fibonacci sayı dizisi - İnteraktif Matematik

MATEMATİK
YARIŞMASINA
HOŞGELDİNİZ
Okullarda Matematik
Öğretildiği Sürece Dualar
da Devam Edecektir.
Cokie Roberts
SORU 1
f 3  2  5x  2
x
2
ve
f 1  a   29
olduğuna göre, a değerini bulunuz.
CEVAP:
47
Doğanın muazzam
kitabının dili matematiktir.
Galileo
?
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
? 21, 34, 55, … ?
?
SORU 2
R’de tanımlı f ve g fonksiyonları için
f  x   2x  3 ,
f
g  x   2 x  11 ise, g  x   ?
CEVAP: x  7
FİBONACCİ SAYI DİZİSİ
• Elinizde bir papatya var ve siz de
“seviyor, sevmiyor“ yapmaya mı
niyetleniyorsunuz? Bir matematikçiye
soracak olursanız emin olun size
“seviyor” ile başlamanız öğütleyecektir,
çünkü bu öğüt, 13. yüzyılda yaşamış
Leonardo Fibonacci’nin bulduğu
Fibonacci sayılarıyla çok yakından
ilişkilidir.
SORU 3
3x  4
f  x 
x2
fonksiyonunun tanım ve değer kümesini bulunuz.
CEVAP:
R  2 
 R  3
PEKİ FİBONACCİ KİMDİR?
• Orta çağın en büyük matematikçilerinden biri
olarak kabul edilen Fibonacci İtalya'nın ünlü
Pisa şehrinde doğmuştur. Çocukluğu
babasının çalıştığı Cezayir'de geçmiştir. İlk
matematik eğitimini Müslüman bilim
adamlarından almış ve İslam aleminin
kitaplarını incelemiş ve çalışmıştır. Avrupa'da
Roma rakamları kullanılırken ve sıfır kavramı
ortalarda yokken Leonarda Arap rakamlarını
ve sıfırı öğrenmiştir.
SORU 4
Reel sayılarda tanımlı xy  x  y  3
işlemi veriliyor.
3’ün ∆ işlemine göre tersini bulunuz.
CEVAP:
3
FİBONACCİ KİMDİR?
• Leonardo Fibonacci, 1202 yılında
yazdığı “Liber Abaci” adlı
matematik kitabıyla her ne kadar
Avrupa’nın Hint-Arap sayı sistemi
(1,2,3….) ile tanışmasını
sağlamış olsa da asıl ününü
kitabında değindiği Fibonacci sayı
dizisiyle kazanmıştır.
SORU 5
Tamsayılar kümesi üzerinde, xy  2 x  y  5
şeklinde tanımlanıyor. a 6  3a ise a kaçtır?
CEVAP:
4
FİBONACCİNİN ÜNLÜ SORUSU
• Gelelim Fibonacci'nin ünlü sorusuna..
"Bir çift yavru tavşan( bir erkek ve bir dişi)
var. Bir ay sonra bu yavrular erginleşiyor..
Erginleşen her çift tavşan bir ay sonra bir
çift yavru doğuruyorlar. Her yavru tavşan
bir ay sonra erginleşiyorlar. Hiç bir
tavşanın ölmediğini ve her dişi tavşanın bir
erkek bir dişi yavru doğurduğunu
varsayalım. Bir yıl sonra kaç tane
tavşan olur?"
SORU 6
k
k
k
, b
,c
k  0 olduğuna göre, a 
14
12
13
ise a, b, c’ yi küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
CEVAP:
a<b<c
ÜNLÜ SORUMUZUN CEVABI:
•
•
•
•
İlk ayın sonunda, sadece bir çift vardır.
İkinci ayın sonunda dişi bir çift yavru
doğurur, ve elimizde 2 çift tavşan vardır.
Üçüncü ayın sonunda, ilk dişimiz bir çift
yavru doğurur, 3 çift tavşanımız olur.
Dördüncü ayın sonunda,ilk dişimiz yeni
bir çift yavru daha doğurur, iki ay önce
doğan dişi de bir çift yavru doğurur ve 5
çift tavşanımız vardır.
• Bu şekilde devam ederek şu diziyi
elde ederiz: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,
34, 55,89, 144
SORU 7
x  3  x  1
 2 ise, çözüm kümesini bulunuz.
x3
CEVAP:
9/4
FİBONACCİ SAYI DİZİSİ
• Bu dizideki her sayı (ilk ikisi dışında)
kendinden evvel gelen iki sayının
toplamına eşittir.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
• Peki, bu diziyi böylesine ilginç kılan nedir?
Bunu 3 ayrı nedene bağlayabiliriz.
SORU 8
A
x
2
49
x
A’nın en büyük değeri kaçtır?
CEVAP: 330
1.
