GK_9_sinif_matematik

Genetik Kopya Serisi
Yayýn Editörü
Alpaslan CERAN
M.V. Gen. Yayýn Yönetmeni
Kitabýn Adý
9. Sýnýf Matematik
Seri Adý ve Numarasý
Genetik Kopya Serisi: 02
Yayýn ve Ýnceleme Kurulu
Saygýn DÝNÇER
Eyüp Kamil YEÞÝLYURT
Gürkan GÜLCEMAL
Alpaslan CERAN
Kapak
Promedya
Katkýlarýndan dolayý
TMOZ
Dizgi
Kevser ÜNLÜ
Baský Tarihi
Eylül 2008
Baský
(Türkiye Matematik Öðretmenleri Zümresi)
öðretmenlerine teþekkür ederiz.
Ayrýca bu kitapta emeðini esirgemeyen,
deðerli meslektaþlarýmýz;
Selcan EKÝCÝ
Cahit KAYAER
Kenan AÐTAÞ
Genel Daðýtým
Ýþler Daðýtým
(0.312. 384 13 95)
Ufuk ÖZTÜRK’e
teþekkür ederiz.
Copyright
Ýletiþim Bilgileri
Adres: Alýnteri Bulvarý 1. Sok.
Bu kitabýn bütün haklarý saklýdýr.
Ýçeriði ve hazýrlanýþ sistematiði
kesinlikle kopyalanamaz.
No: 27 Ostim / Ankara
Kitabýn tamamýnýn ya da bir kýsmýnýn
Tel: 0.312. 386 28 24
kitabý yayýmlayan þirketin önceden
Fax: 0.312 385 61 00
izni olmaksýzýn fotokopi ya da elektronik,
Web: www. genetikkopya.com
www.matematikvadisi.com.tr
E-posta: [email protected]
mekanik herhangi bir kayýt sistemiyle
çoðaltýlmasý, yayýmlanmasý ve
depolanmasý yasaktýr.
ÖNSÖZ
MATEMATİK VADİSİ PROJESİ
Bu cinsten matematikle ilgili projelere sıra geldi. Ne mutlu bizlere, sevinmeliyiz. Çünkü bizim
aslımız, matematik ile iç içe idiler. Dillerini (Türkçemizi) matematik yapı ile kurdular. Bu kuruluşu her geçen zamanla daha iyi anlayabiliyoruz. Dünyamız hiçbir zaman alfabe problemini
çözemedi. Halen bu alfabe problemi zorlaşarak devam etmektedir. Öyle ki, iyi kurulamamış
alfabeler kısa zaman içinde ölüyorlar. Türkçemizi matematiğe önem veren atalarımız iyi bir temel, matematiksel yapı üzerine oturttular. Yüzyıllardır bu nedenle sarsılmadan yaşamaya devam
ediyor. Hele Türkçe için büyük Atatürk dünyaya örnek bir alfabe yazdıktan sonra bir bakıma
Shakespeare’in İngilizce için yazılmasını istediği ve halen yazılamamış olan alfabeyi biz Türkçe
için yazdık diyebiliriz (Necroponte, Being Digital).
Matematik dildir, dil matematiktir. Matematik-dil ikilisi daima beraber gezerler, gelişirler. Bu
nedenledir ki Cumhuriyetimizin kurucusu Atatürk bir matematik (geometri) kitabı yazmıştır.
Çünkü 19 uncu yüzyıl matematiğin insanlara el uzattığı yüzyıldır. Gerçekten bu yüzyıla kadar geçen beş milyar yılda insanoğlu sadece kağnı-kazma ve kürek ile meydana çıkabilmiş iken türevin
ortaya konması, diferensiyel integral hesabın sayesinde iki yüzyılda insanlığın kazandığı gelişme
ivmesi beş milyar yılı ne derece solladığını hayretle görüyoruz. Yani, Ay’a seyahat ve bilgisayar
dünyası matematiğin meyveleridir.
Bu nedenlerle matematikle ilgimizi artırmalı, enerjimizi matematikle birleştirmeli, tüm projelerimize matematiği de yardımcı seçmeliyiz.
Bu nedenlerledir ki, Matematik Vadisi projesini de bu anlamda görmek ve değerlendirmek gerekir. Projenin kapsamının “Matematikle ilgili olan herşey” diye seçilmiş olması tüm dünyayı kapsamı içine alması demektir. Zira matematik, her yerde, her olayda ve her zaman vardır.
Eğitim - öğretim dünyasında, bilhassa öğrencilerin hedeflediği başarılara ulaşmada Matematik
Vadisi projesinin yeri nedir?
Cevabımız, projenin yayınlarını dikkatle inceledikten sonra şöyle olacaktır:
Matematiği öğrenmede zorluk çeken, matematiği sevmeyen öğrenciler her zaman olmuştur ve
olacaktır. Matematiği öğrenmeyi kolaylaştırmak ve dolayısı ile sevdirmek bu projenin esas gayelerindendir. Bu projenin yayınları, öğrenme için kendi kendine yeterdirler.
Matematik korkusunu yenmek:
Matematikten korkan öğrenciler daima olmuştur ve daima olacaktır. Bu korkuyu yenmenin çeşitli
yolları vardır. Bu yollardan başlıcaları: matematik okumak, matematik yazmak, matematik çizmek, matematik dinlemek, matematik konuşmak ve matematik düşünmektir. Bu anayolu açmak
için Matematik Vadisi gibi projelere çok ihtiyaç vardır. Bu yol altı tane farklı aktivite içerir. Matematik Vadisi projesi bu altı özelikten sadece ilk üçüne yayınları ile cevaz verebilir niteliktedir.
Geri kalan üç özelik de projenin eserlerinin sınıflarda veya ortak bir grup ile incelenmesi esnasında hayata geçirilebilir.
DNA: Matematik Vadisinde, temel bilgileri vermek amacı ile ayrıntılı biçimde çözülmüş sorunun
adıdır. DNA’lar sayesinde benzer sorular çözülebilecek, böylece okuyucunun kendine güveni
artacak ve dolayısı ile okuyucu korkuyu yenecektir.
Bu şekilde çalışan okuyucu matematik korkusunu yenerken matematik sevgisini de kazanacaktır.
Sevgi, tanımayı, öğrenmeyi hem kolaylaştırır ve hem de hızlandırır. Buna biz matematik okumak,
matematik yazmak ve matematik çizmek de diyebiliriz. Eğer okuyucular bu projenin eserlerini
grup halinde ele alırlarsa veya bir sınıfta toplanır ve bir eğitimci eşliğinde incelerlerse o zaman
matematik dinlemiş ve matematik konuşmuş da olurlar.
Matematik düşünme işine sıra gelince ömür boyu yapacağımız ve devamlı geliştirmemiz gereken
bir sistemdir. Yukarıda sıralanan ilk beş aktivite ile kazanılır ve kazandırılır.
Matematiği Sevme - Sevdirme
Çok iyi bilinen bir husus, insanın tanımadığını sevmeyeceği, sevme işinin tanıma ile başlayacağı
hususudur. Demek ki sevmek için öncelikle tanımak, tadını ve kokusunu almak gerekir. O halde matematiği öğrendikçe sevme işi de kendiliğinden oluşacaktır. Matematik Vadisi projesinin
yayınlarının yukarıda sıralanan özellikleri ve onları hazırlayan kadronun seçkin bir kadro oluşu
nedeniyle bu proje matematiği öğretebileceği ve tanıtabileceği için matematiği sevdirmiş de olacaktır.
Prof. Dr. Hasan Hilmi HACISALİHOĞLU
Saygıdeğer Öğretmenler
Sevgili Öğrenciler
Matematik çoğu öğrencinin eğitim hayatı boyunca korkulu rüyası olmuştur. Birçok kimse nezdinde hak ettiğinin ötesinde olumsuz bir imaja sahiptir. Buna karşılık matematiği tutkuyla sevenler de vardır.
Matematiğe karşı duygusal tavrımız ne olursa olsun, hepimizin bildiği tartışma götürmez bir gerçek “matematik olmadan olmayacağı” gerçeğidir. Özellikle de bir öğrenci iseniz!
NEDEN MATEMATİK VADİSİ?
Matematik Vadisi, matematiği tutkuyla seven bir grup matematik öğretmeninin; matematiği seven sevmeyen herkesin
matematikte en azından yeteri kadar başarılı olabileceğini göstermek için hayata geçirdiği bir projedir.
Matematik Vadisi, sloganından anlaşılacağı gibi, sadece matematikle ilgilenecektir. Matematikle ilgili her şey, ana sınıfından akademik hatta ansiklopedik düzeye kadar Matematik Vadisi’nin ilgi alanı içindedir.
Bu projenin bel kemiği, okullara takviye ve sınavlara hazırlık amaçlı hazırlanmış yayınlar olacaktır.
Temel iddiamız şudur: Matematik Vadisi’nin imza attığı her eserde usta eli değmiş dedirtecek özgünlüğü, ekip çalışması
sonunda varılabilecek bir olgunluğu ve pedagojik alt yapıyı hemen hissedeceksiniz.
Kısaca, Matematik Vadisi’nin uzmanlığını fark edeceksiniz.
GENETİK KOPYA YÖNTEMİ
Genetik Kopya Yöntemi ülkemizde yaygın olan, “matematik korkusu”nun aşılmasını sağlamak için geliştirilmiş bir
yöntemdir.
Temel tezi “Bu çözümü anladıysan çok benzerini de yapabilirsin, yapabildiğini görürsen daha da cesaretlenirsin.”
şeklinde özetlenebilir.
Bu kitabın sistematiğinde temel bilgiyi vermek amacıyla ayrıntılı şekilde çözdüğümüz soruyu, DNA diye adlandırıyoruz.
ikonu ile verilen sorular ise, DNA’da verilen soruya bire bir benzeyen niteliktedir. Yani onun Genetik Kopyası-
dır. Böylece DNA için yapılan çözüm anlaşılmış ise, bu soru da rahatça çözülebilecektir. Böylece öğrencinin, yapılan
çözümü kavraması, benzer soruları kendisi de çözerek iyice özümsemesi hedeflenmiştir. İnanıyoruz ki “Genetik Kopya” yöntemi ideal bir matematik öğrenme ve öğretme yöntemidir.
MATEMATİK VADİSİ’NİN KADROSU
Matematik Vadisi, matematiği tutkuyla seven bir grup matematikçinin başını çektiği bir kadro tarafından kurgulanmıştır. Ankara’dan Alpaslan Ceran ve Saygın Dinçer, İstanbul’dan Eyüp Kamil Yeşilyurt, İskenderun’dan Taylan Oktay,
Konya’dan Gürkan Gülcemal, bu projenin mimarı olan kişilerdir.
Matematik Vadisinde içkin olan Matematik tutkusu, çok kısa sürede yayınlanacak onlarca özgün eserle, yeşerecektir.
Alpaslan CERAN
Matematik Vadisi Yayın Editörü
KİTABIMIZIN ORGANİZASYON ŞEMASI
Hazine 1
Hazine Avı’ndan elde ettiğimiz ve
pš0{0šp{0
DNA çözümlerinde işimize en çok
pš1{1šp{p
yarayacak olan, teorem niteliğindeki
değerli bilgiler bu ikonla gösterilmiş-
p›0{0›p{p
tir.
p›1{1›p{1
Bazen Hazine Avı’ndan, bazen de Hazine
IúÕk 1
Avı’na ihtiyaç duyulmadan elde edilen ve
Bir E baþÆntÆsÆnÆn tersinin kendisine eĩit olmasÆ için ge-
DNA çözümlerinde yolumuza IŞIK tutacak
rek ve yeter koĩul, kartezyen koordinatlardaki graſþinin
olan, küçük teorem niteliğindeki değerli
y = x doþrusuna göre simetrik olmasÆdÆr. Bu doþruya
bilgiler bu ikonla gösterilmiştir.
bundan sonra köĩegen diyeceþiz.
DNA 4
Kendinden hemen önce verilen DNA
A = {1, 2, 3, 4, 5}
ve IŞIK’ların kullanımını gerektiren
B = {a, b, c, d}
KÖK SORU’lar bu ikonla gösteril-
olduþuna göre, s(A x B) kaçtÆr?
A) 12
B) 18
C) 20
miştir.
D) 24
E) 30
DNA’da kullanılan sorunun biraz değiştirilmiş şekli, yani Genetik Kopyası
bu ikonla gösterilmiştir.
Çözüm
DNA için verilen ayrıntılı çözümler bu
ikonla gösterilmiştir.
HAZİNE ve IŞIK’lar kadar yoğun kulAB
Ÿ A‰B=B
A‰‡=A
lanılmayan, ancak yine de bilinmesi
gereken bazı bilgiler bu ikonla gösterilmiştir.
UyarÕ
Hazine 2’yi ezbere bilmenize gerek yok.
1+1=2
o
T+T=Ç
1x1=1
o
TxT=T
2x3=6
o
ÇxT=Ç
Soruyu çözerken öğrencinin yapabileceği muhtemel hataya düşmemesi
için yapılan öğütler bu ikonla gösterilmiştir.
gibi sayÆ deþerleri vererek, eĩitlikleri kendiniz elde edebilirsiniz.
øspat
“+” iĩleminin birim elemanÆ e olsun.
(i)
Hazine Avı’ndan değil de, doğrudan
verilen bazı HAZİNE veya IŞIK’ların
a = (e) + a
ispatları bu ikonla gösterilmiştir.
= [(a–1)–1 + a–1] + a
e
= (a–1)–1 + (a–1 + a) = (a–1)–1
e
Not
NOT etmemiz gereken, IŞIK ve
HAZİNE’lere nazaran daha az ihtiyaç duyacağınız bilgiler, bu ikonla
gösterilmiştir.
Tenef füs
Öğrenciyi dinlendirmek, biraz da bil-
Mekansal Zeka:
Kiüinin yönünü bulup bulamadÖùÖ
mekansal
zekanÖn
göstergesidir.
gilendirmek için hazırlanmış yazılar
bu ikonla gösterilmiştir.
Mimarlar ve futbolcular için oldukça gerekli bir yetenektir.
HatÕrlatma
Bir doþal sayÆnÆn 10 ile bölümünden kalan, o sayÆnÆn
birler basamaþÆndaki rakamdÆr.
Soruyu çözebilmek için gerekli olan
ancak farklı konularla ilgili olan bilgiler bu ikonla gösterilmiştir.
Kitabımızın Organizasyon Şeması ............................................................. Sayfa: 6 - 7
BÖLÜM - 01
Mantık..................................................................................................... Sayfa: 9 - 48
BÖLÜM - 02
Kümeler ................................................................................................ Sayfa: 49 - 96
BÖLÜM - 03
Kartezyen Çarpım ............................................................................... Sayfa: 97 - 106
BÖLÜM - 04
Bağıntı............................................................................................... Sayfa: 107 - 122
BÖLÜM - 05
Fonksiyon .......................................................................................... Sayfa: 123 - 256
BÖLÜM - 06
Sayılar ............................................................................................... Sayfa: 257 - 382
BÖLÜM - 07
Modüler Aritmetik ............................................................................ Sayfa: 383 - 410
BÖLÜM - 08
Rasyonel Sayılar ................................................................................ Sayfa: 411 - 432
BÖLÜM - 09
Gerçek Sayılar................................................................................... Sayfa: 433 - 442
BÖLÜM - 10
I. Dereceden Denklemler .................................................................. Sayfa: 443 - 454
BÖLÜM - 11
Eşitsizlikler ........................................................................................ Sayfa: 455 - 462
BÖLÜM - 12
Mutlak Değer .................................................................................... Sayfa: 463 - 490
BÖLÜM - 13
Üslü Sayılar ....................................................................................... Sayfa: 491 - 518
BÖLÜM - 14
Köklü Sayılar ..................................................................................... Sayfa: 519 - 560
BÖLÜM - 15
Oran - Orantı .................................................................................... Sayfa: 561 - 578
BÖLÜM - 16
Problemler ........................................................................................ Sayfa: 579 - 616
TEMEL KAVRAMLAR
MANTIK - BÖLÜM 01
GİRİŞ
Sözümüze “İnsanoğlunu diğer canlılardan ayıran en temel özelik nedir?” sorusuna cevap aramakla başlayalım.
Bir terimin ne olduğunu betimlemeye tanım adı verilir. Bir
tanım yapılırken bir takım terimler, bu terimleri tanımlarken yeni terimlere ihtiyaç duyulur. Bu da bizi sonsuz bir
döngüye sokar. İşte bazı bilim dallarında tanımlanmayan
ancak sezgisel olarak algılanabilen bir takım terimler var-
Bu soruya çeşitli cevaplar verilebilir elbette. Kuşkusuz
dır. Böyle terimlere tanımsız terimler denir. Geometride
bu cevaplardan en tutarlı olanı “düşünme yeteneği” ola-
nokta, doğru, düzlem tanımsız terimlere birer örnektir.
caktır. Düşünmek bizi diğer canlılardan ayıran en belir-
Keza küme de matematiğin tanımsız bir terimidir.
gin özelik olsa da asıl önemli olan bir özelliğimiz var ki
Dilimizde cümleleri istek, ünlem, soru, emir, yargı cümle-
o da sistemli ve doğru düşünmektir. Doğru ve sistemli
leri gibi sınıflara ayırırız. Bu sınıflandırmalardan biri var ki;
düşünmeye de mantık denir. Bir çok bilim dalı mantığın
bizi ilgilendiren bu cümle tipi olacaktır. O da yargı bildiren
temel kurallarını kullanmaktadır. Biz bu bölümde ma-
cümleler. Aşağıda çeşitli cümle örnekleri verilmiştir. Önce-
tematiği çok yakından ilgilendiren önermeler mantığı ile
likle bu cümleleri inceleyelim.
niceleyiciler mantığını inceleyeceğiz.
a) “Gel, buraya otur.”
b) “İzmir Türkiye'nin en güzel şehridir.”
c) “Üç'ün beş fazlası yedidir.”
d) “Nereye gidiyorsun?”
e) “Ben elektrik mühendisi olmak istiyorum.”
f) “Bir yıl 12 aydır.”
Yukarıdaki cümlelerin acaba hangileri yargı bildirmektedir?
a'nın emir cümlesi, b, c ve f'nin yargı cümlesi, d'nin soru
Bilgi paylaşıldıkça azalmayan hazinedir.
cümlesi, e'nin istek cümlesi olduğu açık. Ancak b'nin doğru ya da yanlış olduğu kişiden kişiye değişen bir durum
olduğundan c ve f'den farklılığı var. İşte bu farklılığa bir ad
TEMEL KAVRAMLAR
verme zamanı geldi de geçiyor. ☺
Öncelikle mantığın temel kavramlarının neler olduğuna
bakalım.
TANIM
Her bilim dalı içerisinde anlamını bulan sözcüklere o bilim
dalının terimleri denir. Örneğin derece geometride "açı
ölçü birimi" anlamına gelirken, fizikte "sıcaklık ölçü birimi"
anlamına gelebilir. Demek ki aynı sözcük farklı bilim dallarında farklı anlamlara sahip olabilmektedir.
TANIM
Yargı bildiren ve bu yargının doğru ya da yanlışlığı kesin
olarak belirlenebilen cümlelere önerme denir.
Şimdi de aşağıdaki örnekleri dikkatle incelemenizi isteyebiliriz sizden. Örnekleri inceledikten sonra genetik kopyalarını da sizlerin kolayca cevaplayacağınızı ümit etmiyor,
buna kesin olarak inanıyoruz.
9. SINIF MATEMATİK
9
Temel Kavramlar
Mantık - Bölüm 01
DNA 1
Aşağıdaki cümlelerden hangisi ya da hangileri birer önermedir?
Aşağıdaki cümlelerden hangisi ya da hangileri birer
önermedir?
I. “Türkiye'nin başkenti İzmir'dir.”
I. “Türkiye'nin başkenti Ankara'dır.”
II. “Bir gün 24 saattir.”
II. “Bir hafta yedi gündür.”
III. “Bu elbise sana çok yakışmış.”
III. “Yunus balığı memeli bir canlıdır.”
IV. “Dikkat! Tehlikeli bölge!”
IV. “Unutma! Çok çalışman gerekir çok.”
V. “Geometride derece, açı ölçü birimidir.”
A) I, II ve V
B) I ve II
D) I, II, III ve V
C) I, II ve IV
E) Yalnız V
V. “1 asal sayıdır.”
A) I, II ve V
B) I, II ve III
C) I, II, III ve V
D) I, II, IV ve V
E) I, II, III, IV ve V
Çözüm
Öncelikle her bir cümleye şu soruyla yaklaşalım: Söz konusu cümle "doğru mu?" yoksa "yanlış mı?"
I. “Türkiye'nin başkenti İzmir'dir.”
cümlesi yanlış bir yargıdır. Bu yüzden önermedir.
Aşağıdaki cümlelerden hangisi bir önerme değildir?
I. “Türkiye'nin
II. “Bir gün 24 saattir.”
yüzölçümü
en
büyük
cümlesi doğru bir yargıdır. Bu yüzden önermedir.
II. “Bir hafta 84 saattir.”
III. “Bu elbise sana çok yakışmış.”
III. “Ay, dünyanın bir uydusudur.”
cümlesi ne doğru ne de yanlış bir yargıdır. Bu yüzden
önerme değildir.
IV. “Güneş, dünyanın etrafında döner.”
V. “En çok sevilen ders matematiktir.”
IV. “Dikkat! Tehlikeli bölge!”
cümlesi uyarı cümlesi olup önerme değildir.
A) I
B) II
C) III
D) IV
V. “Geometride derece, açı ölçü birimidir.”
cümlesi doğru bir yargıdır. Bu yüzden önermedir.
Doğru Seçenek A
Hatırlatma
Bir ifadenin önerme olması için, o ifadenin bir hüküm
(yargı) bildirmesi ve bu hükmün ya doğru ya da yanlış
olması gerekir.
Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir önermedir?
A) “En güzel mevsim sonbahardır.”
B) “Çalışmazsan para kazanamazsın.”
C) “4 + 4 ⋅ 4 – 4 : 4”
D) “Çalışmak en büyük erdemdir.”
Genetik kopyalamaya başlıyoruz, kolay gelsin.
10
9. SINIF MATEMATİK
şehri
Ankara'dır.”
E) “Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 360° dir.”
E) V
Mantık - Bölüm 01
Temel Kavramlar
5.
TEST - 1
1.
A) “İki basamaklı en küçük pozitif doğal sayı 10
Aşağıdaki cümlelerden hangisi veya hangileri birer önermedir?
dur.”
B) “En küçük doğal sayı 1 dir.”
I. “Karnım çok acıktı.”
C) “En büyük negatif tam sayı 0 dır.”
II. “İzmir, Ege Bölgesi'nin yüzölçümü en büyük olan
D) “Üç basamaklı, rakamları farklı en küçük pozitif
şehridir.”
doğal sayı 102 dir.”
III. “Gel buraya!”
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
2.
E) “4 ⋅ 5 + 5 ⋅ 6 + 6 ⋅ 7 + 7 ⋅ 8”
C) Yalnız III
E) I ve III
Aşağıdaki cümlelerden hangisi veya hangileri birer önerme değildir?
6.
B) “Bir sayı 5'ten küçüktür.”
C) “Hangi sayı 8'den küçüktür?”
II. “Asal sayıların iki pozitif böleni vardır.”
D) “Dün sinemaya gittin mi?”
III. “Her iki rasyonel sayı arasında en az bir rasyonel
E) “Korkunun ecele faydası yok.”
sayı vardır.”
B) Yalnız II
D) II ve III
3.
Aşağıdaki cümlelerden hangisi bir önermedir?
A) “Paris, Türkiye'de bir şehirdir.”
I. “Sevgi'nin gözleri çok güzel.”
A) Yalnız I
Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir önerme değildir?
C) Yalnız III
E) I ve III
7.
Aşağıdaki ifadelerden hangisi veya hangileri
doğru önermedir?
Bir bilim dalı içerisinde anlamını bulan sözcüklere, o
bilim dalının .................. denir.
Yukarıda boş bırakılan yere aşağıdakilerden hangisi gelmelidir?
I. “İki basamaklı en küçük tam sayı 10 dur.”
II. “Samsun Karadeniz Bölgesi'ndedir.”
A) önermeleri
B) sözcükleri
C) terimleri
D) kelimeleri
III. “3 ⋅ 8 – 5 = 19”
A) Yalnız I
E) tanımları
B) Yalnız II
D) II ve III
C) Yalnız III
E) I ve III
8.
4.
Aşağıdaki ifadelerden hangisi veya hangileri
yanlış önermedir?
III. “3 – 4 ⋅ 5 = –5”
D) II ve III
............ denir.
gi sözcük yazılmalıdır?
II. “5 sayısı, 7 sayısından büyüktür.”
B) Yalnız II
kesin olarak belirlenebilen cümlelere ........................
Yukarıda verilen tanımda boş bırakılan yere han-
I. “Kızım dünyanın en güzel kızıdır.”
A) Yalnız I
Yargı bildiren ve bu yargının doğru ya da yanlışlığı
C) Yalnız III
E) I ve III
A) tanım
B) tanımsız terim
C) yargı cümlesi
D) önerme
E) tanımlı terim
9. SINIF MATEMATİK
11
Temel Kavramlar
9.
Mantık - Bölüm 01
Aşağıdaki cümlelerden hangisi ya da hangileri
birer önermedir?
13.
Aşağıdaki cümlelerden hangisi önermedir?
A) “Seni ne zamandır tanıyorum?”
I. “En küçük asal sayı 1 dir.”
B) “Yeteri kadar çalışıyor musun?”
II. “Kazanman için çalışmalısın.”
C) “İyi sabahlar”
III. “İyi geceler.”
A) Yalnız I
D) “Artık yeter!”
B) Yalnız II
D) II ve III
10.
C) Yalnız III
E) “En küçük doğal sayı 1 dir.”
E) I ve III
Aşağıdaki cümlelerden hangisi ya da hangileri
birer önerme değildir?
14.
A) “x < 3”
I. “En büyük negatif tam sayı –1 dir.”
B) “4 sayısı 5 ten küçük müdür?”
II. “Sesin çok güzel.”
C) “7 sayısı asal mıdır?”
III. “İyi sabahlar.”
A) Yalnız I
D) “2 ⋅ x = 4”
B) Yalnız II
D) II ve III
11.
Aşağıdaki ifadelerden hangisi önermedir?
C) Yalnız III
E) “En küçük doğal sayı 1 dir.”
E) I ve III
Aşağıdaki ifadelerden hangisi ya da hangileri birer önermedir?
15.
Aşağıdaki ifadelerden hangisi önerme değildir?
A) “4 < 3”
I. “4 ⋅ 5 = 45”
B) “4 < 5”
II. “x asaldır.”
C) “7 sayısı asaldır?”
III. “2 ⋅ x + 1 tek tam sayıdır.”
D) “2 ⋅ 2 = 4”
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
12.
E) “4 ⋅ x + 5 = 7”
C) Yalnız III
E) I ve III
16.
Aşağıdaki ifadelerden hangisi önermedir?
Aşağıdaki ifadelerden hangisi önerme değildir?
A) “2 ⋅ x < 5”
A) “Bugün günlerden Pazartesidir.”
B) “x + x + x + x = 4 ⋅ x”
B) “3 ile 4 ün toplamı 8 dir.”
C) “3 ⋅ x = 7”
C) “Haydi sinemaya gidelim.”
D) “Yarın hava güzel olacak mı?”
D) “Paralel doğrular kesişmezler.”
E) “Dikkat! Girmek yasaktır!”
E) “Dün sinemaya gittim.”
1.B
12
2.A
3.D
9. SINIF MATEMATİK
4.D
5.E
6.A
7.C
8.D
9.A
10.D
11.A
12.C
13.E
14.E
15.E
16.B
Mantık - Bölüm 01
TANIM
Bir önermenin doğru ya da yanlış bilgi vermesine o önermenin doğruluk değeri denir. Bir önermenin doğruluk
değeri, eğer önerme doğru ise D (veya 1), yanlış ise
Bir Önermenin Doğruluk Değeri ve Olumsuzu, Denk Önermeler
TANIM
Bir p önermesini doğru iken yanlış, yanlış iken doğru yaparak elde edilen önermeye o önermenin olumsuzu (ya
da değili) denir ve "değil p" veya " p′ " veya "~p" ile gösterilir. Biz bu kitapta p′ sembolünü kullanacağız.
Y (veya 0) ile gösterilir.
Hemen bir örnek verelim. p : “Bir hafta 10 gündür.” önermesi yanlıştır. p′: “Bir hafta 10 gün değildir.” önermesi ise
Örneğin,
doğrudur. Bir şeyi fark ettiniz değil mi? p: “Bir hafta 10
p: “Türkiye’nin başkenti Ankara’dır.”
önermesi doğru olduğundan p ≡ 1,
q: “Türkiye’nin en kalabalık ili Ankara’dır.”
önermesi yanlış olduğundan q ≡ 0 yazılır.
gündür.” önermesinin değili “Bir hafta 7 gündür.” önermesi
olamazdı, olmamalıdır.
Neden acaba? Elbette siz de
biraz düşününce bunu bulabilirsiniz. Bizim açıklamamız
ise az sonra... ☺
Işık 1
Bir önermenin değilinin değili yine kendisidir. Yani
(p′)′ ≡ p
Hatırlatma
Bir önermenin doğruluk değerinin iki değerden yalnız-
Örneğin, p: “2 ⋅ 2 = 4” önermesinin değili p′: “2 ⋅ 2 ≠ 4” olup,
(p′)′: “2 ⋅ 2 = 4” olur.
ca birini aldığını unutmayalım.
Yani bir önerme ya doğrudur ya da yanlış. Aynı anda
hem doğru, hem de yanlış olan bir önerme yoktur. En
azından matematiksel mantıkta böyle.
DNA 2
Aşağıdaki önermelerden hangisi veya hangilerinin
olumsuzları doğru olarak verilmiştir?
I. p : “Türkiye'nin başkenti İzmir'dir.”
TANIM
p′ : “Türkiye'nin başkenti Ankara'dır.”
II. q : “3 > 2”
Doğruluk değeri aynı olan önermelere denk önermeler
denir. p ve q denk önermeler ise bu durum p ≡ q yazılarak
gösterilir.
Örneğin,
p: “2 ⋅ 2 = 4”
q′ : “3 ≤ 2”
III. r : “Bir gün 12 saattir.”
r′ : “Bir gün 24 saattir.”
IV. s : “2 ⋅ 2 ≠ 4”
s′ : “2 ⋅ 2 = 4”
q: “Bir haftada 7 gün vardır.”
önermeleri doğru olduğundan p ve q önermeleri denk
önermelerdir.
A) II ve IV
B) I, II ve III
D) I, III ve IV
C) I, II, III, IV
E) I, II ve IV
9. SINIF MATEMATİK
13
Mantık - Bölüm 01
Bir Önermenin Doğruluk Değeri ve Olumsuzu
Çözüm
Öncelikle bir önerme doğru ise olumsuzunun yanlış, yan-
Aşağıdaki önermelerden hangisinin veya hangilerinin
lış ise olumsuzunun doğru olduğu gerçekliğinden hareket
olumsuzları yanlış olarak verilmiştir?
edelim.
I. p : “Türkiye'nin başkenti Ankara'dır.”
I. p : “Türkiye'nin başkenti İzmir'dir.” (Y)
p′ : “Türkiye'nin başkenti Ankara değildir.”
p′ : “Türkiye'nin başkenti İzmir değildir.” (D)
II. q : “4 + 5 ⋅ 2 = 14”
Ancak soruda verilen p′ : “Türkiye'nin başkenti
Ankara'dır.” önermesi p nin olumsuzu olamaz.
q′ : “4 + 5 ⋅ 2 = 18”
III. r : “Bir hafta yedi gündür.”
Bu apayrı p den bağımsız başka bir önermedir.
Yanlış bir önermenin doğrusunu yazmak, demek
ki onun değilini almak değilmiş.
r′ : “Bir hafta yedi gün değildir.”
IV. “s : 3 ⋅ 2 ≠ 6”
“s′ : 3 ⋅ 2 = 6”
II. q : “3 > 2” (D)
B) Yalnız II
A) Yalnız I
q′: “3 ≤ 2” (Y)
D) Yalnız IV
III. r : “Bir gün 12 saattir.” (Y)
C) Yalnız III
E) II ve IV
r′ : “Bir gün 12 saat değildir.” (D)
Burada da I de açıkladığımız benzer bir durum
var. "Bir gün 24 saattir." önermesi apayrı bir önerme olup r önermesinin olumsuzu olamaz.
IV. s : “2 ⋅ 2 ≠ 4” (Y)
s′ : “2 ⋅ 2 = 4” (D)
Doğru Seçenek A
Aşağıdaki önermelerden hangisinin değili (olumsuzu)
doğru önermedir?
Aşağıdaki denkliklerden hangisi ya da hangileri daima
doğrudur?
I. “2008 dört basamaklı doğal sayıdır.”
II. “Canlılar ölümlüdür.”
I. (p′)′ ≡ p dir.
III. “0 sayısı çift doğal sayıdır.”
II. 0′ ≡ 1
IV. “İki tek doğal sayının toplamı çifttir.”
III. 1′≡ 0
A) Yalnız I
V. “En küçük iki basamaklı tam sayı 10 dur.”
A) I
14
B) II
9. SINIF MATEMATİK
C) III
D) IV
E) V
B) Yalnız II
D) II ve III
C) Yalnız III
E) I, II ve III
Mantık - Bölüm 01
Doğruluk Tabloları
ÖNERMELERİN DOĞRULUK TABLOLARI
Bu kısımda bir önerme ve onun değilinden başlayıp bileşik önermelerin doğruluk tablolarını nasıl kurup inceleye-
p : “Cahit ARF matematikçidir.”
ceğimizi öğrenmeye çalışacağız.
q : “Türkiye Cumhuriyetinin ilk cumhurbaşkanı
ATATÜRK'tür.”
Bir Önermenin ve Değilinin Doğruluk Tablosu
Öncelikle rastgele bir önermenin ya doğru ya da yanlış
bir önerme olduğu gerçeğinden hareket edelim. Bu durumda verilen tanımlara dayanarak p önermesi doğru iken
önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz ve değillerini yazınız. Her iki önerme için doğruluk tablosu
oluşturup boşlukları doldurunuz.
p′ önermesinin yanlış, p yanlış iken p′ önermesinin doğru
olduğunu biliyoruz. Bunu bir tablo ile gösterelim. (Başladık
sembol kullanmaya ☺)
p
p′
1
0
0
1
p : ................... bir önermedir. Doğruluk değeri bu yüzden
........ olup p ≡ ....... dir. Değili ise;
DNA 3
p′ : ................... olup ................... bir önermedir. Doğruluk
değeri bu yüzden ........ olup p′ ≡ ........
p:3+2=5
q : ................... bir önermedir. Doğruluk değeri bu yüzden
q:5<4
önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz ve değillerini yazınız. Her iki önerme için doğruluk tablosunu oluşturunuz.
......... olup q ≡ ....... dır. Değili ise;
q′ : ................... olup ................... bir önermedir. Doğruluk
değeri bu yüzden ........ olup q′ ≡ ........ dir.
Çözüm
p
q
p′
q′
.....
.....
.....
.....
p : 3 + 2 = 5 doğru bir önermedir. Doğruluk değeri bu yüzden 1 olup p ≡ 1 dir. Değili ise;
p′ : 3 + 2 ≠ 5 olup yanlış bir önermedir. Doğruluk değeri bu
yüzden 0 olup p′ ≡ 0 dır.
q : 5 < 4 yanlış bir önermedir. Doğruluk değeri bu yüzden
0 olup q ≡ 0 dır. Değili ise;
p : “Her tek sayı asal sayıdır.”
q′: 5 ≥ 4 olup doğru bir önermedir. Doğruluk değeri bu
yüzden 1 olup q′ ≡ 1 dir.
p
q
p′
q′
1
0
0
1
q : “1 sayısı en küçük pozitif doğal sayıdır.”
önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz ve değillerini yazınız. Her iki önerme için doğruluk tablosu
oluşturup boşlukları doldurunuz.
9. SINIF MATEMATİK
15
Bileşik Önermeler
Mantık - Bölüm 01
p : ................... bir önermedir. Doğruluk değeri bu yüzden
........ olup p ≡ ....... dir. Değili ise;
p′ : ................... olup ................... bir önermedir. Doğruluk
değeri bu yüzden ........ olup p′ ≡ ........
TANIM
Eğer bir önerme 1'den fazla yargıdan oluşmuşsa bu tip
önermelere bileşik önerme denir. Bileşik önermeler yalın
q : ................... bir önermedir. Doğruluk değeri bu yüzden
......... olup q ≡ ....... dır. Değili ise;
önermelerden "ve", "veya", "ise", "ancak ve ancak" gibi
bağlaçlar yardımıyla elde edilirler.
q′ : ................... olup ................... bir önermedir. Doğruluk
değeri bu yüzden ........ olup q′ ≡ ........ dir.
Örneğin “Üç ile beşin toplamı sekize ve üç ile beşin çarpımı on beşe eşittir.” bileşik önermedir.
p
q
p′
q′
.....
.....
.....
.....
Matematikçilerin yaptıkları en iyi şeylerden biri bol bol
sembol kullanmalarıdır. ☺
Yukarıda verdiğimiz "Üç ile beşin toplamı sekize ve üç ile
beşin çarpımı on beşe eşittir." yerine,
3 + 5 = 8 ∧ 3 ⋅ 5 = 15
kullanmak gibi bir yolu seçerler. Elbette bunun nedenlerin-
BİLEŞİK ÖNERMELER
den biri anlatmak istediklerini kısaltmak içindir. Bunun ba-
Şimdiye kadar ki örneklerimizi incelediğinizde genel ola-
zen de anlaşılamamaya da neden olduğunu söylemeden
rak cümlelerimizin tek bir yargıdan oluştuğunu farkettiniz
mi?
Oysa bir cümle birden fazla yargı içerebilir.
Örneğin "Bugün Pazar ise yarın Pazartesidir."
Burada iki cümle vardır aslında, biri "Bugün Pazar", diğeri "yarın Pazartesidir." Bu iki önerme “ise” bağlacı ile
edemeyeceğiz.
Burada önemli olan hangi sembol neyi
temsil ediyor? Sorun bunu kavrayabilmekte. İşte mantıkta
da "ve" bağlacı yerine "∧", "veya" yerine "∨", "ise" yerine
"⇒" gibi semboller kullanıp, önermeleri ise küçük harflerle
göstereceğiz.
bağlanmış yepyeni bir önerme oluşmuştur. Şimdi bu farkı
anlatacağımız bölüme geldik. Bileşik Önermeler.
Örneğin p, q, r, ... s gibi...
İşin ilginç yanı iki önerme birbiriyle ilgili olmasa da bu
TANIM
Eğer bir önerme sadece bir yargıdan ibaretse bu tip önermelere yalın önerme denir.
Örneğin “Üç ile beşin toplamı sekizdir.” yalın önermedir.
16
9. SINIF MATEMATİK
önermeleri bağlaçlarla bağlayabileceğiz.
Örneğin "2 ⋅ 2 = 4 eder" veya "Türkiye'nin başkenti
Ankara'dır" İnsanın kulağına bile yabancı. Bunu bir edebiyatçı yapsa herhalde kitapları hiç okunmazdı. ☺
Ve “∧” Bağlacı
Mantık - Bölüm 01
Ve "∧" Bağlacı ile Bağlanan Bileşik Önermeler
Şimdi bu tanıma ve kabullere dayanarak aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.
p ile q iki önerme olsun. Bu iki önermeyi "ve" bağlacı ile
birleştirdiğimizde elde edilen bileşik önerme p ∧ q ile gös-
DNA 4
terilir, p ve q diye okunur.
Örneğin;
p : “Beş kere beş yirmi beşe eşittir.”
q : “İki, üçten büyüktür:”
p : "Bugün Pazartesidir."
önermelerini “ve” bağlacı ile bağlayıp elde edilen önermenin doğruluk değerini bularak tablo ile
q : "Bu ay Ocak ayıdır."
gösteriniz.
önermelerini ve bağlacı ile bağladığımızda,
p ∧ q : "Bugün Pazartesidir ve bu ay Ocak ayıdır." olur.
Çözüm
Peki, ve “∧” bileşik önermesinin doğruluk tablosu nasıl
p ∧ q : “Beş kere beş yirmi beşe eşittir ve iki, üçten bü-
olur? Bunun cevabını birlikte arayalım. Diyelim ki hem p
yüktür.”
önermesi hem de q önermesi doğru.
Bir kez de matematiksel sembollerle gösterelim.
O zaman bileşik önermenin (p ∧ q) nun doğru olduğundan
5 ⋅ 5 = 25 ∧ 2 > 3
şüphemiz olamaz ve yine diyelim ki p doğru değil (yani
Bu iki önermeden 2 > 3 önermesi yanlış olduğundan bile-
bugün Pazartesi değil) o zaman q doğru da olsa yanlış ta
şik önermemiz (p ∧ q) yanlıştır.
olsa bileşik önerme yanlış olacaktır. Buradan anlıyoruz ki
ve “∧” bağlacı ile bağlanan iki önermenin her ikisi de doğru
p
q
p∧q
1
0
0
olduğunda bileşik önerme doğru aksi halde bileşik önerme yanlıştır. “∧” bağlacıyla bağlanan iki önermeye aynı
zamanda tümel evetleme dendiğini de bu arada söyleyerek tablomuzu yapalım.
p : “Her tek sayı asal sayıdır.”
p
q
p∧q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Hatırlatma
Ve “∧” bağlacı ile bağlanan bir bileşik önermenin doğruluk değeri, her ikisi de doğru iken doğru herhangi biri
yanlış iken yanlıştır.
q : “Her çift sayı 2 ile tam bölünür.”
önermelerini “ve” bağlacı ile bağlayıp elde edilen
önermenin doğruluk değerini bularak boşlukları doldurunuz.
p ∧ q : ……………………………………….
Bu iki önermeden ………………………. önermesi(leri)
………….. olduğundan bileşik önermemiz (p ∧ q) ………..
p
q
p∧q
.....
.....
.....
9. SINIF MATEMATİK
17
Ve “∧” Bağlacı
Mantık - Bölüm 01
p : “Bir yıl 365 gün 6 saattir.”
p, yanlış bir önerme
q : “Türkiye’nin başkenti Ankara’dır.”
q, doğru bir önerme
önermelerini “ve” bağlacı ile bağlayıp elde edilen
önermenin doğruluk değerini bularak boşlukları doldurunuz.
r, doğru bir önerme
olsun.
Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğru bir
p ∧ q : ……………………………………….
önermedir?
Bu iki önermeden ………………………. önermesi(leri)
………….. olduğundan bileşik önermemiz (p ∧ q) ………..
I. (p ∧ q) ∧ r
II. r ∧ (p′ ∧ q)
p
q
p∧q
.....
.....
.....
III. r ∧ q
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız III
E) II ve III
D) I ve II
DNA 5
p, doğru bir önerme
q, yanlış bir önerme
olsun.
Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri her zaman
doğru bir önermedir?
I. p ∧ q
II. p′ ∧ q
III. p ∧ q′
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
E) I ve III
p: “Bir hafta 7 gündür.”
q: “Ocak ayı 30 gündür.”
r: “2 asal sayıdır.”
Çözüm
Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri yanlış bir
p∧q :1∧0≡0
doğru bir önerme değil p′ ∧ q : 0 ∧ 0 ≡ 0
doğru bir önerme değil p ∧ q′ : 1 ∧ 1 ≡ 1
doğru bir önerme önermedir?
I. (p ∧ q′) ∧ r
II. (p ∧ q) ∧ r′
III. (p ∧ r) ∧ q
Doğru Seçenek C
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
18
9. SINIF MATEMATİK
C) Yalnız III
E) I, II ve III
Veya “∨” Bağlacı
Mantık - Bölüm 01
Veya "∨" Bağlacı ile Bağlanan Bileşik Önermeler
Hatırlatma
p ile q iki önerme olsun. Bu iki önermeyi veya bağlacı ile
birleştirdiğimizde elde edilen bileşik önerme p ∨ q ile gös-
Veya “∨” bağlacı ile bağlanan bir bileşik önermenin
doğruluk değeri, ikisinden herhangi biri doğru iken
terilir, p veya q diye okunur.
doğru, her ikisi de yanlış iken yanlıştır.
Yalın önermeleri doğruluk değerlerine göre, bu bileşik
önermenin doğruluk değerinin ne olacağına bakalım.
Hem p hem q doğru ise elbette bileşik önermemiz doğru
Şimdi bu tanıma ve kabullere dayanarak aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.
olacaktır. Herhangi biri yanlışsa bileşik önermemiz yine
doğru; ancak her iki önerme de yanlış ise bileşik önerme
yanlış olacaktır.
Örneğin;
DNA 6
p : “Yağmur yağıyor.”
p : “Beş kere beş yirmi beşe eşittir.”
q : “Ahmet’in şemsiyesi var.”
q : “İki, üçten büyüktür.”
önermelerini veya bağlacı ile bağladığımızda,
p ∨ q : “Yağmur yağıyor veya Ahmet’in şemsiyesi
önermelerini “veya” bağlacı ile bağlayıp elde edilen önermenin doğruluk değerini bularak tablo ile
gösteriniz.
var.” olur.
Diyelim ki hem p önermesi hem de q önermesi doğru.
O zaman bileşik önermenin, (p ∨ q) nun, doğru olduğundan şüphemiz olamaz ve yine diyelim ki p doğru değil (yani
yağmur yağmıyor) ama Ahmet’in şemsiyesi var. O zaman
bileşik önermemiz yine de doğrudur, çünkü en azından bir
durum gerçekleşmiştir.
Çözüm
p ∨ q : “Beş kere beş yirmi beşe eşittir veya iki üçten bü-
Buradan anlıyoruz ki veya “∨” bağlacı ile bağlanan iki
yüktür.”
önermenin ikisinden herhangi biri doğru olduğunda bileşik
önerme doğru, aksi halde bileşik önerme yanlıştır.
Bir kez de matematiksel sembollerle gösterelim.
5 ⋅ 5 = 25 ∨ 2 > 3
“∨” bağlacıyla bağlanan iki önermeye aynı zamanda tikel
evetleme dendiğini de bu arada söyleyerek tablomuzu
yapalım.
Bu bileşik önermenin 2 > 3 önermesi yanlış olduğu halde
5 ⋅ 5 = 25 önermesi doğru olduğundan bileşik önermemiz
p
q
p∨q
1
1
1
1
0
1
0
1
1
p
q
p∨q
0
0
0
1
0
1
(p ∨ q) doğrudur.
9. SINIF MATEMATİK
19
Veya “∨” Bağlacı
Mantık - Bölüm 01
p ∨ q : ……………………………………….
Bu iki önermeden p: “6 tane 2 nin çarpımı 12 dir.” önerp : “Tek doğal sayılar 2 ile tam bölünmez.”
mesi …………… olduğundan, q: “İki tane 6 nın çarpımı
12 dir.” önermesi …………. olduğundan bileşik önerme-
q : “0 sayısı en küçük doğal sayıdır.”
miz (p ∨ q) ..……….....
önermelerini “veya” bağlacı ile bağlayıp elde edilen
önermenin doğruluk değerini bularak boşlukları doldurunuz.
p ∨ q : ……………………………………….
p
q
p∨q
.....
.....
.....
DNA 7
Bu iki önermeden p: “Her tek tam sayı 2 ile tam bölünmez.” önermesi …………… olduğundan, q: “0 sayısı en
küçük doğal sayıdır.” önermesi
…………. olduğundan
bileşik önermemiz (p ∨ q) ..……….....
p, doğru bir önerme
q, yanlış bir önerme
olsun.
Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğru bir
p
q
p∨q
.....
.....
.....
önermedir?
I. p ∨ q
II. p′ ∨ q
III. p ∨ q′
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
E) I ve III
Çözüm
p : “6 tane 2 nin çarpımı 12 dir.”
q : “İki tane 6 nın çarpımı 12 dir.”
önermelerini “veya” bağlacı ile bağlayıp elde edilen
önermenin doğruluk değerini bularak tablo ile gösteriniz.
20
9. SINIF MATEMATİK
p∨q :1∨0≡1
doğru bir önerme p′ ∨ q : 0 ∨ 0 ≡ 0
doğru bir önerme değil p ∨ q′ : 1 ∨ 1 ≡ 1
doğru bir önerme Doğru Seçenek E
Ve “∧” ile Veya “∨” Bağlacına Ait Özelikler
Mantık - Bölüm 01
Çok oynadık, şimdi gol zamanı ☺
“∧” bağlacını çarpma işlemine “∨” bağlacını toplama işp, yanlış bir önerme
lemine benzetelim. Sıfırın, çarpma işlemine göre, yutan
q, doğru bir önerme
eleman olduğunu bilmeyenimiz yoktur. Yani 0 ile çarpımın
r, doğru bir önerme
sonucu daima sıfırdır. O zaman p ne olursa olsun.
p∧0≡0∧p≡0
olsun.
Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri yanlış bir
önermedir?
olacaktır.
Toplamada ise sıfır etkisizdir. Yani 0 ile toplamak bir sayı-
I. (p ∨ q′) ∨ r
nın değerini değiştirmez. O zaman p ne olursa olsun.
II. r ∨ (p′ ∨ q′)
p∨0≡0∨p≡p
III. r′ ∨ q′
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
E) II ve III
olacaktır. Peki 1 çarpmanın etkisiz elemanı değil mi? Yani
p ne olursa olsun 1 ile çarpmak bir sayının değerini değiştirir mi? Şüphesiz ki değiştirmez.
O zaman p ne olursa olsun.
p∧1≡1∧p≡p
Az bir zorluğumuz kaldı. Şimdi yazdığımıza dikkat edin.
p∨1≡1∨p≡1
Demek ki doğru bir önerme, veya ile bağlanan tüm önermeleri doğruya dönüştürüyor.
p′, yanlış bir önerme
Bunun ispatını da size bırakalım. ☺
q, doğru bir önerme
r, yanlış bir önerme
olsun.
Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğru bir
önermedir?
Hazine 1
p∧0≡0∧p≡0
I. (p ∨ r) ∨ q
p∧1≡1∧p≡p
II. (p′ ∨ q) ∨ r′
p∨0≡0∨p≡p
III. (p′ ∨ q′) ∨ r
p∨1≡1∨p≡1
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
E) I, II ve III
Ve “∧” ile veya “∨” bağlaçlarıyla bağlanan yalın önermeler
için birkaç Hazine daha verelim.
Aşağıda verilen Hazine’lerin doğru olduklarını doğruluk
tablosu yaparak gösterelim.
9. SINIF MATEMATİK
21
Ve “∧” ile Veya “∨” Bağlacına Ait Özelikler
Mantık - Bölüm 01
Hazine 2
Hazine 4
Tek kuvvet özelliği:
Birleşme özelliği:
p∧p≡p
p∨p≡p
(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
p∧p≡p
p
p∧p
p∨p
1
1
1
0
0
0
Bu sefer tabloyu çizmek bizden boşlukları doldurup doğruluğu göstermek sizden. ☺ (Adaleti çabuk bıraktık)
p
q
r
(p ∧ q) ∧ r
p ∧ (q ∧ r)
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
.....
1
0
0
.....
.....
0
1
1
.....
.....
0
1
0
.....
.....
0
0
1
.....
.....
0
0
0
.....
.....
p
q
r
(p ∨ q) ∨ r
p ∨ (q ∨ r)
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
.....
1
0
0
.....
.....
“Veya” ile biz yapalım “ve” için siz yapın. Adil bir dağı-
0
1
1
.....
.....
lım olsun.
0
1
0
.....
.....
0
0
1
.....
.....
0
0
0
.....
.....
p∨p≡p
Ne kadar da kolaymış ☺
Hazine 3
Değişme özelliği:
p∧q≡q∧p
p∨q≡q∨p
p∨q≡q∨p
p
q
p∨q
q∨p
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
Bileşik önermenin yalın önermeleri (p, q, r gibi) arttıkça
0
0
0
0
doğruluk tablosunun satırları da artmakta.
n tane basit önerme için doğruluk tablomuzun satır sayısı
ne olur ki acaba?
Haydi iş başına ☺
Biraz beyin jimnastiği yapalım. Bir önerme ya doğru oluyor
p
q
p∧q
q∧p
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
ya da yanlış. Tıpkı bir para atıldığında ya tura gelir ya da
yazı gibi. (Tabii Kemal SUNAL atmıyorsa parayı)
1 para atsak ………… 2 = 21 durum var.
2 para atsak ………… 4 = 22 durum var. (YY,YT,TY,TT)
3 para atsak …………. 8 = 23 durum var………………
4 para atsak …………. 16 = 24 durum var………………
22
9. SINIF MATEMATİK
Ve “∧” ile Veya “∨” Bağlacına Ait Özelikler
Mantık - Bölüm 01
Sanki genel bir hal yakaladık.
Yukarıda dikkat edilirse önermelerin ne anlattığının önemi
n para atsak ……….. 2n durum oluşur. Bu benzetme bize
yok. Bizim için onun doğruluk değerinin ne olduğu önemli.
n tane yalın önermenin doğruluk tablosunun 2n tane satırı
Bu söylediklerimizden şu anlaşılmalıdır. Bir bileşik öner-
olduğunu söyler.
menin doğruluk değeri, yalın önermelerin alabilecekleri
tüm olası durumlar için, doğruluk tablosu yapılarak bulu-
Işık 2
nur. Artık örneklere geçebiliriz.
n tane yalın önermenin doğruluk tablosunda tam 2n
tane satır vardır.
DNA 8
Hazine 5
p′ ∨ q bileşik önermesinin, yalın önermelerin alabileceği tüm olası durumlar için doğruluk tablosunu
Dağılma özelliği:
yapınız.
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
(p ∧ q) ∨ r ≡ (p ∨ r) ∧ (q ∧ r)
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Çözüm
(p ∨ q) ∧ r ≡ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)
Bunun ispatını da size bırakalım. ☺
Hazine 6
p
q
p′
p′ ∨ q
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
De’ Morgan Kuralları:
(p ∧ q)′ ≡ p′ ∨ q′
(p ∨ q)′ ≡ p′ ∧ q′
Çözümü inceleyip anlamadıysanız durum vahim ☺ Hemen
“veya” bağlacına geri dönüp bilgilerinizi kontrol ediniz.
Bunun ispatını biz yapalım. Sizi de çok yormayalım.
Ama isteyen kendisi de ispatlayabilir, bunu yapmanızın
size çok daha fazla yararı olur.
(p ∧ q)′ ≡ p′ ∨ q′
p
q
p′
q′
p∧q
(p ∧ q)′
p′ ∨ q′
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
p ∧ q′ bileşik önermesinin, yalın önermelerin alabileceği tüm olası durumlar için aşağıdaki doğruluk tablosunu doldurunuz.
Çözüm
Eee, diğerinin ispatı da sizin tabii ki ☺
p
q
p′
q′
p∨q
(p ∨ q)′
p′ ∧ q′
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
p
q
q′
p ∧ q′
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
9. SINIF MATEMATİK
23
Ve “∧” ile Veya “∨” Bağlacına Ait Özelikler
Mantık - Bölüm 01
(p′ ∧ q) ∨ p bileşik önermesinin, yalın önermelerin ala-
(p ∧ q) ∨ q bileşik önermesinin, yalın önermelerin ala-
bileceği tüm olası durumlar için aşağıdaki doğruluk
bileceği tüm olası durumlar için aşağıdaki doğruluk
tablosunu doldurunuz.
tablosunu doldurunuz.
Çözüm
Çözüm
p
q
p′
p′ ∧ q
(p′ ∧ q) ∨ p
p
q
p∧q
(p ∧ q) ∨ q
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
(p ∨ q) ∧ p bileşik önermesinin, yalın önermelerin alabileceği tüm olası durumlar için aşağıdaki doğruluk
tablosunu doldurunuz.
Tenef füs
Çözüm
24
Mekansal Zeka:
Kişinin yönünü bulup bulamadığı
p
q
p∨q
(p ∨ q) ∧ p
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
Mimarlar ve futbolcular için olduk-
.....
.....
.....
.....
ça gerekli bir yetenektir.
.....
.....
.....
.....
9. SINIF MATEMATİK
mekansal
zekanın
göstergesidir.
Mantık - Bölüm 01
Ve “∧” ile Veya “∨” Bağlacına Ait Özelikler
5.
TEST - 2
1.
olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden
hangisi ya da hangileri daima doğru bir önermedir?
p∨q≡0
olduğuna göre aşağıdaki denkliklerden hangisi
ya da hangileri doğrudur?
I. (p′ ∨ q) ∧ r′
II. p ∨ (q ∨ r)
I. p ∧ q ≡ 1
III. p′ ∨ q
II. p′ ∨ q ≡ 1
A) Yalnız I
III. p′ ∧ q ≡ 1
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
II. p ∨ (q ∨ r)
II. p′ ∨ q ≡ 1
III. p′ ∨ q
III. p′ ∧ q ≡ 0
B) Yalnız II
D) I ve II
A) Yalnız I
C) Yalnız III
(p ∧ q′) ∧ r ≡ 1
7.
B) r ∧ q
D) r ∧ p′
B) r ∨ q
D) r ∨ p′
E) II ve III
(p′ ∨ q′) ∨ r ≡ 0
A) 1, 1, 0
B) 1, 0, 1
D) 1, 0, 0
E) p ∧ r
8.
olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden
hangisinin doğruluk değeri 0 dır?
C) p′ ∨ q′
E) (p′ ∨ r)′
C) Yalnız III
olduğuna göre, p, q, r önermelerinin doğruluk
değerleri sırasıyla nedir?
C) p′ ∧ q
(p′ ∨ q) ∨ r′ ≡ 0
A) r′∨ p
B) Yalnız II
D) I ve II
E) II ve III
olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden
hangisinin doğruluk değeri 1 dir?
4.
(p ∨ q′) ∧ r ≡ 1
I. (p′ ∧ q) ∨ r′
I. p ∧ q ≡ 1
A) r′ ∧ p
E) II ve III
olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden
hangisi ya da hangileri daima doğru bir önermedir?
olduğuna göre aşağıdaki denkliklerden hangisi
ya da hangileri doğrudur?
3.
C) Yalnız III
E) II ve III
p ∧ q′ ≡ 1
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve III
C) Yalnız III
6.
2.
(p ∧ q′) ∨ r ≡ 0
C) 0, 0, 0
E) 0, 1, 0
(p ∧ q) ∧ r′ ≡ 1
olduğuna göre, p, q, r önermelerinin doğruluk
değerleri sırasıyla nedir?
A) 0, 1, 0
B) 0, 0, 0
D) 1, 0, 0
C) 1, 0, 1
E) 1, 1, 0
9. SINIF MATEMATİK
25
Ve “∧” ile Veya “∨” Bağlacına Ait Özelikler
9.
Mantık - Bölüm 01
13.
[(p′ ∨ q) ∨ r′]′ ≡ 1
olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden
hangisinin doğruluk değeri 0 dır?
A) r ∨ p′
B) (p′ ∨ r)′
I. p′ ∧ 0 ≡ 1
II. p′ ∨ 1 ≡ 1
C) p′ ∨ q′
III. 0 ∧ q ≡ q
E) r ∨ q
D) r′∨ p
Aşağıdaki denkliklerden hangisi ya da hangileri
daima doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
10.
C) Yalnız III
E) II ve III
[(p ∧ q′) ∧ r]′ ≡ 0
olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden
hangisinin doğruluk değeri 1 dir?
A) r′ ∨ q
B) (p′ ∨ r)′
D) r′ ∨ p′
14.
C) p′ ∨ q
Aşağıdaki denkliklerden hangisi ya da hangileri
daima yanlıştır?
I. p ∧ 0 ≡ 0
E) r ∨ p′
II. (p′ ∨ 1)′ ≡ 0
III. 0 ∧ p ≡ 1
A) Yalnız I
11.
B) Yalnız II
D) I ve II
p : “Asal sayıların pozitif bölen sayısı 2 dir.”
C) Yalnız III
E) II ve III
q : “Sıfır çift tam sayıdır.”
r : “Bir gerçek sayının karesi en az sıfırdır.”
15.
önermeleri veriliyor.
Buna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri 1 dir?
A) r ∧ p′
B) (p′ ∨ r)′
C) p′ ∨ q
E) r′ ∨ p′
D) r′∨ q′
p, q, s önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla
1, 0, 1 olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri daima 1 dir?
A) (p ∧ q) ∨ s′
B) (p ∨ q) ∧ s′
C) (p′ ∧ q) ∨ s′
D) (p ∨ q) ∧ s
E) (p′ ∨ q′) ∧ s′
12.
p : “Ankara, Türkiye'nin başkentidir.”
q : “Karenin köşegenleri dik kesişir.”
16.
r : “Dörtgenin iç açıları toplamı 180° dir.”
önermeleri veriliyor.
Buna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri 0 dır?
A) r ∨ p
B) (p′ ∨ r)′
D) r′ ∨ q′
1.B
26
2.C
3.E
9. SINIF MATEMATİK
C) p′ ∨ q
p, q, s önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla
0, 0, 0 olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri 0 dır?
A) (p ∧ q) ∨ s′
B) (p ∨ q) ∧ s′
C) (p′ ∧ q) ∨ s′
D) (p ∨ q′) ∧ s′
E) (p′ ∨ q′) ∨ s′
E) r ∨ p′
4.E
5.D
6.B
7.A
8.E
9.B
10.E
11.C
12.E
13.B
14.C
15.D
16.B
İse “⇒” Bağlacı
Mantık - Bölüm 01
KOŞULLU ÖNERMELER
İse "⇒" Bağlacı ile Bağlanan Bileşik Önermeler
p ile q iki önerme olsun. Bu iki önermeyi, ise bağlacı ile
birleştirdiğimizde elde edilen bileşik önerme p ⇒ q ile gösterilir, p ise q diye okunur.
p ⇒ q önermesi p doğru, q yanlış iken yanlış; diğer tüm
p : "Anıtkabir Ankara'dadır."
q : "Beş ile yedinin çarpımı otuzdan küçüktür."
önermelerini "ise" bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen p ⇒ q önermesinin doğruluk değerini bularak aşa-
durumlarda doğrudur.
p
q
p⇒q
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
ğıdaki boşlukları doldurunuz.
p ⇒ q : ..............................................
DNA 9
Bu bileşik önermenin p önermesi ................ q önermesi
p : “Dört ile beşin toplamı altıdır.”
.............. olduğundan bileşik önermemiz (p ⇒ q) ..............
q : “İki, üçten küçüktür.”
önermelerini “ise” bağlacı ile bağlanmasıyla elde
p
q
p⇒q
edilen p ⇒ q önermesinin doğruluk değerini bula-
.....
.....
.....
rak tablo ile gösteriniz.
Çözüm
p ⇒ q : "Dört ile beşin toplamı altı ise iki üçten küçüktür."
Bir kez de matematiksel sembollerle gösterelim.
4+5=6⇒2<3
Bu bileşik önermenin p : “Dört ile beşin toplamı altıdır.”
önermesi yanlış olduğu halde q : “İki, üçten küçüktür.”
önermesi doğru olduğundan bileşik önermemiz (p ⇒ q)
p : "Deniz’in boyu 175 cm dir."
q : "İki kere üç altıdır."
doğrudur.
önermelerini "ise" bağlacı ile bağlanmasıyla elde edip
q
p⇒q
0
1
1
len p ⇒ q önermesinin doğruluk değerini bularak aşağıdaki boşlukları doldurunuz.
9. SINIF MATEMATİK
27
İse “⇒” Bağlacı
Mantık - Bölüm 01
p ⇒ q : ..............................................
Bu bileşik önermenin p önermesi ................ q önermesi
.............. olduğundan bileşik önermemiz (p ⇒ q) ..............
p, yanlış bir önerme
q, doğru bir önerme
p
q
p⇒q
.....
.....
.....
r, doğru bir önerme
olsun.
Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğru bir
önermedir?
I. (p ⇒ q) ⇒ r′
II. r′ ⇒ (p′ ⇒ q′)
III. r ⇒ p′
DNA 10
A) Yalnız I
p, doğru bir önerme
B) Yalnız II
D) II ve III
C) Yalnız III
E) I ve III
q, yanlış bir önerme
olsun.
Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri her zaman
doğru bir önermedir?
I. p ⇒ q
II. p′ ⇒ q
III. p ⇒ q′
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
E) II ve III
p : “3 ⋅ 7 – 5 ⋅ 4 = 1”
q : “En küçük asal sayı yoktur.”
r : “5 sayısı ile –5 sayısının sıfıra olan uzaklığı eşittir.”
Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğru bir
önermedir?
Çözüm
I. (p ⇒ q′) ⇒ r
p⇒q :1⇒0≡0
doğru bir önerme değil p′ ⇒ q : 0 ⇒ 0 ≡ 1
doğru bir önerme p ⇒ q′ : 1 ⇒ 1 ≡ 1
doğru bir önerme II. r′ ⇒ (p′ ⇒ q′)
III. r ⇒ p′
A) Yalnız I
Doğru Seçenek E
28
9. SINIF MATEMATİK
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
E) I, II ve III
İse “⇒” Bağlacı
Mantık - Bölüm 01
TANIM
p ve q iki önerme olsun.
p ⇒ q : "2 ⋅ 2 = 4 ise 4 ün karekökü 2 dir."
q ⇒ p bileşik önermesine p ⇒ q önermesinin karşıtı de-
Bileşik önermesinin tersini, karşıtını ve karşıt tersini
nir.
boşlukları doldurarak her bir bileşik önermenin doğ-
p′ ⇒ q′ bileşik önermesine p ⇒ q önermesinin tersi de-
ruluk tablosunu yapınız.
nir.
q′ ⇒ p′ bileşik önermesine p ⇒ q önermesinin karşıt tersi
denir.
karşıtı,
q ⇒ p : "............................................"
Eh bu kadar tanım yeter, şimdi bunlara örnekler verelim
tersi,
p′ ⇒ q′ : "............................................"
de ne demek istiyorlar biraz daha yakından bakalım.
karşıt tersi, q′ ⇒ p′ : "............................................"
DNA 11
p
q
p⇒q
q⇒p
p′ ⇒ q′
q′ ⇒ p′
.....
.....
.....
.....
.....
.....
p ⇒ q : "Hava yağmurlu ise yerler ıslaktır."
.....
.....
.....
.....
.....
.....
Bileşik önermesinin tersini, karşıtını ve karşıt ter-
.....
.....
.....
.....
.....
.....
sini yazarak, her bir bileşik önermenin doğruluk
.....
.....
.....
.....
.....
.....
tablosunu yapınız.
Çözüm
p ⇒ q : "Hava yağmurlu ise yerler ıslaktır."
p ⇒ q : "Bugün Pazartesi ise yarın Salıdır.”
karşıtı, q ⇒ p : "Yerler ıslak ise hava yağmurludur."
tersi, p′ ⇒ q′ : "Hava yağmurlu değilse yerler ıslak değildir."
Bileşik önermesinin tersini, karşıtını ve karşıt tersini
boşlukları doldurarak her bir bileşik önermenin doğruluk tablosunu yapınız.
karşıt tersi, q′ ⇒ p′ : "Yerler ıslak değilse hava yağmurlu
değildir."
karşıtı,
q ⇒ p : "............................................"
.....
tersi,
p′ ⇒ q′ : "............................................"
.....
.....
karşıt tersi, q′ ⇒ p′ : "............................................"
.....
.....
.....
.....
p
q
p⇒q
q⇒p
p′ ⇒ q′
q′ ⇒ p′
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
p
q
p⇒q
q⇒p
p′ ⇒ q′
q′ ⇒ p′
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
Yukarıdaki denkliklerin teorem ispatlarında sıklıkla kulla-
.....
.....
.....
.....
.....
.....
nıldığını şimdiden belirtelim.
.....
.....
.....
.....
.....
.....
Burada hemen bir durumu fark ettiniz sanırım.
p ⇒ q ≡ q′ ⇒ p′
ve q ⇒ p ≡ p′ ⇒ q′
9. SINIF MATEMATİK
29
Ancak ve Ancak “⇔” Bağlacı
Mantık - Bölüm 01
Koşullu bileşik önermede bir durum var ki çoğu insanı
Diyelim ki hem p önermesi hem de q önermesi doğru.
şaşırtır. Yanlış bir önerme, yanlış bir önermenin koşulu
O zaman bileşik önermenin (p ⇔ q nun) doğru olduğun-
olabilir. Yani demek istediğimiz şu 0 ⇒ 0 bileşik öner-
dan şüphemiz olamaz ve yine diyelim ki p doğru (yani
mesi doğrudur.
x ⋅ y çarpımı negatif) ama q yanlış (x ile y ters işaretli de-
Bir gün Bertrand Russell'a bir akşam yemeğinde "yanlış
ğil) o zaman bileşik önermemiz yanlış olacaktır, çünkü
bir önermeden yola çıkılıp, yanlış bir önerme nasıl is-
x ve y ters işaretli değil ise x ⋅ y nin negatif olması mümkün
patlanabilir?" sorusu yöneltilir. Bir dinleyici Bertrand
değildir. Aynı şekilde x ile y çarpımı negatif değil ise, x ile
Russell'ı biraz da köşeye sıkıştırmak için şu soruyu so-
y nin ters işaretli olması yanlıştır. Her ikisinin de yanlış
rar. "Madem bu yapılabilir o zaman, sıfır bire eşittir,
olma durumuna bakalım. “x ⋅ y çarpımı negatiftir.” doğru
yanlış önermesinden yola çıkıp sizin Papa olduğunuzu
değilse, “x ile y ters işaretli değildir.” doğru olacaktır.
ispatlayın." der.
Tabii ki der Bertrand Russell. "Madem 0 = 1 dir, her iki
tarafa 1 ilave ettiğimizde 0 + 1 = 1 + 1 olur ki 1 = 2 dir.
Şimdi beni ve Papa'yı bir odaya koyunuz. Odada kaç kişi
Kısaca p ile q önermeleri aynı doğruluk değerine sahip
iken bileşik önerme doğru aksi halde bileşik önerme yanlış olacaktır.
var? Dinleyici tabii ki 2 der. Biraz önce 2 = 1 olduğunu
Işık 3
ispatlamıştık yani odadaki Papa benim. ☺
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ≡ p ⇔ q
TANIM
olduğunu gösterelim.
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ≡ p ⇔ q
p ve q gibi iki önerme "ise" bağlacı ile bağlandığında elde
p ⇒ q q ⇒ p (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
p⇔q
edilen bileşik önermenin doğruluk değeri 1 ise bu koşullu
p
q
önermeye gerektirme denir.
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
Örneğin,
“a2 < 16 ⇒ a < 4”
bileşik önermesi bir gerektirmedir.
Ancak ve Ancak"⇔" Bağlacı ile Bağlanan
Bileşik Önermeler (İki Yönlü Koşullu Önermeler)
p ile q iki önerme olsun. Bu iki önermeyi, ancak ve ancak
bağlacı ile birleştirdiğimiz de elde edilen bileşik önerme
p ⇔ q ile gösterilir, p ancak ve ancak q diye okunur.
Hatırlatma
Ancak ve ancak " ⇔" bağlacı ile bağlanan bir bileşik
önermenin doğruluk değeri, her iki önerme aynı doğruluk değerine sahip ise doğru, herhangi biri yanlış ise
yanlıştır.
Örneğin;
p : "x ⋅ y çarpımı negatiftir."
DNA 12
q : "x ile y ters işaretlidir."
önermelerini ancak ve ancak bağlacı ile bağladığımızda,
p ⇔ q : “x ⋅ y çarpımı negatiftir ancak ve ancak x ile y
ters işaretlidir." olur.
Ancak ve ancak " ⇔" bileşik önermesinin doğruluk tablosu
nasıldır?
30
9. SINIF MATEMATİK
p : “20012001 çifttir.”
q : “2001 tektir.”
önermelerini “ancak ve ancak” bağlacı ile bağlayıp elde edilen önermenin doğruluk değerini bularak tablo ile gösteriniz.
Önerme İşlemleri
Mantık - Bölüm 01
Çözüm
p ⇔ q : .......................................................
p ⇔ q : "20012001 çifttir ancak ve ancak 2001 tektir."
Bu bileşik önermede p önermesi ................. q önermesi
Bu bileşik önermede p: “20012001 çifttir.” önermesi yanlış-
.............. olduğundan bileşik önermemiz (p ⇔ q) .............
tır.
q : “2001 tektir.” önermesi doğru olduğundan bileşik öner-
p
q
p⇔q
.....
.....
.....
memiz (p ⇔ q) yanlıştır.
p
q
p⇔q
0
1
0
ÖNERME İŞLEMLERİ
Öncelikle iki önermeyi (∧, ∨, ⇒, ⇔) bağlaçları ile bağladığımızda elde edilen önermeye bileşik önerme denir,
demiştik. Bu bağlaçlara önerme işlemleri denir. Birden
p : "20082007 tektir."
fazla bağlaç ile bağlanan iki veya daha fazla önermelerin
q : "2007 çifttir."
doğruluk değerlerini ve bazı özeliklerini inceleyelim.
önermelerini "ancak ve ancak" bağlacı ile bağlayıp
elde edilen önermelerin doğruluk değerini bularak
boşlukları doldurunuz.
DNA 13
p ve q iki önerme olsun.
p ⇔ q : .......................................................
p ⇒ q ≡ p′ ∨ q olduğunu gösteriniz.
Bu bileşik önermede p önermesi ................. q önermesi
.............. olduğundan bileşik önermemiz (p ⇔ q) .............
p
q
p⇔q
.....
.....
.....
Çözüm
Öncelikle iki bileşik önermenin doğruluk tablosunu yapalım.
p : "ABC üçgeni eşkenar üçgendir.”
q : “ABC üçgeninin iç açıları eştir.”
önermelerini "ancak ve ancak" bağlacı ile bağlayıp
elde edilen önermelerin doğruluk değerini bularak
p
q
p′
p⇒q
p′ ∨ q
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
Tabloda her iki önermenin doğruluk değerlerinin aynı
olduğunu görüyoruz. O halde tanım gereği bu iki bileşik
önerme DENK'tir.
boşlukları doldurunuz.
9. SINIF MATEMATİK
31
Önerme İşlemleri
Mantık - Bölüm 01
Işık 4
p ve q iki önerme olsun.
Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi ya da hangileri p′ ∧ q bileşik önermesine denktir?
p ⇒ q ≡ p′ ∨ q
(p ⇒ q)′ ≡ (p′ ∨ q)′ ≡ p ∧ q′
I. (p ⇒ q)′
p ⇒ q ≡ q′ ⇒ p′
II. (p′ ⇒ q′)′
III. (p ∨ q′)′
Doğruluk tablosu yaparak ispatlayınız.
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
C) Yalnız III
E) I, II ve III
Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi ya da hangileri p′ ⇒ q bileşik önermesine denktir?
I. p ∨ q
Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi ya da hangi-
II. p ∧ q
leri (p′ ∧ q) ∨ r bileşik önermesine denktir?
I. (p ∨ q′) ⇒ r
III. p′ ∨ q′
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
E) I, II ve III
II. r′ ⇒ (p ∨ q′)
III. (p′ ⇒ q′)′ ∨ r
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
C) Yalnız III
E) I ve III
Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi ya da hangi-
Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi ya da hangi-
leri p ⇒ q′ bileşik önermesine denktir?
leri (p ⇒ q) ∨ r bileşik önermesine denktir?
I. p ∧ q
I. (p′ ∨ q) ⇒ r
II. p′ ∨ q′
II. r′ ⇒ (q ∨ p′)
III. p′ ∧ q′
III. (p′ ∨ q)′ ⇒ r
B) Yalnız II
A) Yalnız I
D) I ve II
32
9. SINIF MATEMATİK
C) Yalnız III
E) I, II ve III
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
C) Yalnız III
E) I ve III
Önerme İşlemleri
Mantık - Bölüm 01
DNA 14
Aşağıda verilen denkliklerden hangisi ya da hangileri
doğrudur?
{(p ∨ q) ∧ [(p′ ∧ q′) ∨ q)]} ∨ p
bileşik önermesine denk olan en basit önerme
aşağıdakilerden hangisidir?
I. p′ ∨ q ≡ q′ ⇒ p′
A) p ∨ q′
II. r′ ⇔ p ≡ (r ∨ p) ∧ (p′ ∨ r′)
B) p ∨ q
D) p ∧ q
III. (p′ ∨ q)′ ≡ p ∧ q′
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
C) p ⇒ q
E) q ∧ p′
C) Yalnız III
E) I, II ve III
Çözüm
{(p ∨ q) ∧ [(p′ ∧ q′) ∨ q)]} ∨ p
önermesinde önce (p′ ∧ q′) ∨ q işlemini ∨ nin ∧ üzerine
dağılma özelliğini kullanarak daha basit halde yazalım.
(p′ ∧ q′) ∨ q ≡ (p′ ∨ q) ∧ (q
′ ∨ q) ≡ p′ ∨ q olur.
N
1
p′ ∨ q
Aşağıda verilen denkliklerden hangisi ya da hangileri
{(p ∨ q) ∧ [(p′ ∧ q′) ∨ q)]} ∨ p ≡ {(p ∨ q) ∧ (p′ ∨ q)} ∨ p
doğru değildir?
I. p′ ⇒ q ≡ q′ ⇒ p
Şimdi de (p ∨ q) ∧ (p′ ∨ q) ifadesinin dengini bulalım. Bu-
II. q ⇔ p ≡ (q ∨ p′) ∧ (q′ ∨ p)
nun için ifadeyi q ortak parantezine alalım.
III. (p ⇒ q)′ ≡ p′ ∧ q
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
(p ∨ q) ∧ (p′ ∨ q) ≡ (pN
∧ p′) ∨ q ≡ q
C) Yalnız III
E) I, II ve III
0
Bunu sorudaki ifadede yerine yazalım.
{(p ∨ q) ∧ [(p′ ∨ q′) ∧ q)]} ∨ p ≡ q ∨ p ≡ p ∨ q
q
bulunur.
Doğru Seçenek B
Işık 5
p ⇒ 0 ≡ p′
p⇒1≡1
p⇒p≡1
Siz de benzer özelikleri kullanarak aşağıdaki soruları cevaplayınız.
9. SINIF MATEMATİK
33
Önerme İşlemleri
Mantık - Bölüm 01
DNA 15
{(p ∧ q) ∨ [(p′ ∨ q′) ∧ q]} ∧ p
(p′ ∧ q) ⇒ r′ ≡ 0
bileşik önermesine denk olan önerme aşağıdakiler-
denkliğine göre, (p, q, r) sıralı üçlüsüne ait doğru-
den hangisidir?
luk değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) p ∨ q′
B) p ∨ q
D) p ∧ q
C) p ⇒ q
B) (0, 0, 1)
A) (1, 0, 0)
D) (0, 1, 1)
E) q ∧ p′
C) (1, 1, 1)
E) (1, 0, 1)
Çözüm
(p ∧ q) ∨ q
(p′ ∧ q) ⇒ r′ ≡ 0 denkliğinde ise bağlacıyla bağlanan bi-
bileşik önermesine denk olan önerme aşağıdakiler-
leşik önermenin sonucunun sıfır olması hangi durumda
den hangisidir?
gerçekleşir hatırlayalım.
B) p ∨ q
A) p
D) q
C) p ⇒ q
İkinci önerme yanlış, birinci önerme doğru olması durumunda “ise” bağlacı ile bağlanan bileşik önerme yanlıştı.
E) p′
p′ ∧
q) ⇒ N
r′ ≡ 0 olmalıdır.
O halde, (
0
1
Buradan p′ ∧ q ≡ 1 ve r′ ≡ 0 dır.
p′ ∧ q ≡ 1 ise hem p′ ≡ 1 hem de q ≡ 1 olup
p ≡ 0, q ≡ 1, r ≡ 1 bulunur.
(p ∨ q) ∧ q
bileşik önermesine denk olan önerme aşağıdakiler-
Doğru Seçenek D
den hangisidir?
B) p ∨ q
A) p
D) q
C) p ⇒ q
E) p′
(p ∨ q)′ ⇒ r ≡ 0
(p′ ∨ q) ∨ [(r ∧ q) ∧ (p′ ∨ r)′]
bileşik önermesine denk olan önerme aşağıdakiler-
denkliğine göre (p, q, r) sıralı üçlüsüne ait doğruluk
den hangisidir?
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) p ∨ q′
B) p ∨ q
D) p ∧ r
34
9. SINIF MATEMATİK
C) p ⇒ q
E) (r ∧ p′) ∨ q
A)(1, 0, 0)
B) (0, 0, 1)
D) (0, 1, 0)
C) (1, 1, 0)
E) (0, 0, 0)
Önerme İşlemleri
Mantık - Bölüm 01
Ve bağlacı ile bağlanan p′ ∧ q bileşik önermesinin yanlış
olabilmesi 3 değişik biçimde gerçekleşir.
Ya (p′ ≡ 0, q ≡ 0) ya (p′ ≡ 0, q ≡ 1) ya da (p′ ≡ 1, q ≡ 0)
(p′ ∧ q) ⇒ (r ∨ q′) ≡ 0
denkliğine göre (p, q, r) sıralı üçlüsüne ait doğruluk
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A)(1, 0, 0)
olur. I ve II den dört farklı doğruluk değeri için verilen bileşik önermenin doğruluk değeri 1 dir.
C) (0, 1, 0)
B) (0, 0, 1)
D) (1, 1, 0)
Bu durumda doğruluk değerleri (1, 0, 1),(1, 1, 1),(0, 0, 1)
Doğru Seçenek D
E) (0, 0, 0)
DNA 16
(p′ ⇒ q) ⇔ r′ ≡ 1
(p ∧ q) ⇔ r′ ≡ 1 denkliğini sağlayan p, q ve r önermeleri
veriliyor.
p, q, r nin doğruluk değerleri sırasıyla (m, n, k) olduğu-
p, q, r nin doğruluk değerleri sırasıyla (m, n, k) olduğuna göre, kaç farklı (m, n, k) sıralı üçlüsü vardır?
A) 1
denkliğini sağlayan p, q ve r önermeleri veriliyor.
B) 2
C) 3
D) 4
na göre, kaç farklı (m, n, k) sıralı üçlüsü vardır?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
E) 5
Çözüm
(p′ ∧ q) ⇔ r′ ≡ 1 denkliğinde ancak ve ancak bağlacıyla bağlanan bileşik önermenin sonucunun doğru olması
[(p ⇒ q) ∧ r] ⇔ r′ ≡ 1
hangi durumda gerçekleşir hatırlayalım.
denkliğini sağlayan p, q ve r önermeleri veriliyor.
Her iki önerme de aynı doğruluk değerini alıyorsa ancak
ve ancak bağlacı ile bağlanan bileşik önerme doğruydu.
O halde,
p, q, r nin doğruluk değerleri sırasıyla (m, n, k) olduğuna göre, kaç farklı (m, n, k) sıralı üçlüsü vardır?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
p′ ∧
q) ⇔ N
r′ ≡ 1⎞ veya ⎛ (
p′ ∧
q) ⇔ N
r′ ≡ 1⎞
⎛ (
⎟
⎜ ⎜ ⎟
1
0
⎠
⎝ 1
⎝ 0
⎠
olmalıdır.
p′ ∧
q) ⇔ N
r′ ≡ 1⎞ ise
I. Eğer ⎛ (
⎟
⎜ 1
⎠
⎝ 1
[(p ⇒ r′) ∧ q] ⇔ q ≡ 1
p′ ∧ q ≡ 1 ve r′ ≡ 1 olduğundan doğruluk değerleri sırasıyla (0, 1, 0) olur.
denkliğini sağlayan p, q ve r önermeleri veriliyor.
p′ ∧
q) ⇔ N
r′ ≡ 1⎞ ise
II. Eğer ⎛ (
⎜ ⎟
0
⎝ 0
⎠
na göre, kaç farklı (m, n, k) sıralı üçlüsü vardır?
p′ ∧ q ≡ 0 ve r′ ≡ 0 olur.
A) 7
p, q, r nin doğruluk değerleri sırasıyla (m, n, k) olduğu-
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
9. SINIF MATEMATİK
35
Bileşik Önermeler ve Koşullu Önermeler
Mantık - Bölüm 01
5.
TEST - 3
1.
Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi ya da
hangileri (p ⇒ q′)′ bileşik önermesine denktir?
I. p ∨ q′
p′ ∨ q′ ≡ 0
II. p ∧ q
olduğuna göre aşağıdaki denkliklerden hangisi
ya da hangileri doğrudur?
III. p′ ∨ q′
A) Yalnız I
I. p ∧ q ≡ 0
B) Yalnız II
D) I ve II
II. p′ ∨ q ≡ 1
C) Yalnız III
E) I, II ve III
III. p′ ∨ q ≡ 0
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
E) II ve III
6.
Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi ya da
hangileri (p′ ⇒ q)′ bileşik önermesine denktir?
2.
I. p′ ∨ q
p′ ∧ q ≡ 1
II. p ∨ q′
olduğuna göre aşağıdaki denkliklerden hangisi
ya da hangileri doğrudur?
III. p′ ∧ q′
A) Yalnız I
I. p ∨ q ≡ 1
B) Yalnız II
D) I ve II
II. p′ ∨ q ≡ 1
C) Yalnız III
E) I, II ve III
III. p ∧ q′ ≡ 0
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
E) I, III ve III
7.
Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi ya da
hangileri (p′ ⇔ q) ∧ p bileşik önermesine denktir?
3.
(p′ ∨ q′) ∨ r ≡ 0
I. q′
II. p ∧ q′
olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden
hangisinin doğruluk değeri 1 dir?
A) r′ ∧ p
B) r ∧ q
D) r ∧ p′
4.
III. p′ ∧ q′
C) p′ ∧ q
A) Yalnız I
E) p ∧ r
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
E) I, II ve III
(p ∨ q′) ∨ r ≡ 0
olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden
hangisinin doğruluk değeri 0 dır?
A) r′ ∨ p
B) r′ ∧ q
D) r ∨ p′
36
9. SINIF MATEMATİK
C) p′ ⇒ q′
E) (p ∨ r)′
8.
Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi
(p ⇔ q) ∨ q bileşik önermesine denktir?
A) p′ ∨ q
B) p ∨ q′
D) 1
C) p ∧ q′
E) p′ ⇒ q
Bileşik Önermeler ve Koşullu Önermeler
Mantık - Bölüm 01
9.
14.
[(p′ ∨ q′) ∧ p] ∨ q′
a ve b doğal sayıları için,
bileşik önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir?
A) p′ ∨ q
B) p ∨ q′
D) 1
"a ⋅ b = 0 ⇒ (a = 0 veya b = 0)"
gerektirmesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir?
C) p ∧ q′
E) q′
A) "a ⋅ b ≠ 0 ⇒ (a ≠ 0 ve b ≠ 0)”
B) "(a = 0 ve b ≠ 0) ⇒ a ⋅ b ≠ 0”
10.
C) “(a ≠ 0 veya b ≠ 0) ⇒ a ⋅ b ≠ 0”
(p′ ⇒ q′) ⇒ p
D) “(a ≠ 0 ve b ≠ 0) ⇒ a ⋅ b ≠ 0”
bileşik önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir?
A) p ∨ q′
B) p ∨ q
D) 0
E) "a ⋅ b ≠ 0 ⇒ (a ≠ 0 veya b ≠ 0)”
C) p ∧ q′
E) p
15.
a ve b doğal sayıları için,
"a ⋅ b tektir. ⇔ (a, tektir ve b, tektir)"
11.
[(p′ ⇔ q′) ⇒ (q′ ⇒ p′)]
çift gerektirmesine aşağıdaki gerektirmelerden
hangisi ya da hangileri denktir?
bileşik önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir?
A) p ∨ q′
B) p′ ∧ q
I. " a ⋅ b tek değil ⇔ (a tek değil veya b tek değil)"
C) p ⇔ q′
II. “a ⋅ b çift ⇔ (a çift veya b çifttir.)”
E) p ⇔ q
D) 1
III. "(a ve b tek değil) ⇔ a ⋅ b tek değildir."
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
12.
A) r′ ∨ p
B) r′ ∧ q
D) r ∨ p′
16.
"ab tek ⇒ a tektir."
E) (p ∨ r′)′
gerektirmesinin karşıtı aşağıdakilerden hangisidir?
A) "ab tek değil ⇒ a tek değildir."
(p ∨ q) ⇒ r ≡ 0
A) r ∨ p
B) "a tek değil ⇒ ab tek değildir."
B) r′ ∧ q
D) (p ∨ q) ∧ r′
2.E
3.A
4.C
a ve b pozitif doğal sayıları için,
C) p′ ∨ q′
olduğuna göre aşağıdaki bileşik önermelerden
hangisinin doğruluk değeri daima 1 dir?
1.B
E) I, II ve III
(p ⇔ q′) ⇒ r ≡ 0
olduğuna göre aşağıdaki bileşik önermelerden
hangisinin doğruluk değeri daima 0 dır?
13.
C) Yalnız III
C) "ab tek ⇒ a tek değildir."
D) "a tek ⇒ ab tektir."
C) p′ ∧ r
E) "ab çift değil ⇒ a tektir.”
E) (p ∨ r′)′
5.B
6.C
7.B
8.A
9.E
10.B
11.D
12.E
13.D
14.D
15.D
9. SINIF MATEMATİK
16.D
37
Totoloji ve Çelişki
Mantık - Bölüm 01
TOTOLOJİ VE ÇELİŞKİ
TANIM
Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri TOTOLOBir bileşik önermeyi oluşturan basit önermelerin doğruluk
Jİ'dir?
değerleri ne olursa olsun, eğer bileşik önerme hep doğru
I. (p′ ∨ q)′ ⇔ (p ∧ q′)
ise o zaman bu bileşik önermeye totoloji ya da tüm geçerli önerme denir.
II. (p ∧ q′)′ ⇔ (p′ ∨ q)
Örneğin, p ∨ p′ bileşik önermesi p ne olursa olsun daima
III. p′ ⇒ p′
doğrudur. O halde p ∨ p′ bileşik önermesi TOTOLOJİ'dir.
A) Yalnız I
B) Yalnız II
E) I, II ve III
D) I ve II
TANIM
C) Yalnız III
Bir bileşik önermeyi oluşturan basit önermelerinin doğruluk değerleri ne olursa olsun, eğer bileşik önerme hep
yanlış ise o zaman bu bileşik önermeye çelişki ya da tüm
geçersiz önerme denir.
Örneğin, p ∧ p′ bileşik önermesi p ne olursa olsun daima
yanlıştır. O halde p ∧ p′ bileşik önermesi ÇELİŞKİ'dir.
Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri daima çelişkidir?
DNA 17
Aşağıdakilerden
I. (1 ∨ p) ⇔ (0 ∧ q′)
hangisi
ya
da
hangileri
TOTOLOJİ'dir?
II. (1 ∧ q′) ⇔ (q ∨ 0)
III. (p ∨ p′) ⇒ p′
I. (p ∨ q)′ ⇔ p′ ∧ q′
A) Yalnız I
B) Yalnız II
II. (p ∧ q)′ ⇔ p′ ∨ q′
D) I ve II
C) Yalnız III
E) I, II ve III
III. p ⇒ p′
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
E) I, II ve III
Çözüm
Daha önceki konulardan (p ∨ q)′ ≡ p′ ∧ q′ ile (p ∧ q)′ ≡ p′ ∨ q′
olduğunu biliyoruz. İki denk önerme aynı doğruluk değerine sahip olduklarından ancak ve ancak ile bağlandığında
daima doğru bir önerme olacaktır. O halde I ve II totolojidir. III şıkta ise p doğru iken p ⇒ p′ yanlış, p yanlış iken
p ⇒ p′ doğrudur. O zaman p ⇒ p′ totoloji değildir.
Doğru Seçenek D
Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri ne totoloji ne
de çelişkidir?
I. (p ∨ q) ⇔ (p′ ∧ q′)
II. (0 ∧ q) ⇔ (q′ ∨ 0)
III. (q ∨ p′) ⇒ (p′ ∧ q)
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
38
9. SINIF MATEMATİK
C) Yalnız III
E) II ve III
Açık Önermeler
Mantık - Bölüm 01
TANIM
Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri totolojidir?
ru ya da yanlış değer alabiliyorsa bu türden ifadelere açık
I. (p ⇒ q) ⇔ (p′ ⇒q′)
önerme denir. Nesnenin kendisine değişken adı verilir.
II. (p ⇒ q) ⇔ (q ′ ⇒ p′)
Örneğin, "x, etobur bir hayvandır." tümcesine açık öner-
III. (p ⇒ p′) ⇒ p′
A) Yalnız I
Eğer bir tümce, nesnenin değişken durumlarına göre doğ-
me denir. (Buraya dikkat! Önerme demiyoruz açık önerme
B) Yalnız II
D) II ve III
C) Yalnız III
E) I, II ve III
diyoruz.)
Önermeleri küçük harfle sembolize ediyorduk. Açık önermeler ise içerdikleri değişkenlere göre gösterilir.
