALARINDA ÖN İŞLEMLER ve

VERİ-İŞLEM-II
1. GİRİŞ
Veri-İşlem yöntemlerinin pek çoğu telekomünikasyon ve özellikle radarın savaşta ve barışta
kullanımıyla ortaya çıkmıştır. Günümüzde Veri-İşlem analizi;
-
Telekomünikasyon ve radar araştırmalarında,
-
Uzay araştırmalarında,
-
Sismolojide,
-
Jeofiziğin her alanında,
-
Deniz bilimlerinde ve sualtı akustik çalışmalarında,
-
Nükleer araştırmalarda,
-
Atmosfer bilimlerinde,
-
Ekonomide,
-
Yönetim ve organizasyon alanlarında,
v.b birçok alanlarda kullanılmaktadır.
Bu uygulama alanlarının birinde tek başında ulaşılacak teknolojik gelişimin, diğer alanlarda
da kullanılması olanakları aranmakta ve kısa bir zamanda uygulama alanının yaygınlaşmakta
olduğu görülmektedir.
Jeofizik sinyalleri çok çeşitli olup, geniş bir frekans bandına sahiptir. Başlangıçta gravite ve
manyetik verilerinin analizinde kullanılan Veri-İşlem yöntemleri daha sonraları elektrik
yöntemlere de başarılı bir şekilde uygulanmıştır.
Günümüzde de özellikle sismik
prospeksiyon, sismoloji ve elektromagnetik yöntemlere en geniş şekilde uygulanmaktadır.
Sismolojideki uygulamalara birkaç örnek verecek olursak;
-
Yerkabuğunun ve mantonun incelenmesinde cisim dalgalarının ve yüzey dalgalarının
spektrumu geniş çapta kullanılmaktadır.
Cisim dalgalarının spektral oranı ile yerkabuğunun yapısı incelenmektedir.
Yüzey dalgalarının spektral analizi ile grup hızı, faz hızı ve faz spektrumu
hesaplanarak yerkabuğu ve mantonun yapısı araştırılmaktadır.
Mikrotremor çalışmalarında spektral genlikler oranı ile attenüasyon (sönümleme) ve
zemin büyütme gibi parametrelere ulaşılmaktadır.
Sismik prospeksiyon araştırmaları ile zeminlerin titreşim periyotları, büyütme
katsayıları ve tabakalanma yapıları incelebilmektedir.
Yüzey dalgalarının genlik spektrumlarından yararlanarak depremlerin odak derinliği,
odak mekanizmaları, fayın yırtılan kısmının uzunluğu, yırtılma hızı ve depremin
derinliği gibi önemli parametrelere ulaşılabilmektedir.
1
-
P ve S dalgalarının spektrumlarının köşe frekansları incelenerek sismik moment ve
deprem kaynağının boyutları araştırılabilmektedir.
2. VERİLERİN SINIFLANDIRILMASI
Herhangi bir doğal olayın sonucu olarak gözlenen veriler tanımsal (deterministic) ve
rastgele (random, stochastic) olarak iki sınıfta toplanabilir. Tanımsal veriler bir
matematik bağıntı ile gösterilebilirler. Birçok denemenin yada olayın sonucu bir bağıntı
ile tanımlanabilen verilere uygulamada çok rastlanır. Örneğin, sismik hızın yer içinde
derinlikle doğrusal olarak arttığı bir yöre için, bir derinliğe kadar hız
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑧
(2.1)
bağıntısı ile verilebilir. Burada, v0 başlangıç hızı (yeryüzündeki sismik hız), v bir z
derinliğindeki hız, a ise yöresel bir katsayıdır. (2.1) bağıntısı hızın bütün derinliklerdeki
değerlerini verir. v’ nin herhangi bir z için beklenen değeri (2.1) ile açıkça belirtilmiştir
ve tanımlanabilir. Bununla birlikte, gözlenen hız değerleri bu kurala uymadıklarında, yani
gürültüler içerdiklerinde bir bağıntı ile gösterilebilmeleri olanaksızlaşır. Bu tür tanımsal
verilere çok sayıda örnek verilebilir; ısınan bir suyun sıcaklığının artması, serbest
düşmeye bırakılmış bir cismin belirli zamanlardaki konumu, hızı ve ivmesi önceden
saptanabilir.
Uygulamada karşılaşılan birçok önemli veri, matematik bir bağıntı ile tanımlanamaz. Bu
tür bir matematik bağıntı ile belirlenemeyen ve değişmeyen koşullarda tekrarlanan,
deneylerle üretilemeyen veriler rastgele veri sınıfına girerler. Örneğin, depremleri
algılamak için kullanılan sismometrenin çıkışı rastgele davranış gösterir. Gelecekteki bir
anlık değer önceden kestirilemez. Benzer şekilde gözlem öncesi geçmişteki anlık
değerlerde kestirilemez. Çevre gürültülerini ölçen bir aygıtın çıkışı da aynı rastgele
değişimleri içerir.
Uygulamalı bilimlerde veriler, zamana, uzaklığa ya da herhangi bir değişkene bağlı olarak
gözlenebilirler. Bunun için zaman verileri ve uzaklık verileri gibi adlandırmalar da
yapılır. Örneğin, gel-git olayını algılayan bir aygıtın, depremleri veya yapay patlatmaları
algılayan bir sismometrenin, yerin manyetik alanının bir yerdeki değişimlerini ölçen
manyetometrenin çıkışları zaman zaman verilerini, yeryüzünde bir doğrultu boyunca yerin
gravite ya da manyetik alanının değişimlerini içeren gözlemler uzaklık verileridirler.
Veriler, çok boyutlu olduklarında bir ya da birden fazla değişkene bağlı olabilirler.
Örneğin, petrol ya da doğalgaz aramalarında alınan sismik veriler, zaman-uzaklık
verileridir.
Bir sismometrenin çıkışı zaman, yeryüzünde değişik uzaklıklardaki
sismometrelerin çıkışlarını içeren veri veya sismik kesit, iki boyutlu bir zaman-uzaklık
verilerini oluştururlar. Yeryüzünde ölçülen yerin gravite ve manyetik alan değişimlerini
gösteren iki boyutlu veriler de zaman-uzaklık ortamında gözlenmişlerdir.
2
TANIMSAL VERİLER
2.1.
Tanımsal veriler, periyodik ve periyodik olmayan verilerden oluşurlar. Periyodik verileri
sinüzoidal ve karışık periyodik sınıflara ayırmak daha uygun görülmektedir. Hemen hemen
periyodik ve geçici verilerde periyodik olmayan verilerin alt grubunu oluşturur.
2.1.1. Karışık Periyodik Veriler
Periyodik verilerde bir x(t) dalga biçimi eşit zaman aralıklarında tekrarlanır ve
𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑡 + 𝑛𝑇𝑎 ), 𝑛 = 1,2,3, … … ..
(2.2)
bağıntısını sağlarlar. Tekrarlanan dalga x(t) ve tekrarlanma zaman aralığı Ta bilindiğinde,
(2.2) bağıntısından -∞ ≤ t ≤ ∞ aralığı için verinin tümü belirlenmiş olur. Ta ‘ ya verinin ana
periyodu adı verilir. 𝑓𝑎 = 1/𝑇𝑎 yani birim zamandaki x(t) ‘ nin tekrarlama sayısına verinin
ana yada temel frekansı denir. Karışık periyodik veri,
𝑥(𝑡) =
𝑎0
2
+ ∑∞
𝑛=1(𝑎𝑛 cos 2𝜋𝑛𝑓𝑎 𝑡 + 𝑏𝑛 sin 2𝜋𝑛𝑓𝑎 𝑡)
(2.3)
olarak yazılabilir. an ve bn değerlerine Fourier katsayıları denir ve x(t) verisinden
hesaplanabilirler.
Gözlemsel periyodik verilerin örneklerinden birini de duran cisimlerden radar ve sonarların
eşit aralıklarla gönderdikleri kısa süreli dalgacıklara olan yansımalarıdır. Bu veriler
istenmeyen gürültüleri de içerirler. Yer manyetik ve gravite alanlarının bir yerdeki
değişimleri de periyodik bileşenler içerirler. Periyodik verilerin frekans ortamı görünümleri,
her frekanstaki sinüzoidal bileşenlerin genlikleri frekanslarına göre çizdirilirse, örneğin Şekil1’ de ki gibi olabilir.
Genlik
A1
A3
An
A2
A4
A5
A0
0
fa
2 fa
3 fa
4 fa
5 fa
n fa
Şekil-1. Periyodik bir verinin frekans ortamı görünümü.
3
Frekans
2.1.2. Sinüzoidal Veriler
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓0 𝑡 + ∅)
(2.4)
Bağıntısı sinüzoidal verileri tanımlamaktadır. A, x(t) verisinin alabileceği en yüksek değer,
sinüzoidal dalganın genliğidir. f0, frekans olup birimi devir sayısıdır. Zaman birimi saniye
alındığında f0 ‘ ın birimi devir/saniye veya Hertz (Hz) olur.  ise, t=0 ’a göre faz açısıdır ve
birimi radyandır.
Sinüzoidal değişimler verilerin zaman ve frekans ortamlarında incelenmesinde ortamlar arası
ilişkiyi sağlayan Fourier yönteminde oldukça etkilidir. Fourier analizinde periyod ve frekans
tanımları sinüzoidal dalgaya göre yapılır. Sinüzoidal verinin tam bir devir yapması için
gereken T zamanına, verinin periyodu denir ve 𝑓0 = 1/𝑇 şeklinde gösterilir. Bu tanımlamaya
göre, sinüzoidal verinin frekans ortamındaki görünümü tek bir frekansta (f0) belirlenir. (2.4)
bağıntısında A = 2, f = 0.1 ve  = -π/2 alındığında elde edilen sinüzoidal veri ve genliğin
frekans ortamı görünümü Şekil-2 ‘ de görülmektedir.
x(t)
(a)
Genlik
(b)
T
2
2
t
0
-2
5
10
Zaman
f
0
f=0.1
Frekans
𝜋
𝑥(𝑡) = 2𝑐𝑜𝑠(2𝜋0.1𝑡 − 2 )
Şekil-2. (a) Sinüzoidal veri ve (b) frekans ortamı görünümü.
Birçok periyodik olmayan gözlemsel veri periyodik bileşenler içerebilir. Zaman ortamında
sadece belirgin periyodik bileşenler ayırt edilebilir. Frekans ortamında periyodik bileşenler
Şekil-2’ de ki gibi belirli frekanslarda görüleceğinden, rasgele verilerin frekans ortamı
analizleri yapıldığında periyodik bileşenler seçilebilir. Bu seçim periyodik bileşenin
enerjisine ve rasgele verinin frekans ortamı görünümüne bağlıdır.
4
2.1.3. Hemen Hemen Periyodik Veriler
Hemen hemen periyodik veriler, iki veya daha fazla birbiriyle ilişkisiz periyodik verinin
toplamından oluşurlar ve periyodik verilere benzer değişimler gösterirler. Örneğin; çok
motorlu bir taşıtın motorları eş zamanlı çalışmadığında gövdesinde oluşan titreşimler gibi. Bu
tür verilerin frekans ortamı görünümleri Şekil-3’ de ki gibi olabilir.
Genlik
A2
A4
A1
A3
A5
f
0
f1
f2
f3
f4
f5
Frekans
Şekil-3. Hemen hemen periyodik verinin frekans ortamı görünümü.
2.1.4. Geçici Veriler
Bir matematik bağıntı ile tanımlanabilen veya tekrarlanan deneylerle elde edilebilen, zamanla
değişen ve belirli bir süre devam eden verilere geçici veriler adı verilir. Geçici verilerin
zaman içindeki kalıcılığı bir zaman aralığına sınırlıdır. Bu tür verilerin belirli bir başlangıç
aralığı vardır ve zamanla yavaş yavaş veya çabucak sıfıra yaklaşırlar. Isıtıldıktan sonra
soğumaya bırakılmış suyun sıcaklığının zamanla değişimi, salınımlar yapan sönümlü bir
düzeneğin hareketi geçici verilere örneklerdir. Girişindeki kısa süreli bir uyarıya karşılık bir
sismometrenin (sönümlü düzenek) çıkışı (sismik dalgacık) geçici bir veridir. Eğer giriş
bilinirse, sismometrenin çıkışı bir bağıntıyla verilebilir.
 Ae at cos(bt ), t  0
x(t )  
0,
t0

(2.5)
Bir sismometrenin çıkışı da (2.5) bağıntısı ile verilen x(t) verisi Şekil-4’ de görüldüğü gibi t
büyüdükçe sıfıra yaklaşır. Frekans ortamı görünümü de Şekil-4-b ‘ de görülmektedir.
5
(a)
(b)
|𝑋(𝑓)|
x(t)
A
0
t
0
Zaman
f
Frekans
Şekil-4. (a) Geçici veri ve (b) frekans ortamı görünümü.
Geçişi verilerin frekans ortamı görünümleri de periyodik verilerin aksine, sürekli bir
fonksiyondur. Bu geçici veriler periyodik verilerin özel bir durumu olarak tanımlanabilir.
Eğer periyodik verinin periyodu sonsuz yapılırsa, geçici veri elde edilir. Periyodik verinin
periyodu sonsuza yaklaştığında ana frekans 𝑓𝑎 = 1⁄𝑇 küçülerek sıfıra yaklaşır.
𝑎
2.2.
RASTGELE VERİLER
Birçok gözlemsel veri periyodik ve geçici verilere benzer biçimde matematiksel bağıntılarla
veya tekrarlanan deneylerle belirlenemez. Bu verilere rastgele veriler ya da rastgele süreçler
denir. Her gözlem yeni bir olaydır. Örneğin bir sismometrenin çıkışının genlikleri önceden
kestirilemez. Bir bölgedeki küçük deprem verileri, yapay kaynaklı sismik veriler, okyanus
dalgalarının genlik değişimleri, dirençlerin ısı değişiminden kaynaklanan bir voltmetrenin
çıkışındaki değişimler rastgele verilere örneklerdir. Herhangi bir zamanda birbirinden
bağımsız gürültüler veya gürültüler ile birlikte sinyal olayları gözlenebilir.
Rastgele verilerin analizlerinde ilişki (korelasyon) fonksiyonları önemli bir yer tutar. Çünkü
rastgele verileri analitik bağıntılarla gösterme olanağı olmadığından, ancak istatistik
özellikleri ile tanımlanabilirler.
6
3. SİNYAL KURAMI
Bu bölümde herhangi bir kaynaklı bir sinyalin yapısı, genel özellikleri hakkında genel
bilgilere yer verilmiştir.
3.1.
GİRİŞ
Bir sistemin durum ve davranış bilgilerini taşıyan, bir veya daha fazla değişken ile tanımlanan
bir fonksiyon olup veri-işlemde dalga olarak adlandırılır. Bir dalga, genliği, dalga boyu (veya
periyodu) ve fazı ile tanımlanır (Sekil-5).
Sekil-5. Bir dalganın; a, genlik T, periyot (veya λ dalga boyu)
Örneğin, merkezi etrafında sabit bir hızla dönen r yarıçaplı bir diskin kenarındaki itme koluna
bağlanmış bir kalem, bir mesnet içerisinde aşağı yukarı hareket edebilsin. Kalem, bu
mesnetin altında sabit hızla hareket eden kağıt üzerine bir sinüs dalgası çizer (Şekil-6).
Bu sinüs dalgasının genliği (a) diskin yarıçapına eşittir ve periyodu ise diskin dönme hızının
bir fonksiyonudur. Bu sinüs dalgasına, yukarıda anlatılan mekanik sistemin davranış
bilgisini veren bir sinyal gözü ile bakılabilir. Böyle bir sinyalin herhangi bir pozisyondaki
genlik değeri,
y  a sin 
(3.1)
ifadesine eşittir. Bu düzenekte, tam bir dalga şeklinin çizilmesi için disk 360° (veya 2π
radyan)’ lık tam bir devir yapmalıdır. Kalem, kağıt üzerinde herhangi bir konuma getirilerek
sistem harekete geçirilsin. Sinüs dalgasının bu andaki faz açısı; kalemin başlangıç anındaki
konumunu disk merkezine birleştiren doğrunun yatayla yaptığı açıya eşdeğerdir (Şekil-6b ’de
 açısı). Faz açısının değişimine, diğer bir deyişle kalemin konumuna, göre sinyalin şekli
(Şekil-7)’de görülmektedir.
7
Mekanik sisteme bağlı kalemin kağıt üzerindeki herhangi bir x uzaklığından itibaren kayda
başlandığı ve daha sonra hareketin durdurulduğu kabul edilsin. O andaki genlik olacaktır.
 2 t

a '  a sin 
 
 T

 2 x

a '  a sin 
 
 

