nsummary2

İKİ ÇEYREK DÜZLEM ÜZERİNE OTURAN ELASTİK BİR TABAKANIN
SÜRTÜNMESİZ VE AYRILMALI TEMAS PROBLEMİ
Ahmet Birinci1, Gökhan Adıyaman1
1. Karadeniz Teknik Üniversitesi
1. ÖZET
Bu çalışmada, rijit dairesel bir panç aracılığı ile P tekil yükü ve simetrik olarak etkiyen
yayılı bir yük ile yüklenen ve iki elastik çeyrek düzlem üzerine oturan, elastik bir tabakanın
sürtünmesiz ve ayrılmalı temas problemi elastisite teorisine göre incelenmiştir. Problem
integral dönüşüm yöntemleri kullanılarak iki adet integral denklemden oluşan bir integral
denklem sistemine indirgenmiş ve sayısal yöntemler kullanılarak çözülmüştür. Matlab
yardımıyla yazılan bir program ile sayısal sonuçlar elde edilmiştir. Çalışmada panç-tabaka ve
tabaka-çeyrek düzlem arasındaki temas mesafelerinin ve bu temas yüzeyleri boyunca
oluşacak temas gerilmesi dağılımlarının farklı yükleme durumları için değişimleri
incelenmiştir.
Anahtar Kelimeler: Ayrılmalı temas problemi, çeyrek düzlem, tekil integral denklem,
Gauss-Jacobi İntegral formülasyonu
2. GİRİŞ
Çoğu yapıların ve mekanik sistemlerin elemanları birbirleri ile değme halindedir. Bu
değmenin karakteri, cisimlerin gerilmeleri birbirlerine iletiş şekilleri, değme halindeki
cisimlerde meydana gelen şekil değiştirmeler, değme uzunlukları ve değme bölgesindeki
değme gerilmesi dağılımı yapının davranışında önemli rol oynamaktadır [1].
Değme mekaniği konusuna Heinrich Hertz tarafından 1882 yılında yazılan “On the
Contact of Elastic Solids” adlı makaleyle girildiği söylenebilir [2]. Kompleks değişkenler
metodunun Muskhelishvili tarafından geliştirilmesi ve Sneddon’ un integral dönüşüm
tekniklerini elastisite teorisinde kullanması ile beraber değme problemleri üzerine yapılan
çalışmalarda bir artış gözlenmiştir.
Zemin üzerine oturan elastik bir tabaka ilk kez 1867 yılında Winkler tarafından ele
alınmıştır [3]. Erdoğan [4], potansiyel teori ve katı cisim mekaniğinin karışık sınır değer
problemlerinde çok sık rastlanan tekil integral denklem takımlarının çözümü için bir yöntem
geliştirmiştir. Bu yöntem pek çok araştırmacı tarafından çoğunlukla çatlak ve temas
problemlerine uygulanmıştır. Erdoğan ve Ratwani [5], iki elastik çeyrek düzlem üzerine
oturtulmuş ve üzerine baskı uygulanan elastik bir tabakanın sürtünmesiz değme problemini
incelemişlerdir. Tabaka için Fourier dönüşümlerinin ve çeyrek düzlemler için Mellin
dönüşümünün kullanıldığı problem, bilinmeyen olarak temas gerilmelerinin alındığı
genelleştirilmiş Cauchy tipi integral denkleme dönüştürülmüştür. Aksoğan vd [6,7], iki elastik
çeyrek düzlem üzerine oturtulmuş elastik bir tabakanın sürtünmesiz değme problemi simetrik
ve simetrik olmayan yükleme durumları için incelemişlerdir. Çakıroğlu [8], rijit bir punç ile
bastırılan ve iki çeyrek düzlem üzerine oturan elastik bir tabakanın değme problemini
incelemiştir.
Yapılan bu çalışmalara bakıldığında [5-8], elastik tabakaya sadece punç veya sadece
yayılı yükten oluşan baskılar yapılmaktadır. Bu çalışmada punç ve yayılı yükün etkisi beraber
incelenmiş ve faklı yükleme durumları için sayısal sonuçlar ve ilgili tablolar ve grafikler
verilmiştir.
3. TEMAS PROBLEMİ
Bu çalışmada, iki elastik çeyrek düzlem üzerine oturan, homojen, izotrop bir tabakanın
sürtünmesiz ve ayrılmalı temas problemi elastisite teorisine göre incelenmiştir. Tabakaya
simetrik olacak şekilde üstten rijit bir panç ile iletilen tekil bir yük ve iki sabit yayılı yük ile
bastırılmaktadır. Tekil yük x  0 noktasında ve yayılı yükler ise (d1 , d 2 ) ve (d2 , d1 )
aralıklarında etkimektedir. Tabaka panç ile (a,  a) aralığında ve çeyrek düzlemler ile
(c0  c, c0  c) ve (c0  c, c0  c) aralıklarında temas halindedir. Problemde kütle kuvvetleri
ihmal edilmiştir.
Şekil 1.
Rijit dairesel bir panç aracılığı ile P tekil kuvveti ve simetrik olarak etkiyen
yayılı bir yük ile yüklenen ve iki çeyrek düzlem üzerine oturan elastik bir tabaka
Tabaka x ekseni boyunca (, ) aralığında uzanmaktadır. Çeyrek düzlemler ise (e, )
ve ( , e) aralıklarında uzanmaktadır. Problem y eksenine göre simetrik olduğundan
hesapların (0,+∞) aralığında yapılması yeterlidir. Problem düzlem hal için inceleneceğinden z
ekseni doğrultusundaki kalınlık birim olarak alınmıştır.
u  x, y  ve v  x, y  yer değiştirme bileşenlerini,  x  x, y  ,  y  x, y  ve  xy  x, y  de
gerilme bileşenlerini göstermek üzere tabaka ile ilgili sınır şartları aşağıdaki gibi yazılabilir.
 p1 ( x)

