ideal çarpımları - Prof. Dr. Neşet AYDIN

T.C.
ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ
FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ
MATEMATİK BÖLÜMÜ
İDEAL ÇARPIMLARI
(IDEAL PRODUCTS)
070216013 TUĞBA ÖZMEN
080216038 AYŞE MUTLU
080216064 SEVİLAY HOROZ
Nil nehri, Dünyanın en uzun nehridir (6.650 km). Havzası Afrika kıtasının onda birini kaplar. Güneyden
kuzeye doğru akar ve üç ana kolu vardır: Beyaz Nil Nehri, Mavi Nil Nehri ve Atbera Nehri.
Çanakkale - 2012
İDEAL ÇARPIMLARI
İÇİNDEKİLER
ÖNSÖZ………………………………………………………………………….3
ÖNBİLGİLER………………………………………………………………….4
İDEAL ÇARPIMLARI……………………………………………………….7
NİLPOTENT İDEAL…………………………………………………………9
NİL İDEAL ………….....…………………………………..…………………9
KAYNAKÇA……………………………………………………………………17
2
İDEAL ÇARPIMLARI
ÖNSÖZ
Bu kitapta ideal çarpımları konusunu esas alarak nilpotent ideal, nil ideal konularını
ele aldık. Nilpotent ideal ile nil ideal arasındaki ilişkiyi daha anlaşılır kılmaya çalıştık.
Hazırlama aşamasında birçok zorlukla karşılaşıp, uğraşlarımızdan dolayı çok yorulmuş
olsak da bunların kat be kat üstünde eğlenmemiz de var işin içinde. Stres, konuyu
anlayamama ve yetiştirememe korkularının yanında; özgüven, sabırlı olma, pratik
olma, zamanlama konusunda da birçok şey kattı bize. Bir de her çalışma anında içilen
çaylarımız, almayı unutmadığımız bisküvilerimiz ve bol kahkahalı muhabbetlerimizle
unutulmaz birkaç hafta yaşamış olduk.
Biz bu kitabı hazırlarken çok fazla özveride bulunduk. Ayrıca bu konuda bize
yardımlarını esirgemeyen Prof. Dr. Neşet Aydın’a, ailelerimize ve tüm arkadaşlarımıza
çok teşekkür ederiz.
Ayşe Mutlu
Sevilay Horoz
Mart 2012
Tuğba Özmen
Çanakkale
3
İDEAL ÇARPIMLARI
ÖN BİLGİLER
Tanım 1: R ≠ ∅ , “+” , “ . ” iki tane ikili işlem olsun.
R1) (R,+) değişmeli grup
R2) ⩝a, b, c ∈ R için a(bc)=(ab)c
R3) ⩝a, b, c ∈ R için a(b+c)=ab+bc ve (a+b)c=ac+bc
koşullarını sağlıyorsa, R kümesine bu ikili işlem ile bir halka denir.
Tanım2: ∅ ≠ S ⊂ R olsun. R bir halka olmak üzere,
Eğer S, R halkasındaki işlemlere göre kendi başına bir halka oluyorsa, S kümesine R
halkasının bir alt halkası denir.
Diğer bir deyişle,
i)
ii)
iii)
∅≠S⊂R
⩝ a, b ∈ S için a-b ∈ S
⩝ a, b ∈ S için ab ∈ S
koşulları sağlanıyorsa S kümesine R halkasının alt halkası denir.
Tanım3: R bir halka ve ∅ ≠ I ⊂ R olsun. I, R halkasının bir alt halkası olsun.
i) ⩝ r ∈ R ve ⩝ x ∈ I için rx ∈ I ( xr ∈ I ) oluyorsa I ya R halkasının bir sol ideali(sağ
ideali) denir.
ii) Eğer I, R halkasının hem sağ hem sağ ideali ise I ya R halkasının ideali denir.
