Sets, Functions, Sequences, and Sums-TR

Temel Yapılar: Kümeler,
Fonksiyonlar, Diziler ve Toplamlar
CSC-2259 Ayrık Yapılar
Konstantin Busch - LSU
1
Kümeler
Küme, nesnelerin düzensiz toparlanmasıdır
İngiliz alfabesindeki
sesli harfler:
V  {a, e, i, o, u}
a V
b V
10 küçük pozitif tek sayılar:
O  {1,3,5,7,9}
Kümenin elemanları
Kümenin üyeleri
Konstantin Busch - LSU
2
1
Diğer Küme Gösterimleri
100 küçük pozitif tam sayıların kümesi:
{1,2,3,,99}
Atlanan
öğeler
10 küçük pozitif tek sayılar:
O  {1,3,5,7,9}
O  {x | x 10' dan küçük pozitif tek sayilar}
O  {x  Z  | x teksayi ve x  10}
Konstantin Busch - LSU
3
Venn Şeması
Evrensel küme
U
6
4
1
2
9
3
7
O
5
8
U  {x | x 10' da küçük pozitif tam sayilardıa}
O  {x | x 10' da küçük pozitif tek sayıayılar}
Konstantin Busch - LSU
4
2
Temel kümeler
N  {0,1,2,3,}
Doğal sayılar
Z  {,2,1,0,1,2, }
Tam sayılar
Z   {1,2,3, }
Pozitif tam sayılar
Q  { p / q | p  Z , q  Z , q  0} Rasyonel sayılar
R  {Reel sayilar kümesi}
Konstantin Busch - LSU
Real sayılar
5
Boş küme
  {}
  {}
Konstantin Busch - LSU
6
3
Kümenin kapasitesi (boyutu)
Sonlu Kümeler
S1  {a, e, i, o, u}
Eleman sayısı
| S1 | 5
S 2  {a, b, c,  , z}
| S 2 | 26
S3  {1,2,3,,99}
| S3 | 99
|  || {} | 0
| {} | 1
Sonsuz kümler N  {0,1,2,3,} Sonsuz boyut
Konstantin Busch - LSU
7
Eşit Küme
A B
x( x  A  x  B)
Örnek:
{1,3,5}  {3,5,1}
{1,3,5}  {1,3,3,3,5,5,5,5}
{1,3,5,7,9}  {x  Z  | x tek sayi ve x  10}
Konstantin Busch - LSU
8
4
Alt küme
A B
x( x  A  x  B)
Örnek:
{1,3,5}  {0,1,3,5}
Her hangi bir S
kümesi için:
SS
B
A
NZ
S
Konstantin Busch - LSU
9
Öz alt küme
A B
B
A
A B A B
y
x( x  A  x  B  y ( y  B  y  A))
Örnek:
{1,3,5}  {0,1,3,5}
NZ
Açıklama: Bir kümenin kendisinden farklı her bir alt kümesine öz alt
küme denir.
Konstantin Busch - LSU
10
5
A B
is equivalent to
A B  B A
Konstantin Busch - LSU
11
Güç kümesi
S kümesinin gücü, S’nin olası bütün alt
kümeleri ve boş kümeyi içerir.
S  {1,2,3}
Güç kümesi
P( S )  {, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3}}
| P ( S ) | 2|S |  23  8
Özel durum
P ()  {}
Güç kümesinin
büyüklüğü
P({})  {, {}}
Konstantin Busch - LSU
12
6
Katlı mertebeler (ilişkiler)
n-katlı mertebeler (a1 , a2 ,  , an )
Elemanların sıralı listesi
(a1 , a2 , , an )  (b1 , b2 , , bn ) iff i (ai  bi )
Örnek:
(1,2)  (2,1)
If and only if
(ancak ve ancak)
Konstantin Busch - LSU
13
Kartezyen Çarpım
İki kümenin Kartezyen çarpımı A, B
A  B  {(a, b) | a  A  b  B}
Örnek:
A  {1,2}
B  {a, b, c}
A  B  {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}
B  A  {(a,1), (b,1), (c,1), (a,2), (b,2), (c,2)}
Bu durum için: A  B  B  A
Boyut: | A  B || A |  | B | 2  3  6
Konstantin Busch - LSU
14
7
Kümelerde Kartezyen çarpım A1 , A2 ,  , An
A1  A2    An  {( a1 , a2 , , an ) | ai  Ai }
Örnek:
A  {1,2} B  {a, b, c} C  {x, y}
A  B  C  {(1, a, x), (1, b, x), (1, c, x), (2, a, x), (2, b, x), (2, c, x),
(1, a, y ), (1, b, y ), (1, c, y ), (2, a, y ), (2, b, y ), (2, c, y )}
