Uploaded by User4901

8. Sunum Değişken Frekanslı Devrelerin Performansı. Kaynak Temel Mühendislik Devre Analizi, J. David IRWIN-R. Mark NELMS, Nobel Akademik Yayıncılık

advertisement
8. Sunum:
Değişken Frekanslı Devrelerin
Performansı
Kaynak: Temel Mühendislik Devre Analizi,
J. David IRWIN-R. Mark NELMS, Nobel
Akademik Yayıncılık
1
Değişken Frekans Tepki Analizi
• Bu bölümde direnç, indüktör ve kapasitörden
oluşturulan devrelerin değişken frekans tepkileri
incelenecekTr. Bu amaçla giriş işareTnin
frekansının değişTği düşünülecek ve devre
performansının değişimi incelenecekTr.
• Başlangıç olarak direncin frekansla değişimi ele
alınabilir. Direncin frekans düzlemindeki
empedansı aşağıdaki gibi ifade edilebilir.
• Burada görüldüğü gibi direncin hem fazı hem de
genliği sabiWr ve frekanstan bağımsızdır.
2
Değişken Frekans Tepki Analizi
• Aşağıdaki grafiklerden direncin genliğinin ve
fazının frekansla değişmediği görülebilir.
• İndüktörün frekans tanım bölgesindeki
empedansı ZL aşağıdaki gibidir.
3
Değişken Frekans Tepki Analizi
• Bu ifadeden görüldüğü gibi indüktörün fazı 90°’de sabit
kalırken, genliği frekansla doğru oranalıdır. Yukarıdaki
ifadeden DC çalışmada (0 Hz) ZL değerinin sıfr olduğu
ve indüktörün kısa devre olduğu görülür.
• Aşağıdaki grafikler indüktörün davranışının frekansla
değişimi göstermektedir.
4
Değişken Frekans Tepki Analizi
• Kapasitör empedansı için ise aşağıdaki ifade
yazılabilir.
• Bu ifadeden kapasitör fazının -90°’de sabit olduğu
ve genliğinin frekansla ters oranalı olduğu
görülür. DC çalışmada empedans sonsuza
gitmekte yani kapasitör açık devre olmaktadır.
Frekans sonsuza giderken kapasitör empedansı
sıfra yaklaşmaktadır.
5
Değişken Frekans Tepki Analizi
• Kapasitör empedansının genliğinin ve fazının
frekansa bağlı çizimi aşağıda gösterilmektedir.
• Daha karmaşık bir yapı olan aşağıdaki RLC
devresinin ele alalım bu devrenin eşdeğer
empedansı aşağıdaki gibi yazılır.
6
Değişken Frekans Tepki Analizi
• Bu fonksiyonun faz ve genliğinin frekansla
çizimi aşağıdaki gibidir.
7
Değişken Frekans Tepki Analizi
• Dikkat edilirse düşük frekanslarda kapasitör açık
devre gibi çalışır bu nedenle empedans bu
bölgede çok yüksekTr. Yüksek frekanslara
çıkıldıkça kapasitörün etkisi önemsiz olmaya
başlar ve indüktör empedansı belirleyici olur.
• Devreler daha karmaşık oluğunda denklerde daha
karmaşık olarak elde edilecekTr ve denklemleri
basitleşTrmek için jω=s yazılabilir. Bu değişim
yapıldığında seri RLC devresinin eşdeğer
empedansı için aşağıdaki ifade elde edilir.
8
Değişken Frekans Tepki Analizi
• Yukarıdaki ifadelerden anlaşıldığı gibi her durumda
empedans s değişkenine bağlı iki polinomun oranı
olarak yazılabilir.
• Bu ifadede N(s) ve D(s) m. ve n. dereceden
polinomlardır. Bu denklem yalnızca empedans
için değil tüm gerilim, akım, iletkenlik ve kazanç
için de geçerlidir. Tek kısıt tüm devre
elemanlarının gerçel sayı olmasının gerekmesidir.
9
Değişken Frekans Tepki Analizi
• Örnek: Aşağıdaki devreyi ele alarak çıkış
geriliminin frekansa bağlı değişimini 0-1kHz
aralığında yarı logaritmik diyagramda gösteriniz.
10
Değişken Frekans Tepki Analizi
11
Değişken Frekans Tepki Analizi
12
Değişken Frekans Tepki Analizi
• Açıklama: Yukarıda görüldüğü gibi genlik ve faz
grafikleri yarı logaritmik diyagramlarla gösterilir.
Bu grafiklerde frekans ekseni logaritmik ölçekli
olarak verilir.
• Aşağıdaki yükselteç eşdeğer devresinin değişken
frekans tepkisini ele alalım.
