FIZ 275 Bilgisayar Programlama Ders Notu

Bölüm 7
İŞ VE KİNETİK ENERJİ
Günlük hayatta kullanılan İŞ ve ENERJİ kavramları, bilimsel
anlamda çok daha farklı bir anlama gelir.
Bu bölümün işleyişi
1. İş Kavramı (Kuvvet-iş ilişkisi)
2. Kinetik Enerji
3. İş-Kinetik Enerji Teoremi
adımlarından oluşacaktır.
Son olarak karmaşık sistemlerin dinamiğinin Newton yasalarının
kullanıldığı yöntemden çok daha kolay bir biçimde çözülebileceği
görülecektir.
1
SABİT BİR KUVVETİN YAPTIĞI İŞ
Öncelikle burada sabit bir kuvvet ifadesi ile kuvvetin cismin konumuna bağlı olarak değişmediği
yani konumun fonksiyonu olmadığı anlaşılmalıdır ( Fx≠f(x) ve Fy≠f(y) ve Fz≠f(z) ).


F
F
θ
F cos 
d : yer değiştirme
Bir cisim bir noktadan bir başka noktaya bir kuvvet etkisiyle hareket ettirilmiş ise cisim üzerine bir
iş yapılmış olur. Kuvvetin iş yapabilmesi için uygulanan kuvvetin yer değiştirme vektörü ile
aynı doğrultuda bir bileşeni olmalıdır.
Buna göre sabit
bir kuvvetin
yaptığı
(W),zaman
kuvvetincismin
yer değiştirme yönündeki
Sürtünme
kuvveticisim
f ileüzerine
gösterilir
ve işher
bileşeni ile yer
değiştirmenin
çarpımına
eşittir. Aynı zamanda skaler bir niceliktir.
hareketinin
tersi (d)
yönünde
bir kuvvettir.
W=Fcosθ d
2 [T-2]
[W]=[M][L]
Sürtünme Kuvveti statik ve kinetik
olmak
üzere ikiye ayrılır.
2
2
2
W=(kgm/s ).m=kgm /s =JOULE (J)
(SI-MKS birim sistemi)
W=gcm2/s2=erg
(CGS birim sistemi)
Kuvvet ile yer değiştirme aynı yönde ise W>0 dır ve
bu durumda sisteme enerji aktarılır.

F

F

d
θ=0o
Kuvvet ile yer değiştirme zıt yönlerde ise W<0 dır ve
bu durumda sistemden enerji aktarılır.

f

d
θ=180o
2
İKİ VEKTÖRÜN SKALER ÇARPIMI
Görüldü ki iş tanımı kuvvet ve yer değiştirmenin çarpımını içinde barındırır. Ancak hem kuvvet
hem de yer değiştirme nicelikleri vektörel olmasına karşın iş skalerdir. O halde burada sorulması
gereken iki vektör birbiriyle çarpılabilir mi ve bunun matematikte bir karşılığı var mı?

B

A
θ
Bcosθ
İki vektörün skaler çarpımı, vektörlerin büyüklükleri ile aralarındaki açının
kosinüsünün çarpımına eşittir ve
 bu çarpma işlemi nokta ile gösterilir.
A.B  ABcos 
Özellikler
   
A
.B  B.A
1. Yer değiştirme özelliği
  
   
A
.(
B

C
)

A
.B  A.C
2. Dağılma özelliği
î. ĵ  î.k̂  ĵ.k̂  0 çünkü   90o
3. Birim vektörlerin skaler çarpımı
î.î  ĵ. ĵ  k̂.k̂  1 çünkü   0o
 
A
.B  A x Bx  A y B y  A z Bz
4. Birim vektörler cinsinden skaler çarpma
 
A.A  A x A x  A y A y  A z A z
5. Bir vektörün kendisiyle skaler çarpımı
 A 2x  A 2y  A 2z  A 2
büyüklüğünün karesini verir.
Bu durumda iş cisme etki eden kuvvet ile yer değiştirme vektörlerinin skaler çarpımına
eşittir…