Diğer bir deyişle
i)
ii)
iii)
∅≠I⊂R
⩝ a, b ∈ I için a-b ∈ I
⩝ a ∈ I, ⩝ r ∈ R için ar ∈ I ( ra ∈ I)
oluyorsa I ya R halkasının ideali denir.
4
İDEAL ÇARPIMLARI
Tanım 4: ∅ ≠ X ⊂ R ve X i kapsayan R halkasının bütün ideallerinin ailesi {A i |i ∈ I }
olsun.
i) ⋂i∈ I Ai idealine X ile üretilen ideal denir. ⋂i∈ I Ai = (X) ile gösterilir.
X kümesinin elemanlarına da bu idealin üreteçleri denir.
ii) Eğer X = {a}, tek bir a elemanı ile üretiliyor ise (X) = (a) ya esas (temel) ideal denir.
Tanım 5 : R 1 , R 2 ,… , R n n tane halka olsun. Bu halkaların direkt çarpımı,
R = R 1 x R 2 x … x R n = { ( r 1 ,r 2 ,…,r n ) | r i ∈ R i } olsun. R halkası bileşenlerinin toplama
ve çarpma işlemlerine göre bir halkadır.
⩝ ( r 1 ,r 2 ,…,r n ) , ( s 1 ,s 2 ,…,s n ) ∈ R
( r 1 ,r 2 ,…,r n ) + ( s 1 ,s 2 ,…,s n ) = ( r 1 + s 1 , r 2 + s 2 , … ,r n + s n )
( r 1 ,r 2 ,…,r n ) • ( s 1 ,s 2 ,…,s n ) = ( r 1 • s 1 , r 2 •s 2 , … , r n •s n )
Bu halka genel olarak R = R 1 ⊕ R 2 ⊕ … ⊕ R n şeklinde gösterilir ve halkaların direkt
toplamı olarak adlandırılır.
Önerme 6 : R bir halka olsun. b, c ∈ R ve (b), (c) ve (b-c) R nin idealleri olmak üzere,
(b-c) ⊆ (b) + (c) sağlanır.
İspat : (b-c) = { r(b-c) + (b-c)s + n(b-c) + ∑sonlu ri (b − c)si | r, s, ri ,si ∈ R, n ∈ ℤ }
R
x ∈ (b-c) olsun. O zaman,
R
R
x = rı(b-c) + (b-c)sı + nı(b-c) + ∑sonlu t i (b − c)zi
rı, sı, t i ,zi ∈ R, nı ∈ ℤ
R
− c) + (b − c) + ⋯ + (b − c)+ ∑sonlu t i (b − c)zi
= rıb–rıc + bsı–csı +(b
���������������������
nı tane
5
İDEAL ÇARPIMLARI
=rıb + bsı + nıb + ∑sonlu t i b zi + rı(-c) + (-c)sı + nı(-c) + ∑sonlu t i (−c) zi
������������������� �������������������������
∈ (b)
= b1 + c1
∈ (c)
b 1∈ (b), c 1 ∈ (c)
R
O halde x ∈ (b 1 ) + (c 1 ) olur. (b-c)den alacağımız her eleman için sağlanacağından
dolayı, (b-c) ⊆ (b) + (c) dir.
R
6
İDEAL ÇARPIMLARI
İDEAL ÇARPIMLARI
Önerme: A ≠ ∅ , B ≠ ∅ , R halkasının idealleri olmak üzere,
AB = { ∑𝐧𝐢=𝟏 𝐚𝐢 𝐛𝐢 ǀ a i ∈ A, b i ∈ B }
AB de R nin bir idealidir.