Boyut: | A  B  C || A |  | B |  | C | 2  3  2  12
| A1  A2    An || A1 |  | A2 |  | An |
Konstantin Busch - LSU
15
Kümeler ve Önermeler
x( x  S  P( x)) için kısaca x  S ( P( x))
x( x  S  P ( x)) için kısaca x  S ( P ( x))
Önermenin doğruluk kümesi P (x )
{x  Domain | P( x)}
uygun P(x) domain (tanım kümesi)
tüm elemanları
Konstantin Busch - LSU
16
8
Kümelerde Operatörler
Birleşme A  B  {x | x  A  x  B}
U
A
A  {1,3,5}
B
B  {1,2,3}
A  B  {1,2,3,5}
Konstantin Busch - LSU
17
Kesişim
A  B  {x | x  A  x  B}
U
A
A  {1,3,5}
A B
B
B  {1,2,3}
Konstantin Busch - LSU
A  B  {1,3}
18
9
Ayrık kümeler A, B
A B  
U
A
A  {1,3,5}
B
B  {2,9}
A B  
Konstantin Busch - LSU
19
Fark kümesi
A  B  {x | x  A  x  B}
U
A B
B
A
A  {1,3,5}
B  {1,2,3}
Konstantin Busch - LSU
A  B  {5}
20
10
Tümleyen
A  {x | x  A}
U
A
A  {1,3,5}
A  {2,4}
U  {1,2,3,4,5}
Konstantin Busch - LSU
21
Birleşimin büyüklüğü
| A  B || A |  | B |  | A  B |
U
A
A B
B
A  {1,3,5} B  {1,2,3} A  B  {1,2,3,5} A  B  {1,3}
| A  B || A |  | B |  | A  B | 3  3  2  4
Konstantin Busch - LSU
22
11
De Morgan Kuralları
A B  A B
A B  A B
Konstantin Busch - LSU
Teorem:
23
A B  A B
İspat: Gösteriniz ki A  B  A  B ve A  B  A  B
Bölüm 1: A  B  A  B
x A B
 x  A  B  ( x  A  B) De Morgan’s law from logic
 (( x  A)  ( x  B))  ( x  A)  ( x  B)
 ( x  A)  ( x  B)  ( x  A)  ( x  B)
 x  ( A  B)
Konstantin Busch - LSU
24
12
Bölüm 2:A  B  A  B
x  ( A  B)
 ( x  A)  ( x  B )  ( x  A)  ( x  B )
 ( x  A)  ( x  B )  (( x  A)  ( x  B ))
De Morgan’s law from logic
 ( x  A  B )
 x A B
İspatın sonu
Konstantin Busch - LSU
25
Küme tanımlayıcıları
Özdeşlik ilkesi
A  A
A U  A
Tümleme yasası
A A
Domination laws
A U  U
A  
Eş güçlülük yasası
A A  A
A A  A
Tümleyen yasası
De Morgan’s laws
A A U
A B  A B
A A  
A B  A B
Konstantin Busch - LSU
26
13
Değişme yasası
Birleşme yasası
A B  B  A
A B  B  A
A  ( B  C )  ( A  B)  C
A  ( B  C )  ( A  B)  C
Dağılma yasası
Yutma yasası
A  ( A  B)  A
A  ( A  B)  A
A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C )
A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C )
Konstantin Busch - LSU
27
Genelleştirilmiş birleşme ve kesişim
n
A1  A2    An   Ai
i 1
n
A1  A2    An   Ai
i 1
Konstantin Busch - LSU
28
14
Örnek:
n
Ai  {i, i  1, i  2, }
n
 A  {i, i  1, i  2,}  A  {1,2,3,}
1
i
i 1
i 1
n
n
 A  {i, i  1, i  2,}  A
i
i 1
n
i 1
 {n, n  1, n  2, }
Konstantin Busch - LSU
29
Kümelerin bilgisayarda gösterimi
İkili dizgeler olarak kümelerin gösterimi
U  {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A  {1,3,5,7,9}
1010101010
B  {2,4,6,8,10} 0101010101
Konstantin Busch - LSU
30
15
Set operations become binary string operations
A  {1,2,3,4,5}
B  {1,3,5,7,9}
1111100000
1010101010
A  B  {1,2,3,4,5,7,9}
1111101010
A  B  {1,3,5}
1010100000
Bit bit OR
Bit bit AND
Konstantin Busch - LSU
31
Powerset P(S ) of S  {a1 , a2 , a3 , , an 1 , an }
P(S )
n elements
n bits
 : 0000000000
{a1} : 1000000000
{a2 } : 0100000000
2 n combinations