13
Değişken Frekans Tepki Analizi
• Girişin sabit frekanslı bir sinüzoidalse Vo/Vs
olarak tanımlanan gerilim kazancı Gv(jω)
aşağıdaki gibi elde edilir. Bu eşitliği elde etmek
için yukarıdaki devrenin frekans bölgesi eşdeğeri
olan aşağıdaki devre kullanılabilir.
14
Değişken Frekans Tepki Analizi
• Devrede verilen değerler kullanılarak denklem
aşağıdaki gibi elde edilir.
15
Değişken Frekans Tepki Analizi
• Bu ifadenin çizimi basitçe aşağıdaki gibi
yapılabilir.
ise
• olur ve bu şartlar alanda devre fonksiyonu
aşağıdaki gibi elde edilir.
• RinCin=1/1000π olduğundan Cin düşük
frekanslarda kazançta düşmeye neden olur. Aynı
şekilde, frekans fHI değerine yaklaşağında Co
değeri nedeniyle kazanç düşer.
16
Değişken Frekans Tepki Analizi
• Aşağı sonuç olarak elde edilen çizimin yaklaşık ve
tam çizimi gösterilmektedir.
17
Değişken Frekans Tepki Analizi
• Devre Fonksiyonları: Devrenin bir noktasına
uygulanan bir işarete devrenin başka bir
noktasında verilen tepki devre fonksiyonları ile
tanımlanabilir. Devre fonksiyonu transfer
fonksiyonu olarak da adlandırılır.
• Transfer fonksiyonları sadece gerilim ya da
akımların oranı olarak tanımlanmak zorunda
değildir. Aşağıdaki çizelgede olası dört devre
fonksiyonu gösterilmektedir.
18
Değişken Frekans Tepki Analizi
• Transfer fonksiyonlarının dışında devredeki iki
uç arasındaki empedans veya admitansa eşit
olan sürme noktası fonksiyonları vardır.
Örneğin bir devrenin giriş empedansı sürme
noktası fonksiyonudur.
19
Değişken Frekans Tepki Analizi
• Örnek: Aşağıda gösterilen devrenin I2(s)/V1(s)
aktarım iletkenliği (transadmitansı) ve V2(s)/V1(s)
gerilim kazancını bulunuz.
20
Değişken Frekans Tepki Analizi
21
Değişken Frekans Tepki Analizi
• Kutuplar ve Sı:rlar: Devre fonksiyonları s’nin
polinomları şeklinde ifade edilirler. Dahası
devre elemanları ve bağımlı kaynakların değeri
gerçel değerlerdir ve dolayısıyla bu
polinomlarının katsayıları da gerçel olur.
• H(s) ile gösterilen aşağıdaki fonksiyonu ele
alalım.
22
Değişken Frekans Tepki Analizi
• Bu denklem düzenlenerek aşağıdaki gibi yazılabilir.
• Burada K0 bir sabit, z1...zm ise N(s) polinomunun kökleri
ve p1...pn D(s) polinomunun kökleridir.
• Burada z değerleri transfer fonksiyonunu sıfr yapan
değerlerdir ve transfer fonksiyonunun sıfrları olarak
adlandırılırlar.
• p değerleri ise fonsiyonu sonzuz yapan değerlerdir ve
transfer fonksiyonunun kutupları olarak adlandırılırlar.
23
Değişken Frekans Tepki Analizi
• Kutup ve sıfrlar karmaşık sayı olabilirler ancak
polinom katsayıları gerçel olduğu için polinom
köklerinin karmaşık eşlenik sayılar olması
gerekir.
• Doğrusal, zamanla değişmeyen sistemlerin
gösterimde genellikle yukarıdaki formda
yapılır. Bu gösterim sistem dinamiklerinin,
sistem kutuplarının incelenmesi ile elde
edilebilmesini sağlar.
24
Sinüzoidal Frekans Analizi
• Sinüzoidal kararlı hal analizinde devre
fonksiyonu aşağıdaki gibi ifade edilir.
• Bu ifadede M(ω), H(jω)’nın büyüklüğünü ve
φ(ω), H(jω)’nın fazıdır. Bu iki fonksiyonun
çizimi ile devrenin tepkisinin giriş frekansı ile
değişimi gözlemlenebilir.
25
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
• Devre fonksiyonlarının yarı logaritmik ölçekte
gösterilmesiyle elde edilen grafiklere Bode
Diyagramı denir. Yarı logaritmik çizimler yekseninin normal, x ekseninin ise logaritmik
olduğu çizimlerdir.
• Bu grafikler süzgeçler (filtreler), akort
devreleri, yükselteçler gibi frekansa bağımlı
sistemlerin tasarımında ve analizinde çok
kullanılışlıdırlar.
26
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
• Bode diyagramları çizilirken M(ω)’nın ω ile
değişimini çizmek yerine 20log[M(ω)] değerinin,
log10(ω)’a karşılık çizimi yapılır. Böylelikle nokta
nokta çizim yapmak yerine, belli bölgelerde
geçerli sabit eğimli doğrular elde edilip
birleşTrilerek, işlemler kolaylaşarılmış olur.