• İlk olarak dizinin küçük üyelerinin doğada,
beklenmedik yerlerde karşımıza
çıkmasıdır.; bitkiler, böcekler, çiçekler vb.
şeylerle ilgili olarak.
SORU 9
6 7 12
1 2 5
ise,  
A  
7 9 17
7 9 17
ifadesinin A cinsinden değeri nedir?
CEVAP: 3  A
2.
• İkinci neden, oranların limit değeri olan
0,618033989 sayısının çok önemli bir sayı
olmasıdır. ALTIN ORAN diye adlandırılan
bu sayı Leonardo da Vinci'nin
resimlerinden eski Yunan tapınaklarına
kadar bir çok sanat eserinde ve doğada
karşımıza çıkan bir sayıdır.
3.
• Üçüncüsü ise sayılar
teorisinde beklenmedik
biçimde farklı bir çok kullanımı
olmasıdır.
SORU 10
k 1
2
 , k   8 , m  1 ise,  k , m   ?
CEVAP:
(2,3)
FİBONACCİ SAYI DİZİSİ VE
ÇİÇEKLER
• Bir çok çiçeğin taç yaprak sayısı
Fibonacci sayısıdır.
• 3 taç yapraklı bitkiler: Zambak, İris
• 5 taç yapraklı bitkiler: Düğün Çiçeği, Yabani gül, Hezaren
Çiçeği
• 8 taç yapraklı bitkiler: Delphinium
• 13 taç yapraklı bitkiler: Kanaryaotu, Kadife Çiçeği,
Cineraria
• 21 taç yapraklı bitkiler: Hindiba, Yıldız çiçeği
• 34 taç yapraklı bitkiler: Bir çeşit muz bitkisi, Pirekapan
SORU 11
48 doğal sayısı 2 tabanına göre yazıldığında kaç
basamaklı bir sayı elde edilir?
CEVAP:
17
SORU 12
x ve y doğal sayılardır. 34!  6  y
x
eşitliğinde x’in en büyük değeri kaçtır?
CEVAP:
15
SORU 13
4,36 1013  6, 4 1012 işleminin sonucu kaçtır?
3, 28 10 9  17, 2 10 10
CEVAP:
10 22
FİBONACCİ SAYI DİZİSİ VE
BİTKİLER
• Eğer bir bitkiyi dikkatle incelerseniz
fark edersiniz ki, yapraklar hiç bir
yaprak alttaki yaprağı kapamayacak
şekilde dizilmiştir. Bu da demektir ki,
her bir yaprak güneş ışığını eşit bir
şekilde paylaşıyor ve yağmur
damlaları bitkinin her bir yaprağına
değebiliyor.
SORU 14
1, 22  2,33  3, 44  ?
CEVAP: 7
FİBONACCİ SAYI DİZİSİ VE
BİTKİLER
• Eğer yapraklardan biri başlangıç noktası
olarak alınırsa ve bundan başlayarak,
aşağıya ya da yukarıya doğru,
başlangıç noktasının tam üstünde veya
altında bir yaprak buluncaya kadar
yapraklar sayılırsa bulunan yaprak
sayısı farklı bitkiler için değişik olacaktır
ama her zaman bir Fibonacci sayısıdır.
SORU 15
1
1
1 
2
2
1 1
 1
2 2
işleminin sonucunu bulunuz.
CEVAP:
0
FİBONACCİ SAYI DİZİSİ VE BİTKİLER
• Başlangıç noktası olarak 1
numaralı yaprağı alırsak,
kendisiyle aynı yönde bir başka
yaprakla karşılaşabilmemiz için
3 defa saat yönünde dönüş
yapmamız gerekir ve bu esnada
5 tane yaprak sayarız. Eğer bu
dönüşü saat yönünün tersine
yaparsak 2 tane dönüş
gerekecektir. Ve 2, 3, 5 ardışık
fibonacci sayılarıdır.
SORU 16
9! 10!
sayısının en büyük asal böleni kaçtır?
CEVAP: 11
FİBONACCİ SAYI DİZİSİ VE BİTKİLER
• Yandaki resimde yer
alan dalı incelediğimizde
ise 8 yaprak üstünden
geçtiğimizde 5 tane saat
yönünde dönüş yaparız.
Saat yönünün ters
istikametinde ise bu
dönüş sayısı 3 olacaktır.
3, 5, 8 ise ardışık
Fibonacci sayılarıdır.
SORU 17
1999
2006
sayısının birler basamağındaki rakamı kaçtır?
CEVAP:
1
Kozalaklar ve bir çok değişik
bitki türü fibonacci sayılarını
çok açık bir şekilde
gösterirler.
SORU 18
x2 5
ise, x’in alabileceği değerler toplamını bulunuz.