(a)
(3.2)
(b)
Şekil-6. Doğrusal dönme hareketini bir sinüs dalgasına dönüştüren mekanik sistem, a) Diskin
yarıçapı ve her hangi bir konumunun yatay ile yaptığı açısının, sinüs dalgasının
genlik ve faz açısı arasındaki ilişki, b) Disk tam bir devir yaptığında açının 0’dan 2π
radyana kadar değiştiği görülmektedir (Davis, 1973).
(3.1) bağıntısı göz önüne alınacak olursa faz açısı,
 2 t


 
 T

 2 x

 
 


(3.3)
olarak hesaplanır. Burada dikkat edilmesi gereken en önemli konu başlangıç noktasında bir
sabit olan φ =α faz açısının daha sonraki bütün genlik ve faz hesaplamalarında sabit olarak
görülmesidir.α sabiti; faz, faz açısı (başlangıç fazı) veya faz sabiti olarak bilinir. Ayrıca bir
sinüs dalgasının faz açısının yatay merkez çizgisinden ölçüldüğüne dikkat edilmelidir.
8
Şekil-7. Başlangıç değeri α ’dan faz açısının değişimi. Herhangi bir xi uzaklıktaki genlik
değeri, a '  a sin(2 xi /    ) ve   (2 xi /    )
Faz ve faz farkı kavramının daha iyi anlaşılması için eşit periyotlu iki dalga kaynağının aynı
anda dalga üretmeye başladığını varsayalım. Oluşan dalgalar aynı anda maksimum değere
ulaşıyor ise bu iki kaynağın maksimum fazda olduğu söylenir. Eğer kaynaklardan birisi Δt
süre gecikme ile dalga üretiyor ise bu kaynağın oluşturduğu dalgalar, maksimuma diğer
kaynağın dalgalarına göre, Δt süre gecikme ile ulaşırlar. Bu gecikme T periyodunun kesri
9
t
x
olur ve p’ye faz farkı denir. Bu p değeri

T

0⟨ p⟨1 bağıntısını sağlar. P = 0 veya p=1 ise iki kaynak aynı fazda çalışıyor p=1/2 ise iki
kaynak zıt fazda çalışıyor denir.
olarak ifade edilirse,

Şekil-8. Disk dönmesine bağlı olarak sinüs ve kosinüs dalgaları arasındaki ilişki. Sinüs ve
Kosinüs dalgalarının faz açıları sırası ile α ve β , Kayıt; φ = 0 başlayıp 2π ’den daha
büyük değerlere doğru devam edildiğini göstermektedir.
Sinüs dalga şeklinin tanımına benzer şekilde, bir kosinüs dalgası diskin orijinindeki düşey
çizgiden itibaren ölçülen β faz açısına sahip bir dalga olarak tanımlanabilir. Bu, yani kosinüs
dalgası, sinüs dalgasının 900 (veya β radyan) ötesinde bir faza sahiptir. Yani aralarında
900’lik bir faz farkı vardır. Şekil-6’da ki sinyal üretecine bir başka kalem bağlanırsa (Şekil-8)
hem sinüs hem de kosinüs dalgası aynı anda üretilebilir. Bu iki dalganın genlik ve dalga
boyları aynı olacağına göre birbirlerinden ancak faz açısı ile ayrılabilirler.
3.2.
SİNYAL PARAMETRELERİ
Bir sinyalde; genlik, periyod (veya dalga boyu) ve faz açısı parametrelerinin üçü tam bir dalga
şekli tanımlar (Şekil-5). Burada T periyod (veya λ dalga boyu) olup; birbirini izleyen eşdeğer
genlikli iki nokta arasındaki zaman farkı veya bir sinyalde ard arda gelen iki tepe noktası
arasındaki uzaklık olarak tanımlanır. Periyodun tersi frekans veya zamansal frekans(ft) ve
dalga boyunun tersi ise uzaysal frekans (fx),
ft 
1
T
fx 
1
(3.4)

10
ft 
v
t
  vT
olup, birim zaman veya uzaklıktaki tam dalga şekillerinin sayısıdır. Zaman birimi saniye
olarak alınırsa ft=f’in birimi s-1 (yani Hertz) uzaklığın birimi metre alınırsa fx’in birimi
m-1’dir. Sinyalin kendi kendisini düzenli olarak tam bir tekrarlaması için gereksindiği zamana
sinyalin peryodu denir. Periyod terimi dalga boyuna eşdeğerdir. Fakat dalga boyunun uzaklık
(metre gibi) birimiyle ölçülmesine karşılık, periyod zaman birimiyle (saniye gibi) ölçülür.
Düzenli aralıklarla tekrarlanan sinyallere periyodik sinyaller denir. Dalganın ilerleme
doğrultusundaki hızı (çizgisel hız) v ise, ft = v / t , λ = vT dönüşümleri yapılabilir.
Bir dalga şeklinin en çukurundan en tepesine kadar olan yüksekliğin yarısına genlik
(amplitüd) denir. Birbirinden farklı dalga şekilleri oluşturmak için genlik ve dalga boyu veya
faz açısı değiştirilmelidir. (3.4) bağıntısı (3.2)’de yerine konularak yazılırsa herhangi bir x
uzaklığındaki genlik;
a '  a sin  2 kx   
(3.5)
olur. Olay zamana bağlı olarak değişiyor ise (3.4) ile verilen k =1/λ denkleminde dalga boyu λ
yerine T peryodu gelecek ve frekans f =1/T olacak ve (3.2) bağıntısında x yerine t gelecektir.
Buna göre yukarıdaki denklem zamana bağlı olarak;
a '  a sin  2 ft   
(3.6)
olacaktır. Fazdaki gecikme zamanda kaymaya neden olacaktır. Bu da, t 

2 f
bağıntısı
ile verilip φ negatif ise, t=0’a göre sağda, pozitif ise solda olur. Şekil-9’da genlik ve dalga
boyları aynı olan ve biri diğerine göre biraz kaymış özdeş iki sinüs dalgası görülmektedir.
Şekil-9. Genlik ve dalga boyları aynı olan özdeş iki sinüs dalgası. İki dalga arasında sadece
faz farkı vardır.
11
Genlik ve dalga boylarının aynı olmasına rağmen t zamanındaki iki sinyalin y1 ve y2
genlikleri birbirinden farklıdır. Bu fark tamamen iki dalga şekli arasındaki açıklığa karşılık
gelir. Bu açıklık ise, her iki sinyalin faz açıları arasındaki farka eşdeğer olup iki sinyal
arasındaki faz farkı olarak adlandırılırlar. Dönen cisimler için olay ele alınacak olursa frekans
2
açısının fonksiyonu olarak da tanımlanabilir. Buna göre,   2 f 
olarak tanımlanır
T
2
ve birim zamanda taranan açıdır. Benzer durum uzaklık boyutu için de k  2 f x 

geçerlidir. ω’ ya açısal frekans denir. Burada da birim uzaklıkta taranan açı ifade
edilmektedir. Burada k dalga sayısı olarak adlandırılır. k ve ω arasında ω = kv ilişkisi vardır.
Nicelik
Hız
Birimi
Uzaklık / Zaman
Periyot
Zaman
Açısal Frekans
Zaman-1
Frekans (çizgisel)
Zaman-1
Dalga Boyu
Uzaklık
Dalga Sayısı
Uzaklık-1
Formül


v  f 
k
T
2 1 
T
 

f v
2

 2 f  kv
T
 1 v
f 
 
2 T 
2 v

  vT
k
f
2  2 f
k
 

v
v
4. FOURİER DİZİLERİ, FOURİER ve FOURİER SPEKTRUMU
4.1.
GİRİŞ
Jeofizik çok çeşitli veri türlerinin incelendiği bir bilim dalıdır. Bu verilerin değerlendirilerek
jeolojik yoruma gidilmesi için bir dizi ara işlemlerden geçirmek gereklidir. Bilindiği üzere bu
işlemlere veri-işlem adı verilmektedir. Veri-işlem tekniklerinin en önemlilerinden bini de
spektral analiz yöntemi oluşturmaktadır. Spektral analizde zaman (veya uzaklık) ortamında
ölçülen, gözlenen veya tasarlanan bir veri, frekans ortamına aktarılır. Frekans ortamına
aktarma işleminde esas olan eldeki verinin değişik frekanslardaki sinüzoidal dalgaların
toplamı olarak varsayılarak bu sinüzoidal dalgaların genlik ve fazlarının saptanmasıdır.
Herhangi bir ortamda kaydedilmiş jeofizik sinyaldeki bilgilerin tamamını bu ortamda açık
seçik görüp, işleyip sonuçları değerlendirmek kolay hatta olanaklı olmayabilir. Bu gibi
durumlarda veri gözlendiği ortamdan başka bir ortama aktarılarak incelenip irdelendikten
sonra bir sonuca varılır. Gerekir ise ikinci bir aktarma ile verinin gözlendiği ilk ortama geri
12
dönülebilir. Örneğin; zaman ortamında kaydedilmiş bir sismik sinyal frekans ortamına
aktarılarak istenmeyen bileşenleri ayıklandıktan sonra tekrar zaman ortamına geri dönülebilir.
Frekans ortamında yapılan bu ayıklama işlemi, zaman ortamında yapılmak istenseydi bir
takım sorunlarla karşılaşılırdı. Bunun gibi, herhangi bir ortamda gözlenmiş bir sinyalin başka
bir ortama aktarılmasına dönüşüm ve aktarma tekniklerine de dönüşüm yöntemleri denir.
Fourier, Laplace, Hankel, Hilbert, Z dönüşümü gibi çeşitli dönüşüm yöntemleri
geliştirilmiştir.
Spektral analizde sinüzoidal dalganın önemli bir yeri vardır. Örneğin, Fourier dizisi
uygulamasında zaman ortamında verilen bir veri, belirli frekanslardaki sinüzoidlerin toplamı
olarak düşünülür. Bu analizde ki amaç ise, sinüzoidlerin faz ve genliklerinin belirlenmesidir.
Beyaz ışığın optik prizmaya verildiği tarafa A, farklı frekansta yedi ayrı renk şeklindeki
bileşenlerinin elde edildiği tarafa da B diyelim. Tersine, prizmanın B tarafından bu yedi renk
verilirse A tarafından beyaz ışık elde edileceğini biliyoruz (Şekil-10). Burada gerek A bölgesi
gerekse B bölgesi aynı bilgiyi tanımlamakta ancak olaya bakış açısı farklıdır.
Yukarıdaki örnekte, sadece beyaz ışığın incelenmesi, kaynak hakkında hiç bir bilgi
vermeyebilir. Buna karşılık prizmadan geçirilip ayrıştırılarak farklı frekanstaki bileşenleri
diğer bir deyişle spektrumu elde edilirse, bileşenlerinin dalga boyu veya frekansları, miktarları
ve birbirlerine oranları incelenerek beyaz ışığı veren kaynağın bileşimi, ısısı ve onu meydana
getiren malzemenin yapısı hakkında çok ayrıntılı bilgiler elde edilebilir. Bunun gibi, zaman
serilerinin zaman veya güç spektrumlarının incelenmesi onun yapısı veya orijini hakında
önemli bilgiler verebilir. Diğer yollarla bu bilgilerin sağlanması olanaklı olmayabilir.
Şekil-10. Beyaz ışığın optik spektrumu.
13
4.2.
SPEKTRUM KAVRAMI
Zaman ortamında gözlenmiş verilerin frekans ortamına aktarılması ile elde edilen verilere
spektrum adı verilir. Zaman ortamındaki enerji veya genlik gibi büyüklüklerin frekans
ortamında, frekans veya dalga sayısı gibi parametrelere göre değişimini belirtmek için
kullanılır. Matematik olarak, f(t) şeklinde gösterilen bir sinyalin spektrumu F(ω ) ile verilir.
Buradaki ω açısal frekanstır. Spektrumu ifade eden F(ω) fonksiyonu karmaşık (complex) olup
aşağıdaki iki şekilden birisi ile gösterilebilir (Al Sadi, 1980, s. 107).
1) Gerçel ve sanal kısımların toplamı olarak,
F    a    ib  
2) Gerçel ve sanal kısımların çarpımı şeklinde
F    F   .ei  
Burada, F    a 2    b2  
    tan 1
b  
a  
1
2
 2n
n  0, 1, 2,...
olup, F   modülü genlik,    ise faz spektrumu olarak isimlendirilir.
4.3.
FOURIER DÖNÜŞÜMÜ
Fourier dönüşümü; bir takım sinüsoidal fonksiyonların toplamından oluştuğu düşünülen bir
f(t) fonksiyonunu bileşenlerine ayırıp her bileşenin genliğinin bulunması esasına dayanır.
Daha önce değinildiği gibi, Fourier dönüşümü zaman ortamından (time domain) frekans
ortamına (frequency domain) geçişi sağlayan tersinir bir araçtır. Şekil-10’de beyaz ışık yerine
sismik sinyali koyarak “taraf” yerine ise “ortam” deyimleri kullanılarak dönüşüm kavramına
doğru bir geçiş sağlanabilir (Şekil-11).
14
Şekil-11. Frekans analizi yapan optik prizma; zaman (veya özel) ortamındaki beyaz ışığı,
frekans ortamında renk spektrumuna dönüştürür.
Zaman ortamındaki bir olayın frekans ortamındaki gösterimine onun spektrumu denir.
Zaman ortamındaki bir dizi genlik değeri ile anlatılan bilginin frekans ortamındaki gösterimi,
genlik ve faz spektrumu ile olur. Genliklerin frekansın fonksiyonu olarak gösterilişine “genlik
spektrumu” ve yine faz açılarının frekansın fonksiyonu olarak gösterilişine ise “faz
spektrumu” denir. Genliklerin karelerinin frekansın fonksiyonu olarak gösterilişine “güç
yoğunluğu spektrumu” denir ve zaman dizisinin öz ilişki fonksiyonunun Fourier
dönüşümüne eşdeğerdir.
Fourier dönüşümü tamamıyla doğrusal bir işlemdir. Yani, ortamlardan birinde (zaman veya
frekans) yapılan bir işlemin diğer ortamda mutlaka bir karşılığı vardır. Bilginin her iki
ortamdaki anlatımları eşit kesinliktedir. Ancak bazı işlemlerin gerçekleştirilmesi ortamlardan
(domain) birinde diğerine göre daha kolay olabilir.
Çok geniş bir uygulama alanının oluşu ve çeşitli konulardaki birçok problemin çözümünde
kullanılmakta olması nedeniyle Fourier dönüşümü üzerinde oldukça ayrıntılı biçimde
durulacaktır. Bu dönüşüm, genlik ve faz değerleri gibi iki önemli fiziksel büyüklükten oluşup
karmaşık bir sayı ile ifade edilir.
4.4.
FOURIER KURAMI
Fransız matematikçisi Joseph Fourier’in 1807’de ortaya koyduğu ve kendi adıyla bilinen
Fourier kuramına göre, bazı koşulları sağlayan herhangi bir f(t) fonksiyonu sonsuz sayıda
trigonometrik fonksiyonların toplamı olarak gösterilebilir (Şekil-12). Fourier kuramı bazı
koşullarda geçerlidir. “Drichlet koşulları” olarak bilinen bu kısıtlamalar aşağıda
özetlenmiştir (Drichlet 1829).
15
1- f(t) fonksiyonu periyodiktir. Yani f  t   f t  nT  olup buradaki T periyod ve
n  0, 1, 2,...
dir. f(t) fonksiyonu periyodik değil fakat sınırlı bir aralıkta
tanımlanmış ise, sonsuz sayıdaki sinüzoidal değişimlerin toplamı belirlenen aralıkta
yine f(t)’ye yaklaşmalıdır.
Bu aralığın dışında, toplam f(t)’nin tekrarlarını
gösterecektir.
Şekil-12. Herhangi bir fonksiyon belirli şartlarda sonsuz sayıda sinüzoidin toplamı
toplamı şeklinde gösterilebilir.
2- f(t) fonksiyonu sürekli, en azından belirli aralıklarda sürekli olmalı ve süreksizliklerin
sayısı sınırlı olmalıdır.
3- f(t) fonksiyonunun bir periyod içindeki maksimum ve minimum sayısı sonlu
olmalıdır.
16
4- f(t) fonksiyonu bir periyod aralığında sonlu yani,
T 2
 f t  dt  sonlu  
integralini yakınsamalıdır.
T 2
Fourier serisine açılacak bir f (t) fonksiyonunun bu şartların hepsini de sağlaması şart değildir.
Bu nedenle, Fourier analizi pek çok fonksiyona uygulanabilir. Zira uygulamada karşılaşılan
fonksiyonların pek çoğu yukarıdaki koşullardan en az birini sağlar.
FOURIER SERİLERİ
4.5.
Fourier kuramına göre Drichlet koşullarını sağlayan bir f(t) fonksiyonu aşağıdaki gibi sonsuz
sayıda sinüs ve kosinüs terimlerinin toplamından oluşan trigonometrik bir seri ile
gösterilebilir.
f t  
1
a0  a1 cos t  a2 cos 2t  a3 cos 3t  ...  b1 sin t  b2 sin 2t  b3 sin 3t  ...
2
f t  