• M(ω)’nın yani genliğin çiziminde y ekseni desibel
(dB)’dir. Gerçekte dB güçlerin oranlarını ölçmek
için kullanılırlar.
27
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
• Yani,
• şeklindedir. İki direnç üzerindeki güç tanımı
kullanılarak gerilim ve akım için aşağıdaki
desibel tanımları elde edilir.
28
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
• Herhangi bir transfer fonksiyon aşağıdaki gibi
yazılarak sürekli durum kararlı hal analizi
gerçekleşTrilebilir.
• Bu denklem aşağıdaki gibi terimlere sahipTr.
• 1- Frekanstan bağımsız bir bileşen K0>0,
• 2- jω şeklindeki kutup ve sıfrlar (sıfrlar için (jω)+N
ve kutuplar için (jω)-N şeklinde).
29
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
• 3- (1+jωτ) şeklinde kutup ve sıfrlar.
• 4- 1+2ζ(jωτ)+(jωτ)2 şeklinde karesel (kuadraTk)
kutup ve sıfrlar.
• Yukardaki H(jω) fonksiyonunun genliğinin
logaritması alındığında aşağıdaki sonuç elde
edilir.
30
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
• H(jω) fonksiyonunun faz açısı ise aşağıdaki gibi
elde edilir.
• Bu ifadelerdeki her bir terim aynı grafik
üzerine ayrı ayrı çizilip daha sonra
toplanabilirler.
• Aşağıda bu ifadelerden Bode diyagramlarının
hızlıca elde edilişi anlaalmaktadır.
31
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
• Sabit Terim: 20logK0 terimi aşağıda
gösterildiği gibi sıfr faz kaymasına sahip, sabit
bir genlik ifade eder.
32
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
• Orjinde bulunan kutup ve sı:rlar: Orjinde
bulunan sıfrlar (jω)+N ve kutuplar (jω)-N
formundadır.
• Bu Tp fonksiyonun genliği ±20Nlog10(ω) olur ve
bu yarı logaritmik ölçekte ±20NdB/decade
eğimine sahip bir doğrudur. Yani frekansın 10 kat
artması ile genlik 20N desibel’lik bir değişim
gösterir.
• Bu Tp fonksiyonların fazı ise ±N(90°) değerine
sahipTr.
33
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
• Bunların çizimleri aşağıda gösterilmektedir.
34
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
• Basit kutup ve sı:rlar: Devre transfer fonksiyonunda
(1+jωτ) yapısında basit bir kutup veya sıfr varsa
doğrusallaşarma yaklaşımı kullanılarak çizim
gerçekleşTrilebilir.
• ωτ<<1 oluğunda (1+jωτ)≈1 olur ve 20log(1)=0’dır.
ωτ>>1 oluğunda ise I1+jωτI≈ωτ olduğundan bu
durumda 20log(ωτ) elde edilir.
• Kısacası ωτ<<1 için tepki 0dB ve ωτ>>1 için tepki
orjinde bulunan basit bir kutup veya sıfrla aynıdır.
• ωτ=1 noktası kesim ya da kırılma noktası olarak
adlandırılır. Bu noktada I1+jωτI=2 olur ve
20log(2)=3dB’dir. Yani kesim frekansında gerçek değer
asimto~an 3dB sapma gösterir.
35
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
• Ayrıca kesim frekansının yarısında ve iki
kaanda bu kaymanın 1dB olduğu görülür.
• Basit bir kutup veya sıfr için ilgili faz açısı
φ=tan-1ωτ olur. ωτ=1 iken (yani kesim
frekansında) φ=45° ve kesim frekansının
yarısında φ=26°’dir. Kesim frekansının iki
kaanda ise φ=63.4° olur.
• Bu şekildeki bir basit sıfr için ωτ>>1 için genlik
ve asimptot poziTf eğime sahipTr ve faz eğrisi
0°’den 90°’ye doğru ilerler.
36
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
• Basit bir kutup için genlik ve faz çizimleri
aşağıdaki gibidir.
37
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
• Basit bir sıfr için genlik ve faz çizimleri
aşağıdaki gibidir.
38
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
• Eğer (1+jωτ)N şeklinde birden fazla kutup ve
sıfr mevcutsa yüksek frekanslı asimtotun
eğimi N ile çarpılır. Bu durumda gerçek eğri ile
asimtotun kesişme frekansındaki sapma 3N dB
olur. Faz eğrisi 0°’den N(90°)’ye ilerler ve
kesim frekansındaki değeri N(45°) olur.
39
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
• Karesel kutup ve sı:rlar: Karesel kutuplar
1+2ζ(jωτ)+(jωτ)2 yapısındadır. Bu terim yalnızca
ω’ya değil boyutsuz ζ’ya da bağımlıdır.