İspat:
A, B ideal olduğundan, 0 R ∈ A ve 0 R ∈ B
0R 0 R + 0 R 0 R + 0 R 0 R + ⋯ + 0R 0 R
⇒ 0 R = �����������������������
n tane
O halde 0 R ∈ AB olur. Yani AB ≠ ∅ dir.
x,y ∈ AB için,
R
x = ∑ni=1 ai bi
y =∑m
j=1 cj dj
x-y= ∑𝑛i=1 ai bi - ∑m
j=1 cj dj
a i , c j ∈ A, b i , d j ∈ B
= (a 1 b 1 + a 2 b 2 +… + a n b n ) - (c 1 d 1 + c 2 d 2 +… + c m d m )
= (a 1 b 1 + a 2 b 2 +… + a n b n ) + ((-c 1 ) d 1 + (-c 2 )d 2 + … + (-c m )d m )
A,
= ∑sonlu ek fk
( her i,j ∈ I için a i , c j ∈
her i,j ∈ I için b i ,d j∈ B )
e k ∈ A, f k ∈ B
Bu durumda x-y ∈ AB olur.
x ∈ AB, r ∈ R için x = ∑ni=1 ai bi olmak üzere,
R
R
rx = r ∑ni=1 ai bi
= r (a 1 b 1 + a 2 b 2 + … + a n b n )
= r (a 1 b 1 ) + r(a 2 b 2 ) + … + r(a n b n )
(R halka olduğundan çarpma işleminin
toplama işlemi üzerine soldan dağılma
7
İDEAL ÇARPIMLARI
özelliğinden )
= (ra 1 )b 1 + (ra 2 )b 2 + … + (ra n )b n
(R halka olduğundan çarpma işleminin
birleşme özelliğinden )
∀ a i ∈ A ( ∀ i ∈ I için) ve r ∈ R için ra i ∈ A olur. ( A ideal olduğundan )
R
R
∀ i ∈ I için ra i b i ∈ AB olacağından
⇒ rx ∈ AB olur.
R
Benzer şekilde xr ∈ AB olduğu görülür.
R
O halde AB, R nin idealidir.
Önerme: B, A 1 ,A 2 , … ,A n R halkasının idealleri olmak üzere,
B (A 1 +A 2 +…+A n ) = BA 1 + BA 2 + … + BA n
dir.
İspat: (⟾:) D= A 1 + A 2 + … + A n olsun. ( ideallerin toplamı ideal olduğundan )
x ∈ BD ⟹ x = ∑ni=1 bi di b i ∈ B, d i ∈ D
d i = (a i1 + a i2 + … + a in )
∀ i ∈ I için b i ∈ R ve j = 1,2,…,n için j ∈ I a ij ∈ R dir.
⟹ x = ∑ni=1 bi (ai1 + 𝑎i2 + ⋯ + 𝑎in )
(R halka olduğundan çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliğinden)
⟹ x = ∑ni=1(bi ai1 + bi ai2 + ⋯ + bi ain )
n
n
∑ni=1
⟹ x = ��
bi��
ai1 + ∑
bi��
ai2 + … + ∑
bi��
ain
���
��
���
��
���
i=1
i=1
∈ BA1
∈ BA2
⟹ x ∈ BA 1 + BA 2 + … + BA n
∈ BAn
O halde B (A 1 + A 2 + … + A n ) ⊂ BA 1 + BA 2 + … + BA n olur.
(⟽:) x ∈ BA 1 + BA 2 + … + BA n olsun.
8
İDEAL ÇARPIMLARI
⟹ x = ∑ni=1 bi ai1 +∑ni=1 bi ai2 + … + ∑ni=1 bi ain
⟹ x = ∑ni=1 bi ai1 + bi ai2 + ⋯ + bi ain
⟹ x = ∑ni=1 bi (ai1 + ai2 + ⋯ + ain )
⟹ x = ∑ni=1 bi di
⟹ x ∈ BD
b i ∈ B, d i ∈ D
⟹ x ∈ B (A 1 +A 2 +…+A n ) dir.
Bu durumda B (A 1 + A 2 + … + A n ) ⊃ BA 1 + BA 2 + … + BA n dir.
Kapsama bağıntısından B (A 1 + A 2 + … + A n ) = BA 1 + BA 2 + … + BA n olur.
Tanım: A, R halkasının ideali olmak üzere, n ∈ ℤ+ için
An= (0)
ise, A idealine nilpotent ideal denir.
