Introduction to Graph Theory

Çizge Algoritmaları
1. ders
Çizge teorisi
1736, Euler, Königsberg Köprüleri problemini çözdü
Königsberg Köprüleri Problemi
C

A
D
B
Çizge örneği
4 öğrenci: A, B, C, D
4 iş: FF, SC, W, BS
FF
A
SC
B
W
C
BS
D
Soru:Tüm
öğrenciler arzu
ettikleri bir işe
girebilirler mi?
Cevap: Hayır
Ch1-4
Çizge tanımı
G çizgesi (V,E) ikilisinden oluşmuştur.
Burada V(G) boş olmayan sonlu bir kümedir
(elemanlarına köşe denir)
E(G) ise V(G) kümesinde tanımlı bir bağıntıdır
( elemanlarına eğer varsa kiriş denir).
V(G) : G nin köşeler kümesi
E(G) : kirişler kümesi
Kiriş {u, v} = {v, u} = uv (veya vu)
G yönlü ise (digraf denir)
Ch1-5
Örnek
G=(V,E) olsun
V={u, v, w, x, y, z}
E={{u,v}, {u,w}, {w,x}, {x,y}, {x,z}}
E={uv, uw, wx, xy, xz}
G diagram
u
v
w
z
x
y
Ch1-6
Komşu ve Bağlı
u, v : G nin köşeleri
e
u
v
u ve v köşeleri G de komşudur eğer uv  E(G)
ise
( u v ye ve v u ya komşudur)
e=uv (e u ve v yi birleştiriyor) (e u ile
bağlıdır, e v ile bağlıdır)
Ch1-7
Çizge çeşitleri
döngü
Katlı kiriş, parallel kiriş
Yönsüz çizge:
• (basit) çizge: döngü (), katlı kiriş ()
• Katlı çizge: döngü (), katlı kiriş ()
• Pseudograph: döngü (), katlı kiriş ()
Yönlü çizge:
• Yönlü çizge:
döngü (), katlı kiriş ()
• Yönlü katlı çizge : döngü (), katlı kiriş ()
döngü
Katlı kiriş değil
Katlı kiriş
Ch1-8
Mertebe(order) ve boyut(size)
G çizgesinin köşe sayısına çizgenin mertebesi
denir (|V(G)| ile gösterilir).
Kirişlerin sayısına boyut
(|E(G)| ile gösterilir ).
Önerme 1:
 p
q   
Eğer |V(G)| = p ve|E(G)| = q ise
2
Çizgenin mertebesi p ve boyutu q ise
(p, q) çizgesi denir
Ch1-9
Çizgelerin uygulanması
Ali ve Ahmet Ayşe ve Fatma ile tanışıyorlar.
Mehmetle Ahmet ve Fatma tanışıyorlar.