1
a0    an cos nt  bn sin nt 
2
n 1
(4.1)
Bu seriye Fourier serisi denir. Burada n indisi harmonik, a0, an ve bn bu harmoniklere ait
Fourier katsayıları olup ω = 2π/Τ açısal frekanstır. Verilen bir f (t) fonksiyonunun Fourier
serisine açılımına harmonik analiz denir.
Yukarıda verilen (4.1) denklemi aşağıdaki biçimde de yazılabilir;
f t  
a0 
  cn  cos n0t  n 
2 n 1
(4.2)
Şeklinde de yazılabilir. burada, cn  cos n0t  n  genel terimine f (t) fonksiyonunun n. ci
harmonik fonksiyonu denir. Burada, harmonik genliği;

cn  an2  bn2

12
ve n faz açısı
 bn 

 an 
n  tan 1 
olarak ifade edilir.
Fourier katsayılarını bulmak için (4.1) denkleminin her iki tarafı sırası ile 1, cos m0t ve
sin m0t ile çarpılıp sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının,
17
T 2

sin  mt  sin  nt  dt 
T 2
T 2 m  n
cos
mt
cos
nt
dt





 0 mn


T 2
T 2
ve
T 2

sin  mt  cos  nt  dt 0
bütün m değerlerini bulmak için,
T 2
ortogonalite (diklik) özelliği göz önüne alınarak tam bir peryod aralığında integre edilirse
a0, an , ve bn şeklinde,
T 2
2
a0 
f  t  dt
T T 2
T 2
2
an 
f  t  cos  n0t  dt
T T 2
T 2
bn 
2
f  t  sin  n0t  dt
T T 2
(4.3)
Fourier katsayıları elde edilir. Buradaki m ve n tamsayılardır. Görüldüğü gibi a0 /2 katsayısı
f (t) fonksiyonunun aritmetik ortalamasıdır.
Periyodik bir fonksiyonun Fourier serisi ile gösterilmesi, bu fonksiyonun değişik
frekanslardaki sinüzoidlerin toplamı olarak göstermektir. ω (= nω ) frekansındaki sinüzoidal
bileşene, seriye açılan fonksiyonun n’inci harmoniği denilir. İlk harmoniğin frekansı,
2
cps (devir/saniye) veya Hz (Hertz)
0 
 2 f 0
T
olup, temel açısal frekans denir. T periyodu ise fonksiyonun periyoduna eşittir ve temel
periyod olarak adlandırılır.
Denklem (4.1) ile verilen Fourier serileri, sonsuz sayıda terim alındığı zaman, yani n’e birden
sonsuza kadar değerler verildiğinde, ancak f(t) fonksiyonu tam olarak gösterilebilir. Sonlu
sayıda terim alınırsa bulunan toplam, f(t) ’nin bir süreksizlik civarındaki değerlerinden büyük
değerler gösterir. Bu değerler, genliği süreksizlikten uzaklaştıkça azalan salınımlar gösterir.
Terim sayısının arttırılması süreksizlikteki hatanın büyüklüğünü azaltmaz fakat f (t)’nin
sürekli kısımları için daha iyi bir yaklaşım sağlar. Bu şekilde, hataların salınımlar
göstermesine gibss olayı denir (Şekil-13).
18
Şekil-13. Testere ağzı fonksiyonunun Fourier serisine açılımında sonlu sayıda terimin
alınması GIBSS olayını doğurur (Al Sadi, 1980).
4.5.1. Tek ve Çift Fonksiyonların Fourier Serileri
Fourier serisine açılacak olan f (t) fonksiyonunun çift yani, f (-t) = f (t) veya
T 2
T 2
T 2
0
 f  t  dt  2.  f t  dt
olması halinde böyle bir fonksiyonu Fourier serisi;
f t  

1
a0   an cos n0t
2
n 1
(4.4)
olup bütün n değerleri için bn =0 dır.
Ancak, seriye açılacak fonksiyon tek yani f(-t) = -f(t) veya
19
T 2
 f t  dt  0
T 2
ise, böyle bir fonksiyonun Fourier serisi

f  t    bn sin n0t
(4.5)
n 1
olup bütün n değerleri için an = 0 ve a0 = 0’dır.
Çift fonksiyonların Fourier serisine açılımında yalnızca kosinüslü terimler olduğundan
denklem (4.4) ile verilen açılıma kosinüs serisi denilir. Tek fonksiyonların açılımında
yalnızca sinüslü terimler bulunduğundan (4.5) açılımına sinüs serisi denilir.
4.6.
FOURIER SERİLERİNİN KARMAŞIK (COMPLEX) ŞEKLİ
Fourier serilerinde trigonometrik fonksiyonlar yerine karmasık (kompleks) ifadeler
kullanılarak seri ile ilgili hesaplar basitlestirilebilir. Denklem (2.1) ile verilen seride
trigonometrik ifadeler yerine Euler formülü ile verilen
cos  n0t  
ein0t  ein0t
2
sin  n0t  
ein0t  ein0t
2i
üstel karşılıkları konularak (4.1) denklemi aşağıdaki
a0   ein0t  ein0t
ein0t  ein0t 
f  t      an
 bn

2 n1 
2
2i

şeklinde yazılabilir. Burada 1/i = -i ve i = (-1) 1/2 olduğu dikkate alınarak yeni bir düzenleme
ile yukarıdaki denklem
f t  
a0    an  ibn  in0t  an  ibn  in0t 
 
e

e

2 n1 
2
2

şeklinde yazılır. Burada,
c0 
a0
2
n  0 için,
20
(4.6)
cn 
1
 an  ibn 
2
n  0 için,
c n 
1
 an  ibn 
2
ifadeleri yerine konularak,

f  t   c0   cn ein x  c n e in x 
(4.7)
n 1
karmaşık Fourier serisi elde edilir. Son olarak yukarıdaki (4.7) denklemi aşağıdaki
şekilde

1
n 1

f  t   c0   cn ein x   cn ein x
yazılarak, karmaşık Fourier serisi,

f  t    cn ein x
(4.8)
n 1
biçiminde elde edilir. Bu ifade aşağıdaki şekilde de yazılabilir

f  t   c0   cn cos  nt  n 
(4.9)
n 1
Burada cn cos  nt  n  terimine f (t) fonksiyonunun n’inci harmoniği cn katsayısına
harmonik genlik ve n açısına ise harmoniğin faz açısı denir.
FOURIER İNTEGRALİ VE FOURIER DÖNÜŞÜMÜ
4.7.
Buraya kadar olan incelemelerde f (t) fonksiyonu periyodik olarak kabul edildi. Ancak,
uygulamada karşılaşılan problemlerde çoğu kez periyodik fonksiyon bulunmaz. Bu tür olaylar
bir kez meydana gelir ve bir daha tekrarlanmaz. Periyodik olmayan bu tür fonksiyonlar için
Fourier serisi kullanılmaz. Bu durumda incelenen T boyundaki veri sonsuzda periyodikmiş
gibi düşünülerek uygun bir açılım elde edilebilir. Bu tür problemlerin çözümü yani periyodik
olmayan fonksiyonların Fourier serileri ile gösterilebilmesini Fourier integrali sağlar.
Her sonlu (-T/2, T/2) aralığında Dirichlet koşullarını sağlamayan ve (-∞, +∞) aralığında
yakınsayan f (t) fonksiyonunu karmaşık (complex) Fourier serisinin,
f t  

ce 
in
n 
n
0t
0 
2
T
(4.10)
21
ve yine
T 2
cn 
1
f  t  e in0t dt

T T 2
(4.11)
olduğu bilinmektedir.
Son bağıntıda geçici olarak t = x değişken dönüşümü yapalım ve c n’ in değerini ilk
bağıntıdaki yerine T  2 / 0 koyalım.
f t  
1 T 2
 in t
 in x
  f  x  e 0 dx e 0

n  

 T T 2

(4.12)
ve burada T’ nin değerini yerine koyarsak,
f t  
 1


n  
 2

T 2
 f  xe
 in0 x
T 2

dx ein0t0

(4.13)
T   olurken temel frekans 0  2 / T sonsuz küçük değer alır.
şeklinde yazabiliriz.
n  n0 sürekli bir değişkene dönüşür. Yani birbirini izleyen ardışık iki frekans arasındaki fark,
n 
2 n
T
n1 
2  n  1
T
  n 1  n 
2  n  1
T

şeklinde olur. Burada 
2 n 2

T
T
çok küçüktür.
Bu durumda n  n çarpımı sürekli bir

değişkenine yaklaşır. (4.13) bağıntısında 0   alınırsa,
 1
f t    
n   2





f  x  e in x dx eint 

(4.14)
olur. T sonsuz ve   d ’ ya gittiği limit durumunda n ’ da  ’ ya giderek n0 harmonik
frekanslarına göre hesaplanan cn katsayılarının çizimi süreklilik kazanarak (4.14) bağıntısındaki
toplam integrale dönüşür;
22
f t  
1
2

 int
 in x
   f  x  e dx e d

(4.15)
Bu bağıntıya periyodik olamayan fonksiyonlar için Fourier integrali denir. İçteki integralde x
yerine t koyarsak,
F   

 f t  e
 it
dt
(4.16)

f t  
1
2

 F   e
it
dt
(4.17)

olur. Bu son iki bağıntı periyodik fonksiyonlar için olmayan zaman ve frekans (veya Fourier)
ortamı tanımlamalarıdır. (4.16) bağıntısı f(t) fonksiyonunun Fourier dönüşümü, (4.17)
bağıntısı da F(ω)’nın ters Fourier dönüşümü’dür. F(ω) ve f(t)’ye Fourier çifti denir.
(4.15) bağıntısı ile verilen Fourier integralinin, geçici verilerin Fourier çifti (4.16 ve 4.17)
integrallerinin geçerli olması için,


f 2  t  dt  sınırlı  
(4.18)

olmalıdır. Bu koşul yeterli ancak her zaman gerekli değildir. Fourier integralinin varlığı
için Dirichlet koşullarının bazılarının sağlanması gerekir. Bunun dışında f (t)’nin sınırlı bir
aralıkta süreksizliklerinin sınırlı olması gibi uygulamada karşılaşılan veriler için her zaman
sağlanan koşul yeterli olmaktadır.
F(ω) karmaşık olduğundan,
F    a    ib  
 F   ei  
yazılabilir.
Burada F   ifadesi karmaşık
fonksiyonun modülü
ei   ise, argümanıdır.
Şekil-14. Fourier spektrumunun bileşenleri.
23
F    a 2     b 2  
(4.19)
 b   
    tan 1 

 a   
(4.20)
F    ‘ya f(t)’nin genlik spektrumu, φ(ω)’ya faz spektrumu denir. φ(ω) yerine bazen
-φ(ω) kullanılır. Buna da faz-gecikme spektrumu denir. Önemli tanım ve irdelemeler
yapılırken kullanılan ω açısal frekansı yerine uygulamada f frekansı kullanılır. Bu nedenle
(4.16) ve (4.17) bağıntılarında ω = 2πf ve dω = 2πdf değişimi yapılırsa,
F f 

 f t  e
 i 2 ft
dt
(4.21)

f t  

 F  f e
i 2 ft
df
(4.22)

denklemleri elde edilir.
F(f) karmaşık olduğundan,
F  f   a  f   ib  f 
(4.23)
 F  f  ei  f 
(4.24)
yazılabilir. a(f) ve b(f), F(f)’in gerçel ve sanal bileşenleridir. f(t)’nin genlik spektrumu,
F  f   a 2  f   b2  f 
(4.25)
ve faz spetrumu,
 b  f  
  f   tan 1 

a
f




(4.26)
bağıntıları ile verilir.
Fourier dönüşümünde dikkat edilmesi gereken bir konu F(f)’nin birimidir. (4.21)
bağıntısından görüleceği gibi, F(f)’nin birimi f(t) verisinin birimi ile t’nin biriminin
çarpımına eşittir. Örneğin, f(t)’nin Volt (V), t’nin ise saniye (s) olması durumunda F(f)’nin
birimi (Vs) olacaktır. Eğer (s) yerine (1/Hz) yazılacak olursa F(f)’nin birimi (V/Hz) olarak
verilebilir. Bu birim frekans başına düşen genlik yoğunluğu olarak bilinir ve özellikle F  f 
genlik yoğunluğu spektrumu olarak da adlandırılır. F(f)’nin fazını veren (4.26) bağıntısında
24
φ(f) birimsiz (yani radyan) olmasına karşın yukarıda açıklanan F  f  ‘nin biçimine çağrışım
yapması için φ(f) faz yoğunluğu spektrumu olarak da adlandırılmaktadır.
f(t) gerçel bir fonksiyon olduğunda F(f)’nin gerçel ve sanal bileşenleri a(f) ve b(f), sırasıyla,
kosinüs ve sinüs dönüşümlerinden elde edilir. Ayrıca a(f)=a(-(f)) yani a(f) bir çift fonksiyon,
b(f)= -b(-f) yani b(f) bir tek fonksiyondur. Bunlar (4.21) bağıntısında
ei 2 ft dt  cos 2 ft  i sin 2 ft
(4.26)
ifadesi konularak gösterilebilir;
F f 

 f t  e
 i 2 ft
dt






 f  t  cos 2 ftdt  i  f t  sin 2 ftdt
 a  f   ib  f 
olur. Yani,
a f  

 f  t  cos 2 ftdt
(4.27)

b f  

 f  t  sin 2 ftdt
(4.28)

şeklindedir. Son iki bağıntıda f yerine -f konulduğunda,
a  f  



b f  




f  t  cos  2 ft  dt    f  t  cos 2 ftdt  a  f 
(4.29)


f  t  sin  2 ft  dt    f  t  sin 2 ftdt  b  f 
(4.30)

olur. a (f)=a (-f) ve b (-f)= -b (f) olduğundan,
F   f   a   f   ib   f   a  f   ib  f   F *  f 
(4.31)
olur. Burada * simgesi karmaşık eşleniği göstermek için kullanılmıştır. (4.31) bağıntısı bir
gerçel fonksiyonun Fourier dönüşümünün eşlenik simetrik olduğunu gösterir. Bunun tersi
de doğrudur. Yani Fourier dönüşümü eşlenik simetri gösteren bir gerçel fonksiyondur.
Gerçel fonksiyonların genlik yoğunluğu spektrumu F  f  çift fonksiyon, faz yoğunluğu
spektrumu ise tek fonksiyondur. (4.24) bağıntısından,
25
F *  f   F  f  e i  f 
(4.32)
F   f   F   f  e  i   f 
(4.33)
olur. f(t) gerçel fonksiyonu için F(-f)=F*(f) olduğundan son iki bağıntıdan,
F  f  e i  f   F   f  e i   f 
(4.34)
elde edilir. Mod ve faz bileşenleri eşitlendiğinde,
F  f

 F f

   f     f 
ifadelerine erişilir.
Fourier dönüşümü ile elde edilen F(f)’nin biçimi f(t) fonksiyonunun tek fonksiyon veya çift
fonksiyon olması durumuna göre özel biçim alır. Her f(t) fonksiyonu,
f  t   fe t   f0 t 
(4.35)
fe  t  
1
 f  t   f  t  
2
(4.36)
f0  t  
1
 f  t   f  t  
2
(4.37)
biçiminde çift fe(t) ve tek fo(t) fonksiyonlarının toplamı olarak yazılabilir.
denkleminin Fourier dönüşümü alınacak olursa F(f),
F  f   Fe  f   F0  f 
(4.35)
(4.38)
biçiminde, çift ve tek fonksiyonların Fourier dönüşümlerinin toplamı olarak yazabiliriz.
Burada,
Fe  f  

 f t  e
 i 2 ft
e
dt
(4.39)
dt
(4.40)

F0  f  

 f t  e
0
 i 2 ft

dir. (4.26) ile verilen Euler eşitliği kullanılarak fe(t), f0(t) ve e-2πft ‘nin t’ ye göre
26
cos 2 f  t   cos 2 ft
(4.41)
sin 2 f  t    sin 2 ft
(4.42)
ei 2 f  t   ei 2 ft
(4.43)
biçimindeki simetri özellikleri göz önüne alındığında (4.39) ve (4.40) denklemleri aşağıdaki
biçimde yazılabilir.

