Kuantum Fiziği

Kuantum Fiziği
ÜNİTE
3
Yazarlar
Doç. Dr. Mustafa ŞENYEL
Yrd. Doç. Dr. A. Şenol AYBEK
Amaçlar
Bu üniteyi çalıştıktan sonra, çağdaş fiziğin temellerini oluşturan;
• Planck'ın kuantum varsayımlarını,
• Foton kavramını,
• De Broglie varsayımını,
• Heisenberg belirsizlik ilkesini öğrenecek,
• Dalga paketleri,
• Dalga fonksiyonu hakkında bilgi sahibi olacak,
Kuantum fiziği ile ortaya çıkan birçok yeni kavram içerisinden;
• Olasılık yoğunluğu ve akısı,
• Beklenen değer,
• İşlemci,
• Özdeğer ve özfonksiyon, gibi kavramları tanıyacak,
• Schrödinger denklemi ve basit uygulamaları hakkında bilgileneceksiniz.
İçindekiler
• Giriş
41
• Max Planck'ın Kuantum Varsayımları
41
• Foton Kavramı
42
• De Broglie Varsayımı
43
• Dalga Paketleri ve Parçacıklar
44
• Heisenberg Belirsizlik İlkesi
45
• Dalga Fonksiyonu
47
• Olasılık Yoğunluğu ve Akısı
47
• Kuantum Mekaniğinin Postülaları
48
• Schrödinger Dalga Denklemi
49
• Schrödinger Denkleminin Uygulamaları
51
• Özet
54
• Değerlendirme Soruları
55
• Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar
57
Çalışma Önerileri
• Bu üniteyi çalışmadan önce 2. Üniteyi bir kez daha gözden geçiriniz.
• Ünitede çok kısıtlı olarak bahsedilen kavramları daha iyi anlayabilmek için ek okuma kaynaklarındaki kitaplara başvurunuz.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
KUANTUM FİZİĞİ
41
1. Giriş
20. Yüzyılın başlarından itibaren fizik alanında büyük gelişmeler olmuştur. 1900 yılında Max Planck'ın ortaya attığı "kuantum varsayımları"nın ardından, yüzyılın ilk
çeyreğinde kuantum fiziği açısından önemli keşifler yapılmıştır.
Klasik mekaniğin maddeyi makroskobik bir yaklaşımla incelemesine karşın, kuantum mekanik kuram maddeyi mikroskobik bir yaklaşımla inceler. 20.Yüzyılın başından itibaren atomların iç yapıları araştırılmaya başlanmış ve klasik kuramların
bu çalışmalarda yetersiz kaldığı görülmüştür. 1924 de ortaya atılan de Broglie varsayımı ve 1927'de ortaya atılan Heisenberg belirsizlik ilkesi bilim dünyasında yeni
ufukların doğmasına sebep olmuştur. Bu gelişmeler Max Planck'ın kuantum varsayımları ve Schrödinger'in dalga mekaniği ile birleştirilerek kuantum mekanik kuram ortaya çıkmıştır. Bu kuram parçacıktan ziyade ona eşlik eden olasılık dalgası ile
ilgilenir. Kuantum mekanik kuram küçük kütleli hareketli cisimlerin olasılık dalgaları mekaniği kavramı anlamını taşıdığından, maddeyi mikroskobik bir yaklaşımla
ele alır. Bu kuram ile birlikte gözlenebilirlik, işlemci, özdeğer, beklenen değer, dalga
fonksiyonu gibi yeni kavramlar da ortaya çıkmıştır.
Bu ünitede kuantum mekanik kurama bir genel giriş yapıldıktan sonra, bunun temel postülaları ve ortaya koyduğu yeni kavramlar ışığında basit uygulamalarından
bahsedilecektir.
2. Max Planck'ın Kuantum Varsayımları
Max Planck 1900 yılında siyah cisim ışımasını araştırırken deneyle tam bir uyum
içinde olan bir formül buldu. Bu deneysel formülü önerirken de iki çarpıcı tartışmalı
varsayımı ortaya attı. Böylece kuantum kavramından literatürde ilk kez sözedilmiş
oldu. Planck'ın kuantum varsayımları şunlardır:
•
Işınım yayan, titreşen bir sistemin enerjisi;
E = nhν
(n=1,2,3,...)
3.1
ile verilen kesikli enerji değerlerine sahiptir.
• Atomlar, kuanta (bugün söylendiği haliyle foton) denilen ışık enerjisinin kesikli birimleri cinsinden enerji yayınlar veya soğururlar atomlar bunu bir enerji
düzeyinden diğerine sıçrayarak yaparlar. Bu durumda geçiş enerjisine karşılık
gelen fotonun enerjisi;
E = hν
ile verilir.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
3.2
Max Planck: Alman teorik
fizikçisi. Enerjinin sürekli
olmayıp, temel bir büyüklüğün katları biçiminde
kesikli olduğunu öne süren "kuantum teorisi" ile fizikte devrim yaratmıştır.