Örneğin, "x + y çift tam sayıdır." açık önermesi p(x,y) ile
"x, asal sayıdır." önermesi p(x) ile gösterilir.
Kafanızın karışma olasılığına karşılık hemen bir önlem
Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri çelişkidir?
alarak bir örnek verelim. ☺
I. (p ∨ q) ⇔ (p′ ∧ q′)
p(x) : "x ∈ N, x, asal sayıdır." tek değişkenli bir açık öner-
II. (p ∧ 1) ⇔ (0 ⇒ p′)
medir.
III. (q ⇒ p′) ⇒ q′
Örneğin,
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
E) I, II ve III
AÇIK ÖNERMELER
Bir tümcenin önerme olabilmesi için o tümcenin ya doğru
ya da yanlış hüküm vermesi gerektiğini artık biliyoruz.
i)
x = 2 için p(2) : “2, asal sayıdır.” doğru bir önermedir.
ii) x = 1 için p(1) : “1, asal sayıdır.” yanlış bir önermedir.
TANIM
x değişkenlerinin kümesi A ve p(x) bir açık önerme olsun.
p(x) önermesini doğru yapan bütün x değerlerinin küme-
Aşağıdaki tümceleri incelediğimizde hangileri birer öner-
sine p(x) önermesinin doğruluk kümesi denir. Doğruluk
medir acaba?
kümesini D ile gösterirsek,
x, etobur bir hayvandır.
D = {x ∈ A: p(x) ≡ 1}
x, asal sayıdır.
O matematik öğretmenidir.
x + y çift tam sayıdır.
x ⋅ y = 0 dır.
ifadelerini incelediğimizde hiçbirinin bir önerme olmadığını söyleyebiliriz. Bir yargı belirtmesine karşın, yargının
doğru ya da yanlışlığı, o nesnenin şartı sağlayıp sağlamadığına bağlı. Eğer x etobur ise doğru, yoksa yanlış; x asal
DNA 18
p(x): “x ∈ N, x2 > 15”
açık önermesinin doğruluk kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
sayı ise doğru, değil ise yanlış; O matematik öğretmeni ise
A) {0, 1, 2, 3, ...}
B) {1, 2, 3, ...}
doğru, değil ise yanlış gibi.
C) {3, 4, 5, ...}
D) {4, 5, 6, ...}
Burada tümcenin nesnesine bağlı olarak doğru ya da yanlış olarak hüküm verdiğimize dikkat ettiniz mi?
E) {5, 6, 7, ...}
9. SINIF MATEMATİK
39
Niceleyiciler
Mantık - Bölüm 01
Niceleyiciler
Çözüm
Bir tümce içerisinde sık sık "her, bazı, hiçbir, en az" söz-
p(x) önermesini doğru yapan x ler karesi 15 den büyük
cükleriyle karşılaşırız. Bu sözcükler geçtikleri tümcede
olan doğal sayılardır.
çokluk (nicelik) belirten sözcüklerdir. Bu sözcüklere öner-
x = 1 için
p(1): “12 > 15”
Yanlış
x = 2 için
p(2): “22 > 15”
Yanlış
x = 3 için
p(3): “32 > 15”
Yanlış
x = 4 için
p(4): “42 > 15”
Doğru
menin niceleyicileri denir. Birkaç örnek verelim.
Her uçan kuş kanatlıdır.
Bazı tam sayılar 3'ün katıdır.
En az bir negatif tam sayı 2 ile tam bölünür.
Hiçbir gerçek sayının karesi negatif değildir.
4 ve 4 ten büyük doğal sayılar için p(x) önermesi doğru
olmaktadır.
Her asal sayı tektir.
Şimdi yukarıda niceleyiciler ile verilen bu ifadelere baka-
D = {4, 5, 6, ...}
lım. Acaba bu ifadelere önerme diyebilir miyiz? Bu soruya
Doğru Seçenek D
yanıtı vermeden önce önerme olma koşulunu tekrar hatırlayalım. Öncelikle ifade bir hüküm bildirmeliydi. Yukarıda
verilen her tümce hüküm bildirmektedir. İkinci olarak bu
hüküm ya doğru ya da yanlış olmalıydı. Tümcelere baktığımızda niceleyicilerin verilen kümeye göre ya doğru ya
da yanlış olduğunu görüyoruz. O halde bu ifadelerden her
biri birer önermedir.
p(x): “x ∈ Z, x2 < 10”
açık önermesinin doğruluk kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
Şimdi de bu türden önermelerin sembolik olarak nasıl ifade edileceğine bakalım.
p(x) açık bir önerme ve x'in ait olduğu kümede A olsun.
A) {0, 1, 2, 3}
"Her x eleman A için p(x) doğrudur." veya "Bütün x ele-
B) {1, 2, 3}
man A için p(x) doğrudur." veya "Tüm x eleman A için
p(x) doğrudur." önermesi sembolik olarak ∀x ∈ A, p(x) ile
C) {0, 1, 2, 3, 4}
gösterilir. Eğer x'in bulunduğu A kümesi belirli (bir başka
D) {–9, –8, –7, ..., 7, 8, 9}
deyişle A kümesini açıklamaya gerek yoksa) kısaca yukarıdaki önerme ∀x, p(x) ile gösterilir. Şimdi de "Bazı, en az"
E) {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}
niceleyecilere bakalım. Daha iyi anlaşılacağını düşündüğümüzden yine bir örnek verelim.
"Bazı tam sayılar 3'ün katıdır." önermesini sembolik olarak ∃x ∈ Z, x = 3 ⋅ k, k ∈ Z diye yazar ve "En az bir x
tam sayısı vardır ki 3'ün katıdır." diye okuruz. Bu durumda
en az bir, bazı, kimi,... niceleyicileri ∃ sembolü ile gösterip(x): “x ∈ N+, (x + 1) ⋅ (x – 2) ⋅ x ⋅ (x – 3) = 0”
açık önermesinin doğruluk kümesi aşağıdakilerden
kopyalara geçme vakti.
Önerme
hangisidir?
A) {–1, 0, 2, 3}
B) {0, 2, 3}
C) {2, 3}
D) {–3, –2, 0, 1}
E) {0, 1, 2, 3}
40
lir. Artık aşağıdaki örnekleri inceleyip sorulara ve genetik
9. SINIF MATEMATİK
Her insan ölümlüdür.
Sembolik ifadesi
∀x, x insanı ölümlüdür.
En az bir asal sayı çifttir.
∃x, x asal sayı çifttir.
Tüm kediler beyazdır.
∀x, x, kedisi beyazdır.
Bazı kuşlar uçmaz.
∃x, x, kuştur ve uçmaz.
Niceleyiciler
Mantık - Bölüm 01
Niceleyici ile verilen bir önermenin olumsuzu nasıl ifade
DNA 19
edilir? Şimdi bu soruya yanıt vermeye çalışalım.
Aşağıdakilerden hangisi "Bazı gerçek sayıların ka-
Bir açık önermede "her" niceleyicisinin olumsuzu (deği-
resi pozitiftir." önermesinin sembolik yazılışıdır?
li) "bazı (veya en az bir)" ve tersine "bazı" niceleyicisinin
A) ∀x ∈ R, x ≥ 0
B) ∃x ∈ R, x ≥ 0
olumsuzu "her"dir.
C) ∀x ∈ R, x > 0
D) ∀x ∈ R, x < 0
Burada olumsuzu alırken hangi duruma dikkat etmeliyiz?
Tabii ki önerme yanlış iken olumsuzunun doğru, doğru
E) ∃x ∈ R, x > 0
iken olumsuzunun yanlış olmasına dikkat etmeliyiz.
Örneğin, En az bir asal sayı çifttir. (∃x, x asal sayısı çifttir.)
Çözüm
önermesi doğru bir önermedir. Çünkü en azından 2 asal
Bazı dediğine göre sembolümüz "∃" gerçek sayı dediğine
sayı olup gerçekten çifttir.
göre kümemiz "R" ve pozitif dediğine göre eşitsizlik sem-
Olumsuzu ise yanlış önerme olmalıdır. O halde bu öner-
bolümüz ">" tür.
menin olumsuzu "Her asal sayı çift değildir. (Ya da her
asal sayı tektir." olmalıdır. Sembolik olarak yazmak isterDoğru Seçenek E
sek (∀x, x, asal sayısı tektir.)
DNA 20
Aşağıdakilerden hangisi "her geçel sayının karesi sı-
Aşağıdakilerden hangisi "Her gerçel sayının karesi
fırdır veya pozitiftir." önermesinin sembolik yazılışı-
negatif değildir." önermesinin olumsuzunun sem-
dır?
bolik yazılışıdır?
A) ∀x ∈ R, x2 ≤ 0
B) ∃x ∈ R, x2 ≥ 0
A) (∀x ∈ R, x2 ≥ 0)′ ≡ (∃x ∈ R, x2 < 0)
C) ∀x ∈ R, x2 ≥ 0
D) ∀x ∈ R, x2 < 0
B) (∃x ∈ R, x2 < 0)′ ≡ (∀x ∈ R, x2 ≥ 0)
E) ∀x ∈ R, x2 > 0
C) (∀x ∈ R, x2 < 0)′ ≡ (∃x ∈ R, x2 ≥ 0)
D) (∀x ∈ R, x2 ≥ 0)′ ≡ (∃x ∈ R, x2 > 0)
E) (∀x ∈ R, x2 < 0)′ ≡ (∃x ∈ R, x2 < 0)
Aşağıdakilerden hangisi "Karesi 4 olan tam sayılardan
Çözüm
biri –2 dir." önermesinin sembolik yazılışıdır?
"Her gerçek sayının karesi negatif değildir."in sembolik
A) ∃x ∈ R, x = –2 ⇒ x2 = 4
yazılışı (∀x ∈ R, x2 ≥ 0) dır. Olumsuzu her dediğine göre
B) ∃x ∈ Z, x = –2 ⇒ x2 = 4
bazı, x gerçek sayıları "negatif değildir."in olumsuzu ise
C) ∃x ∈ R, x = 2 ∨ x = –2 ⇒ x2 = 4
negatif olacağından ∃x ∈ R, x2 < 0 olur.
D) ∀x ∈ Z, x2 = 4 ⇒ x = –2
Doğru Seçenek A
E) ∃x ∈ Z, x2 = 4 ⇒ x = –2
9. SINIF MATEMATİK
41
Matematiksel İspat Yöntemleri
Mantık - Bölüm 01
TANIM
"Bazı insanlar ölümlü değildir." önermesinin olumsuzu
aşağıdakilerden hangisidir?
A) "Her insan canlıdır."
Bir teoremin öncül önermesinden yola çıkıp ikincil önermesinin doğru olduğunu göstermeye matematiksel ispat
denir. Öncül önermeye teoremin varsayımı (hipotezi)
ikincil önermeye (ispatlanacak olan kısma) ise teoremin
B) "Bazı insanlar ölümlüdür."
hükmü denir.
C) "Her insan ölümlüdür."
Örneğin, “İki çift sayının çarpımı çift sayıdır.” teoreminin
D) "Her canlı ölümlüdür."
varsayımını ve hükmünü belirtelim.
E) "Her insan ölümlü değildir."
Varsayım (p): “a ve b çift sayılardır.”
Hüküm
(q): “a ⋅ b çift sayıdır.”
Teorem
(p ⇒ q): “a ve b çift sayı ise a ⋅ b çift sayıdır.”
Buraya kadar mantık kurallarını öğrenmeye çalıştık. Bu-
Matematikte yoğun olarak kullanılan ispat yöntemleri aşa-
nun bize nasıl bir yararı olabilir? Gerçekten doğru düşün-
ğıdaki şemada gösterilmiştir.
cenin bize yararı var mıdır? Bu sorulara yanıtınızın ne olduğunu bilemiyoruz. Ama ister arkadaşlık sohbetlerinizde
İSPAT YÖNTEMLERİ
isterseniz bir olay karşınızdaki tutumlarınızda mantıklı demesek bile doğru tavır almayı istemişsiniz hatta bunun için
çaba göstermişsinizdir. Günlük hayatınızda tutarlı davran-
Tüme varım
Tümden gelim
maya olan eğiliminizin güçlü olduğunu söylemekle abartı
yaptığımızı sanmıyoruz.
Doğrudan İspat
Birazdan matematiğin mantık kurallarıyla nasıl birebir ve
Dolaylı İspat
iç içe olduğunun örneklerini göreceğiz.
MATEMATİKSEL İSPAT
Olmayana
Çelişki
Deneme
Aksine Örnek
Ergi Yöntemi
Yöntemi
Yöntemi
Vererek
ile İspat
ile İspat
ile İspat
ile İspat
Matematiksel ispatın ne demek olduğuna geçmeden önce
koşullu önermeyi hatırlayalım. İki önerme ise bağlacıyla
Biz burada doğrudan ispat ve dolaylı ispat yöntemlerini
bağlandığında bu önermeye koşullu önerme demiş ve ön-
göreceğiz. (Tüme varım yöntemi ile ispat yapabilmek için
cül önerme doğru iken sonuç önermesi yanlışsa koşullu
11. sınıfı beklemeniz gerekiyor. ☺)
önermenin yanlış olduğunu göstermiştik.
İspata gerek duyulmadan doğru olduğu kabul edilen bazı
önermeler vardır. Örneğin, “Düzlemde iki farklı noktadan
Doğrudan İspat Yöntemi
ancak ve ancak bir doğru geçer.” Öklit geometrisinde doğ-
p, önermesi doğru iken p ⇒ q koşullu önermesi de doğru
ru kabul edilen bir önermedir.
ise, q nun doğru olmak zorunda olduğunu biliyoruz. Doğrudan ispat yönteminin temelini işte bu kural oluşturur.
TANIM
Doğru olduğu kabul edilen önermelere aksiyom denir.
TANIM
Bir başka deyişle, doğrudan ispat yöntemi p ⇒ q gerektirmesini ispatlamaktır.
O halde, bir teoremin varsayımı olan önermeyi p, hükmü
olan önermeyi q ile gösterirsek, teoremi doğrudan ispat
yöntemiyle ispatlamak, p ⇒ q gerektirmesinin doğru oldu-
Bir koşullu önermede öncül önerme (veya önermeler)
ğunu göstermek demektir.
doğru ve sonuç (ikincil) önerme de doğru ise bu önerme-
Aşağıdaki teoremi doğrudan ispat yöntemi ile ispatlaya-
ye teorem denir.
lım.
42
9. SINIF MATEMATİK
Matematiksel İspat Yöntemleri
Mantık - Bölüm 01
Teorem: a ve b tek tam sayı ise a ⋅ b tek tam sayıdır.
q′ : “n tek değildir.”
İspat:
p′ : “n3 + n2 tek değildir.”
Önce teoremin varsayımını ve hükmünü belirleyelim.
Varsayım
(p) : “a ve b tek tam sayıdır.”
Hüküm
(q) : “a ⋅ b tek tam sayıdır.”
Buna göre,
n tek değil ise n3 + n2 tek değildir.
q′
⇒
p′
Biz p nin doğru olmasından yola çıkıp q nun doğru oldu-
q′ önermesi doğru olsun. n tek olmadığına göre çifttir. O
ğunu ispatlayacağız.
halde n = 2 ⋅ k olacak biçimde bir k tam sayısı vardır.
a ve b tek sayı ise ∃k, m ∈ Z vardır ki
n3 + n2 ifadesinin tek olmadığını göstermek istiyoruz.
n3 + n2 = (2k)3 +(2k)2 = 8k3 + 4k2
a = 2k + 1 ve b = 2m + 1 dir.
a ⋅ b = (2k + 1) ⋅ (2m + 1) = 4 ⋅ mk + 2m + 2k + 1
= 2(2mk + m + k) + 1
2mk + m + k = n dersek n ∈ Z olur ki a ⋅ b = 2n + 1 de tek
sayıdır, yani q önermesi doğrudur.
çift
çift
8k3 ve 4k2 sayıları çift olduğundan 8k3 + 4k2 toplamı, yani
n3 + n2 ifadesi çifttir. Göstermek istediğimiz de buydu zaten ☺.
Böylece ispat tamamlanır.
Dolaylı İspat Yöntemleri
Olmayana Ergi Yöntemi
Bir teoremi olmayana ergi yöntemiyle ispatlarken, teore-
Dolaylı İspat
min varsayımının (p nin) ve hükmünün değilinin (q′ nün)
Daha önce gördüğümüz ve ispatladığımız bir denkliği ha-
doğruluğu kabul edilir. Böylece p ∧ q′ önermesinin doğru
tırlayalım.
olduğu düşünülmüş olur. Bu kabul, doğruluğu bilinen bir
p ⇒ q ile q′ ⇒ p′ önermelerinin denk olduğunu biliyoruz.
Bundan dolayı, ispat yaparken p ⇒ q olduğunu göstermek
yerine q′ ⇒ p′ olduğunu gösterirsek de ispatımız geçerlidir.
Bu biçimde yapılan ispata dolaylı ispat denir. Buna göre,
önerme ya da teoremin varsayımı ile çelişiyorsa, bu durum p nin doğruluğu ile birlikte q′ nün doğruluğunu varsaymanın olanaksız olduğunu gösterir. O halde, p doğru
iken q′ yanlış, yani q doğru olmalıdır. Bu ispat yöntemine
olmayana ergi yöntemiyle ispat denir.
dolaylı ispat yöntemi kullanılırken hükmün değili doğru kabul edilir, varsayımın değilinin doğru olduğu gösterilir.
Şimdi matematiğin en güzel teoremlerinden birini bu yöntemle ispatlayalım.
Aşağıdaki teoremi dolaylı ispat yöntemi ile ispatlayalım.
Teorem: Sonsuz sayıda asal sayı vardır.
Teorem: Her n tam sayısı için,
İspat: Sonlu sayıda asal sayının var olduğunu kabul eden3 + n2 tek ise n tektir.
İspat:
n ∈ Z olsun. Önce teoremin varsayımını ve hükmünü belirleyelim.
en büyük bir asal sayı vardır. Bu asal sayıya Pn diyelim.
Pn den küçük asal sayılarda P1, P2, P3, ..., Pn–1 olsun. Pn
ye kadar olan tüm asal sayıları çarpalım ve 1 ilave edelim.
Varsayım
(p): “n3 + n2 tektir.”
Hüküm
(q): “n tektir.”
p ⇒ q olduğunu göstermek yerine q′ ⇒ p′ olduğunu göstereceğiz.
lim (İspat etmek istediğimiz kısmın değilini doğru olarak
kabul ettik. Amacımız bir çelişki yakalamak). Buna göre,
Bu yeni sayıya Q diyelim. Q sayısı Pn den daha büyüktür.
Q sayısı P1, P2, P3, ..., Pn asal sayılarından hiçbirinin tam
katı değildir. Çünkü her biri ile bölümünden kalan 1 dir. Bu
ise Pn nin en büyük olmasıyla çelişir. O halde en büyük
asal sayı yoktur. ☺
9. SINIF MATEMATİK
43
Matematiksel İspat Yöntemleri
Mantık - Bölüm 01
DNA 21
"Bir doğruya dışındaki bir noktadan bir ve yalnız bir
"x2 < x ⇔ 0 < x < 1"
dik doğru çizilebilir." teoremini olmayana ergi yönte-
teoremini olmayan ergi yöntemiyle yanıtlayınız.
miyle ispatlayınız.
(Önce gerek şart olan "x2 < x ⇒ 0 < x < 1" sonra da yeter
şart olan "0 < x < 1 ⇒ x2 < x" önermelerini kanıtlayınız.
Çözüm
Deneme Yöntemi İle İspat
p : “k, A noktasından geçen ve verilen bir d doğrusuna dik
olan doğrudur.”
x değişkenlerinin kümesi A olmak üzere, p(x) bir açık
önerme olsun. A kümesindeki her x için p(x) in doğruluğu
q : “k doğrusu biriciktir.” (bir ve yalnız bir tanedir ☺) öner-
denenerek, yani x yerine değeri yazılarak p(x) in doğru
melerimizdir.
olduğu gösterilerek ispat yapılabilir. Bu biçimde yapılan
q′ : “k doğrusu biricik değildir.” doğru olsun. O zaman
ispata deneme yöntemi ile ispat denir.
A dan geçen bir başka doğru vardır. Bu doğruya m diye-
Aşağıdaki teoremi deneme yöntemi ile ispatlayalım.
lim.
Teorem:
A = {1, 2, 3}
kümesi verilsin.
A
“Her x ∈ A için x2 < x + 7”
önermesinin doğruluğunu ispatlayınız.
B
(d doðrusu)
N
k
m
A dan geçen bu iki doğru d doğrusunu B ve N gibi iki
İspat:
A kümesinde her x için p(x) in doğru olduğunu deneyerek
gösterelim.
x = 1 için p(1) : “12 < 1 + 7” Doğru
noktada kessin. A, N, B doğrusal olmadığından ANB bir
x = 2 için p(2) : “22 < 2 + 7” Doğru
üçgendir. Her iki doğru da (k ile m) d doğrusuyla dik açı
x = 3 için p(3) : “32 < 3 + 7” Doğru
yaptığından ve ANB üçgeninin iç açılarından iki açısı dik
Buna göre, her x ∈ A için x2 < x + 7 dir.
açı olamayacağından kabulümüz olan q′: “k doğrusu biricik değildir.” yanlıştır.
Böylelikle ispat tamamlanır.
Aksine Örnek Vererek İspat
x değişkenlerinin kümesi A olmak üzere, p(x) bir açık
önerme olsun. Bazen p(x) açık önermesinin doğruluğunu
değil de yanlışlığını göstermemiz gerekir. Bu durumda A
kümesinde p(x) açık önermesini yanlış yapan bir x varsa
p(x) önermesinin yanlış olduğu gösterilmiş olur. Buna aksine örnek vererek ispat denir.
Örneğin,
"Bir üçgenin iki iç açısının toplamı kendilerine komşu olmayan bir dış açının ölçüsüne eşittir." teoremini olmayan
ergi yöntemiyle yanıtlayınız.
44
9. SINIF MATEMATİK
“Her asal sayı tek sayıdır.”
önermesi yanlıştır. Çünkü 2 sayısı asal olmasına rağmen
tek sayı değildir.
Mantık
Mantık - Bölüm 01
5.
TEST - 4
1.
A) “Üç basamaklı en küçük doğal sayı 100 dür.”
Aşağıdaki cümlelerden hangisi veya hangileri birer önermedir?
B) “En büyük doğal sayı 1 dir.”
I. “Amerika'nın başkenti Newyork'tur.”
C) “En küçük pozitif tam sayı 1 dir.”
II. “İzmir, Türkiye'nin en büyük olan şehridir.”
D) “Üç basamaklı, rakamları farklı en küçük pozitif
doğal sayı 102 dir.”
III. “Sen daha gitmedin mi?”
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
2.
E) “1 ⋅ 2 – 5 ⋅ 7”
C) Yalnız III
E) I ve II
Aşağıdaki cümlelerden hangisi veya hangileri birer önerme değildir?
6.
B) “Pencereyi aç!”
mıdır.”
C) “Hangi sayı 8 den küçüktür?”
II. “11 asal sayıdır.”
D) “Dün nereye gittin?”
III. “Sen iyi misin?”
A) Yalnız I
E) “Karaköy, Türkiye'de bir şehirdir.”
B) Yalnız II
D) II ve III
C) Yalnız III
E) I ve III
7.
Aşağıdaki cümlelerden hangisi veya hangileri
doğru önermedir?
B) “Yeteri kadar yedin mi?”
C) “Hangi iki sayının çarpımı 15 tir?”
II. “İzmir Ege Bölgesi'ndedir.”
D) “1 ⋅ 2 + 3 ⋅ 4 + 5 ⋅ 6 = 34”
III. “3 ⋅ 8 + 5 = 29”
A) Yalnız I
Aşağıdaki cümlelerden hangisi bir önermedir?
A) “En sevdiğin TV dizisi hangisi?”
I. “Sevgi en büyük erdem midir?”
B) Yalnız II
D) II ve III
4.
Aşağıdaki cümlelerden hangisi bir önermedir?
A) “Dikkat et!”
I. “Galatasaray UEFA kupasını alan tek Türk takı-
3.
Aşağıdaki cümlelerden hangisi bir önerme değildir?
E) “Dün tiyatroya gittin mi?”
C) Yalnız III
E) I ve III
Aşağıdaki cümlelerden hangisi veya hangileri
yanlış önermedir?
8.
Aşağıdaki cümlelerden hangisi "Dünya'nın tek uydusu Ay'dır." önermesinin olumsuzudur?
I. “Bir yılda 12 ay vardır.”
A) "Dünya'nın birden fazla uydusu vardır."
II. “12 sayısı, 3 sayısından büyüktür.”
B) “Dünya'nın Ay'dan başka uyduları vardır."
III. “2 – 3 ⋅ 5 = –5”
C) "Dünya'nın birden fazla uydusu yoktur."
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve III
C) Yalnız III
E) II ve III
D) "Ay, Dünya'nın uydularından biri değildir."
E) "Dünya'nın tek uydusu Ay değildir."
9. SINIF MATEMATİK
45
Mantık
9.
Mantık - Bölüm 01
12.
Aşağıdaki cümlelerden hangisi "Bugün günlerden
Çarşambadır." önermesinin olumsuzudur?
Aşağıdaki önermelerden hangisinin değili (olumsuzu) yanlış önermedir?
A) "Bugün günlerden Pazartesi'dir."
I. “1001 dört basamaklı asal sayıdır.”
B) "Çarşamba haftanın bir günü değildir."
II. “ 1 − 2 ≥ 0 ”
C) "Bugün günlerden Çarşamba değildir."
III. “6 sayısını bölen en büyük çift doğal sayı 2 dir.”
D) "Bir hafta yedi gün değildir."
IV. “İki tek doğal sayının çarpımı çifttir.”
E) "Bugün günlerden Perşembe'dir."
V. “En küçük iki basamaklı tam sayı –99'dur.”
A) I
13.
B) II
C) III
D) IV
E) V
Aşağıdaki önermelerden hangisinin değili (olumsuzu) daima doğru bir önermedir?
A) “Bir dörtgenin dış açılar toplamı 360° dir.”
10.
Aşağıda verilen denkliklerden hangisi ya da hangileri daima doğrudur?
B) “7 – 7 ⋅ 3 = 0”
C) “5 + 5 ⋅ 2 = 15”
I. (p′)′ ≡ 1
D) “1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45”
II. 0′ ≡ 1
E) “Düzlemde paralel doğrulardan birini kesen bir
III. p : “3 < 8” önermesi için p′ : “3 ≥ 8”
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
doğru, diğer doğruyu da keser.”
C) Yalnız III
E) I ve III
14.
Doğruluk değeri aynı olan önermelere .....................
........... denir.
Yukarıda verilen tanımda boş bırakılan yere hangi sözcük yazılmalıdır?
11.
A) benzeştir
B) aynı önermeler
C) denk önermeler
D) eşit önermeler
Aşağıdaki önermelerden hangisi veya hangilerinin olumsuzları doğru olarak verilmiştir?
E) olumsuz önermeler
I. p : “Türkiye'nin en kalabalık şehri İzmir'dir.”
15.
p′ : “Türkiye'nin en kalabalık şehri İzmir değildir.”
II. “q : –5 > 2”
Yukarıda verilen tanımda boş bırakılan yere hangi sözcük yazılmalıdır?
“q′ : –5 < 2”
III. r : “Bir hafta 7 gündür.”
r′ : “Bir hafta 7 gün değildir.”
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
1.E
46
2.C
3.D
9. SINIF MATEMATİK
Doğruluk değeri 1 olan bileşik önermelere ...............
................ denir.
C) Yalnız III
A) totoloji
B) çelişki
C) denk önermeler
D) eşit önermeler
E) I ve III
4.C
5.E
6.E
E) olumlu önermeler
7.D
8.E
9.C
10.D
11.E
12.E
13.B
14.C
15.A
Mantık
Mantık - Bölüm 01
5.
TEST - 5
[(1 ∨ 0)′ ∧ 1]′ ∧ [(0 ∨ 1) ∨ p]
ifadesinin denki aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0
1.
B) 1
C) p
E) p ∧ 0
D) p
(x = –2) ⇒ (x2 = 4)
koşullu önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x2 ≠ 4 ⇒ x ≠ –2
B) x2 ≠ 4 ⇒ x = –2
C) x ≠ –2 ⇒ x2 ≠ 4
D) x ≠ –2 ⇒ x2 ≠ 4
E) x = –2 ⇒ x2 ≠ 4
6.
(p ⇒ q) ∧ (p′ ⇒ q)
ifadesinin denki aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
2.
B) 0
C) p
D) q
E) p′
q′ ∨ (q ∧ p′)
önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?
A) p
C) (p ∨ q)′
B) q
D) p ∧ q
E) p ∧ q′
7.
(p′ ∧ q′) ∧ (r ⇒ s′)′ ≡ 1
ise aşağıdaki önermelerden hangisi doğrudur?
3.
(p′ ∧ q)′ ≡ 0
A) p ⇔ q′
B) p ⇒ q
C) (p ⇒ q)′ ∧ r
D) (p ⇔ q)′ ∧ s
olduğuna göre, aşağıdaki önermelerden hangisi
yanlış olur?
A) p′ ∧ q
B) q ∧ (p′ ∨ q)
D) q′ ⇒ q
4.
E) (p ⇒ q′) ⇔ q
C) p ∨ q
E) (p ⇒ q)′
8.
(p ⇒ r)′ ∨ r
(p ⇒ q)′ ∨ (q ∨ p′)
önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?
önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir?
A) p ∧ r
A) 1
B) p′ ∧ r
D) p ∨ r
C) p∨ r′
E) p′ ∧ r′
B) p
D) p ⇒ q
C) q
E) p′ ⇒ q
9. SINIF MATEMATİK
47
Mantık
Mantık - Bölüm 01
9.
12.
p : "İbrahim’in boyu 188 cm dir."
(p ∧ q)′ ∧ q ≡ 1
q : "Deniz uyuyor."
ise aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
r : "Sultan matematikten 90 aldı."
A) q ⇒ p
B) (p ∨ q) ∧ p
C) (q′ ∨ p) ∧ p
D) (p′ ∨ q) ∧ q
önermeleri veriliyor.
"İbrahim’in boyu 188 cm olmadığından Deniz uyumuyor ve Sultan matematikten 90 almadı."
E) (p′ ∧ q′) ∧ p
ifadesinin p, q, r önermeleri ile ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) p ⇒ (q ∧ r′)
B) p′ ⇒ (q ∨ r)′
C) p ∧ (q ∨ r)′
D) p ∨ (q ∧ r)′
13.
E) p ⇒ (q ∧ r)′
x ~ y önermesi, önermeler aynı değerli iken yanlış,
farklı değerli iken doğru olarak tanımlanmış olsun.
(p′ ~ q) ∨ 0 ≡ 1
ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi daima
doğrudur?
I. p ∧ q ≡ 1
II. p ∨ q ≡ 0
III. p ⇔ q ≡ 1
10.
x tam sayısı için,
IV. p′ ∨ q ≡ 0
5x + 6 ≠ 36
V. p ⇒ q
önermesini yanlışlayan x aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
E) 8
14.
p : "∃x ∈ R için 2x çift sayı değildir.”
q : "π > 3”
r : “1 litre 1 dm3 tür.”
11.
Yukarıda verilen önermeler için aşağıdaki bileşik
önermelerden hangisi yanlıştır?
p ⇒ (q ∨ r′) ≡ 0
ise aşağıdaki önermelerden hangisi doğrudur?
A) p ∧ q
B) r ∧ q
D) p ⇒ q
1.B
48
2.C
3.E
9. SINIF MATEMATİK
C) r ⇒ q
A) (p ⇒ q) ∨ r′
B) (p ⇔ r) ∨ p
C) (p ∨ q) ∨ r′
D) (q′ ⇒ p) ∨ p
E) q′ ∨ r
4.D
5.B
E) (p′ ∧ q′) ⇔ (p ∧ q)
6.D
7.B
8.A
9.B
10.C
11.E
12.D
13.B
14.E
KÜME KAVRAMI
KÜMELER - BÖLÜM 02
GİRİŞ
DNA 1
Matematiğin genel kuramlarından biri hatta en önemlisi
Aşağıdaki ifadelerden hangisi ya da hangileri bir
kümeler kuramıdır. Matematiğin sadece sayıların bilimi
küme belirtir?
olduğunu iddia etmek matematiğe yapılabilecek en büyük haksızlıktır. Sayılar, matematiğin ancak bir bölümünü
I. "3'ten büyük tamsayılar"
oluşturur, tamamını değil.
II. "Boyu 165 cm den uzun olan insanlar"
Bugün uygulama alanı en fazla olan bilim dalı matema-
III. "Şişman insanlar"
tiktir. İnanmayacaksınız belki ama mühendislik, sosyoloji,
psikoloji, tıp, fizik, hukuk, işletme gibi birçok alanda matematik kullanılır.
IV. "Doğum günü 29 Mart olan T.C vatandaşları"
A) Yalnız I
Kümeler kuramı matematiğin en önemli dallarından biridir
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
E) I, II ve IV
dedik. Bu bölümde çok ayrıntıya girmeyerek kümeler kuramını anlatmaya çalışacağız.
Öncelikle kümenin tanımsız bir kavram olduğunu söylemekle başlayalım. Bu hayret edilecek bir şey olsa da
doğrudur. Günümüze kadar her kim kümeyi tanımlamaya
kalksa bir çelişkiyle karşılaşmıştır. Oysa matematikçiler
çelişkiyi sevmezler. Sevmezin ötesinde çelişkinin yanlış
düşünme biçiminden kaynaklandığını söylerler. Biz bugün küme kavramını sezgiye dayalı biliyoruz. Kümenin
Çözüm
"3'ten büyük tamsayılar" cümlesinde anlatılan nesnelerin
niteliği apaçık olup iyi tanımlanmış olduğundan kümedir.
"Boyu 165 cm den uzun olan insanlar." ifadesinde anlatılan nesnelerin niteliği yine apaçık olup iyi tanımlanmış
olduğundan kümedir.
gerçekte ne olduğunu tanımlayamasak da, ne olmadığını
"Doğum günü 29 Mart olan T.C vatandaşları” tabii ki iyi
biliyoruz. Örneğin, sınıfımızdaki uzun boylu öğrencilerin
tanımlanmış nesnelerdir. Bu yüzden küme belirtir.
kümesi dersek, bu göreceli bir kavramdır. Kime ve neye
Şişmanlık göreceli bir kavram olduğu için “şişman insan-
göre uzun? Bu yüzden bu bir küme olamaz. Oysa sınıfı-
lar” bir küme belirtmez.
mızdaki 160 cm den uzun boylu olan öğrencilerin kümeDoğru Seçenek E
si dersek bu gerçekten bir küme olur. Çünkü bu kümeye
dahil olabilmek için boyunuzun 160 cm den fazla olması
gerekir. Bu durumda kümeyi oluşturan nesnelerin apaçık
bir veya birkaç özelliğinin olması gerekir. Bir başka deyişle
nesnelerin iyi tanımlanmış olması gerekir.
Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri bir küme belirtmez?
Uyarı
I. "0 ile 1 arasındaki rasyonel sayılar"
II. "Sınıfımızdaki yakışıklı erkekler"
Küme kavramı her ne kadar tanımsız olsa da, “küme”
denildiği zaman, iyi tanımlanmış, nesnelerin bir topluluğu anlaşılacaktır.
III. "Şiir yazan matematik öğretmenleri"
B) Yalnız II
A) Yalnız I
D) I ve II
C) Yalnız III
E) I ve III
9. SINIF MATEMATİK
49
Kümelerin Gösterimi
Kümeler - Bölüm 02
(i) Liste ile Gösterim:
Bir kümenin elemanları, aralarına virgül konularak istenen
Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri bir kümenin
nesneleridir?
sırada “{“ ve “}” sembollerinin arasında yazılır.
“Onluk sayma sistemimizdeki rakamlar” kümesinin,
I. "5 ile tam bölünen tamsayılar"
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
II. "Çift tamsayılar"
ile gösterimi liste ile gösterime bir örnektir.
III. "Matematik öğretmenleri"
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
E) I, II ve III
(ii) Ortak Özelik ile Gösterim:
Bir kümenin eleman sayısının çok fazla olması durumunda, liste ile gösterim tahmin edeceğiniz gibi kullanışsız olmaktadır. Örneğin, üç basamaklı doğal sayıların kümesini
liste ile göstermek hiç de akıl kârı değildir. Bu kümenin
Not
elemanlarının sahip olduğu ortak özelik; üç basamaklı do-
Kümeler genelde büyük harflerle ifade edilir. (“Neden?”
diyeceksiniz. Bilmem, öyle gösterelim demiş Cantor)
ğal sayı olmalarıdır. Bunu temel alarak, bu kümeyi ortak
özelik ile aşağıdaki gibi gösterebiliriz.
{x| x üç basamaklı bir doğal sayı} veya
{x| 100 ≤ x < 1000, x ∈ N}
TANIM
Eğer bir a nesnesi bir A kümesine ait ise, a ya A nın bir
elemanı denir ve
kolayca farkedeceğiniz gibi, aynı kümeleri ortak özelik ile
birden fazla şekilde gösterebiliriz.
a∈A
biçiminde gösterilir.
(iii) Venn Şeması ile Gösterim:
Örneğin, iki basamaklı doğal sayıların kümesini A ile gösterirsek;
Bir kümenin elemanlarını düzlemde kapalı bir bölgede, “•”
ve • nın yanına da elemanın adını yazmak suretiyle yapı-
12 ∈ A,
98 ∈ A
124 ∉ A,
–14 ∉ A
lan gösterimdir.
Bu gösterim küme işlemleri ve bazı küme problemlerinin
dır.
çözümünde kolaylık sağlamaktadır.
KÜMELERİN GÖSTERİMİ
{a, b, c, d} kümesini Venn şeması ile aşağıdaki şekillerde
Kümelerin gösterimi,
(i)
Liste ile gösterim
(ii)
Ortak özelik ile gösterim
gösterebiliriz.
a
(iii) Venn şeması ile gösterim
c
olmak üzere, üç değişik biçimde yapılabilir.
50
9. SINIF MATEMATİK
b
d
a
b
c
d
a
c
b
d
Boş Küme, Denk Kümeler, Eşit Kümeler
Kümeler - Bölüm 02
TANIM
Örneğin;
A = {0, 1, 2, 3, 4} ve B = {x| x < 5 ve x ∈ N}
Bir kümenin elemanları doğal sayılar ile birebir eşlenebiliyor ve bu küme sonlu sayıda elemana sahip ise bu küme-
için A = B dir.
nin eleman sayısı s(A) ile gösterilir.
Gerçekten de, B kümesi 5 ten küçük olan doğal sayıların
Örneğin;
kümesi olduğundan, B = {0, 1, 2, 3, 4} tür.
A = {1, 3, 7, 15} kümesi için, s(A) = 4;
B = {a, b} için s(B) = 2 dir.
TANIM
DNA 2
A
0
Eleman sayısı sıfır olan kümeye boş küme denir. Boş
1
küme ∅ veya { } ile gösterilir. Örneğin –2 den küçük doğal
2
B = {x| x £ 2, x Î N}
C = {a, b, c}
sayıların kümesinin eleman sayısı sıfırdır. Bu koşulu sağlayan hiçbir doğal sayı yoktur.
kümeleri için aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
Uyarı
{∅} ve {0} şeklinde gösterilen kümeler boş küme değildir. İki kümenin de eleman sayısı 1 dir.
I. A ≡ B
II. A ≡ C
III. A = B
A) Yalnız I
B) I ve II
D) II ve III
C) I ve III
E) I, II ve III
TANIM
Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.
Çözüm
A ve B denk kümeler ise, bu durum A ≡ B biçiminde gösterilir.
Her üç kümeyi de liste ile gösterelim:
Örneğin;
A = {0, 1, 2},
s(A) = 3
A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c} kümeleri için,
B = {0, 1, 2},
s(B) = 3
s(A) = 3 = s(B) olduğundan, A ≡ B dir.
C = {a, b, c},
s(C) = 3
s(A) = s(B) = s(C) olduğundan, A ≡ B ≡ C dir.
TANIM
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir.
Eşit kümelerin aynı zamanda denk küme olduğu açıktır.
Yani, (I) ve (II) doğrudur.
A = B olduğu zaten âşikâr. Yani, III de doğrudur.
Doğru Seçenek E
Fakat, denk kümeler eşit olmak zorunda değildir.
9. SINIF MATEMATİK
51
Alt Küme, Öz Alt Küme
Kümeler - Bölüm 02
4
A = {x| 1 ≤ x < 4, x ∈ R}
1
b
B = {1, 2, 3}
c
a
A
3
2
B
C = {x| x, 6 nın bir pozitif böleni}
D = {x| 10 ≤ x ≤ 12, x ∈ Z}
Örneğin;
kümeleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
B = {a, b, c, 1, 2, 3, 4} A = {a, 1, 3} olsun.
A) A ≡ B
A nın her elemanı B nin de elemanı olduğundan A ⊂ B
B) A ≡ C
C) B = C
D) B ≡ D
E) C ≡ D
dir.
Şimdi, C = {1, 2, 3} kümesinin bütün alt kümelerini yazalım:
∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
Artık alt küme kavramını öğrendiğimize göre, aşağıdaki
IŞIK’ı verebiliriz.
Aşağıda verilen küme ikililerinden hangisi denktir?
A)
{x| x bir rakam}
{x| x < 10, x ∈ Z+}
B)
Işık 1
{x| 4 ≤ x ≤ 10, x ∈ N}
{x| –6 ≤ x ≤ 0, x ∈ Z}
C)
D)
{x| x iki basamaklı bir doğal sayı}
(i)
∅ ⊂ A (Boş küme her kümenin bir alt kümesidir.)
(ii)
A ⊂ A (Her küme kendisinin bir alt kümesidir.)
{x| 1 < x < 91, x ∈ N}
(iii) A ⊂ B ve B ⊂ A ⇔ A = B dir.
{x| 4 ≤ x ≤ 10, x ∈ N}
(iv) A ⊂ B ve B ⊂ C ⇒ A ⊂ C dir.
{a, b, 1, c, 2, d}
E)
a
d
b
c
Not
1
2
3
(i) ve (ii) den, ∅ ⊂ ∅ olduğunu kendiniz elde edebilirsiniz.
TANIM
TANIM
Bir A kümesi, bir B kümesinin bir alt kümesi olsun. Bu du-
A ve B iki küme olsun. A kümesinin her elemanı B küme-
rum, A ⊂ B biçiminde gösterildiği gibi, B ⊃ A biçiminde de
sinin de bir elemanı ise A kümesine B kümesinin bir alt
gösterilir.
kümesi denir ve A ⊂ B ile gösterilir. Bu durumu bir de
Venn şemasıyla ifade edelim.
52
9. SINIF MATEMATİK
B ⊃ A ifadesi; “B kümesi A kümesini kapsar.” anlamına
gelir.
Kümeler - Bölüm 02
Alt Küme, Öz Alt Küme
Yani, “A kümesi B kümesinin alt kümesi” ile “B kümesi A
kümesini kapsar.” ifadeleri aynı anlamdadır.
A⊂B ⇔ B⊃A
A, B ve C birer küme olup, s(A) > 4 tür.
A ⊂ B ⊂ C olduğuna göre, s(C) en az kaç olabilir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
DNA 3
A, B ve C boştan farklı birer küme olduğuna göre,
aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?
A)
A ⊂ B ve B ⊂ C ⇒ C ⊃ A dır.
B)
A ⊂ B ve B ⊂ A ⇔ A = B dir.
C)
∅⊂∅
D)
A⊂A
E)
∅⊃A
DNA 4
A = {1, {a}, {1, 2}}
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) 1 ∈ A
B) {1} ⊂ A
D) {a} ∈ A
C) a ∈ A
E) {1, 2} ∈ A
Çözüm
Çözüm
IŞIK 1’den,
A, B, C ve D seçeneklerinde verilen önermelerin doğru
olduğunu biliyoruz.
A kümesinin elemanlarının 1, {a} ve {1, 2} olduğu açıktır.
Dolayısıyla;
E seçeneğindeki ∅ ⊃ A önermesi yanlıştır.
1 ∈ A, {a} ∈ A, {1, 2} ∈ A
Doğru Seçenek E
önermeleri doğrudur.
A nın bir veya birden çok elemanını küme parantezi içerisinde yazarsak, A nın bir alt kümesini elde ederiz.
Yani;
{1} ⊂ A, {{a}} ⊂ A, {{1, 2}} ⊂ A,
{1, {a}} ⊂ A, {{a}, {1, 2}} ⊂ A, ...
A, B ve C boştan farklı birer kümedir.
? C dir.”
? C ⇒ A ...
? B ve B ...
“A ...
önermelerinin tümü doğrudur.
önermesi doğru olduğuna göre, “?” olan yerlere sıra-
C seçeneğinde verilen a ∈ A önermesi yanlıştır.
sıyla aşağıdakilerden hangileri getirilemez?
A) ⊂, ⊂, ⊂
B) ⊃, ⊃, ⊃
D) ⊂, ⊃, ⊂
C) =, ≡, ≡
Doğru Seçenek C
E) ⊂, =, ⊂
9. SINIF MATEMATİK
53
Alt Küme, Öz Alt Küme
Kümeler - Bölüm 02
Acaba n elemanlı bir kümenin kaç alt kümesi var?
Bu soruyu yanıtlamadan önce çarparak saymanın kuralını
bir hatırlayalım. Bunu bir örnekle açıklayalım. Diyelim ki
A = {a, {a}, ∅}
bir para attınız kaç değişik durum oluşur? Elbette ki ya
olduğuna göre, aşağıdaki önermelerden hangisi yan-
yazı ya da tura olmak üzere iki değişik durum vardır. Peki
lıştır?
ya bir parayı iki kez atsaydık?
A) {a} ∈ A
B) {a} ⊂ A
C) ∅ ⊂ A
değişik biçimde oluşurdu. Sonuç olarak 1. atışta 2 durum,
E) { } ∈ A
D) {∅} ⊂ A
(Yazı, Yazı), (Yazı, Tura), (Tura, Yazı), (Tura, Tura) dört
2. atışta 2 durum, ..., n. atışta 2 durum olacağından para
eğer n kere atılırsa 2n değişik durumla karşılaşırız. Diyeceksiniz ki bunun bir kümenin alt kümelerinin sayısı ile ne
ilgisi var?
A = {a1, a2, ..., an}
kümesi n elemanlı bir küme olsun.
A kümesinin tüm alt kümelerini sayacağız. Diyelim ki bir
alt küme seçtik. a1 elemanı ya o kümede ya da yok. Yani
A = {1, 2, {1}, {2}, {1, 2}}
a1 elemanı için iki seçenek var. Aynı şekilde a2 için de 2
olduğuna göre, aşağıdaki önermelerden kaç tanesi
seçenek, a3 için de öyle.
doğrudur?
Bu durumda A nın tüm alt kümelerin sayısı
I. 1 ∈ A
2 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 2 = 2n
II. {1, 2} ⊂ A
olacaktır. ☺
III. {1, {1}} ⊂ A
Bu hiç aklımızdan çıkarmamamız gereken bir Hazine’dir.
IV. {1, 2} ∈ A
V. {2, {2}} ∈ A
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Hazine 1
n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı
2n
dir.
TANIM
DNA 5
Bir kümenin kendisi hariç her alt kümesine o kümenin öz
alt kümesi denir.
Bir A kümesinin alt kümelerinin sayısı ile bir B küme-
Örneğin;
sinin alt kümelerinin sayısı çarpıldığında sonuç 64
A = {1, 2, 3} kümesinin bütün öz alt kümeleri,
∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}
oluyor.
Buna göre, A ve B kümelerinin eleman sayılarının
tür.
toplamı kaçtır?
{1, 2, 3} kümesi, A nın bir öz alt kümesi değildir.
A) 4
54
9. SINIF MATEMATİK
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Kümeler - Bölüm 02
Alt Küme, Öz Alt Küme
Çözüm
DNA 6
s(A) = m ve s(B) = n olsun.
Bir kümenin eleman sayısını 2 artırdığımızda alt küme
Hazine 1’den, A nın alt kümelerinin sayısının
alt kümelerinin sayısının
2n
2m
ve B nin
olacağını biliyoruz.
sayısında 24 artma oluyor.
Buna göre, bu kümenin eleman sayısı kaçtır?
Şimdi 8. sınıftan bir Hatırlatma verelim.
A) 3
Hatırlatma
an
= am−n
2m+n = 64 = 26
⇒
m+n=6
D) 6
E) 7
Bu kümeyi A ve A nın eleman sayısını, yani s(A) yı n ile
gösterelim.
Hazine 1’den,
2m ⋅ 2n = 64
⇒
C) 5
Çözüm
am ⋅ an = am+n
am
B) 4
2n+2 – 2n= 24
buluruz.
Doğru Seçenek C
⇒
2n ⋅ 22 – 1 ⋅ 2n= 24
⇒
2n ⋅ (22 – 1) = 24
⇒
2n ⋅ 3 = 24
⇒
2n = 8 = 23
⇒
n=3
buluruz.
Doğru Seçenek A
Bir A kümesinin alt kümelerinin sayısı, bir B kümesinin alt
kümelerinin sayısına bölündüğünde sonuç 32 oluyor.
Buna göre, A kümesinin alt kümelerinin sayısı, B kümesinin alt kümelerinin sayısından kaç fazladır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Bir kümenin eleman sayısını 3 azalttığımızda öz alt küme
sayısında 56 azalma oluyor.
Buna göre, bu kümenin eleman sayısı kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Bir A kümesinin alt kümelerinin sayısı, bir B kümesinin alt
kümelerinin sayısının 8 katıdır.
Bir kümenin eleman sayısını 4 artırdığımızda öz alt küme
Buna göre, A kümesinin alt kümelerinin sayısı, B kü-
sayısında 60 artma oluyor.
mesinin alt kümelerinin sayısından kaç fazladır?
Buna göre, kümenin alt küme sayısı kaçtır?
A) 3
A) 2
B) 4
C) 6
D) 7
E) 8
B) 4
C) 8
D) 32
9. SINIF MATEMATİK
E) 64
55
Alt Küme, Öz Alt Küme
Kümeler - Bölüm 02
Öz alt kümenin tanımını hatırlayacak olursak, n elemanlı
bir kümenin öz alt kümelerinin sayısının 2n – 1 olacağını
kolaylıkla görebiliriz.
6 elemanlı bir kümenin öz alt kümelerinin sayısı kaç-
Bunu bir IŞIK olarak verelim.
tır?
A) 15
B) 31
C) 63
D) 127
E) 255
Işık 2
n elemanlı bir kümenin öz alt kümelerinin sayısı,
2n– 1
dir.
Aşağıdaki verilen sayılardan hangisi, bir kümenin öz
alt kümelerinin sayısı olabilir?
A) 27
Uyarı
B) 36
C) 65
D) 255
E) 444
Boş kümenin eleman sayısı 0 olduğuna göre, öz alt
küme sayısı,
A = {a, b, c, d}
20
– 1 = 1 – 1 = 0 dır.
kümesini ele alalım.
Bu kümenin alt kümelerinden hangilerinde a elemanın bulunduğuna bakalım:
{a}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, b, c}
DNA 7
{a, b, d}, {a, c, d}, {a, b, c, d}
Öz alt kümelerinin sayısı 15 olan bir kümenin ele-
Şimdi de A kümesinin alt kümelerinden hangilerinde a ele-
man sayısı kaçtır?
manının bulunmadığına bakalım:
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
∅, {b}, {c}, {d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {b, c, d}
Dikkat edersek, her iki koşulda da alt kümelerinin sayısı
birbirine eşittir.
Çözüm
Bu eşitlikten yola çıkarak, aşağıdaki IŞIK’ı verebiliriz.
IŞIK 2’den,
Işık 3
2n – 1 = 15
⇒
2n = 16 = 24
⇒
n=4
A = {a1, a2, a3, ..., an}
n elemanlı kümesinin istenen belirli bir koşula göre ya-
buluruz.
zılacak alt kümelerinin sayısını hesaplarken, önce keyfi
Doğru Seçenek B
yazılabilecek elemanların oluşturduğu kümeyi, daha
sonra da bu kümenin alt kümelerinin sayısını buluruz.
56
9. SINIF MATEMATİK
Kümeler - Bölüm 02
Alt Küme, Öz Alt Küme
Örneğin;
Çözüm
A = {a1, a2, a3, ..., an}
kümesi için;
s(A) = n ise 2n – 1 = 127 ⇒ 2n = 128 = 27
(i)
a1 elemanını bulunduran alt kümelerinin sayısı
Yani s(A) = 7 dir.
kaçtır?
A = {a, b, c, d, e, f, k}
olsun.
Keyfi yazılabilecek elemanlar,
A elemanını attığımızda oluşan kümeye B diyelim.
a2, a3, a4, ..., an
B = {b, c, d, e, f, k}
olduğundan ve keyfi elemanların sayısı n – 1 olduğundan
cevap,
kümesinin her alt kümesi aynı zamanda A nın alt kümesi
olup bu alt kümelerin içinde a eleman olarak bulunmaz.
2n–1
O halde yanıtımız 26= 64 olur.
dir.
(ii)
a1 ve a2 elemanlarını bulundurup, a3 elemanını
bulundurmayan alt kümelerinin sayısı kaçtır?
Bir başka şekilde düşünelim. Tüm alt kümelerin sayısı 128
idi. Bu kümelerin yarısında a eleman olarak bulunurken
Keyfi yazılabilecek elemanlar;
yarısında a eleman olarak bulunmazdı. (Hani a için iki se-
a4, a5, ..., an
çenek vardı ya ☺)
olduğundan ve keyfi elemanların sayısı n – 3 olduğundan
cevap,
Dolayısıyla
128
= 64 tane alt kümede a eleman olarak
2
bulunmaz.
2n–3
Doğru Seçenek E
tür.
DNA 8
Öz alt küme sayısı 127 olan A kümesinin bir elemanı
a dır.
başka elemanı y dir.
A kümesinin kaç alt kümesinde a eleman olarak
bulunmaz?
A) 1
Alt küme sayısı 256 olan A kümesinin bir elemanı x ve bir
B) 4
A kümesinin kaç alt kümesinde ne x ne de y eleman
olarak bulunur?
C) 8
D) 16
E) 64
A) 128
B) 64
C) 32
D) 16
9. SINIF MATEMATİK
E) 8
57
Alt Küme, Öz Alt Küme
Kümeler - Bölüm 02
A = {–1, 0, 1}
A = {a, b, c, d, e, f}
kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde a ve b elemanları bulunduğu halde c elemanı bulunmaz?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 9
E) 12
B = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}
A ⊂ K ⊂ B koşulunu sağlayan A ve B den farklı en çok
kaç tane K kümesi vardır?
A) 14
B) 16
C) 20
D) 30
E) 36
ÇARPARAK SAYALIM
DNA 9
Daha önce bir paranın n kez atıldığında 2n değişik durum
olduğunu söylemiş ve oradan bir kümenin alt küme sayı-
{a, b, c} ⊂ B ⊂ {a, b, c, d, e, x, y}
sını elde etmiştik. Şimdi "n elemanlı bir kümenin acaba r
koşulunu sağlayan en çok kaç tane B kümesi var-
elemanlı kaç alt kümesi vardır?" sorusunun yanıtını bul-
dır?
maya çalışacağız. Bunu da çarparak saymanın nimetle-
A) 4
B) 16
C) 18
D) 32
E) 64
rinden faydalanarak yapacağız. ☺ Önce basit bir soruyla
başlayalım.
ABC harflerinin yerlerini değiştirerek kaç farklı dizilim (sıralanış) elde ederiz? Önce bir grafikle ne olup bittiğine
Çözüm
bakalım.
B de bulunması zorunlu elemanlar a, b, c; keyfi olan ele-
I
A
manlar ise d, e, x, y dir.
Keyfi elemanların sayısı 4 olduğundan Hazine 1’den, cevap,
24 = 16
B
C
dır.
1. seçim
Doğru Seçenek B
II
III
B
C ........ ABC
C
B ........ ACB
A
C ........ BAC
C
A ........ BCA
A
B ........ CAB
B
A ........ CBA
2. seçim
3. seçim
Demek ki 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 şekilde yazabilirmişiz.
n tane farklı elemanın farklı sıralanışlarının sayısı n! dir.
{1, 2} ⊂ A ⊂ {1, 2, 3, 4, 5}
koşulunu sağlayan en çok kaç tane B kümesi vardır?
A) 6
58
B) 8
9. SINIF MATEMATİK
C) 9
D) 12
E) 16
Acaba n tane farklı elemanlı bir dizilimin n den az elemanlı
farklı diziliş sayısını nasıl buluruz?
Koşullu Alt Küme Sayısı
Kümeler - Bölüm 02
Örneğin 8 atletin koştuğu bir 100 metre yarışında (favori
olmadığını ve aynı dereceyle bitiren olamadığını varsayarsak) ilk üç en çok kaç farklı biçimde gerçekleşebilir? Atletlerin numaraları 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 olsun. Biz 34216587
sıralanışlarını değil de ilk üç sıralanmasını merak ediyo-
r elemanın farklı sıralanışlarının sayısının r! olduğunu biliyoruz.
ruz. Örneğin 342 gibi.
1. lik
8 atletten biri
2. lik
3. lük
7 atletten biri
6 atletten biri
r! fazla çarpmış olduğumuzdan 1. adımdaki çarpım, r! e
bölmemiz gerektiğini anlıyor ve r elemanlı alt küme sayısını
n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ⋅ ⋅ (n − r + 1)
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ r
Çarparak saymamız gerektiğini unutmayarak,
8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 236 değişik biçimde sonuçlanabileceğini hesaplarız.
olarak buluyoruz. Ne kadar basitmiş ☺
n tane farklı elemandan r tanesi,
n⋅ (n − 1) ⋅ (n −
2)
⋅ ... ⋅ (n − r +
1)
r tane
değişik biçimde sıralanır.
Bu ifadenin hem payını hem de paydasını (n – r)! ile çarpalım.
n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ⋅ ⋅ (n − r + 1)(n − r )!
n!
=
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ r(n − r )!
r !⋅ (n − r )!
Bu kuralları iyi anlayın birazdan bunları kullanacağız. Gerçekten birer Hazine bunlar.
İşte bu ifadeye yani n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt
küme sayısını, bulduğumuz bu ifadeye n nin r li kombinas⎛n⎞
yonu denir ve C(n,r) veya ⎜ ⎟ ile gösterilir.
⎝r ⎠
SIRALAMADAN ALT KÜME SAYISINA
n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı kaç alt kümesi
Hazine 2
vardır?
Sorumuz bu. Yanıtımızı adım adım verelim.
n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt küme sayısı
⎛n⎞
n!
ile hesaplanır.
C(n,r) = ⎜ ⎟ =
⎝ r ⎠ r! ⋅ (n − r)!
n elemanın r li sıralanışlarının sayısının Hazine 3’ten
Şimdi bu Hazine’mizi DNA’larla pekiştirelim.
n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) ⋅⋅⋅ (n – r + 1)
DNA 10
olduğunu biliyoruz.
A = {a, b, c, d, e, f, k}
olduğuna göre, A kümesinin 4 elemanlı en çok kaç
alt kümesinde hem a hem de b eleman olarak buKümelerde sıralamanın önemli olmadığını r elemanın
farklı sırada da yazılsa aynı kümeyi anlattığını biliyoruz.
lunur?
A) 15
B) 10
C) 8
D) 6
9. SINIF MATEMATİK
E) 4
59
Kümeler - Bölüm 02
Koşullu Alt Küme Sayısı
Çözüm
Çözüm
Hem a hem de b olacağından öncelikle bu iki elemanı ala-
Ne a ne de b seçtiğimiz kümede olmayacağından öncelik-
lım. O zaman kümelerimiz (a, b, ?, ?} olacaktır. Şimdi ?
le bu iki elemanı atalım. O zaman kümelerimiz {?, ?, ?, ?}
işaretleri yerine {c, d, e, f, k} kümesinden seçim yapmamız
olacaktır. Şimdi ? işaretli yerine {c, d, e, f, k} kümesinden
gerekecektir. 5 elemanlı bu kümenin 2 elemandan oluşan
seçim yapmamız gerekecektir. 5 elemanlı bu kümenin 4
alt küme sayısı,
elemandan oluşan alt küme sayısı,
⎛5⎞ 5 ⋅ 4
= 10
⎜ ⎟=
⎝ 2 ⎠ 1⋅ 2
⎛5⎞ ⎛5⎞ 5
⎜ ⎟=⎜ ⎟= =5
⎝ 4 ⎠ ⎝1 ⎠ 1
olur.
olur.
Doğru Seçenek B
İçlerinde Deniz ve Barış'ın bulunduğu 8 kişilik bir gruptan,
4 kişilik bir ekip oluşturulacaktır.
Doğru Seçenek B
Bir okulda çalışan 9 öğretmenden 5 kişilik bir kutlama
programı hazırlama komitesi oluşturulacaktır. Bu 9 öğret-
Bu gruptan hem Deniz'in hem de Barış'ın olduğu
menden Rıza Bey raporlu, Gamze Hanım ise izinli oldu-
4 kişilik ekip en çok kaç değişik biçimde oluşturulur?
ğundan komiteye katılamayacaktır.
A) 35
B) 28
C) 21
D) 15
E) 10
Buna göre, komite en çok kaç değişik biçimde oluşturulur?
B) 21
A) 18
C) 24
D) 28
E) 36
Bir şirkete bağlı 10 gemiden 5 gemilik bir filo oluşturulacaktır.
Bu filoya katılacak 3 gemi belli olduğuna göre, filo en
Düzlemde birbirinden farklı ve paralel olmayan d1, d2, d3,
çok kaç değişik biçimde oluşturulur?
d4, d5, d6, d7, d8 doğruları veriliyor.
A) 3
B) 6
C) 10
D) 15
E) 21
Bu doğruların kesim noktalarından en çok kaç tanesi
ne d1 ne de d2 üzerindedir?
A) 35
B) 28
C) 21
D) 15
E) 10
DNA 11
DNA 12
A = {a, b, c, d, e, f, k}
olduğuna göre, A kümesinin 4 elemanlı en çok kaç
A = {a, b, c, d, e, f, k}
alt kümesinde ne a ne de b eleman olarak bulu-
A kümesinin 4 elemanlı en çok kaç alt kümesinde
nur?
a veya b den en az biri eleman olarak bulunur?
A) 4
60
B) 5
9. SINIF MATEMATİK
C) 8
D) 10
E) 12
A) 123
B) 64
C) 30
D) 16
E) 4
Kümeler - Bölüm 02
Koşullu Alt Küme Sayısı
Tüm 4 elemanlı alt küme sayısı =
Çözüm
⎛7⎞ 7 ⋅ 6 ⋅5 ⋅ 4
= 35
⎜ ⎟=
⎝ 4 ⎠ 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4
Ne a nın ne de b nin bulunduğu 4 elemanlı alt küme sayısı =
A kümesinin 4 elemanlı bir alt kümesinde; karşımıza
i)
⎛5⎞ ⎛5⎞
⎜ ⎟=⎜ ⎟=5
⎝ 4 ⎠ ⎝1 ⎠
a tek başına eleman olarak bulunur.
ii) b tek başına eleman olarak bulunur.
Şu halde cevap,
35 – 5 = 30
iii) a ve b birlikte eleman olarak bulunur.
dur.
iv) ne a ne de b eleman olarak bulunur.
Doğru Seçenek C
seçenekleri çıkmaktadır.
Bizden istenen a veya b den en az biri olacağına göre i,
ii ve iii seçeneklerini hesaplamaktır. Biraz uzun bir soruymuş.
i)
Alt kümelerinden biri {c, 1, 2} olan 6 elemanlı B kü-
a olacak b olmayacak. (a, ?, ?, ?} üç eleman seçmeliyiz. Nereden? {c, d, e, f, k} kümesinden.
⎛5⎞ 5 ⋅ 4 ⋅3
= 10
⎜ ⎟=
⎝ 3 ⎠ 1⋅ 2 ⋅ 3
mesinin 2 elemanlı en çok kaç alt kümesinde c veya
2 den en az biri eleman olarak bulunur?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
E) 9
ii) Aynı mantıkla, sayısı aynı olacağından 10 tane de buradan gelecek.
iii) Her ikisi de olacak. {a, b, ?, ?} iki eleman seçmeliyiz.
Nereden? {c, d, e, f, k} kümesinden.
⎛5⎞ 5 ⋅ 4
= 10
⎜ ⎟=
⎝ 2 ⎠ 1⋅ 2
Düzlemde herhangi üçü doğrudaş olmayan 8 noktadan
biri X biri de Y dir.
Bu 8 noktayı ikişer ikişer birleştiren doğrulardan en
çok kaç tanesi X ve Y noktalarının en az birinden geçer?
olur.
10 + 10 + 10 = 30
A) 32
B) 28
C) 24
D) 18
E) 13
Bu çözüm biraz uzun olmadı mı?
DNA 13
A = {a, b, c, d, e, f, k}
Tüm 4 elemanlı alt küme sayısından istemediği (yani
iv. durumu) çıkarsak aynı sonuç çıkmaz mı?
olduğuna göre, A kümesinin 4 elemanlı en çok kaç
alt kümesinde a veya b den en çok biri eleman ola-
(İstenen = Tamamı – İstenmeyen)
rak bulunur?
Hadi bir de öyle yapalım. Bakalım aynı sonucu bulabi-
A) 25
B) 30
C) 35
D) 42
E) 64
9. SINIF MATEMATİK
61
lecek miyiz?
Kümeler - Bölüm 02
Koşullu Alt Küme Sayısı
Çözüm
DNA 14
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
4 elemanlı bir alt kümede; karşımıza 4 değişik seçenek
kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinin
çıktığını biliyoruz.
i)
iki elemanı tek sayı, iki elemanı da çift sayıdır?
a tek başına eleman olarak bulunur.
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 12
ii) b tek başına eleman olarak bulunur.
iii) a ve b birlikte eleman olarak bulunur.
Çözüm
iv) Ne a ne de b eleman olarak bulunur.
Artık bunu uzun yolla çözmeyelim. İstenmeyen durum her
4 elemanlı alt kümelerin {tek, tek, çift, çift} olmasını istiyoruz.
ikisinin olması yani iii
⎛7⎞ 7 ⋅ 6 ⋅5 ⋅ 4
Tüm 4 elemanlı alt küme sayısı = ⎜ ⎟ =
= 35
⎝ 4 ⎠ 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4
Hem a nın hem de b nin bulunduğu 4 elemanlı alt küme
⎛5⎞ 5 ⋅ 4
= 10
sayısı = ⎜ ⎟ =
⎝ 2 ⎠ 1⋅ 2
Şu halde istenen cevap,
Tekler = {1, 3, 5}
Çiftler = {2, 4, 6}
kümelerinden gelecek.
Teklerden iki, çiftlerden iki tane seçmeliyiz.
⎛3⎞ ⎛3⎞
⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ = 3⋅3 = 9
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
35 – 10 = 25
olur.
tir.
Doğru Seçenek A
Doğru Seçenek D
A = {a, b, c, d, e}
kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinde
yalnız bir tane sesli harf bulunur?
A) 8
B) 6
C) 5
8 kişiden 4 kişi bay, 4 kişi de bayandır.
Bu gruptan 2'si bay 2'si bayan 4 kişi kaç farklı biçimde
D) 4
E) 3
seçilir?
A) 12
B) 16
C) 24
D) 32
E) 36
Düzlemde herhangi üçü doğrudaş olmayan 8 noktadan
biri X biri de Y dir.
Bu 8 noktanın herhangi üçünü köşe kabul eden üç-
4 mavi renkli, 3 kırmızı renkli kalem içerisinden 2 mavi
genlerden en çok kaç tanesinde X veya Y den en çok
1 kırmızı kalem en çok kaç değişik biçimde seçilebi-
biri üçgenin köşesidir?
lir?
A) 50
62
B) 48
9. SINIF MATEMATİK
C) 36
D) 28
E) 21
A) 12
B) 15
C) 16
D) 18
E) 20
Kümeler - Bölüm 02
Koşullu Alt Küme Sayısı
Işık 4
DNA 15
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
C(n,r) = C(n,m) ise ya r = m dir ya da n = r + m dir.
kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde ardışık iki rakam bulunmaz?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
⎛n⎞
C(n, r) ifadesi ⎜ ⎟ biçiminde de gösterilir.
⎝r ⎠
Çözüm
İstenen şartı sağlayan kümeler,
DNA 16
{1, 3, 5}, {1, 3, 6}, {1, 4, 6}, {2, 4, 6}
6 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 4 elemanlı alt kü-
olup, dört tanedir.
melerinin sayısına eşit olan bir kümenin 2 elemanlı
Doğru Seçenek C
alt kümelerinin sayısı kaçtır?
A) 27
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B) 36
C) 45
D) 63
E) 72
Çözüm
kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde,
ardışık iki rakam bulunmaz?
A) 6
B) 7
C) 8
Kümenin eleman sayısına n diyelim.
D) 9
E) 10
IŞIK 4’ten,
⎛n⎞ ⎛n⎞
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇒ n = 6 + 4 = 10
⎝6⎠ ⎝ 4⎠
buluruz.
10 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı,
⎛ 10 ⎞ 10 ⋅ 9
= 45
⎜ ⎟=
2 ⋅1
⎝2⎠
tir.
K = {a, b, c, ç, d}
kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde
alfabemize göre, ardışık iki harf bulunur?
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
Doğru Seçenek C
E) 5
9. SINIF MATEMATİK
63
Koşullu Alt Küme Sayısı
Kümeler - Bölüm 02
DNA 17
8 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 3 elemanlı alt küme-
⎛ 21⎞ ⎛ 21⎞
⎛ 21⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟
⎝0⎠ ⎝1⎠
⎝ 10 ⎠
lerinin sayısına eşit olan bir kümenin 2 elemanlı alt
kümelerinin sayısı kaçtır?
A) 45
B) 55
C) 60
D) 75
E) 80
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 221
B) 220
C) 210
D) 29
E) 28
Çözüm
IŞIK 5’ten,
12 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 8 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin 1 elemanlı alt
kümelerinin sayısı kaçtır?
A) 18
B) 20
C) 21
D) 24
E) 25
⎛ 21⎞ ⎛ 21⎞
⎛ 21⎞ ⎛ 21⎞
⎛ 21 ⎞ ⎛ 21⎞
21
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 2
0
1
10
11
20
21
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
IŞIK 4’ten,
⎛ 21⎞ ⎛ 21⎞
⎛ 21⎞ ⎛ 21⎞
⎛ 21⎞ ⎛ 21⎞
21
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 2
⎝0⎠ ⎝1⎠
⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠
⎝1⎠ ⎝0⎠
⎛n⎞
n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt küme sayısının ⎜ ⎟
⎝r ⎠
⎡⎛ 21⎞ ⎛ 21⎞
⎛ 21⎞ ⎤
2 ⋅ ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ ⎥ = 221
⎢⎣⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠
⎝ 10 ⎠ ⎥⎦
ile hesaplandıını öğrenmiştik.
⎛ 21⎞ ⎛ 21⎞
⎛ 21⎞ 221
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ =
2
⎝0⎠ ⎝1⎠
⎝ 10 ⎠
n elemanlı bir kümenin 0 elemanlı, 1 elemanlı, 2 elemanlı,
..., n elemanlı alt kümelerinin olduğunu da biliyoruz.
⎛ 21⎞ ⎛ 21⎞
⎛ 21⎞
20
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ = 2
0
1
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ 10 ⎠
bulunur.
Doğru Seçenek B
Işık 5
n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı,
⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞
⎛n⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟
⎝ 0 ⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 2 ⎠
⎝n⎠
ile hesaplanabilir.
⎛ 39 ⎞ ⎛ 39 ⎞
⎛ 39 ⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟
38
37
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ 19 ⎠
Bu durumda,
⎛n⎞ ⎛n⎞
⎛n⎞
2n = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟
⎝ 0 ⎠ ⎝ 1⎠
⎝n⎠
dir.
64
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 219
B) 220 + 1
D) 238 – 1
9. SINIF MATEMATİK
C) 238
E) 239
Koşullu Alt Küme Sayısı
Kümeler - Bölüm 02
Çözüm
⎛p⎞ ⎛p⎞
⎛p⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟
⎝ 0 ⎠ ⎝ 1⎠
⎝ p ⎠ = 217
8
A kümesinin en çok 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı, bu
kümenin 0, 1, 2 ve 3 elemanlı alt küme sayılarının toplamı
demektir.
Bu durumda, 5 elemanlı A kümesinin e çok 3 elemanlı,
olduğuna göre, p kaçtır?
A) 9
B) 14
C) 20
D) 22
⎛5⎞ ⎛5⎞ ⎛5⎞ ⎛5⎞
5⋅4 5⋅4⋅3
+
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1+ 5 +
1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3
⎝ 0 ⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠
E) 25
= 1 + 5 + 10 + 10 = 26
alt kümesi vardır.
Bu soruyu,
⎡⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎤
25 − ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣⎝ 4 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
işlemini yaparak da çözebilirdik. A kümesinin tüm alt kümelerinin sayısından 4 ve 5 elemanlı alt küme sayısını
çıkardığımızda geriye 0, 1, 2 ve 3 elemanlı alt kümelerinin
Işık 6
sayısı kalırdı.
Doğru Seçenek D
n elemanlı bir kümenin en çok r elemanlı alt kümelerinin
sayısı,
⎛n⎞ ⎛n⎞
⎛n⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ ile,
0
1
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝r ⎠
en az r elemanlı alt kümelerinin sayısı,
⎛n⎞ ⎛ n ⎞
⎛n⎞
⎜ ⎟+⎜
⎟ + ... + ⎜ ⎟
⎝ r ⎠ ⎝ r + 1⎠
⎝n⎠
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
kümesinin en fazla 7 elemanlı kaç alt kümesi vardır?
ile hesaplanır.
A) 1014
B) 511
C) 502
D) 255
E) 246
DNA 18
8 doktorun görev yaptığı bir poliklinikte en az 2, en fazla 4
A = {a, b, c, d, e}
kümesinin en çok 3 elemanlı kaç alt kümesi var-
doktordan oluşan bir vizite heyeti oluşturulacaktır.
dır?
Bu heyet en çok kaç değişik biçimde oluşturulur?
A) 16
B) 18
C) 24
D) 26
E) 30
A) 56
B) 84
C) 126
D) 154
9. SINIF MATEMATİK
E) 210
65
Küme, Alt Küme, Öz Alt Küme
Kümeler - Bölüm 02
5.
TEST - 1
1.
A = {∅, {∅}, {∅, {∅}}} kümesi veriliyor.
Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
Aşağıdaki ifadelerden hangisi veya hangileri bir
I. ∅ ∈ A
küme belirtir?
I. "Karesi 1 olan gerçel sayılar"
II. {∅} ∈ A
II. "3 katının 1 eksiği 4 olan tamsayı"
III. s(A) = 4
III. "Asal olup da 2 ile tam bölünen doğal sayılar"
A) I, II ve III
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
D) Yalnız II
C) Yalnız III
5 elemanlı alt küme sayısı 4 elemanlı alt küme sa-
B) 256
D) 625
3.
X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
de çift sayı bulunur?
C) 512
A) 6
7.
kümesinin kaç alt kümesinde en az bir sesli harf
C) 9
D) 10
E) 16
On beş sorunun sorulduğu bir sınavda ilk 5 soru zorunlu 3 soru da seçmelidir.
bulunur?
Bir öğrenci cevaplayacağı 8 soruyu kaç değişik
B) 192
C) 216
D) 240
E) 256
biçimde seçebilir?
A) 94
4.
B) 7
E) 1024
A = {a, b, c, d, e, f, k, l}
A) 128
E) Yalnız I
kümesinin 4 elemanlı kaç alt kümesinde iki tek iki
yısına eşit olan kümenin alt küme sayısı kaçtır?
A) 128
C) Yalnız III
E) I, II ve III
6.
2.
B) I ve II
B) 116
C) 120
D) 130
E) 145
4 elemanlı bir kümeye 3 eleman daha eklenerek yeni
bir küme elde ediliyor.
Elde edilen yeni kümenin alt küme sayısı ilk kü-
66
B) 24
9. SINIF MATEMATİK
C) 82
D) 112
9 elemanlı bir kümenin alt kümelerinin kaç tanesinin eleman sayısı çift sayıdır?
menin alt küme sayısından kaç fazladır?
A) 16
8.
E) 240
A) 512
B) 256
C) 128
D) 64
E) 32
Küme, Alt Küme, Öz Alt Küme
Kümeler - Bölüm 02
9.
8 elemanlı bir kümenin birbirine denk olan alt küme-
13.
leriyle A, B, C, ... gibi gruplar oluşturuluyor. Örneğin
kümesi veriliyor.
2 elemanlılar bir araya getirilip bir grup, 3 elemanlı-
Aşağıdakilerden kaç tanesi yanlıştır?
larla bir başka grup vs.
I. {a} ⊂ A
Oluşturulabilecek grup sayısı kaçtır?
A) 8
B) 9
A = {a, {a, b}, c}
C) 10
D) 128
II. {a, b} ⊂ A
E) 256
III. {a, b} ∈ A
IV. {b} ∈ A
V. {c} ∈ A
A) 1
10.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
X = {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7}
kümesinin kaç alt kümesinde en az bir çift sayı
eleman olarak bulunur?
A) 112
B) 120
C) 124
D) 128
E) 132
14.
Bir kümenin eleman sayısı a kadar artırılırsa alt
küme sayısı x artıyor. a kadar azaltılırsa alt küme
sayısı y azalıyor.
Buna göre,
11.
x
oranı kaçtır?
y
A) 2a
A kümesinin bir elemanı x, bir başka elemanı y ve bir
diğeri de z dir.
B) 2a – 1
D) 2a
C) 2a + 1
E) 2a–1
"A kümesinin en çok kaç alt kümesinde x ve y elemanları birlikte bulunurken z elemanı bulunmaz?"
sorusuna 64 yanıtı verilmiştir.
Buna göre, A kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
15.
E) 11
Bir kümenin eleman sayısı 4 katına çıkarıldığında
alt kümelerinin sayısı 64 katına çıkıyorsa bu kümenin eleman sayısı kaçtır?
A) 6
12.
Alt ve öz alt küme sayılarının toplamı 63 olan bir
kümenin 3 ten çok elemanlı kaç alt kümesi var-
16.
C) 4
D) 3
E) 2
A = {x: |x2| < 36 ve x ∈ Ζ}
kümesinin eleman sayısı kaçtır?
dır?
A) 6
1.E
B) 5
B) 9
2.C
3.B
C) 12
4.D
5.B
D) 15
6.C
A) 10
E) 18
7.C
8.B
9.B
10.B
B) 11
11.C
C) 12
12.A
13.C
D) 13
14.D
E) 14
15.E
9. SINIF MATEMATİK
16.B
67
Kümelerde İşlemler
Kümeler - Bölüm 02
KÜMELERDE İŞLEMLER
Bir kümede aynı elemanın birden fazla sayıda yazılamayacağını konunun başında öğrenmiştik.
Demek ki, gösterimin doğru olması için 1 ve 3 elemanla-
TANIM
rından birer tanesini atmamız gerekiyor.
A ∪ B = {–1, 1, 3, 4, 1, 3, 5, 7}
A kümesine veya B kümesine ait elemanların oluşturduğu
kümeye A ile B nin birleşim kümesi denir ve A ∪ B ile
= {–1, 4, 1, 3, 5, 7}
gösterilir.
= {–1, 1, 3, 4, 5, 7}
A ∪ B = {x| x ∈ A ∨ x ∈ B}
dir.
Bir de Venn şemasıyla gösterelim.
Doğru Seçenek E
B
A
AÈB
A = {a, b, 1, 2, 3}
B = {b, c, 2, 3, 4}
DNA 19
olduğuna göre, A ∪ B birleşim kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A = {–1, 1, 3, 4}
A) {a, b, c, 1, 2, 3, 4}
B = {1, 3, 5, 7}
olduğuna göre, A ∪ B birleşim kümesi aşağıdaki-
B) {a, b, 3, 4}
C) {a, c, 1, 4}
lerden hangisidir?
A) {–1, 1, 3, 5, 7}
B) {–1, 1, 4, 5, 7}
D) {a, b, c, 1, 2}
C) {1, 3, 4, 5, 7}
D) {–1, 4, 5, 7}
E) {a, b, c, d, 1, 2, 3, 4}
E) {–1, 1, 3, 4, 5, 7}
Çözüm
A ∪ B = {x| x ∈ A ∨ x ∈ B}
olduğunu tanımdan biliyoruz.
A = {a, b, c, 1, 2, 3}
O halde, A ∪ B kümesini bulabilmek için; A da veya B de
bulunan bütün elemanları liste ile gösterelim.
A ∪ B = {–1, 1, 3, 4, 1, 3, 5, 7}
68
9. SINIF MATEMATİK
B = {d, e, f, 1, 2, 3}
olduğuna göre, s(A ∪ B) kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
Kümelerde İşlemler
Kümeler - Bölüm 02
DNA 20
A = {x| –4 < x < 11, x ∈ Z}
A = {x| –1 < x ≤ 2, x ∈ R}
B = {x| 1 < x < 15, x ∈ Z}
B = {x| 1 < x < 4, x ∈ R}
olduğuna göre, A ∪ B birleşim kümesi aşağıdaki
A) 14
sayı aralıklarından hangisidir?
A) (–1, 4)
olduğuna göre, s(A ∪ B) kaçtır?
B) (–1, 4]
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
C) [–1, 4]
D) (1, 2]
E) [1, 2)
DNA 21
Çözüm
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
B = {1, 2, 3, 4}
A ve B kümelerini sayı doğrusu üzerinde gösterelim:
koşullarını sağlayan kaç değişik A kümesi vardır?
B
–2
–¥
–1
0
1
2
3
4
+¥
A) 4
A
B) 6
C) 8
D) 12
E) 16
Çözüm
Şu halde,
A ∪ B = (–1, 4)
Önce, istenen şartı sağlayan A kümelerinden eleman sayısı en az olanını bulalım.
olduğu açıktır.
B = {1, 2, 3, 4}
Doğru Seçenek A
A = {5, 6, 7}
iken,
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
olup, istenen şartlar sağlanır.
Demek ki, A kümesinde bulunması zorunlu olan elemanlar
5, 6 ve 7 dir. A kümesinde bulunabilecek keyfi elemanların
A = {x| –2 ≤ x ≤ 6, x ∈ R}
sayısını bulduğumuzda işimiz tamamdır.
B = {x| –1 ≤ x ≤ 8, x ∈ R}
Bu elemanlar; 1, 2, 3, 4 olduğundan keyfi eleman sayısı 4
olduğuna göre, A ∪ B birleşim kümesi aşağıdaki sayı
olup, sorunun cevabı,
aralıklarından hangisidir?
24 = 16
A) [–2, 6]
B) [–1, 6]
C) [–1, 8]
D) [–2, 8]
dır.
Doğru Seçenek E
E) [–2, –1] ∪ [6, 8]
9. SINIF MATEMATİK
69
Kümelerde İşlemler
Kümeler - Bölüm 02
TANIM
Hem A kümesine hem de B kümesine ait elemanla-
A = {1, 2, 3}
rın oluşturduğu kümeye A ile B nin kesişim (arakesit)
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
kümesi denir ve A ∩ B ile gösterilir.
koşullarını sağlayan kaç değişik B kümesi vardır?
A) 4
B) 8
C) 9
D) 12
E) 16
A ∩ B = {x| x ∈ A ∧ x ∈ B}
Bir de Venn şemasıyla gösterelim.
A
B
AÇB
(A ∪ B) ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
DNA 22
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}
A = {a, 1, 4, 7}
koşullarını sağlayan kaç değişik C kümesi vardır?
A) 8
B) 16
C) 32
D) 48
E) 64
B = {a, b, 2, 4}
olduğuna göre, A ∩ B kesişim kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {a}
Birleşim işleminin üç temel özelliğini aşağıdaki Hazine ile
B) {4}
D) {a, b, 4}
C) {a, 4}
E) {1, 2, a}
verelim.
Hazine 3
Çözüm
A ∪ A = A (Tek kuvvet özelliği)
A ∪ B = B ∪ A (Değişme özelliği)
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ B ∪ C (Birleşme özelliği)
A ∩ B = {x| x ∈ A ∧ x ∈ B}
olduğunu tanımdan biliyoruz. Demek ki, A ∩ B kesişim
kümesini bulmak için hem A, hem de B de bulunan elemanları tespit etmeliyiz.
Bu elemanlar a ile 4 tür.
A ∩ B = {a, 4}
A⊂B
⇒ A∪B=B
A∪∅=A
70
9. SINIF MATEMATİK
Doğru Seçenek C
Kümelerde İşlemler
Kümeler - Bölüm 02
A⊂B ⇒ A∩B=A
A = {1, 2, 3, a, b, c}
A∩∅=∅
B = {1, 2, a, c, d}
C = {2, a, d, e, f}
olduğuna göre, (A ∩ B) ∩ C kesişim kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {1, 2, a}
B) {1, a, b}
C) {2, a, d}
D) {a, 2}
Uyarı
Birleşim işlemi sayılarda toplama, kesişim işlemi de sayılardaki çarpma işlemine benzetilebilir.
E) {3, b, c}
Bu durumda ∅ birleşim işleminin etkisiz elemanı, kesişimin de yutan elemanıdır. Nasıl ki çarpmanın toplama
üzerine dağılma özelliği varsa hem birleşimin hem de
kesişimin bir diğeri üzerine dağılma özelliği vardır.
Hazine 5
A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
C ∩ B = {4, 5, 6, 7, 8}
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
olduğuna göre, s(A ∩ (B ∩ C)) kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
E) 5
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
DNA 23
Kesişim işleminin üç temel özelliğini aşağıdaki Hazine ile
verelim.
A ∪ B = {1, 2, 3, a, b}
A ∪ C = {1, a, b, c, d}
Hazine 4
olduğuna göre, A ∪ (B ∩ C) kümesi aşağıdakiler-
A ∩ A = A {Tek kuvvet özelliği}
den hangisidir?
A ∩ B = B ∩ A {Değişme özelliği}
A) {1}
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ B ∩ C (Birleşme özelliği)
B) {a}
D) {1, 2, a}
C) {1, a}
E) {1, a, b}
9. SINIF MATEMATİK
71
Evrensel Küme, Tümleyen Küme
Kümeler - Bölüm 02
EVRENSEL KÜME
Çözüm
TANIM
Hazine 5’ten,
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Üzerinde çalışılan kümeleri kapsayan yeteri kadar geniş
= {1, 2, 3, a, b} ∩ {1, a, b, c, d}
kümeye evrensel küme denir.
= {1, a}
Tanıma dikkat edersek evrensel kümenin bir seçime bağlı
olduğunu anlarız. Yani evrensel küme rakamların kümesi
buluruz.
olabileceği gibi tüm gerçek sayıların kümesi de olabilir.
Doğru Seçenek C
Evrensel küme denilince aklınıza tüm kümeleri kapsayan
bir küme gelmesin. Çünkü tüm kümeleri kapsayan bir
küme tanımlanamaz. Bu konumuzun dışında olduğundan
ayrıntıya girmiyoruz. Siz sadece evrensel kümenin amacınıza uygun seçilebilecek en geniş küme olduğunu bilin,
A ∩ B = {+, U, …, {}
şimdilik yeter.
A ∩ C = {V, {, Q, ¢}
Evrensel küme genel olarak E harfi ile gösterilir.
olduğuna göre, A ∩ (B ∪ C) kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) {U, {}
B) {U, {, …, Q}
C) {+, …, …, ¢}
D) {V, O, +}
C
A
B
D
E
E) {+, U, V, …, Q, {, ¢}
Aşağıdaki eşitlikleri kolayca elde edebilirsiniz.
E∪∅=E
E∩∅=∅
E∩E=E
E∪E=E
E∪A=E
E∩A=A
s(A ∪ B) = 6
TÜMLEYEN KÜME
s(A ∪ C) = 8
olduğuna göre, s[A ∪ (B ∩ C)] en çok kaç olabilir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
TANIM
A, E evrensel kümesinin bir alt kümesi olsun.
A kümesinde olmayıp E evrensel kümesine ait elemanların oluşturduğu kümeye A nın tümleyen kümesi denir ve
TANIM
A′ ya da A ile gösterilir.
A′ = {x| x ∉ A ∧ x ∈ E}
Kesişimleri boş küme olan iki kümeye ayrık küme denir.
72
9. SINIF MATEMATİK
Bir de Venn şemasıyla gösterelim.
Fark İşlemi
Kümeler - Bölüm 02
A ve B kümeleri, bir E evrensel kümesinin alt kümeleri olsun.
A¢
1)
A
E
E
A
B
Hazine 6
De Morgan:
(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
Taralı bölge: A – B
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
(A′)′ = A
2)
E
A
B
İKİ KÜMENİN FARKI
TANIM
Taralı bölge: (A – B)′
A ve B iki küme olsun. A kümesinde olup, B kümesinde
olmayan elemanların oluşturduğu kümeye, A ile B nin fark
3)
E
kümesi denir ve A – B veya A \ B ile gösterilir.
A
B
A – B = {x| x ∈ A ∧ x ∉ B}
Bir de Venn şemasıyla gösterelim.
B
Taralı bölge: A
A
B–A
A–B
4)
E
A
B
Hazine 7
A – B = A ∩ B′
A – B = A – (A ∩ B)
A⊂B⇒A–B=∅
Taralı bölge: (A – B)′ ∩ A = A ∩ B
olur.
Hazine 6 ve Hazine 7’yi kullanmış olsaydık, verilen ifade-
(A – B)′ ∩ A ifadesinin eşitini şema kullanarak bulalım.
nin eşitini nasıl bulurduk, şimdi de onu inceleyelim:
9. SINIF MATEMATİK
73
Fark İşlemi
Kümeler - Bölüm 02
(A – B)′ ∩ A = (A ∩ B′)′ ∩ A
(Hazine 6’dan)
= (A′ ∪ B) ∩ A
(Hazine 5’ten)
= (A′ ∩ A) ∪ (B ∩ A)
(A′ ∪ B) – (A ∩ B′) işleminin sonucu aşağıdakilerden
hangisidir?
= ∅ ∪ (B ∩ A)
B) A′ ∪ B
A) A ∩ B′
=B∩A
D) B′ ∪ A′
=A∪B
C) A ∪ B′
E) B ∪ A
olarak buluruz.
DNA 24
A′ ∩ (B – A)′ işleminin sonucu aşağıdakilerden
hangisidir?
B) A ∩ B
A) A∪ B
D) (A ∪ B)′
C) A – B
E) ∅
Işık 7
E evrensel küme olmak üzere,
Çözüm
A′ = E – A
Öncelikle B – A = B ∩ A′ hazinemizi kullanalım.
A′ ∩ (B – A′)′ = A′ ∩ (B ∩ A′)′ = A′ ∩ (B′ ∪ A)
∅
dır.
Buradan,
s(A) + s(A′) = s(E)
= (A′ ∩ B′) ∪ (A′ ∩ A)
olduğu görülür.
= A′∩ B′ = (A ∪ B)′ olur.
Doğru Seçenek D
DNA 25
A ile B aynı E evrensel kümesinin alt kümeleridir.
(A – B′)′ ∩ A işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
s(A′) + s(B) = 18
A) (A ∪ B)′
B) A′ ∩ B
D) B′ – A
74
s(A) + s(B′) = 12
9. SINIF MATEMATİK
C) A – B
E) B – A′
olduğuna göre, s(E) kaçtır?
A) 12
B) 14
C) 15
D) 16
E) 18
Taralı Bölgeyi Bulma
Kümeler - Bölüm 02
TARALI BÖLGEYİ BULMA
Çözüm
Venn şeması ile verilen kümelerde taralı bölgeyi en doğru
Verilen iki eşitliği taraf tarafa toplarsak,
+
şekilde ifade edebilmek için bazı temel noktaları bilmemiz
s(A) + s (B′) = 12
gerekir.
s(A′) + s(B) = 18
Kesişim kümesi gösterilirken kümelerin ortak bölgeleri taranır.
s(A) + s(A′) + s(B′) + s(B) = 30
s(E)
s(E)
Birleşim kümesi gösterilirken birleşimi oluşturan kümelerin
⇒
2s(E) = 30
tamamı taranır.
⇒
s(E) = 15
Fark kümesi gösterilirken ikinci küme şema üzerinde kapatılıp birinci kümede kalan kısım taranır.
buluruz.
Doğru Seçenek C
A
B
A
B
C
A ile B aynı E evrensel kümesinin alt kümeleridir.
C
A∩B∩C
s(A) + s(B′) = 24
B∩C
s(A′) + s(B) = 30
A
olduğuna göre, s(E) kaçtır?
