Kitle Ortalamasının Çok Değişkenli Tahmini

KĐTLE ORTALAMASII ÇOK DEĞĐŞKELĐ TAHMĐĐ
Sibel AL*
Hülya ÇINGI**
*Araş. Gör., Hacettepe Üniversitesi Đstatistik Bölümü Beytepe-ANKARA, e-mail: [email protected].
**Prof. Dr., Hacettepe Üniversitesi Đstatistik Bölümü Beytepe-ANKARA, e-mail: [email protected]
ÖZET
Basit rastgele örnekleme yönteminde kitleye ilişkin çeşitli parametrelerin tahmin
edilmesinde yardımcı değişkenlerin kullanımı oldukça yaygındır. Gupta ve Shabbir (2007) iki
yardımcı değişken kullanarak sonlu kitle ortalamasının tahmin edicisini elde etmişlerdir. Bu
çalışmada Gupta ve Shabbir (2007)’in önerdiği tahmin ediciden yola çıkarak p yardımcı
değişken için kitle ortalaması tahmin edicileri önerilmiş ve hata kareler ortalamaları elde
edilmiştir. Bir sayısal örnek verilerek hata kareler ortalamaları yönünden karşılaştırılmıştır.
Anahtar Kelimeler: Basit Rastgele Örnekleme, Yardımcı Değişken, Hata Kareler Ortalaması
(HKO)
ABSTRACT
Use of auxiliary variables is very common in estimating various population parameters
in simple random sampling. Gupta and Shabbir (2007) introduced a mean estimator of a finite
population using two auxiliary variables. In this study, we introduce a mean estimator of a
finite population using p auxiliary variables according to proposed estimator by Gupta and
Shabbir (2007) and we derived a mean square error . Mean square errors were compared with
given a numerical example.
Keywords: Simple Random Sampling, Auxiliary Variables, Mean Square Error (MSE)
1. Giriş
Kitle ortalamasını ya da toplamını tahmin etmek amacıyla yardımcı değişken
kullanımı oldukça yaygındır. Bu kapsamda oransal ve regresyon tahmin edicileri kullanılarak
kitle ortalaması ya da toplamı tahmin edilebilmektedir.
Yerine koymaksızın basit rastgele örnekleme yöntemi ile birimli bir kitleden n
birimlik bir örneklem çekilsin. y ilgilenilen değişkeni, x yardımcı değişkeni ve i = 1,2,..., n
olmak üzere xi ve yi örneklem değerlerini ifade etsin. x ve y örneklem ortalamalarını, X
ve Y ise kitle ortalamalarını göstermektedir. C x = S x / X ve C y = S y / Y değerleri değişim
katsayılarını vermektedir. ρ xy ise x ve y arasındaki ilişki katsayısıdır. f = n / olmak
üzere λ = (1− f ) / n ile ifade edilmektedir. X ’nın bilindiği varsayılmaktadır. Bu bilgiler
ışığında Y ’nın klasik oransal tahmin edicisi,
X
y R = y  
(1)
x
olarak ve hata kareler ortalaması ise,
HKO( y R ) = λY 2 C y2 + C x2 − 2 ρ xy C x C y
(2)
biçiminde elde edilmektedir (Cochran,1963).
(
)
1
2. Gupta ve Shabbir (2007) Tarafından Önerilen Oransal Tahmin Edicisi
Gupta ve Shabbir (2007) x ve z değişkenlerini y ile pozitif ilişkili yardımcı
değişkenler olarak ele alarak, kitle ortalamasını tahmin etmek amacıyla bu iki yardımcı
değişken bilgisini kullanıp aşağıda verildiği gibi yeni bir tahmin edici sınıfı önermişlerdir.
J
J
y m = y ( f i ( x )) 1 ( f i ( x )) 2
i = 1,2,3,4
(3)
Burada f 1 ( x ) Sisodia ve Dwivedi (1981), f 2 (x ) Singh ve Kakran (1993), f 3 ( x ) ve f 4 (x )
Upadhyaya ve Singh (1999) tahmin edicileri olarak ele alınmıştır. Upadhyaya ve Singh
tahmin edicisinden yola çıkarak u i = xi + β 2 ( x ) ve vi = z i + β 2 ( z ) olmak üzere iki yardımcı
değişken bilgisini kullanarak,
1
2
 XC + β (x)   ZC + β (z) 
U  V 
ym(US2) = y    = y x 2   z 2 
(4)
u  v 
 xCx + β2(x)   zCz+β2(z) 
biçiminde yeni bir tahmin edici tanımlamışlardır. ξ 0 = ( y − Y ) / Y , ξ1 = (x − X ) / X ,
J
J1
J
J2
ξ 2 = (z − Z ) / Z ve E (ξ i ) = 0 , E (ξ 02 ) = λC y2 , E (ξ12 ) = λC x2 , E (ξ 22 ) = λC z2 olmak üzere (4)
no’lu eşitlik
−J
−J
y m (US 2) = Y (1 + ξ 0 )(1 + θ1ξ1 ) 1 (1 + θ 2ξ 2 ) 2
(5)
eşitliğine dönüştürülmüş ve Taylor serisine açılımı (6) ile verilen eşitlikte görülmektedir.
Burada f (ξ i ) , ξ i' ’lerin üçüncü ve daha yüksek derecedeki terimlerine karşılık gelmektedir.
y m (US 2) = Y [1 + ξ 0 − θ1 J 1ξ1 − θ1 J 1ξ 0ξ1 − θ 2 J 2ξ 2 − θ 2 J 2ξ 0ξ 2 + θ1θ 2 J 1 J 2ξ 0ξ1
J 1 ( J 1 + 1) 2
J ( J + 1) 2
ξ1 + θ 22 2 2
ξ 2 ] + f (ξ i )
2
2
Bu bilgiler ışığında tahmin ediciye ilişkin HKO ise,
HKO y m (US 2) = Y 2 λ (C y2 + θ12 J 12 C x2 + θ 22 J 22 C z2 − 2θ1 J 1 ρ yx C y C x
+ θ12
(
)
− 2θ 2 J 2 ρ yz C y C z + 2θ1θ 2 J 1 J 2 ρ xz C x C z )
(6)
(7 )
XC x
ZC z
ve θ 2 =
olarak ifade
XC x + β 2 ( x )
Z C z + β 2 (z )
edilmiştir. (7 ) nolu eşitlikte J 1 ve J 2 ’ye göre türev alınmış, optimal J 1 ve J 2 değerleri
bulunarak eşitlikte yerine konulduğunda minimum hata kareler ortalaması

