tc süleyman demirel üniversitesi fen bilimleri enstitüsü singüler adi

T.C.
SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
SİNGÜLER ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN SINIR
DEĞER PROBLEMLERİ
Pakize Neval ZEYNELGİL
Danışman: Prof. Dr. Bilender PAŞAOĞLU
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ISPARTA – 2008
İÇİNDEKİLER
Sayfa
İÇİNDEKİLER………………………………………………………………………i
ÖZET………………………………………………………………………………..iii
ABSTRACT………………………………………………………………………....iv
TEŞEKKÜR………………………………………………………………………….v
SİMGELER DİZİNİ………………………………………………………………....vi
1. GİRİŞ………………………………………………………………………………1
2. TEMEL KAVRAMLAR…...……...………………………………………………3
3.BESSEL DİFERANSİYEL DENKLEMİ VE BESSEL DİFERANSİYEL
DENKLEMİN ÇÖZÜMÜ…………………….……………………………………...6
3.1. Bessel Diferansiyel Denklemi……………………………………………………6
3.2. Bessel Diferansiyel Denkleminin Çözümü………………………………………8
3.3. Bessel Fonksiyonlarının İndirgeme Formülleri………………………………...14
3.4. Hankel Fonksiyonları…………………………………………………………...15
3.5. ν Tek Tam Sayının Yarısı İken Jν (x) Bessel fonksiyonu……………………..16
3.6. Jν (x) ile J −ν (x) in Lineer Bağımsızlığı……………………………………….17
3.7. Değiştirilmiş ( Modifiye ) Bessel Denklemi……………………………………20
3.8. Jacobi Açılımı ve Bessel İntegrali………...……………………………………21
3.9. Bessel Denklemine Dönüşebilen Denklemler………………………………….24
3.10. Bessel-Fourier Açılımı………………………………………………………...27
4. BESSEL KARESİ DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ VE BU DENKLEM İÇİN
LİM-4 DURUMU…………………………………………………………………...28
4.1. Hamilton Sistem Formülü ve Regüler Sınır Koşulları………………………….29
4.2. ‘S’ Dönüşümü ve Plücker Özdeşliği……………………………………………38
4.3. Lim-4 Durumu Genel Teori…………………………………………………….40
i
4.4. Bessel Karesi Denkleminin Çözümleri…………………………………………44
4.5. Lim-4 Durumunun Bessel Karesi Denklemine Uygulanması………………….52
5. KAYNAKLAR…………………………………………………………………...57
ÖZGEÇMİŞ…………………………………………………………………………59
ii
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
SİNGÜLER ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN SINIR DEĞER
PROBLEMLERİ
Pakize Neval ZEYNELGİL
Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Jüri : Prof. Dr. Bilender PAŞAOĞLU (Danışman)
Prof. Dr. Sadulla JAFAROV
Prof. Dr. A. Ceylan ÇÖKEN
Bu tez dört bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölümde konunun tarihsel gelişimi verilmiştir.
İkinci bölümde bazı temel kavramlar verilmiştir.
Üçüncü bölümde Laplace denkleminin silindirik koordinatlardaki ifadesinden
yararlanarak Bessel denklemi elde edilmiştir. Bessel denkleminin çözümleri olan
Bessel fonksiyonları ve onların özellikleri üzerinde durulmuştur. Daha sonra Bessel
denklemine dönüşebilen denklemler incelenmiş ve son olarak da Bessel fourier
açılımı verilmiştir.
Dördüncü bölümde Bessel karesi denklemi incelenmiştir. Dördüncü mertebeden
diferansiyel denklem için Hamilton sistem formülü ve regüler sınır koşulları
incelenmiştir. Son olarak da lim-4 durumunun genel teorisi verilerek, Bessel karesi
denklemi çözülmüş ve Bessel karesi denklemi için lim-4 durumu incelenmiştir.
Anahtar Kelimeler: Laplace Denklemi, Bessel Denklemi, Dördüncü Mertebeden
Diferansiyel Denklem, Bessel Karesi Denklemi
2008, 59 sayfa
iii
ABSTRACT
M. Sc. Thesis
BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR SINGULAR ORDINARY
DIFFERENTİAL EQUATİONS
Pakize Neval ZEYNELGİL
Süleyman Demirel University Graduate School of Applied and Natural Sciences
Mathematics Department
Thesis Committee: Prof. Dr. Bilender PAŞAOĞLU (Supervisor)
Prof. Dr. Sadulla JAFAROV
Prof. Dr. A. Ceylan ÇÖKEN
This thesis consists of four chapters.
In the first chapter, the historical progress of the subject is considered.
In the second chapter, some essential definitios is given.
In the third chapters, Bessel equation is obtained through the cylindrical coordinates
of Laplace equation. In addition, Bessel functions which are the solutions of Bessel
equation and their proporties are studied. At the end Fourier-Bessel expansions are
obtained.
In the fourth chapter, Bessel-squared equation is obtained. Hamiltonian system
formulation and regular boundary condiations are studied for fourth order differential
equation. At the end we obtain independent solutions of the Bessel-squared equation
and wish to apply the teory to the Bessel-sqared operator that lim-4 case
Key Words: Laplace Equation, Bessel Equation, Fourth Order Symmetric
Differential Equation, Bessel-Squared Equation
2008, 59 pages
iv
TEŞEKKÜR
Bu çalışmayı bana öneren, çalışmalarım süresince yakın ilgi ve yardımlarını
esirgemeyen, değerli hocam Sayın Prof. Dr. Bilender PAŞAOĞLU’na teşekkür
ederim.
Ayrıca tezimin her aşamasında maddi ve manevi desteklerini devamlı hissettiğim
aileme en içten saygı ve teşekkürlerimi sunarım.
Pakize Neval ZEYNELGİL
ISPARTA, 2008
v
SİMGELER DİZİNİ
R
Reel sayılar kümesi
C
Kompleks sayılar kümesi
D( A)
A’nın tanım kümesi
L
Maksimal operatör
∇2
Laplace operatörü
J v ( x)
ν inci basamaktan 1 inci çeşit Bessel fonksiyonu
I v ( x)
ν inci basamaktan 1 inci çeşit değiştirilmiş Bessel fonksiyonu
γ
Euler sabiti
Yv ( x)
ν inci basamaktan 2 inci çeşit Bessel fonksiyonu (Weber Fonksiyonu)
H v ( x)
ν inci basamaktan 3 üncü çeşit Bessel fonksiyonu (Hankel)
Γ(v)
Gamma fonksiyonu
ω (λ )
Özdeğer
f (x)
Özfonksiyon
G ( x,., λ )
Green fonksiyonu
vi
1.GİRİŞ
Doğada gerçekleşen fiziksel olayların incelenmesi, kuantum mekanik ve kuantum
fiziğin konularının oluşmasına yol açmıştır. Fizik alanındaki bu bilimsel gelişmeler
matematik biliminin gelişmesinde büyük ölçüde etkili olmuştur.
Tezde singüler adi diferansiyel denklemlerden biri olan Bessel denklemlerine yer
verilmiştir. Bessel denklemleri ile matematiğin birçok dallarında matematiksel fizik,
temel bilimler ve mühendislik bilimlerinin uğraşlarına giren pek çok problemin
çözümünde karşılaşılır. Bessel fonksiyonlarına göre seri açılımı hem diferansiyel
denklemler teorisi hem de fonksiyonlar ve seriler teorisi gibi dallarda sıkça
kullanılmaktadır. Bessel fonksiyonları üzerindeki çalışmalar 19. yüzyılda Alman
matematikçi Freidrich Wilhelm Bessel (1784-1846) tarafından yapılmıştır.
Astronomik bir problem olan yerkürenin güneş etrafında dönme yörüngesinin
bulunması ile uğraşırken Bessel denklemini ortaya çıkarmıştır. Zaman geçtikçe telin
ve zarın titreşimleri gibi fiziksel olaylarda Bessel denklemine getirilmiştir. 20.
yüzyılda ise bu denklem, kuantum mekanik ve kuantum fizik problemlerinde de sık
sık kullanılmıştır.
Ayrıca fiziğin ve mekaniğin pek çok problemi adi diferansiyel denklemler için sınır
değer problemi ile bağlantılıdır. Bu problemler genellikle kısmi türevli denklemlerde
değişkenleri ayrılması yöntemi (Fourier yöntemi) kullanıldıktan sonra adi
diferansiyel denklemler için sınır değer problemine dönüşmektedir. Bu problemlerin
singüler (tekil) diferansiyel denklemler için daha da önemli olduğu son yıllarda
ortaya çıkmıştır. Tanım kümesi sınırlı ve katsayıları sürekli fonksiyonlar olan
diferansiyel operatörlere regüler; tanım bölgesi sınırsız veya katsayıları (bazıları veya
tamamı) integrallenebilir olmayan (veya her ikisi sağlanacak biçimde) diferansiyel
operatörlere ise singüler denir. Singüler operatörler için spektral teori ilk olarak Weyl
tarafından incelenmiştir. Daha sonra Rietsz, Neumann ve diğer matematikçiler
tarafından
simetrik
ve
self-adjoint
operatörlerin
oluşturulmuştur.
1
genel
spektral
teorisi
Dördüncü mertebeden Bessel denklemleri, Bessel denklemlerine ait sınır değer
problemini ve Bessel karesi denklemini Everitt (2006-2007) ve Fulton (1988) yapmış
oldukları çalışmalarında incelemişlerdir.
Bu tezde Bessel karesi denklemi ele alınmış daha sonra bu denklem için özfonksiyon
elde etme noktasına kadar analizler yapılmıştır. Son olarak da Lim-4 durumunun
genel teorisi verilerek Bessel karesi denklemi için Lim-4 durumu incelenmiştir.
2
2.TEMEL KAVRAMLAR
Tanım 2.1: f ( x ) ve g ( x ) fonksiyonları bir x − x 0 ≤ a aralığında birinci türevlere
sahip olsunlar. Bu durumda W ( f , g ) = f ( x )g ′( x ) − f ′(x )g (x ) ifadesine
f (x ) ve
g ( x ) fonksiyonlarının wronskiyeni denir (Marchenko, 1986).
Tanım 2.2: (Hilbert uzayı) x, y, z elemanlarından oluşan herhangi bir cümle H
olsun ve aşağıdaki aksiyomları sağlasın.
1. H lineer kompleks uzay olsun
2. H nin her x, y ikili elemanına karşılık gelen < x, y > kompleks sayısı için
a) < x, y >= < y, x >
b) < x1 + x 2 , y >=< x1 , y > + < x 2 , y >, (x1 , x 2 ∈ H )
c) < λx, y >= λ < x, y > (Her kompleks λ sayısı için)
3. d (x, y ) = x − y metriği anlamında H tamdır.
4. Her n doğal sayısı için H de n sayıda lineer bağımsız eleman vardır. Yani
H sonsuz boyutludur. Bu durumda, 1 − 4 şartlarını sağlayan uzaya Soyut Hilbert
Uzayı, 1 − 3 şartlarını sağlayan uzaya ise Üniter Hilbert uzayı denir (Liusternik,
1961).
Tanım2.3: (Lineer Operatör)
H Hilbert uzayının herhangi bir D ⊆ H lineer alt
uzayı ve bir A operatörü için,
A: D ⊆ H → H
dönüşümü verilsin. Eğer α 1 , α 2 ∈ C ve her x1 , x 2 ∈ D için
A(α 1 x1 + α 2 x 2 ) = α 1 Ax1 + α 2 Ax 2
eşitliği sağlanıyorsa A dönüşümüne lineer operatör, D ye ise A operatörünün tanım
bölgesi denir ve D ( A ) ile gösterilir. A operatörünün değer kümesi de Im(A) veya
R(A) ile gösterilir (Naimark, 1968).
Tanım2.4: H Hilbert uzayında tanımlanan bir lineer A operatörü için, her
x ∈ H olmak üzere
3
Ax ≤ C x
eşitliğini sağlayacak şekilde bir C sayısı varsa A ya sınırlı operatör denir. Bu C
sayılarının en küçüğüne A sınırlı operatörünün normu denir ve A ile gösterilir.
A = sup Ax = sup
x ≤1
x ≠0
Ax
x
eşitliği yardımı ile de normu hesaplayabiliriz (Naimark, 1968).
Tanım:2.5: (Eşlenik Operatör) H hilbert uzayı ve A bu uzayda lineer bir operatör
olmak üzere, A nın tanım kümesi D( A) , H kompleks Hilbert uzayında yoğun
olsun. f , g ∈ D( A) için,
Af , g = f , A∗ g
eşitliğini sağlayan A∗ operatörüne A nın adjoint (eşlenik) operatörü denir. Bu
eşitliği sağlayan g ∈ H vektörler kümesine A∗ ın tanım kümesi denir ve D( A∗ ) ile
gösterilir (Naimark, 1968).
Eşlenik operatörü aşağıdaki şartları sağlar:
(i )
A∗∗ = A
(ii )
(λA) ∗ = λ A∗
(iii ) ( A + B) ∗ = A∗ + B ∗
(iv)
( BA) ∗ = B ∗ A∗
(v)
A∗ = A ( A sınırlı ise) (Naimark, 1968).
Tanım 2.6: (Self-adjoint Operatör) Eğer A∗ = A ise, A ya self-adjoint (kendine eş)
operatör denir (Naimark, 1968).
Tanım 2.7: ( L2 (a, b) uzayı) (a, b) aralığında karesi integrallenebilen fonksiyonların
Hilbert uzayına L2 (a, b ) uzayı denir.
b
⎫
⎧
2
L2 (a, b ) = ⎨ x(t ) : ∫ [x(t )] dt ⟨∞ ⎬
a
⎭
⎩
4
Bu uzay reel ise iç çarpım
b
f ( x), g ( x) = ∫ f ( x) g ( x)dx
a
şeklinde tanımlanır. Burada, f ( x ) ve g ( x ) reel fonksiyonlarıdır (Naimark, 1968).
Tanım 2.8: (Özdeğer, özfonksiyon) L lineer bir operatör olsun. Bu durumda
A
operatörünün tanım kümesinde
Ay = λy
olacak şekilde bir y ≠ 0 vektörü varsa λ sayısına A operatörünün özdeğeri, y
vektörüne ise λ özdeğerine karşılık gelen özvektör denir.
5
3. BESSEL DİFERANSİYEL DENKLEMİ VE BESSEL DİFERANSİYEL
DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ
Frobenius seri metodu ile çözülebilen ikinci mertebeden değişken katsayılı
diferansiyel denklemler arasında Bessel diferansiyel denkleminin önemi büyüktür.
Matematiksel fizik, temel bilimler ve mühendislik bilimlerinin uğraşı alanına giren
birçok problemin çözümünde bu denklem ve çözümü ile çok karşılaşılır. Bu
bakımdan Bessel denklemi ve Bessel fonksiyonlarının incelenmesi oldukça önem
taşımaktadır.
3.1. Bessel Diferansiyel Denklemi
Bessel diferansiyel denklemi,
∇ 2V ≡
∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V
+
+
=0
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
(3.1)
eşitliği ile verilen üç boyutlu Laplace denklemi için (x, y, z ) düzleminde (u , φ , z )
silindirik koordinatları kullanılmak suretiyle elde edilebilir. Burada x, y ve z
değişkenleri u ve φ ye bağlı olarak;
x = u cos φ , y = u sin φ , z = z
şeklinde tanımlanır ve bu dönüşümler ile (u , φ , z ) silindirik koordinatlarına geçilirse;
∇ 2V ≡
∂ 2V 1 ∂V
1 ∂ 2V ∂ 2V
+
+
+
=0
∂u 2 u ∂u u 2 ∂φ 2 ∂z 2
(3.2)
denklemi elde edilir. Bu denklemlerin çözüm yollarından biri olan, değişkenlerine
ayırma yöntemi uygulanırsa, yani çözümün;
V (u , φ , z ) = U (u )Φ (φ )Z ( z )
olduğu farz edilerek gerekli türevler alınırsa; türevler
∂V dU
=
ΦZ ;
∂u
du
∂ 2V d 2U
=
ΦZ ;
∂u 2
du 2
∂ 2V d 2 Z
∂ 2V d 2 Φ
UZ
;
=
UΦ
=
∂z 2
dz 2
∂φ 2 dφ 2
olarak bulunur. Bu türevler yukarıdaki (3.2) denkleminde yerine yazılırsa;
6
d 2U
d 2Z
1 dU
1 d 2Φ
Φ
Z
+
Φ
Z
+
UZ
+
UΦ =0
u du
du 2
u 2 dφ 2
dz 2
denklemi elde edilir. U (u )Φ (φ )Z ( z ) ≠ 0 olduğundan bulunan yukarıdaki son
denklemin her iki tarafı UΦZ ile bölünürse;
1 d 2U 1 1 dU
1 1 d 2Φ 1 d 2 z
+
+
+
=0
U du 2 U u du u 2 Φ dφ 2 Z dz 2
U ′′ 1 U ′ 1 Φ ′′ Z ′′
+
+
+
=0
U u U u2 Φ
Z
U ′′ 1 U ′ 1 Φ ′′
Z ′′
+
+ 2
=−
U uU u Φ
Z
(3.3)
eşitliği elde edilir. Bu eşitliğin sağ tarafı yalnız z ye ve sol tarafı da yalnız u ve φ
ye bağlı olması nedeniyle − λ2 gibi bir sabite eşit olabilir. Buradan;
U ′′ 1 U ′ 1 Φ ′′
+
+ 2
= −λ 2
U uU u Φ
(3.4)
Z ′′
= + λ2 olacağından
Z
Z ′′ − λ2 Z = 0
elde edilir. (3.4) de verilen denklemin her iki tarafı u 2 ile çarpılırsa;
u2
U ′′
U ′ Φ ′′
+u
+
= −λ 2 u 2
U
U
Φ
bulunur. Burada gerekli düzenlemeler yapılırsa,
u2
U ′′
U′
Φ ′′
+u
+ λ2 u 2 = −
Φ
U
U
(3.5)
elde edilir. Bu ifade de V 2 sabitine eşit seçilsin. Bu durumda yukarıdaki denklem;
u2
U ′′
U′
+u
+ λ 2 u 2 = −V 2
U
U
(3.6)
şeklinde yazılabilir. Burada,
Φ ′′
= −V
Φ
2
olacağından
Φ ′′ + V 2 Φ = 0
elde edilir. Böylece son olarak elde edilen (3.6) denklemi
(
)
u 2U ′′ + uU ′ + λ2 u 2 −ν 2 U = 0
7
(3.7)
şeklinde yazılabilir. Burada λ u = x dönüşümü yapılırsa u =
x
λ
olması nedeniyle,
U ( u ) da y ( x ) şeklini alabilir. U ( u ) fonksiyonunun birinci ve ikinci türevleri
alınırsa türevler;
dU dU dx dU
dy
=
=
λ =λ
du
dx du dx
dx
d 2U
d ⎛ dU
= ⎜
2
dx ⎝ du
du
2
⎞ d ⎛ dy ⎞ dx
2 d y
=
λ
=
λ
⎟
⎜
⎟
dx 2
⎠ dx ⎝ dx ⎠ du
olarak bulunur. Bu türevler (3.7) denkleminde yerine yazılırsa;
⎞
x 2 ⎛ 2 d 2 y ⎞ x ⎛ dy ⎞ ⎛ 2 x 2
⎟ + ⎜ λ ⎟ + ⎜⎜ λ 2 − ν 2 ⎟⎟ y = 0
⎜λ
2 ⎜
2 ⎟
λ ⎝ dx ⎠ λ ⎝ dx ⎠ ⎝ λ
⎠
x2
d2y
dy
+ x + (x 2 − ν 2 )y = 0
2
dx
dx
(3.8)
bulunur. Yukarıdaki denklemden de;
x 2 y ′′ + xy ′ + (x 2 − ν 2 )y = 0
denklemi elde edilir. Bu denklem Bessel denklemi olarak bilinir ve çözümleri olan
fonksiyonlara ν inci dereceden Bessel fonksiyonları veya silindirik fonksiyonlar
denir.
