Dimensional Tıme-Lıke Center Ruled Surface In The Mınkowskı

SAÜ
1
Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi
(1997) 69-74
On the (k-m+ 1 )-dimensional Time-Like Center Ruled Surface
in the Minkowski space,
R
Murat TOSUN
Sakarya üniversitesi, Fen-Edeb(vat Fakültesi, Matematik Bölümü, 54100, lviiihatpaşa \ .ADAP.AZARI
Abstract:
In this paper we give the basic properties of
(k+ ı )-diınensional generalized time-like ruled suıface in
the n-diınensional Minkowski space, R . Moreover we
cliscuss tlıe (k-m+ 1 )-dimensional time-like center nıled
surfaces of (k+ ı )-diınensionaJ time-like ruled surfaces
in R
merkez regle yüzeyi üzerinde duruldu ve ınerkez regle
yüzey ile ilgili iki tcorem ifade ve ispat edildi.
II. GenelleştirilmişTirne-tike Regl e Yüzeyler
Rf 'In-boyutlu
Minkowski uzayının bir a tiıne-like
eğrisinin her noktasında tanıınlı bir ortonarmal vektör
{e1 (t) e (t) ... ek (t)} olsun.Bu
alan sistemi
ınakalede
I. Giriş: Bu
tüm
ınanifoldlar.
dönüşümler.vektör alanlan vb Coo sınıfından kabul
edilmiştir. Rn n-boyutJu vektör uzayı olmak üzere
aşağıda verilen siınetrik,bilineer ve non-dejenere metrik
üzerinde Lorentz n1etrik olarak
tensör , R
isimlendirilir.
TR
n
ı
(a(t))
(X Y) L
=
(I. ı)
i=l
(1.1)
n
ile verilen Lorentz metrik ile R ikilisi n-boyutlu
\1inkowski uzayı olarak isimlendirilir ve
R
ile
R
{e1 (t) e2(t),... ek (t)}
,
R
Bu yüzeye
a
tııne-like eğrisi boyunca hareket
de (k+ I )-boyutlu bir yüzey ıneydana gelir.
R
de (k+1 )-boyutlu genelleştirilmiş regle
yüzey adı verilir ve M ile gösterilir. Ek(t) alt uzayı ve
a
tiıne-lik.c eğrisL sırasıyla_ doğrultnıan uzayı ve
dayanak eğrisi olarak isiınlendirilir.
Bu regle yüzey
k
Q>(t ,u1,u2, ...uk) a(t) + Luiei(t)
=
ı ı
de bir eğri a ve a nın hız vektörü a
•
llınak iızere eğer
=
dir. Ek (t) alt uzayı
gösterilir.M" R Minkowski uzayı üzerinde bir yüzey
Jlsun.Eğer M üzerine indirgenmiş ınetrik Lorentz
:netriği ise bu takdirde M time-like yüzey olarak
siınlendirilir.
•
a., a (
O ise a eğrisi tiıne-like eğri
ile parametrize edilir.
kısmi türevleri aluursa
>larak adlandınlır.Aynca Minkowski uzayı ile ilgili
>asit taıuın ve teoreınler [4]de bulunabilir.
E n-boyutlu
Öklid
uzayında
(k+ !)-boyutlu
enelleştirilmiş re gle yüzeyler AslanecR.[ 1 ] Frank, H.
tnd Giering. 0.(2] Juzza..M.[3] Thas,C. (4] çalışıldı. İlk
ılarak [6] de regle yüzeylerle yapılan bu araştırmalar
•
<Pt-
nin t ve
u1 1 < i < k ye gore
.,
k
a(t) + Luieı(t)
ı
=-
n
ı
bulunur.
:t
uzayında incelendi.Bu çalışınada (k+ 1 )-boyutlu
iıne-like regle yüzeyin (k-ın+ 1 )-boyutlu tinıe-like
sisteın
tanjant uzayının k-boyutlu bir alt uzaYJnı
Ek ( t)
ederken
Yi - XnYıı
,
2
gerer. Eğer bu alt uzayı Ek(t) ile gösterirsek, o zaman
n
n-ı
,
Çalışmamız boyunca
69
Space, Rn,
i
sk
w
ko
in
M
he
T
In
ce
fa
ur
S
d
On The (k-m+1) -Dimensional Tıme- Lıke Center Rule
.
.
l
f u,e,(t}.e1(t).e tt)
a(t) +
sisteıni lineer
.