A) 26
B) 27
C) 30
D) 32
B
A
B
E) 34
C
C
(A ∩ C) ∪ B
A
(A ∩ C) \ B
B
A
B
A, B ve C aynı E evrensel kümesinin alt kümeleridir.
s(A) + s(B′) = 8
C
s(C′) + s(B) = 6
(A ∪ B) \ C
s(C) + s(A′) = 10
B) 7
[(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)] \ (A ∩ B) ∩ C)
veya
A ∩ [(B \ C) ∪ (C \ B)]
olduğuna göre, s(E) kaçtır?
A) 6
C
C) 8
D) 9
E) 10
9. SINIF MATEMATİK
75
Taralı Bölgeyi Bulma
Kümeler - Bölüm 02
DNA 26
A
B
A
B
C
C
Yukarıdaki şekilde taralı kısmın ifadesi aşağıdaki-
Yukarıdaki şekilde taralı kısmın ifadesi aşağıdakiler-
lerden hangisidir?
A) B ∩ (A ∪ C)
B) (A ∩ C) ∪ B
C) B – (A ∪ C)
D) (A ∪ C) – B
den hangisidir?
A) (A ∩ B) ∪ C
B) [C – (A ∪ B)] ∩ (A ∩ B)
E) A ∩ B ∩ C
C) [C – (A ∩ B ∩ C)] ∪ (A ∩ B)
D) [(A ∪ B) – (A ∩ B)] ∪ [C – (A ∪ B)]
Çözüm
E) [(A ∩ B) – C)] ∪ [C – (A ∪ B)]
Verilen şekilde B kümesinin A ve C kümeleriyle ortak
olmayan bölgesi taranmıştır. Öyleyse kolayca, taralı kısmın,
B – (A ∪ C)
olduğunu söyleyebiliriz.
Bu ifadeyi nasıl bulduğumuzu bir de şekil üzerinde görelim:
B
A
C
A
B
C
ile gösterilen bölge: B – A
ile gösterilen bölge: B – C
Sorudaki taralı kısım,
ve
ile gösterilen bölgelerin ke-
siştiği kısımdır. Bu durumda,
ile gösterilen bölge: (B – A) ∩ (B – C) dir.
(B – A) ∩ (B – C) = B – (A ∩ C)
olduğunu zaten biliyoruz.
Doğru Seçenek C
76
9. SINIF MATEMATİK
Yukarıdaki şekilde taralı kısmın ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) C – A
B) C – (A ∩ B ∩ C)
C) (B ∩ C) ∪ (C – A)
D) (B ∪ C) – A
E) (A – B) ∪ (A – C)
Kümelerin Eleman Sayıları Arasındaki Bağıntılar
Kümeler - Bölüm 02
İKİ VEYA DAHA FAZLA KÜMENİN ELEMAN
Çözüm
SAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR
m
n
A
y
k
4
A
B
x
B
Verilenleri kullanalım.
s(A) = m + n
s(B) = n + k
s(A ∪ B) = m + n + k
s(A ∩ B) = n
s(A ∪ B) = 20 = x + y + 4 ⇒ x + y = 16
s(A) = 2s(B) ⇒ y + 4 = 2(x + 4) ⇒ y = 2x + 4
olduğunu biliyoruz.
Bu iki denklemi ortak çözersek,
s(A ∪ B) + s(A ∩ B) = s(A) + s(B) olduğundan
x = 4 ve y = 12 buluruz.
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B) dir.
Burada s(A – B) = 12 ve s(B – A) = 4 olduğundan,
s( A − B) 12
=
=3
s(B − A ) 4
bulunur.
Hazine 8
Doğru Seçenek E
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)
s(A ∪ B) = s(A \ B) + s(B \ A) + s(A ∩ B)
s(A) + s(B) = 24
s(A ∪ B) = 16
Hazine 9
s(B – A) = 3
olduğuna göre, s(A – B) kaçtır?
s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A ∩ B) – s(A ∩ C) –
s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C)
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
D) 21
E) 20
DNA 27
s(A) = 2s(B)
s(A) = 2x
s(A ∩ B) = 4
s(B) = x + 2
s(A ∪ B) = 20
s(A ∪ B) = 2x + 20
olduğuna göre,
A) 7
B) 6
s(A − B)
oranı kaçtır?
s(B − A)
C) 5
D) 4
s(A ∩ B) = 3
Yukarıda verilenlere göre, x kaçtır?
E) 3
A) 24
B) 23
C) 22
9. SINIF MATEMATİK
77
Kümelerin Eleman Sayıları Arasındaki Bağıntılar
Kümeler - Bölüm 02
DNA 28
Bir sınıfta Matematikten 15 kişi, Türkçe’den 21 kişi ba-
İngilizce veya Türkçe dillerinden en az birini konuşan 16
şarılı olmuştur.
kişinin bulunduğu bir grupta, 10 kişi Türkçe, 12 kişi de İngilizce konuşmaktadır.
Her iki dersten de başarılı olan öğrenci sayısı 8 olduğuna göre, bu derslerin en az birinden başarılı
olan öğrenci sayısı kaçtır?
A) 24
B) 25
C) 26
D) 27
E) 28
Buna göre, bu dillerden her ikisini de konuşanların
sayısı kaçtır?
A) 8
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
Çözüm
Matematikten başarılı olanların kümesi M, Türkçe’den başarılı olanların kümesi de T olsun.
Venn şemasını çizelim.
Her iki dersten de
baþarýlý olanlar
Bir sınıfın 30 öğrencisinden 19 u Matematikten, 25 i de
Fizikten kalmıştır.
15 – 8
8
21 – 8
Bu sınıfta her iki dersten de geçen 4 öğrenci olduğuna
göre, yalnız bir dersten geçen öğrenci sayısı kaçtır?
Sadece Matematikten
baþarýlý olanlar
M
T
Sadece Türkçeden
baþarýlý olanlar
A) 14
B) 13
C) 12
D) 9
E) 8
Böylece,
7
8
M
13
olup
T
s(M ∪ T) = 7 + 8 + 13 = 28 olur.
60 kişilik bir turist kafilesinde 22 kişi A dilini, 21 kişi B
Hazine 8’den,
dilini, 19 kişi de C dilini konuşabilmektedir.
s(M ∪ T) = s(M) + s(T) – s(M ∩ T)
Bu kafilede A ve B dillerini 9 kişi, B ve C dillerini
s(M ∪ T) = 15 + 21 – 8 = 28
7 kişi, A ve C dillerini 8 kişi, her üç dili de 4 kişi
konuşabildiğine göre, kafilede kaç kişi A, B ve C
bulunur.
dillerinden hiçbirini konuşamamaktadır?
Doğru Seçenek E
78
DNA 29
9. SINIF MATEMATİK
A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
Kümelerin Eleman Sayıları Arasındaki Bağıntılar
Kümeler - Bölüm 02
Çözüm
Bir grupta A, B ve C dillerinden en az biri konuşulmaktadır. Bu dillerden yalnız birini bilenlerin sayıları eşittir. Her
A
A
B
9–4
a
5
22 – 13
b
4
8–4
B
üç dili bilenlerin sayısı 10 kişidir.
21 – 12
sayısının iki katına eşit ve bu grupta 91 kişi olduğuna
Yalnız iki dil bilenlerin sayısı, yalnız bir dil bilenlerin
göre, sadece A dilini bilen kişi sayısı kaçtır?
4
7–4
3
4
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
19 – 11
c
C
C
A
B
5
9
9
4
4
3
8
C
Bir apartmandaki dairelerden 5 daire A gazetesini, 4 daire
B gazetesini, 6 daire de C gazetesini satın almaktadır.
s(A ∪ B ∪ C) = 42 olup
Hem A hem de B gazetesini alan 2, hem A hem de C gazetesini alan 2, hem B hem de C gazetesini alan 3 daire
s(E) – s(A ∪ B ∪ C) = 60 – 42 = 18
olup, hiçbir gazeteyi de satın almayan 4 daire vardır.
Bu apartmanda 13 daire olduğuna göre, her üç gazeteyi de satın alan kaç daire vardır?
bulunur.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Direkt formülü uygulayalım.
s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A ∩ B) – s(B ∩ C)
– s(A ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C)
DNA 30
= 22 + 21 + 19 – 9 –7 – 8 + 4 = 42
s(E) – 42 = 60 – 42 = 18
48 kişilik bir grupta, gözlüksüz bayanların sayısı gözlüklü erkeklerin sayısının 5 katına eşittir. Bu grupta 15
erkek olup, gözlüklü bayanlar gözlüksüz erkeklerden
6 kişi fazladır.
bulunur.
Doğru Seçenek D
Buna göre, gözlük kullanmayan kaç erkek vardır?
A) 15
B) 12
C) 10
D) 6
9. SINIF MATEMATİK
E) 5
79
Kümelerin Eleman Sayıları Arasındaki Bağıntılar
Kümeler - Bölüm 02
Çözüm
Uyarı
Erkek ve bayanların kesişim kümesi boş küme, gözlük takanlarla takmayanların da kesişimi boş küme olduğundan
aşağıdaki gibidir:
Venn şeması yerine tablo ile çözüm yapalım.
Erkekler
Gözlük takanlar
Bayanlar
x
Gözlük takmayanlar
A veya B = A ∪ B
15 – x + 6
15 – x
5x
15
21 + 4x
Grup
veya, ve, ya da bağlaçlarının matematikteki anlamları
A ve B = A ∩ B
= 48
A ya da B = (A \ B) ∪ (B \ A)
A
15 + 21 + 4x = 48
B
4x = 12
A veya B
x=3
olup gözlük takmayan erkek sayısı 12 dir.
Doğru Seçenek C
A
B
A ya da B
A
B
28 kişilik bir grupta, sarışın bayanların sayısı, sarışın erkeklerin sayısının 2 katına eşittir. Sarışın olmayan erkek
A ve B
sayısı da sarışın olan bayan sayısının 2 katı olup, sarışın
olmayan bayan sayısı 7 dir.
Buna göre, gruptaki sarışın erkek sayısı kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
DNA 31
E) 7
A = {x| 40 < x < 160, x ∈ N}
kümesinin elemanlarından kaç tanesi 3 ile tam bölünür?
A) 40
Bir üniversitenin Matematik bölümünde 10 yabancı uyruklu öğrenci olup, bölümde 50 öğrenci vardır. Matematikten
başarılı olan yabancı olmayan öğrenci sayısı, yabancı
olup Matematikten başarısız öğrenci sayısının 6 katından
2 eksiktir.
Matematikten başarısız öğrenci sayısı 17 olduğuna
göre, kaç yabancı uyruklu öğrenci Matematikten başarılıdır?
A) 3
80
B) 4
9. SINIF MATEMATİK
C) 5
D) 6
E) 8
B) 43
C) 53
D) 57
E) 66
Çözüm
1 ile 160 arasında ve 1 ile 40 arasında 3 ile bölünebilen
sayıları bulup, birinciden ikinciyi çıkaralım.
160
15
10
9
1
3
160 a kadar olup, 3 ile bö-
53
lünenlerin sayısı:
53
Kümelerin Eleman Sayıları Arasındaki Bağıntılar
Kümeler - Bölüm 02
40
3
3
40 a kadar olup, 3 ile bölü-
13
nenlerin sayısı:
10
9
Çözüm
Öncelikle,
13
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)
1
olduğunu biliyoruz. Burada,
s(A ∪ B) =
Buna göre 40 ile 160 arasında 3 ile bölünen,
4 veya 5 ile
53 – 13 = 40
bölünenler
s(A)
+
4 ile
s(B)
–
5 ile
bölünenler bölünenler
s(A ∩ B)
Hem 4 hem de 5 ile
bölünenler yani,
OKEK(4, 5) ile
sayı vardır.
bölünenler
Doğru Seçenek A
olarak düşünebiliriz.
Problemi iki durumda inceleyelim.
1 ile 197 arasında ve 1 ile 33 arasında verilen koşula uyan
sayıları bulup, birinciden ikinciyi çıkaralım. 1 ile 197 arasında,
K = {a| 108 < a < 217, a ∈ N}
197
197
5
49
kümesinin elemanlarından kaç tanesi 7 ile tam bölünür?
4
197
39
20
9
olduğundan,
B) 15
A) 14
C) 16
D) 17
E) 18
E (197)
A
B
40
9
s(A È B) = 79
30
olur. 1 ile 33 arasında ise,
33
B = {x| 14 ≤ x ≤ 180, x ∈ N}
33
5
8
kümesinin elemanlarından kaç tanesi 6 ile tam bölünür?
4
33
6
20
1
olduğundan,
B) 26
A) 25
C) 29
D) 30
E (33)
E) 34
A
B
7
DNA 32
Buna göre, 33 ile 197 arasında 4 veya 5 ile tam bölünen,
73 – 13 = 66
kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 veya 5 ile
tam bölünür?
B) 86
s(A È B) = 13
5
olur.
K = {x| 33 < x < 197, x ∈ N}
A) 92
1
sayı vardır.
Doğru Seçenek D
C) 79
D) 66
E) 54
9. SINIF MATEMATİK
81
Kümelerin Eleman Sayıları Arasındaki Bağıntılar
Kümeler - Bölüm 02
DNA 33
A = (–2, 6] ve B = (2, 8]
A = {x| 22 < x < 214, x ∈ N}
kümesinin elemanlarından kaç tanesi 3 veya 4 ile tam
bölünür?
A) 94
B) 96
C) 112
D) 128
E) 130
olduğuna göre, A ∩ B kesişim kümesi aşağıdaki
sayı aralıklarından hangisidir?
A) (–2, 2)
A) 2
B) 3
C) (2, 6]
D) (2, 8]
E) [6, 8]
Çözüm
İki basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi hem 6 hem
de 9 ile tam bölünür?
B) (–2, 8]
Verilen kümeleri sayı doğrusunda gösterelim.
D) 5
C) 4
E) 6
A
8
–2
TANIM
2
6
A ∩ B = (2, 6]
a < b olmak üzere, sayı doğrusu üzerindeki a ile b sayıları
dır.
arasındaki gerçek sayıların oluşturduğu küme (a ile b da-
Doğru Seçenek C
hil olmamak şartıyla)
(a, b)
ile gösterilir ve bu ifade “a, b açık aralığı” diye okunur.
–2
4
(–2, 4)
A = [3, 12) ve B = (2, 10]
olduğuna göre, A ∩ B kesişim kümesi aşağıdaki sayı
TANIM
aralıklarından hangisidir?
(a, b) açık aralığına a ile b nin de eklenmesiyle elde edilen
A) (2, 12)
küme,
B) (3, 10)
D) [3, 12]
C) [2, 12]
E) [3, 10]
[a, b]
ile gösterilir ve bu ifade “a, b kapalı aralığı” diye okunur.
–2
4
[–2, 4]
Uyarı
Bir sayı aralığı 1 den fazla biçimde gösterilebilir.
Örneğin, a < b < c < d olmak üzere,
(i)
(–3, 1] veya [1, 4) gibi sayı aralıkları açık aralık veya
(ii) (a, b) ∪ (c, d) = (a, d) \ [b, c]
kapalı aralık değildir.
dir.
82
9. SINIF MATEMATİK
(a, b) = R \ [a, b]
Kümeler
Kümeler - Bölüm 02
5.
TEST - 2
1.
A = {1, 2, 3, 4, 5}
kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 5 eleman olarak bulunur?
A = {1, 3, 4, 5}
A) 5
B′ = {1, 2, 5, 7}
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
C′ = {2, 5}
ise A – (B ∩ C) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {1}
B) {1, 5}
D) {3}
C) {2, 5}
6.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tane-
E) {5}
sinde 7 ve 8 birlikte bulunur?
A) 6
2.
B) 10
C) 14
D) 15
E) 35
Bir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 4 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir.
Buna göre, bu kümenin en çok 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
A) 25
B) 28
C) 29
D) 30
7.
A ve B kümeleri için,
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E) 32
A ∩ B = {2, 6}
A – B = {1, 5}
olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
3.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tane-
A) {1, 3, 4, 6}
B) {2, 3, 4}
C) {2, 3, 4, 6}
D) {1, 2, 5, 6}
sinde 1 veya 2 den en az biri eleman olarak buluE) {3, 4}
nur?
A) 35
B) 30
C) 24
D) 15
E) 5
8.
4.
A = {x| –5 ≤ x < 5, x ∈ Z}
B = {x| –2 < x ≤ 6, x ∈ Z}
A = {1, 2, 3, 4, 5}
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 4 ile 5
A ∩ B kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
ten en çok biri eleman olarak bulunur?
A) 24
B) 20
C) 12
D) 8
kümeleri veriliyor.
E) 6
A) 16
B) 32
C) 64
D) 128
9. SINIF MATEMATİK
E) 256
83
Kümeler
Kümeler - Bölüm 02
9.
13.
A = {x| 1 ≤ x ≤ 200, x ∈ N}
A ve B kümeleri için,
kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 veya 6 ile
s(A) = s(B)
tam bölünür?
A) 60
B) 64
s(A ∪ B) = 20
C) 67
D) 72
E) 83
s(A ∩ B) = 4
olduğuna göre, s(A) + s(B) toplamı kaçtır?
A) 12
10.
B) 16
C) 18
D) 20
E) 24
(B – A′) – (B′ – A′)′
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) ∅
B) E
C) A
D) A′
E) B
14.
A ve B kümeleri için,
s(A \ B) = 9
s(B \ A) = 7
dir.
11.
A ∩ B nin alt küme sayısı 64 olduğuna göre,
s(A ∪ B) = 29
s(A ∪ B) kaçtır?
s(A ∩ B) = 7
A) 16
B) 22
C) 24
D) 26
E) 28
s(A) = 2⋅s(B)
olduğuna göre, B – A nın eleman sayısı kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
15.
12.
sı, 5 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit ise bu
A – B, B – A ve A kümelerinin eleman sayıları sıra ile
kümenin en çok 2 elemanlı kaç tane alt kümesi
3, 4 ve 7 sayıları ile orantılıdır.
vardır?
s(B) = 32 olduğuna göre, s(A ∪ B) kaçtır?
A) 19
A) 40
1.B
84
Bir A kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin sayı-
2.C
B) 44
3.B
9. SINIF MATEMATİK
C) 48
4.A
D) 52
5.B
6.D
B) 29
C) 35
D) 36
E) 37
E) 56
7.C
8.C
9.C
10.A
11.A
12.B
13.E
14.B
15.E
Kümeler
Kümeler - Bölüm 02
5.
TEST - 3
1.
Aynı evrensel kümenin A, B alt kümeleri veriliyor.
s(A) = 11
s(A′) = 7
Boş olmayan A ve B kümeleri veriliyor.
s(B′) = 13
s(A) = 2s(B)
olduğuna göre, B kümesinin 3 elemanlı alt küme-
s(B) = s(A ∩ B) + 3
lerinin sayısı kaçtır?
s(A ∪ B) = 21
A) 15
olduğuna göre, s(A – B) kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 5
s(B) = 7
A⊄B
s(A – B) = 9
olduğuna göre, s(A ∪ B) nin en büyük ve en kü-
s(A) + s(B) = 23
çük değerlerinin toplamı kaçtır?
olduğuna göre, s(A ∪ B) kaçtır?
B) 16
C) 14
D) 12
A) 12
B) 15
C) 18
D) 19
E) 20
E) 10
7.
3.
D) 8
s(A) = 5
B⊂A
A) 18
C) 9
E) 12
6.
2.
B) 10
A
C
B
A ve B kümeleri, E evrensel kümesinin alt kümeleridir.
s(E) = 33
s( A ∪ B)′ =
Şekildeki taralı bölge aşağıdakilerden hangisiyle
s( A − B)
2
ifade edilebilir?
s(A ∩ B) = 2s(A′)
s(A – B) = s(B – A)
Yukarıdaki verilere göre, s(A) kaçtır?
A) 24
B) 21
C) 15
D) 12
D) (A ∩ B) ∪ (B ∪ C)
E) (A ∪ C) ∩ B
s(A – B) = 2s(B – A)
s(A) = s(B) + 3
A ∩ B kümesinin alt küme sayısı 32 olduğuna
göre, A ∪ B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Yukarıdaki verilere göre, s(A) kaçtır?
B) 28
C) (A ∩ B) – (B ∪ C)
8.
s(A ∪ B) = 60
A) 24
B) C – (A ∩ B)
E) 9
s( A ) s(B) s( A ∩ B)
=
=
7
12
4
4.
A) (A ∩ B) – C
C) 32
D) 36
E) 40
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
9. SINIF MATEMATİK
E) 18
85
Kümeler
Kümeler - Bölüm 02
9.
13.
A = {x: |x – 5| > 3, x ∈ Z}
olduğuna göre, A′ kümesinin 3 elemanlı kaç alt
a ∈ A ∩ B ve A ∩ B nin a yı eleman kabul etmeyen
kümesi vardır?
A) 4
B) 6
A kümesinin 4 elemanı B kümesinin de 5 elemanı
A ∩ B kümesinin elemanı değildir.
C) 16
D) 20
alt küme sayısı 16 ise, A ∪ B nin eleman sayısı
E) 35
kaçtır?
A) 12
10.
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
A ⊄ B, C ⊄ B ve A ⊄ C
s(A) = 3
s(B) = 7
s(C) = 6
olduğuna göre, s(A ∪ B ∪ C) en az kaç olabilir?
A) 7
B) 8
C) 10
D) 12
14.
E)16
A da olup, B de olmayan elemanların kümesi {3, 5},
B de olup A da olmayan elemanların kümesi {2, 6, 8}
dir.
Hem A hem de B de olan elemanların kümesi {1}
olduğuna göre, A ∪ B nin öz alt küme sayısı kaçtır?
A) 31
11.
B) 63
C) 127
D) 255
E) 511
İki kümenin alt küme sayılarının toplamı 96 ise,
bu kümelerin eleman sayılarının toplamı kaçtır?
A) 8
12.
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
s(E) = 26
15.
sayısı, 3 elemanlı alt kümelerinin sayısından 5 ek-
s(A) = s(A′)
siktir.
Buna göre, n kaçtır?
olduğuna göre, s(B – A) kaçtır?
A) 5
1.E
86
n elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin
s(A ∪ B) = 14
B) 4
2.B
3.A
9. SINIF MATEMATİK
C) 3
4.B
D) 2
5.B
A) 5
E) 1
6.E
7.E
8.A
9.E
B) 6
10.B
11.D
C) 7
12.E
D) 8
13.C
E) 9
14.B
15.B
Kümeler
Kümeler - Bölüm 02
4.
TEST - 4
Bir A kümesinin öz alt küme sayısı 15 olduğuna
göre, bu küme kaç elemanlıdır?
A) 2
1.
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
E evrensel küme, A ⊂ E, B ⊂ E olmak üzere,
(A′ ∪ B)′ ∪ (A′ – B)
nin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) E
B) B′
C) A′
D) A ∩ B E) ∅
5.
2.
A ve B ayrık kümeler olup, A nın alt küme sayısı 32,
A = {1, a, {1}, {a}}
B nin alt küme sayısı 16 dır.
B = {{a}, {1, a}}
Buna göre, A ∪ B nin alt küme sayısı kaçtır?
A) 25
olduğuna göre, B – A fark kümesi aşağıdakiler-
B) 26
C) 27
D) 28
E) 29
den hangisidir?
A) {{1, a}}
B) {1, {1}, {a}}
C) {1, a}
D) {1, {1}, a}
E) {{a}, {1, a}}
3.
6.
A = {∅, {1}, 1, {1, 2}}
A ∪ B = {a, b, c, d, e, f}
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A – B = {a, b, c}
olduğuna göre, B kümesinin kaç alt kümesi var-
A) s(A) = 4
D) {1} ⊂ A
B) {1} ∈ A
C) ∅ ∈ A
E) {1, 2} ⊂ A
dır?
A) 2
B) 4
C) 8
D) 16
9. SINIF MATEMATİK
E) 32
87
Kümeler
Kümeler - Bölüm 02
7.
10.
s(A ∩ B) = 2
A⊂B
s(A – B) = 3
s(A′) = 14
olduğuna göre, s(A ∪ B) en az kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
s(B′) = 10
s(A ∪ B) = 9
E) 8
olduğuna göre, A kümesinin öz alt küme sayısı
kaçtır?
A) 7
8.
B) 15
C) 31
D) 63
E) 127
s(A ∩ B) = 2 ⋅ s(A – B) = 3 ⋅ s(B – A)
s(A ∪ B) = 44
olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 24
B) 28
C) 32
D) 36
E) 40
11.
A ve B aynı evrensel kümenin alt kümeleridir.
s(A′) = 8
s(B′) = 10
olduğuna göre, s(A) – s(B) farkı kaçtır?
A) 2
9.
A
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
B
C
Taralı bölgenin ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
12.
A–B≠∅
A) (A ∩ B ∩ C) ∪ C
s(A – B) = s(B – A)
B) (A ∪ B ∪ C) – (A ∩ B ∩ C)
C) B ∩ [(A ∪ C) – (A ∩ C)]
88
s(A) + 2s(B) = 18
olduğuna göre, A kümesinin eleman sayısı kaç-
D) A ∩ (B – C)
tır?
E) (A ∩ B) – (A ∪ C)
A) 12
9. SINIF MATEMATİK
B) 10
C) 9
D) 8
E) 6
Kümeler
Kümeler - Bölüm 02
13.
16.
E evrensel küme ve B ⊂ C ⊂ A olmak üzere,
(A ∩ B′) ∩ (A′ ∪ C′)
nin öz alt küme sayısı kaçtır?
ifadesinin eşiti nedir?
A) A – C
A) 7
B) A′
B) 15
D) 63
E) 127
E) E
17.
Aşağıdakilerden hangisi,
A = {a, b, {c}, {a, b}}
A ve B boş olmayan iki kümedir.
kümesinin bir alt kümesi değildir?
s(A) = 10
A) {{a, b}}
s(B) = 4
B) 5
C) 6
D) 8
B) {a, b}
C) {c}
D) {a}
olduğuna göre, s(A – B) en az kaçtır?
A) 4
C) 31
C) B′
D) C′
14.
Bir A kümesinin alt küme sayısını 16 katına çıkarmak için eklenen elemanların oluşturduğu küme-
E) {b}
E) 10
18.
A ve B birer küme olmak üzere,
A – B kümesinin eleman sayısı 3,
15.
B – A kümesinin eleman sayısı 4,
A ve B iki kümedir.
B kümesinin eleman sayısı 8
s(A – B) = s(B – A) = s(A ∩ B)
olduğuna göre, A ∪ B kümesinin öz alt küme sa-
olduğuna göre, A ∪ B kümesinin eleman sayısı
yısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
kaçtır?
A) 8
1.B
2.A
B) 15
3.E
C) 63
4.C
5.E
D) 127
6.C
7.B
A) 7
E) 255
8.C
9.C
10.C
11.A
B) 8
12.E
13.A
C) 9
14.C
D) 10
15.C
16.B
E) 11
17.C
9. SINIF MATEMATİK
18.E
89
Kümeler
Kümeler - Bölüm 02
4.
TEST - 5
A, B, C gibi üç küme için aşağıdakilerden hangisi
her zaman doğrudur?
A) (A ∪ B) ∩ C = A ∪ (B ∩ C)
1.
s(A \ B) = 9
B) (A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C)
s(B \ A) = 7
C) (A ∩ B) ∪ C = A
D) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
ve A ∩ B nin alt küme sayısı 128 olduğuna göre,
s(A ∪ B) kaçtır?
A) 16
2.
B) 21
E) A ⊂ B ise A ∪ B = A
C) 23
D) 24
E) 28
Bir E evrensel kümesindeki A ve B kümeleri
için,
5.
s(A) + s(B′) = 15
kümesi hangi kümeye eşittir?
s(A′) + s(B) = 17
A) A ∩ B′
olduğuna göre, s(E) kaçtır?
A) 24
3.
B) 22
C) 20
[A ∩ (B ∩ A′)′] ∩ (B ′ ∪ A′)′
D) 18
E) 16
B) A ∩ B
C) B
E) ∅
D) A
A = {1, 2, 3}
B = {a, b, c, d}
6.
kümeleri veriliyor.
A ∪ B nin alt kümelerinden kaçında B nin en az
90
B) 64
9. SINIF MATEMATİK
16 dır.
A nın alt küme sayısı en çok kaçtır?
bir elemanı vardır?
A) 32
A \ B nin öz alt küme sayısı 7, B nin alt küme sayısı
C) 120
D) 128
E) 256
A) 128
B) 64
C) 32
D) 16
E) 8
Kümeler
Kümeler - Bölüm 02
7.
10.
A
A = {a, b, c, de, e, f}
B
B = {e, f}
kümeleri veriliyor.
B ⊂ C ⊂ A koşulunu sağlayan kaç tane C kümesi
C
vardır?
Yukarıdaki şekilde taralı kısmın ifadesi aşağıda-
A) 64
B) 32
C) 16
D) 8
E) 4
kilerden hangisidir?
A) (A ∪ B) \ C
B) B \ C
C) A ∩ (C \ B)
D) A ∩ C
E) B \ (A ∩ C)
11.
A ∩ B nin alt küme sayısı 16,
A ∪ B nin öz alt küme sayısı 255,
8.
s(B ∩ A′) = 1
Boş ve kendinden başka alt kümelerinin sayısı
olduğuna göre, s(A \ B) kaçtır?
30 olan küme kaç elemanlıdır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
A) 1
E) 6
12.
9.
a bulunup, b bulunmaz?
C) 12
D) 4
E) 5
A ∩ F = E dir.
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaçında
B) 10
C) 3
A∩B=C
A = {a, b, c, d, e, f, k}
A) 8
B) 2
C ⊂ E olduğuna göre, A ∩ (B ∪ F) kümesi nedir?
A) E
D) 15
E) 16
B) A
D) B ∪ F
C) B
E) ∅
9. SINIF MATEMATİK
91
Kümeler
Kümeler - Bölüm 02
13.
16.
A \ B = {‘, Õ, 3, 2}
manı m ve n olsun.
A ∩ B = {1, a, b}
Bu kümenin m ve n yi daima bulunduran 4 ele-
olduğuna göre, A kümesinin 2 elemanlı alt küme
manlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
sayısı nedir?
A) 18
14.
B) 21
Alt kümelerinin sayısı 128 olan bir kümenin iki ele-
C) 28
D) 35
A) 10
E) 42
B) 18
D) 32
E) 64
(A ∩ C) \ B = {1, 3}
(B ∩ C) \ A = {a, b, c}
17.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
İki çeşit gazete okuyan 50 kişiden 24 tanesi A gazetesini, her iki gazeteyi okuyanların 3 katı da B
olduğuna göre, C kümesi en az kaç elemanlıdır?
gazetesini okuduğuna göre, B gazetesini okuyan
E) 5
kaç kişi vardır?
A) 25
15.
C) 26
B) 27
C) 30
D) 33
E) 39
A ve B iki kümedir.
s(B) = 2s(A)
s(A \ B) = 3
ve s(A ∩ B) nin öz alt küme sayısı 31 olduğuna
18.
göre, s(A ∪ B) kaçtır?
A) 12
1.C
92
2.E
B) 14
3.C
nesi 4 veya 10 ile kalansız bölünür?
C) 16
4.D
9. SINIF MATEMATİK
49 dan 401 e kadar olan doğal sayılardan kaç ta-
5.B
D) 17
6.A
7.C
A) 103
E) 19
8.D
9.B
10.C
11.C
12.A
B) 104
13.B
C) 106
14.E
15.E
D) 114
16.A
E) 115
17.E
18.C
Kümeler
Kümeler - Bölüm 02
4.
TEST - 6
2 ⋅ s(B – A) = s(A – B)
s(A ∩ B) = 3
B – A nın öz alt küme sayısı 255 olduğuna göre,
1.
s(A ∪ B) kaçtır?
6 elemanlı bir kümenin en az 4 elemanlı alt küme
A) 9
sayısı kaçtır?
A) 37
B) 27
C) 22
D) 16
B) 15
C) 24
D) 27
E) 32
E) 7
5.
18 kişilik bir grupta, hem futbol hem de basketbol oynayanların sayısı futbol veya basketbol oynayanların
sayısının yarısıdır.
Ne futbol ne de basketbol oynayan 2 kişi olduğuna göre, bu iki oyundan yalnız birini oynayan kaç
kişi vardır?
2.
A) 4
A – B, A ∩ B, B – A kümelerinin alt küme sayıları
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
sırasıyla 8, 16 ve 2 dir.
Buna göre, A ∪ B kümesinin 3 elemanlı alt küme
sayısı kaçtır?
A) 56
B) 48
C) 35
D) 20
E) 10
6.
A, B ve C sporlarından en az birinin oynandığı bir
grupta A ve B yi oynayan 5, B ve C yi oynayan 6,
A ve C yi oynayan 4 kişi vardır. Her üç oyunu da
oynayanların sayısı 3, yalnız bir oyun oynayanların
sayısı ise 12 kişidir.
Buna göre, bu grup kaç kişidir?
A) 32
3.
B) 30
C) 27
D) 23
E) 21
s(A) = 4x + 2
s(B) = 4x + 6
7.
s(A ∩ B) = 2x + 2
lenlerin oluşturduğu 36 kişilik bir grupta, yalnız
Almanca, yalnız İngilizce ve her iki dili bilen kişi
s(A ∪ B) = 18
sayısı eşit olduğuna göre, bu grupta kaç kişi
olduğuna göre, s(B – A) kaçtır?
A) 10
B) 8
Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bi-
C) 6
D) 4
İngilizce bilip de Almanca bilmemektedir?
E) 2
A) 12
B) 16
C) 18
D) 24
9. SINIF MATEMATİK
E) 30
93
Kümeler
8.
Kümeler - Bölüm 02
11.
Matematik ve Kimya derslerininn en az birinden ba-
Bir köydeki evlerin % 85 inde televizyon, % 95 inde
şarılı olan öğrencilerin oluşturduğu bir grupta her iki
buzdolabı olup, % 2 sinde bu iki beyaz eşyadan hiç-
dersten başarılı olanların sayısı, yalnız Kimyadan
biri yoktur.
1
üne ve Mabaşarılı olan öğrencilerin sayısının
4
tematikten başarılı olanların ise
Buna göre, buzdolabı olup da, televizyonu olmayan ev sayısı köydeki ev sayısının yüzde kaçı-
1
üne eşittir.
3
dır?
Bu gruptaki öğrenci sayısı aşağıdakilerden han-
A) 15
B) 14
C) 13
D) 12
E) 10
gisi olabilir?
A) 15
B) 28
C) 32
D) 36
E) 44
12.
“Futbol, voleybol ve basketbol oynandığı bir toplulukta basketbol oynayan herkes voleybol da oynamaktadır.”
Yukarıda anlatılan durum aşağıdaki şekillerden
hangisi ile ifade edilebilir?
A)
9.
B)
V
F
V
B
F
Basketbol, voleybol, futbol oyunlarının oynandığı bir grupta,
B
en az iki oyun oynayan kişi sayısı 30,
C)
en çok bir oyun oynayan kişi sayısı 10,
D)
V
F
en çok iki oyun oynayan kişi sayısı 18
V
F
B
B
olduğuna göre, her üç oyunu da oynayan kaç kişi
vardır?
A) 34
B) 30
C) 28
D) 24
E)
E) 22
B
F
V
10.
Bir sınıftaki öğrencilerin % 48 i Matematikten, % 68 i
13.
Edebiyattan başarılı olmuştur.
lardan 17 tanesi kırmızı değildir. Beyaz olmayanlar-
Bu sınıfta bu derslerin her ikisinden de başarısız
la, siyah olanların toplamı 24, siyah olmayanlarla,
olan öğrenci sayısı sınıfın % 6 sı olduğuna göre,
kırmızı olanların toplamı ise 35 dir.
her iki dersten başarılı öğrenci sayısı en az kaç
olabilir?
A) 36
1.C
94
Bu kutuda kaç tane kırmızı top vardır?
B) 22
2.A
Bir kutuda siyah, beyaz ve kırmızı toplar vardır. Bun-
C) 20
3.B
9. SINIF MATEMATİK
4.D
D) 11
5.C
E) 9
6.E
A) 6
7.A
8.B
B) 8
9.E
C) 9
10.D
D) 10
11.C
12.D
E) 12
13.E
Kümeler
Kümeler - Bölüm 02
4.
TEST - 7
Bir sınıfta 36 öğrenci vardır.
Bu öğrencilerin 29 u geometriden, 18 i fizikten
bütünlemeye kaldığına göre, her iki dersten de
bütünlemeye kalan öğrenci sayısı en çok kaçtır?
1.
35 kişilik bir sınıftaki herkes İngilizce veya Almanca
A) 9
dillerinden en az birini bilmektedir.
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Bu sınıfta yalnız Almanca bilenlerin sayısı, yalnız
3
katı olup, Alman2
ca ve İngilizce bilenlerin sayısı 10 olduğuna göre,
İngilizce bilenlerin sayısının
Almanca bilmeyenlerin sayısı kaçtır?
A) 5
B) 10
C) 15
D) 20
E) 25
5.
Bir gruptaki futbol ya da basketbol oynayanların
sayısı 48, futbol veya basketbol oynamayanların
sayısı 32, futbol ve basketbol oynayanların sayısı
14 olduğuna göre, bu grupta kaç kişi vardır?
2.
Bir sınıftaki öğrencilerin % 24 ü Matematik ve Fizik
A) 66
B) 80
C) 88
D) 94
E) 108
derslerinden başarılı, % 36 sı ise her iki dersten de
başarısızdır.
Bu sınıftaki öğrenci sayısı en az kaç olabilir?
A) 10
B) 20
C) 25
D) 40
E) 50
6.
Bir gruptaki ingilizce ile İspanyolca dillerinden en çok
birini bilenlerin sayısı 24 tür.
3.
80 kişilik bir sınıftaki öğrencilerden İngilizce bilip,
Bu gruptaki İngilizce ve İspanyolca bilenlerin sa-
Fransızca bilmeyenlerin sayısı 12, Fransızca bilip,
yısı 12 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi
İngilizce bilmeyenlerin sayısı 8 dir.
bulunabilir?
Bu sınıftaki İngilizce veya Fransızca dillerinden
A) Gruptaki kişi sayısı
hiçbirini bilmeyen öğrenci sayısı, İngilizce ve
Fransızca dillerinin ikisini de bilen öğrenci sayısının 2 katı olduğuna göre, Fransızca bilen öğrenci sayısı kaçtır?
A) 12
B) 18
B) İngilizce bilenlerin sayısı
C) Yalnız İspanyolca bilenlerin sayısı
D) İngilizce bilip, İspanyolca bilmeyen kişi sayısı
C) 24
D) 28
E) 38
E) İngilizce veya İspanyolca bilmeyen kişi sayısı
9. SINIF MATEMATİK
95
Kümeler
7.
Kümeler - Bölüm 02
Bir sınıftaki Türkçe ile İngilizce derslerinin en az bi-
10.
Öğrencilerin % 40 ının Matematikten, % 80 inin
rinden başarılı olan öğrenci sayısı 30, en çok birin-
Türkçe’den başarılı olduğu bir sınıfta her iki dersten
den başarılı olan öğrenci sayısı 40 tır.
de başarısız öğrenci yoktur.
Bu sınıftaki öğrencilerden İngilizce veya Türkçe
Bu sınıfta her iki dersten de başarılı olan öğrenci
derslerinden başarısız olan öğrenci sayısı, her iki
sayısı 5 olduğuna göre, sınıftaki öğrenci sayısı
dersten de başarılı olan öğrenci sayısından kaç
kaçtır?
fazladır?
A) 10
A) 15
B) 20
C) 30
D) 35
B) 20
C) 25
D) 30
E) 35
E) 40
11.
52 kişilik bir sınıftaki herkes İngilizce veya Almanca
dillerinden en az birini bilmektedir. Bu sınıftaki İngilizce ve Almanca bilenlerin sayısı 8 dir.
8.
48 kişilik bir sınıfta Rusça ile İtalyanca dillerin-
İngilizce bilenlerin sayısı, Almanca bilenlerin sa-
den en az birini bilenlerin sayısı 32, en çok birini
yısının iki katı olduğuna göre, sadece İngilizce
bilenlerin sayısı 24 olduğuna göre, Rusça ya da
bilen kaç kişi vardır?
İtalyanca bilenlerin sayısı kaçtır?
A) 4
B) 6
C) 8
A) 12
D) 9
B) 20
C) 28
D) 30
E) 32
E) 12
12.
Bir sınıftaki kızların % 30 u matematikten başarılı,
erkeklerin ise % 20 si matematikten başarısızdır.
9.
30 kişilik bir sınıftaki herkes Almanca bilmektedir.
Sınıftaki öğrenci sayısı 60 olup, kızların sayısı
Bu sınıfta İngilizce ve İtalyanca bilen 10 kişi olup,
üç dilden sadece ikisini bilen 12 kişi olduğuna
bu sınıfta matematikten başarılı olan kaç öğrenci
göre, sadece Almanca bilen kaç kişi vardır?
vardır?
A) 4
A) 30
1.B
96
erkeklerin sayısının 2 katına eşit olduğuna göre,
B) 5
2.C
C) 6
3.D
9. SINIF MATEMATİK
D) 7
4.C
E) 8
5.D
6.A
7.A
8.C
B) 28
9.E
C) 26
10.C
D) 24
11.E
E) 20
12.B
KARTEZYEN ÇARPIM - BÖLÜM 03
GİRİŞ
SIRALI İKİLİ
TANIM
Günlük yaşamımızda, bir şeyi bir başka şeyle ilişkilendi-
a bir nesne , b de başka bir nesne olsun. (a,b) yazılışına
ren bir çok olay ve durumla karşılaşırız. Örneğin ara-
sıralı ikili denir.
balar ve plakaları, bir mağazadaki ürünler ve fiyatları,
bir araç ve aracın maksimum hızı vb. iki şey arasında
kurulan bu ilişkiye bağıntı adını veririz. Matematiksel
Bu yazılışta sıranın önemi olduğundan a ya sıralı ikilinin 1.
bileşeni, b’ye de sıralı ikilinin 2. bileşeni denir.
anlamda bağıntının tanımını vermeden önce bağıntıyı
gerçek anlamda nasıl kullandığımızı biraz daha sorgulayalım.
Bağıntı her şeyden önce en az iki şey arasında kurulur.
TANIM
Yani bir şeye bağıntı diyebilmemiz için en az iki nesne
olmalıdır. Bu nesneler aynı da olabilir farklı da olabilir.
Verilen iki sıralı ikilinin birinin birinci bileşeni, diğerinin bi-
Önemli olan iki şey arasında bir ilişkinin olmasıdır. Bağıntı
rinci bileşenine, ikinci bileşeni de diğerinin ikinci bileşeni-
sadece matematik için değil bir çok bilim dalının vazgeçil-
ne eşitse bu sıralı ikililer eşittir denir.
mez araçlarından biridir.
(a,b) = (c,d) ⇔ a = c ve b = d
SIRALI İKİLİ
Bir sinemaya gittiğinizde biletin üzerinde genellikle biri
harf diğeri numara olan bir ikili görürüz. Örneğin (D,8)
DNA 1
gibi. Bunu okuduğumuzda anlarız ki D harfinin bulunduğu
sıradaki 8 nolu koltuk bizim yerimiz. Bir başka örnek verelim. Süper lig fikstürüne baktığınızda,
Fenerbahçe - Gençlerbirliği
Galatasaray - Konyaspor
(2x – 1, y + 2) = (5, x)
olduğuna göre, (y,x) sıralı ikilisi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (3,1)
B) (1,3)
D) (3,2)
Ankaragücü - Beşiktaş
C) (2,3)
E) (–1,3)
Gaziantepspor - Trabzonspor
gibi ikililer görürüz. Galatasaray - Konyaspor
Çözüm
ile Konyaspor - Galatasaray arasındaki farkı bilmeyenimiz
(2x – 1, y + 2) = (5, x)
yok gibidir. Biz yine de aradaki farkı açıklayalım.
Galatasaray - Konyaspor, maçın Galatasaray’ın saha-
Karşılıklı bileşenleri eşit olacağından
2x – 1 = 5 ve y + 2 = x
sında; Konyaspor - Galatasaray ise maçın Konyaspor’un
sahasında oynandığını belirtir. Yani sıranın burada önemi
vardır.
Bir başka örnek; yolculuk için aldığınız biletin üzerinde
olmalıdır.
Bu denklemler çözülürse x = 3 ve y = 1 bulunur. Bizden
(y,x) ikilisini istediğinden, cevap (1,3) tür.
İzmir-Ankara yazıyorsa İzmir’den Ankara’ya gidiyorsunuz demektir. Demek ki ikililerin yazılışında sıranın önemi
Doğru Seçenek B
var.
9. SINIF MATEMATİK
97
Sıralı İkili
Kartezyen Çarpım - Bölüm 03
Çözüm
(3, x, 2x) = (y, z, 16)
(x + y, 3) = (1, x – y)
olduğuna göre, (x ⋅ y, x) sıralı ikilisi aşağıdakilerden
Karşılıklı bileşenleri eşit olacağından,
hangisidir?
y = 3 x = z 2x = 16 = 24 x = 4 olup,
A) (–2,2)
B) (2,–2)
D) (1,–2)
C) (2,2)
E) (–1,3)
x+ y + z = 4 + 3 + 4 = 11
bulunur.
Doğru Seçenek E
(8x, x + y) = (2, 2x – y)
olduğuna göre, x – y farkı kaçtır?
A) 1
3
B) 2
3
C) 1
6
D) 2
(2x – y, x + y, 4) = (5,1,z)
E) 3
olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
TANIM
a1, a2, a3, …, an birer nesne olsun.
(a1, a2, a3, …, an) yazılışına sıralı n li denir.
1 ⎞
⎛
(3 x , 2y , 5z ) = ⎜ 27, , 1⎟
8 ⎠
⎝
TANIM
olduğuna göre, x ⋅ y ⋅ z çarpımı kaçtır?
İki sıralı ikilinin eşitliğine benzer olarak sıralı n lilerin eşitli-
A) –6
B) –2
C) –1
D) 0
E) 1
ği aşağıdaki gibi tanımlanır.
(a1, a2, a3, …, an) = (b1, b2, b3, …, bn) ⇔ a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn
DNA 3
DNA 2
A = {a, b}
Birinci bileşeni A kümesinden ikinci bileşeni B kü-
(3, x, 2x) = (y, z, 16)
mesinden alınarak en çok kaç farklı sıralı ikili yazı-
olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır?
A) 7
98
B) 8
C) 9
9. SINIF MATEMATİK
B = {x, y, z} kümeleri veriliyor.
D) 10
labilir?
E) 11
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Kartezyen Çarpımın Tanımı
Kartezyen Çarpım - Bölüm 03
KARTEZYEN ÇARPIM
Çözüm
Kümeler konusunda iyi ki çarparak saymayı öğrenmişiz.
TANIM
☺
A ve B boş olmayan iki küme olsun. Birinci bileşeni A kü-
(? ⋅ ?)
mesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluştu-
ya a ya da b
ya x ya y ya da z
iki durum
üç durum
rulan tüm sıralı ikililerinin oluşturduğu kümeye A ile B nin
kartezyen çarpımı denir ve A x B ile gösterilir.
A x B = {(a, b)| a ∈ A ve b ∈ B}
Var olan her iki durum için karşımıza 3 değişik durum çık-
Bu tanıma göre A ≠ B olmak üzere A x B ≠ B x A dır.
tığından 2 ⋅ 3 = 6 farklı sıralı ikili yazabiliriz.
Doğru Seçenek D
(Neden?)
Analitik
geometrinin
kurucularından
sayılan
DESCARTES geometrik şekiller ile cebirsel denklemlerin birbiriyle ilişkilerini ikililer yardımı ile ifade etmiştir. Bu yüzden bu çarpıma onun adı verilmiştir.
Hazine 1
Bir seyahat acentesi kalkış yeri İzmir veya İstanbul, varış
yeri Kapadokya, Marmaris, Antalya veya Van şehirlerin-
s(A x B) = s(B x A) = s(A) ⋅ s(B) dir.
den herhangi biri olan turlar düzenliyor.
Buna göre bu acente kalkış yeri İstanbul veya İzmir
olan kaç farklı tur düzenlemiş olur?
A) 8
B) 7
C) 6
DNA 4
D) 5
E) 4
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {a, b, c, d}
olduğuna göre, s(A x B) kaçtır?
A) 12
B) 18
C) 20
D) 24
E) 30
Çözüm
Hazine 1’den,
Türkiye Süper ligine katılan 18 takım biri kendi diğeri rakip
s(A x B) = s(A) x s(B)
sahada olmak üzere her takımla karşılaşıyor.
Tüm sezon boyunca toplam kaç maç olur?
A) 182
B) 18 ⋅ 17
D) 16 ⋅ 17
C) 9 ⋅ 17
E) 8 ⋅ 17
= 5 ⋅ 4 = 20
buluruz.
Doğru Seçenek C
9. SINIF MATEMATİK
99
Kartezyen Çarpımın Geometrik Gösterimi
Kartezyen Çarpım - Bölüm 03
DNA 5
A = {–1, 0, 1}
B = {a, 1, c, 0}
Buna göre, A x B nin grafiği aşağıdakilerden han-
olduğuna göre, s(B x A) kaçtır?
A) 6
B = {x| 1 ≤ x < 3 x ∈ R}
A = {1, 2}
kümeleri veriliyor.
B) 8
gisidir?
C) 9
D) 12
E) 16
A)
B)
B
3
3
1
1
0
C)
A ve B birer kümedir.
s(A) = 4
1
A
2
D)
3
3
1
1
0
1
A
2
E)
0
1
A
2
B
1
3
A
B
3
olduğuna göre, s(B) kaçtır?
B) 5
0
B
s(A x B) = 24
A) 4
B
C) 6
D) 8
E) 9
1
0
1
2
A
KARTEZYEN ÇARPIMIN DİK KOORDİNATLARDA
GÖSTERİLMESİ
AxB kartezyen çarpımı A kümesinin elemanları yatay eksen, B kümesinin elemanları da dikey eksen olarak alınıp
resmedilebilir. Bu resme AxB nin grafiği de dendiğini anımsatarak bu resmin ne olduğunu bir örnekle açıklayalım.
A = {1, 2, 3, 4} ve B = {a, b}
Çözüm
A x B = {(x, y)| x = 1 veya x = 2 ve 1 ≤ y < 3 y ∈ R}
O halde bulacağımız noktaların birinci bileşenleri 1 veya 2
olsun.
ikinci bileşenleri ise 1 ile 3 arasında değişen gerçek sayı-
O zaman, A x B nin grafiğini aşağıdaki gibi gösterebiliriz.
lar olmalıdır.
⎛ 3⎞
Örneğin (1, 2), ⎜ 1, ⎟ , (1, 2 ), (2, 2 ) gibi noktalar aradığı⎝ 2⎠
B
b
a
0
100
mız noktalardır. Dikkat ettiyseniz y = 1 olabiliyor ama
(1,b) (2,b) (3,b) (4,b)
y = 3 olamıyor. Bunun için grafiğimiz üzerinde (1,3) ve
(1,a) (2,a) (3,a) (4,a)
1
9. SINIF MATEMATİK
2
3
4
(2,3) noktaları olamaz. Bu noktaların dahil olmamasını
A
noktaların içini boş alarak gösteriyoruz.
Kartezyen Çarpım - Bölüm ??
Kartezyen Çarpımın Geometrik Gösterimi
Artık grafiğimizi çizebiliriz.
B
3
A = {x| –1≤ x ≤ 2 ve x ∈ R}
y nin
deðiþim
aralýðý
B = {y| 0 ≤ y ≤ 3 ve y ∈ R}
1
kümeleri veriyor.
A
x=1 x=2
0
Doğru Seçenek A
Buna göre, A x B nin grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
3
B
2
2
1
1
–1 0
C)
B)
B
3
1
–1 0
A
2
–1 0
D)
B
A
2
E)
3
2
B
–1 0
3
A
2
A
B
2
A = {x| –1≤ x < 2 ve x ∈ R}
1
B = {y| 0 ≤ y < 3 ve y ∈ Z}
–1 0
2
A
kümeleri veriyor.
Buna göre, A x B nin grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
B
DNA 6
B
3
2
2
1
1
–1 0
C)
A
2
B
2
–1 0
D)
B
2
A
B
0
3
2
2
1
1
–1 0
A
2
–1 0
E)
B
3
A
Aşağıdaki kartezyen çarpımlardan hangisinin grafiği yukarıda verilmiştir?
2
A
A) A x B = {(x,y)| 1≤ x < 2
ve x, y ∈ R}
B) A x B = {(x,y)| 1≤ y < 2
ve x, y ∈ R}
C) A x B = {(x,y)| 1≤ x ≤ 2 ve x, y ∈ R}
2
1
–1 0
1
D) A x B = {(x,y)| 1≤ y ≤ 2 ve x, y ∈ R}
2
A
E) A x B = {(x,y)| y = 1 veya y = 2 ve x ∈ R}
9. SINIF MATEMATİK
101
Kartezyen Çarpım - Bölüm 03
Özellikler
Şimdi de kartezyen çarpımın Hazine’lerini verelim.
Çözüm
Grafiği incelediğimizde y nin 1 ile 2 arasında ve üzerinde
herhangi bir değeri alabildiğini ve x in her gerçek sayı değerini alabildiğini görüyoruz. O halde 1≤ y ≤ 2 iken x her
gerçek sayı olabilir.
Doğru Seçenek D
Hazine 2
(Sağdan dağılma özelliği)
A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)
A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
(Soldan dağılma özelliği)
(B ∪ C) x A = (B x A) ∪ (C x A)
B
(B ∩ C) x A = (B x A) ∩ (C x A)
1
(Birleşme özelliği)
0
1
A
A x (B x C) = (A x B) x C = A x B x C
Aşağıdaki kartezyen çarpımlardan hangisinin grafiği
yukarıda verilmiştir?
A) A x B = {(x,y)| 0 ≤ x < 1 ve x,y ∈ R}
B) A x B = {(x,y)| 0 ≤ y < 1 ve x,y ∈ R}
C) A x B = {(x,y)| 0 ≤ x ≤ 1 ve x,y ∈ R}
Işık 1
D) A x B = {(x,y)| 0 ≤ y ≤ 1 ve x,y ∈ R}
A x B = ∅ ⇔ A = ∅ veya B = ∅
E) A x B = {(x,y)| 0 ≤ x < 1 ve 1 ≤ y ve x,y ∈ R}
A ⊂ B ve C ⊂ D ⇒ A x C ⊂ B x D
B
DNA 7
y=x
A ∪ B = {a, b}
C = {1, 2}
0
1
A
Aşağıdaki kartezyen çarpımlardan hangisinin grafiği
olduğuna göre, (A x C) ∪ (B x C) aşağıdakilerden
hangisidir?
A) {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}
yukarıda verilmiştir?
A) A x B = {(x,y)| x ≤ 1
ve y < x, x,y ∈ R}
B) {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}
B) A x B = {(x,y)| x ≤ 1
ve x < y, x,y ∈ R}
C) {(a, 1), (b, 1)}
C) A x B = {(x,y)| 0 ≤ x
ve x < y, x,y ∈ R}
D) {(1, a), (1, b)}
D) A x B = {(x,y)| x ≤ 1
ve x,y ∈ R}
E) A x B= {(x,y)| 0 ≤ x < 1 ve x ≤ y, x,y ∈ R}
102
9. SINIF MATEMATİK
E) {(1, 1), (a, a)}
Özellikler
Kartezyen Çarpım - Bölüm 03
Çözüm
DNA 8
A = {–1, 0, 1, 2}
(A x C) ∪ (B x C) = (A ∪ B) x C
B = {–2, 1, 2}
= {a, b} x {1, 2}
= {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}
buluruz.
Doğru Seçenek A
olduğuna göre, A x B nin elemanlarını dışarıda bırakmayan en küçük dikdörtgenin çevresi kaç birimdir?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 15
E) 16
Çözüm
A ∩ B = {1, 2}
A x B = {(–1, –2), (–1, 1), (–1, 2), ..., (2, 2)}
C = {1}
B
olduğuna göre, (C x A) ∩ (C x B) aşağıdakilerden han-
3 birim
gisidir?
2
A) {(1, 1), (1, 2)}
4 birim
B) {(1, 1), (2, 1)}
1
–1
0
–1
C) {(1, 1), (2, 1), (1, 2)}
1
2
A
–2
D) {(1, 1), (2, 2)}
E) {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
A x B nin elemanlarını dışarıda bırakmayan en küçük dikdörtgenin çevresi,
4 br + 3 br + 4 br + 3 br = 14 br
dir.
Doğru Seçenek C
A = {1, a}
B = {a, {b}, c}
C = {a, b, d, e}
olduğuna göre, (B x A) ∩ (C x A) aşağıdakilerden hangisidir?
A = {2, 3, 6}
A) {(1, a), (a, a), (1, b), (a, b)}
B = {–4, –3, –1}
B) {(a, 1), (a, a), (b, 1), (b, a)}
C) {(a, 1), (a, a), (1, b), (a, b)}
olduğuna göre, A x B nin elemanlarını dışarıda bırakmayan en küçük dikdörtgenin alanı kaç birim kare-
D) {(1, a), (a, a)}
dir?
E) {(a, 1), (a, a)}
A) 12
B) 15
C) 16
D) 18
9. SINIF MATEMATİK
E) 24
103
Kartezyen Çarpım
Kartezyen Çarpım - Bölüm 03
5.
TEST - 1
1.
A = {a, b, c, d}
B = {{1, 2}, 3, 4, 5}
C = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
(2x+1, y + x) = (3, 2 – x)
kümeleri veriliyor.
eşitliğini sağlayan (x, y) ikilisi nedir?
A) (1, –2)
B) (1, –1)
D) (2, 0)
Aşağıdaki ikililerden hangileri (A x B) ∩ (A x C)
C) (1, 0)
kümesinin elemanıdır?
E) (2, –2)
I. (a, 3)
II. (a, 5)
III. (b, 2)
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
2.
C) Yalnız III
E) I, II ve III
(x – y, x + y) = (4, –8)
eşitliğine göre, x ⋅ y çarpımı kaçtır?
A) 16
B) 12
C) 6
D) –12
E) –16
6.
A = {x| 1 ≤ x < 6, x ∈ Z}
B = {x| –2 ≤ x < 5, x ∈ Z}
olduğuna göre, s(A x B) kaçtır?
A) 24
3.
B) 28
C) 30
D) 32
E) 35
(x2, y + x) = (16, 3)
eşitliğine göre, x – y nin alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) –11
B) –8
7.
Bir sınıftaki öğrencilerin herbiri diğer arkadaşlarına
birer hediye alacaktır.
C) 0
D) 3
E) 5
Sınıf 12 kişi olduğuna göre, toplam kaç hediye
alınır?
A) 132
8.
4.
104
9. SINIF MATEMATİK
C) 0
D) –1
D) 164
E) 216
B = {y| –1 < x ≤ 5, y ∈ Z}
Birinci bileşeni B den ikinci bileşeni A dan alına-
olduğuna göre, x ⋅ y ⋅ z çarpımı kaçtır?
B) 3
C) 156
A = {x| –2 ≤ x < 4, x ∈ Z}
(x + z, x + y, y + z) = (1, 2, 3)
A) 6
B) 144
rak en çok kaç tane (y, x) ikilisi yazılabilir?
E) –2
A) 20
B) 24
C) 36
D) 42
E) 49
Kartezyen Çarpım
Kartezyen Çarpım - Bölüm 03
9.
Aşağıda verilenlerden hangisi ya da hangileri da-
11.
B
ima doğrudur?
2
I. A ve B birbirinden ve boştan farklı iki küme ise;
1
AxB≠BxA
0
II. s(A x B) = s(B x A)
A
4
2
Yukarıdaki grafik A x B ye aittir.
III. A ⊂ A x B
A) Yalnız I
B) Yalnız II
Buna göre, A ve B kümeleri aşağıdakilerden han-
C) Yalnız III
D) I ve II
gisinde doğru olarak verilmiştir?
A) A = {x| 2 ≤ x ≤ 4, x ∈ R}
E) I, II ve III
B = {y| 1 ≤ y ≤ 2, y ∈ R}
B) A = {x| 2 ≤ x ≤ 4, x ∈ Z}
B = {y| 1 ≤ y ≤ 2, y ∈ R}
C) A = {x| 2 ≤ x ≤ 4, x ∈ R}
B = {y| 1 ≤ y ≤ 2, y ∈ Z}
D) A = {x| 1 ≤ x ≤ 2, x ∈ R}
B = {y| 2 ≤ y ≤ 4, y ∈ R}
E) A = {x| 1 ≤ x ≤ 2, x ∈ Z}
B = {y| 2 ≤ y ≤ 4, y ∈ R}
10.
A = {x| 1 ≤ x < 4, x ∈ Z}
B = {y| 0 ≤ y < 2, y ∈ Z}
12.
kümeleri veriliyor.
A x B nin grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
B
B
2
2
1
1
0
C)
1
2
A
3
D)
B = {x| 1 ≤ x ≤ 2, x ∈ R}
A x B nin grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
B
2
0
B
A=R
1
2
3
B
2
1
A
B
1
A
C)
A
D)
B
B
2
1
1
0
1
2
A
3
E)
0
1
B
3
A
1
A
2
E)
2
1
2
A
B
2
1
0
2
1
2
3
A
1
1
2
A
9. SINIF MATEMATİK
105
Kartezyen Çarpım
13.
Kartezyen Çarpım - Bölüm 03
15.
A = {x| 1 ≤ x ≤ 2 x ∈ R}
A = {x| 2 ≤ x ≤ 4 x ∈ R}
olduğuna göre, A2 nin grafiği aşağıdakilerden
B=R
A x B nin grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
hangisidir?
A)
A)
B)
B
B
A
0
4
4
1
2
2
C)
A
0
D)
B
0
B
C)
0
A
2
1
E)
2
1
0
A
B
2
A
4
D)
4
4
2
2
0
2
A
4
E)
1
1
4
2
4
A
A
0
A
A
2
0
14.
2
4
A
2
0
A
2
0
A
2
2
1
B)
A
2
A
4
A = {x| 2 < x < 3 x ∈ R}
16.
B = {x| 1 < x < 2 x ∈ R}
A = {1, 2, 3, 4}
kümeleri veriliyor.
B = [1, 5]
A x B nin grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
olduğuna göre, A x B aşağıdakilerden hangisidir?
A)
A)
B)
B
B
2
2
1
1
0
2
C)
3
A
5
0
D)
B
B)
B
2
3
5
1
A
1
0
B
C)
1
2
A
3 4
0
D)
B
4
2
2
1
1
0
2
3
A
E)
0
2
3
3
3
2
2
0
1
2
3 4
A
B
4
1
A
B
1
A
5
1
B
E)
0
1
5
14.D
15.A
A
B
5
2
1
0
1.C
106
2.B
3.A
9. SINIF MATEMATİK
4.C
2
5.D
3
1
A
6.E
0
7.A
8.C
9.B
10.C
11.A
1
12.B
4
13.D
A
16.A
BAĞINTI - BÖLÜM 04
GRAFİK İLE GÖSTERİM
BİR BAĞINTININ GRAFİK İLE GÖSTERİMİ
GİRİŞ
Bir bağıntıyı iki farklı yöntemle gösterebiliriz.
Bu bölümün başında, bağıntıyı anlamaya çalışırken, en
az iki nesne arasında kurulan ilişkinin olması gerektiğini
söylemiştik. Bu iki nesneden birini A kümesinden bir diğerini B kümesinden alarak oluşturduğumuz tüm ikililerin
Bunlardan biri bir önceki bölümde gördüğümüz kartezyen
koordinatlarda göstermek, bir diğeri ise; şema ile göstermek.
kümesini de tanımladık ve adına da A ile B nin kartezyen
Şema ile gösterim için az önce verdiğimiz örneği kulla-
çarpımı dedik. Şimdi sıra bağıntının matematiksel tanımı-
nalım.
na geldi.
B (Þehir)
BAĞINTI
A (Bölge)
Ýzmir
Ege
Ankara
Marmara
Manisa
TANIM
Ýç Anadolu
Ýstanbul
A ve B boş olmayan iki küme olsun.
Peki kartezyen koordinat sisteminde nasıl gösterebiliriz?
A
Türkçe diliyle anlattığımız (aslında tanımladığımız) bu ifadeyi, sembolik olarak yazalım.
Marmara
β⊂AxB
Ege
β ⊂ A x B olsun. A x B nin elemanları sıralı ikililerden oluş-
Eğer (x, y) ∈ β ise, "y, β bağıntısı ile x e bağlanmıştır."
denir ve bu durum x β y ile gösterilir.
ra
bu
ka
An
a
ir
Ýzm
biliyoruz.
l
B
tuğu için, β nın da (x, y) gibi sıralı ikililerden oluştuğunu
an
⇔
nis
tanım
Ýst
β, A dan B ye bağıntıdır.
Ýç Anadolu
Ma
A x B kartezyen çarpımının her alt kümesine, A dan B ye
bir bağıntı denir.
Eğer A x A da tanımlı bir β bağıntısı verilirse; Örneğin,
A = {1, 2, 3}
Örneğin,
β = {(1, 1), (1, 2), (2, 3)}
A = {Ege, İç Anadolu, Marmara}
gibi; β aşağıdaki gibi gösterilir.
B = {İzmir, Manisa, Ankara, İstanbul, Erzurum, Van}
1
kümeleri verilsin.
2
3
B x A da bir β bağıntısı,
β = {(x, y)| x, y bölgesinde bir şehir}
DNA 1
olarak tanımlansın.
İşte iki küme ve bu iki kümenin bazı elemanları arasında
A = {1, 2, 3, 4}
bir bağıntı:
kümesinde tanımlı ve grafiği verilen bağıntıyı ya-
β = {(İzmir, Ege), (Manisa, Ege)}, (İstanbul, Marmara),
zınız.
(Ankara, İç Anadolu)}
1
2
İzmir β Ege yazılışı ile (İzmir, Ege) yazılışı arasında herhangi bir fark yoktur.
Özel olarak, B ⊂ A x A ise, β ya A dan A ya tanımlı bir
bağıntı yerine, A da tanımlı bir bağıntı diyeceğiz.
4
3
b
9. SINIF MATEMATİK
107
Bir Bağıntının Tersi
Bağıntı - Bölüm 04
TERS BAĞINTI
Çözüm
Bir turnuvaya adları A, B, C, D olan dört takım katılıyor.
Ok yönlerine dikkat ederek β bağıntısını yazalım.
β = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (1, 3), (3, 1), (3, 4)}
Takımlar = {A, B, C, D} kümesi üzerinde bir bağıntı,
β1 = {(x, y)| x ile y, x in sahasında karşılaşır.}
ile tanımlansın.
Bir başka bağıntı da şöyle tanımlansın.
β2 = {(x, y)| x ile y, y nin sahasında karşılaşır.}
Bu iki bağıntıya baktığımızda birinin diğerinin tam tersi ol-
A kümesinde tanımlı ve grafiği aşağıda verilen β bağıntısı hangi seçenekte doğru olarak verilmiştir?
c
e
Bir bağıntının 1. bileşeni ile 2. bileşeni yer değiştirerek
elde edilen bağıntıya bağıntının tersi diyeceğiz.
b
a
duğunu görürüz.
TANIM
d
β, A dan B ye bir bağıntı olsun. β nın her bir elemanının,
A)
β = {(a, a), (a, b), (b, e), (e, a), (d, b)}
B)
β = {(a, a), (a, b), (d, b), (d, c)}
β nın tersi denir ve bu bağıntı β–1 ile gösterilir.
C)
β = (a, a), (e, a), (b, e), (d, b), (d, c), (a, b)}
β bağıntısının elemanları A x B den gelirken, β–1 in ele-
D)
β = {(a, b), (d, b), (d, c)}
E)
β = {(a, a), (e, b), (b, d), (c, d), (e, a)}
bileşenlerinin yerlerini değiştirerek elde edilen bağıntıya,
manları B x A dan gelir.
Örneğin, A kümesinde anneniz, B kümesinde de, siz ve
kardeşleriniz olsun. Diyelim ki 3 kardeşsiniz.
A
B
Siz
1. kardeþ
Anne
b
2. kardeþ
β = {(x, 1), (x, 2), (y, 0), (y, 2), (y, 1)}
bağıntısının şema ile gösterimi hangi seçenekte doğβ = {(Anne, Siz), (Anne, 1. kardeş), (Anne, 2. kardeş)}
ru verilmiştir?
A)
bağıntısının tersi,
B)
x
y
0
1
1
2
2
0
C)
x
y
2
1
y
0
A
Siz
Anne
1. kardeþ
D)
x
B
x
y
2
2. kardeþ
b–1
1
0
β–1 = {(Siz, Anne), (1. kardeş, Anne), (2. kardeş, Anne)}
E)
x
y
108
9. SINIF MATEMATİK
1
0
2
Eğer illa ki ad koyalım dersek; β çocuğu olma bağıntısı
iken, β–1 ebeveyni olma bağıntısı diyebiliriz. ☺
(β–1)–1 = β olduğunu kendiniz zaten farketmişsinizdir.
Bağıntı Sayısı
Bağıntı - Bölüm 04
DNA 2
Aşağıda verilen bağıntılardan hangisi veya hangileri-
β = {(x, y)| x ≤ y, x, y ∈ Z}
nin tersi kendisine eşittir?
bağıntısının tersi, aşağıdakilerden hangisinde
I. β = {(a, 1), (b, 1), (1, c), (1, a)}
doğru olarak verilmiştir?
A)
β–1 = {(y, x)| y ≤ x, x, y ∈ Z}
B)
β–1 = {(x, y)| x < y, x, y ∈ Z}
C)
β–1 = {(y, x)| x < y, x, y ∈ Z}
D)
β–1 = {(y, x)| y < x, x, y ∈ Z}
E)
β–1 = {(x, y)| x ≥ y, x, y ∈ Z}
II. β = {(x, y)| x = y x, y ∈ R}
III. β = {(x, y)| x ≤ y x, y ∈ R}
B) Yalnız II
A) Yalnız I
D) I ve II
C) Yalnız III
E) II ve III
Çözüm
Şimdi, bir A kümesinden bir B kümesine en çok kaç tane
β = {..., (–1, –1), (–1, 0), ..., (0, 1), (0, 2), ...}
β–1 = {..., (–1, –1), (0, –1), ..., (1, 0), (2, 0), ...}
olup, I. bileşen II. bileşenden büyük ya da eşittir.
Doğru Seçenek E
bağıntı tanımlayabileceğimizi bulmaya çalışalım.
A x B kümesinin eleman sayısı s(A) ⋅ s(B) olduğundan,
A x B nin alt küme sayısının da 2s(A)⋅s(B) olduğunu biliyoruz.
A x B nin her bir alt kümesi de A dan B ye bir bağıntı
olduğundan, A dan B ye en çok 2s(A)⋅s(B) tane bağıntı tanımlanabilir.
Hazine 1
A dan B ye 2s(A)⋅s(B) tane bağıntı tanımlanabilir.
β = {(1, a), (1, b), (2, b), (3, b)}
bağıntısının tersi aşağıdakilerden hangi seçenekte
DNA 3
doğru olarak verilmiştir?
A)
β–1 = {(a, 1), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}
A = {a, b, c}
B)
β–1 = {(a, b), (1, 1), (2, a), (2, b)}
B = {3, 5, 7, 9}
C)
β–1 = {(b, 1), (a, 1), (a, 2), (b, 3)}
D)
β–1 = {(b, 1), (a, 1), (b, 3), (a, 3)}
E)
β–1 = {(a, 1), (b, 2), (b, 3)}
olduğuna göre, A kümesinden B kümesine kaç
tane bağıntı tanımlanabilir?
A) 24
B) 27
C) 29
D) 212
9. SINIF MATEMATİK
E) 215
109
Bağıntı Sayısı
Bağıntı - Bölüm 04
Çözüm
Çözüm
s(A) = 3, s(B) = 4 olduğundan A kümesinden B kümesi-
A x B nin her bir alt kümesi A dan B ye bir bağıntı oldu-
ne,
ğundan, soruda sorulan A x B kümesinin 2 elemanlı kaç
alt kümesi olduğudur.
2s(A)⋅s(B) = 23⋅4 = 212
s(A x B) = s(A) ⋅ s(B) = 5 ⋅ 3 = 15
tane bağıntı tanımlanabilir.
15 elemanlı A x B kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin
Doğru Seçenek D
sayısı,
⎛ 15 ⎞ 15 ⋅ 14
⎜ ⎟=
2
⎝2⎠
7
= 105
Doğru Seçenek D
A = {1, 2, 3, 4}
kümesinden B kümesine 256 tane bağıntı tanımlanabildiğine göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 7
E) 8
3 elemanlı bir kümede, en çok 2 elemanlı kaç tane bağıntı tanımlanabilir?
A) 1
B) 10
C) 36
D) 46
E) 49
A = {1, 2}
kümesi veriliyor.
A x A dan A x A ya kaç tane bağıntı tanımlanabilir?
A) 4
B) 8
C) 16
D) 28
E) 216
A ve B iki kümedir. A dan B ye en az bir, en çok iki elemanlı 21 tane bağıntı tanımlanabiliyor.
s(A) = 3
olduğuna göre, s(B) kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
DNA 4
A = {c, d, e, f, k}
Işık 1
B = {1, 2, 3}
olduğuna göre, A kümesinden B kümesine 2 ele-
Bir β bağıntısının tersinin kendisine eşit olması için ge-
manlı kaç tane bağıntı tanımlanabilir?
rek ve yeter koşul, kartezyen koordinatlardaki grafiğinin
A) 28
110
B) 55
9. SINIF MATEMATİK
C) 91
D) 105
E) 120
y = x doğrusuna göre simetrik olmasıdır. Bu doğruya
bundan sonra köşegen diyeceğiz.
Bağıntının Özelikleri
Bağıntı - Bölüm 04
Örneğin,
Işık 2
B
8
7
6
5
4
3
2
1
köþegen
A kümesinde tanımlı bir β bağıntısının grafiğindeki köşegen elemanlarının tümü β ya ait ise, β yansıyandır.
A
b = b–1
1 2
3
4 5
6
köþegen
A
A
BAĞINTI ÖZELİKLERİ
Yukarıdaki bağıntı yansıyandır.
Bağıntıları incelediğimizde, bazı bağıntıların benzer özellikler taşıdığını görüyoruz. Şimdi benzer özellikler taşıyan
köþegen
d
bağıntıları sınıflandıracağız.
c
b
a
TANIM
a
A kümesi üzerinde bir β bağıntısı verilsin.
∀x ∈ A için (x, x) ∈ β ise β ya bir yansıyan bağıntı denir.
b
c
d
Örneğin yukarıda (c, c) ∉ β olduğundan, β yansıyan
değildir.
Örneğin,
A = {a, b, c, d}
kümesinde tanımlı,
β1 = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b)}
β2 = {(a, b), (b, a), (c, a), (b, b), (d, d)}
bağıntılarını alalım.
β1 yansıyandır. Çünkü,
a∈A
için
(a, a) ∈ β1
b∈A
için
(b, b) ∈ β1
c∈A
için
(c, c) ∈ β1
d∈A
için
(d, d) ∈ β1 dir.
Oysa, a ∈ A için (a, a) ∉ β2 olduğundan β2 yansıyan değildir. Benzer olarak c ∈ A için veya (c, c) ∉ β2 olduğundan
β2 yansıyan değildir deme hakkına sahibiz.
DNA 5
Aşağıdaki bağıntılardan hangisi veya hangileri
yansıma özeliğine sahiptir?
I. β1 = {(x, y)| x = y,
x, y ∈ N}
II. β2 = {(x, y)| x ≠ y,
x, y ∈ Z}
III. β3 = {(x, y)| x + y = 0,
A) Yalnız I
D) I ve II
x, y ∈ R}
B) Yalnız II
C) Yalnız III
E) I ve III
9. SINIF MATEMATİK
111
Bağıntının Özelikleri
Bağıntı - Bölüm 04
Çözüm
Bir bağıntının yansıyan olması için (x, x) ∈ β olması ge-
A = {1, 2, 3, 4, 5}
rektiğini, üstelik β bağıntısının tanımlandığı kümedeki her
kümesinde tanımlı aşağıda verilen bağıntılardan han-
x için bu şartın gerçekleşmesi gerektiğini biliyoruz.
gisi yansıyandır?
A) A
I.
Acaba ∀x ∈ N için (x, x) ∈ β1 mi? Gerçekten her x
doğal sayısı kendisine eşit olduğundan (x = x oldu-
B) A
5
4
3
2
5
4
3
2
1
ğundan) yansıma özeliği sağlanır.
1
2 3
1
A
4 5
1
C) A
II.
Oysa, her x ∈ Z için x ≠ x yazamayacağımızdan,
(x, x) ∉ β2 olup, β2 yansıyan değildir.
(x, x) ∈ β3 ise, x + x = 0 olmalıdır ki, bu x = 0 olma-
1
4 5
2 3
4 5
A
D) A
5
4
3
2
5
4
3
2
1
III.
2 3
2 3
1
A
4 5
1
A
E) A
sı durumunda gerçekleşir. x ≠ 0 olması durumunda
5
4
3
2
gerçeklenmez. Dolayısıyla sıfırdan farklı her x ∈ R
için (x, x) ∉ β3 olup β3 yansıyan değildir.
Doğru Seçenek A
1
1
2 3
4 5
A
A = {a1, a2, ..., an}
n elemanlı bir küme olsun.
A x A kümesinin eleman sayısının
s(A x A) = s(A) ⋅ s(A) = n2
Aşağıdaki bağıntılardan hangisi veya hangileri yansıyan bağıntıdır?
Öncelikli olarak A da tanımlayacağımız bir bağıntının yan-
β1 = {(x, y)| x ≤ y,
x, y ∈ R}
β2 = {(x, y)| x < y,
x, y ∈ R}
β3 = {(x, y)| y, x in tam katı,
A) Yalnız β1
sıyan olabilmesi için, (a1, a1), (a2, a2), ..., (an, an) elemanlarını içinde barındırması gerekir.
9. SINIF MATEMATİK
Böylece, A x A kümesinden n tane eleman seçtik ve geri-
x, y ∈ Z}
B) β1 ve β2
D) β1 ve β3
112
olduğunu önceden biliyoruz.
de n2 – n tane eleman kaldı.
C) β2 ve β3
E) Yalnız β3
Bu n2 – n tane elemandan en çok 2n
turabiliriz.
2
–n
tane küme oluş-
Bağıntı - Bölüm 04
Bağıntının Özelikleri
Bu kümelere de daha önce seçtiğimiz (a1, a1), (a2, a2),
..., (an, an) elemanlarını ekleyerek yansıyan bağıntıların
tümünü elde etmiş oluruz.
Üzerinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı en
çok 230 olan A kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Şimdi, IŞIK 3’ü vermenin tam zamanı.
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Işık 3
s(A) = n olmak üzere, A da tanımlı bağıntılardan en çok
2n
2
–n
tanesi yansıyandır.
TANIM
DNA 6
β, A dan A ya tanımlı bir bağıntı olsun.
∀(x, y) ∈ β için (y, x) ∈ β ise, β ya bir simetrik bağıntı
A = {a, b, c, d}
kümesinde tanımlı en çok kaç tane yansıyan bağıntı vardır?
A) 216
denir. Bir başka deyişle A da tanımlı bir β bağıntısının simetrik olup olmadığını anlamak için, bağıntıda x ile y nin
B) 214
C) 212
D) 210
E) 28
yerleri değiştirilir. Elde edilen ikililerin hepsi β bağıntısında
varsa verilen β bağıntısına simetriktir denir.
Çözüm
Not
s(A) = 4 olduğuna göre, A kümesinde tanımlı en çok,
24
2
–4
Bazen “simetrik değildir” yerine “asimetrik” denildiği de
olur.
= 216–4 = 212
Örneğin,
tane yansıyan bağıntı vardır.
Doğru Seçenek C
A = {1, 2, 3, 4}
kümesinde tanımlı,
β1 = {(1, 2), (2, 1), (1, 4), (4, 1)}
β2 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (3, 2)}
bağıntılarından β1 simetriktir. Çünkü,
(1, 2) ∈ β1 iken (2, 1) ∈ β1
B = {1, a}
kümesinde tanımlı bağıntılardan kaç tanesi yansıma
Oysa (1, 2) ∈ β2 iken (2, 1) ∉ β2 olduğundan β2 simetrik
özelliğine sahip değildir?
A) 0
B) 4
C) 8
(1, 4) ∈ β1 iken (4, 1) ∈ β1 dir.
D) 12
E) 16
değildir.
9. SINIF MATEMATİK
113
Bağıntının Özelikleri
Bağıntı - Bölüm 04
Hazine 2
A da tanımlı bir β bağıntısı simetriktir ⇔ β = β–1 dir.
Aşağıda verilen A = {0, 2, 4, 6, 8} kümesinde tanımlı
bağıntılardan hangisi ya da hangileri simetrik bağıntıdır?
I. {(x, y)| x + y = 8, x, y ∈ A}
II. {(x, y)| x – y = 4, x, y ∈ A}
III. {(x, y)| 2x + y = 10, x, y ∈ A}
A) Yalnız I
DNA 7
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
E) II ve III
Aşağıdaki bağıntılardan hangisi ya da hangileri
simetriktir?
β1 = {(x, y)| x = y,
x, y ∈ N}
β2 = {(x, y)| x ≠ y,
x, y ∈ N}
β3 = {(x, y)| y, x in tam katıdır. x, y ∈ N}
B) Yalnız β2
A) Yalnız β1
D) β1 ve β2
C) Yalnız β3
E) β1, β2 ve β3
A = {1, 3, 5, 7, 9}
kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisi simetrik değildir?
A) {(x, y)| x – y, 2 ile tam bölünür, x, y ∈ A}
B) {(x, y)| x + 2y = 5,
x, y ∈ A}
C) {(x, y)| x ⋅ y = 2, x, y ∈ A}
Çözüm
D) {(x, y)| x2 – y = x – y2 x, y ∈ A}
(x, y) ∈ β1 ⇒ x = y ⇒ y = x ⇒ (y, x) ∈ β1
E) {(x, y)| x + y = 8 x, y ∈ A}
olduğundan β1 simetriktir.
(x, y) ∈ β2 ⇒ x ≠ y ⇒ y ≠ x ⇒ (y, x) ∈ β2
olduğundan β2 simetriktir.
(x, y) ∈ β3 ⇒ y = x ⋅ k (k ∈ N)
x=
1
⋅y
k
ve
1
∉N
k
Işık 4
n(n+1)
s(A) = n ise, A da tanımlı bağıntılardan en çok 2 2
olduğundan (y, x) ∉ β3 olup, β3 simetrik değildir.
tanesi simetriktir.
Doğru Seçenek D
Bu IŞIK’ı elde etme işini size bırakıyoruz.
114
9. SINIF MATEMATİK
Bağıntı - Bölüm 04
Bağıntının Özelikleri
TANIM
DNA 8
A da tanımlı bir β bağıntısı için,
A = {v, a, d, i}
kümesinde tanımlı bağıntılardan en çok kaç tanesi
x ≠ y için (x, y) ∈ β iken (y, x) ∉ β ise, β ya bir ters simetrik
simetriktir?
bağıntı denir.
A)
216
B)
212
C)
210
D)
28
E)
24
Başka bir deyişle A da tanımlı bir β bağıntısının grafiği
verildiğinde, β nın elemanlarının köşegene göre simetriği
β nın elemanı değilse β bağıntısına ters simetrik denir.
Çözüm
Uyarı
s(A) = 4 olduğuna göre, A kümesinde tanımlı en çok,
4( 4 +1)
2 2
4⋅5
Bağıntıda (x, x) biçiminde bir ikilinin olması bağıntının
= 2 2 = 210
ters simetrik özelliğini bozmaz.
tane simetrik bağıntı vardır.
Doğru Seçenek C
Örneğin,
A = {0, 1, 2}
kümesi üzerinde,
β = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2), (2, 2)}
Üzerinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı en
(0, 1) ∈ β iken (1, 0) ∉ β
çok 215 olan A kümesinin eleman sayısı kaçtır?
(0, 2) ∈ β iken (2, 0) ∉ β
A) 3
(1, 2) ∈ β iken (2, 1) ∉ β olup,
B) 5
C) 7
D) 8
E) 10
β, ters simetriktir.
(0, 0), (1, 1), (2, 2) gibi birinci ve ikinci bileşeni aynı olan
elemanlar ters simetrikliği bozmaz. Bu yüzden bu elemanları incelemedik.
A
2
1
D = {3, 4, 5}
0
kümesinde tanımlı bağıntılardan en çok kaç tanesi simetrik değildir?
A) 500
B) 480
1
2
A
Grafiğe dikkat edersek, köşegene göre simetrik olmadığıC) 448
D) 384
E) 256
nı farkediyoruz.
9. SINIF MATEMATİK
115
Bağıntının Özelikleri
Bağıntı - Bölüm 04
β2 = {(0, 2), (1, 1), (2, 0)} olup
Uyarı
(0, 2) ∈ β2 ve (2, 0)∈ β2
Bir bağıntı, simetrik değilse, bu bağıntının ters simetrik
olduğunu söyleyemeyiz. Benzer şekilde, ters simetrik
değilse, simetrik olduğunu söyleyemeyiz.
olduğundan ters simetrik değildir.
β3 = {(5, 0), (6, 1), (7, 2), (8, 3), (9, 4)}
olup, β3 ters simetriktir.
Doğru Seçenek E
Örneğin,
A = {1, 2, 3}
kümesi üzerinde tanımlı,
{(1, 2), (2, 1), (2, 3)}
bağıntısı simetrik ve ters simetrik değildir.
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
kümesinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisi ya
da hangileri ters simetrik değildir?
β1 = {(x, y)| x + y = 10, x, y ∈ A}
β2 = {(x, y)| x ⋅ y = 24, x, y ∈ A}
DNA 9
β3 = {(x, y)| x ≥ y, x, y ∈ A}
Aşağıda verilen bağıntılardan hangisi ya da hangi-
A) Yalnız β3
leri ters simetriktir?
D) β1 ve β2
β1 = {(x, y)| x < y,
x, y birer rakam}
β3 = {(x, y)| x – y = 5,
x, y birer rakam}
B) Yalnız β2
D) β1 ve β2
C) Yalnız β1
E) β2 ve β3
x, y ∈ R}
β2 = {(x, y)| x + y = 2,
A) Yalnız β1
B) Yalnız β2
C) Yalnız β3
E) β1 ve β3
Aşağıdaki bağıntılardan hangisi ya da hangileri ters
simetriktir?
Çözüm
Önce β1 e bakalım.
(x, y) ∈ β1 ise, x < y dir.
Bu durumda y < x olduğundan (y, x) ∉ β1 olur ki β1 ters
simetriktir.
116
9. SINIF MATEMATİK
β1 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}
β2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2)}
β3 = {(1, 1), (2, 3), (3, 4), (3, 2)}
A) Yalnız β1
B) Yalnız β2
D) β1 ve β2
C) Yalnız β3
E) β1, β2 ve β3
Bağıntı - Bölüm 04
Bağıntının Özelikleri
Çözüm
TANIM
β1 e bakalım.
β, A da bir bağıntı olsun.
Her [(x, y) ∈ β ve (y, z) ∈ β] iken, (x, z) ∈ β, oluyorsa, β ya
(a, b) ve (b, c) için (a, c) ∈ β1
geçişken bağıntı ya da geçişmelidir denir.
(a, c) ve (c, b) için (a, b) ∈ β1
Örneğin,
(b, c) ve (c, b) için (b, b) ∈ β1
(c, b) ve (b, c) için (c, c) ∉ β1
A = {1, 2, 3}
olduğundan geçişmeli değil.
kümesi üzerinde verilen
β = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}
β2 ye bakalım.
(a, c) için c ile başlayan bir eleman yok.
bağıntısı geçişmelidir. Neden?
(1, 2) ∈ β ve (2, 3) ∈ β iken (1, 3) ∈ β dır.
(a, b) için b ile başlayan bir ikili yok.
(a, a) ve (a, c) için (a, c) ∈ β2
(a, a) ve (a, b) için (a, b) ∈ β2
olduğundan β2 geçişmelidir.
Uyarı
Bağıntıda (x, x) biçiminde ikililerin olması bağıntının ge-
β3 ü inceleyelim.
çişme özelliğini bozmaz.
(a, b) ve (b, a) için (a, a) ∉ β3 olduğundan diğerlerini incelemeye gerek yok.
Bu durumda sadece β2 geçişmelidir.
Örneğin, A = {a, b, c} kümesinde tanımlı,
Doğru Seçenek B
{(a, a), (b, b), (c, c)}
bağıntısı geçişkendir.
DNA 10
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
X = {a, b, c, d, e}
kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan
kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan han-
hangisi ya da hangileri geçişmelidir?
gisi ya da hangileri geçişken bağıntıdır?
β1 = {(a, b), (a, c), (b, c), (c, b), (b, b)}
β1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 2), (3, 1)}
β2 = {(a, c), (a, b), (a, a)}
β2 = {(2, 1), (3, 2), (4, 5), (5, 6), (4, 6)}
β3 = {(a, b), (b, a), (c, a), (c, b)}
β3 = {(6, 6), (7, 7), (3, 3), (1, 1)}
A) Yalnız β1
D) β1 ve β2
B) Yalnız β2
C) Yalnız β3
E) β2 ve β3
A) Yalnız β1
B) Yalnız β2
D) β1 ve β3
C) Yalnız β3
E) β2 ve β3
9. SINIF MATEMATİK
117
Bağıntının Özelikleri
Bağıntı - Bölüm 04
Çözüm
(2,1) ve (1, 2) ∈ β için,
C = {3, a, 4, b, 5}
kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan hangisi geçişken bir bağıntı değildir?
A) β = {(a, 4), (b, 4), (b, a), (b, 5), (a, 5), (4, 5)}
(2, 2) ∉ β olup, (2, 2) nin β da olması gerekir.
(3, 2) katılırsa, (3, 2), (2, 1) ∈ β için (3, 1) ∉ β olacağından
B) β = {(a, a), (3, a), (3, b), (b, a)}
β geçişmeli olmaz.
C) β = {(5, 4), (b, 4), (a, 3), (a, 4)}
(3, 1) katılırsa, (3,1) ve (1, 3) için (3, 3) ∉ β olacağından β
D) β = {(b, b), (5, b), (a, 5), (b, a), (5, 5), (a, a)}
geçişmeli olmaz.
E) β = {(a, 3), (b, 5), (3, 5), (3, 3), (a, a), (a, 5)}
Doğru Seçenek A
A = {a, b, c, d}
kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki β bağıntısı veriliyor.
β = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, a), (a, c)}
β ya en az kaç tane (x, y) ∈ A x A ikilisi ilave edilirse, β
bir geçişken bağıntı olur?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
DNA 11
A = {1, 2, 3}
kümesinde tanımlı β bağıntısı aşağıdaki gibi veriliyor.
β = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 1), (2, 1)}
β nın geçişme özelliğinin olabilmesi için aşağıdaki
K = {1, 2, 3}
elemanlardan hangisi veya hangilerinin β ya ilave
kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki bağıntılardan han-
edilmesi gerekir?
gisine (2, 1) ve (2, 3) ikilileri ilave edilirse, geçişken bir
bağıntı elde edilir?
I. (2, 2)
A) β = {(1, 2), (3, 4), (3, 3), (3, 2)}
II. (3, 2)
B) β = {(2, 2), (3, 2), (1, 1), (3, 3)}
III. (3, 1)
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
118
9. SINIF MATEMATİK
C) Yalnız III
E) I, II ve III
C) β = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 1)}
D) β = {(1, 2), (1, 1), (3, 3), (1, 3)}
E) β = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (3, 3), (3, 2)}
Bağıntı - Bölüm 04
Bağıntının Özelikleri
DNA 12
Aşağıda verilen bağıntılardan hangisi ya da hangileri tanımlı oldukları kümede geçişkendir?
β1 = {(x, y)| x ≤ y,
x, y ∈ R}
β2 = {(x, y)| x ≠ y,
x, y ∈ R}
β3 = {(x, y)| x – y = 2⋅ k,
D) β1 ve β3
melidir?
β1 = {(x, y)| x – y = 4, x, y ∈ Z}
β2 = {(x, y)| x – y = 4k, x, y, k ∈ Z}
β3 = {(x, y)| x = y, x, y ∈ R}
x, y, k ∈ Z}
B) Yalnız β2
A) Yalnız β1
Aşağıdaki bağıntılardan hangisi ya da hangileri geçiş-
C) Yalnız β3
A) Yalnız β1
B) Yalnız β2
D) β2 ve β3
C) Yalnız β3
E) β1, β2 ve β3
E) β1 ve β2
Çözüm
(x, y) ve (y, z) ∈ β1 ise
x ≤ y ve y ≤ z dir.
Buradan x ≤ z olur ki, (x, z) ∈ β1 dir. Öyleyse β1 geçişmelidir.
Aşağıdaki bağıntılardan hangisi geçişmeli değildir?