Tanım: R bir halka olsun. r ∈ R için
rm = 0 R
olacak şekilde ∃ m pozitif tamsayısı var ise, r ye nilpotent eleman denir.
Tanım: A, R halkasının bir ideali olsun. Eğer A idealinin her elemanı nilpotent eleman
ise, A idealine nil ideal denir.
Önerme: ℤ n de sıfırdan farklı bir nilpotent eleman vardır gerek ve yeter koşul p2 |n
olacak şekilde bir p asal tamsayısının bulunmasıdır.
İspat:
(⟾:) n, kare çarpansız tamsayı ve p i ler farklı asallar olmak üzere,
n = p1 a1 p2 a2 …pt at
olsun. Eğer 0� ≠ 𝑎� ∈ ℤ n bir nilpotent eleman ise,
9
İDEAL ÇARPIMLARI
𝑎� m = 0� olacak şekilde ∃ m ∈ ℤ+ vardır.
P
n|am ⇒ p1 a1 p2 a2 …pt at | am elde edilir. ∀ i =1,2, … , t için p i ler asal tamsayı
olduğundan ,
⇒ p i |am
⇒p i |a
( a|bc⇒a|b ve a | c olduğundan )
∀ i =1,2, … , t için,
pi ai |a ⇒ n|a
⇒ a ≡ 0 (mod n)
(a|b ve c|b ⇒ ac | b olduğundan )
⇒ a� = 0�
Oysa ki a� ≠ 0� almıştık. Çelişki. O halde n nin en az bir kare çarpanı vardır.
O zaman p2 |n olacak şekilde p asal tamsayısı vardır.
(⟽ : )
p2 | n olacak şekilde bir p asal tamsayısı olsun.
p i ler farklı asallar ve ∃ a i ≥ 2 olmak üzere n = p1 a1 p2 a2 …pt at dir.
m = max (a1 , a2 , … ,at ) ve a = p1 .p2 ….pt olsun.
Eğer n|a ise, a =nk olacak şekilde k ∈ ℤ vardır.
⇒ a ≡ 0 (mod n) ⇒ 𝑎� = �0 olur. Bu durum her a ∈ ℤ için sağlanır.
O halde 0� ≠ 𝑎� nilpotent eleman olması için, n⫮a olmalıdır.
a = p1 .p2 ….pt için,
am = (p1 p2 ….pt )m
p1 ,p2 , … , pt ∈ ℤ
=p1 m p2 m …pt m olur.
( ℤ değişmeli halka olduğundan )
=p1 a1 p1 m−a1 p2 a2 p2 m−a2 ….pt at pt m−at
(pi ∈ ℤ , ℤ değişmeli halka ve
m = max (a1 ,a2 ,…, at ) olduğundan )
=p1 a1 p2 a2 …pt at �����������������
(p1 m−a1 p2 m−a2 … pt m−at )
k
10
İDEAL ÇARPIMLARI
olur.
Buradan,
⇒ am = nk
⇒ n|am
𝑚=0
� olur.
����
⇒𝑎
O halde 0� ≠ 𝑎� olan bir eleman için ����
𝑎𝑚 = 0� olacak şekilde m ∈ℤ+ vardır. ℤ n de
sıfırdan farklı bir nilpotent eleman bulunur.
Önerme: Eğer A nilpotent ideal ve n pozitif tamsayısı için , A idealindeki a 1 , a 2 , … , a n
elemanlarının her çarpımı sıfırdır.
O zaman her nilpotent ideal nil idealdir.
İspat: Keyfi bir A nilpotent ideali için,
∃ n ∈ ℤ+ için An = (0 R ) sağlanır.