Haarlanacağı gibi ζ sönüm katsayısı olarak
isimlendirilir. ζ>1 olması durumunda kökler gerçel
ve birbirinden farklı, ζ=1 ise kökler gerçel ve eşit
ζ<1 olması durumunda ise kökler kompleks ve
eşlenikTr.
• Bu ifade ωτ<<1 durumu için 20log10(1)=0 olurken
ωτ>>1 için ise aşağıdaki gibi ifade edilir.
40
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
• Dolayısıyla ωτ>>1 için genlik eğrisinin eğimi karesel sıfr için
+40dB/decade ve karesel kutup için -40dB/decade olur.
• ωτ’nin yukardaki değerlerin arasında olması durumunda,
fonksiyonun davranışı sönüm katsayısına (ζ) bağlıdır.
• Yukarıdaki karesel ifade için faz kayması tan-12ζωτ/[1-(ωτ)2]
biçiminde ifade edilir. Bu şekildeki karesel kutuplar için faz
eğrisi ωτ<<1 için 0°’den ωτ>>1 için -180°’ye değişir.
• Karesel sıfrlar için faz eğrisi ωτ<<1 için 0°’den ωτ>>1 için
180°’ye değişir
• Aşağıdaki şekilde karesel bir kutup için genlik ve faz
çizimleri gösterilmektedir.
41
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
42
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
43
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
• Örnek: Aşağıdaki transfer fonksiyonunun genlik
ve faz eğrisini oluşturunuz.
44
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
45
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
46
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
• Örnek: Aşağıdaki transfer fonksiyonunun genlik
ve faz eğrisini oluşturunuz.
47
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
48
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
49
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
• Açıklama: K0/(jω)N şeklindeki terimlerin doğrudan
çizimi yapılabilir. Bu terimin eğimi -20N dB/
decade değerindedir ve 0db eksenini K0/(jω)N=1
yani ω=K01/Nrad/s değerinde keser.
• Benzer şekilde K0(jω)N şeklindeki terimlerin
doğrudan çizimini de gerçekleşTrilebiliriz. Bu
terim +20N dB/decade eğimine sahipTr ve bu eğri
0dB eksenini, K0(jω)N=1 ifadesine göre ω=(1/K0)1/
Nrad/s değerinde keser.
• Bu şekilde fonksiyonların çizimleri daha hızlı
gerçekleşTrilebilir.
50
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
• Örnek: Aşağıdaki transfer fonksiyonunun genlik
eğrisini oluşturunuz.
51
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
• Örnek: Aşağıdaki transfer fonksiyonunun genlik
eğrisini oluşturunuz.
52
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
• Örnek: Aşağıdaki transfer fonksiyonu için
Bode diyagramını çiziniz.
53
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
54
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
• Açıklama: Yukarıdaki örneklerde izlenen işlem
basamakları tersine yürütülerek Bode
diyagramlarından transfer fonksiyonları
üreTlebilir.
• Aşağıdaki örneklerde transfer fonksiyonun,
Bode diyagramlarından elde edilmesi
gösterilmektedir.
55
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
• Örnek: Aşağıdaki genlik karakterisTğini kullanarak
Gν(jω) transfer fonksiyonunu elde ediniz.
56
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
57
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
• Örnek: Aşağıdaki genlik karakterisTğini kullanarak
G(jω) transfer fonksiyonunu belirleyiniz.
58
Bode Diyagramı Kullanılarak Frekans
Tepkisinin İncelenmesi
• Örnek: Aşağıdaki genlik karakterisTğini H(jω)
fonksiyonunu bulunuz.
59
Rezonans Devreleri
• Seri Rezonans Devreleri: Aşağıda gösterilen seri
RLC devresi önemli bir frekans yanıana sahipTr.
Bu devrenin giriş empedansı aşağıda gösterildiği
gibidir.
• Eğer,
• şaranı sağlanırsa giriş
empedansındaki karmaşık
terim sıfr olur.
60
Rezonans Devreleri
• Bu denklemi sağlayan frekans değeri aşağıdaki
gibidir.
• Bu frekans değerindeki giriş empedansı ise
Z(jω)=R şeklindedir. Devrenin empedansının
tamamen omik olduğu bu frekans değeri
rezonans frekansı olarak adlandırılır. Bu
frekansda devre rezonansta çalışıyor denir.
• Rezonans durumunda genlik ve akım aynı
fazdadır. Bu durumda faz açısı sıfrdır ve güç
katsayısı birdir.
61
Rezonans Devreleri
• Aşağıda seri RLC devresinin frekans tepkisi
gösterilmektedir.
62
Rezonans Devreleri
• Bu şekilden görüldüğü gibi seri RLC devresi
rezonan durumunda minimum empedansa
sahipTr ve dolayısıyla akım verilen gerilim değeri
için maksimumdur.
