ÖN SÖZ

ÖN SÖZ
İşletme, İktisat, Yaşam Bilimleri (Biyoloji, Ziraat, Tıp vb.) ve Sosyal Bilimler için Genel
Matematik kitabının on ikinci baskısı, lise veya buna denk okullardaki cebir bilgileriyle gelen öğrencilerin Genel Matematik derslerinde bir veya iki dönemde okuyacakları bir kitap olarak tasarlanmıştır. Kitabın genel yaklaşım tarzı, yazarların yüksek
okulların birinci sınıflarındaki öğrencilerdeki düzey farklılıklarının yarattığı öğretme
ve öğrenme zorluklarından edindikleri deneyimlerin süzgecinden geçmiştir.
Bizim temel amacımız, öğrencilerin kolayca kavrayabilecekleri bir kitap yazmaktı.
Bir kitabın öğrencilere yararlı olmasında birçok etken vardır. Metinlerin yanlışsız
ve okunabilir olması en başta olmak üzere, kitabın etkili olması için, sayfa düzeni,
sunumların etkin olması, destekleme yetisi ve öğrencilerin konuları kolayca kavramalarını sağlayıcı olağanüstü bir etki yapması gerekir. Her düzeydeki öğrenciler için
bu kitabın sunduğu bazı yöntemler (nitelikler) şunlardır:
•
•
•
•
•
•
•
Sayfa yerleşimi itinalı ve olası dikkat dağıtıcı unsurlardan arınıktır.
Tam olarak çözülmüş olan örnekleri izleyen Benzer Problemler, öğrencilere temel konuların sağlam bilgi birikimini kazandırmaya ve ileri konulara geçmeden
önce anlama düzeylerini değerlendirmelerine yardım eder.
Tekrar bölümleri (Ek A, Bölüm 1 ve 2), ön bilgilerdeki boşlukların tamamlanmasına çözüm getirmek için akıllıca kullanılabilir.
Ek A daki temel cebir bilgileri öğrencilerin ihtiyaç duyacakları ön bilgileri içerirken, Bölüm 1 den önceki Cebir Tanılama Testi, öğrencilerin önceki becerilerini
değerlendirmelerine yardımcı olur.
Araştırma ve Tartışma problemleri; tartışmayı, yeni kavramlara veya konuşulan
konunun üstüne yeni bilgiler koymaya götürür. Bu problemler, her düzeydeki
öğrencilerin matematik kavramlarının içyüzünü daha iyi anlamalarına, küçük ve
büyük sınıf gruplarında etkili olan düşündürücü sorularla yardımcı olur.
Alıştırma kümeleri, zorluk düzeylerine göre çok bilinçli ve dikkatli bir şekilde,
A, B ve C gibi üç sınıfa ayrılmıştır. Bunlar öğretim üyesine, öğrencilerin ihtiyaçlarını en iyi şekilde karşılayacak ev ödevleri bulma konusunda yardımcı olacaktır.
Bu kitap için hazırlanmış olan “MyMathLab”, öğrencilerin çalışmalarını ve öğretim üyelerinin de öğrencilerin gelişimleri hakkında bilgi edinmelerini sağlayacak biçimde düzenlenmiştir.
Yukarıdakilere ek olarak bütün öğrenciler, işletme, iktisat, yaşam bilimleri ve sosyal
bilimlerden gerçek problemler kurarak ve çözerek sağlam deneyimler elde ederler.
Bu kitabın yazılmasındaki en büyük kaygı, onun matematik kuramı olarak içeriği
kadar, hesaplama yeteneği, fikirler ve problem çözümlerine verdiği önemle birlikte
matematiksel doğruluğudur.
Son olarak konuların seçimi ve birbirlerine bağımlılığı, kitabı çeşitli derslere
kolayca uyarlanabilir yapmaktadır (xii. sayfadaki bölümlerin bağımlılık çizelgesine
bakınız.). Bu kitap, yazarların üç kitaptan oluşan yüksek okul matematik kitapları
dizisinden biridir. Ötekiler, İşletme, İktisat, Yaşam Bilimleri (Biyoloji, Ziraat, Tıp vb.)
ve Sosyal Bilimler için Sonlu Matematik ve İşletme, İktisat, Yaşam Bilimleri (Biyoloji,
Ziraat, Tıp vb.) ve Sosyal Bilimler için Yüksekokul Matematiğidir. Sonuncu kitap, ilk
ikisinden seçilmiş bazı konulardan oluşur. Ek Diferensiyel Hesap (Kalkülüs) Konuları adlı kitap, bu kitaplarla birlikte kullanılabilecek biçimde Barnett/Ziegler/Byleen
dizisine tamamlayıcı olarak yazılmıştır.