ı=
el(t)
..
k
•
e
ı
1
=
'a
.f...J !J.eJ + K ak
ı
I< i<m
,
1 !
J= ı
Ek (t)
bağınısız ve
(ll. )
k
em+S = "ae
L..ı SJ j
alt uzayı space-like
•
alt ULav olarak kabul edilecektir.
l< s<k-ın
.,
r-ı
-
bağıntılan geçerli olacak şekilde seçilebilir. Burada
Ek ( t)
alt uzayına M nin
denır ve .A(t) ile gösterilir
boy(A(t))
Eğer
=
aıJ = -a.iı
ye göre asirnptotik demeti
k+ m O < ın< k
edilirse A(t) asiınptotik deınctinin
Ek ( t)
kabul
yi ihtiva eden
1C
1 )K 2 )
•
• •
)K m )0
diL(4 ].
Sabit
t0
bir
E
I
için,
e
{ 1 (t), e2(t), ...ek (t)}
m
e =
ı
J= 1
aııeJ + 'cr . ak
s=
ıs
ı
ıs
1 <i
,
< k
•
(ll.l)
e = K i {t0 )ak
em+s = o
olduğu görülebilir.
y tiLe
t11
E
ve
Ek ( t)
111
E
de (k+ !)-boyutlu tiıne-like regle
de M nin doğrultınan uzayı olsun.
I olmak üzere {e1(t0),e2(t0), ... ek(t0)}
E ı..: ( t)
J
nin
c
ortanonnal
bir
I olacak
şekilde
bulunabilirki bu aralıkta
(e 1, e, ) = O
öyle
Ek ( t) nin Vt
1
,
<
i, j <
{
bazı
E
1
,
da
doğrultınan
her
t EI
uzayına
göre
.
k
ortanonnal baz vektörleri
için keyfi seçilebilirler.
a(m-'-p)(m
aralığı
Bu şekilde seçilen
ı
s)
=o
.,
1
< s, p < k
-
m
(Il.6)
ifadesi geçerlidir.
(11.2)
}
M yüzeyinin sabit bir noktası P
<f>( t., u
1.,
.
U2., .. u
k)
k
a+ Lu,e1.,e1.,e2.,
'
< i, j <k
==
ise P noktasındaki teğet uLayın bir bazı
ortononruı.l
geçerli olacak şekilde paraınetrelendirilir ise (II.l) den
1
em(t)}nin
E (t )
ortonarınal tümJeyeni olan
.
ortonarmal bazlar için (4) denklcıninde
olsun.
Eğer ivl. (k+ l )-time-like regle yüzeyi (II.2) ifadesi
.,
., l < i <m
ı < s <k - m
ı
{em+ ı (t), e2(t), ... ek { t)}
bazı tck türlü olarak bulunabilic(4].
a 'J = O
(t0)
ıçın
k
e1 (t) , e2 (t ) ...,ek ( t)
olacak şekilde bir
J
bir
verilen
ortonorınal bazı . teoreınii.l de
{e1(t),e2(t), .
alır.
şeklini
R
ı-,
•
a,ı = -aJl
.
de
(11.4) denklenıi
olduğu açıktır . Bu denkıcınden ise
Teoremll.l.M
tcoreıniL2
verilen ortanormal baz olarak seçilirse (II.3) den dolayı
şeklinde bir ortanormal bezı bulunabilir. Burada
k
(ll.5)
.. ı
dır. t sabit tutularak
P noktası
Ek (t)
.
.. e k
u. 1 < i < k
ı
,
sayılan değiştirilirse
uzayının noktalarını tarar.Buna göre,
(ll.3)
bulunur.
Teoremii.2.M
yüzey
olsun.
doğnıltınan
ortonarınal baLı
70
,
R
de (k+ !)-boyutlu tinıe-like regle
(t)=k+m
uzavırun
.
boyA
olmak
üzere
Ek (t)
{e1 (t) , e2 (t), ...ek (t)}
uzayı
Ek (t)
nin
bütün
uzaylarının birleşiınini
gösterilir
ve
isiınlendirilir.