ρ yx2 + ρ yz2 − 2 ρ yx ρ yz ρ xz 
2
2

HKOMin y m (US 2 ) = Y λC y 1 −
(8)
2


1
ρ
−
xz


ρ yx2 + ρ yz2 − 2 ρ yx ρ yz ρ xz
2
olarak elde edilmiştir. Burada R y • xz =
ile çoklu korelasyon katsayısı
1 − ρ xz2
ifade edildiğinde minimum HKO’sı
HKOMin y m (US 2) = Y 2 λC y2 1 − R y2• xz
(9)
olarak elde edilmiştir.
Gupta ve Shabbir (2007)’in önerdiği (4) ile verilen tahmin ediciden yola çıkarak
p yardımcı değişken bilgisinden yararlanılarak yeni bir oransal, çarpımsal ve regresyon
tahmin edicileri ve bu tahmin edicilere ilişkin hata kareler ortalamaları elde edilmiştir.
şeklinde elde edilmiştir. Burada, θ1 =
(
)
(
)
(
)
2
3. Önerilen Oransal Tahmin Edici
xi i = 1,2,..., p olmak üzere y ile pozitif ilişkili yardımcı değişkenler olsun. p tane
yardımcı değişkenli kitle ortalaması tahmini için önerilen tahmin edici,
Ji
η X + τ i 
(10)
yÖ1 = y ∏  i i

i =1  η i x i + τ i 
şeklindedir. η i , τ i , J i ve p değerleri özelleştirildiğinde daha önce bilinen tahmin edicilere
ulaşılabilmektedir . Bu tahmin ediciler ve hata kareler ortalamaları Tablo 1’de verilmektedir.
Önerilen tahmin ediciye ilişkin hata kareler ortalaması Taylor serisi yöntemi
uygulanarak Ri = Y / X i ve θ i = η i X i / (η i X i + τ i ) olmak üzere,
p
(11)
HKO( yÖ1 ) ≅ d∑ d'
ifadesi ile de elde edilmektedir. Burada d , tahmin edicide değişkenlere göre birinci
türevlerden oluşan bir vektör olarak tanımlanmaktadır. ∑ ise varyans kovaryans matrisidir
(Çıngı,2004).
d = (1 − J 1θ1 R1 − J 2θ 2 R2 ... − J pθ p R p )
(12)
 S y2

 S yx1

 S yx2
∑ = λ .
 .