1111111111
| P( S ) | 2 n  2|S |
S:
Konstantin Busch - LSU
32
16
Fonksiyonlar
İsimler
Notlar
Adams
A
Chou
B
Goodfriend
C
Rodriguez
D
Stevens
F
f (Chou)  C
f (Rodriguez)  A
Konstantin Busch - LSU
33
f :A B
Tanım kümesi
(Domain)
f
Değer Kümesi
(Codomain)
f (a)  b
a
A
f
B
Image
maps A to B
(A dan B ye eşleştirme) of a
Tanım kümesinin her elmanın
tam bir görüntü vardır.
Konstantin Busch - LSU
34
17
Domain
Adams
f
Chou
f
Codomain
A
B
Goodfriend
C
Rodriguez
D
Stevens
f
F
Domain  {Adams, Chou, Goodfriend, Rodriguez, Stevens}
Codomain  {A, B, C, D, F}
Range  {A, B, C, F} Tüm görüntülerin kümesi
Konstantin Busch - LSU
35
f :Z  Z
f ( x)  x 2
Domain  Z
Codomain  Z
Range  {0,1,4,9,}
Konstantin Busch - LSU
36
18
Eşit Fonksiyonlar
f :A B
g :C  D
f g
A  C aynı domain
B  D aynı codomain
x  A, f ( x)  g ( x) aynı mapping
Konstantin Busch - LSU
37
Bazı programlama dillerinde,
domain and codomain açıkça tanımlanır
int f(int a) {
return a*a;
}
Konstantin Busch - LSU
38
19
Toplama ve Çarpma Fonksiyonu
Real sayılar
f1 : A  R
( f1  f 2 )( x)  f1 ( x)  f 2 ( x)
f2 : A  R
( f1 f 2 )( x)  f1 ( x) f 2 ( x)
f1 ( x)  x 2
Örnek:
f 2 ( x)  x  x 2
( f1  f 2 )( x)  f1 ( x)  f 2 ( x)  x 2  ( x  x 2 )  x
( f1 f 2 )( x)  f1 ( x) f 2 ( x)  x 2 ( x  x 2 )  x 3  x 4
Konstantin Busch - LSU
39
Kümenin Görüntüsü
S Kümesi
Örnek:
f ( S )  {t | x  S (t  f ( x))}
 { f ( x) | x  S}
f ( x)  x 2
f ({1,2,3})  {1,4,9}
Konstantin Busch - LSU
40
20
(One-to-one) Birebir fonksiyon
Domain deki her x, y için
f ( x)  f ( y )
implies
a
b
c
d
x y
1
2
3
4
5
Range nin her bir elemanı domanın bir elemanının imajıdır.
Örnek:
f ( x)  x  1
bire birdir
g ( x)  x 2 birebir değildir: g (1)  g (1)  1
Konstantin Busch - LSU
Artan fonksiyon:
x  y  f ( x)  f ( y )
Kesin artan:
x  y  f ( x)  f ( y )
41
Kesin artan fonksiyonlar birebirdir
(one-to-one)
Konstantin Busch - LSU
42
21
f :A B
Onto (örten) fonksiyon
Her y  B için x  B dir.
f ( x)  y
a
b
c
d
1
2
3
Range = Codomain
Örnek: f ( x)  x  1 Onto (örten) dır.
g ( x)  x 2Onto değildir. x  Z , g ( x)  1
Konstantin Busch - LSU
43
One-to-one benzer (birebir ve örten) fonksiyon
Hem one-to-one hem de onto fonksiyonlardır.
a
b
c
d
Örnek:
1
2
3
4
f ( x)  x  1 Birbir ve örtendir
g ( x)  x 2 Birebir ve örten değildir
Özdeşlik fonksiyonu
 A ( x)  x
birebir ve örtendir.
Konstantin Busch - LSU
44
22
one-to-one
not onto
a
b
c
1
2
3
4
not one-to-one
onto
a
b
c
d
not one-to-one
not onto
a
b
c
d
1
2
3
1
2
3
one-to-one
onto
a
b
c
d
1
2
3
4
not a function
a
b
c
1
2
3
4
4
Konstantin Busch - LSU
45
f birebir ve örten fonksiyonun tersi f 1
1
f ( x)  y iken f ( y )  x
domain
a
b
c
d
f
codomain
1
2
3
4
codomain
a
b
c
d
f 1 domain
1
2
3
4
f tersinir fonksiyondur
Örnek:
f ( x)  x  1
Konstantin Busch - LSU
f 1 ( y )  y  1
46
23
f 1 (b)
a  f 1 (b)
f (a )
b  f (a )
B
A
Konstantin Busch - LSU
47
Fonksiyonların kompozisyonu
f :BC
f g:AC
g:A B
( f  g )( x)  f ( g ( x))
Örnek:
f ( x)  2 x
g ( x)  x 2
( f  g )( x)  f ( g ( x))  f ( x 2 )  2 x 2
( g  f )( x)  g ( f ( x))  g (2 x)  (2 x) 2  4 x 2
Konstantin Busch - LSU
48
24
Özdeşlik fonksiyonu
f  f 1  f 1  f  i
Suppose f ( x)  y
( f  f 1 )( y )  f ( f 1 ( y ))  f ( x)  y
( f 1  f )( x)  f 1 ( f ( x))  f 1 ( y )  x
Konstantin Busch - LSU
49
Alt ve Üst
x Real sayıyı göstermek üzere
Alt fonksiyon:
küçük veya eşit olan
x  x en büyük tam sayı
Üst fonksiyon:
x  x
Örnek:
1 
 2   0
büyük veya eşit olan
en küçük tam sayı
1
 2   1
 3.1  4
Konstantin Busch - LSU
 3.1  3
50
25
Faktoriyel fonksiyon
f : N  Z
1! 1
f (n)  n! 1 2  3 (n  1)  n
f (0)  0! 1
2! 1  2  2
6! 1  2  3  4  5  6  760
20! 1  2  319  20  2,432,902,008,176,640,000
n
Stirling’s formula: n! 2n   
e
n
Konstantin Busch - LSU
51
Diziler
Dizi:
function from a subset of integers
to a set S
Sonlu dizi
2, 4, 6, 8, 10
a1 , a2 , a3 , a4 , a5
f ( n)  an
f (1)  a1  2
f (5)  a5  10
Sonsuz dizi
1,3,9,27,81,…
Alternatif gösterim
a n  3k , k  0
{an }  a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , 
 1,3,9,27,81, 
Konstantin Busch - LSU
52
26
a1 , a2 ,  , an
Sonlu diziler:
Dizi:
a1a2 a3  an
Dizinin bütün elemanları bir birine eklenir.
Dizinin uzunluğu:
| a1a2  an | n
Boş diziler (null):