3.2. Bessel Diferansiyel Denkleminin Çözümü
ν sabit sayı olmak üzere Bessel diferansiyel denklemi;
x 2 y ′′ + xy ′ + (x 2 − ν 2 )y = 0
(3.9)
şeklinde ifade edilir. Bessel denkleminde x = 0 noktası singüler (tekil) yani düzgün
aykırı nokta olduğundan, bu denklemin çözümünü Frobenius metodu ile
genelleştirilmiş kuvvet serisi şeklinde bulunur. Yani;
∞
y = x p ∑ ak x k
(a o ≠ 0)
k =0
serisi ile çözüm bulunabilir. Burada y nin birinci ve ikinci türevleri alınırsa;
∞
y ′ = x p ∑ ( p + k )a k x k −1
k =0
8
(3.10)
∞
y ′′ = x p ∑ ( p + k )( p + k − 1)a k x k − 2
k =0
eşitlikleri bulunur. Bu türevler Bessel diferansiyel denkleminde yerlerine yazılırsa;
x 2 ∑ ( p + k )( p + k − 1)a k x k + p − 2 + x∑ ( p + k )a k x k + p −1 + (x 2 − ν 2 )∑ a k x k + p = 0
∞
∞
k =0
∞
k =0
∞
∑ ( p + k )( p + k − 1)a
k =0
k
∞
∞
k =0
∞
k =0
k =0
k =0
x k + p + ∑ ( p + k )a k x k + p + ∑ a k x k + p + 2 − ν 2 ∑ a k x k + p = 0
elde edilir. Buradan da;
(
[
)
]
∞
{[
]
}
a 0 p 2 − ν 2 x p + a1 ( p + 1) − ν 2 x p +1 + x p ∑ ( p + k ) − ν 2 a k + a k − 2 x k = 0 (3.11)
2
k =2
2
eşitliği bulunur. Yukarıdaki eşitliğin sağlanması için x in kuvvetlerinin tüm
katsayıları sıfıra eşit olmalıdır. Yani;
a0 ( p 2 − ν 2 ) = 0
[
[
]
a1 ( p + 1) − ν 2 = 0
2
]
ak ( p + k ) −ν 2 + ak −2 = 0
2
bağlantıları sağlanmalıdır. İlk eşitlikte a o
sıfırdan farklı seçilebileceğinden
p 2 − ν 2 = 0 dan p = mν bulunur. Buradan a1 = 0 ve
[( p + k )
2
]
− ν 2 a k + a k − 2 = 0;
k≥2
indirgeme formülü elde edilir ve k = 2,3... için
[( p + 2) −ν
[( p + 3) −ν
[( p + 4) −ν
[( p + 5) −ν
2
2
2
2
2
2
2
2
]a
]a
]a
]a
2
+ a 0 = 0 ⇒ ( p + ν + 2 )( p − ν + 2 )a 2 = −a 0
3
+ a1 = 0 ⇒ ( p + ν + 3)( p − ν + 3)a3 = − a1
4
+ a 2 = 0 ⇒ ( p + ν + 4)( p − ν + 4 )a 4 = − a 2
5
+ a3 = 0 ⇒ ( p + ν + 5)( p − ν + 5)a5 = − a3
(3.12)
.
.
.
eşitlikleri yazılabilir. Bu ifadelerde görüldüğü gibi a1 , a3 , a5 ,... katsayıları a 0 dan
bağımsızdır. Bu durumda
a3 = a5 = ... = a 2 n −1 = ... = 0
9
olur. Diğer katsayılar ise,
a2 = −
a4 = +
a0
( p + ν + 2)( p − ν + 2)
a0
( p + ν + 2)( p + ν + 4)( p − ν + 2)( p − ν + 4)
(3.13)
.
.
.
(−1)k a0
a2k = +
( p +ν + 2)( p +ν + 4)...( p +ν − 2k )( p −ν + 2)( p −ν + 4)( p −ν + 2k )
şeklinde a
0
katsayısına bağlı olarak bulunur. p = ν olarak alınırsa, katsayılar;
a2 = −
a4 = −
a0
2 1!(ν + 1)
2
a0
2 2!(ν + 1)(ν + 2 )
4
.
.
.
a2k
(− 1)2k a0
= − 2k
2 k!(ν + 1)(ν + 2 )...(ν + k )
olarak elde edilir. Bu durumda çözüm;
⎧
⎫
x2
x4
+
− ...⎬
y = a 0 xν ⎨1 −
⎩ 2(2ν + 2 ) 2.4(2ν + 2 )(2ν + 4 )
⎭
⎧
⎫
x2
x4
+ 4
− ...⎬
y = a 0 xν ⎨1 − 2
⎩ 2 (ν + 1) 2 2!(ν + 1)(ν + 2 )
⎭
(3.14)
olarak bulunur. Burada a 0 katsayısı için özel bir değer seçilir. Bu özel değer Gamma
fonksiyonudur. Faktöriyel fonksiyonunun genelleştirmesi olan Gamma fonksiyonu;
Γ (ν + 1 ) = ν Γ (ν ) = ν (ν − 1 )Γ (ν − 1 )...
(ν reel)
olarak tanımlanır (Karaoğlu, 1998). Tamsayılı argüman için Gamma fonksiyonu
faktöriyele dönüşür. Yani;
10
Γ (ν + 1 ) = ν Γ (ν ) = ν (ν − 1 )Γ (ν − 2 ) = ... = ν !
olarak yazılabilir. Buna göre a 0 özel olarak,
a0 =
1
(3.15)
2 Γ(ν + 1)
ν
biçiminde seçilirse, yukarıda a 2 k ile verilen ifade de a0 yerine yazılırsa diğer
katsayılar bulunur. Bu durumda diğer katsayılar;
a2k
k
k
(
− 1)
(
− 1)
=
= − 2k ν
2 2 k!Γ(ν + 1)(ν + 1)(ν + 2 )...(ν + k ) 2 2 k +ν k!Γ(k + ν + 1)
şeklinde ifade edilir. Gamma fonksiyonu, tüm pozitif ν değerleri ve tüm pozitif
kompleks değerler için belirlenir. Γ(ν ) fonksiyonu integralle;
∞
Γ(ν ) = ∫ e − x xν −1 dx
0
olarak da ifade edilir. (3.15) eşitliği ile gösterilen a 0 değeri (3.14) ile ifade edilen
çözümde yerine yazılırsa;
⎧
⎫
xν
x2
x4
+ 4
− ...⎬
y= ν
⎨1 − 2
2 Γ(ν + 1) ⎩ 2 (ν + 1) 2 2!(ν + 1)(ν + 2 )
⎭
çözümü elde edilir. Buradan Jν ( x ) fonksiyonu;
2 k +ν
(− 1) ⎛⎜ x ⎞⎟
∞
⎝2⎠
Jν (x ) = ∑
k = 0 k!Γ (k + ν + 1)
k
(3.16)
şeklinde bulunur. Bu fonksiyona birinci çeşit ν inci dereceden Bessel fonksiyonu
denir ve Jν ( x ) ile gösterilir. Burada ν > 0 olup x in her sonlu değeri için (3.16)
yakınsaktır. İkinci çözümü bulmak için; (3.13) ifadelerinde p = −ν
katsayılar elde edilir ve bu katsayılar
(3.14) ile ifade edilen çözümde yerine
yazıldığında;
⎧
⎫
x2
x4
+ 4
− ...⎬
y = a 0 x −ν ⎨1 − 2
⎩ 2 (− ν + 1) 2 2!(− ν + 1)(− ν + 2 )
⎭
bulunur. a 0 =
alınarak
1
olarak alınırsa
2 Γ(− ν + 1)
−ν
ν < 0 için çözüm;
11
∞
(− 1)k ⎛⎜ x ⎞⎟
2 k −ν
⎝2⎠
k = 0 k!Γ (− ν + k + 1)
J −ν (x ) = ∑
(3.17)
şeklinde elde edilir. Eğer ν tamsayı değilse bu iki çözüm birbiriyle lineer
bağımsızdır. O halde ν ∉ Ζ iken A ve B keyfi sabitler olmak üzere Bessel
denkleminin genel çözümü;
y ( x ) = AJ ν ( x ) + BJ −ν (x )
şeklinde ifade edilebilir.
ν =0 İken Bessel Denkleminin Çözümü
ν = 0 için (3.9) ile ifade edilen Bessel denklemi;
x 2 y ′′ + xy ′ + (x 2 − 0 2 )y = 0
x 2 y ′′ + xy ′ + x 2 y = 0
şekline dönüşür. (3.14) den de çözüm,
⎧
⎫
x2
x4
+
−
...
y = a0 x ⎨1 −
⎬
2
2
2
⎩ ( p + 2) ( p + 2) ( p + 4)
⎭
p
(3.18)
olarak bulunur. p 2 − ν 2 = 0 dan ν = 0 için p = 0 bulunur. Yukarıdaki denklemde
p = 0 yazılırsa,
⎧ x2
⎫
x4
y = a 0 ⎨1 − 2 + 2 2 − ...⎬
2 4
⎩ 2
⎭
⎧
⎫
x2
x4
+
− ... ⎬
= a 0 ⎨1 −
2
2
2!22
⎩ 1!2
⎭
2k
⎛x⎞
( − 1) ⎜ ⎟
⎝2⎠
k ! Γ ( k + 1)
k
∞
= a0 ∑
k =0
y = a0 J 0 (x )
12
elde edilir. Burada J 0 ( x ) fonksiyonu 0 ıncı dereceden 1 inci çeşit Bessel
fonksiyonudur. p1 = 0, p 2 = 0 ise ikinci çözüm, y ( x ) =
dy
dp
dan bulunur (Uyhan,
p =0
1999). (3.18) eşitliğinin her iki yanının p ye göre türevi alınırsa,
⎤⎫⎪
dy d ⎧⎪ p ⎡
x2
x4
...
= ⎨a0 x ⎢1−
+
−
⎥⎬
2
2
2
dp dp ⎪⎩
⎣ ( p + 2) ( p + 2) ( p + 4)
⎦⎪⎭
⎧
⎫
x2
x4
...
= a0 x p ln x⎨1−
+
−
⎬
2
2
2
⎩ ( p + 2) ( p + 2) ( p + 4)
⎭
⎧ x2
⎛ 2
x4
2
2 ⎞ ⎫
⎟⎟ + ...⎬
⎜
+ a0 x p ⎨
−
+
2
2
2 ⎜
⎩( p + 2) p + 2 ( p + 2) ( p + 4) ⎝ p + 2 p + 4 ⎠ ⎭
bulunur (Uyhan,1999). Burada p = 0 değeri yerine konursa,
⎧x2 2 x4 ⎛ 2 2 ⎞ ⎫
⎧ x2
⎫
dy
x4
= a0 ln x⎨1− 2 + 2 2 −...⎬ + a0 ⎨ 2 − 2 2 ⎜ + ⎟ + ...⎬
dp
⎩2 2 2 4 ⎝ 2 4 ⎠ ⎭
⎩ 2 24
⎭
(3.19)
elde edilir. J 0 ( x ) fonksiyonu;
⎫
⎧ x2
x4
J 0 (x ) = a 0 ⎨1 − 2 + 2 2 − ...⎬
2 4
⎭
⎩ 2
şeklinde ifade edilmektedir ve Y0 ( x ) fonksiyonu da;
⎧ x2
x4
Y0 ( x ) = ln xJ 0 ( x ) + ⎨ 2 − 2 2
2 4
⎩2
⎫
⎛ 1⎞
⎜1 + ⎟ + ...⎬
⎝ 2⎠
⎭
(3.20)
olduğundan (3.19) ifadesi
⎧ x2
⎛ dy ⎞
x4
⎜⎜ ⎟⎟
= a 0 ln xJ 0 ( x ) + a 0 ⎨ 2 − 2 2
2 4
⎝ dp ⎠ p =0
⎩2
⎫
⎛ 1⎞
⎜1 + ⎟ + ...⎬
⎝ 2⎠
⎭
olur. Bu durumda,
⎛ dy ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
= a 0Y0 ( x )
⎝ dp ⎠ p =0
bulunur (Uyhan, 1999). Y0 ( x ) fonksiyonuna 0 ıncı dereceden 2 inci çeşit Bessel
fonksiyonu denir. ν
tamsayı iken Bessel denkleminin genel çözümünün
13
bulunabilmesi için ikinci lineer bağımsız özel çözümün bulunması gerekir. Bu çözüm
Yν ( x) ile gösterilir ve Yν ( x) fonksiyonu;
Yν ( x ) =
cosνπJν ( x) − J −ν ( x)
sinνπ
(3.21)
şeklinde tanımlanmıştır. Yν ( x ) fonksiyonu Jν ( x ) ve J −ν ( x ) fonksiyonlarının bir
lineer birleşimi olduğundan Bessel denkleminin çözümü olduğu görülür. (3.21) ile
tanımlanan Yν ( x ) fonksiyonuna 2 inci cins ν dereceden Bessel fonksiyonu veya
Weber fonksiyonu denilir (Yıldız, 2000). Sonuç olarak A ve B keyfi sabitler olmak
üzere Bessel denkleminin genel çözümü;
y ( x) = AJν ( x) + BYν ( x)
şeklinde ifade edilir.
3.3. Bessel Fonksiyonlarının İndirgeme Formülleri
Bessel fonksiyonları arasındaki bazı indirgeme formülleri aşağıda verilmiştir.
J −ν ( x ) = (− 1) Jν (x )
ν
{
ν = 1,2,3... dir.
}
(3.22)
d ν
x Jν ( x ) = xν Jν −1 (x )
dx
(3.23)
d −ν
{x Jν (x )} = − x −ν Jν +1 (x )
dx
(3.24)
2 Jν′′ ( x ) = Jν −1 ( x ) − Jν +1 ( x )
(3.25)
J 0′ = − J 1
(3.26)
Jν −1 ( x ) + Jν +1 ( x ) =
2ν
Jν (x )
x
(3.27)
Jν −1 ( x ) − Jν +1 ( x ) = 2 Jν′ ( x )
(3.28)
xJν −1 ( x ) − νJν ( x ) = xJν′ ( x )
(3.29)
2 r Jν( r ) ( x ) = Jν − r ( x ) − rJ ν − r + 2 ( x ) +
r.(r − 1)
r
Jν − r + 4 ( x ) − ... + (− 1) Jν + r ( x )
2!
Benzer indirgeme bağıntıları J −ν ( x ) Bessel fonksiyonu içinde elde edilebilir.
14
(3.30)
3.4. Hankel Fonksiyonları
Hankel fonksiyonları üçüncü çeşit Bessel fonksiyonları olarak isimlendirilir. Hankel
fonksiyonları birinci çeşit Bessel fonksiyonu Jν ( x ) ve ikinci çeşit Bessel fonksiyonu
Yν ( x ) ye bağlı olarak;
H ν(1) ( x ) = Jν ( x ) + i Yν ( x ) = i
e −νπi Jν ( x ) − J −ν ( x )
sinνπ
(3.31)
eνπi J ν ( x ) − J −ν ( x )
sinνπ
(3.32)
H ν( 2) ( x ) = Jν ( x ) − i Yν ( x ) = −i
şeklinde ifade edilir (Koronev, 2002). Yukarıdaki fonksiyonlar sırasıyla ν inci
dereceden birinci ve ikinci çeşit Hankel fonksiyonları olarak isimlendirilir (Koronev,
2002). Ayrıca bu fonksiyonlar Bessel denkleminin lineer bağımsız çözümleridir.
Özellikle büyük x ler (x → ∞ ) için asimptotik tanımların basitliği nedeniyle birçok
uygulamada kullanılır. Yukarıda ifade edilen ν inci dereceden birinci ve ikinci çeşit
Hankel fonksiyonları kullanılarak aşağıdaki bağıntılar elde edilebilir.
H ν(1) (x ) ve H ν( 2) (x ) ile ifade edilen fonksiyonlar taraf tarafa toplanırsa;
Hν(1) ( x ) + Hν(2 ) ( x ) = 2 Jν ( x )
Jν (x ) =
[
]
1 (1)
H ν ( x ) + H ν( 2) ( x )
2
(3.33i)
ifadesi elde edilir. Taraf tarafa çıkarılırlarsa da;
H ν(1) ( x ) − H ν(2 ) ( x ) = 2iYν ( x )
Yν ( x ) =
[
]
1
H ν(1) (x ) − H ν( 2) ( x )
2i
(3.33ii)
elde edilir. Yine burada ν inci mertebeden birinci çeşit Hankel fonksiyonu e iνπ ve
ikinci çeşit Hankel fonksiyonu da e −iνπ ile çarpılıp taraf tarafa toplanırsa;
e iνπ Hν(1) ( x ) + e −iνπ H ν(2 ) = 2 J −ν ( x )
J −ν ( x ) =
elde edilir. ν ≠ n
(n ∈ N 0 )
[
]
1 iνπ (1)
e Hν ( x ) + e −iνπ Hν( 2 ) ( x )
2
(3.33iii)
için burada elde edilen fonksiyonlarda Bessel
denkleminin bir temel çözüm sistemini oluşturur (Tuncer, 1997).
15
3.5. ν tek Tamsayının Yarısı iken Jν ( x ) Bessel Fonksiyonu
(3.16) ile ifade edilen Jν ( x ) fonksiyonunda ν =
1
alınırsa,
2
1
(− 1)k
∞
⎛ x ⎞2
J 1 (x ) = ∑
⎜ ⎟
2
⎛3
⎞⎝ 2 ⎠
k =0
k ! Γ⎜ + k ⎟
⎝2
⎠
+2k
fonksiyonu elde edilir. Burada Gamma fonksiyonu;
1⎞
⎞
⎛
⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 1
⎞ ⎛1
Γ⎜ k + 1 + ⎟ = Γ⎜1 + ⎟⎜ + 1⎟⎜ + 2 ⎟...⎜ + k ⎟
2⎠
⎝
⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2
⎠ ⎝2
⎠
π
⎛3⎞
olarak yazılır. Γ⎜ ⎟ =
2
⎝2⎠
olduğu göz önünde bulundurulsun. Bu durumda
yukarıdaki Gamma fonksiyonu;
1⎞
1.2.3...(2k + 1)
⎛
Γ⎜ k + 1 + ⎟ = π
2⎠
2.2.2...2
⎝
şeklinde ifade edilir. Yukarıdaki eşitliğin pay ve paydası 2.4.6...(2k ) = 2k .k! ile
çarpılırsa;
(2k + 1)!
1⎞
⎛
Γ⎜ k + 1 + ⎟ = π 2 k +1
2⎠
2 k!
⎝
eşitliği elde edilir (Tuncer, 1997). Bu eşitlik J 1 ( x ) fonksiyonunda yerine yazılırsa;
2
2
J 1 (x ) =
2
πx
(− 1)k x 2k +1
∑
k = 0 (2k + 1)!
∞
=
2
sin x
πx
(3.34)
fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyonun türevi alınırsa;
J ′1 (x ) =
2
2
1 2
cos x −
cos x
πx
x 2πx
fonksiyonu elde edilir.