 y1 ( x , h )    q
 0

 xy1 ( x, h)  0
 p2 ( x)
 0
 y1 ( x, 0)  
0 xa
d1  x  d 2
(1.1)
diğer
0 x
c0  c  x  c0  c
diğer
2
(1.2)
(1.3)
 xy1 ( x, 0)  0
v1 ( x, h)
 f ( x)
x
0 x
(1.4)
a  x  a
(1.5)
ur  r ,  ve u  r,  polar koordinatlarda yer değiştirme bileşenlerini,  r  r,  ,
   r ,  ve  r  r ,  de polar koordinatlarda gerilme bileşenlerini göstermek üzere çeyrek
düzlem için sınır şartları aşağıdaki gibi yazılabilir.
 p2 (r )
 0
  2 (r , 0)  
0  r  2c
diğer
(2.1)
 r 2 (r , 0)  0
0r 
(2.2)

  2 (r , )  0
0r 
(2.3)

 r 2 (r , )  0
0r 
(2.4)
2
2
v1 ( x, 0) u (r , 0)

x
r
c0  c  x  c0  c, 0  r  2c
(2.5)
Burada;
p1 ( x)
p2 ( x)
p2 (r )
q
f ( x)
 Panç-tabaka temas yüzeyi boyunca gerilme dağılımını
 Tabaka-çeyrek düzlem temas yüzeyi boyunca gerilme dağılımını
 Tabaka-çeyrek düzlem temas yüzeyi boyunca polar koordinatlarda
gerilme dağılımını
 d1  x  d 2 aralığında tabaka üzerinde etkiyen yayılı yük değerini
 Panç şekil fonksiyonunun x ‘e göre türevini
göstermektedir. Problemin ait denge şartları:
a
 p ( x)dx  P
1
(3.1)
p2 ( x)dx  P  Q
(3.2)
a
c0  c