 .
 S yx
 p
S yx1
S yx2
2
x1
S x1 x2
S
S x1 x2
.
.
.
S x1 x p
S x22
.
.
.
S x2 x p
... S yx p 

.... S x1 x p 

... S x2 x p 
.
. 
. 
.

. 
.
2
... S x p 
(13)
p
p
p

HKO y Ö1 = λY 2  C y2 − 2∑ J iθ i C yxi + ∑∑ J i J k θ iθ k C xi xk
i =1 k =1
i =1

HKO’sı matris formunda yazılmak istendiğinde,
b 1' ×p = (b1 b2 ... b p )
bi = J iθ i
( )
A p×p = (a ik )
e'1×p = (e1
e2
aik = ρ xi xk
.... e p )
ei = ρ yxi
C xi C x k
C y2
C xi



(14)
(15)
(16)
(17)
Cy
olmak üzere,
HKO y Ö1 = λS y2 (1 − 2b' e + b' Ab )
( )
(18)
olarak elde edilir. Minimum HKO’sını bulmak amacıyla b vektörüne göre türev alındığında
R y2• x1 x2 ... x p çoklu korelasyon katsayısına karşılık gelmek üzere,
( )
(
)
(
HKOMin y Ö1 = λS y2 1 − e' A −1 e = λS y2 1 − R y2• x1 x2 ... x p
)
(19)
sonucu elde edilir. Burada ∆ korelasyon matrisi ve ∆ ij , ∆ korelasyon matrisinin i. satır
ve j. sütunu için kofaktör elementi olmak üzere,
det (∆ )
R y2• x1 x2 ... x p = 1 −
det (∆ 11 )
ifadesi ile çoklu korelasyon katsayısı elde edilir (Singh 2003).
3
(20)
no
Tablo 1: Çeşitli Oransal Tahmin Ediciler ve Hata Kareler Ortalamaları
p η
Tahmin Edici
HKO
Ji
τi
i
(
HKO( y ) = λY (C
HKO( y ) = λY (C
1
1
1
0
J1 = 1
2
1
1
0
J1 = α
3
1
1
Cx
J1 = 1
( )
α
y 2 = y (X / x )
y3 = y (X + C x / (x + C x ))
4
1
1
β 2 (x )
J1 = 1
y4 = y X + β 2 (x ) / ( x + β 2 (x ))
5
1
β 2 (x )
Cx
J1 = 1
y5 = y Xβ 2 (x ) + C x / (x β 2 (x ) + C x )
6
1
Cx
β 2 (x )
J1 = 1
y6 = y XC x + β 2 (x ) / (x C x + β 2 (x ))
7
1
1
ρ xy
J1 = 1
y7 = y X + ρ xy / x + ρ xy
8
2
1
0
J1 = α1
(
)
(
)
(
)
)
HKO( y6 ) = λY 2 C y2 + C x2ω2 (ω2 − 2 K )
(
(
))
Singh ve Kakran (1993)
ν = X / (X + β 2 (x ))
Upadhyaya ve Singh (1999)
ω 1 = Xβ 2 ( x ) / Xβ 2 ( x ) + C x
Upadhyaya ve Singh (1999)
ω2 = XC x / (XC x + β 2 (x ))
Singh ve Tailor (2003)
ψ = X / (X + ρ xy )
(
)
HKO( y7 ) = λY 2 C y2 + C x2ψ (ψ − 2 K )
α2
 X2 


 x 
 2 
 C y2 + α12C x2 + α 22C x2 + 2α1C yx 
1
2
i 
HKO( y8 ) = λY 2 
 + 2α C + 2α α C

