ELEKTROMANYETİK DALGALAR DERSİ 2015

DERS İÇERİĞİNE GENEL BAKIŞ
ELEKTROMANYETİK DALGALAR DERSİ
2015-2016 YAZ DÖNEMİ
Yrd. Doç. Dr. Seyit Ahmet Sis
[email protected] ,
MMF 7. kat, ODA No: 3,
Dahili: 5703
1
DERS İÇERİĞİNE GENEL BAKIŞ
Ders İçeriği : Vektörel işlemlerin hatırlatmasıyla başlanıp, elektrostatik
ve magnetostatikin temel teorem ve eşitlikerinden bahsedilecek, daha
sonra dersin tamamına yakınında elektrodinamik konuları işlenecektir.
Bu bağlamda işlenmesi planlanan konular: Maxwell denklemleri,
düzlemsel dalgalar (plane waves), Dalgaların farklı ortamlara arasında
yayılımında davranışları (örn. yansıma, kırımla ...), Işıma ve antenler
(sadece temelleri verilecek, spesifik antenlere girilmeyecek)
Ders Kaynakları:
1) Fawwaz Ulaby,Eric Michielssen and Umberto Ravaioli “Fundamentals of Applied
Electromagnetics” 5th or 6th edition.
2) Schaum’s ‘Elektromanyetik’, 2. baskıdan çeviri
3) David Cheng, “Fieild and Wave Electromagnetics” (Türkçeside mevcuttur)
4) Davif J. Griffiths “Introduction to Electrodnamics”
• Vize % 40, Final % 60
2
DERS İÇERİĞİNE GENEL BAKIŞ
1. Ders
2. Ders
3. Ders
4. Ders
5. Ders
6. Ders
Vektör analizi, elektrostatik temellerinin kabaca tekrarı
7. Ders
8. Ders
9. Ders
10. Ders
11. Ders
12. Ders
13. Ders
3
VEKTÖR ANALİZİ
• Elektrik ve Manyetik alanlar vektörel büyüklüklerdir
• Bu bağlamda lisans düzeyinde hâli hazırda verilmiş olan vektör
analizi üzerinden kısaca geçmenin faydası vardır
Vektörün Matematiksel İfadesi
Birim Vektör (Unit Vector)
4
VEKTÖR ANALİZİ
x,y ve z kordinatları, baz vektörü
olarak isimlendirilen,
birim vektörleriyle gösterilirler
Ax, Ay ve Az A
vektörünün izdüşümleridir !
5
VEKTÖR ANALİZİ
VEKTÖRÜN BOYU:
BİRİM VEKTÖR: A vektörünün yönünü gösteren boyu 1
birim olan vektör:
Dolayısıyla, kartezyen kordinatlarda tanımlanan bu A
vektörü kendi birim vektörüyle aşağıdaki gibi de gösterilir.
6
VEKTÖR ANALİZİ
VEKTÖR TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ
7
VEKTÖR ANALİZİ
VEKTORLERDE ÇARPMA İŞLEMLERİ
BASİT ÇARPMA İŞLEMİ,
SKALAR ÇARPMA İŞLEMİ,
VEKTÖREL ÇARPMA İŞLEMİ
BASİT ÇARPMA İŞLEMİ
Bir vektörün bir skalarla çarpımıdır:
k pozitif ve 1 den büyük
A
kA
Vektörün boyu k kadar artar, yönü ise
k pozitif ise A yönündedir. k negatif
ise – A yönündedir.
8
VEKTÖR ANALİZİ
VECTORLERDE ÇARPMA İŞLEMLERİ
SKALAR ÇARPMA İŞLEMİ (NOKTA ÇARPIMI)
Geometrik
manada
skalar
çarpım: vektörlerden birinin
İki vektörün aynı bileşenlerinin genliklerinin
genliği ile diğer vektörün bu
çarpılıp toplanmasıdır. Çarpım sonucu bir vektör
vektör üzerine iz düşmü
değil skalar bir büyüklüktür. Bu nedenle 2 tane
büyüklüğünün çarpımıdır.
vektör çarpımı olsada bu işleme skalar çarpım
denmektedir
9
VEKTÖR ANALİZİ
VECTORLERDE ÇARPMA İŞLEMLERİ
VEKTÖREL ÇARPMA İŞLEMİ (ÇAPRAZ ÇARPIM)
DOLAYISIYLA
Geometrik manada: Çarpımın sonucu, yönü
iki çarpan vektörün olduğu düzleme dikolan
ve genliğide, bu iki çarpan vektörün
oluşturduğü paralel kenarın eşit olan bir
vektördür.
