Document

İKİ DEĞİŞKENLİ q − BERNSTEIN POLİNOMLARININ KING TİPLİ
GENELLEŞMELERİNİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
Hüseyin Erhan ALTIN
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
HAZİRAN 2010
ANKARA
Hüseyin Erhan ALTIN tarafından hazırlanan İKİ DEĞİŞKENLİ q − BERNSTEIN
POLİNOMLARININ
KING
TİPLİ
GENELLEŞMELERİNİN
YAKLAŞIM
ÖZELLİKLERİ adlı bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak uygun olduğunu onaylarım.
Doç. Dr. Ogün DOĞRU
……………………………….
Tez Danışmanı, Matematik Anabilim Dalı
Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında Yüksek
Lisans tezi olarak kabul edilmiştir.
Doç. Dr. Oktay DUMAN
……………………………….
Matematik Anabilim Dalı, TOBB Üniversitesi
Doç. Dr. Ogün DOĞRU
……………………………….
Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi
Yrd. Doç. Dr. Ülkü DİNLEMEZ
……………………………….
Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi
Tarih : 24 / 06 / 2010
Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini
onamıştır.
Prof. Dr. Bilal TOKLU
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
……………………………….
TEZ BİLDİRİMİ
Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde
edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu
çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf
yapıldığını bildiririm.
Hüseyin Erhan ALTIN
iv
İKİ DEĞİŞKENLİ q − BERNSTEIN POLİNOMLARININ KING TİPLİ
GENELLEŞMELERİNİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
(Yüksek Lisans Tezi)
Hüseyin Erhan ALTIN
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Haziran 2010
ÖZET
Bu tez 6 bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde lineer pozitif operatör
dizisinin tanımı verilmiş ve temel özellikleri elde edilmiştir. Ayrıca Korovkin
teoremi ve ispatı verilmiştir. İkinci bölümde q − Bernstein polinomlarının
tanımı verilmiş, Korovkin teoremi yardımıyla yaklaşım özellikleri incelenmiştir.
Üçüncü bölümde süreklilik modülü ve Peetre-K fonksiyoneli yardımıyla
q − Bernstein polinomlarının f fonksiyonuna yaklaşım hızının tahmini yer
almaktadır. Ayrıca,
f
nin konveks bir fonksiyon olması durumunda
q − Bernstein polinomlarının monotonluk özellikleri incelenmiştir. Son olarak
q − Bernstein polinomlarının
f
fonksiyonuna yaklaşım hızının tahmini
Lipschitz sınıfındaki fonksiyonlar için de elde edilmiştir. Dördüncü bölümde
q − Bernstein polinomlarının King tipli genelleşmeleri elde edilmiş ve King tipli
q − Bernstein polinomu için üçüncü bölümde incelenen yaklaşımlar elde
edilmiştir.
v
Beşinci bölümde Volkov teoremi ifade ve ispat edilmiş daha sonra iki değişkenli
q − Bernstein polinomlarının tanımı verilerek Volkov teoremi yardımıyla
yaklaşım özellikleri incelenmiştir. Altıncı bölümde iki değişkenli King tipli
q − Bernstein polinomlarının tanımı verilerek Volkov teoremi yardımıyla
yaklaşım özellikleri incelenmiştir.
Bilim Kodu
: 204.1.138
Anahtar Kelimeler : Lineer pozitif operatörler, Korovkin tipli teoremler,
Bernstein polinomları, q-serileri, q-Bernstein polinomları,
Süreklilik modülü, Peetre-K fonksiyoneli
Sayfa Adedi
: 86
Tez Danışmanı
: Doç. Dr. Ogün DOĞRU
vi
APPROXIMATION PROPORTIES OF KING TYPE GENERALIZATIONS
OF BIVARIATE q − BERNSTEIN POLYNOMIALS
(M.Sc. Thesis)
Hüseyin Erhan ALTIN
GAZI UNIVERSITY
INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
June 2010
ABSTRACT
This master thesis consist of six chapters. In the first chapter, some definitions
of a sequence of linear positive operators are given and their fundamental
properties are obtained. The Korovkin theorem and its prof is also given. In the
second chapter, definition of q − Bernstein polynomials is given and its
approximation properties are obtained with the help of Korovkin theorem. The
third chapter is devoted to the estimation of order of approximation of the
q − Bernstein polynomials to the function f
with the help of modulus of
continutiy and K- functionals of Peetre. Also, the monotoncity properties of
q − Bernstein polynomials are investigated when f
is a convex function.
Moreover, the estimation of speed of approximation of the q − Bernstein
polynomials to the function f is obtained for the functions in Lipschitz class. In
the fourth chapter, King type generalizations of q − Bernstein polynomials are
introduced and the approximation properties of these polynomials are obtained
like third chapter.
vii
In the fifth chapter, the Volkov theorem is given, then the definition of bivariate
q − Bernstein poliynomials is given and their approximation properties are
examined with the help of Volkov theorem. In the last chapter, King type
bivariate generalizations of q − Bernstein polynomials are introduced and their
aproximation properties are studied with the help of Volkov theorem.
Science Code
Key Words
Page Number
Adviser
: 204.1.138
: Linear positive operators, Korovkin type theorems,
Bernstein polynomials, q- series, q-Bernstein polynomials,
modulus of continuity, Peetre-K functionals
: 86
: Assoc. Prof. Dr. Ogün DOĞRU
viii
TEŞEKKÜR
Bu çalışma konusunu bana veren ve çalışmalarımın her aşamasında yakın ilgi ve
önerileriyle beni yönlendiren saygıdeğer hocam, Sayın Doç. Dr. Ogün DOĞRU ‘ya
en içten saygı ve teşekkürlerimi sunarım.
ix
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET .......................................................................................................................... iv
ABSTRACT................................................................................................................ vi
TEŞEKKÜR.............................................................................................................. viii
İÇİNDEKİLER ........................................................................................................... ix
SİMGELER VE KISALTMALAR............................................................................. xi
1. GİRİŞ ....................................................................................................................... 1
2. q − BERNSTEIN POLİNOMLARININ YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ................. 9
2.1 q − Bernstein Polinomları .................................................................................. 9
2.2 q − Bernstein Polinomlarının Düzgün Yakınsaklığı ........................................ 10
3. q − BERNSTEIN POLİNOMLARININ YAKLAŞIM HIZI................................. 20
3.1 Süreklilik Modülü ............................................................................................ 20
3.2 q − Bernstein Polinomlarının Süreklilik Modülü ile Yaklaşım Hızı ............... 24
3.3 q − Bernstein Polinomlarının Peetre-K Fonksiyoneli ile Yaklaşım Hızı......... 29
3.4 q − Bernstein Polinomlarının Lipschitz Sınıfındaki Fonksiyonlar ile
Yaklaşım Hızı .................................................................................................. 40
4. q − BERNSTEIN POLİNOMLARININ KING TİPLİ GENELLEŞMESİ
VE YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ ......................................................................... 45
4.1 q − Bernstein Polinomlarının King Tipli Genelleşmesi.................................. 45
4.2 King Tipli q − Bernstein Polinomlarının Süreklilik Modülü ile
Yaklaşım Hızı .................................................................................................. 50
4.3 . King Tipli q − Bernstein Polinomlarının Peetre-K Fonksiyoneli
ile Yaklaşım Hızı............................................................................................ 57
x
Sayfa
4.4 King Tipli q − Bernstein Polinomlarının Lipschitz Sınıfındaki
Fonksiyonlar ile Yaklaşım Hızı ....................................................................... 61
5. İKİ DEĞİŞKENLİ q − BERNSTEIN POLİNOMLARININ YAKLAŞIM
ÖZELLİKLERİ ...................................................................................................... 66
6. İKİ DEĞİŞKENLİ KING TİPLİ q − BERNSTEIN POLİNOMLARININ
YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ................................................................................ 78
KAYNAKLAR .......................................................................................................... 85
ÖZGEÇMİŞ ............................................................................................................... 86
xi
SİMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalışmada kullanılmış simgeler açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur.
Simgeler
Açıklama
An ( f ; x )
n ∈ ` olmak üzere bir operatör dizisi
Bn ( f ;q; x )
q − Bernstein polinomları
C
Komplex sayılar cümlesi
C [ a,b ]
[ a,b]
aralığında tanımlı ve sürekli tüm reel fonksiyonların
uzayı
C 2 [ a,b ]
g ,g ′,g ′′ ∈ C [ a,b ] olan fonksiyon uzayı
gn ( x )
n ∈ ` olmak üzere bir fonksiyon dizisi
gn ( x )
→
g ( x)
→
K ( f ;δ )
{ g n } fonksiyon dizisi
g fonksiyonuna düzgün yakınsar
f fonksiyonunun Peetre-K fonksiyoneli
LipM (α )
Lipschitz sınıfı fonksiyonlar
ϕn ,k ( x )
k-yıncı merkezi moment
ω ( f ;δ )
.
.
C [ a ,b ]
C 2 [ a ,b ]
f fonksiyonunun süreklilik modülü
C [ a,b ] uzayında .
g
C 2 [ a ,b ]
= g
C [ a ,b ]
C [ a ,b ]
= maks . ile tanımlı norm
a ≤ x ≤b
+ g ′ C[a ,b] + g ′′ C[ a ,b] ile tanımlı norm
1
1. GİRİŞ
Bu bölümde lineer pozitif operatörler ve sağladığı temel özellikler incelenecektir ve
sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı tanımlar verilecektir. Ayrıca Korovkin
teoremi ifade ve ispat edilecektir.
Temel Kavramlar
1.1 Tanım
Lineer normlu fonksiyon uzayları üzerinde tanımlı dönüşümlere operatör denir.
1.2 Tanım
U ve V fonksiyon uzayları olmak üzere
A :U → V
şeklindeki A operatörünü göz önüne alalım. Eğer her f , g ∈ U ve her α , β ∈ \ için
A (α f + β g ) = α A ( f ) + β A ( g )
koşulu sağlanıyor ise A operatörüne lineer operatör denir.
1.3 Tanım
g bir fonksiyon ve A bir operatör olmak üzere
g ≥ 0 iken A ( g ) ≥ 0
sağlanıyor ise A operatörüne pozitif operatör denir.
2
1.1 Lemma
Lineer pozitif operatörler monoton artandır. Yani
g ≤ f ⇒ L(g) ≤ L( f )
eşitsizliği sağlanır.
İspat
g ≤ f olsun. f − g ≥ 0 olacağından ve L operatörü pozitif olduğundan
L( f − g) ≥ 0
elde edilir. L operatörü lineer olduğundan
L( f − g) = L( f ) − L(g)
olup Eş. 1.1 den ispat tamamlanır.
1.2 Lemma
L bir lineer pozitif operatör ise
L(g) ≤ L( g )
sağlanır.
(1.1)
3
İspat
Herhangi bir g fonksiyonu için
−g ≤g≤ g
(1.2)
gerçeklenir. Lemma 1.1 ve Eş. 1.2 den
L (− g ) ≤ L( g ) ≤ L( g )
(1.3)
bulunur. L lineer olduğundan
L ( − g ) = −L ( g )
dir. Bu ifadenin Eş. 1.3 de kullanılmasıyla
−L ( g ) ≤ L ( g ) ≤ L ( g )
elde edilir. Böylece ispat tamamlanır.
1.4 Tanım
Kapalı bir [ a, b ] aralığı üzerinde tanımlı ve sürekli tüm reel değerli fonksiyonlardan
oluşan kümeye C [ a, b ] fonksiyon uzayı denir. Bu uzaydaki norm g ∈ C [ a,b ] olmak
üzere
g
C [ a ,b ]
= maks g ( x )
a ≤ x ≤b
şeklinde tanımlanır.
4
1.5 Tanım
n ∈ ` olmak üzere g n : D ⊂ \ → \ şeklinde tanımlanan
( gn )
dizisine fonksiyon
dizisi denir.
1.6 Tanım
n ∈ ` olmak üzere An : X → Y , An ( f ; x ) = ( An ( f ) ) ( x ) şeklinde tanımlanan ( An )
dizisine operatör dizisi denir.
1.7 Tanım
Her x ∈ [ a, b ] için
lim g n − g = lim maks g n ( x ) − g ( x ) = 0
n →∞
n →∞ a ≤ x ≤b
koşulu sağlanıyorsa
( gn )
fonksiyonlar dizisi g fonksiyonuna C [ a, b ] normunda
düzgün yakınsaktır denir. Bu
gn ( x )
→
→
g ( x)
ile gösterilir.
1.8 Tanım
(
)
ϕn , s ( x ) = Ln ( t − x ) ; x , {s = 0,1, 2,...}
s
(1.4)
5
ile tanımlanan ifadelere
( Ln )
operatör dizisinin s-yinci merkezi momentleri denir
[Lorentz, 1953].
1.1 Teorem (P.P. Korovkin 1953)
f ∈ C [ a, b ] ve tüm reel eksende
f ( x) ≤ M f
(1.5)
olsun. Eğer ( Ln ) lineer pozitif operatör dizisi, her x ∈ [ a, b ] için
i.
Ln (1, x )
→
1
→
ii.
Ln ( t , x )
→
iii.
Ln ( t 2 , x )
→
x
→ 2
x
→
koşullarını sağlıyorsa bu durumda her f ∈ C [ a, b ] için [ a, b ] de Ln ( f ; x )
→
f ( x)
→
dir.
İspat
Kabul edelim ki, f ∈ C [ a, b ] olsun. Sürekli fonksiyonların tanımından her pozitif ε
sayısına karşılık öyle bir δ bulabiliriz ki, t − x ≤ δ için
f (t ) − f ( x ) < ε
6
olur. Eş. 1.5 ve üçgen eşitsizliğinden
f ( t ) − f ( x ) ≤ f ( t ) + f ( x ) ≤ 2M f
t−x
yazabiliriz. Eğer, t − x > δ ise
(t − x )
δ2
δ
(1.6)
> 1 olacağından
2
>1
(1.7)
olur. Eş. 1.6 ve Eş. 1.7 den
f ( t ) − f ( x ) ≤ 2M f
(t − x )
2
δ2
yazabiliriz. O halde
t − x ≤ δ için f ( t ) − f ( x ) < ε
t − x > δ için f ( t ) − f ( x ) ≤ 2 M f
(t − x )
2
δ2
olur. Dolayısıyla her x, t ∈ [ a, b ] için
f ( t ) − f ( x ) < ε + 2M f
(t − x )
2
δ2
gerçeklenir. (i), (ii), (iii) koşullarını sağlayan ( Ln ) operatör dizisinin
lim Ln ( f ) − f
n →∞
C [ a ,b ]
=0
(1.8)
7
eşitliğini sağladığını gösterirsek ispat tamamlanmış olur. Şimdi bunu gösterelim.
Ln ( f ( t ) ; x ) − f ( x ) = Ln ( f ( t ) ; x ) − f ( x ) + Ln ( f ( x ) ; x ) − Ln ( f ( x ) ; x )
= Ln ( f ( t ) ; x ) − Ln ( f ( x ) ; x ) + Ln ( f ( x ) ; x ) − f ( x )
= Ln ( f ( t ) − f ( x ) ; x ) + f ( x ) ( Ln (1; x ) − 1)
yazılabilir. Üçgen eşitsizliğinden
Ln ( f ( t ) ; x ) − f ( x ) ≤ Ln ( f ( t ) − f ( x ) ; x ) + f ( x ) Ln (1; x ) − 1
yazılabilir. Lemma 1.2 den
(
)
(
)
Ln ( f ( t ) ; x ) − f ( x ) ≤ Ln f ( t ) − f ( x ) ; x + f ( x ) Ln (1; x ) − 1
olup, Eş. 1.5 den
Ln ( f ( t ) ; x ) − f ( x ) ≤ Ln f ( t ) − f ( x ) ; x + M f Ln (1; x ) − 1
yazabiliriz. ( Ln ) monoton artan olduğundan Eş. 1.8 den
Mf
⎛
⎞
2
Ln ( f ( t ) ; x ) − f ( x ) ≤ Ln ⎜ ε + 2 2 ( t − x ) ; x ⎟ + M f Ln (1; x ) − 1
δ
⎝
⎠
olur. Diğer taraftan ( Ln ) lineer olduğundan
M
⎛
⎞
⎛ M
⎞
2
2
Ln ⎜ ε + 2 2f ( t − x ) ; x ⎟ = Ln ( ε ; x ) + Ln ⎜ 2 2f ( t − x ) ; x ⎟
δ
⎝
⎠
⎝ δ
⎠
M
= ε Ln (1; x ) + 2 2f Ln ( t 2 − 2 xt + x 2 ; x )
δ
(1.9)
8
= ε Ln (1; x ) + 2
Mf
δ2
{L ( t ; x ) − x
2
2
− x2 + 2 x2
2
+ 2 x2
n
−2 xLn ( t ; x ) + x 2 Ln (1; x )}
= ε Ln (1; x ) + 2
Mf
δ
2
{L ( t ; x ) − x
2
n
−2 xLn ( t ; x ) + x 2 Ln (1; x ) − x 2 }
= ε Ln (1; x ) + 2
Mf
δ
2
{( L (t ; x ) − x )
2
2
n
}
+2 x ( x − Ln ( t ; x ) ) + x 2 ( Ln (1; x ) − 1)
yazabiliriz. Bu son ifadeyi Eş. 1.9 da kullanacak olursak
Ln ( f ( t ) ; x ) − f ( x ) ≤ ε Ln (1; x ) + 2
Mf
δ
2
{( L (t ; x ) − x )
2
2
n
}
+2 x ( x − Ln ( t ; x ) ) + x 2 ( Ln (1; x ) − 1)
+ M f ( Ln (1; x ) − 1)
elde edilir. (i), (ii), (iii) koşullarını Eş. 1.10 da kullanırsak
{
}
Ln ( f ) − f = lim maks Ln ( f ; x ) − f ( x ) = 0
n →∞
a ≤ x ≤b
olur. Böylece ispat tamamlanır.
(1.10)
9
2. q − BERNSTEIN POLİNOMLARININ YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
Bu bölümde q − Bernstein polinomları tanıtılarak Korovkin teoremi yardımıyla
yaklaşım özellikleri incelenecektir.
2.1. q − Bernstein Polinomları
2.1 Tanım
Kabul edelim ki; x ∈ [ 0,1] , f ∈ C [ 0,1] ve 0 < q < 1 olsun.
n
⎛ [ k ]q
Bn ( f ; q; x ) = ∑ f ⎜
⎜ [ n]
k =0
⎝ q
n − k −1
⎞ ⎡n⎤
⎟ ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x )
⎟ ⎣k ⎦ q
s =0
⎠
(2.1)
ifadesine q − Bernstein polinomu denir [Philips, 1996]. Burada
[ k ]q
[ k ]q !
⎡n⎤
⎢k ⎥
⎣ ⎦q
⎧ (1 − q k )
⎪
, q ≠1
= ⎨ (1 − q )
⎪
, q =1
⎩k
,
⎪⎧[ k ] [ k − 1]q ...[1]q , k = 1, 2,...
,
= ⎨ q
, k =0
⎪⎩1
[ n]q !
=
( n ≥ k ≥ 0)
[ k ]q ![ n − k ]q !
şeklindedir [Andrews, Askey and Roy, 1999].
10
2.2. q − Bernstein Polinomlarının Düzgün Yakınsaklığı
2.1 Teorem
Eş. 2.1 ile verilen q − Bernstein polinomları için aşağıdaki eşitlikler sağlanır [Philips,
1996].
i.
Bn (1; q; x ) = 1
ii.
Bn ( t ; q; x ) = x
iii.
Bn ( t 2 ; q; x ) = x 2 +
x (1 − x )
[ n]q
İspat
i. Sonlu binom teoreminden
n
⎛n⎞
n
+
=
x
y
(
) ∑ ⎜ ⎟ x k y n−k
k =0 ⎝ k ⎠
dir. Burada
⎛n⎞
n!
⎜ ⎟=
⎝ k ⎠ k !( n − k ) !
dir. Şimdi bir q paremetresi kullanarak kabul edelim ki
yx = qxy , xq = qx ,
yq = qy
⎡n⎤
olsun. Bu durumda ⎢ ⎥ , q − Binom katsayıları olmak üzere
⎣k ⎦ q
11
( x + y)
n
n
⎡n⎤
= ∑ ⎢ ⎥ x k y n−k
k =0 ⎣ k ⎦ q
olarak tanımlayalım. Bu eşitlikte y yerine 1 − x alalım.
n
⎡n⎤
n
n−k
x
x
1
+
−
=
(
) ∑ ⎢ ⎥ x k (1 − x ) = 1n = 1
k =0 ⎣ k ⎦ q
elde ederiz. Ayrıca
( x + xy )
n
= x n (1 + y )(1 + qy ) ... (1 + q n −1 y )
dir. Şimdi bunları ispatlayalım.
( x + xy )
n
= ( x + xy ) ... ( x + xy )( x + xy )( x + xy )
= x (1 + y ) ...x (1 + y ) x (1 + y ) x (1 + y )
= x (1 + y ) ...x (1 + y ) x ( x + yx )(1 + y )
= x (1 + y ) ...x (1 + y ) x ( x + qxy )(1 + y )
= x (1 + y ) ...x (1 + y ) x ( x + xqy )(1 + y )
= x (1 + y ) ...x (1 + y ) x 2 (1 + qy )(1 + y )
= x (1 + y ) ...x ( x + yx ) x (1 + qy )(1 + y )
= x (1 + y ) ...x ( x + qxy ) x (1 + qy )(1 + y )
= x (1 + y ) ...x ( x + xqy ) x (1 + qy )(1 + y )
= x (1 + y ) ...x 2 (1 + qy ) x (1 + qy )(1 + y )
= x (1 + y ) ...x 2 ( x + qyx )(1 + qy )(1 + y )
= x (1 + y ) ...x 2 ( x + qqxy )(1 + qy )(1 + y )
= x (1 + y ) ...x 2 ( x + qxqy )(1 + qy )(1 + y )
= x (1 + y ) ...x 2 ( x + xqqy )(1 + qy )(1 + y )
12
= x (1 + y ) ...x3 (1 + q 2 y ) (1 + qy )(1 + y )
...
