işaret ve sistem analizinde olasılık yöntemleri

YILDIZ ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI Sayı.228
www.ieeeturkiye.wordpress.com adına yüklenmiş olup toplumları geliştiren
bilginin herhangi bir şekilde ulaşılaşılamaz olmasını kabullenemeyen kişi veya
kişiler tarafından upload edilmiştir.saygılarımzla...
İŞARET VE SİSTEM
ANALİZİNDE
OLASILIK YÖNTEMLERİ
Yazanlar:
Prof. George R. COOPER
Purdue Üniversitesi
Öğretim Üyesi
Prof. Clare D. McGILLEM
Purdue Üniversitesi
Öğretim Üyesi
Çeviren:
Prof. Metin YÜCEL
Yıldız Teknik Üniversitesi
Öğretim Üyesi
ÇEVİRENİN ÖNSÖZÜ
Yıldız Üniversitesi’nde, 1978-1979 Öğretim Yılından bu yana, Elektrik
Mühendisliği ile Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Bölümlerinde
okutmakta olduğum, “Mühendislikte Olasılık” ve Fen Bilimleri Enstitüsü
Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Anabilim Dalı, lisansüstü
programında verdiğim “Sistem Analizinde Olasılık Yöntemleri”
derslerini içermesi ve bu derslerim için temel ders kitabi olarak
kullandığım bu mükemmel eseri Türkçemize kazandırmaktan büyük bir
mutluluk duymaktayım.
Halen Amerika Birleşik Devletlerinin pek çok üniversitesinde
okutulmakta olan bu eserin Türkçe’sinin, meslek arkadaşlarıma,
öğrencilerime, konuyla ilgilenen mühendislerimize ve bilim
adamlarımıza yardımcı olacağını ümit ederken, düzenlemede, daktilo
etmede ve diğer pek çok konuda öneri ve eleştirilerini aldığım değerli
mesai arkadaşlarıma teşekkürü bir borç bilirim.
Kitabın hazırlanması, daktilo edilmesi aşamalarında oluşmuş ve
gözden kaçan hataların düzeltilmesi konusunda sayın okurlarımızdan
bağışlanmayı diler, değerli eleştirilerini beklerim.
Metin YÜCEL
Temmuz ,1988
ÖNSÖZ
Bu kitap, olasılık teorisi, rasgele işlemeler, ve rasgele girişler için
sistem analizine bir giriş sunmaktadır. Öğrencilerin sistem analizi ile
ilgili, katlama ve dönüşüm teknikleri gibi genel yöntemleri bildiği
düşüncesiyle bu kitap, üçüncü ve dördüncü sınıf mühendislik
öğrencileri düzeyine uygun olacak şekilde yazılmıştır. Ayrıca
lisansüstü öğrencilerine de, daha önce tanıştıkları oldukça dağınık
kaynaklardaki bilgilerin topluca gözden geçirilmesine olanak
sağlaması açısından faydalı olacaktır.
Bu bir mühendislik kitabi olduğundan, yapılmaya çalışılan, katı bir
teoriden çok uygulamaya yöneliktir ve öğrenci, bu kavramların
mühendislik problemlerine uygulanmasına ait pek çok örnek
bulacaktır. Gene de matematik bazdan tamamen uzaklaşılmamıştır.
Hatta, temel konuların birinde uzmanlaşmak isteyen biri, dilediğinde,
daha ileri çalışmalar için karşılaşılabilecek güçlüklerden çoğu ortaya
konularak gereken önem verilmiştir. Bu eserin yazarları, güç anlaşılır
konuların tekrarlanmasının eğitim işlevine en iyi biçimde hizmet
ettiğine inanmaktadırlar, bu nedenle, bu kitapta olasılık ve rasgele
işleme konularında ilk olmak amaçlanmıştır. Kuşkusuz son
olmayacaktır. Kitap çok kapsamlı bulunmayabilir fakat yazarların,
mühendislik problemlerinin çözümlerinde en kullanışlı buldukları
konular ele alınarak hazırlanmıştır.
Bu kitaptaki önemli konuların bazılarının kısaca gözden geçirilmesi,
kullanılabilecek çeşitli yolların incelenmesi için bir basamak
oIuşturacaktır. Ayrık olasılığın elemanter kavramları Bölüm 1’de
öncelikle sezgi yoluyla anlaşılabilmesi bakış açısından bağıl frekans
yaklaşımı ve sonra daha teknik bir bakış açısından da aksiyomik
yaklaşım tanıtılmıştır. Bütün bu kavramlar, kutulardan siyah ve beyaz
toplar seçilmesi gibi alışılmış örnekler yerine, mühendisler için daha
anlamlı basit örneklerle sergilenmiştir.
Raslantı değişkeni kavramı, Bölüm 2 boyunca, olasılık dağılım ve
yoğunluk fonksiyonlari, beklendik değer ve koşullu olasılık kavramları
ile sunulmuştur. Bu bölümün kayda değer özelliği, pek çok farklı
olasılık yoğunluk fonksiyonunun ve karşılaştırılabilir fiziksel
durumların daha kapsamlı incelenmesidir. Bölüm 3’te raslantı
değişkeni kavramının iki ve daha çok raslantı değişkeni
V
ile istatistik bağımsızlık ve ilişki kavramlarının tanıtılmasını içeren bir
devamı niteliğindedir.
Rasgele işleme ve sınıflandırılmasına ilişkin genel incelemeler Bölüm
4’de verilmiştir. Burada, mühendislik problemlerinin çözümünde
kullanışlı olacak olasılık modellerinin seçimi üzerinde durulmuştur.
Buna uygun olarak, matematik baza yönelmeksizin çeşitli işleme
sınıflandırmalarının fiziksel önemine gereken özen gösterilmiştir. Bu
bölümde, sonraki bölümlerde sürecek olan dikkat çekici bir konu,
gözlenen örnek fonksiyondan rasgele işlemenin beklendik değerinin
kestirimi, uygulama sorunlarıyla verilmiştir.
Özilişki ve çaprazilişki fonksiyonlarının özellik ve uygulamaları
Bölüm 5’de incelenmiştir. İlişki fonksiyonlarının yapısını ayrıntılı
olarak ortaya koymaya yönelik pek çok örnek sunulmuştur. Özilişki
fonksiyonu kestiriminin önemi nedeniyle daha ayrıntılı biçimde ele
alınmıştır.
Bölüm 6’da, Spektral yoğunluk kavramını tanıtmada, rasgele
işlemenin frekans domeni gosterilişine geçilmiştir. Spektral
yoğunluğu, ilişki fonksiyonunun Fourier dönüşümü olarak
tanımlamakla yetinen diğer kitapların aksine, konunun fiziksel
önemini de ortaya koymak üzere daha genel bir yaklaşım
benimsenmiştir. Bu bölüm eserin en zor bölümüdür, fakat yazarlar,
bilgilerin bu biçimi ile verilmesi gerektiğine inanmaktadırlar.
Öğreticiler,
diledikleri
takdirde
6-2
paragrafındaki
temel
problemlerden bazılarını işlemeyebilirler ve herhangi bir boşluk
oluşmasına engel olmak üzere, Spektral yoğunluğun, ilişki
fonksiyonlarının Fourier dönüşümü açıklamakla yetinebilirler.
Bölüm 7, ilişki fonksiyonları ve spektral yoğunluk kavramlarının,
lineer sistemlerin rasgele girişlere cevaplarının analizinde
kullanılmasını öngörmektedir. Bir anlamda bu bölüm yapılan bütün
çalışmaları toplayan son aşamadır, ve özellikle bu kavramları
kullanmak zorunda olan mühendisler için oldukça değerlidir. Bu
yüzden, mühendislik problemleri ile ilgili ve gerek duyulan hem
gerçekçi ve hem de kullanışlı matematik modeller için gereği
vurgulanmak amacıyla oldukça çok örnek içermektedir.
Bölüm 8, sistem analizi kavramlarının bir devamı olarak, bir
anlamda optimum sistemleri ele almaktadır. Elemanter biçimi ile hem
bilinen işaretler için klasik uyumlu filtreler ve hem de rasgele işaretler
için Wiener filtresi incelenmiştir.
VI
Genel olarak her bölüm, öğrencinin bilgisini genişletmesine yol
göstermek amacıyla kaynaklar içermektedir. Aynı zamanda
Bölümlerin sonlarında, özenle seçilmiş problemler yer almaktadır.
Bir başka özellik de, bu eserde incelenen yöntem ve kavramları
öğrenme ve kullanmada pek çok paragrafın sonunda alıştırmalar
vardır. Öğrenci bu alıştırmaları, okuma ödevlerinin bir parçası olarak
değerlendirmeli ve bir sonraki paragrafa geçmeden önce her birini
çözmek için çaba göstermelidir. Bu alıştırmaların varlığının, kuşkusuz
öğreticinin öğrenciye ödev olarak verecegi ek problemlerin sayısında
bir azalma oluşturacağı açıktır.
