Ders 3

Ders 3
Bağlantılı çizgeler
Tanım. Parkur (walk) W: v0, e1, v1, e2, v2, …, vn-1, en, vn
(n0)
köşelerin ve kirişlerin birer değişmeli bir dizisidir,
burada ei=vi-1vi, i.
(W ye v0 -vn parkuru de denir)
W nin uzunluğu n dir.
İz(trail) kirişleri tekrar etmeyen parkurdur
Yol(path) köşeleri tekrar etmeyen parkurdur
G
v
w
u
x
y
parkur: x, w, v, x, w
iz: x, w, v, x, y
yol: x, w, v
Ch1-2
Theorem
Çizgede her u-v parkurunda u-v yolu vardır
Tanım (1) Bir parkur v0, v1, v2, …, vn-1, vn için n3,
v0 = vn, ve köşeler v1, v2, …, vn-1, vn farklı ise bu
parkur bir döngüdür (n-döngü(cycle))
(2) Bir u-v parkuru için u=v ise bu parkura kapalı
parkur denir.
(3) Birden çok köşesi olan kapalı ize devre denir
Ch1-3
Tanım
(1) Eğer u,vV(G) için bir u-v yolu varsa u v
ile bağlantılıdır denir.
(2) Eğer u,v  V(G) için u v ile bağlantılı ise
G çizgesi bağlantılıdır denir aksi durumda
bağlantısızdır.
(3) H çizgesi G nin H da bulunan kirişleri
içeren bağlantılı en büyük alt çizgesi ise H
çizgesine G nin bileşeni denir.
(4) G nin bileşen sayısı k(G) ile gösterilir.
Not. “bağlantılıdır” kavramı bir denklik bağıntısıdır.
Ch1-4
Yönlü çizgeler (Digraphs)
Tanım:
Yönlü çizge(digraph) D, sonlu ve boş
olmayan V(D) köşeler kümesi ve bu
köşelerin farklı sıralı ikililer kümesi olan
E(D) kümesinden oluşmuştur.
E(D) nin elemanlarına yay(arcs) denir.
Örnek
D:
u
w
v
x
E(D) ={(v,u),(u,w),
(v,w),(x,w),(w,x)}
Ch1-5
Not:
yerine
Tanım:
u
v
w
çizilebir
u köşesinin komşusu v dir.
v köşesi u nun komşusudur
(u,v) demek u köşesi v ye
bağlıdır
Ch1-6
Tanım:
dışderece v :
od v veya deg+(v)
v
içderece v :
id v, deg -(v)
v
Teorem :
T

deg
(v ) 

vV ( D )
deg
 (v )  | E ( D ) |
vV ( D )
※ Çok özelliği basit çizge ile aynıdır ama döngü
uzunluğu 2 olabilir.
Ch1-7
Tanım: D yönlü çizgesinde yönlerin kaldırılmasıyla
oluşan G çizgesine D nin temelinde yatan çizge denir
Ch1-8
Tanım: yarıparkur(semiwalk) : D yönlü çizgesinin
temelinde yatan G de parkur olan W ye D de
yarıparkur denir
W:
e1
e2
v1
e3
e4
v3
…
vn
(ei = (vi-1,vi) veya (vi,vi-1) )
Tanım: Eğer D de u-v yarıparkuru varsa
D yönlü çizgesinde u ve v bağlantılıdır
denir.
Ch1-9
Tanım:
① Eğer D de her hangi 2 köşe bağlantılı ise D
yönlü çizgesi bağlantılıdır veya zayıf
bağlantılıdır denir
② Eğer her hangi 2 farklı u ve v köşeleri için u-v
yolu veya v-u yolu varsa D yönlü çizgesi tek
yönlü bağlantılıdır denir.
③ Eğer her hangi 2 farklı u ve v köşeleri için u-v
yolu ve v-u yolu varsa D yönlü çizgesi kuvvetli
bağlantılıdır denir.
Ch1-10
Ağırlıklı çizgeler
 Her kirişi bir sayı ile eşleştirilmiş çizgelerdir yani ,
ağırlık verilmiştir, genelde ağırlık fonksiyonu w:
E  R.
1
2
1.2
2
3
.2
.3
.5
4
1.5
5
.5
1
6
5
1
4
3
2
5
3
6
Çizge gösterimleri
 G = (V, E) çizgesinin komşuluk listesi gösterimi
 V sayıda listenin bir dizisi(array), V deki her köşe için bir tane liste
 Her Adj[u] listesi u köşesinin bağlı olduğu tüm v köşelerini içerir
(rastgele sıralı olarak)
 Yönlü veya yönsüz çizgeler için kullanılabilir
1
2
3
5
4
1
2
5
2
1
5
3
2
4
4
2
5
3
5
4
1
2
/
4
3
/
/
Yönsüz çizge
12
Komşuluk listesi gösteriminin özellikleri
1
2
3
4
 Tüm komşuluk listelerinin toplamı
 Yönlü çizgelerde:

Yönlü çizge
Her (u, v) kirişi listede sadece bir defa
olacağından E sayısına
1
2
3
 Yönsüz çizgelerde:
5
4
Her uv kirişi listede 2 defa olacağından 2 E 
Yönsüz çizge
sayısına eşittir
13
Komşuluk listesi gösteriminin özellikleri
2
1
 Hafiza gereksinimi
3
 (V + E)
 Tercih edildiği çizgeler
 Seyrek çizgelerde: E  << V 2
 Eksik yönü
 u ile v arasında kiriş olup olmadığını hızlı kontrol
etmenin bir yolu yoktur
5
4
Yönsüz çizge
1
2
3
4
 u ya komşu tüm köşelerin listesini bulmak için gerekli
süre:
 (degree(u))
 (u, v)  E için kontrol süresi:
Yönlü çizge
 O(degree(u))
14
Çizge gösterimi
 G = (V, E) çizgesinin komşuluk matrisi gösterimi
 Köşelerin numaraları 1, 2, … V olsun.
 Komşuluk matrisi A V x V  nın terimleri
1
aij = 1 eğer (i, j)  E
0 aksi durumda 1
2
3
4
5
1
0
1
0
0
1
2
1
0
1
1
1
3
0
1
0
1
0
4
0
1
1
0
1
5
1
1
0
1
0
2
3
5
4
Yönsüz çizge
A matrisi
simetriktir:
aij = aji
A = AT
15
Komşuluk matrisi gösteriminin özellikleri
 Hafiza gereksinimi
 (V2), G nin kiriş sayısına bağlı değil
 Ne zaman tercih edilir
 Çizge yoğunsa, yani E sayısı V 2 sayısına çok yakınsa
 2 köşe arasında kiriş olup olmadığını hızlı bulma gereksinimi varsa
 u ya komşu tüm köşelerin bulunması süresi:
 (V)
 (u, v)  E kontrol süresi:
 (1)
16
Ağırlıklı çizgeler
 Ağırlıklı çizgeler = Her kiriş için atanmış w(u, v) ağırlığı vardır
w: E  R, ağırlık fonksiyonu
 Ağırlıkların hafızada tutulması
 Komşuluk listesinde:

w(u,v) sayısı u nun komşuluk listesinde v köşesi ile birlikte tutulur
 Komşuluk matrisinde:

w(u, v) saysı matrisin (u, v) ye karşılık gelen yerinde tutulur
17