Tanışlık çizgesi:
Ali
Ahmet
Mehmet
Ayşe
Fatma
Ch1-10
Köşelerin derecesi
Tanım.
G çizgesinin v köşesi için
N(v) = { u  V(G) | v u  E(G) }
kümesine bu köşenin komşuluğu denir. v köşesinin
derecesi deg(v) = | N(v) | sayısına denir
u
v
N(u) = {x, w, v}, N(y)={ }
deg(u) = 3, deg(y) =0
y
x
w
Ch1-11
Not
Eğer |V(G)| = p ise
0  deg(v)  p-1,  v  V(G) dir.
deg(v) = 0 ise v köşesine tecrit edilmiş köşe
denir.
v ye tek köşe denir eğer deg(v) tekse.
v ye çift köşe denir eğer deg(v) çiftse.
Ch1-12
El sıkışma teoremi
 deg( v)  | E(G ) | 2
Theorem
G bir çizge ise,
vV ( G )
Örnek
u
2
v
3
 deg( v)  8
vV ( G )
x
| E (G ) | 4
w
1
2
Ch1-13
El sıkışma teoremi
Özellik
Her çizgenin tek köşelerinin sayısı çift
sayıdır.
ispat. Eğer tek köşelerin sayısı tek sayıda olsaydı,
çizgenin toplam derecesi tek olurdu. 
Ch1-14
Düzgün çizge
Tanım.
G çizgesinin her köşesinin derecesi r ise G
çizgesine r-düzgün çizge denir. G çizgesi bir r
sayısı için düzgünse bu çizgeye düzgün çizge denir
Örnek
Not.
mertebesi 5 olan 3-düzgün
çizge yoktur
(Özellik)
2-düzgün
Ch1-15
Tümleyen
Tanım.
G çizgesinin tümleyeni
eğer
V(G) = V(G) ve
uv E(G) eğer uv  E(G).
u
v
G
G çizgesidir
u
v
w
x
G
w
x
Ch1-16
Derece uygulaması
Soru: n kişi var (n  2)
Bu kişiler arasından hangi iki kişiyi alırsak
alalım, bu kişilerin tanıdıkları kişi sayıları bir
birinden farklıdır. Bu mümkün mü?
( A B yi tanıyorsa, B de A yı tanıyor)
Ch1-17
Örnek 1
Mertebesi n  2 olan çizgenin dereceleri
bir birine eşit olan en az 2 köşesinin
olduğunu gösteriniz.
(ipucu. Önceki sayfadaki problem.)
ispat.
deg(x) = 0 ve deg(y) = n-1 olacak biçimde
x ve y köşeleri olmalıdır bu da olamaz
Ch1-18
Örnek 2.
G çizgesinin mertebesi 14 ve boyutu 25 tir.
Köşelerinin derecesi 3 veya 5 tir.
Bu çizgenin 3 dereceli kaç köşesi vardır?
çözüm. x tane köşenin derecesi 3 olsun,
14-x köşenin derecesi 5 olur.
|E(G)| =25  dereceler toplamı=50
3x + 5(14-x) = 50
 x = 10
Ch1-19
Örnek 3.
G çizgesinin mertebesi 7 ve boyutu 10
dur. 6 köşenin derecesi a ve bir köşenin
derecesi b dir. b kaçtır?
sol. 6a + b = 20
(a, b) = (0, 20)
(1, 14)
(2, 8)
(3, 2)
 a=3, b=2.
()
()
()
()
Ch1-20
Isomorf(denk) çizgeler
G1 v
1
v2
v3
v4
v5
G2
u1
u3
u4
u5
u2
v2
G1 ve G2 aynıdır (köşelerin yerlerini değiştirdikten sonra).
Ch1-21
Isomorf (denk çizgeler)
Tanım.
Eğer V(G1) kümesinden V(G2) kümesine öyle
bir 1-1 ve örten  fonksiyonu varsa ve
uv  E(G1) ancak ve ancak  (u)  (v) 
E(G2) koşulu sağlanıyorsa G1 ve G2 çizgeleri
izomorfdur denir(G1  G2 ile gösterilir)
 fonksiyonuna izomorfizm denir. Önceki
sayfada  (vi) = ui her i için
Ch1-22
Tanım. Mertebesi 1 olan çizgeye önemsiz
çizge denir
Örnek 4 Mertebesi 6 ve boyutu 9 olan ve
izomorf olmayan 2 tane 3-düzgün çizge
bulunuz .
Sol.
G1
G2
Üçgen var
Üçgen yok
Ch1-23
Örnek 5
Aşağıdaki G1 ve G2 çizgelerinin
izomorf olup olmadıklarını araştırınız.
G1
G2
Üçgensiz
Cevap: hayır
Üçgen var
Ch1-24
1.4 Altçizgeler
Tanım.
Eğer V(H)  V(G) ve E(H)  E(G) ise H
çizgesine G çizgesinin altçizgesi denir ( H  G)
Örnek
v
w
v
w
v
w
u
y
x
G
y
x
HG
y
x
FG
Ch1-25
Üretilmiş Altçizge
Tanım.
S  V(G), S   olsun. G nin köşeleri S olan en
büyük alt çizgesine s den üretilmiş alt çizge
denir( <S> ile gösterilir)
G
v
w
H
v
w
u
x
y
x
y
H G nin üretilmiş
altçizgesi değil
H ∪{xw}
Ch1-26
Köşelerin silinmesi
Tanım.S  V(G) olsun. G-S = <V(G)-S> olarak
tanımlanır
Eğer S={v} ise G-v yazılır.
G
v
w
G-S
S={x,u} ise 
u
x
y
v
w
u
x
y
Ch1-27
Kiriş üretilmiş alt çizge
Tanım. X  E(G), X   olsun. X den üretilmiş alt
çizge, G nin kirişleri X olan en küçük alt çizgesidir
( <X> ile gösterilir)
G
v
w
<X>
Let X={uv,vw} 
u
x
v
w
u
y
Ch1-28
Tanım.
H  G olmak üzere eğer V(H) = V(G) ise H a
örten altçizge denir.
Tanım. H = G + {uv, uw} ifadesinin anlamı
E(H) = E(G) ∪ {uv, uw} , burada uv, uwE(G).
Örnek 6
Eğer H=<E(G)> ise H=<V(G)> olur mu?
u
HayırG

v
w
H
v
w
Ch1-29
Örnek G =(p, q) çizge olsun. G nin kaç tane
farklı kiriş üretilmiş alt çizgesi vardır?
Not. Kiriş üretilmiş alt çizge
q
q
cevap. 2 -1 ( X  E(G) X , 2 -1 X )
Ch1-30
Dereceler dizisi
Tanım.
G=(V, E), V={v1, v2, …, vp} olsun.
s: deg(v1), deg(v2), …, deg(vp) dizisine G nin
dereceler dizisi denir
(Genelliği bozmadan, s artmayan olsun. Bu
durumda s tek olarak belirlenir)
G
3
2
s: 3, 3, 2, 1, 1, 0
1
0
3
minimum derece : d(G)
1
maximum derece : D(G)
Ch1-31
Not