ν J (x )
d
formülü kullanılarak
Jν ( x ) = Jν −1 ( x ) − ν
dx
x
d
J 1 (x ) = J 1 (x ) −
−1
dx 2
2
16
1
J 1 (x )
2 2
x
(3.35)
J ′1 ( x ) = J
2
1
2
−
(x ) −
1
J 1 (x )
2x 2
eşitliği bulunur (Koronev, 2002). Bu eşitlik x ile çarpılırsa;
x J ′1 ( x ) = x J
2
x J ′1 (x ) +
2
1
−
2
(x ) − 1 J 1 (x )
2
2
1
J 1 (x ) = x J 1 (x )
−
2 2
2
(3.36)
eşitliği elde edilir. (3.34) ve (3.35) fonksiyonları, yukarıda yerine yazılırsa, J 1 ( x)
−
2
fonksiyonu;
⎞ 1 2
⎛ 2
1 1
x ⎜⎜
cos x −
cos x ⎟⎟ +
sin x = xJ 1 ( x )
−
π
π
π
x
x
2
x
2
x
2
⎠
⎝
2
1
cos x −
πx
x
1
1 2
cos x +
sin x = J 1 ( x )
−
2πx
2 x πx
2
J
1
−
2
2
cos x
πx
(x ) =
olarak bulunur. ν ∈ Z olmak üzere J
ν+
1
2
Bessel fonksiyonları sinüs ve cosinüs
fonksiyonları cinsinden;
1
J
1
ν+
2
ν
ν+
(
− 1) (2 x ) 2
(x ) =
π
1
J
1
−ν −
2
ν
ν+
2
(x ) = (− 1) (2 x )
π
dν
(dx )
2 ν
dν
(dx )
2 ν
⎛ sin x ⎞
⎜
⎟
⎝ x ⎠
⎛ cos x ⎞
⎜
⎟
⎝ x ⎠
şeklinde elde edilir (Koronev, 2002).
3.6. Jν ( x ) ile J −ν ( x ) in lineer bağımsızlığı
y1 = Jν (x ) ile y 2 = J −ν ( x ) fonksiyonlarının lineer bağımsızlığı için wronskiyenin
sıfırdan farklı olması gerekir. Wronskiyen;
17
W ( y1 , y 2 ) =
y1
y1′
y2
y 2′
ile ifade edilir. Bu durumda Jν ( x ) ve J −ν ( x ) fonksiyonları için wronskiyen;
W ( y1 , y 2 ) = W [Jν (x ), J −ν ( x )]
=
Jν ( x ) J −ν ( x )
Jν′ (x ) J −′ν ( x )
= Jν ( x ).J −′ν ( x ) − J −ν ( x )J −′ν ( x )
(3.37)
şeklinde bulunur. J −ν ( x ) ve Jν ( x ) fonksiyonları, Bessel denkleminin çözümü
olduğundan (3.9) denklemi sağlanmalıdır. J −ν ( x ) ve J ν ( x ) fonksiyonları, (3.9)
denkleminde yerine yazılırsa;
J −′′ν +
⎛ ν2⎞
1
′
J −ν + ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ J −ν = 0
x
⎝ x ⎠
Jν′′ +
⎛ ν2
1
Jν′ + ⎜⎜1 − 2
x
⎝ x
(3.38i)
⎞
⎟⎟ Jν = 0
⎠
(3.38ii)
denklemleri elde edilir. Yukarıdaki denklemlerden birincisi Jν ile ikincisi de
J −ν
ile çarpılırsa,
J −′′ν J ν +
⎛ ν2
1
J −′ν Jν + ⎜⎜1 − 2
x
x
⎝
Jν′′ J −ν +
⎛ ν2
1
J ν′ J −ν + ⎜⎜1 − 2
x
x
⎝
⎞
⎟⎟ J −ν Jν = 0
⎠
⎞
⎟⎟ Jν J −ν = 0
⎠
denklemleri bulunur. Bu denklemler taraf tarafa çıkarılırsa da;
Jν J −′′ν − J −ν Jν′′ +
[
]
1
Jν J −′ν − J −ν J ν′ = 0
x
denklemi elde edilir. Bu da;
d
[Jν J −′ν − J −ν Jν′ ] + 1 [Jν J −′ν − J −′ν Jν ] = 0
dx
x
demektir. Buna göre
(3.39)
dw w
+ = 0 olup integrasyonla
dx x
w(x ) =
C (ν )
x
18
(3.40i)
[
]
C (ν ) = x Jν J −′ν − J −ν J ν′
(3.40ii)
eşitlikleri yazılır. Burada x → 0 yapılarak C (ν ) belirlenebilir (Tuncer, 1997).
Bunun için,
∞
1
⎛ x⎞
Jν ( x ) = ∑ (− 1)
⎜ ⎟
k !Γ(k + ν + 1) ⎝ 2 ⎠
k =0
2 k +ν
k
ν
∞
1
1
⎛ x⎞
⎛ x⎞
k
=⎜ ⎟
+ ∑ (− 1)
⎜ ⎟
k ! Γ(k + ν + 1) ⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠ Γ(ν + 1) k =1
2 k +ν
ve x → 0 için,
ν
(
( ))
(3.41)
(
( ))
(3.42)
1
⎛ x⎞
Jν (x ) = ⎜ ⎟
1+ 0 x2
⎝ 2 ⎠ Γ(ν + 1)
ve benzer biçimde
ν −1
⎛ x⎞
J ν′ ( x ) = ⎜ ⎟
⎝2⎠
1
1+ 0 x2
2Γ(ν )
yazılabilir. x = ν yerine –ν almakla x → 0 için
⎛ x⎞
J −ν ( x ) = ⎜ ⎟
⎝2⎠
⎛x⎞
J −′ν (x ) = ⎜ ⎟
⎝2⎠
−ν
−ν −1
(
( ))
(3.43)
(
( ))
(3.44)
1
1+ 0 x2
Γ(1 − ν )
1
1+ 0 x2
2Γ(− ν )
dir (Koronev, 2002). (3.41), (3.42), (3.43), (3.44) ifadeleri (3.40ii) de yerine konursa;
⎡⎛ x ⎞ν
1
1+ O x2
⎢⎜ ⎟
⎢⎝ 2 ⎠ Γ(1 + ν )
C (v) = x ⎢
−ν
1 ⎛⎜
⎢− ⎛⎜ x ⎞⎟
1+ O
⎢ ⎝ 2 ⎠ Γ(1 − ν ) ⎜⎝
⎣
(
( ))
⎛ x⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
−ν −1
ν −1
(x )⎛⎜ 2x ⎞⎟
2
⎝ ⎠
⎡⎛ x ⎞ −1
1
= x⎢⎜ ⎟
1+ 0 x2
(
)
(
)
Γ
+
Γ
−
2
1
2
ν
ν
⎢⎣⎝ ⎠
( ( ))
2
( )) ⎥
(
( ))
1
1+ O x2
2Γ(ν )
−1
⎤
(
1
1+ O x2
2Γ(− ν )
⎥
⎞⎥
⎟⎥
⎟⎥
⎠⎦
⎤
( ( )) ⎥
1
⎛ x⎞
−⎜ ⎟
1 + 0 x2
(
)
(
)
Γ
−
Γ
2
1
2
ν
ν
⎝ ⎠
2
⎥⎦
( )
eşitliği elde edilir. Burada x → 0 yapılırsa 0 x 2 = 0 olur. Bu durumda C (ν )
fonksiyonu;
C(ν ) =
1
1
−
Γ(1 +ν )Γ(−ν ) Γ(1 −ν )Γ(ν )
19
(3.45)
olarak bulunur. Diğer yandan Γ( x )Γ(1 − x ) =
π
de x = −ν
sin πx
ve x = ν yazılırsa
(3.45) den
C (ν ) = −
sinνπ
π
−
sinνπ
π
W [Jν (x ), J −ν ( x )] = −
=−
2 sinνπ
π
2 sinνπ
πx
elde edilir. ν tamsayı olmamak üzere sinνπ ≠ 0 olduğundan W [Jν ( x ), J −ν ( x )] ≠ 0
dır. J ν (x ) ile J −ν ( x ) fonksiyonları lineer bağımsız olup, dolayısıyla bir temel
çözüm sistemi oluşturur (Tuncer, 1997).
3.7. Değiştirilmiş (modifiye) Bessel Denklemi
(
)
x 2 y ′′ + xy ′ + x 2 − ν 2 y = 0
ile ifade edilen Bessel denkleminde x = ±ix değişken değişimi yapılırsa,
⎛
⎝
(
)
y⎞
⎛ dy ⎞
⎟⎟ + (ix )⎜ ⎟ + (ix )2 − ν 2 y = 0
dx ⎠
⎝ dx ⎠
(ix )2 ⎜⎜ − d
2
2
⎛ d 2 y ⎞ ⎛ dy ⎞
− x 2 ⎜⎜ − 2 ⎟⎟ + x⎜ ⎟ + − x 2 − ν 2 y = 0
⎝ dx ⎠ ⎝ dx ⎠
(
)
⎛ d 2 y ⎞ ⎛ dy ⎞
x ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + x⎜ ⎟ − x 2 + ν 2 y = 0
⎝ dx ⎠ ⎝ dx ⎠
(
2
(
)
)
x 2 y ′′ + xy ′ − x 2 + ν 2 y = 0
(3.46)
denklemi elde edilir. Bu denklem Değiştirilmiş (modifiye) Bessel denklemi olarak
bilinir. Değiştirilmiş (modifiye) Bessel denkleminin çözümleri
Iν ( x ) = i −ν J ν (ix )
Kν ( x ) =
π I −ν ( x ) − Iν ( x )
2
sinνπ
olarak tanımlanmıştır. ν nin tamsayı olması durumunda I −ν ( x ) = Iν ( x ) olduğundan
Modified Bessel denkleminin ikinci çözümü Kν ( x ) fonksiyonudur (Yıldız, 2000). ν
20
nin tamsayı olmaması durumunda ise bu denkleminin çözümleri I −ν ( x ) ile Iν ( x )
fonksiyonlarıdır.
3.8. Jacobi Açılımı ve Bessel İntegrali
x⎛ 1⎞
⎜ t− ⎟
t⎠
t ≠ 0 için ϕ ( x, t ) = e 2 ⎝
fonksiyonunu gözönüne alalım. e x , Maclaurin serisinden
x⎛ 1⎞
⎜ t− ⎟
t⎠
ϕ ( x, t ) = e 2 ⎝
x
t
2
=e e
x
− t
2
⎛ ⎛ x ⎞s ⎞ ⎛ ⎛ x ⎞r
⎜ ⎜ ⎟
⎟⎜ ⎜− ⎟
⎜ ∞ ⎝ 2 ⎠ s ⎟⎜ ∞ ⎝ 2 ⎠
= ⎜∑
t ⎟⎜∑
r
s!
s =0
⎜
⎟ ⎜ s =0 r! t
⎜
⎟⎜
⎝
⎠⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
1
nin katsayılarını belirlenirse;
tm
bulunur (Tuncer, 1997). t m ve
m+k
k
⎛ x⎞
⎛ x⎞
⎛ x⎞
t ⎜ ⎟
⎜− ⎟
⎟
∞ ∞
∞ ∞ ⎜
2⎠
2⎠
2⎠
⎝
⎝
⎝
+ ∑∑
ϕ (x, t ) = ∑∑
(m + k )!
r!
k!
m =0 k =0
m =1 k = 0
k
m+r
2k +m
⎛ x⎞
⎟
k ⎜
∞
∞
∞
∞
(− 1)k
(
− 1) ⎝ 2 ⎠
1
m
m
= ∑t ∑
+ ∑ m (− 1) ∑
k ! (m + k )! m =1 t
k!
m =0
k =0
k =0
∞
∞
m=0
m =1
m+ k
⎛ x⎞
⎜− ⎟
⎝ 2⎠
(m + r )!t m+ k
2k +m
⎛ x⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
(m + k )!
= ∑ t m J m (x ) + ∑ t − m J m (x )
elde edilir (Tuncer, 1997). (−1) J m ( x ) = J − m (x ) olduğundan
m
∞
∞
m =0
m =1
ϕ ( x, t ) = ∑ t m J m ( x ) + ∑ t − m J − m ( x )
ϕ ( x, t ) =
m = +∞
∑t
m = −∞
m
J m (x )
21
(3.47)
elde edilir. (3.47) ifadesi ϕ ( x, t ) = e
1997). t yerine −
nin t = 0 da Laurent açılımıdır (Tuncer,
1
konursa;
t
ϕ ( x, t ) = e
x⎛ 1⎞
⎜ t− ⎟
2⎝ t ⎠
=e
=e
⎛
⎝
x⎛ 1⎞
⎜t− ⎟
2⎝ t ⎠
⎞
⎛
⎟
⎜
x⎜ 1 1 ⎟
− −
2⎜ t 1 ⎟
− ⎟
⎜
t⎠
⎝
x⎛ 1⎞
⎜ t− ⎟
2⎝ t ⎠
x⎛ 1 ⎞
⎜ − +t ⎟
t ⎠
= e 2⎝
1⎞
⎛
= ϕ ⎜ x, − ⎟
t⎠
⎝
1⎞
t⎠
ϕ (x, t ) = ϕ ⎜ x,− ⎟ olur. Buradan
+∞
ϕ ( x, t ) =
∑ (− 1)
m
m = −∞
J −m (x )
elde edilir. Açılımın tekniğinden
(− 1)m J −m (x ) = (− 1)− m J −m (x ) = (− 1)m J −m (x ) = J m (x )
olarak bulunur.
ϕ ( x, t ) = e
x⎛ 1⎞
⎜ t− ⎟
2⎝ t ⎠
=
+∞
∑t
m = −∞
m
.J m ( x )
(3.48)
Fonksiyonuna, Bessel fonksiyonuna ilişkin doğurucu fonksiyon denir. (3.47)
eşitliğinde t = ±e iθ olarak alınırsa,
e
x ⎛ iθ 1 ⎞
⎜ e − iθ ⎟
2⎝
e ⎠
=e
(
x iθ − iθ
e −e
2
)
=
+∞
∑e
imθ
m = −∞
olur. Burada sin θ =
e iθ − e − iθ
2i
e ix sin θ =
J m (x )
ve e imθ = cos mθ + i sin mθ olduğundan
∞
∑ (cos mθ + i sin mθ )J (x )
m
m = −∞
bulunur. Buradan
e
ix sin θ
=
−1
∞
∑ (cos mθ + i sin mθ )J (x ) + J (x ) + ∑ (cos mθ + i sin mθ )J (x )
m = −∞
0
m
22
m =1
m
∞
∞
n =1
m =1
= J 0 ( x ) + ∑ (cos mθ − i sin mθ )J − m ( x ) + ∑ (cos mθ + i sin mθ )J m ( x )
şeklinde yazılabilir. J − m ( x ) = (− 1) J m (x ) olduğundan
m
∞
(
)
e ix sin θ = J 0 ( x ) + ∑ cos mθ + (− 1) cos mθ + i sin mθ − i (− 1) sin mθ J m (x )
m =1
m
m
∞
= J 0 ( x ) + ∑ (2 cos(2mθ )J 2 m ( x ) + 2i sin ((2m + 1)θ ))J 2 m +1 ( x )
m =1
∞
∞
m =1
m =0
= J 0 ( x ) + 2∑ J 2 m ( x ) cos 2mθ ± 2i ∑ J 2 m +1 ( x )sin (2m + 1)θ
(3.49)
elde edilir. e ix = cos x + i sin x olduğundan (3.49) eşitliğinin reel ve sanal kısımları
ayrılırsa
∞
cos( x sin θ ) = J 0 (x ) + 2∑ J 2 m ( x ) cos 2mθ
(3.50i)
m =1
∞
sin ( x sin θ ) = 2 ∑ J 2 m +1 ( x )sin (2m + 1)θ
(3.50ii)
m =0
olarak elde edilir. (3.50i) eşitliğinde θ yerine
π
2
− θ yazılırsa
∞
⎛
⎛π
⎛π
⎞⎞
⎞
cos⎜⎜ x sin ⎜ − θ ⎟ ⎟⎟ = J 0 ( x ) + 2∑ J 2 m ( x ) cos 2m⎜ − θ ⎟
⎝2
⎝2
⎠⎠
⎠
m =1
⎝
∞
cos( x cos θ ) = J 0 ( x ) + 2∑ J 2 m ( x ) cos(mπ − 2mθ )
m =1
∞
cos( x cos θ ) = J 0 (x ) + 2∑ (− 1) J 2 m ( x ) cos 2mθ
m
(3.51i)
m =1
elde edilir. (3.50ii) eşitliğinde de θ yerine
π
2
− θ yazılırsa
∞
⎛
⎛π
⎞
⎛π
⎞⎞
sin ⎜⎜ x sin ⎜ − θ ⎟ ⎟⎟ = 2∑ J 2 m +1 ( x )sin (2m + 1)⎜ − θ ⎟
⎝2
⎠
⎝2
⎠⎠
n=0
⎝
∞
sin ( x cos θ ) = 2∑ (− 1) J 2 m +1 ( x ) cos(2m + 1)θ
m
(3.51ii)
n =0
elde edilir. (3.50i), (3.50ii), (3.51i) ve (3.51ii) açılımlarına Jacobi açılımı adı verilir.
(3.50i) ifadesinde m yerine k alınır, eşitliğin her iki yanı cos mθ ile çarpılır ve 0
dan π ye kadar integrali alınırsa,
23
π
π
∞
⎡
⎤
(
)
cos
x
sin
θ
cos
m
θ
d
θ
J
(
x
)
2
J 2 k ( x) cos(2kθ )⎥ cos mθdθ
=
+
∑
∫0
∫0 ⎢⎣ 0
k =1
⎦
π
π ∞
0
0 k =1
= ∫ J 0 ( x) cos mθdθ + 2 ∫ ∑ J 2 k ( x ) cos(2kθ ) cos mθdθ
π ∞
= 2 ∫ ∑ cos(2kθ )J 2 k ( x ) cos mθdθ
0 k =1
⎧πJ ( x ) m = 2k ⎫
=⎨ m
⎬
m ≠ 2k ⎭
⎩ 0
(3.52)
elde edilir (Korenev, 2002). Benzer şekilde (3.50ii) eşitliğinde m yerine k alınır,
eşitliğin her iki yanı sin mθ ile çarpılır ve 0 dan π ye kadar integrali alınırsa,
π
∞
0
0 k =0
∫ sin( x sin θ ) sin mθdθ = 2∫ ∑ J 2k +1 (x )sin (2k + 1)θ sin mθdθ
m = 2k + 1 ise
⎧ 0
=⎨
⎩πJ m ( x ) m ≠ 2k − 1 ise
(3.53)
elde edilir (Korenev, 2002). (3.52) ve (3.53) eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa,
π
π J m ( x ) = ∫ [cos( x sin θ ) cos mθ + sin( x sin θ ) sin mθ ]dθ
0
π
= ∫ cos(mθ − x sin θ )dθ
0
J m (x ) =
1
π
π
∫ cos(mθ − x sin θ )dθ
(3.54)
0
elde edilir (Korenev, 2002). Burada m sıfır ya da pozitif tamsayıdır. (3.54) eşitliğine
Bessel integrali denir.