= x n (1 + q n −1 y ) ... (1 + q 2 y ) (1 + qy )(1 + y )
şeklindedir.
( x + xy )
n
= x n (1 + y )(1 + qy ) ... (1 + q n −1 y )
ifadesinde y yerine − x yazılırsa
(x − x )
= x n (1 − x )(1 − qx ) ... (1 − q n −1 x )
2 n
x n (1 − x )
n
=
x n (1 − x )(1 − qx ) ... (1 − q n −1 x )
elde edilir. Burada da n yerine n − k alınırsa
(1 − x )
n−k
=
(1 − x )
n−k
=
(1 − x )(1 − qx ) ... (1 − q n −k −1 x )
n − k −1
∏ (1 − q x )
s
s =0
bulunur. Bu sonuç
( x +1− x)
n
n
⎡n⎤
n−k
= ∑ ⎢ ⎥ x k (1 − x ) = 1
k =0 ⎣ k ⎦ q
ifadesinde kullanılırsa
n
⎡n⎤
∑ ⎢k ⎥
k =0
⎣ ⎦q
xk
n − k −1
∏ (1 − q x ) = 1
s =0
s
13
olur. Dolayısıyla
n − k −1
[ n]q !
x k ∏ (1 − q s x ) = 1
k = 0 [ n − k ]q ![ k ]q !
s =0
n
Bn (1; q; x ) = ∑
(2.2)
bulunur.
ii.
[ k ]q ⎡ n ⎤ k n −k −1
x ∏ (1 − q s x )
⎢
⎥
k =1 [ n ]q ⎣ k ⎦ q
s =0
n − k −1
n [k ]
[ n]q !
x k ∏ (1 − q s x )
=∑ q
k =1 [ n ]q [ n − k ]q ![ k ]q !
s =0
n − k −1
n
[ n − 1]q !
x k ∏ (1 − q s x )
=∑
k =1 [ n − k ]q ![ k − 1]q !
s =0
n
Bn ( t ; q; x ) = ∑
k → k +1
n−k −2
[ n − 1]q !
x k +1 ∏ (1 − q s x )
k = 0 [ n − k − 1]q ![ k ]q !
s =0
n −1
=∑
n −1 n − 1
⎡
⎤ k n−k −2
x ∏ (1 − q s x )
= x∑ ⎢
⎥
k =0 ⎣ k ⎦ q
s =0
=x
elde edilir. Yani
Bn ( t ; q; x ) = x
(2.3)
olur.
iii.
[ k ]q ⎡ n ⎤ k n−k −1
Bn ( t ; q; x ) = ∑
x ∏ (1 − q s x )
2 ⎢ ⎥
k =0 [ n]
s =0
⎣k ⎦ q
q
2
n
2
14
n − k −1
[ k ]q [ k ]q
[ n]q !
x k ∏ (1 − q s x )
k =1 [ n ]q [ n ]q [ n − k ]q ![ k ]q !
s =0
n − k −1
n [k ]
[ n − 1]q !
x k ∏ (1 − q s x )
=∑ q
k =1 [ n ]q [ n − k ]q ![ k − 1]q !
s =0
n − k −1
n q [ k − 1] + 1
[ n − 1]q !
q
x k ∏ (1 − q s x )
=∑
[ n]q [ n − k ]q ![ k − 1]q ! s =0
k =1
n − k −1
n q [ k − 1]
[ n − 1]q !
q
x k ∏ (1 − q s x )
=∑
[ n]q [ n − k ]q ![ k − 1]q ! s =0
k =2
n − k −1
n
[ n − 1]q !
1
x k ∏ (1 − q s x )
+∑
k =1 [ n ]q [ n − k ]q ![ k − 1]q !
s =0
n − k −1
n q [ k − 1]
[ n − 2]q ![ n − 1]q
q
=∑
x k ∏ (1 − q s x )
[ n]q [ n − k ]q ![ k − 2]q ![ k − 1]q s =0
k =2
n − k −1
n
[ n − 1]q !
1
+∑
x k ∏ (1 − q s x )
k =1 [ n ]q [ n − k ]q ![ k − 1]q !
s =0
n − k −1
q [ n − 1]q n
[ n − 2]q !
k
=
x
(1 − q s x )
∏
−
!
−
2
!
n
k
k
[ n]q ∑
[
]
[
]
k =2
s =0
q
q
n
=∑
k →k + 2
+
=
1
[ n]q
n − k −1
[ n − 1]q !
k
1− qs x)
x
(
∑
∏
k =1 [ n − k ]q ![ k − 1]q !
s =0
n
q [ n − 1]q
[ n]q
k → k +1
n−2
[ n − 2]q !
n − k −3
∑ [ n − k − 2] ![ k ] ! x ∏ (1 − q x )
k =0
q
k +2
q
s =0
n−k −2
[ n − 1]q !
k +1
x
1− qs x)
(
∑
∏
k = 0 [ n − k − 1]q ![ k ]q !
s =0
q [ n − 1]q 2 n − 2 ⎡ n − 2 ⎤ k n − k −3
=
x ∑⎢
x ∏ (1 − q s x )
⎥
[ n]q
k =0 ⎣ k ⎦ q
s =0
=
n −1
+
1
[ n]q
+
1 n −1 ⎡ n − 1⎤ k n − k − 2
s
x∑ ⎢
⎥ x ∏ (1 − q x )
k
n
[ ]q k =0 ⎣ ⎦ q s =0
q [ n − 1]q
x2 +
1
x
[ n]q
[ n]q
[ n] − 1 2 1
= q
x +
x
[ n]q
[ n]q
s
15
⎛
1 ⎞ 2
x
⎟x +
= ⎜1 −
⎜ [ n] ⎟
[ n]q
q ⎠
⎝
x2
x
= x2 −
+
[ n]q [ n]q
= x2 +
x (1 − x )
[ n]q
Bn ( t 2 ; q; x ) = x 2 +
x (1 − x )
[ n]q
dir. Yani
(2.4)
olur.
Bunların bir sonucu olarak aşağıdaki teorem verilebilir.
2.2 Teorem
Eğer 0 < qn < 1 ve lim qn = 1 , lim qnn = c
n →∞
n →∞
(c ≠ 1) sağlanıyor ise Bn ( f ; qn ; x )
q − Bernstein polinomları [ 0,1] aralığında sürekli ve tüm \ de sınırlı f ≤ M f
koşulunu sağlayan f fonksiyonuna düzgün yakınsar. Yani f ∈ C [ 0,1] ise
Bn ( f ; qn ; x )
→
f ( x)
→
gerçeklenir [Philips, 1996].
İspat
Bu teoremin sağlanabilmesi için Bn ( f ; q; x ) in lineer ve pozitif olduğunu göstermek
16
yeterlidir.
Lineerlik:
∀a, b ∈ \ ve f , g ∈ C [ 0,1] için
n ⎛
Bn ( af ( t ) + bg ( t ) ; q; x ) = ∑ ⎜ af
k =0 ⎜
⎝
⎛ [ k ]q
⎜
⎜ [n]
⎝ q
n
⎛ [ k ]q
= ∑ ( af ) ⎜
⎜ [n]
k =0
⎝ q
⎞
⎛ [k ]
⎟ + bg ⎜ q
⎟
⎜ [n]
⎠
⎝ q
n − k −1
⎞ ⎡n⎤
⎟ ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x )
⎟ ⎣k ⎦ q
s =0
⎠
n
⎛ [k ]
+ ∑ ( bg ) ⎜ q
⎜ [ n]
k =0
⎝ q
n
⎛ [k ]
= a∑ f ⎜ q
⎜ [ n]
k =0
⎝ q
n − k −1
⎞ ⎞ ⎡n⎤
⎟ ⎟ ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x )
⎟ ⎟ ⎣k ⎦ q
s =0
⎠⎠
n − k −1
⎞ ⎡n⎤
⎟ ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x )
⎟ ⎣k ⎦ q
s =0
⎠
n − k −1
⎞ ⎡n⎤
⎟ ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x )
⎟ ⎣k ⎦ q
s =0
⎠
n − k −1
n
⎛ [ k ]q ⎞ ⎡ n ⎤
⎟ ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x )
+ b∑ g ⎜
⎜ [ n] ⎟ ⎣ k ⎦ q
k =0
s =0
⎝ q⎠
= aBn ( f ( t ) ; q; x ) + bBn ( g ( t ) ; q; x )
olduğundan ( Bn ) lineer bir operatördür.
Pozitiflik:
k = 0,1,..., n ∈ ` ve x ∈ [ 0,1] için
⎡ n ⎤ k n − k −1
s
⎢ k ⎥ x ∏ (1 − q x ) ≥ 0
s =0
⎣ ⎦q
olduğundan f ≥ 0 ise
17
Bn ( f ; q; x ) ≥ 0
olur. Yani, Bn ( f ; q; x ) pozitif bir operatördür.
⎛ 1⎞
Teorem 2.2 nin koşullarını sağlayan qn dizisine örnek olarak qn = ⎜ 1 − ⎟ dizisini
⎝ n⎠
verebiliriz. Burada 0 < qn < 1 olup
n
⎛ 1⎞
lim q = lim ⎜1 − ⎟ = e−1 ve e−1 = c , c ≠ 1 dir.
n →∞
n →∞
⎝ n⎠
n
n
2.3 Teorem
q − Bernstein polinomları için merkezi momentlerin ilk üçü
ϕn ,0 ( x ) = 1
ϕn ,1 ( x ) = 0
ϕn ,2 ( x ) =
(2.5)
x (1 − x )
[ n]q
şeklindedir.
İspat
(
)
Bn ( t − x ) ; q; x = Bn (1; q; x )
0
olduğundan Eş. 2.2 den
ϕn ,0 ( x ) = 1
(2.6)
18
dir.
n − k −1
n ⎛ [k ]
⎞ ⎡n⎤
Bn ( ( t − x ) ; q; x ) = ∑ ⎜ q − x ⎟ ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x )
⎟ ⎣k ⎦ q
k = 0 ⎜ [ n ]q
s =0
⎝
⎠
n − k −1
n − k −1
n [k ]
n
⎡n⎤
⎡n⎤
= ∑ q ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x ) − ∑ ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x )
k = 0 [ n ]q ⎣ k ⎦ q
k =0 ⎣ k ⎦ q
s =0
s =0
= Bn ( t ; q; x ) − xBn (1; q; x )
yazılabilir. Eş. 2.2 ve Eş.2.3 den
Bn ( ( t − x ) ; q; x ) = x − x
olduğundan
ϕn ,1 ( x ) = 0
dır.
n − k −1
⎛ [k ]
⎞ ⎡n⎤
Bn ( t − x ) ; q; x = ∑ ⎜ q − x ⎟ ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x )
⎟ ⎣k ⎦ q
k = 0 ⎜ [ n ]q
s =0
⎝
⎠
(
2
)
2
n
[ k ] ⎡ n ⎤ n−k −1
= ∑ q 2 ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x )
k =0 [ n ]
s =0
⎣k ⎦ q
q
n − k −1
n [k ]
⎡n⎤
− 2 x ∑ q ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x )
k = 0 [ n ]q ⎣ k ⎦ q
s =0
n
2
n − k −1
n
⎡n⎤
+ x 2 ∑ ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x )
k =0 ⎣ k ⎦ q
s =0
= Bn ( t 2 ; q; x ) − 2 x.x + x 2 Bn (1; q; x )
olup Eş. 2.2 , Eş. 2.3 ve Eş.2.4 den
19
(
)
Bn ( t − x ) ; q; x = x 2 +
2
x (1 − x )
− 2 x2 + x2
n
[ ]q
olduğundan
ϕn ,2 ( x ) =
x (1 − x )
[ n]q
dir. Böylece ispat tamamlanır.
20
3. q − BERNSTEIN POLİNOMLARININ YAKLAŞIM HIZI
Bu bölümde, q − Bernstein polinomlarının yaklaşım hızını süreklilik modülü, PeetreK fonksiyoneli ve f in Lipschitz sınıfından olması durumunda hesaplanacaktır.
Ayrıca f in konveks bir fonksiyon olması halinde q − Bernstein polinomlarının
monotonluğu incelenecektir. İlk olarak süreklilik modülünün tanımını ve bazı
özelliklerini ispatları ile birlikte verelim.
3.1. Süreklilik Modülü
3.1 Tanım
f ∈ C [ a, b ] olsun. ∀δ > 0 için
ω ( f ;δ ) = sup f ( t ) − f ( x )
x ,t∈[ a ,b ]
t − x ≤δ
ile tanımlanan ω ( f ; δ ) ifadesine f fonksiyonunun süreklilik modülü denir.
Süreklilik modülü aşağıdaki özelliklere sahiptir.
i.
ω ( f ;δ ) ≥ 0
ii.
δ1 ≤ δ 2 ise ω ( f ; δ1 ) ≤ ω ( f ; δ 2 )
iii.
m ∈ ` için ω ( f ; mδ ) ≤ mω ( f ; δ )
iv.
λ ∈ \ + için ω ( f ; λδ ) ≤ ( λ + 1) ω ( f ; δ )
v.
lim ω ( f ;δ ) = 0
vi.
δ →0
f (t ) − f ( x ) ≤ ω ( f ; t − x )
(3.1)
21
vii.
⎛ t−x
⎞
+ 1⎟ ω ( f ; δ )
f (t ) − f ( x ) ≤ ⎜
⎝ δ
⎠
İspat
i. Süreklilik modülü, tanımı gereğince bir mutlak değerin supremumu olduğundan
ispat açıktır.
ii. δ1 ≤ δ 2 için t − x ≤ δ 2 bölgesinin t − x ≤ δ1 bölgesinden daha büyük olduğu
açıktır. Bölge büyüdükçe alınan supremum büyüyeceğinden ispat tamamlanır.
iii. Süreklilik modülünün tanımından dolayı
ω ( f ;mδ ) = sup f ( t ) − f ( x )
x ,t∈[ a ,b ]
t − x ≤ mδ
yazabiliriz.
t − x ≤ mδ ⇒ x − mδ ≤ t ≤ x + mδ
olup, t = x + mh seçimiyle h ≤ δ ve
ω ( f ;mδ ) = sup f ( x + mh ) − f ( x )
x ,t∈[ a ,b ]
h ≤δ
şeklinde yazılabilir. Diğer yandan
sup f ( x + mh ) − f ( x ) = sup
x ,t∈[ a ,b ]
h ≤δ
m −1
∑ ⎡⎣ f ( x + ( k + 1) h ) − f ( x + kh )⎤⎦
x ,t∈[ a ,b ] k = 0
h ≤δ
22
olup sağ tarafa üçgen eşitsizliği uygulanırsa
m −1
sup f ( x + mh ) − f ( x ) ≤ ∑ sup f ( x + ( k + 1) h ) − f ( x + kh )
x ,t∈[ a ,b ]
h ≤δ
k = 0 x ,t∈[ a ,b ]
h ≤δ
≤ ω ( f ;δ ) + ... + ω ( f ;δ )
bulunur. Buradan
ω ( f ; mδ ) ≤ mω ( f ; δ )
elde edilir.
iv. λ ∈ \ + sayısının tam kısmını ⎡⎣ λ ⎤⎦ ile gösterirsek bu durumda
⎡⎣ λ ⎤⎦ ≤ λ < ⎡⎣ λ ⎤⎦ + 1
eşitsizliklerinin geçerli olduğu açıktır. Şimdi bu eşitsizliklerden ve (ii) özelliğinde
ispat ettiğimiz ω ( f ; δ ) nın azalmayan fonksiyon olmasını kullanırsak
(
ω ( f ; λδ ) ≤ ω f ; ( ⎡⎣ λ ⎤⎦ + 1) δ
)
eşitsizliği yazılabilir. ⎡⎣ λ ⎤⎦ pozitif bir tam sayı olduğundan üstteki eşitsizliğin sağ
tarafına (iii) özelliğini uygulayabiliriz. Bu durumda
(
)
ω f ; ( ⎡⎣ λ ⎤⎦ + 1) δ ≤ ( ⎡⎣ λ ⎤⎦ + 1) ω ( f ; δ )
eşitsizliğini elde ederiz. Ayrıca her λ ∈ \ + için
23
⎡⎣ λ ⎤⎦ + 1 < λ + 1
olduğunu hesaba katarsak
(
)
ω f ; ( ⎡⎣ λ ⎤⎦ + 1) δ ≤ ( λ + 1) ω ( f ; δ )
eşitsizliği geçerli olur. Sonuç olarak
ω ( f ; λδ ) ≤ ( λ + 1) ω ( f ; δ )
yazılır ki, bu da ispatı tamamlar.
v. t − x ≤ δ eşitsizliğindeki δ nın sıfıra yaklaşması t → x olması anlamına gelir. f
fonksiyonu
sürekli
olduğundan
süreklilik
tanımına
göre
t→x
için
f ( t ) − f ( x ) → 0 olduğundan ispat açıktır.
vi. ω ( f ; δ ) ifadesinde δ = t − x seçersek
ω ( f ; t − x ) = sup f ( t ) − f ( x )
x∈[ a ,b ]
elde edilir. O halde f ( t ) − f ( x ) lerin supremumu ω ( f ; t − x ) olacağından ispat
aşikardır.
vii. (vi) özelliğinden
⎛ t−x ⎞
f (t ) − f ( x ) ≤ ω ⎜ f ;
δ⎟
δ
⎝
⎠
24
yazılabilir. Bu eşitsizlikte (iv) özelliğini kullanırsak
⎛ t−x
⎞
+ 1⎟ ω ( f ; δ )
f (t ) − f ( x ) ≤ ⎜
⎝ δ
⎠
bulunur ki bu da ispatı tamamlar.
3.2. q − Bernstein Polinomlarının Süreklilik Modülü ile Yaklaşım Hızı
Bu kısımda, Eş. 2.2 ile verilen q − Bernstein polinomlarının yaklaşma hızı Eş. 3.1 ile
tanımlanan süreklilik modülü yardımıyla hesaplanacaktır.
3.1 Teorem (Philips 1996)
Eğer f ∈ C [ 0,1] ise q − Bernstein polinomlarının süreklilik modülüyle yaklaşım hızı
Bn ( f ; qn ; x ) − f ( x )
⎛
3 ⎜
ω
f;
≤
C [ 0,1]
2 ⎜
⎝
1
[ n]q
⎞
⎟
⎟
⎠
olarak hesaplanır. Burada 0 < qn < 1 , lim qn = 1 , lim qnn = c ( c ≠ 1) dir.
n →∞
n →∞
İspat
Teoremin ispatı Popoviciu’nun tekniği ile yapılacaktır [Popoviciu, 1935].
n
⎛ [ k ]q
Bn ( f ; q; x ) = ∑ f ⎜
⎜ [ n]
k =0
⎝ q
olduğundan
n − k −1
⎞ ⎡n⎤
⎟ ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x ) ,
⎟ ⎣k ⎦ q
s =0
⎠
0 ≤ x ≤1
25
n − k −1
n
⎡n⎤
Bn (1; q; x ) = ∑ ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x )
k =0 ⎣ k ⎦ q
s =0
olur. Dolayısıyla lineerlikten
Bn ( f ; q; x ) − f ( x ) =
=
n
∑
k =0
⎛ [k ]
f⎜ q
⎜ [ n]
⎝ q
⎛
⎜
∑
k =0 ⎜
⎝
n
n − k −1
n − k −1
n
⎞ ⎡n⎤
⎡n⎤
⎟ ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x ) − f ( x ) ∑ ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x )
⎟ ⎣k ⎦ q
k =0 ⎣ k ⎦ q
s =0
s =0
⎠
⎛ [k ]
f⎜ q
⎜ [ n]
⎝ q
⎞
n − k −1
⎞
[ n]q !
⎟ − f ( x)⎟
x k ∏ (1 − q s x )
⎟
⎟ [ n − k ]q ![ k ]q ! s =0
⎠
⎠
elde edilir.
[ n]q !
≥0 ,
[ n − k ]q ![ k ]q !
x k ≥ 0 ve
n − k −1
∏ (1 − q x ) ≥ 0
s
s =0
olduğunu ve üçgen eşitsizliğini kullanırsak
n
⎛ [k ]
Bn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ ∑ f ⎜ q
⎜ [ n]
k =0
⎝ q
n − k −1
⎞
[ n]q !