2
yx
1
2
x
x
2
1 2


Dayyeh ve diğerleri (2003)
Kadılar ve Çıngı (2006)
γ 1 = XC x / (XC x + ρ xy )
(
)
(
)(
)
HKO( y9 ) = λY 2 C y2 + C x2γ 1 (γ 1 − 2 K )
(
)(
)
HKO( y10 ) = λY 2 C y2 + C x2γ 2 (γ 2 − 2 K )
J1 = 1
y9 = y XC x + ρ xy / x C x + ρ xy
10
1
ρ xy
Cx
J1 = 1
y10 = y Xρ xy + C x / x ρ xy + C x
11
1
β 2 (x )
ρ xy
J1 = 1
y11 = y Xβ 2 (x ) + ρ xy / x β 2 (x ) + ρ xy
12
1
ρ xy
β 2 (x )
J1 = 1
y12 = y Xρ xy + β 2 (x ) / x ρ xy + β 2 (x )
13
2
C xi
β 2 (xi )
J1
Srivastava (1967)
Sisodia ve Dwivedi (1981)
ϕ = X / (X + C x ) K = ρ xyC y / C x
(
J2 = α2
(
)
(
)
(
)
Kadılar ve Çıngı (2006)
γ 2 = Xρ xy / (Xρ xy + C x )
(
)(
)
HKO( y11 ) = λY 2 C y2 + C x2γ 3 (γ 3 − 2 K )
(
)(
)
HKO ( y12 ) = λY 2 C y2 + C x2γ 4 (γ 4 − 2 K )
Kadılar ve Çıngı (2006)
γ 4 = Xρ xy / (Xρ xy + β 2 (x ))
2 2 2
2 2 2
 C y2 + ω21
J1 Cx1 + ω22
J 2 Cx2 − 2ω21J1ρ yx1 C yCx1 
HKO( y13) = λY 2 
 − 2ω J ρ C C + 2ω ω J J ρ C C 
22 2 yx2 y x2
21 22 1 2 x1 x2 x1 x2 

Gupta ve Shabbir
(2007)
HKO ( y14 ) = λY 2 C y2 + C x2ω1α (αω1 − 2 K )
Singh ve diğerleri (2008)
 X1Cx + β2(x1) 
1

y13 = y
 x1Cx + β2(x1) 
1


y14
)
HKO( y5 ) = λY 2 C y2 + C x2ω1(ω1 − 2 K )
α1
J1 = α
+ C x2ϕ (ϕ − 2 K )
)
ρ xy
Cx
2
y
(
Cx
β 2 (x )
2
)
HKO( y4 ) = λY 2 C y2 + C x2ν (ν − 2 K )
1
1
+ α 2C x2 − 2αρ xyC xC y
3
9
14
2
y
(
(
Cochran (1963)
2
2
)
X 
y8 = y  1 
 x1 
J2
)
HKO( y1 ) = λY 2 C y2 + C x2 − 2 ρ xyC xC y
y1 = y X / x
J1
 Xβ 2 ( x ) + C x
= y 
 x β 2 (x ) + C x
 X2Cx + β2(x2 ) 
2


 x2Cx + β2(x2 ) 
2


α




J2
(
4
Kadılar ve Çıngı (2006)
γ 3 = Xβ 2 (x ) / (Xβ2 (x ) + ρ xy )
)
)
4. Önerilen Çarpımsal Tahmin Edici
xi i = 1,2,..., p olmak üzere y ile negatif ilişkili yardımcı değişkenler olduğunda. p
tane yardımcı değişkenli kitle ortalaması tahmini için oransal tahmin edici yerine önerilen
tahmin edici,
Ji
η x +τ i 
yÖ 2 = y ∏  i i

i =1 η i X i +τ i 
şeklinde tanımlanmaktadır.
Bu tahmin edicinin HKO’sı benzer şekilde
p
p
p


HKO y Ö2 = λY 2  C y2 + 2∑ J iθ i C yxi + ∑∑ J i J k θ iθ k C xi xk 
i =1 k =1
i =1


olarak elde edilmektedir. Yine aynı şekilde matris formunda yazılmak istendiğinde,
HKO y Ö2 = λS y2 (1 + 2b' e + b' Ab )
p
(21)
( )
(22)
( )
(23)
olarak ifade edilmekte ve minimum HKO’sı
HKO Min y Ö2 = λS y2 (1 − e' A −1 e ) = λS y2 1 − R y2• x1 x2 ... x p
(
( )
)
(24)
şeklinde bulunmaktadır.
5. Önerilen Regresyon Tahmin Edici
Çok değişkenli oransal tahmin ediciye regresyon eklendiğinde elde edilen tahmin edici
yÖ3
p
 p η i X i + τ i 