KUANTUM FİZİĞİ
42
Bu ifadelerdeki "h" Planck sabiti olarak adlandırılır ve h=6,625.10-34 J.s değerine
sahiptir. ν ise moleküllerin titreşim frekansı veya fotonun frekansıdır. Şekil 3.1'de
Planck tarafından önerilen kesikli enerji düzeyleri ve bunların arasındaki izinli geçişler görülmektedir.
n
E
3hν
3
2hν
2
hν
1
0
0
Şekil 3.1: Bir boyutta ν frekansı ile titreşen bir titreşici sistemin enerji düzeyleri ve bu düzeyler arasındaki
izinli geçişler
Planck'ın kuantum varsayımlarındaki temel unsur, kesikli enerji düzeyleri gibi
köklü bir varsayımdır. Bu varsayım kuantum kuramının doğuşunu belirginleştirmiştir.
3. Foton Kavramı
Albert Einstein: Almanya
doğumlu ABD uyruklu fizikçi. 20. yüzyılın başlarında geliştirdiği özel ve genel görelilik teorileriyle
Newton'dan sonra fizikte
en köklü devrimi gerçekleştirmiştir.
Işığın tanecikli modelinin başarısı foton kavramını destekleyen bir olgudur. Bu kavram ilk kez 1904 yılında A. Einstein tarafından kullanılmıştır. Foton ışık enerjisi paketi veya yumağı demektir. En genel anlamda foton, elektromagnetik dalga paketi
demektir. Bir fotonun enerjisi, frekansı cinsinden;
E = hν
ve dalgaboyu cinsinden de;
hc =12400 eV.Å sık karşılaşılan bir çarpandır.
E=h c
λ
3.3
ile ifade edilir.
?
Foton kavramını destekleyen ışığın tanecik modeliyle açıklanabilen olaylar nelerdir?
ÖRNEK 3.1:
Sodyumun sarı ışığının dalgaboyu λ = 589nm dir. Sarı ışık
fotonunun enerjisini hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
E = h c eşitliğinden h = 6,63.10-34J.s , c= 3.108ms-1 ve
λ
λ = 589nm = 589.10-9m değerleri yerine konulursa;
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
KUANTUM FİZİĞİ
43
E=
(6,63. 10-34 J.s) (3. 108 ms-1)
-9
= 3,38.10-19 J
589.10 m
olarak bulunur. Fakat genellikle bu enerji elektronvolt (eV) birimi
cinsinden verilir. Şu halde sarı ışık fotonunun enerjisi,
E=
3,38.10-19
= 2,1 eV
1,6.10-19
olarak elde edilir.
4. De Broglie Varsayımı
Kuantum kuramının gelişmesinde 1924 yılında Fransız fizikçi L. de Broglie tarafından ortaya atılan varsayımın da çok büyük önemi vardır. Bu varsayıma göre momentumu p olan bir parçacığa dalgaboyu;
λ=h
p
3.4
ile verilen bir dalga eşlik eder. Varsayım bu ifadesiyle parçacık mekaniğinden dalga
mekaniğine geçişi oluşturduğundan oldukça önemlidir. Bu varsayım klasik fizikteki elektromagnetik dalgalar ve mekanik dalgaların dışında, fiziğe üçüncü bir dalga
türü kavramını sokmaktadır. Bu yeni dalga türü Schrödinger dalgası, madde dalgası gibi adlarla anılır. Bu dalgaların klasik fiziktekilerden farkı, bir olasılık dalgası olmasıdır. Yani bu dalgalar parçacığın belirli bir "t" anında "x" konumunda bulunma olasılığını verir.
ÖRNEK 3.2:
6.106ms-1 hıza sahip bir elektrona eşlik eden dalganın dalgaboyu nedir? (me=9,1.10-31kg)
ÇÖZÜM:
Elektronun momentumu;
p = mev = 9,1.10-31 x 6.106 = 5,46.10-24 kgms-1
olarak hesaplanır. (3.4) eşitliğinden dalgaboyu
6,63.10-34 J.s
λ =h =
= 1,2.10-10 m = 0,12nm
p 5,46.10-24 kgms-1
olarak bulunur.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
Louis de Broglie: Fransız
teorik fizikçisi. Atom parçacıklarının dalga özelliği
taşıdığını kanıtlamış ve
dalga mekaniğinin öncülerinden biri olmuştur.
KUANTUM FİZİĞİ
44
ÖRNEK 3.3:
144km.h-1 hızla giden, 500g kütleli bir futbol topuna eşlik
eden dalganın dalgaboyu nedir?
ÇÖZÜM:
Futbol topunun momentumu;
p = mv = 144kmh -1 x 500g =144 x 1000ms-1 x 0,5kg
3600
p = 20kgms-1
olarak hesaplanır. (3.4) eşitliğinden dalgaboyu;
6,63.10-34 J.s
λ =h =
= 2,215.10-35 m
-1
p
20kgms
olarak elde edilir.