• Ayrıca rezonans frekansından düşük frekanslarda
seri devrenin empedansında kapasiTf terim
baskınken, rezonans frekansından yüksek
frekanslarda indükTf terim baskındır.
• Rezonans durumu fazör gösterimle aşağıdaki gibi
incelenebilir.
63
Rezonans Devreleri
• Bu çizimler farklı frekans değerleri için akım ve
gerilim fazörlerini göstermektedir. Seri
devrede tüm elemanlar üzerinden aynı akım
geçTği için fazör çizimde akım referans
alınmışar.
64
Rezonans Devreleri
• Kalite faktörü olarak bilinen ve Q ile gösterilen
değişken seri RLC devresi için aşağıdaki gibi
tanımlanır.
65
Rezonans Devreleri
• Örnek: Aşağıdaki devre için rezonans frekansını
belirleyiniz ve her bir elaman üzerindeki gerilimi
ve kalite faktörünü hesaplayınız.
66
Rezonans Devreleri
67
Rezonans Devreleri
• Örnek: Aşağıdaki gösterilen RLC devresinde L=0.02H
seçilmiş ve kalite faktörü Q=200 ve rezonans frekansı
f=1000Hz olan bir devre oluşturulması istenmektedir.
• Rezonans devresi için uygun kapasitörü dayanma
gerilimini de dikkate alarak hesaplayınız.
68
Rezonans Devreleri
69
Rezonans Devreleri
• Açıklama: Seri RLC devresi için VR/V1 oranı için Q,
ω ve ωo cinsinden genel bir ifade yazılabilir.
• Bu amaçla aşağıdaki admitans ifadesi inceleyelim.
• Q=ωoL/R=1/ωoCR olduğu için admitans aşağıdaki
gibi elde edilir.
70
Rezonans Devreleri
• Seri RLC devresinden geçen akım I=YV1 olduğu
için direnç üzerindeki gerilim VR=RI olarak elde
edilir ve VR/V1 transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi
elde edilir.
• Bu transfer fonksiyonunun genlik ve fazı aşağıdaki gibi
elde edilir.
71
Rezonans Devreleri
• Bu transfer
fonksiyonlarının
çizimleri ise yandaki
gibidir.
• Bu grafikler bant
geçiren filtre
yapısındadır ve bant
genişliği (BG) yarımgüç frekansları
arasındaki fark olarak
tanımlanır.
72
Rezonans Devreleri
• Adından da anlaşılacağı gibi yarım-güç noktaları
direnç üzerindeki gücün yarıya düştüğü yani
M=1/√2 olduğu frekans değerleridir. Desibel
cinsinden ise M’nin bu değeri, 20log(1/√2)=-3dB
olarak elde edilir.
• Dolayısıyla kalite faktörü ve rezonans frekansı
(ωo) için aşağıdaki bağınalar elde edilir.
73
Rezonans Devreleri
• ω ifadesinde yalnızca poziTf değerler alınarak ωLO
ve ωHI olarak gösterilen ve sırasıyla alt ve üst
kesim frekanları olarak adlandırılan frekans
ifadeleri elde edilir.
• Bu frekans değerleri daha önce anlaalan yarımgüç noktalarındaki frekans değerleridir.
• Bu ifadelerden yararlanılarak bant genişliği ve rezonans
frekansı (merkez frekans) ωo aşağıdaki gibi elde edilir.
74
Rezonans Devreleri
• Açıklama: Kalite faktörü Q, R’ye bağlı bir parametredir ve
yüksek Q’lu bir seri devrede R küçük bir değere sahipTr.
Ayrıca daha önce elde edilen ifadeye göre bant genişliği Q
ile ters oranalıdır.
• Yüksek Q’lu bir devrenin bant genişliği küçüktür. Bu Tp
devrelerin seçiciliğinin yüksek olduğu yani dar bir frekans
bölgesini geçirdikleri söylenebilir.
• Aşağıda Q’ya bağlı olarak devrenin frekans tepkisi
gösterilmektedir.
75
Rezonans Devreleri
• Aşağıdaki, rezonansta çalışan, seri RLC devresinin
enerji analizi yapılarak Q’nun diğer bir önemli
etkisi görülebilir.
• Bu devrede rezonans durumunda depolanan
maksimum enerji WS ve her bir döngüde
harcanan enerji WD ise Q için aşağıdaki bağınanın
olduğu gösterilebilir.
76
Rezonans Devreleri
• Devrenin toplam enerjisi ωL+ωC olduğuna göre aşağıdaki
ifade elde edilir.
• Bu durumda depolanan maksimum enerji
olur.
77
Rezonans Devreleri
• Yukarıdaki ifadelere göre rezonans anında indüktör ve
kapasitör enerjileri aşağıdaki gibi çizilebilir.
78
Rezonans Devreleri
• Bu çizimden kapasitör ve indüktörde enerjinin
sürekli yer değişTği ve devreki toplam enerjinin
sabit kaldığı görülür.