AA
��
…
��
A = (0 R )
An = �
n tane
AB = { ∑ni=1 ai bi ǀa i ∈ A, b i ∈ B } yi göz önünde bulundurursak,
j
A 1 A 2 … A n = { ∑sonlu a1i a2i … ani ǀ ai ∈ A j ; j=1,2, … ,n }
j
A i = A için, ( i=1,2, … ,n ) An = {∑sonlu a1i a2i … ani ǀ ai ∈ A j ; j=1,2,…,n }
Daha sade şekilde,
An= { ∑sonlu x1 x2 … xn ǀ x i ∈ A, i=1,2,…,n } = (0 R )
R
olur.
x ∈ An için
1 1
x = x��
x2 …��
xn + x��
x2 …��
xn1 + … + ��
x1n���
x2n …��
xnn = 0 R
1���
1���
∈A
∈A
∈A
11
İDEAL ÇARPIMLARI
a 1 =x 1 x 2 …x n , a 2 = x11 x21 … xn1 ,… , a n = x1n x2n … xnn
x = a 1 + a 2 + … + a n ∈ A olur.
An = (0) olduğundan, ∑sonlu x1 x2 … xn = 0 R dir.
x 1 ∈ An , x 1 x 2 ∈ An , … , x 1 x 2 …x n ∈ An olur.
x 1 x 2 …x n = 0 R dir.
Özel olarak, x i = a olsun. i=1,2, … ,n için
a�����
a a … a = an = 0 R
ntane
olur. Bu durumda a nilpotent elemandır.
An den alacağımız keyfi her eleman için sağlanacağından dolayı, An nin her elemanı
nilpotent eleman olur.
O halde A nil idealdir.
Keyfi A nilpotent ideali için sağlandığından, her nilpotent ideal için de sağlanır.
Bu durumda, her nilpotent ideal nil idealdir.
Örnek: R halkasında nil ideal olup nilpotent ideal olmayan bir örnek verelim.
Çözüm: p sabit bir asal tamsayısı olsun. ⩝ i ∈ℤ+ için R i , I/(pi+1) halkasında ideal ve
I/(pi+1) idealinin bütün elemanları nilpotent elemanlardan oluşsun. (R i nil ideal )
𝚤+1 ����
������
� 1,
� 2,
� …,𝑝
I/(pi+1) = {a+pi+1 | a ∈ I } = {0,
−1} kümesi (pi+1) modülüne göre kalan
sınıfların kümesidir.
R i = {a + pi+1| a ∈ I , a + pi+1 nilpotent }
Yani a + pi+1 ∈ R i ise [a + ( pi+1 )]𝑛 = 0
⟹ an + (pi+1) = 0
∃ n için
∃ n için
( a + (pi+1) )i+1 = ai+1 + (pi+1) = (a+ (pi+1))n (a+(pi+1) )i+1-n
12
İDEAL ÇARPIMLARI
n
= (a��
+���
(pi+1
)) (ai+1-n + (pi+1)) = 0
�
���
=0
R i nin her elemanını sıfır yapacak bir n ∈ ℤ+ bulunacağından,
( a + (pi+1))i+1 = 0 ⟹ Ri+1
j = (0)
⟹ Rkj ≠ (0) dır.
T = { (a1 ,a2 ,…, a n ,0,0,…) | a i ∈ R i } kümesini ele alalım.
T, R i halkalarının ayrık direkt toplamıdır. T nin her elemanın sonlu sayıda bileşeni
sıfırdan farklıdır.
a i ∈ R i ve Ri+1
j = (0) olduğu için T nin her elemanı nilpotenttir ve T nil idealdir. Fakat i
sayısına bağlı olarak T nin elemanlarını an = 0 yapan n sayısı farklı olduğundan belli
bir n ∈ ℤ+ için T nin elemanları sıfır olmaz. Yani (T)n ≠ 0 dır.
Yani T ideali nil idealdir fakat nilpotent ideal değildir.
Önerme : R keyfi bir halka olsun ve
N= {a ǀ a ∈ R ; (a) R de nil ideal }
kümesi verilmiş olsun. O zaman N kümesi, R deki tüm nil idealleri kapsayan bir nil
idealdir.