Eğer d1, d2, …, dp bir çizgenin dereceler dizisi ise
0  d i  p-1 i. ve
p
çifttir.
 di
i 1
s: d1, d2, …, dp tam sayılar dizisi ve
0 d i  p-1 i, ve p
 di çift ise
i 1
s in dereceler dizisi olduğunu söyleyemeyiz.
örnek. s: 5, 5, 3, 2, 1, 0
( p-1 ve 0 aynı zamanda olamazlar)
Daha fazlası, d1 p imkansızdır. )
Ch1-32
Tanım.
Negatif olmayan tam sayılar dizisi verilmiş olsun.
Eğer dereceleri bu dizinin elemanlarına eşit olan
bir çizge varsa bu diziye grafiksel dizi denir
Theorem 2 (Havel-Hakimi)
s dizisi: d1, d2, …, dp, burada di N, i. olsun.
t dizisi :
d 2 - 1, d 3 - 1, , d d1 1 - 1, d d1  2 , d d1 3 , , d p
olsun. s in grafikseldir ancak ve ancak t grafikseldir.
Ch1-33
İspat :
(  ) Eğer s1d:2 - 1, d 3 - 1,, d d 1 - 1, d d  2 , d d 3 ,, d p
grafikselse
  G1 de s1 dereceler dizisidir
1
d2-1 d3-1
v2
d1 köşeler
dd
v3
…
G1
1
1
-1 dd
1+1
vd +1
1
1+2
vd +2
1
dd
dd
dp
vp
…

G
d2
d3
v2
v3
…
1+1
vd +1
1
1+2
vd +2
1
dp
vp
…
…
v1
 s : d1, d2, …, dp grafikseldir
Ch1-34
İspat devam
(  ) Eğer s : d1, d2, …, dp grafikselse
  G çizgesi var yani s dereceler dizisidir G
ve deg(vi) = di for 1  i  p,
ve
 deg( w)
wN ( v1 )
maksimumdur
iddia: { v1v2, v1v3, …, v1vd1+1}  E(G)
i.e.,
G
d1
d2
d3
v1
v2
v3
dd
…
1+1
vd +1
1
dd
1+2
vd +2
1
dp
vp
…
:
:
Bu iddia doğru ise, bu durumda G-v1 çizgedir
dereceler dizisi s1  s1 grafikseldir
Ch1-35
İddia: { v1v2, v1v3, …, v1vd1+1}  E(G)
ispat:
doğru değilse öyle iki vj ve vk (j < k) köşeleri vardır
ki dj > dk yani v1vk  E(G) ama v1vj  E(G).
G
v1
vj
vk
vn
dj > dk olduğundan  vnV(G) yani vjvn  E(G), vkvn  E(G).
G2 = G - {v1vk, vjvn} + {v1vj, vkvn}
deg( w) , 
G2 nin derece dizisi s ama büyük w
N (v )
1
Ch1-36
Algoritma
s: d1, d2, …, dp tam sayılar dizisidr
s grafiksel midir?:
(1) Eğer di=0, i, ise s grafikseldir.
Eğer  di<0 bir i için ise s grafikseldir.
Aksi durumda, (2). Adıma git
(2) s i artmayan şekilde sırala
(3) s = s1 olsun(s1 Teorem ),
(1) e dön
Ch1-37
Örnek 1
s: 4, 4, 3, 3, 2, 2
s 1’ :
3, 2, 2, 1, 2
s 1:
3, 2, 2, 2, 1
s 2:
1, 1, 1, 1
s 3’ :
0, 1, 1
s 3:
1, 1, 0
s 4:
0, 0
 s grafiksledir
( 4 ü sil)
(sırala)
(3 ü sil)
(ilk biri sil 1)
(sırala)
(ilk1 i sil)
Ch1-38
Çizge çizimi
s: 4, 4, 3, 3, 2, 2
s1’: 3, 2, 2, 1, 2
s1: 3, 2, 2, 2, 1
s2:
1, 1, 1, 1
s3’:
0, 1, 1
s3:
1, 1, 0
s4:
0, 0
 s grafikseldir
G
2
2
4
4
3
3
Ch1-39
Örnek 2
s: 5, 4, 3, 2, 1, 1
s 1:
3, 2, 1, 0, 0
s2:
1, 0, -1, 0
 s grafiksel değil
(5 i sil)
(3 ü sil)
Ch1-40