Yada :
NOT: Çarpımın sonucu yine bir vektördür. Bu
yüzden buna vektörel çarpım denir
Sağ el
kuralıyla yönü
bulabiliriz!
10
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
• Elektromanyetikte fiziksel nitelikler (örn E, H) zamana ve konuma bağlı büyüklüklerdir.
Değişim yönleride birim vektörler vasıtasıyla gösterilir.
• Uzayda bir konumun yerini, yada bir vektörel büyüklüğün (örn E ve H) yönünü 3 boyutlu
kordinat sistemlerini kullanarak tanımlarız.
KORDİNAT SİSTEMLERİ
Ortagonal Kordinat Sistemleri
• Bütün kordinatlar birbirine dik
• EM problemlerin çözümünde
sıklıkla kullanılır
• 3 tür ortagonal kordinat sistemi
vardır:
• Kartezyen kordinat sistemi
• Silindirik kordinat sistemi
• Küresel kordinat sistemi
Ortagonal Olmayan Kordinat Sistemleri
• Kordinatların kimisi birbirine dik olmayabilir
• Çok özel durumlarda kullanılır ve nadiren
pratik problemlerin çözümüyle ilgilidir.
11
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
KARTEZYEN KORDİNAT SİSTEMİ
Birim kordinatlar x, y ve z ile gösterilirler.
diferansiyel uzunluk
diferansiyel alan
Diferansiyel hacim
12
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
SİLİNDİRK KORDİNAT SİSTEMİ
Silindirk kordinatlarda bir vektör aşağıdaki gibi gösterilir:
yönlerindeki bileşenlerdir
Diferansiyel uzunluk, diferansiyel yüzey ve diferansiyel hacim:
13
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
SİLİNDİRK KORDİNAT SİSTEMİ
ÖRN: Aşağıdaki matematiksel ifadeyle belirlenen silindirik yüzeyin alanını bulunuz !
CEVAP:
Görüldüğü üzere bahsedilen alanı bulmak için aldığımız
integral silindirik kordinatlarda alınmıştır. Aynı alanı
kartezyen kordinatlarda integralini alarak bulmak oldukça
zordur ! Dolayısıyla, problemin türüne göre en uygun
kordinat sisteminin seçilip işlem yapılması gerekmektedir.
14
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
SİLİNDİRK KORDİNAT SİSTEMİ
ÖRN:
Aşağıdaki A vektörünün birim vektörünü bulunuz !
15
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
KÜRESEL KORDİNAT SİSTEMİ
• Herhangibir nokta R, q ve f değişkenleriyle gösterilir.
• Birim vektörler, yada diğer bir deyişle baz vektörler
ve
Aşağıdaki kurala uyarlar:
Bir vektör aşağıdaki şekilde ifade edilir:
16
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
KÜRESEL KORDİNAT SİSTEMİ
17
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
KÜRESEL KORDİNAT SİSTEMİ
ÖRN: Yarıçapı 2 cm olan bir kürenin içindeki yük yoğunluğu
dur.
Bu kürenin içerisindeki toplam yükü bulunuz.
CEVAP:
18
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ ÖZETİ
19
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
DEL OPERATÖRÜ
• Del operatörü, yada kimi yerde Nabla operatörü olarak da bilinir, bir vektörel kısmi türev
operatörüdür.
• Kendisi bir vektördür
• Diğer vektörel yada skalar büyüklüklere uygulanır.
• Sembolü
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİNDE DEL OPERATÖRÜ AŞAĞIDAKİ GİBİDİR
Kartezyen
Silindirik
Küresel
20
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
GRADYAN (GRADIENT)
•
Del operatörü bir skalar büyüklüğe (fonksiyona) basit çarpım şeklinde uygulanır ve sonucu
bir vektörel büyüklüktür.
Gradyan, yada DEL operatörü:
Bir T (x,y,z) skalar fonksiyonuna uygulandığında:
21
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
DİVERJANS (DIVERGENCE)
• Diverjans DEL operatörünün bir vektörle noktasal çarpımıdır. İki vektörün noktasal çarpımı
skalar büuükül olduğu için, divejansın sonucu skalardır.
ROTASYON (CURL)
•
Rotasyon DEL operatörüyle bir vektörün çapraz çarpımıdır. Sonuç yine vektörel bir
büyüklüktür.