CEVAP:
4
1 $ = 100 c
= (10 c)^2
= (0.1 $)^2
= 0.01 $
= 1c
SORU 19
a   3

3 2
,
3 
b3
2
ve
c  3

2 4
ise, a, b ve c’yi küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
CEVAP: a<c<b
3² + 4² = 5²
10² + 11² + 12² = 13² + 14²
21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27²
36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44²
.
.
.
SORU 20
1
3

1 3 2
işleminin sonucu kaçtır?
CEVAP: -0,5
İnsan, payı kendisi,
paydası ise olduğunu
zannettiği olan bir kesir
gibidir.
Payda ne kadar büyükse,
kesrin değeri o ölçüde
küçüktür.
Tolstoy
SORU 1
Bir oduncu 16 metre boyundaki bir
kütüğü 5 eşit parçaya bölmek için 16
dakikalık zaman harcamıştır. Aynı
boydaki başka bir kütüğü 3 eşit parçaya
bölmek için kaç dakika zaman harcar?
CEVAP: 8
1+2+34-5+67-8+9=100
12+3-4+5+67+8+9=100
123-4-5-6-7+8-9=100
123+4-5+67-89=100
123+45-67+8-9=100
123-45-67+89=100
12-3-4+5-6+7+89=100
12+3+4+5-6-7+89=100
1+23-4+5+6+78-9=100
1+23-4+56+7+8+9=100
1+2+3-4+5+6+78+9=100
SORU 2
…4…4…4…=6
Boşlukları Matematiksel İşlem İle Tamamlayınız.
CEVAP:
4 4 4 6
Herhangi ciddi bir
amaca erişmede,
zeka, ancak çok
önemsiz bir tanrı
vergisidir.
G. H. Hardy
Matematikçiler yaşlanınca
ölmezler, sadece bir takım
fonksiyonlarını kaybederler.
8 NİYE YOK Kİ?
12345679 x 9
= 111111111
12345679 x 18 = 222222222
12345679 x 27 = 333333333
12345679 x 36 = 444444444
12345679 x 45 = 555555555
12345679 x 54 = 666666666
12345679 x 63 = 777777777
12345679 x 72 = 888888888
12345679 x 81 = 999999999
12345679 x 999999999 = 12345678987654321
SORU 3
Aşağıda verilen rakamları bir kez kullanınız.
Dört işlem harici işlem kullanmayınız.
(Parantez serbest)
2, 5, 8 ve 9 kullanarak 19 elde ediniz.
CEVAP: (5 - 2) x 9 – 8 = 19
10 çeşit insan vardır.
İkilik sayı düzenini
anlayanlar ve
anlamayanlar.
Bütün kuralların
istisnaları vardır.
SORU 4
Bir işçi, 1 m x 1 m x 1 m boyutlarındaki bir
çukuru 3 saatte kazabiliyor. Aynı işçi, 2 m x
2 m x 2 m boyutlarındaki bir çukuru kaç
saatte kazabilir?
CEVAP:
24
Matematikte karşılaştığınız
güçlükler için endişe
etmeyin.
Emin olun benim
karşılaştıklarım sizinkilerden
daha büyüktür.
Albert Einstein
Pi = 3,141592653589793238
462643383279502884197169
399375105820974944592307
816406286208998628034825
342117067982148086513282
306647093844609550582231
725359408128481117450284
1027.....
SORU 5
Bir avcı otobüse binmek ister. Yalnız,
otobüse boyutları en fazla 1mt. olan
eşyalar alınmaktadır. Avcının tüfeği ise 1,5
mt.dir. Tüfeğin şeklini bozmamak şartı ile
otobüse nasıl biner?
CEVAP:
Avcı tüfeğini boyutları 1 mt. olan bir kutuya
koyar. Küpün en uzak iki köşesinin uzunluğu, yaklaşık 1.73
mt. dir.
SORU 6
3 ve 4 sayı tabanı olmak üzere,
1100 3   ab 4
ise,
ab
toplamı kaçtır?
CEVAP: 3
SORU 7
abc
ise,
olmak üzere,
abc
 abc 3   cab 3   abac 3
toplamı kaçtır?
CEVAP: 3
SORU 8
365 günlük bir yıldaki Cumartesi ve Pazar
günleri sayısının toplamı en çok kaçtır?
CEVAP: 105
SORU 9
x iki basamaklı bir doğal sayı için, x  2  mod3
ve x  2  mod5 olduğuna göre, x’in en büyük
ve en küçük değerlerinin toplamı kaçtır?
CEVAP: 109
SORU 10
14  14
 32 olduğuna göre, a kaçtır?
a
a
a
a
7 7 7 7
a
a
CEVAP: 6
SORU 11
2
x
x<0 olduğuna göre,
x
işleminin sonucu kaçtır?
CEVAP: -1
SORU 12
Ortak katlarının en küçüğü 30 olan farklı iki
sayının toplamı en çok kaçtır?
CEVAP: 45