⎟ − f ( x)
x k ∏ (1 − q s x )
⎟
[ n − k ]q ![ k ]q ! s =0
⎠
elde edilir. Süreklilik modülünün (vii) özelliğinde t =
⎛ [k ]
⎞
q
⎜
⎟
−x
⎛ [ k ]q ⎞
⎜ [ n ]q
⎟
⎟ − f ( x) ≤ ⎜
+ 1⎟ ω ( f ; δ )
f⎜
⎜ [ n] ⎟
δ
⎜
⎟
⎝ q⎠
⎜⎜
⎟⎟
⎝
⎠
[ k ]q
[ n]q
seçimiyle
(3.2)
26
yazılabilir. Bu sonucu Eş. 3.2 de yerine yazarsak ve lineer pozitif operatörlerin
monotonluğunu kullanırsak
⎛ [k ]
⎞
q
⎜
⎟
−x
n − k −1
n ⎜ [ n]
⎟
[ n]q !
q
Bn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ ∑ ⎜
x k ∏ (1 − q s x )
+ 1⎟ ω ( f ; δ )
δ
[ n − k ]q ![ k ]q ! s =0
k =0 ⎜
⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝
⎠
[ k ]q
−x
[ n]q
n
=∑
δ
k =0
n
ω ( f ;δ )
+ ∑ ω ( f ;δ )
k =0
n − k −1
[ n]q !
x k ∏ (1 − q s x )
[ n − k ]q ![ k ]q ! s =0
n − k −1
[ n]q !
x k ∏ (1 − q s x )
[ n − k ]q ![ k ]q ! s =0
bulunur. Yani
⎧⎪ 1 n [ k ]
n − k −1
[ n]q !
q
Bn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ ω ( f ; δ ) ⎨ ∑
x k ∏ (1 − q s x )
−x
[ n − k ]q ![ k ]q ! s =0
⎪⎩ δ k =0 [ n ]q
n − k −1
n
⎫⎪
[ n]q !
x k ∏ (1 − q s x ) ⎬
+∑
k = 0 [ n − k ]q ![ k ]q !
s =0
⎪⎭
⎧⎪ 1 n [ k ]
n − k −1
[ n]q !
q
= ω ( f ;δ ) ⎨ ∑
−x
x k ∏ (1 − q s x )
[ n − k ]q ![ k ]q ! s =0
⎪⎩ δ k =0 [ n ]q
+ Bn (1; q; x )}
(3.3)
olup buradan
⎧⎪ 1 n [ k ]
⎫⎪
n − k −1
[ n]q !
q
−x
Bn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ ω ( f ; δ ) ⎨ ∑
x k ∏ (1 − q s x ) + 1⎬
δ
[ n]q [ n − k ]q ![ k ]q ! s =0
⎩⎪ k =0
⎭⎪
(3.4)
27
bulunur. Bu ifade de
n − k −1
[ k ]q
[ n]q !
−x
x k ∏ (1 − q s x )
[ n − k ]q ![ k ]q ! s =0
k = 0 [ n ]q
n
T =∑
denirse
1
2
⎞ ⎛
⎞
[ k ]q ⎛ [ n]q !
[ n]q !
x k ∏ (1 − q s x ) ⎟ ⎜
x k ∏ (1 − q s x ) ⎟
−x⎜
⎜ [ n − k ] ![ k ] ! s =0
⎟ ⎜ [ n − k ] ![ k ] ! s =0
⎟
k = 0 [ n ]q
q
q
q
q
⎝
⎠ ⎝
⎠
n
T =∑
n − k −1
n − k −1
1
2
yazılır. Cauchy-Schwartz eşitsizliğinin uygulanmasıyla
1
2
⎛ n ⎛ [k ]
⎞2
n − k −1
⎞
[ n]q !
q
k
s
⎜
T ≤ ∑⎜
x ∏ (1 − q x ) ⎟
− x⎟
⎜⎜ k =0 ⎜ [ n ]
⎟⎟
⎟
n
k
!
k
!
−
]q [ ]q s =0
⎠ [
⎝ ⎝ q
⎠
1
n − k −1
⎛ n
⎞2
[ n]q !
k
s
x
×⎜∑
(1 − q x ) ⎟⎟
⎜ k =0 [ n − k ]q ![ k ]q ! ∏
s =0
⎝
⎠
olup Eş. 2.2 den
1
2
⎛ n ⎛ [k ]
⎞2
n − k −1
⎞
[ n]q !
q
k
s
⎜
T ≤ ∑⎜
x
− x⎟
(1 − q x ) ⎟⎟
⎜⎜ k =0 ⎜ [ n ]
⎟ [ n − k ] ![ k ] ! ∏
⎟
s =0
q
q
⎠
⎝ ⎝ q
⎠
bulunur. Bu sonuç Eş. 3.4 de yerine yazılırsa
1
⎧
⎫
2
⎞2 ⎪
n − k −1
⎞
⎪⎪ 1 ⎛ n ⎛ [ k ]q
n ]q !
[
⎪
Bn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ ω ( f ; δ ) ⎨ ⎜ ∑ ⎜
x k ∏ (1 − q s x ) ⎟ + 1⎬
− x⎟
⎟⎟
⎟ [ n − k ]q ![ k ]q ! s =0
⎪ δ ⎜⎝⎜ k =0 ⎜⎝ [ n ]q
⎪
⎠
⎠
⎪⎩
⎭⎪
28
olur. Diğer yandan
⎛ [ k ]q
⎞ [ k ]q
[ k ]q 2
⎜
− x⎟ =
−
2
x
+x
⎜ [n]
⎟ [ n] 2
n ]q
[
q
⎝
⎠
q
2
2
olduğundan
⎧ ⎛ n ⎛ [k ] 2
⎞
[k ]
⎪1
Bn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ ω ( f ; δ ) ⎨ ⎜ ∑ ⎜ q 2 − 2 x q + x 2 ⎟
δ ⎜ k =0 ⎜ [ n ]
⎟
[ n]q
⎠
⎩⎪ ⎝ ⎝ q
1
⎫
2
⎞
[ n]q !
⎪
k
s
×
x ∏ (1 − q x ) ⎟ + 1⎬
⎟
[ n − k ]q ![ k ]q ! s =0
⎪
⎠
⎭
⎧ ⎛ n [k ] 2
n − k −1
[ n]q !
⎪1
q
k
1 − qs x )
x
= ω ( f ;δ ) ⎨ ⎜ ∑
(
∏
2
!
!
δ
n
k
k
⎜
−
]q [ ]q s =0
⎪⎩ ⎝ k =0 [ n ]q [
n − k −1
n [k ]
[ n]q !
q
k
− 2 x∑
x ∏ (1 − q s x )
k = 0 [ n ]q [ n − k ]q ![ k ]q !
s =0
n − k −1
1
⎫
n − k −1
⎞2 ⎪
[ k ]q
[ n]q !
2
k
s
x ∏ (1 − q x ) ⎟ + 1⎬
+x ∑
⎟
k = 0 [ n ]q [ n − k ]q ![ k ]q !
s =0
⎪
⎠
n
⎭
⎪⎧ 1
= ω ( f ; δ ) ⎨ Bn ( t 2 ; q; x ) − 2 xBn ( t ; q; x ) + x 2 Bn (1; q; x )
⎩⎪ δ
(
yazılır. Bu eşitlikte Eş. 2.2 , Eş. 2.3 ve Eş. 2.4 ün kullanılmasıyla
1
⎧
⎫
2
⎛
⎞
⎪ 1 2 x (1 − x )
⎪
2
− 2 x.x + x .1⎟ + 1⎬
Bn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ ω ( f ; δ ) ⎨ ⎜ x +
⎟
[ n]q
⎪ δ ⎜⎝
⎪
⎠
⎩
⎭
1
⎧
⎫
2
⎛
⎞
⎪ 1 x (1 − x )
⎪
⎟ + 1⎬
= ω ( f ;δ ) ⎨ ⎜
⎪ δ ⎜⎝ [ n ]q ⎟⎠
⎪
⎩
⎭
)
1
2
⎪⎫
+ 1⎬
⎭⎪
29
bulunur. x ∈ [ 0,1] için
1
⎧
⎫ 1
maks ⎨( x (1 − x ) ) 2 ⎬ =
0≤ x ≤1
⎩
⎭ 2
olacağından
⎧
⎪1
Bn ( f ; q; x ) − f ( x ) C 0,1 ≤ ω ( f ; δ ) ⎨
[ ]
δ
⎩⎪
elde edilir. δ =
1
[ n]q
Bn ( f ; qn ; x ) − f ( x )
1
[ n]q
⎫
1 ⎪
+ 1⎬
2 ⎪
⎭
ve q = qn seçimiyle
⎛
3 ⎜
≤
ω
f;
C [ 0,1]
2 ⎜
⎝
1
[ n]q
⎞
⎟
⎟
⎠
bulunur ki böylece ispat tamamlanır.
3.3. q − Bernstein Polinomlarının Peetre-K Fonksiyoneli ile Yaklaşım Hızı
Bu kısımda, q − Bernstein polinomlarının Peetre-K fonksiyoneli yardımıyla yaklaşım
hızı incelenecektir. Bu nedenle öncelikle Peetre-K fonksiyonelinin tanımını verelim
[Bleimann, Butzer and Hahn, 1980].
3.2 Tanım
f ∈ C [ a, b ] ve δ ≥ 0 olmak üzere
30
K ( f ;δ ) = inf
g∈C 2 [ a ,b ]
{ f −g
C [ a ,b ]
+δ g
C 2 [ a ,b ]
}
ifadesine Peetre-K fonksiyoneli denir. Burada
g
C 2 [ a ,b ]
= g
C [ a ,b ]
+ g ′ C [a ,b] + g ′′ C [a ,b]
ile verilir.
3.2 Teorem
Eğer f ∈ C [ 0,1] ise
Bn ( f ; qn ; x ) − f ( x )
C
2
⎛ ⎛ 1
⎜ f ;⎜
2
K
≤
[0,1]
⎜ ⎜ 16 [ n ]q
⎝ ⎝
⎛ ⎛ 1
gerçeklenir. Burada K ⎜ f ; ⎜
⎜ ⎜ 16 [ n ]q
⎝ ⎝
⎞⎞
⎟⎟
⎟⎟
⎠⎠
(3.5)
⎞⎞
⎟ ⎟ Peetre-K fonksiyonelidir.
⎟⎟
⎠⎠
Önce bu ispatta kullanacağımız aşağıdaki lemmayı verelim.
3.1 Lemma (İntegral bağıntısı)
g ( x ) fonksiyonu
[0, A]
aralığında ikinci basamaktan sürekli türevlenebilir bir
fonksiyon ise
t
g ( t ) − g ( x ) = g ′ ( x )( t − x ) + ∫ g ′′ ( s )( t − s ) ds
x
(3.6)
31
eşitliği sağlanır.
İspat
t − s = u ise − ds = du ve g ′′ ( s ) ds = dv ise g ′ ( s ) = v dir. O halde
t
t t
′′
′
g
s
t
s
ds
t
s
g
s
−
=
−
+ g ′ ( s ) ds
(
)(
)
(
)
(
)
∫x
x ∫x
t
t
= (t − s ) g′ ( s ) + g ( s )
x
x
= − (t − x ) g′ ( x ) + g (t ) − g ( x )
olup buradan
t
g ( t ) − g ( x ) = g ′ ( x )( t − x ) + ∫ g ′′ ( s )( t − s ) ds
x
yazabiliriz. Bu ise ispatı tamamlar.
Şimdi teoremin ispatına geçelim.
İspat (3.2. Teorem)
( Bn )
operatörü Eş. 3.6 integral eşitliğine uygulanırsa
⎛t
⎞
′
Bn ( g ( t ) − g ( x ) ; q; x ) = Bn ( g ( x )( t − x ) ; q; x ) + Bn ⎜ ∫ g ′′ ( s )( t − s ) ds; q; x ⎟
⎝x
⎠
elde edilir. Eşitliğin her iki yanının mutlak değeri alınacak olursa
32
Bn ( g ( t ) − g ( x ) ; q; x ) = Bn ( g ′ ( x )( t − x ) ; q; x )
⎛t
⎞
+ Bn ⎜ ∫ g ′′ ( s )( t − s ) ds; q; x ⎟
⎝x
⎠
≤ g ′ C[0,1] Bn ( ( t − x ) ; q; x )
(3.7)
⎛t
⎞
+ g ′′ C [0,1] Bn ⎜ ∫ ( t − s ) ds; q; x ⎟
⎝x
⎠
bulunur. Öte yandan
t
∫ (t − s )
x
(t − s )
ds = −
2
2
t (t − x )
=
x
2
2
olup bu sonuç Eş. 3.7 de yerine yazılırsa
Bn ( g ( t ) − g ( x ) ; q; x ) ≤ ϕn ,1 ( x ) g ′ C [0,1]
⎛ ( t − x )2
⎞
+ g ′′ C [0,1] Bn ⎜
; q; x ⎟
⎜ 2
⎟
⎝
⎠
= ϕn ,1 ( x ) g ′ C [0,1]
1
g ′′ C [0,1] Bn ( t 2 − 2 xt + x 2 ; q; x )
2
= ϕn ,1 ( x ) g ′ C [0,1]
+
{
1
g ′′ C [0,1] Bn ( t 2 ; q; x )
2
−2 xBn ( t ; q; x ) + x 2 Bn (1; q; x )}
+
elde edilir. Eş. 2.2 , Eş. 2.3 ve Eş. 2.4 den
Bn ( g ; q; x ) − g ( x ) ≤ ϕn ,1 ( x ) g ′ C[0,1] +
1
ϕn ,2 ( x ) g ′′ C[0,1]
2
yazılabilir. Burada Eş. 2.5 ve Eş. 2.6 kullanılırsa
(3.8)
33
Bn ( g ; q; x ) − g ( x ) ≤
1 x (1 − x )
g ′′ C[0,1]
2 [ n ]q
bulunur.
g
C 2 [0,1]
= g
C [ 0,1]
+ g ′ C[0,1] + g ′′ C[0,1]
olduğundan
Bn ( g ; q; x ) − g ( x ) ≤
1 x (1 − x )
g
2 [ n ]q
C 2 [ 0,1]
(3.9)
elde edilir. Diğer taraftan
Bn ( f ; q; x ) − f ( x ) = Bn ( f ; q; x ) − f ( x ) + Bn ( g ; q; x ) − Bn ( g ; q; x ) + g ( x ) − g ( x )
şeklinde yazılabilir.
Bn ( f ; q; x ) − f ( x ) = ( Bn ( f ; q; x ) − Bn ( g ; q; x ) )
+ ( − f ( x ) + g ( x ) ) + ( Bn ( g ; q; x ) − g ( x ) )
diyebiliriz. Üçgen eşitsizliğinin uygulanmasıyla
Bn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ Bn ( f − g ; q; x ) + f ( x ) − g ( x ) + Bn ( g ; q; x ) − g ( x )
bulunur. ( Bn ) lineer operatör olduğundan
34
Bn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ f − g
C [ 0,1]
+ f −g
Bn (1; q; x )
C [ 0,1]
+ Bn ( g ; q; x ) − g ( x )
(3.10)
olur. Eş. 3.10 da Eş. 2.2 ve Eş. 3.9 un kullanılmasıyla
Bn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ 2 f − g
+
C [ 0,1]
1 x (1 − x )
g
2 [ n ]q
C 2 [ 0,1]
elde edilir. O halde
Bn ( f ; q; x ) − f ( x )
C [0,1]
≤2 f −g
C [0,1]
+
11 1
g
2 4 [ n ]q
C 2 [0,1]
bulunur. Her iki taraftan g ∈ C 2 [ 0,1] üzerinden infimum alınırsa sol taraf g den
bağımsız olduğundan
Bn ( f ; q; x ) − f ( x )
C
2
⎛
1
⎜ f;
≤
K
2
[0,1]
⎜ 16 [ n ]
q
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
elde edilir.
q = q n , 0 < qn < 1 , lim qnn = c
n →∞
( c ≠ 1)
alınmasıyla Eş. 3.5 ifadesi yaklaşım hızını
verir.
3.2 Tanım
f konveks bir fonksiyon ise λ1 , λ2 ∈ [ 0,1] ve λ1 + λ2 = 1 olmak üzere
f ( λ1α1 + λ2α 2 ) ≤ λ1 f (α1 ) + λ2 f (α 2 )
35
yani
f ( λ1α1 + λ2α 2 ) − λ1 f (α1 ) − λ2 f (α 2 ) ≤ 0
gerçeklenir.
3.3 Teorem
Eğer f konveks bir fonksiyon ise Bn ( f ; q; x ) , n ye göre monoton azalandır. Yani,
her n doğal sayısı için
Bn +1 ( f ; q; x ) − Bn ( f ; q; x ) ≤ 0
gerçeklenir.
İspat
n
⎛ [ k ]q
Bn ( f ; q; x ) = ∑ f ⎜
⎜ [ n]
k =0
⎝ q
Burada k = n ise
n − k −1
n − k −1
⎞ ⎡n⎤
⎟ ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x ) , 0 ≤ x ≤ 1
⎟ ⎣k ⎦ q
s =0
⎠
∏ (1 − q x ) = 1 olarak tanımlanmıştır.
s
s =0
n−k
n +1
⎛ [ k ]q ⎞ ⎡ n + 1⎤
k
⎟⎢
1− qs x)
Bn +1 ( f ; g ; x ) − Bn ( f ; q; x ) = ∑ f ⎜
x
(
∏
⎥
⎜
⎟
k
1
n
+
]q ⎠ ⎣ ⎦ q s =0
k =0
⎝[
n − k −1
n
⎛ [k ] ⎞ ⎡n⎤
− ∑ f ⎜ q ⎟ ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x )
⎜ [ n ]q ⎟ ⎣ k ⎦ q
k =0
s =0
⎝
⎠
36
n−k
n +1
⎛ [ k ]q ⎞ ⎡ n + 1⎤
k
⎟⎢
1− qs x)
x
=∑ f ⎜
(
∏
⎥
⎜
⎟
k
1
n
+
]q ⎠ ⎣ ⎦ q s =0
k =0
⎝[
n − k −1
n
⎛ [k ] ⎞ ⎡n⎤
− ∑ f ⎜ q ⎟ ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x )(1 − q n − k x + q n − k x )
⎜ [ n] ⎟ ⎣k ⎦ q
k =0
s =0
⎝ q⎠
n−k
n +1
⎛ [ k ]q ⎞ ⎡ n + 1⎤
k
⎟⎢
1− qs x)
x
=∑ f ⎜
(
∏
⎥
⎜ [ n + 1] ⎟ ⎣ k ⎦ q s =0
k =0
q ⎠
⎝
n−k
n
⎛ [k ] ⎞ ⎡n⎤
− ∑ f ⎜ q ⎟ ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x )
⎜ [ n ] ⎟ ⎣ k ⎦ q s =0
k =0
⎝ q⎠
n − k −1
n
⎛ [k ] ⎞ ⎡n⎤
− ∑ f ⎜ q ⎟ ⎢ ⎥ x k +1q n − k ∏ (1 − q s x )
⎜ [ n] ⎟ ⎣k ⎦ q
k =0
s =0
⎝ q⎠
⎡ n + 1⎤ 0 n
x ∏ (1 − q s x )
= f ( 0) ⎢
⎥
⎣ 0 ⎦ q s =0
n +1
⎛ [ k ]q
+∑ f ⎜
⎜ [ n + 1]
k =1
q
⎝
k → k +1
n−k
⎞ ⎡ n + 1⎤
k
⎟⎢
x
(1 − q s x )
⎟ ⎣ k ⎥⎦ q ∏
s =0
⎠
n
⎡n⎤
− f ( 0 ) ⎢ ⎥ x 0 ∏ (1 − q s x )
⎣ 0 ⎦ q s =0
n
⎛ [k ]
−∑ f ⎜ q
⎜ [ n]
k =1
⎝ q
n−k
⎞ ⎡n⎤
⎟ ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x )
⎟ ⎣ k ⎦ q s =0
⎠
k → k +1
n − k −1
n
⎛ [k ] ⎞ ⎡n⎤
− ∑ f ⎜ q ⎟ ⎢ ⎥ x k +1q n − k ∏ (1 − q s x )
⎜ [ n ]q ⎟ ⎣ k ⎦ q
k =0
s =0
⎝
⎠
n − k −1
n
⎛ [ k + 1]q ⎞ ⎡ n + 1⎤
⎟⎢
x k +1 ∏ (1 − q s x )
=∑ f ⎜
⎥
⎜ [ n + 1]q ⎟ ⎣ k + 1⎦ q
k =0
s =0
⎝
⎠
n − k −1
n −1
⎛ [ k + 1]q ⎞ ⎡ n ⎤
k +1
⎟⎢
x
1 − qs x)
−∑ f ⎜
(
∏
⎥
⎜ [ n ]q ⎟ ⎣ k + 1⎦ q
k =0
s =0
⎝
⎠
n − k −1
n
⎛ [k ] ⎞ ⎡n⎤
− ∑ f ⎜ q ⎟ ⎢ ⎥ x k +1q n − k ∏ (1 − q s x )
⎜ [ n] ⎟ ⎣k ⎦ q
k =0
s =0
⎝ q⎠
37
⎡ n + 1⎤ n +1
= f (1) ⎢
⎥ x
⎣ n + 1⎦ q
n −1
⎛ [ k + 1]q
+∑ f ⎜
⎜ [ n + 1]
k =0
q
⎝
n − k −1
⎞ ⎡ n + 1⎤
k +1
⎟⎢
x
(1 − q s x )
∏
⎟ ⎣ k + 1⎥⎦ q
s =0
⎠
n − k −1
n −1
⎛ [ k + 1]q ⎞ ⎡ n ⎤
k +1
⎟⎢
−∑ f ⎜
x
1 − qs x)
(
∏
⎥
⎜
⎟
k + 1⎦ q
n
k =0
s =0
⎝ [ ]q ⎠ ⎣
⎡n⎤
− f (1) ⎢ ⎥ x n +1q 0
⎣n⎦ q
n −1
⎛ [k ]
−∑ f ⎜ q
⎜ [n]
k =0
⎝ q
n − k −1
⎞ ⎡n⎤
⎟ ⎢ ⎥ x k +1q n − k ∏ (1 − q s x )
⎟ ⎣k ⎦ q
s =0
⎠
n −1
⎛ [ k + 1]q
=∑ f ⎜
⎜ [ n + 1]
k =0
q
⎝
n − k −1
⎞ ⎡ n + 1⎤
k +1
⎟⎢
x
1− qs x)
(
∏
⎥
⎟ ⎣ k + 1⎦ q
s =0
⎠
n −1
⎛ [ k + 1]q
−∑ f ⎜
⎜ [ n]
k =0
q
⎝
n −1
⎛ [k ]
−∑ f ⎜ q
⎜ [n]
k =0
⎝ q
n −1 ⎧
⎪
= ∑⎨ f
k =0 ⎪
⎩
n − k −1
⎞ ⎡n⎤
⎟ ⎢ ⎥ x k +1q n − k ∏ (1 − q s x )
⎟ ⎣k ⎦ q
s =0
⎠
⎛ [ k + 1]q
⎜
⎜ [ n + 1]
q
⎝
⎛ [k ]
−f ⎜ q
⎜ [ n]
⎝ q
n − k −1
⎞⎡ n ⎤
k +1
⎟⎢
x
(1 − q s x )
∏
⎟ ⎣ k + 1⎥⎦ q
s =0
⎠
⎞ ⎡ n + 1⎤
⎟⎢
−
⎟ ⎣ k + 1⎥⎦ q
⎠
⎛ [ k + 1]q
f⎜
⎜ n
⎝ [ ]q
⎞⎡ n ⎤
⎟⎢
⎟ ⎣ k + 1⎦⎥ q
⎠
⎫⎪
n − k −1
⎞ ⎡n⎤
⎟ ⎢ ⎥ q n − k ⎬ x k +1 ∏ (1 − q s x )
⎟ ⎣k ⎦ q
s =0
⎪⎭
⎠
(3.11)
elde edilir. Diğer taraftan
[ n + 1]q [ n ]q [ n + 1]q ⎡ n − 1⎤
=
[ k + 1]q [ k + 1]q [ n − k ]q ⎢⎣ k ⎥⎦ q
[ n]q
[ k + 1]q
=
[ n ]q ⎡ n − 1⎤
[ k + 1]q ⎢⎣ k ⎥⎦ q
(3.12)
(3.13)
38
[ n]q [ n ]q ⎡ n − 1⎤
=
[ k ]q [ n − k ]q ⎢⎣ k ⎥⎦ q
(3.14)
olup Eş. 3.12 , Eş. 3.13 ve Eş. 3.14 un Eş. 3.11 de kullanılmasıyla
n −1 ⎧
⎪
Bn +1 ( f ; q; x ) − Bn ( f ; q; x ) = ∑ ⎨ f
k =0 ⎪
⎩
⎛ [ k + 1]q
⎜
⎜ [ n + 1]
q
⎝
⎛ [ k ]q
−f ⎜
⎜ [ n]
⎝ q
n −1 ⎧
⎪
= ∑⎨ f
k =0 ⎪
⎩
⎞ [ n ]q
⎟
⎟ [ k + 1]
q
⎠
⎫⎪ ⎡ n − 1⎤
n − k −1
⎞ [ n ]q
k +1
⎟
q n−k ⎬ ⎢
x
1− qs x)
(
∏
⎥
⎟ [n − k ]
s =0
⎪⎭ ⎣ k ⎦ q
q
⎠
⎛ [ k + 1]q
⎜
⎜ [ n + 1]
q
⎝
⎛ [k ]
−f ⎜ q
⎜ n
⎝ [ ]q
⎞ [ n ]q [ n + 1]q
⎛ [ k + 1]q
⎟
−f⎜
⎟ [ k + 1] [ n − k ]
⎜ [ n]
q
q
q
⎠
⎝
⎞
⎟−
⎟
⎠
⎛ [ k + 1]q
f⎜
⎜ [ n]
q
⎝
⎞ [ n − k ]q
⎟
⎟ [ n + 1]
q
⎠
⎞ [ k + 1]q
⎪⎫ [ n ]q [ n + 1]q ⎡ n − 1⎤ k +1
⎟
q n−k ⎬
⎢ k ⎥ x
⎟ [ n + 1]
+
−
1
k
n
k
[
]
[
]
⎣
⎦q
q
q
q
⎠
⎭⎪
n − k −1
× ∏ (1 − q s x )
s =0
(3.15)
elde edilir.