Fe  f   2 fe  t  cos 2 ftdt
(4.44)
0

F0  f   2 f 0  t  sin 2 ftdt
(4.45)
0
Fourier dönüşümünün tek ve çift fonksiyonlara uygulandığında oluşan bu denklemler kosinüs
ve sinüs dönüşümü olarak bilinirler. Yukarıdaki denklemlerden açıkça görülmektedir ki, Fe(f)
çift fonksiyon, F0(f) ise, tek fonksiyondur. Periyodik veriler için gösterilen Parseval kuramı
Fourier dizilerinden Fourier dönüşümüne geçerken yapıldığı gibi T → ∞, ωa = Δω, nΔω → ω
geçiş işlemleri yapıldığında,


f 2  t  dt 


 F f 
2
df
(4.46)

olur. Görüldüğü gibi, periyodik olmayan verinin zaman ve frekans ortamındaki enerjileri
eşittir. Verinin enerjisi sınırlı büyüklükte olduğundan, sonsuz aralıktaki ortalama enerji veya
güç çok küçük olur. Sonsuz sayıda periyodik bileşenlerin her birinin katkısı çok küçük olması
gerekir. Çünkü sonsuz sayıda periyodik bileşenden oluşan periyodik olmayan fonksiyonun
toplam enerjisi sınırlıdır. F  f  ’ye f(t) fonksiyonunun enerji yoğunluğu spektrumu denir.
2
F  f  nin enerji yoğunluğu olduğu Parseval eşitliği kullanılarak açıklanabilir. f(t) gerilim
2
verisi olsun. Bir direncin tükettiği enerji (V2s)’dir ve (4.46) bağıntısının sol tarafında
verilmiştir. Aynı bağıntının sağ tarafında frekans f’ye göre alınan integralin aynı birimi
vermesi için F  f 
2
nin biriminin (V2s/Hz) = (V2s2) olması gerekir. Yani F  f 
2
birim
frekanstaki enerji, yani enerji yoğunluğudur. Gerçekte yukarıda değinildiği gibi, bir tek
frekanstaki enerji sıfırdır. Birçok veri gerilime çevrilip algılandığından F  f 
yoğunluğu denilmesi alışılagelmiş bir adlandırmadır.
yoğunluğu yani güç olduğundan, F  f 
2
F f 
2
2
‘ye enerji
birim frekanstaki enerji
ye güç spektrumu demek bütün ortamlarda
ölçülen veriler için geçerli bir adlandırmadır.
27
Tablo-4.1. Bazı fonksiyonların Fourier dönüşümleri.
Fourier Dönüşümü
Fonksiyon
a) Dikdörtgen
1,

0,
t 1 2
sin  2 
t 1 2
2
 s ýnc

2
b) Fourier Çentiği
 


 2a 
sin at a
at
 sin
t


sin    0  / 2 
c)   t  cos 0t
  0

sin    0  / 2 
  0
  0 
1    0
sin
 sin c

2
2
2 

d) Üçgen fonksiyon
1  t ,
A t   
 0,
t 1
t 1
 1, t  0
e) sgn t  
1, t  0
sin c 2
i

2
2

f) Dirac delta fonksiyonu
 t   0 , t  0 ,
1

   t  dt  1

g) 1
2  
1, t  0
h) u  t   
0, t  0
    i
i) cos 0t
      0        0  
j) sin 0t
i    0      0  
1

28
k) u (t ) cos 0t

i
           

2
 
0
0
2
0
2
l) u(t )sin 0t

i
   0      0   2 0 2

2
0  
m) t

n) u  t  e at
a  i
a2   2
2
2
o) Laplace fonksiyonu
e
2a
a  2
a t
2
p) Gauss fonksiyonu
e  at
2

a
e 
2
/4a
29
30
Şekil-15. Tablo-4.1’de verilen fonksiyonlar ve Fourier dönüşümleri
31
FOURIER DÖNÜŞÜMÜNÜN ÖZELLİKLERİ
4.8.
Bir çok kuramsal ve uygulamalı çalışmada Foruier dönüşüm işlemlerinde kolaylık ve
çabuklaştırma sağlayan özelliklerinden yararlanılır. Aşağıda bunların birçoğu örneklerle
açıklanmıştır.
4.8.1. Doğrusallık ve Toplama Özelliği
x(t) ve y(t)’ nin Fourier dönüşümü X(f) ve Y(f) olsun. x(t) + y(t)’nin Fourier dönüşümü
X(f) + Y(f)’ dir;

  x t   y t  e
 i 2 ft

 x t  e
dt 

 i 2 ft


dt   y  t  ei 2 ft dt
(4.47)

kısaca,
x t   y t   X  f   Y  f 
(4.48)
yazılabilir. ↔ işareti solundaki ve sağındaki fonksiyonun bir Fourier çifti oluşturduğunu
simgeler. Doğrusallık özelliği ikiden fazla fonksiyon için de geçerlidir. Bu özellik Fourier
dönüşümünün doğrusal düzeneklere uygulanabileceğini gösterir. Gerçekte x(t), y(t) ve varsa
toplanan diğer düzenek fonksiyonlarının kendileri birer doğrusal olmayan düzenek
fonksiyonları da olabilirler.
4.8.2. Bakışımlılık Özelliği
x t   X  f 
(4.49)
ifadesinden,
X t   x  f 
(4.50)
yazılabilir. Ters Fourier dönüşümü bağıntısında t yerine -t konulduğunda
x  t  

 X  f e
 i 2 ft
df
(4.51)

olur. t ve f değişkenleri aralarında değiştirildiğinde
x  f  

 X t  e
 i 2 ft
dt
(4.52)

elde edilir. Bir başka ifade ile, (4.50) doğrulanır. Bakışımlılık özelliği birçok kuramsal
çalışmalarda işlemleri kolaylaştırır.
32
4.8.3. Zaman Kayması Özelliği
x(t)’ yi t0 kadar kaydırmakla elde edilen x(t-t0)’ ın Fourier dönüşümü e  i 2 ft dt X (f) olur:
x  t  t0   ei 2 ft0 X  f 
(4.53)
s = t-t0 alınarak (4.53) özelliği doğrulanabilir:
Şekil-16. Zaman Kayması Özelliği.

 x t  t  e
0

 i 2 ft

dt   x  s  e
 i 2 f  s  t0 
ds
(4.54)

e
 i 2 ft0

 x se
 i 2 fs
ds

 ei 2 ft0 X  f 
Şekil-16’da kosinüs fonksiyonu kaydırılarak Fourier dönüşümünün zaman kayması özelliği
irdelenmiştir. Bakışımlı ve gerçek bir fonksiyon olan x(t) = cos2πft’ nin Fourier dönüşümü
gerçek bir fonksiyondur. Kaymayla bakışımlılık kaybolduğundan Fourier dönüşümü
kaybolduğundan Fourier dönüşümü gerçel ve sanal bileşenler içerir. Kayma genliği
etkilemez, sadece faz değişir. Kosinüs fonksiyonu için t0 kaymadaki Fourier dönüşümü,
33
X  f  ei 2 ft0  X  f  cos 2 ft0  i sin 2 ft0 
(4.55)
olduğundan genlik,
x  f  e2i ft0  X 2  f   cos2 2 ft0  i sin 2 2 ft0 
12
 X2 f 
12
 Xf
(4.56)
elde edilir. Burada faz açısı,
  f   arctan  b  f  a  f  
kaymaya bağlı olarak değişir.
(4.53) bağıntısında verilen
kayma özelliğine göre her frekanstaki bileşen kendi frekansıyla orantılı faz gecikmesine
uğrar, büyüyen frekansla faz açısı da büyür.
4.8.4. Frekans Kayması Özelliği
X(f) frekans ekseninde f0 sabiti kadar kaydırıldığında elde edilen X (f-f0)’ ın ters Fourier
dönüşümü, x  t  ei 2 f0t olur.
x  t  ei 2 f0t  X  f  f0 
(4.57)
Bu özellik ters Fourier dönüşümü bağıntısında s = f-f0 alınarak doğrulanabilir.


X  f  f 0  ei 2 ft df 


 X se
i 2 t  s  f 0 
ds
(4.58)

 e i 2 f 0 t

 X se
i 2 st
ds

 ei 2 f0t x  f 
X(f) gerçel olduğunda X (f-f0)’ ın ters Fourier dönüşümü x(t)cos2πf0t olur. Yani frekans
ortamında cos 2πf0t ile çarpmaya denktir. Buna modülasyon denir.
4.8.5. Zaman Ölçeklenmesi Özelliği
x(t)’nin Fourier dönüşümü X(f) olsun. k sıfırdan farklı gerçek bir sabit olması koşuluyla,
x(kt) ‘nin Fourier dönüşümü (1 / |k|) X(f/k) olur.
x  kt  
1 f 
X 
k k
(4.59)
Bu özellik s = kt alınarak doğrulanabilir;
34

 x  kt  e

 i 2 ft

dt   x  s  e

 i 2  s k 
ds 1  f 
 X 
k
k k
(4.60)
(4.59) dönüşüm çiftinde |k| alınmıştır. Çünkü k<0 alındığında 1/k işaret değiştirir. Şekil-17’
de daha önce Şekil-16’da Fourier dönüşümü verilen dikdörtgen dalga için zaman
örneklenmesi özelliği gösterilmiştir. Dikdörtgen fonksiyon zaman ortamında genişledikçe
frekans ortamında daralmaktadır. Bunun tersi de doğrudur. Frekans ve zaman ortamındaki
enerji eşit olduğundan, daralan frekans fonksiyonunun sıfır frekansı yöresinde genliği
büyümektedir.
Şekil-17. Zaman ölçeklenmesi özelliğine örnek.
4.8.6. Frekans Ölçeklenmesi Özelliği
X(f)’ in ters Fourier dönüşümü x(t) olsun. k’nın gerçek bir sabit olması koşuluyla, X(kf)’ nin
ters Fourier dönüşümü (1 / |k|) x(t/k) dır.
1
k
t
x    X  kf 
k
(4.61)
ters Fourier dönüşümü bağıntısında s=kf alınarak bu özellik doğrulanabilir:
35

 X  kf  e
 i 2 ft


df   X  s  e

i 2  s k 
ds 1  t 
 x 
k
k k
(4.62)
Zaman ölçeklenmesine benzer biçimde, frekans ortamı daraltılması zaman ortamı
genişlemesine, genişlemesi de zaman ortamı daralmasına yol açar. Şekil-18’de yine
dikdörtgen dalga biçimi kullanılarak bu özellik açıklanmıştır. Frekans ve zaman ortamları
enerjilerinin eşitliğinin sağlanması için, frekans ölçeklemesi büyüyünce zaman ortamı
fonksiyonu (dikdörtgen dalga) genliği büyümektedir.
4.8.7. Fourier Çiftinin “Ortak Bağıntı” Özelliği
Sayısal Fourier dönüşümü hesaplamalarını hızlandırmada yararlanılan bir özellikte Fourier
dönüşümü ve ters Fourier dönüşümünün aynı bağıntı kullanılarak hesaplanabilmesidir.
Aşağıdaki bağıntı ile gösterilir.
*
 *

x  t     X  f  ei 2 ft df 
 

(4.63)
Burada * karmaşık eşleniği simgelemektedir.
e  i 2 ft çekirdeği, Fourier dönüşümünde olduğu gibi, gerekli karmaşık eşlenek çevirmeleri
yapılarak x(t) ve X(f) aynı bilgisayar programıyla hesaplanabilir.
4.8.8. Zaman ve Fourier Türevleri Özellikleri
Ters Fourier dönüşüm bağıntısının iki yanının n’inci türevleri alınırsa,
d n x t 
n
  i 2 f  X  f 
n
dt
(4.64)
biçiminde yazılır. Burada x(f)’ nin türevlerinin var olduğu varsayılmıştır. Fourier dönüşüm
bağıntısının iki yanının n’ inci türevlerinden,
 it  x  t  
n
dnX  f 
 2 f 
(4.65)
n
Fourier çifti elde edilir. x(t)’ nin türevinin alınması ile oluşan sinyalin spektrumu X(f)
spektrumunun f ‘ye orantılı çoğalan bir değerle çarpılmasına eşdeğerdir.
4.8.9. Zaman ve Frekans İntegralleri Özelliği
Yukarıdaki türev özelliğinden hareketle x(t) ‘nin integrali olan sinyalin Fourier dönüşümü
aşağıdaki şekilde bulunur:
36

 x  t  dt (i 2 f )
1
X(f )
(4.66)

Benzer şekilde X(f) spektrumunun frekans ortamında integrali ile elde edilen spektrumun ters
Fourier dönüşümü ile x(t) arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir:
f
1
(it ) x(t ) 
 X  f  df
(4.67)
f
Görüldüğü gibi, x(f)’ nin integrali alınması ile oluşan sinyalin spektrumu X(f) spektrumun
1/f’ ye orantılı bir değişken ile çarpılmasına eşdeğerdir.
4.8.10. Eşlenik Özelliği
x  t   a t   ib t  karmaşık fonksiyonunun eşleniği,
x*  t   a  t   ib  t  nin Fourier
dönüşümü
X* (-f) dir:
x*  t   X *   f 
x f  

  a t   ib t   e
(4.68)
 i 2 ft
dt
(4.69)


X  f  
  a  t   ib  t   e
i 2 ft
dt
(4.70)