Bu iki örneğe dikkat edilirse de Broglie varsayımı ancak küçük kütleli parçacıklar
için geçerlidir. Bu nedenle madde mikroskobik bir yaklaşımla incelenirken, de
Broglie varsayımı anlamlıdır.
5. Dalga Paketleri ve Parçacıklar
Farklı frekans, farklı şiddet ve farklı yayılma doğrultusuna sahip birden fazla dalganın uzayın bir noktasında girişimleri sonucu oluşan enerji paketine (veya sinyal)
dalga paketi adı verilir.
?
Bir dalga paketi örneği verebilir misiniz?
Enerjinin yoğun olduğu dalga paketleri, dalganın faz hızından daha yavaş hareket
ederler. İlerleyen bir dalganın faz hızı;
vf = λν
3.5
eşitliği ile verilir. Dalga paketlerinde dalgalar tam olarak üst üste bindiklerinden,
bu bölgeler dalgaların grup yaptığı yerlerdir. Bu nedenle dalga paketinin hızına
grup hızı denir ve vg ile gösterilir. Bir dalga paketinin grup hızı;
v g = dω
dk
3.6
ile tanımlanır. Bu eşitlikte ω , açısal frekans olup, frekansı ν olan dalga için;
ω = 2πν
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
3.7
KUANTUM FİZİĞİ
45
ile verilir. k ise dalga sayısı olup dalgaboyu λ olan dalga için;
k = 2π
λ
3.8
eşitliğiyle verilir. Dalgaya eşlik eden parçacığın dalga genliğinin en büyük olduğu
yerde bulunma olasılığı en büyüktür. Öte yandan de Broglie dalgalarının dalga paketi ise tam parçacığın bulunduğu konumda oluşacağından, de Broglie dalgaları
için parçacığın hızı ile eşlik eden dalganın grup hızı aynıdır. Bu hız için üst limit ışık
hızıdır.
ÖRNEK 3.4:
Faz hızı vf olan bir hareketli için vf . vg = c2 olacağını gösteriniz.
ÇÖZÜM:
De Broglie hipotezinde;
λ = h = h olur. v t = v g olduğundan λ = h yazabiliriz.
p mv t
mv g
2
2
Öte yandan E = hν = mc dir. Buradan
ν = mc bulunur.
Bunları faz hızı ifadesinde yerine koyarsak; h
2
v g = λν = h mc = v fv g = c 2
mv t h
bulunur.
6. Heisenberg Belirsizlik İlkesi
Bir önceki bölümde görüldüğü gibi de Broglie dalgalarının hareketini belirleyen
dalga paketlerinin grup hızı "k" dalga sayısına bağlıdır. Dalga paketlerinin boyutu "x" ise, aynı zamanda dalganın eşlik ettiği parçacığın herhangi bir andaki konumudur. Dalga paketleri birden fazla dalganın girişimiyle oluştuğuna göre "k"
dalga sayısı ne kadar büyük olursa "x" o kadar küçük olur. Başka bir ifadeyle "x" i
doğrulukla belirlemek için dalgayı sıklaştırmak, yani "k" yı büyütmek gerekir. Bu
durumda konumun belirlenmesindeki duyarlık (∆x) artarken, dalga sayısının belirlenmesindeki duyarlık (∆k) azalır. Şu halde ∆x belirsizliği ile ∆k belirsizliğinin
ters orantılı olarak ilişkide olduğunu söyleyebiliriz.
∆x = 1
∆k
3.9
3.4 ve 3.8 eşitliklerinin ortak çözümünden;
p = hk
2π
3.10
ifadesini elde ederiz. Bu ifadeden taneciğin momentumunun ölçülmesinde yapılabilecek belirsizlik (hata);
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
46
KUANTUM FİZİĞİ
∆p ≈ h ∆k
2π
3.11
olarak bulunur. Bu sonuç eşitlik 3.9'da yerine konulursa
∆x∆p = h = H
2π
W. K. Heisenberg: Alman
fizikçi. Yüzyılımızın en
önde gelen teorik fizikçilerindendir. Kendi adıyla
birlikte anılan "belirsizlik
prensibi" ni ortaya koymuştur. Kuantum mekaniğinin kurulması ve gelişimindeki
çalışmaların
dan dolayı 1932 de Nobel
Ödülü kazanmıştır.
3.12
elde edilir. Bu ifadedeki H (h-bar diye okunur) bir sabit olup H =1,05.10-34 J.s değerine sahiptir. 3.12 eşitliğinden de görüldüğü gibi konum ve momentumun ölçülmesindeki iki belirsizlik (hata), birbirinden bağımsız değildir. Bu gerçek ilk kez W.
Heisenberg tarafından "birbirine bağlı iki büyüklükten birinin ölçülmesindeki duyarlık
arttıkça, diğerinin ölçülmesindeki duyarlık azalır. Öyle ki, ölçümler sonucu her iki büyüklüğe ait belirsizliklerin çarpımı daima Planck sabitinden büyük veya en az ona eşittir" şeklinde
ifade edilmiştir. Bu ifadeye göre Heisenberg belirsizlik ilkesi;
∆x∆p ≥ H
3.13
şeklinde ifade edilebilir.
