doğal sđstemlerđn güç kanunu davranışı
advertisement
14. ULUSAL MAKĐNA TEORĐSĐ SEMPOZYUMU, UMTS2009 Orta Doğu Teknik Üniversitesi Kuzey Kıbrıs Kampusu, 2-4 Temmuz 2009 DOĞAL SĐSTEMLERĐN GÜÇ KANUNU DAVRANIŞI Barış Yıldız*, Serhan Özdemir** ve Belgin Ergenç* (*) Đzmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü, 35430 ĐZMĐR (**) Đzmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü, Makine Mühendisliği Bölümü, 35430 ĐZMĐR [email protected], [email protected], [email protected] ÖZET Bu yazıda doğal sistemlerin güç kanunu davranışı tartışılmıştır. Güç kanununa uyduğu bilinen iki örnek sistem sunulmuştur. Durum çalışması olarak da ECG verisi güç kanunu bakış açısıyla işlenmiştir. Hastaların ECG verisi sıklık etki alanında incelenmiştir. Sağlıklı kalbin ritim bozukluğu olan kalbin tersine belirli bir sıklık aralığında neredeyse sabit güç tayfına sahip olduğu görülmüştür. Sonuçlar ritim bozukluğu olan kabin güç kanunu ilişkisine sahip olduğunu göstermiştir. Anahtar Sözcükler: Kalp ritim bozukluğu, güç kanunu POWER-LAW BEHAVIOR OF NATURAL SYSTEMS ABSTRACT In this paper power-law behavior of natural systems is discussed. Two example systems known to have power-laws are presented. As a case study, ECG data is processed through a power law perspective. ECG data of patients are analyzed in frequency domain. It is seen that normal heart rhythm has a power spectra that remains almost constant through a frequency range, in contrast to the spectra of the ECGs of patients with arrhythmia. Results show that arrhythmic heart dynamics has a power-law relationship. Keywords: Arrhythmia, power-law 1. GĐRĐŞ Güç kanunu fonksiyonları birçok doğal sürecin ölçeklenme davranışının modellenmesinde kullanılmaktadır. Bu fonksiyonlar tek değişkenli polinomlardır ve ölçeklemeyle değişimsizlik özelliğini gösterir. Temelde güç kanunu fonksiyonları y=axk+ε (1) olarak verilir. Burada a ve k sabitlerdir. K ölçekleme katsayısı olarak bilinir. Güç kanunun en önemli özelliklerinden biri olan ölçeklemeyle değişimsizlik özelliğini aşağıdaki gibi örnekleyebiliriz. f(cx)=a(cx)k=ckf(x)~f(x) (2) Bu davranış eşitliğin her iki tarafının da logaritması alındığında doğrusal bir ilişki üretmektedir. Log-log grafiklerde düz bir çizgi ortaya çıkar ve bu genelde güç kanununun parmak izi olarak adlandırılır. Gelir dağılımı, aile soyadları, sözcüklerin kullanımı, şehirlerin nüfusu gibi birçok doğal olmayan ve biyolojik canlılarda soy tükenmesi, yangınlar, depremlerin büyüklüğü gibi birçok doğal olarak gerçekleşen olaylar güç kanunu dağılımına göre dağılmıştır. Bir sistemdeki bir niteliğin güç kanunu dağılışı güçsüz ya da küçük oluşumların sık olduğuna buna karşın güçlü ya da büyük oluşumların ise nadir gerçekleştiğine işaret eder [1-3]. Bazı karmaşık sistemlere kolay açıklamalar sağlamasından dolayı bu özellikteki sistemler hakkında araştırmalar gözde olmuştur. Kalbimiz de üzerine birçok çalışma yapılan karmaşık bir sistemdir. Bu çalışmada ise sağlıklı ve ritim bozukluğu olan kalp ECG’leri incelenmiştir. Bu bölümün ardından, 2. bölümde yangınlar ve depremler güç kanunu davranışları açısından sunularak durum çalışmamız için öngörü oluşturulmaya çalışılmıştır. Ardından, çalışmamızın sonuçları verilerek yazı sonlandırılmıştır. 