L endüktans elemanı

SSH’de Güç ve Enerji Kavramları
Hatırlatma
Tüm akım ve gerilimler “w” frekanslı sinüsoidaller
Ani Güç ve Ortalama Güç
R 2- uçlu direnç elemanı
iR (t )  I m cos( wt   I )
I R  I me j I
Kaynak tarafından dirence aktarılan güç:
p(t )  vR (t )iR (t )  RI m cos( wt   I ) I m cos( wt   I )
1
* bağıntısından
p(t )  vR (t )iR (t )  RI m2 [1  cos 2( wt   I )]
2
2
2
Ani güç T 
peryodu boyunca iki kere 0 ve RI m arasında değişiyor
w
T
1
1 2
p

p
(
t
)
dt

RI m
Bir peryod boyunca ortalama güç:
ort

T0
2
Hatırlatma
C kapasite elemanı
vc (t )  Vm cos( wt  v )
VC  Vme jv
IC  jwCVC  jwCVme jv
ic (t )  Re[ jwCVme jv e jwt ]  Re[ jwCVm (cos( wt  v )  j sin( wt  v ))]
 Re[ jwCVm cos( wt  v )  wCVm sin( wt  v )]

ic (t )  wCVm cos( wt  v  )
2
Kaynak tarafından kapasiteye aktarılan güç:

pc (t )  vc (t )ic (t )  Vm cos( wt  v ) wCVm cos( wt  v  )
2
1


2
*** bağıntısından
pc (t )  wCVm {cos[ 2( wt  v )  ]  cos }
2
2
2
1

 wCVm2 cos 2( wt   v  )
2
4
1
1
2
2
2
Ani güç T 
peryodu boyunca iki kere  wCVm ve wCVm arasında
2
2
w
değişiyor
T
1
port   p(t )dt  0
Bir peryod boyunca ortalama güç:
T0
L endüktans elemanı
Kapasite için elde edilen bağıntılara benzer şekilde
Kaynak tarafından kapasiteye aktarılan güç:
1

2
pL (t )  wCIm cos 2( wt   I  )
2
4
Bir peryod boyunca ortalama güç:
T
port
1
  p(t )dt  0
T0
1-Kapılı
i
+
G
v
_
N-Devresi
SSH
v(t )  V
i (t )  I
T anında G kaynağı tarafından N devresine aktarılan ani güç:
p(t )  v(t )i(t )  Vm cos( wt  v ) I m cos( wt  i )
*** bağıntısından
1
1
p(t )  Vm I m cos(v  i )  Vm I m cos( 2wt  v  i )
2
2
T
Bir peryod boyunca ortalama güç: port
1
1
  p(t )dt  Vm I m cos(v  i )
T0
2
port
1
 Vm I m cos(v  i )
2
Ortama güç v(.),i(.) sinüsoidallerinin sadece genliğine değil fazına da bağlı
cos(v  i ) Güç faktörü (güç çarpanı) olarak adlandırılır
V=ZI bağıntısı ile belirlenen N 1-kapılısına ilişkin giriş empedans
fonksiyonu Z’ye ilişkin faz  Z  v  i ‘dir.
port  0   Z  90
port
port
1
1 2
 Vm I m cos  Z  I m Re( Z )
2
2
1
1 2
 Vm I m cos Y  Vm Re(Y )
2
2
Kompleks Güç
i
1-kapılı N devresine G kaynağı
tarafından aktarılan kompleks güç:
+
G
v
_
N-Devresi
SSH
1
P ̂ VI
2