Yazarlar için, meslek arkadaşları ve öğrencilerinden aldıkları
teşvik ve yardımları takdirle anmak büyük bir zevk olmuştur. Bu
konuda, takdirle anılması gerekenleri liste halinde buraya sığdırmak
mümkün olmayacaktır. Ancak adını vermeden geçemedikleri değerli
görüş ve önerilerinden yararlandıkları, Prof.J.Y.S.Luh ve P.A.Wintz’e
şükranlarını sunarlar.
Eserin müsveddelerini sabır ye dikkatle okuyan Prof.James
L.Massey’e ve Prof.J.E.Kemmenly’ye sonsuz şükranlarını sunarlar.
Ayrıca basım ile ilgili çalışmaları titizlikle yürüten Mr.Lewis
A.Thurman’ı takdirle anmak gerekir. Bu arada, ilk notlar olarak bu
eseri kullanan ve eleştirilerini gönderen yüzlerce ögrencilerine de
teşekkür ederler.
Temmuz 1971
George R. COOPER
Clare D.McGILLEM
VII
İÇİNDEKİLER
BÖLÜM 1
OLASILIĞA GİRİŞ
1-1
1-2
1-3
1-4
1-5
1-6
1-7
1-8
1-9
1
Olasılığın Mühendislikteki Uygulamaları 1
Olasılığın Tanımı 7
Bağıl Frekans Yaklaşımı 8
Elemanter Set Teorisi
14
Aksiyom Olarak Yaklaşım 21
Koşullu Olasılık 25
Bağımsızlık 31
33
Birleştirilmiş Deneyler
Bernoulli Denemeleri 35
Problemler 40
Kaynaklar 42
BÖLÜM 2
RASLANTI DEĞIŞKENLERİ
44
2-1 Raslantı Değişkeni Kavramı 44
2-2 Dağılım Fonksiyonları 47
2-3 Yoğunluk Fonksiyonu 50
2-4 Beklendik Değer ve Momentler 54
59
2-5 Gauss Raslantı Değişkeni
2-6 Gauss ile Bağıntılı Yoğunluk
Fonksiyonları
63
2-7 Diğer Olasılık Yoğunluk
Fonksiyonları
71
2-8 Koşullu Olasılık Yoğunluk
Fonksiyonları
78
2-9 Örnekler ve Uygulamalar 83
Problemler
91
Kaynaklar
95
BÖLÜM 3
İKİ VEYA DAHA ÇOK RASLANTI DEĞİŞKENİ
3-1 İki Raslantı Değişkeni 96
3-2 Koşullu Olasılığa Yeniden Bakış 101
96
VIII
3-3
3-4
3-5
3-6
BÖLÜM 4
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
4-6
BÖLÜM 5
5-1
5-2
5-3
5-4
5-5
5-6
5-7
5-8
5-9
İstatistik Bağımsızlık
106
Raslantı Değişkenleri Arasındaki
İlişki
108
İki Raslantı.Değişkeninin Toplamının
Yoğunluk Fonksiyonu
112
Karakteristik Fonksiyon
117
Problemler 122
Kaynaklar 124
RASGELE İŞLEME
125
Giriş 125
Sürekli ve Ayrık Rasgele İşleme 126
Tayin Edilebilir ve Tayin Edilemez
128
Rasgele İşleme
Durağan ve Durağan Olmayan Rasgele
İşleme
129
Ergodik olan ve Ergodik Olmayan
131
Rasgele İşleme
İşleme Parametrelerinin Ölçülmesi 132
Problemler
138
Kaynaklar
140
İLİŞKİ FONKSİYONLARI
Giriş 141
Örnek: Binary İşlemenin Özilişki
Fonksiyonu
145
Özilişki Fonksiyonlarının Özellikleri 148
Özilişki Fonksiyonlarının Ölçümü 151
Özilişki Fonksiyonuna ait örnekler 153
Çapraz İlişki Fonksiyonları 156
Çapraz İlişki Fonksiyonlarının
Özellikleri
157
Çapraz İlişki Fonksiyonuna ait
Örnek ve Uygulamalar 159
Örneklenmiş Fonksiyon için
İlişki Matrisi
163
Problemler
167
Kaynaklar
170
141
IX
BÖLÜM 6
6-1
6-2
6-3
6-4
6-5
6-6
6-7
6-8
6-9
6-10
BÖLÜM 7
7-1
7-2
7-3
7-4
7-5
7-6
7-7
7-8
7-9
7-10
SPEKTRAL YOĞUNLUK
171
Giriş 171
Spektral Yoğunluk ve Fourier Dönüşümü Arasındaki
Bağıntı 172
Spektral Yoğunluğun Özellikleri 176
Spektral Yoğunluk ve Kompleks Frekans Domeni 182
Spektral Yoğunluğun Karesel Beklendik Değerini
Bulmak 184
Spektral Yoğunluğun Özilişki Fonksiyonu ile Bağlantısı
190
Beyaz Gürültü 195
Çapraz Spektral Yoğunluk 197
Spektral Yoğunluğun Ölçülmesi 198
Spektral Yoğunluğa ait örnek
ve Uygulamalar 204
Problemler
210
Kaynaklar
213
RASGELE GİRİŞLERE LINEER SİSTEMLERiN
CEVABI
214
Giriş 214
Zaman Domeninde Analiz 215
Sistem Çıkışının Beklendik ve
Karesel Beklendik Değeri 215
Sistem Çıkışının Özilişki
Fonksiyonu 219
Giriş ve Çıkış Arasında
Çapraz İlişki 224
Zaman Domeninde Sistem Analizi
Örnekleri 226
Frekans Domeninde Analiz 230
Sistem Çıkışında Spektral
Yoğunluk 230
Giriş ve Çıkış Arasında Çapraz
Spektral Yoğunluk 234
Frekans Domeni Örnekleri 234
Problemler 240
Kaynaklar 244
X
BÖLÜM 8
8-1.
8-2
8-3
8-4
8-5
8-6
EKLER
EK A
A-1
A-2
A-3
A-4
A-5
EK B
EK C
EK D
EK E
EK F
OPTİMUM LİNEER SİSTEMLER
Giriş
245
Optimumluk Ölçütleri 246
Optimum Sistemdeki Kısıtlamalar 247
Parametre ayarlaması ile
Optimumlaştırma
248
İşaret- Gürültü Oranını Maksimum
Yapan Sistemler
254
Karesel Ortalama Hatayı
Minimum Yapan Sistemler 261
Problemler
267
Kaynaklar
268
245
MATEMATIK TABLOLAR
269
Trigonometrik Özdeşlikler 269
Belirsiz İntegraller 270
Belirli İntegraller 271
Fourier Dönüşümü 273
Tek Yanlı Laplace Dönüşümü 275
SIKLIKLA KARŞILAŞILAN OLASILIK
DAĞILIMLARI
277
BİNOM KATSAYILARI
282
NORMAL OLASILIK DAĞILIM FONKSIYONU
283
İLİŞKİ FONKSIYONU-SPEKTRAL YOĞUNLUK
ÇİFTLERİ TABLOSU
284
ÇEVRİMSEL İNTEGRAL
285
XI
ÇEVİRİDE YER ALAN BAZI TERİMLERİN İNGİLİZCE’DEKİ
KARŞILIKLARI
olasılık
: probability
koşullu olasılık
: conditional probability
bileşik olasılık
: joint probability
karşılıklı seçkin olay
: mutually exclusive event
tamamlayıcı
: complement
raslantı değişkeni
: random variable
olasılık dağılım fonksiyonu
: probabilitiy distribution function
or cumulative distribution function
olasılık yoğunluk fonksiyonu : probability density function
: mean value, expected value
beklendik değer
karesel beklendik değer
: mean square value
: variance
değişinti
ilişki
: correlation
katlama
: convolution
özilişki
: autocorrelation
çapraz ilişki
: crosscorrelation
: process
işleme
rasgele, raslantı
: random, stochastic
tayin edilebilir
: deterministic
durağan
: stationary
spektral yoğunluk
: spectral density
kestirim
: estimation
beyaz gürültü
: white noise
devrik
: reversal
www.ieeeturkiye.wordpress.com adına yüklenmiş olup toplumları geliştiren
bilginin herhangi bir şekilde ulaşılaşılamaz olmasını kabullenemeyen kişi veya
kişiler tarafından upload edilmiştir.saygılarımzla...