Sonuç olarak konum ve ilgili momentum çiftinin eşzamanlı olarak istenen duyarlılıkla belirlenemediği görülmektedir. Benzer belirsizlikler enerji-zaman, açısal konum-açısal momentum çiftleri arasında da mevcuttur.
ÖRNEK 3.5:
Konumundaki belirsizlik ∆x = 1.10-4m olan bir hareketlinin
hızındaki belirsizliği, hareketlinin;
a) elektron
b) kütlesi 0,01g olan bir toz zerresi olması halinde hesaplayınız. (me=9,1.10-31kg)
ÇÖZÜM:
3.12 eşitsizliğinden,
∆x ∆p = H
yazabiliriz. Bu eşitlikten;
∆p = H
∆x
eşitliğini elde ederiz. Öte yandan;
∆p = m∆v
olacağından;
∆v = H
m∆x
eşitliğini buluruz. Bu eşitlik yardımıyla
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
KUANTUM FİZİĞİ
47
a) elektron için,
∆v =
1,055.10-34
-31
9,1.10
x 1.10
-4
= 1,16ms-1
b) toz zerresi için,
∆v =
1,055.10-34
-3
0,01.10 x 1.10
-4
= 1,055.10-27 ms-1
olarak bulunur.
Bu iki örneğe dikkat edilirse toz zerresi büyük kütleli, elektron ise küçük kütleli parçacıklardır. Örneklerden görüldüğü gibi toz zerresinin hızı elektronun hızı yanında
ihmal edilebilecek kadar küçük bir değer olarak çıkmaktadır. Şu halde Heisenberg
belirsizlik ilkesinin de madde mikroskopik yaklaşımla incelendiğinde anlamlı olacağı açıktır.
7. Dalga Fonksiyonu
Kuantum mekaniği, hareketli cisimlerle ilgilenir. Hareket durduğunda parçacığa
eşlik eden dalganın dalgaboyu sonsuz olacağından, ortada işlem yapacak sonlu
kavram kalmaz. Kuantum mekaniksel olarak bir sistemin durumu Ψ (x, y, z, t) ile
verilen ve koordinatları ve zamanı ifade eden değişkenlerin bir fonksiyonu olan dalga fonksiyonu ile belirlenir. Sistemin dalga fonksiyonu bilindiği zaman, bundan hareketle sistemle ilgili birçok fiziksel büyüklük hesaplanabilir. Ψ (x, y, z, t) dalga fonksiyonu boyutsuzdur. Bu nedenle tek başına fiziksel bir anlam ifade etmez. Fakat |Ψ
(x, y, z, t)|2 nin fiziksel bir anlamı vardır ve birim hacimde parçacığın bulunma
olasılığını verir. Bu nedenle kuantum mekaniksel olarak parçacığa eşlik eden dalga
olasılık dalgası olarak adlandırılır. Bundan dolayı kuantum mekaniği özü itibariyle
bir olasılıklar kuramıdır.
8. Olasılık Yoğunluğu ve Akısı
Hareketli bir parçacığa de Broglie varsayımına göre eşlik eden dalgayı Ψ(x, y, z,
t) ile gösterdiğimizi belirtmiştik. Bu dalganın fiziksel olarak bir anlamı ve boyutu olmamakla birlikte, mutlak değerinin karesi yani |Ψ (x, y, z, t)|2 , parçacığın
birim hacimde bulunma olasılığıdır ve olasılık yoğunluğu adını alır, ρ(x, y, z, t)
ile gösterilir. Şu halde tanım olarak olasılık yoğunluğu;
ρ(x, y, z, t) = |Ψ (x, y, z, t)|2 = Ψ*(x, y, z, t) . Ψ (x, y, z, t)
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
3.14
48
KUANTUM FİZİĞİ
olmaktadır. Bu tanıma göre parçacığın herhangi bir dV = dxdydz hacim elemanı
içinde bulunma olasılığı ρ(x, y, z, t) dV , tüm uzayda bulunma olasılığı ise;
∫
ρ(x, y, z, t)dV =
tümuzay
∫
tümuzay
Ψ * Ψ dV = 100 = 1
100
3.15
olur. 3.15 eşitliği parçacığın uzayın herhangi bir yerinde mutlak var olması anlamını
taşır ve dalga fonksiyonunun boylandırma (normalizasyon) koşulu olarak bilinir.
Bu koşul yerine getirilerek dalga fonksiyonu boylandırılır.