λ1 =
[ n − k ]q
[ n + 1]q
, λ2 =
[ k + 1]q n−k
q
[ n + 1]q
, α1 =
[ k + 1]q
[ n]q
seçimiyle
λ1 + λ2 = 1 ve λ1α1 + λ2α 2 =
[ k + 1]q
[ n + 1]q
olup, f konveks olduğundan Tanım 3.3 den
, α2 =
[ k ]q
[ n]q
39
⎛ [ k + 1]q
f⎜
⎜ [ n + 1]
q
⎝
⎞
⎟−
⎟
⎠
⎛ [ k + 1]q
f⎜
⎜ [ n]
q
⎝
⎞ [ n − k ]q
⎛ [k ]
⎟
−f⎜ q
⎟ [ n + 1]
⎜ [ n]
q
⎠
⎝ q
⎞ [ k + 1]q
⎟
≤0
⎟ [ n + 1]
q
⎠
yazılabilir. Eş. 3.15 de
[ n]q [ n + 1]q ⎡ n − 1⎤ k +1 n−k −1
x
(1 − q s x ) > 0
[ k + 1]q [ n − k ]q ⎢⎣ k ⎥⎦ q ∏
s =0
olduğundan ispat tamamlanır.
Eğer f lineer ise λ1 , λ2 ∈ [ 0,1] ve λ1 + λ2 = 1 olmak üzere
f ( λ1α1 + λ2α 2 ) = λ1 f (α1 ) + λ2 f (α 2 )
eşitliği sağlanacağından dolayı aşağıdaki sonucu verebiliriz.
Sonuç
Eğer f lineer ise bu durumda,
Bn +1 ( f ; q; x ) − Bn ( f ; q; x ) = 0
dır. Teorem 3.3 de yapılanlar Meyer-König ve Zeller operatörü ve Szasz operatörü
için Cheney ve Sharma tarafından yapılmıştır [Cheney and Sharma, 1964].
q − Meyer-König ve Zeller operatörü için Doğru ve Gupta tarafından yapılmıştır
[Doğru and Gupta, 2006].
40
3.4. q − Bernstein Polinomlarının Lipschitz Sınıfındaki Fonksiyonlar ile
Yaklaşım Hızı
Bu kısımda Lipschitz sınıfındaki fonksiyonlar için q − Bernstein polinomlarının f
fonksiyonuna yaklaşma hızını hesaplayacağız. Öncelikle Lipschitz sınıfının tanımını
verelim.
3.4 Tanım
(Lipschitz sınıfı fonksiyonlar) : 0 < α ≤ 1 olmak üzere
f (t ) − f ( x ) ≤ M t − x
α
(3.16)
koşulunu sağlayan fonksiyonlar sınıfına Lipschitz sınıfı fonksiyonlar, M ye de
Lipschitz sabiti denir ve f ∈ LipM (α ) ile gösterilir.
3.4 Teorem
f ∈ LipM (α ) , 0 < α ≤ 1 olmak üzere
Bn ( f ; qn ; x ) − f ( x )
C [ 0,1]
⎛
⎜⎛ 1
= O⎜⎜
⎜
⎜ ⎝ 4 [ n ]q
⎝
α
⎞
⎞2 ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎟
⎠
gerçeklenir.
İspat
n − k −1
n
⎡n⎤
Bn (1; q; x ) = ∑ ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x ) = 1
k =0 ⎣ k ⎦ q
s =0
(3.17)
41
olduğundan
Bn ( f ; q; x ) − f ( x ) =
n − k −1
n − k −1
n
⎛ [ k ]q ⎞ ⎡ n ⎤
⎡n⎤
⎟ ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x ) − f ( x ) ∑ ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x )
⎟ k
k =0 ⎣ k ⎦ q
s =0
s =0
⎝ q ⎠ ⎣ ⎦q
n
∑ f ⎜⎜ [ n]
k =0
⎛
= ∑⎜
k =0 ⎜
⎝
n
⎛ [k ]
f⎜ q
⎜ [ n]
⎝ q
⎞ ⎡n⎤
n − k −1
⎞
⎟ − f ( x ) ⎟ ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x )
⎟
⎟ ⎣k ⎦ q
s =0
⎠
⎠
elde ederiz. Ayrıca
⎡n⎤
k
⎢ k ⎥ ≥ 0 , x ≥ 0 ve
⎣ ⎦q
n − k −1
∏ (1 − q x ) ≥ 0
s
s =0
olduğundan üçgen eşitsizliğini kullanacak olursak
n
⎛ [k ]
Bn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ ∑ f ⎜ q
⎜ [ n]
k =0
⎝ q
olur. Eş. 3.16 da t =
⎛ [ k ]q
f⎜
⎜ [n]
⎝ q
[ k ]q
[ n]q
n − k −1
⎞
⎡n⎤
⎟ − f ( x ) ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x )
⎟
s =0
⎣k ⎦ q
⎠
(3.18)
seçimiyle
⎞
[ k ]q
⎟ − f ( x) ≤ M
−x
⎟
n ]q
[
⎠
α
yazabiliriz. Bu eşitsizliği Eş. 3.18 de kullanacak olursak
[ k ]q
Bn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ M ∑
−x
k = 0 [ n ]q
n
α
⎧⎪ ⎡ n ⎤ k n − k −1
⎫⎪
s
⎨ ⎢ ⎥ x ∏ (1 − q x ) ⎬
s =0
⎩⎪ ⎣ k ⎦ q
⎭⎪
(3.19)
42
elde edilir. p =
2
α
ve q =
2
1 1
seçilirse + = 1 dir ve Eş. 3.19 dan
2 −α
p q
[ k ]q
Bn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ M ∑
−x
k = 0 [ n ]q
n
α
α
⎧⎪ ⎡ n ⎤ k n − k −1
⎫⎪ 2
s
⎨ ⎢ ⎥ x ∏ (1 − q x ) ⎬
s =0
⎪⎩ ⎣ k ⎦ q
⎭⎪
n − k −1
⎧⎪ ⎡ n ⎤
⎫⎪
× ⎨ ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x ) ⎬
s =0
⎩⎪ ⎣ k ⎦ q
⎭⎪
2 −α
2
α
⎧ [k ]
⎫2
⎡ n ⎤ k n − k −1
⎪ q
⎪
s
= M ∑⎨
− x ⎢ ⎥ x ∏ (1 − q x ) ⎬
k = 0 ⎪ [ n ]q
s =0
⎣k ⎦ q
⎪⎭
⎩
n
2
n − k −1
⎧⎪ ⎡ n ⎤
⎫⎪
× ⎨ ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x ) ⎬
s =0
⎪⎩ ⎣ k ⎦ q
⎪⎭
2 −α
2
yazabiliriz. Son eşitliğe Hölder eşitsizliğini uygularsak,
α
2
⎧ n [k ]
⎫2
⎡ n ⎤ k n − k −1
⎪
⎪
q
s
− x ⎢ ⎥ x ∏ (1 − q x ) ⎬
Bn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ M ⎨∑
s =0
⎣k ⎦ q
⎪⎩ k =0 [ n ]q
⎪⎭
n − k −1
⎧⎪ n ⎡ n ⎤
⎫⎪
× ⎨∑ ⎢ ⎥ x k ∏ (1 − q s x ) ⎬
s =0
⎪⎩ k =0 ⎣ k ⎦ q
⎪⎭
2 −α
2
α
2
⎧ n [k ]
⎫2
2 −α
⎡ n ⎤ k n − k −1
⎪
⎪
q
s
= M ⎨∑
− x ⎢ ⎥ x ∏ (1 − q x ) ⎬ { Bn (1; q; x )} 2
n
[
]
=
k
0
s =0
⎣k ⎦ q
⎪⎩
⎪⎭
q
olur. Eş. 2.2 den
α
⎧ n [k ]
⎫2
⎡ n ⎤ k n − k −1
⎪
⎪
q
s
− x ⎢ ⎥ x ∏ (1 − q x ) ⎬
Bn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ M ⎨∑
s =0
⎣k ⎦ q
⎪⎩ k =0 [ n ]q
⎪⎭
2
43
α
⎧ n ⎛ [k ] 2
⎫2
⎞ n
n − k −1
[ k ]q
⎪ ⎜ q
⎪
2 ⎟⎡ ⎤
k
s
x + x ⎢ ⎥ x ∏ (1 − q x ) ⎬
≤ M ⎨∑
−2
2
⎟ ⎣k ⎦ q
[ n]q
s =0
⎪⎩ k =0 ⎜⎝ [ n ]q
⎪⎭
⎠
⎧ n [k ] 2 ⎡n⎤
n − k −1
⎪
q
k
x
1 − qs x)
= M ⎨∑
(
∏
2 ⎢ ⎥
s =0
⎪⎩ k =0 [ n ]q ⎣ k ⎦ q
n − k −1
n [k ]
q ⎡n⎤
k
x
1 − qs x )
− 2 x∑
(
∏
⎢k ⎥
n
k = 0 [ ]q ⎣ ⎦ q
s =0
α
⎫⎪ 2
⎡ n ⎤ k n − k −1
s
2
+ x ∑ ⎢ ⎥ x ∏ (1 − q x ) ⎬
k =0 ⎣ k ⎦ q
s =0
⎪⎭
n
{
}
= M Bn ( t ; q; x ) − 2 xBn ( t ; q; x ) + x Bn (1; q; x )
2
2
bulunur. Eş. 2.2 , Eş. 2.3 ve Eş.2.4 ten
α
⎧⎪
⎫⎪ 2
x (1 − x )
Bn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ M ⎨ x 2 +
− 2 x2 + x2 ⎬
[ n]q
⎩⎪
⎭⎪
α
⎧⎪ x (1 − x ) ⎫⎪ 2
=M⎨
⎬
n
⎩⎪ [ ]q ⎭⎪
olur. x ∈ [ 0,1] olduğundan maks x (1 − x ) =
0≤ x ≤1
Bn ( f ; q; x ) − f ( x )
olur. Yani
⎛ 1
⎜
≤
M
C [ 0,1]
⎜ 4 [ n]
q
⎝
α
⎞2
⎟
⎟
⎠
1
dir. O halde
4
α
2
44
Bn ( f ; q; x ) − f ( x )
C [0,1]
⎛
⎜⎛ 1
= O⎜⎜
⎜
⎜ ⎝ 4 [ n ]q
⎝
α
⎞
⎞2 ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎟
⎠
bulunur ve böylece ispat tamamlanır. Eğer q = q n , 0 < q n < 1 , lim q n = 1 ,
n →∞
lim qnn = c ( c ≠ 1) seçilirse Eş. 3.17 yaklaşım hızı veren bir ifade olur.
n →∞
45
4. q − BERNSTEIN POLİNOMLARININ KING TİPLİ GENELLEŞMESİ VE
YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
P. P. Korovkin teoremine göre; eğer { Ln } , C ([ a, b ]) üzerinde tanımlı lineer pozitif
operatör ise ∀f ∈ C ([ a, b ]) için lim Ln ( f ) − f
n →∞
C [ a ,b ]
= 0 olması için gerek ve yeterli
koşul ei ( x ) = xi , i = 0,1, 2 test fonksiyonları için Ln ( ei ( x ) )
→
→
ei ( x ) olmasıdır. Bir
çok lineer pozitif operatör dizisi e0 ( x ) = 1 ve e1 ( x ) = x test fonksiyonlarının
yaklaşımını koruduğu halde e2 ( x ) = x 2 fonksiyonu için limit durumunda bir
yaklaşım korunur. Yani
Ln ( e0 )( x ) = e0 ( x )
Ln ( e1 )( x ) = e1 ( x )
lim Ln ( e2 )( x ) = e2 ( x )
n →∞
şeklindedir. J. P. KING, (2003) bu tip operatörlerin e2 ( x ) = x 2 fonksiyonunu
koruyacak şekilde genelleştirmelerinin yapılabileceğini göstermiştir. Bu bölümde
q − Bernstein polinomlarının King tipli genelleşmesini elde edip, elde ettiğimiz
genelleştirilmiş polinomun yaklaşım hızını süreklilik modülü, Peetre-K fonksiyoneli
ve f in Lipschitz sınıfından olması durumunda hesaplayacağız.
4.1. q − Bernstein Polinomlarının King Tipli Genelleşmesi
C [ 0,1] de tanımlı q − Bernstein polinomlarının King tipli genelleşmesi (Vn ) olmak
üzere; Vn ( e0 ; q; x ) = e0 ve Vn ( e2 ; q; x ) = e2 olacak şekilde ki polinomları elde etmek
istiyoruz. Burada amacımız lim Vn f − f
n →∞
C [ 0 ,1]
= 0 olduğunda elde ettiğimiz yaklaşım
derecesinin en az Bn ( f ; q; x ) lineer pozitif operatör dizisinin f ye yaklaşım
derecesi kadar iyi olduğunu gözlemlemektir.
46
4.1 Tanım
{r ( x )} , [0,1]
n
üzerinde tanımlı sürekli fonksiyonların bir dizisi ve 0 ≤ rn ( x ) ≤ 1
olsun. f ∈ C [ 0,1] , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 < q < 1 için Vn : C ([ 0,1]) → C ([ 0,1]) operatörü
n
Vn ( f ; q; x ) = ∑
k =0
⎛ [ k ]q
f⎜
⎜ [ n]
⎝ q
olarak tanımlansın.
n − k −1
⎞ ⎡n⎤
k
⎟ ⎢ ⎥ ( rn ( x ) ) ∏ 1 − q s ( rn ( x ) )
⎟ ⎣k ⎦ q
s =0
⎠
(
( r ( x )) = x
n
)
(4.1)
özel durumu için bu polinom q − Bernstein
polinomuna denktir. Dolayısıyla da (Vn ) operatörü için
i.
Vn ( e0 ; q; x ) = 1
(4.2)
ii.
Vn ( e1 ; q; x ) = rn ( x )
(4.3)
iii.
Vn ( e2 ; q; x ) = ( rn ( x ) ) +
2
rn ( x ) (1 − rn ( x ) )
[ n]q
(4.4)
dir.
4.1 Teorem
∀f ∈ C [ 0,1] , x ∈ [ 0,1] için limVn ( f )( x ) = f ( x ) olması için gerekli ve yeterli
n →∞
koşul lim rn ( x ) = x olmasıdır. Bu durumda (Vn ) lineer pozitif operatör dizisi için
n →∞
Korovkin teoremi sağlanır. rn ( x ) yerine rn* ( x )
⎧r1* ( x ) = x 2
⎪
⎪
[ n]q 2
1
1
⎨r * x = −
+
+
x , n = 2,3,...
(
)
n
2
⎪
n ]q − 1
[
2 [ n ]q − 1
4
1
n
−
[
]
⎪⎩
q
(
)
(
)
(4.5)
47
şeklinde seçilirse Vn ( e2 ; q; x ) = e2 ( x ) = x 2 , n = 1, 2,... elde edilir. Eş. 4.5 ile verilen
rn* ( x ) ifadesi 0 ≤ x ≤ 1 için 0 ≤ rn* ( x ) ≤ 1 ve lim rn* ( x ) = x şeklindedir.
n →∞
İspat
rn* ( x ) in Eş. 4.5 şeklinde olduğunu görebilmek için Vn ( e2 ; q; x ) = e2 ( x ) = x 2 olacak
şekilde ki rn* ( x ) i bulmalıyız. Bunun için
Vn ( e2 ; q; x ) = ( rn ( x ) ) +
2
rn ( x ) (1 − rn ( x ) )
[ n]q
= x2
ifadesinde rn ( x ) yerine rn* ( x ) yazarsak
( r ( x ))
*
n
2
+
rn* ( x ) (1 − rn* ( x ) )
[ n]q
= x2
elde edilir. Şimdi bu denklemi düzenleyerek, denklemi sağlayan rn* ( x ) değerini elde
edelim.
( r ( x ))
*
n
2
⎛
1
⎜1 −
⎜ [ n]
q
⎝
+
rn* ( x ) (1 − rn* ( x ) )
[ n]q
− x2 = 0
⎞
2
1
⎟ ( rn* ( x ) ) +
( rn* ( x ) ) − x2 = 0
⎟
n ]q
[
⎠
Buradan rn* ( x ) i aşağıdaki şekilde elde ederiz.
48
−
rn* ( x ) =
=−
=−
1
+
[ n]q
1
([ n ] )
2
+4
q
[ n]q − 1 2
x
[ n]q
⎛ [ n] − 1 ⎞
2⎜ q ⎟
⎜ [n] ⎟
q
⎝
⎠
[ n]q
[ n]q
1
+
[ n]q 2 [ n]q − 1 2 [ n]q − 1
(
(
1
) (
)
2 [ n ]q − 1
+
(
1
) ([ n ] )
1
)
4 [ n ]q − 1
2
+
2
+4
q
[ n]q − 1 2
x
[ n]q
[ n]q 2
x
[ n]q − 1
elde edilir. Burada denklemin rn* ( x ) kökünü bulurken negatif işaretli değeri
almamamızın sebebi; o durumda rn* ( x ) in istenen aralığa düşmeyecek olmasıdır.
4.2 Teorem
( L ( f ))
n
,
C [ a, b ]
üzerinde
lineer
pozitif
operatörlerin
bir
dizisi,
f ∈ C [ a, b ] , x ∈ [ a, b ] ve ω ( f ; δ ) f fonksiyonunun süreklilik modülü olmak üzere
Ln ( f ; x ) − f ( x ) ≤ f ( x ) Ln ( e0 ( x ) − e0 )
1
1
⎡
⎤
+ ω ( f ; δ ) ⎢ Ln ( e0 ; x ) + ( Ln ( e0 ; x ) ) 2 α n ( x ) ⎥
δ
⎣
⎦
(
(4.6)
)
dir. Burada α n2 ( x ) = Ln ( t − x ) ; x dir.