1
BÖLÜM 1
OLASILIĞA GİRİŞ
1-1
OLASILIĞIN MÜHENDİSLİKTEKİ UYGULAMALARI
Elemanter olasılık teorisine başlamadan önce mühendislik
problemlerinin çözümlerinde oldukça elverişli olması nedeniyle bu
yolun izlendiğini belirtmek yararlı olacaktır. Bunu iki şekilde
açıklamak olasıdır. Bunlardan ilki, olasılığın, evrensel fizik kuralları
üzerinde durmaktan çok ve bazen çok daha elverişli bir matematik
yol olmasından kaynaklanmıştır, ikincisi ise alışageldiğimiz
mühendislik uygulamalarında karşımıza çıkan ve olasılık
kavramlarının kullanılmasının kaçınılmaz olduğu pek çok ve farklı
durumlardır.
Olasılık teorisinin karakteristik özelliği, herhangi şekilde belirsizliğin
söz konusu olduğu durumlarla ilgilenmesidir. Olasılıkla bağlantılı en
çok sözü edilen olaylar; zar atılması, iskambil destesinden kart
çekilmesi, rulet diskinin çevrilmesi gibi durumlardır. Olasılık
kurallarının yeterince bilinmemesi nedeni ile buna benzer durumlar
oldukça karmaşıklık göstermektedirler. Olasılık teorisine, gerçek
yaşamda oldukça az raslanan ve sadece iyi yetişmiş matematikçilerin
yaklaşabileceği esrarlı ve gizli bir konu olarak bakılmıştır. Olasılık
teorisindeki belirsizliğin dağılmasından sonra bile, bir başka görüş
olarak, fiziksel problemlere olasılık’la yaklaşmanın ikinci derecede
düşünülmesi gerektiği ve istenen tam sonuç yerine eksik bir bilgi elde
edileceği kuşkusunun yer almasından kaynaklanmıştır. Ne var ki bu
görüşlerin her ikisi de yanlıştır.
Olasılık teorisinin ileri sürülen güçlüğüne bakıldığında, onun sadece,
az sayıda temel kavramlarla tam olarak tanımlanabilen herhangi
matematik veya analiz dalı kadar belirsiz olduğu söylenebilir. Bundan
sonraki açıklamalar olasılık teorisinin temelinin sadece üç aksiyomla
yeterlikle tanımlanabileceğini gösterecektir. Bu üç aksiyom ve bunun
uygulamaları ile daha ileri kavramlar kolay anlaşılır bir mantık dizisi
ile verilmeye çalışılmıştır.
2
Bugünkü eğitim uygulamasında her koşul altında, fizik yasalarını
deterministik, değişmez ve kesinlikle doğru kabul eden görüş, tam
doğru analiz için olasılık teorisinin kullanılmasıını engelleyen bir tutum
olmuştur. Buna göre, dinamik bir sistemin cevabını tanımlayan bir
yasa ile, sistemin uyarıcısının tam olarak bilinmesi halinde, cevabın
tam doğru olarak elde edileceği kabul edilmektedir. Örneğin Ohm
Yasası;
V(t)=R.i(t)
olarak bilinmektedir. Buna göre t zamanının her değeri için tam doğru
olduğu varsayılır. Geniş anlamda (gözle görülen şekli ile) bu varsayım
iyi bir tanım sayılmaktadır. Ancak dar anlamda (gözle görülmeyen şekli
ile) bu kabul tamamen yanlıştır. Gerçekten eğer bir yüksek kazançlı
amplifikatörün girişine büyük bir direnç bağlanması ve meydana gelen
gürültünün dinlenmesı ile kolayca görülebilir.
Modern fiziğin ve doğa bilgilerimizin ışığı altında, doğal yasaların
deterministik ve doğru olduğu görüşü savunulamaz. Bunlar için en iyi
açıklama doğal ortalama davranışların belirlenmesi ile sağlanır. Bu
ortalama davranışlar pek çok önemli durumda, gerçekten
gözlemlenene oldukça yakındır ve bu nedenle meydana gelecek
farklılıklar önemli olmamaktadır. Bu gibi hallerde deterministik yasalar
oldukça değerlidir. Çünkü sistemin davranışını minimum çaba ile
belirtmeye olası kılar. Aynı oranda önemli bir başka nokta da, rasgele
farklılıkların bazen deterministik cevaptan daha önemli olması halidir.
Bu gibi durumlarda olasılık kavramlarından türetilen analitik yöntemler
esastır.
Yukarıdaki açıklamalardan, ekseriya doğru cevap olarak bakılan
sonuçların tamamen doğru olmadıkları açıkça görülmektedir. Ancak
onlara gerçek yaşamda hiç bir zaman karşılaşılmayacak, idealize
edilmiş özel yaklaşımlar gözü ile bakılabilir. Diğer yandan olasılık
yaklaşımı, doğruluk için zayıf bir yaklaşım olarak düşünülemez ve bir
fiziksel gerçeği oldukça yakınlıkla ortaya koyan bir yöntemdir.
Daha da ileri giderek bu yaklaşımın deterministik sonuçu da içerdiğini
ve bu sonucun onun özel bir hali olduğu söylenebilir.
3
Şimdi mühendislikte karşımıza çıkan ve olasılık kavramlarının
kullanılmasını gerektiren durumlarla ilgili sorunlara kısaca
değineceğiz.
RASGELE GİRİŞ İŞARETLERİ
Fiziksel sistemlerin ödevlerini uygunlukla yapabilmeleri için
sistemlere bir tür zorlayıcı fonksiyon (giriş işareti) uygulamak gerekir.
Giriş işaretleri genellikle öğretim amaçları ya da belirli tip sistem
analizleri için uygun ve basit matematik ifadelerle verilir, ancak bunlar
gerçek uygulamalarda nadiren karşımıza çıkarlar. Giriş işaretleri
genelde bir miktar belirsizlik taşımaktadır, bu özelliği dolayısı ile
rasgele işaretler olarak değerlendirilirler. Buna pek çok örnek
gösterilebilir. Örneğin bir haberleşme sisteminin giriş işareti olarak
ele alınan konuşma ve müzik işaretleri, bir sayısal bilgisayara
uygulanan rasgele digitler (0 ve 1 işaretleri), bir uçağın uçuş kontrol
sistemine uygulanan rasgele kumanda işaretleri, üretilmiş bir cihazın
bazı karakteristiklerinin ölçülmesinden türetilmiş ve bir işlem kontrol
sisteminin girişine uygulanmış rasgele işaretler, bir otomobilin
gücünün yönlendirilmesinde direksiyonun hareketleri, bir trafik kontrol
sisteminde, çeşitli denetim noktalarında geçen araçların sayısı, bir
binanın ısıtma ve soğutma sistemine giriş olarak, dış ve iç ısı
değişimlerinin etkisi ve buna benzer pek çokları sıralanabilir.
RASGELE BOZULMALAR (DISTURBANCES)
Pek çok sistem, giriş ve çıkışında arzu edilen işarete ek olarak arzu
edilmeyen işaretlerin etki etmesi durumu ile karşı karşıyadır. Bu tip
karışmalar hemen hemen daima rasgele bir yapıdadır ve istenen
işaretin mevcut olmaması halinde bile olasılık yöntemlerinin
kullanılmasını gerektirir. Bozulmaya neden olan bu karışan işaretleri
tanıtmada belirli birkaç yöntem sözkonusudur. Bir örnek olmak üzere
eğer yüksek kazançlı bir amplifikatorün çıkışı bir hoparlöre bağlanmış
ise, dinleyen sık sık cızırtı, hışırtı, vurma sesi gibi sesler duyacaktır.
Bu rasgele gürültü, amplifikatör devresindeki iletim elektronlarının ısıl
hareketlerinden ya da tüp veya transistörlerden geçen elektron (veya
delik)lerin sayısının rasgele degişimlerinden kaynaklanır.
4
Bir kimsenin bu gürültü değerinin her bir zamana karşı gelen
niceliğini hesaplayacağının umulmayacağı açıktır. Çünkü bu değer
milyarlarca hareketli bağımsız yükün bir arada oluşturduğu etkiyi
ifade eder. Buna rağmen, bu gürültü işaretinin ortalama gücünün,
frekans spektrumunun ve hatta algılanan gürültü işaretinin belirli bir
değerden büyük olabilme olasılığının hesaplanması mümkündür.
Pratik uygulamalarda bu büyükler, amplifikatorün kalitesini
saptamada, ani dalga şekli hakkında bilgi sahibi olmaktan daha çok
önem taşımaktadır.