X *  f  

  a  t   ib  t   e
 i 2 ft
dt
(4.71)

sonucu elde edilir.
4.8.11. Evrişim (Konvolüsyon) Özelliği
Gerek kuramsal türetmelerde ve gerekse gözlemsel verilerin analiz ve işlenmesinde
yararlanılan çok önemli bir olanak evrişim kuramıdır. Bu kurama göre zaman veya frekans
ortamındaki evrişim, frekans veya zaman ortamında çarpım yaparak gerçekleştirilebilir.
x t  * h t   X  f  H  f 
(4.72)
x t  h t   X  f  * H  f 
(4.73)
* evrişimi (konvolüsyon) simgeler. Yukarıdaki Fourier çiftini doğrulamak için,
37
y t   x t  * h t  

 x   h t    d
(4.74)

evrişim işleminin her iki tarafının Fourier dönüşümü alındığında,

 y t  e
 i 2 ft



dt     x   h  t    d  ei 2 ft dt
  


(4.75)
y(t)↔y(f) alınarak ve sağ taraftaki integralin sırası değiştirilerek,
Yf 


 i 2 ft
x

h
t


e
dt





d
  


(4.76)
elde edilir. s = t-τ alındığında ayraçların içi,

 hs e
 i 2 f  s  
ds  e
 i 2 ft


 hse
 i 2 fs
ds  e i 2 ft H  f 
(4.77)

olur. Bu sonuç (4.76) bağıntısına konulduğunda,
Yf 

 H  f  x   e
 i 2 ft
d  H  f  X  f 
(4.78)

elde edilir. Buna zaman evrişim kuramı denir. Bu özellik aşağıdaki biçimde özetlenebilir:
x t  * h t   y t 
(4.79)
X  f H  f  Y  f 
(4.80)
(4.73) Fourier çifti frekans evrişim özelliğidir ve yukarıda verilen zaman evrişim kuramına
benzer biçimde veya (4.72) çiftinin bakışımlılık bağıntısı (4.52)‘ya koyarak doğrulanabilir.
Sismik uygulamalarda olduğu gibi, uzun ve çok sayıda verinin bilgisayarlarda işlenmesinde
evrişim kuramından yararlanarak işlemler önemli ölçüde hızlandırılır. Daha sonra değinilecek
hızlı Fourier dönüşümü yöntemiyle Fourier dönüşümü işlemi çabuklaştırıldığından, önce veri
ve uygulanacak işlecin Fourier dönüşümleri alınarak çarpılır. Daha sonra bu çarpımın ters
Fourier dönüşümü alınarak çıkış verisi elde edilir.
4.8.12. İlişki (Korelasyon) Özelliği
Uygulamada önemli bir Fourier çiftide ilişki fonksiyonu ve onun Fourier dönüşümüdür.
x(t) ve h(t) fonksiyonlarının ilişkisi,
38
cxh   

 x t  h t    dt
(4.81)

bağıntısıyla verilir. Bunun her iki tarafının Fourier dönüşümü,

 i 2 ft
 cxh   e d 


 i 2 f 
x
t
h
t


dt
d





e
  


(4.82)
alınarak, sağ taraftaki integrallerin sırası değiştirilirse,


cxh  f    x  t    h  t    ei 2 f  d dt

 


(4.83)
olur. s = t+τ alınırsa ayraçların içi,

 hs e
 i 2 f  s t 
ds  e
i 2 ft


 hse
i 2 fs
ds  ei 2 ft H  f 
(4.84)

olur. Bu sonuç (4.83) bağıntısına konulduğunda,

cxh  f  
 x t  e
i 2 ft
H  f  dt




 h  f    x  t  cos 2 ftdt  i  x  t  sin 2 ftdt 

 

 H  f  R  f   i  f 
(4.85)
olur. x(t)’ nin Fourier dönüşümü,
x f  

 x t  e
 i 2 ft
dt






 x  t  cos 2 ftdt  i  x t  sin 2 ftdt
 R  f   i  f 
(4.86)
olduğundan, (4.85) ve (4.86) bağıntılarından,
cxh  f   H  f  X *  f 
(4.87)
elde edilir. Kısaca,
39
cxh    cxh  f 
(4.88)
yazılır. Bu sonuca çapraz-ilişki özelliği denir. Bu sonuç, ilişkiye giren ikinci fonksiyonun
Fourier dönüşümünün eşleniğinin alınması dışında evrişim özelliğinin aynısıdır. Evrişim
işleminin ilişki işleminden farkının fonksiyonlardan birinin katlanması olduğu bilindiğinden
bu benzerlik kolayca anlaşılır. Yukarıda x(t) bir çift fonksiyon olduğunda X(f) gerçel
olacağından X(f) = X*(f) olur. Bu durumda evrişim ve ilişki işlemleri yukarıda değinilen
özelliklerde eşdeğer olur. Eğer, x(t) = h(t), yani her iki fonksiyon özdeş ise, (4.81) bağıntısı
özilişki bağıntısına dönüşür. (4.88) ilişki özelliği de,
cxx    X  f  X *  f   X  f   cxx  f 
2
(4.89)
olur. Buna özilişki özelliği denir. İki verinin çapraz ilişkisinin veya bir verinin özilişkisinin
hesaplanmasında evrişim özelliğinde olduğu gibi hızlı Fourier dönüşümünden yararlanılarak
ve ilişki kuramı kullanılarak işlemler hızlandırılabilir. Diğer önemli bir kullanım ise, geçici
verilerin güç ve çapraz güç yoğunluğu spektrumlarının hesaplanmasıdır. Geçici verilerin güç
yoğunluğu spektrumları verilerin Fourier dönüşümü kullanılarak gösterilebilir.
4.8.13. Çift fonksiyonlar (Even Functions)
Eğer, fe(t) = fe(-t) ise fe(t)’ nin Fourier dönüşümü bakışımlı (simetrik) ve gerçeldir:
f e  t   Re  f  

 f t  cos  2 ft  dt
(4.90)
e

(4.21) bağıntısından yararlanarak,

Fe  f  
 f t  e
e
 i 2 ft
dt






f e  t  cos  2 ft  dt  i  f e  t  sin  2 ft  dt



 f  t  cos  2 ft  dt  Re  f 
(4.91)
e

olur. Sanal terim sıfırdır, çünkü integralin içi bir tek fonksiyondur. cos (2πft) bir çift
fonksiyon cos(2πft) bir çift fonksiyon olduğundan, fe(t) cos(2πft) = fe(t) cos2π(-f)t ve
Fe(f) = Fe(-f); yani Fourier dönüşümü de bir çift fonksiyondur.
Bu özelliğin tersi de doğrudur. Yani Gerçek ve çitf fonksiyonun ters Fourier dömüşümü de bir
çift fonksiyondur.
Ayrık fonksiyonlar için çift fonksiyon özelliği;
40
Fe(k) = Fe(-k) ise,
N 1
 2 nk 
f e  k   Re  n    f e  k  cos 

 N 
n 0
k  0,1, 2,...N  1
(4.92)
4.8.14. Tek fonksiyonlar (Odd Functions)
Eğer fo(t) = -fo(-t) bağıntısı gerçekleşiyorsa, fo(t)’nin Fourier dönüşümü de ters bakışımlı ve
sanal bir fonksiyondur. Bu ifade, 4.21 bağıntısından yararlanılarak kanıtlanabilir.
F0  f  

 f t  e
2 ft
0
dt






f 0  t  cos  2 ft  dt  i  f 0  t  sin  2 ft  dt


 i  f 0  t  sin  2 ft  dt  i Im  f 
(4.93)

Gerçel kısmın integrali sıfırdır. Çünkü bir çift fonksiyon ile tek fonksiyonun çarpımı yine bir
tek fonksiyondur. sin(2πft) bir tek fonksiyon olduğundan, sin(2πft) = -f0(t) sin2π(-f)t
Fourier dönüşümü tek fonksiyondur.
Ayrık fonksiyonlar için tek fonksiyon özelliği;
fo(k) = -fo(-k) ise,
N 1
 2 nk 
f 0  k   i Im  n   i  f 0  k  sin 

 N 
n 0
k  0,1, 2,...N  1
(4.94)
4.8.15. Dalga Şekli Ayırımı (Waveform Decomposition)
Herhangi bir fonksiyon tek ve çift fonksiyonların toplamı olarak ayırılabilir;
f t  
f t 
2

f t 
2
 f  t  f  t    f  t  f  t  





2
2
2
2 

 
 fe  t   f0 t 
(4.95)
Çünkü, büyük parantezlerin içi çift ve tek fonksiyon tanımını doğrular. (4.91) ve (4.93)
bağıntılarından, (4.95) bağıntısının Fourier dönüşümü,
41
F  f   Re  f   i Im  f   Fe t   F0 t 
(4.96)
Şekil-18. Fourier dönüşümü ile Fourier dizisi arasındaki ilişkiye şematik bir örnek.
Burada, Fe(f)=Re(f) ve Fo(f)=iIm(f) dir. Fourier dönüşümünün bu özelliği ayrık Fourier
dönüşümü hesaplamalarını hızlandırmada kullanılan özelliklerden biridir. Ayrık fonksiyonlar
için dalga biçimi ayırım özelliği:
f k  
f k 
2

f k 
2
 f  k  f   k    f  k  f  k  





2   2
2 
 2
 fe  k   f0  k 
F  n   Re  n   i Im  n   Fe  n   F0  n 
burada,
Fe  n   Re  n  ve F0  n   i Im  n 
42
sonucuna ulaşılır.
Tablo-4.2. Fourier dönüşümünün bazı özellikleri.
Özellik
Formülasyon Gösterimi
x t   X  f 
y t   Y  f 
Doğrusallık
x t   y t   X  f   Y  f 
Bakışımlılık
x   f   X t 
Zaman Kayması
x  t  t0   ei 2 ft0 x  f 
Frekans Kayması
ei 2 f0t x  t   X  f  f0 
Zaman Ölçeklenmesi
x  kt  
Frekans Ölçeklenmesi
1
k
Ortak Bağıntı
x t    X *  f 
1 f 
X  , k  0
k k
t
x    X  kf  , k  0
k
*
t
Zaman İntegrali
 x  t  dt  i 2 f 
1
Xf

Frekans İntegrali
 it 
1
x t  
f
 X  f  df
f
Zaman Türevi
d n x  t  dt n   i 2 f
Frekans Türevi
 it  x  t   d n X  f 
Eşlenek
x*  t   X *   f 
Evrişim
x t  * y t   X  f  Y  f 
n

n
Xf

df n
x  t  y  t   X  f  *Y  f 
İlişki
cyx    x  t  * y  t   X  f  Y *  f 
43
4.9.
FOURIER SPEKTRUMU
Şimdiye kadar, frekans ortamına geçerken verilerin periyodik veya geçici olduğu varsayılarak
Fourier dizileri veya Fourier dönüşümü şeklinde kullanımı incelendi. Ayrıca, yine buraya
kadar ki incelemelerde verilerin sürekli olduğu ve sürekli verilerle işlem yapabileceğimiz
varsayıldı. Ancak, uygulamada karşılaşılan durum yukarıdaki varsayımları gerçeklemez.
Eldeki verinin sınırlı bir gözlemin sonucu elde edildiği unutulmamalıdır. Ayrıca veri ya ayrık
olarak gözlenmiş veya bilgisayarda işleme sokmak için sürekli veri, Δt örnekleme aralığı ile
ayrık şekle dönüştürülmüştür. Her iki nedenle verinin frekans ortamına geçirilmesinde
sorunlarla karşılaşılmaktadır. Bu sorunların incelenmesinden önce sınırlı ve ayrık verilerin
frekans ortamına geçirilmesinde kullanılan hesaplamayı yeniden tanımlamak gerekmektedir.
Eğer elimizdeki T sınırlı uzunluğundaki veriyi xT(t) ile gösterecek olursak, bu veriye
değiştirilmiş bir Fourier dönüşümü uygulanarak frekans ortamında xT(ϖ )’yı elde ederiz:
xT   
T 2
1
xT  t  eit dt

T T 2
(4.97)
veya  = 2πf kullanılarak,
xT  f  
T 2
1
xT  t  e i 2 ft dt

T T 2
(4.98)
Bu denklemle tanımlanan xT(f) ‘ye uygulamada “Fourier Spektrumu” adı verilir.
Görüldüğü gibi, bu denklem Fourier dönüşümünden (Denklem 4.16) farklıdır. İntegral
sınırları doğal olarak sonlu uzunlukta veri için -∞ ve ∞ yerine -T/2 ve T/2 olmuş ve daha
önemlisi integral önüne 1/T çarpanı eklenmiştir.
Bu nedenle xT(f)’ den | xT(f)|
hesaplandığında birim veri genlik birimi ile eşit olup Fourier dönüşümündeki gibi genlik
yoğunluğu değildir. Aslında Fourier spektrumu xT(f) denklemindeki Fourier dizisi ile elde
edilen spektruma benzemektedir, yalnız gözlem uzunluğu T’nin ana peryod Ta’ya eşit olması
ve sürekli frekanslar yerine özel frekanslar fn = n/Ta kullanılması durumunda Fourier dizileri
ile elde edilen çizgi spektrumuna eşit olacaktır. Yukarıdaki nedenlerle Fourier spektrumu
tanımı geçerli bir tanımdır ve (4.91) denklemi gerek çizgi spektrumu gerekse Fourier
dönüşümü için kullanılabilir. Ayrıca belirtmek gerekir ki, önceki bölümde konu edilen tüm
Fourier dönüşümü özellikleri Fourier spektrumu için geçerlidir. Bu Fourier dönüşümü için
tüm denklemlerde X(f) yerine XT(f) kullanılarak kanıtlanabilir.
Fourier spektrumu ayrıca tanımlamanın ve Fourier dizisi ve dönüşümü ile bağını incelemenin
yararı uygulamadaki adlandırma karışıklığını gidermek içindir. Gerçekten de Fourier çizgi
spektrumu X(fn)’yi veren Fourier dönüşümü ile bulunan ve X(f) ‘yi veren (4.16) denklemi ve
sonrada Fourier spektrumu olarak adlandırılan XT(f) ‘yi veren (4.91) denklemi farklıdır. Bu
denklemlerle verilen frekans ortamı gösterimler içerdikleri varsayımlar ve üstelik fiziksel
birimler açısından da farklıdırlar ve uygulamada kullanılan denklem ile ilgili kavramlara ve
adlandırmaya özen gösterilmelidir.
44
4.9.1. Ayrık Veriler
Sonlu uzunlukta xT(t) verisi için Δt örnekleme aralığı kullanılarak xn= x (nΔt), n=0,1,2,..,N-1
ile T= nΔt zamanlarında örneklenmiş veri elde edilir. Veri boyu T olduğuna göre T/ Δt=N
toplam veri sayısını verecektir. Örneklenmiş veri ile Fourier spektrumu,
XT  f  
1
N
N 1
x e
 i 2 fnt
(4.99)
n
n 0
biçiminde yazılır. Bu yazılım doğrudan programlama için kullanılabilir ve herhangi bir f
frekans için geçerlidir. Ancak hesaplamada sürekli frekans kullanılamayacağına göre, sürekli
frekansında örneklenmesi gerekmektedir. Eğer frekans örneklemesi  f seçilecek olursa,
(
f = k f frekanslarında XT k f


X k f  xk 
1
N
N 1
x e
n 0
) veya kısaltılmış olarak x hesaplanabilir,
k
 i 2 k f nt
(4.100)
n
Εn son hesaplanacak frekans Nyquist frekansı f N  1/ 2t olduğuna göre, k=0,1,2,....,K, için
hesaplanan spektrumda f N  K f  1/ 2t dolayısıyla K  1/ 2t f olacaktır. Eğer, frekans
örnekleme aralığı f  1/ T  1/ N t seçilecek olursa, K = N/ 2 olacak, yani veri sayısının
yarısı sayıda frekansta spektrum elde edilecektir f  1/ T seçiminin Fourier spektrumunu
doğrudan Fourier çizgi spektrumuna eşit kıldığına, yani gözlem uzunluğu N içindeki
gözlemin peryodik bir verinin ana peryoduna eşit olduğu varsayılmış olacağına önceden
değinilmişti. Eğer veri aslında sonsuz ise ve T = NΔt sadece gözlem uzunluğuna eşitse doğal
frekans seçilebilirliği 1/T olacaktır. Bu nedenle, birbirlerine uzaklığı 1/T olan iki frekans
bileşeninin görülebilmesi için frekans örnekleme aralığı 1/T den daha küçük ve en az 1/2T
olmalıdır.
Son olarak frekans ortamında tanımı verilmiş bir verinin zaman ortamında tekrar kurulması
konusunda bazı özellikleri kısaca belirtmek yerinde olacaktır. Fourier kuramına göre zaman
ortamındaki veri, spektrumun ters Fourier dönüşümü ile verilir:
x t  

 X  f e
i 2 ft
df
(4.101)