|  | 0
Konstantin Busch – LSU
53
Aritmetik diziler
a, a  d , a  2d , , a  nd , 
Başlangıç terimi a
Ortak fark d
Örnek: n  0 Başlangıcı ile {sn }  1  4n
 1, 3, 7,11, 
Konstantin Busch - LSU
54
27
Geometrik diziler
a, ar , ar 2 ,  , ar n , 
Başlangıç ifadesi a
Ortak oran
r
Örnek: n  0 ile başlar{cn }  2  5n
2,10, 50, 250,1250,
Konstantin Busch - LSU
55
Toplamlar
am , am 1 , am  2 ,  , an
Dizi:
Toplam: am  am 1  am  2    an 
Örnek:
5
i
2
n
a
i m
i
 12  2 2  32  4 2  52  55
i 1
Konstantin Busch - LSU
56
28
n(n  1)
2
n
i 
Theorem:
i 1
Proof: {an } 
1
2
3
4
 n 1 n
{bn } 
n
n 1 n  2 n  3  2
1
{cn }  n  1 n  1 n  1 n  1  n  1 n  1
n
n
n
i 1
i 1
i 1
S   i   ai   bi
n
n
n
i 1
i 1
i 1
n(n  1)   ci   ai   bi  2S
S
n(n  1)
2
End of Proof
Konstantin Busch - LSU
57
Teorem: Eğer a, r reel sayı
ve r  {0,1} , ise
ar n 1  a
ar 