V  Vme jv
I  I me ji
1
1
P  Vm I m cos(v  i )  j Vm I m sin( v  i )
2
2
port
Q
P  port  jQ
Aktif Reaktif
Güç
Güç
[Watt] [VAR]
[VAR]-VoltAmperReaktif
port
1
 Vm I m
2
Q0
port  0
1
Q   Vm I m
2
port  0
1
Q  Vm I m
2
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
Kompleks Gücün Sakınımı
KAY+KGY
Tellegen
Teoremi
Herhangi bir devrede enerji sakınımı geçerlidir
Teorem: Hep aynı w frekanslı sinüsoidal kaynaklarla sürülen lineer zamanla
değişmeyen devrenin SSH’de çalıştığını varsayalım. Kaynaklar
tarafından devreye aktarılan kompleks güçlerin toplamı devredeki
elemanlar tarafından çekilen kompleks güçlerin toplamına eşittir.
Tanıt:
V1,V2 ,V3 ,....,Vne KGY’yi sağlayan
I1, I 2 , I3 ,...., I ne
gerilim fazörleri
KAY’yi sağlayan
akım fazörleri
 AI  0  AI  0
1 ne
Tellegen teoreminden  Vk I k  0
2 k 1
1
1 ne
  V1I1  Vk I k
2
2 k 2
KAY
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
Maksimum Güç Transferi Teoremi
Amaç: Devre SSH’de çalışıyor; ZL ‘nin
değerini, çektiği aktif gücün
maksimum olmasını sağlayacak
şekilde belirlemek.
ZL =?
Varsayımlar:
Kompleks gücün sakınımı
ZG  RG  jX G
EG  EGm
Aktif gücün sakınımı
1
1
2
PL  Re{ EG I L }  RG I L
2
2
Kaynağa ilişkin
aktif güç
1
PL 
2
ZG ’de harcanan
aktif güç
1
EG I Lm cos I L  RG I L m 2
2
PL , ØIL ve ILm ‘nin fonksiyonu (RG >0 ve EG baştan belirli)
1
1
PL  EG I Lm cos I L  RG I L m 2
2
2
PL ‘yi maksimum kılmak için
cos  I L  1
PL 1
 EG  RG I L m
I Lm 2
0
 2 PL
  RG  0
2
 I Lm
o j I Lo
IL ‘nin maksimum değeri: I L  I L e
m
o
o
1
EG  RG I oL m  0 cos IL  1
2
o

0
1 EG
o
IL
I Lm 
2 RG
Z Lo  ZG
Z Lo  RG  jXG
2
PLo
EG

8RG
Sonuç: SSH’de kaynakları w frekanslı 1-kapılı ZL yük empedansını beslesin.
Bu 1- kapılı Thevenin eşdeğeri ile EG , ZG  RG  jX G , RG  0
verilsin.Yük empedansının bu 1-kapılıdan maksimum ortalama güç
o
çekmesi için gerek ve yeter koşul Z L  ZG olmasıdır.
2
EG
o
Bu durumda yüke aktarılan maksimum aktif güç: PL 
8RG
Z Lo  ZG , RL  RG ‘ye eşit olduğundan kaynağın enerjisinin %50’si
yüke aktarılıyor. Z G ‘yi kontrol etmek imkanımız olmadığından bu
elde edilebilecek en iyi sonuç.
Neden?
Yüksek Gerilim
3-Fazlı Devreler
Üç Faz
R  jX empedansına
Dengeli yük altında
sahip bir hattaki kayıp: titreşim yok.
WL  (1 2) RIm2
iletilen ortalama güç:
Daha ucuza
endüksiyon motoru
üretilebilir.
AC- Kaynak
DC-den daha uygun
çünkü transformatörler
aracılığı ile yükseltilip,
azaltılabilir.
Transformatörler
W  (1 2)Vm I m cos(v   I )
Transmisyon hatları 50-60 Hz’de bakım
gerektirmezler.
hattaki kayıp tekrar ele daha az masraflı
alınırsa:
kılınabilinir.
2
DC kaynaklardan
2 RW
WL  2 2
daha kolay üretilir.
Vm cos ( v   I )
Sabit R için kaybolan
güç Vm büyük,
güçfaktörü 1’e yakın
tutularak
küçültülebilinir.
3-Fazlı Jeneratör
Rotor-iki kutuplu mıknatıs
Stator-üç sargı içeriyor: aa’, bb’, cc’
aa’, bb’ ile aynı sargı ancak rotorun
hareket yönünde 120   2 / 3rad farklı
konumda yerleştirilmiş. Benzer
şekilde aa’ ile cc’ aynı sargı ancak