c0  c
şeklindedir. Burada geçen ifadelerde P pança etkiyen tekil yük değerini, Q yayılı
yükün toplam şiddetini göstermektedir.
3
Gerilme ve yer değiştirme bileşenleri tabaka için Fourier integral dönüşümü ve çeyrek
düzlem için ise Mellin integral dönüşümü kullanılarak elde edilmiştir. Bu denklemlere
problemin sınır şartları uygulanarak tabaka ve çeyrek düzlem için ayrı ayrı dört bilinmeyenli
dört denklem elde edilmiş ve bu ifadelerdeki bilinmeyen katsayılar bulunmuştur. Bu
katsayılarda temas yüzeyleri boyunca oluşan gerilme dağılımları bilinmeyenlerdir. Denklem
(1.5)’ te verilen tabaka ile panç arasındaki temas yüzeyi boyunca tabakanın düşey yer
değiştirme fonksiyonunun türevinin, panç profilini tanımlayan fonksiyonun türevine eşit
olması sınır şartı kullanılarak problemin birinci tekil integral denklemi elde edilmiştir.
Denklem (2.5)’ te verilen tabaka ile çeyrek düzlem arasındaki temas mesafesi boyunca
tabakanın düşey yer değiştirme fonksiyonunun türevinin, çeyrek düzlemin düşey yer
değiştirme fonksiyonunun türevine eşit olması şartı kullanılarak problemin ikinci tekil integral
denklemi elde edilmiştir. İntegral denklemlerin sayısal çözümünün yapabilmesi için
denklemler boyutsuzlaştırılmıştır. Bu integral denklem sistemin sayısal çözümü Gauss-Jacobi
İntegral formülasyonu ile yapılmıştır [3].
Problemin sayısal çözümü yapılırken denge şartları sağlatılana kadar interpolasyon ile
probleme çözüm aranır. İstenen hassasiyete ulaşıldığında problemin çözümü elde edilmiş ve
temas mesafeleri ve temas yüzeyi gerilme dağılımları belirlenmiş olur.
Problemin sayısal çözümünü yapmak için Matlab ile hazırlanmış bir program
kullanılmış ve problem iki farklı durum için incelenmiştir. Birinci durumda yayılı yükün
etkime yüzeyi sabit tutularak problem değişen tekil yük ( P ) ve değişen toplam yayılı yük
(Q ) şiddetlerine göre incelenmiştir. İkinci durumda yayılı yükün şiddeti ve genliği sabit
tutularak problem değişen tekil yük şiddeti ( P ) ve değişen yayılı yük uygulama başlama
mesafesine ( d1 ) göre incelenmiştir. Her iki durum için tabaka-panç ve tabaka-çeyrek düzlem
boyutsuz mesafe boyları elde edilerek temas yüzeyleri boyunca oluşan boyutsuz temas
gerilmeleri hesaplanmıştır. Bulunan sayısal sonuçlar tablolar ve grafikler ile verilmiştir.
KAYNAKLAR
[1] Çömez, İ., “Rijit Dairesel Bir Pançla Bastırılan Elastik Tabaka ve Yarım Düzlemin
Sürtünmeli Değme Problemi Doktora Tezi” K.T.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü – 2009.
[2] Johnson, K.L., “Contact Mechanics” Cambrigde University Press - 1985.
[3] Winkler, E., “Theory of elasticity and strength”. Dominicus – 1987
[4] Erdoğan, F. ve Gupta, G.D., “On the Numerical Solution of Singular Integral Equations”
Quarterly Journal of Applied Mathematics” (29) 525-534, 1972.
[5] Erdoğan F. ve Ratwani, M., “The Contact Problem for an Elastic Layer Supported by two
Elastic Quarter Planes” ASME Journal of Aplied Mechanics (41) 673-677, 1974.
[6] Aksoğan, O, Akavcı, S. S. ve Becker, A. A., “A Comperative Study of the Contact Problem
for an Elastic Layer Supported by Two Elastic Quarter Planes” Journal of Faculty of Engineering
Architecture - C.U. (11) 25-31, 1996.
[7] Aksoğan, O, Akavcı, S. S. ve Becker, A. A., “The Solution of the Nonsymmetrical Contact
Problem of an Elastic Layer Supported by Two Elastic Quarter Planes Using Three Different
Methods” Journal of Faculty of Engineering Architecture - C.U. (12) 1-14, 1997
[8] Çakıroğlu, E., “İki Elastik Çeyrek Düzleme Oturan ve Rijit Bir Panç ile Bastırılan Elastik
Tabaka Probleminin Çözümü ve Yapay Sinir Ağı Uygulaması Doktora Tezi” K.T.Ü. Fen
Bilimleri Enstitüsü – 20011.
[9] Birinci, A., “Axisymmetric Crack Problem of A Thick-walled Cylinder with Cladding”
International Journal of Engineering Science (40) 1729-1750, 2002.
[10] Sneddon, I.N.,”The Use of Integral Transforms” McGraw-Hill - 1972.
4
[11] Erdelyi, A., Magnus, W., Oberthettinger, F. ve Tricomi, F.G., ”Tables of Integral
Transforms” Mc Graw Hill – 1954.
5