vii
Bu Baskıdaki Yenilikler
Bir kitabın etkili bir kitap haline gelebilmesinde, sınıf içi kullanımı ve okuyucularından aldığı yorum, fikir ve eleştiriler önemli bir etkendir. İşletme, İktisat, Yaşam Bilimleri (Biyoloji, Ziraat, Tıp vb.) ve Sosyal Bilimler için Genel Matematik kitabının on
ikinci baskısı, bu etkenlerden büyük ölçüde yararlanmıştır. Bu baskıdaki yenilikler,
matematik bölümlerindeki öğretim üyeleriyle yapılan anketler, ders planları, üniversite ve yüksekokul ders içeriklerinin incelenmesinin yanı sıra önceki baskıların çok
sayıda kullanıcısından gelen cömert eleştiriler göz önüne alınarak oluşturulmuştur.
Bu baskıda;
• Bölüm 2 ye, bölüm özetlerinin kullanımına daha fazla esneklik kazandırmak için
polinomlar ve rasyonel fonksiyonlarla ilgili yeni bir kesim (2-4) eklenmiştir.
• Sürekli bileşik faiz, Kesim 2-5 içinde bir alt kesim olarak verilmiştir.
• Bölüm 3 te yatay ve düşey asimptotların işlenmesi (Kesim 3-2), süreklilik (Kesim
3-3) konusunun önüne alınmıştır.
• Örnekler ve alıştırmalar, içerik ve bilgi bakımından güncellenmiştir (101, 104105. sayfalara bakınız.).
• Kitap boyunca anlatımlar, daha açık ve basit olacak biçimde gözden geçirilmiştir.
• Benzer Problemlerin cevapları, öğrencinin daha kolay ulaşabilmesi için her kesimin sonuna alınmıştır.
• Temel Cebir için Kendini Deneme Testinin adı değiştirilerek Cebir Tanılama Testi
yapılmış ve öğrencinin kendini değerlendirmesine cesaret vermek için Ek A dan
alınarak, kitabın ön kısmına, Bölüm 1 in hemen önüne konulmuştur.
• “Hazırlama” diye adlandırılan ve ön koşul alıştırmalarını içeren bölüm de dahil
olmak üzere, “MyMathLab” içindeki alıştırmaların kapsamı genişletilmiştir.
Güvenilir Özellikler
Vurgu ve Biçim
Daha önce de ifade ettiğimiz gibi bu kitap, öğrencinin konuları iyi kavraması için
yazılmıştır. Bu amaçla, kitabın hem matematik olarak doğru hem de öğrenciler için
erişilebilir olmasına odaklanıldı. Birçok çıkarım ve ispat, eğer içerikleri, matematiksel kuramdan çok, belirli bir kavramı anlamaya, hesaplama yeteneğine, fikirlere ve
problem çözmeye yönelik değilse, atlandı. Genel kavramlar ve sonuçlar, özel haller
görüşüldükten sonra tam anlamıyla verildi.
Tasarım
Bu kitabın ayırıcı özelliklerinden biri, sayfalarının arı, dolambaçsız bir desende olmasıdır. Kitabın izlenmesi, önemli konular belirli bir düzende sıralanarak, belirtme
çizgileri ve eğitsel özellikler akıllıca kullanılarak kolaylaştırılmıştır. Öğrencilerin matematik konuları ve uygulamaları üzerine odaklanmalarını kolaylaştırmak için iki
renkli tasarımı sürdürmeye karar verdik.
Öğrenciler ister bölüm başından isterse alıştırma kısmından başlasın konuyu anlaması için gereken içeriği, örnekleri ve kavramsal sezgileri kolayca bulabilirler.
Son olarak, renklerin işlevsel kullanılışı, birçok gösterimin, grafiğin ve açıklamanın
berraklığını artırır ve öğrencinin ciddi basamakları aşmasının yolunu gösterir (27,
100, 107. sayfalara bakınız.).
Örnekler ve Benzer Problemler
viii
Kavramları tanıtmak ve problem çözme yollarını göstermek için 300 den fazla tam
çözümlü örnek konulmuştır.
Örneklerin çoğunun birkaç kısımdan oluşması, çözümlü örnek sayısını önemli ölçüde artırmıştır. Örnekler çözülürken yapılan her adım, bu adımın sağ yanına konulan
mavi renk yazı ile açıklanmıştır ve problem çözme adımları açık seçik belirtilmiştir.