3.9. Bessel Denklemine Dönüşebilen Denklemler
Bessel denkleminin kanonik şekilde yazılışı;
(
)
x 2 y ′′ + xy ′ + x 2 − ν 2 y = 0
şeklindedir. Bu denklemdeki x ve y değişkenleri, yeni bir t değişkeni ve u (t )
fonksiyonuna bağlı olarak tanımlansın. Yani;
24
x = γ t β ve y = t α u (t )
(3.55)
özel dönüşümleri yapılsın. Burada β , γ ≠ 0 olmak üzere α , β
ve γ sabitlerdir
(Yıldız, 2000). Bessel denklemi bu dönüşümler altında tekrar düzenlenirse,
dx
= γ β t β −1
dt
dy dy dt
1 1− β dy
=
=
t
dx dt dx βγ
dt
d 2 y d ⎛ 1 1− β dy ⎞
⎟
t
= ⎜
dt ⎟⎠
dx 2 dx ⎜⎝ βγ
=
1 d ⎛ 1− β dy ⎞ dt
⎜t
⎟
βγ dt ⎝
dt ⎠ dx
=
2
1− β ⎛
1− β d y ⎞
− β dy
⎜
⎟
(
)
t
t
t
−
+
1
β
⎜
dt
β 2γ 2
dt 2 ⎟⎠
⎝
1
bulunur. Yani,
2
1 1− β ⎛
d2y
1− β d y ⎞
− β dy
⎜
⎟
(
)
t
t
t
=
−
+
1
β
⎜
dt
dx 2 β 2 γ 2
dt 2 ⎟⎠
⎝
(3.56)
elde edilir. (3.55) dönüşümlerinin ikincisinden,
dy
du
= tα
+ α t α −1u (t )
dx
dt
(3.57)
2
d 2 y d ⎛ dy ⎞
du
α −1 du
α d u
t
t
=
=
α
+
+ α (α − 1) t α − 2 u (t ) + α t α −1
⎜
⎟
2
2
dt ⎝ dt ⎠
dt
dt
dt
dt
yani,
d 2 y α d 2u
du
=t
+ 2 α t α −1
+ α (α − 1) t α − 2 u (t )
2
2
dt
dt
dt
(3.58)
elde edilir (Yıldız, 2000). (3.55)-(3.56) ifadeleri, kanonik tipli Bessel diferansiyel
denkleminde yerine yazılır ve yeniden düzenlenirse;
t 2β
2
t β 1− β dy
1− β ⎛
− β dy
1− β d y ⎞
⎜
⎟
(
)
t
1
−
β
t
+
t
+
t
+ γ 2t 2β −ν 2 y = 0
2 ⎟
⎜
β
dt
dt
β2
dt
⎝
⎠
(
)
veya,
t2
[
]
d2y
dy
+t
+ β 2 γ 2 t 2 β − β 2ν 2 y = 0
2
dt
dt
25
(3.59)
şeklinde yazılabilir. (3.57) ve (3.58) ifadeleri yukarıdaki son denklemde yerlerine
yazılırsa,
⎡ α d 2u
⎤
du
t ⎢t
+ 2 α t α −1
+ α (α − 1) t α − 2 u ⎥
2
dt
⎣ dt
⎦
⎡ du
⎤
+ t ⎢t α
+ α t α −1u ⎥ + β 2 γ 2 t 2 β − β 2ν 2 t α u = 0
⎣ dt
⎦
2
[
]
elde edilir (Yıldız, 2000). Bu ifade düzenlenirse,
t2
(
)
d 2u
du
+ (2α + 1)t
+ α 2 − β 2ν 2 + β 2 γ 2 t 2 β u = 0
2
dt
dt
(3.60)
elde edilir. Bu denklemde; a = 2α + 1 , b = α 2 − β 2ν 2 , c = β 2 γ 2 , m = 2 β alınırsa,
t2
(
)
d 2u
du
+ at
+ b + ct m u = 0
2
dt
dt
(3.61)
elde edilir. Burada a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 dır. Kanonik tipli Bessel denkleminin genel
çözümü
y ( x ) = c1 Jν ( x ) + c 2 J −ν ( x )
şeklindedir. Sonuç olarak (3.55) özel dönüşümü göz önüne alınarak, (3.60)
şeklindeki Bessel denklemine dönüşen bir denklem sınıfının çözümü, kanonik tipli
Bessel denkleminin çözümü vasıtasıyla,
( )
( )
u (t ) = t −α y (x ) = c1t −α Jν γ t β + c 2 t −α J −ν γ t β
(3.62)
şeklinde bulunur (Yıldız, 2000).
Örnek3.1.
t2
d2y
dy ⎛ 1 6 ⎞
+ 3t
+ ⎜ + t ⎟ y = 0 denklemi verilsin. Bu denklemin genel
2
dt ⎝ 9
dt
⎠
çözümünü bulunuz.
Çözüm:
Burada, (3.61) ile verilen denklemden; a, b, c ve m ifadeleri;
a = 2α + 1 = 3
b = α 2 − β 2ν 2 =
c = β 2γ 2 = 1
m = 2β = 6
26
1
9
olur. Yukarıdaki denklemler çözüldüğünde α , β , γ , m değerleri;
1
3
α = 1, β = 3, γ = , m =
2 2
9
olarak bulunur. (3.62) den denklemin çözümü,
⎛1 ⎞
⎛1 ⎞
y (t ) = c1t −1 J 2 2 ⎜ t 3 ⎟ + c 2 t −1 J 2 2 ⎜ t 3 ⎟
−
⎝9 ⎠
⎝3 ⎠
9
9
şeklinde bulunur.
3.10: Fourier-Bessel Açılımları
Bir f (x) fonksiyonu seri şeklinde;
∞
x⎞
⎛
f ( x) = ∑ a k Jν ⎜ µ k ⎟
⎝ λ⎠
k =1
(3.63)
olarak verilsin. Burada ν > −1 ve µ1 , µ 2 , µ 3 ... ; Jν ( x) = 0 denkleminin pozitif
x⎞
⎛
kökleridir. a k katsayılarını belirlemek için (3.63) açılımının her iki tarafı xJν ⎜ µ k ⎟
⎝ λ⎠
ile çarpılır ve [0, λ ] aralığında integrali alınırsa;
λ
λ
x⎞
x⎞ ⎛
x⎞
⎛
⎛
∫0 xf ( x) Jν ⎜⎝ µ k λ ⎟⎠dx = ∫0 a k Jν ⎜⎝ µ k λ ⎟⎠ Jν ⎜⎝ µ k λ ⎟⎠dx
elde edilir. Burada Bessel fonksiyonlarının aşağıdaki ortogonallik özelliğinden
yararlanılır.
k ≠ i⎫
0
⎧⎪
x⎞ ⎛ x⎞
⎪
⎛
2
2
λ
λ
=
xJ
J
µ
µ
dx
⎜
⎟
⎜
⎟
∫0 ν ⎝ k λ ⎠ ν ⎝ i λ ⎠ ⎨⎪ Jν′ (µ k ) = Jν +1 (µ i ) k = i ⎬⎪
2
⎩2
⎭
λ
(3.64)
(3.64) eşitliği ν ye göre Bessel fonksiyonlarının ortogonallik şartıdır. (3.64) eşitliği
göz önüne alındığında ai katsayıları;
ai =
2
λ J
2
2
ν +1
λ
⎛
xf ( x) Jν ⎜ µ
(µ ) ∫
⎝
k
k
0
x⎞
⎟dx
λ⎠
(3.65)
şeklinde bulunur. (3.63) formülündeki ai katsayıları (3.65) formülü ile belirlenir ve
f (x) fonksiyonuna Fourier Bessel seri ayrışımı denir.
27
4.BESSEL KARESİ DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ VE BU DENKLEM İÇİN
LİM-4 DURUMU
Aşağıdaki dördüncü mertebeden diferansiyel denklemi göz önüne alalım;
Ly =
1 ⎡
(q 2 y ′′)″ − (q1 y ′)′ + q0 y ⎤⎥ = λy a < x < b ,
⎢
⎣
⎦
r ( x)
(4.1)
burada q0, q1 , q1′ , q2 , q 2′ , q 2′′ nin q2 > 0 olmak üzere bu fonksiyonların (a, b)
aralığında sürekli ve reel değerli olduğu farz edilir. Buradaki amaç Bessel
diferansiyel denkleminin karesi için öz fonksiyon açılım elde etme noktasına kadar
analizler yapmaktır. ν inci dereceden Bessel denklemi ;
2
d 2 y 1 dy
2 ν
+(s - 2 )y=0
+
dx 2
x dx
x
(4.2)
şeklindedir. Bu denklemde s = λ alınırsa,
ν2
d 2 y 1 dy
+ λy- 2 y=0
+
dx 2
x dx
x
d 2 y 1 dy ν 2
+
y= λy
- 2 dx
x dx x 2
d 2 y dy ν 2
1
(- x 2 +
y)= λy
x
dx
dx
x
elde edilir. Burada ;
-x
d 2 y dy
′
= - ( xy ′)
2
dx
dx
olduğundan yukarıda yerine yazılırsa;
My =
1
ν2
(- ( xy ′)′ +
y) = λ y
x
x
(4.3)
denklemi elde edilir. Bu denkleme Bessel diferansiyel denklemi denir. Bu denkleme
M işlemi tekrar uygulanırsa;
1⎛
ν2 ⎞
′
′
′
⎜
My = ⎜ − ( xy + y ) +
y⎟
x⎝
x ⎟⎠
My = − y ′′ −
28
y′ ν 2
+
y
x x2
′
⎧
⎫
y ′′ y ′ ν 2
y ′ ν 2 ⎞⎤ ⎪
1⎪ ⎡ ⎛
2ν 2 ⎞⎤ ⎡ν 2 ⎛
M y = ⎨− ⎢ x⎜⎜ − y ′′′ −
+
+
y ′ − 3 y ⎟⎟⎥ + ⎢ ⎜⎜ − y ′′ − + 2 y ⎟⎟⎥ ⎬
x⎪ ⎣ ⎝
x x2 x2
x x ⎠⎦ ⎪
x
⎠⎦ ⎣ x ⎝
⎩
⎭
2
⎧
1⎪ ⎡
2ν 2
y′ ν 2
= ⎨− ⎢− xy ′′′ − y ′′ + +
y′ − 2
x⎪ ⎣
x
x
x
⎩
′
⎤ ⎡ ν2
ν2
ν4
y ⎥ + ⎢−
y ′′ − 2 y ′ + 3
x
x
⎦ ⎣ x
⎫
⎤⎪
y⎥⎬
⎦⎪
⎭
⎧ ⎡
2ν 2
4ν 2
ν2
y ′′ y ′ ν 2
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
−
−
y
−
x
y
−
y
+
−
+
y
−
y
−
y
+
⎪ ⎢
x x2
x
x2
x2
x3
1⎪ ⎣
= ⎨
x⎪ ⎡ ν2
ν2
ν4 ⎤
′
′
′
+
−
y
−
y
+
y⎥
⎪ ⎢ x
x2
x3 ⎦
⎩ ⎣
⎧
xy ′′′′ + 2 y ′′′ −
1 ⎪⎪
= ⎨ 2
x⎪ ν
ν2
−
y ′′ − 2
x
⎩⎪ x
y ′′ y ′ ν 2
ν2
2ν 2
4ν 2
+ 2 −
y ′′ +
y′ + 2 y′ − 3
x x
x
x
x
x
y′ +
ν4
x3
y
⎤⎫
y⎥⎪
⎦⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
⎫
y⎪
⎪
⎬
⎪
⎭⎪
(
⎛ 1 2ν 2 ⎞
⎛ 1 2ν 2 ⎞
⎛ν 2 ν 2 − 4
1⎧
⎟⎟ y ′′ + ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ y ′ + ⎜⎜
= ⎨ xy ′′′′ + 2 y ′′′ − ⎜⎜ +
x⎩
x ⎠
x ⎠
x3
⎝x
⎝x
⎝
) ⎞⎟ y ⎫
⎟ ⎬
⎠ ⎭
elde edilir. Burada gerekli düzenlemeler yapılarak ;
′
⎡
⎛ 1 + 2ν 2 ⎞ ν 2 (ν 2 − 4)
1⎢
″
M y = ( xy ′′) − ⎜⎜
y ′ ⎟⎟ +
x⎢
x3
⎝ x
⎠
⎣
2
⎤
y ⎥ = λy
⎥
⎦
(4.4)
denklemi elde edilir. Burada elde edilen dördüncü merteben diferansiyel denkleme
de Bessel karesi denklemi denir. (4.1) ve (4.4) denklemleri aynı olduğundan
r ( x) = x ,
q 2 ( x) = x ,
q1 ( x) =
1 + 2ν 2
,
x
q 0 ( x) =
ν 2 (ν 2 − 4)
x3
bulunur.
4.1 Hamilton Sistem Formülü ve Regüler Sınır Koşulları
Dördüncü mertebeden diferansiyel denklemi Hamilton sistem şekline çevirmek için
y
⎡ y1 ⎤ ⎡
⎤
⎢
⎢
⎥
⎥
y′
y
⎡Y ⎤
⎥
Y= ⎢ 1 ⎥ = ⎢ 2 ⎥ = ⎢
′
′
′
′
⎢
⎢
⎥
⎥
−
q
y
+
q
y
(
)
y
Y
3
2
1
⎣ 2⎦
⎢ ⎥ ⎢
⎥
q 2 y ′′
⎣ y4 ⎦ ⎣
⎦
29
(4.5)
eşitliği kullanılarak (4.1) dördüncü mertebeden diferansiyel denklemi;
J Y ′ = ( λ A+B) Y =
⎡ r ( x)
⎢ ⎛⎜
⎢ ⎜ 0
⎢λ ⎜
⎢ ⎜ 0
⎢ ⎜⎝ 0
⎣
0 0 0 ⎞ ⎛⎜ − q 0
⎟
0 0 0⎟ ⎜ 0
+⎜
0 0 0⎟ ⎜ 0
⎟
0 0 0 ⎟⎠ ⎜⎜ 0
⎝
0
0
− q1
0
1
0
0
0
0 ⎞⎤
⎟⎥
0 ⎟⎥
0 ⎟⎥Y
1 ⎟⎥
⎟⎥
q 2 ⎟⎠⎦
(4.6)
şeklinde ifade edilebilir. Burada hem A hem de B reel ve simetrik matrislerdir. J
matrisi
⎛0
J = ⎜⎜
⎝ I2
⎛0
⎜
− I2 ⎞ ⎜0
⎟ =
0 ⎟⎠ ⎜ 1
⎜
⎜0
⎝
0 −1 0 ⎞
⎟
0 0 − 1⎟
0 0 0⎟
⎟
1 0 0 ⎟⎠
(4.7)
şeklinde tanımlanmıştır (Fulton, 1988). Dördüncü mertebeden diferansiyel
denklemin çözümleri φ1 , φ 2 sembolleri ile ve (4.5) den elde edilen vektörler de
Φ (1) , Φ ( 2 ) sembolleri ile gösterilsin. (4.1) dördüncü mertebeden diferansiyel
denklemin çözümleri y ( x, λ ) ve z ( x, µ ) olsun; bu durumda denklemin Green
formülü;
b
∫ ( zLy − yLz )r ( x)dx = [ y, z ]( x)Ι
b
a
(4.8)
a
olarak bulunur (Fulton, 1988). Burada [ y, z ]( x) ;
b
[ y, z ](x ) = ∫ (zLy − yLz )r (x )dx
a
b
⎧ z ⎡
⎫
y ⎡
″
′
″
′
(
(
q 2 y ′′) − (q1 y ′) + q 0 y ⎤ −
q 2 z ′′) − (q1 z ′) + q 0 z ⎤ ⎬dx
= ∫⎨
⎥⎦ r ( x) ⎢⎣
⎥⎦ ⎭
r ( x) ⎢⎣
a⎩
b
″
′
″
′
= ∫ ⎧⎨ z ⎡(q 2 y ′′) − (q1 y ′) + q 0 y ⎤ − y ⎡(q 2 z ′′) − (q1 z ′) + q 0 z ⎤ ⎫⎬dx
⎢
⎥
⎢
⎥⎦ ⎭
⎦
⎣
⎩ ⎣
a
′
′
= q 2 y ′′′z − q 2 y ′′z ′ + q 2 y ′′z − q1 y ′z − q 2 yz ′′′ + q 2 y ′z ′′ − q 2 yz ′′ + q1 yz ′
= q 2 [( y ′′′z − yz ′′′) − ( y ′′z ′ − y ′z ′′)] − q1 [ y ′z − yz ′] + q 2′ [ y ′′z − yz ′′]
(4.9)
olarak elde edilir. Z ( x, λ ) ve Y ( x, λ ) , (4.5) in yöndeş vektörleri ise Green
formülünün;
30
b
− (µ − λ )∫ Z T AYdx = Z T JY |ba
(4.10)
a
versiyonu elde edilir (Fulton, 1988). (4.5) kullanılarak;
z
⎡
⎤
⎢
⎥
z′
T
⎢
⎥
Z JY =
⎢− (q 2 z ′′)′ + q1 z ′⎥
⎢
⎥
q 2 z ′′
⎣
⎦
= ⎡z
⎢⎣
T
⎡0
⎢0
⎢
⎢1
⎢
⎣0
y
0 −1 0 ⎤⎡
⎤
⎢
⎥
⎥
y′
0 0 − 1⎥ ⎢
⎥
0 0 0 ⎥ ⎢− (q 2 y ′′)′ + q1 y ′⎥
⎥
⎥⎢
1 0 0 ⎦⎣
q 2 y ′′
⎦
⎡0
⎢0
′
⎤
z ′ − (q 2 z ′′) + q1 z ′ q 2 z ′′ ⎢
⎥⎦ ⎢1
⎢
⎣0
0 −1
0
0
0
0
1
0
y
0 ⎤⎡
⎤
⎥
⎢
⎥
y′
− 1⎥ ⎢
⎥
0 ⎥ ⎢− (q 2 y ′′)′ + q1 y ′⎥
⎥
⎥⎢
0 ⎦⎣
q 2 y ′′
⎦
y
⎤
⎡
⎥
⎢
y′
′
⎡
⎤
⎥
⎢
= − (q 2 z ′′) + q1 z ′ q 2 z ′′ − z − z ′
⎢⎣
⎥⎦ ⎢− (q y ′′)′ + q y ′⎥
2
1
⎥
⎢
q 2 y ′′
⎦
⎣
′
′
= − y (q 2 z ′′) + yq1 z ′ + q 2 z ′′y ′ + z (q 2 y ′′) − zq1 y ′ − z ′q 2 y ′′
′
′
= − y⎛⎜ q 2 z ′′ + q 2 z ′′′ ⎞⎟ + yq1 z ′ + q 2 z ′′y ′ + z ⎛⎜ q 2 y ′′ + q 2 y ′′′ ⎞⎟ − zq1 y ′ − z ′q 2 y ′′
⎝
⎠
⎝
⎠
′
′
= − y (q 2 z ′′) + yq1 z ′ + q 2 z ′′y ′ + z (q 2 y ′′) − zq1 y ′ − z ′q 2 y ′′
′
= q 2 [( y ′′′z − yz ′′′) − ( y ′′z ′ − y ′z ′′)] − q1 [ y ′z − yz ′] + q 2 [ y ′′z − yz ′′]=[y,z](x)
bulunur. Buradan da;
( Z T JY )( x) = [ y, z ]
(4.11)
eşitliğinin sağlandığı görülür. (4.1) dördüncü mertebeden diferansiyel denkleminin
dört çözümünün wronskiyenlerini değerlendirmek için bir özdeşliğe ihtiyaç vardır.
Bu özdeşlik; üçüncü mertebeden türevleri sürekli olan, dört fonksiyonu
{u1 , u 2 , u 3 , u 4 } şeklinde tespit edilen cebirsel bir niceliktir. Dördüncü merteben
diferansiyel denklem için wronskiyen;
u1
u′
W x (u1 , u 2 , u 3 , u 4 ) = 1
u1′′
u2
u 2′
u 2′′
u3
u 3′
u 3′′
u4
u 4′
u 4′′
u1′′′
u 2′′′
u 3′′′
u 4′′′
31
(4.12)
şeklinde tanımlanır. Bu durumda;
⎧− [u1 , u 2 ]( x )
⎪
q 22W x (u1 , u 2 , u 3 , u 4 ) = ⎨+ [u1 , u 3 ]( x )
⎪− [u , u ]
⎩ 1 4 (x)
eşitliği elde edilir (Fulton,1988).