İspat:
0 R ∈ R için, (0 R ) ideali R de nil idealdir.
R
O halde 0 R ∈ N dir. Böylece N ≠ ∅ olur.
R
b, c ∈ N olsun. O zaman (b) ve (c) idealleri R de nil idealdir.
R
u ∈ (b-c) için,
(b-c) ⊆ (b) + (c) olduğundan, (önbilgiler önerme 6’dan)
u ∈ (b-c) ⟹ u ∈ (b) + (c) dir.
Böylece, u = b 1 + c 1 şeklindedir. ( b 1 ∈ (b) , c 1 ∈ (c) olacak şekilde )
R
R
13
İDEAL ÇARPIMLARI
b 1 ∈ (b) için b1n = 0 R olacak şekilde ∃ n ∈ ℤ+ vardır. ( (b) ideali, R de nil ideal
olduğundan )
R
un = (b 1 +c 1 )n = �n0� b 1 n c 1 0 + �n1� b 1 n-1 c 1 1 + … + �nn� b 1 0 c 1 n
n
n
n−1
n
n−2 1
0 n−1
=b1n + c 1 [ �1�b1 + �2�b1 c1 + ⋯ + �n�b1 c1 ]
�������������������������
k∈R
= b1n + c 1 k
= 0 R + c 1 k ∈ (c) olur. O halde, un ∈ (c) dir.
R
R
Yani, un ∈ (c) ise (c) nil ideal olduğundan (c) nin tüm elemanları nilpotent elemandır.
Bu durumda, un nilpotent elemandır.
R
O zaman, (un)m = unm = 0 R olacak şekilde m ∈ ℤ+ vardır.
(b-c) idealinden aldığımız her u elemanı nilpotent elemandır. Bu yüzden (b-c) nil
idealdir.
N kümesi tanımından b-c ∈ R ve (b-c), R nin nil ideali olduğundan (b-c) ∈ N olur.
R
O halde N kümesi toplama işlemi üzerinde kapalıdır.
a ∈ N ve s ∈ R alalım. as ∈ R ( a ∈ R , R halka olduğu için )
R
R
R
R
as ∈ (as) olsun.
(as) = {rı(as) + (as)sı + n(as) + ∑sonlu ri (as)si | rı ,sı ,ri ,si ∈ R , n ∈ ℤ }
R
x ∈ (as) için,
R
R
x = rıı(as) + (as)sıı + nıı(as) + ∑sonlu ri (as)si ∈ (a) olur.
R
O halde, (as) ⊂ (a) dır.
(rıı,sıı, ri ,si ∈ R , nıı ∈ ℤ olduğundan )
R
R
Her x ∈ (as) için, x ∈ (a) olur. (a) nil ideal olduğundan x nilpotent elemandır.
R
R
Her x ∈ (as) için sağlanacağından (as) nil ideal olur.
R
14
İDEAL ÇARPIMLARI
O halde as ∈ R ve (as) R de nil ideal olduğundan N kümesi tanımından, as ∈ N olur.
R
R
Dolayısıyla N idealdir.
a ∈ N için, (a) R de nil idealdir. (a) nil ideal olduğundan her a ∈ R nilpotent
elemandır.
R
R
N ideali bu durumda nilpotent elemanlarının kümesi olur. O zaman N nil idealdir.
M bir nil ideal olsun. s ∈ M için (s) ⊆ M olacağından (s) ideali bir nil idealdir.
R
Bu yüzden N kümesi tanımı gereği s ∈ N olur. Bu da gösteriyor ki; N kümesi R
halkasının bütün nil ideallerini kapsar.
R
15
İDEAL ÇARPIMLARI
KAYNAKÇA
•
•
•
•
The Theory Of Rings –Neal McCoy
Örneklerle Soyut Cebir – Prof. Dr. Fethi Çallıalp
Soyut Cebir Dersleri - Prof. Dr.Hülya Şenkon
Ahi Evran Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Araştırma Projesi Halka Teorisi –
Altan Süllü
16