Öğrencilere daha fazla yardımcı olabilmek için örneklerin çözümünde, başka kitaplarda genellikle akıldan yapılan ve ara sıra nedeni açıklanan kısımlar, nokta nokta
çizilmiş kutucuklar içine alınmıştır (4. sayfadaki Örnek 2 ye bakınız.). Bazı öğrencilerin bu ek adımlara gereksinimi olmamasına karşın birçok öğrencinin, kendilerinin
çok fazla ön bilgiye sahip olmadıklarını varsaymalarından ötürü yazarlara minnettar
kalacağını umuyoruz.
ÖRNEK 5 Logaritmik Denklemlerin Çözümü
3
2 log b
4 - 23 logb 8 + log b 2 = log b x
denklemini doğrulayan x sayısını bulunuz.
3
2 log b
ÇÖZÜM
logb 4
4 - 23 log b 8 + log b 2 = logb x
3/2
- logb 82/3 + logb 2 = log b x
Özellik
7 7
Property
logb 8 - logb 4 + log b 2 = log b x
logb
8
#
2
4
= log b x
Özellik
5 ve 56 and 6
Properties
logb 4 = log b x
x = 4
Benzer Problem 2
Özellik 8 8
Property
3 logb 2 + 12 log b 25 - log b 20 = logb x
denklemini doğrulayan x sayısını bulunuz.
Metni okurken öğrencinin çalışması için her örneği, bu örneğe çok benzeyen bir
problem, Benzer Problem adıyla izlemektedir. Bu, öğrenciyi etkin bir şekilde öğrenme sürecine katar. Benzer problemlerin cevapları, kolayca bulunabilmesi için hemen
o kesimin sonunda verilmiştir.
Araştırma ve Tartışma
Her kesim, yeri geldikçe, sonucu vermeden önce öğrenciyi bağlantılar ve süreç hakkında düşünmeye sevkedici veya metindeki konunun gelişiminde ek sonuçları buldurmaya yönelik Araştırma ve Tartışma problemleri içermektedir. Bu problemler,
eleştirel düşünmeye ve iletişim becerilerinin gelişmesine teşvik eder. Araştırma ve
Tartışma kısımları, sınıf içi veya sınıf dışında küçük ve büyük öğrenci grupları için
etkin olarak kullanılabilir.
ALIŞTIRMA VE TARTIŞMA 2
İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğinin kaç tane x kesmesi bulunabilir? Kaç
tane y kesmesi bulunabilir? Nedenini açıklayınız.
Alıştırma Kümeleri
Kitap 4300 ün üzerinde, özenle seçilmiş ve sıralandırılmış alıştırma içermektedir.
Problemlerin çoğunun birkaç kısımdan oluşması, alıştırma sayısını önemli ölçüde
artırmıştır. Ardışık tek ve çift numaralı problemler aynı tür ve zorlukta olacak biçimde ikişerli olarak düzenlenmiştir. Her alıştırma kümesi, öğreticiye, öğrenciler için
doğru ödevi vermesini sağlayacak biçimde düzenlenmiştir. Alıştırma kümeleri, öğreticilerin sınıflarına uygun gelen ödevi seçmelerini kolaylaştırmak için, A (sıradan,
kolay işlemler), B (biraz zorca işlemler), C (zor işlemler ve biraz kuramsal) biçiminde sınıflandırılmıştır. Bir simge ile işaretlenen yazılı alıştırmalar, öğrenciye, konuyu
ne kadar kavradığını yazılı olarak ifade etme fırsatı sağlar. Bütün tek numaralı problemlerin cevapları, kitabın sonunda bulunmaktadır.
Uygulamalar
Bu kitabın esas amacı, öğrenciye gerçek yaşam problemlerini biçimlendirme ve çözmede temel bir deneyim kazandırmaktır. En kuşkucu öğrenciyi bile matematiğin
gerçekten yararlı ve kullanışlı olduğuna ikna etmeye yetecek çoklukta uygulamayı
içermektedir (Kitabın son kısmındaki Uygulamalar Dizinine bakınız.). Hemen hemen her alıştırma kümesi, işletme ve iktisattan, yaşam bilimlerinden, sosyal bilimlerden uygulama problemleri içerir. Öğretici, sınıfında bulunan öğrencilerin çoğunluğunun ilgi alanına bağlı olarak bu uygulamalardan uygun olanlarını seçebilir.
ix
Uygulamaların çoğu, uzman dergi ve kitaplardan esinlenerek seçilmiş güncel gerçek
yaşam problemlerinin basitleştirilmiş yorumlarıdır. Bu uygulama problemlerini çözmek için herhangi bir özel bilgi gerekmemektedir.