(x, y) ∈ β2 ve (y, z) ∈ β2 olsun.
x ≠ y ve y ≠ z olması x ≠ z olmasını gerektirmediğinden, β2
A) β = {(x, y)| x > y, x, y ∈ R}
B) β = {(x, y)| x = y + k, x, y, k ∈ R}
geçişmeli değildir.
C) β = {(x, y)| x = y ⋅ z, x, y, z ∈ R}
(x, y) ∈ β3 ve (y, z) ∈ β3 olsun.
D) β = {(x, y)| x + y = 3z, x, y, z ∈ R}
x – y = 2k1 ve y – z = 2k2 dir.
E) β = {(x, y)| x – y = z, x, y, z ∈ R}
Buradan,
x – y + y – z = 2k1 + 2k2 den,
x − z = 2(k1 + k 2 ) = 2k 3 olup,
k3
(x, z) ∈ β3 olduğundan β3 geçişmelidir.
Buradan β1 ve β3 geçişmelidir.
Doğru Seçenek D
9. SINIF MATEMATİK
119
Bağıntı - Bölüm 04
Bağıntı
4.
TEST - 1
1.
A = {a, b, c, d}
B = {1, 2}
Aşağıdaki bağıntılardan hangisi ters-simetrik değildir?
A) β = {(x, y)| x + y = 3,
x, y ∈ R}
B) β = {(x, y)| x ≤ y + 1,
x, y ∈ R}
olduğuna göre, A kümesinden B kümesine kaç
tane bağıntı tanımlanabilir?
C) β = {(x, y)| x < y,
x, y ∈ R}
D) β = {(x, y)| x ≤ y,
x, y ∈ R}
A) 64
E) β = {(x, y)| x < y + 1,
x, y ∈ R}
B) 128
D) 512
C) 256
E) 1024
5.
2.
kümesinde tanımlı
A = {a, b, c, d}
β = {(x, y)| x – y, 2 ile bölünebilir.}
kümesinde 2 elemanlı kaç tane bağıntı tanımlanabilir?
A) 160
B) 150
C) 140
D) 130
bağıntısının eleman sayısı kaçtır?
E) 120
A) 8
6.
3.
A = {1, 2, 3, 4}
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
β = {(–1, 1), (2, 0), (3,4), (2, 6), (3, 7)}
bağıntısı veriliyor.
Gerçek sayılarda,
β1 = {(x, y)| x2 – y2 = 24}
Buna göre, β–1 (β nın tersi) aşağıdakilerden hangisidir?
β2 = {(x, y)| y = x + 6}
A) β–1 = {(–1, 1), (2, 0), (3, 4), (2, 6), (3, 7)}
bağıntıları tanımlanıyor.
B) β–1 = {(1, –1), (0, 2), (3, 4), (6, 2), (3, 7)}
Aşağıdakilerden hangisi β1 ∩ β2 nin elemanıdır?
C) β–1 = {(1, –1), (0, 2), (4, 3), (6, 2), (7, 3)}
A) (–1, 5)
D) β–1 = {(1, 1), (–2, 0), (–3, –4), (2, 6), (3, 7)}
B) (5, 1)
D) (–5, 1)
120
9. SINIF MATEMATİK
C) (5, –1)
E) (3, 4)
E) β–1 = {(1, –1), (0, 2), (4, 3), (6, 2), (3, 7)}
Bağıntı - Bölüm 04
7.
Bağıntı
10.
Gerçek sayılar kümesinde,
A = {a, b, c, 1, 2, 3}
β = {(x, y)| 3x + y = a, x, y ∈ R}
B = {a, b, 5, 6}
bağıntısı tanımlanıyor.
kümeleri veriliyor.
(5, –3) ∈ β–1 olduğuna göre, a kaçtır?
Buna göre, A dan B ye yazılabilecek bağıntı sayısı kaçtır?
A) –5
B) –4
C) 1
D) 2
E) 3
A) 24
11.
B) 28
C) 212
D) 224
E) 232
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
kümesinde tanımlı,
β = {(x, y)| 2x + 3y = 24 ve x, y ∈ A}
8.
bağıntısının eleman sayısı kaçtır?
A = {{1, 2, 3}, 4, 5}
kümesinde tanımlanacak bağıntılardan kaç tanesi yansıyan değildir?
A) 350
B) 370
C) 440
D) 422
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
E) 448
12.
B
c
b
9.
a
A = {1, 2, 3, 4}
0
kümesinde tanımlı,
β = {(1,1), (1,2), (2,2), (3,3), (4,4) (2,1), (2,3)}
A
a
b
c
Yukarıda grafiği verilen β bağıntısı için β ∩ β–1
aşağıdakilerden hangisidir?
bağıntısının simetrik bir bağıntı olabilmesi için
aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri eklenmelidir?
A) {(a, a), (c, c)}
A) (3, 2) ve (1, 4)
B) (4, 1)
C) {(a, b), (b, c), (c, a)}
C) (1, 3) ve (3, 1)
D) (4, 2)
D) {(a, a), (b, c), (c, c), (c, b)}
E) (3, 2)
B) {(a, a), (b, b)}
E) {(a, a), (b, c), (c, c)}
9. SINIF MATEMATİK
121
Bağıntı
13.
Bağıntı - Bölüm 04
16.
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı,
β1 = {(x, y)| 2x – 3y = a + 1}
Aşağıdaki bağıntılardan hangisi simetrik olup,
geçişmeli değildir?
A) Gerçek sayılar kümesinde,
β2 = {(x, y)| x – y = 3 + b}
{(x, y): x = y + 2} bağıntısı
β1 ∩ β2 = {(1, 4)}
B) Gerçek sayılar kümesinde,
olduğuna göre, a – b farkı kaçtır?
{(x, y): x2 + y2 = 1} bağıntısı
A) 4
B) 3
C) 1
D) –4
E) –5
C) A = {x| x: düzlemde üçgen}
A kümesinde alanı 1 br2 olan üçgenler
D) A = {x| x, 5 elemanlı bir küme}
A kümesinde tanımlı,
β = {(x, y)| x ≠ y x, y ∈ A}
E) A = {x| x, en fazla 5 elemanlı bir küme}
A kümesinde tanımlı,
β = {(x, y)| s(x) < s(y) x, y ∈ A}
14.
Aşağıdaki bağıntılardan hangisi geçişmeli değildir?
A) β = {(x, y)| x2 = y2
x, y ∈ R}
B) β = {(x, y)| x = y
x, y ∈ R}
C) β = {(x, y)| y ≤ x
x, y ∈ R}
D) β = {(x, y)| x ≠ y
x, y ∈ R}
E) β = {(x, y)| x2 < y2
x, y ∈ R}
17.
β = {(x, y)| x2 + y2 = y + x x, y ∈ R}
bağıntısı veriliyor.
Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
15.
kümesinin elemanlarıyla 5 elemanlı yansıyan kaç
farklı bağıntı yazılabilir?
1.C
122
2.E
B) 8
3.D
C) 12
4.A
9. SINIF MATEMATİK
Simetrik
Geçişmeli
Evet
Evet
Hayır
A)
A = {a, b, c, d}
A) 6
Yansıyan
5.A
D) 16
6.C
E) 20
7.B
8.E
9.E
B)
Evet
Hayır
Evet
C)
Evet
Evet
Evet
D)
Evet
Hayır
Hayır
E)
Hayır
Evet
Hayır
10.D
11.B
12.D
13.E
14.D
15.C
16.A
17.E
FONKSİYON - BÖLÜM 05
FONKSİYONUN TANIMI
Şimdi de β–1 (β nın tersi) bağıntısını yazalım.
GİRİŞ
β–1 = {(Deniz, Anne), (Barış, Anne), (Özge, Anne)}
Matematik için önemli bir konuya, hatta belki de en önemli
Şema ile
konuya geldik.
Günlük hayatımızda "fonksiyon" sözcüğünü çeşitli şekil-
Anne
lerde kullanırız.
Özge
Barýþ
Örneğin,
Baba
"Bu telefonun fonksiyonları nedir?"
Deniz
"Senin bu işte fonksiyonun ne?"
gibi. Bu soru ya da anlatımlarda FONKSİYON sözcüğü ile
işlevi kastettiğimiz açık. Matematikte ise, günlük hayatta
β–1 in, (x, y) elemanı, “x in annesi y dir.” olur.
β ile β–1 in önemli bir farkı var.
kullandığımız bu sözcüğün anlamına yakın, ama bundan
biraz daha farklı bir durumu anlatacağız.
Bir ailede, bir çocuğu doğuran iki farklı insan olamaz.
Fonksiyon iki küme arasında bir eşleşme yapar. Bağıntıyı
Ama bir annenin birden fazla çocuğu olabilir.
da tanımlarken böylesi bir durum söz konusuydu. Yani iki
küme arasında bir ilişki vardı. O zaman fonksiyon öncelik-
Yani anne, üç çocuğu ile eşleşebilirken, çocuklardan
le bir bağıntıdır.
biri yalnızca bir anneyle eşleşir.
Bağıntının özel bir durumuna her zaman yaptığımız gibi
Bu gibi durumlarla çok sık karşılaşırız.
bir ad vereceğiz. Bu farklı olan bağıntıya FONKSİYON
Bir süpermarkete gittiğimizde aynı ürün için farklı fi-
diyeceğiz.
Fonksiyonun, bağıntıdan farkını anlayabilmek için aşağı-
yat göremezsiniz. Her ürünün fiyatı bir sayıyla eşleş-
daki örneği inceleyelim.
miştir. Fakat, farklı ürünlerin fiyatları aynı olabilir.
•
Artık fonksiyonun matematiksel tanımına geçebiliriz.
Diyelim ki bir aile,
A = {Anne, Baba, Deniz, Özge, Barış}
kümesi ile temsil edilsin.
TANIM
A x A da aşağıdaki bağıntıyı tanımlayalım.
β = {(x, y)| x, y nin annesi}
f, A x B de bir bağıntı olsun. Eğer f, A nın her elemanını B
liste yöntemiyle yazarsak,
nin bir ve yalnız bir elemanına eşliyorsa, f ye, A dan B ye
β = {(Anne, Deniz), (Anne, Özge), (Anne, Barış)}
Buradaki A kümesine fonksiyonun tanım kümesi, B kü-
Şema ile gösterirsek,
Anne
bir fonksiyon denir.
mesine değer kümesi denir.
Özge
Deniz
A
Örneğin,
A = {1, 2, 3}
B = {a, b}
Baba
Barýþ
olsun.
9. SINIF MATEMATİK
123
Fonksiyonun Tanımı
Fonksiyon - Bölüm 05
f(1) = a ifadesi “1 in f altındaki görüntüsü a dır.” anlamına
f = {(1, a), (2, b), (3, a)}
gelir.
g = {(1, a), (1, b), (2, a), (3, b)}
g
h = {(1, a), (2, b)}
A
bağıntılarından;
B
1
f: fonksiyondur.
a
2
b
3
g: 1 hem a ile hem de b ile eşleştiğinden fonksiyon
değildir.
h: 3 ün eşleştiği bir eleman olmadığından fonksiyon
g: fonksiyon değildir. 1 hem a hem de b ile eşleşmiş.
değildir.
h
Uyarı
B
A
1
f, A dan B ye bir fonksiyon ise,
a
2
i)
A nın her elemanının eşleştiği B nin bir elemanı
vardır. Yani, A kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.
ii)
b
3
h: fonksiyon değil. 3 ün eşleştiği eleman yok.
A nın herhangi bir elemanının eşleştiği farklı iki
veya daha fazla eleman olamaz.
iii)
B kümesinde açıkta eleman kalabilir.
Madem fonksiyon bağıntının özel bir hali; o halde β yerine fonksiyon olduğunu belirtmek için f, g, h, ... gibi küçük
harfler kullanacağız.
Yukarıdaki örneğimizi Venn şemasıyla gösterirsek,
f
B
A
1
a
2
b
3
f(1) = a
f, A dan B ye bir fonksiyon olsun.
f(2) = b
y f x gösterimi yerine,
f(3) = a
f bağıntısı A daki her elemanı, B deki bir ve yalnız bir elemanla eşlemektedir. Bu yüzden, f bir fonksiyondur.
f fonksiyonunun 1 ile a yı eşlemesi sembolik olarak,
f(1) = a
ile gösterilir.
124
9. SINIF MATEMATİK
y = f(x)
f: x → y
f
x → y
ifadelerinden biri kullanılır. Tanım ve değer kümeleri de
gösterilmek isteniyorsa,
f: A
x
B
y = f(x)
gösterimleri kullanılır.
veya
A f
B
x
y = f(x)
Fonksiyon - Bölüm 05
Fonksiyonun Tanımı
DNA 1
A = {1, 2, 3, 4}
A = {…, Ì, {, ‘}
B = {a, b, c, d, e}
B = {0, 2, 3, 4}
kümeleri veriliyor.
kümeleri veriliyor.
Aşağıdakilerden hangisi veya hangileri A dan B ye
bir fonksiyondur?
A
a
b
c
d
e
4
(I)
B
1
2
3
4
(II)
A
a
b
c
d
e
B
f
…
Ì
{
‘
4
(III)
0
2
3
4
…
Ì
{
‘
a
b
c
d
e
A) Yalnız f
B) Yalnız II
D) I ve II
A
B
g
…
Ì
{
‘
A
B
1
2
3
A) Yalnız I
fonksiyondur?
A
A
B
1
2
3
Aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri A dan B ye bir
B
h
0
2
3
4
B) Yalnız g
D) f, g ve h
C) Yalnız III
0
2
3
4
C) Yalnız h
E) f ve g
E) I, II ve III
Çözüm
(I) için:
Her x ∈ A için B de bir eleman var. Ve üstelik A nın herhangi bir elemanı B nin iki elemanına gitmiyor. O halde, (I)
bir fonksiyondur.
A = {a, b, c, d}
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi A da bir fonk-
Aynı nedenlerden (II) de bir fonksiyondur.
siyondur?
Ancak III te 2 nin eşlendiği B de bir eleman yok. Üstelik 1,
A) f1 = {(a, b), (b, c), (c, d)}
iki farklı elemanla eşleşmiş. Dolayısıyla, (III) bir fonksiyon
B) f2 = {a, c), (b, c), (d, c)}
değildir.
C) f3 = (a, a), (b, b)}
Doğru Seçenek D
D) f4 = {(a, b), (b, a), (c, d), (d, c)}
E) f5 = {(a, e), (a, d), (b, c), (c, c), (d,e)}
9. SINIF MATEMATİK
125
Fonksiyonun Tanımı
Fonksiyon - Bölüm 05
Şu ana kadar fonksiyonları şema ya da sıralı ikililerin kü-
Bir de şema ile görelim.
mesi olarak gösterdik. Fonksiyonun tanım ve değer kü-
–3
–2 N
–1
N
mesinin eleman sayısı az ise bu gösterimler kullanışlıdır,
0
1
2
3
4
fakat eleman sayısı arttıkça söz konusu gösterimleri kullanmak zorlaşır.
Çoğu zaman fonksiyonlar şema ya da sıralı ikililerin küme-
0
1
2
3
si olarak değil de tanım ve değer kümesindeki elemanları
eşlerken uyduğu kuralla verilir.
f
Örneğin, f: N → N, f(x) = x + 2
Bazı elemanların görüntüleri değer kümesinde değil. Bunile tanımlı fonksiyonun, uyduğu kural her doğal sayıyı,
kendisinin iki fazlasıyla eşleştirmektir. Bu kuralı bildiğimi-
dan dolayı, f: N → N, f(x) = x – 3 ifadesi bir fonksiyon
belirtmez.
ze göre, her doğal sayının f altındaki görüntüsünü kolayca
Fakat f: N → Z, f(x) = x – 3 ifadesi bir fonksiyon belirtir,
bulabiliriz. Örneğin,
çünkü x doğal sayısının görüntüsü olan x – 3 sayısı tam
x = 1 için
f(1) = 1 + 2 = 3
x = 5 için
f(5) = 5 + 2 = 7
sayılar kümesinin bir elemanıdır.
f
N
f fonksiyonunu şema ile gösterirsek:
Z
0
N
–3
–2
–1
0
1
f
2
N
0
1
2
3
4
0
1
2
4
Bu örnekten anlıyoruz ki, bir fonksiyonun belirli olabilmesi
için fonksiyonun kuralı ile beraber tanım ve değer küme-
Burada dikkat etmemiz gereken çok önemli bir nokta var.
leri de verilmelidir.
Bir fonksiyonun tanımlı olabilmesi için sadece kuralının
verilmesi yetmez. Örneğin, “f(x) = x – 3” ifadesi “kesin olarak bir fonksiyon belirtir.” diyemeyiz, çünkü fonksiyonun
tanım ve değer kümelerini bilmiyoruz.
f: N → N, f(x) = x – 3
DNA 2
Aşağıda verilen bağıntılardan hangisi ya da hangileri bir fonksiyondur?
ifadesi bir fonksiyon belirtmez. Çünkü bazı elemanların
f altındaki görüntüsü N kümesine ait değildir.
Örneğin,
x = 0 için
f(0) = 0 – 3 = –3 ∉ N
x = 1 için
f(1) = 1 – 3 = –2 ∉ N
x = 2 için
f(2) = 2 – 3 = –1 ∉ N
126
9. SINIF MATEMATİK
f = {(x, y)| y = x + 1
x, y ∈ N}
g = {(x, y)| y2 = x
x ∈ R+, y ∈ R}
h = {(x, y)| y = x2
x, y ∈ R}
A) Yalnız f
D) f ve h
B) Yalnız g
C) Yalnız h
E) f, g ve h
Fonksiyon - Bölüm 05
Fonksiyonun Tanımı
h
Çözüm
R
f = {(x, y): y = x + 1, x, y ∈ N}
(i)
R
–1
bağıntısında x, y ∈ N olduğu için, N den N ye tanımlıdır. Bu bağıntı N deki her x sayısını yine N deki
0
0
1
1
x + 1 sayısı ile eşler. Daha açık söylemek gerekirse,
f bağıntısı her doğal sayıyı, o sayının bir fazlasıyla
h bağıntısı, R deki her sayıyı R deki bir ve yalnız bir
eşleştirir.
f
sayıyla eşleştirdiği için fonksiyondur.
N
N
0
0
1
1
2
2
Doğru Seçenek D
3
Aşağıda verilen bağıntılardan hangisi bir fonksiyon
f bağıntısı N deki her elemanı, N deki bir ve yalnız bir
f: N
elemanla eşleştirdiği için fonksiyondur.
(ii)
x
g = {(x, y): y2 = x, x ∈ R+, y ∈ R}
bağıntısında x ∈ R+, y ∈ R olduğundan, bağıntı R+
dan R ye tanımlıdır. g bağıntısı R+ daki her elemanı
∨
g: Z
x
h: R
R de iki elemanla eşler. Çünkü,
y2 = x ⇒ y = x
değildir?
x
y=− x
Yani, g bağıntısı R+ daki her x sayısını R de hem
x
Z
y=x–2
N
y=x+1
R
y=
x +1
x2 + 1
A) Yalnız f
hem de − x ile eşler.
B) Yalnız g
D) g ve f
C) Yalnız h
E) g ve h
Bu yüzden g bağıntısı bir fonksiyon değildir.
g
R+
R
2
1
–1
2
1
2
Aşağıda verilen bağıntılardan hangisi veya hangileri
Z den Z+ ya bir fonksiyondur?
(iii)
h = {(x, y): y = x2, x, y ∈ R}
I. f(x) = x2 + 1
bağıntısında x, y ∈ R olduğundan bağıntı R den
II. g(x) = x2
R ye tanımlıdır. Bu bağıntı R deki x sayısını, R deki
III. h(x) = x2 – 1
x2 sayısı ile eşler. Daha açık söylemek gerekirse, f
bağıntısı her gerçek sayıyı o sayının karesi ile eşler.
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
E) I, II ve III
9. SINIF MATEMATİK
127
Fonksiyonun Tanımı
Fonksiyon - Bölüm 05
Bir fonksiyonun değer kümesindeki bazı elemanların açık-
Çözüm
ta kalabileceğini, ama tanım kümesindeki hiçbir elemanın
açıkta kalamayacağını gördük.
f(A) = {y | y = 2x – 3, x ∈ A}
Şimdi bir tanım daha verelim.
olduğunu biliyoruz.
f(A) = {–5, –3, 5, 7}
TANIM
olarak verilmiş. x leri bulalım.
f: A → B ye bir fonksiyon olsun.
2x – 3 = –5 (Hangi x değeri –5 e gidiyor?)
A kümesinin f yardımıyla B de eşleşen elemanlarının oluş-
2x = –2
turduğu kümeye f nin görüntü kümesi denir ve bu küme
x = –1
f(A) ile gösterilir.
O halde, f(–1) = –5 olup A nın bir elemanı –1 dir.
Sembolik olarak tanımlarsak,
f(A) ya A nın f altında
tanım
⇔
görüntü kümesi denir.
Benzer şekilde,
f(A) = {y | y = f(x), x ∈ A}
Venn şemasıyla gösterelim.
A
2x – 3 = –3 ⇒
x=0
2x – 3 = 5
⇒
x=4
2x – 3 = 7
⇒
x = 5 olup
A = {–1, 0, 4, 5}
B
tir.
A kümesinin elemanlarının toplamı:
f(A)
–1 + 0 + 4 + 5 = 8
olur.
Uyarı
Doğru Seçenek A
f(A) ⊂ B
olduğuna dikkat ediniz.
DNA 3
f: A
x
B
2x – 3
fonksiyonu veriliyor.
f: A
x
f(A) = {–5, –3, 5, 7}
olduğuna göre, A kümesinin elemanları toplamı
fonksiyonu veriliyor.
B) 7
C) 5
D) 5
E) 4
olduğuna göre, A nın elemanlarının çarpımı kaçtır?
A) 210
128
2x + 3
f(A) = {–3, –4, –5, –7}
kaçtır?
A) 8
B
9. SINIF MATEMATİK
B) 189
C) 0
D) –189
E) –210
Fonksiyon - Bölüm 05
Fonksiyonun Tanımı
DNA 4
f: A
x
13 ⎫
⎧ 1
⎨− , 3, 5,
⎬
2
2⎭
⎩
Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini bulunuz.
3x + 1
2
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, A kümesinin elemanları toplamı kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
(i)
f(x) = x2 + x – 1
(ii)
g( x ) =
(iii)
h( x ) =
(iv)
k( x ) = x − 2
(v)
(x) = 3 x − 2
(vi)
r( x ) =
x +1
x −1
x+2
x2 − 4
1
x
Çözüm
(i)
Her x gerçek sayısı için x2 + x – 1 ifadesinin bir değeri
vardır. Yani f(x) = x2 + x – 1 fonksiyonunu tanımsız
Biraz da fonksiyonların tanım kümesini nasıl belirleyeceği-
yapan hiç bir gerçek sayı yoktur.
miz üzerine kafa yoralım.
Buna göre, f(x) = x2 + x – 2 fonksiyonunun tanım
kümesi R dir. Bunun gibi tanım kümesi R olan fonksiyonlara “her yerde tanımlıdır” diyeceğiz.
Işık 1
f(x) bir fonksiyon olsun.
1.
f (x)
fonksiyonunun tanım kümesi, f(x) in tanım
x−a
kümesinden, paydayı sıfır yapan a değerinin atılmasıyla elde edilen kümedir.
2.
n ∈ N+ olsun.
(i) n tek ise n f ( x ) fonksiyonunun tanım kümesi,
f(x) in tanım kümesine eşittir.
(ii) n çift ise n f ( x ) fonksiyonunun tanım kümesi,
f(x) ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesidir.
3.
f (x)
fonksiyonunun tanım kümesi bulunurken,
g( x )
f(x) ve g(x) i tanımsız yapan değerler ile paydayı
(g(x) i) sıfır yapan değerler R den atılır. Geriye kalan küme
f (x)
fonksiyonunun tanım kümesidir.
g( x )
(ii)
g( x ) =
x +1
ifadesinin pay kısmı olan x + 1 ile payda
x −1
kısmı olan x – 1 her yerde tanımlıdır. Geriye bakacağımız tek bir şey kaldı. Paydayı sıfır yapan değerler
var mı?
x–1=0 ⇒ x=1
x = 1 için, g(x) tanımsızdır, yani g(1) yoktur. Buna
göre, fonksiyonun tanım kümesi R – {1} dir.
x+2
(iii) h( x ) = 2
ifadesinin pay ve paydası her yerde
x −4
tanımlıdır. Paydayı sıfır yapan değerleri bulalım.
x2 – 4 = 0 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = ∓ 2
h(x) in tanım kümesi = R – {–2, 2}
(iv) Kök derecesi çift olduğu için, kökün içi sıfırdan büyük
eşit olmalıdır.
x – 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 ⇒ x ∈ [2, ∞)
k(x) in tanım kümesi = [2, ∞)
9. SINIF MATEMATİK
129
Fonksiyonun Tanımı
(v)
Fonksiyon - Bölüm 05
Kök derecesi tek olduğundan, sadece x – 2 ye bak-
DNA 5
mak yeterlidir. x – 2 her yerde tanımlı olduğundan,
( x ) = 3 x − 2 her yerde tanımlıdır, yani tanım küme-
f: R → R
si R dir.
f(x) = 2x2 – x + 1
(vi) Paydada kökün derecesi çift olduğundan, kökün içi
sıfırdan büyük eşit olmalıdır. Fakat
x ifadesi pay-
dada olduğundan ve payda da sıfır olamayacağından kökün içi sıfıra eşit olamaz. Buna göre, kökün içi
olduğuna göre, f(0) + f(1) + f(2) toplamı kaçtır?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
sıfırdan büyük olmalıdır, yani x > 0.
r(x) in tanım kümesi = (0, ∞) = R+
Çözüm
f(0) ı bulabilmek için f(x) in içini 0 yapmalıyız. Bunun için
yapmamız gereken gayet basit. f in içindeki ifadeyi, bu
DNA’da x i, sıfıra eşitleyeceğiz ve buradan elde ettiğimiz
değeri fonksiyonun kuralında kullanacağız.
f (x) =
x +1
x −1
fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
B) (1, ∞)
A) [1, ∞)
D) (0, ∞)
C) [0, ∞)
x = 0 için
f(0) = 2 ⋅ 02 – 0 + 1 = 1
x = 1 için
f(1) = 2 ⋅ 12 – 1 + 1 = 2
x = 2 için
f(2) = 2 ⋅ 22 – 2 + 1 = 7
Buna göre,
E) (–1, ∞)
f(0) + f(1) + f(2) = 1 + 2 + 7 = 10
Doğru Seçenek D
f (x) =
x−2
x2 − 1
fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangif: R → R
sidir?
A) R
B) R – {–1, 1}
C) R – {–1, 1, 2}
D) (2, ∞)
E) [2, ∞)
130
9. SINIF MATEMATİK
f(x) = x2 – x + 1
olduğuna göre, f(–1) + f(0) + f(1) toplamı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Fonksiyon - Bölüm 05
Fonksiyonun Tanımı
f ( x ) = x3 + 3 x 2 + 3 x + 1 − 1
f (x) =
f: N → Z
f(x) = 3x – 5
( x + 1)3
−1
Şimdi x gördüğümüz yere 3 2 − 1 yazalım.
olduğuna göre, f(0) + f(1) + f(2) toplamı kaçtır?
A) –7
B) –6
C) –5
D) –4
f(3 2 − 1) = (3 2 − 1 + 1 )3 − 1 = 2 − 1 = 1
E) –2
Doğru Seçenek B
DNA 6
f: R → R
f(x) = x3 + 3x2 + 3x
fonksiyonu tanımlanıyor.
f: R → R
Buna göre, f(3 2 − 1) kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
f(x) = x2 – 4x + 2
D) 3
E) 4
fonksiyonu tanımlanıyor.
Buna göre, f(2 + 3) kaçtır?
Çözüm
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
D) 3
E) 4
Dileyen fonksiyonda x gördüğü yere 3 2 − 1 yazıp, gerekli
hesaplamaları yaparak çözüme ulaşabilir, fakat bu DNA
için bu yol pek tavsiye edilmez. Önce 8. sınıfta öğrenmiş
olduğunuz aşağıdaki Hatırlatma’ya bir göz atalım.
Hatırlatma
(x ∓ 1)3 = x3 ∓ 3x2 + 3x ∓ 1
f: R → R
DNA’da verilen fonksiyon kuralı, (x + 1)3 ifadesinin açılı-
f(x) = x3 – 3x2 + 3x
mına çok benziyor, fakat aynısı değil. f(x) fonksiyonunun
kuralında (x + 1) ifadesini elde edebilmek için kurala 1 ekleyip 1 çıkaralım.
olduğuna göre, f(3 3 + 1) kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
9. SINIF MATEMATİK
131
Fonksiyonun Tanımı
Fonksiyon - Bölüm 05
DNA 7
DNA 8
f: R → R
f, g: R → R
f(2x – 3) = 5x + 1
f(x) = 2x + 1
olduğuna göre, f(1) kaçtır?
g(x) = 3x – 3
A) 6
B) 7
C) 8
D) 10
E) 11
ve f(a) = g(2a) olduğuna göre, a kaçtır?
A) 0
Çözüm
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Çözüm
f(2x – 3) ifadesinde parantez içinin 1 olmasını istiyoruz.
x yerine hangi sayıyı yazarsak 2x – 3 ifadesi 1 e eşit olur.
f(a) = g(2a)
Bu soruya cevap vermek için 2x – 3 ifadesini 1 e eşitle-
2 ⋅ a + 1 = 3 ⋅ (2a) – 3
meliyiz.
2a + 1 = 6a – 3
2x – 3 = 1 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
4 = 4a
x = 2 için f(2 ⋅ 2 – 3) = 5 ⋅ 2 + 1
a=1
f(1) = 11
Doğru Seçenek B
Doğru Seçenek E
f, g: R → R
f(x) = 3x2 + 4
f: R → R
g(x) = x2 + 36
⎛ x − 1⎞
f⎜
⎟ = 2x + 1
⎝ 2 ⎠
ve f(a) = g(a) olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
⎛ 1⎞
olduğuna göre, f ⎜ ⎟ kaçtır?
⎝2⎠
A) 1
C) 5
B) 2
A) –1
D) 6
B) –2
C) –9
D) –16
E) –25
E) 8
f, g: R → R
f (3 x + 1) = x +
f(x) = 2x – 1
2
x
g(x) = x + 1
olduğuna göre, f(7) kaçtır?
A) 2
132
B) 3
9. SINIF MATEMATİK
C)
41
12
D)
51
7
E)
55
7
⎛a⎞
ve f ⎜ ⎟ = g(2a) olduğuna göre, a kaçtır?
⎝2⎠
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
Fonksiyon - Bölüm 05
Fonksiyonun Tanımı
DNA 9
f(x) = x ⋅ (x + 1) ⋅ (x + 2)
f(x) = 2x2 – x + 3
fonksiyonu veriliyor.
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, f(x – 1) aşağıdakilerden hangisidir?
Buna göre, f(x – 1) fonksiyonu aşağıdakilerden han-
A) 2x2 – 5x + 4
B) 2x2 – 5x + 5
C) 2x2 – 5x + 6
D) 2x2 – 3x + 5
gisidir?
A) x3 – 1
B) x3 + 1
C) x3 – x
D) x3 + x
E) x3 + x2 + 1
E) 2x2 – 3x + 6
Çözüm
DNA 10
Daha önce yaptığımız şeylerden farklı bir şey yapmayacağız. f(x) fonksiyonunda x i kaldırıp, yerine x – 1 yazarak
f(x – 1) fonksiyonunu elde edeceğiz.
R den R ye tanımlı f fonksiyonu için,
f(x2 + x) = 5x2 + 5x + 6
olduğuna göre, f(10) kaçtır?
f(x – 1) = 2(x – 1)2 – (x – 1) + 3
A) 56
B) 76
C) 126
D) 156
E) 556
f(x – 1) = 2(x2 – 2x + 1) – x + 1 + 3
Çözüm
f(x – 1) = 2x2 – 4x + 2 – x + 4
f(x – 1) = 2x2 – 5x + 6
Esas olarak DNA 7’den farklı bir şey yapmayacağız.
Doğru Seçenek C
f(x2 + x) ifadesinde parantez içinin 10 olmasını istiyoruz.
Bu yüzden,
x2 + x = 10 ... (1)
eşitliğini kurarız. Amacımız burada x in kaç olduğunu bulmak değil! Fonksiyon kuralına dikkatlice bakarsak, kuralı
x2 + x e bağlı olarak yazabileceğimizi görürüz. Şöyle ki,
f(x2 + x) = 5x2 + 5x + 6
f(x2 + x) = 5(x2 + x) + 6 ... (2)
f(x) = x2 + 1
(1) den x2 + x = 10 olduğunu biliyoruz. Bunu (2) de kul-
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, f(2x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisi-
f(10) = 5 ⋅ 10 + 6 = 56
dir?
A) 2x2 + 1
lanalım.
B) 4x2 + 1
D) 4x2 + 2
C) 2x2 + 2
Doğru Seçenek A
E) 4x2 + 4
9. SINIF MATEMATİK
133
Fonksiyonun Tanımı
Fonksiyon - Bölüm 05
Çözüm
Madem f(2) yi bulmak istiyoruz, verilen eşitlikte f(2) li bir
R den R ye tanımlı f fonksiyonu için,
ifade elde etmek için x yerine 2 yazalım.
f(x3 + x) = 3x3 + 3x – 1
A) 0
B) 1
C) 2
⎛ 1⎞
f ⎜ ⎟ + 2 ⋅ 2 = 4 f ( 2)
⎝2⎠
x = 2 için
olduğuna göre, f(3) kaçtır?
D) 6
⎛ 1⎞
f ⎜ ⎟ = 4f (2) − 4 ... (1)
⎝2⎠
E) 8
⎛ 1⎞
f ⎜ ⎟ den kurtulmak için DNA’da verilen eşitlikte bu sefer
⎝2⎠
x yerine
x=
1
yazalım.
2
1
için
2
1
⎛ 1 ⎞
⎛ 1⎞
f⎜
+ 2 ⋅ + 4f ⎜ ⎟
1 ⎟
2
⎝2⎠
⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ 1⎞
f ( 2) + 1 = 4 ⋅ f ⎜ ⎟
⎝2⎠
f ( 2) + 1
⎛ 1⎞
= f ⎜ ⎟ ... (2)
4
⎝2⎠
R den R ye tanımlı f fonksiyonu için,
(1) ve (2) den,
f ( 2) + 1
= 4 f ( 2) − 4
4
f(x2 + 1) = x4 + 2x2 + 2
olduğuna göre, f(6) kaçtır?
A) 30
B) 35
C) 36
D) 37
f (2) + 1 = 16f (2) − 16
E) 38
17 15 f (2)
=
15
15
f ( 2) =
17
15
Doğru Seçenek C
DNA 11
f fonksiyonu için,
f fonksiyonu için,
⎛ 1⎞
f ⎜ ⎟ + 2x = 4f ( x )
⎝x⎠
⎛ 1⎞
2f ( x ) + x = f ⎜ ⎟
⎝x⎠
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
A) 1
134
B)
16
15
9. SINIF MATEMATİK
C)
17
15
D)
6
5
E)
19
15
A) –2
B) −
3
2
C) –1
D) −
1
2
E) 0
Fonksiyon - Bölüm 05
Fonksiyonun Tanımı
R+ dan R ye tanımlı f fonksiyonu için,
f fonksiyonu için,
⎛2⎞
f ( x ) + 2x = x ⋅ f ⎜ ⎟
⎝x⎠
f(x ⋅ y) = f(x) + f(y)
eşitliği sağlanmaktadır.
olduğuna göre, f(1) kaçtır?
A) 2
C) 6
B) 4
D) 7
E) 8
f(8) = 1 olduğuna göre, f(2) kaçtır?
A)
1
4
B)
1
3
C)
1
2
D)1
E) 2
D) 8
E) 16
DNA 12
R den R+ ya tanımlı f fonksiyonu için,
f(x + y) = f(x) ⋅ f(y)
ve f(2) = 4 olduğuna göre, f(8) kaçtır?
A) 16
B) 64
C) 128
D) 256
E) 512
R den R+ ya tanımlı f fonksiyonu için,
f(x + y) = f(x) ⋅ f(y)
Çözüm
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre, f(0) kaçtır?
f(x + y) = f(x) ⋅ f(y)
A) 1
B) 2
C) 4
eşitliğini “f fonksiyonu içindeki toplama işaretini dışarıya
çarpma işareti olarak çıkarır” şeklinde yorumlarsak, kendimizi çözüme ulaşmış sayabiliriz. f(8) i bulmak istiyoruz ve
bunun için mutlaka soruda verilen f(2) yi kullanmalıyız.
f(8) = f(2 + 2 + 2 + 2) = f(2) ⋅ f(2) ⋅ f(2) ⋅ f(2)
=4⋅4⋅4⋅4
= 44
= 256
Doğru Seçenek D
9. SINIF MATEMATİK
135
Fonksiyonun Tanımı
Fonksiyon - Bölüm 05
4.
TEST - 1
f(x) = 3 – x ve
f(a) = 5
olduğuna göre, a kaçtır?
1.
Aşağıdaki bağıntılardan hangisi A = {1, 2, 3} kü-
A) –2
mesinden B = {a, b, c} kümesine tanımlı bir fonk-
B) –1
C) 1
D) 2
E) 3
siyon değildir?
A) {(1, a), (2, c), (3, c)}
B) {(1, a), (2, b), (3, c)}
C) {(1, a), (2, a), (3, a)}
D) {(1, a), (2, c), (3, b)}
E) {(1, a), (1, b), (3, c)}
5.
f: A → B ye tanımlı f(x) = 2x – 3 fonksiyonunun
görüntü kümesi,
f(A) = {–5, 3, 7, 9}
2.
Aşağıdaki bağıntılardan hangisi A = {1, 2} küme-
olduğuna göre, A kümesi aşağıdakilerden hangi-
sinden B = {1, 2, 3} kümesine tanımlı bir fonksi-
sidir?
yondur?
A) {4, 5, 7, 9}
B) {4, 5, 6, 7}
C) {1, 3, 5, 7}
D) {–1, 3, 5, 6}
A) {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
B) {(1, 2), (2, 1), (3, 1)}
E) {–1, 3, 5, 7}
C) {(1, 1), (2, 1), (3, 3)}
D) {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}
E) {(1, 2), (2, 1)}
3.
A = {–2, 0, 1, 2, 3}
tanım kümesi olmak üzere,
6.
f(x) = x2 – 1
lerinin tanım kümesi tüm gerçek sayılardır?
fonksiyonunun görüntü kümesi f(A) aşağıdakilerden hangisidir?
A) {–1, 0, 3, 8}
B) {0, 1, 2, 8}
C) {0, 2, 4, 6}
D) {–1, 0, 3, 9}
E) {–1, 0, 4, 9}
136
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi ya da hangi-
9. SINIF MATEMATİK
I. f ( x ) = x
II. g( x ) = 3 x
III. h(x) = x + 1
A) Yalnız f
D) f ve g
B) Yalnız g
C) Yalnız h
E) g ve h
Fonksiyon - Bölüm 05
7.
Fonksiyonun Tanımı
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi ya da hangi-
10.
I. f ( x ) = x + 1
II. g( x ) =
I. f: x → x2
1
x +1
II. g : x → x
x
III. h( x ) = 2
x +1
A) Yalnız f
x +1
x
III. h : x →
B) Yalnız g
D) f ve g
8.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi veya hangilerinin tanım kümesi R+ dır?
lerinin tanım kümesi tüm gerçek sayılardır?
A) g ve h
C) Yalnız h
B) f ve g
D) Yalnız g
E) g ve h
C) Yalnız h
E) Yalnız f
Aşağıdaki bağıntılardan hangisi veya hangileri
fonksiyondur?
11.
I. f = {(x, y)| x = y2, x, y ∈ N}
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi veya hangilerinin görüntü kümesi R– dir?
II. g = {(x, y)| x = y2, x, y ∈ Z}
I. f: x → x2
III. h = {(x, y)| x = y2, x, y ∈ R}
II. g : x → − x
A) g ve h
B) f ve g
D) Yalnız g
C) Yalnız h
x +1
−x
III. h : x →
E) Yalnız f
A) Yalnız f
B) Yalnız h
D) f ve h
9.
C) Yalnız g
E) g ve h
Aşağıdaki bağıntılardan hangisi veya hangileri
fonksiyon değildir?
I. f = {(x, y)| y = x2 + 1, x, y ∈ N}
II. g = {(x, y)| y = x3, x, y ∈ Z}
12.
III. h = {(x, y)| |y| = x, x, y ∈ R}
A) g ve h
B) f ve g
D) Yalnız g
f(x) = x ⋅ (x – 1) ⋅ (x – 2)
olduğuna göre, f(0) + f(1) + f(2) + f(3) toplamı kaç-
C) Yalnız h
E) Yalnız f
tır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
9. SINIF MATEMATİK
E) 6
137
Fonksiyonun Tanımı
13.
Fonksiyon - Bölüm 05
f(5 – 2x) = x + 2
⎛ x +1⎞ x − 2
f⎜
⎟=
⎝ x − 2⎠ x +1
16.
olduğuna göre, f(3) kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
olduğuna göre, f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ + ... + f ⎜ ⎟ toplamı
⎝2⎠ ⎝3⎠
⎝9⎠
E) 5
kaçtır?
A) 34
14.
B) 39
C) 44
D) 45
E) 49
f(x2 + 4x) = 2x2 + 8x – 4
olduğuna göre, f(3) kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
17.
f(x) = x2 + 2x + 3
olduğuna göre, f( 5 − 1) kaçtır?
B) 4 5 − 6
A) 2 5
D) 5
15.
C) 3
E) 7
f fonksiyonu için,
⎛3⎞
f ⎜ ⎟ + x = 3f ( x )
⎝x⎠
18.
olduğuna göre, f(1) kaçtır?
A)
1.E
138
3
4
B) 1
2.E
3.A
C)
4.A
9. SINIF MATEMATİK
5
4
5.D
D)
6.E
3
2
7.C
f(3 – x) = 2 ⋅ f(1 + x) + x + 4
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
E) 2
A) –6
8.E
9.C
10.C
11.B
B) –5
12.E
13.C
C) –4
14.B
15.A
D) 5
16.C
E) 6
17.E
18.B
FONKSİYON - BÖLÜM 05
FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
Not
GİRİŞ
y
Şimdi fonksiyon çeşitlerini göreceğiz. Daha sonraki yıllarda öğreneceğiniz birçok konuya temel oluşturacağı için bu
y = f(x) = b
b
özel fonksiyonların tanımlarını çok iyi öğrenmeniz gerektiğini söylemeden geçemeyeceğiz.
x
0
R den R ye tanımlı sabit bir fonksiyonun grafiği Ox ekseni-
TANIM
ne paralel olan bir doğrudur.
Bir fonksiyon tanım kümesindeki her elemanı, değer kümesindeki aynı elemana eşliyorsa, bu fonksiyona sabit
fonksiyon denir.
DNA 13
Örneğin,
Aşağıda özet olarak ifade edilen fonksiyonlardan
y = f(x) = 5 fonksiyonunu ele alalım.
hangisi ya da hangileri sabit fonksiyondur?
x ne olursa olsun, f fonksiyonu x leri 5 sayısına eşlemekI. "Gerçek bir sayıyı yarısına eşleyen fonksiyon"
tedir.
II. "Gerçek bir sayıyı, karesine eşleyen fonksiyon"
Bir başka örnek verelim.
III. "Bir tamsayı çift ise 1 e, tek ise 2 ye eşleyen
A = {1, 2, 3, 4, 5}
fonksiyon"
B = {0, 1, 2}
IV. "Bir gerçek sayıyı 0 a eşleyen fonksiyon"
olsun.
V. "Bir tam sayıyı, iki katına eşleyen fonksiyon"
f: A
x
B
A) III ve IV
f(x) = 1
A
1
2
3
4
5
B) IV ve V
D) I ve IV
B
C) Yalnız IV
E) IV ve V
0
1
2
Çözüm
fonksiyonu sabit fonksiyondur.
Sabit fonksiyon tanımını şu şekilde de verebiliriz:
Görüntü kümesi bir elemanlı olan fonksiyonlara sabit
fonksiyon denir.
I.
f (x) =
x
1
sabit fonksiyon olamaz. Örneğin, f(1) =
2
2
ve f(2) = 1. Birbirinden farklı iki görüntü olduğu için,
f (x) =
x
sabit fonksiyon değildir.
2
9. SINIF MATEMATİK
139
Fonksiyon Çeşitleri
Fonksiyon - Bölüm 05
f(x) = x2 sabit fonksiyon olamaz. Örneğin, f(1) = 1 ve
II.
DNA 14
f(2) = 4.
, x tek ise
⎧2
⎪
f (x) = ⎨
⎩⎪ 1
III.
f: R → R olmak üzere,
, x çift ise
f(x) = (a + 2)x + 3a –5
f(1) = 2, f(2) = 1 olduğundan sabit fonksiyon değil.
IV.
V.
fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, f(2008)
f(x) = 0. x gerçek sayısı ne olursa olsun görüntü hep
kaçtır?
sıfır, yani aynı olduğundan sabit fonksiyondur.
A) –2
B) –3
C) –5
D) –11
f(x) = 2x sabit fonksiyon değildir. Örneğin, f(1) = 2 ve
E) –2008
f(2) = 4.
Doğru Seçenek C
Çözüm
f(x) sabit fonksiyon ise, x yerine ne yazarsak yazalım sonuç hep aynı olmalıdır.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi ya da hangileri sa-
O halde x yerine rastgele iki değer verip eşitleyelim.
bir fonksiyondur?
Örneğin,
I. f ( x ) = x
x = 0 ve x = 1 için f(0) = f(1) olmalıdır.
II. f ( x ) = 2
( a + 2) ⋅ 0 + 3 ⋅ a − 5 = ( a + 2) ⋅ 1 + 3 ⋅ a − 5
III. f(x) = π
A) Yalnız I
0 = a + 2 den
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
E) II ve III
a = –2 bulunur. Bu değeri yerine yazarsak,
f(x) = 0 ⋅ x + 3(–2) – 5 = –11 olur ki
f(2008) = –11 dir.
f(x) = (a + 2) ⋅ x + 3a – 5
sabit fonksiyon ise x li terimin olmaması gerekir. Bir başka
Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümesi {–1, 1} kümesidir.
deyişle, x in katsayısı sıfır olmalıdır.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri bir
a+2=0
sabit fonksiyondur?
I. f(x) = –1
a = –2
II. g(x) = x2
III. h(x) =
yerine yazarsak, f(x) = –11 olur ve buradan f(2008) = –11
xx+1
A) Yalnız I
bulunur.
B) Yalnız II
D) I ve II
140
9. SINIF MATEMATİK
C) Yalnız III
E) I, II ve III
Doğru Seçenek D
Fonksiyon - Bölüm 05
Fonksiyon Çeşitleri
Çözüm
c ∈ R ve f: R → {c},
f(x) = (a + 1)x2 + (b – 1)x + 2a + 3b
x ≠ –1 için x ne olursa olsun f(x) sabit olmalıdır.
fonksiyonu veriliyor.
x yerine bir keresinde 0, bir keresinde 1 yazarak eşitle-
Buna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
yelim.
D) 4
E) 5
f (0 ) =
a⋅0 + 4
a+4
= f (1) =
0 +1
1+ 1
⇒ 4=
a+4
⇒ a+4 =8 ⇒ a = 4
2
olur.
f: R → R,
f(x) = (a – b)x3 + (b – 2)x + a + b
f (x) =
ax + 4
ifadesinde pay ve paydayı a ile çarpalım.
x +1
f (x) =
a(ax + 4)
ax + a
Bu ifadedeki x li terimi yok etmek için, ax + 4 ile ax + a ları
fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, f(2009)
sadeleştirmemiz gerekir.
kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Bunun için, a yerine 4 yazmalıyız.
Işık 2
f (x) =
a b
ax + b
sabit bir fonksiyon ise = dir.
c d
cx + d
DNA 15’i bir de IŞIK 2’ye göre çözelim.
DNA 15
f: R – {–1} → R olmak üzere,
f (x) =
ax + 4
x +1
f (x) =
fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, a kaçtır?
A) 2
a 4
ax + 4
⇒ a=4
sabit fonksiyon ise =
1 1
1⋅ x + 1
Doğru Seçenek C
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
9. SINIF MATEMATİK
141
Fonksiyon Çeşitleri
Fonksiyon - Bölüm 05
ÖRTEN FONKSİYON - İÇİNE FONKSİYON
Tanımı vermeden önce aşağıdaki fonksiyonları inceleyelim:
f: R –{–3} → R olmak üzere,
f (x) =
ax − b
x+3
A
B
1
a
fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, 3a + b
2
b
kaçtır?
A) −
f
1
4
B) −
1
3
C) 0
D)
1
3
E)
3
4
5
c
1
4
Görüntü kümesi = f(A) = {1, 2, 4}
Değer kümesi = B = {1, 2, 3, 4, 5}
f(A) ≠ B ve f(A) ⊂ B
C
f: R \ {–b} → R olmak üzere,
b
c
a⋅b
sabit fonksiyon olduğuna göre,
oranı kaçtır?
c
B) 1
D
a
ax + c
f (x) =
x+b
A) 2
g
C) 0
D) –1
E) –2
d
1
2
3
Görüntü kümesi = g(C) = {1, 2, 3}
Değer kümesi = D = {1, 2, 3}
g(C) = D
f fonksiyonunun değer kümesinde açıkta eleman kalıyor,
Not
fakat g fonksiyonunun değer kümesinde açıkta eleman
kalmıyor. g fonksiyonu gibi olan fonksiyonlar bu özellikle-
Sayılar konusunda öğreneceğiniz bir bilgiyi şimdiden vermemiz gerekiyor.
rinden dolayı ayrı bir öneme sahiptirler.
Doğal sayılar kümesi N
Pozitif tam sayılar kümesi Z+
TANIM
Negatif tam sayılar kümesi Z–
Tam sayılar kümesi Z
Görüntü kümesi ve değer kümesi eşit olan bir fonksiyona
Rasyonel sayılar kümesi Q
örten fonksiyon denir.
Gerçek sayılar kümesi R
ile gösterilir.
142
9. SINIF MATEMATİK
Yani, f: A → B fonksiyonu için f(A) = B ise f ye bir örten
fonksiyon denir.
Fonksiyon - Bölüm 05
Fonksiyon Çeşitleri
II.
DNA 16
Aynı nedenden dolayı fonksiyonun örten olmadığını
görürüz.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi veya hangileri
örtendir?
III.
Değer kümesindeki her y ∈ R için, tanım kümesinden y = 2x + 1 olacak şekilde bir x ∈ R bulabiliriz.
y −1
Söz konusu x değeri x =
∈ R dir. Bu durumu
2
daha iyi anlayabilmeniz için örneklendirelim.
I. f: N → Z
x → 2x + 1
II. g: Z → Z
x → 2x + 1
Değer kümesinden 3 ü seçelim ve tanım kümesin-
III. h: R → R
den f(x) = 3 olacak biçimde bir x elemanı bulalım.
x → 2x + 1
A) Yalnız f
f(x) = 3 ⇒ 2x + 1 = 3 ⇒
B) Yalnız g
D) f ve h
C) Yalnız h
E) f, g ve h
2x 3 −1
=
⇒ x =1
2
2
Demek ki görüntüsü 3 olan bir sayı 1 miş, yani
f(1) = 3. Bir başka deyişle değer kümesindeki 3 açıkta kalmıyor. Benzer şekilde değer kümesindeki hiçbir
eleman açıkta kalmaz. Dolayısıyla, h örtendir.
Doğru Seçenek C
Çözüm
I.
f nin örten olması için, değer kümesi Z de hiçbir eleman açıkta kalmamalıdır.
Ancak 0 ∈ Z için 2x + 1 = 0 eşitliğini sağlayan x doğal
sayısı yoktur. Yani N de görüntüsü 0 olan hiçbir eleman yoktur. O halde, f fonksiyonu örten değildir.
Dikkatli bir okuyucu f: N → Z, f(x) = 2x + 1 fonksiyonunu görür görmez, bu fonksiyonun örten olmadığını
söyler ☺. x ∈ N olduğundan 2x + 1 tek sayıdır. Buna
göre, f fonksiyonu doğal sayılar kümesini tek sayılar
kümesi ile eşlemektedir. O halde, çift sayılar açıkta
kalır. Bu yüzden f fonksiyonu örten değildir. Bir başka dikkatli okuyucunun kafasında da aşağıdaki gibi
Değer
f
0
1
2
tendir?
I. f: R → R
x → x2
II. g: R → R+ ∪ {0}
bir şema belirir.
N
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi veya hangileri ör-
Z
kümesi
olan Z de açıkta
0
1
2
3
4
5
kalan
elemanlar
x → x2
III. h: R → R
x→
var. O zaman f
örten değildir.
A) Yalnız I
x
+2
3
B) Yalnız II
D) I, II ve III
C) Yalnız III
E) II ve III
9. SINIF MATEMATİK
143
Fonksiyon Çeşitleri
Fonksiyon - Bölüm 05
DNA 17
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi veya hangileri ör-
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi ya da hangileri
tendir?
içinedir?
I. f: Q → Q
I. f: R → R
1
x→
x2 + 1
x → 3x + 4
II. f: Z → Z
II. g: R – {2} → R
x→x+3
x→
III. f: R → R
1
x−2
III. h: R+ → R
x→ 1
x
x→ x
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
C) I ve II
A) Yalnız I
E) I, II ve III
B) Yalnız II
D) II ve III
C) Yalnız III
E) I, II ve III
Çözüm
I.
f: R → R
1
x→
2
x +1
fonksiyonu örten değildir, dolayısıyla içinedir. Örten
olmadığını kolayca görebiliriz. Her x gerçek sayısı
için x2 + 1 pozitiftir. O halde,
1
de pozitiftir.
x +1
Buna göre, x gerçek sayılarının görüntüleri hiçbir za-
TANIM
2
man negatif ya da sıfır olamaz, yani değer kümesinÖrten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir. Bir baş-
de sıfır ve tüm negatif sayılar açıkta kalmaktadır. Bu
ka deyişle, görüntü kümesi, değer kümesine eşit olmayan
yüzden f fonksiyonu örten değildir.
bir fonksiyona içine fonksiyon denir.
A
a
b
c
f
II.
B
ğeri sıfır olmaz. Yani değer kümesinde sıfır açıkta
2
kalıyor. Bu yüzden g fonksiyonu içinedir.
3
4
Değer kümesi = B = {1, 2, 3, 4}
f(A) ≠ B olduğundan, f içine fonksiyondur.
9. SINIF MATEMATİK
1
ifadesinin dex−2
1
Görüntü kümesi = f(A) = {1, 2, 3}
144
x gerçek sayısı ne olursa olsun
III.
x pozitif gerçek sayısı için
x pozitiftir. Yani, değer
kümesinde negatif sayılar ve sıfır açıkta kalıyor. Bu
yüzden h fonksiyonu içinedir.
Doğru Seçenek E
Fonksiyon - Bölüm 05
Fonksiyon Çeşitleri
BİRE BİR FONKSİYON
Bir başka fonksiyon çeşidi de bire bir fonksiyondur.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi ya da hangileri içi-
Bu fonksiyon çeşidini anlayabilmek için örneğimize dikkat
nedir?
edin.
Tüm insanların kümesi üzerinde insanları parmak izlerine
I. f: R → R
götüren fonksiyonu düşününüz.
x → 2x
Her insanın parmak izi farklı olduğundan, her insan ancak
bir parmak iziyle eşleşir.
II. g: R → R
Şimdi tanım zamanı.
x → x3
III. f: R+ → R+
x →
x2
TANIM
+1
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
E) I, II ve III
f, A dan B ye bir fonksiyon olsun. Birbirinden farklı olan
bütün elemanların, f altındaki görüntüleri de farklı oluyorsa, f fonksiyonuna bire bir fonksiyon denir.
Bu tanımı aşağıdaki gibi kısaca verebiliriz.
Her x1 ≠ x2 için f(x1) ≠ f(x2) ise f fonksiyonuna bire bir
fonksiyon denir.
Bire birlik kavramını biraz daha iyi anlamak için aşağıdaki
örneklere bakalım.
f
1
a
2
b
3
4
5
c
d
f fonksiyonu bire birdir.
g
a
1
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi ya da hangileri içi-
b
2
ne fonksiyondur?
c
3
d
4
I. f: R → R
g fonksiyonu bire birdir.
x → x4
h
II. g: R+ → R+
x→
1
x
a
III. h: R → R
3
d
B) Yalnız II
D) I ve III
2
c
x → 2x – 2
A) Yalnız I
1
b
C) Yalnız III
E) I, II ve III
a ve b farklı elemanlardır. Fakat görüntüleri aynıdır. Bu
yüzden, h fonksiyonu bire bir değildir.
9. SINIF MATEMATİK
145
Fonksiyon Çeşitleri
Fonksiyon - Bölüm 05
Az önceki örnekleri iyi anlamışsak, bire birlik tanımının şu
şekilde de verilebileceğini görürüz: Görüntüleri aynı olan
elemanların, kendileri de aynıdır.
Yani f(x1) = f(x2) iken x1 = x2 oluyorsa f fonksiyonuna bire
bir fonksiyon denir.
III.
x1, x2 ∈ R için,
2
2
x1 ≠ x2 ise; x1 ≠ x 2 dir.
Çünkü pozitif farklı iki sayının kareleri de farklıdır.
Öyleyse, h(x) = x2, R+ da bire birdir.
Doğru Seçenek E
DNA 18
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi ya da hangileri
birebirdir?
I. f: Z → Z
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi ya da hangileri
x→x+2
bire birdir?
II. g: Q → Q
I. f: N → N
x → x2
x→x+1
III. h: R+ → R+
II. g: Z → Z
x → x2
A) Yalnız I
x→x+1
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
III. h: Q → Q
E) I ve III
x→x+1
A) Yalnız III
Çözüm
B) Yalnız II
C) Yalnız I
E) I, II ve III
D) I ve II
Ne yapmalıyız? Öncelikle elbetteki tanımı gerçekten anlamalıyız. Ne diyor tanım?
Farklı iki elemanı alırsak, eşleştiği elemanlar da farklı olacak.
I.
x1, x2 ∈ Z için,
x1 ≠ x2 ise x1 + 2 ≠ x2 + 2 dir.
Dolayısıyla f(x1) ≠ f(x2) olur ki f(x) = x + 2 bire birdir.
II.
x1, x2 ∈ Q için,
x1 = 1 ve x2 = –1 alalım.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi veya hangileri bire
birdir?
I. f: N → N
x → x2 + 1
II. g: Z → Z
x → x2 + 1
III. h: Q → Q
x1 ≠ x2 ancak 12 = (–1)2 olduğundan,
g(x1) = g(x2) olup x1 = x2 değildir.
Dolayısıyla, g bire bir değildir.
146
9. SINIF MATEMATİK
x → x2 + 1
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
E) I, II ve III
Fonksiyon - Bölüm 05
Fonksiyon Çeşitleri
BİRİM FONKSİYON
Çözüm
f(x) = x = ax + b
TANIM
Tanım kümesi ve değer kümesi aynı olan bir fonksiyon
⇒
1⋅x+0=a⋅x+b
⇒
a = 1 ve b = 0
olup,
tanım kümesinin her elemanını yine kendisi ile eşliyorsa,
a⋅b=1⋅0=0
o fonksiyona birim fonksiyon denir.
dır.
Aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
Doğru Seçenek A
f
1
1
f(1)= 1
2
2
f(2) = 2
3
3
f(3) = 3
f, birim fonksiyondur.
f: R → R olmak üzere,
f(x) = (a – 3)x + b + 1
g
fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, a + b top-
1
1
g(1)= 2
lamı kaçtır?
2
2
g(2) = 1
A) 1
3
3
g(3) = 3
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
g, birim fonksiyon değildir.
f(x) = x fonksiyonu birim fonksiyondur ve bundan başka
birim fonksiyon yoktur.
DNA 19
f: R → R olmak üzere,
f: R → R olmak üzere,
f(x) = ax + b
fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, a ⋅ b
fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre, a + b + c
çarpımı kaçtır?
A) 0
B) 1
f(x) = (a + 1)x2 + (b + 2)x + a + b – c
C) 2
D) 3
E) 4
toplamı kaçtır?
A) –2
B) –3
C) –4
D) –5
9. SINIF MATEMATİK
E) –6
147
Fonksiyon Çeşitleri
Fonksiyon - Bölüm 05
DOĞRUSAL FONKSİYON
Doğrusal fonksiyonların sahip olduğu güzel bir özelliği ve-
TANIM
relim.
a,b gerçek sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere, f(x) = ax + b fonk-
f: A → A doğrusal bir fonksiyon olsun.
siyonuna doğrusal fonksiyon denir. Örneğin,
x1, x2 ∈ A ve x1 ≠ x2 için,
f(x) = x
f ( x 2 ) − f ( x1)
oranı sabittir.
x 2 − x1
Yani tanım kümesindeki birbirinden farklı herhangi iki ele-
g(x) = 2x – 1
manın görüntülerinin farkının, elemanların farkına oranı
x
h( x ) = + 7
3
eşittir.
f(1) = 3 ve f(5) = 11 zaten verilmiş.
fonksiyonları birer doğrusal fonksiyondur.
f(4) = y diyelim.
f (5) − f (1) f ( 4) − f (1)
=
5 −1
4 −1
DNA 20
11 − 3 y − 3
=
4
3
f(x) bir doğrusal fonksiyondur.
24 = 4 y − 12
f(1) = 3
36 = 4 y
f(5) = 11
y=9
olduğuna göre, f(4) kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 8
D) 9
Doğru Seçenek D
E) 10
Çözüm
f(x) bir doğrusal fonksiyondur.
f(1) = 3 ve f(–1) = 5 olduğuna göre, f(0) kaçtır?
f(x) doğrusal fonksiyon olduğundan a ve b gerçek sayılar
A)
olmak üzere, f(x) = ax + b biçimindedir.
f(1) = a ⋅ 1 + b = 3
⇒
f(5) = a ⋅ 5 + b = 11
⇒
13
4
B)
7
2
C) 4
D)
9
2
E)
15
4
–5/ a + b = 3
5a + b = 11
–5a – 5b = –15
+ 5a + b = 11
–4b = –4
b = 1, a = 2
f(x) bir doğrusal fonksiyondur.
f(a) = b ve f(b) = a olduğuna göre, f(1) aşağıdakilerden
hangisidir?
Buna göre, f(x) = ax + b = 2x + 1
f(4) = 2 ⋅ 4 + 1 = 9
148
9. SINIF MATEMATİK
A) a + b – 1
B) a – b + 1
D) a + b + 1
C) a – b – 1
E) b – a + 1
Fonksiyon - Bölüm 05
Fonksiyon Çeşitleri
Sonlu iki küme arasında tanımlı olan bağıntı sayısını bili-
Çözüm
yoruz. Şimdi de sonlu iki küme arasında tanımlı olan fonk-
Hazine 1’den s(B) = 5 olduğundan,
siyon sayısını bulmaya çalışalım.
b1 b2
A ve B sonlu iki küme, A kümesi n elemanlı, B kümesi
b3 b4 b5
3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3
m elemanlı olsun. A dan B ye tanımlı fonksiyon sayısını
3 = 35 = 243 olur.
bulmak için yapacağımız tek şey fonksiyon tanımını kul-
Doğru Seçenek C
lanmak.
A kümesindeki 1. eleman B kümesinde m farklı yere,
A kümesindeki 2. eleman B kümesinde m farklı yere,
A kümesindeki 3. eleman B kümesinde m farklı yere,
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
s(A) = 3
s(B) = 5
A kümesindeki n. eleman B kümesinde m farklı yere
gidebilir. Buna göre, A dan B ye tanımlı olan fonksiyon
sayısı,
olmak üzere, A dan B ye tanımlanan bağıntılardan en
çok kaç tanesi fonksiyon olur?
A) 125
n
s( A )
m
m ⋅
m
⋅ ... ⋅
m = m = s(B)
⋅
B) 243
C) 256
D) 512
E) 1014
n tane
tanedir.
Hazine 1
2 elemanlı bir kümeden 3 elemanlı bir kümeye tanım-
A ve B sonli iki küme olsun.
A dan B ye tanımlı fonksiyon sayısı = s(B)s(A)
lanan bağıntılardan kaç tanesi fonksiyon değildir?
A) 55
B) 64
C) 121
D) 136
E) 148
DNA 21
s(A) = 3 ve s(B) = 5
DNA 22
veriliyor.
3 elemanlı bir kümeden, 5 elemanlı bir kümeye kaç
B den A ya kaç tane fonksiyon tanımlanabilir?
tane bire bir fonksiyon tanımlanabilir?
A) 120
A) 12
B) 125
C) 243
D) 246
E) 512
B) 30
C) 60
D) 90
E) 120
9. SINIF MATEMATİK
149
Fonksiyon Çeşitleri
Fonksiyon - Bölüm 05
Çözüm
Işık 3
A = {a, b, c} ve B = {1, 2, 3, 4, 5}
A ve B sonlu iki küme ve s(B) ≥ s(A) olsun.
A dan B ye tanımlı bire bir fonksiyon sayısı
olsun.
s(B)!
(s(B) − s(A))!
Şema yardımıyla kolayca çözebiliriz.
dır.
A
B
1
a
2
b
3
4
5
c
a elemanı B kümesindeki beş elemandan herhangi biri ile
eşlenebilir. Fonksiyon bire bir olduğundan b elemanı a nın
eşlendiği elemanla eşlenemez, yani b elemanı geriye kalan dört elemandan biri ile eşlenebilir. Benzer mantıkla c
elemanı, geriye kalan 3 eleman ile eşlenebilir.
3 elemanlı bir kümeden, 6 elemanlı bir kümeye tanımBuna göre, A dan B ye,
lanabilecek bire bir fonksiyon sayısı kaçtır?
A) 15
5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60
B) 30
C) 60
D) 120
E) 150
tane bire bir fonksiyon tanımlanabilir.
Doğru Seçenek C
DNA 22’deki mantığı kullanarak sonlu iki küme arasında
tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısını bulabiliriz, hatta bunun için bir formül bile elde edebiliriz. DNA 22
çözümündeki 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ifadesine bir de şu gözle bakalım.
s(B)
↑
5!
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 5!
s(B)!
=
=
=
2 ⋅1
2! (5 − 3)! (s(B) − s( A ))!
↓
↓
s(B) s(A)
150
9. SINIF MATEMATİK
3 elemanlı bir kümeden, 6 elemanlı bir kümeye tanımlı
fonksiyonlardan kaç tanesi bire bir değildir?
A) 58
B) 68
C) 78
D) 88
E) 96
Fonksiyon - Bölüm 05
Fonksiyon Çeşitleri
5.
TEST - 2
f (x) =
a⋅x + 2
3x − 2
fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, a
1.
kaçtır?
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi A = {1, 2, 3} kü-
A) 3
mesinden B = {0, –1, –2} kümesine tanımlı bire bir ve
B) 2
C) 0
D) –2
E) –3
örten fonksiyondur?
A) {(1, 0), (2, –1), (3, 0)}
B) {(1, 0), (2, –2), (3, –1)}
C) {(1, 0), (2, 0), (3, 0)}
6.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi ya da hangileri bire bir fonksiyondur?
D) {(1, –1), (2, 0), (3, –1)}
f (x) = x
E) {(3, –1), (2, –2), (1, –1)}
g( x ) = 3 x
h(x) = x + 1
A) Yalnız f
2.
f: R → R olmak üzere,
B) Yalnız g
D) f ve g
C) Yalnız h
E) f, g ve h
y = f(x) = (a – 3)x2 + (b + 3)x + a – 8
fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre,
f(2009) kaçtır?
A) –9
B) –7
C) –6
D) –5
E) –4
7.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi ya da hangileri bire birdir?
f(x) = x2 + 1
3.
g( x ) =
f: R → R olmak üzere,
y = f(x) = (a + 1)x2 + (b + 3)x + c + 4
h( x ) =
fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre,
a + b + c toplamı kaçtır?
A) –9
4.
B) –7
C) –6
1
x +1
x
2
x +1
A) Yalnız f
D) –5
E) –4
B) Yalnız g
D) f ve g
C) Yalnız h
E) f ve h
f(x) = (a + 3)x + 1
fonksiyonu sabit fonksiyon,
8.
g(x) = (b – 1)x + 3a – 9c
f(x2) = (a – 3)x2 + (b + 1)x + c – 3
fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre,
a + b + c toplamı kaçtır?
A) 6
B) 4
C) 0
f(x) birim fonksiyondur.
D) –2
E) –3
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
A) –12
B) –9
C) 0
D) 6
9. SINIF MATEMATİK
E) 9
151
Fonksiyon Çeşitleri
9.
Fonksiyon - Bölüm 05
13.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi içinedir?
A) f: R → R, f(x) = 2x
A) Örten fonksiyondur.
B) f: R → R, f(x) = x
C) f: R – {0} → R – {0}, f ( x ) =
B) Bire birdir.
1
x
C) Sabit fonksiyondur.
D) f: R+ → R+, f(x) = x4
D) Birim fonksiyondur.
E) f: R → R, f(x) = 3x – 3
10.
Her insanı, doğduğu yıla eşleyen bir fonksiyon
için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
E) İçine fonksiyondur.
A ⊂ R dir.
f: R+ → A, f(x) = x2
14.
f: {1} → {2}
fonksiyonu bire birdir.
fonksiyonu için aşağıdakilerden kaç tanesi doğ-
Buna göre, en geniş A kümesi aşağıdakilerden
rudur?
hangisidir?
I. Bire birdir.
C) R+ ∪ {0}
B) R+
A) R
II. Örtendir.
III. Sabittir.
E) [1, ∞)
D) R – {0}
IV. Birim fonksiyondur.
V. İçine fonksiyondur.
11.
A) 1
Her Türkiye Cumhuriyeti vatandaşını T.C. kimlik
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
numarasına eşleyen fonksiyon için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Birim fonksiyondur.
B) Sabit fonksiyondur.
15.
C) Doğrusal fonksiyondur.
f: R – {0} → R
f (x) =
D) Bire bir fonksiyondur
x2 + 1
x
fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi ya da
E) İçine fonksiyondur.
hangileri doğrudur?
12.
I. Bire birdir.
f: R – {2} → R
f (x) =
II. Örtendir.
ax − 4
x −b
III. Birim fonksiyondur.
fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre, a + b
A) Hiçbiri
toplamı kaçtır?
A) –2
1.B
152
2.D
B) 0
3.B
9. SINIF MATEMATİK
C) 2
4.D
D) 4
5.E
6.E
D) Yalnız III
E) 6
7.B
B) Yalnız I
8.D
9.A
10.C
11.D
C) Yalnız II
E) II ve III
12.D
13.E
14.C
15. A
FONKSİYON - BÖLÜM 05
BİRİNİ DİĞERİ CİNSİNDEN BULMA
Artık bu soru tipinin fonksiyonlar üzerindeki uygulamasına
GİRİŞ
geçebiliriz.
Fonksiyonların bu bölümünde öncelikle verilen bir f fonksiyonunun aynı değişkene bağlı olan farklı görüntülerini
DNA 23
(örneğin, f(2x) ile f(x – 1)) birbiri cinsinden yazabilmeyi
öğreneceksiniz.
f(x) = 2x + 1
Peki iki ifadeden birini diğerinin cinsinden yazmak ne demek?
olduğuna göre, f(2x) in f(x) cinsinden değeri nex = 2a + 1
dir?
y = 3a – 1
A) 2f(x) – 1
B) f(x) + 1
C) 2f(x) + 1
eşitlikleri verilip, x in y cinsinden değerini yazmamız isteD) f(x) – 1
nirse,
E) 2f(x) – 3
x = ... y ...
gibi bir eşitlik bulmamız isteniyor demektir. Bunu elde etmek için yapacağımız iş, her iki denklemde de a yı yalnız
Çözüm
bıraktıktan sonra, a ları yok etmekten ibarettir.
x = 2a + 1
⇒
a=
x −1
2
y = 3a − 1
⇒
a=
y +1
3
⇒
x −1 y +1
=
2
3
Başrol oyuncularımız kimler?
f(2x) ile f(x).
Bulmamız istenen ifade:
f(2x) = ... f(x) ...
Önce f(2x) i bulalım.
⇒ 2y + 2 = 3 x − 3
f(2x) = 2 ⋅ (2x) + 1
⇒ 3 x = 2y + 5
⇒ f(2x) = 4x + 1 ... (i)
5
2
⇒ x = y+
3
3
Hedefimiz x i f(x) e bağlı olarak yazmak.
f ( x ) = 2x + 1 ⇒ x =
Bu problem için “x in y cinsinden değeri nedir?” sorusunun
cevabı:
5
"2
y + " tür.
3
3
f (x) − 1
2
dir.
Şimdi aynı problemi daha disiplinli bir şekilde çözelim.
Bu değeri (i) denkleminde yerine yazarsak,
⎛ f ( x) − 1⎞
f (2x ) = 4 ⋅ ⎜
⎟ +1
⎝ 2 ⎠
x = 2a + 1
olduğunu biliyoruz. Bu eşitlikteki a değerini y ye bağlı ola-
= 2 ⋅ ( f ( x ) − 1) + 1
rak yazarsak, çözüm tamamdır.
y = 3a − 1
⇒ a=
y +1
3
= 2f ( x ) − 1
elde ederiz.
olduğundan,
⎛ y + 1⎞
x = 2a + 1 = 2 ⋅ ⎜
⎟ +1
⎝ 3 ⎠
Doğru Seçenek A
9. SINIF MATEMATİK
153
Birini Diğeri Cinsinden Bulma
Fonksiyon - Bölüm 05
Çözüm
Hedefimiz; f(3x) = ... f(x) ... gibi bir eşitlik bulmak.
f(x) = x + 1
f(3x) = 2(3x) = 23x = (2x)3 ... (i)
olduğuna göre, f(2x) in f(x) cinsinden değeri nedir?
A) 2f(x) – 2
B) 2f(x) – 1
f(x) = 2x olduğu zaten problemde verilmiş.
C) 2f(x)
D) 2f(x) + 1
(i) denkleminde 2x yerine f(x) yazarsak, işimiz tamamdır.
f(3x) = (2x)3
E) 2f(x) + 2
= [f(x)]3
= f3(x)
Doğru Seçenek C
Not
[f(x)]n ifadesi fn(x) ile gösterilir.
f(x) = 3x – 1
olduğuna göre, f(3x) in f(x) cinsinden değeri nedir?
A) 2f(x) + 2
B) 2f(x) + 3
C) 3f(x) + 2
D) 3f(x) – 2
f(x) = 4x
olduğuna göre, f(2x) in f(x) cinsinden değeri nedir?
E) 3f(x) – 4
A) f2(x)
B) f3(x)
C) f4(x)
E) 2f2(x)
D) 2f(x)
DNA 24
f(x) = 2x
olduğuna göre, f(3x) in f(x) cinsinden değeri nedir?
B) 3f2(x)
A) 3f(x)
D) 3 ⋅ f3(x)
154
9. SINIF MATEMATİK
C) f3(x)
E) f6(x)
f(x) = 9x
⎛x⎞
olduğuna göre, f ⎜ ⎟ nin f(x) cinsinden değeri nedir?
⎝2⎠
A)
1
f(x)
2
B)
D) f ( x ) −
1
2
f(x)
C)
E) 2 f ( x )
f 2 (x)
4
Fonksiyon - Bölüm 05
Birini Diğeri Cinsinden Bulma
Bu değeri (i) denkleminde yerine yazarsak, işimiz tamam-
DNA 25
f (x) =
dır.
2x − 1
=
f (2x ) =
2x + 1
x −1
x +1
olduğuna göre, f(2x) in f(x) cinsinden değeri ne-
2 + 2f ( x ) 1 − f ( x )
−
1 − f (x) 1 − f (x)
=
2 + 2f ( x ) 1 − f ( x )
+
1 − f (x) 1 − f (x)
dir?
A)
f (x) − 1
f (x) + 1
B)
f (x) + 1
f (x) − 1
C)
2f ( x ) − 1
2f ( x ) + 1
D)
2f ( x ) + 1
2f ( x ) − 1
E)
1 + f (x)
−1
1 − f (x)
1 + f (x)
+1
2⋅
1 − f (x)
2⋅
2 + 2f ( x ) − 1 + f ( x )
1 − f (x)
=
2 + 2f ( x ) + 1 − f ( x )
1 − f (x)
3f ( x ) + 1
f (x) + 3
=
3f ( x ) + 1
f (x) + 3
Doğru Seçenek E
Çözüm
Hedefimiz;
f (x) =
f(2x) = ... f(x) ...
gibi bir eşitlik bulmak.
olduğuna göre, f(2x) in f(x) cinsinden değeri nedir?
A)
f (2x ) =
1
x −1
2x − 1
... (i)
2x + 1
1
f (x) − 1
B)
D)
f (x)
1+ f ( x )
f (x)
2 + f (x)
C)
E)
f (x)
1− f ( x )
f (x)
2 − f (x)
eşitliğini kolayca elde ederiz.
Problemi çözmek için, bu eşitlikteki x değişkenlerini f(x) e
bağlı olarak yazmalıyız.
f (x) =
⇒
tir.
x −1
x +1
x ⋅ f (x) + f (x) = x − 1
⇒
1 + f (x) = x − x ⋅ f (x)
⇒
1 + f ( x ) = x ⋅ (1 − f ( x ))
⇒
1 + f (x)
x=
1 − f (x)
f (x) =
x
x +1
olduğuna göre, f(3x) in f(x) cinsinden değeri nedir?
A)
2f ( x )
2f ( x ) + 1
B)
D)
3f ( x )
2f ( x ) − 1
2f ( x ) − 1
2f ( x ) + 1
C)
E)
3f ( x )
2f ( x ) + 1
1
3f ( x ) − 1
9. SINIF MATEMATİK
155
Birini Diğeri Cinsinden Bulma
Fonksiyon - Bölüm 05
DNA 26
f (x) =
f(x) = 2x + 3
1
x
⎛ 1⎞
olduğuna göre, f ⎜ ⎟ in f(x + 1) türünden değeri
⎝x⎠
nedir?
⎛ 1⎞
olduğuna göre, f ⎜ ⎟ in f(x) türünden değeri nedir?
⎝x⎠
3f ( x + 1) − 11
A)
f ( x + 1) − 5
f ( x + 1) − 11
B)
f ( x + 1) − 5
A) –f(x)
2f ( x + 1) − 5
C)
3f ( x + 1) + 5
2f ( x + 1) − 11
D)
3f ( x + 1) + 5
E)
C)
1
f(x)
E) f ( x ) +
1
f (x)
B) f(x)
D) −
1
f (x)
f ( x + 1) + 1
f ( x + 1) − 1
Çözüm
Hedefimiz,
⎛ 1⎞
f ⎜ ⎟ = ...f ( x + 1)...
⎝x⎠
gibi bir eşitlik bulmak.
1
⎛ 1⎞
f ⎜ ⎟ = 2 ⋅ + 3 ... (i)
x
⎝x⎠
f ( x + 1) = 2 ⋅ ( x + 1) + 3
⇒
f ( x + 1) = 2x + 5 ... (ii)
(ii) denklemindeki x i yalnız bırakıp, (i) denkleminde yeri-
f(x) = x + 1
⎛ 1⎞
olduğuna göre, f ⎜ ⎟ in f(x) türünden değeri nedir?
⎝x⎠
ne yazdığımızda işimiz tamamdır.
A)
f ( x + 1) = 2x + 5
⇒
x=
f ( x + 1) − 5
2
=
4
3f ( x + 1) − 15
4
+3 =
+
f ( x + 1) − 5
f ( x + 1) − 5
f ( x + 1) − 5
=
3f ( x + 1) − 11
f ( x + 1) − 5
Doğru Seçenek A
9. SINIF MATEMATİK
B)
D)
1
1
⎛ 1⎞
f ⎜ ⎟ = 2⋅ + 3 = 2⋅
+3
f
(
x
1) − 5
+
x
x
⎝ ⎠
2
156
f (x)
f (x) − 1
f (x) + 1
f (x)
f (x)
f (x) + 1
C)
E)
f (x) − 1
f (x)
f (x) − 1
f (x) + 1
Öz Yinelemeli Fonksiyon
Fonksiyon - Bölüm 05
Kimi zaman bir fonksiyon doğrudan tanımlanmak yerine,
Çözüm
tanım kümesindeki bir elemanın görüntüsü, yine tanım kü-
x = 1 için:
f(2) – f(1) = 1
mesindeki başka bir elemanın görüntüsüne bağımlı ola-
x = 2 için:
f(3) – f(2) = 1
x = 3 için:
f(4) – f(3) = 1
⋅
⋅
⋅
cak şekilde tanımlanır.
Örneğin,
x = 9 için:
⋅
⋅
⋅
f(10) – f(9) = 1
+
f(10) – f(1) = 1 + 1 + ... + 1
f(x) + f(x + 1) = x2
eşitliği verilip, f(4) değerini bulmamız istense, soruyu çözemeyiz. Ancak, f(1) = 2 gibi f nin tanım kümesindeki bir
10
9 tane 1
⇒
f(10) – 10 = 9
⇒
f(10) = 19
Doğru Seçenek C
elemanın görüntüsü verilirse;
f(3), f(4), f(–5), f(100)
gibi değerleri hesaplayabiliriz.
Tam sayılar kümesinde tanımlanmış bir f fonksiyonu,
İşte bu tip tanımlanmış fonksiyonlara öz yinelemeli fonksiyon diyeceğiz.
f(x + 1) – f(x) = 4
eşitliğini sağlamaktadır.
f(4) = 4 olduğuna göre, f(10) kaçtır?
Şimdi, DNA zamanı
A) 18
B) 20
C) 24
D) 26
E) 28
DNA 27
Tam sayılar kümesinde tanımlanmış bir f fonksiyonu,
f(x + 1) – f(x) = 1
Tam sayılar kümesinde tanımlanmış bir f fonksiyonu,
eşitliğini sağlamaktadır.
f(x + 1) – f(x) = 2
eşitliğini sağlamaktadır.
f(1) = 10 olduğuna göre, f(10) kaçtır?
Buna göre, f(10) – f(1) kaçtır?
A) 1
B) 14
C) 19
D) 29
E) 38
A) 14
B) 16
C) 18
D) 20
9. SINIF MATEMATİK
E) 22
157
Fonksiyon - Bölüm 05
Öz Yinelemeli Fonksiyon
DNA 27’nin çözümünde, dikkat etmişseniz, x = 1, x = 2,
..., x = 9 değerlerini vererek çözümü yaptık. Eğer x yerine
( x + 3) − x
3
= = 3 → 3 er artırarak değerler vereceğiz.
x in katsayısı
1
bu değerleri vermeseydik, çözüm yapmak çok zahmetli
olurdu.
Hadi yapalım:
İşte bu tip soruların çözümündeki en kritik nokta burası!
x = 1 için:
f(4) – f(1) = ...
(i)
x yerine yazacağım ilk (en küçük) değer kaç?
x = 2 için:
f(7) – f(4) = ...
(ii)
x yerine yazacağım son (en büyük) değer kaç?
x = 3 için:
f(10) – f(7) = ...
⋅
⋅
⋅
(iii) x e değerler verirken, verdiğim değerleri kaçar artırmalıyım?
⋅
⋅
⋅
x = 31 için:
f(34) – f(31) = ...
+
sorularını cevapladıktan sonra çözüme başlarsak, sıkıntı
f(34) – f(1) = ...
çekmeyiz.
Genel yapı itibarı ile bu soru tipinin çözüm tekniği sanıyo-
Şimdi bu soruları cevaplayalım.
rum anlaşılmıştır.
Verilen fonksiyon: f(x + 1) – f(x) = 4
Büyük
olan
Küçük
olan
Verilen ve istenen değerler: f(1) ile
f(10)
Küçük
olan
Büyük
olan
Küçük olanı küçük olana, büyük olanı büyük olana eşit-
DNA 28
Tam sayılar kümesinde tanımlanmış bir f fonksiyonu,
leyerek bulduğumuz x değerleri, (i) ve (ii) sorularının cevaplarıdır.
f(x + 2) – f(x – 2) = 1
x = 1 → 1 den başlayacağız.
eşitliğini sağlamaktadır.
x + 1 = 10 → x = 9 → 9 da bitireceğiz.
f(1) = 1 olduğuna göre, f(41) kaçtır?
(iii) sorusunun cevabı ise şu:
f(x + 1) – f(x) = 1
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
Bu ikisinin farkı 1
1 i, x in katsayısı olan 1 e bölersem 1 bulurum.
Demek ki, x i 1 er artırarak değerler vereceğiz.
Çözüm
Örneğin,
f(x + 3) – f(x) = ...
eşitliği ile f(1) değeri verilip, f(34) değerini bulmamız istensin.
Küçük olanı küçük olana, büyük olanı büyük olana eşitleyelim ki x i kaçta başlatıp, kaçta bitireceğimiz ortaya
çıksın.
x + 3 ile x ten küçük olanı x, büyük olanı x + 3
x – 2 = 1 ⇒ x = 3 (İlk değer)
1 ile 34 ten küçük olanı 1, büyük olanı 34
x + 2 = 41 ⇒ x = 39 (Son değer)
x = 1 → 1 den başlatacağız.
x + 3 = 34 ⇒ 31 → 31 de bitireceğiz.
158
9. SINIF MATEMATİK
( x + 2) − ( x − 2)
=4
1
(Artış miktarı)
Öz Yinelemeli Fonksiyon
Fonksiyon - Bölüm 05
x = 3 için:
f(5) – f(1) = 1
x = 7 için:
f(9) – f(5) = 1
x = 11 için:
f(13) – f(9) = 1
⋅
⋅
⋅
x = 39 için:
Tam sayılar kümesinde tanımlı bir f fonksiyonu,
⋅
⋅
⋅
+
f(x + 6) – f(x – 1) = 2
f41) – f(37) = 1
eşitliğini sağlamaktadır.
f(41) – f(1) = 1 + 1 + ... + 1
f(10) = 0 olduğuna göre, f(80) kaçtır?
A) 16
B) 18
C) 20
D) 22
E) 24
Şimdi ki problemimiz şu:
Acaba 1 + 1 + ... + 1 toplamında kaç tane 1 var?
Tabi ki,
3, 7, 11, ..., 39
dizisinin terim sayısı kadar.
Bunu hesaplamak için Ardışık Sayılar’dan bir Hatırlatma
verelim.
Tam sayılar kümesinde tanımlı bir f fonksiyonu,
f(x + 3) – f(x – 2) = 1
Hatırlatma
Terim sayısı =
eşitliğini sağlamaktadır.
Son Terim – İlk Terim
f(2008) = 3 olduğuna göre, f(2048) kaçtır?
+1
Artış Miktarı
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
Bu Hatırlatma’dan, 1 lerin sayısı,
39 − 3
+ 1 = 10
4
bulunur.
DNA 29
f ( 41) − fN
(1) = 1+
1
+ ...
+
1
1
10 tane 1
Tam sayılar kümesinde tanımlanmış bir f fonksiyonu,
⇒ f ( 41) − 1 = 10
f(x + 2) = 2 ⋅ f(x)
⇒ f ( 41) = 11
eşitliğini sağlamaktadır.
dir.
Doğru Seçenek B
f(1) = 2 olduğuna göre, f(101) kaçtır?
A) 248
B) 249
C) 250
D) 251
9. SINIF MATEMATİK
E) 252
159
Öz Yinelemeli Fonksiyon
Fonksiyon - Bölüm 05
Çözüm
x = 1 (İlk değer)
Tam sayılar kümesinde bir f fonksiyonu,
f ( x + 4)
=2
f ( x − 4)
x + 2 = 101 ⇒ x = 99 (Son değer)
x+2−x
= 2 (Artış miktarı)
1
eşitliğini sağlamaktadır.
Terim sayısını peşin peşin bulalım.
Son – İlk
TS =
Artış Mik.
+1 =
f(2) = 1 olduğuna göre, f(82) kaçtır?
99 − 1
+ 1 = 50
2
x = 1 için:
f(3) = 2 ⋅ f(1)
x = 3 için:
f(5)= 2 ⋅ f(3)
⋅
⋅
⋅
A) 2–10
B) 2–11
C) 29
D) 210
E) 211
⋅
⋅
⋅
x = 99 için:
f(101) = 2 ⋅ f(99)
x
f(101) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ f(1)
50 tane 2
Bulduğumuz eşitlikleri hep taraf tarafa toplayacak değiliz
ya. Bu sefer de taraf tarafa çapmamız gerekiyor.
Tenef füs
f (101) = 250 ⋅ fN
(1) = 251
2
dir.
Doğru Seçenek D
Yukarıda yazan sayı kaçtır?
Tam sayılar kümesinde bir f fonksiyonu,
f(x + 3) = 3 ⋅ f(x)
Elleri olan bir 3 olduğu için bu sayı 53 tür.
eşitliğini sağlamaktadır.
Cevap :
f(1) = 1 olduğuna göre, f(97) kaçtır?
A) 330
160
B) 331
9. SINIF MATEMATİK
C) 332
D) 333
E) 334
Öz Yinelemeli Fonksiyon
Fonksiyon - Bölüm 05
4.
TEST - 3
f(x) = 2x+1
olduğuna göre, f(2x) in f(x) cinsinden değeri nedir?
1.
A)
f(x) = 3x
f 2 (x)
4
olduğuna göre, f(2x) in f(x) cinsinden değeri ne-
B)
f 2 (x)
2
D) 2f2(x)
C) f2(x)
E) 4f2(x)
dir?
A) 2f(x)
B) 3f(x)
C) 4f(x)
D) 5f(x)
E) 6f(x)
5.
f (x) =
1+ x
1− x
olduğuna göre, f(–x) in f(x) cinsinden değeri nedir?
A) –f(x)
2.
B)
D) −
f(x + 1) = x – 1
1 + f (x)
1 − f (x)
1
f (x)
C)
E)
1 − f (x)
1 + f (x)
1
f (x)
olduğuna göre, f(2x + 1) in f(x) cinsinden değeri
nedir?
A) 2f(x)
B) 2f(x) + 1
C) 2f(x) + 2
D) 2f(x) + 3
6.
f (x) = x +
1
x
olduğuna göre, f(x2) nin f(x) cinsinden değeri ne-
E) 2f(x) + 4
dir?
A) f2(x)
B) f2(x) – 1
C) f2(x) – 2
D) f2(x) + 1
E) f2(x) + 2
3.
f (x) =
1
2x − 1
olduğuna göre, f(x + 1) in f(x) cinsinden değeri
nedir?
f (x)
A)
1+ f ( x )
C)
f (x)
B)
1− f ( x )
1+ f ( x )
f (x)
D)
E)
f (x)
1 − 2f ( x )
f (x)
1 + 2f ( x )
7.
f (x) =
2x
2x + 1
olduğuna göre, f(–x) in f(x) türünden eşiti nedir?
A)
f (x)
f (x) − 1
B)
f (x)
1− f ( x )
C)
f (x)
2f ( x ) + 1
D)
f (x)
1 − 2f ( x )
E)
f (x)
2f ( x ) − 1
9. SINIF MATEMATİK
161
Öz Yinelemeli Fonksiyon
8.
f (x) =
Fonksiyon - Bölüm 05
12.
1
x +1
Tam sayılar kümesinde tanımlı bir f fonksiyonu,
f(x + 3) = 2 + f(x)
olduğuna göre, f(x) + f(–x) in f(–x2) türünden eşiti
eşitliğini sağlamaktadır.
nedir?
A)
1
B)
f (− x2 )
−1
D)2 f(–x2)
f(10) = 34 olduğuna göre, f(34) kaçtır?
C) –f(–x2)
f (− x2 )
A) 16
B) 18
D) 50
E) 52
E) –2f(–x2)
13.
Tam sayılar kümesinde tanımlı bir f fonksiyonu,
f ( x + 1) =
9.
C) 40
Tam sayılar kümesinde tanımlı bir f fonksiyonu,
1
⋅ f (x)
2
eşitliğini sağlamaktadır.
f(x + 4) – f(x + 3) = 1
f(1) = 1 olduğuna göre, f(40) kaçtır?
eşitliğini sağlamaktadır.
A) 2–38
B) 2–39
C) 2–40
D) 239
E) 240
f(44) = 0 olduğuna göre, f(84) kaçtır?
A) 38
B) 39
C) 40
D) 41
E) 42
14.
Tam sayılar kümesinde tanımlı bir f fonksiyonu,
f ( x + 3)
= 10
f (x)
10.
Tam sayılar kümesinde tanımlı bir f fonksiyonu,
eşitliğini sağlamaktadır.
f(x + 3) – f(x – 3) = 1
f(4) = 12 olduğuna göre, f(37) değeri kaç basa-
eşitliğini sağlamaktadır.
maklıdır?
f(0) = 1 olduğuna göre, f(60) kaçtır?