M
nin
P
noktalarındaki
kapsar. Bu
Teğetsel
altuzay
demeti
teğet
T(t)
ile
olarak
M. TOSUN
Acıktırki
biçiındeki
olacak
..
k+m<boyT(t)<k+m+l, O<m<k
dir. Yani boyT(t)==k+ın veya boyT(t)=k+ın+ I dir. Biz bu
çalışınada T(t) Teğetsel den1ctinin boyutunun (k+n1+ ı)
olınası durumunda ki hallerin üzerinde duracağız
Kabul edelinıki boyT(t)=k+ın+1 olsun.Bu durunıda
P(t)
Sp{e1, e2., ... ek, a}
noktası
denkle ın
P(t)
vektörleri
aJt uzayı içinde yatar. K5>0.1 <s<ın
UsKs +lls
olduğundan
ıçin
sistemiyle
=
O
1
.,
< s<m
tanıınıanan
Sp{e1,e2,... ek.,a}
içinde
P(t)
lineer
noktalan
(k-nı)-boyutlu
alt
uLavı
doldururlar. Bu alt uzava M nın Merkez uzavı denir ve
•
J
zk-m(t) ile gösterilir.
Ek (t) bir space-like alt uzay olduğundan bütün baz
vektörleri space-like dir.O halde Zk-nı(t) ınerkez uzayı
space-like altuzay dır.
dir.Bö,:lece
-
Böylece aşağıdaki teorenı verilebilir.
R
Teorcm 11.3. M.
cüınlesi T(t) nin ortonarınal bir bazı olacak şekilde bir
ak-m-- 1
biriın
belirtidir.
11m+ı
ışareti
vektöıü
=F
O
=
tek
olarak
olınak üzere
k
a
dışında
Lç,e! + L rıvak
v-1
... v
+ rım_._lak-m---1
yazılabilir.Herhangi bir P(t) dayanak eğrisi .. a.(t) eğrisine
bağlı olarak
ı= ı
k
==
;;
ı
\.'
Like Merkez Regle Yüze ·ler
Minko,vski uzayının (k+1 )-boyutlu M
time-like regle yüzeyi tarafından ihtiva edilen (k-ın+1 )
tıme-like
nıerkez
regle
yüzeyı
­
üzerınde
R 1•
Miııkowski u1..ayında (k+ l )-boyutlu
oluştururken..
M
nin Zk_111(t)
boyutlu tiınc-likc regle yüzey oluştunır.Bu regle yüzeye
ile gösterilir.[41.
Merkez regle yüze)-· adı verilir ve
k
+
-ı
(k+1 )-boyutlu
M.
ınerkez uzayıda aynı eğri boyunca bir diğer (k-ın+ ı)­
+uie1)
+
uieı)
n , Merkez regle yüzeyi
.
bulunur.Bu son dcnkleınde teoremll. l kullanılırsa
=
R 1•
Bu bölüınde
Q(t., X 1
P(t)
Eğer
merkez uzayı space-
uzayı a.(t) tiınc-like eğrisi boyunca
k
k
olsun.
tiınc-like regle yüzey M olsun. M nin Ek (t) doğrultınan
LÇie, + L llvak·i-\. L<uiei
ı
T(t)
IVIikowski Uzayında {k-m+l)-boyutlu Time­
tinıc-like rcgle yüzeyi
a(t) + L <uie,
=
R ,
Tanımlll.l
=ı
biçİnıinde yazılabilir. Buradan
k
deıneti
duracağız.
P (t) = a(t)+ Luı(t )ei(t)
!
teğetscl
like dır.
boyutlu
'
"'
P(t)
ve
boyT(t)==k+ın+ ı ise M nın Zk_111(t)
lll.
m
ı=l
yüze)'
de (k+1 )-boyutlu time-like regl e
n1
k
L(Ç_� +u-'+ Lu,aiJ + L uia,-')eJ
.,
X
2 .
ı
.
.
X
k- m )
k-m
=
a( t) + L X e ( t)
s
s
( Ill.l )
ile paraınetrizc edilir.
Şiındi bir I açık aralığında A(t) asinıptotik demetinin
(11.4) ve (11.6) ifadelerinin geçerli
olduğu
ı=m+l
.J-)
m
+ L (lls+ UsK s)ak -s+ llm+lak+m+l
s=l
elde edilir.
USK +lls
=
o
'
ı < s <m
bazını ele alalıın ve her tEl için bu ortonom1al bazı T(t)
teğctsel
ak
ı- ın ı
deınetinin
2, ...
, an
(II. 7) oıtonorınal bazına. bunuda
vektörleri yardıınıyla
R
nin
71
On The (k-m+1) -Dimensional Time- Like Center Ruled Surface In The Minkowski Space. Rn 1
bulunur.
ortanonnal bazına taınamlıyalıın.
ak+ ı, ak-r2., ... , ak-ı m, ak+ m+ ı
Bövlece
ı
..