aralarında 240  4 / 3rad fark var.
Akılar:
aa’:  R   m sin 
bb’:  S   m sin(  2 / 3)
cc’: T   m sin(  4 / 3)
 m sabit
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
E p ˆ  m
Rotor sabit hızla dönsün:   2 50 rad/sn
 R (t )   m sin t
vR (t )  E p cost
 S  m sin(t  2 / 3)
vS (t )  E p cos(t  2 / 3)
T  m sin(t  4 / 3)
vT (t )  E p cos(t  4 / 3)
akılar
gerilimler
Gerilimlerin Fazörleri: VR  E p
VS  E p e j 2 / 3
VT  E p e j 4 / 3
E p  E p e j 2 / 3  E p e j 4 / 3  VR  VS  VT  0
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
Dengeli yük altında 3-fazlı jeneratör
VS
VR
VT
I R  , I S  , IT 
ZL
ZL
ZL
I R  I S  IT  0
n-n’ bağlayan kabloya
gerek yok. Neden?
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
Ani Güçler:
1 Ep
pR (t )  vR (t )iR (t ) 
[cos Z L  cos(2t   Z L )]
2 ZL
1 Ep
4
pS (t )  vS (t )iS (t ) 
[cos Z L  cos(2t   Z L  )]
2 ZL
3
1 Ep
8
pT (t )  vT (t )iT (t ) 
[cos Z L  cos(2t   Z L  )]
2 ZL
3
2
3 Ep
pR (t )  pS (t )  pT (t ) 
cos Z L
2 ZL
Ani gücün özelliği ne?
Amaç: Dengeli yüklü 3-fazlı devrenin analizi bir
fazlı devrenin analizine indirgenebilir mi?
n-referans düğümü olsun
IR
VR
VT
VS
IS
IT
1
Y ˆ
Zl  Z L
n- düğümüne ilişkin denklem
Y (Vn'  VR )  Y (Vn'  VS )  Y (Vn'  VT )  0
Y (VR  VS  VT )  3YVn'  0
=0
Vn '  0
n ile n’ aynı değerde
IR
VR
VT
VS
IS
IT
n-a-a’-n’-n düğüm dizisi için KGY
VR  ( Z L  Z l ) I R
n-b-b’-n’-n düğüm dizisi için KGY VS
n-c-c’-n’-n düğüm dizisi için KGY
 (Z L  Zl ) I S
VT  ( Z L  Z l ) IT
Üç faz tamamen simetrik, birini çözünce hepsini çözmüş oluyoruz.
Dengeli yüklenmiş 3-fazlı sistemlerin analizi
Üçgen
Yıldız
3
Üçgen-Yıldız Bağlantısı
Yıldız-Üçgen Bağlantısı
Z1 
Zb Zc
Z a  Zb  Zc
Z1 Z 2  Z 2 Z 3  Z1 Z 3
Za 
Z1
Z2 
Za Zc
Z a  Zb  Zc
Zb 
z1
Z a Z b z2
Z3 
Z a zZ b  Z c
3
Z1 Z 2  Z 2 Z 3  Z1 Z 3
Z2
z
Z1Z 2  cZ 2 Z 3  Z1Z 3
Zc 
zb
Z 3 za
Üçgen-Yıldız , Yıldız-Üçgen arasındaki geçiş nasıl elde edildi?
3
Z c (Z a  Zb )
Z a  Zb  Z c
Z ab  Z1  Z 2
Z ab  Z c //(Z a  Zb )  Z ab 
Zbc  Z 2  Z 3
Z a (Zb  Z c )
Zbc  Z a //(Zb  Z c )  Zbc 
Z a  Zb  Z c
Z ac  Z1  Z3
Zb (Z a  Z c )
Z ac  Zb //(Z a  Z c )  Z ac 
Z a  Zb  Zc
Yıldız bağlantıdaki Z1 ‘i üçgen bağlantıdaki Za, Zb, Zc cinsinden yazmak için:
Z ab  Z1  Z 2
Zbc  Z 2  Z 3
Z ac  Z1  Z3
2Z1  Z ac  Zbc  Z ab
Z ac  Zbc  Z1  Z 2
2Z1 
Zb (Z a  Z c )  Z a (Zb  Z c )  Z c (Z a  Zb )
Z a  Zb  Z c
2Z b Z c
2Z1 
Z a  Zb  Zc
Zb Z c
Z1 
Z a  Zb  Z c