A) 10
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
C) 12
D) 13
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir f fonksiyonu,
Tam sayılar kümesinde tanımlı bir f fonksiyonu,
f(x) + f(x + 1) = x2
f(2x + 1) – f(2x – 1) = 1
eşitliğini sağlamaktadır.
eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre, f(2010) – f(2008) kaçtır?
f(1) = 0 olduğuna göre, f(101) kaçtır?
A) 2008
A) 49
1.A
162
2.D
B) 50
3.D
9. SINIF MATEMATİK
C) 99
4.B
E) 14
E) 12
15.
11.
B) 11
D) 100
5.E
6.C
D) 4015
E) 101
7.E
B) 2009
8.D
9.C
10.D
11.B
C) 2010
E) 4017
12.D
13.B
14.D
15.E
FONKSİYON - BÖLÜM 05
İŞLEMİN TANIMI
GİRİŞ
TANIM
Bir önceki bölümümüzde fonksiyonlar konusunu detaylı
bir şekilde işledik.
Ancak, dikkat etmiş iseniz gördüğünüz fonksiyonların tamamı tek değişkenli idi. Yani,
tanımlanan her fonksiyona bir ikili işlem denir.
Özel olarak A x A dan A ya tanımlanan her fonksiyona da
f(x) = x2 – 1
g( x ) =
A ve B boş kümeden farklı iki küme olsun. A x A dan B ye
A da bir ikili işlem denir.
1
, Δ, ο, ∇, ... gibi sembollerle gösterilir.
İşlemler kısaca,
1 + x2
3Δ4=5
gibi fonksiyonlar üzerinde çalıştık.
Bu tip fonksiyonların ötesinde, bir de çok değişkenli fonk-
ifadesi; “üç işlem dört eşittir beş” diye okunur.
siyonların varlığını öğrenmenizin vakti geldi artık.
Örneğin,
Not
f(x, y) = x + y ... (i)
çift değişkenli,
Bundan sonra “ikili işlem” yerine kısaca “işlem” diyeceğiz.
f ( x, y, z) =
x
y 2 + z2 + 1
... (ii)
ise üç değişkenli fonksiyondur.
DNA 30
Aslında bu fonksiyonların görüntüsünü bulmak için yapılanlar, esas olarak tek değişkenli fonksiyonlarda yapılan-
Tam sayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
larla aynıdır.
x
Örneğin, (i) de verilen f fonksiyonu için f(1, 2) değerini bul-
y = x + y2
mamız istenirse, yapacağımız iş x yerine 1 ve y yerine 2
kuralıyla tanımlanıyor.
yazmaktan ibarettir.
Buna göre, (1
f(x, y) = x + y
⇒
A) 1
0)
2 kaçtır?
B) 3
C) 5
D) 6
E) 7
f(1, 2) = 1 + 2 = 3
tür.
Çözüm
İşte bu çift değişkenli fonksiyonları detaylı bir şekilde işleyeceğimiz konunun adı İŞLEM.
f(x, y) = x + y
1
0 değerini bulabilmek için;
işleminde x yerine 1 ve
y yerine 0 yazmalıyız.
ifadesini;
xΔy=x+y
x = 1 ve y = 0 için:
biçiminde yazdığımızda, çift değişkenli bir fonksiyon sorusu, bir işlem sorusu görünümünü alır.
Artık işlemin tanımını vererek bölümümüze başlayabiliriz.
⇒
x
y = x + y2
1
0 = 1 + 02 = 1 + 0 = 1
buluruz.
9. SINIF MATEMATİK
163
İşlemin Tanımı
Fonksiyon - Bölüm 05
Dolayısıyla,
(1
0)
2=1
DNA 31
2
1
Pozitif gerçek sayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
dir.
y = x2 + y2
x
Şimdi de
işleminde x yerine 1 ve y yerine 2 yazmalıyız.
kuralıyla tanımlanıyor.
x = 1 ve y = 2 için,
15
x
⇒
1
y = x + y2
2=1+
20 = 24
a
olduğuna göre, a kaçtır?
22
A) 5
B) 7
C) 8
D) 9
E) 11
=1+4
=5
Çözüm
buluruz.
15
20 = 152 + 202
Doğru Seçenek C
= 225 + 400
= 625
24
a = 242 + a2
= 576 + a2
15
Tam sayılar kümesinde bir “Δ” işlemi,
x Δ y = x + 2y – 1
kuralıyla tanımlanıyor.
A) 3
B) 4
C) 5
a
⇒
625 = 576 + a2
⇒
a2 = 49
⇒
Buna göre, (1 Δ 1) Δ 1 kaçtır?
20 = 24
a=∓7
buluruz.
D) 6
E) 7
" ” işlemi pozitif gerçek sayılar kümesinde tanımlı olduğu
için a = 7 dir.
Doğru Seçenek B
Gerçek sayılar kümesinde bir “ο” işlemi,
xοy=
Pozitif gerçek sayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
x
x
1 + y2
kuralıyla tanımlanıyor.
kuralıyla tanımlanıyor.
7
Buna göre, 5 ο 3 kaçtır?
A)
1
2
164
B)
1
3
9. SINIF MATEMATİK
y = x2 – y2
C)
3
5
D)
3
10
E)
4
15
a=a
1
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Fonksiyon - Bölüm 05
İşlemin Tanımı
(ii) denklemindeki b Δ a değerini (i) denkleminde yerine
yazarsak,
a Δ b = 2 ⋅ [2 (a Δ b) + b + 1] + a + 1
Gerçek sayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
x
⇒ a Δ b = 4 ⋅ (a Δ b) + 2b + 2 + a + 1
y=x+y–1
⇒ (a Δ b) – 4 ⋅ (a Δ b) = 2b + a + 3
kuralıyla tanımlanıyor.
a
2a = 3a
⇒ –3 ⋅ (a Δ b) = 2b + a + 3
b
eşitliği sağlandığına göre, b kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
⇒
D) 1
E) 2
aΔb=
buluruz.
−2b a
− −1
3
3
Doğru Seçenek E
DNA 32
Gerçek sayılar kümesinde bir “Δ" işlemi, her x, y ∈ R
için,
Gerçek sayılar kümesinde bir “Δ” işlemi, her x, y ∈ R için,
x Δ y = 2 ⋅ (y Δ x) + x + 1
x Δ y = 2 ⋅ (y Δ x) + 1 + x
eşitliğini sağlamaktadır.
eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre, a Δ b aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) a +
C) −
b 2
+
2 3
B) 2a − b −
a 2b
−
+1
3 3
D)
E) −
3
2
Buna göre, 3 Δ 6 işleminin sonucu kaçtır?
A) –6
B) –4
C) –2
D) 1
E) 9
a 2b
+
−1
3 3
2b a
− −1
3 3
Çözüm
x = a ve y = b için,
Gerçek sayılar kümesinde bir “ ” işlemi, her x, y ∈ R
a Δ b = 2 ⋅ (b Δ a) + a + 1 ... (i)
için,
x = b ve y = a için,
x
y = 3 ⋅ (y
x) + x + 2y – 1
b Δ a = 2 ⋅ (a Δ b) + b + 1 ... (ii)
eşitliğini sağlamaktadır.
elde ederiz.
Buna göre, 1
a Δ b yi bulabilmemiz için (i) ve (ii) denklemleri yeterli.
A) –2
1 işleminin sonucu kaçtır?
B) –1
C) 0
D) 1
9. SINIF MATEMATİK
E) 2
165
İşlemin Tanımı
Fonksiyon - Bölüm 05
Daha ilkokul sıralarından başlayarak bir çoğumuz kimbilir
Bu tablo olmadan 13 Δ 11 sorusunu cevaplamak ne kadar
kaç kez, rakamlarla sınırlı olmak koşuluyla, çarpım tablo-
uzun sürüyorsa, ilkokulun başındayken de “7 x 9 kaçtır?”
sunu yazmış ve tabloyu ezberlemeye çalışmışızdır.
sorusunu cevaplamak o kadar uzun sürüyordu.
Bu çarpım tablosunu 1 den 5 e kadar olan rakamlar için
gösterelim.
İşte onun için tablo kullanılıyordu. Yani, bazı işlemlerin
tablo ile gösterilmesine şu veya bu şekilde ihtiyaç duyulmuştur.
x
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
2
2
4
6
8
10
kümesinde tanımlı bir “ ” işleminin tablosu şu şekilde ha-
3
3
6
9
12
15
zırlanır:
4
4
8
12
16
20
5
5
10
15
20
25
Bu tablodan,
5 x 3 = 15
4 x 4 = 16
A = {a1, a2, a3, ..., an}
a1
an
a1
a1
a1
a2
a1
a3
⋅⋅⋅
a1
an
a2
a2
a1
a2
a2
a2
a3
⋅⋅⋅
a2
an
a3
a3
a1
a3
a2
a3
a3
⋅⋅⋅
a3
an
an
gibi eşitlikleri kolaylıkla okuyabiliriz.
⋅⋅⋅
a3
a1
⋅
⋅
⋅
4 x 5 = 20
a2
⋅
⋅
⋅
an
⋅
⋅
⋅
a1
an
⋅
⋅
⋅
a2
an
⋅
⋅
⋅
⋅⋅⋅
a3
⋅⋅⋅
an
an
Belki de, “Çarpma işlemini ben zaten ezberden yapabiliyorum. Tabloyu neden yazmam gereksin?” diyorsunuz.
Çarpma işlemi değil de, daha farklı bir işlem için tablo verelim.
TANIM
Bir işlem tablosunda yatay sıralara satır, dikey sıralara ise
sütun adı verilir.
Tam sayılar kümesinde tanımlı,
A = {a, b, c, d}
x Δ y = x2 + y – 1
kümesinde tanımlı bir “Δ” işleminin tablosunda sadır ve
işleminin bazı tam sayılar için tablosu aşağıdaki gibidir.
Δ
7
9
11
13
7
55
57
59
61
9
87
89
91
93
11 127 129 131 133
sütunları gösterelim.
Δ
a
b
c
d
a
b
c
d
a
1. satır
b
c
d
a
b
2. satır
c
d
a
b
c
3. satır
d
a
b
c
d
4. satır
13 175 177 179 181
1.
2.
3.
4.
sütun sütun sütun sütun
Şimdi bir yarışma programında olduğunuzu ve {7, 9, 11, 13}
kümesinin elemanlarıyla sınırlı olmak şartıyla, verilen iki
sayıdan “birincinin karesi ile ikincinin toplamının 1 eksiğini” iki saniye içerisinde söylemeniz gerektiğini düşünün.
Yukarıdaki A da tanımlanmış “Δ” işleminin tablosu
(Soldaki i-yinci eleman) Δ (Tepedeki j-yinci eleman) =
Normal bir insanın Δ tablosuna bakmadan iki saniye içeri-
(Tablo içindeki i-yinci satır ile j-yinci sütunun kesişimindeki eleman)
sinde bu soruyu cevaplaması olanaksızdır.
kuralına göre okunur. Örneğin, a Δ b = c
166
9. SINIF MATEMATİK
Fonksiyon - Bölüm 05
İşlemin Tanımı
DNA 33
A = {1, 2, 3, 4, 5}
A = {1, 2, 3, 4, 5}
kümesinde bir “Δ" işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlan-
kümesinde bir "Δ” işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmış-
mıştır.
tır.
Δ
1
2
3
4
5
Δ
1
2
3
4
5
1
5
1
2
3
4
1
1
2
3
4
5
2
1
2
3
4
5
2
2
2
3
4
5
3
2
3
4
5
1
3
3
3
3
4
5
4
3
4
5
1
2
4
4
4
4
4
5
5
4
5
1
2
3
5
5
5
5
5
5
Buna göre, (3 Δ 4) Δ (5 Δ 2) kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
Buna göre, (2 Δ 3) Δ (4 Δ 5) kaçtır?
D) 4
E) 5
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Çözüm
Δ
1
2
3
4
1
3
2
3
Δ
5
4
2
3
4
5
1
1
1
1
2
2
3
3
4
4
1
4
5
2
5
4
3Δ4=5
Δ
2
5
4
5
1
2
3
5Δ2=5
1
2
3
4
5
1
4
2
5
3
2
4
3
5
3
4
5
1
2
A = {a, b, c, d, e}
kümesinde bir “ ” işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır.
3
5Δ5=3
Tabloyu okuduğumuza göre,
(3 Δ 4) Δ (5 Δ 2) = 3
5
5
olduğunu kolayca söyleriz.
a
b
c
d
e
a
e
a
b
c
d
b
a
a
a
a
a
c
d
a
b
b
c
d
c
a
b
b
b
e
b
a
b
b
b
Buna göre, (a
Doğru Seçenek C
b)
(c
d) aşağıdakilerden hangi-
sidir?
A) a
B) b
C) c
D) d
9. SINIF MATEMATİK
E) e
167
İşlemin Tanımı
Fonksiyon - Bölüm 05
DNA 34
A = {a, b, c, d, e}
A = {a, b, c, d, e}
kümesinde bir “Δ" işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır.
Δ
a
b
c
d
e
a
a
b
c
d
e
b
e
a
b
c
d
c
d
e
a
b
kümesinde bir “ ” işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır.
a
b
c
d
e
a
e
a
b
c
d
c
b
a
b
c
d
e
b
c
d
e
a
d
c
d
e
a
b
c
e
b
c
d
e
a
d
c
d
e
a
b
e
d
e
a
b
c
Buna göre, x Δ x = a eşitliğini sağlayan kaç değişik
x ∈ A vardır?
A) 1
Buna göre, (x
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
x)
(x
x) = a eşitliğini sağlayan x
elemanı aşağıdakilerden hangisidir?
A) a
B) b
C) c
D) d
E) e
Çözüm
Tablodan,
aΔa=a
bΔb=a
A = {1, 2, 3, 4, 5}
cΔc=a
kümesinde bir "Δ” işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır.
dΔd=a
eΔe=a
olduğu kolayca okunabilir.
Δ
1
2
3
4
5
1
4
5
1
2
3
2
5
1
2
3
4
3
1
2
3
4
5
O halde, x Δ x = a eşitliğini sağlayan 5 değişik x ∈ A var-
4
2
3
4
5
1
dır.
5
3
4
5
1
2
Doğru Seçenek E
Buna göre, (3 Δ x) Δ 3 = x Δ x eşitliğini sağlayan x elemanı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
168
9. SINIF MATEMATİK
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Fonksiyon - Bölüm 05
İşlemin Tanımı
Fonksiyonlar konusunu işlerken f(x) in kuralı verilip, f(a)
Çözüm
değeri sorulduğunda, x yerine a yazarak problemi kolayca
çözebiliyorduk.
Öncelikle şu soruyu cevaplayalım:
Örneğin,
“4 Δ 5 i bulabilmek için x yerine ve y yerine kaç yazmalıf(x) = x3 + 1
yım?”
fonksiyonu için,
Bu sorunun cevabını bulmak için, Δ işaretinin solundaki
f(2) = 23 + 1 = 9
solundakine, sağındaki sağındakine eşitlenir.
f(3) = 33 + 1 = 28
x – 1 = 4 ve
x+y=5
değerlerini kolaylıkla bulabiliriz.
⇒
x=5
ve
y=0
Peki f(x) in değil de f(2x – 3) ün veya f(3x + 1) in kuralı
buluruz.
verilince ne yapıyorduk?
x = 5 ve y = 0 için,
Örneğin,
(x – 1) Δ (x + y) = x ⋅ y
f(3x + 1) = x2
fonksiyonu verilip, f(10) değerini bulmamız istenirse, x yerine 10 yazmak bize f(10) değerini vermez.
⇒
(5 – 1) Δ (5 + 0) = 5 ⋅ 0
⇒
4Δ5=0
Önce şu soruyu cevaplamamız gerekir:
buluruz.
“f(10) değerini bulabilmek için x yerine kaç yazmalıyım?”
Doğru Seçenek A
Bu sorunun cevabı şudur:
“3x + 1 = 10 ⇒ x = 3”
Nihayetinde her işlem bir çift değişkenli fonksiyon olduğundan, aynı soru tipinin işlem konusunda da karşımıza
çıkması gayet olağandır.
Şimdi de bu tipten 2 tane DNA verelim.
DNA 35
Tam sayılar kümesinde bir “Δ” işlemi,
Tam sayılar kümesinde “ ” işlemi,
(x – 1) Δ (x + y) = x ⋅ y
(x + y)
(x – y) = 2xy
kuralıyla tanımlanıyor.
kuralıyla tanımlanmıştır.
Buna göre, 4 Δ 5 kaçtır?
Buna göre, 7
A) 0
B) 10
C) 20
D) 24
E) 30
A) –16
9 kaçtır?
B) –8
C) 8
D) 16
9. SINIF MATEMATİK
E) 32
169
İşlemin Tanımı
Fonksiyon - Bölüm 05
Bu değerleri yerine yazarsak,
(x – y) Δ (y – 2x) = x
Pozitif gerçek sayılar kümesinde “ ” işlemi,
1
x+y
⇒ [–a – b – (–2a – b)] Δ [–2a – b – 2 ⋅ (–a – b)] = –a – b
⇒ a Δ b = –a – b
y=x
ve buradan,
kuralıyla tanımlanıyor.
Buna göre, 2
A) –7
x Δ y = –x – y
3 kaçtır?
C) −
B) –4
5
2
D)
3
2
E) 4
buluruz.
Doğru Seçenek A
DNA 36
Gerçek sayılar kümesinde bir “Δ” işlemi,
Gerçek sayılar kümesinde bir "Δ" işlemi,
(x – y) Δ (x + y) = 4x ⋅ y
(x – y) Δ (y – 2x) = x
kuralıyla tanımlanıyor.
kuralıyla tanımlanıyor.
Buna göre, x Δ y aşağıdakilerden hangisidir?
Buna göre, x Δ y aşağıdakilerden hangisidir?
A) –x – y
B) –x + y
D) x + y
C) x – 2y
A) x2 – y2
B) –x2 + y2
C) x + y
D) x2 + y2
E) 2x + y
E)
1 2
( x + y2 )
2
Çözüm
Harflerde karışıklık olmaması için a Δ b yi bulalım.
x–y=a
y – 2x = b
denklemlerini ortak çözerek, x ile y yi, a ve b cinsinden
bulmalıyız.
x–y=a
y – 2x = b
+
(x + 1)
(y – x) = x + y
–x = a + b
kuralıyla tanımlanıyor.
x = –a – b
Buna göre, x
x–y=a ⇒ y=x–a
A) 2x + y – 1
B) 2x + y – 2
= –a – b – a
C) x – y – 2
D) x + y – 2
⇒
= –2a – b
170
Gerçek sayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
9. SINIF MATEMATİK
y aşağıdakilerden hangisine eşittir?
E) x + 2y – 2
Fonksiyon - Bölüm 05
İşlemin Tanımı
Bazı işlemler belirli koşullar altında iki, üç, ... parça olarak
tanımlanabilir.
⎧ x,
xΔy=⎨
⎩ y,
Bu tip işlem soruları için 1 DNA vererek yolumuza devam
edelim.
x+y
x+y
tek ise
çift ise
Tam sayılar kümesinde bir “Δ” işlemi yukarıdaki gibi tanımlanmıştır.
Buna göre, 2008 Δ 2009 işleminin sonucu kaçtır?
DNA 37
A) 2008
D) 4017
Gerçek sayılar kümesinde,
x
⎧ x + y,
y= ⎨
⎩ x − y,
x>y
x≤y
B) 2009
C) 2010
E) 4018
ise
ise
kuralıyla bir “ ” işlemi tanımlanıyor.
Buna göre, (3
A) –3
4)
B) –2
(–2) kaçtır?
C) –1
D) 1
E) 3
Tam sayılar kümesinde,
⎧ x + y,
⎪
x Δ y = ⎨ x ⋅ y,
⎪4,
⎩
Çözüm
x = 3 ve y = 4 için x > y şartı sağlanmayıp, x ≤ y şartı
sağlandığından,
x>y
x=y
x<y
ise
ise
ise
kuralıyla bir "Δ” işlemi tanımlanıyor.
Buna göre, a Δ 3 = 9 eşitliğini sağlayan a değerlerinin
3
toplamı kaçtır?
4 = 3 – 4 = –1
A) 3
dir.
B) 6
C) 8
D) 9
E) 12
O halde,
(3
4)
(–2) = (–1)
(–2)
dir.
x = –1 ve y = –2 için x > y şartı sağlandığından,
(–1)
Fonksiyonlar konusunu işlerken bazı fonksiyonların,
f: R → R
(–2) = (–1) + (–2) = –3
tür.
x → x in karesinin 1 fazlası
örneğinde olduğu gibi sözel olarak tanımlanabildiğini gördük.
Doğru Seçenek A
Fonksiyonda bu olur da, işlemde olmaz mı?
Bu tip sorulardan da 1 DNA vererek İŞLEM’in birinci kısmını bitiriyoruz.
9. SINIF MATEMATİK
171
İşlemin Tanımı
Fonksiyon - Bölüm 05
DNA 38
A = {0, 1, 2, 3, 4}
Tam sayılar kümesinde bir “ο” işlemi,
x ο y = x ile y den küçük olmayanı
kümesinde bir “ ” işlemi,
kuralıyla tanımlanıyor.
x
Buna göre,
y = x ile y den büyük olmayanı
kuralıyla tanımlanıyor.
(1 ο 2) ο (3 ο 4) ο (5 ο 6) ο ... ο (2007 ο 2008)
işleminin sonucu kaçtır?
A) 1
Buna göre, x
4 = x eşitliğini sağlayan kaç değişik x
elemanı vardır?
B) 2
C) 1004
D) 2007
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
E) 2008
Çözüm
1 ο 2 = 1 ile 2 den küçük olmayanı = 2
3 ο 4 = 3 ile 4 ten küçük olmayanı = 4
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
2007 ο 2008 = 2007 ile 2008 den küçük olmayanı = 2008
dir.
(1 ο 2) ο (3 ο 4) ο ... ο (2007 ο 2008)
=
2
ο
4
ο ... ο
2008
Pozitif tam sayılar kümesinde bir “Δ” işlemi,
x Δ y = x + y nin 5 ile bölümünden kalan
işlemini en sağından işleme devam edelim.
2 ο 4 ο ... ο 2006 ο 2008
2008
Buna göre, 1 Δ 2 Δ 3 Δ ... Δ 2008 işleminin sonucu kaç-
= 2 ο 4 ο ... ο 2004 ο 2008
= ... = 2008
dir.
Doğru Seçenek E
9. SINIF MATEMATİK
tır?
A) 0
2008
172
kuralıyla tanımlanıyor.
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Fonksiyon - Bölüm 05
İşlemin Tanımı
5.
TEST - 4
Gerçek sayılar kümesinde “∗” işlemi aşağıdaki gibi
tanımlanmıştır.
m ∗ n = m ve n den küçük olmayanı
1.
Buna göre, (1 ∗ 2) ∗ 3 işleminin sonucu kaçtır?
Gerçek sayılar kümesi üzerinde bir “∗” işlemi,
A) 1
x ∗ y = x + 2y – 5
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
D) 1
E) 3
kuralıyla tanımlanıyor.
Buna göre, (1 ∗ 2) ∗ 3 işleminin sonucu kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
6.
Gerçek sayılarda tanımlı,
x ο y = 2x – 3y + 1 + m
2.
a Δ b = 2a + b
Tam sayılar kümesi üzerinde bir “Δ” işlemi,
işlemleri veriliyor.
xΔy=2⋅x⋅y+x+y
3 ο (–1) = 2 Δ 1
kuralıyla tanımlanıyor.
olduğuna göre, m kaçtır?
Buna göre, (2 Δ 1) Δ 3 işleminin sonucu kaçtır?
A) 52
3.
B) 49
C) 35
D) 30
A) –5
E) 21
Tam sayılar kümesi üzerinde bir “∗” işlemi,
7.
xΔy=
kuralıyla tanımlanıyor.
4.
C) 4
D) 5
x
1+ x
y
+
x
1+ x−y
olduğuna göre, 2 Δ x = 2x – 6 koşulunu sağlayan
Buna göre, (1 ∗ 1) ∗ 2 işleminin sonucu kaçtır?
B) 3
C) –1
Pozitif gerçek sayılarda tanımlı,
x∗y=x⋅y–x+y
A) 2
B) –3
x değeri kaçtır?
E) 6
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 9
Tam sayılar kümesinde "™" işlemi aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.
⎧m + n
,
⎪⎪
m™ n=⎨ 2
⎪m ⋅ n ,
⎪⎩ 2
⎧2 x − y ,
xΔy=⎨
⎩3 x + 2y ,
8.
(m ⋅ n) tek ise
(m ⋅ n) çift ise
x≥y
x<y
işlemi tanımlanıyor.
Buna göre, (4 Δ 3) Δ (1 Δ 2) işleminin sonucu kaç-
Buna göre, (1 ™ 2) ™ 3 işleminin sonucu kaçtır?
tır?
A) 1
A) 3
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
B) 13
C) 25
D) 29
9. SINIF MATEMATİK
E) 34
173
İşlemin Tanımı
9.
Fonksiyon - Bölüm 05
13.
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı,
R – {0} kümesinde,
x
2
1
= −
x∗y y x∗y
x Δ y = 3x – my + 4
x ∗ y = mx + y + 5
işlemi veriliyor.
işlemleri veriliyor.
(3 ∗ m) = 2
2 Δ (–1) = 1 ∗ m
olduğuna göre, m kaçtır?
olduğuna göre, m sayısı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
A) 1
D) 5
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
E) 6
14.
Tam sayılar kümesinde tanımlı,
x ∗ y = xy – (x + y)
10.
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı,
işlemi veriliyor.
1
x Δ = 3 x − 6 y − 3 xy + 5
y
x ≠ 1 olmak üzere,
x ∗ y = 14 ∗ x
işlemleri tanımlanıyor.
Buna göre, 2 Δ
A) 2
3
işleminin sonucu kaçtır?
2
B) 3
C) 4
D) 5
denklemini sağlayan y değeri kaçtır?
A) 1
E) 6
15.
11.
B) 2
olarak tanımlanıyor.
Buna göre,
işlemi veriliyor.
2 Δ (1 Δ a) = 3
Buna göre, 2 ∗ 3 işleminin sonucu kaçtır?
B) –1
C) 1
D)
eşitliğini sağlayan a kaçtır?
5
2
E) 3
A) −
4
19
B) −
D) −
12.
E) 14
x Δ y = 2xy + x + y
x ∗ y = x + y + 3(y ∗ x)
5
2
D) 12
Gerçek sayılar kümesinde “Δ” işlemi,
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı,
A) −
C) 7
4
15
4
9
C) −
E) −
4
11
4
7
Gerçek sayılar kümesinde,
16.
a ο b = a3 – 2b
Gerçek sayılar kümesinde,
2a+1 ∗ 3b–2 = a ⋅ b + a + b
işlemi tanımlanıyor.
işlemi tanımlanıyor.
1οx=2ο3
Buna göre, 3 2 ∗ 4 3 işleminin sonucu kaçtır?
denklemini gerçekleyen x değeri kaçtır?
A) 0
1.B
174
B) –1
2.A
3.B
9. SINIF MATEMATİK
D) −
C) –2
4.B
5.C
6.A
1
2
E)
7.B
1
2
8.D
A)
9.D
1
12
10.B
B)
11.A
6
7
C)
12.D
3
4
13.A
D)
14.E
5
18
15.B
E)
4
7
16.A
Fonksiyon - Bölüm 05
İşlemin Tanımı
5.
TEST - 5
Gerçek sayılar kümesinde bir “ο” işlemi,
x ο y = 2 ⋅ (y ο x) – 2x – 3y + 2
eşitliğini sağlamaktadır.
1.
Buna göre, 3 ο 6 işleminin sonucu kaçtır?
Gerçek sayılar kümesinde, “Δ” ve “∗” işlemleri,
xΔy=
x+y
ve x ∗ y = x ⋅ y
3
A) –22
B) –18
C) 12
D) 20
E) 24
D) 24
E) 39
biçiminde veriliyor.
(2 ∗ a) Δ (4 ∗ a) = 2
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 1
2.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 8
6.
Tam sayılar kümesinde “ ” işlemi aşağıdaki gibi ta-
Z – {0} kümesinde bir “Δ” işlemi,
3 2
Δ = 6x + 4y − 5
x y
kuralıyla tanımlanıyor.
nımlanmıştır.
Buna göre, 6 Δ 2 kaçtır?
⎧m + n
, (m + n) çift ise
⎪⎪
m… n = ⎨ 2
⎪ m + n − 1 , (m + n) tek ise
⎪⎩
2
A) 2
B) 8
C) 11
Buna göre, (1 … 2) … 3 işleminin sonucu kaçtır?
A) 1
3.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
7.
Gerçek sayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
(a – 2b)
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı,
x Δ y = x – y – 2n
kuralıyla tanımlanıyor.
x ∗ y = (x Δ y) – 3n
Buna göre, a
işlemlerine göre,
B) 3
C) 2
D) 1
a ∗b =
2
2
2
b −a
a +b
E)
8.
Gerçek sayılar kümesinde,
⎧x ,
xΔy=⎨
⎩y ,
2x > 3 y ise
2x ≤ 3 y ise
kuralıyla tanımlanıyor.
kuralıyla bir “Δ” işlemi tanımlanıyor.
Buna göre, 2 ∗ 3 kaçtır?
Buna göre, (3 Δ 2) Δ (–3) kaçtır?
A)
1
7
B)
5
13
C)
5
7
D) 1
a+b
3
E) –1
R – {0} kümesinde bir “∗” işlemi,
2
⎛ 2a + b ⎞
C) − ⎜
⎟
⎝ 3 ⎠
B) a + b
⎛ 2b + a ⎞
D) − ⎜
⎟
⎝ 3 ⎠
olduğuna göre, n kaçtır?
4.
b aşağıdakilerden hangisidir?
A) –a – b
3∗4=n+5
A) 4
(b – 2a) = a + b
E) 2
A) –3
B) –1
C) 0
D) 1
9. SINIF MATEMATİK
E) 2
175
İşlemin Tanımı
9.
Fonksiyon - Bölüm 05
11.
A = {0, 1, 2, 3, 4}
D = {Ş, İ, M, A, L}
kümesi üzerinde bir “Δ” işlemi aşağıdaki tablo ile ta-
kümesi üzerinde bir “∇” işlemi aşağıdaki tablo ile ta-
nımlanmıştır.
nımlanmıştır.
Δ
0
1
2
3
4
∇
Ş
İ
M
A
L
0
1
2
3
4
0
Ş
A
L
Ş
İ
M
1
2
3
4
0
1
İ
M
A
L
Ş
İ
2
4
0
1
2
3
M
İ
M
A
L
Ş
3
0
1
2
3
4
A
Ş
İ
M
A
L
4
1
2
3
4
0
L
L
Ş
İ
M
A
Buna göre, ((2 Δ 4) Δ 3) Δ 1 işleminin sonucu aşa-
Buna göre, x ∇ x = A eşitliğini sağlayan x eleman-
ğıdakilerden hangisidir?
ları kaç tanedir?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
A) 1
B) 2
12.
C) 3
D) 4
E) 5
A = {1, 2, 3, 4, 5}
kümesi üzerinde tanımlı bir “ ” işlemi aşağıdaki tab-
10.
A = {1, 2, 3, 4, 5}
lo ile tanımlanmıştır.
kümesi üzerinde bir “Δ” işlemi aşağıdaki tablo ile ta-
1
2
3
4
5
1
3
4
1
5
2
5
2
4
5
2
3
1
1
2
3
4
5
nımlanmıştır.
Δ
1
2
3
4
1
2
3
4
5
1
3
2
3
4
5
1
2
4
5
1
4
2
3
3
5
1
2
3
4
5
2
3
5
1
4
4
1
2
3
4
5
5
2
3
4
5
1
a, b ∈ A için,
fab ( x ) = (a
Buna göre, x Δ x = 2 eşitliğini sağlayan x değerle-
2
2
olduğuna göre, f1 (2) + f5 (3) toplamı kaçtır?
rinin toplamı kaçtır?
A) 3
1.A
176
B) 4
2.B
C) 5
3.E
9. SINIF MATEMATİK
D) 6
4.B
A) 11
E) 7
5.D
6.A
2b) + x + 1
7.A
8.E
B) 12
9.B
C) 13
10.B
D) 14
11.E
E) 15
12.C
Fonksiyon - Bölüm 05
İşlemin Tanımı
GİRİŞ
DNA 39
Kullandığımız işlemlerin sahip olduğu bir takım özelikleri
Tam sayılar kümesinde tanımlı aşağıdaki işlemler-
bilmek, çözüm yaparken bize büyük kolaylık sağlar. Bu
den hangisinin kapalılık özeliği vardır?
kısımda, bir işlemin sahip olabileceği özelikleri inceleyeceğiz.
A) x
y=x+y+x⋅y
B) x Δ y = x2 + y2 – xy
KAPALILIK ÖZELİĞİ
⎧ x + y,
C) x ο y = ⎨
⎩ x − y,
Doğal sayılar kümesinde toplama ve çıkarma işlemlerini
D) x
x>y
x≤y
ise
ise
y = 2x + 3y – 1
ele alalım.
E) x ∇ y = 2x + y
İki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır.
Örneğin,
2 + 3 = 5
↓
↓
↓
doğal
doğal
sonuç da
sayı
sayı
doğal sayı
Çözüm
Toplanan doğal sayılar ne olursa olsun sonuç yine bir doğal sayı olduğundan, “Doğal sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.” diyeceğiz. Fakat iki doğal sayının
↓
↓
↓
doğal
doğal
doğal sayı
sayı
sayı
değil
olması; x ve y nin her tam sayı değerine karşılık x • y nin
de bir tam sayı değerinin olması demektir.
farkı bir doğal sayı olmayabilir.
2 – 3 = –1
Tam sayılar kümesinde bir • işleminin kapalılık özeliğinin
(Sonuç doğal sayılar
kümesinin dışına çıktı.)
Seçenekleri sıra ile inceleyelim.
A)
x
y=x+y+x⋅y
∈Z
∈Z
∈Z
Buna göre, “Doğal sayılar kümesi çıkarma işlemine göre
x ile y nin her tam sayı değeri için x + y ile x ⋅ y bir tam
kapalı değildir.” diyeceğiz. Kapalılık özeliğini tanımlama
sayı olur. İki tam sayının toplamı yine bir tam sayı
vakti geldi.
olduğundan, “ ” işleminin tam sayılar kümesinde
kapalılık özeliği vardır.
TANIM
B)
A boş kümeden farklı bir küme, A ⊂ B ve
:AxA→B
x Δ y = x2 + y2 – xy
∈Z
∈Z
∈Z
∈Z
bir işlem olsun.
A kümesindeki her x, y elemanı için x
“
y ∈ A oluyorsa
işleminin A kümesinde kapalılık özeliği vardır.” ya
da “A kümesi
işlemine göre kapalıdır.” denir.
Her x, y tam sayısı için, x2 ∈ Z, y2 ∈ Z ve x ⋅ y ∈ Z olduğundan, “Δ” işleminin tam sayılar kümesi üzerinde
kapalılık özeliği vardır.
9. SINIF MATEMATİK
177
İşlemin Tanımı
Fonksiyon - Bölüm 05
∈Z
⎧ x + y,
xοy=⎨
⎩ x − y,
C)
x>y
x≤y
ise
ise
Aşağıda verilen kümelerden hangisi x
∈Z
x > y ya da x ≤ y iken x ο y nin bir tam sayıya eşit ol-
ne göre kapalıdır?
duğu âşikârdır. Dolayısıyla, “ο” işleminin tam sayılar
A) Tam sayılar kümesi
kümesi üzerinde kapalılık özeliği vardır.
D)
x
y = 2x + 3y – 1
∈Z ∈Z
y = xy işlemi-
B) Rasyonel sayılar kümesi
C) Gerçek sayılar kümesi
D) Pozitif rasyonel sayılar kümesi
∈Z
E) Pozitif tam sayılar kümesi
Her x, y ∈ Z için, 2x + 3y – 1 ∈ Z olduğundan olduğundan, “ ” işleminin tam sayılar kümesi üzerinde
kapalılık özeliği vardır.
Bir sayının negatif kuvvetlerini ÜSLÜ SAYILAR bölümümüzde göreceksiniz, ancak, 8. sınıfta kısmen
işlendiği için aşağıdaki Hatırlatma’yı verebiliriz.
Hatırlatma
a− x =
Gerçek sayılar kümesi aşağıda verilen işlemlerin han-
1
gisine göre kapalıdır?
ax
A) x
x ∇ y = 2x + y
E)
∉Z
B) x Δ y =
y = xy+ yx
C) x ο y = x y + y x
D) x
∈Z
E) x ∇ y =
∉Z
y=
1
+y
x
x
2
x + y2
x−y
1 + x2
x negatif tam sayı iken 2x bir tam sayı değildir.
2−1 =
1
2
2−2 =
1
4
Dolayısıyla, tam sayılar kümesi “∇” işlemine göre,
kapalı değildir.
Sadece bir tane bile (x, y) ikilisi için x ∇ y nin bir tam
Uyarı
sayı olmaması, kapalılık özeliğini bozar. Başka bir
(x, y) ikilisi aramamıza gerek yoktur.
Türkçe’de “kapalı değildir” yerine “açıktır” demek tercih
edilse de, matematikte böyle bir deyiş yoktur. Yani, “bir
Doğru Seçenek E
A kümesi
işlemi altında kapalı değilse açıktır.” demek
anlamsızdır.
178
9. SINIF MATEMATİK
Fonksiyon - Bölüm 05
İşlemin Tanımı
DNA 40
Aşağıda,
A = {a, b, c, d, e}
kümesinde bir “Δ" işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanıyor.
Δ
a
b
a
b
c
d
kümesi üzerinde tanımlı olan işlemler verilmiştir.
e
Bu işlemlerden hangisinin kapalılık özeliği vardır?
d
A)
a
c
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B)
1
c
2
3
4
5
Δ
1
2
3
4
5
2
3
4
5
1
1
5
1
2
3
4
1
2
1
2
3
4
5
2
3
4
5
1
2
3
2
3
4
5
1
3
4
5
1
2
3
A kümesi “Δ” işlemine göre kapalı olduğuna göre,
4
3
4
5
1
6
4
5
0
2
3
4
? olan yere aşağıdakilerden hangisi getirilemez?
5
4
5
1
2
3
5
1
2
3
4
5
d
b
e
A) a
B) c
?
C) d
D) e
E) k
Çözüm
A kümesi “Δ” işlemine kapalı olduğundan, "Δ” tablosundaki bütün elemanlar A kümesine ait olmalıdır.
k ∉ A olduğu için, ? olan yere k getirilemez.
Doğru Seçenek E
D)
1
2
3
4
5
∇
1
2
3
4
5
1
3
4
5
1
2
1
1
2
3
4
5
2
4
5
1
2
3
2
2
3
4
7
1
3
5
1
a
3
4
3
3
4
5
1
2
4
1
2
3
4
5
4
4
5
1
2
3
5
2
3
4
5
1
5
5
1
2
3
4
E)
•
1
2
3
4
5
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
1
2
3
4
5
4
3
3
4
3
3
5
5
5
5
5
5
BİRLEŞME ÖZELİĞİ
A = {a, b, c, d, e}
İlköğretim 1. sınıftan bildiğiniz basit bir soruyu soralım:
kümesinde bir “Δ” işlemi tanımlanıyor.
“3 + 4 + 5 işleminin sonucu kaçtır?”
A kümesi “Δ” işlemine göre kapalı ve
Bu soruyu o yaşta çözerken,
cΔe=x
olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı değer vardır?
A) 1
C)
“Acaba 3 ile 4 ü topladıktan sonra, bulduğum sayıyı 5 ile
mi toplasam? Yoksa, önce 4 ile 5 i toplayıp, sonra bulduğum sayıyı 3 ile mi toplasam?” gibi bir ikilemde muhteme-
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
len kalmışsınızdır.
9. SINIF MATEMATİK
179
İşlemin Tanımı
Fonksiyon - Bölüm 05
Ancak soru şu şekilde sorulmuş olsaydı:
DNA 41
“(3 + 4) + 5 işleminin sonucu kaçtır?”
O zaman, bir ikilemde kalmayacaktınız.
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı aşağıdaki işlem-
İşte Birleşme özeliği ile birçoğunuzun ilk karşılaştığı an bu
lerden hangisi birleşmelidir?
idi.
A) x
y = 2x + 2y
B) x Δ y = x – y + xy
TANIM
C) x ο y = 4x + 4y + xy + 6
Bir " ” işlemi, bir A kümesinde tanımlanmış olsun.
D) x
Eğer, her a, b, c ∈ A için,
E) x ∇ y = 2x + 2y –xy – 2
a
(b
c) = (a
b)
y = 3x + 3y + 2xy + 1
c
oluyorsa, o zaman, " ” işleminin birleşme özelliği vardır
veya kısaca " ” işlemi birleşmelidir denir.
Çözüm
Bir " ” işleminin birleşmeli olması demek, " ” işlemine
göre sıranın bir öneminin olmaması demektir.
Seçenekleri sırasıyla inceleyelim.
Dolayısıyla, birleşmeli olduğu bilinen bir " ” işlemi için,
A)
((a
b)
c)
(d
x
y = 2x + 2y
= 2x + 2y + 0xy + 0
e)
olduğundan,
yazılışı yerine,
a
b
c
d
m = n = 2, k = 0,
e
=0
dır.
tercih edilir.
m = n şartı sağlanır ancak;
Aşağıdaki tipteki bir " ” işleminin birleşmeli olup olmadı-
m(m – 1) = k
ğını kolayca anlayabilmek için aşağıdaki IŞIK yolunuzu
şartı sağlanmaz. (2 ⋅ 1 ≠ 0 ⋅ 0)
aydınlatacaktır. Bu IŞIK olmadan, söz konusu işlemin bir-
IŞIK 4’ten, “ ” işlemi birleşmeli değildir.
leşmeli olup, olmadığını anlamak bir hayli uzun sürer.
B)
Işık 4
a
x Δ y = x – y + xy
= 1 ⋅ x + (–1) ⋅ y + 1 ⋅ y + 0
b = ma + nb + kab +
olduğundan,
m = 1, n = –1, k = 1,
işleminin birleşmeli olması için,
(i)
m=n
(ii) m(m – 1) = k
=0
dır.
m=n
şartı sağlanmaz. (1 ≠ –1)
olması gerek ve yeterlidir.
180
9. SINIF MATEMATİK
IŞIK 4’ten, Δ işlemi birleşmeli değildir.
Fonksiyon - Bölüm 05
C)
İşlemin Tanımı
x ο y = 4x + 4y + xy + 6
= 4 ⋅ x + 4 ⋅ y + 1 ⋅ xy + 6
olduğundan,
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı,
m = n = 4, k = 1,
=6
dır.
x Δ = 6x + 6y + xy + k
işlemi birleşmeli olduğuna göre, k kaçtır?
m = n şartı sağlanır ancak;
A) –6
m ⋅ (m – 1) = k
B) 0
C) 5
D) 6
E) 30
şartı sağlanmaz. (4 ⋅ 3 ≠ 1 ⋅ 6)
IŞIK 4’ten, ο işlemi birleşmeli değildir.
D)
x
y = 3x + 3y + 2xy + 1 işlemi için,
m = n = 3, k = 2,
dir.
A
m = n şartı sağlanır ancak,
Eğer " ” işlemi birleşmeli değilse, o zaman " ” işleminin
m(m – 1) = k
IŞIK 4’ten,
kümesinde
bir
" ”
işlemi
tanımlanmış
olsun.
birleşme özelliği yoktur veya " ” işlemi birleşmeli değildir denir.
şartı sağlanmaz. (3 ⋅ 2 ≠ 2 ⋅ 1)
E)
TANIM
=1
işlemi birleşmeli değildir.
x ∇ y = 2x + 2y –xy – 2
= 2 ⋅ x + 2 ⋅ y + (–1) ⋅ xy + (–2)
olduğundan,
Not
Tablo ile tanımlanmış bir işlemin birleşmeli olup olmadığını anlamak, birçok işlem yapmayı gerektirir.
m = n = 2, k = –1,
= –2
Δ
a
b
dir. m = n olduğu zaten âşikardır.
a
a
b
m ⋅ (m – 1) = k ⋅
b
a
a
şartı da sağlanır. (2 ⋅ 1 = (–1) ⋅ (–2))
Örneğin, yukarıdaki "Δ” işleminin birleşmeli olup olmadığı-
IŞIK 4’ten, ∇ işlemi birleşmelidir.
nı anlayabilmek için,
Doğru Seçenek E
(a Δ a) Δ a ?
= a Δ (a Δ a)
(a Δ a) Δ b ?
= a Δ (a Δ b)
(a Δ b) Δ a ?
= a Δ (b Δ a)
(a Δ b) Δ b ?
= a Δ (b Δ b)
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı aşağıdaki işlemlerden hangisi birleşmeli değildir?
A) x
y = x + y – 2xy
B) x Δ y = 3x + 3y + xy + 6
C) x
y=4
D) x ο y = –x – y + xy + 2
E) x ∇ y = 2x + 2y + xy
(b Δ a) Δ a ?
= b Δ (a Δ a)
(b Δ a) Δ b ?
= b Δ (a Δ b)
(b Δ b) Δ b ?
= b Δ (b Δ b)
(b Δ b) Δ a ?
= b Δ (b Δ a)
eşitliklerinin tümünün doğruluğunu teyit etmemiz gerekir.
Bu sebeple, tablo ile tanımlanmış bir işlemin birleşmeli
olup olmadığı üzerinde burada durmayacağız.
9. SINIF MATEMATİK
181
İşlemin Tanımı
Fonksiyon - Bölüm 05
BİRİM (ETKİSİZ) ELEMAN ÖZELLİĞİ
“ ” işleminin etkisiz elemanı yoksa, “ ” işlemi birimsizdir
Toplama ve çarpma işlemlerini çok iyi biliyorsunuz.
denir.
1+0=1
1
1
⋅1 =
2
2
3 + 0 =3
1⋅8=8
Örneğin, pozitif doğal sayılar kümesinde, bildiğimiz toplama işleminin birim elemanı yoktur. Bundan dolayı toplama
işlemi Z+ da birimsizdir.
714 ⋅ 1 = 714
0 + 812 = 812
Dikkat edecek olursanız, 0 sayısının toplama işleminde,
Not
1 sayısının da çarpma işleminde hiçbir etkisinin olmadığını görürsünüz.
Yukarıdaki örnekten anlıyoruz ki bir işlemin etkisiz elema0 ile hangi sayıyı toplarsanız toplayın yine topladığınız
nı var olmayabilir.
sayıyı, 1 ile de hangi sayıyı çarparsanız çarpın yine çarptığınız sayıyı bulursunuz.
“Toplama işleminin etkisiz elemanı 0 dır.”
DNA 42
“Çarpma işleminin etkisiz elemanı 1 dir.”
Tamsayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
cümlelerini mutlaka daha önce duymuşsunuzdur.
x
y=x+y–1
Şimdi etkisiz elemanı tanımlamanın tam zamanı.
kuralıyla tanımlanıyor.
Buna göre, " ” işleminin etkisiz elemanı kaçtır?
TANIM
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
Bir A kümesinde bir " ” işlemi tanımlanmış olsun.
Çözüm
Her x ∈ A için,
e
x=x
e=x
Her x tam sayısı için,
olacak biçimde bir e ∈ A varsa, o zaman, e ye “ ” işleminin birim elemanı veya etkisiz elemanı denir.
x
e=e
x=x
olacak biçimde bir e tam sayısının varlığını araştıracağız.
x
TANIM
⇒
⇒
e=x=e
x
x + e −1= x = e + x −1
e=1
Eğer bir “ ” işleminin etkisiz elemanı varsa, o zaman, “ ”
işlemi birimlidir denir.
Örneğin, doğal sayılar kümesinde, bildiğimiz toplama işleminin birim elemanı sıfırdır. Bundan dolayı, toplama işlemi
doğal sayılar kümesinde birimlidir.
182
9. SINIF MATEMATİK
buluruz.
O halde, “ ” işleminin etkisiz elemanı vardır ve 1 dir.
Doğru Seçenek D
Fonksiyon - Bölüm 05
İşlemin Tanımı
Çözüm
Her x gerçek sayısı için,
Gerçek sayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
x
x
y=x+y–4
Buna göre, “ ” işleminin birim elemanı kaçtır?
B) –2
x=x
olacak biçimde bir e gerçek sayısının varlığını araştıra-
kuralıyla tanımlanıyor.
A) –4
e=e
C) 1
D) 2
cağız.
x
E) 4
e=e
x
olduğu zaten âşikâr olduğundan,
x
e=x
denklemini çözmemiz kâfi.
x
Gerçek sayılar kümesinde bir “Δ” işlemi,
xΔy=x+y+2
kuralıyla tanımlanıyor.
e=x
⇒
2x + 2e + xe + 2 = x
⇒
2e + xe = –x – 2
⇒
e(x + 2) = –(x + 2)
⇒
(e + 1) ⋅ (x + 2) = 0
⇒
e = –1 veya x = –2
buluruz.
Buna göre, “Δ” işleminin etkisiz elemanı kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
x kaç olursa olsun, e = –1 için istenen şart sağlanacağından “ ” işleminin etkisiz elemanı vardır ve –1 dir.
Doğru Seçenek B
DNA 43
Gerçek sayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
x
Gerçek sayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
y = 2x + 2y + xy + 2
x
kuralıyla tanımlanıyor.
Buna göre, " ” işleminin etkisiz elemanı kaçtır?
A) –2
B) –1
C) −
1
2
D)
1
2
E) 2
y = 3x + 3y + xy + 6
kuralıyla tanımlanıyor.
Buna göre, “ ” işleminin etkisiz elemanı kaçtır?
A) –3
B) –2
C) –1
D) 2
9. SINIF MATEMATİK
E) 3
183
İşlemin Tanımı
Fonksiyon - Bölüm 05
Bu eşitliğin her x için sağlanması için,
m + ke = 1 ... (i)
Gerçek sayılar kümesinde bir “Δ” işlemi,
me + = 0 ... (ii)
x Δ y = –x – y + xy + 2
olmalıdır.
kuralıyla tanımlanıyor.
(ii) denkleminde e yi yalnız bırakırsak,
Buna göre, “Δ” işleminin etkisiz elemanı kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
−
m
e=
E) 2
buluruz.
DNA 43’ün çözümü biraz zahmetli olduğu için, bu tip işlemlerin etkisiz elemanını kısa yoldan bulmamızı sağlayacak bir formül elde etmeye çalışalım.
x
Bu değeri (i) denkleminde yerine yazarsak,
m+k⋅
y = mx + ny + kxy +
olsun.
“ ” işleminin etkisiz elemanının var olabilmesi için,
x
e=e
x=x
olacak biçimde bir e elemanının var olması gerekir.
x
y=y
x
⇒
mx + ny + kxy + = my + nx + kyx +
⇒
mx + ny = my + nx
−
=1
m
⇒
m2 − k
=1
m
⇒
m2 − k = m
⇒
m(m − 1) = k
buluruz.
Bu bizim için çok kıymetli bir Hazine’dir.
Hazine 2
olup, bu denklemin her x, y için sağlanması için,
m ≠ 0 olmak üzere, gerçek sayılar kümesinde tanımlı,
m=n
olması gerekir.
x
y = mx + ny + kxy +
işleminin etkisiz elemanının var olabilmesi için,
O halde, “ ” işleminde n yerine m yazalım.
x
y = mx + my + kxy +
(i)
m=n
(ii)
m(m – 1) = k
olması gerek ve yeterlidir.
x
e=x
⇒
mx + me + kxe + = x
⇒
x ⋅ (m + ke) + me + = 1 ⋅ x + 0
elde ederiz.
184
9. SINIF MATEMATİK
Ayrıca, bu “ ”işleminin etkisiz elemanını e ile gösterirsek,
e=
dir.
−
m
Fonksiyon - Bölüm 05
İşlemin Tanımı
DNA 44
Gerçek sayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
Gerçek sayılar kümesinde bir “Δ” işlemi,
x
x Δ y = 3x + by + 2xy + a
y = 4x + by + xy + a
kuralıyla tanımlanıyor.
kuralıyla tanımlanıyor.
“Δ” işlemi birimli olduğuna göre, “Δ” işleminin bi-
“ ” işlemi birimli olduğuna göre, “ ” işleminin etki-
rim elemanı kaçtır?
siz elemanı kaçtır?
A) –3
B) –1
C) 0
D) 1
E) 3
A) –6
B) –4
C) –3
D) 3
E) 6
Çözüm
Hazine 2’den, “Δ” işleminin birimli olması için;
(i)
3=b
(ii)
3 ⋅ (3 – 1) = 2 ⋅ a
Gerçek sayılar kümesinde “ ” işlemi,
x
y = –x + ay + bxy + c
kuralıyla tanımlanıyor.
⇒
3⋅2=2⋅a
⇒
a=3
“ ” işlemi birimli olduğuna göre, a ⋅ b ⋅ c kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
olmasının gerek ve yeterli olduğunu biliyoruz.
Bu değerleri yerine yazalım.
x Δ y = 3x + 3y + 2xy + 3
“Δ” işleminin etkisiz elemanını e ile gösterirsek, tekrar Hazine 2’den,
e=
Not
Hazine 2 ile IŞIK 4 arasındaki benzerliğe dikkat ediniz. Bu
−
−3
=
= −1
m
3
benzerlikten faydalanarak IŞIK 4’ü ispatlayınız.
buluruz.
Şimdi de tablo ile tanımlanmış bir işlemin etkisiz elemanıDoğru Seçenek B
nın nasıl bulunacağını söyleyelim.
Etkisiz elemanın, tanımı gereği bir işlemde hiçbir etkisinin
olmayacağını biliyoruz.
9. SINIF MATEMATİK
185
İşlemin Tanımı
Fonksiyon - Bölüm 05
Dolayısıyla,
Uyarı
a
b
c
d
e
a
1. satır
b
2. satır
c
3. satır
d
4. satır
e
5. satır
a
b
c
d
e
a
e
a
b
a
b
b
c
d
c
d
e
c
c
d
e
a
b
d
b
c
e
d
e
d
e
a
a
b
c
Yukarıdaki “ ” işleminin etkisiz elemanı yoktur.
Yukarıdaki “ ” işleminin etkisiz elemanı, eğer varsa, “ ”
a
b
c
d
işaretinin altındaki etkisiz elemanın bulunduğu satır ele-
a
manları,
b
a
b
c
d
c
e
e satırı var ama
sütunu yok.
d
e
olmalıdır.
Yine aynı sebeplerden,
işaretinin sağındaki etkisiz ele-
manın bulunduğu sütun elemanları,
a
b
c
d
e
olmalıdır.
DNA 45
Bu satır ve sütunların kesişimi, “ ” işleminin etkisiz eleA = {a, b, c, d, e}
manıdır.
kümesinde bir “ " işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlana
b
c
d
e
Δ
a
b
c
a
c
d
e
a
b
a
c
a
b
b
d
e
a
b
c
b
a
b
c
c
b
c
a
mıştır.
a
b
c
d
e
a
c
d
e
a
b
c
e
a
b
c
d
b
d
e
a
b
c
d
a
b
c
d
e
c
e
a
b
c
d
e
b
c
d
e
a
d
a
b
c
d
e
e
b
c
d
e
a
Buna göre, “ ” işleminin etkisiz elemanı nedir?
Yukarıdaki “ ” işleminin etkisiz elemanı d, “Δ” işleminin
etkisiz elemanı b dir.
186
9. SINIF MATEMATİK
A) a
B) b
C) c
D) d
E) e
Fonksiyon - Bölüm 05
İşlemin Tanımı
Çözüm
a
b
a
b
c
d
e satırı ile
A = {1, 2, 3, 4, 5}
sütunlarını
c
kümesinde bir “Δ” işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır.
d
e
işaretleyip, kesiştirelim.
a
b
c
d
e
Δ
1
2
3
4
5
1
3
4
5
1
2
2
1
2
3
4
5
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
2
3
4
5
1
a
a
b
b
Buna göre, “Δ” işleminin etkisiz elemanı eğer varsa
c
c
aşağıdakilerden hangisidir?
d
a
b
c
e
d
A) 1
e
B) 2
C) 3
E) Yoktur
D) 4
Şu halde, “ ” işleminin etkisiz elemanının d olduğu açıktır.
Doğru Seçenek D
Tablo yardımıyla bir işlemin etkisiz elemanını bulmanın ne
kadar kolay olduğunu gördük.
Bu sebeple, bir işlemin etkisiz elemanını bulmada zorlandığınız zaman, o işlemin tablosunu oluşturarak çözümü
yumuşatabilirsiniz.
Bu durumu DNA 46 ve DNA 47 ile gösterelim.
A = {a, b, c, d, e}
kümesinde bir “ ” işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır.
a
b
c
d
e
a
a
b
b
b
c
d
e
c
d
e
a
c
c
d
e
a
b
d
d
e
a
b
c
e
e
a
b
c
d
DNA 46
A = {0, 1, 2, 3, 4}
kümesinde bir “ ” işlemi,
x
y = x + y nin 5 ile bölümünden kalan
kuralıyla tanımlanıyor.
Buna göre, “ ” işleminin etkisiz elemanı nedir?
Buna göre, “ ” işleminin etkisiz elemanı kaçtır?
A) a
A) 0
B) b
C) c
D) d
E) e
B) 1
C) 2
D) 3
9. SINIF MATEMATİK
E) 4
187
İşlemin Tanımı
Fonksiyon - Bölüm 05
Çözüm
DNA 47
“ ” işleminin tablosunu yapalım.
Δ 1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
5
1
2
3
4
1
3
4
5
1
2
2
1
2
3
4
5
2
4
5
1
2
3
3
2
3
4
5
1
3
5
1
2
3
4
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
4
3
4
5
1
2
4
1
2
3
4
5
2
2
5
4
5
1
2
3
5
2
3
4
5
1
3
3
4
4
A = {1, 2, 3, 4, 5}
kümesinde “Δ" ve “ ” işlemleri yukarıdaki tablolar ile
Şu halde, “ ” işleminin etkisiz elemanının 0 olduğu açıktır. Tablonun tamamını doldurmanıza gerek yok.
tanımlanmıştır.
Buna göre,
x ο y = x Δ (x
Tablo kullanmadan “ ” işleminin etkisiz elemanını bulma
y)
kuralıyla tanımlanan "ο" işleminin etkisiz elemanı
eğer varsa kaçtır?
işini size bırakıyoruz.
A) 1
B) 2
Doğru Seçenek A
C) 3
D) 4
E) Yoktur
Çözüm
A = {1, 2, 3, 4, 5}
Önce, “ο” işleminin tablosunun birinci satırını dolduralım.
kümesinde bir “Δ” işlemi,
x Δ y = x ile y den küçük olmayanı
kuralıyla tanımlanıyor.
Buna göre, “Δ” işleminin etkisiz elemanı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
1 ο 1 = 1 Δ (1
1) = 1 Δ 3 = 2
1 ο 2 = 1 Δ (1
2) = 1 Δ 4 = 3
1 ο 3 = 1 Δ (1
3) = 1 Δ 5 = 4
1 ο 4 = 1 Δ (1
4) = 1 Δ 1 = 5
1 ο 5 = 1 Δ (1
5) = 1 Δ 2 = 1
E) 5
ο
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
Rakamlar kümesinde bir “ ” işlemi,
x
Böylece, ο işleminin etkisiz elemanının, eğer varsa,
y = x ⋅ y nin birler basamağı
kuralıyla tanımlanıyor.
1 olduğunu görmüş olduk. Şimdi de, etkisiz elemanın var-
Buna göre, “ ” işleminin etkisiz elemanı kaçtır?
lığından emin olabilmek için, tablonun beşinci sütununu
A) 1
dolduralım.
188
B) 2
9. SINIF MATEMATİK
C) 3
D) 4
E) 5
Fonksiyon - Bölüm 05
İşlemin Tanımı
2 ο 5 = 2 Δ (2
ο
1
2
5) = 2 Δ 3 = 3
3
4
5
1
1
2
3
3
Δ
a
b
c
a
e
a
b
a
b
c
b
d
e
b
c
d
a
c
d
e
b
c
d
e
a
c
b
a
b
c
d
e
c
b
a
e
d
e
d
c
b
a
a
e
d
c
4
d
c
d
e
a
b
d
d
c
b
a
e
5
e
d
e
a
b
c
e
a
e
d
c
b
A = {a, b, c, d, e}
Beşinci sütunun ikinci elemanı 2 ye eşit olmadığından,
kümesinde “Δ" ve “ ” işlemleri yukarıdaki tablolar ile ta-
işleme devam etmemize gerek kalmadı. “ο” işlemi birim-
nımlanmıştır.
Buna göre,
sizdir.
x
Doğru Seçenek E
y = (x Δ y)
(x Δ y)
kuralıyla tanımlanan " ” işleminin etkisiz elemanı eğer
varsa kaçtır?
A) b
B) c
D) e
C) d
E) Yoktur
Uyarı
Δ 1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
4
5
1
2
5
1
2
3
Bir işlemin etkisiz elemanının e ile gösterilmesi adettendir. Bu gösterim zorunlu değildir. Yani, bir işlemde
göreceğiniz e elemanını, doğrudan etkisiz eleman olarak nitelendirmeniz yanlıştır. (Her gördüğün e yi etkisiz
eleman sanma! ☺)
1
2
3
4
5
1
4
5
1
2
3
2
5
1
2
3
4
3
3
1
2
3
4
5
Toplamada 0 dan başka, çarpmada da 1 den başka et-
3
4
4
2
3
4
5
1
kisiz eleman yoktur. Yani bu işlemlerin etkisiz elemanları
4
5
5
3
4
5
1
2
biriciktir. Bu tüm işlemlerde böyle midir? Bakalım.
A da tanımlı bir “ ” işleminin iki farklı etkisiz elemanının
A = {1, 2, 3, 4, 5}
kümesinde “ " ve “Δ” işlemleri yukarıdaki tablolar ile ta-
olduğunu varsayalım ve bu etkisiz elemanları e ve e′ ile
nımlanmıştır.
gösterelim. Tanımdan,
Buna göre,
x ∇ y = (x
e′ = e′
y) Δ y
e′ = e
varsa kaçtır?
B) 2
D) 4
e′ = e
olduğunu ve dolayısıyla,
kuralıyla tanımlanan "ο" işleminin etkisiz elemanı eğer
A) 1
e=e
C) 3
E) Yoktur
olacağını görürüz.
Demek ki, bir işlemin iki farklı etkisiz elemanı olamaz.
9. SINIF MATEMATİK
189
İşlemin Tanımı
Fonksiyon - Bölüm 05
Uyarı
Işık 5
Bir işlemin etkisiz elemanı, eğer varsa, biriciktir.
Bir işlemde ters eleman özeliğinden bahsedebilmemiz
için, öncelikle o işlem birimli olmalıdır.
Birimsiz bir işlemde, ters eleman özeliğinden bahsedi-
Etkisiz eleman ilgili son bir NOT vererek işlemin dördüncü
lemez.
özelliğine geçiyoruz.
Örneğin, pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı toplama iş-
Not
leminin birim elemanı olmadığından hiçbir elemanın tersi
Bir işlemin etkisiz elemanının var olması, o işlemin ma-
yoktur. Ayrıca bir işlemin birimli olması her elemanın ter-
tematik dünyasında değerli olması açısından çok önem-
sinin olmasını gerektirmez. Örneğin, doğal sayılar küme-
lidir.
sinde tanımlı toplama işleminin birim elemanı vardır, fakat
sıfır hariç hiç bir elemanın tersi yoktur.
TERS ELEMAN ÖZELİĞİ
DNA 48
Ters eleman ile ilgili bildiğinizi düşündüğümüz birkaç şey
söyleyelim:
“3 ün toplamaya göre tersi –3 tür.”
“2 nin çarpmaya göre tersi
1
dir.”
2
Dikkat edecek olursanız,
1
=1
2
x
y=x+y–2
kuralıyla tanımlanıyor.
Buna göre, 3–1 kaçtır?
3 + (–3) = 0 (Toplama işleminin birim elemanı)
2⋅
Tam sayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
A) 1
B) 2
C) 3
olduğunu görürsünüz.
Artık ters elemanını tanımını verebiliriz.
Çözüm
“ ” işleminin birimli olduğunu ve birim elemanının
TANIM
−( −2)
=2
1
Bir A kümesinde tanımlı bir “ ” işlemi birimli olsun ve A
nın birim elemanı e olsun.
olduğunu Hazine 1’den biliyoruz.
A daki bir x elemanı için,
Ters eleman tanımından,
x
t=t
3–1
x=e
3=e=2
olacak biçimde bir t ∈ A varsa, t ye x in “ ” işlemine göre,
⇒
3–1 + 3 – 2 = 2
tersi denir ve
⇒
3–1 = 2 + 2 – 3
⇒
3–1 = 1
t = x–1
ile gösterilir.
190
D) 4
(Çarpma işleminin birim elemanı)
9. SINIF MATEMATİK
buluruz.
E) 5
Fonksiyon - Bölüm 05
Burada, 3−1 ≠
İşlemin Tanımı
1
olduğuna dikkat ediniz.
3
Çözüm
Bu eşitlik sadece çarpma işlemi için doğrudur.
“Δ” işleminin birim elemanı e olsun.
Doğru Seçenek A
Hazine 2’den,
−( −2)
=1
2
e=
buluruz.
Ters eleman tanımından,
Tam sayılar kümesinde bir “Δ” işlemi,
3 Δ 3–1 = 3–1 Δ 3 = e = 1
xΔy=x+y+1
kuralıyla tanımlanıyor.
Buna göre, 2–1 kaçtır?
A) –4
B) –2
C) 1
D) 2
E) 4
⇒
2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3–1 – 3 ⋅ 3–1 – 2 = 1
⇒
3–1 ⋅ (2 – 3) = 1 + 2 – 6
⇒
–3–1 = –3
⇒
3–1 = 3
buluruz.
Doğru Seçenek C
Gerçek sayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
x
Gerçek sayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
y=x+y+k
x
kuralıyla tanımlanıyor.
Buna göre, k nın “ ” işlemine göre tersi nedir?
A) –3k
B) –2k
C) 0
D) 2k
E) 3k
y = 2xy
kuralıyla tanımlanıyor.
Buna göre, 1–1 kaçtır?
A) −
1
4
B) −
1
2
C)
1
2
D)
1
4
E) 2
DNA 49
Gerçek sayılar kümesinde bir “Δ” işlemi,
Gerçek sayılar kümesinde bir “Δ” işlemi,
x Δ y = x + y – xy
x Δ y = 2x + 2y – xy – 2
kuralıyla tanımlanıyor.
kuralıyla tanımlanıyor.
Buna göre, 2–1 Δ 3–1 kaçtır?
Buna göre, 3–1 kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A)
1
6
B)
1
3
C)
1
2
D) 1
9. SINIF MATEMATİK
E) 6
191
İşlemin Tanımı
Fonksiyon - Bölüm 05
DNA 50
Demek ki, tersi kendisine eşit olan elemanlar −
olup, bu elemanların toplamı:
Gerçek sayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
x
3
1
ve −
2
2
y = 2x + 2y + 2xy + 1
−
kuralıyla tanımlanıyor.
3 ⎛ 1⎞
+ ⎜ − ⎟ = −2
2 ⎝ 2⎠
Buna göre, “ ” işlemine göre tersi kendisine eşit
dir.
olan elemanların toplamı kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
Doğru Seçenek A
Çözüm
Hazine 2’den, “ ” işleminin etkisiz elemanının −
ğunu biliyoruz.
1
oldu2
“ ” işleminin, tersi kendisine eşit olan elemanına a diyelim.
Gerçek sayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
x
y=x+y–2
kuralıyla tanımlanıyor.
Ters eleman tanımından,
Buna göre, tersi kendisinin 3 katına eşit olan eleman
a
a–1 = e
aşağıdakilerden hangisidir?
a
A) –3
−
1
2
a= −
C) 1
D) 2
E) 3
1
2
⇒
a
⇒
2a + 2a + 2 ⋅ a ⋅ a + 1 = −
⇒
4a + 2a2 + 1 = −
⇒
4a + 2a2 +
⇒
4a2 + 8a + 3 = 0
⇒
(2a + 3) (2a + 1) = 0
⇒
a=−
1
2
1
2
3
=0
2
Gerçek sayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
x
3
1
veya a = −
2
2
9. SINIF MATEMATİK
y = 3x + 3y + xy + 6
kuralıyla tanımlanıyor.
Buna göre, “ ” işlemine göre, tersi kendisine eşit
olan elemanların çarpımı kaçtır?
A) –12
buluruz.
192
B)–1
B) –8
C) 4
D) 8
E) 12
Fonksiyon - Bölüm 05
İşlemin Tanımı
Uyarı
Uyarı
Bir işlemin etkisiz elemanı eğer varsa; etkisiz elemanın
tersi kendisine eşittir.
Ancak, tersi kendisine eşit olan, etkisiz eleman haricinde, başka elemanlar da olabilir.
Birleşme, birim eleman özelikleri olan bir işlemde, bir
elemanın tersi (varsa) biriciktir.
“ ” işlemi A kümesi üzerinde tanımlı olsun. A daki bir
a elemanının a1 ve a2 gibi iki tane tersi olduğunu düşünelim. İşlemin birim elemanını da e ile gösterelim. Ters
eleman tanımından,
a
a1 = e = a1
a
a
a2 = e = a2
a
olduğunu biliyoruz.
a1 = e
a1
= (a2
Uyarı
a)
(a
= a2
Bir işlemde bir elemanın birden fazla tersi olabilir.
(Birim eleman tanımı)
a1
(Ters eleman tanımı)
a1)
(Ters eleman tanımı)
e
= a2
(Birim eleman tanımı)
Örneğin, A = {1, 2, 3} kümesi üzerinde aşağıdaki gibi
tanımlı “ ” işlemine bakalım.
Işık 6
1
2
3
1
1
2
3
2
2
1
1
Bir elemanın, birleşmeli ve birimli bir işleme göre tersi
1
eğer varsa tektir.
3
3
1
“ ” işleminin etkisiz elemanı 1 dir.
Ters eleman ile ilgili özelikleri aşağıdaki Hazine ile verelim
2
2 = 1 olduğundan 2 nin tersi 2 dir.
2
3=3
ve hemen ardından ispatlarını yapalım.
2 = 1 olduğundan 2 nin tersi 3 tür.
Hazine 3
Buna göre, 2 nin “ ” işlemine göre iki tane tersi vardır.
Bir “ ” işlemi A kümesinde tanımlanmış olsun.
“ ” işlemi birimli, birleşmeli, a, b, c ∈ A ve a ile b tersi
olan elemanlar olsun.
O zaman, aşağıdaki eşitlikler doğrudur.
Yukarıdaki uyarıyı okuduktan sonra “Hangi koşullar altında bir elemanın sadece bir tane tersi vardır?” sorusu
(i)
(a–1)–1 = a
(ii)
a–1 = b ⇔ b–1 = a
geliyor doğal olarak. Bu soruya cevap bulmak için de aşa-
(iii) x
ğıdaki uyarıyı dikkatlice okuyunuz.
(iv) (a
a=c ⇒ x=c
b)–1 = b–1
a–1
a–1
9. SINIF MATEMATİK
193
İşlemin Tanımı
Fonksiyon - Bölüm 05
İspat
DNA 51
“ ” işleminin birim elemanı e olsun.
(i)
a = (e)
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir “ ” işlemi, birleşmeli ve birimli olup, her gerçek sayının “ ” işlemine
a
göre, bir tersi vardır.
= [(a–1)–1
a–1]
a
(a–1
a) = (a–1)–1
2–1
3
1–1
x
4=5
e
= (a–1)–1
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3–1
e
(ii)
a–1
=b⇒
(a–1)–1
=
b–1
a
⇒ a = b–1
x
(iii)
⇒
(x
⇒
x
a=c
a–1 = c
a–1
a–1) = c
a–1
a)
(a
x
a–1
=c
5
4–1
B) 2
3–1
5
1
C) 2
3–1
1
4–1
D) 1
4–1
5
2
3–1
E) 3
2–1
5
4
1–1
1
4–1
5
Çözüm
e
⇒
2
Amacımız x i yalnız bırakmak. Önce 2–1 i yok edelim.
(iv)
b)–1 = x ⇒ x–1 = [(a
(a
⇒
x–1
=a
⇒ a–1
b)–1]–1
Bunun için eşitliğin her iki yanının soluna (2
yız. (Eşitliğin birinin sağına diğerinin soluna aynı şeyi ya-
b
x–1 = a–1
a
zarsak, hata yapmış oluruz.)
b
x–1 = b
⇒
(a–1
b–1
x–1)
=
b–1
⇒ (b–1
a–1)
x–1 = e
⇒ (b–1
a–1)
x–1
b
b–1
1–1
x
4=2
3–1
x
x
a–1
c)–1 = c–1
b
verilebilir.)
1–1
x
4=2
5
5
Şimdi eşitliğin her iki yanının soluna (3–1
x = e
e
(a
3
e
⇒ 3
e
⇒ x = b–1
2–1
2
e
⇒ a–1
) yazmalı-
3
1–1
x
4 = 3–1
) yazalım:
2
5
e
⇒ x
1–1
4 = 3–1
2
4–1) yazalım.
Eşitliğin her iki yanının sağına (
x
a–1 gibi örnekler de
1–1
4–1
4
=
5
3–1
2
5
4–1
e
⇒ x
1–1 = 3–1
2
5
4–1
Son olarak, eşitliğin her iki yanının sağına (
x
1–1
1 = 3–1
2
5
4–1
1
4–1
1) yazalım:
1
e
Şimdi bu Hazine’mizi pekiştirelim.
⇒ x = 3–1
2
5
buluruz.
Doğru Seçenek A
194
9. SINIF MATEMATİK
Fonksiyon - Bölüm 05
İşlemin Tanımı
DNA 52
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir “ ” işlemi, birleşmeli
Gerçek sayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
ve birimli olup, her gerçek sayının “ ” işlemine göre, bir
x
tersi vardır.
a–1
b
c–1 = d
x
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir?
A) b–1
a
d
c
b
B) c
d
a–1
C) b
a
d
D) c–1
E) d
d
kuralıyla tanımlanıyor.
Buna göre,
x
x–1
4 = 2–1
x
eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?
A) 22
B) 28
C) 38
D) 42
E) 44
c–1
b–1
a
a
y = 4x + 4y + xy + 12
b
c
Çözüm
4 ⋅ 3 = 12 olduğundan “ ” işlemi birimli ve birleşmelidir.
Hazine 3’ten,
x–1
x
4 = 2–1
x
4 = 2–1
x
e
⇒
elde ederiz. 2–1 i bulmadan bu denklemi çözebilmek için
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir “ ” işlemi, birleşmeli
eşitliğin her iki yanının soluna (2
ve birimli olup, her gerçek sayının “ ” işlemine göre, bir
2
2–1
2–1
4 = 2
tersi vardır.
) yazalım.
x
e
x–1
3
⇒ x=2
4–1 = 1
5
4
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir?
= 4 ⋅ 2 + 4 ⋅ 4 + 2 ⋅ 4 + 12
A) 3–1
= 44
2
5
4–1
B) 2
3–1
5
1
C) 2
3–1
1
4–1
D) 1
4–1
5
2
E) 5
4–1
1–1
1
4–1
tür.
5
Doğru Seçenek E
3–1
2–1
3
9. SINIF MATEMATİK
195
İşlemin Tanımı
Fonksiyon - Bölüm 05
Çözüm
Gerçek sayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
x
a–1 Δ b Δ c–1 = 0
y = x + y + 2xy
(a–1 Δ b Δ c–1)–1 = 0–1
kuralıyla tanımlanıyor.
(c–1)–1 Δ b–1 Δ (a–1)–1 = 0–1
Buna göre,
2–1 = 3
x
7
c Δ b–1 Δ a = 0–1
7–1
dir.
eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?
A) 12
B) 15
C) 17
D) 19
E) 20
Bulmamız gereken şeyin, 0 ın "Δ” işlemine göre tersi olduğunu gördük.
“Δ” işleminin birim elemanını e ile gösterirsek, Hazine
2’den,
e=−
1
2
buluruz. Ters eleman tanımından,
0 Δ 0−1 = e = −
Gerçek sayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
x
y = 3x + 3y + 3xy + 2
⇒
kuralıyla tanımlıyor.
x
3–1
=0
eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?
A) 63
B) 77
2 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0−1 + 2 ⋅ 0 ⋅ 0−1 + 1 = −
0
Buna göre,
2–1
1
2
C) 84
D) 98
0
⇒
2 ⋅ 0−1 = −
⇒
0−1 = −
1
2
3
2
3
4
E) 107
buluruz.
Doğru Seçenek A
DNA 53
Gerçek sayılar kümesinde bir “Δ” işlemi,
Gerçek sayılar kümesinde bir “Δ” işlemi,
x Δ y = 2x + 2y + 2xy + 1
x Δ y = 3x + 3y + 6xy + 1
kuralıyla tanımlanıyor.
kuralıyla tanımlanıyor.
a–1 Δ b Δ c–1 = 0
a Δ b–1 Δ c = 2–1 Δ 1–1
olduğuna göre, c Δ b–1 Δ a kaçtır?
A) −
196
3
4
B) −
1
2
9. SINIF MATEMATİK
C) −
4
3
D)
3
4
E)
4
3
olduğuna göre, c–1 Δ b Δ a–1 kaçtır?
A) 18
B) 22
C) 24
D) 27
E) 32
Fonksiyon - Bölüm 05
İşlemin Tanımı
a Δ a–1 = 1
Gerçek sayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
x
y=x+y–3
kuralıyla tanımlanıyor.
b–1
a
c–1
b
2a + 2a–1 – a ⋅ a–1 – 2 = 1
⇒
a–1(2 – a) = 3 – 2a
⇒
a−1 =
3 − 2a
2−a
elde ederiz.
c = 4 ve
Bu eşitlikte, a yerine yazılacak 2 den farklı her gerçek sayı
a=6
için bir a–1 değeri bulunur.
a = 2 için a–1 bulunamaz.
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 3
⇒
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
O halde, 2 nin “Δ” işlemine göre tersi yoktur.
Doğru Seçenek E
DNA 54
Gerçek sayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
Gerçek sayılar kümesinde bir “Δ” işlemi,
x
x Δ y = 2x + 2y – xy – 2
y = 3x + 3y + 6xy + 1
kuralıyla tanımlanıyor.
kuralıyla tanımlanıyor.
Buna göre, “ ” işleminin hangi elemanının tersi yok-
Buna göre, “Δ” işleminin hangi elemanının tersi
tur?
yoktur?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
A) −
1
6
B) −
1
2
C)
1
2
D)
1
3
E) 2
Çözüm
“Δ” işleminin etkisiz elemanına e dersek, Hazine 2’den,
e=
−( −2)
=1
2
Gerçek sayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
x
y = –x – y + xy + 2
buluruz.
kuralıyla tanımlanıyor.
“Δ” işleminin tersi olmayan elemanı a olsun. O zaman,
Buna göre, “ ” işleminin hangi elemanının tersi yok-
a Δ a–1 = e = 1
denkleminin çözüm kümesi boş küme olur.
tur?
A) –2
B) –1
C)
1
2
D) 1
9. SINIF MATEMATİK
E) 2
197
İşlemin Tanımı
Fonksiyon - Bölüm 05
DNA 55
A = {a, b, c, d, e}
A = {a, b, c, d, e}
kümesinde bir “Δ" işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır.
Δ
a
b
c
d
kümesinde bir “Δ" işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır.
e
Δ
a
b
c
d
e
c
d
e
a
b
a
c
d
e
a
b
a
b
d
e
a
b
c
b
d
e
a
b
c
c
e
a
b
c
d
c
e
a
b
c
d
d
a
b
c
d
e
d
a
b
c
d
e
a
e
b
c
d
e
a
e
b
c
d
e
Buna göre, [a–1 Δ b]–1 Δ c–1 işleminin sonucu nedir?
Buna göre, e–1 Δ b–1 işleminin sonucu nedir?
A) a
A) a
B) b
C) c
D) d
E) e
B) b
C) c
D) d
E) e
Çözüm
"Δ” işleminin etkisiz elemanı d dir.
Ters eleman bulmada kolaylık olması açısından, tablonun
içerisindeki bütün d leri işaretleyelim.
Δ
a
a
b
b
c
d
e
d
b–1 = a
d
c
d
d
c–1 = e
d–1 = d
d
e
a–1 = b
d
e–1 = c
kümesinde bir “Δ" işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmış-
Şimdi sorumuzu çözebiliriz.
[a–1 Δ b]–1 Δ c–1 = [b Δ b]–1 Δ e
↓
b
↓
b
A = {a, b, c, d, e}
tır.
Δ
= e–1 Δ e
=cΔe
=d
Doğru Seçenek D
9. SINIF MATEMATİK
b
c
d
e
a
c
d
e
a
b
b
d
e
a
b
c
c
e
a
b
c
d
d
a
b
c
d
e
e
b
c
d
e
a
Buna göre, [(a–1 Δ b) Δ c–1]–1 işleminin sonucu nedir?
A) a
198
a
B) b
C) c
D) d
E) e
Fonksiyon - Bölüm 05
İşlemin Tanımı
DNA 56
Gerçek sayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
Gerçek sayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
x
x
y = 2x + 2y + xy + 2
y=x+y–2
kuralıyla tanımlanıyor.
kuralıyla tanımlanıyor.
Buna göre,
Buna göre,
a–1
a
1=0
eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır?
eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır?
A) −
3
2
C) −
B) –1
1
2
1–1 = 3
D) 0
E)
1
2
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Çözüm
DEĞİŞME ÖZELİĞİ
“ ” işlemi birleşmeli olduğu için,
a–1
Yine en iyi bildiğiniz iki işlemi; yani toplama ve çarpma
1=0
işlemlerini baz alalım.
⇒
a
⇒
(a
⇒
1=a
⇒
1=2⋅a+2⋅0+a⋅0+2
⇒
1 = 2a + 2
⇒
2a = –1
⇒
a=−
a–1
1=a
a–1)
e
0
1=a
2+3=3+2
0
4⋅5=5⋅4
0
eşitliklerinin doğru olduğunu elbetteki biliyorsunuz.
Her a, b gerçek sayıları için,
a+b=b+c
a⋅b=b⋅a
1
2
eşitliklerinin doğru oluşu, toplama ve çarpma işlemlerinin
buluruz.
değişmeli olduğu, yani; toplanan veya çarpılan iki sayının
Doğru Seçenek C
kendi aralarında yer değiştirebileceği anlamına gelir.
Şimdi değişme özeliğini tanımlayabiliriz.
TANIM
Gerçek sayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
x
y =x + y + 2xy
Bir “ ” işlemi bir A kümesinde tanımlanmış olsun.
kuralıyla tanımlanıyor.
Eğer her x, y ∈ A için,
Buna göre,
a–1
0=1
x
eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır?
A) −
1
3
B) −
1
2
C) 0
D)
1
2
E)
1
3
y=y
x
oluyorsa, “ ” işleminin değişme özeliği vardır veya “ ”
işlemi değişmelidir denir.
9. SINIF MATEMATİK
199
İşlemin Tanımı
Fonksiyon - Bölüm 05
DNA 57
Aşağıdaki N+ da tanımlı işlemlerden hangisi ya da
Aşağıdaki R – {0} da tanımlı işlemlerden hangisi ya da
hangileri değişmelidir?
hangileri değişmelidir?
I. m ∗ n = mn + 1
I. x ∗ y =
II. m ™ n = m ⋅ n + m + n
II. x ™ y = xy + yx
III. m … n = m + n – 2m ⋅ n
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
x
+1
y
III. x … y = x ⋅ y – x – y
C) Yalnız III
E) II ve III
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) Yalnız III
E) II ve III
D) I ve II
Çözüm
I.
Her m, n ∈ N+ için,
m ∗ n = mn + 1 ≠ nm + 1 olup "∗" işlemi değişmeli
değildir.
II.
Her m, n ∈ N+ için,
m ™ n = m ⋅ n + m + n = n ⋅ m + n + m = n ™ m olup "™"
işlemi N+ da değişmelidir.
III.
m … n = m + n – 2m ⋅ n = n + m – 2n ⋅ m = n … m
olduğundan "…" işlemi N+ de değişmelidir.
Doğru Seçenek E
Tablo ile tanımlanmış bir işlemin değişmeli olup, olmadığını kolayca test edebilmeniz için aşağıdaki IŞIK’ı verelim.
Işık 7
Tablo ile verilen işlemde eğer tablo, köşegene göre simetrik ise o zaman işlem değişmelidir. Örneğin,
Aşağıdaki R de tanımlı işlemlerden hangisi ya da hangileri değişmeli değildir?
I. x ∗ y = 2y – 3x + x ⋅ y
II. x ™ y = 2⋅x2 + y2
III. x … y = x2 + x ⋅ y + y2
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
200
9. SINIF MATEMATİK
C) Yalnız III
E) I, II ve III
∗
1
2
3
4
5
1
4
5
1
2
3
2
5
1
2
3
4
3
1
2
3
4
5
4
2
3
4
5
1
5
3
4
5
1
2
köşegen
Fonksiyon - Bölüm 05
İşlemin Tanımı
YUTAN ELEMAN ÖZELİĞİ
Çözüm
Mantık bölümünden ∧ ile ∨ işlemlerini gördük. Kümelerde
ise ∩ ile ∪ işlemleriyle karşılaştık.
“ ” işleminin değişmeli olduğu âşikârdır.
p∧0≡0
p∨1≡1
A∩∅=∅
A∪E=E
Yutan elemana y diyelim.
m
y=y
m=y
olacak biçimde bir y ∈ Z olup, olmadığına bakacağız.
olduğunu biliyoruz.
m
Yani p önermesi ne olursa olsun p ∧ 0 ≡ 0 eşitliği gerçeklenmektedir ya da p ∨ 1 ≡ 1 eşitliği.
Bir işlemde bir a elemanı, herhangi bir elemanla işleme
girdiğinde, sonuç a oluyorsa, özel bir adı vardır: Yutan
eleman.
y=y
⇒
m+y–m⋅y=0
⇒
m ⋅ (1 – y) = 0
dir.
Bu denklemin her m ∈ Z için sağlanmasını istediğimizden,
y=1
dir.
TANIM
Doğru Seçenek C
A da " " işlemi tanımlanmış olsun. Eğer her x ∈ A için,
x
y=y
x=y
olacak biçimde bir y ∈ A varsa, o zaman y elemanına, " ”
R de tanımlı "…" işlemi her x, y ∈ R için,
işleminin yutan elemanı denir.
x … y = xy + x + y
Örneğin, çarpma işleminin yutan elemanı 0 dır.
Kümelerde ∩ (kesişim) işleminin yutan elemanı ∅ iken, ∪
(birleşim) işleminin yutan elemanı E evrensel kümedir.
kuralıyla tanımlanıyor.
Buna göre, "…" işleminin yutan elemanı kaçtır?
A) –2
Not
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
Toplama işleminin sayılar kümesinde yutan elemanı yoktur.
DNA 58
R de tanımlı "ο" işlemi her x, y ∈ R için,
Z de bir " " işlemi her m, n ∈ Z için,
m
xοy=
n=m+n–m⋅n
olarak veriliyor.
kuralıyla tanımlanıyor.
Buna göre, “ ” işleminin yutan elemanı kaçtır?
A) –1
B) 0
x+y
1
+ x⋅y−
2
4
C) 1
D) 2
E) 3
Buna göre, "ο" işleminin yutan elemanı kaçtır?
A)
1
2
B)
1
4
C) 0
D) −
1
4
9. SINIF MATEMATİK
E) −
1
2
201
İşlemin Tanımı
Fonksiyon - Bölüm 05
Hazine 4
m ≠ 0 olmak üzere, gerçek sayılar kümesinde bir “Δ”
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı,
işlemi,
x Δ y = 6x + 6y + 6xy + 5
x Δ y = mx + my + kxy +
işleminin yutan elemanı kaçtır?
kuralıyla tanımlanmış olsun.
A) −
m ⋅ (m – 1) = k ⋅
6
5
B) −
5
6
C) –1
D)
5
6
E)
6
5
D)
1
2
E) 1
olsun.
O zaman, “Δ” işleminin yutan elemanı vardır ve
−
m
k
dır.
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı,
x Δ y = –x – y + xy + 2
işleminin yutan elemanı kaçtır?
A) –1
DNA 59
B) −
1
2
C) 0
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı,
x Δ y = 3x + 3y + 6xy + 1
Uyarı
işleminin yutan elemanı kaçtır?
A) −
1
2
B) –1
C) 0
D)
1
2
E) 2
Her işlemin yutan elemanı var olmak zorunda değildir.
Ancak, eğer bir işlemin yutan elemanı varsa, tektir.
Yani, bir işlemin birden fazla yutan elemanı yoktur.
Işık 8
Çözüm
A = {a} kümesi üzerinde bir tane işlem tanımlanabilir.
Bu işleme göre a birim eleman ve yutan elemandır.
Yutan elemanı y ile gösterelim.
Ayrıca a–1 = a dır. Yani, a yutan elemandır ve tersi var-
Hazine 4’ten,
dır.
m
3
1
y=− =− =−
k
6
2
s(A) > 1 ve “ ” A kümesi üzerinde tanımlı bir işlem
olsun. “ ” işleminin (varsa) yutan elemanının tersi yok-
buluruz.
tur.
Doğru Seçenek A
Bir elemanın tersi yoksa, o eleman yutan elemandır
diyemeyiz. Yani, bir işlemde yutan eleman haricindeki
elemanların da tersi olmayabilir.
202
9. SINIF MATEMATİK
Fonksiyon - Bölüm 05
İşlemin Tanımı
4.
TEST - 6
Aşağıda verilen işlemlerden hangisinin pozitif
gerçek sayılar kümesinde değişme özelliği yoktur?
1.
A) a ο b = ab + ba
B) a ο b = a ⋅ b + 1
C) a ο b = a ⋅ b –a – b
D) a ο b =
Aşağıda N de tanımlı işlemlerden hangisi ya da
hangileri kapalıdır?
I. m ∗ n = m + n + 1
a b
+
6 5
E) a ο b = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b – 3
II. m ™ n = m ⋅ n + m + n
III. m … n = m + n – m ⋅ n
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
E) I, II ve III
5.
Tam sayılar kümesinde " …" işlemi,
x…y=x+y+4
olarak tanımlanıyor.
2.
Buna göre, "…" işleminin birim elemanı nedir?
Aşağıda N+ da tanımlı işlemlerden hangisi ya da
hangileri değişmelidir?
A) 0
B) –1
C) –2
D) –3
E) –4
I. m ∗ n = mn + 1
II. m ™ n = m ⋅ n + m + n
III. m … n = m + n – 2m ⋅ n
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
C) Yalnız III
6.
Gerçek sayılar kümesinde "ο" işlemi,
xοy=x+y+x⋅y
E) II ve III
olarak tanımlanıyor.
Buna göre, “ο” işleminin etkisiz elemanı kaçtır?
A) –2
3.
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
Aşağıdaki işlemlerden hangisi değişmeli olduğu
halde, birleşmeli değildir?
A) x ο y = x + y + 3
B) x ο y = x – y + 3
7.
Rasyonel sayılar kümesinde her x, y ∈ Q için "Δ" işlemi,
x Δ y = 2x + 2y – xy – 2
C) x ο y = 2x + 2y
olarak tanımlanıyor.
D) x ο y = x + y + x ⋅ y
E) x ο y = x + y + 2xy
Buna göre, "Δ" işleminin birim elemanı kaçtır?
A) 2
B) 1
C) 0
D) –1
9. SINIF MATEMATİK
E) –2
203
İşlemin Tanımı
Fonksiyon - Bölüm 05
8.
12.
•
a
b
c
x
y
z
Δ
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
a
x
y
z
a
b
c
a
b
y
z
x
b
c
a
b
b
c
d
a
c
c
b
d
b
a
c
z
x
y
c
a
b
c
x
a
b
c
x
y
z
d
d
a
b
c
e
y
b
c
a
y
z
x
e
e
b
a
e
d
z
c
a
b
z
x
y
Yukarıda işlem tablosu verilen "Δ" işlemine göre,
cn = c Δ c Δ ... Δ c olduğuna göre,
Yukarıdaki tablo ile verilen "•" işleminin birim
n tane c
elemanı nedir?
A) b
B) c
C) x
D) y
(c2 Δ e)–1
E) z
işleminin sonucu nedir?
A) a
9.
B) b
C) c
D) d
E) e
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
kümesi üzerinde “ ” işlemi aşağıdaki gibi tanımlanı-
13.
yor.
Her p, q ∈ A için,
p
q = p ve q dan büyük olmayanı
Buna göre, “ ” işleminin etkisiz elemanı nedir?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 4
E) 5
Gerçek sayılar kümesinde,
…
a
b
c
d
e
Δ
a
b
c
d
e
a
d
e
a
b
c
a
e
a
b
c
d
b
e
a
b
c
d
b
a
b
c
d
e
c
a
b
c
d
e
c
b
c
d
e
a
d
b
c
d
e
a
d
c
d
e
a
b
e
c
d
e
a
b
e
d
e
a
b
c
işlemleri tanımlanıyor.