r 1
i 0
n
i
İspat:
Let S 
n
i
ar

i 0
Konstantin Busch - LSU
58
29
rS
n
 r  ar i
rS  S  (ar n 1  a )
i 0
n
  ar i 1
i 0
n 1
  ar k
ar n 1  a
S
r 1
k 1
 n

   ar k   (ar n 1  a )
 k 0

 S  (ar n 1  a )
İspat sonu
Konstantin Busch - LSU
59
Yaygın olarak kullanılan toplam ifadeleri:
n(n  1)
2
n
i 
i 1
n
 i2 
i 1
n(n  1)(2n  1)
6
ar n 1  a
ar 
, r  {0,1}

r 1
i 0
n
i

x
i 0
i

1
, | x | 1
1 x
Konstantin Busch - LSU
60
30
Sayılabilir Kümeler
Sayılabilir Sonlu Küme:
Her hangi bir sonlu küme varsayılan
olarak sayılabilirdir.
Sayılabilir Sonsuz Küme:
Eğer S de Z+’ye bire bir örten ilişki var
ise sonsuz S kümesi sayılabilirdir.
Pozitif tam sayılar
Konstantin Busch - LSU
61
Teorem: Pozitif çift sayılar sayılabilirdir.
İspat:
Pozitif çift tam sayılar: 2, 4, 6, 8, 
Bire bir ilişki:
Pozitif tam sayılar
1, 2, 3, 4, 
n, 2n’e karşılık gelir
Konstantin Busch - LSU
İspat sonu
62
31
Teorem: Rasyonel sayılar kümesi sayılabilirdir.
İspat:
Bizim listeleme yapacak bir metot
bulmaya ihtiyacımız var.
Bütün rasyonel sayılar:
1 3 7
, , , 
2 4 8
Konstantin Busch - LSU
Naïve Yaklaşımı
63
Keyfi olarak 1 ile başlayalım
Rasyonel sayılar:
1 1 1
, , ,
1 2 3
Bire bir ilişki:
Pozitif tam sayılar:
1, 2, 3, 
İş yapmaz:
Asla keyfi olarak 2 ile başlayarak
listelenmez:
2 2
2
,
1 2 3
,
Konstantin Busch - LSU
,
64
32
Daha iyi bir yaklaşım: diagonal tarama
Nominal=1
1
1
1
2
1
3
Nominal=2
2
1
2
2
2
3
Nominal=3
3
1
3
2
Nominal=4
4
1
1
4




Konstantin Busch - LSU
65
birinci diagonal
1
1
1
2
1
3
2
1
2
2
2
3
3
1
3
2
4
1
1
4




Konstantin Busch - LSU
66
33
ikinci diagonal
1
1
1
2
1
3
2
1
2
2
2
3
3
1
3
2
4
1
1
4




Konstantin Busch - LSU
67
üçüncü diagonal
1
1
1
2
1
3
2
1
2
2
2
3
3
1
3
2
4
1
1
4




Konstantin Busch - LSU
68
34
dördüncü diagonal…
1
1
1
2
1
3
2
1
2
2
2
3
3
1
3
2
4
1
1
4



Her bir eleman sonuna
kadar taranacak

Konstantin Busch - LSU
69
Diagonal liste
1 1 2 1 2
, , , , , 
1 2 1 3 2
Rasyonel sayılar:
Bire bir ilişki:
Pozitif tam sayılar:
1, 2, 3, 4, 5, 
İspat sonu
Konstantin Busch - LSU
70
35
Teorem:
S  (0,1)  R kümesi sayilmazdir.
İspat: S kümesinin sayılabilir olduğunu
varsayalım,
sonra elemanlarını sıralayalım
S  {s1 , s2 , s3 , }
S’nın elemanları
Konstantin Busch - LSU
71
S=(0,1) kümesinin elemanlarının listesi
s1
s2
s3
s4
s5
 0 . 0 1 4 5 2 9 4 2 1 6 
 0 . 1 2 1 3 2 1 5 7 3 1 
 0 . 1 3 0 2 0 5 3 1 8 4 
 0 . 3 2 1 0 0 3 2 1 1 3 
 0 . 4 6 1 8 4 2 1 5 2 1 