Eğer elimizde Fourier spektrumu XT(f) varsa T, XT
( f )’nin
sınırlı Fourier dönüşümüne
eşittir. Ayrıca bu spektrum  f aralıkları ile örneklenmiş yani f  k f ise, yukarıdaki
denklemde X(f) yerine TXK yazılabilir. Spektrumun Nyquist frekansı f N  K f ile sınırlı
olduğu göz önüne alınırsa aşağıdaki formül ile zaman ortamına geçilebilir.
45
x t   T
K
Xe
k  K
i 2 k f t
f
k
(4.102)
Zaman ortamında sürekli t yerine T = nΔt zamanlarında hesaplama yapılacak olduğunda,
xn  x  nt   N t f
K
Xe
k  K
i 2 k f nt
biçiminde olacak veya K  1/ 2t f
xn  x  nt  
N
2K
K
Xe
k  K
(4.103)
k
kullanılarak,
i 2 nk 2 K
(4.104)
k
ile zaman ortamında elde edilecektir. Zaman ortamında en önemli konu elde edilen verinin
periyodik olma zorunluluğudur. Bilindiği üzere, Δt aralıkları ile örneklenmiş bir verinin
spektrumu periyodik olur. Yani 2 f N  1/ t de bir kendini tekrarlar. Aynı biçimde  f
frekans aralığı ile örneklenmiş bir spektrumun zaman ortamındaki verisi 1 / f aralıkla
kendini tekrarlayacaktır. Bu nedenle T = NΔt uzunluğundaki bir verinin spektrumu
hesaplanırken frekans aralığı  f serbest olmakla birlikte, eğer zaman ortamına tekrar geri
dönüldüğünde T aralığında aynı veri elde edilmek isteniyorsa dönüşte f  1/ T alınmalıdır.
4.9.2. Çok Boyutlu Fourier Dönüşümü ve Fourier Spektrumu
Birçok gözlemsel veri uzaysal ortamda çok boyutlu olarak gözlenir. Yeraltı jeolojik
yapılarının araştırılması için yeryüzünde veya havadan yapılan gravite alanı, manyetik alan ve
benzeri jeofizik ölçmeler, uzaktan algılama verileri, optik yöntemlerle yapılan gözlemler, xışınları görüntüleri 2-boyutlu (2B) uzaysal verilere örneklerdir. Zaman ve uzaysal ortamlarda
algılanan ve kısaca zaman uzaklık verileri denilen gözlemlerde uygulamada çok sık 3 boyutlu
(3B) verileri oluştururlar. Yeryüzünde bir doğrultu boyunca birden fazla konumda algılanan
sismik yansıma ve kırılma verileri, deprem sismogramları 2B zaman uzaklık verileridir.
Yeryüzünde 2B uzaysal ortamda serili alıcı dizinlerle algılanan sismik veriler, ultrasonik
veriler, 3B zaman uzaklık verilerine örneklerdir. Yeryüzünde 2B alıcı düzenler ve yer içinde
kurulu alıcılardan oluşan yani 3B alıcı düzenlerle algılanan veriler 4 boyutlu (4B) zamanuzaklık verileridir. Zaman dördüncü boyutu oluşturur. Yukarıda değinilen verilerin
algılanmasında kullanılan alıcı dizinlerin ve nokta kaynak dışında kalan benzer verici
düzenlerin frekans ve dalga sayısı ortamlarındaki davranışlarının irdelenmesi içinde çok
boyutlu Fourier dönüşümü kuramına gereksinme vardır. Fourier dönüşümü ile çok boyutlu
verilerin analizlerinin yapılması yanında, bu verilerle ilgili uygulamalarda da yararlanılır.
Örneğin çok boyutlu verilere süzgeç uygulamaları frekans ortamında 1B verilerdeki gibi hızlı
Fourier dönüşümü olanağından yararlanılır.
46
Uygulamada karşılaşılan veriler en fazla 3B ve bazen de dört boyutlu olabilirler. Aşağıda
verilen N-boyutlu Fourier dönüşüm çiftleri için doğada karşılaşılan veri boyutlarının bir
sınırlayıcı etkisi yoktur, yani N > 4 olabilir. N sayıda t1, t2, ….tN sürekli değişkenlerine
bağlı (N-boyutlu) x (t1, t2, ….tN) fonksiyonunun (verisinin) Fourier dönüşümü X(f1, f2,…..
….fN)’ de f1, f2,…….fN sürekli değişkenlerine bağlı bir N-boyutlu Fourier çiftidir ve izleyen
biçimde yazılır:
X  f1 , f 2 ,... f N  
 


 ...  x t1, t2 ,...tN  e
 
x  t1 , t2 ,...t N  
 

dt1dt2 ...dt N
(4.105)


 ...  X  f1, f 2 ,... f N  e
 
 i 2  f1t1  f 2t2 ... f N t N 
i 2  f1t1  f 2t2 ... f N t N 
df1df 2 ...df N
(4.106)

Ayrık veriler için N-boyutlu Fourier çifti,
x  k1 , k2 ,....k N  
M1 1 M 2 1
M N 1
n1 0 n2 0
nN 0
  .....  x  n , n ,....n e
1
x  n1 , n2 ,...nN  
M1M 2 ....M N
dir.
1
2
k n k n
k n 
 i 2  1 1  2 2 ..... N N 
MN 
 M1 M 2
N
M1 1 M 2 1
M N 1
k1 0 k2 0
k N 0
  .....  X  k , k ,....k e
1
2
N
k n k n
k n 
i 2  1 1  2 2 ..... N N 
MN 
 M1 M 2
(4.107)
(4.108)
Yukarıda (4.100) bağıntısında k1 , k2 ,....M1 ve k N  0,1,.....M N ; (4.101) bağıntısında
n1  0,1,.....M1 ve
nN  0,1,.....M N ’ dir.
Uygulamada en çok 3B ve 2B Fourier
dönüşümünden yararlanılır. 3B sismik örülerinin tepki spektrumlarının hesaplanmasında, 3B
süzgeç düzenlemede ve 3B göç işleçlerinin hesaplanmasında Fourier dönüşümünden
yararlanılır.
3B verilerin frekans ortamı analizleri yapıldıktan sonra bu verilerin
süzgeçlenmesi için düzenlenen çok izli süzgeç tepki yanıtları frekans ortamımda incelenir.
3B Fourier çiftleri (4.98) (4.101) bağıntılarında N = 3 alınarak kolayca yazılabilir.
Uygulamada 2B verilerle daha çok karşılaşıldığında 2B Fourier dönüşümünün benzer ancak
daha yaygın kullanım alanları vardır. İki boyutlu verilerin spektrumlarının hesaplanması ve
uygun sınırlı boyda süzgeçlerin düzenlenmesi, sismik veriler için çok izli süzgeç düzenlemede
kuramsal ilkelerin geliştirilmesi, bu süzgeçlerin frekans yanıtlarının hesaplanması ve sismik
verilerin göç işlemleri bazı uygulama alanlarıdır. Bu yazının izleyen bölümleri daha çok 2B
verilerle ilgili tartışmaları içermektedir. 2B Fourier çifti
X  u, v  
 
  x t, y  e
 i 2  ut  vy 
dtdy
(4.109)
 
47
x t, y  
 
  X  u, v  e
i 2  ut  vy 
(4.110)
dudv
 
dir. Yukarıdaki çift yazılırken (4.98) ve (4.99) bağıntılarında N=2 konulması yerine kolaylık
için alt takısı olmayan u, v ve t, y değişkenleri kullanılmıştır. 2B ayrık Fourier çifti,
X  k1 , k2  
M1 1 M 2 1
  x n , n  e
n1 0 n2 0
1
x  n1 , n2  
M 1M 2
1
k n k n 
 i 2  1 1  2 2 
 M1 M 2 
(4.111)
2
M1 1 M 2 1
  x k , k  e
1
k1  0 k2  0
k n k n 
i 2  1 1  2 2 
 M1 M 2 
(4.112)
2
denklemlerine ulaşılır. Boyu uzun 1B gözlemsel verilerin Fourier dönüşümlerinin ve ters
Fourier dönüşümlerinin hesaplanmasında hızlı Fourier dönüşüm yöntemlerinden yararlanılır.
Hızlı Fourier dönüşümünden sınırlı boyda 1B ve çok boyutlu süzgeç düzenlemede ve
uygulamada da yararlanılır. Çok boyutlu Fourier dönüşümleri hesaplanırken işlemler 1B
Fourier dönüşümüne indirgenerek 1B hızlı Fourier yöntemi kullanılabilir. Örneğin (4.104)
bağıntısıyla verilen 2B Fourier dönüşümü (4.106) bağıntısındaki gibi yazılarak işlemler, içteki
toplamdan dışa doğru yapılabilir:
n k 
nk 

2  2 2    i 2  1 1 
M2 

e  M1 
X  k1 , k2      x  n1 , n2  e

n1  0  n2  0


M1 1 M1 1
(4.113)
Bu bağıntıda n1 sabit tutulduğunda köşeli ayraçlar içindeki toplam 1B olur. Önce bu içteki
toplam hesaplanarak buna s(n1, k2) denilsin. s(n1, k2) zaman ve frekansın fonksiyonudur.
Daha sonra k2 sabit tutularak dıştaki toplam hesaplanarak X(k1, k2) elde edilir.
2B x(n1, n2) verisi ve Fourier dönüşümü X(k1, k2) karmaşık olabilir. x(n1, n2)’nin genlik
spektrumu;
x  k1 , k2  
 gerçelX  k , k    sanalX  k , k 
2
1
2
1
2
2
(4.114)
 X  k1 , k2  X *  k1 , k2 
ve faz spektrumu
  k1 , k2   arctan  sanalX  k1, k2  / gerçelX  k1, k2  
(4.115)
şeklindedir. * karmaşık eşleneği göstermektedir. Dairesel bakışımlı ve ışınsal bakışımlılık
gösteren 2B fonksiyonların (verilerin) faz spektrumları bütün frekanslarda sıfırdır. Bu özellik
(4.102) ve (4.103) bağıntılarında üstel terim yerine eşdeğer sinüs ve kosinüs fonksiyonları
yazılarak, yani
48
e
 i 2  ut uy 
 cos  2  ut  uy    i sin  2  ut  uy  
(4.116)
Euler bağıntısı kullanılarak kolayca doğrulanabilir. x(t, y) ve X(u, v) bakışımlı olduğundan
sin(2π(ut+vy)) ile çarpımları tek fonksiyonları oluştururlar. Tek fonksiyonun (-∞, ∞)
aralığında integrali sıfır olduğundan (4.108) bağıntısında sanal X(k1, k2) = 0 olur. 2B Fourier
dönüşümünün 1B Fourier dönüşümüne benzer özellikleri vardır. Tablo-4.3’ de uygulamada
karşılaşılan özellikler sunulmuştur. Bu özelliklerin varlığı 1B Fourier dönüşüm özellikleri
gibi doğrulanabilir.
Tablo-4.3’ de verilen özelliklerden uygulamada geniş biçimde
yararlanılır. Örneğin evrişim özelliği 2B süzgeçlemede bilgisayar zamanında büyük
kazançlar sağlar. Süzgeç katsayıları ve verinin daha önce değinildiği gibi 2B hızlı Fourier
dönüşümü yönteminden yararlanılarak Fourier dönüşümleri alınır. 2B frekans ortamında
çarpımları gerçekleştirilerek bu çarpımın 2B hızlı Fourier dönüşümden yararlanılarak ters
Fourier dönüşümü, yani zaman ortamı 2B süzgeç çıkışı elde edilir. 2B Fourier dönüşümünün
ikinci türev özelliği, gözlemsel verilerin işlenmesinde kullanılagelen bir zaman ortamı
yöntemi olan ikinci türev işleminin frekans ortamında -4π2 (u2+v2) işleciyle çarpmaya eşdeğer
olduğunu göstermektedir. Bu işleç yüksek frekansları geçiren dairesel bakışımlı bir süzgeç
özelliği gösterdiğinden görüntü ve uzaktan algılama verilerinde sinyallerin sınırlarının
belirginleştirilmesinde kullanılır. Burada vurgulanmak istenilen türev özelliğinin uygulanan
işleci, analizi ve frekans yanıtının belirlemesidir.
Tablo-4.3. Fourier dönüşümünün bazı özellikleri.
Özellik
Formülasyon Gösterimi
x  t , y   X  u, v 
1
u v
X , 
ab  a b 
Ölçekleme
x  at , by  
Doğrusallık
x  t , y   g  t , y   X  u, v   G  u , v 
Kayma
x  t  a, y  b   e
Evrişim
x  t , y  * g  t , y   X  u, v  G  u , v 
Özilişki
cxx 1 , 2   X  u, v 
 
Parseval

X  t , y  dtdy 
2
 
n
X  u, v 
2
 
1
4
2
  X  u, v 
2
dudv
 
m
n
   
    x  t , y    i 2 u   i 2 v  X  u, v 
 t   y 
m
Türev
 i 2  au bv 
49

x  t , y   xti  t , y   i 2 uX  u , v 
t

x  t , y   xiy  t , y   i 2 vX  u, v 
y
2
x  t , y   xttii  t , y   4 2u 2 X  u, v 
t 2
2
x  t , y   xiiyy  t , y   4 2v 2 x  u, v 
2
y
2
x  t , y   xtyii  t , y   4 2uvX  u, v 
ty
 2 2 
2
2
2
 2  2  x  t , y   4  u  v  X  u, v 
 t y 
5. SPEKTRUM HESAPLAMALARINDA ÖN İŞLEMLER ve
PENCERELER
SPEKTRUM HESAPLAMALARINDA ÖN İŞLEMLER
5.1.
Verilen bir fonksiyonun tanımlandığı ortamın belirli koordinat noktalardaki ayrık değerlerinin
elde edilmesi işlemine örnekleme denir. Örnekleme, örneklenen fonksiyonun kaydedildiği
ortama göre adlandırılır. Örneğin, zaman ortamında kaydedilen bir fonksiyonun (sismogram
gibi) örneklenmesine zaman örneklemesi denir. Fonksiyon genlik veya güç spektrumu gibi
frekans ortamında tanımlanmış ise, bunun örneklenmesine frekans örneklemesi denir.
Örnekleme, matematiksel olarak, f(t) fonksiyonunun Birim Dirac Tarak,  T (t ) , fonksiyonu

ile çarpılmasıdır. f (t ) ayrık fonksiyonu,

f (t )  f (t ) T (t )

 f (t )   (t  nt )
n 



f (nt ) (t  nt )
(5.1)
n 
bağıntısı ile gösterilebilir. (5.1) bağıntısındaki  T (t ) (birim tarak) fonksiyonu,
50
 T (t ) 

  (t  nt )
(5.2)
n 
şeklindedir ve daha önce belirtildiği gibi δ(t) birim impuls fonksiyonunun Δt aralıklarıyla
yinelenmesinden oluşan periyodik bir fonksiyondur.
Spektral genliklerin birim olması
nedeniyle bu fonksiyonun Fourier dizisi,
 T (t ) 
1  inw0t
e
t n 
(5.3)
bağıntısı ile gösterilebilir. Burada ω0 = 2π/Δt dir. Toplam işareti altındaki terimin Fourier
dönüşümü,
F{einw0t }  2 ( w  nw0 )
şeklindedir. Buna göre,  T (t ) ’ nin Fourier dönüşümü,
F{ T (t )}  w0
t

  (w  nw )
n 
(5.4)
0

aralıklı olarak örneklenen bir f (t ) fonksiyonunun Fourier spektrumu (5.1) ve (5.4)
bağıntıları ile evrişim kuramı kullanılarak,

F{ f (t )} 

w0
F ( w) *   ( w  nw0 )
2
n 
(5.5)
olarak kolayca yazılabilir. Öte yandan bir f(t) fonksiyonunun birim tarak fonksiyonu ile
evrişimi, f(t) fonksiyonu t kadar kaydırarak,
f (t )*  t (t )  f (t  t )
oluşmasını sağlar.

