Slide 1 - Ninova

n( jw)
Devre Fonksiyonu: H ( jw) 
d ( jw)
n( jw)
H ( jw) 
d ( jw)
H ( jw)  H ( jw) e j H ( jw)
Özellik: Herhangibir devre fonksiyonunun genliği w’nın çift fonksiyonudur,
fazı da her zaman w’nın tek fonksiyonudur.
Tanıt:
 n( jw)  n( jw)

H ( jw)  

 d ( jw)  d ( jw)
n( jw)
 H ( jw)
jw   jw ve Lemma’dan H ( jw) 
d ( jw)
H ( jw) 
w
n( jw)
d ( jw)
H ( jw)  H ( jw)  H ( jw)  H ( jw)
s ’nin fazı   s seçilebildiğinden
 H ( jw)  H ( jw)
Vd j  H ( jw)Vk
+
_
Vk (t)
N-Devresi
vk (t )  Vk cos( wt  Vk )
vd j (t )  H ( jw) Vk cos( wt   H  Vk )
Vd j  H ( jw) Vk
V   H  V
dj
k
Sonuç:Devrenin w frekansındaki davranışını belirlemek için Vk , Vd genlikleri
j
ile Vk , H fazlarını belirlemek yeterli.
Hatırlatma
1
cos 2 x  (1  cos 2 x) *
2
cos( x  y )  cos x cos y  sin x sin y **
2 cos x cos y  cos( x  y )  cos( x  y ) ***
SSH’de Güç ve Enerji Kavramları
Tüm akım ve gerilimler “w” frekanslı sinüsoidaller
Ani Güç ve Ortalama Güç
R 2- uçlu direnç elemanı
iR (t )  I m cos( wt   I )
I R  I me j I
Kaynak tarafından dirence aktarılan güç:
p(t )  vR (t )iR (t )  RI m cos( wt   I ) I m cos( wt   I )
1
* bağıntısından
p(t )  vR (t )iR (t )  RI m2 [1  cos 2( wt   I )]
2
2
2
Ani güç T 
peryodu boyunca iki kere 0 ve RI m arasında değişiyor
w
T
1
1 2
p

p
(
t
)
dt

RI m
Bir peryod boyunca ortalama güç:
ort

T0
2
C kapasite elemanı
vc (t )  Vm cos( wt  v )
VC  Vme jv
IC  jwCVC  jwCVme jv
ic (t )  Re[ jwCVme jv e jwt ]  Re[ jwCVm (cos( wt  v )  j sin( wt  v ))]
 Re[ jwCVm cos( wt  v )  wCVm sin( wt  v )]

ic (t )  wCVm cos( wt  v  )
2
Kaynak tarafından kapasiteye aktarılan güç:

pc (t )  vc (t )ic (t )  Vm cos( wt  v ) wCVm cos( wt  v  )
2
1


2
*** bağıntısından
pc (t )  wCVm {cos[ 2( wt  v )  ]  cos }
2
2
2
1

 wCVm2 cos 2( wt  v  )
2
4
1
1
2
2
2
Ani güç T 
peryodu boyunca iki kere  wCVm ve wCVm arasında
2
2
w
değişiyor
T
1
port   p(t )dt  0
Bir peryod boyunca ortalama güç:
T0
L endüktans elemanı
Kapasite için elde edilen bağıntılara benzer şekilde
Kaynak tarafından kapasiteye aktarılan güç:
1