İkinci bir örnek olmak üzere bir radyo ya da televizyon alıcısını ele
alalım. Daha önce belirttiğimiz gibi alıcı içinde meydana gelecek
gürültüye ilave olarak antene ulaşan rasgele gürültü de etkisini
gösterecektir. Bu ilave gürültü genel olarak gökyüzünde oluşan
elektriksel deşarjlardan, ve onların antene olan uzaklıklarından,
canlıların oluşturduğu etkilerden, uzaydaki radyasyonlardan veya
anten çevresini saran cisimlerden yayılan ısıl radyasyonlardan ve
yansımalardan kaynaklanır. Bu nedenlerden en iyi alıclar ve
amplifikatörler kullanılsa bile algılanan işaretler mutlaka gürültü ile
birleşmiş bir yapıda olacaktır. Bu gibi durumlarda da ortalama güç ve
frekans spektrumu gibi büyüklüklerin hesaplanması, ani değerlerın
hesaplanmasından çok daha elverişli olacaktır.
Bir başka örnek de, bir otomatik kontrol sistemine bağlı olarak
yönlendirilebilen büyük bir radar anteni olarak verilebilir. Anten
üzerine etkiyen rüzgar, rasgele bir kuvvet oluşturur. Bunun kontrol
sistemi
tarafından
kompanse
edilmesi
gerekmektedir.
Kompanzasyon tam yapılmadığı sürece anten yönünde, daima, arzu
edilen yöne göre bir farklılık olacaktır. O halde bu farklılığın etkin
(effektif) değerinin bilinmesi daha doğrusu hesaplanabilmesi önemli
olacaktır.
Farklı bir durum da bir uçağın hava akımları fazla olan bir bölgede
uçması, bir geminin fırtınalı bir denizde seyretmesi, bir askeri aracın
kaba bir arazi üzerinde yol alması gibi olaylar olarak ele
alınabileceğidir. Bütün bu durumlarda etkiyen rasgele kuvvetler
karmaşık bir mekanik sistem üzerine etki ederler ve sistemin
kontrolunda güçlükler yaratırlar. Bu rasgele giriş işaretlerine sistemin
nasıl tepki göstereceğinin hesaplanması oldukça önemlidir.
5
RASGELE SİSTEM KARAKTERİSTİKLERİ
Sistemin kendisi, bilinmeyen ve zaman içinde rasgele değişken bir
karakteristiğe sahip olabilir. Bazi tipik örnekler şunlardır; bir uçağın
yükü (yolcu sayısı ve kargo ağırlığı), bu uçuştan diğerine değişirn
gösterir, Troposfer haberleşme sisteminde kanal mesafeleri bir
andan diğerine değişir. Bir elektrik güç sisteminde yük (kullanılan
enerji miktarı rasgele bir değişim gösterir ve bir telefon haberleşme
sisteminde telefonarını kullanan abonelerin sayısı an be an değişir.
SİSTEM GÜVENİLİRLİĞİ
Bütün sistemler pek çok sayıda bağımsız elemanların bir araya
gelmesinden oluşmuştur ve bu elemanlardan bir veya birkaçının
arızalanması veya tamamen bozulması, sistemin tamamının ya da
bir kısmının çalışmamasına sebep olur. Bu tip bozulmaların ne
zaman olacağı bilinmez fakat her bir eleman için bozulma zamanı
olasılığını hesaplamak genellikle mümkündür ve buradan sistem için
‘ORTALAMA BOZULMA SÜRESİ’ (Mean time to failure)
hesaplanabilir. Bu tip güvenirlik çalışmaları olasılıkla çok yakından
ilgilidir, ve dizayn mühendisliğinde oldukça büyük önem taşır.
Sistemler daha karmaşık yapılara sahip oldukça, daha çok eleman
gerektirir ve maliyeti yükselir. Dolayısı ile güvenilirlik sorunlarının
çözümü güçleşir ve özel bir önem göstermek gerektirir.
KALİTE KONTROLU
Sistem güvenirliğini iyileştirmekte önemli bir yöntem her bir bağımsız
elemanın kalitesini iyileştirmektir. Bu genellikle muayene işlemi ile
sağlanır. Üretimin her aşamasında her bir elemanı ayrı ayrı muayene
etmek oldukça masraflıdır. Bu nedenle elemanların muayenesi için
rasgele seçilmiş elemanlarla çalışma kuralının geliştirilmesi gerekli
olmuştur. Bu kural olasılık kavramlarına dayalıdır ve en az masrafla
üretimin kalitesinin korunması amacına uygunlukla hizmet eder.
İNFORMASYON TEORİSİ
İnformasyon teorisinin ana hedefi, basılı (matbu) sayfaların
konuşmanın, resimlerin, grafik ve nümerik bilgilerin veya ısı, uzaklık,
hız radyasyon yoğunluğu ile yağmur miktarı gibi fiziksel gözlemlere
ait mesajları içeren informasyon için nicel
6
bir ölçme sağlamaktır. Bu nicel ölçme, haberleşme kanallarının, bu
informasyonun bir yerden diğerine hem uygunlukla ve hem de yeterli
şekilde taşınmasını sağlamak açısından gereklidir. Bu tip mesaj ve
gözlemler önceden hemen hemen hiç bilinmediklerinden ve rastgele
bir özellik gösterdiklerinden bunları sadece olasılık açısından
tanımlama olanağımız vardır. Bu nedenle informasyonun yaklaşık
ölçülmesi bir olasılık sorunudur. Biraz daha ileri giderek, haberleşme
kanallarının rasgele işaretlerle etkilenmeleri, onların informasyon
taşımadaki yeteneklerini sınırlayacağını ve bu nedenle kanalların bu
taşıma
kapasitelerinin
belirlenmesi
gerektiğini
koşullardaki
söylenebilir. Bu sorunun çözümünde gene olasılık kavramlarından
hareket etmek gerekecektir.
Yukarıda sıralanan olaylardan da görüleceği gibi, hemen hemen
bütün mühendislik çalışmalarında bir miktar belirsizlik ya da
rastgelelik olduğu görülecektir. Bu durum günümüz mühendisliğinde
olasılık kavramlarını temel bir araç olarak kullanmayı gerektirir.
Sistem analizi konusunda da, rastgele işaretler ve bozulmaların bazı
tanımları gerekmektedir. Rasgele işaretleri matematiksel olarak
tanımlamada iki genel yöntem vardır. Bunlardan ilki ve en önemli
olanı rasgele büyüklüğün bir olasılık modeli ile karakterize edilmesi
sureti ile değerlendirilmesidir. Bu yöntem daha ileride açıklanacaktır.
Rasgele işaretlerin olasılık modeli ile tanımları sistem analizinde
doğrudan doğruya kullanılamazlar çünkü onlar raslantı değişkenin
zamanla nasıl değiştiği ya da onun frekans spektrumunun ne olduğu
hakkında oldukça az şey ifade ederler. Ancak sistem analizinde
oldukça yaygın şekilde kullanılan, rastgele değişkenlere ait istatiksel
özellikleri belirtmede yararlı olurlar. Rasgele sinyallenin istatistik
modeller ile karakterize edilmesi durumunda, yaklaşık ortalama
değerler setini bilinmesi söz konusudur. Bunlardan bazıları şunlardır;
beklendik değer, değişinti, ilişki fonksiyonu, spektrum yoğunluğu vs.
Bu ortalama değerler, rasgele bir işareti önceden değindiğimiz
olasılık modeli ile belirtme ilkesinden daha az duyarlıkla ortaya
koyarlar fakat bu sistem analizi için çok daha elverişlidir. Çünkü bu
şekilde sözü edilen büyükler doğrudan ve diğerine göre daha basit
yöntemlerle hesaplanabilir. İstatistiksel ortalamalardan bazılarına
ilerideki bölümlerde değinilecektir.
7
1-2 OLASILIĞIN TANIMI
Elemanter olasılıkla çalışmada en ciddi engellerden biri “olasılık”
teriminin yeterli bir tanımına varabilmektir. Gerçekten değişik başarı
derecelerine sahip ve halen kullanılan 4 veya 5 farklı olasılık tanımı
vardır. Bütün bunlar kavram ve uygulamadaki eksikliklerden
kaynaklanmıştır. Biraz şakacı bir yaklaşımla; en başarılı tanımın,
olasılık terimini tanımsız bırakmak olduğu söylenebilir.
Olasılığa çeşitli yaklaşımlardan iki tanesinin uygun ve kullanışlı
olduğu dikkati çeker, bunlar BAĞIL FREKANS YAKLAŞIMI ve
AKSİYOM OLARAK YAKLAŞIM’dır. Bağıl frekans yaklaşımı, bazı
önemli fiziksel özelliklerle olasılık kavramının bağ kurmasına yol açar
ve olasılık kavramları ile gerçek yaşamın ilişkisini mümkün kılar. Bu
nedenle olasılığın mühendislik sorunlarına uygulanışı hemen hemen
daima bağıl frekans kavramlarına başvurmak sureti ile sağlanır.
Herhangi bir mühendis bilinçli olarak bunu gerçeklememiş olsa bile
aynı yolu izleyecektir.