( a, b)
[u3 , u 4 ]( x )
[u 2 , u 4 ]( x )
[u 2 , u3 ]( x )
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
(4.13)
aralığındaki dördüncü mertebeden
diferansiyel denklem ile ilişkisi olan maksimal L1 operatörünün tanım kümesi;
D( L1 ) = { f ∈ L2 ((a, b); r | f ∈ C 3 (a, b) ve f ( 4) nün (a, b) deki öz alt kümeleri
mutlak süreklidir, Lf ∈ L2 ((a, b); r )}
(4.14)
şeklinde ifade edilsin. Eğer x = a regüler bir uç noktası olursa, o zaman x = a da iki
sınır koşulu verilebilir. α1 ve α 2 reel 2 x 2 matrisleri;
α 1α 1T + α 2α 2T = I 2
(4.15i)
α 1α 2T − α 2α 1T = 0
(4.15ii)
koşullarını sağlasın. Bu matrisler yukarıdaki koşullara denk olan;
α 1T α 1 + α 2T α 2 = I 2
(4.15iii)
α 1T α 2 − α 2T α 1 = 0
(4.15iv)
koşullarını da sağlar. f ∈ D( L1 ) ve F nin (4.5) değişkenler değişimi adı altında
yöndeş vektörler oldukları düşünülürse, x = a daki iki regüler sınır koşulları;
( α 1 , α 2 ) F (a) = α1 F1 (a) + α 2 F2 (a)
⎡− (q 2 f ′′)′(a ) + q1 f ′(a )⎤
⎡ f (a) ⎤
+ α2 ⎢
= α1 ⎢
⎥
⎥=
q 2 f ′′(a )
⎣ f ′(a)⎦
⎦
⎣
⎡0 ⎤
⎢0 ⎥
⎣ ⎦
(4.16)
olarak yazılabilir. Benzer bir şekilde, eğer x = b regüler bir uç noktası olursa β1 ve
β 2 reel 2 x 2 matrisleri seçilsin. Bu matrisler
β1 β1T + β 2 β 2T = I 2
β1 β 2T − β 2 β1T = 0
(4.17i)
(4.17ii)
koşullarını sağlasın. Buradan da iki regüler sınır koşulları;
( β1 , β 2 ) F (b) = β1 F1 (b) + β 2 F2 (b)
⎡− (q 2 f ′′)′(b) + q1 f ′(b)⎤ ⎡0⎤
⎡ f (b) ⎤
+ β2 ⎢
= β1 ⎢
⎥ = ⎢0 ⎥
⎥
q 2 f ′′(b)
⎣ f ′(b)⎦
⎣
⎦ ⎣ ⎦
32
(4.18)
olarak yazılır. Burada x = a ve x = b deki regüler sınır koşulları (4.6) Hamilton
sistemi için self-adjoint sınır değer problemini ifade etmektedir. Diğer bir alternatifte
dördüncü mertebeden (4.1) diferansiyel denklemi x = a ve x = b deki regüler sınır
koşulları ile birlikte bir sınır değer problemi olarak kabul edilebilir (Fulton, 1988).
Bu da hem sistem formülünü hem de özdeğer probleminin skaler dördüncü
mertebeden formülünü elde etmeye yardımcı olur. Buradaki amaç Bessel karesi
denkleminin açılım teorisini ele almak için nasıl genişletilebileceğini göstermektir.
α i ve β i matrisleri
⎛ α ( i ) α 12( i ) ⎞
⎟,
α i = ⎜⎜ 11(i )
(i ) ⎟
⎝ α 21 α 22 ⎠
⎛ β (i )
β i = ⎜⎜ 11(i )
⎝ β 21
β 12(i ) ⎞
⎟ i = 1,2
β 22(i ) ⎟⎠
(4.19)
şeklinde tanımlansın. Bu durumda α 1 ve α 2 matrisleri;
⎛ α (1) α 12(1) ⎞
⎟,
α 1 = ⎜⎜ 11(1)
(1) ⎟
⎝ α 21 α 22 ⎠
⎛ α ( 2) α 12( 2 ) ⎞
⎟
α 2 = ⎜⎜ 11( 2)
( 2) ⎟
⎝ α 21 α 22 ⎠
olarak ifade edilir. Burada da (4.15ii) koşulunda α 1 ve α 2 matrisleri yerine yazılırsa;
⎛ α 11(1)
⎜ (1)
⎜α
⎝ 21
⎛ α 11(1)
⎜ (1)
⎜α
⎝ 21
T
α 12(1) ⎞ ⎛ α 11( 2) α 12( 2 ) ⎞ ⎛ α 11( 2) α 12( 2 ) ⎞
⎟⎜
⎟ -⎜
⎟
α 22(1) ⎟⎠ ⎜⎝ α 21( 2) α 22( 2 ) ⎟⎠ ⎜⎝ α 21( 2) α 22( 2 ) ⎟⎠
⎛ α 11(1)
⎜ (1)
⎜α
⎝ 21
T
α 12(1) ⎞ ⎛ 0 0 ⎞
⎟ =⎜
⎟
α 22(1) ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 ⎟⎠
α 12(1) ⎞⎛ α 11(2 ) α 21(2 ) ⎞ ⎛ α 11(2 ) α 12(2 ) ⎞⎛ α 11(1) α 21(1) ⎞ ⎛ 0 0 ⎞
⎟=⎜
⎟⎜
⎟−⎜
⎟⎜
⎟
α 22(1) ⎟⎠⎜⎝ α 12(2 ) α 22(2 ) ⎟⎠ ⎜⎝ α 21(2 ) α 22(2 ) ⎟⎠⎜⎝ α 12(1) α 22(1) ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 ⎟⎠
(1)
(1)
(2 )
(2 )
⎛α 11(1)α 11(2 ) + α 12(1)α 12(2 ) α 11(1)α 21
⎞ ⎛ α 11(2 )α 11(1) + α 12(2 )α 12(1) α 11( 2)α 21
⎞
+ α 12(1)α 22
+ α 12( 2)α 22
⎜ (1) (2 )
⎟
⎜
⎟
−
⎜α α + α (1)α (2 ) α (1)α (2 ) + α (1)α (2 ) ⎟ ⎜α ( 2)α (1) + α ( 2)α (1) α ( 2)α (1) + α ( 2)α (1) ⎟ = 0
22
12
21
21
22
22 ⎠
22 12
21 21
22 22 ⎠
⎝ 21 11
⎝ 21 11
⎛
0
⎜ (1) ( 2)
⎜ α α + α (1)α ( 2) − α ( 2)α (1) + α ( 2)α (1)
22 12
21 11
22
12
⎝ 21 11
(
) (
)
(α
(1)
11
α 21( 2) + α12(1)α 22( 2) ) − (α11( 2)α 21(1) + α12( 2)α 22(1) )⎞
0
⎟=0
⎟
⎠
bulunur. Böylelikle;
(α
(α
α 21( 2 ) + α 12(1) α 22( 2) ) − (α 11( 2) α 21(1) + α 12( 2 ) α 22(1) ) = 0
(4.20i)
α 11( 2) + α 22(1)α 12( 2 ) ) − (α 21( 2 )α 11(1) + α 22( 2)α 12(1) ) = 0
(4.20ii)
(1)
11
(1)
21
koşulları elde edilir. Bu da (Everit, 1957) tarafından kullanılan self-adjoint sınır
koşuluna denktir. Uygun başlangıç koşullarıyla a ve b deki iki sınır koşulunu
sağlayan lineer bağımsız çözümü bulmak için; Φ( x, λ ) ve Ψ ( x, λ ) sırasıyla a ve b
de tanımlanan çözümler olsun, başlangıç koşulları;
33
⎛ − α 11( 2)
⎜
⎛ − α 2T ⎞ ⎜ − α 12( 2)
Φ (a, λ ) = ⎜⎜ T ⎟⎟ = ⎜ (1)
⎝ α 1 ⎠ ⎜ α 11
⎜ α (1)
⎝ 12
( 2)
⎞
− α 21
⎟
( 2)
α 22 ⎟
α 21(1) ⎟⎟
α 22(1) ⎟⎠
ve
(4.21)
⎛ − β 11( 2 )
⎜
⎛ − β 2T ⎞ ⎜ − β 12( 2 )
Ψ (b, λ ) = ⎜⎜ T ⎟⎟ = ⎜ (1)
⎝ β 1 ⎠ ⎜ β 11
⎜ β (1)
⎝ 12
− β 21( 2) ⎞
⎟
β 22( 2) ⎟
β 21(1) ⎟⎟
β 22(1) ⎟⎠
olarak verilirsin. Burada Φ nin a da ki sınır koşulları, Ψ nin de b deki sınır
koşullarını sağladığı kolaylıkla gösterilir. Yukarıdaki başlangıç koşulları ile verilen
çözüm
(
Φ (x, λ ) = Φ (1) ,Φ ( 2)
)
φ1
φ2
⎡
⎢
φ1′
φ 2′
=⎢
′
⎢− q φ ′′ + q φ ′ − q φ ′′ ′ + q φ ′
2 1
1 1
2 2
1 2
⎢
′
′
′
′
q
φ
q
φ
2 1
2 2
⎣⎢
(
)
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎥
(4.22)
⎤
⎥
⎥
′
− (q 2 χ 2′′ ) + q1 χ 2 ⎥
⎥
q 2 χ 2′′
⎦
(4.23)
(
)
ve
(
Ψ (x, λ ) = Ψ (1) , Ψ ( 2 )
)
χ1
⎡
⎢
χ 1′
=⎢
⎢− (q 2 χ 1′′)′ + q1 χ 1
⎢
q 2 χ 1′′
⎣
χ2
χ 2′′
olarak yazılabilir. Bu Φ nın her bir bileşeninin a da ki sınır koşullarının her ikisini
de sağladığı ve Ψ nin de b deki sınır koşullarının her ikisini de sağladığını gösterir.
{
}
ve
{χ1 , χ 2 }
(4.21) deki başlangıç koşullarında lineer bağımsız Φ (1) , Φ ( 2) ve {φ1 , φ2 } ; lineer
bağımsız çözümlerdir. Aynı durum
{Ψ
(1)
, Ψ ( 2)
}
içinde geçerlidir
(Fulton, 1988). Dördüncü mertebeden (4.1) diferansiyel denklemin çözümleri
{φ ,φ , χ , χ }
1
2
1
2
olarak gösterilir. (4.11) eşitliği ve (4.21) başlangıç koşulları
kullanılarak
⎡ [φ , φ ]( x )
Φ T (x, λ )JΦ ( x, λ ) = ⎢ 1 1
⎣[φ1 , φ 2 ]( x )
34
[φ 2 , φ1 ](x )⎤
=
[φ 2 , φ 2 ](x )⎥⎦
⎡0 0⎤
⎢0 0⎥
⎣
⎦
(4.24i)
⎡ [χ , χ ]( x )
Ψ T (x, λ )JΨ ( x, λ ) = ⎢ 1 1
⎣[χ 1 , χ 2 ]( x )
[χ 2 , χ1 ](x )⎤
=
[χ 2 , χ 2 ](x )⎥⎦
Φ T (a, λ )JΦ (a, λ ′) = 0
∀ λ , λ ′ ∈C
(4.25i)
Ψ T (b, λ )JΨ (b, λ ′) = 0
∀ λ , λ ′ ∈C
(4.25ii)
⎡0 0⎤
⎢0 0⎥
⎣
⎦
(4.24ii)
ve
bağıntıları elde edilir (Fulton, 1988). Burada [φ1 , φ 2 ]( x ) = [χ 1 , χ 2 ]( x ) = 0 olduğu
görülür. (4.16) ve (4.18) sınır koşulları Φ ve Ψ kullanılarak;
[ ]
⎛ 0⎞
⎜⎜ ⎟⎟
[ ]
⎝ 0⎠
⎛ [ f , χ ](b ) ⎞ ⎛ 0 ⎞
(b, λ )JF (b ) = ⎜⎜
[⎝ f , χ ](b)⎟⎟⎠ = ⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠
⎛ f , φ1 (a ) ⎞
⎟=
Φ T (a, λ )JF (a ) = ⎜⎜
⎟
⎝ f , φ 2 (a )⎠
ΨT
1
(4.26)
(4.27)
2
olarak yazılabilir. İki regüler (4.16) ve (4.18) sınır koşulu için ara durumlar
özetlenirse; İlk önce öz değerler, aşağıdaki fonksiyonun kökleri olarak belirlenir.
W α , β (λ ) = q 22 ( x)W x (φ1 , φ 2 , χ 1 , χ 2 )
(4.28)
Yukarıdaki eşitlik de (4.13) eşitliği kullanılarak;
W
α ,β
⎧− [φ1 , φ 2 ](λ )[χ 1 , χ 2 ](λ ) ⎫
(λ ) = q ( x)Wx (φ1 , φ 2 , χ1 , χ 2 ) = ⎪⎨+ [φ1 , χ1 ](λ )[φ 2 , χ 2 ](λ )⎪⎬
⎪− [φ , χ ](λ )[φ , χ ](λ ) ⎪
2
1
⎩ 1 2
⎭
2
2
yazılabilir. Burada birinci satır (4.24i) ve (4.24ii) bağıntılarından 0 a eşit olur. Bu
durumda;
⎧ φ1
⎪+ ′
⎪ φ
α ,β
W (λ ) = ⎨ 1
⎪− φ1
⎪⎩ φ1′
χ1 φ2 χ 2 ⎫
⎪
χ 1′ φ 2′ χ 2′ ⎪
χ 2 φ 2 χ 1 ⎬⎪
χ 2′ φ 2′ χ 1′ ⎪⎭
⎧ (φ χ ′ − φ ′χ )(φ χ ′ − φ 2′ χ 2 ) ⎫
=⎨ 1 1 1 1 2 2
⎬
⎩− (φ1 χ 2′ − φ1′χ 2 )(φ 2 χ 1′ − φ 2′ χ 1 )⎭
=
φ1 χ 1′ − φ1′χ 1 φ 2 χ 1′ − φ 2′ χ 1
φ1 χ 2′ − φ1′χ 2 φ 2 χ 2′ − φ 2′ χ 2
=
[φ1 , χ1 ](λ ) [φ 2 , χ1 ](λ )
[φ1 , χ 2 ](λ ) [φ 2 , χ 2 ](λ )
35
⎛ [φ , χ ](λ ) [φ 2 , χ 1 ](λ ) ⎞
⎟⎟
= det⎜⎜ 1 1
⎝ [φ1 , χ 2 ](λ ) [φ 2 , χ 2 ](λ ) ⎠
Ψ T (x, λ )JΦ ( x, λ ) ye eşit olduğu
şeklinde yazılabilir. Bu eşitliğinde (4.24) den
biliniyor. Bu durumda;
W α , β (λ ) = det( Ψ T (x, λ )JΦ ( x, λ ) )
(4.29)
yazılabilir. Hamilton sistemi formülüne yardımcı olan 4 × 2 matrisleri için Φ ve Ψ
nin başka sembolleri kullanılır. φ1 ve φ 2 hem de onların türevlerini içeren 2 × 2
matrisleri Φ 1 ( x, λ ) ve Φ 2 ( x, λ ) ;
⎡Φ (x, λ ) ⎤
Φ ( x, λ ) = ⎢ 1
⎥
⎣ Φ 2 (x, λ ) ⎦
(4.30)
olarak tanımlanır. Benzer tanımlama Ψ ( x, λ ) için de yapılır. Yukarıdaki tanımlama
kullanılarak öz değerleri belirleyen 2x2 matrisi ;
ω T (λ ) = Ψ T ( x, λ ) JΦ (x, λ )
⎛ ω (λ ) ω 21 (λ ) ⎞
⎟⎟
= ⎜⎜ 11
⎝ ω12 (λ ) ω 22 (λ ) ⎠
⎛ [φ , χ ](λ )
= ⎜⎜ 1 1
⎝ [φ1 , χ 2 ](λ )
[φ 2 , χ1 ](λ ) ⎞
⎟
[φ 2 , χ 2 ](λ )⎟⎠
= β1Φ1 (b, λ ) + β 2 Φ 2 (b, λ )
= − Φ 1T (a, λ )α 1T − Ψ2T (a, λ )α 2T
= − (α 1 Ψ1 (a, λ ) + α 2 Ψ2 (a, λ )) T
olarak yazılabilir (Fulton, 1988). φ
ve
χ
(4.31)
fonksiyonlarını Titchmarsh’ın
fonksiyonları “ φ ve χ ’’ ile kıyaslayınca, φ ve χ ;
⎛ φ1 (x, λ ) ⎞
⎟⎟
⎝ φ 2 (x, λ ) ⎠
φ ( x, λ ) : = ⎜⎜
ve
⎛ χ 1 (x, λ ) ⎞
⎟⎟
⎝ χ 2 (x, λ ) ⎠
χ ( x, λ ) : = ⎜⎜
(4.32)
olarak tanımlanır. (4.1) dördüncü mertebeden diferansiyel denklemi , x = a ve x = b
deki sınır koşullarıyla elde edilen sınır değer problemi için Green fonksiyonunun
x =ξ
da bulunan 3 üncü mertebeden türevdeki sıçrayan süreksizliği ;
ω (λ ) matrisiyle;
36
⎧ x T (ξ , λ )ω −1φ ( x, λ ), a ≤ x p ξ ⎫
G(x, ξ , λ ) = ⎨ T
⎬
−1
⎩ x ( x, λ )ω φ (ξ , λ ), ξ p x ≤ b ⎭
(4.33)
olarak ifade edilir (Fulton, 1988). W α , β (λ ) ≠ 0 sağlayan her λ için rezolvent
operatör
(
α ,β
R λ; L
) f := ∫ G(x, ξ ; λ ) f (ξ )r (ξ )d
b
ξ
(4.34)
a
şeklindedir (Fulton, 1988). Buradaki Lα , β ; sınır koşulları (4.16) ve (4.18) ile verilen
ve L1 in kısıtlanması olarak belirlenen self-adjoint operatördür.
r ( λ ) = rankω (λ ) ; k ( λ ), [ a , b ] üzerinde lineer bağımsız olan λ nın öz fonksiyon
sayısı olarak tanımlansın.
(4.35)
Teorem 4.1: (i) λ nın bütün değerleri için r ( λ ) + k (λ ) = 2
(ii) λ n , W α , β nin bir basit sıfırı ise , r ( λ n ) = k (λ n ) = 1 dir.
normal durumdaki reel değere sahip bir öz fonksiyon için
1
⎛
⎞2
k
⎟⎟ [ω 22 (λ n )φ1 ( x, λ n ) − ω12 (λ n )φ 2 (x, λ n )]
Ψn (x ) = ⎜⎜
⎝ ω 22 (λ n )W ′(λ n ) ⎠
(4.36)
elde edilir. Burada “ k ” lineer bağımlılık ilişkisi tarafından belirlenen bir reel sabit
katsayıdır.
ω 22 (λ n )χ 1 ( x, λ n ) − ω 21 χ 2 ( x, λ n ) = k [ω 22 (λ n )φ1 ( x, λ n ) − ω12 (λ n )φ 2 ( x, λ n )] (4.37)
Burada ω 22 (λ ) ≠ 0 kabulü yapılırsa, yukarıdaki öz fonksiyon
b
∫ Ψ (x ) r (x )dx = 1
2
n
(4.38)
a
olarak elde edilir.
(iii) Eğer r ( λ n ) = 0 ve k (λ n ) = 2 ise ve hem χ 1 hem de χ 2 , φ 1 ve φ 2 üzerinde
lineer bağımlı olursa;
χ 1 ( x, λ ) = c1φ1 (x, λ ) + c 2φ 2 ( x, λ )
(4.39i)
χ 2 ( x, λ ) = d1φ1 ( x, λ ) + d 2φ 2 (x, λ )
(4.39ii)
şeklinde sabitler oluşur. ∆ = c1 d 2 − c 2 d1 ≠ 0 olur.