.
vektörleri için aşağıdaki teoreın verilebilir.
R
Teoremlll.l M.,
türev
vektörü yerine yazılırsa
ak+i
-Kieı
=
(k-ın+1)-boyutlu tiıne-lik.e ınerkez regle yüzeyi olsun.
{ e1, e2., ... ek} ortonoıınal
Ek (t) doğıultınan uzayının
bazını
bazına
nın
{ak ı ak 2 ı
ı
.
.
.
ak
-..-
ın
.,
ak+ m ) ak + m -ı 2 ı .
.ı.
taınaınlavan
. ., an}
1==1
n
+
ak+m-ı ı
ı= ı
+ w ak .ı..m.ı.. ı +
ak· m+l
= -
}..
ı
lll
+ L w,ak+l
rı-
1
ı
k m
m.,. ı + L
ı
i..
B�,ak "m-A
yazılabilir.Buradan ise
LY lAak+m+A
lv 1
L wlak+l-
n-k- m
ı-ı
111
L
,A.
ı
Aa k+m+A
(III. 3)
bulunur.Bu
son
es
eşitliktc
1
'1
< s
<k
tür ev
vektöıiinün cşiti yerine yazılırsa
ak mı-ç = L w çı ak+ı + ç ak-1- tn 1
B
ı= ı
(III. 5)
LYıA.ak·m-�-A.
s::..l
+ wak
n -k-m
m
ı
k m
La(k+m+ !)s es
=
.
=-Kı ei+L tiıak+l
t
k
m
ı
türey
elde edilir. Benzer düşünceyle
sisteıninin türev vektörleri
ak ı
+ L 'tııak
+w ak+m+l
de (k+l)-boyutlu tiıne-like regle
ej
m
1 da M tarafından ihtiva edilen
)üzey Ye
-1
(11.4) denklemi ile verilen
bulundurularak
., an
gözönünde
(11.6)
denkleıninde
(III.4)
a(k+m+l)s
=
o
')
ı< s<k
bulunur.Ayrıca kolayca görebiliriz ki
ile veritır.
•
Ispat: (III. 2) ile verilen ortonom1al sisteıni gözönüne
alınırsa
dir. Böyleee
a k+m-4 ı
k
=
LaijeJ
+
J
-·
m
+
ak+m+Ç
L 'tııak+ı
ı
n-- k- m
wa k+ rn ı + L yiAa k_. m+ A
ı
1
<i<
-(ak ı, e1)
72
L f)lvak m-Li
(III.6)
A.-1
La[;ses
s= 1
111
+ L Wçıaı..:
ı= J
n-k- lTI
çak+m+l + LJ3çA.ak+m+A.
fl._ 2
..
aç..,
=O
.,
2< Ç<
n-
olduğu görülür. Bundan dolayı
,
ı< i <
ı
yazıJabilir.Yine benzer işleınler yapılarak
(a _,,e1)
=
=
+
ın
yazılabilir.Bu son denkleınden
=
l...:l
ı= ı
A.::-:1
a,1
- L w ,ak ı -
n- k m
elde edilir.Tekrar benzer olarak
ve buradan
ak+ı
=
m
m
,
ı<j<k
(III.4)
k- m
ı
I < s< k
M. TOSUN
m
L Wçıak+l + f3çak+m+l
ı.
ak+m+
n-k-m
+ Lf3çA.ak m+Ç
=
:::-
t
(111.7)
olması
"-=2
elde edilir. Böylece ispat taınaınlanmış olur.
(II.4),(Ill.5),(1II.6) ve (III.7) denklemlerini
fonnunda ekteki şekilde verebiliriz.
matris
a(t) dayanak eğrisinin a(t) hız ve.ktörü
k
a = L jej + rım+lak+m+l , rım+l ;t:. o
ı::.
1
=
<ııı.s)
(III.9)
k-m
P(t) = a(t) + L(xm+sem+s +xm+se m+s)
eğrisinin f2 tiıne-like ınerkez regle yüzeyinin ortogonal
yörüngesi olmasını karakterize eder.
