Bölüm 3: Madde Ortamında Işık Alıştırmalar

Bölüm 3: Madde Ortamında Işık
Alıştırmalar
3.1 Elektriksel geçirgenliğin konuma bağlı olduğu durumlarda ε(r), ışığın elektrik alanının
boyuna bileşeninin de bulunduğunu, 1. Maxwell denklemini kullanarak gösteriniz
(Dielektrik sabitin konuma bağlılığı, ortamın anizotropik oluşu gibi (kristali oluşturan
atomların farklı yönlerde farklı dizilim) iki ortamı ayıran arayüzeyde de uzaysal bağlılık
düşünülebilir)
Çözüm:
r r
r
r
r
r
r r
V .D = 0
V .(ε (r ) E ) = 0 (V .ε (r )).E + ε (r )(V .E ) = 0
r
r r
r
(V .ε (r )) r
V .E = −
.E = − E.ln(ε (r )) ≠ 0
ε (r )
3.2 Kırılma indisi n=2 olan izotropik bir ortamda ν=2x1014 Hz’lik frekansa sahip
elektromanyetik dalganın elektrik (|Eo|=5 V/m) alan bileşeni aşağıdaki gibi xz
düzlemindedir. Bu elektromanyetik dalganın elektrik alan bileşeni için vektörel bir ifade
türetiniz (ışığın boşluktaki hızını c=3x108 m/s olarak alabilirsiniz).
x
60ο
Eo
z
y
Çözüm:
Elektrik ve manyetik alan xz düzleminde olduğu için dalganın yayılma doğrultusu bu
düzleme dik olan doğrultu, yani y-doğrultusu boyunca olacaktır. Dolayısı ile
yukardaki elektromanyetik dalganın elektrik alan bileşenini vektörel olarak
r r
E = E o cos(ωt ± ky )
şeklinde yazabiliriz. Bu ifadede açısal frekans (ω) ve dalga vektörü (k)’nın değerlerini
bulmalıyız.
Açısal frekans (ω)
ω = 2πν = 2π (2 x1014 s −1 ) = 4πx1014 Hz
Dalgaboyu ve dalga vektörü
2π 2πυ ω
c
c
ω
kn =
=
=
⇒ νλ n = v n = ⇒λ n =
⇒ kn = n
λ n υλ n v n
n
nν
c
4πx1014 Hz
2
kn =
(2) = 4π ( ) x10 6 m −1
8
3
3 x10 m / s
r r
2
14
6
E = E o cos 4π (10 t ± ( ) x10 y )
3
r
E = E x iˆ + E z kˆ
r 
2
2
 

E =  E ox cos 4π (1014 t ± ( ) x10 6 y ) iˆ +  E oz cos 4π (1014 t ± ( ) x10 6 y )  kˆ
3
3

 

r 
2
2
 

E =  E ox cos 4π (1014 t ± ( ) x10 6 y ) iˆ +  E oz cos 4π (1014 t ± ( ) x10 6 y )  kˆ
3
3

 

o
Eox = Eo cos(θ ) = (5V / m) cos(60 ) = 2.5V / m
Eoy = Eo sin(θ ) = (5V / m)sin(60o ) = 4.3V / m
r
2
2


14
6 
14
6 
E = E x iˆ + E z kˆ = (2.5V / m ) cos 4π (10 t ± ( ) x10 y ) iˆ + (4.3V / m ) cos 4π (10 t ± ( ) x10 y ) kˆ




3
3
 
3.3 İletken ortamda elektrik alanın
r
r
r
∂2 E
∂E
∇ E = µoε 2 + µoσ
∂t
∂t
2
Dalga denklemini sağladığını gösteriniz.
Çözüm:
Elektrik ve manyetik alan xz düzleminde olduğu için dalganın yayılma doğrultusu bu
düzleme dik olan doğrultu, yani y-doğrultusu boyunca olacaktır. Dolayısı ile yukardaki
elektromanyetik dalganın elektrik alan bileşenini vektörel olarak
r
r r
∂H
4. Maxwell denkleminin ∇ × E = − µo
dönüsü alınırsa
∂t
r r r
∂ r r
∇ × (∇ × E ) = − µo (∇ × H )
∂t
elde edilir. Bu ifadedeki elektrik alanın dönüsü yerine 3. Maxwell denklemi
r
r r
r
∂E
∇ × H = εo
+ σ E kullanılırsa
∂t
r
r r r
r
∂2 E
∇ × (∇ × E ) = −ε o µo 2 − µoσ E
∂t
sadece manyetik alanı içeren ifade elde edilir. Yukarıdaki ifadenin sol tarafı vektörel
r r r
r r r r
eşitlik ∇ × (∇ × E ) = −∇ 2 E + ∇.(∇.E ) kullanılarak yeniden yazılırsa
r
r
r r r r
∂2 E
∂E
−∇ E + ∇.(∇.E ) = −ε o µo 2 − σµo
∂t
∂t
2
r r
Maxwell’in 2. eşitliğinden ∇.E = 0 olduğundan
Dalga denklemini sağlayan manyetik alan
r
r
r
∂2 E
∂E
∇ E = µoε 2 + µoσ
∂t
∂t
2
elde edilir. Dalganın hızı v = 1 εµo dir.
2
3.4
Karmaşık kırılma indisinin gerçek ve sanal kısımlarını dielektrik sabiti κ cinsinden
türetiniz.
Çözüm:
nˆ = no + iK = κˆ
no2 − K 2 + i 2no K = κˆ = κ G + iκ S
no2 − K 2 = κ G
2no K = κ S
Yaklaşıklık K <<no
no2 − K 2 = κ G ⇒ no2 ≅ κ G ⇒ no ≅ κ G
no ≅ κ G
K=
κS
2no
≅
κS
2 κG
no’ı bulalım:
no2 − K 2 = κ G ⇒ no2 −
K S2
K S2
4
n
=
κ
⇒
−
− no2κ G = 0
G
o
4no2
4
KS
=0
4
1
Kökler ( no2 ) =  K R ± K R2 + K I2 
±

2
no4 − κ G no2 −
no gerçek bir sayı olması gerektiğinden (kırılma indisinin gerçek kısmı olduğundan) (-)
işaretli ikinci çözüm fiziksel değildir.
no =
1/ 2
1 
K R + K R2 + K I2 

2
Şimdi de K’yı bulalım.
 K + K2 + K2
R
I
κS  R

2
κ

K= S =
1/ 2
2no
 K + K2 + K2   K +
R
I
  R
2 R

 
2

 
1/ 2




1/ 2
K R2 + K I2 


2

K +
κS  R

κ
K= S = 
2no
K +
2 R


K=
1
− K R + K R2 + K I2
2
(
1/ 2
K R2 + K I2 


2

2
2 
KR + KI


2

κS
=
1
K R + K R2 + K I2
2
(
(K
R
+ K R2 + K I2
1/ 2
)
)
1/ 2
)
3.5 Kırılma indisi n olan bir ortamda ışığın d kadarlık bir geometrik yol alması ile oluşacak
faz farkının boşlukda l geometrik mesafesini alması ile oluşacak olan faz farkına eşit
olacağını gösteriniz.
Çözüm:
 2π 
 2π 
 2π 
kd = 
d = 
 nd = ko nd = kol
d = 
 λ 
 λo n 
 λo 