Bu durumda Schmidt ortagonalleştirme yöntemi ile;
37
1
⎛
⎞2
∆
⎟⎟ φ1 ( x, λ n )
Ψ1n ( x ) = ⎜⎜
⎝ d 2ω11′ (λ n ) − c 2ω12′ (λ n ) ⎠
(4.40i)
⎛
′ (λn ) − d1ω11
′ (λn ))φ1 (x, λn ) − (d2ω11
′ (λn ) − c2ω12
′ (λn ))φ2 (x, λn ) ⎞⎟
⎜ (c1ω12
Ψ2n (x) = ⎜
(4.40ii)
1
⎜ {(d ω′ (λ ) − c ω′ (λ ))(ω′ (λ )ω′ (λ ) − ω′ (λ )ω′ (λ ))}2 ⎟⎟
2 11 n
2 12 n
11 n
22 n
12 n
21 n
⎠
⎝
elde edilir.
(iv) Lα , β , self-adjoint operatöre karşılık gelen öz fonksiyon açılımı da;
f (x ) = ∑
∀λn
⎛b
⎞
⎜ ∫ Ψn ( x ) f ( x )r ( x )dx ⎟Ψn ( x )
⎜
⎟
⎝a
⎠
(4.41)
şeklinde elde edilir. (Fulton, 1988)
4.2 ‘ S’ Dönüşümü ve Plücker Özdeşliği
S– dönüşümü, Bessel karesi denkleminin Lim-4 durumu için yardımcıdır. (4.1)
dördüncü mertebeden diferansiyel denklemin temel çözümleri {u1 , u 2 , u 3 , u 4 } olarak
alınsın bu durumda
⎡ [u1 , u1 ]
⎢[u , u ]
⎢ 1 2
⎢[u1 , u3 ]
⎢
⎣[u1 , u 4 ]
[u 2 , u1 ]
[u 2 , u2 ]
[u2 , u3 ]
[u 2 , u4 ]
[u3 , u1 ]
[u3 , u 2 ]
[u3 , u3 ]
[u3 , u 4 ]
[u4 , u1 ]⎤
[u4 , u 2 ]⎥⎥
[u 4 , u3 ]⎥
[u4 , u 4 ]⎥⎦
⎡0
⎢0
= ⎢
⎢1
⎢
⎣0
0 −1 0 ⎤
0 0 − 1⎥⎥
0 0 0⎥
⎥
1 0 0⎦
(4.42)
normal koşulu yazılabilir (Fulton, 1988). Yukarıda yazılan koşul ve (4.13) eşitliği
kullanılarak;
⎧− [u1 , u 2 ]( x )
⎪
q W x (u1 , u 2 , u 3 , u 4 ) = ⎨+ [u1 , u 3 ]( x )
⎪− [u , u ]
⎩ 1 4 (x)
2
2
[u3 , u 4 ]( x )
[u 2 , u 4 ]( x )
[u 2 , u 3 ]( x )
⎫ ⎧0⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎬ = ⎨1⎬ = 1
⎪ ⎪0⎪
⎭ ⎩ ⎭
elde edilir ve
q 22 ( x )W x (u1 , u 2 , u 3 , u 4 ) = 1
olduğu görülür. (4.5) altındaki
{u1 , u 2 , u 3 , u 4 }
(4.43)
den elde edilen vektörleri
{U 1 , U 2 , U 3 , U 4 } ile ifade edilerek ;
U 0T ( x) JU 0 ( x) = J
38
(4.44)
normal koşulu yazılabilir. U 0 ;
U 0 = [U 1 , U 2 , U 3 , U 4 ]
(4.45)
olarak ifade edilen 4x4 matrisidir (Fulton, 1988). Bu da U 0 ın üçüncü ve dördüncü
satırlarını takip ederek det U 0 = 1 olan (4.42) normal koşulunu kullanarak devam
ediyor.
f ∈ D( L1 )
için, (4.5) vasıtasıyla Hamilton sistemleri için yöndeş
elementlerle bağlantı kurulursa ;
f
⎡
⎤
⎢
⎥
f′
⎢
⎥
f↔F=
⎢− (q 2 f ′′)′ + q1 f ′⎥
⎢
⎥
q 2 f ′′
⎣
⎦
elde edilir. Buradan S dönüşümü;
⎡q 22Wx( f , u 2 , u 3 , u 4 )⎤
⎢ 2
⎥
q 2 Wx(u1 , f , u 3 , u 4 ) ⎥
⎛ ( SF )1 ( x) ⎞
−1
⎢
⎟⎟ = U 0 F = 2
(SF) (x) = ⎜⎜
⎢ q 2 Wx(u1 , u 2 , f , u 4 ) ⎥
⎝ ( SF ) 2 ( x) ⎠
⎢ 2
⎥
⎢⎣ q 2 Wx(u1 , u 2 , u 3 , f ) ⎥⎦
(4.46)
olarak tanımlanır. Bu eşitliğin sağ tarafı, Cramer kuralı uygulanarak ve U 0 ( SF ) = F
formülü kullanılarak kolayca bulunabilir (Fulton,1988). Yukarıdaki eşitliğin sağ
kısmı (4.12) kullanılarak sadeleştirilebilir; böylelikle
⎡[ f , u 3 ]( x) ⎤
⎢[ f , u ]( x)⎥
4
⎥=
(SF) (x) = ⎢
⎢ [u1 , f ]( x) ⎥
⎢
⎥
⎣[u 2 , f ]( x)⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
(U JF )( x) ⎤
(U JF )( x) ⎥⎥
(F JU )( x) ⎥⎥
(F JU )( x)⎥⎦
T
3
T
4
T
(4.47)
1
T
2
elde edilir. Bu eşitlik ikinci mertebeden denklemlerdeki duruma benzer bir Plücker
özdeşliğidir (Fulton,1988).
Lemma4.1 : ∀f , g ∈ D( L1 ) için
[ f , g ]( x) = G T JF = ( SG ) T J ( SF )
(4.48)
Sağlanır (Fulton, 1988).
İspat: Eğer (4.44) normalleştirmesi kullanılıp ve V0= U 0−1 yerine yazılırsa ;
V0T JV0 = J
elde edilir. Buradan ;
39
(4.49)
(SG )T J (SF ) = (U 0−1G )T J (U 0−1 F ) = G T (V0T JV0 )F = G T JF
bulunur.
4.3: Lim-4 Durumu Genel Teori
(4.6) denklemi;
JF ′ = ( λ A+B) F
(4.50)
şeklinde yazılabilir. (4.42-45) ün U 0 matrisinin
JU 0′ = BU 0
(4.51)
formülünü sağladığını varsayalım. (4.50) sisteminin çözümleri için S dönüşümünü
uygularsak;
Y ( x) = ( SF )( x) = U 0−1 F ( x)
(4.52)
olduğu görülür. V0 = U 0−1 için, (4.44) ve (4.49) kullanarak V0 ın
JV0′ = −U 0T B
(4.53)
denklemini sağladığı görülür. Bu eşitlik kullanılarak; yukarıdaki değişken
değişiminin,(4.50) ifadesini;
(
)
JY ′ = λ U 0T AU 0 Y
eşitliği
ile
ifade
edilen
modifiye
şekle
dönüştürdüğü
(4.54)
görülür.
U 0T AU 0 = [u i u j r ]
Burada
(4.55)
alınmıştır. x = b deki lim-4 önermesi altında, r (x) e göre tüm çözümlerin
integrallenebilir fonksiyonlar olması koşulu sağlanır. Böylece U 0T AU 0 ∈ L1 (a, b ) ve
(4.54) denkleminin bu çözümleri de, singüler lim-4 uç noktasındaki başlangıç
koşulları ile tanımlanabilir. Regüler uç noktasında da x = b , self-adjoint sınır
koşulları ifade edilebilir (Fulton, 1988). γ 1 ve γ 2 reel 2x2 matrisleri;
γ 1 γ 1T + γ 2γ 2T = I 2
(4.56i)
γ 1 γ 2T + γ 2 γ 1T = 0
(4.56ii)
koşullarını sağlasın. x = b deki Lim-4 koşulları
(γ 1 , γ 2 ) (SF)(b)= γ 1 (SF)1(b) + γ 2 (SF)2(b)
40
⎛ [ f , u3 ](b) ⎞
⎛ [u1 , f ](b) ⎞
γ
= γ1 ⎜
+
⎟
⎟⎟ = 0
⎜⎜
2
⎜ [ f , u ](b) ⎟
u
f
b
[
]
,
(
)
4
⎠
⎠
⎝
⎝ 2
(4.57)
olarak yazılabilir. Burada f ; D( L1 ) deki keyfi bir vektör ve f , F de (4.46) – (4.47)
ile ilişkilidir. Lim-4 önermesi altında u i , i = 1,4 çözümleri x = b de r ye göre
integrallenebilir fonksiyonlardır (Fulton, 1988). Bu durumda bu da Green’nin (4.8)
formülünü
⎛ [ f , u3 ]( x) ⎞
⎜
⎟
⎜ [ f , u 4 ]( x) ⎟
lim( SF )( x) = lim ⎜
x →b
x →b
[u , f ]( x) ⎟⎟
⎜ 1
⎜ [u , f ]( x) ⎟
⎝ 2
⎠
olarak takip eder, bu ifade de
(4.58)
∀f ∈ D( L1 ) için geçerlidir. Bu şekilde (4.57) da
belirtilen limitler var olur ve x = b de dört lineer bağımsız sınır değeri ifade edilir
(Dunford and Schwarlz, 1963). Yb ( x, λ ) , x = b deki sınır koşullarını sağlayan (4.54)
denkleminin tek çözümü olsun. O halde
⎛− γ T
lim Yb (x, λ ) = ⎜⎜ T2
x →b
⎝ γ1
⎞
⎟
⎟
⎠
(4.59)
olmak üzere
Ψ ( x, λ ) = U o ( x)Yb ( x, λ ) :
(4.60)
alalım. (4.52) değişken değişimi altında, Ψ ( x, λ ) ; (4.50) denkleminin bir çözümüdür
ve bu yüzden dördüncü mertebeden (4.1) denklemin iki skaler çözümü χ 1 ve χ 2 nin
terimleri (4.23) şeklinde yazılabilir (Fulton, 1988). Bu durumda;
Yb ( x, λ ) = ( SΨ )( x, λ )
elde edilir. Burada (4.54) modifiye edilmiş denklemi ihmal edip, (4.50) denkleminin
tek çözümü Ψ yi gözlemleyerek sınır koşullarıyla;
⎛−γ T ⎞
lim( SΨ )( X , λ ) = ⎜⎜ 2 ⎟⎟
x →b
⎝ γ1 ⎠
(4.61)
yazılabilir. Burada (4.57) koşulları yerine yazılırsa, Ψ nin b deki sınır koşullarını
sağladığı görülür. (4.59) ve (4.60) deki iki sütun vektörde lineer bağımsız
olduklarından, Ψ = (Ψ (1) , Ψ (2 ) ) , (4.50) denkleminin iki lineer bağımsız çözümünü
41
verir ve skaler çözümlerden { χ 1 , χ 2 } de lineer bağımsızdır. (4.11) ve (4.61) sınır
koşulları kullanıldığında
⎡ [χ , χ ]( x)
Ψ T (x, λ )JΨ ( x, λ ) = ⎢ 1 1
⎣[χ 1 , χ 2 ]( x)
[χ 2 , χ1 ]( x) ⎤ ⎡0
=
[χ 2 , χ 2 ]( x)⎥⎦ ⎢⎣0
0⎤
0⎥⎦
(4.62)
ve
lim Ψ T ( x, λ )JΨ ( x, λ ′) = 0∀λ , λ ′ ∈ C
x →b
(4.63)
bağıntıları elde edilir (Fulton,1988). Bu bağıntıları kanıtlamak için (4.48) de Plücker
özdeşliği kullanılarak ,
lim Ψ T ( x, λ )JΨ ( x, λ ′) = lim(SΨ ) ( x, λ )J (SΨ )( x, λ ′)
T
x →b
x →b
⎛− γ T
= (− γ 2 , γ 1 )J ⎜⎜ T2
⎝ γ1
⎞
⎟
⎟
⎠
(4.64)
elde edilir. (4.57) singüler sınır koşulu Ψ nin terimleri ile ifade edilirse;
⎛ [ f , χ 1 ](b ) ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
lim Ψ T ( x, λ )JF ( x ) = ⎜⎜
x →b
⎝ [ f , χ 2 ](b )⎠ ⎝ 0 ⎠
(4.65)
elde edilir (Fulton, 1988). Bu da kolaylıkla Plücker özdeşliğini ve (4.61) sınır
koşullarını kullanarak saptanabilir. Lα ,γ operatörünün tanım kümesi
D( Lα ,γ ) = { f ∈ D( L1 ) | α1 F1 (a) + α 2 F2 (a) = 0, γ 1 (SF )1 (b) + γ 2 (SF ) 2 (b) = 0}
(4.66)
olarak tanımlansın. Lα ,γ operatörü bir self-adjoint (kendine eş) operatördür. Regüler
durumda olduğu gibi, öz değerler aşağıdaki fonksiyonun kökleriyle belirlenir
W α ,γ (λ ) = q 22W x (φ1 , φ 2 , χ 1 , χ 2 ) = det (ω ( x )) .
(4.67)
Buradan
⎛ ω11 (λ ) ω 21 (λ ) ⎞
⎟⎟
⎝ ω12 (λ ) ω 22 (λ ) ⎠
ω T (λ ) = Ψ T ( x, λ )JΦ ( x, λ ) = ⎜⎜
⎛ [φ , χ ](λ )
= ⎜⎜ 1 1
⎝ [φ1 , χ 2 ](λ )
[φ 2 , χ1 ](λ ) ⎞
⎟
[φ 2 , χ 2 ](λ ) ⎟⎠
= γ 1 (S Φ )1 (b, λ ) + γ 2 (S Φ )2 (b, λ )
= − (α 1 Ψ1 (a, λ ) + α 2 Ψ2 (a, λ ))
T
(4.68)
elde edilir. (4.31) den kaynaklanan tek değişiklik, Plücker özdeşliği ve sınır
koşullarının (4.61) kullanımını gerektiren x = b deki ω (λ ) nın değerlendirilmesidir.
42
Green fonksiyonu, rezolvent operatörü ve (4.32) – (4.41) deki öz fonksiyon açılımı
için olan formüller aynı kalır (Fulton, 1988).
( )
Lemma 4.1. f , g ∈ D Lα ,γ ve F, G (4.5) in yöndeş vektörleri olsun. Bu durumda;
lim[ f , g ]( x ) = 0
x →b
sağlanır (Fulton, 1988).
( )
İspat : f ∈ D Lα ,γ ise;
γ 1 (SF )1 (b ) + γ 2 (SF )(b ) = 0
olduğu biliniyor. A sabit vektörü;
A = γ 1 (SF )1 (b ) + γ 2 (SF )2 (b )
şeklinde tanımlansın. Bu denklemler;
⎛ γ1
⎜⎜
⎝−γ 2
γ 2 ⎞⎛ (SF )1 (b ) ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎟=⎜ ⎟
⎟⎜
γ 1 ⎟⎠⎜⎝ (SF )2 (b )⎟⎠ ⎜⎝ A ⎟⎠
şeklinde yazılabilir. Burada 4 × 4 matrisinin tersi;
⎛ γ1
⎜⎜
⎝− γ 2
−1
γ2⎞
⎛γ T
⎟⎟ = ⎜⎜ 1T
γ1 ⎠
⎝γ 2
− γ 2T ⎞
⎟
γ 1T ⎟⎠
olarak elde edilir. Yukarıdaki eşitlik 4 × 4 matrisinin tersi ile çarpılırsa;
⎛ (SF )1 (b ) ⎞ ⎛ − γ 2T
⎟⎟ = ⎜⎜ T
⎜⎜
⎝ (SF )2 (b )⎠ ⎝ γ 1
⎞
⎟A
⎟
⎠
bulunur. Benzer şekilde G için bir 2-vektör vardır. G için de;
⎛ (SG )1 (b ) ⎞ ⎛ − γ 2T ⎞
⎟⎟ = ⎜⎜ T ⎟⎟ B
⎜⎜
⎝ (SG )2 (b )⎠ ⎝ γ 1 ⎠
eşitliği yazılır. Bu sonuçlar kullanılarak;
⎛ − γ 2T ⎞
lim[ f , g ]( x ) = lim G JF ( x ) = (SG ) (b )J (SF )(b ) = B (− γ 2 , γ 1 )J ⎜⎜ T ⎟⎟ A = 0
x →b
x →b
⎝ γ1 ⎠
(
T
)
T
T
elde edilir.
43
4.4. Bessel – Karesi Denkleminin Çözümleri
Bessel diferansiyel denkleminin (4.3) ;
Ly =
2
1⎡
′ ν ⎤
′
(
)
−
+
x
y
y ⎥ = λy
⎢
x⎣
x ⎦
şeklinde ifade edildiği biliniyor. Bu denklemi Bessel denklemine çevirmek için
gerekli düzenlemeler yapılırsa (4.3) denklemi
x2
(
)
d2y
dy
+ x + λx 2 − ν 2 y = 0
2
dx
dx
şekline dönüşür. Burada s = λ x dönüşümü yapılırsa
s2
(
)
d2y
dy
+ s + s 2 −ν 2 = 0
2
ds
ds
denklemi elde edilir. Bu denklem Bessel diferansiyel denklemidir. Bu denklemin
genel çözümü :
y = AJν ( s ) + BJ −ν ( s )
(4.69)
olarak elde edilir. Burada A ve B sabitlerdir. Yukarıdaki genel çözümde s yerine
λ x yazılırsa (4.3) denkleminin genel çözümü;
y = AJν ( λ x) + BJ −ν ( λ x)
olarak elde edilir. Bessel karesi denkleminin dört çözümü; x = 0 singüler bir nokta
olduğu için, x = 0 ın yakınındaki Frobenius teorisinin uygulanması ile elde
edilebilir. Daha kolay bir yaklaşım da z ( x, λ ) ikinci dereceden Bessel denkleminin
çözümü ise bunu yorumlamaktır (Fulton,1988). Bessel diferansiyel denkleminde y
yerine z yazılırsa;
Az =
2
1⎡
′ ν
′
(
)
−
+
x
z
⎢
x⎣
x
⎤
z ⎥ = λz
⎦
elde edilir. Bu denkleminin iki çözümü;
ν
−
z1 ( x, λ ) = λ 2 Jν ( λ x)
2 k +ν
⎡∞
⎤
⎛ λx⎞
(−1) k
⎟
⎜
⎥
= λ ⎢∑
⎢ k =0 k!Γ(ν + k + 1) ⎜⎝ 2 ⎟⎠
⎥
⎣
⎦
ν
−
2
44
ν
2k
(−1) k λk ⎛ x ⎞ ⎤
⎛ x⎞ ⎡ ∞
= ⎜ ⎟ ⎢∑
⎜ ⎟ ⎥
⎝ 2 ⎠ ⎣⎢ k =0 k!Γ(ν + k + 1) ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥
(4.70i)
ν
z 2 ( x, λ ) = λ 2 J −ν ( λ x)
2 k −ν
⎡∞
⎤
⎛ λx ⎞
(−1) k
⎟
⎜
⎥
= λ ⎢∑
⎢ k =0 k!Γ(−ν + k + 1) ⎜⎝ 2 ⎟⎠
⎥
⎣
⎦
ν
2
⎛ x⎞
=⎜ ⎟
⎝2⎠
−ν
2k
⎡∞
(−1) k λk
⎛ x⎞ ⎤
⎜ ⎟ ⎥
⎢∑
⎣⎢ k =0 k!Γ(−ν + k + 1) ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥
(4.70ii)
olarak alınır. Bu çözümler, sabit x ∈ (0, ∞) için λ ya göre tam fonksiyonlardır.