Böylece
r2 tiıne-like ınerkez regle yüzeyine
II.bölüındeki teoriyi uygularsak. llnl+ ı :;ı:O olduğundan
1
k
P(t) = LÇjej + llm+lak+m+l
k -m
k
k-m
+ Lxm+sem+s + Lxm+s(La(m+s)jej)
sı
j=l
m
L<çı + xm+sa(m+s)l )e,
ı- ı
k-m
+ L<çm+s + xm+s)em+s + ıım- lak+m+l
r
]'ı
dır.Buradan dolayı .Q tiıne-like merkez regle yüzeyi her
tEl için Zk_111(t) doğnıltman uzayı ile aynı olan bir
Böylece son olarak aşağıdaki teoreın verilebilir.
Teorem ill.2. M.
R ;1
de (k+ I )-boyutlu tiıne-like regle
yüzey olsun. M tarafından ihtiva edilen
bo)1ıt1u tiıne-like ınerkez regle yüzeyi
(k-ın+ ı)rı
bir
'
Z k -m- s (t) merkez uzayına sahiptir.
REFERENCES
elde edilir (11.4) ve (111.8) gözönüne alınırsa
j=l
III.l O
==
s=-
s
Z k -·m-s (t) ınerkez uzayına sahiptir.
olmak üzere., bu eşitliğin t ye göre türevi alınırsa
s=l
e
1.,
s==J
s==
= es ,
P(t) f/:. {em+ .. .., ek., em+ . .. ,ek}
dır.i1 time-like ınerkez regle yüzeyinin keyfi bir P(t)
dayanak eğrisi.. cx.(t) eğrisine bağlı olarak
k-m
P(t) a(t) + Lxm+s(t)em+s(t)
- ( 111.12)
Sm--- s =0 ., l<s<k-m
( =sabit) olmakla beraber P(t)
xm+s
1
bulunur.
(l]ASLANER.,R: Master Sci. Thesis, İnönü Üniversity,
Graduate School of Natural and Applied Science ( 1989)
[2) FRANK.H. und GIERING .0: Verallgeıneinerte
regelflachen.Math.Zelt.l50,26 ı -271.1976
f3]JUZA. M: Ligne de striction sur une generalisation a
plusieurs
diınensions
d'une
surface
reglee.
Czechosl.Math. J. 12 (87), 143-250 1962
[4]0'NEILL, B.. Seıni-Rieınannian Geoınetry .. Acadeınic
Press, New York London. 1983.
[5) THAS C: Een (lokale) Studie Van de (ın+ l)­
dimensionalc Variete iten, Van de n-dimensionale
Euclidische Ruimte IR (n=2ın+1 en ın= ı ).. Beschreven
ın­
Door Een Eendiınensionale Familie Van
diıncnsionale lineaire Ruiten.Paleis Der Acadeınien­
I-lerttogsstroatJ BnısseL( 197 4 ).
(()TOSUN M: Ph. D. Thesis. Ondok uz Mavıs Ünivcrsitv.
(lr:ıduate School of Natural and .Applied Science (ı 995)
•
-
eşitliğini sağlayan P(t) noktalan rı timc-like nıerkez
regle yüzeyinin ortogonal yörüngesini oluştunırlar.
73
On The (k-m+1) -Dimensional Time- Like Center Ruled Surface In The Minkowski Space, Rn1 (Ek)
aı(m+t)
·
.
.
.
·
a.m(m+ 1) · ·
a(m+l)L. a(m+l) m
akl···
ek
ak+l
-
...
1( ı
-
akın o
a(rn+l)(m+l) ...
a.k(m+1)
· ·
·
o
o
0...
a.(m +l)k
().kk o
o
0...
't] ı ..
.
0..
.
. ..
.....,
,
. \{
')J··
,
1
ak +m
ak+m+ 1
ak+m+2
o...
-1(
m
0 ...
0 ...
o
o
o ...
o
o
o
o
o
...
-wı ...
o
W(n-k-m)l· · w(n-k-m)m
'tmm
-W
nı
W2rn
W 21 ·
··
ek ak +l Y
l (n-k-m)
·
··\\
.
"':ıY
1
•
..
'Y m2 . .
wm
o
o
o
'tml· ..
·
·
o
o
yı 2 ...
t
'
.
o...
Wl
'tım
o
.
o..
o
o
o
o... o
0...
o
o
o
- P2 . ..
- Pn-k-m Pı2 .. ·
B?
-
Pn-k-m P(n-k-m)2
·
Y m(n-k-m) ·
·
·
P)n-k-m)(n-k-m)
•..). }.. • 1
r
'
. '1 • '· •'\·.
....c.,,
·'t'-.f• J
•
1
'
•
f
'
74 1
1
l
,
ak+m+ ı ak+m+2 Pıcn-k-m)
·
ak+m •
.
-