• Yukarıdaki ifadelere göre bir döngüde harcanan
enerji, ωD ise aşağıdaki gibi elde edilir.
• ωD ve ωS oranlanarak ve Q=ωoL/R eşitliği
kullanılarak aşağıdaki ifade elde edilir.
79
Rezonans Devreleri
• Örnek: Şekildeki devrede çıkış gerilimi direnç
üzerinden alınmaktadır. Bu devrede C=1μF için
rezonans frekansının 1000rad/s ve bant
genişliğinin 100rad/s olması için gerekli R ve L
değerlerini hesaplayınız.
80
Rezonans Devreleri
81
Rezonans Devreleri
• Açıklama: Aşağıdaki devrede çıkış gerilimini
hesaplayalım.
82
Rezonans Devreleri
• Bu ifade kullanılarak Vo çıkış geriliminin
maksimum olduğu frekans değeri (ωmax)
bulunabilir.
• Bunun için gerilim ifadesinin frekansa göre türevi
alınarak sonuç sıfra eşitlenir.
• Vo kalite faktörü cinsinden aşağıdaki gibi bulunur.
Q yeterince yüksekse;
olur.
83
Rezonans Devreleri
• Örnek: Aşağıdaki devrede L=50mH, C=5μm ve
R=1Ω ve R=50Ω için ωo rezonans frekansını ve
çıkış geriliminin maksimum olduğu ωmax
değerini belirleyiniz.
84
Rezonans Devreleri
85
Rezonans Devreleri
• R=50Ω için Vo/Vs’ninFrekansla değişimi
86
Rezonans Devreleri
• R=1Ω için Vo/Vs’ninFrekansla değişimi
87
Rezonans Devreleri
• Paralel Rezonans Devreleri: RLC elemanlarının
paralel bağlanması durumunda da rezonans
meydana gelebilir. Örneğin aşağıdaki devreyi
ele alalım.
88
Rezonans Devreleri
• Bu devredeki IS akımı;
• şeklindedir. Rezonans frekansında IS=GVS
şeklindedir.
• Paralel rezonans devrelerinde giriş empedansı
aşağıdaki yazılır.
• Rezonans durumunda çalışan devre için Y(jω)=G
olur. Yani tüm kaynak akımı dirençten geçecekTr.
89
Rezonans Devreleri
• RLC devresinin paralel rezonans frekansında
kondansatör ve indüktör üzerindeki akımlar
eşit genlikte ancak fazları arasında 180° faz
farkı vardır (ters yönlüdür). Dolayısıyla şekilde
gösterilen IX akımı sıfrdır. G=0 olması
durumunda kaynak akımı sıfr olacakar yani
sürekli olarak kondansatörün elektrik alanı ve
indüktörün manyeTk alanı arasında enerji
değişimi olacak, biri azalırken diğeri artacakar.
90
Rezonans Devreleri
• Paralel rezonans
devresinde
admitansın değişimi
yandaki gibidir.
Rezonans
frekansından düşük
frekanslar için
admitansta indükTf
iken, rezonans
frekansının üstündeki
frekanslarda admitans
kapasiTf olur.
91
Rezonans Devreleri
• Paralel rezonans devreleri için fazör diyagramı
aşağıdaki gibidir. Paralel elamanlar üzerindeki
gerilim aynı olacağından, fazör gösterim
yapılırken gerilim refrerans olarak kullanılmışar.
92
Rezonans Devreleri
• Fazör gösterimlerden anlaşıldığı gibi ω<ωo için
empedans faz açısı poziT‡ir ve bu devrenin indükTf
olarak çalışağının göstergesidir.
• ω>ω0 durumunda ise empedansın faz açısı negaT‡ir
yani devre kapasiTf olarak çalışır.
• Kalite faktörü Q paralel rezonans devreleri için
aşağıdaki gibi tanımlanır.
• Bu ifadeler seri rezonans devreleri için verilen Q
ifadesinin tersidir. RLC akımları seri durumdaki
gerilimlere benzerdir ve aşağıdaki bağınalar yazılabilir.
ve
93
Rezonans Devreleri
• Örnek: Şekildeki devrenin aşağıdaki
parametreleri için devrenin rezonans
frekansında tüm kol akımlarını hesaplayınız.
94
Rezonans Devreleri
95
Rezonans Devreleri
• Örnek: Şekildeki devrede R=1Ω, L10mH ve
C=100μF için, Vout/Vin transfer fonksiyonu için
rezonans frekansı, yarım-güç frekansı, bant
genişliğini ve kalite faktörü Q’yu hesaplayınız.
96
Rezonans Devreleri
97
Rezonans Devreleri
• Açıklama: Genel olarak bir indüktörün satgı
direnci ihmal edilemez. Bu nedenle gerçekçi bir
rezonans devresi aşağıdaki gibidir.