2
pL (t )  wCIm cos 2( wt   I  )
2
4
Bir peryod boyunca ortalama güç:
T
port
1
  p(t )dt  0
T0
1-Kapılı
i
+
G
v
_
N-Devresi
SSH
v(t )  V
i (t )  I
T anında G kaynağı tarafından N devresine aktarılan ani güç:
p(t )  v(t )i(t )  Vm cos( wt  v ) I m cos( wt  i )
*** bağıntısından
1
1
p(t )  Vm I m cos(v  i )  Vm I m cos( 2wt  v  i )
2
2
T
Bir peryod boyunca ortalama güç: port
1
1
  p(t )dt  Vm I m cos(v  i )
T0
2
port
1
 Vm I m cos(v  i )
2
Ortama güç v(.),i(.) sinüsoidallerinin sadece genliğine değil fazına da bağlı
cos(v  i ) Güç faktörü (güç çarpanı) olarak adlandırılır
V=ZI bağıntısı ile belirlenen N 1-kapılısına ilişkin giriş empedans
fonksiyonu Z’ye ilişkin faz  Z  v  i ‘dir.
port  0   Z  90
port
port
1
1 2
 Vm I m cos Z  I m Re( Z )
2
2
1
1
 Vm I m cosY  Vm2 Re(Y )
2
2
Kompleks Güç
i
1-kapılı N devresine G kaynağı
tarafından aktarılan kompleks güç:
+
G
v
_
N-Devresi
SSH
1
P ̂ VI
2

V  Vme jv
I  I me ji
1
1
P  Vm I m cos(v  i )  j Vm I m sin( v  i )
2
2
port
Q
P  port  jQ
Aktif Reaktif
Güç
Güç
[Watt] [VAR]
[VAR]-VoltAmperReaktif
port
1
 Vm I m
2
Q0
port  0
1
Q   Vm I m
2
port  0
1
Q  Vm I m
2
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
Kompleks Gücün Sakınımı
KAY+KGY
Tellegen
Teoremi
Herhangi bir devrede enerji sakınımı geçerlidir
Teorem: Hep aynı w frekanslı sinüsoidal kaynaklarla sürülen lineer zamanla
değişmeyen devrenin SSH’de çalıştığını varsayalım. Kaynaklar
tarafından devreye aktarılan kompleks güçlerin toplamı devredeki
elemanlar tarafından çekilen kompleks güçlerin toplamına eşittir.
Tanıt:
V1,V2 ,V3 ,....,Vne KGY’yi sağlayan
I1, I 2 , I3 ,...., I ne
gerilim fazörleri
KAY’yi sağlayan
akım fazörleri
 AI  0  AI  0
1 ne
Tellegen teoreminden  Vk I k  0
2 k 1
1
1 ne
  V1I1  Vk I k
2
2 k 2
KAY
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
Maksimum Güç Transferi Teoremi
Amaç: Devre SSH’de çalışıyor; ZL ‘nin
değerini, çektiği aktif gücün
maksimum olmasını sağlayacak
şekilde belirlemek.
ZL =?
Varsayımlar:
Kompleks gücün sakınımı
ZG  RG  jX G
EG  EGm
Aktif gücün sakınımı
1
1
2
PL  Re{ EG I L }  RG I L
2
2
Kaynağa ilişkin
aktif güç
1
PL 
2
ZG ’de harcanan
aktif güç
1
EG I Lm cos I L  RG I L m 2
2
PL , ØIL ve ILm ‘nin fonksiyonu (RG >0 ve EG baştan belirli)
1
1
PL  EG I Lm cos I L  RG I L m 2
2
2
PL ‘yi maksimum kılmak için
cos  I L  1
PL 1
 EG  RG I L m
I Lm 2
0
 2 PL
  RG  0
2
 I Lm
o j I Lo
IL ‘nin maksimum değeri: I L  I L e
m
o
o
1
EG  RG I oL m  0 cos IL  1
2
o

0
1 EG
o
IL
I Lm 
2 RG
Z Lo  ZG
Z Lo  RG  jXG
2
PLo
EG

8RG
Sonuç: SSH’de kaynakları w frekanslı 1-kapılı ZL yük empedansını beslesin.
Bu 1- kapılı Thevenin eşdeğeri ile EG , ZG  RG  jX G , RG  0
verilsin.Yük empedansının bu 1-kapılıdan maksimum ortalama güç
o
çekmesi için gerek ve yeter koşul Z L  ZG olmasıdır.
2
EG
o
Bu durumda yüke aktarılan maksimum aktif güç: PL 
8RG
Z Lo  ZG , RL  RG ‘ye eşit olduğundan kaynağın enerjisinin %50’si
yüke aktarılıyor. Z G ‘yi kontrol etmek imkanımız olmadığından bu
elde edilebilecek en iyi sonuç.