( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) )y ( ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 7

Fonksiyonel Denklemler
Muharrem Şahin
1. R’de tanımlı, türevlenebilir bir f fonksi-
Çözüm
yonu her x, y reel sayısı için,
x’e göre türev alalım:
f  x  y   f  x   y2  3y  2xy
f x  y   f x   2 y
bağıntısını sağladığına göre f2  kaçtır?
x  0 ve y  1 koyalım.
f 1  f 0   2 ve f 0   5 ise f 1  7
2. R’de tanımlı, türevlenebilir bir f fonksi-
bulunur.
yonu her x, y reel sayısı için,
f x  y   f x   f y   2xy
6. R’de tanımlı, türevlenebilir bir f fonksi-
bağıntısını sağlamaktadır.
yonu her x, y reel sayısı için,
f 0   5 olduğuna göre f1 kaçtır?
f x  y   f x   y 2  3y  2xy
bağıntısını sağlamaktadır.

f 0   2 olduğuna göre y  f x  kuralını
3. R ’dan R’ye tanımlı türevlenebilir bir f
fonksiyonu tanım kümesindeki her x, y
reel sayısı için,
bulunuz.
f x   f y   f x   f y   f x  y 
Çözüm
bağıntısını sağlamaktadır.
y’ye göre türev alalım:
f 1  1 olduğuna göre f4  kaçtır?
f  x  y   f  x   y2  3y  2xy
Türevi, eşitliğin solundaki 2. terimi ortadan kaldırarak bir tek türev ifadesi elde
etmek için, y’ye göre alıyoruz. “Türevi
y’ye göre alıyoruz.” demekle, “y’yi fonksiyonu serbest değişkeni, x’i de bir sabit
sayıyoruz.” demiş oluyoruz.
bağıntısını sağladığına göre f2  kaçtır?
f x  y   2y  3  2 x
4. R’de tanımlı, türevlenebilir bir f fonksiyonu her x, y reel sayısı için,
y  0 koyalım.
f x   2 x  3 ise f x   x 2  3x  k ve
Çözüm
f 0   2 olup f x   x 2  3x  2 bulunur.
y’ye göre türev alalım:
f x  y   2y  3  2 x
7. R’de tanımlı, türevlenebilir bir f fonksi-
Bu eşitlik her x, y reel sayısı için geçerlidir.
yonu her x, y reel sayısı için,
x ve y yerine, x  y  2 olacak biçimde iste-
f x  y   f x   f y   2xy
nilen her reel sayı değeri konulabilir.
bağıntısını sağlamaktadır.
Biz, x  2 ve y  0 koyalım.
f 0   3
f 2   7 bulunur.
kuralını bulunuz.
olduğuna
göre
Çözüm
5. R’de tanımlı, türevlenebilir bir f fonksi-
x  y  0 koyalım.
yonu her x, y reel sayısı için,
f 0   2  f 0  ise f 0   0 bulunur.
f x  y   f x   f y   2xy
x’e göre türev alalım:
bağıntısını sağlamaktadır.
f x  y   f x   2 y
f 0   5 olduğuna göre f1 kaçtır?
olur.
1
y  f x 
Fonksiyonel Denklemler
Muharrem Şahin
y  0 koyalım:
x  0 ve y  x koyalım:
x  f x   x  0   f x   f 0   f x   0
f x   f 0   2 x ve f 0   3 olup
 f x   0 bulunur.
f x   2 x  3 ve f x   x 2  3x  k
Her k reel sayısı için
bulunur.
x  f x   k  f x  yazılabilir.
f 0   0 olduğundan
10. Gerçek sayılarda tanımlı f ve g fonksi-
f x   x 2  3x olur.
yonları her x ve y reel sayısı için,
f x  gy   2 y  y  8
8. R  dan R’ye tanımlı türevlenebilir bir f
bağıntısını sağlamaktadır.
fonksiyonu tanım kümesindeki her x, y
reel sayısı için,
Buna göre;
a. gx  f y  ifadesini x ve y türünden
f x   f y   f x   f y   f x  y 
yazınız.
bağıntısını sağlamaktadır.
b. f 1  3 ise g1 değerini bulunuz.
f 1  1 olduğuna göre f4  kaçtır?
Çözüm
Çözüm
a.
y  x koyalım.
f x  gy   2 x  y  8 (1)
İki tarafın x’e göre türevini alalım:
f x   f x   2  f x   f 2 x  olup
f x  gy   2 olur.
f x   2  f 2 x  ya da f x   0 olur.
x  gy   t dersek,
f 1  1 verildiğinden, f x   0 olmaz.
f t   2  f t   2t  k bulunur. (2)
f x   2  f 2 x  ise, x’e göre türev alınarak
f x   4  f 2 x  bulunur.
t  x  gy  koyarsak,
f 1  4  f 2  ,
 f x  gy   2x  2gy   k olur. (3)
f 2   4  f 4  olup
(1) ve (3)’ten,
f 4   1/ 16 bulunur.
gy   1/ 2  y  4  k / 2
f x  gy   2x  gy   k
ve y yerine x  f y  koyarsak,
9. Reel sayılarda tanımlı, bir f fonksiyonu
gx  f y   1/ 2  x  2 y  k   4  k  2
her x, y reel sayısı için,
 gx  f y   1/ 2  x  y  4 bulunur.
x  y   f x  y   x  f y   y  f x 
bağıntısını sağlamaktadır.
x  f x  ifadesini fx  türünden yazınız.
b.
f t   2t  k olduğunu bulmuştuk.
f 1  3 ise k  1 olur.
Çözüm
gy   1/ 2  y  4  k / 2 bulmuştuk.
x  y   f x  y   x  f y   y  fx 
y  1 ve k  1 konursa, g1  4 bulunur.
eşitliği y  0 için de sağlanacaktır.
2