Buna göre,
10.
[(a–1)–1 … b] Δ [(e … c) … (d–1)–1]
x ∗ y = mx + my + nxy + 2
işleminin etkisiz elemanı
2
tür.
3
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Buna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
A) a
D) 4
C) c
D) d
E) e
E) 5
14.
11.
B) b
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı,
x Δ y= x + y + 3
x∗y=x+y–4
işlemi veriliyor.
işlemine göre, tersi kendisinin 7 katına eşit olan
Buna göre, “Δ” işlemine göre, 23 ün tersi kaçtır?
eleman kaçtır?
A) 1
1.D
204
B) 2
2.E
3.C
9. SINIF MATEMATİK
C) 3
4.D
D) 4
5.E
A) 3
E) 5
6.C
7.B
8.C
9.E
B) 2
10.C
C) –3
11.A
D) –4
12.C
13.D
E) –29
14.E
Fonksiyon - Bölüm 05
İşlemin Tanımı
4.
TEST - 7
Tam sayılar kümesinde " " işlemi,
m
n=m+n+a
olarak veriliyor.
1.
" " işleminin birim elemanı 2 olduğuna göre,
Gerçek sayılarda tanımlı,
3 ün " " işlemine göre tersi kaçtır?
x ο y = x + y – xy
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
işlemine göre, tersi kendisine eşit elemanların
toplamı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
5.
2.
Gerçek sayılarda tanımlı, "ο" işlemi,
x ο y = 2x + 2y + xy + 2
Gerçek sayılarda tanımlı,
olarak tanımlanıyor.
x Δ y = x + y + axy
2 nin "ο" işlemine göre tersi olan eleman aşağı-
olarak tanımlanıyor.
dakilerden hangisidir?
2 sayısının tersi 6 olduğuna göre, a kaçtır?
1
A) −
2
3.
2
B) −
3
3
C) −
4
4
D) −
5
Tam sayılar kümesinde,
6.
x Δ y = x + y – xy
3
2
B) −
7
4
C) –1
D) –2
E) –3
Gerçek sayılar kümesi üzerinde "ο" ve "Δ" işlemleri,
xοy=x+y+3
a ∗ b = (a Δ b) Δ 2
x Δ y = x ο (y ο 4)
işlemleri veriliyor.
“∗” işleminin birim elemanı aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2
A) −
5
E) −
6
olarak tanımlanıyor.
Buna göre, "Δ" işleminin birim elemanı kaçtır?
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
A) –10
B) –8
C) –7
D) –6
9. SINIF MATEMATİK
E) –3
205
İşlemin Tanımı
7.
Fonksiyon - Bölüm 05
10.
Gerçek sayılarda tanımlı, "…" işlemi,
Gerçek sayılar kümesinde bir “∇” işlemi,
a ∇ b = a + b + 2ab
x … y = x + y + axy
kuralıyla tanımlanıyor.
olarak tanımlanıyor.
Buna göre,
3 ün "…" işlemine göre tersi olan eleman –2 oldu-
x–1 ∇ 2–1 = 1
ğuna göre, a kaçtır?
A)
1
2
B)
1
3
C)
1
4
D)
1
5
E)
1
6
eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?
A) −
11.
2
3
B) −
7
15
C) 1
D) 5
E) 7
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir “Δ” işlemi, birleşmeli ve birimli olup, her gerçek sayının “Δ” işlemine göre, bir tersi vardır.
8.
Gerçek sayılar kümesinde bir “Δ” işlemi,
1 Δ 2–1 Δ x–1 Δ 3 Δ 4–1 = 0
x Δ y = 2x + 2y + xy – k
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir?
kuralıyla tanımlanıyor.
A) 0 Δ 11 Δ 2 Δ 3–1 Δ 4
“Δ” işlemi birimli olduğuna göre, k kaçtır?
B) 1 Δ 2 Δ 3 Δ 4 Δ 0–1
A) –2
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
C) 2 Δ 3–1 Δ 1–1 Δ 4
D) 2 Δ 1–1 Δ 0 Δ 4 Δ 3–1
E) 3 Δ 4–1 Δ 0–1 Δ 1 Δ 2–1
9.
Gerçek sayılar kümesinde bir “ ” işlemi,
x
12.
R de tanımlı “ ” işlemi,
y = mx + ny + 4kxy + k
x
kuralıyla tanımlanıyor.
y = x ⋅ y – 3x – 3y + 12
biçiminde tanımlandığına göre, “ ” işleminin bi-
“ ” işlemi birimli olduğuna göre, birim eleman
rim elemanı ile tersi olmayan elemanının toplamı
ile yutan elemanın çarpımı kaçtır?
kaçtır?
A) –4
1.B
206
B) –2
2.B
C)
3.E
9. SINIF MATEMATİK
1
4
D)
4.A
1
2
5.B
E) 2
6.A
A) 3
7.E
B) 4
8.A
C) 7
9.C
10.B
D) 9
11.E
E) 12
12.C
BİLEŞKE FONKSİYON
FONKSİYONUN TERSİ
FONKSİYON - BÖLÜM 05
Örneğin,
GİRİŞ
f
A
Bir fabrikada bir malın bir makinede işlendikten sonra bir
a
1
başka makineye, oradan bir başka makinede işlenerek
çıktığına tanık oluruz. Bir mal ürün haline gelmeden önce
2
b
3
c
C
x
e
y
z
d
4
ard arda birkaç işlemden geçer.
g
B
t
e
h
Acaba bir fonksiyon bir nesneyi bir başka nesneye dönüştürürken bir başkası değişen bu nesneyi alıp başka bir
şeye dönüştürebilir mi?
Evet dönüştürülebilir. Şimdi bunun matematiksel ifadesini
tanımlanayım.
kümeleri üzerinde yukarıdaki f ve g fonksiyonları verilsin.
lım.
g: B → C
x → f(x)
B = {a, b, c, d, e}, C = {x, y, z, t, e}
h: A → C, h = gof ise h nin görüntü kümesi nedir? Bula-
TANIM
f: A → B,
A = {1, 2, 3, 4},
birer fonksiyon olsun.
h(2) = (gof)(2) = g(f(2)) = g(b) = y
x → g(x)
A
B
f
x
h(1) = (gof)(1) = g(f(1)) = g(a) = x
C
h(3) = (gof)(3) = g(f(3)) = g(c) = e
g
f(x)
g(f(x))
h
Bu iki fonksiyon yardımıyla A dan C ye bir h fonksiyonu
tanımlayalım.
h(4) = (gof)(4) = g(f(4)) = g(b) = y
Bir başka örnek daha verelim.
f(x) = x2 ve g(x) = 2 ⋅ x olsun.
(gof )( x ) = g (N
f ( x )) = g( x 2 ) = 2 ⋅ ( x 2 ) + 3 = 2 ⋅ x 2 + 3
x2
Öyle ki x ∈ A için,
h(x) = g(f(x)) ∈ C
Bir kere de (fog)(x) nedir? Ona bakalım.
h fonksiyonuna g ile f nin bileşke fonksiyonu denir ve
h = gof ile gösterilip, g bileşke f diye okunur.
Aynı olduğunu düşünüyorsanız yanılıyorsunuz.
Kısaca bu tanım bize ne demektedir? Önce f, A nın bir
elemanını B ye götürmekte, g de bu elemanı alıp C deki
bir elemana götürmektedir.
Böylece A daki bir eleman f nin ve g nin yardımıyla C deki
bir elemana gider.
( fog)( x ) = f (N
g( x )) = f (2 ⋅ x + 3) = (2 ⋅ x + 3)2
2⋅x +3
= 4 ⋅ x 2 + 12x + 9
Hemen hazinemize bu bilgiyi katalım.
9. SINIF MATEMATİK
207
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
Fonksiyon - Bölüm 05
Uyarı
f(x) = 2 ⋅ x + 1
f ile g iki fonksiyon olsun. Genelde fog ≠ gof tir. Bazı
g(x) = 3 ⋅ x – 2
özel durumlarda eşitlik sağlanabilir.
olduğuna göre, (fog)(x) ile (gof)(x) fonksiyonları sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
DNA 60
f(x) = 2 ⋅ x – 2
(fog)(x)
(gof)(x)
A)
6⋅x+3
6⋅x–1
B)
6⋅x
6⋅x
C)
6⋅x+1
6⋅x–3
D)
6⋅x+2
6⋅x+2
E)
6⋅x–3
6⋅x+1
g(x) = 5 ⋅ x + 1
olduğuna göre, (fog)(x) ile (gof)(x) fonksiyonları
sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
(fog)(x)
(gof)(x)
A)
10 ⋅ x
10 ⋅ x – 9
B)
10 ⋅ x – 9
10 ⋅ x
C)
10 ⋅ x + 1
10 ⋅ x – 1
D)
10 ⋅ x
10 ⋅ x
E)
10 ⋅ x + 9
10 ⋅ x – 8
f (x) =
x+2
3
g(x) = 3 ⋅ x – 2
olduğuna göre, (fog)(x) ile (gof)(x) fonksiyonları sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm
(fog)(x)
(gof)(x)
A)
x+3
x–1
B)
6⋅x
6⋅x
C)
x
x
D)
x–2
x+2
E)
x–3
x+1
Önce fog fonksiyonunu bulalım.
f (N
g( x )) = f (5 ⋅ x + 1) = 2 ⋅ (5 ⋅ x + 1) − 2 = 10 ⋅ x + 2 − 2 = 10 ⋅ x
5⋅x +1
Şimdi de gof fonksiyonunu bulalım.
DNA 61
f(x) = 2 ⋅ x + b
g (N
f ( x )) = g(2 ⋅ x − 2) = 5 ⋅ (2 ⋅ x − 2) + 1 = 10 ⋅ x − 10 + 1
2 x −2
g(x) = a ⋅ x + 6
fonksiyonları için (fog)(x) = (gof)(x) olduğuna göre,
= 10 ⋅ x − 9
Doğru Seçenek A
a ile b arasındaki bağıntı nedir?
A) a ⋅ b + b = 6
B) a ⋅ b – b = –6
C) a ⋅ b + b = –6
D) a ⋅ b – b = 6
E) a ⋅ b + b = 12
208
9. SINIF MATEMATİK
Fonksiyon - Bölüm 05
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
Madem "o" iki fonksiyonu bir başka fonksiyona dönüş-
Çözüm
türmektedir, o zaman "o" fonksiyonlar kümesi üzerinde
(f, g) ikilisini h gibi bir fonksiyona eşleyen özel bir işlemdir.
(fog)(x) = f(g(x)) = f(a ⋅ x + 6)
Geçen bölümde işlem konusunu görmüştük.
= 2 ⋅ (a ⋅ x + 6) + b
Acaba "o" işleminin nasıl özelikleri vardır? Bir bakalım.
= 2 ⋅ a ⋅ x + 12 + b
BİLEŞKE İŞLEMİNİN ÖZELİKLERİ
Diğer yandan,
1. Değişme Özeliği:
(gof)(x) = g(f(x)) = g(2 ⋅ x + b)
DNA 60’ta değişme özelliğinin sağlanmadığı bir örnek
= a(2 ⋅ x + b) + 6
gördük. Genel olarak fog ≠ gof dir. Yani "o" işleminin de-
=2⋅a⋅x+a⋅b+6
ğişme özeliği yoktur.
olup (fog)(x) = (gof)(x) verildiğinden,
2. Birleşme Özeliği:
2 ⋅ a ⋅ x + 12 + b = 2 ⋅ a ⋅ x + a ⋅ b + 6
f: C → D,
a⋅b–b=6
g: B → C,
h: A → B
f, g ve h fonksiyonları verilsin.
olur.
Her x ∈ A için,
Doğru Seçenek D
[(fog)oh](x) = (fog)(h(x)) = f(g(h(x))) = f((goh)(x)) = [fo(goh)](x)
olduğundan,
(fog)oh = fo(goh)
f(x) = 3x + 6
olup "o" işleminin birleşme özeliği vardır. Buradan bileş-
g(x) = a ⋅ x + b
ke işleminde (tıpkı toplamada olduğu gibi) parantezleme-
fonksiyonları için (fog)(x) = (gof)(x) olduğuna göre, a
nin bir önemi olmadığını görüyoruz.
Hemen bir örnekle birleşme özeliğini test edelim.
ile b arasındaki bağıntı nedir?
A) 3 ⋅ a – b = 6
B) 3 ⋅ a – b = 3
f(x) = 2 ⋅ x
C) 3 ⋅ a + b = 3
D) 2 ⋅ a – b = 3
olsun.
E) 3 ⋅ a – b = 2
g(x) = 3 ⋅ x + 1
h(x) = x + 2
(fog)(x) = f(g(x)) = f(3 ⋅ x + 1) = 2 ⋅ (3 ⋅ x + 1) = 6x + 2
[(fog)oh](x) = (fog)(h(x)) = (fog)(x+2) = 6(x + 2) + 2
= 6 ⋅ x + 12 + 2 = 6 ⋅ x + 14
tür.
f(x) = a ⋅ x + 2
Diğer yandan,
g(x) = 3x – b
(goh)(x) = g(h(x)) = g(x + 2) = 3 ⋅ (x + 2) + 1 = 3 ⋅ x + 7
fonksiyonları için (fog)(x) = (gof)(x) olduğuna göre,
[fo(goh)](x) = f(3 ⋅ x + 7) = 2 ⋅ (3 ⋅ x + 7) = 6 ⋅ x + 14
b – a ⋅ b kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
olup fo(goh) = (fog)oh gerçeklenir.
9. SINIF MATEMATİK
209
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
Fonksiyon - Bölüm 05
3. Birim Fonksiyon:
Sanırız, f nin bir fonksiyon iken f–1 in fonksiyon olmayan
Bu fonksiyon bize tanıdık; daha önce birim fonksiyonu ta-
bir bağıntı olduğunu farkettiniz. (Eğer hatırlamakta zorlan-
nımlamıştık. Şimdi bu fonksiyonunun "o" işleminin birimi
dıysanız hemen bir bağıntının fonksiyon olma şartlarını
olduğunu gösterelim.
tekrar gözden geçiriniz.)
I: A → A ya ve f: A → A tanımlı olsun.
Peki hangi şart veya şartlar altında bir fonksiyonun tersi
x→x
de bir fonksiyon olur?
Her x ∈ A için (I o f) = (f o I) = f eşitliğinin sağlandığını
görelim.
Yukarıda verilen örnekte eğer,
A = {–2, 0, 1,3}
(I o f)(x) = I (f(x)) = f(x)
ve
B = {0, 1, 4, 9}
olsaydı o zaman;
A
( f o I)( x ) = f ((IN
( x )) = f ( x )
x
olur.
4. Bir Fonksiyonun Tersi:
f
B
f(–2) = 4
–2
0
0
1
f(0) = 0
1
4
f(1) = 1
3
9
f(3) = 9
Bağıntı konusunu işlerken her bağıntının bir tersinin olduğunu görmüştük.
A
f–1
B
f–1(0) = 0
Her fonksiyon aslında bir bağıntı olduğundan her fonksi-
0
–2
yonun da bir tersinin olması kaçınılmaz.
1
0
f–1(1) = 1
4
1
f–1(4) = –2
9
3
f–1(9) = 3
Örneğin;
A = {–2, –1, 0, 1, 2, 3}
hem f hem de f–1 fonksiyon olurdu.
B = {0, 1, 2, 4, 9}
f: {(x, y)| y = x2, x ∈ A}
Peki ne oldu da, şimdi f nin tersi fonksiyon olabildi? f ye
fonksiyonunun tersi olan bağıntıya bakalım.
f–1
= {(x, y) | x =
y2,
x ∈ A}
dikkat edelim. f hem bire bir hem de örten bir fonksiyon.
Dolayısıyla tersi olan bağıntı f–1 fonksiyon olabildi. Bu kadar sözden sonra artık tanımı verebiliriz.
dır.
A
f
TANIM
–2
0
–1
1
0
2
1
4
2
9
3
B
f–1
f–1: B → A bağıntısına f nin ters fonksiyonu (ya da kısaca
f nin tersi) denir.
A
–2
1
–1
2
0
4
1
9. SINIF MATEMATİK
f: A → B bire bir ve örten bir fonksiyon olsun.
Böylece y = f(x) ise f–1(y) = x olur.
0
9
210
B
2
3
Not
f nin tanım kümesi = f–1 in görüntü kümesi
f–1 in tanım kümesi = f nin görüntü kümesi
olduğuna dikkat ediniz.
Fonksiyon - Bölüm 05
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
"o" işlemine göre f ile f–1 fonksiyonlarının bileşkesi ne
BİR FONKSİYONUN TERSİNİN BULUNMASI
olur?
her x ∈ A için (f–1of)(x) = f–1(f(x)) = f–1(y) = x
Fizikte, kimyada, sosyal bilimlerde birçok ilişki fonksiyonla
belirlenir.
her y ∈ B için (fof–1)(y) = f(f–1(y)) = f(x) = y
Örneğin, fizikte, bir hareketlinin hızı saatte 60 km ise, t
olur.
saat sonra; aldığı yol x(t) = 60 ⋅ t dir. Ya da, 100 metre
yükseklikten serbest düşmeye bırakılan bir cismin herhangi bir t anındaki aldığı yol h( t ) =
TANIM
1 2
gt dir. (g, yerçekimi
2
kuvveti ≅ 9,81 m/sn2)
f, A dan B ye bire bir ve örten bir fonksiyon olsun.
Bu fonksiyonlarda çoğu kere, bağlı olduğu değişken bi-
Her x ∈ A için (gof)(x) = x ve her x ∈ B için (fog)(x) = x
lindiğinde, bağımsız değişkenin ne olduğunu bulmak ge-
olacak biçimde bir g: B → A fonksiyonu varsa, g ye f fonk-
rekir.
siyonunun ters fonksiyonu, f ye de g fonksiyonunun
Örneğin, kaçıncı saniyede serbest düşmeye bırakılan bir
ters fonksiyonu denir.
f ve g birbirinin tersi olan fonksiyonlar ise bu durum f = g–1
cisim 50 metrelik yol alır?
Soru, böylece tersten sorulmuş olup, bağımsız değişkenin
bulunması gerekir.
veya g = f–1 ile gösterilir.
Ters fonksiyon bu soruyu yanıtlama ihtiyacından doğar.
Hazine 5
Oldukça basit bir gerçekten hareket edeceğiz. Nedir bu
gerçek? f eğer x sayısını y ile eşliyorsa f–1, y yi x ile eşler.
f, bire bir ve örten bir fonksiyon olsun.
(fof–1)(x) = x
(f–1of)(x) = x
(fog)–1 = g–1of–1
(f–1)–1 = f
f(x) = y ⇔ f–1(y) = x
Biraz gerilere, ilköğretim günlerimize gidelim.
"Hangi sayının iki katının 4 eksiği 8 eder?" problemini nasıl çözüyorduk? Hatırlarsanız o zamanlar soyutlama zor
olduğundan şimdi yaptığımız gibi semboller yerine ters
işlem yapardık. ☺
En son madem 4 çıkardık demek ki çıkarmadan önceki
f(a) = b ⇔ f–1(b) = a
sayımız 8 + 4 = 12. Madem ilk önce 2 ile çarptık demek
ki bulduğumuz sonucu 2 ile bölmemiz gerekiyor deyip
12 / 2 = 6 yanıtımız olurdu. Yani yaptığımız işlemleri ters
sırada ve ters işlemlerle geriye giderek sonucu bulurduk.
Uyarı
f fonksiyonunun tersi varsa biriciktir. Yani bir fonksiyonun birden fazla tersi yoktur.
Şimdi "Bir sayıyı iki katının 4 eksiğine eşleyen fonksiyonun tersi olan fonksiyon nedir?" sorusunu yanıtlayalım.
Fonksiyonumuz f(x) = 2x – 4.
9. SINIF MATEMATİK
211
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
Fonksiyon - Bölüm 05
Son yapılan işlem 4 çıkarmak olduğundan x e 4 ekleyelim
Işık 9
ve ilk işlem 2 katını almak olduğundan x + 4 ü 2 ile bölelim.
Böylece,
a,b ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere,
f −1( x ) =
x+4
2
y = f(x) = a x + b ⇔ f–1(x) =
x −b
a
dır.
olur.
Tabii ki her fonksiyonun tersini bulmak bu kadar kolay değil. Yukarıdaki örneği adım adım bir başka şeklide daha
Demek ki, her doğrusal fonksiyonun, ters fonksiyonu var-
çözelim.
dır. Bunu unutmayalım!
f(x) = y = 2 ⋅ x – 4
fonksiyonu verilmiş.
DNA 62
Bir sayıyı 4 katının 3 fazlasına eşleyen fonksiyon
y = f(x), f(x) in tersi olan fonksiyon ise f–1(x) olduğuna göre, f(x) + f–1(x) toplam fonksiyonu aşağıda-
x i y cinsinden yazalım. (Yani x i eşitliğin bir tarafında yal-
kilerden hangisidir?
A)
nız bırakalım.)
17 x + 9
4
B)
17 x
4
C)
D) x
y+4=2⋅x–4+4=2⋅x
E)
17 x − 9
4
9 x + 17
4
Her iki tarafı 2 ile bölelim.
y+4
= x = f −1( y )
2
olur.
Çözüm
y = f(x) = 4 ⋅ x + 3 olup, IŞIK 9’dan,
f −1( x ) =
x−3
4
Bir bağıntının tersi alınırken bağıntıdaki (x, y) elemanlarının, bağıntının tersinde (y, x) olarak yazıldığını biliyoruz.
buluruz.
Yani bağıntıda x ve y ler yer değiştiriyor. Burada da aynısı
f ( x ) + f −1( x ) = 4 ⋅ x + 3 +
olacak. x yerine y, y yerine de x yazalım.
x+4
= y = f −1( x )
2
olur.
212
9. SINIF MATEMATİK
x − 3 17 x + 9
=
4
4
tür.
Doğru Seçenek A
Fonksiyon - Bölüm 05
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
Çözüm
Bir sayıyı 5 katının 2 eksiğine eşleyen fonksiyon
y = f(x), f(x) in tersi olan fonksiyon ise f–1(x) olduğuna göre, f(x) – f–1(x) fark fonksiyonu aşağıdakilerden
hangisidir?
24 x + 12
A)
5
y=
a⋅x +b
⇒ y ⋅ (c ⋅ x + d) = a ⋅ x + b
c⋅x+d
y⋅c⋅x+y⋅d=a⋅x+b
24 x
B)
5
C) x
E)
D) x + 5
y ⋅ c ⋅ x – a ⋅ x = –y ⋅ d + b
24 x − 12
5
(c ⋅ y – a) ⋅ x = –y ⋅ d + b
x=
−y ⋅ d + b
c⋅y−a
x yerine y, y yerine x yazalım.
y = f −1( x ) =
olur.
−d ⋅ x + b
c⋅x−a
Bir sayıyı 2 eksiğinin yarısına eşleyen fonksiyon
Doğru Seçenek C
y = f(x), f(x) in tersi olan fonksiyon ise f–1(x) olduğuna
göre, f(x) + f–1(x) toplam fonksiyonu aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 5x – 2
B) 4x – 2
D)
C) x
5x + 2
2
E)
5x − 2
2
DNA 63’te elde ettiğimiz bilgiyi sıklıkla kullanacağız.
Bu yüzden iyi bilmeliyiz.
Işık 10
DNA 63
y = f (x) =
f (x) =
a⋅x +b
c⋅x+d
a x+b
cx + d
⇔ f −1( x ) =
−dx + b
cx − a
fonksiyonunun tersi olan fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?
a⋅x −b
A) f −1( x ) =
c⋅x−d
−a ⋅ x + b
B) f −1( x ) =
c⋅x−d
−d ⋅ x + b
C) f ( x ) =
c⋅x−a
d⋅ x − b
D) f ( x ) =
c⋅x−a
−1
−1
x − a ⋅b
E) f −1( x ) =
x −b⋅d
Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.
f (x) =
2 x −1
3x − 4
f (x) =
x +1 1 ⋅ x +1
=
2x + 3
2x + 3
⇒ f −1( x ) =
4x − 1
3x − 2
⇒ f −1( x ) =
−3 x + 1
2x − 1
9. SINIF MATEMATİK
213
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
Fonksiyon - Bölüm 05
Şimdi de, IŞIK 10’da verdiğimiz fonksiyonun tanım ve göx − 2 1⋅ x − 2
f (x) =
=
3x
3x + 0
0⋅x −2
2
⇒ f −1( x ) =
=−
3x − 1
3x − 1
rüntü kümelerini bulalım.
a, b, c ve d gerçek sayılar ve c ≠ 0 olmak üzere,
f (x) =
f (x) =
2x + 5 2 x + 5
−3 x + 5 3 x − 5
=
⇒ f −1( x ) =
=
3
0⋅x +3
0⋅x −2
2
ax + b
fonksiyonunu tanımsız yapan değer, paydacx + d
yı sıfır yapan değerdir.
cx + d = 0 ⇒ x = −
f (x) =
2
0⋅x + 2
=
x −1
x −1
⇒ f −1( x ) =
x+2 x+2
=
x−0
x
d
c
⎧d⎫
O halde, f(x) in tanım kümesi R − ⎨ ⎬ kümesidir. f(x)
⎩c ⎭
fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım. Biliyoruz ki,
f(x) in görüntü kümesi = f–1 in tanım kümesi
y = f (x) =
3⋅x
5 ⋅ x −1
f–1(x) i nasıl bulacağımızı bildiğimize göre, yukarıdaki eşit-
fonksiyonunun tersi olan fonksiyon aşağıdakilerden
liği kullanabiliriz.
hangisidir?
−dx + b
cx − a
A) f −1( x ) =
3⋅x
5⋅x +3
B) f −1( x ) =
x
5⋅x +3
f −1( x ) =
C) f −1( x ) =
−x
5⋅x +3
D) f −1( x ) =
x
1− 5 ⋅ x
cx − a = 0 ⇒ x =
E) f −1( x ) =
a
c
⎧a ⎫
f–1 in tanım kümesi = R − ⎨ ⎬ = f nin görüntü kümesi
⎩c ⎭
x
5x − 3
Buna göre, f ( x ) =
ax + b
fonksiyonu,
cx + d
⎧ d⎫
⎧a ⎫
R − ⎨− ⎬ den R − ⎨ ⎬ ye tanımlıdır.
c
⎩ ⎭
⎩c ⎭
y = f (x) =
3
x −1
Işık 11
fonksiyonunun tersi olan fonksiyon aşağıdakilerden
hangisidir?
1
A) f ( x ) =
x−3
1
B) f ( x ) =
3−x
x+3
C) f −1( x ) =
x
D) f −1( x ) =
−1
−1
E) f −1( x ) =
214
9. SINIF MATEMATİK
x
3−x
x
1 − 3x
f (x) =
ax + b
fonksiyonu,
cx + d
⎧ −d ⎫
⎧a ⎫
f : R − ⎨ ⎬ ⎯⎯→ R − ⎨ ⎬
⎩c ⎭
⎩c ⎭
ye tanımlıdır.
↓
Paydayı sıfır
↓
x li terimlerin
yapan değer
katsayılarının oranı
Fonksiyon - Bölüm 05
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
DNA 64
f: R – {a} → R – {b}
f: R – {2} → R – {1}
ax + 1
2x − b
f (x) =
f (x) =
x +1
2x − 3
fonksiyonu veriliyor.
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, f(3) kaçtır?
Buna göre, a +b toplamı kaçtır?
A) 2
B)
5
2
C) 3
D)
7
2
E) 4
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
Çözüm
IŞIK 11’e göre,
f: R –{2} → R – {1}
olduğundan x = 2 değeri paydayı sıfır yaparken; 1, x li
terimlerin katsayılarının oranıdır.
x = 2 için
2x – b = 0
Aşağıdaki f: {1, 2, 3} → {1, 2, 3} fonksiyonlarından
2⋅2–b=0
hangisinin ters fonksiyonu vardır?
b=4
Ayrıca,
DNA 65
A) f = {(1, 2), (2, 3), (3, 3)}
a
=1 ⇒ a = 2
2
B) f = {(1, 3), (2, 3), (3, 1)}
O halde,
f (x) =
C) f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1)}
2x + 1
2x − 4
D) f = {(1, 3), (2, 1), (3, 2)}
tür. x = 3 için,
E) f = {(1, 2), (2, 2), (3, 1)}
2⋅3 +1 7
f(3) =
=
2⋅3 − 4 2
Doğru Seçenek D
Çözüm
Bir fonksiyonun tersinin fonksiyon olması için, o fonksiyonun bire bir ve örten olması gerekli ve yeterlidir.
Bu koşulu sağlayan fonksiyon, D seçeneğindeki,
f: R – {1} → R – {1}
f (x) =
2x + 1
ax + b
f = {(1, 3), (2, 1), (3, 2)}
fonksiyonu veriliyor.
fonksiyonudur.
Buna göre, f(2) kaçtır?
A) 1
3
B)
2
Doğru Seçenek D
C) 2
5
D)
2
E) 3
9. SINIF MATEMATİK
215
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
Fonksiyon - Bölüm 05
Çözüm
Aşağıda verilen {a, b, c} kümesinden {a, b, c} kümesi-
IŞIK 10'a başvuralım.
ne tanımlı fonksiyonlardan hangisinin ya da hangileri-
y = f (x) =
nin tersi fonksiyondur?
ve f(x) = f–1(x) olduğundan,
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
g = {(a, b), (b, a), (c, c)}
ax + 3 2x + 3
=
⇒ a=2
x−2
x−a
h = {(a, b), (b, c), (c, c)}
A) Yalnız f
C) f ve g
B) Yalnız g
D) f ve h
ax + 3
2x + 3
⇔ f −1( x ) =
x−2
x−a
olur.
E) f, g ve h
Doğru Seçenek E
Işık 12
(fof)(x) = x ⇔ (f–1ofof)(x) = f–1(x) ⇔ f(x) = f–1(x)
Aşağıda A = {1, 2, 3} kümesinden B = {5, 6, 7} kümesine tanımlı olan fonksiyonlardan hangisi veya hangile-
IŞIK 12’ye göre DNA 66’daki f(x) = f–1(x) koşulu yerine
rinin tersi fonksiyon değildir?
(fof)(x) = x koşulu da verilseydi değişen bir şey olmazdı.
f = {(1, 5), (2, 6), (3, 7)}
g = {(1, 6), (2, 7), (3, 6)}
h = {(1, 7), (2, 5), (3, 7)}
A) Yalnız g
B) Yalnız h
D) g ve h
C) Yalnız f
E) f, g ve h
y = f (x) =
3x − 4
x+a
fonksiyonu için f(x) = f–1(x) olduğuna göre, a kaçtır?
A) –3
B) –2
C) 1
D) 2
E) 3
DNA 66
y = f (x) =
ax + 3
x−2
fonksiyonunun ters fonksiyonu kendisine eşittir.
y = f (x) =
Buna göre, a kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
fonksiyonu için (fof)(x) = x olduğuna göre, a kaçtır?
A) 2
216
9. SINIF MATEMATİK
ax + 5
bx + 1
B) 1
C) 0
D) –1
E) –2
Fonksiyon - Bölüm 05
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
f–1(h(x)) = f–1(3x + 4)
Şimdi de iki fonksiyondan herhangi biri ve bileşkesi bilindiğinde diğer fonksiyonun nasıl bulacağımıza geldi sıra.
olur.
Yani "o" işlemine göre, fog = h ile g verildiğinde f, nasıl
f −1( x ) =
bulunur?
fog = h ⇒ (fog)og–1 = hog–1
⇒
fo(gog–1) = hog–1 ⇒ f = h o g–1 dir.
g( x ) =
(3 x + 4 ) + 3
x+3
⇒ f −1(3 x + 4) =
2
2
3x + 7
2
dir.
ya da fog = h ile f verildiğinde g nasıl bulunur?
fog = h
⇒
f–1o(fog) = f–1oh
⇒ (f–1of)og = f–1 oh
(fog)(x) = 3x + 4 ten hareket edelim.
f [ g( x )] = 3 x + 4
N
⇒ g = f–1oh
f de x yerine g(x) yazalım.
tir.
f(x) = 2x – 4 olduğundan,
Hemen örnek verelim.
f[g(x)] = 2g(x) – 3 = 3x + 4
tür.
DNA 67
2g(x) = 3x + 7
(fog)(x) = 3x + 4
g( x ) =
3x + 7
2
f(x) = 2x – 3
olur.
olduğuna göre, g(x) nedir?
A) g( x ) =
3 x + 17
2
B) g( x ) =
3x + 7
2
C) g( x ) =
x+3
2
D) g( x ) =
x−4
3
E) g( x ) =
Doğru Seçenek B
3x − 7
2
Çözüm
Verilenlere bakalım.
h(x) = (fog)(x) = f(g(x)) = 3x + 4 ve
f(x) = 2x – 3
f (x) =
x −1
2
olduğuna göre, g(x) fonksiyonu nedir?
verilmiştir.
(fog)(x) = h(x) ⇒ g(x) = (f–1oh)(x)
tir.
(fog)(x) = 2x + 5
A) 4x + 9
B) 4x + 10
D) x + 2
C) 4x + 11
E) x – 2
9. SINIF MATEMATİK
217
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
Fonksiyon - Bölüm 05
Çözüm
IŞIK 13’ten x yerine, 2x –1 in tersi olan
(gof)(x) = 3x – 1
malıyız.
x +1
yi yaz2
g(x) = x – 3
2
⎛ x + 1⎞
f (x) = 4 ⋅ ⎜
⎟ + 1 = 2x + 2 + 1 = 2x + 3
⎝ 2 ⎠
olduğuna göre, f(x) fonksiyonu nedir?
A) 3x + 4
B) 3x – 2
D) 3x – 4
C) 3x + 2
E)
Doğru Seçenek D
x+4
3
Işık 13
a, b gerçek sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere,
f(ax + b) = h(x)
ifadesinden f(x) i bulmak istiyorsak, verilen ifadede
x yerine ax + b nin tersi olan
x −b
yi yazarız.
a
x −b
⎛
⎞
⎛ x −b⎞
f⎜ a ⋅
+ b⎟ = h⎜
⎟
⎝ a ⎠
a
⎝
⎠
f(2x – 3) = 6x + 4
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun kuralı nedir?
A) 3x + 13
⎛ x −b⎞
f (x) = h ⎜
⎟
⎝ a ⎠
B) 3x + 10
D) 3x – 9
C) 3x + 9
E) 3x – 10
⎛ x −b⎞
Buna göre, f (ax + b) = h( x ) ⇒ f ( x ) = h ⎜
⎟ dır.
⎝ a ⎠
Daha genel olarak, (fog)(x) = f(g(x)) ifadesinden f(x) i
bulmak istiyorsak, verilen ifadede x yerine g(x) in tersi
olan g–1(x) i yazarız.
DNA 68
f ( x + 2) =
f(2x – 1) = 4x + 1
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun kuralı nedir?
A)
x −1
4
B) 2x + 1
D) 2x + 3
218
9. SINIF MATEMATİK
C) 2x + 2
E) 2x + 4
3x − 1
x+2
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun kuralı nedir?
A)
3x − 1
x
B)
D)
3x − 1
2x
3x − 7
x
C)
E)
4x + 2
x−2
x−2
3x + 1
Fonksiyon - Bölüm 05
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
DNA 69
⎛ 1 ⎞ x −1
f⎜
⎟=
⎝ x +2⎠ x +2
⎛ x + 2 ⎞ 2x + 3
f⎜
⎟=
⎝ x − 1 ⎠ 2x + 4
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun kuralı nedir?
A)
5x + 1
6x
B)
D)
4x − 3
6x − 2
5x + 1
6x − 2
C)
E)
5x − 1
6x − 1
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun kuralı nedir?
A)
x−3
x
C) 1 – 3x
B) 3x – 1
4x + 2
6x − 3
D)
1 − 3x
4x
E)
1 − 3x
4x + 1
Çözüm
⎛ x + 2 ⎞ 2x + 3
f⎜
⎟=
⎝ x − 1 ⎠ 2x + 4
⎛ 2x − 1 ⎞
f⎜
⎟ = x +1
⎝ x+3 ⎠
ifadesinden f(x) i bulmak için, IŞIK 13’e göre, x yerine
x+2
in tersini yazmalıyız.
x −1
olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun kuralı nedir?
A)
3x + 1
2−x
B)
D)
1 ⋅x+2
x −1
x yerine
in tersi yine
x+2
dir.
x −1
2x + 3
2−x
2x − 3
x−2
C)
E)
2x + 1
x−2
3x − 1
x−2
x+2
yazalım.
x −1
⎛ x +2⎞
2x + 4
2⎜
+3
⎟+3
x −1⎠
= x −1
f (x) = ⎝
2x + 4
⎛ x +2⎞
+4
2⎜
⎟+4
x −1
⎝ x −1⎠
DNA 70
f(x) = 3x + 5
2x + 4 + 3 x − 3
5x + 1
x −1
f (x) =
=
2x + 4 + 4 x − 4
6x
x −1
(gof)(x) = 6x – 7
ise g(x) fonksiyonu nedir?
Doğru Seçenek A
A) 2x + 5
B) 2x
D) 2x – 3
C) x – 10
E) 2x – 17
9. SINIF MATEMATİK
219
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
Fonksiyon - Bölüm 05
Çözüm
DNA 71
gof = h ile f verilmiş, g isteniyor.
O halde, g =
hof–1
(fog–1)(x) = 3x – 10
dir.
f(x) = x + 3
(gof)(x) = g(f(x)) = 6x – 7 ⇒ g(3x + 5) = 6x –7
olduğuna göre, g(x) fonksiyonu nedir?
g(3x + 5) = 6x – 7 ifadesinden g(x) i bulmak istiyoruz.
Bunun için yapmamız gereken g nin içindeki 3x + 5 ten
A)
x − 13
3
B)
kurtulup, onun yerine x i elde etmektir.
D)
Bu yüzden, g(3x + 5) = 6x – 7 ifadesinde x gördüğümüz
yere 3x + 5 in tersi olan
x + 13
3
x −1
3
C) 3x – 1
E)
1
3 x − 10
x−5
yazarız.
3
Çözüm
2
x−5
⎛
⎞
⎛x−5⎞
f⎜ 3 ⋅
+ 5⎟ = 6 ⋅⎜
⎟−7
3
⎝
⎠
⎝ 3 ⎠
fog–1 = h ve f verilmiş, g istenmektedir.
g( x ) = 2x − 10 − 7
g( x ) = 2x − 17
Doğru Seçenek E
(f o g–1)(x) = 3x – 10
f ⎡⎣g−1( x )⎤⎦ = 3 x − 10
f de x yerine g–1(x) yaz
f(x) = x + 3 olduğundan,
(gof)(x) = 2x – 3
f(x) = 3x + 2
f[g–1(x)] = g–1(x) + 3 = 3x – 10
olduğuna göre, g(x) fonksiyonu nedir?
2x − 13
A)
3
2x − 12
B)
3
D) 2x – 13
olur.
x + 13
C)
2
E)
Buradan, g–1(x) = 3x – 13 olup,
x + 10
3
g( x ) =
x + 13
3
buluruz.
(fog)(x) = 4x – 2
fog–1 = h ⇒ f o g−1og = hog ⇒ f = hog dir.
g(x) = x + 2
olduğuna göre, f(x) fonksiyonu nedir?
A)
x+4
4
B) 2x – 5
D) 4x – 10
220
9. SINIF MATEMATİK
C) 4x – 5
E) 4x – 8
f(x) = x + 3 = (hog)(x) = h[g(x)] = 3g(x) – 10
⇒ g( x ) =
x + 3 + 10 x + 13
=
3
3
Fonksiyon - Bölüm 05
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
Şimdi de şu ana kadar ki bilgilerimizi kullanarak
DNA'larımızı biz çözelim, Genetik Kopya'larını siz çözünüz. ☺
(fog–1)(x) = 3x – 10 (Her iki tarafın tersini alalım)
(gof −1)( x ) =
g( f −1( x )) =
g( x − 3) =
g( x ) =
x + 10
3
DNA 72
x + 10
( f ( x ) = x + 3 ⇒ f −1( x ) = x − 3)
3
f (x) =
x + 10
(x yerine x + 3 yazalım.)
3
3x − 1
2x + 4
olduğuna göre, f–1(1) değeri kaçtır?
x + 3 + 10 x + 13
=
3
3
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Doğru Seçenek B
Çözüm
(f–1og)(x) = 2x – 1
f −1( x ) =
x−2
3
f −1( x ) =
−4 x − 1
olup,
2x − 3
olduğuna göre, g(x) fonksiyonu nedir?
A) 6x + 1
B) 6x
D)
3x + 2
3
f −1(1) =
C) 6x – 1
E)
3x − 2
2
−4 ⋅ 1 − 1 −5
=
=5
2 ⋅1− 3
−1
tir.
f (x) =
3x − 1
⎛ 3x − 1 ⎞
⇒ f −1 ⎜
⎟=x
2x + 4
4
⎠
⎝2
+
x
1
tir.
O halde,
(gof
−1
3x − 1
=1
2x + 4
x +1
)( x ) =
x−2
olmalıdır.
f(x) = x + 2
3x – 1 = 2x + 4 ⇒ x = 5
olduğuna göre, g(x) fonksiyonu nedir?
A)
x−3
x−2
B)
D)
x−2
x
2x
x+2
C)
E)
x−3
x
x+3
x
bulunur.
Doğru Seçenek D
9. SINIF MATEMATİK
221
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
Fonksiyon - Bölüm 05
Çözüm
g( x ) =
2x
3−x
f–1(2) = 7 ⇒ f(7) = 2
olduğuna göre, g–1(–1) kaçtır?
A) 3
B) 1
C) 0
O halde,
D) –2
E) –3
f (7 ) =
3 ⋅ 7 − 1 21 − 1
20
=
=
=2
7+a
7+a 7+a
10
20 = 2 (7 + a) ⇒ 10 = 7 + a
⇒
a=3
bulunur.
Doğru Seçenek C
f (x) =
x −1
x +1
f (x) =
olduğuna göre, f–1(–1) kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
2x + 1
ax − 2
f–1(1) = 3
E) 2
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
D) 2
E)
DNA 73
f (x) =
3x − 1
x+a
f (1 + x ) =
f–1(2) = 7
olduğuna göre, f–1(1) kaçtır?
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 1
222
B) 2
9. SINIF MATEMATİK
C) 3
x
1− x
D) 4
E) 5
A)
1
2
B) 1
C)
3
2
5
2
Fonksiyon - Bölüm 05
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
DNA 74
⎛x+a⎞
f⎜
⎟=x
⎝ x−3⎠
3x − 2
f ( x + 2) =
x+5
olduğuna göre,
A) 12
f–1(2) = 1
f–1(2)
B) 14
değeri kaçtır?
C) 15
D) 16
olduğuna göre, a kaçtır?
E) 18
A) –2
B) –3
D) –5
E) –6
DNA 75
Çözüm
⎛ x − 2 ⎞ x +1
f⎜
⎟=
⎝ x +2⎠ x −3
Madem
2 olmalı
f ( x + 2) =
C) –4
3x − 2
⎛ 3x − 2 ⎞
⇒ f −1 ⎜
⎟ = x+2
x+5
⎝ x+5 ⎠
olduğuna göre,
⎛ 1⎞
f ⎜ ⎟ fonksiyonunun kuralı ne⎝x⎠
dir?
3x − 2
= 2 ⇒ 3 x − 2 = 2x + 10
x+5
A)
1 − 3x
5x + 1
B)
⇒ x = 12
D)
olur.
1 − 3x
1 − 5x
3x + 1
5−x
C)
E)
2x − 3
5x − 1
3x + 1
x−5
x = 12 için,
f–1(2) = 12 + 2 = 14
Çözüm
bulunur.
Doğru Seçenek B
Öncelikle, f(x) i bulalım.
⎛ x − 2 ⎞ x +1
f⎜
⎟=
⎝ x +2⎠ x −3
ifadesinde, x yerine
sak,
f (2x − 1) =
−2x − 2 + x − 1
−2x − 2
+1
x −1
=
f (x) = x − 1
−2x − 2 − 3 x + 3
−2x − 2
−3
x −1
x −1
3x − 5
x
f (x) =
olduğuna göre, f–1(2) değeri kaçtır?
A) –5
B) 0
x−2
−2x − 2
nin tersi olan
i yazarx+2
x −1
C) 5
D) 8
E) 9
−x − 3
−5 x + 1
=
x+3
5x − 1
olur.
9. SINIF MATEMATİK
223
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
Fonksiyon - Bölüm 05
1
Şimdi f(x) ten f ⎛⎜ ⎞⎟ e geçmek için, f(x) te x gördüğümüz
⎝x⎠
yere
1
yazalım.
x
1
x
⎛ 1 ⎞ x + 3 1 + 3x
=
⋅
f⎜ ⎟ =
1
⎝x⎠
5−x
x
5 −1
x
⎛ 1 ⎞ 3x + 1
f⎜ ⎟ =
⎝x⎠ 5−x
⎛ x +1⎞ x + 2
f⎜
⎟=
⎝ x − 2 ⎠ x −1
⎛ 1⎞
olduğuna göre, f ⎜ ⎟ fonksiyonunun kuralı nedir?
⎝x⎠
A)
4x − 1
B)
2x + 1
D)
bulunur.
4−x
C)
2x + 1
4−x
E)
2x − 1
x−4
2x − 1
x+4
2x + 1
⎛ x − 2 ⎞ x +1
f⎜
⎟=
⎝ x +2⎠ x −3
eşitliğinde, direkt olarak
x−2
1
den kurtulup
e geçelim.
x+2
x
Bu yüzden “x yerine ne yazmalıyız ki
x−2
1
ifadesi
e
x+2
x
eşit olsun?” sorusuna cevap vermeliyiz.
1
i elde etmek için x yerine yazacağımız değer a olsun.
x
O halde,
a−2 1
=
⇒ ax − 2x = a + 2
a+2 x
⇒ ax − a = 2x + 2
⇒
a( x − 1 ) 2x + 2
=
x −1
x −1
2x + 2
+1
2x + 2 + x − 1
⎛ 1⎞
=
f ⎜ ⎟ = x −1
⎝ x ⎠ 2x + 2
2x + 2 − 3 x + 3
−3
x −1
⎛ 1 ⎞ 3x + 1
f⎜ ⎟ =
⎝x⎠ 5−x
buluruz.
Doğru Seçenek D
9. SINIF MATEMATİK
A)
3x + 5
B)
x−2
D)
2x + 2
Buna göre, x yerine
yazarsak,
x −1
224
⎛1 ⎞ x
f ⎜ + 1⎟ = + 3
⎝x
⎠ 2
⎛x⎞
olduğuna göre, f ⎜ ⎟ fonksiyonunun kuralı nedir?
⎝2⎠
3x − 5
x −1
6x − 5
C)
2x − 2
E)
3x − 5
x−2
6x − 5
2x − 1
Fonksiyon - Bölüm 05
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM
Buna göre,
( f + g)( −1) = fN
( −1) + g
( −1) = 0 + 2 = 2
N
(Toplama, Çıkarma, Çarpma, Bölme)
0
( f + g)(1) = fN
(1) + g
(1) = 3 + 4 = 7
N
TANIM
f: A → B
2
3
( f + g)(2) = fN
( 2) + g
(2) = 4 + ( −3) = 1
N
g: C → D
4
iki fonksiyon ve A ∩ C ≠ ∅ olsun.
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f – g)(x) = f(x ) – g(x)
4
(Toplam fonksiyonu)
(Fark fonksiyonu)
−3
f + g = {(–1, 2), (1, 7), (2, 1)}
olur.
Benzer şekilde f – g, f ⋅ g ve
f
g
fonksiyonlarını siz bulu-
nuz.
(f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x)
(Çarpım fonksiyonu)
f (x)
⎛f⎞
, g(x) ≠ 0
⎜ ⎟ (x) =
g( x )
⎝ g⎠
(Bölüm fonksiyonu)
3g(x) fonksiyonunu bulalım.
olarak tanımlanırlar.
3 ⋅ g(x) = {(–1, 2 ⋅ 3), (1, 4 ⋅ 3), (2, –3 ⋅ 3), (3, 4 ⋅ 3)}
= {(–1, 6), (1, 12), (2, –9), (3, 12)}
Bu dört işlemin tanım kümesi, f ile g nin tanım kümesinin
kesişim kümesidir. Yani A ∩ C de tanımlıdır.
Basit bir örnek verelim.
f = {(–1, 0), (0, 2), (1,3), (2,4)}
g = {(–1, 2), (1,4), (2, –3), (3, 4)}
olsun.
Bunların dışında, k sabit bir gerçek sayı olmak üzere,
k ⋅ f fonksiyonu,
DNA 76
y = f(x) = 3x – 2
(k ⋅ f)(x) = k ⋅ f(x)
olarak tanımlıdır. k ⋅ f fonksiyonunun tanım kümesi, f fonksiyonunun tanım kümesi olan A kümesidir.
y = g(x) = –x + 2
fonksiyonları için aşağıdakilerden hangisi ya da
hangileri doğrudur?
I. (f + 2g)(x) = x + 2
f nin tanım kümesi A = {–1, 0, 1, 2},
II. (f ⋅ g)(x) = –3x2 + 10x – 4
g nın tanım kümesi {–1, 1, 2, 3} olup
4
⎛ f + 3g ⎞
III. ⎜
⎟ (x) =
g
−
x
+2
⎝
⎠
A ∩ C = {–1,1, 2}
dir.
A) Yalnız I
D) I ve III
B) Yalnız II
C) Yalnız III
E) I, II ve III
9. SINIF MATEMATİK
225
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
Fonksiyon - Bölüm 05
Çözüm
I.
II.
(f + 2g)(x) = f(x) + 2g(x)
f(x) = x2
= 3x – 2 + 2(–x + 2)
g(x) = 3 – x
= 3x – 2 –2x + 4 = x + 2 (I. Doğru)
h(x) = x – x2
fonksiyonları veriliyor.
(f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x)
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri
= (3x – 2) ⋅ (–x + 2)
sabit fonksiyondur?
= –3x2 + 6x + 2x – 4
I. f + g + h
= –3x2 + 8x – 4 (II. Yanlış)
II. f + g – h
III. f – g – h
III.
f ( x ) + 3g( x )
⎛ f + 3g ⎞
⎜
⎟ (x) =
g( x )
⎝ g ⎠
=
=
=
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
3 x − 2 + 3 ⋅ ( − x + 2)
C) Yalnız III
E) II ve III
−x + 2
3x − 2 − 3x + 6
−x + 2
4
−x + 2
(III. Doğru)
Doğru Seçenek D
PERMÜTASYON FONKSİYONU
İlköğretimde gördüğümüz konulardan biri de Permütas-
f(x) = 2x + 4
yon, Türkçe anlatımıyla sıralamaydı.
g(x) = 3x – 4
fonksiyonları için aşağıdakilerden hangisi ya da han-
n tane farklı nesnenin farklı sıralamalarına, bu n tane nes-
gileri doğrudur?
nenin bir permütasyonu denir. Şimdi, permütasyon fonksi-
5
⎛ f + g⎞
I. ⎜
⎟ (x) = −
3
⎝ f −g⎠
yonunu tanımlayalım.
II. ⎛⎜ f ⋅ g ⎞⎟ ( x ) = 3 x 2 + 2x − 8
⎝ 2 ⎠
TANIM
III. ⎛⎜ g − f ⎞⎟ ( x ) = x − 8
⎝ f ⎠
2x + 4
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
226
9. SINIF MATEMATİK
Boştan farklı ve sonlu bir A kümesi verilsin.
C) Yalnız III
E) I ve III
A dan A ya tanımlanan bire bir ve örten her fonksiyona
A da bir permütasyon denir.
Fonksiyon - Bölüm 05
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
Örneğin, A = {a, b, c} kümesinde en çok kaç tane permü-
Not
tasyon fonksiyonu tanımlanabilir?
A ≠ ∅ ve A sonlu bir küme olsun. A dan A ya tanımlı her
bire bir fonksiyon, aynı zamanda örtendir ve her örten
fonksiyon da bire birdir. Dolayısıyla f, A da bir permütasyon fonksiyon ise, örtenlik ve bire birlikten sadece birinin
gerçekleşmesi, diğerinin gerçekleşmesi anlamına gelir.
Örneğin,
A = {1, 2, 3} kümesi üzerinde f: A → A fonksiyonu,
f = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)}
verilsin. f, bire birdir. (Aynı zamanda örtendir.)
⎫
⎛a b c ⎞
⎟ birim fonksiyon ⎪
Ι=⎜
⎜a b c ⎟
⎪
⎠
⎝
⎪
⎪
⎪
⎛a b c ⎞
⎟
⎪
f1 = ⎜
⎜b c a⎟
⎪
⎠
⎝
⎪
⎪
⎪
⎛a b c ⎞
⎟
f2 = ⎜
⎪
⎜c a b⎟
⎪
⎝
⎠
⎪
⎬ 3 ! = 6 tane
⎪
⎛a b c ⎞
⎪
⎟
f3 = ⎜
⎜a c b⎟
⎪
⎠
⎝
⎪
⎪
⎪
⎛a b c ⎞
⎪
⎟
f4 = ⎜
⎜b a c ⎟
⎪
⎠
⎝
⎪
⎪
⎪
⎛a b c ⎞
⎪
⎟
f5 = ⎜
⎜c b a⎟
⎪
⎠
⎝
⎭
Permütasyon fonksiyonunun bir başka gösterilimi de şöy-
PERMÜTASYON FONKSİYONLARIN BİLEŞKESİ
ledir.
Bunu bir örnekle açıklayalım.
⎛1 2 3 ⎞
⎟
f =⎜
⎜2 3 1 ⎟
⎠
⎝
A = {1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde,
Burada birinci satır x bağımsız değişkenini ikinci satır bu
x e bağlı y = f(x) değişkenini anlatır.
⎛1 2 3 4 ⎞
⎟
g=⎜
⎜3 4 2 1 ⎟
⎠
⎝
f(1) = 2
f(2) = 3
f(3) = 1
⎛1
f =⎜
⎜ 2
⎝
⎛1 2 3 4 ⎞
⎟
f =⎜
⎜2 4 1 3⎟
⎠
⎝
2
3
3⎞
⎟
1 ⎟⎠
fonksiyonları için, fog ile gof i bulalım.
⎛1 2 3 4 ⎞ ⎛1 2 3 4 ⎞
⎟
⎟o⎜
fog = ⎜
⎜2 4 1 3⎟ ⎜3 4 2 1 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
f
g
⎛1 2 3 4 ⎞
⎟
=⎜
⎜? ? ? ?⎟
⎠
⎝
Hazine 6
s(A) = n olan bir kümede tanımlanabilecek bire bir
fonksiyon sayısı n! tane olduğundan bu küme üzerinde
en çok n! tane farklı permütasyon fonksiyon tanımlanabilir.
(fog)(1) = ? (fog)(2) = ?
(fog)(3) = ? (fog)(4) = ?
Önce g nin uygulandığına dikkat edelim.
⎛1 2 3 4 ⎞ ⎛1 2 3 4 ⎞ ⎛1 2 3 4 ⎞
⎟
⎟=⎜
⎟o⎜
⎜
⎜ 2 4 1 3 ⎟ ⎜ 3 4 2 1 ⎟ ⎜1 ? ? ? ⎟
⎠
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎝
(fog)(1) = f(g(1)) = f(3) = 1
9. SINIF MATEMATİK
227
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
Fonksiyon - Bölüm 05
⎛1 2 3 4 ⎞ ⎛1 2 3 4 ⎞ ⎛1 2 3 4 ⎞
⎟
⎟=⎜
⎟o⎜
⎜
⎜ 2 4 1 3 ⎟ ⎜ 3 4 2 1 ⎟ ⎜1 3 ? ? ⎟
⎠
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎝
Çözüm
⎛a b c
⎛ a b c⎞
⎟ o ⎜
gof = ⎜
⎜b c a
⎜ a c b⎟
⎝
⎠
⎝
(fog)(2) = f(g(2)) = f(4) = 3
⎛1 2 3 4 ⎞ ⎛1 2 3 4 ⎞ ⎛1 2 3 4 ⎞
⎟
⎟=⎜
⎟o⎜
⎜
⎜ 2 4 1 3 ⎟ ⎜ 3 4 2 1 ⎟ ⎜1 3 4 ? ⎟
⎠
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛a b c ⎞
⎟
=⎜
⎜c b a⎟
⎝
⎠
(fog)(3) = (f(g(3)) = f(2) = 4
⎛ a b c⎞
⎛ a b c⎞
⎟
⎟ o ⎜
fog = ⎜
⎜ a c b⎟
⎜ b c a⎟
⎠
⎝
⎠
⎝
⎛1 2 3 4 ⎞ ⎛1 2 3 4 ⎞ ⎛1 2 3 4 ⎞
⎟
⎟=⎜
⎟o⎜
⎜
⎜ 2 4 1 3 ⎟ ⎜ 3 4 2 1 ⎟ ⎜1 3 4 2 ⎟
⎠
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎝
⎛a b c ⎞
⎟
=⎜
⎜b a c ⎟
⎠
⎝
(fog)(4) = f(g(4)) = f(1) = 2
Böylece,
⎛1 2 3 4 ⎞
⎟
fog = ⎜
⎜1 3 4 1 ⎟
⎠
⎝
Doğru Seçenek B
olur.
A = {1, 2, 3} kümesinde,
DNA 77
⎛a b c ⎞
⎟
f =⎜
⎜b c a⎟
⎠
⎝
ve
⎛a b c ⎞
⎟
g=⎜
⎜a c b⎟
⎠
⎝
fonksiyonları için gof ve fog fonksiyonları sırasıy-
⎛1 2 3 ⎞
⎟
f =⎜
⎜3 1 2⎟
⎠
⎝
⎛1 2 3 ⎞
⎟
g=⎜
⎜3 2 1 ⎟
⎠
⎝
permütasyon fonksiyonları için fog ile gof fonksiyonları sırasıyla hangi seçenekte doğru olarak verilmiştir?
la hangi seçenekte doğru olarak verilmiştir?
fog
gof
A)
⎛a b c ⎞
⎟
⎜
⎜c a b⎟
⎠
⎝
⎛a b c ⎞
⎟
⎜
⎜b a c ⎟
⎠
⎝
A)
⎛1 2 3 ⎞
⎟
⎜
⎜2 3 1 ⎟
⎠
⎝
⎛1 2 3 ⎞
⎟
⎜
⎜3 1 2⎟
⎠
⎝
B)
⎛a b c ⎞
⎟
⎜
⎜c b a⎟
⎠
⎝
⎛a b c ⎞
⎟
⎜
⎜b a c ⎟
⎠
⎝
B)
⎛1 2 3 ⎞
⎟
⎜
⎜3 1 2⎟
⎠
⎝
⎛1 2 3 ⎞
⎟
⎜
⎜2 3 1 ⎟
⎠
⎝
C)
⎛a b c ⎞
⎟
⎜
⎜a c b⎟
⎠
⎝
⎛a b c ⎞
⎟
⎜
⎜b a c ⎟
⎠
⎝
C)
D)
⎛1 2 3 ⎞
⎟
⎜
⎜1 3 2 ⎟
⎠
⎝
⎛1 2 3 ⎞
⎟
⎜
⎜3 1 2⎟
⎠
⎝
⎛a b c ⎞
⎟
⎜
⎜c b a⎟
⎠
⎝
⎛a b c ⎞
⎟
⎜
⎜c a b⎟
⎠
⎝
D)
⎛1 2 3 ⎞
⎟
⎜
⎜1 2 3 ⎟
⎠
⎝
⎛1 2 3 ⎞
⎟
⎜
⎜2 1 3⎟
⎠
⎝
E)
⎛a b c ⎞
⎟
⎜
⎜b a c ⎟
⎠
⎝
⎛a b c ⎞
⎟
⎜
⎜c a b⎟
⎠
⎝
E)
⎛1 2 3 ⎞
⎟
⎜
⎜2 1 3⎟
⎠
⎝
⎛1 2 3 ⎞
⎟
⎜
⎜1 3 2 ⎟
⎠
⎝
228
9. SINIF MATEMATİK
Fonksiyon - Bölüm 05
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
Çözüm
⎛1 2 3 4 5 ⎞
f =⎜
⎟
⎝1 4 2 5 3 ⎠
⎛1 2 3 4 5 ⎞
g=⎜
⎟
⎝2 4 5 3 1 ⎠
g yi bulmak istediğimiz için gof–1 ifadesinde f–1 den kurtulmalıyız. Bunun için,
⎛1
gof −1 = ⎜
⎝2
olduğuna göre, fog(1) kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
2
1
4⎞
⎟
3⎠
3
4
eşitliğinin her iki yanına “o f” ekleyelim.
⎛1 2 3 4 ⎞
⎟of
go f −1of = ⎜
⎜2 1 4 3⎟
⎠
⎝
⎛1 2 3 4 ⎞
⎟of
g=⎜
⎜2 1 4 3⎟
⎠
⎝
⎛1 2 3 4
g=⎜
⎜ 2 1 4 3
⎝
Işık 14
⎛ a b c d
f =⎜
⎜ b c d a
⎝
⎛1 2 3 4 ⎞
⎟
g=⎜
⎜4 3 2 1 ⎟
⎠
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
olsun.
⎛1 2 3 4 ⎞
⎞
⎟
⎟ o ⎜
⎜ 3 4 1 2 ⎟
⎟
⎠
⎝
⎠
dir.
Okların yönünü ters çevirerek f–1 fonksiyonunu buluruz.
Doğru Seçenek A
DNA 78
⎛1 2 3 4 ⎞
⎟
f =⎜
⎜3 4 1 2⎟
⎠
⎝
⎛1 2 3 4 ⎞
⎟
gof −1 = ⎜
⎜2 1 4 3⎟
⎠
⎝
olduğuna göre, g fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) ⎛ 1 2 3 4 ⎞
⎟
⎜
⎜4 3 2 1 ⎟
⎠
⎝
B) ⎛ 1 2 3 4 ⎞
⎟
⎜
⎜3 2 1 4⎟
⎠
⎝
C) ⎛ 1 2 3 4 ⎞
⎟
⎜
⎜4 2 3 1 ⎟
⎠
⎝
D) ⎛ 1 2 3 4 ⎞
⎟
⎜
⎜4 3 1 2⎟
⎠
⎝
E) ⎛ 1 2 3 4 ⎞
⎟
⎜
⎜4 2 1 3⎟
⎠
⎝
⎛x y z t ⎞
⎟
f =⎜
⎜y z t x⎟
⎠
⎝
⎛x y z t ⎞
⎟
g−1of = ⎜
⎜t z x y⎟
⎠
⎝
olduğuna göre, g fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) ⎛ x y z t ⎞
⎟
⎜
⎜z x y t⎟
⎠
⎝
B) ⎛ x y z t ⎞
⎟
⎜
⎜t x y z⎟
⎠
⎝
C) ⎛ x y z t ⎞
⎟
⎜
⎜t x z y⎟
⎠
⎝
D) ⎛ x y z t ⎞
⎟
⎜
⎜y z x t⎟
⎠
⎝
E) ⎛ x y z t ⎞
⎟
⎜
⎜t y x y⎟
⎠
⎝
9. SINIF MATEMATİK
229
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
Fonksiyon - Bölüm 05
S = {–1, 1}
⎛1 2 3 ⎞
⎟
f −1og−1 = ⎜
⎜3 1 2⎟
⎠
⎝
⎛1 2 3 ⎞
⎟
f =⎜
⎜1 3 2 ⎟
⎠
⎝
kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki fonksiyonlardan
hangisi ya da hangileri permütasyon fonksiyon değil-
olduğuna göre, g fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
dir?
f = {(x, y)| y = xx, x ∈ S}
B) ⎛ 1 2 3 ⎞
⎟
⎜
⎜3 2 1 ⎟
⎠
⎝
A) ⎛ 1 2 3 ⎞
⎟
⎜
⎜2 3 1 ⎟
⎠
⎝
D) ⎛ 1 2 3 ⎞
⎟
⎜
⎜1 3 2 ⎟
⎠
⎝
C) ⎛ 1 2 3 ⎞
⎟
⎜
⎜1 2 3 ⎟
⎠
⎝
E) ⎛ 1 2 3 ⎞
⎟
⎜
⎜2 1 3⎟
⎠
⎝
g = {(x, y)| y = x2, x ∈ S}
h = {(x, y)| y = xx+1, x ∈ S}
A) Yalnız h
B) Yalnız f
D) f ve g
C) Yalnız g
E) g ve h
DNA 79
A = {–2, –1, 0, 1}
kümesi üzerinde aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi ya da hangileri permütasyon fonksiyondur?
f = {(–2, 0), (–1, 1), (0, 1), (1, –2)}
g = {(–2, 1), (–1, –1), (0, 1), (1, –2)}
S = {x1, x2, x3}
h = {(–2, –1), (–1, 0), (0, 1), (1, –2)}
A) Yalnız f
B) Yalnız g
C) Yalnız h
E) f, g ve h
si ya da hangileri permütasyon fonksiyondur?
f(xn) =
xn ,
n tek ise
xn–1 ,
n çift ise
D) g ve h
kümesinde tanımlı, aşağıdaki fonksiyonlardan hangi-
g = {(x1, x2), (x2, x3), (x3, x3)}
Çözüm
h = {(x1, x2), (x2, x3), (x3, x1)}
Bir fonksiyon permütasyon fonksiyon ise, bire bir veya örten olması gerekli ve yeterlidir.
permütasyon fonksiyon değildir.
h ise bire bir (aynı zamanda örten) olduğundan, permütasyon fonksiyondur.
Doğru Seçenek C
9. SINIF MATEMATİK
B) Yalnız g
D) f ve h
f ve g bire bir olmadığından, (f(–1) = f(0) ve g(–2) = g(0))
230
A) Yalnız f
C) Yalnız h
E) g ve h
Fonksiyon - Bölüm 05
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
5.
TEST - 8
f: R → R+,
f(x) = 24x–3
olduğuna göre, f–1(32) değeri kaçtır?
1.
A) 5
f(x) = 2x – 3
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
(fog)(x) = 4x + 5
olduğuna göre, g(2) değeri kaçtır?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
6.
2.
f: R → R fonksiyonu,
x ≥1
ise
⎧ x −1 ,
⎪⎪
f ( x ) = ⎨ 3 x + 4, −1 < x < 1 ise
⎪ 2
x ≤ −1 ise
⎪⎩ x + 2,
f(x) = x – 2
(fog)(x) = x – 3
olduğuna göre, g(x) in eşiti aşağıdakilerden han-
olarak tanımlanıyor.
gisidir?
A) x – 3
B) x – 2
D) x + 1
3.
Buna göre, f(–1) + f(0) + f(2) toplamı kaçtır?
C) x – 1
A) –2
E) x + 2
C) 4
D) 6
E) 8
f: Z → Z fonksiyonu,
⎧ x − 1 , x tek ise
⎪
f (x) = ⎨ x
, x çift ise
⎪
⎩ 2
⎛ x + 1 ⎞ 2x + 1
f⎜
⎟=
⎝ x + 2 ⎠ x −1
7.
olarak tanımlanıyor.
olduğuna göre, f–1(5) değeri kaçtır?
Buna göre, (fofof)(10) değeri kaçtır?
A) 5
4.
B) 2
B) 4
C) 3
D) 2
A)
E) 1
1
4
B) 1
C)
3
2
3
4
D) 2
E)
D) 4
E) 8
R de tanımlı f ve g fonksiyonları bire bir ve örten
olup,
8.
(fog)(x) = f(x)
f(x) = x + 1
g(2x + 1) = (m – 2)x + n – 1
g(x) = x + 2
dir.
(f–1og)(a) = 5
Buna göre, m + n toplamının değeri kaçtır?
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 4
A) –2
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
B) 0
C) 2
9. SINIF MATEMATİK
231
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
Fonksiyon - Bölüm 05
13.
⎛ x − 1 ⎞ 2x − 1
f⎜
⎟=
⎝ x + 1⎠ x − 3
9.
f(x) = (f–1oh–1)(x)
(hof )( x ) =
olduğuna göre, f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
olduğuna göre, f–1(1) değeri kaçtır?
3x + 1
2x + 2
D)
B)
3x + 1
2 − 2x
x +1
4x − 2
C)
3x + 1
4x + 2
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E)
4
3
3x + 1
4x − 2
E)
14.
f: R – {1} → R – {2}
f (x) =
10.
2x + 1
4x − 3
ax − 3
x −b
(f–1og)(x) = x2 – 3x + 4
olduğuna göre, a ⋅ b çarpımı kaçtır?
1⎞
⎛
f ⎜ x − ⎟ = 2x + 5
⎝
2⎠
A) 0
B) 1
C) 2
D) 4
E) 7
olduğuna göre, g(4) değeri kaçtır?
A) 8
B) 10
C) 15
D) 20
E) 22
15.
11.
f(3x – 2) = 6x + 5
olduğuna göre, f(x) fonksiyonu nedir?
x değişkenine bağlı bir f fonksiyonu,
⎛a
⎞
f ⎜ + x ⎟ = 2x + a
⎝2
⎠
A)
6x + 5
3
olarak verilmiştir.
B) 2x + 9
D) 5x + 6
C) 5x – 6
E)
5x + 6
3
Buna göre, f(4) değeri kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 9
D) 12
E) 15
16.
12.
f(x) = 2x – 1
(fog)(x) = 4x + 1
f: R – {1} → R – {–3}
y = f (x) =
ax − 1
2x + b
olduğuna göre, g(x) fonksiyonu nedir?
A) 2x – 1
olduğuna göre, b – a farkı kaçtır?
A) –8
1.C
232
2.C
B) –4
3.D
9. SINIF MATEMATİK
C) 2
4.B
D) 4
5.D
6.E
D) 2x + 1
E) 6
7.E
B) 2x + 2
8.D
9.E
10.E
11.B
12.D
C) 2x – 4
E) 6x
13.C
14.C
15.B
16.D
Fonksiyon - Bölüm 05
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
(g−1of )( x ) =
5.
TEST - 9
2x − 3
3x + 2
olduğuna göre, (f–1og)(2) kaçtır?
1.
f(x) = 2x + 5
A) −
7
4
B) −
5
2
C) 0
D)
5
2
E)
7
4
g(x) = 3x – 1
olduğuna göre, (fog)(x) bileşke fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x + 5
B) 3x – 1
D) 6x + 3
C) 5x + 4
E) 6x + 14
6.
f(x – 2) = 2x + 1
g(x + 3) = 4x + 2
2.
f(x) = 2x + 1
olduğuna göre, (gof)(–1) değeri kaçtır?
(fog)(x) = x + 1
A) –2
B) –1
C) 0
D) 2
E) 3
olduğuna göre, g(x) fonksiyonu aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
x
2
x −1
2
B)
D) x
C)
x +1
2
E) x + 1
7.
f ve g fonksiyonları için,
g(x) = 2x – 2
3.
(gof)(x) = 2x – 4
g(x) = 2x + 1
olduğuna göre, f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden
(fog)(x) = 4x – 1
hangisidir?
olduğuna göre, gof(x) fonksiyonu aşağıdakiler-
A) 2x + 1
den hangisidir?
A) 8x – 6
B) 8x – 9
D) 8x – 14
D) x + 1
C) 8x – 13
8.
Gerçek sayılarda tanımlı f ve g fonksiyonları
f(x + 1) = 2x – 4
g(x) = x – 3
olduğuna göre, (fog–1)(2) kaçtır?
Buna göre, (fof)(–4) değeri kaçtır?
B) 1
E) x – 1
için,
fonksiyonu veriliyor.
A) 0
C) –x – 1
E) 6x – 14
⎧ x + 11 , x < 0 ise
⎪
y = f (x) = ⎨ x + 3
, x ≥ 0 ise
⎪
⎩x−2
4.
B) 2x – 1
C) 2
D) 3
E) 4
A) 4
B) 6
C) 8
D) 9
9. SINIF MATEMATİK
E) 10
233
Bileşke Fonksiyon - Fonksiyonun Tersi
9.
Fonksiyon - Bölüm 05
13.
f–1(x2 + 1) = 4x + 3
f(x) doğrusal fonksiyonu için,
olduğuna göre, f(7) nin değeri kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
f(2) = 3
f–1(2) = 3
E) 6
olduğuna göre, f(1) kaçtır?
A) –1
10.
f: R – {1} → R – {2}
f (x) =
14.
D)
11.
E) 4
(fog–1)(5) = 7
B)
x
x+2
C)
x+2
x
f(3) = 7
x−2
x
olduğuna göre, g(3) değeri kaçtır?
x−2
x+2
E)
A) 7
15.
f, bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,
C) 4
D) 3
E) 2
D) 20
E) 21
f(x) = 2x + 3
3x − 4
5
olduğuna göre, g(4) kaçtır?
f–1(2) = –9
A) 17
olduğuna göre, a kaçtır?
B) 3
B) 5
(g−1of )( x ) =
⎛ 3x − a ⎞ 1
f⎜
⎟=
⎝ 1− x ⎠ x
A) 6
D) 3
f ve g fonksiyonları için,
mx
2x + n
x
x−2
C) 2
Tanımlı olduğu aralıklarda bire bir ve örten olan
olduğuna göre, f–1(x) kaçtır?
A)
B) 1
C) 1
D) –3
B) 18
C) 19
E) –6
16.
f ve g gerçek sayılarda tanımlı bire bir ve örten fonksiyonlardır.
12.
f(x + 1) = g–1(x) + a
f: R → R
f (x) =
g(a) = 3
2 x − 2− x
x
2 +2
−x
f(4) = a + 2
fonksiyonu için, f–1(a) = –1 ise a kaçtır?
A) −
1.D
234
7
5
2.A
B) −
3
5
3.C
9. SINIF MATEMATİK
C) 1
4.C
D)
5.A
3
5
6.D
E)
7.E
olduğuna göre, a kaçtır?
7
5
A) –3
8.A
9.A
10.A
B) –1
11.A
C) 0
12.B
13.E
D) 1
14.B
E) 2
15.C
16.E
FONKSİYON - BÖLÜM 05
FONKSİYON GRAFİKLERİ
y
GİRİŞ
y
Şu ana kadar, fonksiyonları belirli bir kuralının verilmiş olması koşuluyla inceledik.
x
0
Örneğin,
x
0
y = f(x)
y = g(x)
f: R → R
f(x) = 2x
Yukarıdaki şekillerde y = f(x) bir fonksiyon; y = g(x) ise bir
ile tanımlanan f fonksiyonunun görevinin, bir gerçek sayıyı
fonksiyon değildir.
kendisinin iki katına dönüştürmek olduğunu çok iyi öğrendik.
Bu bölümde ise, bazı fonksiyon problemlerinin grafik yardımıyla ne kadar rahat çözülebileceğini göstereceğiz.
Sözü fazla uzatmadan konuya başlayalım.
TANIM
A ve B iki gerçek sayı kümesi ve f: A → B bir fonksiyon
DNA 80
x → f(x)
olsun.
Aşağıda verilen grafiklerden hangisi bir fonksiyo-
O zaman, her x ∈ A için f(x) ∈ B olacağını ve her (x, f(x))
ikilisine dik koordinat sisteminde bir noktanın karşılık gele-
na ait olabilir?
y
A)
y
B)
ceğini; yani birebir eşleme yapılabileceğini rahatlıkla söyleyebiliriz. İşte bu (x, f(x)) ikililerinin oluşturduğu kümeye
x
0
x
0
y = f(x) fonksiyonunun grafiği deriz.
Şimdi, fonksiyon grafiklerinin bize sağlayacağı kolaylıkları
y
C)
y
D)
sırasıyla gösterelim.
x
0
Işık 15
0
x
y
E)
Dik koordinat sisteminde verilen bir grafiğin bir y = f(x)
fonksiyonuna ait olabilmesi için, x eksenine çizilen dikme doğrularının tümünün, grafiği en çok bir noktada
0
x
kesiyor olması gerekir.
9. SINIF MATEMATİK
235
Fonksiyon Grafikleri
Fonksiyon - Bölüm 05
Çözüm
IŞIK 15’den yola çıkarak bütün seçenekleri sırasıyla in-
Aşağıda verilen grafiklerden hangisi bir fonksiyona
celeyelim.
ait olabilir?
İki noktada kesti.
x
0
y
A)
y
A)
x
0
y
y
y
E)
Fonksiyon grafiği olamaz.
x
0
Üç noktada kesti.
0
y
D)
x
0
x
x
0
Fonksiyon grafiği olamaz.
C)
B)
y
B)
x
0
y
C)
x eksenine çizilen her dikme grafiği yalnız bir noktax
0
da kesiyor.
Fonksiyon grafiği olabilir.
Aşağıda verilen grafiklerden hangisi bir fonksiyona
y
D)
ait olamaz?
İki noktada kesti.
x
0
y
A)
Fonksiyon grafiği olamaz.
x
0
y
E)
y
B)
y
C)
x
0
y
D)
İki noktada kesti.
0
x
Fonksiyon grafiği olamaz.
0
x
0
y
E)
Doğru Seçenek C
0
236
9. SINIF MATEMATİK
x
x
Fonksiyon - Bölüm 05
Fonksiyon Grafikleri
TANIM
DNA 81
Bir y = f(x) eğrisinin üzerindeki bütün noktalardan, bir
y
doğrusuna çizilen dikme ayaklarının oluşturduğu nokta,
doğru parçası, ışın veya doğruya y = f(x) in
üzerindeki
5
dik izdüşümü denir.
y = f(x)
–5
0
4
x
–2
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir.
Buna göre, f nin tanım kümesi nedir?
A) [0, 5]
B) [–2, 5]
D) [–5, 4]
C) [–4, 5]
E) [–5, 5]
Çözüm
Işık 16
IŞIK 16’dan, f nin tanım kümesini bulmak için f nin grafi-
Dik koordinat sisteminde, bir y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiş olsun.
ğinin x ekseni üzerindeki dik izdüşümünü almamız gerektiğini biliyoruz.
y
Bu fonksiyonun grafiğinin x ekseni üzerindeki dik izdüşümü f nin tanım kümesi, y ekseni üzerindeki dik izdüşümü de f nin görüntü kümesidir.
5
–5
y
0
4
x
–2
d
y = f(x)
a
b
x
c
Şu halde, f nin tanım kümesinin [–5, 4] olduğu açıktır.
Doğru Seçenek D
Şekildeki y = f(x) fonksiyonunun tanım kümesi [a, b],
görüntü kümesi ise [c, d] dir.
9. SINIF MATEMATİK
237
Fonksiyon Grafikleri
Fonksiyon - Bölüm 05
Işık 17
y
Dik koordinat sisteminde, bir y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiş olsun.
3
–6 –2
2
6
0
y eksenine çizilen dikme doğrularının her biri, f nin grafiğini en çok bir noktada kesiyorsa, o zaman, f fonksiyonu birebirdir.
x
y = f(x)
–4
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir.
Buna göre, f nin görüntü kümesi nedir?
A) [0, 3]
C) [–4, 3]
B) [–4, 0]
D) [–6, 0]
E) [–6, 6]
DNA 82
Aşağıda verilen grafiklerden hangisi birebir bir
fonksiyona aittir?
y
A)
y
B)
y
x
0
x
0
y = f(x)
4
–6
2
–5
0
4 5
y
C)
x
y
D)
–3
x
0
–6
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir.
0
y
E)
Buna göre, f nin tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
0
B) [–6, 5]
A) [–6, 4]
D) [–5, 4]
238
9. SINIF MATEMATİK
C) [0, 4]
E) [–3, 4]
x
x
Fonksiyon - Bölüm 05
Fonksiyon Grafikleri
Çözüm
Aşağıda grafiği verilen fonksiyonlardan hangisi bire-
Seçenekleri sırasıyla inceleyelim.
İki noktada kesti.
y
A)
Birebir değildir.
y
A)
x
0
İki noktada kesti.
x
0
x
x
0
Birebir değildir.
y
E)
y
C)
y
D)
0
x
0
y
C)
y
y
B)
x
0
B)
birdir?
x
0
y eksenine çizilen her dikme grafiği en çok bir noktax
0
da kesti.
Birebirdir.
Aşağıda grafiği verilen fonksiyonlardan hangisi bire-
y
D)
bir değildir?
Üç noktada kesti.
0
x
y
A)
Birebir değildir.
x
0
y
E)
y
B)
y eksenine çizilen her dik-
y
C)
x
0
y
D)
me grafiği yalnız bir nokta0
x
da kesti.
Ancak, bu grafik bir fonksiyona ait olamaz.
x
0
E)
0
x
y
Doğru Seçenek C
0
x
9. SINIF MATEMATİK
239
Fonksiyon Grafikleri
Fonksiyon - Bölüm 05
Çözüm
Işık 18
Dik koordinat sisteminde, bir y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiş olsun.
Eğer, f nin grafiği (a, b) noktasından geçiyor ise, o zaman,
f(a) = b
Hatırlatma
Dik koordinat sisteminde, bir A(a, b) noktası için, A nın
x ekseni üzerindeki dik izdüşümü a, y ekseni üzerindeki dik izdüşümü b dir.
dir.
y
a ya A noktasının apsisi, b ye de A noktasının ordiy = f(x)
b
natı denir.
y
(a, b)
0
x
a
b
A(a, b)
f(a) = b
0
x
a
Şimdi, f nin grafiği üzerindeki koordinatları bilinen noktaları yazalım.
y
(–3,0)
(0,2)
2
–4 –3
(1,0)
1 2
x
0
–2
DNA 83
(–4,–2)
IŞIK 18’den,
y
2
–4 –3
(2,–2)
1 2
x
0
f(–4) = –2
f(–3) = 0
f(0) = 2
f(1) = 0
f(2) = –2
eşitliklerini yazar ve buradan,
y = f(x)
–2
f(–4) + f(0) + f(2) = –2 + 2 + (–2)
= –2
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir.
Buna göre, f(–4) + f(0) + f(2) kaçtır?
A) –4
240
B) –2
9. SINIF MATEMATİK
C) –1
D) 0
buluruz.
Doğru Seçenek B
E) 2
Fonksiyon - Bölüm 05
Fonksiyon Grafikleri
Fonksiyon grafikleri ile işlem yaparken, nihayetinde analitik düzlemi kullandığımız için, 8. sınıfta gördüğünüz Analitik Geometri derslerinden bazı Hatırlatma’lar vermemizde
y
–1
0
fayda var.
1
3
x
y = f(x)
Hatırlatma
–2
x = k doğrusu, x ekseni üzerindeki apsisi k olan noktadan geçen ve x eksenine dik olan doğrudur. Özel
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
olarak, x = 0 doğrusu y eksenidir.
y
Buna göre, f(1) + f(3) kaçtır?
A) –2
B) –1
x=0
C) 0
D) 1
E) 2
x=4
–1
0
4
x
x = –1
y
Hatırlatma
5
y = f(x)
Bir doğrusal fonksiyonun,
1
f(x) = ax + b, a ≠ 0
3
0
4 5
2
x
biçiminde olduğunu daha önce öğrendik.
–1
f(x) = ax + b
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği göste-
⎛ b ⎞
doğrusal fonksiyonunun grafiği (0, b) ve ⎜ − , 0 ⎟ nok⎝ a ⎠
talarından geçen doğrudur.
rilmiştir.
Buna göre, f(f(0)) kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 1
D) 4
E) 5
y
b
b
a
y = f(x) = ax + b
0
x
9. SINIF MATEMATİK
241
Fonksiyon Grafikleri
Fonksiyon - Bölüm 05
Çözüm
Hatırlatma
y = t doğrusu, y ekseni üzerindeki ordinatı t olan nok-
f nin grafiği (0, 1) noktasından geçtiği için,
tadan geçen ve y eksenine dik olan doğrudur. Özel
f(0) = 1
olarak, y = 0 doğrusu x eksenidir.
dir. Dolayısıyla,
y
f [ f (k − 1)] = 1
y=3
0
3
y=0
x
–1
eşitliğinin sağlanması için,
f(k – 1) = 0
y = –1
olmalıdır.
IŞIK 19’dan,
f(x) = 0
Işık 19
denklemini sağlayan x değerlerinin, f nin grafiği ile y = 0
Dik koordinat sisteminde bir y = f(x) fonksiyonu ile bir
doğrusunun, yani x ekseninin kesişim noktalarının apsis-
y = g(x) fonksiyonunun grafikleri verilmiş olsun.
leri olacağını biliyoruz.
y
O zaman,
f(x) = g(x)
1
denklemini sağlayan x değerleri, f ile g nin grafiklerinin
–1
kesişim noktalarının apsisleridir.
DNA 84
6
2
0
(2,0)
(–1,0)
y=0
(6,0)
x
y = f(x)
Bu noktalar (–1, 0), (2, 0) ve (6, 0) olduğundan,
f(x) = 0
y
eşitliğini sağlayan x değerleri –1, 2 ve 6 dır.
Bizden k değerleri istendiği için x yerine k – 1 yazarsak,
1
–1
2
0
6
x
k – 1 = –1
⇒
k=0
k–1=2
⇒
k=3
k–1=6
⇒
k=7
y = f(x)
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gös-
olup, k nın alacağı değerler toplamını,
terilmiştir.
0 + 3 + 7 = 10
Buna göre,
buluruz.
f[f(k – 1)] = 1
eşitliğini sağlayan k değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 4
242
B) 6
9. SINIF MATEMATİK
C) 7
D) 9
E) 10
Doğru Seçenek E
Fonksiyon - Bölüm 05
Fonksiyon Grafikleri
DNA 85
y
y
y = f(x)
0
–2
2
y = f(x)
x
5
x
0
–2
y = g(x)
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği göste-
Yukarıdaki şekilde y = f(x) ile y = g(x) fonksiyonlarının
rilmiştir.
grafikleri gösterilmiştir.
Buna göre,
Buna göre, f(x) = g(x) eşitliğini sağlayan kaç değişik x değeri vardır?
f[f(k + 1)] = –2
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
eşitliğini sağlayan k değerlerinin toplamı kaçtır?
A) –1
C) 2
B) 1
D) 4
E) 5
Çözüm
Verilen şekilden f ile g nin grafiklerinin üç değişik noktada
kesiştiği görülmektedir.
IŞIK 19’dan,
f(x) = g(x)
denklemini sağlayan üç değişik x değeri olduğunu söyleriz.
Doğru Seçenek C
y
y
2
–3
2
0
y = g(x)
x
y = f(x)
y = f(x)
x
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir.
Buna göre,
Yukarıdaki şekilde y = f(x) ile y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri gösterilmiştir.
f[f(k + 4)] = 2
eşitliğini sağlayan k değerlerinin toplamı kaçtır?
A) –9
B) –7
C) –3
D) –1
E) 2
Buna göre, f(x) = g(x) denkleminin kaç değişik kökü
vardır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
9. SINIF MATEMATİK
E) 7
243
Fonksiyon Grafikleri
Fonksiyon - Bölüm 05
Çözüm
y
IŞIK 19’dan,
f(x) = x
y = f(x)
denkleminin köklerinin y = f(x) ile y = x fonksiyonlarının
x
kesişim noktalarının apsisleri olduğunu biliyoruz.
y = g(x)
y = x doğrusunun grafiğini çizelim.
y
Yukarıdaki şekilde y = f(x) ile y = g(x) fonksiyonlarının gra-
4
3
Buna göre, f(x) = g(x) eşitliğini sağlayan kaç değişik x
y = f(x)
2
değeri vardır?
A) 1
y=x
5
fikleri gösterilmiştir.
1
B) 2
D) 4
C) 3
0
E) 5
1
2
3 4
5
x
6
Bu iki grafiğin kesişim noktalarının sayısının 4 olduğu
âşikârdır.
Doğru Seçenek D
DNA 86
y
y
5
5
4
3
2
2
1
1
0
1
2
3 4
5
x
6
0
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir.
2
3 4
5
x
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği göste-
Buna göre,
f(x) = x
f(x) = x
eşitliğini sağlayan kaç değişik x değeri vardır?
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
eşitliğini sağlayan kaç değişik x değeri vardır?
A) 1
244
1
rilmiştir.
Buna göre,
A) 1
y = f(x)
4
3
y = f(x)
9. SINIF MATEMATİK
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Fonksiyon - Bölüm 05
Fonksiyon Grafikleri
DNA 87
y
y
6
6
5
y = f(x)
4
3
2
–4
1
0
1
2
3 4
5
x
5
3
–1
–2
x
6
y = f(x)
1
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği göste-
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gös-
rilmiştir.
terilmiştir.
Buna göre,
Buna göre, f(–4) + f(3) kaçtır?
A) –3
f(x) = 5 – x
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
eşitliğini sağlayan x değerleri kaç tanedir?
A) 1
C) 3
B) 2
D) 4
E) 5
Çözüm
y
Fonksiyonların tanım ve değer kümelerini işlerken, bir
fonksiyonun tanımsız olabileceği noktaların varlığını gör-
6
dük.
(–4,1)
Örneğin,
–4
x2 − 1
f (x) =
x −1
talarda tanımsız olan fonksiyonların grafiğini çizerken,
fonksiyonu tanımsız yapan x değerini apsis kabul eden
noktayı, içi boş olan küçük bir yuvarlak içine alırız.
y=
x2 – 1
x–1
5
y = f(x)
x
(3,–1)
(–4,–2)
(–4, –2) ile (3, 1) noktalarının içi boş, (–4, 1) ile (3, –1)
noktalarının içi dolu.
O halde, f(–4) = 1 ve f(3) = –1 olup,
f(–4) + f(3) = 1 + (–1) = 0
1
–1
3
–1
–2
fonksiyonu x = 1 için tanımsızdır. Bunun gibi, bazı nok-
y
(3,1)
1
0
1
x
dır.
Doğru Seçenek C
Bunu pekiştirmek için 1 tane DNA vermemiz yeterli olacaktır.
9. SINIF MATEMATİK
245
Fonksiyon Grafikleri
Fonksiyon - Bölüm 05
Işık 20
y
Dik koordinat sisteminde bir y = f(x) fonksiyonu ile bir
3
O zaman,
1
–3 –2 –1
y = g(x) fonksiyonunun grafikleri verilmiş olsun.
y = f(x)
x
2
–1
f(x) > g(x)
–3
eşitsizliğini sağlayan x değerlerinin kümesi; f nin grafi-
–4
ğinin, g nin grafiğinin üst kısmında kalan noktalarının
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir.
apsisleridir.
f(x) < g(x)
Buna göre, f(–2) + f(2) kaçtır?
A) –4
B) –1
C) 0
D) 1
E) 4
eşitsizliğini sağlayan x değerlerinin kümesi; f nin grafiğinin, g nin grafiğinin alt kısmında kalan noktalarının
apsisleridir.
y
y = g(x)
a
b
c
x
y = f(x)
Yukarıdaki f ve g fonksiyonları için;
y
(i)
4
3
f(x) > g(x)
eşitsizliğinin çözüm kümesi,
y = f(x)
2
(–∞, a) ∪ (b, c)
1
0
1
2
3 4
5
f(x) ≥ g(x)
(ii)
x
eşitsizliğinin çözüm kümesi,
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği göste-
(–∞, a] ∪ [b, c]
rilmiştir.
(iii)
Buna göre, f(1) + f(2) + f(4) kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 10
f(x) < g(x)
eşitsizliğinin çözüm kümesi,
E) 12
(a, b) ∪ (c, ∞)
f(x) ≤ g(x)
(iv)
eşitsizliğinin çözüm kümesi,
[a, b] ∪ [c, ∞)
dur.
246
9. SINIF MATEMATİK
Fonksiyon - Bölüm 05
Fonksiyon Grafikleri
DNA 88
y
y
y = f(x)
y = f(x)
y = g(x)
0 2
6
x
–4
0 1
10
5
x
y = g(x)
Yukarıdaki şekilde y = f(x) ile y = g(x) fonksiyonlarının
grafikleri gösterilmiştir.
Yukarıdaki şekilde y = f(x) ile y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri gösterilmiştir.
Buna göre,
Buna göre,
g(x) > f(x)
g(x) ≥ f(x)
eşitsizliğini sağlayan kaç değişik x tam sayısı vardır?
eşitliğini sağlayan x tamsayıları kaç tanedir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
B) 8
A) 7
C) 9
D) 10
E) 11
Çözüm
y
y = f(x)
0 2
6
y
x
y = g(x)
g nin grafiğinin, f nin grafiğinin üstünde kalan parçası işa-
a
retlenmiştir.
0
b
x
y = f(x)
y = g(x)
IŞIK 20’den,
g(x) ≥ f(x)
Yukarıdaki şekilde y = f(x) ile y = g(x) fonksiyonlarının gra-
eşitsizliğini sağlayan x değerlerinin kümesi [0, 6] bulunur.
fikleri gösterilmiştir.
[0, 6] kapalı aralığındaki tam sayılar,
Buna göre,
f(x) ≤ g(x)
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
olup, bu sayılar 7 tanedir.