W  F.d  Fd cos   Fx .x  Fy .y  Fz .z
3
DEĞİŞKEN BİR KUVVETİN YAPTIĞI İŞ
Değişken bir kuvvet ifadesi ile kuvvetin cismin konumuna bağlı olarak değiştiği yani konumun
fonksiyonu olduğu anlaşılmalıdır ( Fx=f(x) veya Fy=f(y) veya Fz=f(z) ).
Cismin Fx=f(x) kuvveti etkisiyle xi konumundan xs konumuna yer değiştirmesi için kuvvet
tarafından yapılan iş
xs
W   Fx dx
xi
İntegral bağıntısı ile tanımlanır. Bu bağıntı tek bileşeni olan değişken kuvvet için geçerlidir.
En genel anlamda bir cismin r kadar yer değiştirmesi için yapılması geren iş
 
W   F.d r
rs
ri
İfadesi ile verilir. Burada dikkat edilmesi gerek durum öncelikle integral içerisindeki ifadenin iki
vektörün skaler çarpımını içerdiğidir. Bu nedenle işlemi yapmak için iki yol söz konusudur.
rs
W   F cos dr
ri
xs
ys
zs
xi
yi
zi
W   Fx dx   Fy dy   Fz dz
4
BİR YAYIN YAPTIĞI İŞ
xi=0
Yay kuvveti Fyay=-kx
Fyay
xs=x
HOOK YASASI
Kuvvet x in fonksiyonu, bu durumda değişken kuvvetin
yaptığı iş tanımı kullanılmalıdır. Buna göre yayın yaptığı
x
x
x
iş
1
W   Fyaydx   (kx )dx   kx 2
x
x
x
2
1
 1

  kx s2  kx i2 
2
 2

s
s
s
i
i
i
olarak elde edilir.
Şekilde verildiği gibi xi=0 ve xs=x için son ifade
biçimini alır.
1
W   kx 2
2
5
Kinetik Enerji
İş ve Kinetik Enerji Teoremi
Kinetik enerji cismin hareketliliğinin bir ölçüsüdür ve
1
K  mv 2
2
ifadesi ile verilir.
vi
vs
Sabit bir kuvvetin etkisinde olan m kütleli bir cismin hızı vi den vs olacak şekilde değişiyor ve bu
hareketin yer değiştirmesi d olduğuna göre kuvvet tarafından yapılan işi bulalım.
Yer değiştirme vektörü ile kuvvet vektörü aynı yönde olduğu için
olarak yazılır.
W  Fd cos0
2
2
F=ma ve v xs  v xi  2a x ( x s  x i ) bağıntılarından yararlanılarak ifade düzenlendiğinde
1
1
W  mv 2  mv 2
2
2
W  K
s
i
İş Aynı Zamanda cismin kinetik enerjideki değişime karşılık gelmektedir.
Bu sonuç iş-kinetik enerji teoremidir.
6
Kinetik Sürtünmeyi İçeren Durumlarda
İş-kinetik enerji
Kinetik sürtünme kuvveti her zaman yer değitirmenin tersi yönünde olduğu için iş negatiftir ve
sistemden enerji alınır. Bu durumda sistemin kinetik enerjisinde sürtünme kuvveti tarafından yapılan
iş kadar bir kayıp olacaktır.
W  f k d cos180  f k d
Kinetik sürtünme tarafından yapılan iş
K sürt  f k d
Kinetik enerji değişimi
Buna göre bir cisme kinetik sürtünme kuvveti ile beraber diğer kuvvetler de etki ediyorsa
iş ifadesi  Wdiger  f k d  K
GÜÇ
Birim zamanda yapılan iş GÜÇ olarak tanımlanır.
P
dW
dt
veya

P  v.F
7
Problem çözümünde izlenmesi gereken adımlar
1. Koordinat sistemi çizilir ve cisme etki eden tüm kuvvetler şekil üzerinde gösterilir.
2. Problemde verilenler ve istenilenler belirlenir.
3. Sürtünme kuvvetinin olmaması veya olması durumuna göre iş-kinetik enerji tanımı kullanılır.
4. Diğer kuvvetlerin sabit mi yoksa değişken mi olmasına bakılarak her bir kuvvet
tarafından yapılan iş hesaplanırken en uygun tanımın kullanıldığından emin
olunmalıdır.
8