Önermeler ve Elektrik devreleri

advertisement
MATM 133
MATEMATİK LOJİK
Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
2.KONU
Sembolik Mantığın uygulamaları
Önermeler ve Elektrik devreleri
Odanızdakı elektrik anahtalarını birkaç kere açıp kapatınız. Anahta her
bastığınızda lambanın yanma durumunda değişiklik olacaktır. Lambanın
yanmadığı konumda ise elektrik akımı lambaya ulaşmuyor demektir.
Akımın lambaya ulaşması, anahtarın akımı geçirmesıne, akımın lambaya
ulaşmaması, anahtarın akımı geçirmemesine bağlıdır.
Akımın geçip geçmemesini iki basit temsil etmek mümkindir.
anahtar
anahtar
Sonuç olarak, elektrik anahtarı için iki durum konusudur: Akım geçir ya da
geçirmez. Elektrik anahtarına p adı verilse, p nın akım geçirmesi durumu
1, akım geçirmemesi durumu 0 ile gösterildiğinde, p nın mümkin bütün
hsllerini gösteren tablo aşağıdaki gibi olur.
P
1
0
Önermeler ve Elektrik devreleri
Odanızdakı elektrik anahtalarını birkaç kere açıp kapatınız. Anahta her
bastığınızda lambanın yanma durumunda değişiklik olacaktır. Lambanın
yanmadığı konumda ise elektrik akımı lambaya ulaşmuyor demektir.
Akımın lambaya ulaşması, anahtarın akımı geçirmesıne, akımın lambaya
ulaşmaması, anahtarın akımı geçirmemesine bağlıdır.
Akımın geçip geçmemesini iki basit temsil etmek mümkindir.
anahtar
anahtar
Sonuç olarak, elektrik anahtarı için iki durum konusudur: Akım geçir ya
da geçirmez. Elektrik anahtarına p adı verilse, p nın akım geçirmesi
durumu 1, akım geçirmemesi durumu 0 ile gösterild,ğinde, p nın
mümkin bütün hsllerini gösteren tablo aşağıdaki gibi olur.
P
1
0
Önermeler ve Elektrik devreleri
Eğer devrede p ve q gibi iki anahtar söz konusu ise, bu devre için
dört hal söz konusudur:
Değil Anahtarı
p
q
1
1
1
0
0
1
0
0
Eger p ve q anahtarı için, p akımı geçirirken q
akımı geçirmiyor ve p akım geçirmezken q
akım geçiriyor ise q anahtara p anahtarın
değili denir ve q=p’ olarak gösterilir.
p
P’
1
0
0
1
Önermeler ve Elektrik devreleri
Seri Bağlama
1.Durum: iki anahtar da (p de, q da) akım geçiriyorsa bu hattan akım geçer.
2.Durum: p akım geçiriyor ama q geçirimiyorsa bu hattan akım geçmez.
3.Durum: p akım geçirmiyor ama q geçiriyorsa bu hattan akım geçmez.
4.Durum: Her iki anahtar da (p de, q da) akım geçirmiyorsa bu hattan akım geçmez.
Önermeler ve Elektrik devreleri
Elektrik devrelerinde p ve q gibi anahtarların akım geçirip geçirmediği
şekillerinde gösterilmez. Örneğin aynı hat üzerindeki p ve q anahtarları