Doğru Seçenek E
B) [b, ∞)
A) (–∞, a]
D) [a, b]
C) (a, b)
E) R
9. SINIF MATEMATİK
247
Fonksiyon Grafikleri
Fonksiyon - Bölüm 05
DNA 89
y
y
2
y = f(x)
–6
4
–1
x
0
0
x
3
–2
y = f(x)
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gös-
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği göste-
terilmiştir.
rilmiştir.
Buna göre, f(x) ≥ 0 eşitsizliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
A) –15
B) –11
C) –9
D) –5
Buna göre,
f(x) ≤ 0
E) 0
eşitsizliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 0
B) 1
D) 5
C) 4
E) 6
Çözüm
y = 0 doğrusunun, x ekseni olduğunu biliyoruz.
g(x) = 0 dersek, IŞIK 20’den,
f(x) ≥ g(x)
eşitsizliğini sağlayan x değerlerinin; f nin grafiğinin, g nin
grafiğinin (yani x ekseninin) üst kısmında kalan noktalarının apsisleri olduğunu söyleriz. Aradaki işaret > değil, ≥
olduğu için, buna kesişim noktalarını da dahil ederiz.
y
y
–6
4
0
4
3
y = g(x) = 0
x
2
y = f(x)
f(x) ≥ g(x) eşitsizliğini sağlayan x değerlerinin kümesi
[–6, 4] olup, bu aralıktaki tam sayıların toplamı,
–6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = –11
0
1
2
3 4
5
6
x
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir.
Buna göre,
f(x) ≥ 1
dir.
Doğru Seçenek B
eşitsizliğini sağlayan kaç değişik x tam sayısı vardır?
A) 3
248
y = f(x)
1
9. SINIF MATEMATİK
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Fonksiyon - Bölüm 05
Fonksiyon Grafikleri
DNA 90
y
y
3
y = f(x)
–4
–2 0
–5
y = f(x)
–2
0
x
3
x
5
–2
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gös-
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği göste-
terilmiştir.
rilmiştir.
Buna göre,
Buna göre,
x ⋅ f(x) > 0
x ⋅ f(x) < 0
eşitliğini sağlayan x tamsayılarının toplamı kaçtır?
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaç-
A) 5
tır?
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
A) –5
B) –4
C) –3
D) –2
E) –1
Çözüm
–⋅–=+
+⋅+=+
olduğundan, x ⋅ f(x) > 0 olması için, ya x > 0 ve f(x) > 0
veya x < 0 ve f(x) < 0 olmalıdır.
Bu ise, (x, f(x)) ikililerinin analitik düzlemde I. bölgede veya
III. bölgede olması gerektiği anlamına gelir.
y
y
y = f(x)
3
y = f(x)
–4
–2 0
0
x
5
Dolayısıyla, x ⋅ f(x) > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi,
(–4, –2) ∪ (0, 5)
x
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir.
Buna göre,
olup, bu kümedeki tam sayıların toplamı,
–3 + 1 + 2 + 3 + 4 = 7
dir.
Doğru Seçenek C
x ⋅ f(x) ≥ 0
eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) R–
B) R+
D) R \ {0}
C) R
E) R+ ∪ {0}
9. SINIF MATEMATİK
249
Fonksiyon Grafikleri
Fonksiyon - Bölüm 05
Şu ana kadar ki çözdüğümüz DNA’ların tümü, y = f(x)
fonksiyonlarına ait idi. Ancak kimi zaman, y = f(x – 1),
DNA 91
f ( x − 1)
gibi fonksiyonların gra2
fikleri verilip, bu grafikler üzerinden işlem yapmamız iste-
y
y = f(x2 + x – 1), y = x +
nebilir. Bu gibi durumlarda nasıl davranmamız gerektiğini
y = x + f(x – 1)
3
IŞIK 21 ile söyleyelim.
2
–2
0
x
4
Yukarıdaki şekilde y = x + f(x – 1) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir.
Buna göre, f(–3) + f(3) kaçtır?
A) –2
Işık 21
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
Dik koordinat sisteminde bir
y = x + f(2x – 1)
fonksiyonunun grafiği verilmiş olsun.
Eğer bu grafik A(a, b) noktasından geçiyor ise, o zaman,
a + f(2a – 1) = b
Çözüm
dir.
y
Yani, x = a için y = b dir.
(4,3)
3
y = x + f(x – 1)
2
(–2,0)
(0,2)
–2
0
4
x
y = x + f(x – 1) in grafiği (–2, 0), (0, 2), (4, 3) noktalarından
geçtiği için,
Uyarı
x = –2 için,
IŞIK 21’deki y = x + f(2x – 1) fonksiyonunu, bu IŞIK’ın
y = – 2 + f(–2 – 1) = 0
daha iyi anlaşılması için verdik.
Bunun yerine,
y = f2(x + 1)
–2 + f(–3) = 0
⇒
f(–3) = 2
x = 0 için,
y = 0 + f(0 – 1) = 2
⋅⋅⋅
y = 1 + 21x ⋅ f(x2)
⇒
gibi fonksiyonları da getirebiliriz.
250
9. SINIF MATEMATİK
⇒
f(–1) = 2
Fonksiyon - Bölüm 05
Fonksiyon Grafikleri
x = 4 için,
TANIM
y = 4 + f(4 – 1) = 3
⇒
4 + f(3) = 3
⇒
f(3) = –1
Bir A noktasının bir
doğrusu üzerindeki dik izdüşümü H
olsun.
O zaman, A nın H noktasına göre simetriği; yine A nın
olur.
doğrusuna göre, simetriğidir.
Buradan,
A
f(–3) + f(3) = 2 – 1 = 1
H
buluruz.
A¢
Doğru Seçenek D
Not
Herhangi bir eğirinin, bir
y
doğrusuna göre simetriği alı-
nırken, o eğrinin üzerindeki her bir noktanın
doğrusuna
göre simetriği alınır.
4
f
–2
2
0
x
y = f(2x – 1)
f¢
Yukarıdaki şekilde y = f(2x – 1) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir.
Buna göre, f(–5) + f(3) kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
Işık 22
Dik koordinat sisteminde bir y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiş olsun.
O zaman, y = f(x) in grafiğinin y = x doğrusuna (yani
y
8
I. açıortay doğrusuna) göre simetriği, y= f–1(x) fonksiyo-
y = f3(x)
nunun grafiğidir.
y
1
0
1 2
x
y=x
y = f(x)
y = f–1(x)
Yukarıdaki şekilde, y = f3(x) fonksiyonunun grafiği göste-
x
rilmiştir.
Buna göre, f(2) kaçtır?
1
A)
4
B) 1
Farklı bir deyişle, y = f(x) in grafiği ile y = f–1(x) in grafiği
C) 2
D) 4
E) 8
y = x doğrusuna göre simetriktir.
9. SINIF MATEMATİK
251
Fonksiyon Grafikleri
Fonksiyon - Bölüm 05
Birebir ve örten olmayan bir f fonksiyonunun grafiğinin
Çözüm
y = x doğrusuna göre simetriğini alırsak,
y = f–1(x) in grafiği (–1, 0), (0, 2) ve (6, 5) noktalarından
y
geçtiği için,
y = f–1(x)
f–1(–1) = 0
f–1(0) = 2
y = f(x)
x
f–1(6) = 5
tir.
elde edeceğimiz grafiğin bir fonksiyona ait olamayaca-
Ters fonksiyon tanımından,
f–1(6) = 5 ⇒ f(5) = 6
ğını görürüz. Böylece, “Bir f fonksiyonunun tersinin de
bir fonksiyon olabilmesi için, f birebir ve örten olmalıdır.”
olduğunu biliyoruz.
Hazine’sini grafik yardımıyla da görebileceğimizi anlarız.
Dolayısıyla,
f(5) + f–1(0) = 6 + 2 = 8
y
dir.
y = f–1(x)
Doğru Seçenek B
x
DNA 92
y
y
5
y = f–1(x)
4
y = f–1(x)
2
–1
0
6
2
x
0
6
x
–2
Yukarıdaki şekilde y = f–1(x) fonksiyonunun grafiği
gösterilmiştir.
terilmiştir.
Buna göre, f(5) + f–1(0) kaçtır?
A) 6
252
B) 8
9. SINIF MATEMATİK
Yukarıdaki şekilde, y = f–1(x) fonksiyonunun grafiği gös-
C) 9
Buna göre, f(4) kaçtır?
D) 10
E) 11
A) –2
B) 0
C) 2
D) 4
E) 6
Fonksiyon - Bölüm 05
Fonksiyon Grafikleri
Çözüm
y
Yandaki şekilde, y = f–1(x – 1)
y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin y = x doğrusuna göre
fonksiyonunun grafiği göste-
simetriğini almalıyız.
rilmiştir.
4
2
0
y = f–1(x – 1)
B) 1
A) 0
y
y = f(x)
y=x
x
4
2
Hadi alalım.
Buna göre, f(2) kaçtır?
C) 2
D) 3
E) 4
y = f–1(x)
x
0
DNA 93
Doğru Seçenek A
y
y = f(x)
y
x
0
y = f(x)
x
Yukarıdaki şekilde, y = f(x) fonksiyonunun grafiği gösterilmiştir.
Buna göre, y = f–1(x) in grafiği aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
y
A)
Buna göre, y = f–1(x) in grafiği aşağıdakilerden hangisi
y
B)
olabilir?
y = f–1(x)
y = f–1(x)
x
0
Yukarıdaki şekilde, y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
0
y
A)
y
B)
x
y = f–1(x)
y = f–1(x)
y
C)
0
D)
y = f–1(x)
0
y = f–1(x)
y = f–1(x)
y
E)
y
D)
x
0
0
x
0
y
C)
y = f–1(x)
x
x
0
y
y = f–1(x)
x
0
x
y
E)
x
y = f–1(x)
0
x
9. SINIF MATEMATİK
253
Fonksiyon Grafikleri
Fonksiyon - Bölüm 05
3.
TEST - 10
y
3
1
1.
–4
2
Aşağıda verilen grafiklerden hangisi bir fonksi-
5
x
–1
–2
yona ait olabilir?
y
A)
y = f(x)
–4
y
B)
–6
x
0
y
C)
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği
x
0
gösterilmiştir.
Buna göre, f nin görüntü kümesinde kaç tane po-
y
D)
zitif tam sayı vardır?
A) 1
x
0
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
x
0
y
E)
x
0
4.
Aşağıda grafiği verilen fonksiyonlardan hangisi
birebirdir?
y
A)
2.
y
–3
x
y = f(x)
1
–6 –4
0
x
0
4
y
B)
0
9
2
4
6
x
y
C)
y
D)
–2 –3
–5
x
0
0
Yukarıdaki şekilde, y = f(x) fonksiyonunun grafiği
gösterilmiştir.
Buna göre, f nin tanım kümesi aşağıdakilerden
y
E)
hangisidir?
A) [–5, 4]
B) (–5, 4)
D) [–6, 9]
254
9. SINIF MATEMATİK
C) [–6, 9)
E) [–4, 9]
0
x
x
Fonksiyon - Bölüm 05
Fonksiyon Grafikleri
5.
8.
y
y
7
3
3
–3
–4 –3
y = f(x)
0
2
y = f(x)
1
3
–1
2
–2 0
x
6
–3
x
8
4
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonu ile y = g(x)
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği
fonksiyonlarının grafikleri gösterilmiştir.
gösterilmiştir.
Buna göre,
f(k – 1) = 7
f(x) = g(x)
olduğuna göre, k kaçtır?
A) 6
y = g(x)
5
B) 7
eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
C) 8
6.
D) 9
E) 10
A) 2
B) 3
C) 4
9.
y
D) 5
E) 6
y
y = f(x)
–2
0
0
–2
4
x
–1
x
7
4
2
–4
y = f(x)
2
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği
Yukarıdaki şekilde, y = f(x) fonksiyonunun grafiği
gösterilmiştir.
gösterilmiştir.
Buna göre, f(4) + f(10) kaçtır?
Buna göre,
f[f(k – 1)] = 0
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
eşitliğini sağlayan k değerlerinin toplamı kaçtır?
A) –2
7.
B) –1
C) 0
D) 1
E) 3
y
10.
6
y
5
6
y = f(x)
4
3
y = f(x)
2
1
0
1
2
3 4
5
–2
x
6
0
gösterilmiştir.
A)
1
2
B)
C)
2
3
4
6
7
9
x
Yukarıdaki şekilde, y = f(x) fonksiyonunun grafiği
f(3) + f(4)
kaçtır?
f(5) + f(6)
1
3
2
–2
Yukarıdaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği
Buna göre,
3
2
gösterilmiştir.
D)
3
4
Buna göre, f(2) + f(6) + f(7) kaçtır?
E) 1
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
9. SINIF MATEMATİK
E) 8
255
Fonksiyon Grafikleri
Fonksiyon - Bölüm 05
11.
13.
y
y
y = f(x)
7
6
5
y = f(x)
4
3
y = g(x)
–4
2
1
0
1
2
3 4
5
6
x
7
x
7
3
Yukarıdaki şekilde, y = f(x) ile y = g(x) fonksiyonlarının grafikleri gösterilmiştir.
Yukarıdaki şekilde, y = f(x) fonksiyonunun grafiği
gösterilmiştir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
Buna göre,
f(x) = x
denkleminin kaç kökü vardır?
A) 3
0
B) 4
C) 5
D) 6
A) f(–3) > g(–3)
B) f(–5) < g(–5)
C) f(6) < g(6)
D) f(8) > g(8)
E) f(4) > g(4)
E) 7
14.
y
y = f(x)
12.
y
x
0
3
2
–2
0
2
Yukarıdaki şekilde, y = f(x) fonksiyonunun grafiği
x
6
gösterilmiştir.
y = f(x)
Buna göre,
Yukarıdaki şekilde, y = f(x) fonksiyonunun grafiği
x
≥0
f(x)
gösterilmiştir.
eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Buna göre, f(x) ≥ 0 eşitsizliğini sağlayan x tam
sayıları kaç tanedir?
A) 6
1.E
256
B) 7
2.C
A) R
C) 8
3.C
9. SINIF MATEMATİK
4.E
D) 9
5.D
E) 10
6.C
7.C
E) ∅
D) R+
8.D
9.E
C) R–
B) R \ {0}
10.D
11.E
12.D
13.E
14.B
SAYILAR - BÖLÜM 06
TEMEL KAVRAMLAR
En küçük ve en büyük tam sayının olmadığına dikkat edi-
GİRİŞ
niz. Tam sayıları, elemanlarının sahip olduğu özeliklere
Bu bölüme başlamadan önce ilköğretim yıllarımızdaki ma-
göre alt kümelerine ayırabiliriz. Örneğin tam sayılar kümesini işaretlerine göre alt kümelerine ayırabiliriz.
tematik derslerimize çok kısa bir dönüş yapalım. “Öğretmenim, 9. sınıfa geldik, ne gerek var?” diye düşünenler
Negatif tam sayılar kümesi = Z– = {..., –3, –2, –1}
için hemen söyleyelim: Basit yapıları bilmeden, karmaşık
İşareti olmayan sayılar kümesi = {0}
yapıları kurmak mümkün değildir. Biz de sayı kümeleri ve
Pozitif tam sayılar kümesi = Z+ = {1, 2, 3, ...}
işlemleri ile ilgili basit bilgileri tazeleyip, bunları ileride çeşitli sorularda kullanacağız.
Bu kümelere bakarak şunları söyleyebiliriz.
En küçük negatif tam sayı yoktur, en büyük negatif tam
İlköğretim yıllarımızda, saymaya 1 den başlamamız ge-
sayı –1 dir.
rektiği öğretildi. Sayabileceğimiz bir nesneler topluluğunu
1, 2, 3, ... şeklinde saymaya başladık. Bundan dolayı say-
İşareti olmayan biricik tam sayı sıfırdır.
ma sayıları kümesi dediğimizde, 1 den başlayan ve birer
En küçük pozitif tam sayı 1 dir, en büyük pozitif tam sayı
artan sayıların kümesini anlayacağız. Yani,
yoktur.
{1, 2, 3, ...}
kümesi sayma sayıları kümesidir. Buna göre, en küçük
sayma sayısı 1 dir ve en büyük sayma sayısı yoktur.
Tam sayılardaki eşitlik aksiyomları aşağıda belirtilmiştir.
A1 : Her a tam sayısı için, “a = a” dır.
A2 : Her a ve b tam sayısı için, “
“a = b” ise “b = a” dır.
Sayma sayıları kümesine, insanoğlunun keşfetmek için
binlerce yıl uğraştığı sıfırın da katılmasıyla elde edilen
sayı kümesine de doğal sayılar kümesi diyeceğiz ve N
A3 : Her a, b ve c tam sayısı için,
“a = b ve b = c” ise “a = c” dir.
ile göstereceğiz.
N = {0, 1, 2, 3, ...}
TANIM
En küçük doğal sayı 0 dır ve en büyük doğal sayı yoktur.
Her sayma sayısının, aynı zamanda bir doğal sayı oldu-
Sayıları yazmak için kullandığımız
ğuna dikkat etmişsinizdir herhalde. ☺
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Zaman içinde insanoğluna dar gelen doğal sayılar küme-
sembollerinden her birine rakam denir.
si, genişletilmiş ve bugün negatif tam sayılar olarak bil-
Buna göre, her rakam bir doğal sayıdır; fakat her doğal
diğimiz sayıların eklenmesiyle tam sayılar kümesi elde
sayı, rakam değildir.
edilmiştir. Tabii bu genişletme süreci tam sayılarda son
Örneğin,
bulmamıştır; fakat biz şimdilik tam sayılarla ilgileneceğimiz için daha fazla ilerlemeyeceğiz. Tam sayılar kümesini
Z ile göstereceğiz.
0 hem rakam hem sayıdır.
7 hem rakam hem sayıdır.
10 rakam değil, sayıdır.
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
149 rakam değil, sayıdır.
9. SINIF MATEMATİK
257
Temel Kavramlar
Sayılar - Bölüm 06
TAM SAYILARDA İŞLEMLER
DNA 1
Sayı kümeleri üzerinde tanımlanan işlemlerle, sayılar
matematikte ve günlük hayatta birçok uygulama alanı
bulmuştur. Muhtemelen en iyi bildiğimiz sayı işlemleri
dört işlem dediğimiz toplama, çıkarma, çarpma ve bölme
işlemleridir. Burada tabii ki size bu işlemlerin nasıl yapıldı-
1 + 2 – (–3) + 4 + (–5)
işleminin sonucu kaçtır?
A) –1
B) 2
C) 5
D) 11
E) 15
ğını öğretecek değiliz. ☺
Hatırlatma
Çözüm
Aynı işaretli iki sayının çarpımı pozitif,
1 + 2 – (–3) + 4 + (–5) = 1 + 2 + 3 + 4 – 5
farklı işaretli iki sayının çarpımı negatiftir.
= 10 – 5
Bu durumu sembolik olarak,
(+) ⋅ (+) = (+)
=5
(–) ⋅ (–) = (+)
Doğru Seçenek C
(+) ⋅ (–) = (–)
(–) ⋅ (+) = (–)
ile gösterebiliriz.
Buna göre, –(a), –(–a), +(–a) ifadelerini tanımlayabiliriz.
–(a) = (–1) ⋅ (a) = –a
–(–a) = (–1) ⋅ (–a) = a
+(–a) = (+1) ⋅ (–a) = –a
7 – (–2) + (–8) – (–1)
Örneğin,
–(5) = –5
–(–3) = 3
işleminin sonucu kaçtır?
A) –4
B) 0
C) 1
D) 2
E) 18
D) 2
E) 3
+(–2) = –2
DNA’lara geçmeden önce, toplama işlemi ile ilgili üç özelliği hatırlatmakta fayda var.
Hatırlatma
a, b, c üç sayı olsun.
1.
a + b = b + a (Değişme özelliği)
2.
(a + b) + c = a + (b + c) (Birleşme özelliği)
3.
a+ c =b+ c
258
ise a = b (Sadeleştirme kuralı)
9. SINIF MATEMATİK
1 + (–2) – 3 + 4 – (–1)
işleminin sonucu kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 1
Sayılar - Bölüm 06
Temel Kavramlar
DNA 1’de toplama ve çıkarma işlemleri vardı. Bir ifadede
Çözüm
toplama veya çıkarma işlemi ile birlikte çarpma veya bölme işlemi de varsa, “Önce hangi işlemi yapmalıyız?” sorusu ortaya çıkar doğal olarak. Bu soruya cevap vermek için
“işlem önceliği” geliştirilmiştir. Söz konusu “işlem önceliği”
İşlemde parantez yok. 2. adıma geçebiliriz.
Çarpma işleminin, toplama ve çıkarma işlemine göre önceliği vardır.
bu bölümdeki ilk Hazine’miz olacaktır.
2 ⋅ 3 − 4 + 5 ⋅ 6 = 6 − 4 + 30 = 2 + 30 = 32
6
30
Doğru Seçenek D
Hazine 1
İşlemde Öncelik Sırası:
Verilen bir işlemde aşağıdaki adımlar sırasıyla takip
edilir.
1.
İşlemde parantez varsa, önce parantez içindeki
ifadenin değeri hesaplanır.
2.
Çarpma / bölme işlemi, toplama / çıkarma işle-
işleminin sonucu kaçtır?
A) –3
minden önce yapılır.
3.
(–2) ⋅ 3 + 5 + (–2) ⋅ (–1)
B) –2
C) 1
D) 6
E) 9
D) 15
E) 19
Son olarak toplama / çıkarma işlemi yapılır.
Uyarı
Çarpma ile bölmeden hangisi önce ise, o işlem önce
yapılır.
1+4⋅5–2⋅3
işleminin sonucu kaçtır?
Örneğin,
A) 11
12 ÷ 2 ⋅ 3 = 6 ⋅ 3 = 18
B) 13
C) 14
12 ⋅ 2 ÷ 3 = 24 ÷ 3 = 8
DNA 3
DNA 2
((2 – 3) ⋅ 6 + 6 : 3) ⋅ 4 – 2 ⋅ 5 + 1
2⋅3–4+5⋅6
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 25
B) 28
C) 29
D) 32
E) 36
A) –25
B) –16
C) –9
D) 1
9. SINIF MATEMATİK
E) 3
259
Temel Kavramlar
Sayılar - Bölüm 06
Çözüm
DNA 4
Önceliğin parantezli ifadede olduğunu biliyoruz; fakat pa-
a ve b tam sayılardır. a ⋅ b + b ifadesinde a 1 azaltılır, b
rantezli ifade içinde başka bir parantezli ifade var. Kuralı-
1 arttırılırsa, sonuç ilk duruma göre 11 artıyor.
mız yine aynı, yani öncelik içerideki parantezindir.
Buna göre, a – b kaçtır?
A) 7
Buna göre,
B) 9
C) 10
D) 11
E) 13
((2 − 3) ⋅ 6 + 6 : 3) ⋅ 4 − 2 ⋅ 5 + 1
−1
10
= (( −1) ⋅ 6 + 6 : 3) ⋅ 4 − 10 + 1
2
−6
Çözüm
= ( −6 + 2) ⋅ 4 − 10 + 1
= ( −4) ⋅ 4 − 10 + 1
a 1 azaltıldığı için, a yerine a – 1
= −16 − 10 + 1 = −26 + 1 = −25
Doğru Seçenek A
b 1 arttırıldığı için, b yerine b + 1
yazalım. Sonucun da ilk duruma göre 11 arttığını unutmayalım.
(a – 1) ⋅ (b + 1) + (b + 1) = a ⋅ b + b + 11
⇒ a ⋅ b + a − b − 1 + b + 1 = a ⋅ b + b + 11
a – b = 11
(2 ⋅ (–2 + 8)) : 2 + 1
Doğru Seçenek D
işleminin sonucu kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
a ve b tam sayılardır. a ⋅ b – a ifadesinde a ve b 1 azaltılır1 – (2 ⋅ 3 + (4 – 2)) : (24 : 8 + 5)
sa, sonuç ilk duruma göre 5 azalıyor.
işleminin sonucu kaçtır?
A) –1
260
B) 0
9. SINIF MATEMATİK
C) 1
Buna göre, a + b kaçtır?
D) 2
E) 4
A) 2
B) 3
C) 5
D) 6
E) 7
Sayılar - Bölüm 06
Temel Kavramlar
Çözüm
IŞIK 1’i kullanalım.
a ve b tam sayılardır.
abc
a ⋅ b + b ifadesinde a ve b sayıları 1 arttırılırsa, sonuç
ilk duruma göre, kaç artar?
A) a + b
57
x
C) a ⋅ b + 1
B) a + b + 1
+
E) a ⋅ b + a + b
D) a + b + 2
+
1800
I. satır = 7 ⋅ (abc)
II. satır = 5 ⋅ (abc)
Sonuç = 7 ⋅ (abc) + 5 ⋅ (abc)
1800 12 ⋅ (abc )
=
12
12
150 = abc
Doğru Seçenek A
Işık 1
abc üç basamaklı, de iki basamaklı doğal sayılar olsun.
abc
x
de
• • •
+
• • •
I. satır
II. satır
• • • •
Sonuç
işleminde,
I. satır = e ⋅ (abc)
II. satır = d ⋅ (abc)
Sonuç = abc ⋅ de
DNA 5
abc üç basamaklı bir doğal sayıdır.
Üç basamaklı abc sayısı ile 57 sayısını çarpan bir öğrenci, işlemi aşağıdaki biçimde hatalı yapıyor.
abc
abc ile 15 sayısını çarpan bir öğrenci, işlemi aşağıdaki biçimde hatalı yapıyor.
abc
57
x
x
15
+
+
1182
1800
Buna göre, abc sayısı kaçtır?
A) 150
B) 160
C) 170
Buna göre, abc sayısı kaçtır?
D) 180
E) 190
A) 185
B) 186
C) 187
D) 196
9. SINIF MATEMATİK
E) 197
261
Temel Kavramlar
Sayılar - Bölüm 06
7 ile kaçı çarparsam, birler basa-
2
xyz üç basamaklı, ab iki basamaklı ve cdef dört basamaklı
x
17
+
61
2 3
doğal sayılardır. xyz ile ab sayısını çarpan bir öğrenci, işlemi aşağıdaki biçimde hatalı yapıyor.
xyz
mağı 4 olan bir sayı elde ederim?
3
2 de elde var. Böylece birler basamağını 6 yapmış olurum.
91
ab
x
Burası 2 olursa, sayı 223 olur.
223 ü 7 ile çarparsam 4 basamaklı bir sayı çıkar, halbuki 861
+
c d e f
üç basamaklı. Bu yüzden burası
1 olmalıdır.
cdef sayısı xyz sayısının 9 katı olduğuna göre, a + b
7 ile 123 ü çarparsam üç basa-
kaçtır?
A) 5
C) 9
B) 6
D) 15
123
E) 18
x
maklı bir sayı elde ederim.
I. satır da zaten üç basamaklı.
17
8
61
1
+ 2 3
2091
DNA 6
Doğru Seçenek C
Yandaki çarpma işlemin-
7
x
+
3
1
91
A) 1891
de, her nokta bir rakamı
göstermektedir.
Buna göre, çarpma işleminin sonucu kaçtır?
B) 1991
D) 2191
C) 2091
7
x
+
3
6
+
3
Buna göre, çarpma işleminin sonucu kaçtır?
A) 3002
B) 3012
C) 3022
D) 3032
E) 3132
1
Yandaki çarpma işleminde,
3
her nokta bir rakamı göster-
7 ile kaçı çarparsam,
birler basamağı 1 olan
bir sayı elde ederim?
1
3
3 ile kaçı çarparsam, birler basa-
7
mağı 3 olan bir sayı elde ederim?
+
9
mektedir.
1
Buna göre, çarpma işlemi-
13
nin sonucu kaçtır?
1
3 ile kaçı toplarsam, birler basa-
91
262
her nokta bir rakamı göster-
+ 2
x
x
9
mektedir.
91
1
Yandaki çarpma işleminde,
E) 2291
Çözüm
3
x
8
mağı 9 olan bir sayı elde ederim?
9. SINIF MATEMATİK
A) 3213
B) 3613
D) 4113
C) 3913
E) 4513
Sayılar - Bölüm 06
Temel Kavramlar
n ∈ Z olsun.
ÇİFT SAYILAR - TEK SAYILAR
Hazine 2’ye göre,
TANIM
2n, 4n, 16n gibi katsayısı çift olan sayılar çifttir, fakat 3n,
2 ile tam bölünebilen tam sayılara çift sayı, çift olmayan
5n, 13n gibi katsayıları tek olan sayılar tek de olabilir çift
tam sayılara da tek sayı denir.
de olabilir. Örneğin,
Çift sayılar kümesi = {..., –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, ...}
n = 1 için
3 ⋅ n = 3 Tek
Tek sayılar kümesi = {..., –5, –3, –1, 1, 3, 5, ...}
n = 2 için
3 ⋅ n = 3 ⋅ 2 = 6 Çift
Sayı doğrusu üzerinde bir çift sayıdan sonra bir tek sayı,
bir tek sayıdan sonra da bir çift sayı vardır.
olur.
Çift sayı tanımından bütün çift sayıları, n ∈ Z olmak üzere,
2n şeklinde gösterebiliriz. Sayı doğrusu üzerinde çift sayı-
–2
–1
0
1
2
Çift
Tek
Çift
Tek
Çift
ların bir önünde ve bir arkasında tek sayı olduğundan, tek
sayıları da 2n – 1 veya 2n + 1 ile gösterebiliriz.
O halde, ardışık iki tam sayıdan biri çift, biri tektir. Buna
göre, ardışık iki sayının toplamı tek, çarpımı ise çift sayıdır.
Hazine 2
DNA 7
n ∈ N+ olsun.
Tek ∓ Tek = Çift
Tek ⋅ Tek = Tek
3a + 1 tek sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden
Çift ∓ Çift = Çift
Tek ⋅ Çift = Çift
hangisi tek sayıdır?
Tek ∓ Çift = Tek
Çift ⋅ Çift = Çift
A) 6a + 4
D) a3 + a + 2
Tekn = Tek
C) a2 + a
B) a + 3
E) a – 2
Çiftn = Çift
Çözüm
Uyarı
Tek
Çift
3a + 1
3 ⋅ a
Çift
Hazine 2’yi ezbere bilmenize gerek yok.
1+1=2
→
T+T=Ç
1x1=1
→
TxT=T
2x3=6
→
bilirsiniz.
↓
↓
Tek Çift
Şıkları deneyelim.
A)
6a + 4 → Çift
Çift
ÇxT=Ç
gibi sayı değerleri vererek, eşitlikleri kendiniz elde ede-
↓
Tek
B)
↓
Çift
a + 3 → Tek
↓
Çift
↓
Tek
9. SINIF MATEMATİK
263
Temel Kavramlar
Sayılar - Bölüm 06
a2 + a = a(a + 1) → Çift
C)
Ardışık iki sayının çarpımının çift sayı olduğunu hatırlayınız.
Uyarı
a ∈ Z \ {0} iken a0 = 1 olduğunu önceden biliyoruz.
Dolayısıyla,
a3
D)
↓
Çift
+ a + 2 → Çift
↓
Çift
20 = 1
↓
Çift
40 = 1
gibi eşitlikler doğrudur.
a – 2 → Çift
E)
↓
Çift
Yani, n ∈ N ve a bir çift sayı iken, an ifadesinin daima bir
↓
Çift
çift sayı olacağını düşünmek yanlıştır.
Doğru Seçenek B
İki tek sayının toplamının bir çift sayı olduğunu, iki çift sayının toplamının da bir çift sayı olduğunu biliyoruz.
n ∈ N+ olmak üzere, 5n + 2 çift sayı olduğuna göre,
1+3=4
aşağıdakilerden hangisi tek sayıdır?
B) nn
A) n
D) 3n + 9
C) n5
2+4=6
E) n2 + n
Bu noktadan hareket ederek, toplamları çift sayı olan iki
sayının ya ikisinin birden tek, ya da ikisinin birden çift olması gerektiğini söyleyebilir miyiz?
1 3
+ =2
2 2 ↓
çift
eşitliği, bunu söyleyemeyeceğimizin açık bir kanıtıdır. İfaa ve b tam sayılardır.
denin doğru olması için “Toplamları çift sayı olan iki tam
b +1
4
sayının ya ikisi birden tek, ya da ikisi birden çifttir.” cümlesi
a=
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sa-
kullanılmalıdır.
yıdır?
TEST 1’in ikinci sorusunu çözerek bu söylediklerimizi peA) a
B) b
D) a ⋅ b + a
264
9. SINIF MATEMATİK
C) a + b
E) a ⋅ b
kiştirebilirsiniz.
Sayılar - Bölüm 06
Temel Kavramlar
4.
TEST - 1
Matematik Vadisi Yayınları’nın seçtiği a tane pilot
okulun her birinin b tane sınıfı ve bu sınıfların her birinde c tane öğrenci vardır. Bu öğrencilerin her birine
birer kitap hediye ediliyor.
1.
Hediye edilen toplam kitap sayısının tek sayı ol-
Okunuşundaki harf sayısı tek sayı olan tek sayılara
duğu bilindiğine göre, a, b ve c sırasıyla aşağıda-
sempatik sayı denir.
kilerden hangisi olabilir?
Yukarıda verilen tanıma göre, iki basamaklı en
büyük sempatik sayı kaçtır?
A) 99
2.
B) 97
C) 95
A) 13, 21, 18
D) 93
E) 91
Aşağıda verilen önermelerden hangisi doğru-
B) 15, 20, 15
D) 100, 18, 21
5.
C) 23, 23, 12
E) 47, 17, 19
Taylan’a bir yarışma programında üç değişik doğal
sayının çarpımının sonucu söylenmiş ve bu sayılar-
dur?
dan en küçüğünün tek mi, çift mi olduğu sorulmuş-
A) Çarpımları tek sayı olan iki sayının toplamları çift
tur.
sayıdır.
Taylan başka bir bilgiye ihtiyaç duymadan soru-
B) Toplamları çift sayı olan iki sayının karelerinin
yu çözdüğüne göre, bu üç tam sayının çarpımı
toplamı da çift sayıdır.
aşağıdakilerden hangisi olamaz?
C) Toplamları tek sayı olan iki sayının çarpımları çift
A) 6
sayıdır.
B) 8
C) 15
D) 77
E) 144
D) Çarpımları çift sayı olan iki sayıdan en az biri çift
sayıdır.
E) Çarpımları çift sayı olan iki sayının toplamları tek
sayı olabilir.
6.
a tane tek sayının toplamı, b tane çift sayının toplamına eşittir. a tane çift sayının toplamı da b tane tek
sayının toplamına eşittir.
Buna göre, a ⋅ b çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?
3.
A) 30
Ahmet, okuldan eve gidiyor, daha sonra evden okula
B) 45
C) 84
D) 90
E) 95
D) 3
E) 4
gidiyor, sonra tekrar okuldan eve gidiyor ve bu işlemi
bir süre tekrarladıktan sonra evde kalıyor ve okula
gitmiyor.
Ahmet’in okulu ile evi arasındaki uzaklık 1 km
olduğuna göre, Ahmet harekete başladığı andan
7.
1 – (1 ⋅ 2 – (3 + 3 : 3))
son ana kadar toplam kaç km yürümüş olabilir?
işleminin sonucu kaçtır?
A) 17
A) 0
B) 18
C) 22
D) 32
E) 40
B) 1
C) 2
9. SINIF MATEMATİK
265
Temel Kavramlar
8.
Sayılar - Bölüm 06
11.
3 + 4 ⋅ 5 – 4 : 4 + (–21) – (–4)
kullanan bir hastanın bir haftada kullandığı ilaç
işleminin sonucu kaçtır?
A) 47
B) 39
n ∈ N+ olmak üzere, günde n2 + n + 1 tane ilaç
sayısı kaç olabilir?
C) 5
D) 1
E) 0
A) 7
B) 14
C) 24
D) 42
E) 49
“ (i)
(ii) dır.”
............, .............
9.
önermesinde (i) olan yere, (ii) nin harf sayısı yazıldı-
12.
ğında önerme doğru olmaktadır.
n, m ∈ N+ olmak üzere, n sayısının m katı, n sayısının 2 katının bir fazlasına eşittir.
Buna göre, (ii) olan yere aşağıdakilerden hangisi
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
getirilemez?
A) tek sayı
A) n ⋅ m çifttir.
B) m çifttir.
B) çift sayı
C) n çifttir.
D) n ve m tektir.
C) asal sayı
E) n tek, m çifttir.
D) rakam
E) otuz üçten küçük olan en büyük tam sayı
10.
n, çift sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden han-
13.
gisi kesinlikle çifttir?
A)
n ∈ N+ olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çifttir?
nn
2⋅n
B) (n – 1) ⋅ (n + 1)
C) 3n + 2n
D) 4n + n2
A) n4 + 4n
B) 3n + 12
C) nn+ n
D) n2 + 3n + 1
E) 1 – n
1.A
266
2.E
3.A
9. SINIF MATEMATİK
4.E
E) 5n – 8
5.E
6.C
7.D
8.C
9.C
10.D
11.E
12.D
13.C
SAYILAR - BÖLÜM 06
EN BÜYÜK - EN KÜÇÜK DEĞER BULMA
Toplamları sabit olan iki doğal sayının çarpımlarının en
DNA 8
büyük veya en küçük olabilmesi için hangi koşulların sağlanması gerektiğini araştırarak bu bölüme başlayalım. Bir
a ve b birbirinden farklı iki doğal sayı olmak üzere,
fikir vermesi açısından, aşağıdaki problemi çözelim.
a + b = 18
olduğuna göre, a ⋅ b nin alabileceği en büyük değer en küçük değerden kaç fazladır?
Problem:
İki doğal sayının toplamı 11 iken çarpımının en büyük
A) 81
B) 80
C) 64
D) 63
E) 52
veya en küçük değeri kaçtır?
Çözüm
a + b = 18
Çözüm:
Çarpımın en küçük olması için,
a + b = 11
a = 0, b = 18 ⇒ a ⋅ b = 0
0
11
⇒
a⋅b=0
1
10
⇒
a ⋅ b = 10
2
9
⇒
a ⋅ b = 18
3
8
⇒
a ⋅ b = 24
4
7
⇒
a ⋅ b = 28
5
6
⇒
a ⋅ b = 30
Çarpımın en büyük olması için a ve b nin birbirine en yakın olması gerekir. Fakat sayılar birbirinden farklı olduğu
için a ve b yi eşit olarak alamayız. Buna göre,
a = 10, b = 8 ⇒ a ⋅ b = 80
dir.
Buradan,
80 – 0 = 80
bulunur.
olur.
Doğru Seçenek B
Farkettiğiniz gibi sayılar arasındaki fark en büyükken çarpım en küçük, sayılar arasındaki fark en küçükken çarpım
en büyük çıktı. Şimdi IŞIK’ın tam zamanı...
a ve b birer pozitif tamsayı olmak üzere,
Işık 2
a + b = 2k
Toplamları sabit olan iki doğal sayının çarpımlarının
olduğuna göre, a ⋅ b nin alabileceği en büyük değer
en büyük olması için sayıların birbirine en yakın hatta
aşağıdakilerden hangisidir?
mümkünse eşit, çarpımlarının en küçük olması için sayıların birbirine en uzak olması gerekir.
A) k2
B)
k2
2
C)
k2
4
D)
k2
8
9. SINIF MATEMATİK
E)
k2
16
267
En Büyük - En Küçük Değer Bulma
Sayılar - Bölüm 06
DNA 9
Bir sınıfta 2x + 6 tane öğrenci vardır. Bu öğrencilerin her-
a ve b birer doğal sayı olmak üzere,
birine 10 – 2x tane kalem dağıtılacaktır.
a ⋅ b = 40
Buna göre, en çok kaç tane kalem dağıtılır?
A) 81
C) 64
B) 72
D) 63
olduğuna göre, a + b nin en küçük değeri kaçtır?
E) 60
A) 41
B) 24
C) 14
D) 13
E) 10
Çözüm
IŞIK 3’ten, a ile b yi birbirine mümkün olduğunca yakın
seçmeliyiz.
a = 8, b = 5 veya a = 5, b = 8
Şimdi de çarpımları sabit olan iki doğal sayının toplamlarının en küçük veya en büyük değerini alabilmesi için hangi
için istenen şart gerçeklenir.
şartların sağlanması gerektiğini araştıralım.
Çarpımları 12 olan iki doğal sayının toplamlarının en bü-
min(a + b) = 5 + 8 = 13
tür.
Doğru Seçenek D
yük veya en küçük değerini bulalım.
a ⋅ b = 12
1
12
⇒
a + b = 13
2
6
⇒
a+b=8
3
4
⇒
a+b=7
a ve b birer doğal sayı olmak üzere,
a ⋅ b = 24
olduğuna göre, a + b nin en büyük değeri, en küçük
Sayılar arasındaki fark en büyükken toplamları en büyük,
değerinden kaç fazladır?
sayılar arasındaki fark en küçükken toplamları en küçük
A) 20
B) 16
C) 15
D) 14
E) 2
çıktı.
Bunu farkettiğimize göre, üçüncü IŞIK’ımızı verebiliriz.
Işık 3
Çarpımları sabit olan iki doğal sayının toplamlarının en
büyük olması için sayıları birbirine en uzak, toplamla-
Çarpımları 144 olan iki pozitif tam sayının toplamının
rının en küçük olması için sayıları birbirine en yakın,
en küçük değeri kaçtır?
mümkünse eşit seçmeliyiz.
A) 24
268
9. SINIF MATEMATİK
B) 25
C) 27
D) 30
E) 32
Sayılar - Bölüm 06
En Büyük - En Küçük Değer Bulma
Uyarı
Bu tip sorularda, doğal sayı, tam sayı, ... gibi ifadelere
İki farklı tam sayının toplamı –25 olduğuna göre, çar-
dikkat etmeliyiz.
pımlarının en büyük değeri kaçtır?
A) 160
C) 156
B) 158
D) 154
E) 150
DNA 10
Çarpımları 50 olan iki tam sayının toplamı en az
kaçtır?
A) –55
DNA 11
B) –51
C) –27
D) 15
E) 27
a, b ve c tam sayılardır.
a ⋅ b = 24
b ⋅ c = 36
Çözüm
olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük değeri kaçtır?
a ⋅ b = 50
verilip, soruda tam sayı denildiği için, bu iki sayının top-
A) –62
B) –61
C) –23
D) –17
E) –12
lamının en az olması sayıların negatif seçilmesini gerektirir.
Çözüm
a ⋅ b = 50
–1
–50
⇒
a + b = –51
–2
–25
⇒
a + b = –27
–5
–10
⇒
a + b = –15
a ⋅ b = 24
b ⋅ c = 36
a, b ve c tam sayılar olduğuna göre, a + b + c nin en küçük
olması için negatif tam sayıları seçmeliyiz.
Burada toplamlarının en küçük değeri –51 dir.
İşe her iki denklemde ortak olan b ile başlamalıyız.
Doğru Seçenek B
b = –1 olmalıdır. Çünkü bu durumda a ve c en küçük değerleri alırlar.
b = –1
⇒
a = –24
b = –1
⇒
c = –36
olup, a + b + c nin en küçük değeri,
–24 – 36 – 1 = –61
a ve b birer tam sayıdır.
a ⋅ b = 45
bulunur.
olduğuna göre, a + b nin en küçük değeri kaçtır?
A) –46
B) –18
C) –14
D) 14
Doğru Seçenek B
E) 18
9. SINIF MATEMATİK
269
En Büyük - En Küçük Değer Bulma
Sayılar - Bölüm 06
Çözüm
8 6 2
+ +
a b c
a, b ve c tam sayılardır.
a⋅b=6
toplamının en küçük olması için a, b ve c tam sayılarını
b ⋅ c = 12
olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük değeri
kaçtır?
negatif seçmeliyiz.
a = –1 olmalıdır.
A) –19
B) –18
C) –12
D) 8
E) 9
b = –2 seçebilirdik.
Fakat c sadece –1 ve –2 değerlerini alabileceğinden
b = –3, c = –2 seçmeliyiz. Aksi halde, c = a olur ve istenen
şart sağlanmaz.
Buradan,
8
6
2
+
+
= −8 − 2 − 1 = −11
−1 −3 −2
bulunur.
a, b, c ve d tam sayılardır.
Doğru Seçenek D
a⋅b=4
a⋅c=6
a ⋅ d = 10
olduğuna göre, a + b + c + d toplamının en küçük değeri kaçtır?
B) –21
A) –24
C) –19
D) 10
E) 12
x, y, z birbirinden farklı tam sayılardır.
9 6 4
+ +
Buna göre,
toplamının en büyük tam sayı
x y z
değeri kaçtır?
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
DNA 12
a, b, c birbirinden farklı tam sayılardır.
8 6 2
+ +
a b c
x, y, z birbirinden farklı rakamlardır.
x+
toplamının alabileceği en küçük tamsayı değeri
kaçtır?
A) –15
B) –13
C) –12
D) –11
E) –9
olduğuna göre, x + y + z nin en büyük değeri kaçtır?
A) 20
270
9. SINIF MATEMATİK
y
=8
z
B) 19
C) 18
D) 17
E) 16
Sayılar - Bölüm 06
En Büyük - En Küçük Değer Bulma
DNA 13
x 12
=
=K
4
y
a, b, c birer tam sayıdır.
4 b
= =c
a 7
eşitliğinde K mümkün olan en büyük negatif tam sayı-
olduğuna göre, c nin en büyük değeri için a + b + c
A) –48
toplamı kaçtır?
A) 36
B) 35
ya eşit olduğunda x ⋅ y kaç olur?
C) 34
D) 33
B) –24
C) 0
E) 48
D) 24
E) 32
Çözüm
Elemanları tam sayılar olan bir kümenin en büyük ve en
küçük elemanlarını bulmak çok kolaydır.
4 b
= =c
a 7
{10, 11, 12, ..., 99}
eşitliğinde c nin en büyük olması için a = 1 seçilmelidir.
a =1 ⇒
4 b
4 4
=
⇒ b = 28 ve c = = = 4
1 7
a 1
kümesinin en küçük elemanının 10, en büyük elemanının
ise 99 olduğu âşikârdır.
İşte “{10, 11, ..., 99} kümesinin en küçük elemanı kaçtır?”
sorusu, bu bölümde “İki basamaklı en küçük doğal sayı
kaçtır?” olarak karşımıza çıkacaktır.
olup,
DNA çözümlerinde rahat etmeniz için aşağıdaki örnekleri
a + b + c = 1 + 28 + 4 = 33
dikkatle inceleyiniz.
bulunur.
Doğru Seçenek D
•
İki basamaklı en küçük sayı –99 dur.
•
İki basamaklı ve rakamları farklı en küçük sayı –98 dir.
•
Üç basamaklı en küçük doğal sayı 100 dür.
•
Üç basamaklı en büyük sayı 999 dur.
•
Üç basamaklı ve rakamları farklı en büyük sayı 987 dir.
Şimdi DNA zamanı!
DNA 14
a, b, c birer tam sayıdır.
İki basamaklı rakamları farklı en küçük tam sayı
ile üç basamaklı en büyük çift tam sayının toplamı
a 4
= =c
9 b
kaçtır?
olduğuna göre, c nin en küçük değeri için a + b + c
toplamı kaçtır?
A) –43
B) –42
C) –41
D) –39
E) –36
A) 1008
B) 996
D) 900
C) 966
E) 856
9. SINIF MATEMATİK
271
En Büyük - En Küçük Değer Bulma
Sayılar - Bölüm 06
Çözüm
Çözüm
İki basamaklı rakamları farklı en küçük tamsayı –98 ve üç
Soruda bu sayıların en küçüğü sorulduğuna göre, diğerleri
basamaklı en büyük çift tam sayı 998 dir.
en büyük seçilmelidir.
987
998 – 98 = 900
986
3091
985
– 2958
2958
133
bulunur.
+
Doğru Seçenek D
olur.
Fakat rakamları farklı olmadığından, cevap 133 olmaz.
133 ten büyük ve rakamları farklı en küçük sayıyı bulmalıyız. Bu sayı 134 tür.
Üç basamaklı rakamları farklı en küçük doğal sayı ile
Doğru Seçenek B
iki basamaklı en küçük tam sayının farkı kaçtır?
A) 201
B) 200
C) 100
D) 3
E) 2
Birbirinden farklı üç basamaklı dört pozitif tam sayının
toplamı 845 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü en
çok kaç olabilir?
İki basamaklı rakamları farklı en büyük doğal sayı ile
A) 543
B) 542
C) 538
D) 536
E) 532
üç basamaklı en küçük doğal sayının toplamı kaçtır?
A) 102
B) 156
C) 198
D) 200
E) 202
DNA 15
Rakamları farklı üç basamaklı birbirinden farklı
dört doğal sayının toplamı 3091 olduğuna göre, bu
İki tanesi 70 den büyük olan beş tane iki basamaklı
sayıların en küçüğü en az kaç olabilir?
doğal sayının toplamı 181 olduğuna göre, bu sayılar-
A) 133
B) 134
C) 135
D) 136
E) 137
dan en büyüğü en çok kaç olabilir?
A) 82
272
9. SINIF MATEMATİK
B) 80
C) 77
D) 75
E) 73
Sayılar - Bölüm 06
En Büyük - En Küçük Değer Bulma
5.
TEST - 2
x, y, z pozitif tam sayılardır.
3x = 7y
5x = 2z
1.
olduğuna göre, x + y + z nin en küçük değeri kaç-
a ile b birbirinden farklı doğal sayılardır.
tır?
a + b = 18
A) 65
olduğuna göre, a ⋅ b çarpımının alabileceği en
B) 60
C) 58
D) 55
E) 44
büyük değer kaçtır?
A) 81
B) 80
C) 77
D) 72
E) 65
6.
a < b < c olmak üzere, a, b, c birer pozitif tam sayıdır.
2.
c+
a ile b doğal sayılardır.
b
= 24
a
olduğuna göre, a + b + c en çok kaçtır?
a + b = 24
olduğuna göre, a ⋅ b çarpımının alabileceği en kü-
A) 52
B) 44
C) 36
D) 32
E) 27
çük değer kaçtır?
A) 0
B) 24
C) 44
D) 63
E) 80
7.
3.
A, B ve C birer doğal sayı olmak üzere,
A ⋅ B ⋅ C = 12
a, b ve c birbirinden farklı doğal sayılardır.
olduğuna göre, A + B + C en çok kaçtır?
a + b + c = 12
olduğuna göre, a ⋅ b ⋅ c çarpımının alabileceği en
A) 8
B) 9
C) 12
D) 13
E) 14
büyük değer kaçtır?
A) 48
B) 54
C) 60
D) 66
E) 72
8.
4.
a, b, c birer doğal sayıdır.
a ve b pozitif tam sayılardır.
a–b=7
a ⋅ b = 36
b + c = 15
olduğuna göre, a + b toplamının en büyük değeri
olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük de-
kaçtır?
ğeri kaçtır?
A) 37
B) 20
C) 15
D) 13
E) 12
A) 23
B) 22
C) 21
D) 19
9. SINIF MATEMATİK
E) 16
273
En Büyük - En Küçük Değer Bulma
9.
Sayılar - Bölüm 06
13.
A ve B birer tam sayıdır.
İki basamaklı rakamları birbirinden farklı en küçük tam sayı, üç basamaklı en küçük doğal sayı-
A = x – 18
dan kaç azdır?
B = 32 – x
A) –199
olduğuna göre, A ⋅ B nin alabileceği en büyük de-
D) 198
ğer kaçtır?
A) 44
10.
B) 45
C) 48
D) 49
maklı doğal sayılardır.
14.
olduğuna göre, c en büyük olduğunda b en fazla
küçük vadi sayısının rakamları toplamı kaçtır?
A) 18
C) 96
D) 95
B) 17
C) 16
D) 15
E) 14
E) 94
a, b ve c birer pozitif tamsayı olmak üzere,
15.
a + b + c = 18
62 kg lık meyve 3 veya 4 kg lık poşetlere konulacaktır.
olduğuna göre, a ⋅ b ⋅ c nin alabileceği en büyük
Buna göre, bu meyveler en çok kaç poşete konu-
değer kaçtır?
labilir?
A) 236
12.
Tanım: Rakamları çarpımı üç basamaklı bir doğal
Yukarıda verilen tanıma göre, üç basamaklı en
kaç olur?
11.
E) 199
sayı olan sayılara vadi sayısı denir.
a + b – c = 90
B) 98
C) –98
E) 56
b < a olmak üzere, a, b, c birbirinden farklı iki basa-
A) 99
B) –198
B) 216
C) 210
D) 208
E) 202
A) 22
B) 21
C) 20
D) 18
E) 16
x, y, z pozitif gerçek sayılardır.
16.
2x + 3y + 4z = 89
x ve y negatif tam sayılardır.
2x – 3y = –6
olduğuna göre, z nin en büyük tam sayı değeri
kaçtır?
A) 23
1.B
274
2.A
olduğuna göre, x in en büyük değeri kaçtır?
B) 22
3.C
9. SINIF MATEMATİK
C) 21
4.A
D) 20
5.D
6.A
E) 19
7.E
8.B
A) –1
9.D
10.E
B) –2
11.B
C) –3
12.C
13.D
D) –4
14.B
15.C
E) –6
16.E
SAYILAR - BÖLÜM 06
ARDIŞIK SAYILAR
GİRİŞ
DNA 16
Matematikle ilgilenip de Gauss adını duymayanınız yoktur
Bir sayı dizisinin her bir terimi kendinden bir önceki
herhalde.
terimin rakamları toplanarak elde ediliyor.
Gauss’un birçok kişi tarafından bilinen, bilmeyenlerin de
Bu sayı dizisinin ilk terimi 2008 olduğuna göre,
mutlaka öğrenmesi gereken bir anısını anlatalım.
2008 inci terimi kaçtır?
“Daha okula yeni başlamışken Gauss’a öğretmeni çok
A) 1
B) 4
C) 10
D) 16
E) 100
kızıp, ceza vermek amacıyla 1 den 100 e kadar olan sayıları (1 ve 100 dahil olmak üzere) toplamasını istemiş ve
beklenmedik bir şekilde Gauss bu soruyu hemen cevap-
Çözüm
lamıştır.
1. sayı = 2008
Öğretmeni soruyu nasıl çözdüğünü sorunca Gauss,
1+
2+
2. sayı = 2 + 0 + 0 + 8 = 10
3 + ... + 99 + 100 = A
+ 100 + 99 + 98 + ... + 2 +
3. sayı = 1 + 0 = 1
1=A
4. sayı = 1
101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101 = 2A
5. sayı = 1
100 tane 101
⋅⋅
⋅
2A = 100 ⋅ 101 = 10100
A = 5050
çözümünü göstermiştir.
⋅⋅
⋅
Bu sayı dizisinin ilk iki terimi hariç, bütün terimlerinin 1 e
eşit olduğu âşikârdır.
Dolayısıyla, 2008 inci terimi de 1 dir.
Biz bu bölümümüzde, belirli bir kurala göre dizilmiş sayıla-
Doğru Seçenek A
rın özellikleri üzerinde çalışacağız.
TANIM
Belirli ve tek bir kurala göre sıralanmış bir dizi sayıya
ritmik sayılar diyeceğiz.
1, 3, 5, ...
1, 4, 9, ...
10, 100, 1000, ...
sayılarını ritmik sayılara birer örnek olarak gösterebiliriz.
Bir sayı dizisinin her bir terimi, kendinden bir önceki terimin –1 ile çarpılmasıyla elde ediliyor.
Bu sayı dizisinin ilk terimi 116 olduğuna göre, 14 üncü
terimi kaçtır?
A) –116
B) –16
D) 16
C) 1
E) 116
9. SINIF MATEMATİK
275
Ardışık Sayılar
Sayılar - Bölüm 06
Dolayısıyla, istenen dizinin 100 üncü terimine ulaşabilmek
ini, 101 den başlayarak bu diziye 10 tane yeni sayı eklemeliyiz.
Bir sayı dizisinin terimleri, kendinden önceki ilk iki terimin
toplamı alınarak elde ediliyor.
Bu sayı dizisinin birinci ve ikinci terimi 1 olduğuna
göre, 8 inci terimi kaçtır?
A) 8
B) 13
Bu sayılar,
101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110
olup, bu sayıları da diziye eklediğimizde dizinin 100 üncü
D) 21
C) 15
E) 24
terimi 110 olur. Ancak, 110 sayısının son rakamı 0 olduğundan bu sayıyı da diziden atmalıyız.
Dolayısıyla, istenen dizinin 100 üncü terimi 111 dir.
Doğru Seçenek D
DNA 17
Pozitif tamsayılardan son rakamı 0 olan sayıların
atılması sonucunde elde edilen,
TANIM
Tam sayıların karelerinden oluşan,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, ...
0, 1, 4, 9, 16, 25, ...
sayı dizisinin 100 üncü terimi kaçtır?
A) 108
B) 109
C) 110
D) 111
E) 112
Çözüm
sayı dizisinin her bir terimine bir tam kare sayı denir.
Doğal sayılardan tam karelerin atılması sonucunda
Eğer pozitif tamsayılar dizisinden hiç bir sayıyı atmamış
elde edilen,
2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, ...
olsaydık, dizimiz,
1, 2, 3, 4, ..., 100, 101, ...
dizisinin 100 üncü terimi kaçtır?
A) 108
olacaktı.
B) 109
C) 110
D) 111
E) 112
Bu sayı dizisinin,
1. terimi
1
2. terimi
2
3. terimi
3
⋅⋅
⋅
⋅⋅
⋅
ve dolayısıyla 100 üncü terimi 100 dür.
Şimdi, kaç tane sayı attığımıza bakalım.
10, 20, 30, ..., 90, 100
sayıları atılan sayılar olup, 10 tanedir.
276
9. SINIF MATEMATİK
Pozitif çift tam sayılardan son rakamı 2 olan sayıların
atılmasıyla elde edilen,
4, 6, 8, 10, 14, 16, 18, 20, 24, ...
sayı dizisinin 100 üncü terimi kaçtır?
A) 246
B) 248
C) 250
D) 252
E) 254
Sayılar - Bölüm 06
Ardışık Sayılar
Son olarak, bu dizinin her bir terimine 1 eklersek,
TANIM
1, 2, 3, ..., n
a1, a2, a3, a4, ..., an
dizisini elde etmiş oluruz.
sayıları bir ritmik dizinin ardışık terimleri olsun.
Bu sayı dizilerinin her birinin terim sayısının yine n olduğu
Eğer,
çok açıktır.
a2 – a1 = a3 – a2 = a4– a3 = ... = an – an–1
n=
[a + (n − 1) ⋅ k ] − a + 1
k
ise o zaman bu diziye bir aritmetik dizi denir.
Bir aritmetik dizi verildiğinde, o dizinin terim sayısını hesaplamayı bilmemiz birçok problemin çözümünde işimizi
eşitliğinin doğru oluşu, bu bölümün ilk Hazine’sini bize
buldurur.
kolaylaştırır.
O halde, aritmetik bir sayı dizisinin terim sayısını hesaplamayı öğrenmemiz gerekiyor.
Hazine 3
1, 2, 3, ..., n
sayı dizisinin n tane terimi olduğu gayet açıktır.
Nasıl ki, bir evin odalarını farklı renklere boyadığınızda
oda sayısı değişmez; işte bu n tane sayıya da ne yaparsak yapalım, sayı adedi değişmez.
a, b, c, d, ..., x
sayıları bir aritmetik dizinin ardışık terimleri ve
b – a = r olsun.
Bu dizinin terim sayısını TS ile gösterirsek,
1 + 4, 2 + 4, 3 + 4, ..., n + 4
TS =
sayı dizisinin n tane terimi vardır.
4, 5, 6, ..., 407
sayı dizisinin terim sayısı ile,
4 – 3, 5 – 3, 6 – 3, ..., 407 – 3
x−a
+1
r
dir.
......................................................................................
Son terim – İlk terim
Terim sayısı =
Artış miktarı
+1
sayı dizisinin terim sayısı birbirine eşittir.
Bu noktadan hareket ederek,
a , a + 1 ⋅ k, a + 2 ⋅ k, ..., a + (n – 1) ⋅ k
dizisinin her bir teriminden a yı çıkararak
DNA 18
0, 1 ⋅ k, 2 ⋅ k, ..., (n – 1) ⋅ k
dizisini ve bu dizinin de her bir terimini k ya bölerek,
11, 14, 17, ..., 101
aritmetik dizisinin terim sayısı kaçtır?
0, 1, 2, ..., (n – 1)
A) 29
B) 30
C) 31
D) 32
E) 33
9. SINIF MATEMATİK
277
dizisini elde ederiz.
Ardışık Sayılar
Sayılar - Bölüm 06
Çözüm
Çözüm
Hazine 3’ten,
Hazine 3’ten,
TS =
n −1
+ 1 = 47
2
101 − 11
90
+1=
+ 1 = 31
3
3
buluruz.
⇒
n −1
= 46
2
⇒
n − 1 = 92
⇒
n = 93
Doğru Seçenek C
buluruz.
Doğru Seçenek E
27, 31, 35, ..., 399
aritmetik dizisinin terim sayısı kaçtır?
A) 92
B) 93
C) 94
D) 95
E) 96
11, 15, 19, ..., n
aritmetik dizisinin terim sayısı 45 olduğuna göre,
n kaçtır?
–13, –8, –3, ..., 142
A) 185
aritmetik dizisinin terim sayısı kaçtır?
A) 29
B) 30
C) 31
D) 32
B) 186
C) 187
D) 188
E) 189
E) 33
DNA 19
1, 3, 5, ..., n
–29, –18, –7, 4, ..., n
aritmetik dizisinin terim sayısı 47 olduğuna göre,
n kaçtır?
A) 89
B) 90
C) 91
D) 92
E) 93
aritmetik dizisinin terim sayısı 20 olduğuna göre,
n kaçtır?
A) 177
278
9. SINIF MATEMATİK
B) 179
C) 180
D) 191
E) 202
Sayılar - Bölüm 06
Ardışık Sayılar
Şimdi de terim sayısını bulmayı biraz daha pratikleştire-
Örneğin,
lim.
6, 10, 14, ...
Çok değil daha birkaç yıl öncesine kadar, bankalar, pos-
dizisinin numaratörünü bulurken,
taneler, ... gibi yerlerde uzun kuyruklar oluşur ve sıranız
(i)
n nin katsayısı kaç?
gelmeden işlem yaptıramazdınız.
Ancak son dönemlerde numaratör adı verilen bir sistem
geliştirilmiş ve bu sayede sıra numarasını alan kişinin,
Cevap: 10 – 6 = 4
(ii)
4 ile kaçı toplarsak 6 yı buluruz?
Cevap: 2
orada bekleme zorunluluğu ortadan kalkmıştır.
Numaratör = 4n + 2
Peki böyle bir sıralama sistemi matematikte de olsa nasıl
olur?
–6, –1, 4, ...
Birazdan göreceğiniz gibi, tek kelimeyle mükemmel olur.
dizisinin numaratörünü bulurken,
(i)
n nin katsayısı kaç?
TANIM
Cevap: –1 – (–6) = 5
Bir ritmik dizinin sıralı bütün terimlerini veren ifadeye o di-
(ii)
5 ile kaçı toplarsak –6 yı buluruz?
zinin numaratörü denir.
Cevap: –11
Örneğin,
Numaratör = 5n – 11
1, 4, 7, ...
biçiminde çözüm yaparız.
dizisinin numaratörü,
3n – 2
DNA 20
dir.
Çünkü
11, 18, 25, ...
n = 1 için 3n – 2 = 1,
n = 2 için, 3n – 2 = 4,
aritmetik dizisinin 1000 inci terimi kaçtır?
A) 6963
n = 3 için 3n – 2 = 7, ...
B) 6967
D) 7011
C) 7004
E) 7027
dir.
Çözüm
Işık 4
a1, a2, ...
aritmetik dizisinin numaratörü,
18 – 11 = 7 ve 7 + 4 = 11
olduğundan, bu dizinin numaratörü,
(a2 – a1) ⋅ n + (2a1 – a2)
dir.
7n + 4
tür.
9. SINIF MATEMATİK
279
Ardışık Sayılar
Sayılar - Bölüm 06
n = 1000 için,
Uyarı
7n + 4 = 7 ⋅ 1000 + 4 = 7004
Bir aritmetik dizinin ortanca terimi o diziye ait olmak zo-
olduğundan, bu dizinin 1000 inci terimi 7004 tür.
Doğru Seçenek C
runda değildir.
Bundan sonra bir aritmetik dizinin ortanca terimi kısaca
OT ile gösterilecektir.
–6, –1, 4, ...
aritmetik dizisinin 100 üncü terimi kaçtır?
B) 489
A) 484
C) 504
D) 509
Şimdi de, az önce ele aldığımız aritmetik dizilerin terimleE) 519
rinin toplamıyla ilgilenelim.
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 aritmetik dizisinin terimlerini toplayarak,
3 + 5 + 7 + 9 +11 + 13 + 15 = 9 ⋅ 7 = 63
Ortanca
terim
4, 13, 22, ...
aritmetik dizisinin 200 üncü terimi kaçtır?
A) 1795
B) 1804
Terim
sayısı
olduğunu görürüz. Bir aritmetik dizinin toplamıyla karşı
C) 1813
karşıyaysak, söz konusu toplama aşağıdaki gözle bakma-
D) 1822
E) 1831
nın bir çok avantajı vardır.
2 + 4 + 6 + 8 = 5 ⋅ 4 = 20
TANIM
Sonlu sayıda terimi olan bir aritmetik dizinin en küçük ve
Ortanca
terim
Terim
sayısı
en büyük terimlerinin toplamının yarısına, o dizinin ortanca terimi denir.
–13 – 9 – 5 – 1 + 3 + 7 + 11 = –1 ⋅ 7 = –7
Örneğin,
Ortanca
terim
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
Terim
sayısı
aritmetik dizisinin ortanca terimi,
3 + 15
=9
2
Güzel bir Hazine keşfettik. ☺
2, 4, 6, 8
aritmetik dizisinin ortanca terimi
2+8
=5
2
tir.
280
9. SINIF MATEMATİK
Hazine 4
Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Toplamı = OT ⋅ TS
Sayılar - Bölüm 06
Ardışık Sayılar
DNA 21
1 + 3 + 5 + ... + 21
2 + 5 + 8 + ... + 92
toplamının sonucu kaçtır?
toplamının son rakamı kaçtır?
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
A) 100
B) 109
C) 114
D) 117
E) 121
Çözüm
TS =
=
92 − 2
+1
3
DNA 22
90
+1
3
3 + 5 + ... + n = 80
= 30 + 1
olduğuna göre, n kaçtır?
= 31
OT =
A) 15
2 + 92
= 47
2
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
olduğunu önceden biliyoruz.
Çözüm
Hazine 4’ten,
2 + 5 + ... + 92 = TS ⋅ OT
= 31 ⋅ 47
= 1457
TS =
n−3
n −1
+1=
2
2
OT =
3+n
2
buluruz.
TS ⋅ OT = 80
1457 nin son rakamı 7 dir.
Doğru Seçenek D
⇒
n −1 3 + n
= 80
⋅
2
2
⇒
(n + 3) ⋅ (n − 1) = 320
= 20 ⋅ 16
= (17 + 3) ⋅ (17 − 1)
⇒
n = 17
dir.
4 + 9 + 14 + ... + 1024
toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?
A) 0
B) 2
C) 4
D) 6
Doğru Seçenek C
E) 8
9. SINIF MATEMATİK
281
Ardışık Sayılar
Sayılar - Bölüm 06
DNA 23
1 + 3 + 5 + ... + n = 400
0 ile 99 arasındaki, 5 in tam katı olan doğal sayıların toplamı kaçtır?
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 19
B) 38
C) 39
D) 40
E) 41
A) 855
B) 900
D) 1000
C) 950
E) 1050
Çözüm
5 den başlayıp 5 er 5 er ilerlersek, istenilen toplamın,
2 + 4 + 6 + ... + n = 380
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 36
B) 37
5 + 10 + 15 + ... + 90 + 95
C) 38
D) 39
E) 40
olduğunu görürüz.
Bunu tabii ki Hazine 4’ü kullanarak çözebiliriz. Bunun dışında IŞIK 5’i kullanarak da çözebiliriz.
5 + 10 + 15 + ... + 90 + 95 = 5(1 + 2 + 3 + ... + 18 + 19)
10
19 ⋅ 20
= 5⋅
2
Bir aritmetik dizinin terimlerini nasıl toplamamız gerektiğini
bilmemiz , ilk n pozitif tam sayının toplamını da bildiğimiz
anlamına gelir.
= 5 ⋅ 190
1 + 2 + 3 + ... + n = OT ⋅ TS =
n +1
n(n + 1)
⋅n =
2
2
= 950
bulunur.
Doğru Seçenek C
Işık 5
1+ 2 + 3 + ... + n =
n(n + 1)
2
IŞIK 5’i daha iyi anlamak için aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.
5
10 ⋅ 11
1 + 2 + 3 + ... + 10 =
= 55
2
10
1 + 2 + 3 + ... + 19 =
282
9. SINIF MATEMATİK
19 ⋅ 20
= 190
2
0 ile 99 arasındaki, 13 ün tam katı olan doğal sayıların
toplamı kaçtır?
A) 263
B) 264
C) 273
D) 364
E) 373
Sayılar - Bölüm 06
Ardışık Sayılar
Çözüm
İlk gün 3 sayfa kitap okuyan bir kişi, her gün bir önceki
Hazine 4’ten,
günden 3 sayfa fazla okumaktadır.
OT ⋅ TS = 225
Buna göre, 20 gün sonunda bu kişi kaç sayfa kitap
okumuş olur?
A) 510
B) 540
C) 570
D) 600
E) 630
⇒
OT ⋅ 15 = 225
⇒
OT =
. . . . . . .
225
= 15
15
15
. . . . . . .
7 tane sayı
7 tane sayı
ortadaki sayı
TANIM
En büyük sayı = 15 + 7 = 22
Birer birer artan veya birer birer azalan tam sayılara
Doğru Seçenek C
ardışık sayılar denir. Örneğin,
2, 3, 4, 5, 6
14, 13, 12
ardışık sayılardır.
TANIM
İkişer ikişer artan veya ikişer ikişer azalan çift / tek sayılara
Ardışık 13 tane tek sayının toplamı 13 olduğuna göre,
ardışık çift / tek sayılar denir. Örneğin,
bu sayıların en küçüğü kaçtır?
A) –11
1, 3, 5, 7
B) –6
C) –5
D) –3
E) –1
19, 17, 15
sayıları ardışık tek sayılar,
8, 10, 12, 14
28, 26, 24
ardışık çift sayılardır.
DNA 24
Ardışık 15 tane sayının toplamı 225 olduğuna göre,
Ardışık 5 tane çift sayının toplamı 50 olduğuna göre,
bu sayıların en büyüğü kaçtır?
bu sayıların en büyüğü ile en küçüğünün toplamı kaç-
A) 20
B) 21
C) 22
D) 23
E) 24
tır?
A) 10
B) 18
C) 20
D) 22
9. SINIF MATEMATİK
E) 24
283
Ardışık Sayılar
Sayılar - Bölüm 06
DNA 9 ve Genetik Kopya’larında muhtemelen bir şey dik-
DNA 25
katinizi çekmiştir. Bu sorularda toplanan sayıların adedi
tek sayıdır. Bundan dolayı, ortanca terim dizinin bir terimi
olarak karşımıza çıkıyor ve burada kolayca sonuca gide-
Ardışık 20 tane sayının toplamı 350 olduğuna göre,
biliyoruz. Peki, sayı adedi çift sayı olursa ne yapmalıyız?
bu sayıların en büyüğü kaçtır?
Aslında farklı bir şey yapmayacağız, sadece bir kaç nok-
A) 25
B) 26
C) 27
D) 28
E) 29
taya dikkatinizi çekeceğiz.
Biliyoruz ki, ortanca terim, aritmetik dizinin ilk ve son terimine eşit uzaklıktadır.
Somut bir örnek üzerinden gidelim:
Çözüm
2, 4, 6, 8, 10, 12
aritmetik dizisinin ortanca terimi =
7–5=2
2 + 12
= 7 dir.
2
Hazine 2’den,
7 + 5 = 12
OT x TS = 350
7
2
4
6
8
10
12
Ortanca terim
Son terimle ilk terim arasındaki fark 10 dur.
“İyi de öğretmenim aradaki farkı pozitif bulabileceğimiz
⇒
OT x 20 = 350
⇒
OT =
350 35
=
2
20
İlk ve son terimler arasındaki pozitif fark = (20 – 1) ⋅ 1
gibi negatif de bulabiliriz. Hangisini alalım?” diye soranla-
= 19
ra cevabımız “Pozitif olanı alın” olacaktır.
Ortanca terim her ikisinden de aradaki farkın yarısı kadar,
En büyük terim = OT + Farkın yarısı
yani 5 birim uzaklıktadır.
=
Buna göre,
En büyük terim = Ortanca terim + Farkın yarısı = 7 + 5 = 12
35 19 54
+
=
= 27
2
2
2
buluruz.
En küçük terim = Ortanca terim – Farkın yarısı = 7 – 5 = 2
Doğru Seçenek C
Ortanca terimin nasıl hesaplandığını biliyoruz. Geriye,
son terim ile ilk terim arasındaki farkı bulmak kalıyor ki
gayet kolay bir iştir.
Son terim ile ilk terim arasındaki fark = (TS – 1) ⋅ Artış miktarı
Bu farkın pozitif olması gerektiğine bir kez daha dikkatinizi
çekiyoruz. Buna göre, aşağıdaki IŞIK’ı verebiliriz.
Işık 6
Ardışık 24 tane sayının toplamı 180 olduğuna göre, bu
En büyük terim = OT + Farkın yarısı
En küçük terim = OT – Farkın yarısı
284
9. SINIF MATEMATİK
sayıların en büyüğü kaçtır?
A) 18
B) 19
C) 20
D) 21
E) 22
Sayılar - Bölüm 06
Ardışık Sayılar
Ardışık 12 tane sayının toplamı 30 olduğuna göre, bu
sayıların en küçüğü kaçtır?
A) –3
B) –2
a, b, c, d, e ardışık sayılar olup, a > b > c > d > e dir.
3a – c = 20
C) –1
D) 1
E) 2
olduğuna göre, b + d + e toplamı kaçtır?
A) 35
B) 20
C) 19
D) 17
E) 15
DNA 26
a, b, c ardışık sayılar olup, a > b > c dir.
a + b + c = 15
olduğuna göre, c kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
a, b, c, d, e ardışık sayılardır.
a + b + c + d + e = 100
olduğuna göre, a + e toplamı kaçtır?
A) 20
Çözüm
B) 30
C) 40
D) 60
E) 80
a, b, c sayıları ardışık olduğundan, artış miktarı 1 dir. Verilen a > b > c sıralamasına göre, ortada olan b ye n dersek,
a = n + 1 ve c = n – 1 olur.
a > b > c
↓
n+1
↓
n
↓
n–1
a + b + c = 15 ⇒ (n + 1) + n + (n – 1) = 15
3n = 15
DNA 27
n=5
c=n–1=5–1=4
buluruz.
a, b, c, d, e ardışık çift sayılar olup, a < b < c < d < e dir.
Buna göre,
Doğru Seçenek B
tır?
A) 0
(e − c) ⋅ (d − b)
işleminin sonucu kaçc−a
B) 1
C) 2
D) 4
9. SINIF MATEMATİK
E) 8
285
Ardışık Sayılar
Sayılar - Bölüm 06
Tenef füs
Çözüm
Sayılar ardışık çift sayı olduğundan, artış miktarı 2 dir. Verilen sıralamaya göre ortada olan c ye n diyelim.
Zaman Hesabı
a < b < c < d < e
↓
n–4
↓
n–2
↓
n
↓
n+2
Her sabah hesabınıza 86.400 TL yatıran bir banka
↓
n+4
düşünün. Gün boyu istediğiniz kadar parayı harca(e − c ) ⋅ (d − b) ( n + 4 − n ) ⋅ (n + 2 − (n − 2))
=
(c − a )
n − (n − 4)
=
4 ⋅ ( n + 2 − n + 2)
n − n +4
=
4⋅4
=4
4
makta veya harcamamakta serbestsiniz. Fakat sadece bir şart var. Harcamadığınız para ne kadar
olursa olsun ertesi güne devredemez. Ama ertesi gün
bir önceki günün parasını harcasanız da harcamazsanız da yine 86.400 TL alacaksınız.
buluruz.
Böyle bir durumla karşılaşsaydınız ne yapardınız?
Doğru Seçenek D
Herhalde bu parayı her gün harcamak için çabucak
bir yol bulurdunuz. İhtiyacınız olan her şeyi almaya
başlardınız. Ancak zeki iseniz bu parayı her gün yatıracak bir yer bulup uzun vadede en büyük getiriyi
almaya çalışırdınız.
Farkında olun ya da olmayın hayatınızın her günün-
a, b, c, d, e ardışık tek sayılar olup, a < b < c < d < e dir.
a + b + c = 15
“banka”dır ve size her gün istediğiniz şekilde har-
olduğuna göre, d + e toplamı kaçtır?
A) 17
B) 20
de böyle bir durumla karşı karşıyasınız. Zaman bir
C) 25
D) 27
cayabileceğiniz 86.400 saniye veriyor. Bu zamanı
E) 35
kullanmayı başaramazsanız onu ebediyen kaybedeceksiniz.
Başarılı insanlar, zamanın değerinin farkındadır.
a, 2a, b ardışık çift sayılar olup, b < 2a < a dır.
Buna göre, b kaçtır?
A) –8
286
B) –6
9. SINIF MATEMATİK
C) 4
D) 6
E) 8
Sayılar - Bölüm 06
Ardışık Sayılar
5.
TEST - 3
(i) 1, 4, 7, 10, 13, ...
(ii) 281, 277, 273, 269, ...
Yukarıda verilen (i) ve (ii) sayı dizilerinin n inci
1.
terimleri eşit olduğuna göre, n kaçtır?
17, 20, 23, 26, ..., 95
A) 40
sayı dizisinin terim sayısı kaçtır?
A) 26
2.
B) 27
C) 28
D) 29
6.
C) 93
D) 97
D) 43
E) 44
(i) 24, 26, 28, 30, ..., x
(ii) 41, 44, 47, 50, ..., y
sayı dizisinin 20 inci terimi kaçtır?
B) 90
C) 42
E) 30
13, 17, 21, ...
A) 89
B) 41
Yukarıda verilen (i) ve (ii) dizilerinin terim sayıları
E) 101
eşit olduğuna göre, 2y – 3x kaçtır?
A) –10
3.
B) –4
C) 0
D) 5
E) 10
107, 114, 121, 128, ...
sayı dizisinin 107 inci terimi 114 üncü teriminden
kaç azdır?
A) 36
B) 42
7.
C) 49
D) 56
Aşağıdakilerden hangisi ardışık beş sayının toplamına eşit olamaz?
E) 63
A) 165
4.
B) 180
C) 220
D) 245
E) 312
(i) 17, 21, 25, ..., 85
8.
(ii) 47, 49, 51, ..., x
a, b, c ardışık sayılar olup a > b > c dir.
2a + b = 20
Yukarıda verilen (i) ve (ii) sayı dizilerinin terim sa-
olduğuna göre, c kaçtır?
yıları eşit olduğuna göre, x kaçtır?
A) 77
B) 79
C) 81
D) 83
E) 85
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
9. SINIF MATEMATİK
E) 8
287
Ardışık Sayılar
9.
Sayılar - Bölüm 06
a, b, c, d, e ardışık çift sayılar olup, a < b < c < d < e
13.
dir.
n tane ardışık tek sayının toplamı n olduğuna
göre, bu sayılardan en büyüğü aşağıdakilerden
hangisidir?
a + d = 14
A) n – 4
olduğuna göre, 3e – 2a kaçtır?
A) 25
10.
B) 26
C) 27
D) 28
D) n + 2
E) 30
3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + ... + 2007
14.
işleminin sonucu kaçtır?
A) 1002
C) n
E) 2n
Pozitif tam sayılar dizisinden 3 ün tam katlarının
atılması sonucunda elde edilen;
B) 1003
1, 2, 4, 5, 7, 8, 19, ...
C) 1004
D) 1005
dizisinin 100 üncü terimi kaçtır?
E) 1006
A) 146
11.
B) n – 2
B) 148
C) 149
D) 151
E) 152
(–3) + (–2) + (–1) + 0 + 1 + ... + n
toplamının sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
n(n − 1)
A)
2
C)
n(n + 1)
B)
2
(n − 1)(n + 3)
2
12.
hil) topluyor ve sonucu 7148 buluyor. İşlemi kontrol
Unutulan sayı kaçtır?
(n − 3)(n + 4)
2
A) 84
1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) + 1 + 3 + ... + (2n + 1) = 55
16.
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 27
1.B
288
2.A
B) 28
3.C
9. SINIF MATEMATİK
B) 96
C) 108
D) 112
E) 124
12345678910111213 ...
sayısının 200 üncü rakamı kaçtır?
C) 29
4.C
Bir öğrenci 1 den n ye kadar olan sayıları (1 ve n daettiğinde sayılardan birini unuttuğunu farkediyor.
(n − 4)(n + 3)
2
D)
E)
15.
D) 30
5.B
6.E
E) 31
7.E
8.B
A) 0
9.D
10.D
B) 1
11.E
C) 3
12.A
13.C
D) 4
14.C
E) 7
15.D
16.A
SAYILAR - BÖLÜM 06
N’de KUVVET
GİRİŞ
Hazine 5
Genel yapı itibarı ile matematiğin hemen her bölümünde
yazımda kısalığı sağlamak amacıyla, gösterimler tanımlanmıştır.
Her a ∈ N+ için, am ⋅ an= am+n dir.
Her a, b, n ∈ N+ için, (a ⋅ b)n= an⋅ bn dir.
Her a, m, n ∈ N+ için, (am)n = (an)m = an⋅m dir.
Örneğin,
3
3 +
3 +
... +
3
+
40 tane 3
yerine kısaca 40 ⋅ 3 yazmak tercih edilir.
DNA 28
Çarpma işleminin tanımından bu gösterimi hepimiz biliyoruz.
25 ⋅ 42 ⋅ 8n = 166
Peki 3 lerin arasındaki işaret “ + ” değil de “ ⋅ ” olsaydı o
zaman ne yapacaktık?
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
3
3⋅
3 ⋅
...
⋅3
⋅
40 tane 3
Kuşkusuz uzun bir süre bu yazılış, bu şekliyle yapılmıştır.
Çözüm
Bir süre sonra, matematik üstadlarının canına tak etmiş
olsa gerek,
25 ⋅ (22)2 ⋅ (23)n = 25 ⋅ 24 ⋅ 23n= 25+4+3n = 23n+9
3
3⋅
3 ⋅
...
⋅3
⋅
40 tane 3
⇒ 23n+9 = 166
yerine, yazmada kısalığı sağlamak amacıyla,
⇒ 23n+9 = (24)6
340
yazmayı uygun görmüşlerdir.
⇒ 23n+9 = 224
Tabanlar eşit olduğundan üsler eşit olmalıdır.
Şimdi, üslü sayıların tanımını vermenin tam zamanı.
3n + 9 = 24
3n = 15
TANIM
n=5
m ve n doğal sayılar olmak üzere, n tane m nin çarpımına
bulunur.
Doğru Seçenek E
m nin n yinci kuvveti denir ve bu çarpım kısaca,
m
m
⋅ ...
m = mn
⋅
⋅
n tane
ile gösterilir.
mn ifadesinde m ye taban, n ye üs adı verilir.
272 ⋅ 9n ⋅ 33 = 275
Üslü sayılar konusuna, gerçek sayılarda bir kez daha dönecek ve çok daha ayrıntılı inceleyeceğiz.
Burada sadece Hazine 5 adı altında birkaç özelik vereceğiz.
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
9. SINIF MATEMATİK
E) 5
289
N’de Kuvvet
Sayılar - Bölüm 06
16 tane 2n nin toplamı, 2 tane 2n nin çarpımına eşit
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
3a+1 = x
olduğuna göre, 9a nın x cinsinden değeri nedir?
D) 4
E) 5
A)
x2
9
B)
x2
3
C) x2
D) 3x2
E) 9x2
DNA 29
23a+2 = m
olduğuna göre, 8a+2 nin m cinsinden değeri nedir?
A) 8m
B) 10m
D) 32m
C) 16m
DNA 30
E) 64m
4 ⋅ 32a + 2 ⋅ 9a = 486
olduğuna göre, a kaçtır?
Çözüm
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
8a+2 = (23)a+2 = 23(a+2) = 23a+6
= 23a+2+4
Çözüm
= 23a+2 ⋅ 24
= 16m
4 ⋅ 32a + 2 ⋅ 9a = 4 ⋅ 32a + 2 ⋅ 32a = (4 + 2) ⋅ 32a = 6 ⋅ 32a
olur.
Doğru Seçenek C
4a+1 = x
olduğuna göre, 16a+1 in x cinsinden değeri nedir?
B) x2
A) x
D) 8x2
290
9. SINIF MATEMATİK
C) 8x
E) 16x2
⇒
6 ⋅ 32a = 486
⇒
6 ⋅ 32a = 6 ⋅ 81
⇒
32a = 81
⇒
32a = 34
⇒
2a = 4
⇒
a=2
bulunur.
Doğru Seçenek B
Sayılar - Bölüm 06
N’de Kuvvet
Çözüm
64n + 82n + 43n = 192
I.
n + n = 2n olup, 2n ≠ n2
olduğuna göre, n kaçtır?
II.
2n⋅m = (2n)m
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
2n ⋅ 2m = 2n+m olup,
n⋅m≠n+m
III.
2
2(n ) = (2n)n
Doğru Seçenek C
Aşağıdaki eşitliklerden hangisi ya da hangileri her
n ve m doğal sayısı için doğrudur?
16n+1 – 42n + 3 ⋅ 24n = 288
I. 2n + 2n = 22n
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
II. 2n ⋅ 2n ⋅ 2n = 23n
III. 2m + 2m + 2m = 3 ⋅ 2m
A) Yalnız II
B) Yalnız III
D) II ve III
C) I ve II
E) I, II ve III
DNA 31
Aşağıdaki eşitliklerden hangisi ya da hangileri her
m ve n doğal sayısı için doğrudur?
n tane
II. 2n⋅m = 2n ⋅ 2m
III.
=
2
II. m(n ) = (mn)2
(2n)n
A) Yalnız I
III. x ⋅ 2m + y ⋅ 2m – z ⋅ 2m = (x + y – z) ⋅ 2m
B) Yalnız II
D) I ve II
n ve m doğal sayısı için doğrudur?
n n
n
I. 3
⋅
3 ⋅ ...
⋅ 3
= n ⋅ 3n
I. n + n = n2
2(n2)
Aşağıdaki eşitliklerden hangisi ya da hangileri her
C) Yalnız III
E) II ve III
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
C) Yalnız III
E) I ve III
9. SINIF MATEMATİK
291
Taban Aritmetiği
Sayılar - Bölüm 06
TABAN ARİTMETİĞİ
512
64
8
1
Rakamlar kümesinin {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olduğunu
öğrenmiştik.
Parmaklarımızın on tane olması saymayı kolaylaştırdığından olsa gerek, on tane rakamdan sonra, diğer tam sayıları bu rakamlarla ifade ettik.
Sizce, parmak sayımız on değil de, sekiz olsaydı ve ancak
8 rakam icad etseydik sayıları nasıl ifade ederdik?
Diyelim ki bu rakamlarımız {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ve elimiz-
1 x 512 + 2 x 64+ 1 x 8 + 0 x 1 = 648
de altı yüz kırk sekiz tane bilye var. Bu sayıyı bu rakamlar-
(1210)8
la nasıl ifade ederdik?
Bu soruyu yanıtlamadan önce, gelin onluk sayı sistemi-
Demek ki rakamlar kümemiz {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} olsaydı
mizde ne yapıyorduk bir kere daha bakalım.
bugün 648 olarak gösterdiğimiz sayıyı 1210 şeklinde gös-
Aşağıdaki tabloda 1, 10, 100 nesne alabilen kutular var.
terecektik. 1210 gösterimine ulaşırken sekiz rakamdan
100
10
1
oluşan bir sistem kullandık. Bunu ifade etmek için 1210
yerine (1210)8 yazacağız. Buna göre, “648 sayısının 8 tabanındaki karşılığı 1210 dur.” deyip
648 = (1210)8
yazabiliriz. Yani, seçilen taban değiştikçe sayıların gösterimi değişmektedir.
Örneğin bir sayıyı 2 tabanında yazabiliriz ve kullandığımız
rakamlar {0, 1} olur.
648 tane bilyeyi bu kutulara en sol sütundan başlayarak
Benzer şekilde,
dolduralım.
100
10
1
3 tabanında
{0, 1, 2}
4 tabanında
{0, 1, 2, 3}
...
n tabanında
{0, 1, 2, 3, ... , n – 1}
kümesinin rakamları kullanılır.
Eğer, sayının hangi tabanda olduğu belirtilmemiş ise, o
zaman, onluk sayı tabanı kullanılıyor demektir.
6 x 100 + 4 x 10 + 8 x 1 = 648
197 = (197)10
(648)10
Şimdi de sorumuza geri dönelim. Kutularımız 1, 8, 64, 512
bilye alıyor olsun.
292
9. SINIF MATEMATİK
Ayrıca, en küçük sayı tabanının 2 olduğunu da söylememizde fayda var.
Taban Aritmetiği
Sayılar - Bölüm 06
Işık 7
DNA 32
n tabanında yazılan bir sayının rakamları,
214 sayısının, 6 tabanındaki yazılışı (abc)6 olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
{0, 1, 2, ..., n – 1}
A) 17
kümesinin bir elemanıdır.
B) 16
C) 15
D) 14
E) 13
Uyarı
Çözüm
Bir sayı tabanında kullanılan rakamlar, tabandan küçük
olmak zorundadır.
214
18
6
35
34 30
30 5
4
(213)3, (446)5
gibi yazılışlar hatalıdır.
Hazine 6
5
(554)6 = (abc)6
⇒ a + b + c = 5 + 5 + 4 = 14
A, n ∈ N+ olsun. A sayısının, n tabanındaki yazılışını
bulmak için aşağıdaki adımlar takip edilir.
1.
6
tür.
A sayısı n ye bölünür. Elde edilen bölüm tekrar
Doğru Seçenek D
n ye bölünür. Bu işleme, bölüm n den küçük oluncaya kadar devam edilir.
2.
En son yapılan bölme işleminden elde edilen bölümden itibaren, diğer kalanlar sondan başa doğru
yanyana yazılır.
Örneğin, 648 sayısını 8 tabanında yazalım.
345 sayısının 6 tabanındaki yazılışı (abcd)6 olduğuna
göre, a + b + c + d toplamının değeri kaçtır?
Artık destelerimiz 10 luk değil 8 lik.
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
Yani 1, 8, 64, 512, ... gibi.
648
64
008
8
0
8
81 8
8
10
1
8
2
8
1
Demek ki 1 tane 512 lik, 2 tane 64 lük, 1 tane 8 lik ve
0 tane 1 lik var.
Yani (1210)8 = 648 dir.
121 sayısı 4 tabanına göre yazıldığında elde edilen sayının rakamları toplamı kaçtır?
A) 4
B) 6
C) 7
D) 8
9. SINIF MATEMATİK
E) 9
293
Sayılar - Bölüm 06
Taban Aritmetiği
Bir a doğal sayısını, n tabanına göre, şu şekilde de ya-
Çözüm
zabiliriz.
a
?
n3
...
n2
n
2 nin kuvvetlerini sırasıyla yazalım:
1
213
10000
8192
.............
23
22
21
20
8
4
2
1
“?” olan yere, n nin a dan küçük olan en büyük tam kuvveti
yazılır.
Daha sonra a sayısı, “?” olan yerdeki sayıya bölünür.
Bölüm bölenin altına yazılır. Kalan sayı 3 ün bir yanındakine bölünerek aynı işlem 1 in altı doluncaya kadar tekrar
213 sayısı, 10000 den küçük olan ve 2 nin tam kuvveti olan
en büyük sayıdır.
Dolayısıyla, 10000 sayısı ikilik sayı tabanına göre, yazıldığında,
edilir.
13 + 1 = 14
Örneğin, 648 sayısını 8 tabanında yazalım:
648
512
basamaklı bir sayı oluşur.
Hazine 6’yı kullanarak çözüm yapmış olsaydık, bu kadar
512
64
8
1
1
2
1
0
136
kısa sürede cevabı bulamazdık.
⇒ 648 = (1210)8
Doğru Seçenek C
128
08
8
0
0
0
“Hazine 6 ile bu işlemi yapmayı zaten öğrenmiştim. Bu
yol da nereden çıktı? Ne işime yarayacak?” diyorsanız,
10.000 sayısı beşlik sayı tabanına göre yazıldığında
kaç basamaklı bir sayı oluşur?
A) 4
DNA 6 ile cevabınızı alacaksınız.