• Bu devrenin giriş empedansı
aşağıdaki gibidir.
98
Rezonans Devreleri
• Bu ifradeler incelendiğinde admitansın
tamamen gerçel olduğu frekans (ωr) aşağıdaki
gibi bulunur.
99
Rezonans Devreleri
• Örnek: Aşağıdaki devrede R=5Ω ve R=50Ω için
ωo ve ωr değerlerini hesaplayınız.
100
Rezonans Devreleri
101
Rezonans Devreleri
• Açıklama: Bode diyagramları ile rezonans
devreleri arasındaki ilişki aşağıdaki gibi elde
edilebilir.
• Seri rezonans devresi için admitans aşağıdaki gibi
yazılır.
• Karesel terim için standart form ile aşağıdaki
gibidir.
• Burada τ=1/ωo olduğudan karesel terim aşağıdaki
gibi bulunur.
102
Rezonans Devreleri
• Bu iki ifade karşılaşarıldığında aşağıdaki ifadeler
elde edilir.
• Dolayısıyla;
• elde edilir. Q için daha önce elde edilen aşağıdaki
ifade ile yukarıdaki ifadeyi karşılaşaralım.
103
Rezonans Devreleri
• Karşılaşarma sonucunda Q ve ζ arasındaki ilişki
aşağıdaki gibi elde edilir.
• 0<ζ<1 için frekans tepkisinde bir pik (zirve) olduğu
görülür. Bu pikin keskinliği ζ tarafndan belirlenir.
ζ küçükken, Q yüksek değer alır ve dar bir pik
oluşur. Q yüksek olduğundan devre giriş
işaretlerini filtrelerken oldukça seçici
davranacakar.
104
Ölçekleme
• Genlik veya empedans ve frekans ölçeklemesi
olmak üzere iki tür ölçekleme vardır.
• Genlik ölçeklemesi için her bir elemanın
empedansı bir KM sayısı ile çarpılır. Dolayısıyla R, L
ve C için aşağıdaki değerler elde edilir.
105
Ölçekleme
• Sonuç olarak devrenin yeni rezonans frekansı ve
yeni kalite faktörü aşağıdaki gibi bulunur.
• Yukarıdaki ifadelerden görüldüğü gibi genlik
ölçeklemesi durumunda rezonans frekansı ve
kalite faktörü değişmeyecekTr.
• Frekans ölçeklemesi durumunda ise R, L ve C
değerleri aşağıdaki gibi değişir.
106
Ölçekleme
• Benzer şekilde R ve C’de incelenebilir. Elde edilen
sonuçlar aşağıdaki gibidir.
107
Ölçekleme
• Frekans ölçeklemesi durumunda kesim
frekansı ve kalite faktörü aşağıdaki gibi değişir.
• Sonuç olarak
elde edilir.
108
Ölçekleme
• Örnek: R=2Ω, L=1H ve C=0.5μF ise KM=102 ile
genlik ölçeklemesi ve Kf=102 frekans ölçeklemesi
sonucunda R, L ve C değerlerini hesaplayınız.
109
Pasif Filtreler
• Filtre (süzgeç) devreleri belirli frekans aralığındaki
sinyalleri çıkışa aktaran, bu aralık dışındaki
sinyalleri ise yok eden devrelerdir.
• En yaygın filtre türleri alçak geçiren, yüksek
geçiren, bant geçiren ve bant durduran
filtrelerdir.
• Alçak geçiren filtreler, filtrenin kesim
frekansından daha düşük frekanslı sinyalleri
geçiren, daha yüksek frekanslı sinyalleri ise çıkışa
aktarmayan filtrelerdir.
110
Pasif Filtreler
• Yüksek geçiren filtreler ise filtrenin kesim
frekansından daha yüksek frekansa sahip
sinyalleri geçirip, daha düşük frekanslı sinyalleri
ise durduran filtrelerdir.
• Bant geçiren filtreler belirli bir frekans
aralığındaki sinyalleri geçirirken, bu aralıkta yer
almayan sinyalleri ise çıkışa aktarmayacakar.
• Bant durduran filtreler ise belirli bir frekans
aralığındaki sinyalleri yok eden, bu aralıkta yer
almayan sinyalleri ise çıkışa aktaran filtrelerdir.
111
Pasif Filtreler
• Aşağıdaki şekilde ideal bir alçak geçiren filtrenin
ve R, L, C elamanlarından kurulabilecek basit bir
filtrenin Tpik frekans tepkisi gösterilmektedir.
• Bu şekilden ideal ve
Tpik frekans tepkileri
arasındaki büyük
farklılık rahatlıkla
görülebilir.
112
Pasif Filtreler
• Aşağıdaki şekilde basit bir alçak geçiren filtre
gösterilmektedir. Bu devrenin gerilim kazancı ise
aşağıdaki gibi ifade edilir.