=  y + ∑ Bi (X i − xi )∏ 

i =1
 i =1  η i xi + τ i 

Ji
(25)
şeklindedir.
Bu
tahmin
edicinin
HKO’sı
Taylor
serisi
yöntemi
uygulanarak
HKO( y Ö3 ) ≅ d∑ d' eşitliği ile elde edilmiştir. Bu tahmin ediciye ilişkin d vektörü
d = (1 − B1 − J 1θ1 R1 − B2 − J 2θ 2 R2 ... − B p − J pθ p R p )
olarak görülmektedir.
p
p
p

HKO y Ö3 = λ  S y2 − 2∑ (Bi + J iθ i Ri )S yxi + ∑∑ (Bi + J iθ i Ri )(Bk + J k θ k Rk )S xi xk
i =1
i =1 k =1

( )
(26)

 (27 )

b * , ve e * vektörleri ile A * matrisi aşağıdaki biçimde tanımlandığında HKO’sı matris
formunda ifade edilmektedir.
b'1*× p = b1* b2* ... b *p
bi* = Bi + J iθ i Ri
(28)
(
)
A *p× p = (aik* )
(
e '1*× p = e1*
a *ik = ρ xi xk
e2* ... e *p
)
ei* = ρ yxi
( )
HKO y Ö3 = λS y2 (1 − 2b * ' e * + b * ' A *b * )
S xi S xk
(29)
S y2
S xi
(30)
Sy
(31)
*
b vektörüne göre türev alındığında minimum HKO’sı
( )
(
−1
)
(
HKOMin y Ö3 = λS y2 1 − e * ' A * e * = λS y2 1 − R y2• x1 x2 ... x p
5
)
(32)
olarak elde edilir. Burada R y2• x1 x2 ... x p ilgilenilen değişken ile yardımcı değişkenler arasındaki
(20) nolu eşitlikte verilen çoklu korelasyon katsayısıdır.
6. Sayısal Gösterim
Tablo 1’de verilen ve önerilen tahmin edicilere ilişkin kitle tahmin değerleri ve hata
kareler ortalamaları, Hacettepe Üniversitesi Biyoloji Bölümünden elde edilen 2006 yılına ait
Ankara Gölbaşı Aqupark bölgesinde toplanan 150 adet Asteraceae (sevgi çiçeği) çiçeğine
ilişkin tohum ölçümlerini içeren veriler kullanılarak elde edilmiştir. 150 adet sevgi çiçeğinden
ağırlık değişkeninin varyansından yararlanılarak ortalama tahmini için hoşgörü miktarı 0,0005
alınarak 32 adet, basit rasgele örnekleme yöntemi ile çekilmiştir. Pappus uzunluğu ( y ) ,
tahmin edilmeye çalışılan değişken, ağırlık ( x1 ) , en ( x 2 ) ve boy ( x3 ) uzunluğu ise yardımcı
değişkenler olarak ele alınmıştır. Tek yardımcı değişkene sahip tahmin ediciler için ağırlık
değişkeni, iki yardımcı değişkene sahip tahmin ediciler için ağırlık ve en uzunluğu yardımcı
değişkenler olarak ele alınıp ortalama pappus uzunluğu tahmin edilmek istenmiştir.
Değişkenlere ilişkin kitle değerleri Tablo 2’de, örneklem değerleri Tablo 3’te ve tahmin
edicilere ilişkin HKO değerleri ve örneklemden elde edilen kitle tahmin değerleri Tablo 4’te
verilmektedir.
Tablo 4’te verilen tahmin edicilere ilişkin HKO değerleri hesaplanırken, Srivastava,
Dayyeh ve diğerleri, Singh ve diğerleri, Gupta ve Shabbir tahmin edicileri için minimum
HKO bulunmuştur. Srivastava’nın önerdiği tahmin edicide minimum α değeri α = ρ xy C y / C x
eşitliği ile, Dayyeh ve diğerlerinin önerdiği tahmin edicide minimum α 1 ve α 2 değerleri
C y ρ yx1 − ρ yx2 ρ x1x2
− C y ρ yx2 − ρ yx1 ρ x1 x2
α1 =
ve α 2 =
eşitlikleri ile, Singh ve diğerlerinin
2
C x1 1 − ρ x1 x2
C x2 1 − ρ x21x2
(
(
)
)
(
(
)
)
önerdiği tahmin edicide minimum α = K / ω1 eşitliği ile, Gupta ve Shabbir’in önerdiği tahmin
C y ρ yx1 − ρ yx2 ρ x1 x2
J1 =
J1
ve
J 2 değerleri
ise
ve
edicide
minimum
ω 21C x1 1 − ρ x21x2
(
J2 =
(
C y ρ yx2 − ρ yx1 ρ x1x2
ω 22 C x (1 − ρ
2
2
x1 x2
)
)
(
)
)
eşitlikleri ile elde edilmiştir. Bu eşitlikler HKO’sında yerine
konulanarak minimum HKO değerleri elde edilmiştir.
Önerilen oransal tahmin edici için Upahyaya ve Singh tahmin edicisinden yola çıkarak
tahmin edici,
 X 1C x1 + β 2 ( x1 )   X 2 C x2 + β 2 ( x 2 )   X 3C x3 + β 2 ( x3 ) 
 