Konstantin Busch - LSU
72
36
s1
s2
s3
s4
s5
 0 . 0 1 4 5 2 9 4 2 1 6 
 0 . 1 2 1 3 2 1 5 7 3 1 
 0 . 1 3 0 2 0 5 3 1 8 4 
 0 . 3 2 1 0 0 3 2 1 1 3 
 0 . 4 6 1 8 4 2 1 5 2 1 

Diagonal tabanlı yeni eleman listesi oluşturu
t
 0 . x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10 
Konstantin Busch - LSU
s1
s2
s3
s4
s5
73
 0 . 0 1 4 5 2 9 4 2 1 6 
 0 . 1 2 1 3 2 1 5 7 3 1 
 0 . 1 3 0 2 0 5 3 1 8 4 
 0 . 3 2 1 0 0 3 2 1 1 3 
 0 . 4 6 1 8 4 2 1 5 2 1 

Eğer diagonal eleman «0» ise dijit «1» e
dönüştürülür.
t
 0 . 1 x2
x3
x4
x5
x6
Konstantin Busch - LSU
x7
x8
x9
x10 
74
37
 0 . 0 1 4 5 2 9 4 2 1 6 
s1
 0 . 1 2 1 3 2 1 5 7 3 1 
 0 . 1 3 0 2 0 5 3 1 8 4 
s2
s3
 0 . 3 2 1 0 0 3 2 1 1 3 
 0 . 4 6 1 8 4 2 1 5 2 1 
s4
s5

Eğer diagonal eleman «0» değil ise dijit «0»
e dönüştürülür.
 0 . 1 0 x3
t
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10 
Konstantin Busch - LSU
75
 0 . 0 1 4 5 2 9 4 2 1 6 
s1
 0 . 1 2 1 3 2 1 5 7 3 1 
 0 . 1 3 0 2 0 5 3 1 8 4 
s2
s3
 0 . 3 2 1 0 0 3 2 1 1 3 
 0 . 4 6 1 8 4 2 1 5 2 1 
s4
s5

Eğer diagonal eleman «0» ise dijit «1» e
dönüştürülür.
t
 0 . 1 0 1 x4
x5
x6
Konstantin Busch - LSU
x7
x8
x9
x10 
76
38
 0 . 0 1 4 5 2 9 4 2 1 6 
s1
 0 . 1 2 1 3 2 1 5 7 3 1 
 0 . 1 3 0 2 0 5 3 1 8 4 
s2
s3
 0 . 3 2 1 0 0 3 2 1 1 3 
 0 . 4 6 1 8 4 2 1 5 2 1 
s4
s5

Eğer diagonal eleman «0» ise dijit «1» e
dönüştürülür.
t
 0 . 1 0 1 1 x5
x6
x7
x8
x9
x10 
Konstantin Busch - LSU
77
 0 . 0 1 4 5 2 9 4 2 1 6 
s1
 0 . 1 2 1 3 2 1 5 7 3 1 
 0 . 1 3 0 2 0 5 3 1 8 4 
s2
s3
 0 . 3 2 1 0 0 3 2 1 1 3 
 0 . 4 6 1 8 4 2 1 5 2 1 
s4
s5

Eğer diagonal eleman «0» değilse ise dijit
«0» e dönüştürülür.
t
 0 . 1 0 1 1 0 x6
Konstantin Busch - LSU
x7
x8
x9
x10 
78
39
s1
s2
s3
s4
s5
 0 . 0 1 4 5 2 9 4 2 1 6 
 0 . 1 2 1 3 2 1 5 7 3 1 
 0 . 1 3 0 2 0 5 3 1 8 4 
 0 . 3 2 1 0 0 3 2 1 1 3 
 0 . 4 6 1 8 4 2 1 5 2 1 

İşlemi yineleyerek yeni numara elde ederiz.
t
 0 . 1 0 1 1 0 1 
 (0,1)
Konstantin Busch - LSU
s1
s2
s3
s4
s5
79
 0 . 0 1 4 5 2 9 4 2 1 6 
 0 . 1 2 1 3 2 1 5 7 3 1 
 0 . 1 3 0 2 0 5 3 1 8 4 
 0 . 3 2 1 0 0 3 2 1 1 3 
 0 . 4 6 1 8 4 2 1 5 2 1 