Yukarıdaki yorumdan Ly = A 2 y = λy denkleminin çözümleri y1, 2 ( x, λ ) = z ( x,± λ )
dır. Buradan dördüncü mertebeden Bessel karesi denkleminin çözümleri ;
y11 ( x, λ ) = z1 ( x,+ λ )
y12 ( x, λ ) = z1 ( x,− λ )
(4.71i)
y 21 ( x, λ ) = z 2 ( x,+ λ )
y 22 ( x, λ ) = z 2 ( x,− λ )
(4.71ii)
şeklinde yazılabilir. Yukarıdaki çözümler, λ nin kesirli üslerinin oluşumundan
dolayı λ ya göre tam fonksiyon değildirler. Ancak uygun lineer kombinasyonlarla,
kesirli üsler yok edilebilir. Bu şekilde dört lineer bağımsız çözüm ;
1
⎛ x⎞
w1 ( x, λ ) = [ y 21 + y 22 ] = ⎜ ⎟
2
⎝2⎠
−ν
4k
⎡∞
λk
⎛ x⎞ ⎤
⎜ ⎟ ⎥
⎢∑
⎣⎢ k =0 (2k )!Γ(−ν + 2k + 1) ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥
ν
4k
1
λk
⎛ x⎞ ⎡ ∞
⎛ x⎞ ⎤
w2 ( x, λ ) = [ y11 + y12 ] = ⎜ ⎟ ⎢∑
⎜ ⎟ ⎥
2
⎝ 2 ⎠ ⎢⎣ k =0 (2k )!Γ(ν + 2k + 1) ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
- y + y12
w3 ( x, λ ) = 11
2 λ
w4 ( x , λ ) =
- y 21 + y 22
2 λ
ν
⎛ x⎞
=⎜ ⎟
⎝2⎠
⎛ x⎞
=⎜ ⎟
⎝2⎠
4k −2
⎡∞
⎤
λk −1
⎛ x⎞
⎜ ⎟
⎢∑
⎥
⎢⎣ k =1 (2k − 1)!Γ(ν + 2k ) ⎝ 2 ⎠
⎥⎦
−ν
(4.72i)
(4.72ii)
(4.72iii)
4k −2
⎡∞
⎤
λk −1
⎛ x⎞
⎜ ⎟
⎢∑
⎥ (4.72iv)
⎢⎣ k =1 (2k − 1)!Γ(−ν + 2k ) ⎝ 2 ⎠
⎥⎦
olarak bulunur. Yukarıdaki teorinin uygulanması için, normal çözümleri (4.42) ve
(4.43) koşullarını sağlayan λ = 0 için dört lineer bağımsız çözümü seçmek gerekli
olacaktır. Dört çözümü elde etmek için (4.4) Bessel karesi denkleminde λ = 0
yazılarak elde edilen Cauchy-Euler denklemi çözülebilir (Fulton, 1988). (4.4) Bessel
karesi denkleminde paydalar eşitlenip gerekli düzenlemeler yapılırsa;
45
x 4 y ′′′′ + 2 x 3 y ′′′ − (1 + 2ν 2 ) x 2 y ′′ + (1 + 2ν 2 ) xy ′ + ν 2 (ν 2 − 4) y = 0
Cauchy-Euler denklemi elde edilir. x = e t dönüşümü yapılarak gerekli düzenlemeler
yapılırsa;
[D(D − 1)(D − 2)(D − 3) + 2D(D −1)(D − 2) − (1 + 2ν )D(D − 1) + (1 + 2ν
[D( D − 2)(D − 2D − 2ν ) + ν (ν − 4)]y = 0
2
2
2
2
2
]
)D +ν 2 (ν 2 − 4) y = 0
2
bulunur. Buradan karakteristik denklemin çözümleri m1 = v, m2 = −ν , m3 = ν + 2 ve
m 4 = −ν + 2 olarak elde edilir. Bu durumda denklemin dört çözümü x −ν , xν , xν + 2 ve
x 2−ν olarak elde edilir. Plücker özdeşliğinin gerekliliği ve (4.42) normalleştirmesine
ulaşmak için, (4.9) eşitliği kullanılarak lineer olmayan sonuçlar hesaplanabilir.
Buradan
[x
−ν
ν +2
,x
]
⎡− ν (ν + 1)(ν + 2) x −ν −3 xν + 2 − ν (ν + 1)(ν + 2) x −ν xν +1 ⎤
= x⎢
⎥
−ν − 2 ν +1
x − ν (ν + 1)(ν + 2) x −ν −1 x −ν ⎦⎥
⎣⎢− ν (ν + 1)(ν + 2) x
-
1 + 2ν 2
− νx −ν −1 xν + 2 − (ν + 2) x −ν xν +1
x
[
[
= [− 4ν
]
+ 1ν (ν + 1) x −ν − 2 xν + 2 − (ν + 1)(ν + 2) x −ν xν
3
] [
]
]
− 12ν 2 − 8ν − − 4ν 3 − 4ν 2 − 2ν − 2 + [− 2ν − 2]
= − 4ν 3 − 12ν 2 − 8ν + 4ν 3 + 4ν 2 + 2ν + 2 − 2ν − 2
= − 8ν 2 − 8ν
= − 8ν (ν + 1)
[x ,x ] = x⎡⎢−−νν ((νν −− 11)()(ν2 −−ν2)) xx
ν
ν −3
x 2−ν − ν (2 − ν )(1 − ν ) xν x −ν −1 ⎤
⎥
ν − 2 1−ν
x + ν (1 − ν )(2 − ν ) xν −1 x −ν ⎦⎥
2−ν
⎣⎢
-
1 + 2ν 2 ν −1 2−ν
νx x − (2 − ν ) xν x1−ν
x
[
= [4ν
[
]
]
+ 2ν − 2] + [2ν − 2]
+ 1ν (ν − 1) xν − 2 x 2−ν − (2 − ν )(1 − ν ) x −ν xν
3
] [
− 12ν 2 + 8ν − 4ν 3 − 4ν 2
= − 4ν 3 − 12ν 2 + 8ν − 4ν 3 + 4ν 2 − 2ν + 2 + 2ν − 2
= − 8ν 2 + 8ν
= − 8ν (ν − 1)
elde edilir. (4.43) koşulunun sağlanması için; {u1 , u 2 , u 3 , u 4 } fonksiyonları;
46
u1 ( x) =
1 −ν
x
2ν
(4.73i)
u 2 ( x) =
1 ν
x
2ν
(4.73ii)
u 3 ( x) = −
1
xν + 2
4(ν + 1)
(4.73iii)
u 4 ( x) = −
1
x −ν + 2
4(ν − 1)
(4.73iv)
şeklinde seçilebilir. Bu fonksiyonlar (4.4) Bessel karesi denkleminin çözümüdür ve
dolayısıyla bu denklemi sağlar. Bu fonksiyonların her biri yukarıdaki Cauchy-Euler
denkleminde yerine yazılırsa;
(ν +1)(ν +2)(ν +3) 4 −ν −4 2(ν +1)(ν +2) 3 −ν −3 (1+2ν2)(ν +1) 2 −ν −2 (1+2ν2) −ν −1 ν2(ν2 −4) −ν
xx −
xx −
xx −
xx +
x =0
2
2
2
2
2ν
(ν −1)(ν − 2)(ν −3) 4 ν −4 2(ν −1)(ν − 2) 3 ν −3 (1+ 2ν 2)(ν −1) 2 ν −2 (1+ 2ν 2) ν −1 ν 2(ν 2 − 4) ν
xx +
xx −
xx +
xx +
x =0
2
2
2
2
2ν
−ν(ν +1)(ν +2)(ν −1) 4 ν−2 2ν(ν +1)(ν +2) 3 ν−1 (1+2ν2)(ν +1)(ν +2) 2 ν (1+2ν2)(ν +2) ν+1 ν2(ν2 −4) ν+2
xx −
xx +
xx −
xx −
x =0
4(ν +1)
4(ν +1)
4(ν +1)
4(ν +1)
4(ν +1)
−ν(ν −1)(ν −2)(ν +1) 4 −ν−2 2ν(ν −1)(ν −2) 3 −ν−1 (1+2ν2)(ν −1)(ν −2) 2 −ν (1+2ν2)(ν −2) −ν+1 ν2(ν2 −4) −ν+2
xx +
xx +
xx +
xx −
x =0
4(ν −1)
4(ν −1)
4(ν −1)
4(ν −1)
4(ν −1)
bulunur. Bu da {u1 , u 2 , u 3 , u 4 } fonksiyonlarının Bessel karesi denkleminin çözümleri
olduğunu gösterir. Bu çözümlerin wronskiyeni için (4.43) koşulu, (4.12) in
kullanımıyla kanıtlanabilir. Bu durumda (4.43) koşulu;
u1
u′
q 22 ( x )W x (u1 , u 2 , u 3 , u 4 ) = x 2 1
u1′′
u1′′′
u2
u 2′
u 2′′
u 2′′′
u3
u3′
u3′′
u3′′′
u4
u 4′
u 4′′
u 4′′′
⎧
u2′ u3′ u4′
u2 u3 u4
u2 u3 u4
u2 u3 u4 ⎫
⎪ 1+1
⎪
2+1
3+1
4+1
= x ⎨(−1) u1 u2′′ u3′′ u4′′ + (−1) u1′ u2′′ u3′′ u4′′ + (−1) u1′′ u2′ u3′ u4′ + (−1) u1′′′u2′ u3′ u4′ ⎬
⎪
u2′′′ u3′′′ u4′′′
u2′′′ u3′′′ u4′′′
u2′′′ u3′′′ u4′′′
u2′′ u3′′ u4′′ ⎪⎭
⎩
2
47
şeklinde açılır. Buradaki her bir determinant birinci satıra göre ayrı ayrı açılırsa;
u 2′ u 3′ u 4′
⎧
u ′′ u 3′′ ⎫
u ′′ u 4′′
u ′′ u 4′′
( −1) u1 u 2′′ u 3′′ u 4′′ = u1 ⎨( −1)1+1 u 2′ 3
+ ( −1)1+ 2 u 3′ 2
+ ( −1)1+ 3 u 4′ 2
⎬
u 2′′′ u 3′′′ ⎭
u 3′′′ u 4′′′
u 2′′′ u 4′′′
⎩
u 2′′′ u 3′′′ u 4′′′
1+1
=
1 −ν ⎧ − ν 3 + 4ν ν − 2 (ν + 2)(ν 3 − 4ν 2 + 5ν − 2) ν − 2 ( −ν 2 − ν + 2)(ν − 2) ν − 2 ⎫
x ⎨
x +
x +
x ⎬
2ν
16(ν + 1)
16(ν − 1)
⎭
⎩ 16
=
− 2ν 3 + 2ν 2 + 8ν − 8 − 2
x
16(ν + 1)(ν − 1)
(−1)
2 +1
u 2 u3 u 4
⎧
u ′′ u 4′′
u ′′ u 3′′ ⎫
u ′′ u 4′′
u1′ u 2′′ u 3′′ u ′4′ = −u1′ ⎨(−1)1+1 u 2 3
+ (−1)1+ 2 u 3 2
+ (−1)1+3 u 4 2
⎬
u 3′′′ u 4′′′
u 2′′′ u 4′′′
u 2′′′ u 3′′′ ⎭
⎩
u 2′′′ u 3′′′ u ′4′′
=
1 −ν −1 ⎧ − (ν 2 − 4) ν −1 (ν 3 − 4ν 2 + 5ν − 2) ν −1 (ν 2 + ν − 2) ν −1 ⎫
x
x +
x +
x ⎬
⎨
2ν
16
16(ν + 1)
16(ν − 1)
⎩
⎭
=
− 2ν 3 + 8ν 2 − 4ν − 2 − 2
x
16(ν + 1)(ν − 1)
(−1)
3+1
u 2 u3 u 4
⎧
u ′ u ′4
u ′ u 3′ ⎫
u ′ u ′4
u1′′ u ′2 u 3′ u ′4 = u1′′⎨(−1)1+1 u 2 3
+ (−1)1+ 2 u 3 2
+ ( −1)1+3 u 4 2
⎬
u 3′′′ u ′4′′
u ′2′′ u ′4′′
u ′2′′ u 3′′′ ⎭
⎩
u ′2′′ u 3′′′ u ′4′′
ν − 2 ν (2ν 2 + 3ν − 2) ν ⎫
(ν + 1) −ν − 2 ⎧ (ν 2 − 4)
ν
x
x +
x +
x ⎬
=
⎨
2
16(ν + 1)
16(ν + 1)(ν − 1) ⎭
⎩16(ν + 1)(ν − 1)
=
2ν 2 − 2 − 2
x
16(ν − 1)
(−1)
4 +1
u 2 u3 u 4
⎧
u ′ u 4′
u ′ u 3′ ⎫
u ′ u 4′
u1′′′u 2′ u 3′ u ′4 = −u1′′′⎨(−1)1+1 u 2 3
+ ( −1)1+ 2 u 3 2
+ ( −1)1+3 u 4 2
⎬
u 3′′ u 4′′
u 2′′ u 4′′
u 2′′ u 3′′ ⎭
⎩
u 2′′ u 3′′ u ′4′
=
⎫
− ν 2 + 3ν − 2 ν +1
(ν + 1)(ν + 2) −ν −3 ⎧ (ν 2 − 4)
ν +2
ν +1
x
x
x +
xν +1 ⎬
+
⎨
2
16(ν + 1)(ν − 1)
16(ν + 1)(ν − 1)
⎩16(ν + 1)(ν − 1)
⎭
=
2ν 2 + 2ν − 4 − 2
x
16(ν − 1)
48
elde edilir. Bu değerler yukarıda yerine yazılırsa;
⎧ − 2ν 3 + 2ν 2 + 8ν − 8 − 2 − 2ν 3 + 8ν 2 − 4ν − 2 − 2 2ν 2 − 2 − 2 2ν 2 + 2ν − 4 − 2 ⎫
x2 ⎨
x +
x +
x +
x ⎬
16(ν + 1)(ν − 1)
16(ν − 1)
16(ν − 1)
⎩ 16(ν + 1)(ν − 1)
⎭
=1
bulunur. Bu da (4.43) koşulunun sağlandığını gösterir. Bessel karesi operatörünün
0<ν <1 için Lim-4 durumuna düşmesi (4.72) ve (4.73) den görülür. Lim-4 durumunu
analiz edip, uygun sınır koşullarıyla bağlantılı öz değerlerin determinantı için 2x2
w – matrisi elde edilebilir. Buradan çözümler ;
⎛ x⎞
w1 ( x, λ ) = ⎜ ⎟
⎝2⎠
−ν
⎛ x⎞
+⎜ ⎟
Γ(− ν + 1) ⎝ 2 ⎠
1
−ν
4k
⎡∞
λk
⎛ x⎞ ⎤
⎜ ⎟ ⎥
⎢∑
⎢⎣ k =0 (2k )!Γ(−ν + 2k + 1) ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
ν
ν
4k
λk
1
⎛ x⎞
⎛ x⎞ ⎡ ∞
⎛ x⎞ ⎤
w2 ( x , λ ) = ⎜ ⎟
+ ⎜ ⎟ ⎢∑
⎜ ⎟ ⎥
⎝ 2 ⎠ Γ(ν + 1) ⎝ 2 ⎠ ⎣⎢ k =0 (2k )!Γ(ν + 2k + 1) ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥
ν
2
ν
4k −2
⎤
λk −1
1
⎛ x⎞
⎛ x⎞ ⎛ x⎞ ⎡ ∞
⎛ x⎞
w3 ( x, λ ) = ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎢∑
⎥
⎝ 2 ⎠ Γ(ν + 2 ) ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎣⎢ k = 2 (2k − 1)!Γ(ν + 2k ) ⎝ 2 ⎠
⎦⎥
⎛ x⎞
w4 ( x , λ ) = ⎜ ⎟
⎝2⎠
−ν
2
4k −2
−ν
⎤
λk −1
⎛ x⎞ ⎛ x⎞ ⎡ ∞
⎛ x⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎢∑
⎥
Γ(− ν + 2) ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎢⎣ k = 2 (2k − 1)!Γ(−ν + 2k ) ⎝ 2 ⎠
⎥⎦
1
olarak yazılabilir. Burada x → 0 için
⎛ x⎞
w1 ( x, λ ) = ⎜ ⎟
⎝2⎠
−ν
⎛ x⎞
w1 ( x, λ ) = ⎜ ⎟
⎝2⎠
−ν
1
Γ(− ν + 1)
1
Γ(− ν + 1)
ν +2
⎛ x⎞
w3 ( x, λ ) = ⎜ ⎟
⎝2⎠
⎛ x⎞
w4 ( x , λ ) = ⎜ ⎟
⎝2⎠
(1 + 0( x 4 ))
(1 + 0( x 4 ))
1
(1 + 0( x 4 ))
Γ(ν + 2 )
−ν + 2
1
Γ(− ν + 2)
(1 + 0( x 4 ))
bulunur. Bu eşitlikler aşağıda yerine yazılırsa;
y1 ( x, λ ) = 2 −ν Γ(1 − ν )
1
w1 ( x, λ )
2ν
1
= 2 Γ(1 − ν )
2ν
−ν
⎛ x⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
49
−ν
1
Γ(−ν + 1)
(1 + 0( x 4 ))
=
[
1 −ν
x 1 + 0( x 4 )
2ν
y 2 ( x, λ ) = 2ν Γ(1 + ν )
]
(4.74i)
1
w2 ( x , λ )
2ν
ν
= 2ν Γ(1 + ν )
=
1 ⎛ x⎞
1
(1 + 0( x 4 ))
⎜ ⎟
2ν ⎝ 2 ⎠ Γ(ν + 1)
[
1 ν
x 1 + 0( x 4 )
2ν
y 3 ( x, λ ) = 2ν + 2 Γ(ν + 2)(−
]
(4.74ii)
1
) w3 ( x, λ )
4(ν + 1)
ν +2
ν +2
= 2
⎛
1 ⎞⎛ x ⎞
⎟⎟⎜ ⎟
Γ(ν + 2)⎜⎜ −
⎝ 4(ν + 1) ⎠⎝ 2 ⎠
[
1
xν + 2 1 + 0( x 4 )
4(ν + 1)
=−
y 4 ( x, λ ) = 2 2−ν Γ(−ν + 2)(−
=2
2−ν
=−
1
(1 + 0( x 4 ))
Γ(ν + 2)
]
(4.74iii)
1
) w4 ( x , λ )
4(ν − 1)
⎛
1 ⎞⎛ x ⎞
⎟⎟⎜ ⎟
Γ(−ν + 2)⎜⎜ −
⎝ 4(ν − 1) ⎠⎝ 2 ⎠
[
1
x −ν + 2 1 + 0( x 4 )
4(ν − 1)
]
−ν +2
1
Γ(−ν + 2)
(1 + 0(x 4 ))
(4.74iv)
şeklinde elde edilir. (4.47) eşitliğini uygulayıp, (4.46) deki S – dönüşümünde (4.73)
deki çözümü kullanarak, yukarıdaki her bir çözüm içinde (4.9) u, kullanıp lineer
bağımlı olmayan sonuçlar hesaplanabilir. x → 0 gibi [ y1 , u 3 ]( x) için (4.9)
uygulanırsa;
[ y1 , u 3 ]( x) = q 2 [( y1′′u′ 3 − y1u 3′′′) − ( y1′′u 3′ − y1′u 3′′)] − q1 [ y1′u 3 − y1u 3′ ] + q 2′ [ y1′′u 3 − y1u 3′′]
elde edilir. Burada değerler yerine yazılırsa;
⎡⎛ − (ν +1)(ν + 2) −ν −3
−1 ν +2 1 −ν
−ν (ν +1)(ν + 2) ν −1 ⎞⎤
[ y1, u3](x) = x⎢⎜⎜
x [1+ 0(x4)]
x − x [1+ 0(x4 )]
x ⎟⎟⎥
2
4(ν +1)
2ν
4(ν +1)
⎠⎦
⎣⎝
⎡ (ν + 1) −ν −2
− (ν + 1)(ν + 2) ν ⎤
− (ν + 2) ν +1 − 1 −ν −1
x [1 + 0( x 4 )
x −
x [1 + 0( x 4 )]
x ⎥
− x⎢
4(ν + 1)
2
4(ν + 1)
⎦
⎣ 2
−
1 + 2ν 2
x
⎡ 1 −ν −1
1 −ν
−1
− (ν + 2) ν +1 ⎤
4
ν :+2
4
⎢− 2 x [1 + 0( x )] 4(ν + 1) x − 2ν x [1 + 0( x )] 4(ν + 1) x ⎥
⎣
⎦
50
⎡ (ν + 1) −ν − 2
−1
− (ν + 1)(ν + 2) ν ⎤
1 −ν
+ 1⎢
x
[1 + 0( x 4 )]
xν + 2 −
x [1 + 0( x 4 )]
x ⎥
4(ν + 1)
2ν
4(ν + 1)
⎣ 2
⎦
(
)
⎡ (ν + 2)[1 + 0( x 4 )] ⎤ ⎡ 1 + 2ν 2 [1 + 0( x 4 )] ⎤ ⎡ 2[1 + 0( x 4 )] ⎤
=⎢
⎥
⎥+⎢
⎥−⎢
2
4ν
8ν
⎦
⎦ ⎣
⎣
⎦ ⎣
⎡ν + 2 1 + 2ν 2
1⎤
= [1 + 0( x 4 )]⎢
−
+ ⎥
4ν
4ν ⎦
⎣ 2
⎡ 2ν 2 + 4ν − 1 − 2ν 2 + 1⎤
= [1 + 0( x 4 )]⎢
⎥
4ν
⎣
⎦
= [1 + 0( x 4 )]
bulunur. Aynı yolla diğer değerlerde elde edilip yerine yazılırsa;
⎛ [ y1 , u 3 ]( x) ⎞
⎜
⎟
⎜ [ y1 , u 4 ]( x) ⎟
=
( SY1 )( x, λ ) = ⎜
[
u1 , y1 ]( x) ⎟
⎜
⎟
⎜ [u , y ]( x) ⎟
⎝ 2 1
⎠
⎛ 1 + 0( x 4 ) ⎞
⎜
⎟
⎜ 0( x − 2ν + 4 ) ⎟
⎜
− 2ν + 2 ⎟
)⎟
⎜ 0( x
⎜ 0( x 2 ) ⎟
⎝
⎠
(4.75i)
⎛ [ y 2 , u 3 ]( x) ⎞ ⎛ 0( x 2ν + 4 ) ⎞
⎟
⎜
⎟ ⎜
4
⎜ [ y 2 , u 4 ]( x) ⎟ ⎜1 + 0( x ) ⎟
=
( SY2 )( x, λ ) = ⎜
[
u1 , y 2 ]( x) ⎟ ⎜ 0( x 2 ) ⎟
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎜ [u , y ]( x) ⎟ ⎜ 0( x 2ν + 2 ) ⎟
⎝ 2 2
⎠ ⎝
⎠
(4.75ii)
⎛ [ y 3 , u 3 ]( x) ⎞
⎜
⎟
⎜ [ y 3 , u 4 ]( x) ⎟
( SY3 )( x, λ ) = ⎜
=
[
u1 , y 3 ]( x) ⎟
⎜
⎟
⎜ [u , y ]( x) ⎟
⎝ 2 3
⎠
⎛ 0( x 2ν + 6 ) ⎞
⎜
⎟
⎜ 0( x 6 ) ⎟
⎜
4 ⎟
⎜1 + 0( x ) ⎟
⎜ 0( x 2ν + 4 ) ⎟
⎝
⎠
(4.75iii)
⎛ [ y 4 , u 3 ]( x) ⎞
⎜
⎟
⎜ [ y 4 , u 4 ]( x) ⎟
=
( SY4 )( x, λ ) = ⎜
[
u1 , y 4 ]( x) ⎟
⎜
⎟
⎜ [u , y ]( x) ⎟
⎝ 2 4
⎠
⎛ 0( x 6 ) ⎞
⎜
⎟
⎜ 0( x − 2ν + 6 ) ⎟
⎜
− 2ν + 4 ⎟
)⎟
⎜ 0( x
4
⎜ 1 + 0( x ) ⎟
⎝
⎠
(4.75iv)
sonuçları bulunur. Buradaki Yi vektörleri, (4.5) in değişken değişimleri altında y i ,
i = 1,4 den elde edilir.