2
Şimdi Teorem 4.2 den yararlanarak (Vn ) için ez az
derecesi elde etmeye çalışalım.
( Bn )
kadar iyi bir yaklaşım
49
(Vn )
lineer pozitif operatörler dizisi için
(
α n2 ( x ) = Vn ( t − x ) ; q; x
2
)
= Vn ( t 2 ; q; x ) − 2 xVn ( t ; q; x ) + x 2Vn (1; q; x )
şeklindedir. Burada
Vn (1; q; x ) = 1 , Vn ( t ; q; x ) = rn* ( x ) ve Vn ( t 2 ; q; x ) = x 2
(4.7)
olduğu kullanılırsa
α n2 ( x ) = x 2 − 2 xrn* ( x ) + x 2
(4.8)
= 2 x ⎡⎣ x − rn* ( x ) ⎤⎦
elde edilir. Eş. 4.7 ve Eş. 4.8 ifadelerini kullanarak Eş. 4.6 eşitsizliğini
polinomu için yazarsak
⎡ 1
⎤
2 x ( x − rn* ( x ) ) ⎥
Vn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ f ( x ) 1 − 1 + ω ( f ; δ ) ⎢1 +
⎣ δ
⎦
⎡ 1
⎤
2 x ( x − rn* ( x ) ) ⎥
= ω ( f ; δ ) ⎢1 +
⎣ δ
⎦
elde edilir.
⎡ 1
Bn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ ω ( f ; δ ) ⎢1 +
⎢⎣ δ
olduğunu ikinci bölümde göstermiştik.
x (1 − x ) ⎤
⎥
[ n]q ⎥⎦
(Vn )
50
Vn ( f ; q; x ) in f ( x ) e yaklaşım derecesinin en az Bn ( f ; q; x ) in f ( x ) e yaklaşım
derecesi kadar iyi olması için
2 x ( x − rn* ( x ) ) ≤
x (1 − x )
[ n]q
olmalıdır. Buradan
2 x ( x − rn* ( x ) ) ≤
x (1 − x )
[ n]q
2 x 2 − 2 xrn* ( x ) ≤
x − x2
[ n]q
− rn* ( x ) ≤
x
1
−
−x
2 [ n ]q 2 [ n ]q
rn* ( x ) ≥ x +
x
1
−
2 [ n ]q 2 [ n ]q
elde edilir. O halde
rn ( x ) = x +
x
1
−
2 [ n ]q 2 [ n ]q
(4.9)
olması durumunda Vn ( f ; q; x ) in f ( x ) e yaklaşım derecesi en az Bn ( f ; q; x ) in
f ( x ) e yaklaşım derecesi kadar iyidir.
4.2. King Tipli q − Bernstein Polinomlarının Süreklilik Modülü İle Yaklaşım
Hızı
Bu kısımda, Eş. 4.1 ile verilen King tipli q − Bernstein polinomlarının yaklaşım hızı
Eş. 3.1 ile tanımlanan süreklilik modülü yardımıyla hesaplanacaktır.
51
4.3 Teorem
Eğer f ∈ C [ 0,1] ise King tipli q − Bernstein polinomlarının süreklilik modülüyle
yaklaşım hızı
Vn ( f ; qn ; x ) − f ( x )
⎛
3 ⎜
≤
ω
f;
C [ 0,1]
2 ⎜
⎝
1
[ n]q
⎞
⎟
⎟
⎠
olarak hesaplanır. Burada 0 < qn < 1 , lim qn = 1 , lim qnn = c ( c ≠ 1) dir.
n →∞
n →∞
İspat
Teoremin ispatını üçüncü bölümde yapılan ispata benzer şekilde yapacağız.
n
⎛ [k ]
Vn ( f ; q; x ) = ∑ f ⎜ q
⎜ [ n]
k =0
⎝ q
n − k −1
⎞ ⎡n⎤
k
⎟ ⎢ ⎥ ( rn ( x ) ) ∏ (1 − q s rn ( x ) ) , 0 ≤ x ≤ 1
⎟ ⎣k ⎦ q
s =0
⎠
olduğundan
n − k −1
k
⎡n⎤
Vn (1; q; x ) = ∑ ⎢ ⎥ ( rn ( x ) ) ∏ (1 − q s rn ( x ) )
k =0 ⎣ k ⎦ q
s =0
n
olur. Dolayısıyla lineerlikten
Vn ( f ; q; x ) − f ( x ) =
n
∑
k =0
⎛ [k ]
f⎜ q
⎜ [ n ]q
⎝
n − k −1
⎞ ⎡n⎤
k
⎟ ⎢ ⎥ ( rn ( x ) ) ∏ (1 − q s rn ( x ) )
⎟ ⎣k ⎦ q
s =0
⎠
n − k −1
n
k
⎡n⎤
− f ( x ) ∑ ⎢ ⎥ ( rn ( x ) ) ∏ (1 − q s rn ( x ) )
k =0 ⎣ k ⎦ q
s =0
52
⎛
= ∑⎜
k =0 ⎜
⎝
n
⎛ [k ]
f⎜ q
⎜ [ n ]q
⎝
⎞
n − k −1
⎞
[ n]q !
k
⎟ − f ( x)⎟
rn ( x ) ) ∏ (1 − q s rn ( x ) )
(
⎟
⎟ [ n − k ]q ![ k ]q !
s =0
⎠
⎠
elde edilir.
n − k −1
[ n]q !
k
≥ 0 , ( rn ( x ) ) ≥ 0 ve ∏ (1 − q s rn ( x ) ) ≥ 0
[ n − k ]q ![ k ]q !
s =0
olduğunu ve üçgen eşitsizliğini kullanırsak
n
⎛ [k ]
Vn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ ∑ f ⎜ q
⎜ [ n]
k =0
⎝ q
n − k −1
⎞
[ n]q !
k
⎟ − f ( x)
rn ( x ) ) ∏ (1 − q s rn ( x ) )
(
⎟
[ n − k ]q ![ k ]q !
s =0
⎠
(4.10)
elde edilir. Süreklilik modülünün (vii) özelliğinde t =
[ k ]q
[ n]q
seçimiyle
⎛ [k ]
⎞
q
⎜
⎟
−x
⎛ [ k ]q ⎞
⎜ [ n ]q
⎟
⎟ − f ( x) ≤ ⎜
f⎜
+ 1⎟ ω ( f ; δ )
⎜ [ n] ⎟
δ
⎜
⎟
⎝ q⎠
⎜⎜
⎟⎟
⎝
⎠
yazılabilir. Bu sonucu Eş. 4.10 da yerine yazarsak ve lineer pozitif operatörlerin
monotonluğunu kullanırsak
53
⎛ [k ]
⎞
q
⎜
⎟
−x
n ⎜ [ n]
⎟
[ n]q !
q
+ 1⎟ ω ( f ; δ )
Vn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ ∑ ⎜
δ
[ n − k ]q ![ k ]q !
k =0 ⎜
⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝
⎠
× ( rn ( x ) )
k
n − k −1
∏ (1 − q r ( x ) )
n
δ
k =0
n
ω ( f ;δ )
+ ∑ ω ( f ;δ )
k =0
n
s =0
[ k ]q
−x
[ n]q
=∑
s
n − k −1
[ n]q !
k
rn ( x ) ) ∏ (1 − q s rn ( x ) )
(
[ n − k ]q ![ k ]q !
s =0
n − k −1
[ n]q !
k
rn ( x ) ) ∏ (1 − q s rn ( x ) )
(
[ n − k ]q ![ k ]q !
s =0
bulunur. Yani
⎧⎪ 1 n [ k ]
n − k −1
[ n]q !
k
q
−x
Vn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ ω ( f ; δ ) ⎨ ∑
rn ( x ) ) ∏ (1 − q s rn ( x ) )
(
[ n − k ]q ![ k ]q !
s =0
⎪⎩ δ k =0 [ n ]q
n − k −1
n
⎫⎪
[ n]q !
k
+∑
rn ( x ) ) ∏ (1 − q s rn ( x ) ) ⎬
(
k = 0 [ n − k ]q ![ k ]q !
s =0
⎪⎭
⎧⎪ 1 n [ k ]
n − k −1
[ n]q !
k
q
= ω ( f ;δ ) ⎨ ∑
−x
rn ( x ) ) ∏ (1 − q s rn ( x ) )
(
[ n − k ]q ![ k ]q !
s =0
⎪⎩ δ k =0 [ n ]q
+Vn (1; q; x )}
(4.11)
olup buradan
⎧⎪ 1 n [ k ]
[ n]q !
q
Vn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ ω ( f ; δ ) ⎨ ∑
−x
[ n − k ]q ![ k ]q !
⎪⎩ δ k =0 [ n ]q
n − k −1
k
⎫
× ( rn ( x ) ) ∏ (1 − q s rn ( x ) ) + 1⎬
s =0
⎭
(4.12)
54
bulunur. Bu ifadede
n − k −1
[ k ]q
[ n]q !
k
s
r
x
−x
(
n ( ) ) ∏ (1 − q rn ( x ) )
[ n − k ]q ![ k ]q !
k = 0 [ n ]q
s =0
n
T =∑
denirse
[ k ]q
k = 0 [ n ]q
n
T =∑
1
n − k −1
⎛
⎞2
[ n]q !
k
s
⎟
r
x
1
q
r
x
−x⎜
−
( ( )) ∏ (
n ( ))
⎜ [ n − k ]q ![ k ]q ! n
⎟
s =0
⎝
⎠
1
n − k −1
⎛
⎞2
[ n]q !
k
s
⎜
r
x
1
q
r
x
−
(
)
(
)
(
) ∏(
) ⎟⎟
n
⎜ [ n − k ] ![ k ] ! n
0
s
=
q
q
⎝
⎠
yazılır. Cauchy-Schwartz eşitsizliğinin uygulanmasıyla
1
2
⎛ n ⎛ [k ]
⎞2
n − k −1
⎞
n ]q !
[
k
q
s
− x⎟
T ≤ ⎜∑⎜
( r ( x ) ) ∏ (1 − q rn ( x ) ) ⎟⎟
⎜⎜ k =0 ⎜ [ n ]
⎟ [ n − k ] ![ k ] ! n
⎟
s =0
q
q
⎠
⎝ ⎝ q
⎠
1
n − k −1
⎛ n
⎞2
[ n]q !
k
s
⎜∑
( r ( x ) ) ∏ (1 − q rn ( x ) ) ⎟⎟
⎜ k =0 [ n − k ] ![ k ] ! n
s =0
q
q
⎝
⎠
olup Eş. 4.2 den
1
2
⎛ n ⎛ [k ]
⎞2
n − k −1
⎞
[ n]q !
k
q
s
⎜
− x⎟
T ≤ ∑⎜
( r ( x ) ) ∏ (1 − q rn ( x ) ) ⎟⎟
⎜⎜ k =0 ⎜ [ n ]
⎟ [ n − k ] ![ k ] ! n
⎟
s =0
q
q
⎠
⎝ ⎝ q
⎠
bulunur. Bu sonuç Eş. 4.12 de yerine yazılırsa
55
2
⎧ ⎛ n ⎛ [k ]
⎞
[ n]q !
k
⎪1 ⎜
q
− x⎟
Vn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ ω ( f ; δ ) ⎨ ∑ ⎜
rn ( x ) )
(
⎟ [ n − k ] ![ k ] !
⎪ δ ⎜⎜⎝ k =0 ⎜⎝ [ n ]q
q
q
⎠
⎩
1
⎫
2
⎞
s
(1 − q rn ( x ) ) ⎟ + 1⎪⎬
∏
s =0
⎠
⎪⎭
n − k −1
olur. Diğer yandan
⎛ [ k ]q
⎞ [ k ]q
[ k ]q 2
⎜
− x⎟ =
−
+x
2
x
⎜ [n]
⎟ [ n] 2
n ]q
[
q
⎝
⎠
q
2
2
olduğundan
⎧ ⎛ n ⎛ [k ] 2
⎞
[k ]
⎪1
Vn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ ω ( f ; δ ) ⎨ ⎜ ∑ ⎜ q 2 − 2 x q + x 2 ⎟
⎟
[ n]q
⎪⎩ δ ⎜⎝ k =0 ⎜⎝ [ n ]q
⎠
×
[ n]q !
[ n − k ]q ![ k ]q
( r ( x ))
!
n
k
1
⎫
⎞2 ⎪
(1 − q s rn ( x ) ) ⎟⎟ + 1⎬
∏
s =0
⎪
⎠
⎭
n − k −1
⎧ ⎛ n [k ] 2
n − k −1
[ n]q !
k
⎪1
q
r
x
1 − q s rn ( x ) )
= ω ( f ;δ ) ⎨ ⎜ ∑
(
)
(
)
(
∏
n
2
n
k
k
δ
!
!
⎜
−
]q [ ]q
s =0
⎪⎩ ⎝ k =0 [ n ]q [
n − k −1
n [k ]
[ n]q !
k
q
s
r
x
− 2 x∑
(
n ( ) ) ∏ (1 − q rn ( x ) )
k = 0 [ n ]q [ n − k ]q ![ k ]q !
s =0
⎫
⎪
+x
+ 1⎬
⎪
⎭
1
⎪⎧ 1
⎪⎫
= ω ( f ; δ ) ⎨ Vn ( t 2 ; q; x ) − 2 xVn ( t ; q; x ) + x 2Vn (1; q; x ) 2 + 1⎬
⎪⎩ δ
⎭⎪
2
⎞
[ k ]q
[ n]q !
k
rn ( x ) ) ∏ (1 − q s rn ( x ) ) ⎟
(
∑
⎟
k = 0 [ n ]q [ n − k ]q ![ k ]q !
s =0
⎠
n − k −1
n
(
yazılır. Bu eşitlikte Eş. 4.2 , Eş. 4.3 ve Eş. 4.4 ün kullanılmasıyla
1
2
)
56
1
⎧1
⎫
Vn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ ω ( f ; δ ) ⎨ ( x 2 − 2 xrn ( x ) + x 2 .1) 2 + 1⎬
⎩δ
⎭
1
⎧1
⎫
= ω ( f ; δ ) ⎨ 2 x ( x − rn ( x ) ) 2 + 1⎬
⎩δ
⎭
(
)
bulunur. Burada Eş. 4.9 da ki rn ( x ) değeri yerine yazılırsa
⎡ ⎛ ⎛
x
1
⎡⎣ 2 x ( x − rn ( x ) ) ⎦⎤ = ⎢ 2 x ⎜ x − ⎜ x +
−
2 [ n ]q 2 [ n ]q
⎢ ⎜ ⎜⎝
⎣ ⎝
1
2
⎡ ⎛ 1− x
= ⎢2x ⎜
⎢⎣ ⎜⎝ 2 [ n ]q
1
2
1
⎞ ⎞⎤ 2
⎟ ⎟⎥
⎟ ⎟⎥
⎠ ⎠⎦
1
⎞⎤
⎡ x (1 − x ) ⎤ 2
⎥
⎟ =⎢
⎥
⎟⎥
n ]q ⎥
[
⎢
⎠⎦
⎣
⎦
bulunur. x ∈ [ 0,1] için
1
⎧
⎫ 1
maks ⎨( x (1 − x ) ) 2 ⎬ =
0≤ x ≤1
⎩
⎭ 2
olacağından
⎧
⎪1
Vn ( f ; q; x ) − f ( x ) C 0,1 ≤ ω ( f ; δ ) ⎨
[ ]
δ
⎩⎪
elde edilir. δ =
1
[ n]q
Vn ( f ; qn ; x ) − f ( x )
1
[ n]q
ve q = qn seçimiyle
C [ 0,1]
⎛
3 ⎜
≤ ω f;
2 ⎜
⎝
1
[ n]q
⎞
⎟
⎟
⎠
⎫
1 ⎪
+ 1⎬
2 ⎪
⎭
57
bulunur ki böylece ispat tamamlanır.
4.3. King Tipli q − Bernstein Polinomlarının Peetre-K Fonksiyoneli ile Yaklaşım
Hızı
Bu kısımda, Eş. 4.1 ile verilen King tipli q − Bernstein polinomlarının yaklaşım hızı
Eş. 3.5 ile tanımlanan Peetre-K fonksiyoneli yardımıyla hesaplanacaktır.
4.4 Teorem
Eğer f ∈ C [ 0,1] ise
⎛ ⎛ 1
Vn ( f ; qn ; x ) − f ( x ) ≤ 2 K ⎜ f ; ⎜
⎜ ⎜ 16 [ n ]q
⎝ ⎝
⎛ ⎛ 1
gerçeklenir. Burada K ⎜ f ; ⎜
⎜ ⎜ 16 [ n ]q
⎝ ⎝
⎞⎞
⎟⎟
⎟⎟
⎠⎠
⎞⎞
⎟ ⎟ Peetre-K fonksiyonelidir.
⎟⎟
⎠⎠
İspat
Teoremin ispatını üçüncü bölümde yapılan ispata benzer şekilde yapacağız.
(Vn )
operatörü Eş. 3.6 integral eşitliğine uygulanırsa
⎛t
⎞
′
Vn ( g ( t ) − g ( x ) ; q; x ) = Vn ( g ( x )( t − x ) ; q; x ) + Vn ⎜ ∫ g ′′ ( s )( t − s ) ds; q; x ⎟
⎝x
⎠
elde edilir. Eşitliğin her iki yanının mutlak değeri alınacak olursa
(4.13)
58
Vn ( g ( t ) − g ( x ) ; q; x ) = Vn ( g ′ ( x )( t − x ) ; q; x )
⎛t
⎞
+ Vn ⎜ ∫ g ′′ ( s )( t − s ) ds; q; x ⎟
⎝x
⎠
(4.14)
≤ g ′ C[0,1] Vn ( ( t − x ) ; q; x )
⎛t
⎞
+ g ′′ C[0,1] Vn ⎜ ∫ ( t − s ) ds; q; x ⎟
⎝x
⎠
bulunur. Öte yandan
t
∫ (t − s )
x
(t − s )
ds = −
2
2
t (t − x )
=
x
2
2
olup bu sonuç Eş. 4.14 de yerine yazılırsa
Vn ( g ( t ) − g ( x ) ; q; x ) ≤ ϕ n ,1 ( x ) g ′ C[0,1]
⎛ ( t − x )2
⎞
+ g ′′ C[0,1] Vn ⎜
; q; x ⎟
⎜ 2
⎟
⎝
⎠
= ϕn ,1 ( x ) g ′ C[0,1]
1
g ′′ C[0,1] Vn ( t 2 − 2 xt + x 2 ; q; x )
2
= ϕn ,1 ( x ) g ′ C[0,1]
+
(4.15)
{
1
g ′′ C[0,1] Vn ( t 2 ; q; x )
2
− 2 xVn ( t ; q; x ) + x 2Vn (1; q; x )}
+
elde edilir. Eş. 4.2 , Eş. 4.3 ve Eş. 4.4 den
1
ϕ n,2 ( x ) g ′′ C[0,1]
2
1
2
g ′ C[0,1] + Vn ( t − x ) ; q; x
2
Vn ( g ; q; x ) − g ( x ) ≤ ϕn ,1 ( x ) g ′ C[0,1] +
= Vn ( ( t − x ) ; q; x )
(
)
g ′′ C[0,1]
59
= Vn ( t ; q; x ) − xVn (1; q; x ) g ′ C[0,1]
1
Vn ( t 2 ; q; x ) − 2 xVn ( t ; q; x ) + x 2Vn (1; q; x ) g ′′ C[0,1]
2
1
= rn ( x ) − x g ′ C[0,1] + x 2 − 2 xrn ( x ) + x 2 g ′′ C[0,1]
2
1
= rn ( x ) − x g ′ C[0,1] + 2 x 2 − 2 xrn ( x ) g ′′ C[0,1]
2
+
bulunur.
g
C 2 [0,1]
= g
C [ 0,1]
+ g ′ C[0,1] + g ′′ C[0,1]
olduğundan
Vn ( g ; q; x ) − g ( x ) ≤ rn ( x ) − x + x 2 − xrn ( x ) g
(4.16)
C 2 [ 0,1]
yazılabilir. Burada Eş. 4.9 ile verilen rn ( x ) değeri yerine yazılırsa
⎛
x
1
Vn ( g ; q; x ) − g ( x ) ≤ ⎜ x +
−
⎜
2 [ n ]q 2 [ n ]q
⎝
⎛ x
1
=⎜
−
⎜ 2 [ n ]q 2 [ n ]q
⎝
x − 1 − x2 + x
g
=
2 [ n ]q
=
− ( x 2 − 2 x + 1)
2 [ n ]q
1 ( x − 1)
=
2 [ n ]q
⎞
⎛
x
1
⎟ − x + x2 − x ⎜ x +
−
⎟
⎜
2 [ n ]q 2 [ n ]q
⎠
⎝
⎞ ⎛ x
1
⎟ − x⎜
−
⎟ ⎜ 2 [ n ]q 2 [ n ]q
⎠ ⎝
⎞
⎟ g
⎟
⎠
⎞
⎟ g
⎟
⎠
C 2 [0,1]
C 2 [0,1]
C 2 [ 0,1]
g
C 2 [0,1]
2
g
C 2 [ 0,1]
(4.17)
60
elde edilir. Diğer taraftan
Vn ( f ; q; x ) − f ( x ) = Vn ( f ; q; x ) − f ( x ) + Vn ( g ; q; x ) − Vn ( g ; q; x ) + g ( x ) − g ( x )
şeklinde yazılabilir.