Bağıl frekans yaklaşımını sınırlayan, onun, fiziksel nedenlerden
dolayı analizi oldukça karmaşık durumlar için yaklaşık matematiksel
yapıdan sonuç çıkarmak sureti ile kullanılmasının güçlüğüdür. Bu
durum bağıl frekans yaklaşımının bu gibi durumla karşılaşıldığında
çözüme ışık tutacak daha kolay bir yolun bulunabileceği fikrini verir.
Daha kolay yol bizi aksiyom olarak yaklaşıma götürür.
Aksiyom olarak yakaşım bir olayın olasılığını belirli postulatları
sağlayan bir sayı olarak ele alır, aksi halde tanımsız olduğunu belirtir.
Bu sayının gerçek yaşamla ilgili olup olmadığı, postulatlardan
çıkarılan matematik bünyedeki gelişmelere bağımlı değildir.
Mühendislik, bu yaklaşımı, oldukça yapay ve gerçeklerden kopuk
olduğunu ileri sürerek, kabullenmeyebilirler ancak hatırlamaları
gerekir ki devre teorisinin tümü temel olarak aynı yolla geliştirilmiştir.
Devre teorisi için temel postulatlar hatırlanacağı gibi Kirchhoff
Yasaları ve enerji sakımıdır. Aynı matematiksel yapı, soyut
sembollerle tanımlanan hangi fiziksel büyüklük olursa olsun vardır.
Mühendisin görevi bu matematiksel yapı ile gerçek yaşam arasında
bir bağ kurmaktır. Bunun tam doğru olması yerine herkesçe, kabul
edilebilir olması yeterlidir ve ancak gerçek sorunların çözümlenmesi
amacı ile uygunlukla kullanılabilirliği önemlidir.
8
Yukarıdaki açıklamalardan mühendisler için olasılığa en uygun
yaklaşımın iki tane olduğu görülecektir. Bunlar fiziksel gerçekleri basit
sonuçlara bağlamada kullanılan bağıl frekans kavramı ile daha
karmaşık durumlar için matematiksel yaklaşımları geliştirme amacı ile
kullanılan aksiyom olarak yaklaşımdır. Şimdi bunlara ait temeller
üzerinde durulacaktır.
1-3 BAĞIL FREKANS YAKLAŞIMI
Paragraf başlığından da anlaşılacağı gibi, olasılığa bağlı, frekans
yaklaşımı, herhangi belirli bir olayın oluş frekansı ile yakından ilgili
olduğunu vurgulamaktadır. OLAY sözcüğü olasılık teorisinin en
önemli ana kavramlarından biridir. Olay yapılan bir deneyin olası
bütün sonuçlarından herbiri veya onların kombinasyonlarıdır. Örneğin
bir madeni para atılması deneyinde sonuç yazı veya turadır. Burada
her bir sonuç bir olayı simgeler.
Bu kavramları daha yakından inceleme olanağını sağlamak açısıdan
DENEY ve OLUŞ terimleri ile tanımak gerekmektedir. Deney için
uygun bir tanım olmasına rağmen kavramların daha iyi
anlaşılabilmesi için bazı örnekler üzerinde çalışmak daha yararlı
olacaktır. Örnekler Tablo 1-1’de verilmiştir. Ancak olası oluşlar deneyi
yapanın arzusuna bağlı olarak çeşitli şekillerde tanımlanabilir.
DENEY
Madeni bir para atılması
Tek bir zar atılması
İskambil destesinden bir
kart çekilmesi
Bir gerilimin gözlenmesi
Bir gerilimi gözleme
Bir gerilimi gözleme
OLASI OLUŞLAR
Tura ve Yazı
1,2,3,4,5 ye 6
Olası 52 farklı kart
Sıfırdan büyük, sıfırdan küçük
V’den büyük, V’den küçük
V1 ile V2 arasında, V1 ile V2
arasında değil.
TABLO 1-1
Bu Tablodaki bütün deneylerin oluş sayıları sonludur. Bu durum
incelememizin başlangıç noktasını oluşturur ve Ayrık Olasılık (özel
halini)halini belirtir. Bir çok halde sonsuz sayıda oluş karşımıza
çıkabilir. Örneğin bir gerilimin gözlenmesinde, gözlenecek muhtemel
değerler sürekli olabilir. Bu
9
tip bir olasılık sürekli olasılık adını alır. Ayrık olasılık için var olan
bütün yöntem ve terimler sürekli olasılık için de geçerli olduğundan
açıklamamızı ayrık olasılık hali için sürdürmek, konuyu daha kolay
sunabilmek açısından daha yararlı olacaktır.
OLAY; deney yapanın özel isteğine bağlı bir veya daha fazla oluş’tur.
Örneğin zar atma deneyinde herbir oluş 1,2,3,4,5,6’dan biri bir olayı
ifade edebileceği gibi çift sayıları elde etme, tek sayıları elde etme,
3’ten büyük sayıları elde etme veya daha değişik kombinasyonlar
birer olay olarak ele alınabilir.
Daha karmaşık deneyleri, daha karmaşık olayların seti olarak
genişletmek mümkündür. Örneğin 10 tane madeni parayı atarak
değişik ve çok sayıda oluşlar elde etmek bir deneyi belirtebilir ve
oluşların her biri bir olay olarak değerlendirilebilir. Örneğin bir
mühendislik sorunu olan, 10.000 aboneli bir telefon sisteminde belirli
bir zamanda 2000 abonenin birden görüşmesi olağan bir olaydır ve
olasılığın bilinmesi istenir. Buna benzer pek çok sayıda olası olaylar
olduğu açıktır.
Eğer bir deneyin oluşları deney sonuçlanmadan önce belirsiz ise,
olası oluşlar, RASGELE OLAYLAR’dır. Bu olayların herbirine, bu
olayın olasılığı denilen bir sayı vermek olasıdır. Bu sayı olayın ne
kadar olası olduğunun bir ölçüsü olacaktır. Genel olarak bu sayılar
varsayımdır. Varsayılan değer deney hakkındaki sezgilerimize
bağlıdır. Örneğin eğer madeni bir para atılmışsa biz iki olası oluş
bekleriz, bunlar YAZI ve TURA’dır. Bu örnekte iki oluş benzerdir. Bu
nedenle bu olaya özgü olmak üzere eşit olasılık varsayılmıştır.
Daha önce belirttiğimiz gibi, olasılık, bir olayın oluşmasındaki bağıl
frekansla ilgilidir. Bir madeni para atma deneyinde zamanın yarısında
tura ve diğer yarısında da yazı geleceği beklenir. Daha genel olarak,
eğer bir deney N kez yapılmış ve beklenen A olayı NA kez
gerçeklenmiş ise, A olayının olasılığının,
Pr(A)= NA/N
(1-1)
olduğu varsayılır. N deney içinde A olayının NA kez olması gerekmez.
Ancak deney hakkındaki önyargımız bu sayıyı kabul
10
etmiştir. Varsayımımızın geçerliliğini, deneyi yapmak ve A olayının
meydana geldiği NA sayısını bulmak sureti ile gösterebiliriz. Eğer
varsayımımız doğru ise N büyük değerler aldıkça NA/N oranı Pr(A)’ya
yaklaşacaktır. Aslında bu bir istatistik problemi olup burada
incelenmeyecektir.
Olasılığa bağıl frekans yaklaşımı, olasılığın önemli bir takım
özelliklerini ortaya koyar. Madem ki NA ve N’in her ikisi de pozitif gerçel
sayılardır ve NA ≤ N ‘dir, o halde olasılık 0’dan büyük ve 1’den küçük
bir sayıdır. Şimdi bir adım daha ileri giderek, bir deneye ait oluşların
A,B,…….,M olduğunu varsayalım ve bu deney sonucunda bu
oluşlardan sadece biri meydana gelsin (yani olayımız olsun). Bir
deneyde çeşitli oluşlardan sadece bir tanesi meydana gelebiliyorsa bu
tip sorunlardaki bütün olayların her biri KARŞILIKLI SEÇKİN (Mutually
Exclusive) olaylar adını alır. (Örnek olarak 6 yüzlü bir zar düşünelim.
Her bir deney sonucu 6 olası yüzden birini göreceğiz, iki yüzü aynı bir
anda görme olasılığı yoktur). Eğer N deney içinde A olayı NA kez, B
olayı NB kez ve……..M olayı NM kez olmuş ise,
NA + NB + NC + … + NM = N
ve dolayısı ile
olacaktır.
NA / N + NB/N + NC/N +…+ NM/N = 1
Bu bağıntı bize
Pr(A) + Pr(B) + Pr(C) + …+Pr(M) = 1
(1.2)
olduğunu göstermektedir.
Buradan şunu söyleyebiliriz. Verilen bir deneyde bütünleşmiş tüm
karşılıklı seçkin olayların ayrı ayrı olasılıklarının toplamı bire eşittir.
Bu kavramlar aşağıdaki 4 temel madde ile özetlenebilir.