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
DNA 33
10.000 sayısı ikilik sayı tabanına göre yazıldığında
kaç basamaklı bir sayı oluşur?
A) 12
294
B) 13
9. SINIF MATEMATİK
C) 14
4000 sayısı ikilik sayı tabanına göre yazıldığında kaç
basamaklı bir sayı oluşur?
D) 15
E) 16
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Taban Aritmetiği
Sayılar - Bölüm 06
n TABANINDA ÇÖZÜMLEME
DNA 34
Basamaklar n tabanında n nin kuvvetlerine göre adlandırılır. Buna göre,
(314)5 = (abc)6
(a b c d)n
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
Birler basamağı
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
n1 ler basamağı
n2 ler basamağı
Çözüm
n3 ler basamağı
Nasıl çözümleme yapacağımızı tahmin etmişsinizdir herhalde. ☺
Öncelikle (314)5 sayısının on tabanındaki eşitini bulalım.
(3 1 4)5 = 3 x 52 + 1 x 51 + 4 x 50 = 75 + 5 + 4
1
5
52
Hazine 7
= 84 olur.
Şimdi, 84 ün 6 tabanındaki yazılışını bulalım.
84
6
(abcd)n sayısı,
n3n2n1n0
(abcd)n = a ⋅ n3 + b ⋅ n2 + c ⋅ n + d ⋅ n0
24
24
0
biçiminde çözümlenir. Bu çözümleme (abcd)n sayısının 10 tabanındaki karşılığını verir.
6
14
12
2
6
2
(314)5 = (220)6 = (abc)6 ⇒ a + b + c = 2 + 2 + 0 = 4
tür.
Doğru Seçenek B
Örneğin,
525150
(123)5 = 1 ⋅ 52 + 2 ⋅ 51 + 3 ⋅ 50 = 25 + 10 + 3 = 38
2423222120
(10110)2 = 1 ⋅ 24 + 0 ⋅ 23 + 1 ⋅ 22 + 1 ⋅ 21+ 0 ⋅ 20
= 16 + 4 + 2
= 22
(235)6 = (abc)5
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Not
n ve m birbirinden ve 10 dan farklı iki pozitif doğal sayı
olsun. n tabanında verilen bir sayıyı direkt olarak m tabanına çeviremeyiz. Bu işlem için, önce n tabanında verilen
(82)9 = (abc)7
sayı çözümlenerek 10 tabanına çevrilir. 10 tabanında elde
ettiğimiz bu sayı Hazine 7’deki adımlar takip edilerek m
olduğuna göre, a ⋅ b ⋅ c çarpımı kaçtır?
tabanına çevrilir.
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
9. SINIF MATEMATİK
E) 12
295
Taban Aritmetiği
Sayılar - Bölüm 06
AYNI TABANDA VERİLEN SAYILARDA İŞLEMLER
DNA 35
Aynı tabanda verilen iki sayı onluk tabana çevrilmeden
toplanabilir, çıkartılabilir ve çarpılabilir.
a bir rakam olmak üzere,
Bunları sırasıyla görelim.
(1a)6 + (34)a
TOPLAMA:
toplamının 10 tabanındaki eşiti kaçtır?
A) 34
B) 30
C) 28
D) 26
E) 24
Bir örnekle açıklayalım:
(312)5 + (143)5 toplamını bulalım.
(312)5
Çözüm
+ (143)5
5 → yazamayız.
IŞIK 7’den hemen sonra verdiğimiz Uyarı’yı hatırlayınız.
(1a)6 da; a rakamı 6 dan küçüktür. (34)a da ise, a rakamı
4 ten büyüktür.
Çünkü beş tabanındaki rakamlar 0, 1, 2, 3 ve 4 tür. Peki
ne yapacağız. Onluk tabanda toplama yaparken ne yapıyorsak burada da aynısını yapacağız. Yani, “Elde kaç
O halde, 4 < a < 6 olup, a = 5 tir.
var?” sorusuna yanıt arayacağız.
Bu değeri yerine yazarsak,
2 + 3 = 5 bize 1 tane 5 lik geldiğini anlatır. Bu 5 liği elde
(15)6 + (34)5 = 1 x 6 + 5 + 3 x 5 + 4
1 olarak alırsak kalan 0 olur.
= 11 + 19 = 30
+1
buluruz.
(312)5
Doğru Seçenek B
Elde 1 i sola verdik.
+ (143)5
1 + 1 + 4 = 6 eder.
60
↓
yazamayız.
6 =1 ⋅ 5+1
m ve n birer rakam olmak üzere,
↓
elde
(3m)n + (23)m
toplamının alabileceği en küçük değerin on tabanındaki eşiti kaçtır?
A) 34
B) 30
D) 26
E) 24
Kalanı aşağı, elde 1 i sola verdik.
(3 + 1) + 1 = 5 eder.
510
↓
yazamayız.
5 =1 ⋅ 5+0
↓
elde
m ve n birer pozitif tam sayı olmak üzere,
(m4)n+2 – (n3)m
A) 3
296
B) 4
9. SINIF MATEMATİK
↓
kalan
(312)5
farkının on tabanında alabileceği en küçük değer kaçtır?
C) 5
D) 6
E) 9
Elde var 1.)
+1
(312)5
+ (143)5
C) 28
(6 nın 1 i
↓
kalan
+ (143)5
(1010)5 olur.
(5 in 0 ı
Elde var 1.)
Taban Aritmetiği
Sayılar - Bölüm 06
5 yerine kalanı (sıfırı) aşağı yazdık. Ayrıca, elde var 1.
Bunu da verebileceğimiz bir yer olmadığı için en başa yazarak çözümü tamamlamış olduk.
(321)5 + (14)5
toplamının aynı tabandaki yazılışı nedir?
A) (440)5
B) (340)5
C) (324)5
D) (334)5
E) (430)4
DNA 36
(332)4 sayısının 2 fazlasının aynı tabandaki yazılışı
aşağıdakilerden hangisidir?
B) (1002)4
A) (2000)4
D) (1000)4
C) (1001)4
E) (333)4
ÇIKARMA:
Bu işlemi de bir örnekle açıklayalım.
(223)6 – (155)6 farkını bulalım.
Çözüm
(223)6
– (155)6
+1+1+1
(3 3 2)4
+
(2)4
(1 0 0 0)4
3 ten 5 çıkmaz. 2 den bir 6 lık alalım.
olur.
2–1=1
3+6=9
(219)6
Doğru Seçenek D
– (155)6
4)6
1 den 5 çıkmaz. 2 den bir 6 lık alalım.
(179)6
– (155)6
(024)6 = (24)6
(132)6 + (454)6
toplamının aynı tabandaki yazılışı aşağıdakilerden
Altılık sayı tabanında 9 ve 6 bir rakam olmadığı için, (169)6
hangisidir?
ve (219)6 gibi gösterimler teknik olarak hatalıdır.
A) (1030)6
B) (1130)6
D) (2100)6
C) (1031)6
E) (2010)6
Biz bu gösterimleri, çıkarma işleminin daha iyi anlaşılması
için yaptık.
9. SINIF MATEMATİK
297
Taban Aritmetiği
Sayılar - Bölüm 06
DNA 37
(132)5 – (44)5
(321)4 – (102)4
işleminin sonucunun aynı tabandaki yazılışı aşağı-
farkının aynı tabandaki yazılışı aşağıdakilerden han-
dakilerden hangisidir?
gisidir?
B) (223)4
A) (301)4
D) (203)4
C) (213)4
B) (43)5
A) (133)5
C) (33)5
D) (23)5
E) (103)4
E) (13)5
ÇARPMA
Çözüm
Bu işlemi de bir örnekle açıklayalım.
(23)5 ⋅ (32)5
1 den 2 çıkmaz
(321)4
– (102)4
2 den bir 4 lük alalım.
3)4
çarpımının aynı tabanda yazılışını bulalım.
1
1–0= 1
– (102)4
3–1= 2
↓
elde
(32)5
x
5–2=3
(321)4
2x3=6=1x5+1
(23)5
↑
4 + 1 = 5 olur.
↓
kalan
(6 nın 1 i
elde var 1.)
1)5
(23)5
2 x 2 + 1 = 5 olur.
(5 in 0 ı
(32)5
5=1x5+0
elde var 1.)
↑
x
↓
elde
(101)5
(213)4
3x3=9=1x5+4
(23)5
↑
bulunur.
↓
elde
(32)5
x
Doğru Seçenek C
↓
kalan
↓
kalan
(9 un 4 ü
elde var 1.)
(101)5
4)5
(23)5
3x2+1=7
(7 nin 2 si
(32)5
7=1x5+2
elde var 1.)
↑
x
(101)5
↓
elde
+ (124)5
(23)5
(181)9 – (33)9
x
farkının aynı tabandaki yazılışı aşağıdakilerden han-
(101)5
gisidir?
+ (124)5
B) (178)9
A) (218)9
D) (158)9
298
(32)5
9. SINIF MATEMATİK
C) (168)9
E) (147)9
(1341)5
olur.
↓
kalan
Taban Aritmetiği
Sayılar - Bölüm 06
Toplama işleminde yaptığımız gibi, çarpma işlemini de
“Bir tabanda kullanılan rakamların tabandan küçük olması
gerektiği” kuralını tanımadan, aşağıdaki gibi yapabiliriz.
(12)3 ⋅ (21)3
(2 3)5
x
+
(3 2)5
işleminin sonucunun aynı tabandaki yazılışı aşağıda-
(4 6)5
kilerden hangisidir?
(6 9)5
B) (1122)3
A) (1222)3
(6 13 6)5
(Buradaki 13 ü bir rakam
D) (1022)3
olarak değerlendireceksiniz.)
C) (1112)3
E) (1021)3
( 6 13 6 )5 = ( 6 14 1 )5
= (7 9 1)5 = (8 4 1)5
= (1 3 4 1)5
DNA 38
(23)4 ⋅ (32)4
(111)2 ⋅ (11)2
çarpımının sonucunun aynı tabandaki yazılışı aşa-
işleminin sonucunun aynı tabandaki yazılışı aşağıda-
ğıdakilerden hangisidir?
kilerden hangisidir?
B) (2122)4
A) (2222)4
D) (2021)4
C) (2121)4
B) (10111)2
A) (11111)2
E) (2020)4
D) (10111)2
C) (10101)2
E) (10100)2
Çözüm
x
(23)4
2x3=6=1x4+2
(32)4
2x2+1=5=1x4+1
(112)4
+ (201)4
(2122)4
3x3=9=2x4+1
3x2+2=8=2x4+0
DNA 39
(23)5 ⋅ (43)5 – (10013)4 = (x)3
olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir?
olur.
Doğru Seçenek B
A) 1111
B) 1110
D) 1010
C) 1100
E) 1001
9. SINIF MATEMATİK
299
Sayılar - Bölüm 06
Taban Aritmetiği
Çözüm
Öncelik çarpma işleminin olduğu için önce onu hesaplayalım.
(12)3 ⋅ (21)3 – (101)3
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
(23)5
A) (222)3
x (43)5
B) (221)3
E) (201)3
D) (210)3
(124)5
C) (212)3
+ (202)5
(2144)5
(23)5 ⋅ (43)5 – (10013)4 = (x)3
(2144)5 – (10013)4 = (x)3
Çıkarma işlemini yapabilmemiz için sayılar aynı tabanda
olmalıdır. İki sayıyı da çözümleyerek 10 tabanına çevirelim.
5 3 5 2 5 15 0
(2 1 4 4)5 = 2 ⋅ 125 + 1 ⋅ 25 + 4 ⋅ 5 + 4 ⋅ 1
= 250 + 25 + 20 + 4
(13)4 ⋅ (22)4 – (110)2 = (A)5
= 299
olduğuna göre, A aşağıdakilerden hangisidir?
4 44 34 24 14 0
(1 0 0 1 3)4 = 1 ⋅ 44 + 0 ⋅ 43 + 0 ⋅ 42 + 1 ⋅ 41 + 3
A) 123
B) 134
C) 144
D) 233
E) 224
= 256 + 4 + 3
= 263
(2144)5 – (10013)4 = 299 – 263 = 36
İşlemin sonucu üç tabanında istenmiş.
36 sayısını 3 tabanında yazalım.
36
36
0
3
12
12
0
3
4
3
3
DNA 40
1
1
36 = (1100)3 = (x)3 ⇒ x = 1100
olur.
Doğru Seçenek C
x ∈ N ve x > 6 olmak üzere, (x + 1)2 + (x + 2)2 toplamının x tabanındaki yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?
B) (165)x
A) (161)x
D) (264)x
300
9. SINIF MATEMATİK
C) (261)x
E) (265)x
Sayılar - Bölüm 06
Taban Aritmetiği
Çözüm
x ∈ N ve x > 4 olmak üzere,
4 ⋅ (x + 1)3 + 2 ⋅ (x + 1) + 3
Hatırlatma
toplamının (x + 1) tabanında yazılışı aşağıdakilerden
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
hangisidir?
A) (1034)x+1
B) (2100)x+1
C) (3243)x+1
D) (4023)x+1
E) (4116)x+1
(x + 1)2 + (x + 2)2 toplamını x tabanında yazmak istiyoruz.
Bunun için parantezli ifadeleri açalım ve x in kuvvetlerine
göre yazalım.
(x + 1)2 + (x + 2)2 = x2 + 2x + 1 + x2 + 4x + 4
Bir tabanda verilen bir sayının tek mi, çift mi olduğunun
tespit edilmesini sağlayan, aşağıdaki IŞIK’ı verelim.
= 2
x2
x2 ler
basamağında
2 var
+6⋅
x1
+5
x0
lar basamağında 5 var
Bu IŞIK’ı ispatlama işini size bırakıyoruz.
Öyle hep “Armut piş, ağzıma düş”le matematik öğrenil-
x1 ler
basamağında
6 var
mez.
Işık 8
= (265)x
Doğru Seçenek E
1.
n çift sayı ise, n tabanındaki bir sayının tek mi, çift
mi olduğunu anlamak için, sayının son rakamına
bakmak kâfidir.
Eğer son rakam tek ise sayı tek, son rakam çift ise
sayı çifttir.
(1 0 1 1 1 )2 → Tek sayı
(3 0 3 3 4 3 2 4 )6 → Çift sayı
2.
n tek sayı ise, n tabanındaki bir sayının tek mi, çift
mi olduğunu anlamak için, o sayının rakamlarından tek sayı olanların adedine bakmak kâfidir.
a ∈ N ve a > 4 olmak üzere,
(3a2 + a) + (a2 + 2a) + 4
Eğer adet tek sayı ise sayı tek, çift sayı ise sayı
toplamının a tabanında yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?
çifttir.
(12112)3 → 3 tane tek sayı var → Tek
B) (334)a
A) (324)a
D) (443)a
C) (434)a
E) (444)a
(23432)5 → 2 tane tek sayı var → Çift
9. SINIF MATEMATİK
301
Sayılar - Bölüm 06
Taban Aritmetiği
DNA 41
DNA 42
Aşağıda verilen sayılardan hangisi çifttir?
A) (111235)7
B) (2324)9
C) (11101102)3
D) (1221173)9
E) (113214)5
9 luk sayı tabanındaki (2426)9 sayısının 3 lük sayı
tabanındaki karşılığı aşağıdakilerden hangisidir?
A) (2110220)3
B) (2212110)3
C) (1220220)3
D) (2120220)3
E) (211220)3
Çözüm
Çözüm
IŞIK 8’i kullanalım.
93 92 91 90
(2 4 2 6)9 = 6 ⋅ 90 + 2 ⋅ 91 + 4 ⋅ 92 + 2 ⋅ 93
A) 5 tane tek sayı var. (Tek)
= 6 ⋅ 30 + 2 ⋅ 32 + 4 ⋅ 34 + 2 ⋅ 36
B) 1 tane tek sayı var. (Tek)
= (2040206)3
C) 5 tane tek sayı var. (Tek)
Bu gösterim hatalı olduğu için, düzenlemeliyiz.
D) 5 tane tek sayı var. (Tek)
(2040206)3
E) 4 tane tek sayı var. (Çift)
= (2040213)3
= (2040220)3
Doğru Seçenek E
= (2110220)3
olur.
Doğru Seçenek A
Aşağıda verilen sayılardan hangisi tektir?
B) (121101)3
A) (1101111)3
C) (357531)9
D) (141312)5
E) (1111111)5
4 lük sayı tabanındaki (33333)4 sayısının 2 lik sayı tabanındaki karşılığı aşağıdakilerden hangisidir?
A) (11111111)2
B) (111111111)2
C) (1111111111)2
D) (11111111111)2
E) (111111111111)2
Aşağıda verilen sayılardan hangisi çifttir?
A) (212213)4
B) (122135)6
C) (213441)6
D) (123456)8
E) (214227)8
302
9. SINIF MATEMATİK
8 lik sayı tabanındaki (2145)8 sayısının 2 lik sayı tabanındaki karşılığı aşağıdakilerden hangisidir?
A) (10001100101)2
B) (10010110101)2
C) (1101011011)2
D) (1001100101)2
E) (10001000101)2
Sayılar - Bölüm 06
N’de Kuvvet - Taban Aritmetiği
5.
TEST - 4
(102)3 + (201)3
toplamının üçlük sayı tabanındaki karşılığı aşağıdakilerden hangisidir?
1.
dakilerden hangisidir?
A) (1014)5
B) (1100)3
A) (1010)3
134 sayısının 5 lik sayı tabanındaki yazılışı aşağı-
D) (210)3
B) (1114)5
C) (1001)3
E) (220)3
C) (114)5
E) (1140)5
D) (144)5
6.
Dörtlük sayı tabanındaki rakamları farklı en büyük sayının, onluk sayı tabanındaki karşılığı kaçtır?
A) 198
2.
B) 204
C) 212
D) 226
E) 228
3 lük sayı tabanındaki (1022)3 sayısının, onluk tabandaki karşılığının rakamlarının toplamı kaçtır?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
7.
x, 4 ten büyük bir tam sayı olduğuna göre,
2 ⋅ x4 + 3x + 4
sayısının x tabanındaki karşılığı aşağıdakilerden
hangisidir?
3.
7 lik sayı tabanındaki (1234)7 sayısının, 9 luk sayı
tabanındaki karşılığının birler basamağındaki rakam kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
işleminin sonucunun yine 3 lük tabandaki karşılığı aşağıdakilerden hangisidir?
D) (1100)3
B) (111)3
C) (2304)x
D) (20034)x
E) (20340)x
Aşağıda verilen sayılardan kaç tanesi çifttir?
I. (100110)2
(1211)3 –(222)3 + (111)3
A) (110)3
B) (2034)x
E) 7
8.
4.
A) (234)x
II. (2345)6
III. (102301)5
C) (121)3
E) (1200)3
IV. (222111)3
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
9. SINIF MATEMATİK
E) 4
303
N’de Kuvvet - Taban Aritmetiği
9.
Sayılar - Bölüm 06
2008 sayısını ikilik sayı tabanına göre yazdığı-
13.
6 ve 9 sayı tabanıdır.
mızda, kaç basamaklı bir sayı oluşur?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
(1AB)6 = (7A)9
E) 12
olduğuna göre, A ⋅ B çarpımı kaçtır?
A) 6
10.
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
218 – 1 sayısı ikilik sayı tabanına göre yazıldığında, elde edilen sayının rakamlarının toplamı kaç
olur?
A) 16
B) 17
C) 18
D) 19
14.
Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı olan
(abc)9 sayısında a ile b yer değiştirirse, sayı 216
E) 20
arttığına göre, bu şartlara uyan kaç tane (abc)9
sayısı vardır?
A) 28
11.
B) 30
C) 32
D) 36
E) 40
D) 4
E) 5
D) 3
E) 4
326 + 279 sayısı 9 tabanında yazılırsa, kaç basamaklı bir sayı elde edilir?
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
15.
2x + 8 ⋅ 2x = 72
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 1
12.
B) 2
C) 3
8 sayı tabanıdır.
(4AB)8 sayısı (AB)8 sayısının 17 katı olduğuna
16.
göre, A + B toplamı kaçtır?
A) 2
1.A
304
B) 3
2.B
3.E
9. SINIF MATEMATİK
C) 4
4.D
olduğuna göre, a kaçtır?
D) 5
5.A
5 ⋅ 3a+1 – 3a = 126
6.E
E) 6
7.D
A) 0
8.B
9.D
10.C
B) 1
11.C
C) 2
12.A
13.D
14.B
15.C
16.C
SAYILAR - BÖLÜM 06
BASAMAK ANALİZİ
GİRİŞ
Işık 9
Bir doğal sayı abc şeklinde yazıldığında, acaba abc yazı-
ab = 10a + b
lışındaki anlam nedir?
Bu nasıl bir soru? demeyin!
abc = 100 a + 10b + c
Örneğin 245 yazıldığında biz bu sayıyı iki dört beş diye
ab + ba = 10a + b + 10b + a
okumuyoruz. Bu yazılışın bir anlamı var. Nedir bu anlam?
Hadi ilköğretime geri dönelim bu kavramla ilk karşılaşıldı-
= 11(a + b)
ğında ne yapıyorduk bakalım.
ab – ba = 10a + b – (10b + a)
Hatırlıyorsanız, toplama yapmak için ABAKÜS denilen bir
alet kullanıyorduk. Hatırlamayanlara hatırlatalım.
= 9(a – b)
DNA 43
ab ve ba iki basamaklı sayılardır.
Örneğin, 15 için, I. sıradan 10 boncuk bir tarafa alır ikinci
ab + ba = 132
sıradan 5 boncuk daha alırdık.
Bu ne anlatmaktadır?
1 5 = 1 ⋅ 10 + 5 ⋅ 1
olduğuna göre, a – b farkı en çok kaçtır?
A) 5
1 tane 10 luk, 5 tane 1 lik
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Çözüm
Hatırladınız sanırım.
10 luklar bitince, sıra 100 lüklere gelmiş, sonra 1000 lik-
ab + ba = 10a + b + 10b + a
ler...
= 11a + 11b = 11(a + b) = 132 = 11 ⋅ 12
Böylece sayıları bu eşlemeyle sıralamıştık.
Örneğin,
a + b = 12
245 = 200 + 40 + 5
2 4 5 = 2 ⋅ 100 + 4 ⋅ 10 + 5 ⋅ 1
9
3
abcd yazılışından o zaman şu anlaşılmaktadır.
a b c d
8
⋅
⋅
⋅
4
⋅
⋅
⋅
3
9
Birler basamağı
a – b farkının en çok olması için a ya verebileceğimiz en
Onlar basamağı
büyük, b ye de verebileceğimiz en küçük değeri seçmeli-
Yüzler basamağı
yiz. Buna göre,
a
Binler basamağı
en çok
d tane 1 lik
c tane 10 luk
b tane 100 lük
–
b=9–3=6
en az
dır.
Doğru Seçenek B
a tane 1000 lik var.
9. SINIF MATEMATİK
305
Basamak Analizi
Sayılar - Bölüm 06
Çözüm
Madem AB, BA dan 36 fazla, o zaman,
KL ve LK iki basamaklı doğal sayılardır.
AB – BA = 36
KL + LK = 143
olduğuna göre,
7
A)
6
dır.
K
oranı en çok kaçtır?
L
8
B)
5
9
C)
4
D) 3
10A + B – (10B + A) = 36
E) 4
10A + B – 10B – A = 36
9 ⋅ A – 9 ⋅ B = 36
9 ⋅ (A – B) = 36 = 9 ⋅ 4
A–B=4
tür.
Doğru Seçenek A
AB, BA, AA ve BB iki basamaklı doğal sayılardır.
AB + AA + BA + BB = 264
olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 12
KL ve LK iki basamaklı doğal sayılardır.
E) 16
KL – LK = 63
olduğuna göre, K + L toplamı en çok kaçtır?
A) 13
B) 12
C) 11
D) 10
E) 9
DNA 44
AB ve BA iki basamaklı doğal sayılardır.
AB ve BA iki basamaklı sayılardır.
AB sayısı BA sayısından 36 fazla olduğuna göre,
A – B farkı kaçtır?
A) 4
306
B) 5
9. SINIF MATEMATİK
AB – BA = 36
olduğuna göre, AA – BB farkı kaçtır?
C) 6
D) 7
E) 8
A) 33
B) 36
C) 44
D) 55
E) 66
Sayılar - Bölüm 06
Basamak Analizi
DNA 45
3AB üç basamaklı sayısı, AB iki basamaklı sayısının
26 katına eşittir.
B) 5
C) 4
26 katına eşittir.
Buna göre, A + B + C toplamı kaçtır?
Buna göre, A ⋅ B çarpımı kaçtır?
A) 6
4ABC dört basamaklı sayısı, ABC üç basamaklı sayısının
D) 3
E) 2
B) 7
A) 8
C) 6
D) 5
E) 4
Çözüm
3AB = 3 ⋅ 100 + AB = 300 + AB
yazılabilir.
DNA 46
3AB = 26 ⋅ (AB)
ABC üç basamaklı doğal sayısının rakamları 2 den
300 + AB = 26 ⋅ (AB)
büyük, 7 den küçüktür.
300 = 25 ⋅ (AB)
Bu sayının yüzler basamağının sayı değeri 2 artırı-
12 ⋅ 25 = 25 ⋅ AB
lır, onlar basamağının sayı değeri 2 azaltılır, birler
basamağındaki sayı değeri 2 artırılırsa, sayının de-
12 = AB olup,
ğeri kaç artar?
A = 1 ve B = 2
⇒
A) 222
B) 202
C) 192
D) 182
E) 180
A⋅B=1⋅2=2
olur.
Doğru Seçenek E
Çözüm
A B C
+ – +
2 2 2
+ 2⋅100 – 2⋅10 + 2 ⋅ 1 = 200 – 20 + 2
= 182
9KL üç basamaklı sayısı KL iki basamaklı sayısının 46
olup, sayının değeri 182 artar.
katına eşittir.
Doğru Seçenek D
Buna göre, K + L toplamı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
9. SINIF MATEMATİK
307
Basamak Analizi
Sayılar - Bölüm 06
Çözüm
Üç basamaklı 3 farklı doğal sayının her birinin yüzler
basamağındaki rakamın değeri 2 azaltılır, onlar ve birler basamağındaki rakamların değerleri 2 arttırılırsa
bu üç sayının toplamı kaç azalır?
A) 534
B) 444
C) 333
Önce sorunun ne söylediğini anlayalım.
İki basamaklı doğal sayı = 2 ⋅ Rakamlarının farkı + 8
İki basamaklı doğal sayımız ab olsun. Burada dikkat etmemiz gereken nokta rakamlar farkının a – b olabileceği
D) 186
E) 122
gibi b – a da olabileceğidir.
Buna göre, çözümü iki durum için irdeleyeceğiz.
I. Rakamlar farkı a – b ise
II. Rakamlar farkı b – a ise
ab = 2(a – b) + 8
ab = 2(b – a) + 8
10a + b = 2a – 2b + 8
10a + b = 2b – 2a + 8
8a + 3b = 8
İki basamaklı 3 farklı doğal sayının her birinin onlar basamağındaki rakamının değeri x azaltılır, birler basamağındaki rakamının değeri y artırılırsa bu üç sayının toplamı
69 azalıyor.
12a = b + 8
↓
↓
↓
↓
1
0
1
4
ab = 14 bulunur.
ab = 10 bulunur.
İstenen cevap; 10 ⋅ 14 = 140 tır.
Doğru Seçenek D
Buna göre, x + y toplamı kaçtır?
A) 10
B) 12
C) 13
D) 15
E) 16
İki basamaklı bir doğal sayının rakamları toplamı, rakam-
Uyarı
ları farkının 3 katına eşittir.
ab sayısının iki basamaklı bir sayı olduğu belirtilmemiş
ise,
Bu koşulu sağlayan kaç farklı sayı vardır?
A) 3
B) 4
C) 6
D) 8
E) 9
ab = a ⋅ b
olarak alınır.
DNA 47
İki basamaklı bir doğal sayı, rakamları farkının 2 katının 8 fazlasına eşittir.
ab iki basamaklı bir doğal sayı olmak üzere,
ab = 3a + 7b
Bu koşulu sağlayan sayıların çarpımı kaçtır?
A) 10
B) 100
C) 120
D) 140
olduğuna göre, a ⋅ b çarpımı kaçtır?
E) 160
A) 30
308
9. SINIF MATEMATİK
B) 36
C) 42
D) 56
E) 63
Sayılar - Bölüm 06
Basamak Analizi
DNA 48
DNA 49
27ab dört basamaklı sayısı, ab iki basamaklı sayı-
ABC, CAB ve BCA üç basamaklı doğal sayılardır.
sının 51 katına eşit olduğuna göre, a + b kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
A > B > C ve
E) 10
ABC + CAB + BCA = 1221
olduğuna göre, A rakamı en az kaç olabilir?
A) 8
Çözüm
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
Çözüm
27ab = 51 ⋅ ab
⇒
ABC + CAB + BCA = 1221
2700 + ab = 51 ⋅ ab
100A + 10B + C + 100C + 10A + B + 100B + 10C + A = 1221
⇒
2700 50 ⋅ ab
=
50
50
⇒
ab = 54
⇒
a+b=5+4=9
111A + 111B + 111C = 1221
111 ⋅ (A + B + C) = 111 ⋅ 11
A + B + C = 11
dir.
A > B > C ve A nın en az olma koşuluna göre,
A = 5, B = 4, C = 2
Doğru Seçenek D
olur.
Doğru Seçenek D
2a4b dört basamaklı sayısı, a0b üç basamaklı sayısı-
KKK, LLL ve MMM üç basamaklı doğal sayılardır.
K < L < M ve
nın 6 katına eşit olduğuna göre, a + b kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 12
D) 16
KKK + LLL + MMM = 1332
E) 20
olduğuna göre, K rakamı en çok kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
ABC, CAB ve BCA üç basamaklı doğal sayılardır.
A < B < C < 6 olduğuna göre,
mn81 dört basamaklı sayısı, mn iki basamaklı sayısının 103 katına eşit olduğuna göre, m ⋅ n kaçtır?
A) 36
B) 27
C) 18
D) 14
E) 12
ABC + CAB + BCA
toplamı en çok kaçtır?
A) 999
B) 1110
C) 1221
D) 1332
9. SINIF MATEMATİK
E) 1443
309
Basamak Analizi
Sayılar - Bölüm 06
DNA 50
ABC ile CBA üç basamaklı, rakamları farklı doğal sa-
KLM ile LKM üç basamaklı, rakamları farklı doğal sayı-
yılardır.
lardır.
KLM – LKM = 630
ABC – CBA = 594
olduğuna göre, ABC sayısının en büyük değeri ile
olduğuna göre, LKM sayısının en büyük değeri kaç-
en küçük değerinin toplamı kaçtır?
tır?
A) 1583
B) 1674
C) 1684
D) 1694
B) 298
A) 197
C) 369
D) 396
E) 409
E) 1704
Çözüm
ABC – CBA = 594
⇒
100A + 10B + C – (100C + 10B + A) = 594
⇒
100 A + 10B + C − 100C − 10B − A = 594
⇒
99A – 99C = 594
99 ( A − C) 594
=
99
99
⇒
⇒ A – C = 6 ... (1)
ABC nin en büyük değerini alabilmesi için A en büyük de-
BAC ile CBA üç basamaklı doğal sayılardır.
BAC – CBA = 720
olduğuna göre, BAC kaçtır?
A) 720
B) 708
C) 800
D) 801
E) 911
ğerini almalıdır. A bir rakam olduğuna göre, alabileceği en
büyük değer 9 olur. Bunu (1) de kullanırsak C = 3 olur.
Peki, B ye hangi değeri vermeliyiz? (1) denklemine bakalım. B ile ilgili bir şey var mı? Yok! O halde B ye verebileceğimiz en büyük değer olan, 8 i verebiliriz.
ABC nin rakamları farklı ve A = 9 olduğu için, B nin 9 olamayacağına dikkat etmişsinizdir herhalde! Buna göre,
ABC nin alabileceği en büyük değer;
ABC = 983
olur.
DNA 51
ABC nin alabileceği en küçük değerin 701 olduğunu görmeyi de size bırakıyoruz. ☺
ABC ve ACB üç basamaklı, rakamları farklı iki doğal
Buna göre, aradığımız cevap,
sayıdır.
983 + 701 = 1684
ABC – ACB = 63
olur.
Doğru Seçenek C
olduğuna göre, kaç farklı ABC sayısı yazılabilir?
A) 13
310
9. SINIF MATEMATİK
B) 18
C) 21
D) 22
E) 23
Sayılar - Bölüm 06
Basamak Analizi
Çözüm
DNA 52
ABC – ACB = 63
⇒
⇒
x ve y dört basamaklı iki doğal sayıdır.
100 A + 10B + C − 100 A − 10C − B = 63
x = 6a4b
y = 3b1a
9B – 9C = 63
x – y = 3228
⇒
9 (B − C) 63
=
9
9
⇒
B – C=7
olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği kaç
farklı değer vardır?
A) 4
7
0 → A; 0 ve 7 olamaz, 8 farklı değer alabilir.
8
1 → A; 0, 1 ve 8 olamaz, 7 farklı değer alabilir.
9
2 → A; 0, 2 ve 9 olamaz, 7 farklı değer alabilir.
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Buna göre,
8 + 7 + 7 = 22
Çözüm
farklı ABC sayısı yazılabilir.
Doğru Seçenek D
x – y = 6a4b – 3b1a
3000
3228 = 6000 + 100a + 40 + b – 3000 – 100b – 10 – a
30
den farklı iki doğal sayıdır.
KLM – LKM = 540
olduğuna göre, kaç farklı KLM sayısı yazılabilir?
A) 18
B) 21
C) 24
D) 28
E) 30
3228 = 3000 + 30 + 99(a – b)
⇒
3228 = 3030 + 99(a – b)
⇒
3228 – 3030 = 99(a – b)
⇒
198 99 (a − b)
=
99
99
⇒
a – b=2
2
0
3
1
4
⋅
⋅
⋅
9
2
⋅
⋅
⋅
7
KLM ile LKM üç basamaklı, rakamları sıfırdan ve birbirin-
⇒
8 farklı değer
a + b nin alabileceği 8 farklı değer vardır.
ABC ve CAB üç basamaklı iki doğal sayıdır.
ABC – CBA = 396
Doğru Seçenek E
olduğuna göre, kaç farklı ABC sayısı yazılabilir?
A) 30
B) 36
C) 45
D) 50
E) 60
9. SINIF MATEMATİK
311
Basamak Analizi
Sayılar - Bölüm 06
Çözüm
x3y7 ve y4x9 dört basamaklı iki doğal sayıdır.
ab nin sağına 3 yaz
x3y7 – y4x9 = 2868
ab3
olduğuna göre, x + y toplamının alabileceği kaç farklı
değer vardır?
B) 6
A) 5
ab nin soluna 3 yaz
C) 7
D) 8
E) 9
=
3ab
+ 144
ab3 – 3ab = 144
⇒
100a + 10b + 3 – 300 – 10a – b = 144
⇒
90a + 9b = 144 + 297
⇒
9(10a + b) 441
=
9
9
⇒
ab = 49
dur.
Buradan,
a + b = 4 + 9 = 13
bulunur.
Doğru Seçenek C
1a4b ve 2b3a dört basamaklı, rakamları farklı iki doğal
sayıdır.
1a4b + 2b3a = 4181
olduğuna göre, a – b farkının alabileceği kaç farklı doğal sayı değeri vardır?
B) 1
A) 0
C) 2
D) 3
E) 4
İki basamaklı 3a sayısının soluna 5 yazılarak elde edilen
sayı, sağına 2 yazılarak elde edilen sayıdan 192 fazladır.
Buna göre, a kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
DNA 53
İki basamaklı ab sayısının sağına 3 yazılarak elde edilen sayı, soluna 3 yazılarak elde edilen sayıdan 144
Üç basamaklı 2a6 sayısının sağına b rakamı yazılarak
elde edilen sayı, üç basamaklı a62 sayısının soluna b ra-
fazladır.
kamı yazılarak elde edilen sayıdan 3996 eksiktir.
Buna göre, a + b kaçtır?
A) 11
312
B) 12
9. SINIF MATEMATİK
C) 13
Buna göre, b kaçtır?
D) 14
E) 15
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Sayılar - Bölüm 06
Basamak Analizi
5.
TEST - 5
ab ve ba iki basamaklı sayılardır.
Buna göre, ab + ba toplamı aşağıdakilerden hangisine eşit olamaz?
1.
A) 11
1, 2, 4, 6, 8, 9
B) 33
C) 55
D) 66
E) 99
rakamlarının her biri birer kez kullanılmak koşuluyla yazılacak üç basamaklı iki doğal sayının
toplamı en az kaç olabilir?
A) 417
B) 435
C) 445
D) 597
E) 813
6.
2.
ABC ve CBA üç basamaklı sayılardır.
göre, bu sayının rakamları toplamı en çok kaç
ABC – CBA = 693
olabilir?
olduğuna göre, A – C farkı kaçtır?
A) 3
3.
B) 4
C) 5
İki basamaklı bir doğal sayının rakamları toplamına bölümündeki bölüm 6 ve kalan 1 olduğuna
A) 7
D) 6
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
E) 7
Bir öğrenci üç basamaklı abc sayısını 14 ile çarparken, abc nin onlar basamağındaki rakamı, yanlışlıkla
gerçek değerinden 1 fazla görüyor ve sonucu 1918
buluyor.
7.
Eğer bu öğrenci hata yapmasaydı, çarpımın so-
Buna göre, A + B toplamı kaçtır?
nucunu kaç bulurdu?
A) 1648
B) 1708
D) 1848
4.
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
E) 1890
ab + a0b = 338
8.
a2b4 dört basamaklı bir sayıdır. a2b4 tane kalem 12
kişiye eşit olarak paylaştırılabiliyor.
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
B) 6
A) 4
C) 1778
ab iki basamaklı, a0b üç basamaklı doğal sayılardır.
A) 5
Üç basamaklı 4AB sayısı, iki basamaklı AB sayısının
13 katından 16 fazladır.
C) 7
D) 8
Buna göre, bir kişi en az kaç kalem alır?
E) 9
A) 12
B) 102
C) 107
D) 154
9. SINIF MATEMATİK
E) 267
313
Basamak Analizi
9.
Sayılar - Bölüm 06
13.
(ABC) ve (2AB) üç basamaklı doğal sayılardır.
(ABC) + (2AB) = 720
mn ve nm iki basamaklı doğal sayılardır.
Buna göre,
mn 4
=
nm 7
olduğuna göre, A + B + C toplamı kaçtır?
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
eşitliğini sağlayan kaç farklı mn sayısı vardır?
A) 1
10.
ABC, CBA üç basamaklı iki sayı ve A > C olmak
üzere, ABC – CBA farkı aşağıdakilerden hangisi
14.
B) 683
C) 594
D) 702
E) 5
Buna göre, B nin alabileceği değerlerin toplamı
E) 712
kaçtır?
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
AB iki basamaklı bir doğal sayıdır.
AB
15.
A–B
18
aa, bb, ab ve ba iki basamaklı doğal sayılardır.
Buna göre,
1
aa + ab + ba + bb
aa + bb
Yukarıda verilen bölme işlemine göre, A + B top-
işleminin sonucu kaçtır?
lamı kaçtır?
A) 9
12.
D) 4
İki basamaklı (AB) sayısı rakamları toplamına bölü-
A) 3
11.
C) 3
nürse, bölüm 7 ve kalan 6 olmaktadır.
olabilir?
A) 593
B) 2
B) 10
C) 11
D) 12
A) 1
E) 13
(AB) iki basamaklı doğal bir sayı ve C bir rakamdır.
16.
1.A
314
2.E
3.C
9. SINIF MATEMATİK
C) 6
4.C
D) 7
5.A
C) 2
D)
5
2
E) 3
(ab)2 – (ba)2 = 693
olduğuna göre, a kaçtır?
olduğuna göre, A + C toplamı kaçtır?
B) 5
3
2
ab ve ba iki basamaklı doğal sayılardır.
(AB) – (A + B + C) = 34
A) 4
B)
6.E
A) 3
E) 8
7.B
8.B
9.A
10.C
B) 4
11.B
C) 5
12.C
13.D
D) 6
14.C
E) 7
15.C
16.B
SAYILAR - BÖLÜM 06
ASAL SAYILAR
Sonra sırasıyla 3, 5 ve 7 için aynı işlemi yapalım.
GİRİŞ
Tam sayılarda tek sayı, çift sayı kavramını gördük. 2 nin
katı olan sayılara çift, olmayanlara da tek sayı dedik.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
•
•
•
•
•
•
40
41
•
•
•
•
•
•
•
•
50
Bazı sayılar vardır ki kendisinden önceki hiçbir sayının
51
•
•
•
•
•
•
•
•
60
tam katı değildir. Örneğin 11 sayısı. 11 tane tükenmez ka-
61
•
•
•
•
•
•
•
•
70
71
•
•
•
•
•
•
•
•
80
81
•
•
•
•
•
•
•
•
90
91
•
•
•
•
•
•
•
•
100
lem 11 den az kişiye eşit olarak paylaştırılamaz. Tabii ki
bu kişi 1 kişi değilse ☺
Bu tipten sayılar özeldir.
Kalan sayıları küme içinde yazalım.
Bu özel sayılara asal sayılar denir. Asal sayılarla ilgili o
kadar çok çalışma alanı vardır ki saymakla bitmez. Özel-
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,
59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
likle şifreleme alanında asal sayıların çok özel yeri vardır.
Şimdi asal sayıları tanımaya, gizemli özeliklerini keşfet-
İşte 100 e kadar olan sayılardan asal olanlar.
Peki asal olmayan bir doğal sayının başka bir adı var mı?
meye başlayalım.
Evet var.
TANIM
TANIM
1 den büyük, asal olmayan doğal sayılara bileşik sayı
1 den büyük olan bir sayma sayısı, kendisinden küçük
herhangi bir doğal sayının tam katı değil ise, o sayıya bir
denir.
Geldik çok önemli bir teoreme.
asal sayı denir.
Bu tanıma göre, 100 e kadar olan asal sayıları bulmaya
ARİTMETİĞİN TEMEL TEOREMİ
çalışalım.
Birden büyük her sayma sayısı bir takım asal sayıların
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
çarpımı şeklinde tek bir biçimde yazılabilir.
Örneğin,
15 = 3 ⋅ 5
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Tablosunda önce 1 i, sonra da 2 hariç 2 nin tam katlarını
çizelim.
↓
↓
asal asal
diyeceksiniz ki 15 = 5 ⋅ 3
te yazabiliriz.
↓
↓
asal asal
9. SINIF MATEMATİK
315
Asal Sayılar
Sayılar - Bölüm 06
O zaman biz de sıra gözetilmeksizin tek biçimde yazılır
Çözüm
diyelim.
Yani 15 sayısı sırasının önemi olmayarak ya 5 ⋅ 3 ya da
Hatırlatma
3 ⋅ 5 olarak tek türlü yazılabilir. Burada tek türlü ifadesiyle
kastedilen “3 ve 5 ten farklı başka asal sayılar bulamazsı-
x2 – y2 = (x – y) (x + y)
nız ki çarpımları 15 olsun”
Hatırlatma'yı kullanırsak,
x2 – y2 = (x – y) (x + y) = 11 → asal
O zaman, x – y ile x + y den biri 1, diğeri 11 dir.
x – y, x + y den küçük olduğundan,
x–y=1
+ x + y = 11
Işık 10
2x = 12 ⇒ x = 6, y = 5 olup
p bir asal sayı, x ve y sayma sayıları olmak üzere,
⇔
y=p
x=p
x⋅y=p
x=1
veya
y=1
dir.
x2 + y2 = 62 + 52 = 36 + 25 = 61
bulunur.
Doğru Seçenek C
a, b ∈ N+ olmak üzere,
4a2 – b2 = 31
Not
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
2 sayısı hariç her asal sayı tek sayıdır.
A) 16
B) 23
C) 27
D) 29
E) 31
Başka bir deyişle, çift olup ta asal sayı olan yegane (biricik) asal sayı 2 dir.
DNA 54
x, y ∈ N+ olmak üzere,
x+y
1
=
37
x−y
x, y ∈ N+ olmak üzere,
x2 – y2 = 11
olduğuna göre,
olduğuna göre, x2 + y2 toplamı kaçtır?
A) 74
316
B) 71
9. SINIF MATEMATİK
C) 61
D) 51
E) 49
A)
20
19
B)
x
oranı kaçtır?
y
19
18
C)
18
17
D)
17
16
E)
16
15
Sayılar - Bölüm 06
Asal Sayılar
ASAL ÇARPANLARA AYIRMA
DNA 55
Aritmetiğin temel teoremine göre, bir doğal sayının bir takım asal sayıların çarpımı olarak tek türlü yazılabileceğini
p ve q iki asal sayı olsun.
biliyoruz.
p + q = 31
Örneğin, 12 sayısı 12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 şeklinde yazılır.
Bu çarpımı bulmak küçük sayılar için kolay olsa da, büyük
olduğuna göre, p – q farkı en çok kaçtır?
A) 30
B) 29
C) 28
D) 27
E) 26
sayılar için aynı şeyi söyleyemeyiz.
Örneğin, 1422 sayısı acaba hangi sayıların çarpımı şeklinde yazılır?
Çözüm
Sayının çift olduğunu dolayısıyla, 2 nin bu sayının bir çarpanı olduğunu anlıyoruz.
p + q = 31
↓
↓
asal asal
2442
↓
tek
2442 = 2 ⋅ 1221
2
1221
Hem p hem de q tek asal sayı olsaydı, toplama işleminin
sonucu çift sayı olurdu. Demek ki, p veya q dan biri çift
asal sayıdır. Bu asal sayının 2 olduğunu biliyoruz.
O zaman,
p=2
veya
ve
Acaba 1221, 3 ün katı mı?
1221 3
407
12
q = 29
katıymış ☺
0021
21
00
p = 29 ve q = 2
olup, p – q = 2 – 29 = –27 veya p – q = 29 – 2 = 27 dir.
p – q farkının en büyük değeri 27 dir.
2442 = 2 ⋅ 3 ⋅ 407
407, 5 in katı olamaz. Neden?
Doğru Seçenek D
407, 7 nin katı olamaz. Neden?
407, 9 un katı olamaz. Neden?
407, 11 e tam bölünüyor.
407
33
x ve y asal sayılar olmak üzere,
77
77
00
2x + y = 11
olduğuna göre, x + y toplamı en çok kaçtır?
A) 11
B) 10
C) 9
11
37
D) 8
O halde,
E) 7
2442 = 2 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 37
dir.
Aslında bu işlemi ilköğretim 6. sınıfta görmüştünüz. Hatırladınız mı?
p ve q asal sayılar olmak üzere,
1221
3
407
11
37
37
Yapılan işlemi özetlersek, 2, 3, 5, 7, 11, ... asallarına bö-
olduğuna göre, p + q toplamı kaçtır?
B) 15
2
1
5 ⋅ p + q = 21
A) 13
2442
C) 17
D) 19
lünüp bölünmediğini kontrol ederek işlemleri sırayla yaE) 20
pıyoruz.
9. SINIF MATEMATİK
317
Asal Sayılar
Sayılar - Bölüm 06
Yaptığımız bu işleme bir doğal sayının asal çarpanları-
BİR DOĞAL SAYININ ÇARPANLARI
na ayrılması diyoruz.
(BÖLENLERİ)
TANIM
DNA 56
180 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 ⋅ 32 ⋅ 5
sayının bölenleri veya çarpanları denir.
B) 22 ⋅ 3 ⋅ 5
D) 22 ⋅ 32 ⋅ 5
Bir tam sayının tam olarak bölünebildiği tam sayılara, o
C) 22 ⋅ 3 ⋅ 52
E) 2 ⋅ 3 ⋅ 53
Bir doğal sayının bir takım asal sayıların çarpımı şeklinde
tek türlü yazıldığını artık biliyoruz. Bu bilgiyi kullanarak “Bir
Çözüm
2
90
2
45
3
15
3
5
5
1
cevaplamaya çalışacağız.
180
doğal sayının kaç tane çarpanı (böleni) vardır?” sorusunu
⇒ 180 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5
180 = 22 ⋅ 32 ⋅ 5
Ya da başka bir deyişle; bir doğal sayı hangi tam sayılara
tam olarak bölünebilir?
Basit bir örnekle başlayalım. 12 sayısının çarpanlarıyla
Doğru Seçenek D
(bölenleriyle) ilgili soruları cevaplayalım.
12 nin kaç tane pozitif böleni vardır?
12 sayısı 1, 2, 3, 4, 6, 12 sayılarına bölünür.
120 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağı-
O halde 6 tane pozitif böleni vardır.
dakilerden hangisidir
A) 22 ⋅ 32 ⋅ 5
B) 2 ⋅ 3 ⋅ 52
C) 22 ⋅ 3 ⋅ 5
D) 23 ⋅ 3 ⋅ 5
E) 22 ⋅ 32 ⋅ 52
12 nin kaç tane negatif böleni vardır?
Ne kadar pozitif böleni varsa, o kadar negatif böleni vardır. Daha açık olarak, 12 sayısı, –1, –2, –3, –4, –6, –12
sayılarına da bölünür. O halde negatif bölen sayısı da, pozitif bölen sayısı kadardır, yani 6 dır.
1001 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi aşağı-
12 nin kaç tane böleni vardır?
dakilerden hangisidir?
A) 3 ⋅ 7 ⋅ 11
B) 7 ⋅ 11 ⋅ 13
C) 7 ⋅ 11 ⋅ 17
D) 3 ⋅ 11 ⋅ 31
E) 11 ⋅ 37
318
9. SINIF MATEMATİK
6 pozitif, 6 negatif olmak üzere 12 tane böleni vardır. Bölen sayısı, pozitif bölen sayısının iki katıdır demekte bir
sakınca olmadığını görmüşsünüzdür sanırım.
Sayılar - Bölüm 06
Asal Sayılar
12 nin pozitif bölenlerinin toplamı kaçtır?
12 nin asal bölenlerinin toplamı kaçtır?
2 + 3 = 5 tir. ☺
1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28
12 nin asal olmayan bölenlerinin toplamı kaçtır?
dir.
Ayrıca,
12 = 22 ⋅ 3 ve
Bölenler toplamı =
⎛ 23 − 1 ⎞ ⎛ 32 − 1 ⎞
⎜
⎟⋅⎜
⎟ = 7 ⋅ 4 = 28
⎝ 2 −1 ⎠ ⎝ 3 −1 ⎠
olduğuna dikkatinizi çekelim.
0
Asal bölenler
toplamı
=
5
+
+
Asal olmayan
bölenler toplamı
Asal olmayan
bölenler toplamı
Belki pozitif bölenlerin toplamını veren kuralı buradan sezebilirsiniz. ☺
Asal olmayan bölenler toplamı = –5 olur.
12 nin bölenlerinin toplamı kaçtır?
Bunları aşağıdaki Hazine ile özetleyelim.
Hiç düşünmeden sıfır diyebiliriz. Neden?
Ne kadar pozitif bölen varsa, o kadar negatif bölen olduğundan, bunları topladığımızda birbirlerini götürürler ve
sıfır kalır elimizde. 12 nin pozitif bölenlerinin toplamı 28,
negatif bölenlerinin toplamı –28 dir. Buradan 12 nin bölenlerinin toplamı,
Hazine 8
A doğal sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali
28 + (–28) = 0
olur. Bu sonuç sadece 12 için değil, tüm doğal sayılar için
geçerlidir.
A = ap⋅ br ⋅ cs olsun. (Asal çarpanlara ayırdığımıza göre
a, b ve c nin birer asal sayı; p, r ve s nin de birer doğal
sayı olduğuna dikkat edelim!)
A sayısının,
12 nin kaç tane asal böleni vardır?
12 = 22 ⋅ 3
Pozitif Bölen Sayısı = (p + 1) ⋅ (r + 1) ⋅ (s + 1)
(Üsleri bir artır ve kendi aralarında çarp)
eşitliğinden, 12 nin 2 ve 3 ten başka asal böleni olmadı-
Negatif Bölen Sayısı = (p + 1) ⋅ (r + 1) ⋅ (s + 1)
ğını görüyoruz.
Bölen Sayısı = 2 ⋅ Pozitif Bölen Sayısı
Böylece aşağıdaki sorulara da kolayca cevap bulabiliriz.
Pozitif Bölenlerinin Toplamı
12 nin asal olmayan bölen sayısı kaçtır?
⎛ ap+1 − 1 ⎞ ⎛ br +1 − 1 ⎞ ⎛ c s+1 − 1 ⎞
⎟⋅⎜
⎟⋅⎜
⎟
=⎜
⎝ a −1 ⎠ ⎝ b −1 ⎠ ⎝ c −1 ⎠
Toplam 12 tane bölenden 2 tanesi asal olduğuna göre,
geriye kalan 12 – 2 = 10 tanesi asal değildir.
12 nin pozitif bölenlerinden kaç tanesi asal değildir?
Bölenlerinin Toplamı = 0
Asal Bölenlerinin Sayısı: 3 (Bunlar a, b, c)
Asal Bölenlerinin Toplamı: a + b + c
6 tane pozitif bölenden 2 tanesi asal olduğuna göre,
6 – 2 = 4 tanesi asal değildir.
Asal Olmayan Bölenlerinin Toplamı: –(a + b + c)
9. SINIF MATEMATİK
319
Asal Sayılar
Sayılar - Bölüm 06
DNA 57
DNA 58
180 sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni var-
n doğal sayı olmak üzere, 15 ⋅ 10n doğal sayısının
dır?
pozitif bölen sayısı 40 olduğuna göre, n kaçtır?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 16
E) 18
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Çözüm
Çözüm
180 i asal çarpanlarına ayıralım.
15 ⋅ 10n = 3 ⋅ 5 ⋅ (2 ⋅ 5)n = 3 ⋅ 5 ⋅ 2n ⋅ 5n = 2n ⋅ 31 ⋅ 5n+1
Daha önce bu işi nasıl yapacağımızı öğrendik.
Pozitif bölen sayısı = (n + 1) ⋅ (1 + 1) ⋅ (n + 1 + 1)
180 = 22 ⋅ 32 ⋅ 5
20
2 asal sayısının kuvveti 2
40 = (n + 1) ⋅ (n + 2) ⋅ 2
20 = (N
+
2)
n + 1) ⋅ (
n
3 asal sayısının kuvveti 2
4
5 asal sayısının kuvveti 1
5
n +1= 4
O halde,
n=3
(2 + 1) ⋅ (2 + 1) ⋅ (1 + 1) = 3 ⋅ 3 ⋅ 2 = 18
bulunur.
tane pozitif tam sayı böleni vardır.
Doğru Seçenek B
Doğru Seçenek E
n doğal sayı olmak üzere, 625 ⋅ 6n sayısının 180 tane
120 sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni vardır?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 16
E) 18
pozitif böleni olduğuna göre, n kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
p ve q birbirinden farklı asal sayılardır.
A = p3 ⋅ q
olduğuna göre, A2 nin pozitif bölen sayısı kaçtır?
A) 18
320
B) 21
9. SINIF MATEMATİK
C) 24
D) 27
E) 30
n doğal sayı olmak üzere, 144 ⋅ 4n sayısının 39 tane
pozitif böleni olduğuna göre, n kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Sayılar - Bölüm 06
Asal Sayılar
DNA 59
n doğal sayı olmak üzere, 18n sayısı m doğal sayısına
a tam sayı olmak üzere, 63a+1 sayısı, x tam sayısına tam
tam olarak bölünebiliyor.
olarak bölünebiliyor.
m nin alabileceği 28 farklı değer olduğuna göre,
x in alabileceği 56 farklı değer olduğuna göre, a kaç-
n kaçtır?
tır?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
A) 2
Çözüm
B) 3
C) 6
D) 8
E) 9
DNA 60
m doğal sayısı, 18n sayısının bir pozitif bölenidir. m nin
x ve y tam sayılar olmak üzere,
120 = x ⋅ y
alabileceği 28 farklı değer olduğuna göre, 18n sayısının
eşitliğini sağlayan kaç değişik x sayısı vardır?
pozitif bölen sayısı 28 dir.
A) 4
Buna göre,
B) 8
C) 16
D) 32
E) 64
18n = (2 ⋅ 32)n = 2n ⋅ 32n
(N
n + 1)(
2n +
1) = 28
4
7
Çözüm
⇒
n +1= 4
⇒
n=3
x, y ∈ Z ve 120 = x ⋅ y olduğuna göre, x sayısı 120 nin bir
bölenidir. O halde, soru bizden 120 nin tam bölenlerinin
sayısını istemektedir. Önce pozitif bölen sayısını bulalım.
bulunur.
120
60
30
15
5
1
Doğru Seçenek C
2
2
2
3
5
120 = 23 ⋅ 31 ⋅ 51
olduğundan,
Pozitif bölen sayısı = (3 + 1) ⋅ (1 + 1) ⋅ (1 + 1) = 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16
Bölen sayısı = 2 ⋅ 16 = 32
b doğal sayı olmak üzere, 84b sayısı, a doğal sayısına tam
olarak bölünebiliyor.
a nın alabileceği 45 farklı değer olduğuna göre, b kaç-
olur.
Doğru Seçenek D
tır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
9. SINIF MATEMATİK
321
Asal Sayılar
Sayılar - Bölüm 06
Bu çarpanlamada tam kare ifadeleri yazalım.
{1, 22 }
2 tane
x ve y doğal sayılar olmak üzere,
{1, 32 }
2 tane
çarparak saymanın nimeti ne çok şeye kadir ☺
221 = x ⋅ y
2⋅2=4
eşitliğini sağlayan kaç değişik x sayısı vardır?
A) 1
,
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
taneymiş. {1, 4, 9, 36} kümesinin eleman sayısı kadar
yani.
Doğru Seçenek B
a ve b tam sayılar olmak üzere,
4500 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi tam
308 = 2 ⋅ a ⋅ b
kare sayıdır?
eşitliğini sağlayan kaç değişik b sayısı vardır?
A) 6
B) 8
C) 12
D) 16
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
E) 18
DNA 61
x ve y doğal sayılar olmak üzere,
180 = x2 ⋅ y
360 doğal sayısının pozitif bölenlerinden kaç taneeşitliğini sağlayan kaç değişik y sayısı vardır?
si tam kare sayıdır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
A) 3
B) 4
C) 6
D) 8
E) 12
Çözüm
DNA 62
Öncelikle tam kare sayıların 1, 4, 9, 16, 25, ... olduğunu
hatırlayalım.
360 sayısı asal çarpanlarına ayrıldığında,
360 = 23 ⋅ 32 ⋅ 5
A) 9
olur.
322
72 sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni çift
sayıdır?
9. SINIF MATEMATİK
B) 8
C) 7
D) 6
E) 4
Sayılar - Bölüm 06
Asal Sayılar
Çözüm
DNA 63
Öncelikle 72 yi asal çarpanlarına ayıralım.
72 =
23
⋅
32
=2⋅
(22
⋅
1200 sayısının 5 ile bölünemeyen kaç tane tam
32)
sayı böleni vardır?
ifadesinden 22 ⋅ 32 sayısının her pozitif böleni 2 ile çarpıl-
A) 4
B) 10
C) 20
D) 30
E) 60
dığında 72 doğal sayısının çift pozitif doğal sayı bölenlerini buluruz.
Böylece,
Çözüm
22 ⋅ 32 ⇒ (2 + 1) ⋅ (2 + 1) = 9 tane
pozitif çift doğal sayı böleni vardır. Biraz daha açık yazarsak, 22 ⋅ 32 çarpımının pozitif bölenleri,
1200 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
1200 = 12 ⋅ 100 = 22 ⋅ 3 ⋅ 25 ⋅ 4
{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
= 22 ⋅ 3 ⋅ 52 ⋅ 22 = 24 ⋅ 31 ⋅ 52
olur.
1200 ün, 5 ile bölünemeyen tam sayı bölenlerini aradığıBu kümenin tüm elemanları 2 ile çarpılırsa, 72 nin, çift tam
sayı bölenlerinin,
mız için,
24 ⋅ 31 ⋅ 52 → İstemiyoruz!
{2, 4, 6, 8, 12, 18, 24, 36, 72}
ifadesinde, 52 yokmuş gibi davranırız.
olduğu görülür.
Doğru Seçenek A
Buna göre,
5 ile bölünemeyen pozitif bölen sayısı = (4 + 1) ⋅ (1 + 1)
= 5 ⋅ 2 = 10
5 ile bölünemeyen tam bölen sayısı = 2 ⋅ 10 = 20 dir.
Doğru Seçenek C
840 sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni tek sayı
değildir?
A) 16
B) 18
C) 20
D) 24
E) 32
720 sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni tek sa-
720 sayısının 5 ile bölünemeyen kaç tane tam sayı bö-
yıdır?
leni vardır?
A) 24
B) 20
C) 18
D) 10
E) 6
A) 10
B) 15
C) 20
D) 30
9. SINIF MATEMATİK
E) 40
323
Asal Sayılar
Sayılar - Bölüm 06
a, b, c pozitif tam sayılar olmak üzere, A doğal sayısının
135 sayısını bölen pozitif tam sayıların toplamı kaç-
asal çarpanlarına ayrılmış hali,
tır?
A = 2a ⋅ 3b ⋅ 5c
A) 120
C) 240
B) 180
D) 270
E) 360
dir.
A nın 2 ile bölünmeyen 18, 3 ile bölünmeyen 24 ve
5 ile bölünmeyen 24 tane böleni olduğuna göre,
a + b + c toplamı kaçtır?
B) 7
A) 6
C) 8
D) 10
E) 12
DNA 65
288 sayısının kaç tane asal olmayan tam sayı bö-
DNA 64
leni vardır?
150 sayısını bölen pozitif tam sayıların toplamı
A) 16
B) 18
C) 32
D) 34
E) 36
kaçtır?
A) 0
B) 48
C) 124
D) 248
Çözüm
E) 372
288
144
72
36
18
9
3
1
Çözüm
150 sayısının pozitif bölenlerinin toplamı isteniyor.
150 = 15 ⋅ 10 = 3 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 5 = 21 ⋅ 31 ⋅ 52
Hazine 8’den,
⎛ 2
⎞ ⎛ 2
⎞ ⎛ 3
⎞
Pozitif bölenlerin toplamı = ⎜ 2 − 1 ⎟ ⋅ ⎜ 3 − 1 ⎟ ⋅ ⎜ 5 − 1 ⎟
⎝ 2 −1 ⎠ ⎝ 3 −1 ⎠ ⎝ 5 −1 ⎠
8 124
= 3⋅ ⋅
2 4
2
2
2
2
2
3
3
288 = 25 ⋅ 32
Bölen sayısı = (5 + 1) ⋅ (2 + 1) ⋅ 2 = 6 ⋅ 3 ⋅ 2 = 36
Asal bölenlerin sayısı = 2 (2 ve 3 ten başka asal bölen yok)
Asal olmayan bölenlerin sayısı = 36 – 2 = 34
= 372
Doğru Seçenek D
buluruz.
Doğru Seçenek E
144 sayısını bölen pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?
210 sayısının kaç tane asal böleni vardır?
A) 60
A) 4
324
B) 120
9. SINIF MATEMATİK
C) 208
D) 403
E) 806
B) 5
C) 14
D) 24
E) 48
Sayılar - Bölüm 06
Asal Sayılar
12 tane tam sayı böleni olan x doğal sayısının 2 tane asal
Asal olmayan tam sayı bölenlerinin toplamı –10 olan
böleni vardır.
bir doğal sayı en az kaç olabilir?
Buna göre, x in alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) 21
A) 12
B) 18
C) 24
D) 32
B) 30
C) 60
D) 63
E) 90
E) 40
DNA 66
Asal olmayan tam sayı bölenlerinin toplamı –2 olan bir
doğal sayının bölenlerinden kaç tanesi tek sayıdır?
Asal olmayan tam sayı bölenlerinin toplamı –5 olan
iki basamaklı bir doğal sayı en çok kaç olabilir?
A) 24
B) 48
C) 54
D) 72
A) 2
B) 4
C) 8
D) 16
E) 32
E) 96
DNA 67
Çözüm
Hazine 8’den bir doğal sayının asal olmayan bölenlerinin
toplamının, asal bölenlerinin toplamının ters işaretlisine
3x + 21
ifadesi x in kaç tam sayı değeri için bir tam
x −1
sayı olur?
eşit olduğunu biliyoruz. Buna göre, soru bize asal bölenlerin toplamının 5 olduğunu söylemektedir.
A) 6
B) 8
C) 12
D) 16
E) 20
Toplamları 5 yapan asal sayılar, 2 ve 3 tür.
Aradığımız doğal sayı n olsun.
Çözüm
n = 2a ⋅ 3b (a, b ∈ Z+)
yazma hakkına sahibiz. Şimdi yapmamız gereken şey, a
x e değerler vererek çözüme ulaşmak zor olur, çünkü hem
ve b ye değerler verip, 2a ⋅ 3b ifadesinin en büyük değerini
pay hem de payda da x var. Sadece pay ya da payda da
bulmaktır. Birkaç denemeden sonra (belki de ilk deneme-
x li ifade olsaydı, çözümü daha kolay yapabilirdik. Verilen
nizde) a = 5 ve b = 1 olduğunu kolayca görebilirsiniz.
ifadeyi bu şekle getirmeye çalışalım.
3 x + 21 3 x − 3 + 24 (3 x − 3) + 24
=
=
x −1
x −1
x −1
O halde,
n = 25 ⋅ 31 = 32 ⋅ 3 = 96
=
olur.
3( x − 1) + 24 3( x − 1) 24
=
+
x −1
x −1
x −1
=3+
Doğru Seçenek E
24
x −1
olur.
9. SINIF MATEMATİK
325
Asal Sayılar
Bu durumda
Sayılar - Bölüm 06
3 x + 21
24
ifadesi yerine
ifadesinin x in
x −1
x −1
kaç tam sayı değeri için bir tam sayı olacağına bakmamız
yeterli.
Çözüm
Öncelikle 28 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
22 ⋅ 7 ⋅ a = b2
24 = 8 ⋅ 3 = 23 ⋅ 31
eşitliğin sağ tarafı karesel bir sayı olduğundan, sol tarafı
olduğundan,
da karesel bir sayı olmalıdır. Diğer yandan, b sayısının
Bölen sayısı = (3 + 1) ⋅ (1 + 1) ⋅ 2 = 16
asal çarpanlarının içerisinde mutlaka 2 ve 7 bulunmalıdır.
bulunur.
Doğru Seçenek D
Burada b yerine en azından 2 ⋅ 7 yazılabilir.
Hadi yazalım.
b=2⋅7
⇒
22 ⋅ 7 ⋅ a = (2 ⋅ 7)2 = 22 ⋅ 72
Buradan 7 ⋅ a = 72 yani a = 7 buluruz.
O halde, b en az 14 tür. Buradan,
6x + 26
ifadesi x in kaç tam sayı değeri için bir tam
2x + 3
a + b = 14 + 7 = 21
buluruz.
sayı olur?
A) 2
Doğru Seçenek C
B) 4
C) 6
D) 8
E) 12
72 ⋅ x = y3
eşitliğini sağlayan en küçük x pozitif doğal sayısı için,
2x − 19
ifadesi x in kaç tam sayı değeri için bir doğal
x +1
sayı olur?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
x + y toplamı kaçtır?
B) 9
A) 8
C) 12
D) 18
E) 24
E) 8
DNA 68
28 ⋅ a = b2
a ve b pozitif doğal sayılar olmak üzere,
eşitliğini sağlayan a ve b pozitif doğal sayıları için,
a + b toplamı en az kaç olabilir?
A) 14
326
B) 18
9. SINIF MATEMATİK
C) 21
160 ⋅ a = b2
eşitliğini sağlayan a ve b için, a + b en az kaçtır?
D) 32
E) 36
A) 16
B) 18
C) 40
D) 50
E) 60
Sayılar - Bölüm 06
Asal Sayılar
5.
TEST - 6
Erhan ile Nevzat, A = {2, 3, 5, 7, 11} kümesinin elemanlarını kullanmak koşuluyla şu şekilde bir oyun
oynuyorlar:
Erhan A kümesinden istediği bir elemanı seçerek
1.
oyunu başlatıyor.
Tanım: p ve q asal sayılar olsun. Eğer |p – q| = 2 ise,
p ile q ya ikiz asal sayılar denir.
Nevzat da A kümesinden istediği bir sayıyı seçerek,
Erhan’ın seçtiği sayı ile topluyor.
Yukarıda verilen tanıma göre, aşağıda verilen sayılardan hangisi iki ikiz asal sayının toplamı ola-
Eğer toplam bir asal sayı değilse oyunu Erhan kaza-
rak yazılamaz?
A) 8
B) 12
nıyor. Asal sayı ise, oyunu Nevzat kazanıyor.
C) 24
D) 36
E) 40
Buna göre, Erhan’ın oyunu kazanmayı garantilemesi için ilk seçtiği sayı kaç olmalıdır?
A) 2
2.
B) 3
C) 5
D) 7
E) 11
Tanım: Rakamlarının toplamı da asal sayı olan asal
sayılara vadi asalı denir.
Yukarıda verilen tanıma göre, iki basamaklı en
6.
büyük vadi asalı kaçtır?
A) 97
3.
B) 91
C) 89
D) 83
E) 79
a ve b doğal sayılardır.
a2
–
b2
A) 3
7.
= 41
B) 19
C) 20
D) 21
E) 36
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
27 sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı A, 16
sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı B olduğuna göre, 432 sayısının pozitif tam bölenlerinin
a + b = 21
toplamının A ve B cinsinden değeri nedir?
olduğuna göre, a ⋅ b çarpımı kaçtır?
B) 54
D) 18
E) 22
a ile b asal sayılardır.
A) 38
C) 10
n bir doğal sayı olmak üzere, 2 ⋅ 6n sayısının 60
A) 3
8.
4.
B) 6
tane tam sayı böleni olduğuna göre, n kaçtır?
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 18
1440 sayısının asal bölenlerinin sayısı kaçtır?
C) 68
D) 80
A) A ⋅ B
E) 98
B) A + B
D) A2 + B2
C) A + B + 1
E) 2AB
9. SINIF MATEMATİK
327
Asal Sayılar
9.
Sayılar - Bölüm 06
360 sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin
13.
sayısı kaçtır?
A) 21
n doğal sayı olmak üzere, 36n doğal sayısının 49
tane tam kare pozitif doğal sayı böleni varsa, n
B) 24
C) 35
D) 45
kaçtır?
E) 48
A) 4
10.
İki basamaklı doğal sayılardan kaç tanesinin pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı 12 dir?
14.
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
a ve b pozitif doğal sayılar olmak üzere,
72 ⋅ a2 = b3
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
eşitliğini sağlayan a ve b için a en az kaçtır?
A) 8
11.
Tanım: Rakamlarının sayı değerleri toplamı, pozitif
tam sayı bölenlerinin sayısına eşit olan doğal sayıla-
15.
B) 9
C) 12
D) 16
E) 27
a ve b asal sayılar olmak üzere,
ra mistik sayı denir.
4a + b = 30
Yukarıda verilen tanıma göre, üç basamaklı en
olduğuna göre, a – b farkı kaçtır?
küçük mistik sayı kaçtır?
A) 1
A) 101
B) 103
C) 105
D) 108
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
E) 124
16.
x ve y birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,
A = x2 ⋅ y3
12.
x, y asal sayılardır.
eşitliği veriliyor.
x ⋅ y = 91
Ap nin tam bölenlerinin sayısı 140 olduğuna göre,
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
A) 92
1.E
328
2.C
B) 78
3.D
9. SINIF MATEMATİK
C) 62
4.A
D) 20
5.D
6.A
p kaçtır?
E) 18
7.B
8.A
A) 1
9.D
10.C
B) 2
11.A
C) 3
12.D
13.C
D) 4
14.B
E) 5
15.C
16.C
SAYILAR - BÖLÜM 06
FAKTÖRİYEL
n! = n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1
TANIM
n! = n ⋅ (n – 1)!
n pozitif tam sayı olsun. 1 den n ye kadar olan (n dahil) sa-
n! = n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2)!
yıların çarpımına n sayısının faktöriyeli denir ve bu ifade
n! = n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) ⋅ (n – 3)!
kısaca “n!” biçiminde yazılır.
olduğunu gözlemleyiniz.
Yani,
14! = 14 ⋅ 13!
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n = n!
= 14 ⋅ 13 ⋅ 12!
dir.
= 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11!
“!” sembolü yukarıda görüldüğü gibi, yazmada kısalığı
sağlamaktadır.
dir.
1! = 1
Şimdi sadece “!” tanımı üzerine DNA çözelim.
2! = 2 ⋅ 1 = 2
3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6
DNA 69
4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (n – 2)
5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120
çarpımının faktöriyel formundaki yazılışı aşağıda-
Özel olarak,
kilerden hangisidir?
0! = 1
A) (n – 3)!
B) (n – 2)!
C) (n – 1)!
dir. Bu eşitlik yukarıda verilen faktöriyel tanımıyla örtüşD) n!
müyor; ama 0! = 1 olarak tanımlanmış. Daha doğrusu;
E) n! – (n – 1)!
0! = 1 olmak zorunda.
Çözüm
Uyarı
Tanım gereği,
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n = n!
n! sayısının tanımlı olabilmesi için, n doğal sayı olmak
zorundadır.
dir.
n doğal sayı değilse, n! tanımsızdır.
n yerine n – 2 yazarsak,
Örneğin,
⎛ 1⎞
2 !, ⎜ ⎟ !, ( −3)! ifadeleri tanımsız,
⎝2⎠
1
2!,
, − 3 ! ifadeleri tanımlıdır.
2!
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (n – 2) = (n – 2)!
elde ederiz.
Doğru Seçenek B
9. SINIF MATEMATİK
329
Faktöriyel
Sayılar - Bölüm 06
Çözüm
Verilen ifadeyi 1 den başlatmamız gerek.
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (n + 5)
6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ ... ⋅ 124 =
çarpımının faktöriyel formundaki yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) (n + 5)!
B) (n + 4)!
D) (n + 2)!
C) (n + 3)!
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ ... ⋅ 124
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5
tir.
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 124 = 124!
E) n!
1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 5 = 5!
olduğundan,
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 124 124 !
=
1⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 5
5!
dir.
Doğru Seçenek E
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 17
çarpımı, kısaca aşağıdakilerden hangisiyle ifade edilir?
13 ⋅ 14 ⋅ 15 ⋅ ... ⋅ 36
çarpımının faktöriyel formundaki yazılışı aşağıdakiler-
A) 15!
C) 17!
B) 16!
D) 18!
E) 19!
den hangisidir?
A) 24!
B) 25!
C) 36! – 13!
E)
D) 36! – 12!
36 !
12!
DNA 70
6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ ... ⋅ 124
çarpımının faktöriyel formundaki yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 118!
B) 119!
D) 124! – 5!
330
9. SINIF MATEMATİK
C) 123!
E)
124 !
5!
17 !
= 17 ⋅ 15 ⋅ x
14 !
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
Sayılar - Bölüm 06
Faktöriyel
DNA 71
2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ (2n)
2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ 144
çarpımının faktöriyel formundaki yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 ⋅ 144!
B) 2 ⋅ 72!
D) 272 ⋅ 72!
C) 144 ⋅ 72!
çarpımının faktöriyel formundaki yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2n ⋅ n!
n ⎛n⎞
C) 2 ⋅ ⎜ ⎟ !
⎝2⎠
B) 22n ⋅ n!
D) (2n)! – n!
E) 2144 ⋅ 72!
E)
(2n)!
n!
Çözüm
DNA 72
Verilen sayı dizisini 1 den başlatmamız ve dizinin terimlerini 1 er artacak şekilde düzenlememiz gerek.
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 100
= 2n ⋅ 50 !
1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ 99
2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ 144 = (2) ⋅ (4) ⋅ (6) ⋅ ... ⋅ (144)
= (2 ⋅ 1) ⋅ (2 ⋅ 2) ⋅ (2 ⋅ 3) ⋅ ... ⋅ (2 ⋅ 72)
= 2 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 72
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 72
72 tane 2
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 50
B) 51
C) 55
D) 99
E) 100
72!
= 272 ⋅ 72!
Çözüm
(Çarpma işleminin birleşme ve değişme özelliklerini kullandık.)
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 100 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ 99 ⋅ 100
=
1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ 99
1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ 99
Doğru Seçenek D
= 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ 100
= (2 ⋅ 1) ⋅ (2 ⋅ 2) ⋅ (2 ⋅ 3) ⋅ ... ⋅ (2 ⋅ 50)
= (2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 2) ⋅ (1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 50)
50 tane 2
50!
= 250 ⋅ 50!
Bulduğumuz bu değeri problemde verilen denklemde yerine yazalım.
250 ⋅ 50! = 2n ⋅ 50!
2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ 40
çarpımının faktöriyel formundaki yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 219 ⋅ 19!
B) 220 ⋅ 20!
D) 40! – 20!
C) 240 ⋅ 20!
⇒
250 = 2n
⇒
n = 50
buluruz.
Doğru Seçenek A
40 !
E)
20 !
9. SINIF MATEMATİK
331
Faktöriyel
Sayılar - Bölüm 06
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 50
= 2n ⋅ 25 !
1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ 49
20! – 19! = x ⋅ 19!
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 23
B) 24
A) 18
C) 25
D) 26
B) 19
C) 20
D) 21
E) 22
D) 13
E) 14
E) 27
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 32
= 2n ⋅ 15 !
1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ 31
(n + 1)! − n!
= 144
(n − 1)!
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 15
B) 16
C) 17
D) 19
E) 20
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 10
B) 11
C) 12
DNA 73
DNA 74
40! – 39! = x ⋅ 39!
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 37
B) 38
C) 39
D) 40
10 ! − 9 !
10 ! + 9 !
E) 41
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
Çözüm
40! – 39! = x ⋅ 39!
⇒
40 ⋅ 39! –1 ⋅ 39! = x ⋅ 39!
⇒
39! ⋅ (40 – 1) = x ⋅ 39!
⇒
39! ⋅ 39 = x ⋅ 39!
⇒
x = 39
9. SINIF MATEMATİK
B)
9
10
C)
9
11
D)
18
19
E)
19
20
Çözüm
10 ! − 9 ! 10 ⋅ 9 ! − 1⋅ 9 !
=
10 ! + 9 ! 10 ⋅ 9 ! + 1⋅ 9 !
=
Doğru Seçenek C
332
8
9
9 ! ⋅ (10 − 1) 9
=
9 ! ⋅ (10 + 1) 11
Doğru Seçenek C
Sayılar - Bölüm 06
Faktöriyel
Çözüm
1! = 1
5! − 4! x − 1
=
5! + 4! x + 1
2! = 2 ⋅ 1 = 2
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6
D) 6
E) 7
4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24
5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120
6! = 6 ⋅ 5! = 6 ⋅ 120 = 720
5 ten itibaren bütün
sayıların faktöriyellerinin içerisinde en az
7! = 7 ⋅ 6! = ...0
1 tane 2 ve en az 1
8! = 8 ⋅ 7! = ...0
tane 5 çarpanı olaca-
⋅⋅
⋅
ğından, 5!, 6!, 7!, ...,
2007! = 2007 ⋅ ... ⋅ 1 = ...0
rakamı 0 dır.
2007! sayılarının son
⇒
1! + 2! + 3! + ... + 2007!
⇒
1 + 2 + 6 + ..4 + ..0 + ..0 + ... + ..0
= ..3 + ..0 = ..3
Doğru Seçenek C
11! − 10 ! − 9 !
9 ! + 10 !
işleminin sonucu kaçtır?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 15
E) 19
1! + 2! + 3! + ... + 100!
toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?
A) 0
B) 3
C) 5
D) 7
E) 8
DNA 75
1! + 2! + 3! + ... + 2007!
0! + 2! + 4! + ... + 400!
toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 3
D) 5
E) 6
toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 7
9. SINIF MATEMATİK
E) 8
333
Faktöriyel
Sayılar - Bölüm 06
DNA 76
0! + 2! + 4! + ... + n!
0! + 1! + 2! + ... + 100!
toplamının 5 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre,
toplamının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
n nin iki basamaklı en küçük değeri kaçtır?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
Çözüm
0! = 1
→
5 ile bölümünden kalan 1
1! = 1
→
5 ile bölümünden kalan 1
2! = 2
→
5 ile bölümünden kalan 2
3! = 6
→
5 ile bölümünden kalan 1
4! = 24
→
5 ile bölümünden kalan 4
5! = 120
→
5 ile bölümünden kalan 0
6! = 120
→
5 ile bölümünden kalan 0
⋅⋅
⋅
DNA 77
19! + 2, 19! + 3, 19! + 4, ..., 19! + 19
sayılarından kaç tanesi asaldır?
A) 0
100!
→
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
5 ile bölümünden kalan 0
5! in 5 ile bölümünden kalanın 0 olduğunu bulduk. Sonraki
Çözüm
sayılara teker teker bakmamıza hiç gerek yok. Onların da
5 ile bölümünden kalanlar 0 olur.
19! + 2 = 19 ⋅ 18 ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1 +
Şu halde,
2 nin katı
1 + 1 + 2 + 1 + 4 + 0 + 0 + ... + 0 = 9
olup, 9 un 5 ile bölümünden kalan 4 olduğundan, cevap
= 2 nin katı
2 nin katı
19! + 3 = 19 ⋅ 18 ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 +
3 ün katı
4 tür.
Doğru Seçenek E
2
3
= 3 ün katı
3 ün katı
19! + 4 = 19 ⋅ 18 ⋅ ... ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 +
4 ün katı
4
= 4 ün katı
4 ün katı
⋅⋅
⋅
19! + 19 = 19 ⋅ ... ⋅ 1 +
19 un katı
19
= 19 un katı
19 un katı
Böylece, bu sayılardan hiçbirinin asal olamayacağını gördük. Şu halde, cevap 0 dır.
1! + 3! + 5! + ... + 141!
Doğru Seçenek A
toplamının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 0
334
B) 1
9. SINIF MATEMATİK
C) 2
D) 3
E) 4
Sayılar - Bölüm 06
Faktöriyel
Bu terimleri alt alta yazalım.
2! – 1!
3! – 2!
A = {40! + 3, 40! + 5, 40! + 7, ..., 40! + 39}
4! – 3!
olduğuna göre, A kümesinin asal olan kaç elemanı
vardır?
5! – 4!
A) 0
B) 1
C) 2
D) 17
⋅⋅
⋅
E) 18
+
⋅⋅
⋅
21! – 20!
21! – 1! = 21! – 1
Doğru Seçenek D
DNA 78 ile bir IŞIK elde etmiş olduk.
Işık 11
A = {17! + 2, 17! + 3, ..., 17! + 18}
olduğuna göre, A kümesinin kaç elemanı asal sayıdır?
1 ⋅ 1! + 2 ⋅ 2! + 3 ⋅ 3! + ... + n ⋅ n! = (n + 1)! – 1
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
1 ⋅ 1! + 2 ⋅ 2! + 3 ⋅ 3! + ... + 40 ⋅ 40!
DNA 78
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) (20!)2
1 ⋅ 1! + 2 ⋅ 2! + 3 ⋅ 3! + ... + 20 ⋅ 20!
D) 41! + 1
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) (20!)2
B) (21!)2
D) 21! – 1
B) 41! – 1
C) 41!
E) (40!)2
C) 21!
E) 21! + 1
Çözüm
1 ⋅ 1! + 2 ⋅ 2! + 3 ⋅ 3! + ... + 20 ⋅ 20!
1 ⋅ 1! + 2 ⋅ 2! + 3 ⋅ 3! + ... + 2007 ⋅ 2007! = n! – 1
= (2 – 1) ⋅ 1! + (3 – 1) ⋅ 2! + (4 – 1) ⋅ 3! + ... + (21 – 1) ⋅ 20!
olduğuna göre, n kaçtır?
= (2 ⋅ 1! – 1!) + (3 ⋅ 2! – 2!) + (4 ⋅ 3! – 3!) + ... + (21 ⋅ 20! – 20!)
A) 2008
= (2! – 1!) + (3! – 2!) + (4! – 3!) + ... + (21! – 20!)
B) 2009
D) 2011
C) 2010
E) 2012
9. SINIF MATEMATİK
335
Faktöriyel
Sayılar - Bölüm 06
DNA 79
Pozitif tam sayılar kümesinde tanımlanmış bir f fonk-
Pozitif tam sayılar kümesinde tanımlanmış bir f fonksiyonu
siyonu her n için,
her n için,
f(n + 1) = (n + 1) ⋅ f(n)
f(n + 1) = (n + 1) ⋅ f(n)
eşitliğini sağlamaktadır.
eşitliğini sağlamaktadır.
f(1) = 1 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğ-
f(1) = 1
rudur?
olduğuna göre, f(2007) kaçtır?
A) 2007
B) 2007!
D) 2008!
C) 2008
A) f(8) = 9!
B) f(9) = 8!
C) f(10) = f(9) ⋅ f(8)
D) f(6) = f(5) ⋅ [f(4)]2
E) 1
E) f(10) = f(7) ⋅ f(6)
Çözüm
f(1) = 1
f(2) = 2 ⋅ 1 = 2 ⋅ 1 = 2!
f(3) = 3 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2! = 3!
DNA 80
⋅⋅
⋅
n ve m doğal sayılardır.
f(2007) = 2007 ⋅ 2006! = 2007!
Doğru Seçenek B
10! = 2n ⋅ m
eşitliğini sağlayan en büyük n değeri kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Çözüm
10! = 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10
= 21 ⋅ 3 ⋅ 22 ⋅ 5 ⋅ (21 ⋅ 3) ⋅ 7 ⋅ 23 ⋅ 32 ⋅ 21 ⋅ 5
Bir dizinin n inci teriminin terim numarasına n diyelim.
= 28 ⋅ 34 ⋅ 52 ⋅ 7 = 2n ⋅ m
1, a, b, c, d, e, f, k
sayıları bu dizinin ilk 8 terimidir.
Bu dizinin birinci terimi dışındaki her bir terimi, terim
numarasıyla kendinden bir önceki terimin çarpımına
eşit olduğuna göre, k aşağıdakilerden hangisidir?
A) 6!
336
B) 7!
9. SINIF MATEMATİK
C) 8!
D) 9!
E) 10!
n en çok 8 olabilir.
Doğru Seçenek E
Sayılar - Bölüm 06
Faktöriyel
İyi ki 10! in yerinde 30! yoktu.
Yoksa; 30 a kadar sayıların içerisinde ne kadar 2 çarpanı
olduğunu ayrı ayrı yazıp bulmak zorunda kalacaktık.
DNA'mızda 10! sayısının içerisinde en çok kaç tane
Hep çarparak sayacak değiliz ya! Bölerek sayalım. ☺
B) 45
C) 47
D) 48
E) 52
→ 5 tane 2 nin katı
4
→ 2 tane 4 ün katı
2
10
A) 30
2
5
10
70! = 3k⋅ 5m ⋅ n
eşitliğinde k + m toplamı en çok kaçtır?
2 çarpanı var diye sormaktadır.
10
k, n ve m pozitif doğal sayılar olmak üzere,
8
→ 1 tane 8 in katı
1
5+2+1=8
Demek ki 8 tane 2 çarpanı varmış.
k, n ve m doğal sayılar olmak üzere,
Hadi daha da basitleştirelim.
10
80! = 2n ⋅ 5m ⋅ k
eşitliğinde n + m toplamı en çok kaçtır?
2
A) 50
5
2
+
2
2
+
1
B) 68
C) 78
D) 87
E) 97
5+2+1=8
Demek ki tüm 2 çarpanlarının sayısı 8 miş.
Hazine 9
DNA 81
n! sayısının içinde, p asal sayısının kuvveti en çok istendiğinde,
n sayısı p sayısına bölünür, bölüm p ye tekrar bölünerek işleme devam edilir. Ta ki bölüm p den küçük
kalana kadar. Elde edilen bölümlerin toplamı p asal sayısının kuvvetinin en büyük değerini verir.
x ve y pozitif doğal sayılardır.
29! = 4x ⋅ y
eşitliğine göre, x en çok kaçtır?
A) 26
B) 18
C) 14
D) 13
E) 12
9. SINIF MATEMATİK
337
Faktöriyel
Sayılar - Bölüm 06
“n! sayısının sondan kaç basamağında sıfır vardır?” tü-
Çözüm
ründeki meşhur soru tipini ele alalım. Bir doğal sayının
29 u hemen 4 e bölme hatasına düşmeyelim, çünkü 4 asal
içinde ne kadar 10 çarpanı varsa sonunda o kadar sıfır
vardır. n! sayısının sonundaki sıfır sayısını aramak, “bu
sayı değildir.
sayının içinde kaç tane 10 çarpanı var?” sorusuna cevap
4x = (22)x = 22x
aramaktan başka bir şey değildir. Bunu bulmak için n sa-
olduğundan 29 u 2 ye bölmeliyiz.
29
yısını 10 a bölerek işe başlarsak yanlış yaparız. Çünkü 10
2
sayısı asal değildir. Peki, ne yapacağız?
14
2
+
7
2
+
3
+
Basit bir örnekle başlayalım.
2
1
“11! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?” sorusuna
cevap verelim.
2x = 14 + 7 + 3 + 1 = 25
11! = 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10 ⋅ 11
⇒ x = 12,5
↓
2
olur.
Ancak, x ∈ N olacağından, x = 12,5 alamayız. x in tam
kısmı olan 12 yi alırız.
↓
22
↓
↓
51 2⋅3
↓
23
↓
32
↓
2⋅5
10 = 2 ⋅ 5 olduğundan sadece 2 ve 5 lerin sayılarına bakmalıyız.
Doğru Seçenek E
11! = 28 ⋅ 52 ⋅ ...
11! = 26 ⋅ 22 ⋅ 52 ⋅ ...
11! = 26 ⋅ 102 ⋅ ...
11! sayısının içinde iki tane 10 çarpanı olduğundan, sondan iki basamağı sıfırdır. Burada şu noktaya dikkatinizi
n ve m pozitif doğal sayılardır.
çekmek istiyoruz. Elimizde 4 tane “Matematik”, 100 tane
75! = 8n ⋅ m
de “Vadisi” kelimesi varken en çok kaç tane “Matematik
eşitliğinde n en çok kaçtır?
A) 22
B) 23
C) 24
Vadisi” oluşturabiliriz? Tabi ki 4 tane. Buna benzer şekilD) 25
E) 26
de, elimizde 8 tane 2 ve 2 tane 5 varken, 2 tane 2 yi 2
tane 5 ile çarpıp 2 tane 10 elde ettik. Artık elimizde hiç 5
kalmadı. Bu yüzden geriye kalan 2 lerle yeni bir 10 elde
etmemiz mümkün değildir. Yani 11! de ne kadar 5 varsa
o kadar 10 vardır. Dolayısıyla 11! sayısının sondaki sıfır
sayısı, 5 çarpanının sayısı kadardır.
Işık 12
120! = 125n ⋅ t
eşitliğini gerçekleyen kaç değişik (n, t) doğal sayı ikilisi vardır?
A) 6
338
B) 7
9. SINIF MATEMATİK
C) 8
D) 9
E) 10
n! sayısının içinde ne kadar 5 çarpanı varsa, sayının
sondan o kadar basamağı sıfırdır.
Sayılar - Bölüm 06
Faktöriyel
Çözüm
DNA 82
İki sayının da sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bu-
32! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
lalım.
Sondan 9 + 1 = 10 basamak sıfır.
45!
Çözüm
32
+
9
5
+
1
a sıfırdan farklı rakam olmak üzere,
45! = ...a0000000000
şeklinde yazılır.
32! in sondan 6 + 1 = 7
5
6
5
5
Sondan 11 + 2 = 13 basamak sıfır.
basamağı sıfırdır.
56!
1
Doğru Seçenek C
5
11
5
+
2
b sıfırdan farklı rakam olmak üzere,
56! = ...b0000000000000
şeklinde yazalım.
56! = ...b0000000000000
45! = .........a0000000000
+
56! + 45! = ...b00a0000000000
45! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
A) 9
B) 10
C) 12
D) 13
E) 15
Toplamın sondan 10 basamağı sıfırdır. Yani 45! in sonundaki sıfır sayısı kadar.
Doğru Seçenek A
89! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
A) 17
B) 18
C) 19
D) 20
64! + 67! toplamının sondan kaç basamağı sıfırdır?
E) 21
A) 14
B) 15
C) 25
D) 28
E) 29
DNA 83
45! + 56! toplamının sondan kaç basamağı sıfırdır?
A) 10
72! + 84! toplamının sondan kaç basamağı sıfırdır?
B) 11
C) 13
D) 15
E) 23
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
9. SINIF MATEMATİK
E) 19
339
Faktöriyel
Sayılar - Bölüm 06
meye çalışacağız.
Işık 13
28! + 29! = 28! + 28! ⋅ 29 = 28! (1 + 29)
n, m ∈ N+ ve n > m olsun. n! ve m! in sonundaki ardı-
= 28! ⋅ 30 = 28! ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5
şık sıfır sayıları farklı ise n! ∓ m! sa