Vn ( f ; q; x ) − f ( x ) = (Vn ( f ; q; x ) − Vn ( g ; q; x ) )
+ ( − f ( x ) + g ( x ) ) + (Vn ( g ; q; x ) − g ( x ) )
diyebiliriz. Üçgen eşitsizliğinin uygulanmasıyla
Vn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ Vn ( f − g ; q; x ) + f ( x ) − g ( x ) + Vn ( g ; q; x ) − g ( x )
bulunur. (Vn ) lineer operatör olduğundan
Vn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ f − g
C [ 0,1]
+ f −g
Vn (1; q; x )
+ Vn ( g ; q; x ) − g ( x )
C [0,1]
olur. Eş. 4.18 de Eş. 4.2 ve Eş. 4.17 nin kullanılmasıyla
Vn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ 2 f − g
+
C [ 0,1]
1 ( x − 1)
2 [ n ]q
2
g
C 2 [ 0,1]
elde edilir. O halde
Vn ( f ; q; x ) − f ( x )
C [0,1]
≤2 f −g
C [ 0,1]
+
11 1
g
2 4 [ n ]q
C 2 [0,1]
(4.18)
61
bulunur. Her iki taraftan g ∈ C 2 [ 0,1] üzerinden infimum alınırsa sol taraf g den
bağımsız olduğundan
Vn ( f ; q; x ) − f ( x )
⎛
1
⎜
2
;
≤
K
f
2
C [0,1]
⎜ 16 [ n ]
q
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
elde edilir.
q = q n , 0 < qn < 1 , lim qnn = c
n →∞
( c ≠ 1)
alınmasıyla Eş.4.13 ifadesi yaklaşım hızını
verir.
4.4. King Tipli q − Bernstein Polinomlarının Lipschitz Sınıfındaki Fonksiyonlar
ile Yaklaşım Hızı
Bu kısımda, Eş. 4.1 ile verilen King tipli q − Bernstein polinomlarının yaklaşım hızı
Eş. 3.16 ile tanımlanan Peetre-K fonksiyoneli yardımıyla hesaplanacaktır.
4.5 Teorem
f ∈ LipM (α ) , 0 < α ≤ 1 olmak üzere
Vn ( f ; qn ; x ) − f ( x )
gerçeklenir.
C [ 0,1]
⎛
⎜⎛ 1
= O⎜⎜
⎜
⎜ ⎝ 4 [ n ]q
⎝
α
⎞
⎞2 ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎟
⎠
(4.19)
62
İspat
n − k −1
n
k
⎡n⎤
Vn (1; q; x ) = ∑ ⎢ ⎥ ( rn ( x ) ) ∏ (1 − q s rn ( x ) ) = 1
k =0 ⎣ k ⎦ q
s =0
olduğundan
Vn ( f ; q; x ) − f ( x ) =
n
∑
k =0
⎛ [ k ]q
f⎜
⎜ [ n]
⎝ q
n − k −1
⎞ ⎡n⎤
k
⎟ ⎢ ⎥ ( rn ( x ) ) ∏ (1 − q s rn ( x ) )
⎟ ⎣k ⎦ q
s =0
⎠
n − k −1
n
k
⎡n⎤
− f ( x ) ∑ ⎢ ⎥ ( rn ( x ) ) ∏ (1 − q s rn ( x ) )
k =0 ⎣ k ⎦ q
s =0
=
⎛
⎜
∑
k =0 ⎜
⎝
n
⎛ [ k ]q
f⎜
⎜ [ n ]q
⎝
⎞ ⎡n⎤
n − k −1
⎞
k
⎟ − f ( x ) ⎟ ⎢ ⎥ ( rn ( x ) ) ∏ (1 − q s rn ( x ) )
⎟
⎟ ⎣k ⎦ q
s =0
⎠
⎠
elde ederiz. Ayrıca
⎡n⎤
⎢k ⎥ ≥ 0 ,
⎣ ⎦q
( r ( x ))
k
n
≥ 0 ve
n − k −1
∏ (1 − q r ( x ) ) ≥ 0
s =0
s
n
olduğundan üçgen eşitsizliğini kullanacak olursak
n
⎛ [ k ]q
Vn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ ∑ f ⎜
⎜ [ n]
k =0
⎝ q
olur. Eş. 3.16 da t =
⎛ [ k ]q
f⎜
⎜ [n]
⎝ q
[ k ]q
[ n]q
n − k −1
⎞
k
⎡n⎤
⎟ − f ( x ) ⎢ ⎥ ( rn ( x ) ) ∏ (1 − q s rn ( x ) )
⎟
s =0
⎣k ⎦ q
⎠
seçimiyle
⎞
[ k ]q
⎟ − f ( x) ≤ M
−x
⎟
n ]q
[
⎠
α
(4.20)
63
yazabiliriz. Bu eşitsizliği Eş. 4.20 de kullanacak olursak
[ k ]q
−x
Vn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ M ∑
k = 0 [ n ]q
n
elde edilir. p =
2
α
ve q =
α
n − k −1
⎧⎪ ⎡ n ⎤
⎫⎪
k
s
⎨ ⎢ ⎥ ( rn ( x ) ) ∏ (1 − q rn ( x ) ) ⎬
s =0
⎪⎩ ⎣ k ⎦ q
⎭⎪
(4.21)
2
1 1
seçilirse + = 1 dir ve Eş. 4.21 den
p q
2 −α
[ k ]q
−x
Vn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ M ∑
k = 0 [ n ]q
n
α
α
n − k −1
⎧⎪ ⎡ n ⎤
⎫⎪ 2
k
s
⎨ ⎢ ⎥ ( rn ( x ) ) ∏ (1 − q rn ( x ) ) ⎬
s =0
⎪⎩ ⎣ k ⎦ q
⎭⎪
n − k −1
⎧⎪ ⎡ n ⎤
⎫⎪
k
× ⎨ ⎢ ⎥ ( rn ( x ) ) ∏ (1 − q s rn ( x ) ) ⎬
s =0
⎩⎪ ⎣ k ⎦ q
⎭⎪
2 −α
2
α
2
⎫2
n − k −1
n ⎧ [k ]
k
⎡n⎤
⎪ q
⎪
s
= M ∑⎨
− x ⎢ ⎥ ( rn ( x ) ) ∏ (1 − q rn ( x ) ) ⎬
k = 0 ⎪ [ n ]q
s =0
⎣k ⎦ q
⎪⎭
⎩
n − k −1
⎧⎪ ⎡ n ⎤
⎫⎪
k
× ⎨ ⎢ ⎥ ( rn ( x ) ) ∏ (1 − q s rn ( x ) ) ⎬
s =0
⎪⎭
⎪⎩ ⎣ k ⎦ q
2 −α
2
yazabiliriz. Son eşitliğe Hölder eşitsizliğini uygularsak
α
2
⎧ n [k ]
⎫2
n − k −1
k
⎡n⎤
⎪
⎪
q
s
− x ⎢ ⎥ ( rn ( x ) ) ∏ (1 − q rn ( x ) ) ⎬
Vn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ M ⎨∑
s =0
⎣k ⎦ q
⎪⎩ k =0 [ n ]q
⎪⎭
n − k −1
⎫⎪
k
⎪⎧ n ⎡ n ⎤
× ⎨∑ ⎢ ⎥ ( rn ( x ) ) ∏ (1 − q s rn ( x ) ) ⎬
s =0
⎩⎪ k =0 ⎣ k ⎦ q
⎭⎪
2 −α
2
α
2
⎧ n [k ]
⎫2
n − k −1
k
⎡n⎤
⎪
⎪
q
s
= M ⎨∑
− x ⎢ ⎥ ( rn ( x ) ) ∏ (1 − q rn ( x ) ) ⎬
s =0
⎣k ⎦ q
⎪⎩ k =0 [ n ]q
⎪⎭
× {Vn (1; q; x )}
2 −α
2
64
olur. Eş. 4.2 den
α
2
⎧ n [k ]
⎫2
n − k −1
k
⎡n⎤
⎪
⎪
q
s
Vn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ M ⎨∑
− x ⎢ ⎥ ( rn ( x ) ) ∏ (1 − q rn ( x ) ) ⎬
s =0
⎣k ⎦ q
⎪⎩ k =0 [ n ]q
⎪⎭
α
⎧ n ⎛ [k ] 2
⎫2
⎞
n − k −1
[ k ]q
k
⎪ ⎜ q
⎪
2 ⎟ ⎡n⎤
s
x + x ⎢ ⎥ ( rn ( x ) ) ∏ (1 − q rn ( x ) ) ⎬
≤ M ⎨∑
−2
2
⎟ ⎣k ⎦ q
[ n]q
s =0
⎪⎩ k =0 ⎜⎝ [ n ]q
⎪⎭
⎠
⎧ n [k ] 2 ⎡n⎤
n − k −1
k
⎪
q
1 − q s rn ( x ) )
r
x
= M ⎨∑
(
)
(
)
(
∏
n
2 ⎢ ⎥
s =0
⎪⎩ k =0 [ n ]q ⎣ k ⎦ q
n − k −1
n [k ]
k
q ⎡n⎤
r
x
1 − q s rn ( x ) )
− 2 x∑
(
)
(
)
(
∏
⎢k ⎥ n
n
k = 0 [ ]q ⎣ ⎦ q
s =0
α
n − k −1
⎫⎪ 2
k
⎡n⎤
2
s
+ x ∑ ⎢ ⎥ ( rn ( x ) ) ∏ (1 − q rn ( x ) ) ⎬
k =0 ⎣ k ⎦ q
s =0
⎪⎭
n
{
}
= M Vn ( t ; q; x ) − 2 xVn ( t ; q; x ) + x Vn (1; q; x )
2
2
bulunur. Eş. 4.2 , Eş. 4.3 ve Eş. 4.4 den
Vn ( f ; q; x ) − f ( x ) ≤ M { x − 2 xrn ( x ) + x
2
2
}
α
2
⎛
x
1
⎪⎧
= M ⎨ x2 − 2x ⎜ x +
−
⎜
2 [ n ]q 2 [ n ]q
⎝
⎩⎪
α
⎧⎪⎛ x − x 2 ⎞ ⎫⎪ 2
⎟⎬
= M ⎨⎜
⎜
⎟
n
[
]
⎪⎩⎝
q ⎠⎪
⎭
α
⎧⎪⎛ x (1 − x ) ⎞ ⎫⎪ 2
⎟⎬
= M ⎨⎜
⎪⎩⎜⎝ [ n ]q ⎟⎠ ⎪⎭
olur. x ∈ [ 0,1] olduğundan maks x (1 − x ) =
0≤ x ≤1
α
⎫2
⎞
2⎪
⎟+ x ⎬
⎟
⎠
⎭⎪
1
dir. O halde
4
α
2
65
⎛ 1
Vn ( f ; q; x ) − f ( x ) C 0,1 ≤ M ⎜
[ ]
⎜ 4 [n]
q
⎝
α
⎞2
⎟
⎟
⎠
olur. Yani
Vn ( f ; q; x ) − f ( x )
C [0,1]
⎛
⎜⎛ 1
= O⎜⎜
⎜
⎜ ⎝ 4 [ n ]q
⎝
α
⎞
⎞2 ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎟
⎠
bulunur ve böylece ispat tamamlanır. Eğer q = q n , 0 < q n < 1 , lim q n = 1 ,
n →∞
lim qnn = c ( c ≠ 1) seçilirse Eş. 4.19 yaklaşım hızı veren bir ifade olur.
n →∞
Sonuç
q − Bernstein polinomunun King tipli genelleşmesi için Eş. 4.9 ile verilen rn ( x )
değeri ile elde ettiğimiz yaklaşımlar q − Bernstein polinomu için elde edilen
yaklaşımlar ile aynı hızdadır. King tipli
q − Bernstein polinomu
e2 = x 2
fonksiyonunu koruyan bir polinom olduğundan yaklaşım özellikleri incelenirken
daha kolay hesaplama yapma imkanı sunar.
66
5. İKİ DEĞİŞKENLİ q − BERNSTEIN POLİNOMLARININ YAKLAŞIM
ÖZELLİKLERİ
Bu bölümde Volkov teoremi ifade ve ispat edilecektir. Daha sonra iki değişkenli
q − Bernstein polinomları tanıtılarak Volkov teoremi yardımıyla yaklaşım özellikleri
inceleyeceğiz.
5.1 Teorem (V.I. Volkov 1957)
f ( x, y ) ∈ C ( a,b;c,d ) ve tüm reel eksende f ( x, y ) ≤ M f olsun. Ln ( f ( t,r ) ; x, y )
lineer pozitif operatör dizisi için düzgün olarak
i.
Ln (1; x, y )
→
1
→
ii.
Ln ( t; x, y )
→
iii.
Ln ( r; x, y )
iv.
Ln ( t 2 + r 2 ; x, y )
→
x
→
y
→
→ 2
x + y2
→
koşulları sağlanıyorsa her f ( x, y ) ∈ C ( a,b;c,d ) için
Ln ( f ( t,r ) ; x, y )
olur.
→
f ( x, y )
→
67
İspat
f ( x, y ) ∈ C ( a,b;c,d ) olduğundan ∀ε > 0 için ∃δ vardır ki ( x, y ) − ( t,r ) < δ yani
(x −t) + ( y − r)
2
2
< δ kaldığında
f ( t,r ) − f ( x, y ) < ε
sağlanır.
(x −t) + ( y − r)
2
2
≥δ
olduğunda
(x −t) + ( y − r)
2
δ2
2
≥1
olup,
f ( x, y ) ≤ M f
olduğunun kullanılmasıyla
⎡ ( x − t )2 + ( y − r )2 ⎤
f ( t,r ) − f ( x, y ) ≤ 2 M f ⎢
⎥
δ2
⎢⎣
⎥⎦
yazılabilir. O halde her durumda
68
⎡ ( x − t )2 + ( y − r )2 ⎤
f ( t,r ) − f ( x, y ) ≤ ε + 2 M f ⎢
⎥
δ2
⎢⎣
⎥⎦
2M
= ε + 2 f ⎡⎣ x 2 + y 2 − 2 ( xt − yr ) + t 2 + r 2 ⎤⎦
δ
(5.1)
yazılabilir. Diğer yandan Ln operatörünün lineerliğinden ve üçgen eşitsizliğinden
dolayı
Ln ( f ( t,r ) ; x, y ) − f ( x, y ) ≤ Ln ( f ( t,r ) − f ( x, y ) ; x, y )
+ f ( x, y ) Ln (1; x, y ) − 1
(5.2)
≤ Ln ( f ( t,r ) − f ( x, y ) ; x, y )
+ M f Ln (1; x, y ) − 1
elde edilir. Ln operatörünün monotonluğundan
(
Ln ( f ( t,r ) − f ( x, y ) ; x, y ) ≤ Ln f ( t,r ) − f ( x, y ) ; x, y
)
(5.3)
yazılabilir. Eş. 5.1 in Eş. 5.3 de kullanılmasıyla ve lineerlikten
Ln ( f ( t,r ) − f ( x, y ) ; x, y ) ≤ ε + ε ( Ln (1; x, y ) − 1)
+
2M f
δ
2
⎡( x 2 + y 2 ) ( Ln (1; x, y ) − 1)
⎣
− 2 x ( Ln ( t; x, y ) − x ) − 2 y ( Ln ( r; x, y ) − y )
(
(5.4)
)
+ Ln ( t 2 + r 2 ; x, y ) − ( x 2 + y 2 ) ⎤
⎦
yazılabilir. Eş. 5.4 ün Eş. 5.2 de kullanılmasıyla ve i,ii,iii ve iv koşullarının
kullanılmasıyla
Ln ( f ( t,r ) − f ( x, y ) ; x, y ) ≤ ε
69
elde edilir ki buda ispatı tamamlar.
5.1 Tanım
İki değişkenli q − Bernstein polinomu
n1 n2
⎛ [ k1 ]q [ k2 ]q
Bn1, n2 ( f ; q1 , q2 ; x, y ) = ∑ ∑ f ⎜
,
⎜ [ n1 ]q [ n2 ]q
k1 = 0 k2 = 0
⎝
×
n1 − k1 −1
n2 − k2 −1
⎞ ⎡ n1 ⎤ ⎡ n2 ⎤ k k
⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ x 1y 2
⎟ ⎣ k1 ⎦ q ⎣ k2 ⎦ q
⎠
(5.5)
∏ (1 − q x ) ∏ (1 − q y )
s1 = 0
s1
1
s2 = 0
s2
2
şeklindedir [Barbosu, 1999].
5.2 Tanım
I 2 = [ 0,1] × [ 0,1] , R I = { f / f : I 2 → R} , f ∈ R I , 0 < q1 < 1 ve 0 < q2 < 1 olmak
2
2
üzere
x
n1
B
n1
( f ; q1; x, y ) = ∑
k1 = 0
⎛ [ k1 ]q ⎞ ⎡ n1 ⎤ k n1 − k1 −1
f⎜
, y ⎟ ⎢ ⎥ x 1 ∏ (1 − q1s1 x )
⎜ [ n1 ]
⎟ ⎣ k1 ⎦ q
s1 = 0
q
⎝
⎠
(5.6)
⎛ [ k2 ]q
f ⎜ x,
⎜ [ n2 ]
q
⎝
(5.7)
ve
Bnx2 ( f ; q2 ; x, y ) =
şeklindedir.
n2
∑
k2 = 0
⎞ ⎡ n2 ⎤ k n2 − k2 −1
⎟ ⎢ ⎥ x 2 ∏ (1 − q2s2 x )
⎟ ⎣ k2 ⎦ q
s2 = 0
⎠
70
5.2 Teorem
Bnx1 , Bny2 C ( I 2 ) üzerinde Eş. 5.6 ve Eş. 5.7 şeklinde tanımlanan operatörler olmak
üzere ∀f ∈ C ( I 2 ) için Bn1 ,n2 : C ( I 2 ) → C ( I 2 ) iki değişkenli q − Bernstein polinomu
için
Bnx1 Bny2 = Bny2 Bnx1 = Bn1 ,n2 ( f ;q1 ,q2 ; x, y )
(5.8)
dir.
İspat
(
Bnx1 Bny2 ( f ; q2 ; x, y ) = Bnx1 Bny2 ( f ; q2 ; x, y )
⎛ n2
= Bnx1 ⎜ ∑
⎜ k2 = 0
⎝
⎛ [ k2 ]q
f ⎜ x,
⎜ [ n2 ]
q
⎝
)
⎞
⎞ ⎡ n2 ⎤ k n2 − k2 −1
⎟ ⎢ ⎥ y 2 ∏ (1 − q2s2 y ) ⎟
⎟ ⎣ k2 ⎦ q
⎟
s2 = 0
⎠
⎠
⎛
⎡ n2 ⎤ k2 n2 − k2 −1
= ∑ ⎢ ⎥ y ∏ (1 − q2s2 y )Bnx1 ⎜
⎜
k2 = 0 ⎣ k 2 ⎦ q
s2 = 0
⎝
n2
=
⎛ [ k2 ]q
f ⎜ x,
⎜ [ n2 ]
q
⎝
⎞⎞
⎟⎟
⎟⎟
⎠⎠
⎡ n2 ⎤ k2 n2 − k2 −1
s2
∑
⎢ k ⎥ y ∏ (1 − q2 y )
k2 = 0 ⎣ 2 ⎦ q
s2 = 0
n2
⎛ [ k1 ]q [ k2 ]q
f⎜
,
⎜ [ n1 ] [ n2 ]
q
q
⎝
⎛ n1
⎜∑
⎜ k1 =0
⎝
n1 − k1 −1
⎞
⎞ ⎡n ⎤
⎟ ⎢ 1 ⎥ x k1 ∏ (1 − q1s1 x ) ⎟
⎟ ⎣ k1 ⎦ q
⎟
s1 = 0
⎠
⎠
⎛ [ k1 ]q [ k2 ]q
=∑∑ f ⎜
,
⎜ [ n1 ]q [ n2 ]q
k1 = 0 k2 = 0
⎝
n1
n2
n1 − k1 −1
n2 − k2 −1
⎞ ⎡ n1 ⎤ ⎡ n2 ⎤ k k
⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ x 1y 2
⎟ ⎣ k1 ⎦ q ⎣ k2 ⎦ q
⎠
∏ (1 − q x ) ∏ (1 − q y )
s1 = 0
elde edilir. Benzer şekilde
s1
1
s2 = 0
s2
2
(5.9)
71
(
Bny2 Bnx1 ( f ; q1 ; x, y ) = Bny2 Bnx1 ( f ; q1 ; x, y )
⎛ n1
= Bny2 ⎜ ∑
⎜ k1 =0
⎝
)
⎞
⎛ [ k1 ]q ⎞ ⎡ n1 ⎤ k n1 − k1 −1
, y ⎟ ⎢ ⎥ x 1 ∏ (1 − q1s1 x ) ⎟
f⎜
⎜ [ n1 ]q ⎟ ⎣ k1 ⎦ q
⎟
s1 = 0
⎝
⎠
⎠
n1 − k1 −1
n1
⎛
⎡n ⎤
= ∑ ⎢ 1 ⎥ x k1 ∏ (1 − q1s1 x )Bny2 ⎜
⎜
k1 = 0 ⎣ k1 ⎦ q
s1 = 0
⎝
⎛ [ k1 ]q ⎞ ⎞
, y ⎟⎟
f⎜
⎜ [ n1 ]q ⎟ ⎟
⎝
⎠⎠
⎡ n1 ⎤ k1 n1 − k1 −1
= ∑ ⎢ ⎥ x ∏ (1 − q1s1 x )
k1 = 0 ⎣ k1 ⎦ q
s1 = 0
n1
⎛ n2
⎜∑
⎜ k2 = 0
⎝
⎛ [ k1 ]q [ k2 ]q
f⎜
,
⎜ [ n1 ] [ n2 ]
q
q
⎝
⎞
⎞ ⎡ n2 ⎤ k n2 − k2 −1
⎟ ⎢ ⎥ y 2 ∏ (1 − q2s2 y ) ⎟
⎟ ⎣ k2 ⎦ q
⎟
s2 = 0
⎠
⎠
n1 n2
⎛ [ k1 ]q [ k2 ]q
=∑∑ f ⎜
,
⎜ [ n1 ] [ n2 ]
k1 = 0 k2 = 0
q
q
⎝
n1 − k1 −1
∏
s1 = 0
(1 − q1s1 x )
n2 − k2 −1
⎞ ⎡ n1 ⎤ ⎡ n2 ⎤ k k
⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ x 1y 2
⎟ ⎣ k1 ⎦ q ⎣ k2 ⎦ q
⎠
∏ (1 − q y )
s2 = 0
s2
2
(5.10)
elde edilir. Eş. 5.9 ve Eş. 5.10 ifadeleri denk olduğundan ispat tamamlanır.