• Bu ifadede τ=RC yazılarak
aşağıdaki bağına elde edilir.
• Sonuç olarak genlik ve faz karakterisTği aşağıdaki
gibi elde edilir.
113
Pasif Filtreler
• Bu ifadelerin çizimleri ise aşağıdaki gibidir. Bu çizimler
incelendiğinde ωo frekansından yüksek frekanslarda
genliğin eğiminin -20dB/decade olduğu görülmektedir.
114
Pasif Filtreler
• Dikkat edilirse ω=1/τ kesim frekansında genlik 1/
√2 (-3dB) ve faz açısı -45° olmaktadır. Bu frekans
yarı-güç frekansı olarak adlandırılır. Yarı-güç
frekansı gerilim ya da akımın 1/√2 kaana yani
gücün yarıya düştüğü frekans değeridir.
• Aşağıda ise basit bir yüksek geçiren filtre devresi
gösterilmektedir.
• Bu devrenin alçak
geçiren filtreden tek farkı
çıkışın direnç üzerinden
alınmış olmasıdır.
115
Pasif Filtreler
• İdeal yüksek geçiren filtrenin frekans
karakterisTği ve doğrusal devre elemanları ile
gerçekleşTrilebilecek Tpik karakterisTği aşağıdaki
gibi elde edilir.
116
Pasif Filtreler
• Yukarıdaki yüksek geçiren filtre için τ=RC
ifadesi kullanılarak gerilim kazancı aşağıdaki
gibi yazılır.
• Bu fonksiyonun genliği ve fazı aşağıdaki gibi
elde edilir.
• Bu ifadelerin çizimleri aşağıdaki gibidir.
117
Pasif Filtreler
• Bu ifadelerin çizimleri aşağıdaki gibidir.
118
Pasif Filtreler
• Bu çizimler incelendiğinde genliğin ω=1/τ
frekansında 1/√2 (-3dB) değerine ulaşağı ve faz
açısının 45° olduğu görülür. Dahası kesim frekansı
ωo’dan düşük frekanslar için genlik 20dB/
decade’lık eğim ile artmaktadır.
• Aşağıdaki şekilde ise basit bir bant geçiren filtre
devresi ve karakterisTği gösterilmektedir.
119
Pasif Filtreler
• Bant geçiren filtrede rezonans frekansı ωo
geçirme bandının merkezidir ve maksimum genlik
bu frekans için elde edilir. ωLO ve ωHI ise alt ve üst
kesim frekanslarını ifade eder ve bu frekans
değerinde genlik maksimum değerinin 1/√2
kaadır. Bu iki frekans arasındaki fark bant
genişliği olarak adlandırılır ve bant genişliği
BW=ωHI-ωLO şeklinde hesaplanır.
• Bant geçiren filtrenin gerilim transfer fonksiyonu
aşağıdaki gibi elde edilir.
120
Pasif Filtreler
• Dolayısıyla bu devrenin genlik ifadesi aşağıdaki
gibi yazılır.
• Bu ifade alçak frekanslarda;
• ve yüksek frekanslarda;
• olur. Bandın ortasında (RCω)2>>(ω2LC-1) olacağından
M(ω)≈1 olur. Merkez frekansı, rezonans frekansına
eşiWr ve aşağıdaki gibi yazılır.
121
Pasif Filtreler
• Genlik karakterisTği 1/√2’ye eşitlenerek ωLO ve
ωHI için aşağıdaki bağınalar elde edilir.
• Dolayısıyla bant genişliği için aşağıdaki ifade ele
edilir.
122
Pasif Filtreler
• Basit bir bant durduran filtre ve karakterisTği
aşağıdaki gibidir. Bu filtre için gerekli
karakterisTkler bant geçiren filtreye benzer
şekilde elde edilebilir.
123
Pasif Filtreler
• Örnek: Bir telefon haberleşme sistemi yakınında
bulunan elektrik dağıam haˆndan kaynaklanan
60Hz’lik girişimden etkilenmektedir. Bu
girişimden kurtulmak için aşağıdaki devreyi
kullanarak bir bant durduran filtre tasarlayınız
(tasarım için C=100μF seçiniz).
124
Pasif Filtreler
• Cevap: Aşağıdaki şekilde filtre girişine
uygulanacak ve çıkışından elde edilecek sinyal
şekli basit olarak gösterilmektedir.
125
Pasif Filtreler
126
Download
Random flashcards
Merhaba

2 Cards oauth2_google_861773e1-0890-4522-834a-6a5babb58e76

qweeqwqwe

5 Cards oauth2_google_78146396-8b44-4532-a806-7e25cc078908

321işletme

2 Cards oldcity

TRYF

6 Cards oauth2_google_3b3e6916-5080-45f2-ae61-79434233ea03

Alternatif Enerji

2 Cards ismailtarhan

Create flashcards