F { f (t )} 
(5.6)
0 1

bilindiğinden,
2 t
1 
 F (w  nw0 )
t n 
(5.7)
buradan da kısaca,
F{w} 
1 
 F (w  nw0 )
t n 
(5.8)
denklemi yazılır.
51
Şekil-19. Bir verinin örneklenmesi
(a) Sonlu uzunluktaki veri,
(b) Birim sonsuz tarak fonksiyonu,
(c) Birim sonsuz tarak fonksiyonu ile sonlu uzunluktaki verinin çarpımından oluşan
Örneklenmiş veri.
.
Şekil-20. (a) Birim Dirac tarak fonksiyonu,
(b) Fourier spektrumu.
52
Bu denklem, eşit aralıklarla örneklenmiş band sınırlı bir verinin spektrumunun, sürekli zaman
fonksiyonunun w0 frekans aralıkları ile tekrarlanmasından oluştuğunu gösterir. Band sınırlı
bir veri söz konusu olduğundan veri içindeki wM gibi bir en büyük frekans değerinden daha
yüksek frekans olmayacaktır. Band sınırlı bir veride w0 örnekleme aralığının yarısına eşit olan
wN frekansına Nyquist frekans yada Katlanma frekansı denir. ± wN frekans aralığına
temel frekans aralığı denir.
5.1.1. Frekans Katlanması (Aliasing)
Örnekleme frekans f0 = 1/t ‘ dir. Veri band sınırlı olduğuna göre en yüksek frekans fM ve
görüntü (imaj) spektrumlarının band genişliği 2fM ‘ dir. Şekil-21c’ de görüldüğü gibi f0 2 fM
olduğu sürece görüntü spektrumlar esas spektrumdan ve birbirlerinden ayrılırlar. Bu da
örnekleme aralığının 1/2 fM den daha küçük t  1/2 fM seçilmesi ile olanaklıdır. Örnekleme
aralığı Δt = 1/2 fM seçilmesi halinde limit durumu oluşur. Esas ve görüntü spektrumlar
birbirlerini etkilememekte ve spektrum fN frekansı etrafında katlanmamaktadır.
Şekil-21. (a) Band sınırlı bir fonksiyonun,
(b) Gerçek
(c) Ayrık Fourier spektrumu
f0 = 1/t : örnekleme aralığı
53
Bu nedenle veride yer alan en yüksek frekanstan daha büyük frekans olarak seçilmesi gereken
fN frekansına, bu olayı ilk kez vurgulayan Nyquist’in adından dolayı, Nyquist frekansı veya
katlanma (folding) frekansı adı verilmektedir.
fN
Şekil-22. Örnekleme aralığının 1/2fN olarak seçilmesi durumunda ayrık spektrum. Spektrum
1/2 fM (Nyquist) frekansı etrafında katlanmaktadır.
Şekil-23. Örnekleme aralığının yeterince küçük alınmaması sonucu oluşan frekans
katlanması (aliasing). Taralı alan gerçek spektrumun, kalın çizgi katlanmış
spektrumu göstermektedir.
Örnekleme frekansının 2fN’den daha küçük, diğer bir deyişle Δt = 1/2 fM ‘den daha büyük
seçilmesi halinde görüntü spektrumlar esas spektrumdan ve birbirlerinden yeterince
ayrılamazlar ve birbirlerinin üzerine binerler. Aliasing adı verilen bu olay sonunda yüksek
frekanstaki bilgiler temel frekans aralığına sızmış olur. Şekilden de görüleceği gibi katlanma
nedeniyle gerçek spektrumdan çok farklı spektrum elde edilir.
5.1.2. Yönseme (trend) Giderilmesi
Gözlemsel veriler çoğu zaman çok alçak frekanslı gürültüler ya da doğrusal kayma içerirler.
Bunlar bazen çevresel etkenlerden bazen de aygıtın özelliklerinden ileri gelir. Örneğin bazı
aygıtlar günlük sıcaklık değişiminden etkilenerek algılanan sinyallerin üzerine alçak frekanslı
54
olayların binmesine neden olurlar. Doğrusal kayma aygıttan kaynaklanabileceği gibi
çoğunlukla sayısallaştırma yapılırken yatay eksenin yeterince duyarlı yerleştirilmemesinden
kaynaklanmaktadır.
Nedeni ne olursa olsun yönseme spektral işlemler öncesinde
giderilmelidir. Çünkü, spektrumun özellikle alçak frekans bölgesini önemli ölçüde etkiler.
Aşağıdaki örnek şekil bu etkiyi iyi bir şekilde açıklamaktadır.
Şekil-24. (a) Doğrusal yönseme (trend) içeren bir sinüzoidal sinyalin spektrumu,
(b) Doğrusal yönsemesi giderilmiş verinin spektrumu.
5.2.
PENCERELER
5.2.1.
Sonlu Uzunluklu Veriler ve Dikdörtgen Pencere
Bir verinin sonlu (NΔt) uzunlukta alınması, geri kalan kısmının atılması demektir. Yani bu
bir bakıma veriye dikdörtgen bir pencereden bakılması anlamına gelir. Matemetiksel olarak
bu işlem verinin,
1
W (t )  
0
t T /2
(5.9)
diğer
şeklinde bir dikdörtgen (Box car) pencere ile çarpılmasına eş değerdir. Verilerin bir zaman
penceresi ile kesilmesinin iki önemli etkisi vardır.
1. Frekans seçilebilirliğinin azalması (resolution-çözünürlük azalması)
2. Verinin iki ucunda oluşan süreksizlik nedeniyle frekans ortamında yan salınımların
oluşması (gibs olayı).
55
Şekil-25. (a) T uzunluklu bir veri,
(b) Dikdörtgen pencere,
(c) Verinin dikdörtgen pencere ile çarpımı
Seçilebilirlik spektral band genişliğinin fonksiyonudur. Dikdörtgen pencere durumunda,
2 k
burada frekans sayacı k ile frekans arasında W 
ilişki vardır.
N t
k
1
k  0,1,.......N  1
fk 
f 
(5.10)
N t
T
Frekans seçilebilirliği örnekleme aralığına (Δt) değil, verinin uzunluğuna yani T’ye bağlıdır.
T büyüdükçe Δf küçülür, frekans seçilebilirliği artar. Diğer bir deyişle, birbirine yakın
frekansları ayırma olanağı artar.
Örneğin, 10 sn uzunluğunda bir verinin ayrık fourier dönüşümünde hesaplanacak frekanslar;
0, 0.1, 0.2, 0.3,…..Hz olmasına karşın eğer veri boyu iki katına çıkarıldığında bu frekanslar;
0, 0.005, 0.10, 0.15,….Hz olacaktır. Sonuçta, seçilebilirlik iki katına çıkarılmış olacaktır.
Şekil-26. T uzunluklu bir verinin ayrık Fourier spektrumunda frekans seçilebilirliği.
56
xT (t )  x(t )w(t )
(5.11)
bağıntısı ile gösterilebilir. Burada x(t) sonsuz uzunluktaki zaman fonksiyonunu, xT(t)
pencerelenmiş sonlu uzunluklu zaman fonksiyonunu ve w(t) ise pencere fonksiyonunu
göstermektedir. (5.11) bağıntısının her iki yanının Fourier dönüşümünden
X T ( w)  X ( w)*W ( w)
(5.12)
elde edilir. Görüldüğü gibi sonlu uzunluktaki verinin spektrumu, sonuz uzunluktaki verinin
spektrumu ile pencere fonksiyonunun spektrumunun konvolüsyonuna eşittir. Diğer yandan,
bir fonksiyonun birim impuls fonksiyonu ile evrişimi (konvolüsyonu) yine kendisine eşit
olduğundan, pencerelenmiş fonksiyonun gerçek spektrumuna eşit olabilmesi için (5.12)
bağıntısında,
X T (w)  X (w)* ( w)
yani, X ( w)   ( w) olması gerekir.
(5.13)
Başka bir ifadeyle, pencere fonksiyonunun Fourier
dönüşümünün birim impuls fonksiyonuna özdeş olması gerekir. Bu, ulaşılması olanaksız bir
durumdur. Nitekim, (5.9) bağıntısı ile verilen dikdörtgen pencerenin Fourier dönüşümü,│

W (w)  F{W (t )}   W (t ) eiwt dt

T
  T2 eiwt dt

2
T
e  iwt 2

│
iw T 2


1
 iwT
iwT
e 2 e 2
iw
W ( w)  T

wT
2
wT
2
sin
(5.14)
olup, impuls fonksiyonu değil, bir sinc fonksiyonudur. Burada T dikdörtgen pencerenin
genişliğini, yani veri boyunu simgelemektedir. (5.14) bağıntısı kısaca,
57
 wT 
W ( w)  T sinc 

 2 
şeklinde de yazılabilir. Dikdörtgen fonksiyonun değerini (5.12) bağıntısında yerine koyarsak,
sonlu uzunluktaki fonksiyonun Fourier dönüşümü,
X T ( w)  X ( w) * T
wT
2
wT
2
sin
(5.15)
olarak bulunmuş olur. Bu durumda, sonlu uzunluktaki verinin spektrumu hesaplandığında,
gerçek spektrum frekans ortamında sinc fonksiyonu ile evrişmektedir. Bu evrişimin
sonuçlarını görebilmek için sinc fonksiyonunun özelliklerini bilmek gerekir. Şekil-27’de
görüldüğü gibi bir sinc fonksiyonu ω = 0 da en büyük değerini kazanmaktadır. Fonksiyon ilk
sıfırına 2π/T değerinde ulaşır. Fonksiyon artı ve eksi değerli yan bölmelere sahiptir ve yan
bölmelerin genlikleri sonsuzda sıfıra yaklaşır.
Şekil-27. Değişik boylardaki Sinc fonksiyonunun değişimi.
Sinc fonksiyonunun ana bölme genişliği dikdörtgen pencerenin genişliği ile ters orantılıdır.
Pencere genişledikçe T büyümekte ve sinc fonksiyonunun ana bölme genişliği daralmaktadır.
T→∞ için fonksiyonun giderek impuls’a yaklaşacağı açıktır. Bu durumda, sonlu uzunluklu
verilerin gerçek spektruma yaklaşabilmesi için yeterince uzun olması gerekir. Verilerin bir
dikdörtgen pencere ile kesilmesinin yarattığı bir başka sorunda enerji sızmasıdır. Verilen bir
frekanstaki genlik veya faz değerinin hesaplanmasında buna komşu frekanslardaki enerjinin
sızarak gerçek spektrumdan farklı spektrum elde edilmesine neden olması şu şekilde
açıklanabilir. Konuyu basitleştirmek için, sonlu uzunluklu verinin spektrumunu hesaplamak
isteyelim. Böyle bir fonksiyonun Fourier dönüşümü,
58
X ( w) 
1
Ta

Ta
2
Ta
2
x(t ) eiwnt dt
n  0, 1, 2, 3,........  
(5.16)
dir. Burada integralin bir periyod boyunca alınması gerekir. Temel frekans ve harmoniklerine
ilişkin sıfırdan farklı tüm genlikler spektrumda bir çizgi biçiminde görülecektir. Yani integral
tam bir periyod boyunca alınmalıdır.
Periyodik fonksiyonların spektrumlarının
hesaplanmasında veri boyu temel periyod veya onun katları kadar alınmadığında spektrum
yanlış hesaplanmış olur. Periyodik fonksiyonun temel periyodunun tam katı genişliğinde bir
dikdörtgen pencere ile kesilmesi halinde, sinc fonksiyonunun sıfırları 2π/T frekanslarında yer
aldığından, peryodik fonksiyonun temel frekans ve harmoniklerindeki genlikler sinc
fonksiyonunun sıfırlarına rastlayacaktır. Bunun sonucu olarak ta periyodik fonksiyonun
gerçek spektrumu frekans ortamında sinc fonksiyonu ile evrişirken değişmeyecek ve gerçek
spektrum elde edilmiş olacaktır. Şekil-28’de görüldüğü gibi ardışık iki frekanstaki genlikler
ayrılabilecektir.
Şekil-28. Sadece iki frekans değerinde sıfırdan farklı genliklere sahip iki periyodik verinin,
temel frekansın tam katı genişliğinde kesilmesi ile elde edilen, genlik spektrumu.
Aynı periyodik fonksiyonun boyu temel periyodun tam katı olarak alınmaz ise periyodik
fonksiyonun sıfırdan farklı genliklere sahip olan frekansları sinc fonksiyonunun sıfırları ile
çakışmayacaktır. Bu durumda, bu genlik değerleri evrişim sırasında sinc fonksiyonunun
sıfırdan farklı değerleri ile çakışacağından, yan bölmelerdeki enerji ana bölme içerisine
sızacak ve gerçekten farklı bir spektrum elde edilecektir. Spektrumun biçimi bileşenlerin
genliklerinin dağılımına ve frekans ekseni üzerindeki yerlerine bağlı olmakla birlikte,
genelde, ötelenmiş sinc fonksiyonlarının yığışımının oluşturduğu bir şekil kazanır.
Ayrık dikdörtgen pencere matematiksel olarak (5.9) bağıntısı ile tanımlanır.
aralığının Δt olması halinde, ayrık dikdörtgen pencerenin Fourier dönüşümü,
X P ( w)  e
iwt
2
 Nwt 
sin 

 2 
 wt 
sin 

 2 
Örnekleme
(5.17)
59
Şekil-29. Sadece iki frekans değerinde sıfırdan farklı genliklere sahip iki periyodik verinin,
temel frekansın tam katı genişliğinde kesilmesi ile elde edilen, genlik spektrumu.
bağıntısı ile verilir. Bu bağıntıya ‘Dirichlet çekirdeği’ adı verilir. Ayrık dikdörtgen
pencerenin genlik spektrumu desibel ölçeğinde Şekil-30’da ki gibidir. Şekil-30’dan
görüleceği üzere, yan salınım genliği oldukça yüksektir. İlk yan salınım genliği ana bölme
genliğinden yalnızca 13dB aşağıdadır.
Sonlu uzunluklu bir verinin spektrumunun
hesaplanmasında bir pencere fonksiyonunun uygulanması kaçınılmazdır. Güvenilir spektrum
elde etmek için uygulanacak pencerede şu özelliklerin bulunması gerekir.
1- Pencerenin yan salınım genliklerinin olabildiğince alçak düzeyde olması gerekir.
2- Yan salınımlardaki genlik azalım oranının olabildiğince hızlı olması gerekir.
3- Pencerenin ana bölme genişliğinin fazla olmaması gerekir.
Şekil-30. Dikdörtgen frekans penceresi.
Şekil-31. Bartlett üçgen frekans penceresi.
60
Çeşitli araştırmacılar bu niteliklere ulaşabilmek için dikdörtgenden farklı biçimlerde pencere
fonksiyonlarını denemişlerdir. Ancak bunların tümünde pencere yan salınımlarının genlikleri
azalırken, ana bölme band genişliği artmaktadır. Bu nedenle pencere düzenlemede bu iki
nitelikten birinde bir oranda kazanç sağlanırken, diğerinden ödün vermek gerekmektedir.
Pencere düzenlemelerinde zaman ortamında pencere bağıntısına zaman penceresi, bunun
Fourier dönüşümü ise frekans penceresi denir.
5.2.2. Üçgen Pencere (Bartlett Pencere)
Bartlett, verinin üçgen biçimli bir fonksiyonla törpülenmesinin yan salınım etkilerini
azaltacağını düşünerek,
𝑛
𝑁⁄
2
𝑊(𝑛) = {
𝑛 = 0,1,2,3, … . . 𝑁⁄2
𝑛 = 𝑁⁄2 , … . . 𝑁 − 1
𝑊(𝑁 − 𝑛)
(5.18)
bağıntısı ile tanımlanır. Bu ayrık pencere fonksiyonunun Fourier dönüşümü,
2
𝑊(𝑛) = 𝑁 e
N 
 i  1 wt
2 
𝑁
4
𝑠𝑖𝑛( −𝑤∆𝑡)
[
𝑠𝑖𝑛(
𝑤∆𝑡
)
2
2
]
(5.19)
alındığında, dikdörtgen pencerenin (5.19) denkleminin köşeli parantez içindeki ifadenin karesi
olduğuna göre, üçgen pencere için iki dikdörtgen pencerenin evrişimidir denebilir.
Üçgen pencere beklendiği gibi yan salınımları önemli ölçüde azaltır. İlk yan salınım genliği
ana bölme genliğinden 26 dB daha düşüktür. Ancak ilk bölmenin band genişliği ω=4π/T ’ye
yükselmiştir. Bu da pencerelenmiş verinin spektrumunun yuvarlatılmasına neden olur.
ω=4π/T olduğundan, dikdörtgen pencereye göre frekans penceresinin band genişliği 2 katına
çıkmaktadır.
5.2.3. Genelleştirilmiş Kosinüs Pencereleri
Kosinüs pencerelerinin tümünde yapılan işlem, zaman dizisinin kesilmesinden oluşan
süreksizliği bir kosinüs fonksiyonu ile yumuşatmaktan ibarettir. Bu amaçla,
𝑊(𝑛) = ∑
𝑁⁄
2
2𝜋
(−1)𝑚 𝑎𝑚 cos (
𝑚=0
𝑁
𝑛𝑚)
𝑛 = 0,1,2,3, . . … 𝑁 − 1
(5.20)
şeklinde gösterilen bir kosinüs fonksiyonu kullanılır. Burada N veri sayısı, n pencere
fonksiyonunda kullanılacak kosinüslü terimlerin sayısı, am harmoniklerin genliklerini
göstermektedir. Bu bağıntıyı açarsak,
61
2𝜋
𝑊(𝑛) = 𝑎0 − 𝑎1 𝑐𝑜𝑠 (
𝑁
2𝜋
𝑛) + 𝑎2 𝑐𝑜𝑠 (
2𝜋
𝑎4 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑁 4𝑛) − ⋯
𝑁
2𝜋
2𝑛) − 𝑎3 𝑐𝑜𝑠 (
𝑁
3𝑛) +
(5.21)
𝑛 = 0,1,2,3, . . … 𝑁 − 1
am katsayılarının toplamı 1 (bir) olmalıdır. Pencere genişliği N olduğuna göre m’ in değeri en
çok N/2 olabilir. Ancak bu güne kadar en çok üç alınmıştır. Çünkü m’ nin daha büyük
değerlerinde yan salınımlar azalmakla birlikte band genişliği artmaktadır.
Genelleştirilmiş kosinüs penceresinin Fourier dönüşümü alınarak frekans penceresi (Δt=1
alınarak)
𝑊(𝑤) = ∑
𝑁⁄
2
(−1)𝑚
𝑎𝑚
𝑚=0
2
(𝑊𝐷 (𝑤 −
2𝜋
𝑁
𝑚) + 𝑊𝐷 (𝑤 +
2𝜋
𝑁
𝑚))
(5.22)
Bu ifade m’ nin değerine bağlı olarak frekans ekseni boyunca sağa sola kaydırılmış Dirichlet
çekirdeklerinden oluşmaktadır. Burada WD(w) ayrık dikdörtgen pencereye ilişkin Dirichlet
çekirdeği olup,
 Nw 
sin 