5.3 Teorem
eij : I 2 → I 2 , eij ( x, y ) = x i y j
, i, j = 0 ,1, 2
test fonksiyonları olmak üzere,
∀ ( x, y ) ∈ I 2 için
i.
Bn1, n2 ( e00 ; q1 , q2 ; x, y ) = e00 ( x, y )
(5.11)
ii.
Bn1, n2 ( e10 ; q1 , q2 ; x, y ) = e10 ( x, y )
(5.12)
iii.
Bn1, n2 ( e01 ; q1 , q2 ; x, y ) = e01 ( x, y )
(5.13)
iv.
Bn1, n2 ( e11 ; q1 , q2 ; x, y ) = e11 ( x, y )
(5.14)
v.
Bn1, n2 ( e20 ; q1 , q2 ; x, y ) = e20 ( x, y ) +
x (1 − x )
[ n1 ]q
(5.15)
72
vi.
Bn1, n2 ( e02 ; q1 , q2 ; x, y ) = e02 ( x, y ) +
y (1 − y )
[ n2 ]q
(5.16)
eşitlikleri sağlanır [Barbosu, 1999].
İspat
i.
n1 − k1 −1
n2 − k2 −1
n1 n2
⎡n ⎤ ⎡n ⎤
Bn1, n2 ( e00 ; q1 , q2 ; x, y ) = ∑ ∑ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 2 ⎥ x k1 y k2 ∏ (1 − q1s1 x ) ∏ (1 − q2s2 y )
k1 = 0 k2 = 0 ⎣ k1 ⎦ q ⎣ k 2 ⎦ q
s1 = 0
s2 = 0
n1 − k1 −1
n2 − k2 −1
⎧⎪ n1 ⎡ n ⎤
⎫⎪ ⎧⎪ n2 ⎡ n ⎤
⎫⎪
= ⎨ ∑ ⎢ 1 ⎥ x k1 ∏ (1 − q1s1 x ) ⎬ ⎨ ∑ ⎢ 2 ⎥ y k2 ∏ (1 − q2s2 y ) ⎬
k
k
s1 = 0
s2 = 0
⎩⎪ k1 =0 ⎣ 1 ⎦ q
⎭⎪ ⎩⎪ k2 =0 ⎣ 2 ⎦ q
⎭⎪
= Bn1 ( e0 ; q1 ; x ) Bn2 ( e0 ; q2 ; y )
= 1.1 = 1 = e00 ( x, y )
ii.
n − k −1
[ k1 ]q ⎡ n1 ⎤ ⎡ n2 ⎤ k k n −k −1
s
−
1
1 − q2s y )
x
y
q
x
(
)
(
∏
∏
1
⎢
⎥
⎢
⎥
k = 0 k = 0 [ n1 ]q ⎣ k1 ⎦ q ⎣ k 2 ⎦ q
s =0
s =0
⎧⎪ n [ k1 ]q ⎡ n1 ⎤ k n − k −1
⎫⎪ ⎧⎪ n ⎡ n2 ⎤ k n − k −1
⎫⎪
s
s
x
q
x
1
= ⎨∑
−
(
)
⎬ ⎨ ∑ ⎢ ⎥ y ∏ (1 − q2 y ) ⎬
∏
1
⎢
⎥
k
k
n
s =0
s =0
⎭⎪
⎩⎪ k =0 [ 1 ]q ⎣ 1 ⎦ q
⎭⎪ ⎪⎩ k =0 ⎣ 2 ⎦ q
= Bn ( e1 ; q1 ; x ) Bn ( e0 ; q2 ; y )
= x.1 = x = e10 ( x, y )
n1
n2
1
Bn1, n2 ( e10 ; q1 , q2 ; x, y ) = ∑ ∑
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
2
iii.
n − k −1
[ k2 ]q ⎡ n1 ⎤ ⎡ n2 ⎤ k k n −k −1
s
x
y
q
x
−
1
1 − q2s y )
(
)
(
∏
∏
1
⎢
⎥
⎢
⎥
k = 0 k = 0 [ n2 ]q ⎣ k1 ⎦ q ⎣ k 2 ⎦ q
s =0
s =0
⎫⎪
⎧⎪ n ⎡ n1 ⎤ k n − k −1
⎫⎪ ⎧⎪ n [ k2 ]q ⎡ n2 ⎤ k n − k −1
s
= ⎨ ∑ ⎢ ⎥ x ∏ (1 − q1 x ) ⎬ ⎨ ∑
y ∏ (1 − q2s y ) ⎬
⎢
⎥
k
k
s =0
s =0
⎩⎪ k =0 ⎣ 1 ⎦ q
⎭⎪ ⎩⎪ k =0 [ n2 ]q ⎣ 2 ⎦ q
⎭⎪
= Bn ( e0 ; q1 ; x ) Bn ( e1 ; q2 ; y )
n1
n2
1
Bn1, n2 ( e01 ; q1 , q2 ; x, y ) = ∑ ∑
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
73
= 1. y = y = e01 ( x, y )
iv.
n − k −1
[ k1 ]q [ k2 ]q ⎡ n1 ⎤ ⎡ n2 ⎤ k k n −k −1
s
x
y
q
x
−
1
1 − q2s y )
(
)
(
∏
∏
1
⎢
⎥
⎢
⎥
k = 0 k = 0 [ n1 ]q [ n2 ]q ⎣ k1 ⎦ q ⎣ k 2 ⎦ q
s =0
s =0
⎧⎪ n [ k1 ]q ⎡ n1 ⎤ k n − k −1
⎫⎪ ⎧⎪ n [ k2 ]q ⎡ n2 ⎤ k n − k −1
⎫⎪
s
s
= ⎨∑
−
−
1
1
x
q
x
y
q
y
(
)
(
)
⎬
⎨
⎬
∑
∏
∏
1
2
⎢ ⎥
⎢ ⎥
s =0
s =0
⎪⎩ k =0 [ n1 ]q ⎣ k1 ⎦ q
⎪⎭ ⎩⎪ k =0 [ n2 ]q ⎣ k2 ⎦ q
⎭⎪
= Bn ( e1 ; q1 ; x ) Bn ( e1 ; q2 ; y )
= x. y = x. y = e11 ( x, y )
n1
n2
1
Bn1, n2 ( e11 ; q1 , q2 ; x, y ) = ∑ ∑
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
v.
n2 − k2 −1
⎛ [ k1 ]q ⎞ ⎡ n1 ⎤ ⎡ n2 ⎤ k k n1 − k1 −1
⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ x 1 y 2 ∏ (1 − q1s1 x ) ∏ (1 − q2s2 y )
Bn1, n2 ( e20 ; q1 , q2 ; x, y ) = ∑ ∑ ⎜
k1 = 0 k2 = 0 ⎜ [ n1 ]q ⎟ ⎣ k1 ⎦ q ⎣ k 2 ⎦ q
s1 = 0
s2 = 0
⎝
⎠
⎧ n1 ⎛ [ k ] ⎞2 n
⎫ ⎧ n2 n
n2 − k2 −1
⎫⎪
⎡ 1 ⎤ k1 n1 − k1 −1
1 q
⎪
⎪⎪ ⎡ ⎤
s1
⎟ ⎢ ⎥ x ∏ (1 − q1 x ) ⎬ ⎨ ∑ ⎢ 2 ⎥ y k2 ∏ (1 − q2s2 y ) ⎬
= ⎨∑ ⎜
s2 = 0
s1 = 0
⎪⎩ k1 =0 ⎜⎝ [ n1 ]q ⎟⎠ ⎣ k1 ⎦ q
⎪⎭ ⎪⎩ k2 =0 ⎣ k2 ⎦ q
⎭⎪
n1
n2
2
= Bn1 ( e2 ; q1 ; x ) Bn2 ( e0 ; q2 ; y )
⎛
x (1 − x ) ⎞
x (1 − x )
⎟ .1 = e20 ( x, y ) +
= ⎜ x2 +
⎜
[ n1 ]q ⎟⎠
[ n1 ]q
⎝
vi.
⎛ [ k2 ]q
Bn1, n2 ( e02 ; q1 , q2 ; x, y ) = ∑ ∑ ⎜
k1 = 0 k2 = 0 ⎜ [ n2 ]q
⎝
n1
n2
2
n2 − k2 −1
⎞ ⎡ n1 ⎤ ⎡ n2 ⎤ k k n1 − k1 −1
s1
1
2
⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ x y ∏ (1 − q1 x ) ∏ (1 − q2s2 y )
⎟ ⎣ k1 ⎦ q ⎣ k2 ⎦ q
s1 = 0
s2 = 0
⎠
⎧⎪ n1 ⎡ n1 ⎤ k n1 − k1 −1
⎫⎪ ⎧⎪ n2 ⎛ [ k2 ]q
s1
1
= ⎨ ∑ ⎢ ⎥ x ∏ (1 − q1 x ) ⎬ ⎨ ∑ ⎜
s1 = 0
⎪⎩ k1 =0 ⎣ k1 ⎦ q
⎪⎭ ⎩⎪ k2 =0 ⎜⎝ [ n2 ]q
= Bn1 ( e0 ; q1 ; x ) Bn2 ( e2 ; q2 ; y )
⎛
y (1 − y ) ⎞
y (1 − y )
⎟ = e02 ( x, y ) +
= 1. ⎜ y 2 +
⎜
[ n2 ]q ⎟⎠
[ n2 ]q
⎝
Böylece ispat tamamlanır.
2
⎫
n2 − k2 −1
⎞ ⎡ n2 ⎤
⎪
k2
s2
⎟ ⎢ ⎥ y ∏ (1 − q2 y ) ⎬
⎟ ⎣ k2 ⎦ q
s2 = 0
⎠
⎭⎪
74
5.4 Teorem
∀f : I 2 → R fonksiyonu için, ω ( f ; δ1 , δ 2 ) iki değişkenli q − Bernstein polinomunun
süreklilik modülü olmak üzere
⎛
9
Bn1 ,n2 ( f ) − f ≤ ω ⎜
4 ⎜
⎝
1
[ n1 ]q
,
1
[ n2 ]q
⎞
⎟
⎟
⎠
(5.17)
dir [Barbosu, 1999].
İspat
∀f ∈ R I , f : I 2 → R ve (δ1 , δ 2 ) ∈ R+2 için ω (δ1 , δ 2 ) süreklilik modülü
2
ω (δ1 ,δ 2 ) = sup { f ( x, y ) − f ( x′, y′ ) ( x, y ) ∈ I 2 ,( x′, y′ ) ∈ I 2 ,
(5.18)
x − x′ < δ1 , y − y ′ < δ 2 }
şeklindedir. Burada süreklilik modülü monoton artan fonksiyondur. Yani
(δ1 , δ 2 ) ∈ R+2
(
)
(
, δ1′ , δ 2′ ∈ R+2 , δ1 < δ1′ ve δ 2 < δ 2′ ise ω (δ1 , δ 2 ) ≤ ω δ1′ , δ 2′
)
(5.19)
dir. Şimdi teoremin ispatına dönelim. Teorem 5.3 den
n1 − k1 −1
n2 − k2 −1
n1 n2
⎡n ⎤ ⎡n ⎤
Bn1, n2 ( f ; q1 , q2 ; x, y ) − f ( x, y ) = ∑ ∑ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 2 ⎥ x k1 y k2 ∏ (1 − q1s1 x ) ∏ (1 − q2s2 y )
k1 = 0 k2 = 0 ⎣ k1 ⎦ q ⎣ k 2 ⎦ q
s1 = 0
s2 = 0
⎛
×⎜
⎜
⎝
⎛ [ k1 ]q [ k2 ]q
f⎜
,
⎜ [ n1 ] [ n2 ]
q
q
⎝
⎞
⎞
⎟ − f ( x, y ) ⎟
⎟
⎟
⎠
⎠
75
n1 − k1 −1
n2 − k2 −1
n1 n2
⎡n ⎤ ⎡n ⎤
≤ ∑ ∑ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 2 ⎥ x k1 y k2 ∏ (1 − q1s1 x ) ∏ (1 − q2s2 y )
k1 = 0 k2 = 0 ⎣ k1 ⎦ q ⎣ k 2 ⎦ q
s1 = 0
s2 = 0
⎛ [ k1 ]q [ k2 ]q
× f⎜
,
⎜ [ n1 ] [ n2 ]
q
q
⎝
⎞
⎟ − f ( x, y )
⎟
⎠
(5.20)
yazılabilir. Süreklilik modülünün monotonluğundan
⎛ [ k1 ]q [ k2 ]q
,
f⎜
⎜ [ n1 ] [ n2 ]
q
q
⎝
⎛ [ k1 ]
⎞
[ k2 ]q ⎞
q
⎟ − f ( x, y ) ≤ ω ⎜
−x,
−y⎟
⎟
⎜ [ n1 ]q
⎟
n2 ]q
[
⎠
⎝
⎠
⎛ [ k1 ]
⎞ ⎛ [ k2 ]
q
q
≤⎜
− x [ n1 ]q + 1⎟ ⎜
−y
⎜ [ n1 ]q
⎟ ⎜ [ n2 ]q
⎝
⎠⎝
⎛
⎞
1
1 ⎟
×ω ⎜
,
⎜ [n ]
[ n2 ]q ⎟⎠
1 q
⎝
⎞
[ n2 ]q + 1⎟⎟
⎠
(5.21)
yazılabilir. Eş. 5.21 , Eş. 5.20 de yerine yazılır ve
Bn1 ,n2 ( f ; q1 , q2 ; x, y ) − f ( x, y ) ≤ K
denilirse
⎛
⎜
K =ω
⎜
⎝
⎛
×⎜
⎜
⎝
1
[ n1 ]q
,
1
[ n2 ]q
⎞⎛
⎟⎜
⎟⎜
⎠⎝
⎞
[ k1 ]q ⎡ n1 ⎤ k n −k −1
− 1 ⎢ ⎥ x ∏ (1 − q1s x ) + 1⎟
⎟
k = 0 [ n1 ]q
s =0
⎣ k1 ⎦ q
⎠
n1
1
[ n1 ]q ∑
1
[ k2 ]q ⎡ n2 ⎤ k
−1 ⎢ ⎥ y ∏
k = 0 [ n2 ]q
s =0
⎣ k2 ⎦ q
2
1
1
n2 − k2 −1
n2
[ n2 ]q ∑
1
1
2
2
⎞
s2
−
+
q
y
1
1
( 2 ) ⎟⎟
⎠
(5.22)
76
dir. Şimdi Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden faydalanırsak
1
2
⎛ n
2
n1 − k1 −1
n
−
k
−
1
⎛ n1 ⎛ [ k1 ]
⎞
⎞
1
1
1
⎛
⎞
[ k1 ]q
⎡n ⎤
⎡n ⎤
⎜
q
⎜∑⎜
− x ⎟ ⎢ 1 ⎥ x k1 ∏ (1 − q1s1 x ) ⎟ = ⎜ ∑
− x ⎜ ⎢ 1 ⎥ x k1 ∏ (1 − q1s1 x ) ⎟
⎜ k
⎟
⎟ k
⎜ ⎜ [n ]
⎟
[n ]
s1 = 0
s1 = 0
⎝ ⎣ 1 ⎦q
⎠
⎠ ⎣ 1 ⎦q
⎝ k1 =0 ⎝ 1 q
⎠ ⎜ k1 =0 1 q
⎝
⎛ ⎡n ⎤
× ⎜ ⎢ 1 ⎥ x k1
⎜ ⎣ k1 ⎦
q
⎝
n1 − k1 −1
⎞
∏ (1 − q x ) ⎟⎟
s1 = 0
s1
1
1
2
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
2
2
⎛ n1 ⎛ [ k ]
⎞
⎞ ⎡ n1 ⎤ k n1 − k1 −1
1 q
s1
⎜
1
⎜
⎟
≤ ∑
− x ⎢ ⎥ x ∏ (1 − q1 x ) ⎟
⎜⎜ k1 =0 ⎜ [ n1 ]
⎟⎟
⎟ ⎣ k1 ⎦ q
s1 = 0
q
⎠
⎝ ⎝
⎠
n1 − k1 −1
⎛ n1 ⎡ n ⎤
⎞
× ⎜ ∑ ⎢ 1 ⎥ x k1 ∏ (1 − q1s1 x ) ⎟
⎜ k1 =0 ⎣ k1 ⎦
⎟
s1 = 0
q
⎝
⎠
{
= Bn1 ( e2 ; q1 ; x ) − 2 xBn1 ( e1 ; q1 ; x )
}
+ x 2 Bn1 ( e0 ; q1 ; x ) Bn1 ( e0 ; q1 ; x )
= x2 +
x (1 − x )
− 2 x2 + x2
[ n1 ]q
x (1 − x )
1
=
≤
[ n1 ]q 4 [ n1 ]q
(5.23)
elde edilir. Benzer şekilde
1
2
⎛ n
2
n2 − k2 −1
n2 − k2 −1
⎛ n2 ⎛ [ k2 ]
⎞
⎞
2
⎛
⎞
k
[
]
n
n
⎡ 2 ⎤ k2
⎡ 2 ⎤ k2
⎜
2 q
q
s2
s2
⎜∑⎜
⎟
− y ⎟ ⎢ ⎥ y ∏ (1 − q2 y ) = ⎜ ∑
− y ⎜ ⎢ ⎥ y ∏ (1 − q2 y ) ⎟
⎜ ⎣ k2 ⎦
⎟
⎟ ⎣ k2 ⎦ q
⎜ k2 =0 ⎜ [ n2 ]q
⎟
k2 = 0 [ n2 ]q
s2 = 0
s2 = 0
q
⎝
⎠
⎜
⎠
⎝ ⎝
⎠
⎝
n2 − k2 −1
⎛ ⎡n ⎤
⎞
× ⎜ ⎢ 2 ⎥ y k2 ∏ (1 − q2s2 y ) ⎟
⎜ ⎣ k2 ⎦
⎟
s2 = 0
q
⎝
⎠
1
2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
2
77
2
⎛ n2 ⎛ [ k ]
⎞
⎞ ⎡ n2 ⎤ k n2 − k2 −1
2 q
s2
⎜
2
≤ ∑⎜
− y ⎟ ⎢ ⎥ y ∏ (1 − q2 y ) ⎟
⎜⎜ k2 =0 ⎜ [ n2 ]
⎟⎟
⎟ ⎣ k2 ⎦ q
s2 = 0
q
⎠
⎝ ⎝
⎠
n2 − k2 −1
⎛ n2 ⎡ n ⎤
⎞
× ⎜ ∑ ⎢ 2 ⎥ y k2 ∏ (1 − q2s2 y ) ⎟
⎜ k2 = 0 ⎣ k 2 ⎦
⎟
s2 = 0
q
⎝
⎠
{
= Bn2 ( e2 ; q2 ; y ) − 2 xBn2 ( e1 ; q2 ; y )
}
+ y 2 Bn2 ( e0 ; q2 ; y ) Bn2 ( e0 ; q2 ; y )
= y2 +
=
y (1 − y )
− 2 y2 + y2
[ n2 ]q
y (1 − y )
1
≤
[ n2 ]q 4 [ n2 ]q
(5.24)
elde edilir. Eş. 5.23 ve Eş. 5.24 değerleri Eş. 5.22 de K da yerine yazılırsa
⎛
Bn1 ,n2 ( f ; q1 , q2 ; x, y ) − f ( x, y ) ≤ ω ⎜
⎜
⎝
⎛
×⎜
⎜
⎝
1
[ n1 ]q
[ n2 ]q
⎛
9 ⎜
= ω
4 ⎜
⎝
1
,
[ n2 ]q
1
[ n2 ]q
2
1
[ n1 ]q
,
⎞⎛
⎟⎜
⎟⎜
⎠⎝
[ n1 ]q
1
2
[ n1 ]q
⎞
+ 1⎟
⎟
⎠
⎞
+ 1⎟
⎟
⎠
1
[ n2 ]q
⎞
⎟
⎟
⎠
(5.25)
elde edilir ki bu da ispatı tamamlar.
78
6. İKİ DEĞİŞKENLİ KING TİPLİ q − BERNSTEIN POLİNOMLARININ
YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
Bu bölümde iki değişkenli King tipli q − Bernstein polinomlarının tanımını verdikten
sonra Volkov teoremi yardımıyla yaklaşım özelliklerini inceleyeceğiz..