Parçacığın olasılık yoğunluğunun uzayda yer değiştirmesi ise olasılık akısı adını
alır ve S(x, y, z, t) ile gösterilir. Olasılık yoğunluğu ve olasılık akısı arasında;
∂ρ(x, y, z, t)
+ ∇S(x, y, z, t) = 0
∂t
3.16
ilişkisi vardır. Bu ifadedeki ∇ sembolü;
∇= ∂i+ ∂ j+ ∂k
∂x
∂y
∂z
3.17
ile verilen nabla işlemcisidir. 3.16 eşitliğine dikkat edilirse olasılık akısının konuma
göre değişimi, olasılık yoğunluğunun zamana göre değişimine sebep olmaktadır.
3.16 eşitliği "olasılık yoğunluğu ve akısının korunumu yasası" olarak bilinir.
9. Kuantum Mekaniğinin Postülaları
Bir olasılıklar kuramı olan kuantum mekaniğini sistematik olarak incelemek için
önce dayandığı postülaları iyi anlamak gerekir. Kuantum mekaniğinde bir çok postüla olmasına rağmen kuram üç ana postüla üzerine kurulmuştur. Bu postülaları
şöylece sıralayabiliriz.
I. Postüla: Bu postüla dalga fonksiyonu ile ilgilidir. Bu postülaya göre;
r = r = x2 + y 2 + z 2
3.18
olmak üzere 0 ≤ r ≤ ∞ aralığında Ψ(r) dalga fonksiyonu ile onun birinci tü∂Ψ (r) sürekli ve r → ∞ iken Ψ(r) → 0 olmalıdır.
revi
dr
II. Postüla: Bu postüla işlemci (operatör) veya gözlenebilirlerle ilgilidir. Kuantum
mekaniğinde ölçülebilen her şey bir dinamik değişkendir ve her dinamik değişkene
lineer ve hermitik bir işlemci (Â) karşılık gelir. Bu şekilde belirlenen işlemciler
dinamik halleri belirleyen dalga fonksiyonuna uygulandığında;
ÂΨ = aΨ
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
3.19
KUANTUM FİZİĞİ
49
elde edilir. Bu ifadede "Ψ" fonksiyonu  işlemcisinin özfonksiyonu "a" ise özdeğeri
adını alır ve 3.19 ifadesi özdeğer denklemi olarak bilinir. Bir işlemcinin
özfonsiyonları o işlemcinin işleyeceği uzayı geren baz vektörlerini oluştururlar.
Bazı önemli dinamik değişkenlere karşılık gelen işlemciler Tablo 3.1'de
gösterilmiştir.
III. Postüla: Bu postüla ise beklenen değerlerle ilgilidir: Bir dalga fonksiyonu ile
belirli bir dinamik halde α gibi bir dinamik değişken ölçüldüğü zaman bu dinamik
değişkenin ölçüm sonucundan beklenen değeri, bu dinamik değişkene karşılık gelen  işlemcisinin ortalama değerine eşit olur: Yani beklenen değer;
<Â>=A =
∫ Ψ * ÂΨ dV
3.20
∫ Ψ * Ψ dV
ifadesiyle verilir. Ψ dalga fonksiyonu boylandırılmışsa 3.20 ifadesinin paydası "1"e
eşit olacağından beklenen değer;
< Â > = A = ∫ Ψ * ÂΨ dV
3.21
ifadesiyle hesaplanır.
Tablo 3.1: Bazı Dinamik Değişkenlere Karşılık Gelen İşlemciler
Fiziksel nicelik
Gözlenebiliri
İşlemcisi
Konum
x , y, z
Çizgisel momentum
p = mv
p
= -i H ∇
Çizgisel momentumun
x bileşeni
px = mvx
px = -i H
X,Y,Z,R
∂
∂x
Relativistik olmayan
kinetik enerji
p2
2m
- H ∇2
2m
2
Toplam enerji (zamana
bağımlı)
E= K + U
H= - H ∇ 2 + U
2m
Toplam enerji (zamandan
bağımsız)
E= K + U
∂
H= - H
i ∂t
2
10. Schrödinger Dalga Denklemi
1927 yılında E. Schrödinger, de Broglie dalgalarının dalga fonksiyonunu sağlamak
zorunda olduğu kendi adıyla anılan bir denklem geliştirdi. Bu denklemin çözümü
incelenen sistemin izinli dalga fonksiyonlarını ve enerji özdeğerlerini verir. Dalga
fonksiyonlarının kullanılmasıyla da sistemin bütün ölçülebilir niceliklerini hesaplamak mümkündür.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
Erwin Schrödinger: Dalga
mekaniğinin
kurucusu
olarak tanınan Avusturyalı teorik fizikçidir. İstatistik
mekanik, renk görünmesi
ve genel görelilik alanlarında çeşitli çalışmalar
yapmıştır.
50
Schrödinger denklemi:
Bu ünitede sadece zamandan bağımsız Schrödinger
denkleminden söz ettik.
Bu denklemin zamana
bağlı ve relativistik halde
olan şekilleri de vardır.