2. GÜÇ KANUNU SĐSTEMLER DAVRANIŞLI Yazının bu kısmında yangınlardan ve depremlerden söz edilmektedir. Depremler daha fazla olmakla birlikte bu iki sistem bilim insanları arasında oldukça gözdedir. Bilim adamları bu iki sistemin güç kanununa uyduğunda hemfikirdir. Depremlerin büyüklüğü ve yangınlardaki kayıp ya da hasarın sıklığı güç kanununa göre dağılmıştır. 2.1. Yangınlar Genelde ısını etkisiyle bir madde ve oksijenin hızlı kimyasal tepkimesine ateş, zarara yol açan büyük ateşe ise yangın denir. Basitçe, yangınlar orman yangınları ve şehir yangınları olarak ikiye ayrılır. Orman yangınlarında hasar yanan alan ile ölçülürken, şehir yangınlarında hasar parasal hasar ya da insanlar üzerindeki etkisi gibi farklı biçimde ölçülür. Hem şehir yangınlarının hem de orman yangınlarının güç kanunu dağılışına sahip olduğu benimsenmiştir. Eğer orman yangınlarında yanan alan genişliği olarak ölçülürse sıklık genişlik dağılımı iyi bir güç kanunu sağlamaktadır [4]. Orman yangınlarının birçok büyüklükte mükemmel güç kanunu dağılımı gösterdiği [5]’te gösterilmiştir. ABD ve Avustralya’daki orman yangınlarının birikimli olmayan sıklık alan istatistikleri incelenmiştir. Sıklık alan istatistikleri ölçekleme katsayısı 1,3 ile 1,5 arasında değişen güç kanunu dağılımı vermektedir. 1986 ve 1995 arasında BD Fish ve Doğal Yaşam Servis Alanları’ndaki 4284 yangının güç kanunu dağılımı şekil 1 de gözlemlenebilmektedir. Şekil 1. Yangınların güç kanunu davranışı Kayıp açısından bakıldığında orman yangınlarından farklı olan şehir yangınları da güç kanunu dağılımına sahiptir. 1986 ile 1995 arasında Çin’deki şehir yangınlarının 2,1 ölçekleme katsayısıyla güç kanunu dağılımına uyduğu [4]’te gösterilmiştir. Çalışmada Anhui eyaleti ve ülkenin tamamı için benzer güç kanunu özellikleri ortaya çıkarılmıştır. Buradan yangınların değerlendirilen alan ölçeğinde değişimsizlik gösterdiği sonucuna varılabilir. Buna ek olarak değişik zaman aralıklarındaki güç kanunu ilişkisinin benzer olduğu [4]’te gösterilmiştir. Bu da şehir yangınlarının zaman ölçeğinde değişimsizliğe sahip olduğu sonucuna varılabilir. 2.2. Depremler Depremler yeryüzü plakalarının birbirine doğru hareketinden kaynaklanan stresin doğal olarak atılmasının yoludur. En gözde güç kanunu ilişkilerinden biri depremlerde gözlenmektedir. Yıllardır depremlerin küresel olarak Gutenberg-Richter (GR) ölçeklemesine uyduğu kabul edilir [5]. GR ölçeklemesi depremlerin sıklığının ve büyüklüğünün güç kanununa dağılımını belirtir [1,3]. Bir bölgede meydana gelen depremlerin oranı genel olarak GR sıklık büyüklük ilişkisini sağlar. log NCE=-bM+log a (3) Burada NCE, belirli bir alan ve zamanda M’den büyük depremlerin birikimli sayısıdır. a ve b sabitlerdir. Genelde b 0,8 ile 1,2 arasında değişir. a ise hesaba katılan alanın sismik düzeyinin ve alan genişliğinin ölçüsüdür [6]. 