 

(33)
y Ö1 = y 
 x1C x + β 2 (x1 )   x 2 C x + β 2 ( x 2 )   x3C x + β 2 ( x3 ) 

 
3
 
2
1

biçiminde tanımlanmıştır. Bu tahmin ediciye ilişkin minimum HKO değerini bulmak için (18)
nolu eşitlikte b vektörüne göre türev alındığında minimum b vektörü, b = A −1e eşitliği ile
elde edilmektedir.
J2
J1
6
J3
Tablo 2: Değişkenlerin Kitle Değerleri
Değişkenler
Toplam
Ortalama
Pappus(mm) 264,1400
0,5734
Ağırlık(mm)
153,8900
En (mm)
374,7900
Boy (mm)
1,7609
0,0038
1,0259
2,4986
Varyans
0,1323
2,47E-06
0,0239
0,0326
St.
Basıklık
Sapma
0,3637
5,8392
0,0016
1,6581
0,1546
2,9757
0,1806 20,1576
Değişim
Katsayısı
0,2065
0,4109
0,1507
0,0723
Tablo 2’ye bakıldığında pappus ve boy uzunluğuna ilişkin değişkenlerin normal
dağılıma göre sivri, en uzunluğu ve ağırlık değişkenlerinin normal dağılıma göre basık olduğu
görülmektedir.
Tablo 3: Değişkenlerin Örneklem Değerleri
Değişkenler
Pappus(mm)
Ağırlık(mm)
En (mm)
Boy (mm)
Toplam Ortalama Varyans St. Sapma Basıklık Değişim Katsayısı
55,8200
1,7444
0,1231
0,3509
1,9301
0,2011
0,1230
0,0038 3,04E-06
0,0017
1,4741
0,4539
32,1000
1,0031
0,0306
0,1749
2,6977
0,1744
2,4613
0,0160
0,1264
2,3088
0,0513
78,7600
Kitleye ilişkin korelasyon matrisi (34) nolu eşitlikte görülmektedir.
 1,000 0,051 0,114 0,452 