KUANTUM FİZİĞİ
Klasik mekanikte kinetik ve potansiyel enerjilerin toplamı olan mekanik enerjiyi
bunların kuantum mekaniğindeki işlemci karşılıklarıyla birleştirerek Schrödinger dalga denklemi elde edilebilir.
Klasik fizikte toplam enerji;
2
E = 1 mv 2 + U(x, y, z, t) = p + U(x, y, z, t)
2
2m
3.22
ile verilir. Çizgisel momentum (p)nin işlemci ifadesi Tablo 3.1'de;
p
→ p = -iH∇ 2
3.23
ile verilmiştir. Bu ifadeden;
p 2 = p. p = - H ∇2
3.24
elde ederiz. 3.24 eşitliği 3.20 de yerine konulursa toplam enerji işlemcisi E için;
2
- H ∇ 2 + U(x, y, z, t) = E
2m
3.25
işlemci eşitliğini elde ederiz. Bu işlemci bir Ψ(x, y, z, t) dalga fonksiyonuna uygulanırsa;
2
- H ∇2 Ψ + U(x, y, z, t) Ψ = EΨ
2m
3.26
zamandan bağımsız Schrödinger dalga denklemi elde edilir.
2
H = - H ∇2 + U
2m
3.27
ile Hamiltonyen işlemcisi tanımlanırsa;
HΨ = EΨ
3.28
şeklinde daha sade ve basit görünüşlü olarak ifade edilmiş olur.
Schrödinger denklemini çözme işi, potansiyel enerji fonksiyonuna bağlı olarak, çok
zor olabilir. Bununla beraber, Schrödinger denklemi klasik fiziğin açıklamakta yetersiz kaldığı, mikroskobik sistemlerin davranışlarını açıklamada son derece başarılıdır. Öte yandan dalga mekaniği makroskobik sistemlere uygulandığında, karşılık
ilkesi gereği, sonuçları klasik fizikle uyuşmaktadır.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
KUANTUM FİZİĞİ
51
11. Schrödinger Denkleminin Uygulamaları
Eşitlik 3.25 yeniden düzenlendiğinde;
∇2 Ψ + 2m E - U(x, y, z) Ψ = 0
H
2
3.29
şeklini alır. Bu denklemi çözebilmek için U(x, y, z) potansiyel fonksiyonunun açık
ifadesinin bilinmesi gerekir. Öte yandan potansiyel fonksiyonunun U(x) gibi tek
boyutta olması Schrödinger denkleminin çözümünü daha da kolaylaştırır. Bu bölümde sadece serbest parçacık ve bir boyutlu kutu içindeki parçacık için Schrödinger denkleminin çözümlerini göreceğiz.
11.1. Serbest Parçacık
Bu halde U = 0 olacağından 3.29 eşitliği;
∇2 Ψ + 2mE Ψ = 0
H
2
3.30
halini alır. Bu denklem tek boyutta;
d 2 + 2mE Ψ (x) = 0
dx 2 H 2
3.31
şeklinde yazılır. Bu denklemin çözümü için;
k 0 = 2mE
H
3.32
şeklinde, dalganın yayılma sabitini tanımlarsak denklemin çözümü
Ψ (x) = N 1 e ik 0 x + N 2 e -ik 0 x
3.33
şeklindedir. Bu ifade Euler açılımı kullanılarak yazılırsa;
Ψ (x) = A cosk 0 x + B sink 0 x
3.34
ifadesi elde edilir. Bu ifadelerdeki N1 , N2 , A ve B boylandırma çarpanları olup
sınır koşullarından belirlenirler. Burada ise sınır koşulları belli olmadığından boylandırma çarpanları belirlenemezler. Sistemin toplam enerjisi ise yalnızca kinetik
enerjiden ibaret olduğundan eşitlik 3.32 den, serbest parçacığın toplam enerjisi;
2 2
p2
E= H k0 = 0
2m
2m
3.35
ile belirlidir. Burada p0 dalganın momentumudur ve
p0 = H k0
eşitliğiyle tanımlıdır.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
3.36
52
KUANTUM FİZİĞİ
p0 momentumunun alabileceği değerler konusunda hiçbir ön şart olmadığından,
parçacığın momentumu kesinlikle bellidir. Bu nedenle serbest parçacık E > 0 olan
her enerji değerini alabilir. Yani enerjisi süreklidir.
Parçacığın konumu ise olasılık yoğunluğundan
ρ(x) = Ψ (x) 2 = A 2 e ik0 x e -ik0 x + B 2 e -ik0 x e ik0 x = A 2 + B 2 = sabit
şeklinde bulunur. Yani parçacık uzayda her yerde aynı olasılıkla bulunabilir. Şu
halde serbest parçacığın momentumu kesinlikle belli, konumu ise tamamen belirsizdir.