1980 ile 1994 yılları arasındaki Güney Kalifornia depremleri [5]’te incelenmiştir. Sonuçlar b=1,05 ve a=2,06x105 yıl-1 olacak şekilde GR güç kanunu ilişkisini göstermektedir. Buna ek olarak, şekil 2 de görüleceği gibi değişik zaman dilimlerinde (1980-1984, 1985-1989, 1990-1994) birbirine benzer güç kanunu ilişkisi elde edilmiştir. Buradan sismik olayların yıldan yıla düzenli dağıldığı ve zamanın fonksiyonu olmadığı sonucuna ulaşılabilir. elde edilmiştir ve 7680 ölçüm noktasına sahiptir. Ölçümler 60 saniye boyunca alınmıştır. Öncelikle, sağlıklı olduğu rapor edilen kişilerin ECG verisi incelenmiştir. Şekil 3’te elektriksel sinyalin zamanla değişimi verilmektedir. Şekil 4’te ise güç tayfı analizinin log-log çizimi verilmektedir. Burada x ekseni sıklık ve y ekseni desibel cinsinden gücü vermektedir. Grafiklerden de gözlemleneceği gibi sağlıklı kişilerin ECG verisi güç kanunu sergilememektedir. Şekil 3. Sağlıklı kişinin ECG verisinin zamanda grafiği Şekil 2. Depremlerin güç kanunu davranışı 3. DURUM ÇALIŞMASI: RĐTĐM BOZUKLUĞU OLAN ECG VERĐSĐNĐN ANALĐZĐ Temelde kalbin düzensiz atışına ritim bozukluğu (arrhythmia) denir. Kalbin yavaş veya hızlı atışlarını içermektedir. Çoğu durumda ritim bozukluğu çok zararlı değildir ancak yaşamsal organlara yeterli kan sağlanmadığında zarar verici olabilir. Kalp yukarıdan aşağıya hareket eden elektriksel bir pompadır. Kalpteki bu elektriksel işaretin dağıtımındaki bir sorun düzensiz atışa neden olabilir [7]. Çalışmamızda 8 kişinin [8,9]’dan elde edilen ECG verisi incelenmiştir. Bu 8 kişiden 3’ü sağlıklı ve 5’i ritim bozukluğuna sahip olarak bildirilmiştir. Ritim bozukluğu gözlenen ECG verisi 360 Hz de alınmıştır ve toplamda 21800 ölçüm noktası içermektedir. Sağlıklı Kişilerden alınan ECG verisi ise 128 Hz de Şekil 4. Sağlıklı kişinin ECG verisnin güç tayfında log-log grafiği Sağlıklı kişilerin verisinin incelenmesinin ardından ritim bozukluğuna sahip olduğu rapor edilmiş kişilerin ECG verisi incelenmiştir. Şekil 5’te zamana karşı elektriksel değişimin çizimi veriliştir. Şekil 6’da güç tayfı analizinin log-log çizimi verilmektedir. Burada x ekseninde sıklık ve y ekseninde güç verilmektedir. 5 hastanın tamamının ECG verisi güç kanunu sergilemektedir. Güç kanunu dağılımının parmak izi olarak bilinen doğrusal çizgi şekil 6’da görülebilmektedir. Ritim bozukluğundaki güç kanunu dağılımları 1,7 ile 2,0 arasında değişen ölçekleme katsayısına sahiptir. Đlginç olan bir sonuç da ritim bozukluğu olan kalp verisinin güç kanunun ölçeklemeyle değişimsizlik özelliğini sağlamasıdır. Şekil 7 de toplamda 21800 ölçüm noktasına sahip verinin ilk 1000 ölçüm değerleri alınarak yapılan güç tayfı analizin sonucu verilmiştir. Burada güç kanunu ilişkisinin bütün ölçümlerle yapılan analizdeki ilişkiye benzerliği açıkça görülmektedir. Şekil 5. Ritim bozukluğu olan kişinin ECG verisinin zamanda grafiği Şekil 6. Ritim bozukluğu olan kişinin ECG verisinin güç tayfında log-log grafiği