Gözlem:
t
t  s1
(ilk dijit farklı)
 0 . 1 0 1 1 0 1 
Konstantin Busch - LSU
80
40
s1
s2
s3
s4
s5
 0 . 0 1 4 5 2 9 4 2 1 6 
 0 . 1 2 1 3 2 1 5 7 3 1 
 0 . 1 3 0 2 0 5 3 1 8 4 
 0 . 3 2 1 0 0 3 2 1 1 3 
 0 . 4 6 1 8 4 2 1 5 2 1 

Gözlem:
t  s2
(ikinci dijit farklı)
 0 . 1 0 1 1 0 1 
t
Konstantin Busch - LSU
s1
s2
s3
s4
s5
81
 0 . 0 1 4 5 2 9 4 2 1 6 
 0 . 1 2 1 3 2 1 5 7 3 1 
 0 . 1 3 0 2 0 5 3 1 8 4 
 0 . 3 2 1 0 0 3 2 1 1 3 
 0 . 4 6 1 8 4 2 1 5 2 1 

Gözlem:
t
t  s3
(üçüncü dijit farklı
 0 . 1 0 1 1 0 1 
Konstantin Busch - LSU
82
41
t  si
Gözlem:
(her i için i dijit farkı)
t  S  {s1 , s2 , }  (0,1)
Çelişki!
t
 0 . 1 0 1 1 0 1 
 (0,1)
İspat sonu
Konstantin Busch - LSU
83
Kanıtladık : (0,1)  R sayilamazdir.
İspatlanabilir: Sayılabilir kümenin her
alt kümesi sayılabilirdir.
Bu durumda, R reel sayılar kümesi
sayılamazdır.
Konstantin Busch - LSU
84
42
Önceki ispat teknikleri;
Cantor diagonelleştirme ispatı
olarak bilinir.
Aynı teknik diğer ispatlar içinde kullanılabilir.
Konstantin Busch - LSU
85
Teorem: Eğer S sonsuz sayılabilir küme ise
P(S) güç kümesi sayılamazdır.
İspat:
S sayılabilir olduğu için elemanları
listeleyebiliriz
S  {s1 , s2 , s3 , }
S’nin elemanları
Konstantin Busch - LSU
86
43
P(S), güç kümesinin elemanlar formları;

{s1}
{s1, s3}
{s1, s 3 , s4 }
{s5 , s7 , s9 , s10 }

Konstantin Busch - LSU
87
Güç kümesinin her bir elemanını, 0 ve 1'in
ikili bir dizisi ile kodlarız.
Güç
kümesinin
elemanları
İkili kodlama
P( S )
(keyfi sırada)
s1
s2
s3
s4 
{s1}
1
0
0
0

{s2 , s 3 }
0
1
1
0

{s1, s 3 , s4 }
1
0
1
1 
Konstantin Busch - LSU
88
44
Gözlem:
Her sonsuz ikili dize güç setinin bir
elemanına karşılık gelir
Örnek:
Karşılık:
10 0111 0 
{s1 , s4 , s5 , s6 , }  P( S )
Konstantin Busch - LSU
89
P (S) güç kümesinin sayılabilir olduğunu
varsayalım (çelişki için).
Sonra: güç kümesinin elemanlarını
sıralayabiliriz.
P ( S )  {t1 , t 2 , t3 , }
Konstantin Busch - LSU
90
45
Güç
kümesinin P(S )
elemanları
Bu bağlamda
İkili kodlama
t1
1
0
0
0
0 
t2
1
1
0
0
0 
t3
1
1
0
1
0 
t4
1
1
0
0
1 


Konstantin Busch - LSU
91
Bit'ler köşegenlerin tamamlayıcısı olan ikili
dize alın.
t1
1
0
0
0
0 
t2
1
1
0
0
0 
t3
1
1
0
1
0 
t4
1
1
0
0
1 
Köşegenlerin
tümleyeni
0
0
1
1

İkili dize:
t  0011 
Konstantin Busch - LSU
92
46
İkili dize:
t  0011 
P(S) Güç kümesinin t
bir elemanına karşılık
gelir :
 {s3 , s4 ,}  P( S )
Konstantin Busch - LSU
93
Böylece t, bazı ti değerlerine eşittir:
t  P(S )
t  ti
Ne var ki:
t ikili dizesindeki i-inci bit ti’nin i-inci
bitinden farklıdır, böylece:
t  ti
t  P ( S )  {t1 , t 2 ,  , t n }
Çelişki!!!
Konstantin Busch - LSU
İspatın sonu
94
47