 0,051 1,000 0,832 0,394 
(34)
∆=
0,114 0,832 1,000 0,367 


 0,452 0,394 0,367 1,000 


Korelasyon matrisi incelendiğinde ağırlık ve pappus uzunluğu arasında 0,051
değerinde anlamlı bir ilişki bulunmuştur. En ve pappus uzunluğu arasındaki ilişki miktarı
0,114 boy ve pappus uzunluğu arasındaki ilişki miktarı ise 0,452olarak bulunmuştur.
Tablo 4:Ortalama Tahmin Edicilerinin HKO Değerleri ve Kitle Tahmin Değerleri
Tahmin Ediciler
Öneri 1
Gupta -Shabbir
Dayyeh ve diğerleri
Svivastava
Singh ve diğerleri
Kadılar-Çıngı 1
Upadhyaya-Singh 1
Sisodia-Dwivedi
Singh-Kakran
Upadhyaya- Singh 2
Kadılar-Çıngı 2
Kadılar-Çıngı 4
Singh-Tailor
Kadılar-Çıngı 3
Cochran
HKO
Ortalama Tahmini
0,000532603
1,745152
0,000680239
1,757480
0,000680239
1,732602
0,000691781
1,744129
0,000691781
1,744128
0,000691831
1,744088
0,000692081
1,744229
0,000692521
1,744286
0,000693276
1,744353
0,000693455
1,744366
0,000693519
1,744370
0,000693569
1,744374
0,000697122
1,743704
0,000711583
1,743312
0,003299038
1,734807
7
Tablo 4 incelendiğinde bu veriler için en uygun tahmin edicinin önerilen çarpımsal
tahmin edici olduğu görülmektedir. Ayrıca elde edilen pappus uzunluğuna ilişkin ortalama
tahmin değerleri gerçek değere yakın değerler çıkmıştır.
7. Sonuç
Bu çalışmada, yardımcı değişken kullanımının ortalama tahmin edicileri ve HKO
değerlerinin hesaplanması üzerindeki etkisi incelenmiştir. Gupta ve Shabbir (2007) tahmin
edicisinden yola çıkılarak p yardımcı değişken bilgisinden yararlanılarak ortalama tahmini
için genel bir tahmin edici sınıfı önerilmiştir. Yardımcı değişkenler ile tahmin edilmek istenen
değişken arasında pozitif ilişki olduğunda oransal, negatif ilişki olduğunda çarpımsal tahmin
edici sınıfı önerilmiş ve hata kareler ortalaması bulunmuştur.
Oransal tahmin edicide y yerine regresyon tahmin edicisi konularak daha iyi bir
tahmin edici elde edilebileceği düşünülmüş fakat oransal tahmin edici ile aynı minimum hata
kareler ortalaması elde edilmiştir. Ancak hata kareler ortalaması elde edilirken d vektöründe
tahmin edilmek istenilen değişkene ( y ) göre birinci türev alındığında sonuç 1 olduğundan
HKOMin ( y ) = λS y2 1 − R y2• x1 x2 ... x p sonucu beklenen bir durum olarak karşımıza çıkmaktadır
(
)
(Çıngı,2004).
Sonuç olarak genelleştirilmiş ortalama tahmin edici sınıfına ilişkin minimum hata
kareler ortalaması çoklu korelasyon katsayısı ile bağlantılı olduğundan tahmin edilmek
istenen değişken ile yardımcı değişkenler arasındaki çoklu korelasyon katsayısı arttıkça
minimum hata kareler ortalamasının küçüleceği söylenebilir.
8. Kaynaklar
1- Gupta, S., Shabbir, J., 2007. “On the use of transformed auxiliary variables in estimating
population mean by using two auxiliary variables.” J. Statist. Plann. Inference 137, 16061611.
2- Singh, H. P., Tailor, R., Singh S., Kim J., 2008. “A modified estimator of population mean
using power transmission”. Statist. Papers 49, 37-58.
3- Çıngı, H, 2004. “Oransal Tahmin Ediciler”, Ders Notları, Hacettepe Üniversitesi, Đstatistik
Bölümü, Beytepe, Ankara.
4- Upadhyaya, L. N., Singh, H.P., 1999. “Use of transformed auxiliary variable in estimating
the population mean.” Biometrical J. 41 (5), 627-636.
5- Wolters K., 1985. Introduce to Variance Estimation. Springer, New York.
6- Kadılar C., Çıngı H.,“An Improvement in Estimating The Population Mean By Using The
Correlation Coefficient”, Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 35, 1, 103109,2006.
7- Dayyeh, W.A.A., Ahmed, M.S., Ahmed, R.A., Mutlak, H.A, 2003, “Some estimators of a
finite population mean using auxiliary information”, Applied Mathematics and Computation,
139, 287-298.
8- Singh S.,2003. Advanced Sampling Theory with Applications: How Michael ‘selected’
Amy, Kluwer Academic Publishers, London.
9- Sisodia, B. V. S. and Dwivedi, V. K, 1981: A Modified Ratio Estimator Using Coefficient
of Variation of Auxiliary Variable. Journal of Indian Society Agricultural Statistics 33, 13–
18.
10- Singh, H. P., Kakran, M. S., 1993, A modified ratio estimator using known coefficient of
kurtosis of an auxiliary character. (unpublished).
11- Cochran, W. G., 1963. Sampling Techniques, John Wiley and Sons, New York
8
12- S.K. Srivastava, 1967, An estimator using auxiliary information in sample surveys.
Calcutta Statistical Association Bulletin 16, 121–132.
9