Şekil 7. Ritim bozukluğu olan kişinin ECG verisinin ilk 1000 ölçüm noktası için güç tayfında log-log grafiği 4. SONUÇ Bu yazıda sağlıklı ve ritim bozukluğuna sahip ECG verisi çalışması verilmiştir. Güç kanunu ilişkisi, bu özelliğe sahip olduğu kabul edilen iki doğal olay örnek verilerek açıklanmıştır. Durum çalışması, ritim bozukluğuna sahip kalbi, yangın ve deprem dinamikleriyle ilişkilendirebileceğimiz sonuçlar ortaya koymuştur. Buna karşın sağlıklı kalp güç kanunu ilişkisi göstermemiştir. Depremler, yangınlar ve ritim bozukluğuna sahip kalpte ortak olabilecek noktanın ne olduğunun bulunması araştırılmaya değer bir konu olarak gözükmektedir. Buna bir yaklaşım ritim bozukluğu olan kalpte büyüklüğü sıklığa ters orantılı birçok ufak deprem meydana geldiği olabilir. Bu konuda ortak bir kanı olmamasına karşın genelde güç kanunu davranışı gösteren sistem “Self-Organized Criticality” olarak bilinen kavramla ilişkilendirilmektedir. Daha önceki çalışmada ise ritim bozukluğu olan kalbin yalnız güç kanunu davranışı üzerinde durulmaktadır [10]. Örnek olarak kalbi depremlerle ilişkilendirdiğimizde ise şu yorum yapılabilir. Ufak depremlerin sık büyük depremlerin seyrek olması biriken gerilimin kısa zamanda atılması ve sonuçta daha az zarar vermesi anlamına gelir. Sürekli ufak depremlerin olmadığı bir durum düşünüldüğünde biriken gerilimin bir anda atılmasının daha zarar verici olacağı açıktır. Bu durumda ritim bozukluğu olan insanlarda kalbin kendini daha büyük bir sorundan koruma mekanizması olduğu öne sürülebilir. Bu bağlamda ritim bozukluğu olan kişilerde kalp krizi görülme olasılığının araştırılması ileriye yönelik bir çalışma olarak görülmektedir. KAYNAKÇA 1. 2. 3. 4. Bak, P., How Nature Works, Springer-Verlag, New York, 1996 Boccara, N., Modeling Complex Systems, Springer-Verlag, New York, 2004 Jensen, H.J., Self-Organized Criticality, Cambridge University Press, Cambridge, 1998 Song, W.G., Zhang, H.P., Chen, T., Fan, W.C., “Power-law distribution of city fires”, Fire Safety Journal, Elsevier, 2003, 453-465 5. Malamud, B.D., Turcotte, D.J., “Cellular-Automata Models Applied to Natural Hazards”, Computing in Science & Engineering, IEEE, 2000, 42-51 6. Turcotte, D.J., Malamud, B.D., “Landslides, forest fires, and earthquakes: example of selforganized critical behavior”, Physca A, Elsevier, 2004, 580-589 7. How the Heart Works, http://www.nhlbi.nih.gov/health/dci/Diseases/hhw/hhw_whatis.html, National Heart Lung and Blood Institute, Mart 2009 8. The MIT-BIH Arrhythmia Database, http://www.physionet.org/physiobank/database/mitdb/, National Institutes of Health, Ocak 2009 9. The MIT-BIH Normal Sinus Rhythm Database, http://www.physionet.org/physiobank/database/nsrdb/, National Institutes of Health, Ocak 2009 10. Luo, S., Urrusti, J.L., Tompkins, W.J., “ECG Arrhythmia Analysis Based on Inverse Power-law Spectra”, Engineering in Medicine and Biology Society, 1993. Proceedings of the 15th Annual International Conference of the IEEE,1993, 798-799, 28-31 Ekim 1993