11.2. Bir Boyutlu Kutudaki Parçacık
L genişliğindeki bir boyutlu kutu içindeki parçacık için Schrödinger denklemini çözelim. Böyle bir kutu diyagramı Şekil 3.2'de gösterilmiştir. Böyle bir kutu matematiksel olarak;
0 < x < L için U(x) = 0
3.37
x < 0 veya x > L için U(x) = ∞
şeklinde tanımlanır. Parçacık sonsuz U yüksek
duvarlardan dışarıya çıkamayacağına göre daima kutu içinde kalacaktır. Bu nedenle kutunun
dışında Ψ(x) = 0 olur. Bu durumda sadece kutu
içinde parçacığa eşlik eden bir Schrödinger Dalgasından söz edilebilir. Kutu içinde U(x) = 0
olduğundan burada da serbest parçacık hali söz
konusudur ve ilgili Schrödinger denklemi;
d 2 Ψ = 2mE Ψ = 0
2
dx 2
H
3.38
olur.
k 0 = 2mE
H
U(x) = ∞
U(x) = ∞
U(x) = 0
x
0
Şekil 3.2: L Genlikli ve Sonsuz Yüksek
Duvarlı Bir Boyutlu Kutu Diyagramı
3.39
olmak üzere bu denklemin çözüm fonksiyonu;
Ψ (x) = A sink 0 x + B cosk 0 x
3.40
şeklindedir. 3.37 sınır şartları kullanılırsa;
x = 0 iken Ψ(x) = 0 olacağından, B ≡ 0 olmalıdır. Diğer sınır şartı ise x = L de Ψ(x) = 0
şeklindedir. Bu şart kullanılırsa;
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
KUANTUM FİZİĞİ
53
sin k0 xL = 0
3.41
olması gerektiği görülür. Bunun için de k0 L nin " π" nin bir tamsayı katı olması
yani;
k0L = nπ
(n = 1,2,3...)
3.42
olması gerekir. Bu eşitlikten izinli E enerjileri için;
2 2 2
En = n π H
2mL 2
3.43
değeri bulunur. 3.43 eşitliğine dikkat edilirse burada enerji kuantumludur. Bu durumu belirlemek için enerjiyi gösteren E sembolü En şeklinde kullanılmıştır. Görüldüğü gibi sonsuz derin kuyu içine hapsolmuş bir parçacığın alabileceği enerji değerleri klasik mekaniktekinin aksine sürekli değil kesiklidir. Yani parçacık ancak
belli enerji düzeylerinde bulunabilir.
Bir boyutlu kutudaki parçacık için izinli dalga fonksiyonu ise;
Ψ n (x) = A sin nπ x
L
3.44
ifadesiyle verilir. Bu dalga fonksiyonu 3.15 boylandırma koşuluyla boylandırılırsa;
+∞
∫
Ψ * (x)Ψ n dx = 1
3.45
-∞
elde edilir. Bu integral alma işlemi yapılırsa
boylandırılmış dalga fonksiyonu;
Ψ n (x) =
2 sin nπ x
L
L
A=
2
L
olarak bulunur ve
3.46
şeklini alır. Bir boyutlu kutudaki parçacık için, parçacığın herhangi bir x konumunda birim hacimde bulunma olasılığı yani olasılık yoğunluğu;
ρn (x) = Ψ *n(x) Ψ n(x) = 2 sin 2 nπ x
L
L
3.47
şeklinde bir fonksiyondur. Şekil 3.3'te bir boyutlu kutudaki parçacık için enerji seviyeleri ve Ψn (x) dalga fonksiyonu ile ρn (x) olasılık yoğunluğu fonksiyonlarının
yerleri ve şekilleri gösterilmiştir.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
54
KUANTUM FİZİĞİ
E
ρ3
Ψ3
E 3 = 9 E1
x
x
ρ
Ψ2
E 2 = 4 E1
2
x
x
Ψ
E1
ρ
1
0
(a)
L
(b)
x
1
0
L
x
(c)
Şekil 3.3: Bir Boyutlu Kutudaki Parçacık İçin n = 1, 2, 3 Kuantum Durumları İçin
En , Ψn (x) ve ρn(x) Yerleşimleri
Şekil 3.3'e dikkat edilirse Ψn , ρn ve En aralarındaki ilişki ortaya çıkar. Kutu
içinde parçacık belirli enerji seviyelerinde bağlanmış gibi kalmaktadır. Bu nedenle
bu seviyeler bağlı durumlar olarak adlandırılır.
Özet
Max Planck'ın kuantum varsayımlarına göre ışınım yayan, titreşen bir sistemin enerjisi kesikli enerji değerlerine sahiptir ve atomlar foton adı verilen ışık enerjisinin kesikli birimleri
cinsinden enerji yayınlar veya soğururlar. Bir fotonun enerjisi ν frekansı ve λ dalgaboyu cinsinden;
E= h c
λ
eşitlikleriyle belirlidir.
E= hν
ve
De Broglie varsayımına göre ise momentumu "p" olan bir parçacığa dalgaboyu;
λ=h
p
ile belirli bir dalga eşlik eder.
Enerjinin yoğun olduğu dalga paketleri dalganın faz hızından daha yavaş hareket ederler.