6.1 Tanım
I 2 = [ 0,1] × [ 0,1] , R I = { f / f : I 2 → R} , f ∈ R I , 0 ≤ rn1 ( x ) ≤ 1 , 0 ≤ rn2 ( y ) ≤ 1 ,
2
2
0 < q1 < 1 ve 0 < q2 < 1 olmak üzere
x
n1
V
n1
( f ; q1; x, y ) = ∑
k1 = 0
⎛ [ k1 ]q ⎞ ⎡ n1 ⎤
f⎜
, y ⎟ ⎢ ⎥ rn1 ( x )
⎜ [ n1 ]
⎟ ⎣ k1 ⎦ q
q
⎝
⎠
(
n1 − k1 −1
) ∏ (1 − q r ( x ) )
k1
s1 = 0
s1
1 n1
(6.1)
şeklindedir. Burada
i.
Vn1x (1; q1 ; x, y ) = 1
ii.
Vnx1 ( t ; q1 ; x, y ) = rn1 ( x )
iii.
Vnx1 ( t 2 ; q1 ; x, y ) = x 2
dir. Benzer şekilde
Vny2 ( f ; q2 ; x, y ) =
n2
∑
k2 = 0
⎛ [ k2 ]q
f ⎜ x,
⎜ [ n2 ]
q
⎝
şeklinde yazılabilir. Burada
i.
Vny2 (1; q2 ; x, y ) = 1
⎞ ⎡ n2 ⎤
⎟ ⎢ ⎥ rn2 ( y )
⎟ ⎣ k2 ⎦ q
⎠
(
n2 − k2 −1
) ∏ (1 − q
k2
s2 = 0
s2
2 n2
r
( y ))
(6.2)
79
ii.
Vny2 ( t ; q2 ; x, y ) = rn2 ( y )
iii.
Vny2 ( t 2 ; q2 ; x, y ) = y 2
dir. Bu eşitliklerde
rn1 ( x ) = x +
x
1
y
1
−
−
ve rn2 ( y ) = y +
şeklindedir.
2 [ n1 ]q 2 [ n1 ]q
2 [ n2 ]q 2 [ n2 ]q
6.2 Tanım
Vn1 ,n2 : C ( I 2 ) → C ( I 2 ) iki değişkenli King tipli q − Bernstein polinomu
n1 n2
⎛ [ k1 ]q [ k2 ]q
,
Vn1,n2 ( f ; q1 , q2 ; x, y ) = ∑ ∑ f ⎜
⎜ [ n1 ] [ n2 ]
k1 = 0 k2 = 0
q
q
⎝
×
n1 − k1 −1
∏ (1 − q
s1 = 0
s1
1 n1
r
⎞ ⎡ n1 ⎤ ⎡ n2 ⎤
⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ rn1 ( x )
⎟ ⎣ k1 ⎦ q ⎣ k2 ⎦ q
⎠
n2 − k2 −1
( x )) ∏
s2 = 0
(
(1 − q
s2
2 n2
r
) ( r ( y ))
k1
k2
n2
( y ))
(6.3)
şeklinde tanımlanır.
6.1 Teorem
Vnx1 , Vny2 C ( I 2 ) üzerinde tanımlı operatörler olmak üzere ∀f ∈ C ( I 2 ) için
Vn1xVny2 ( f ; q2 ; x, y ) = Vny2Vn1x ( f ; q1 ; x, y )
dir
(6.4)
80
İspat.
(
Vn1xVny2 ( f ; q2 ; x, y ) = Vn1x Vny2 ( f ; q2 ; x, y )
⎛ n2
⎜
=V ∑
⎜ k2 = 0
⎝
x
n1
=
=
)
⎛ [ k2 ]q
f ⎜ x,
⎜ [ n2 ]q
⎝
⎞
⎟
1− q r ( y)
∏
⎟
s2 = 0
⎠
⎛ ⎛ [ k2 ] ⎞ ⎞
q
⎟⎟
1 − q2s2 rn2 ( y ) Vn1x ⎜ f ⎜ x,
⎜
⎜
n2 ]q ⎟ ⎟
[
⎠⎠
⎝ ⎝
⎞ ⎡n ⎤
⎟ ⎢ 2 ⎥ rn2 ( y )
⎟ ⎣ k2 ⎦ q
⎠
(
n2 − k2 −1
⎡ n2 ⎤
∑
⎢ k ⎥ rn2 ( y )
k2 = 0 ⎣ 2 ⎦ q
) ∏(
⎡ n2 ⎤
∑
⎢ ⎥ rn2 ( y )
k2 = 0 ⎣ k 2 ⎦ q
) ∏ (1 − q
n2
(
n2
(
k2
s2 = 0
k2
n2 − k2 −1
n2
n1 − k1 −1
s2
2 n2
(
s1 = 0
(
)
s2
2 n2
( y ))
n1 − k1 −1
s1 = 0
(
n2 − k2 −1
s2
2 n2
s2 = 0
r
⎞
1 − q1s1 rn1 ( x ) ⎟
⎟
⎠
) ∏(
k1
⎞ ⎡ n1 ⎤ ⎡ n2 ⎤
⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ rn1 ( x )
⎟ ⎣ k1 ⎦ q ⎣ k2 ⎦ q
⎠
∏ (1 − q r ( x ) ) ∏ (1 − q
s1
1 n1
r
⎞ ⎡ n1 ⎤
⎟
r ( x)
⎟ ⎢⎣ k1 ⎥⎦ q n1
⎠
⎛ [ k1 ]q [ k2 ]q
=∑∑ f ⎜
,
⎜ [ n1 ] [ n2 ]
k1 = 0 k2 = 0
q
q
⎝
n1
n2 − k2 −1
)
s2 = 0
⎛ [ k1 ]q [ k2 ]q
f⎜
,
⎜ [ n1 ] [ n2 ]
q
q
⎝
⎛ n1
⎜∑
⎜ k1 =0
⎝
)
k2
)
) ( r ( y ))
k1
k2
n2
( y ))
(6.5)
elde edilir. Benzer şekilde
(
Vny2Vn1x ( f ; q1 ; x, y ) = Vny2 Vn1x ( f ; q1 ; x, y )
⎛ n1
=V ⎜∑
⎜ k1 =0
⎝
y
n2
)
⎛ [ k1 ]q ⎞ ⎡ n1 ⎤
f⎜
, y ⎟ ⎢ ⎥ rn1 ( x )
⎜ [ n1 ]
⎟ ⎣ k1 ⎦ q
q
⎝
⎠
(
n1 − k1 −1
n1 − k1 −1
⎛
1 − q1s1 rn1 ( x ) Vny2 ⎜
⎜
⎝
) ∏(
n1
⎡n ⎤
= ∑ ⎢ 1 ⎥ rn1 ( x )
k1 = 0 ⎣ k1 ⎦ q
) ∏ (1 − q r ( x ) )
(
(
⎛ n2
⎜∑
⎜ k2 = 0
⎝
s1 = 0
k1
)
n1 − k1 −1
⎛ [ k1 ]q [ k2 ]q
f⎜
,
⎜ [ n1 ] [ n2 ]
q
q
⎝
s1
1 n1
s1 = 0
n1
⎡n ⎤
= ∑ ⎢ 1 ⎥ rn1 ( x )
k1 = 0 ⎣ k1 ⎦ q
k1
⎞
) ∏ (1 − q r ( x ) ) ⎟⎟
k1
⎛ [ k1 ]q
f⎜
⎜ [ n1 ]q
⎝
⎠
⎞⎞
, y ⎟⎟
⎟⎟
⎠⎠
s1
1 n1
s1 = 0
⎞ ⎡n ⎤
⎟ ⎢ 2 ⎥ rn2 ( y )
⎟ ⎣ k2 ⎦ q
⎠
(
n2 − k2 −1
⎞
1 − q2s2 rn2 ( y ) ⎟
⎟
⎠
) ∏(
k2
s2 = 0
)
81
n1 n2
⎛ [ k1 ]q [ k2 ]q
,
=∑∑ f ⎜
⎜ [ n1 ]q [ n2 ]q
k1 = 0 k2 = 0
⎝
n1 − k1 −1
∏(
s1 = 0
1 − q1s1 rn1 ( x )
⎞ ⎡ n1 ⎤ ⎡ n2 ⎤
⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ rn1 ( x )
⎟ ⎣ k1 ⎦ q ⎣ k2 ⎦ q
⎠
(
n2 − k2 −1
) ∏ (1 − q
k1
k2
n2
( y ))
s2
2 n2
s2 = 0
) ( r ( y ))
r
(6.6)
elde edilir. Eş. 6.5 ve Eş. 6.6 ifadeleri denk olduğundan ispat tamamlanır.
6.2 Teorem
eij : I 2 → I 2 , eij ( x, y ) = x i y j
, i, j = 0,1, 2 test fonksiyonları olmak üzere,
∀ ( x, y ) ∈ I 2 için
i.
Vn1, n2 ( e00 ; q1 , q2 ; x, y ) = e00 ( x, y )
(6.7)
ii.
Vn1, n2 ( e10 ; q1 , q2 ; x, y ) = rn1 ( x )
(6.8)
iii.
Vn1, n2 ( e01 ; q1 , q2 ; x, y ) = rn2 ( y )
(6.9)
iv.
Vn1,n2 ( e11 ; q1 , q2 ; x, y ) = rn1 ( x ) rn2 ( y )
v.
Vn1, n2 ( e20 ; q1 , q2 ; x, y ) = e20 ( x, y ) = x 2
(6.11)
vi.
Vn1, n2 ( e02 ; q1 , q2 ; x, y ) = e02 ( x, y ) = y 2
(6.12)
(
)(
)
(6.10)
eşitlikleri sağlanır.
İspat
i.
n1 n2
⎡n ⎤ ⎡n ⎤
Vn1, n2 ( e00 ; q1 , q2 ; x, y ) = ∑ ∑ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 2 ⎥ rn1 ( x )
k1 = 0 k2 = 0 ⎣ k1 ⎦ q ⎣ k 2 ⎦ q
(
n1 − k1 −1
n2 − k2 −1
) ( r ( y ))
k1
∏ (1 − q r ( x ) ) ∏ (1 − q
s1 = 0
s1
1 n1
s2 = 0
k2
n2
s2
2 n2
r
( y ))
82
⎧⎪ n1 ⎡ n ⎤
= ⎨ ∑ ⎢ 1 ⎥ rn1 ( x )
⎪⎩ k1 =0 ⎣ k1 ⎦ q
(
n1 − k1 −1
⎫
) ∏ (1 − q r ( x ) )⎪⎬
k1
s1
1 n1
s1 = 0
⎪⎭
n − k −1
⎧⎪ n2 ⎡ n2 ⎤
k2 2 2
1 − q2s2 rn2 ( y )
⎨ ∑ ⎢ ⎥ rn2 ( y )
∏
k
s2 = 0
⎪⎩ k2 =0 ⎣ 2 ⎦ q
= Vn1 ( e0 ; q1 ; x ) Vn2 ( e0 ; q2 ; y )
(
)
(
⎫
)⎪⎬
⎪⎭
= 1.1 = 1 = e00 ( x, y )
ii.
[ k1 ]q ⎡ n1 ⎤ ⎡ n2 ⎤
k
k
r
x
r
y
(
)
(
)
(
)
(
)
n
n
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
k = 0 k = 0 [ n1 ]q ⎣ k1 ⎦ q ⎣ k 2 ⎦ q
n1
n2
Vn1, n2 ( e10 ; q1 , q2 ; x, y ) = ∑ ∑
1
1
1
2
2
2
n1 − k1 −1
∏ (1 − q
s1
1 n1
s1 = 0
⎧⎪ n1 [ k1 ]q
= ⎨∑
n
⎩⎪ k1 =0 [ 1 ]q
r
n2 − k2 −1
( x )) ∏
s2 = 0
⎡ n1 ⎤
⎢ k ⎥ rn1 ( x )
⎣ 1 ⎦q
(
⎧⎪ n2 ⎡ n2 ⎤
⎨ ∑ ⎢ ⎥ rn2 ( y )
k
⎩⎪ k2 =0 ⎣ 2 ⎦ q
(
(1 − q
r
n1 − k1 −1
⎫⎪
1 − q1s1 rn1 ( x ) ⎬
⎭⎪
) ∏(
k1
s1 = 0
n2 − k2 −1
)
) ∏ (1 − q
k2
( y ))
s2
2 n2
s2
2 n2
s2 = 0
r
⎫
( y ) )⎪⎬
⎭⎪
= Vn1 ( e1 ; q1 ; x ) Vn2 ( e0 ; q2 ; y )
= rn1 ( x ) .1 = rn1 ( x )
iii.
[ k2 ]q ⎡ n1 ⎤ ⎡ n2 ⎤
k
k
rn ( x ) ) ( rn ( y ) )
(
⎢
⎥
⎢
⎥
k = 0 k = 0 [ n2 ]q ⎣ k1 ⎦ q ⎣ k 2 ⎦ q
n1
n2
1
2
Vn1, n2 ( e01 ; q1 , q2 ; x, y ) = ∑ ∑
n1 − k1 −1
1
1
∏(
s1 = 0
1 − q1s1 rn1 ( x )
⎧⎪ n1 ⎡ n1 ⎤
= ⎨ ∑ ⎢ ⎥ rn1 ( x )
k
⎩⎪ k1 =0 ⎣ 1 ⎦ q
(
n2 − k2 −1
n1 − k1 −1
= 1.rn2 ( y ) = rn2 ( y )
s2
2 n2
r
( y ))
⎫
) ∏ (1 − q r ( x ) )⎪⎬
k1
s1 = 0
⎧⎪ n2 [ k2 ]q ⎡ n2 ⎤
k2
rn2 ( y )
⎨∑
⎢
⎥
⎪⎩ k2 =0 [ n2 ]q ⎣ k2 ⎦ q
= Vn1 ( e0 ; q1 ; x ) Vn2 ( e1 ; q2 ; y )
(
2
) ∏ (1 − q
s2 = 0
2
s1
1 n1
n2 − k2 −1
⎭⎪
) ∏ (1 − q
s2 = 0
s2
2 n2
r
⎫
( y ) )⎪⎬
⎪⎭
83
iv.
[ k1 ]q [ k2 ]q ⎡ n1 ⎤ ⎡ n2 ⎤
k
k
rn ( x ) ) ( rn ( y ) )
(
⎢
⎥
⎢
⎥
k = 0 k = 0 [ n1 ]q [ n2 ]q ⎣ k1 ⎦ q ⎣ k 2 ⎦ q
n1
n2
Vn1, n2 ( e11 ; q1 , q2 ; x, y ) = ∑ ∑
1
1
1
2
n1 − k1 −1
n2 − k2 −1
∏ (1 − q r ( x ) ) ∏ (1 − q
s1
1 n1
s1 = 0
(
⎧⎪ n2 [ k2 ]q
× ⎨∑
n
⎩⎪ k2 =0 [ 2 ]q
s2
2 n2
s2 = 0
⎧⎪ n1 [ k1 ]q ⎡ n1 ⎤
= ⎨∑
⎢ k ⎥ rn1 ( x )
n
[
]
0
=
k
1
q ⎣ 1 ⎦q
⎩⎪ 1
r
( y ))
⎫⎪
1 − q1s1 rn1 ( x ) ⎬
⎭⎪
n1 − k1 −1
) ∏(
k1
s1 = 0
⎡ n2 ⎤
⎢ ⎥ rn2 ( y )
⎣ k2 ⎦ q
(
)
n2 − k2 −1
) ∏ (1 − q
k2
s2
2 n2
s2 = 0
r
⎫
( y ) )⎪⎬
⎭⎪
= Vn1 ( e1 ; q1 ; x ) Vn2 ( e1 ; q2 ; y )
(
)(
= rn1 ( x ) rn2 ( y )
)
v.
⎛ [ k1 ]q
Vn1, n2 ( e20 ; q1 , q2 ; x, y ) = ∑ ∑ ⎜
k1 = 0 k2 = 0 ⎜ [ n1 ]q
⎝
n1
n2
n1 − k1 −1
2
⎞ ⎡ n1 ⎤ ⎡ n2 ⎤
⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ rn1 ( x )
⎟ ⎣ k1 ⎦ q ⎣ k2 ⎦ q
⎠
(
∏(
s1 = 0
1 − q1s1 xrn1 ( x )
⎧ n1 ⎛ [ k ]
1 q
⎪
= ⎨∑ ⎜
⎜
⎪⎩ k1 =0 ⎝ [ n1 ]q
n2 − k2 −1
) ∏ (1 − q
2
(
(
k1
( y ))
n1 − k1 −1
⎫
⎪
1 − q1s1 rn1 ( x ) ⎬
⎪⎭
) ∏(
k1
s1 = 0
n2 − k2 −1
s2
2 n2
s2 = 0
k2
n2
r
) ∏ (1 − q
k2
) ( r ( y ))
s2
2 n2
s2 = 0
⎞ ⎡ n1 ⎤
⎟
r ( x)
⎟ ⎢⎣ k1 ⎥⎦ q n1
⎠
⎧⎪ n2 ⎡ n2 ⎤
⎨ ∑ ⎢ ⎥ rn2 ( y )
k
⎩⎪ k2 =0 ⎣ 2 ⎦ q
r
)
⎫
( y ) )⎪⎬
⎭⎪
= Vn1 ( e2 ; q1 ; x ) Vn2 ( e0 ; q2 ; y )
= ( x 2 ) .1 = e20 ( x, y )
vi.
⎛ [ k2 ]q
Vn1, n2 ( e02 ; q1 , q2 ; x, y ) = ∑ ∑ ⎜
k1 = 0 k2 = 0 ⎜ [ n2 ]q
⎝
n1
n2
n1 − k1 −1
∏ (1 − q
s1 = 0
2
2
s1
1 n1
r
⎞
⎟
⎟
⎠
2
⎡ n1 ⎤ ⎡ n2 ⎤
⎢ k ⎥ ⎢ k ⎥ rn1 ( x )
⎣ 1 ⎦q ⎣ 2 ⎦q
(
n2 − k2 −1
( x )) ∏
s2 = 0
(1 − q
s2
2 n2
r
) ( r ( y ))
k1
( y ))
n2
k2
84
n − k −1
⎧⎪ n1 ⎡ n ⎤
⎫⎪
k1 1 1
= ⎨ ∑ ⎢ 1 ⎥ rn1 ( x ) ∏ 1 − q1s1 rn1 ( x ) ⎬
s1 = 0
⎪⎩ k1 =0 ⎣ k1 ⎦ q
⎪⎭
⎧ n2 ⎛ [ k ] ⎞ 2 n
n − k −1
k2 2 2
⎡ ⎤
2 q
⎪
⎟ ⎢ 2 ⎥ rn2 ( y )
1 − q2s2 rn2 ( y )
⎨ ∑ ⎜⎜
∏
s2 = 0
⎪⎩ k2 =0 ⎝ [ n2 ]q ⎟⎠ ⎣ k2 ⎦ q
(
)
(
(
= Vn1 ( e0 ; q1 ; x ) Vn2 ( e2 ; q2 ; y )
= 1. ( y 2 ) = e02 ( x, y )
Böylece ispat tamamlanır.
)
)
(
)
⎫
⎪
⎬
⎪⎭
85
KAYNAKLAR
Agratini, O., “On A Class Of Linear Positive Bivariate Operators of King Type”,
Studıa Univ. Babeş-Bolyai, Mathematica, LI(4): 13-21 (2006).
Altomare, F., Campiti, M., “Korovkin-type Approximation Theory and its
Applications”, Walter de Gruyter Berlin, New York, 141-180 (1994).
Andrews, G.E., Askey, R. , Roy, R., “Special Functions”, Cambridge University
Pres, 481-485 (1999).
Barbosu, D., “Some Generalized Bivariate Bernstein Operators”, Mathematical
Notes, Miskolc, 1(1): 3-10 (2000).
Bleimann, G., Butzer, P.L. , Hahn, L., “A Bernstein-type operator approximating
continuous functions on the semi-axis.”, Math. Proc., A, 83: 255-262 (1980).
Cheney, E.W. , Sharma, A., “Bernstein power series”, Canad. J. Math., 16: 241-252
(1964).
Doğru, O. , Gupta, V., “Korovkin-type approximation properties of bivariate qMeyer-König and Zeller operators”, Calcolo, 43: 51-63 (2006).
Doğru, O. , Örkcü, M., “King type modification of Meyer-König and Zeller
operators based on the q-integers”, Mathematical and Computer Modelling, 50:
1245-1251 (2009).
King, J.P., “Positive Linear Operators Which Preserve x 2 ”, Acta Math. Hungar, 99
(3): 203-208 (2003).
Korovkin, P.P., “Lineer operators and approximation theory”, Hindustan Publ. Co.,
Delhi, 20-110 (1960).
Lorentz, G.G., “Bernstein polynomials”, University of Toronto Press, Mathematical
Expositions, 10-130 (1953).
Philips, G.M., “On generalized Bernstein polynomials”, D.F. Griffits, G.A. Watson
Eds., 263-269 (1996).
Volkov, V.I., “On the convergence of sequences of linear positive operators in the
space of continuous functions of two variables”, Russian Dokl. Akad. Nauk., SSSR
(N.S.) 115: 17-19 (1957)
86
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, adı
: ALTIN , Hüseyin Erhan
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri
: 30.07.1986 , Ankara
Medeni hali
: Bekar
Telefon
: 0 555 876 3110
e-mail
: [email protected]
Eğitim
Derece
Yüksek lisans
Lisans
Lise
Eğitim Birimi
Mezuniyet tarihi
Gazi Üniversitesi /
Matematik Bölümü
2010
Ondokuz Mayıs Üniversitesi/
Matematik Bölümü
2008
Dr. Binnaz Rıdvan Ege
Anadolu Lisesi
Yabancı Dil
İngilizce
Hobiler
Futbol, Tenis, Bilgisayar
2004