1. 0 ≤ Pr(A) ≤ 1.
2. Karşılıklı seçkin olayların tam seti için
Pr(A) + Pr(B) + Pr(C) +…+ Pr(M) = 1
3. Olası olmayan bir olayin olasılığı Pr(A)=0
4. Gerçek bir olayın olasılığı
Pr (A) = 1
11
Konuyu daha kolay anlaşılabilir hale getirmek üzere çalışmalarımızı bir
örnek üzerinde sürdürelim. İçinde tamamen karışık halde çeşitli
değerlerde dirençler bulunan bir büyük kutu olduğunu varsayalım ve
örneğin kutu içinde 100 adet 1 Ω ’luk, 500 adet 10 Ω ’luk 150 adet
100 Ω ’luk ve 250 adet de 1000 Ω ’luk direnç olsun. Birisi kutuya elini
sokup rastgele bir direnç alsın.
Alınan bu direnç, değeri bakımından 4 oluştan oluşur. Şimdi bu
oluşların herbirinin bir olay olarak değerlendirilmesi sureti ile bu
olaylara ait olasılıkları inceleyelim,
Pr (1 Ω ) =100/1000 = 0.1
Pr (100 Ω ) = 150/1000= 0.15
Pr (10 Ω ) =500/1000 = 0.5
Pr (1000 Ω ) =250/1000= 0.25
Burada her birinin pozitif, 1’den küçük ve toplamlarının 1’e eşit olduğu
kolayca görülmektedir, çoğu kez ilgilenilen, bir defada birden fazla
oluşun söz konusu olduğu durumlardır. Örneğin eğer bir madeni para
iki kez atılırsa her iki atışta da tura gelmesi olayının olasılığı
hesaplanmak istenebilir. Bu tip bir olasılık BİLEŞİK OLASILIK (Joint
Probability) adını alır. Bileşik olasılık Pr (A,B) notasyonu ile gösterilir
ve olayların birleşik olduğunu belirtir.
Gene önceki örneğimize benzer bir örnek üzerinde açıklamalarımızı
sürdürelim. Gene bir kutu değişik değerlerde direnç söz konusu olsun
ve bunun yanında da dirençlerin farklı güç değerleri olduğunu
varsayalım. Kutudaki dirençlerin değerleri ve güçlerinin tablo 1-2’de
gösterildiği şekilde dağılmış olduğu kabul edilmiş olsun.
Direnç
Güç
1W
2W
5W
Toplam
1Ω
50
50
0
100
10 Ω
300
50
150
500
Değerleri
100 Ω
90
0
60
150
1000 Ω
0
100
150
250
toplam
440
200
360
1000
12
Bu örnekte bileşik olasılığı anlatmadan önce, seçilen bir direncin
sadece güç değerlerine göre olan ve daha önce değerlerine göre
hesapladığımız BASİT OLASILIKLARINI (Marginal Probability)
hesaplamaya çalışalım.
Pr (1 W ) = 440/1000=0,44
Pr ( 5 W ) = 360/1000== 0,36
Pr ( 2W ) = 200/1000= 0,20
.
Şimdi 5 Watt gücünde 10 Ω ’luk bir direncin çekilebilme olasılığını
(birleşik olasılık) hesaplamaya çalışalım. Tablodan görüleceği gibi bu
özelliğe sahip 150 adet direnç mevcuttur.
O halde
Pr (10 Ω , 5 W) =150/1000 = 0,15
Geri kalan 11 bileşik olasılık aynı yolla hesaplanabilir. Bu bileşik
olasılıklardan bazılarının örneğin Pr (1 Ω , 5W), Pr (100 Ω , 2W), Pr
(1000 Ω , 1W), sıfıra eşit olacağı görülmektedir.
Bu aşamada bileşik olasılık, basit olasılıklar arasında bir ilişki
kurulması gerekmektedir. Hatırlanacağı. gibi bir madeni paranın iki
kez atılması deneyinde olası oluşlar TT,TY, YT,YY’dir. Bu deneyde
iki kez tura gelme olasılığı;
Pr (T,T) = Pr (T) Pr (T) = ½ x ½ =1/4
yazılabilir. Burada iki basit olasılığın çarpımı bize sonucu vermiştir.
Ancak bu örnek dirençle dolu kutu örneği için geçerli değildir.
Hatırlanacağı gibi
Pr (5 W) =360/1000=0,36
ayrıca
Pr (10 Ω ) = 0.5
olmaktadır. Demek ki bu örnek için basit olasılıkların çarpımı bileşik
olasılığa eşit değildir.
Pr(10 Ω ) . Pr(5W) = 0.5 x 0.36 = 0.18 ≠ Pr (10 Ω , 5W) = 0.15
Bu noktada, açıklık için yeni bir olasılık kavramı tanımlamak
gerekmektedir. Bu KOŞULLU OLASILIK (Conditional Probability)
adını alır, “sonuçlanmış bir B olayına göre A olayının olasılığı” olarak
tanımlanır ve Pr(A/B) ile gösterilir.
13
Gene bunu bir örnek üzerinde açıklamaya çalışalım, 5 Watt gücünde
olma koşulu ile 10 Ω ’luk bir direncin seçilme olasılığını düşünelim.
Bu 5 Watt koşulunu sağlayan 360 dirençten 150 tanesidir.
Yani
Pr (10 Ω |5 W) =150/360 = 0.417
Şimdi de Pr(10 Ω I 5W) değerini 5 Watt’lık dirençler için daha önce
hesapladığımız
Pr (5 Watt) = 0,36 basit olasılıkla çarpalım;
Pr (10 Ω | 5 W) Pr (5 W) = 0.417 x 0.36 = 0.15 = Pr (10 Ω , 5 W)
Bu çarpımın bize bileşik olasılığı verdiği görülmektedir. Aynı sonuç,
Pr (5 W| 10 Ω ) =150/500 = 0.30
hesaplanacak olursa da görülecektir.
Pr (5 W|10 Ω ) Pr (10 Ω ) = 0.30 x 0.5 = Pr (10 Ω ,5 W)
(1-3)
ve gene çarpım bileşik olasılıktır.
Bu bilgilerin ışığı altında bileşik olasılık genel bir eşitlik ile
özetlenebilir ve
Pr (A, B) = Pr (A | B) Pr (B)= Pr (B | A) Pr (A)
(1-4)
İki olayın bileşik olasılığı; birinci olayın basit olasılığı ile birinciye göre
ikinci olayın koşullu olasılığının çarpımı ile ifade edilir.
Şimdi yeniden iki madeni para atma deneyine dönelim ve iki tura
gelme halini ele alalım.
Pr(T,T) = Pr(T).Pr(T) yazmıştık. Bu ifade bu örnek için gerçekten
doğrudur. Çünkü parayı ilk attığımızda meydana gelen olay, paranın
ikinci atışta meydana getirecegi olayı etkilemez. Bu tip olaylara
İSTATİSTİK OLARAK BAĞIMSIZ olaylar (Statistically Independent)
adı verilir ve ancak
Pr (A | B) = Pr ( A) ve Pr (B | A) = Pr (B)
ise
doğrudur. Bu ifadeler, A olayının olasılığını, B olayının olmuş veya
olmamış olması halinden bağımsızlığını vurgulamaktadır. Daha iyi bir
ifade ile sadece ve sadece
Pr (A,B) = Pr (A) Pr (B)
(1-5)
14
koşulunu sağlayan olaylara istatistik olarak bağımsız olaylar adı
verilir.
Şimdiye kadar incelenen paragraflarla ayrık olasılığın birçok temel
kavramına ait kısa bir özet matematik kanıtlara başvurulmaksızın
anlaşılır biçimde sunulmuş, bağıl frekans kavramlarına ait bütün
olasılıklar belirli sayısal örnekler yardımı ile formülleştirilmeye
çalışılmıştır. Bu örneklerden (bağıl frekans yaklaşımı kullanmak
sureti ile) çok karmaşık olmayan fiziksel durumlar söz konusu
olduğunda, çeşitli olayların olasılıklarının sayılarla belirtebilmenin güç
olmayacağı açıktır. Ancak, bir deneyin olası pek çok oluşu olduğunda
ve olayları tanımlamada farklı ve çok sayıda yollar bulunması
halinde, bu tür yaklaşımın uygulanmasındaki güçlükler de açıkça
görülecektir. Bu durumun özellikle, ayrık haldeki sonuçları sürekli
hale geçmek için geliştirmeye yöneldiğimizde doğruluğunu görürüz.
Bu sebeple, yukarıda incelediğimiz bütün düşünüşleri, daha incelikle
ve bundan sonraki incelemeler için daha sağlam bir dayanak temin
eden matematik baza oturtmak sureti ile yeniden gözden geçirmek
gereklidir.