22
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
DEL OPERATÖRÜNÜN İŞLEMLERİ
23
ORTAGONAL KORDİNAT SİSTEMLERİ
VEKTÖR ANALİZİ, OPERATÖRLER VE KORDİNAT SİSTEMLERİ İLE İLGİLİ BAZI ÖDEVLER
1) Yarı çapı 5 cm olan, ve z= -3 cm den z= 3 cm ye uzana silindirin alanını silindirik
kordinatlarda integralini alarak bulunuz ! NOT: Silindirin hacim formülünü kullanarak
yapmayınız. Silindirik kordinatlarda integrali alarak yapınız!
2) Aşağıda kartezyen, silindirik ve küresel kordinatlarda birim vektörlerin birbirleri ile çapraz
çarpımları verilmektedir. Bu çarpımların doğruluğunu önceki slaytlarda gördüğümüz (slayt 10)
çapraz çarpımın sonucunun yönünü sağ el kuralıyla tayin edebileceğimizi görmüştük. Aşağıdaki
birim vektör çarpımlarının doğruluğunu kağıt üzerine çizerek sağ el kuralını düşünerek
gözleyiniz !
kartezyen
küresel
silindirik
3) Aşağıdaki fonksiyonunun gradyenti, diverjansı yada rotasyonundan hangisi alınabilir.
Yapılabilen işlemi yapınız !
24
ELEKTROSTATİK
ELEKTROSTATİK
(ZAMANLA DEĞİŞMEYEN ELEKTRİK ALAN)
HATIRLATMA !
25
ELEKTROSTATİK
COULOMB KUVVETİ
• Aralarında r mesafesi olan q1 ve q2 yüklerinin birbirlerine uyguladıkları kuvvet. Gerçek
manada, yani mekaniksel olarak bu yükler birbirlerini iter yada çeker. Elektrostatikte sabit
yükler üzerinden hesaplamalar yapılır. Bu yüzde Elektrostatik denmektedir. Haraketli
yüklerinde itme çekme kuvveti vardır. Fakat bunların incelemesi elektrostatik içerisinde değil
ilerleyen kısımlarda elektromanyetik de açıklanacaktır.
(Newton)
ELEKTRİK ALAN
• Bir q yükünün oluşturduğu elektrik alan (E) ise, o q yükünün 1 C luk birim yüke uyguladığı
Coulomb kuvvetidir. Yani elektrik alan dediğimiz şey Coulomb kuvvetinin özel hali gibidir.
X1
Bir q yükünden dolayı 1 C luk bir yüke
uygulana Coulomb kuvvetidir !
26
ELEKTROSTATİK
ELEKTRİK ALAN
İKİ YÜK
TEK YÜK
q yükünün oluşturduğu elektrik alan vektörleri gösterilmektedir !
27
ELEKTROSTATİK
ELEKTRİK ALAN
Birden fazla yükün bir noktada oluşturduğu Elektrik Alan (E)
En genel halde:
28
ELEKTROSTATİK
ELEKTRİK ALAN
Sürekli dağılımlı yüklerin bir noktada oluşturduğu Elektrik Alan (E)
• Sürekli dağılımlı en genel haldeki diferansiyel
yük yoğunluğunun (dq) bir noktada
oluşturduğu diferansiyel elektrik alan (dE)
• Hacimsel yük yoğunluğu ile ilgileniyorsak:
• Verilen hacimdeki toplam yükün bahsedilen
noktada oluşturduğu elektrik alan:
29
ELEKTROSTATİK
ELEKTRİK ALAN
Sürekli dağılımlı yüklerin bir noktada oluşturduğu Elektrik Alan (E)
• Yüzey yada çizgisel yük yoğunluğu olan yük
kaynaklarından bahsediyorsak:
Deplasman Vektörü (Displacement Vector, D)
30
ELEKTROSTATİK
ELEKTRİK ALAN
D = εE = ε0 εrE
Malzemenin
özelliği !
Gauss Yasası İntegral Formu
Kapalı bir hacimin içerisindeki toplam yük
Hacimin yüzeyi
Toplam Yük= Q C
Yük yoğunluğu ise= ρv C/m3
(birim hacimdeki yük)
Gauss Yasası Diferansiyel Formu
31
ELEKTROSTATİK
ELEKTRİK ALAN
32
ELEKTROSTATİK
ELEKTRİK ALAN
33
ELEKTROSTATİK
Gauss Yasası Diferansiyel Formu
Gauss Yasası İntegral Formu
34