Teknoloji
Birçok öğrencinin, grafik hesap makinesi veya elektronik hesap tablosu edinemeyeceği varsayılmakla birlikte büyük olasılıkla bazı öğrencilerin bu teknolojiden yararlanmak isteyeceği düşünülmüştür. Bu öğrencilere yardımcı olmak amacıyla, uygun
yerlerde seçmeli olarak grafik hesap makinası ve elektronik hesap tablosu ile ilgili
etkinlikler konulmuştur. Bunlar metin içinde kısa tartışmalar içerirler. Örneklerin
bir kısmı veya tamamı grafik hesap makinası veya elektronik hesap tablosu ile çözülmüştür, alıştırmaların çözümü öğrenciye bırakılmıştır. Örneğin lineer regresyon Kesim 1-3 te tanıtılmıştır ve gerçek verilerle matematiksel modellemedeki uygun noktaları göstermek için grafik hesap makinesi kullanılmıştır. Grafik hesap makinesi ile
ilgili kısımlarının tümü,
simgesiyle açıkça işaretlenmiştir ve istenildiği taktirde bu
kısımların işlenmemesi kitabın sürekliliğini bozmaz. Elektronik hesap tablosu kısımların tümü,
simgesiyle açıkça işaretlenmiştir. Matematiksel doğruluğu sağlamak
için bütün grafikler bilgisayarla oluşturulmuştur. Grafik hesap makinesinin ekranı
metin içinde grafik hesap makinesinden alınan gerçek görüntüleriyle sergilenmiştir.
Ek Eğitici Özellikler
Aşağıdaki özellikler her öğrenciye yararlı olduğu gibi, özellikle öğreticiye ulaşmanın
daha güç ve seyrek olduğu büyük sınıf ortamında bulunan öğrenciler için yararlıdır.
Bu özellikler, zor kavramların üstesinden gelmeye çalışırken öğrencilerin çok ihtiyaç
hissettiği kılavuzluğu sağlar.
•
Dikkat çekme kutuları, önemli tanımları, sonuçları ve adım adım süreçleri vurgular (90, 96-97. sayfalara bakınız.).
•
Uyarı ifadeleri, metin boyunca öğrenci hatalarının sık sık ortaya çıktığı yerlerde
görülür.
UYARI Örnek 11 de x = 0 ın 1900 ü temsil ettiğine dikkat ediniz. Eğer biz,
x = 0 ın 1940 ı temsil ettiğini kabul etseydik, farklı bir logaritmik regresyon denklemi elde ederdik. Fakat 2015 için yapılan öngörü aynı kalırdı. Logaritma fonksiyonu
0 noktasında tanımsız olduğundan x = 0 ın 1950 yi (Tablo 1 deki ilk yıl) veya daha
sonraki bir yılı temsil ettiğini kabul edemeyiz.
•
Kavramsal Gözlem kutuları hemen hemen her kesimde görülürler ve öğrencinin
önceki bilgileriyle açık bir bağlantı kurmasını sağlarlar.
KAVRAMSAL GÖZLEM
(2, 7) gösteriminin iki farklı anlamı vardır: Biri, birinci bileşeni 2, ikinci bileşeni 7 olan
sıralı reel sayı ikilisidir. Öteki, 2 ve 7 arasındaki reel sayılardan oluşan açık aralıktır. Bu
gösterimin hangi anlamda kullanıldığı genellikle onun kullanıldığı metinden belli olur.
(2, −7) gösterimi bir sıralı ikili anlamında olmalıdır, bir aralık olamaz. Aralık gösteriminde, sol bitim noktası daima önce yazılır. Buna göre (−7, 2) doğru bir aralık gösterimidir,
(2, −7) değildir.
•
•
x
Koyu yazılar, yeni bir terimi tanıtmak veya önemli bir açıklamayı vurgulamak
için kullanılmıştır.
Cebir Tanılama Testi, bu baskıda kitabın ön kısmına konulmuştur ve öğrenciye
bu dersi almadan önceki ön bilgilerini değerlendirme olanağı sağlar. Ek A daki
Temel Cebir Bilgileri, içeriğindeki yedi kesimle öğrencilere özel alanlarda ihtiyaç duydukları yararlı bilgileri sağlar. Cebir tanılama testinin cevapları, kitabın
son kısmında verilmiştir.
Bölüm Özetleri
Öğrenciler için kavramlar genellikle bölüm sınavlarına hazırlanırken aydınlığa kavuştuğundan, bölüm özetleri özellikle önem kazanır.
Bölüm özetlerinde, çözümlü örneklere uygun olan bölüm alıştırmalarının yanı sıra,
önemli terimlerin, sembollerin ve kavramların kapsamlı bir özeti verilmiştir.
