5.1 Rijit Cisimde Denge 103 5.2 Düzlem Kuvvetlerde Denge Hali
advertisement
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 Rijit Cisimde Denge Düzlem Kuvvetlerde Denge Hali Düzlemde Serbestlik Derecesi Bağ Çeşitleri Pandül Ayak Düzlem Taşıyıcı Sistemler Düzlem Taşıyıcı Sistemlerde Yükleme Durumları Düzlem Taşıyıcı Sistemlerin Mesnetlenmesi Örnekler Çok Parçalı Sistemlere Giriş 5.9 Örnekler PROBLEMLER 103 103 105 106 107 109 112 115 119 123 125 129 İsviçreli matematikçi önce tıp eğitimi gördü sonra matematiğe merak sardı. Diferansiyel denklemler kuramına, yelkenlerle ilgili matematik bilgilerine ve optik bilimine katkıları oldu. Bugün L’Hospital kuralı olarak bilinen yöntemi de Paris’te L’Hospital’e ileten kişidir. İlk kez Galilei’nin ortaya attığı yalnız kütle çekiminin etkidiği bir parçacığın bir noktadan öbürüne en kısa zamanda aldığı yolun denklemini, kendisi gibi çok ünlü bir matematikçi olan abisi Jakob Bernoulli ile birbirlerinden ayrı olarak ve farklı yöntemlerle çözme çalışmaları sırasında yeni bir disiplin olan değişimler hesabının temellerini attılar. Hayatının son yıllarını mekaniğin ilkeleri üzerindeki çalışmalara ayırdı. Johan BERNOULLI (1667-1748) 5.1 RİJİT CİSİMDE DENGE Rijit cisim ve denge kavramının, statiğin ana felsefesini oluşturduğunu geçtiğimiz bölümlerde gördük. Bu bölümde, rijit cismin düzlemde dengesini incelenecek. Eğer bir rijit cisme etkiyen bütün dış kuvvetler sonuçta sıfıra eşdeğer bir kuvvet kuvvet çifti sistemi oluşturuyorsa, ya da dış kuvvetler sıfır kuvvet kuvvet çiftine indirgenebiliyorsa, denge oluşur. Şu halde; F1 , F2 ,..., Fn tane kuvvetin etkisinde ve denge halindeki bir cisimde, her zaman, üï ïý M i = (ri ´ Fi ) = 0 ïïþ Fi = 0 , (i = 1, 2,..., n) (5.1) denklemleri sağlanır. Bunlar: Fi = 0 : Mi = 0 : İzdüşüm denge denklemi olup, rijit cismin hiç bir doğrultuda ötelenmediğini ifade eder. Bu koşul moment denge denklemi olup, incelenen rijit cismin hiç bir keyfi doğrultu etrafında dönmediğini ifade eder. 5.2 DÜZLEM KUVVETLERDE DENGE HALİ Düzlem halde denge durumu incelenecek bir rijit cismin üstünde üç skaler denge denklemi yazılabilir. Eğer Şekil (5.1a) daki rijit cisim dengede ise; cisim keyfi eksenler doğrultusunda öteleme yapmaz ve düzlemine dik doğrultuda bir nokta etrafında dönmez. Düzlemde bunu destekleyen denge denklemleri, 104 STATİK Fx = 0 , Fy = 0 , M A = 0 (5.2) olabilir. Burada A tamamen keyfi bir noktadır. Fakat (5.2) yazılabilecek tek denklem sınıfı değildir. Örneğin, (5.2) de Fy = 0 yerine Şekil (5.1b) deki gibi gene keyfi seçilmiş bir B noktasında da moment denge denklemi yazılabilir. O zaman denklem takımı, Fx = 0 , M A = 0 , M B = 0 (5.3) olur. Yalnız bu durumda AB hattı y ekseninden farklı bir doğrultuda olmalıdır (Şekil 5.1b). Ya da istersek, Şekil (5.1c) de görüldüğü gibi A ve B noktalarına ek olarak bir başka keyfi nokta olan C seçilip, daha sonra bu üç noktada moment denge denklemleri yazılabilir. O zaman denklem takımı, M A = 0 , M B = 0 , M C = 0 (5.4) olur. Eğer (5.4) den yararlanılarak cismin dengesi araştırılacaksa, dikkat edilmesi gereken