ALIŞTIRMA 1-3
On adet transistordan oluşan bir grupta iki tane bozuk transistor
olduğu bilinmektedir. Gruptan bir transistor seçilip ölçülüyor ve sonra
ikinci bir transistor seçilip ölçülüyor.
a- Her ikisinin de sağlam olma
b- İkincisinin bozuk olma
c- Her ikisinin de bozuk olma
olasılıklarını bulunuz.
1 - 4 ELEMANTER SET TEORİSİ
1-3 Paragrafında öğrendiklerimizi daha iyi biçimde formüle etmek, bu
paragrafta tanıştığımız bilgileri aksiyom olarak yaklaşımın çerçevesi
içinde değerlendirmek olacaktır. Ancak bunu gerçeklemek üzere
öncelikle elemanter set teorisine ait kavramların kısa bir tekrarı
gereklidir.
SET: eleman olarak adlandırılan şeylerin (obje) bir topluluğudur.
(Küme)
15
A = { α 1 , α 2 ,..., α n }
(1-6)
olarak gösterilir.
Burada A seti ve α 1 , α 2 ,..., α n de bu sete ait elemanları belirtir.
Örneğin bir A seti 1’den 6’ya kadar olan tam sayılardan meydana
gelmiş olabilir. (A={1,2,3,4,5,6}). Burada α 1 = 1, α 2 = 2,..., α 6 = 6
elemanlardır.
ALT SET: Bir A setinin elemanlarından birini, bir kaçını ya da hepsini
içeren setlere A setinin alt setleri adı verilir, Örneğin yukarıdaki örnek
için
B = {1,2,3}, C = {1}, D = {1,2,3,4,5,6}
A setinin birer alt setidir. Bir B setinin, A’nın bir alt seti olduğunu
ifadede B ⊂ A notasyonu kullanılır. Ayrıca her setin kendisinin alt seti
olduğunu belirtelim.
Olasılık teorisinin ilgilendiği her set, S ile göstereceğimiz ve uzay seti
olarak adlandırılan büyük bir setin elemanlarıdır. O halde bütün setler
uzay setinin alt setleridir.
Olasılık teorisinin uzay seti; bir deneyin tüm oluşlarını eleman kabul
eden sete verilen addır. Örneğin bir zar atma deneyi için uzay seti
S = {1,2,3,4,5,6}
1,2,3,4,5,6 sayıları bize zarın yüzlerinde bulunan numaraları belirtir.
BOŞ SET: İçinde hiç bir eleman bulunmayan sete boş set adı verilir
ve 0 ile ifade edilir.
Bir S={1,2,3,4,5,6} setinde 26 = 64 alt set vardır. Bunlar,
∅,{1},...,{6},{1,2},{1,3},...,{5,6},{1,2,3},..., S
Genel olarak bir S uzay seti (veya herhangi bir set) n elemana
sahipse 2n alt set söz konusudur. Set teorisinin grafik açıklamasında
Venn diyagramlarının kullanılması kolay anlaşılmayı sağlar.
16
Bu diyagramlarda S bir dik dörtgenle ve alt setler ise bu dikdörtgenler
içinde kapalı döngülerle gösterilmiştir. Şekil 1-1’de bir Venn
diyagramı gösterilmiştir. Burada B seti A’nın bir alt seti, C seti de
B’nin (ve dolayısı ile A’nın) bir alt setidir.
EŞiTLiK: A ve B setleri birbirine sadece ve sadece A setindeki her
elemanın B setindeki her elemana eşit olması halinde
eşittir.
Sadece ve sadece
A⊂ B
B⊂A
ise A = B
Kolayca anlaşılabildiğinden Venn diyagramı gösterilmemiştir.
TOPLAM-BİRLEŞİM: İki setin toplamı A
ikisinin de elemanlarından oluşan bir
gösterilmiştir. Birleşim yasası (associative
ikiden fazla setin toplanması sonucu
yazılabilir.
setinin ve B setinin her
settir. Bu şekil 1-2’de
law) geçerli olduğundan,
parantez kullanılmadan
(A + B) + C =A + (B + C) =A+ B + C
17
Değişim (commutative) yasası da geçerli olduğundan,
A+B=B+A
A+A=A
A+φ =A
A+S=S
A + B = A, B ⊂ A ise
ÇARPIM-KESİŞİM: İki setin çarpımı, her iki sete ait ortak elemanların
oluşturduğu bir settir. AB ile gösterilir ve Şekil 1-3’de gösterilmiştir.
18
Venn diyagramının incelenmesinden,
AB = BA
AA = A
Aφ = φ
AS = A
AB = B,
B ⊂ A
Eğer çarpımda ikiden fazla set söz konusu ise, buna ait Venn
diyagramı Şekil 1-4’de gösterilmiştir.
ŞEKİL 1-4: Üç Setin Çarpımı
Buradan görüldüğü gibi
(AB)C = A(BC) = ABC
A(B + C) = (AB) + (AC)
Eğer AB = φ ise A ve B setleri karşılıklı seçkin (bileşik olmayan)
setlerdir. Bu tip setler Venn diyagramında birbirini kesmeyen
döngülerle tanıtılabilirler.
19
TAMAMLAYICI (COMPLEMENT, INVERSE): Bir A setinin
tamamlayıcısı A setinin elemanlarını taşımayan S setidir ve A ile
gösterilir. Buna ait Venn diyagramı Şekil 1-5’de gösterilmiştir.
ŞEKİL 1-5: A Setinin Tamamlayıcısı
Şekilden de görüleceği gibi,
∅=S
S =∅
(A) = A
A+ A = S
AA = ∅
A ⊂ B,
A = B,
B ⊂ A ise
A = B ise
Buna ilave olarak genellikle başvurulan De Morgan Yasası da,
______
( A + B) = A B
____
( AB) = A + B
olarak verilmiştir.
20
ÇIKARMA-FARK: İki setin A-B farkı içinde B’nin elemanlarının
bulunmadığı A seti elemanlarının oluşturduğu settir. Bu şekil 1-6’da
gösterilmiştir. Fark
A - B = A B = A – AB
olarak da tanımlanabilir. (A-B) notasyonu ekseriya içinden B alınmış A
olarak okunur. Venn diyagramından aşağıdaki ifadeler kolayca
yazılabilir.
( A − B) + B ≠ A
( A + A) − A = ∅
A + ( A − A) = A
A−∅ = A
A−S = ∅
S−A= A
Bir çıkarma (fark) işlemini içeren çalışmalarda parantezin
kaldırılmamasına dikkat edilmelidir.
Yukarıdaki işlemleri sayısal örnekler üzerinde göstermek yararlı
olacaktır. Bunu yapmak üzere S setinin 1’den 6’ya kadar tam
sayılardan oluştuğunu kabul edelim.
S ={1,2,3,4,5,6}
21
Bunun yanı sıra
tanımlayalım.
A= {2,4,6}, B = {1,2,3,4}, C = {1,3,5} setlerini
Biraz evvel sunduğumuz tanımlardan
(A + B) = {1,2,3,4,6}, (B + C) = {1,2,3,4,5}
A + B + C = {1,2,3,4,5,6} = S = A + C
AB = {2,4}, BC = {1,3}, AC= ∅
ABC = ∅ , A = {1,3,5} = C, B = {5,6}
C = {2,4,6} = A, A - B ={6},B- A = {1,3}
A - C = {2,4,6} = A, C - A = {1,3,5} = C, B - C = {2,4}
C - B = {5}, (A - B) + B = {1,2,3,4,6}
oldukları kolayca görülecektir.
1-5 AKSİYOM OLARAK YAKLAŞIM
Şimdi, kısaca özetlediğimiz set kavramları ile olasılık teorisinin
ilişkisini ortaya koymak gerekmektedir. Bu ilişki, elemanları bir
deneyin bütün oluşları (olası tüm oluşlar seti) olan ve OLASILIK
UZAYI adı verilen setin tanımlanması ile açıklanabilir. Örneğin bir
deney yapıcı olası oluşlar olarak bir zarın altı yüzünü seçmiş ise, zar
atma deneyi ile bütünleşmiş olasılık uzayı;
S = {1,2,3,4,5,6}
seti olacaktır.
S olasılık uzayının çeşitli alt setleri olaylar olarak tanımlanabilir.
Örneğin zar atılması deneyinde 2 olayı, 2 oluşunun
22
elde edilmesine (zarın atılması sonucu 2 gelmesine), 1,2,3 olayı da
1,2, ve 3 oluşlarından herhangi birinin elde edilmesine karşı gelir. Her
bir deneyde en az bir oluş elde edildiğinden S (olasılık uzayı) gerçek
bir olaya ve (boş set) de olası olmayan bir olaya karşı gelir. Tek bir
elemandan oluşan bir olay elemanter olay adını alır.