için yukarıdakı dört durumda yer alan şekiller yerine şu şekli çizilir.
Seri bağlama
Önermeler ve Elektrik devreleri
Anahtarların akım geçirip geçirme durumlarına göre p ve q
anahtaları seri bağlanmış olan bir devreden akım geçirip geçirmesi
dört farklı durumda incelenir.
p
q
P ve q anahtarlarına seri
bağlı oldugu hattan
akım geçme durumu
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
p
q
p∧q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Parallel Bağlama
Bir devrede hat birbirinden bağımsız olarak iki farklı yol üzerinden tamamlanabiliyorsa
ve iki farklı yolda birer anahtar bulunuyorsa devre aşağıda verilen biçimdedir:
p
q
P ve q anahtarlarına
parallel bağlı oldugu
hattan akım geçme
durumu
p
q
p∨q
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
Üç anahtar için
Eğer q, q ve r üç anahtar söz konusu olsaydı, seri ve paralel bağlamalar
aşağıdaki biçimlerde yapılır:
1.Örnek: Aşağıdaki şekli verilen devreye karşılık gelen en basit devreyi
bulalım.
Devreye karşılık gelen bileşik önerme
𝒑 ∧ [ 𝒑 ∧ 𝒒 ∨ 𝒑′ ∧ 𝒒′ ∨ 𝒒 ]
Önerme işlemlerini uygulayarak sadeleşdirelim:
𝒑 ∧ 𝒑 ∧ 𝒒 ∨ 𝒑′ ∧ 𝒒′ ∨ 𝒒
≡ [𝒑 ∧ 𝒑 ∧ 𝒒 ] ∨ 𝒑 ∧ 𝒑′ ∧ 𝒒′ ∨ 𝒒
≡ 𝒑 ∧ 𝒑 ∧ 𝒒 ∨ [[𝒑 ∧ 𝒑′ ∧ 𝒒′ ] ∨ 𝒑 ∨ 𝒒 ]
≡ 𝒑 ∧ 𝒒 ∨ [ 𝒑 ∧ 𝒑′ ∧ 𝒒′ ∨ 𝒑 ∧ 𝒒 ]
≡ 𝒑 ∧ 𝒒 ∨ [ç ∨ 𝒑 ∧ 𝒒 ]
≡ 𝒑∧𝒒 ∨ 𝒑∧𝒒
≡ 𝒑∧𝒒
2. Örnek: A ≡ [(𝑞 ∨r’)⟹ 𝑞 ′ ⟺ 𝑟 ] ⟹ (𝑝 ∨ 𝑟) bileşik önermesini
sadeleşdirelim ve bunun yardımıyla bu önermeye karşılık gelen elektrik
devresine denk olan en ekonomik elektrik devresini cizelim.
𝒒′ ⟺ 𝒓 ≡ 𝒒′ ⟹ 𝒓 ∧ 𝒓 ⟹ 𝒒′
≡ 𝒒′ ′ ∨ 𝒓 ] ∧ 𝒓′ ∨ 𝒒′ ise
≡ 𝒒 ∨ 𝒓 ∧ 𝒓′ ∨ 𝒒′ olumsuz
≡ 𝒒 ∨ 𝒓 ∧ 𝒓′ ∨ 𝒒 ∨ 𝒓 ∧ 𝒒′ dağıtma
≡ 𝒒 ∧ 𝒓′ ∨ 𝐫 ∧ 𝐫 ′ ∨ 𝒒 ∧ 𝒒′ ∨ 𝒓 ∧ 𝒒′
ç𝐞𝐥𝐢ş𝐦𝐞
𝐫 ∧ 𝐫 ′ 𝐯𝐞 𝐪′ ∧ 𝐪
≡ 𝒒 ∧ 𝒓′ ∨ 𝒓 ∧ 𝒒′
𝐀 ≡ [(𝒒 ∨ 𝒓′)⟹ 𝒒′ ⟺ 𝒓 ] ⟹ (𝒑 ∨ 𝒓)
≡ 𝒒 ∨ 𝒓′ ′ ∨ 𝒒′ ⟺ 𝒓 ′ ∨ (𝒑 ∨ 𝒓)
≡ ( 𝒒 ∨ 𝒓′ ′ )′ ∧ 𝒒′ ⟺ 𝒓 ′ ∨ (𝒑 ∨ 𝒓)
≡ (𝒒 ∨ 𝒓′) ∧ ( 𝒒 ∧ 𝒓′ ∨ 𝒓 ∧ 𝒒′ )′ ∨ (𝒑 ∨ 𝒓)
≡ (𝒒 ∨ 𝒓′) ∧ ( 𝒒 ∧ 𝒓′ ′ ∧ 𝒓 ∧ 𝒒′ ′) ∨ (𝒑 ∨ 𝒓)
≡ 𝒒 ∧ 𝒓′ ′ ∧ ((𝒒 ∨ 𝒓′) ∧ 𝒓 ∧ 𝒒′ ′) ∨ (𝒑 ∨ 𝒓)
≡ 𝒒′ ∨ 𝒓 ∧ ((𝒒 ∨ 𝒓′) ∧ (𝒓′ ∨ 𝒒) ∨ (𝒑 ∨ 𝒓)
≡ 𝒒′ ∨ 𝒓 ∧ (𝒒 ∨ 𝒓′) ∨ (𝒑 ∨ 𝒓) dagytma
≡ 𝒒′ ∨ 𝒓 ∨ (𝒑 ∨ 𝒓) ∧ (𝒒 ∨ 𝒓′) ∨ (𝒑 ∨ 𝒓)
≡ 𝒒′ ∨ 𝒑 ∨ 𝒓) ∧ (𝒒 ∨ p) ∨ (𝒓′ ∨ 𝒓)
≡ 𝒒′ ∨ 𝒑 ∨ 𝒓) ∧ (𝒒 ∨ p) ∨ (𝒕𝒐𝒕𝒐𝒍𝒐𝒋𝒊)
≡ 𝒒′ ∨ 𝒑 ∨ 𝒓) ∧ 𝒕𝒐𝒕𝒐𝒍𝒐𝒋𝒊
≡ 𝒒′ ∨ 𝒑 ∨ 𝒓)
Download
Random flashcards
Merhaba

2 Cards oauth2_google_861773e1-0890-4522-834a-6a5babb58e76

KALPTE İLETİM NOKTALARI

3 Cards oauth2_google_cfd2531f-f18a-45fd-9d97-afe31596ce7b

Animasyon Temelleri

2 Cards selçuk

MD

2 Cards oauth2_google_ab2d7316-fd35-4eb7-aa09-752bd5f646b3

Create flashcards