husus; A, B, C noktaları aynı doğru üzerinde olmamalıdır (Şekil 5.1c). Bir rijit cisimde denge durumunu incelerken yazılacak denklem sınıfları (5.2), (5.3) ve (5.4) den herhangi birini kullanmaya başlamadan önce bu rijit cisme ait bir serbest cisim diyagramı (SCD) nın çizilmiş olması gerekir. Bu eserde kullanılması gerektiğinde hep "SCD" kısaltması yazılacaktır. Aşağıda SCD nın anlamını ve nasıl çizileceğini açıklayalım. Serbest Cisim Diyagramı (SCD): Rijit cismin dengesi incelenirken, cisme etkiyen tüm kuvvetleri gösteren ölçeksiz şekle verilen isimdir. SCD çizerken izlenecek yol 1. Ayrıklaştırma: İncelenecek cisim, onu dengede tutan bağlarından ve diğer cisimlerden ayrıklaştırılır. 2. Kuvvetler: SCD da üstünde cisme etkiyen tüm kuvvetler gösterilir. Bu kuvvetler iki sınıfa ayrılırlar: Yönleri ve şiddetleri bilinenler: Cismin ağırlığı, cisme doğrudan etkiyen servis yükleri gibi yönü ve şiddeti bilinen kuvvetler çizilirken bunların yönleri bir ok ucu ile gösterilirken, şiddetleri de okların üstüne yazılır Başlangıçta yönleri ve şiddetleri bilinmeyenler: Başlangıçta vektörel özellikleri bilinmeyen bağ kuvvetleri keyfi yönlerde çizilirler ve sonra hesap sonuçlarına bakılarak bunlar belirlenir. 3. Cismin Boyutları: moment denge denklemlerinde kullanılacağından SCD da yer alır. Boyutlandırma, iki nokta arasında uçlarında okları olan bir doğru çizilerek ve bu çizginin üstünde bu iki nokta arasın- 110 STATİK ÇİZELGE (5.1): Çeşitli bağ tanımları. Kayıcı Mafsal ve Cilalı Yüzey Kablo Cilalı Yarık Pandül Ayak SERBESTLİK DERECESİ BAĞ KUVVETLERİ Bu kuvvetlerin tesir çizgilerinin doğrultuları bellidir BAĞ ÇEŞİTLERİ 1 1 1 1 Sabit Mafsal ve Mafsal 2 Sürtünmeli Yüzey 2 Ankastre Mesnet 3 111 5. RİJİT CİSMİN DÜZLEMDE DENGESİ ÇİZELGE (5.2) Taşıyıcı eleman olarak çeşitli çubuk geometrileri. Konik helisel merdiven kirişi Parabolik helisel yay ÇİZELGE (5.3) Yüzeysel taşıyıcılar ve çok parçalı sistemler. Yüzeysel Taşıyıcılar Çok Parçalı Sistemler 5. RİJİT CİSMİN DÜZLEMDE DENGESİ Bağ kuvvetlerine örnek teşkil etmek üzere, Şekil (5.12a) da tekil P kuvvetiyle yüklü kirişe ait SCD Şekil (5.12b) de sunulmuştur. Burada A mesnedi düşey ve yatay öteleme hareketlerine kapalı olurken, B mesnedi sadece düşey doğrultuda öteleme hareketlerine kapalıdır. O nedenle bilinmeyen ya da hesaplanması gereken mesnet tepkileri Ax , Ay ve B y dir. Bazı taşıyıcı sistemler ise iki ya da ihtiyaca göre daha fazla parçanın birleştirilmesi sonucu üretilebilir. Bu durumda parçaları birbirlerine yeteri sayıda mafsal ile bağlamak mümkündür. Şekil (5.13a) daki AGB sisteminde A ve B mesnetleri sabit mafsallı olarak verildiğinden bunlar birbirine dik keyfi iki doğrultuda (örneğin x ve y eksenleri doğrultularında) ötelemeye izin vermezler. O halde sistemin SCD Şekil (5.13b) de görüldüğü gibi çizilir ve bağ kuvvetleri de, Ax , Ay , B x ve B y olur. Öte yandan G noktasındaki mafsal, bu noktada birleşen taşıyıcı parçalarının ötelemelerini eşit kılarken, dönmeye karşı tam bir serbestlik tanır ve M G = 0 olur. AG ve GB parçalarını bağlayan G mafsalındaki bağ kuvvetleri G x ile G y Şekil (5.13c) de etkitepki kuralına göre çizilmiştir. Bu bağ kuvvetlerini klasik dış kuvvetlerden biraz farklı değerlendirmek gerekir. Şöyle ki; eğer taşıyıcı sistem Şekil (5.13b) de görüldüğü gibi bir bütün olarak ele alınırsa o zaman ara mafsaldaki bağ kuvvetleri G x ile G y birer iç kuvvet olur. Yok eğer; taşıyıcı sistemi oluşturan parçalar ayrı ayrı ele alınırsa, o zaman SCD ları Şekil (5.13c) de görüldüğü gibi çizilir ve bu durumda her bir parça için mafsal kuvvetleri G x ile G y birer dış kuvvet olur. Şu halde kısaca özetlersek; eğer taşıyıcı sistem iki parça halinde çözülecekse; Ax , Ay , G x , G y : AG parçası için bağ kuvvetleri B x , B y , G x , G y : GB parçası için bağ kuvvetleri Gx , G y : AG ile GB parçaları arasındaki etkileşim kuvvetleri olup, AB çubuğu için iç kuvvetlerdir. 5.8 DÜZLEM TAŞIYICI SİSTEMLERİN MESNETLENMESİ Düzlem halde bir taşıyıcı sistemin bilinmeyen bağ kuvvetlerini bulmak için sistem üstünde üç adet denge denklemi yazılabilir. O zaman buna göre de en fazla üç adet bilinmeyen mesnet tepkisi (bağ kuvveti) çözülebilir. Doğal olarak bir taşıyıcı sistem çeşitli biçimlerde bağlı olabilir ve o nedenle problemin çözümüne geçmeden önce sistemin mesnet koşulları- 115 125 5. RİJİT CİSMİN DÜZLEMDE DENGESİ olur. Yukarıdaki ek mafsal koşulları gereği, taşıyıcı sistem statikçe belirlidir. Bir sisteme Gerber kirişi denebilmesi için gerekli iki şart vardır: Sürekli taşıyıcı sistem statikçe belirli olmalıdır Kirişin yatay hareketi sadece tek bir bağ koşulu ile engellenmeşidir. Örneğin Şelil (5.22c) de A mesnedi bu işlevi yerine getiriyor. Gerber kirişlerinde yük taşıma özelliği, kısaca, basit sistemlerin birbirleri üstüne bindirilmiş hali gibi düşünebilir. Örneğin Şekil (5.21c) deki Gerber kirişi A sabit mesnedinden başlanarak Şekil (5.22) deki görüldüğü gibi çizilebilir. Tabii bunu sadece yük taşıma özelliğini açıklamak için yaptık. Şu durumda P1 ve P2 yüklerinin etkisi sadece ABG1 kirişi üstünde hissedilir ve G1CG 2 ile G 2 D parçaları bunlardan etkilenmez. P3 yükü hem G1CG 2 de hem de ABG1 parçalarında hissedilirken, mevcut yükleme durumunda, G 2 D parçası hiç yük taşımamaktadır. ÖRNEK 5.8: Şekil (P8.1) de yükleme durumu verilmiş olan Gerber kirişinde mesnet tepkilerini hesaplayınız. G noktası mafsaldır. Kiriş üzerindeki yayılı yüklemeler q1 = 3kN/m , q2 = 2 kN/m ve kiriş boyutları a = 3m , b = 2 m dir. ÇÖZÜM: Sistemin Şekil (P8.2) deki SCD da bilinmeyen bağ kuvvetleri Ax , Ay , M A , B y dir. Bu dört bilinmeyen, eldeki üç denge denklemi ve mafsaldan gelen ek koşul M G = 0 kullanılarak çözülebilir. Bunun için kiriş mafsal noktası G den ikiye ayrılırsa, G mafsalındaki etki tepki kuvvetleri Gx ile Gy de problemin bilinmeyenleri arasına katılınca, toplam bilinmeyen sayısı altıya yükselir. Yalnız kiriş iki parçaya ayrıldığından, AG ve GB parçalarının dengesi sırayla inceleneceğinden toplam üçerden altı denklem yazılır ve tüm bilinmeyenler elde edilir. GB parçası: Şekil (P8.3) deki SCD dan yararlanılarak yazılacak denge denklemlerinden bulunacak bağ kuvvetleri: Fx = 0; M G = 0; 1´ 4 - 2 By = 0 Gx = 0 B y = 2 kN