51
4.5. Lim-4 Durumu 0<ν <1
Lim-4 durumunun genel teorisi; sağ uç noktasının lim-4 ve son bitiş noktasında
regüler olduğu zamanki durumu olarak aşağıdaki şekilde olur. x = 0 da Lim-4
durumuna sahip olan ve x = b de regüler olan ν ∈ (0,1) için Bessel karesi
denklemine bu teori uygulansın. Buna göre x = 0 daki sınır koşulu (4.46) – (4.47) da
(4.73) çözümlerini ve S dönüşümünü kullanarak
(γ 1 , γ 2 )( SF )(0) = γ 1 ( SF )1 (0) + γ 2 ( SF ) 2 (0)
⎛ [ f , u 3 ](0) ⎞
= γ 1 ⎜⎜
⎟⎟ + γ 2
[
]
f
u
,
(
0
)
4
⎠
⎝
⎛ [u1 , f ](0) ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜
[
]
u
f
,
(
0
)
⎠ ⎝ 0⎠
⎝ 2
(4.76)
olarak tanımlanır (Fulton, 1988). x = b deki regüler sınır koşulları (4.18) şeklinde
verilir. Ψ çözümleri β1 ve β 2 yi dahil eden (4.21) başlangıç koşullarıyla x = b de
tanımlanır ve Φ çözümleri de aşağıdaki sınır koşullarıyla (4.76) sınır koşullarını
doğrulamak için x = 0 da tanımlanır.
⎛− γ T
lim(SΦ )( x, λ ) = ⎜⎜ T2
x →0
⎝ γ1
⎞
⎟
⎟
⎠
(4.77)
Burada γ 1 ve γ 2 , (4.56) koşullarını sağlayan 2x2 reel matrisleridir. x = 0 daki Φ
çözümleri ve x = b deki bu Ψ çözümleri genelde 4x2 matrisiyle (4.22) ve (4.23)
olarak ifade edilir. (4.68) deki 2x2 matrisi ω (λ ) ifadesi
ω T (λ ) = Ψ T ( x, λ )JΦ( x, λ )
⎛ ω (λ ) ω 21 (λ ) ⎞
⎟⎟
= ⎜⎜ 11
⎝ ω12 (λ ) ω 22 (λ ) ⎠
⎛ [φ , χ ](λ )
= ⎜⎜ 1 1
⎝ [φ1 , χ 2 ](λ )
[φ 2 , χ1 ](λ ) ⎞
⎟
[φ 2 , χ 2 ](λ ) ⎟⎠
= β 1Φ 1 (b, λ ) + β 2 Φ 2 (b, λ )
= − (γ 1 ( SΨ )1 (0, λ ) + γ 2 ( SΨ ) 2 (0, λ )) T
(4.78)
olarak elde edilir. (4.4) ve (4.18) self-adjoint sınır değer probleminin öz değerleri
W γ , β (λ ) = det (ω (λ ))
(4.79)
fonksiyonunun sıfırlarıdır. x = 0 noktası, Bessel karesi denklemi için singüler
noktası olduğu için, x = 0 dan başka bir noktadaki başlangıç koşulları yardımıyla
52
çözümleri ortaya çıkarmak hiç de doğal olmaz. Bu sebepten dolayı, Bessel karesi
denkleminin çözümlerinin terimlerindeki; x = b de (4.21) başlangıç koşullarıyla
tanımlanan
Ψ çözümünü ifade etmeye çalışmaktan kaçınılır. Bunun yerine (4.77)
uç koşulları ile tanımlanan Φ çözümüyle bağlantılı skaler {φ1 , φ 2 }fonksiyonlarını
belirlenir. Böylelikle ω (λ ) fonksiyonunu kullanarak, öz fonksiyon teorisinin tüm
detayları çözülebilir (Fulton, 1988). Bu çözümler için
ω T (λ ) = β 1Φ 1 (b, λ ) + β 2 Φ 2 (b, λ )
⎡φ (b) φ 2 (b)⎤
= β1 ⎢ 1
⎥
⎣φ1′(b) φ 2′ (b)⎦
⎡(q2φ1′′)′(b) + (q1φ1′)(b) − (q2φ2′′)′(b) + (q1φ2′ )(b)⎤
+β 2 ⎢
⎥
(q2φ1′′)(b) (q2φ2′′)(b)
⎣
⎦
(4.80)
elde edilir. {φ1 , φ 2 } fonksiyonlarının her biri (4.74) da y i , i = 1,4 dört çözümünün
lineer bir birleşimi olmalı. (4.5) değişken değişimi altında y = 1,4 yöndeş vektörlerin
terimleri, ν ∈ (0,1) için (4.75) dan takip edilirse,
[(SY1 )(0), (SY2 )(0), (SY3 )(0), (SY4 )(0)] = 1 ∀λ ∈ C
(4.81)
elde edilir. (4.26) için
⎛ γ 11(1)
γ 1 = ⎜⎜ (1)
⎝ γ 21
γ 12(1) ⎞
⎟ ,
γ 22(1) ⎟⎠
γ2
⎛ γ 11( 2)
= ⎜⎜ ( 2)
⎝ γ 21
γ 12( 2 ) ⎞
⎟
γ 22( 2 ) ⎟⎠
(4.82)
formülü veya
4
φi ( x, λ ) = ∑ cij y j ( x, λ )
i = 1,2
j =1
ve
4
Φ ( i ) ( x, λ ) = ∑ cij Y j ( x, λ )
i = 1,2
j =1
formülleri kullanılır. S dönüşümünü her iki tarafa uygulayıp, bilinmeyen sabit cij yi
bulmak için (4.77) sınır koşulları ve (4.81) eşitliği uygulanabilir. Buradan da ;
φ1 ( x, λ ) = −γ 11( 2) y1 − γ 12( 2) y 2 + γ 11(1) y 3 + γ 12(1) y 4
(4.83i)
φ 2 ( x, λ ) = −γ 21( 2) y1 − γ 22( 2) y 2 + γ 21(1) y 3 + γ 22(1) y 4
(4.83ii)
53
elde edilir. (4.78) deki 2x2 matrisi ω (λ ) ; (4.80) de (4.83) eşitliği göz önünde
yi , i = 1,4 çözümlerinin terimleriyle
bulundurularak, x = b de değerlendirilen
yazılabilir. Bu da γ 1 , γ 2 ve β 1, β 2 matrisleri ile ifade edilen tüm on altı sınır koşulu
katsayıları üzerindeki ω (λ ) nin açık ifadesini verir (Fulton, 1988).
Örnek: Bessel karesi denklemini ν =
1
için çözüp, Lim-4 durumunu uygulayınız.
2
Çözüm: Bessel karesi denkleminin çözümünü bulmak için Bessel fonksiyonlarından
yararlanılabilir. Bu durumda ν =
1
durumu için; Jν (x) ve J −ν (x) fonksiyonları;
2
2
sin x
πx
J 1 (x ) =
2
J
olarak ifade edilmektedir. Burada x yerine
1
−
2
(x ) =
2
cos x
πx
λ x yazılarak,
1
⎛ 2 ⎞2
⎟⎟ sin( λ x)
J 1 ( λ x) = ⎜⎜
π
λ
x
⎝
⎠
2
(4.84i)
1
⎛ 2 ⎞2
⎟⎟ cos( λ x)
J 1 ( λ x) = ⎜⎜
⎝π λx ⎠
2
(4.84ii)
şeklinde elde edilir. (4.74) de verilen Bessel karesi denklemlerinin dört çözümü ;
y1 ( x, λ ) =
1
1
1
1
⎛ ∞ λk 4 k ⎞
1 −2
x (cos(λ 4 x) + cosh(λ 4 x)) = x 2 ⎜⎜ ∑
x ⎟⎟
(
4
)!
k
2
k
0
=
⎠
⎝
1
1
1
1
1
⎛ ∞
⎞
1 −4 −2
λk
4
4
y 2 ( x, λ ) = λ x (sin(λ x) + sinh(λ x)) = x 2 ⎜⎜ ∑
x 4 k ⎟⎟
2
⎝ k =0 (4k + 1)!
⎠
3
1
1
1
1
1 − −
y 3 ( x, λ ) = − λ 4 x 2 (sinh(λ 4 x) − sin(λ 4 x)) = − x 2
2
y 4 ( x, λ ) =
1
1
1
1
1
−
1 −2 −2
λ x (cosh(λ 4 x) − cos(λ 4 x)) = x 2
2
54
(4.85i)
(4.85ii)
⎞
⎛ ∞ λk −1
⎜⎜ ∑
x 4 k −2 ⎟⎟ (4.85iii)
⎠
⎝ k =1 (4k − 1)!
⎞
⎛ ∞ λk −1
⎜⎜ ∑
x 4 k −2 ⎟⎟ (4.85iv)
⎠
⎝ k =1 (4k − 2)!
olarak bulunur. Bir örnek olarak ikinci mertebeden öz değer problemiyle birleşmiş öz
fonksiyon ve öz değerlerin karesini almayla sonuçlanan öz fonksiyon açılımını
düşünülebilir. Bu durumda
⎛ 1
⎞
⎜
⎟
′
(xy ′) + ⎜ − 4 + λx ⎟ y = 0
⎜ x
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
(4.86i)
⎛ 1 ⎞
lim xWx ⎜⎜ x 2 , y ⎟⎟ = 0
x →0
⎝
⎠
(4.86ii)
y (b) = 0
(4.86iii)
eşitlikleri yazılabilir. (4.85) ile bağlantılı öz değer ve öz fonksiyonlar;
2
−
⎛ kπ ⎞
⎛ kπx ⎞
λk = ⎜ ⎟ , y k = x 2 sin ⎜
⎟
⎝ b ⎠
⎝ b ⎠
1
olarak tanımlanabilir. Buradaki öz fonksiyonu koruyan Bessel karesi denklemi için
uygun sınır koşullarına ulaşılırken ikinci mertebeden denklemin sınır koşullarının
nasıl alınması gerektiği açık değildir. Ancak bazı deneyimlerden sonra
⎛1 0⎞
⎟⎟
γ 1 = ⎜⎜
⎝0 0⎠
⎛1
β 1 = ⎜0
⎜
⎝
⎛0 0 ⎞
⎟⎟
, γ 2 = ⎜⎜
⎝ 0 −1⎠
0 ⎞
1 ⎟ , β2=
⎟
2⎠
⎛0
⎜
⎜0
⎝
0 ⎞
1 ⎟
⎟
2⎠
(4.87i)
(4.87ii)
sınır koşullarının uygun olduğu görülür. γ 1 , γ 2 , β 1 ve β 2 matrisleri (4.76) ve (4.18)
de yerine yazılarak ;
0
⎞ ⎛ 0⎞
⎛ 1 0 ⎞⎛ [ f , u 3 ](0) ⎞ ⎛ 0 0 ⎞⎛ [u1 , f ](0) ⎞ ⎛ [ f , u 3 ](0) ⎞ ⎛
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟ + ⎜⎜
0
⎝ 0 0 ⎠⎝ [ f , u 4 ](0) ⎠ ⎝ 0 − 1⎠⎝ [u 2 , f ](0) ⎠ ⎝
⎠ ⎝ − [u 2 , f ](0) ⎠ ⎝ 0 ⎠
⎛ [ f , u3 ](0) ⎞ ⎛ [ f , y3 ](0) ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
[
]
[
]
−
,
(
0
)
,
(
0
)
u
f
f
y
2
⎝
⎠ ⎝ 2 2
⎠ ⎝ 0⎠
⎛1
⎜
⎜0
⎝
0 ⎞ f (b) ⎞ ⎛ 0
1 ⎟⎛⎜
⎟+⎜
⎟⎜⎝ f ′(b) ⎟⎠ ⎜ 0
2⎠
⎝
(4.88i)
0 ⎞ − (bf ′′)′(b) + bf ′(b) ⎞ ⎛ 0 ⎞
1 ⎟⎛⎜
⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
⎟⎜⎝
bf ′′(b)
⎠ ⎝ 0⎠
2⎠
f (b)
⎛
⎞ ⎛ 0⎞
⎜ 1
⎟ ⎜ ⎟
=
⎜⎜
( f ′(b) + bf ′′(b)) ⎟⎟ ⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎝ 2
⎠
55
(4.88ii)
yöndeş sınır koşulları elde edilir. Buradaki sınır koşulları uygulanarak
φ1 ( x, λ ) = y 3 ( x, λ )
φ 2 ( x, λ ) = y 2 ( x, λ )
(4.89)
elde edilir. Bessel karesi probleminin, ω (λ ) matrisini belirleyen (4.78) kullanılarak
(4.88);
φ1 (b)
⎛
⎜
ωT ( λ ) = ⎜ 1 ′
[φ1 (b) + bφ1′′(b)]
⎜
φ 2 (b)
⎞
⎟
[φ 2′ (b) + bφ 2′′(b)] ⎟⎟
2
⎠
1
⎝ 2
(4.90)
formülü ile verilir. (4.89) ve (4.85) yi kullanarak yapılan hesaplama daha sonra tüm
fonksiyonun sıfırları olarak öz değerleri verir.
W γ , β (λ ) = det(ω (λ ))
1
1
⎛
⎞
4
⎜
λ ⎜ sinh(λ b) sin(λ 4 b) ⎟⎟
=
2
⎝
⎠
1
−
1
2
(4.91)
W γ ,β (λ ) nın sıfırları
4
⎛ kπ ⎞
λ k = ⎜ ⎟ , k = 1,2 …
⎝ b ⎠
olup, bunların tümü basittir. ω 22 (λ n ) ≠ 0
(4.92)
olduğundan, (4.36) – (4.37) in
normalleştirilmiş öz fonksiyonu hesaplamak için kullanılabilir. Buradan
2 − 2 ⎛ kπx ⎞
x sin⎜
ψ k ( x) =
⎟
b
⎝ b ⎠
1
bulunur. (4.88) sınır koşulları ile bağlantılı ν =
∞
f ( x) = ∑ c k Ψk ( x),
k =1
(4.93)
1
için öz fonksiyon açılım formülü
2
b
c k = ∫ fΨk ( x)dx
0
olarak elde edilir.
56
(4.94)
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
: Pakize Neval ZEYNELGİL
Doğum Yeri ve Yılı : Isparta 1981
Medeni Hali
: Bekâr
Yabancı Dili
: İngilizce
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise
: 1995 - 1999, Gürkan Süper Lisesi
Lisans
: 1999 - 2003, Dokuz Eylül Üniversitesi
Buca Eğitim Fakültesi, İlköğretim Matematik Öğretmenliği
Çalıştığı Kurumlar ve Yıl
Budur – Bucak Kocaaliler İlköğretim Okulu (2003 - 2005)
Isparta – Atabey 75. Yıl Y.İ.B.O (2005 - 2008)
59