İlerleyen bir dalganın faz hızı;
vf = λν
ve dalga paketinin gurup hızı ise;
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
KUANTUM FİZİĞİ
vg = dω
dk
eşitlikleriyle tanımlıdır.
Heisenberg belirsizlik ilkesine göre konum ve momentumun ölçülmesindeki iki belirsizlik
birbiriyle ilişkilidir. Bu ilişki;
∆x∆p ≥ H
şeklinde ifade edilir.
Kuantum mekaniksel olarak hareketli bir sistemin durumu Ψ (x, y, z, t) ile verilen koordinatlar ve zamanın fonksiyonu olan bir dalga fonksiyonu ile belirlenir. Dalga fonksiyonu tek başına fiziksel bir anlam ifade etmez fakat mutlak değer karesi yani |Ψ (x, y, z, t)|2 parçacığın birim hacimde bulunma olasılığını verir.
Kuantum mekanik kuramının temel postülalarından üç tanesinden ilki dalga fonksiyonuyla, ikincisi işlemci ve gözlenebilirlerle, üçüncüsü ise beklenen değerlerle ilgilidir.
De Broglie dalga fonksiyonunu sağlamak zorunda olan zamandan bağımsız Schrödinger
denklemi
2
- H ∇2 Ψ + U(x, y , z, t)Ψ = E Ψ
2m
ifadesiyle verilir.
Değerlendirme Soruları
1.
Frekansı 3,2 x 1014 1/s olan fotonun enerjisi kaç eV tur?
A. 0,663
B. 1,326
C. 0,3315
D. 3,315
E. 13,26
2.
1,55eV enerjiye sahip fotonun dalgaboyu kaç metredir?
(hc = 12400eV. Å)?
A. 1,922 x 10-7
B. 1,922 x 10-9
C. 8 x 10-7
D. 8 x 10-8
E. 8 x 10-9
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
55
56
KUANTUM FİZİĞİ
3.
Bir protona eşlik eden dalganın dalgaboyu 1,33 Å dür. Bu protonun hızı kaç
ms-1 dir?
A. 2985
B. 3970
C. 4985
D. 5820
E. 8324
4.
Dalgaboyu 2600nm olan, ilerleyen bir dalganın faz hızı 520ms-1 dir. Bu dalganın frekansı kaç hertz'dir?
A. 5 x 10-9
B. 2 x 10-8
C. 5 x 10-8
D. 2 x 108
E. 2 x 109
5.
Dalgaboyu 12,56 Å olan bir dalganın dalgasayısı kaç cm-1 dir?
A. 2 x 1010
B. 5 x 109
C. 2 x 108
D. 5 x 108
E. 5 x 107
6.
Dalgasayısı 4000cm-1 olan bir kırmızı altı fotonunun momentumu kaç kgms-1
dir?
A. 4,22 x 10-34
B. 4,22 x 10-31
C. 4,22 x 10-30
D. 4,22 x 10-29
E. 4,22 x 10-28
7.
Bir hareketli için zaman ölçülmesindeki belirsizlik 1µs ise, bu hareketlinin
enerjisinin ölçülmesindeki belirsizlik kaç joule olur?
A. 6,63 x 10-34
B. 1,055 x 10-34
C. 1,055 x 10-40
D. 6,63 x 10-28
E. 1,055 x 10-28
8.
Hareketli bir elektronun hızının ölçülmesindeki belirsizlik 2,32ms-1 dir. Elektronun konumunun ölçülmesindeki belirsizlik kaç metredir?
A. 2 x 10-5
B. 1 x 10-4
C. 2 x 10-4
D. 5 x 10-4
E. 1 x 10-3
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
KUANTUM FİZİĞİ
9.
57
Bir kutudaki parçacık için E1 enerji düzeyi 0,6eV ise E3 enerji düzeyi kaç eV
olur?
A. 5,4
B. 1,8
C. 2,7
D. 1,08
E. 0,54
10. Aşağıdaki kavramlardan hangisi kuantum mekanik kuramın fiziğe kazandırdığı yeni kavramlardan değildir?
A. Gözlenebilir
B. İmpuls
C. Beklenen değer
D. İşlemci
E. Olasılık akısı
Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar
Aygün E., Zengin M., Kuantum Fiziği, Ankara, 1994.
Beiser A., Concepts of Modern Physics, McGraw-Hill Book Company, 1967.
Eisberg R., Resnick R., Quantum Physics, John Wiley & Sons,1976.
Erbil H., Kuantum Fiziği, İzmir, 1990.
Liboff R., Introductory Quantum Mechanics, Addison-Wesley, 1997.
Karaoğlu B., Kuantum Mekaniğine Giriş, İstanbul, 1997.
Modern Fizik, Anadolu Ü. Açıköğretim F. Lis. Tam. Prog.,Eskişehir, 1991.
Değerlendirme Sorularının Yanıtları
1. B
2. C
3. A
4. D
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
5. E
6. D
7. E
8. C
9. A
10. B