Bölüm alıştırmalarının çoğunun cevapları kitabın sonunda bulunmaktadır. Öğrencilerin bilgilerindeki eksikliklerini kendilerinin tamamlayabilmeleri için her cevabın
yanında o probleme benzer örneklerin bulunduğu kesimin numarası verilmiştir.
İçerik
Kitabın metni, Bölüm 1 ve 2 de elementer fonksiyonların tanımları, özellikleri ve
kullanılma yerleriyle birlikte başlamaktadır. Öğrencileri, matematiksel kavramları
anlamaları için, cebirsel olduğu kadar, grafiklerle ve sayısal örneklerle yüreklendirdik. Bu durum, bu kitapta ve gelecekte, matematiğin anlaşılması için bir temel oluşturur. Ders içeriklerine ve öğrencilerin ön bilgilerine bağlı olarak bu iki bölümün bir
kısmı veya tümü dersin başında veya ihtiyaç duyuldukça gözden geçirilebilir.
Kitabın ikinci kısmı olan (Kalkülüs) kısmı, diferensiyel hesap (Bölüm 3−5), integral hesap (Bölüm 6−7), çok değişkenli fonksiyonlar (Bölüm 8), trigonometrik
fonksiyonların diferensiyellenmesi ve integrallenmesi (Bölüm 9) bölümlerinden
oluşmaktadır. Genel olarak Bölüm 3, 4, 5 ve 6 art arda izlenmek zorundadırlar ama
yine de bazı kesimler atlanabilir veya kısaca özetlenebilirler.
• Bölüm 3, türevi tanıtır. İlk üç Kesim, Kesim 3−4 te verilen türevi anlamak için
gerekli olan, (sonsuz limitler ve sonsuzda limitler de dahil olmak üzere) limitler,
süreklilik ve limit özelliklerine ayrılmıştır. Bölümün kalan kısmı, diferensiyellenme kuralları, diferensiyeller ve türevin iş ve ekonomi dünyasındaki uygulamalarını içermektedir. Grafikler, sayısal ve cebirsel kavramlar arasındaki bağlantılar
burada ve kitap boyunca vurgulanmıştır.
•
Bölüm 4 te, logaritmik ve üstel fonksiyonların türevleri, çarpım kuralı, bölüm
kuralı ve zincir kuralından önce işlenmiştir. Kapalı fonksiyonların türevi Kesim
4−5 te tanıtılmış ve Kesim 4−6 daki bağıl oran problemlerinde kullanılmıştır.
Talebin esnekliği, Kesim 4−7 de tanıtılmıştır. Bölüm 4 ün geriye kalan üç kesimindeki konular kitabın hiç bir yerinde dayanak gösterilmediğinden atlanabilir.
•
Bölüm 5, grafik çizme ve optimizasyon konusuna odaklanmıştır. İlk iki kesim,
birinci türev ve ikinci türevin grafik çizimiyle ilgisine ayrılmıştır. L’Hopital kuralı,
Kesim 5−3 te görüşülmüştür. Kesim 5−4’te grafik çizme yöntemleri anlatılmış
ve örnekler verilmiştir. Kesim 5−5 ve 5−6, örnekler ve problemleriyle birlikte,
optimizasyon konusunu işlemektedir.
•
Bölüm 6, integral konusunu öğretmektedir. İlk iki kesim, kitabın geriye kalan
kısmında temel olacak olan integral hesaplama tekniklerine ayrılmıştır. Diferensiyel denklem içeren bazı uygulamaların görüşüldüğü Kesim 6−3, istenirse
atlanabilir. Belirli integral, Kesim 6−4 te Riemann toplamları ile tanımlanmıştır. Diferensiyel hesabın temel teoremi, Kesim 6−5 te verilmiştir. Daha önce
de yapıldığı gibi, grafikler, sayısal ve cebirsel kavramlar arasındaki bağlantılar
vurgulanmıştır. Bu iki kesim, kitabın sonraki bölümleri için gerekli bilgiler içermektedir.
•
Bölüm 7, ek integral konularıyla donatılmıştır ve öğretim üyesine en büyük esnekliği sağlayacak biçimde düzenlenmiştir. İlk kesim, Bölüm 6 da tanıtılmış olan
alan kavramının, iki eğri arasındaki alan kavramına genişletilmesine ve ilgili uygulamalara ayrılmıştır. Kesim 7−2, integralin üç tane daha uygulamasını verir.
Kesim 7−3 ve Kesim 7−4, ek integral yöntemleriyle ilgilidir. Bölüm 7 deki konuların tümü veya bir kısmı geçilebilir.
xi