 2 
X D ( w)  e
 w
sin  
2
w
i
2
(5.23)
şeklinde tanımlanır. Frekans penceresini açık biçimde yazacak olursak,
𝑎1
2𝜋
2𝜋
(𝑊𝐷 (𝑤 − ) + (𝑊𝐷 (𝑤 + ))
2
𝑁
𝑁
𝑎2
4𝜋
4𝜋
+ (𝑊𝐷 (𝑤 − ) + (𝑊𝐷 (𝑤 + ))
2
𝑁
𝑁
𝑎3
6𝜋
6𝜋
− (𝑊𝐷 (𝑤 − ) + (𝑊𝐷 (𝑤 + ))
2
𝑁
𝑁
𝑎4
8𝜋
8𝜋
+ (𝑊𝐷 (𝑤 − ) + (𝑊𝐷 (𝑤 + )) − ⋯
2
𝑁
𝑁
𝑊(𝑤) = 𝑎0 𝑊𝐷 (𝑤) −
biçiminde yazabiliriz. Bundan sonra diğer kosinüs pencerelerini inceleyelim.
5.2.4. İki Terimli Kosinüs Pencereleri
(5.20) bağıntısında m =1 alınarak iki terimli pencere bağıntıları elde edilebilir. Buna göre,
iki terimli zaman penceresi,
62
2𝜋𝑛
𝑊(𝑛) = 𝑎0 − 𝑎1 cos (
𝑁
)
𝑛 = 0,1,2,3, . . … 𝑁 − 1
(5.24)
Bu bağıntıdan yararlanarak toplamları 1 olan 𝑎0 ve 𝑎1 katsayıları belirlenerek iki terimli
zaman penceresi elde edilir. Burada eskiden beri kullanılan iki tanesi incelenecektir.
5.2.5. Hann (Hanning) Penceresi
Bu pencere ilk olarak Avusturyalı meteorolog J.V.Hann tarafından önerilmiştir. Katsayıları
𝑎0 = 𝑎1 = 0.5 ‘tir. Zaman ortamında,
2𝜋𝑛
𝑊(𝑛) = 0.5 − 0.5 cos (
𝑁
)
𝑛 = 0,1,2,3, . . … 𝑁 − 1
(5.25)
Aslında bu bağıntı (5.20) ile verilen genelleştirilmiş kosinüs penceresinde ilk iki katsayının
0.5 diğerlerinin ise, 0 alınması ile elde edilir. Bu bağıntının frekans penceresi ise,
𝑊(𝑤) = 0.5𝑊𝐷 (𝑤) − 0.25 (𝑊𝐷 (𝑤 −
2𝜋
𝑁
) + (𝑊𝐷 (𝑤 +
2𝜋
𝑁
))
(5.26)
Burada 𝑊𝐷 (𝑤) Dirichlet çekirdeğidir. İlk yan salınımın genliği ana bölme genliğinden 32 dB
daha düşüktür. Yan salınım genlikleri frekansın küpü ile ters orantılı olarak azalır.
Şekil-32. Hann frekans penceresi.
Şekil-33. Hamming frekans penceresi.
63
Şekil-3.32’ de görülen Hann penceresinin
yan salınım genliklerinin hızla azalması
nedeniyle, uzak frekanslarda yer alan
düşük enerji düzeyli sinyallere enerji
sızmasını önleyen ve bu sinyalleri ortaya
çıkarmada başarılı bir penceredir.
Şekil-3.33’
de
verilen
Hamming
penceresinde yan salınım genliklerindeki
azalma oranı, 6 dB/octave olarak oldukça
yavaştır. Bu pencere, yakın ile uzak
frekanslar da ki enerji sızması arasında
önemli farklar yoktur. Yani uzak
frekanslardaki enerjide ana bölme içinde
yer alabilir.
5.2.6. Hamming Penceresi
Katsayıları 𝑎0 = 0.54 ve 𝑎1 = 0.46 ‘dır. Hann penceresinin iyileştirilmiş durumu olarak
bakılır. Zaman penceresi,
2𝜋𝑛
𝑊(𝑛) = 0.54 − 0.46 cos (
𝑁
)
𝑛 = 0,1,2,3, . . … 𝑁 − 1
(5.27)
Bunun frekans penceresi,
𝑊(𝑤) = 0.54𝑊𝐷 (𝑤) − 0.23 (𝑊𝐷 (𝑤 −
2𝜋
𝑁
) + (𝑊𝐷 (𝑤 +
2𝜋
𝑁
))
(5.28)
Yan salınım düzeyi 43 dB düşüktür. Ancak yan salınım genlik azalımı yavaştır.
5.2.7. Üç terimli Kosinüs Pencereleri
(5.20) bağıntısında m = 2 alınarak elde edilirler. Yani, 𝑎0 , 𝑎1 ve 𝑎3 gibi üç katsayıdırlar.
Zaman ortamında,
2𝜋𝑛
𝑊(𝑛) = 𝑎0 − 𝑎1 cos (
𝑁
4𝜋𝑛
) + 𝑎3 cos (
𝑁
)
𝑛 = 0,1,2,3, . . … 𝑁 − 1
(5.29)
şeklinde tanımlanırlar. Burada, 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎3 = 1 olmalıdır.
İki terimli kosinüs pencerelerinin üç tane Dirichlet çekirdeğinin toplamından oluşmasına
karşın, üç terimli pencereler beş Dirichlet çekirdeğinin toplamı sonucu oluşurlar. Bu nedenle
de bu yolla yan salınım genliklerinde diğerlerine göre çok daha küçük genlik düzeyleri elde
edilebilir.
İki terimlilerde olduğu gibi, bu grupta da yan salınım genliklerinde sağlanacak iyileştirme 𝑎𝑚
katsayılarının seçimine bağlıdır. Çeşitli araştırmacılar farklı katsayı grupları kullanarak
değişik isimler altında pencereler oluşturmuşlardır. Bu pencerelerin bir kısmını aşağıdaki
bölümde inceleyelim.
64
5.2.8. Blackman Penceresi
Katsayıları 𝑎0 = 0.42 , 𝑎1 = 0.5 ve 𝑎3 = 0.08 ‘dir. Zaman penceresi,
𝑊(𝑛) = 0.42 − 0.5 cos (
2𝜋𝑛
𝑁
4𝜋𝑛
) + 0.08 cos (
𝑁
)
𝑛 = 0,1,2,3, . . … 𝑁 − 1
(5.30)
Blackman penceresi uzun frekanslardaki enerji sızmasını önleyerek daha doğru spektrum
hesaplamayı sağlayan bir penceredir.
Frekans penceresi genelleştirilmiş ifadede yerine konularak bulunabilir. Bu pencerede ilk yan
salınımın genliği 53 dB daha aşağıdadır. Yan salınım genlik azalımı 18 dB olarak çok
hızlıdır. İlk yan salınım genliğini en iyileştiren katsayılar şunlardır:
𝑎0 = 0.42659071
𝑎1 = 0.49656062
𝑎3 = 0.07684867
Bu katsayılarla hesaplanan Blackman penceresine Tam Blackman Penceresi denir. Bu
durumda ilk yan salınım genliği 72dB düşer. Ancak yan salınım genliklerinde düşme oranı,
önemli ölçüde azalmıştır.
Şekil-34. Blackman frekans penceresi.
𝑎0 = 0.42, 𝑎1 = 0.50 ve 𝑎3 = 0.08.
Şekil-35. Tam Blackman frekans penceresi.
65
5.2.9. Blackman-Harris Penceresi
Bunlar Harris tarafından iyileştirilen pencerelerdir. Birincisinin katsayıları,
a0 =0.42323
a1 =0.49755
a3 =0.07922
Yan salınım genlikleri önemli ölçüde azalmışsa da yan salınım genlik azalım oranı
yavaşlamıştır. İkincisinin katsayıları,
a0 =0.44959
a1 =0.49364
a3 =0.05677
yan salınım genlikleri daha da azalmıştır.
5.2.10. Geçkinli-Yavuz Penceresi
Blackman penceresinin ikinci katsayısı 0.5 değeri sabit tutularak 1. ve 3. katsayılarının
değiştirilmesi ile uygun pencere elde edilmeye çalışılır. Burada, a0 = 0.5 – a2 ilişkisi vardır.
Buna göre Geçkinli-Yavuz penceresi,
𝑊(𝑛) =
1−2𝛽
2
− 0.5 cos (
2𝜋𝑛
𝑁
4𝜋𝑛
) + 𝛽 cos (
𝑁
)
𝑛 = 0,1,2,3, . . … 𝑁 − 1
(5.31)
ile verilir.  = 0.1565 için ilk yan salınımın genliği 52dB, β = 0.084 için 62dB düşüktür.
Genel davranışı Blackman penceresine benzerdir. Bu filtrede  katsayısı değiştirilmesi ile ana
bölme band genişliği değiştirilebilir.
Şekil-36. Blackman-Harris frekans penceresi.
𝑎0 = 0.42323, 𝑎1 = 0.49755 ve 𝑎3 = 0.07922.
Şekil-37. Blackman-Harris frekans penceresi.
𝑎0 = 0.44959, 𝑎1 = 0.49364 ve 𝑎3 = 0.05677.
66
Şekil-38. Geçkinli-Yavuz frekans penceresi.
 = 0.1565
Şekil-39. Geçkinli-Yavuz frekans penceresi.
 = 0.084.
5.2.11. Dört Terimli Pencereler
Dört terimli kosinüs pencereleri Harris tarafından verilmiştir. Bunlardan birincisi;
𝑎0 =0.40217
𝑎1 =0.49703
𝑎3 =0.09392
𝑎4 =0.00183
şeklinde olup yan salınım genlikleri -74dB düşüktür. İkincisi ise;
𝑎0 =0.35875
𝑎1 =0.48829
𝑎3 =0.14128
𝑎4 =0.01168
şeklinde olup yan salınım genlikleri -92dB düşüktür.
Bu yönü ile bu pencereler, yan salınım genlikleri en fazla bastırılmış pencerelerdir. Ancak,
yan salınım genliklerinde sağlanan kazanca karşılık, ana bölmenin band genişliği artmaktadır.
Enerji sızmasının önlenmesine karşın, spektrum aşırı yuvarlatılmaktadır.
67
Şekil-40. Dört Terimli Blackman-Harris
frekans penceresi.
Şekil-41. Dört Terimli Blackman-Harris
Frekans penceresi.
𝑎0 = 0.35875, 𝑎1 = 0.48829, 𝑎2 = 0.14128 ve 𝑎3 = 0.07922.
𝑎0 = 0.40217, 𝑎1 = 0.49703, 𝑎2 = 0.09392 ve 𝑎3 = 0.00183.
Diğer Sık Kullanılan Pencereler
Bu bölümde veri-işlem çalışmalarında kullanılan diğer pencereler hakkında bilgi verilecektir.
5.2.12. Parzen Penceresi
Hanning ve Hamming pencerelerine göre, hesaplama işlemlerinde biraz daha fazla zaman
almasına rağmen, yan salınım genlikleri çok düşük ve eksi değerleri olmadığından tercih
edilmektedir. Parzen penceresi simetrik kübik bir denklemden türetilmiştir.
2𝑛 2
1 − 6 ( 𝑀 ) (1 −
𝑊(𝑛) =
2 (1 −
{
0
2|𝑛| 3
𝑀
)
2|𝑛|
𝑀
0 ≤ |𝑛| ≤
)
𝑀
4
≤ |𝑛| ≤
|𝑛| ≥
𝑀
𝑀
4
(5.32)
2
𝑀
2
Parzen penceresi, çapraz güç yoğunluğunu hesaplamak amacıyla kullanılır. Parzen
penceresinin Fourier dönüşümü dört adet dikdörtgen fonksiyonun dönüşümlerinin
çarpımından oluşur.
Parzen penceresinin Fourier dönüşümü sonrası frekans ortamı aşağıdaki (5.33) denklemi ile
verilir.
68
 wM
sin 
3M
 8
W ( w) 
8
 wM
sin 
 8


4



(5.33)
Parzen penceresi üçüncü Türevine kadar sürekli olduğundan, yan salınımları 𝑤 −4 ile orantılı
olarak azalır ve kendi kendisinin katlamalı çarpımından oluştuğundan, eksi değeri olmayan
bir penceredir (Şekil-42-b).
Şekil-42. a) Parzen Penceresi ve b) Fourier dönüşümü.
5.2.13. Dolph-Chebyshev Penceresi
Bu pencere belirli bir yan salınım seviyesi için ana bölme genişliğini en küçük değerde
tutmak için geliştirilmiştir.
Pencerenin ayrık Fourier dönüşümünün eşit aralıklarla
örneklenmiş değerleri cinsinden aşağıdaki şekilde tanımlanır;
𝑘
𝑀
𝑐𝑜𝑠(𝑀(𝑐𝑜𝑠−1 (𝛽𝑐𝑜𝑠(𝜋 ))))
𝑊(𝑘) = (−1)𝑘
(5.34)
𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑀𝑐𝑜𝑠ℎ−1 (𝛽))
Burada, 0 ≤ |𝑘| ≤ 𝑀 − 1
𝛽 = 𝑐𝑜𝑠ℎ (
1
𝑐𝑜𝑠ℎ−1 (10𝛼 ))
𝑀
𝑥
− 𝑡𝑔−1 (𝑥⁄
), |𝑥| ≤ 1
−1 (𝑥)
2
−√1 − 𝑥 2
𝑐𝑜𝑠ℎ
={
𝑙𝑜𝑔 (𝑥 + √𝑥 2 − 1), |𝑥| ≥ 1
69
Pencerenin zaman fonksiyonu W(n)’yi bulmak için W(k)’nın ayrık ters Fourier dönüşümü
alındıktan sonra elde edilen değerler birim tepe genliğe göre ölçeklenir.  değişkeni ana
bölme seviyesinin yan bölme seviyesine oranının logaritmasını gösterir. α‘ya çeşitli değerler
verilerek pencereler türetilebilir.
Şekil-43. a) Dolph-Chebyshev penceresi ve b) Fourier dönüşümü.
Burada  = 3.0 alınmıştır.
70