İkinci olarak, daha önce değindiğimiz gibi, her bir olaya, OLAYIN
OLASILIĞI adı verilen bir sayı verilmiştir. Eğer olay A olarak verilmiş
ise A olayının olasılığı Pr (A) olarak ifade edilir. Verilen bu sayı
(sayısal değer) aşağıdaki üç koşulu (AKSİYOMLARI) sağlamak
zorundadır.
Eğer
AB = ∅ ise
(1-7)
(1-8)
(1-9)
Pr( A) ≥ 0
Pr( S ) = 0
Pr (A + B) = Pr (A) + Pr (B)
Olasılığın tüm yapısı bu aksiyomlardan elde edilebilir. Bu aksiyomlar
birer postulat olup bunları ispatlamaya çalışmanın anlamsız olduğunu
belirtelim. Bunların geçerlilikleri için olası tek test, teori sonuçlarının
gerçek yaşama uygun olup olmadığıdır. Herhangi fizik teorisi için de
aynı şeyler geçerlidir.
Çok sayıda önermenin sonuçları bu aksiyomlardan elde edilebilir ve
burada bir kaç tanesi verilmeye çalışılmıştır. İlk olarak, madem ki,
S∅ = ∅ ve S + ∅ = S
‘dir. O halde 1-9 eşitliğinden
Pr( S + ∅) = Pr( S ) = Pr( S ) + Pr(∅)
yazılabilir. Buradan,
Pr(∅) = 0
olduğu bulunur. İkinci olarak madem ki,
AA = ∅ ve A + A = S
‘dir. O halde 1-9 eşitliğinden,
Pr( A + A ) = Pr( A) + Pr( A ) = Pr( S ) = 1
(1-10)
(1-11)
elde edilir. 1-11 ve 1-7 eşitliklerinden
Pr( A) = 1 − Pr( A ) ≤ 1
(1-12)
23
bulunur. Bu nedenle, bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasında olması
gereken bir sayıdır.
Eğer A ve B olayları karşılıklı seçkin değiller ise, 1-9 eşitliği geçerli
değildir. Mamafih daha genel bir sonuç elde edilebilir. Şekil 1-3’deki
Venn diyagramından açıkça görüleceği gibi,
A+B=A+ AB
yazılabilir ve A ile
uygulanması ile
A B karşılıklı seçkindirler. 1-9 eşitliğinin
Pr (A + B) = Pr (A + A B) = Pr (A) + Pr A B)
yazılabilir. Aynı şeklin incelenmesi ile
B = AB + A B
olduğu ve AB ile A B ‘nin karşılıklı seçkinliği açıkça görülecektir.
Gene 1-9 eşitliği yardımı ile,
Pr (B) = Pr (AB + A B) = Pr (AB) + Pr ( A B)
(1-13)
elde edilir. Son bulunan Pr(A+B) ifadesi ile 1-13 eşitliğinden
Pr( A B)’ler yok edilirse,
Pr (A + B) = Pr (A) + Pr (B) - Pr (AB) ≤ Pr (A) + Pr (B)
(1-14)
elde edilir ki bu da aranan sonuçtur.
Bu aşamada, aksiyom olarak yaklaşımın geçerliliğini ortaya
koyabilmek üzere, olasılık uzayı yapısını da gösteren örnek
problemler vermek yararlı olacaktır. İlk olarak, olasılık uzayı,
S={1,2,3,4,5,6} olan tek bir zarın atılması durumunu ele alalım.
Burada elemanter olaylar zarın gelmesi olası üst yüzeyleri ile
bağlantılı tamsayılardır ve bunların karşılıklı seçkin olaylar oldukları
açıktır. Eğer bu elemanter olayların olasılıkları eş varsayılırsa,
herhangi biri için olasılık yalnızca,
Pr(α i ) =
1
,
6
α i = 1,2,...,6
olacaktır.
24
Bu varsayımın bağıl frekans yaklaşımından kaynaklandığını, ancak
aksiyom olarak yaklaşımın çatısında yalnızca bir önerme olduğunu
ve buna benzer pekçok varsayımın daha yapılabileceğini belirtelim.
Şimdi aynı olasılık uzayı için A = {1,3} = {1} + {3} olayını ele alalım. 19 eşitliğinden,
Pr (A) = Pr {1} + Pr {3} = 1/6+1/6 = 1/3
elde edilir ve bu da zarın bir kez atılması deneyinde, 1 ve 3
oluşlarından herhangi birinin gerçeklenebilme olasılığını gösterir.
A={1,3} ve B = {3,5} olması halinde Pr(A+B)’nin hesaplanması arzu
edilirse daha karmaşık bir durumla karşılaşılır. A ve B karşılıklı seçkin
olmadıklarından, 1-14 eşitliğinin kullanılma gereksinimi vardır.
Yukarıdaki örnekten de açıkça görüleceği gibi Pr(A) = Pr(B) = 1/3’tür.
Ancak AB = {3} olduğundan Pr(AB)= 1/6’ ya eşittir. O halde 1-14
eşitliğinden,
Pr (A+B) = Pr (A) + Pr (B) - Pr (AB) = 1/3 + 1/3 - 1/6 = ½
olur. Aynı probleme değişik bir açıdan da yaklaşım yapılmak sureti ile
aynı sonuca varılabilirdi. Şöyle ki;
A+B ={1,3,5} olup, üç karşılıklı seçkin elemanter olaydan oluştuğuna
göre, 1-9 eşitliği yardımı ile
Pr(A+B) = Pr{1} + Pr{3} + Pr{5} = 1/6+1/6+1/6 = ½
bulunurdu. Bu sonucun; hem A olmasının, hem B olmasının hem de
her ikisinin olmasının olasılığı olarak anlamlandırılabileceğini
belirtelim.
ALIŞTIRMA 1-5
Altı yüzlü bir zarın olasılık uzayı için olaylar, A = {1},
sayılar}, C = {çift sayılar} olarak verilmiştir.
B = {tek
25
a - Pr(A + B)’yi
b - Pr( AB )’yi
c - Pr(A + C)’yi
d - Pr( BC )’yi
hesaplayınız .
1-6 KOŞULLU OLASILIK
Bir olayın meydana geldiği kesinleşmiş olduğunda, diğer bir olayın,
bağıl frekans yaklaşımı ilkesine dayalı olarak koşullu olasılığı 1-3
paragrafında tanıtılmıştı. Aksiyom olarak yaklaşımda koşullu olasılık
tanımlanmış bir niceliktir. Eğer bir B olayı, sıfırdan farklı bir olasılığa
sahip ise, o halde B’ye göre A olayının koşullu olasılığı
Pr( AB )
, Pr( B ) > 0
(1-15)
Pr( B )
olarak tanımlanır. Burada Pr(AB), AB olayının olasılığıdır. Daha
önceki incelemelerimizde 1-15 eşitliğinin payı Pr(A,B) olarak yazılmış
ve A ve B olaylarının bileşik olasılığı olarak adlandırılmıştı. Bu
değerlendirme, eğer A ve B olayları elemanter olaylar ise kesin
olarak doğrudur, ancak en genel halde bu değerlendirme set teorisi
kavramlarına uygun olacak şekilde iki setin çarpımı AB olarak ele
alınmalıdır. Gerçekten, eğer A ve B karşılıklı seçkin iseler AB seti bir
boş set olacak ve Pr(AB) = 0 olacaktır. Diğer yandan eğer A, B
setinin bir alt seti ise (A ⊂ B) o halde AB = A olacak ve
Pr( A | B) =
Pr( A)
≥ Pr( A)
Pr( B)
Eğer B ⊂ A, ise AB = B ve
Pr( A | B) =
Pr( A | B) =
Pr( B)
=1
Pr( B)
yazılabilecektir. Mamafih genel olarak; A ⊂ B ve B ⊂ A olmaması
hallerinde dahi Pr(A) ve Pr(A|B)’nin bağıl büyüklüklerinin dikkate
alınacağı iddia edilemez.
Şimdiye kadar olan incelemelerimizde temel aksiyomları sağlayacak
şekilde koşullu olasılığı tanımladık. Bağıl frekans yaklaşımı
incelenirken, toplam deney sayısına oranlanmış
26
oluşların sayısı olarak açıkça ifade edilmişti, ancak aksiyom olarak
yaklaşımda koşullu olasılık nicelik olarak tanımlanmıştır. Bu nedenle
bunların bağımsız olarak olasılıklarının geçerliliklerini göstermek
gerekmektedir. İlk aksiyom,
Pr( A | B) ≥ 0
‘dır ve bu 1-15 eşitliğinden görüldüğü gibi tamamen doğrudur. Çünkü
pay ve payda pozitif sayılardır. İkinci aksiyom,
Pr( S | B) = 1
‘dir ve bu da B ⊂ S olup SB = B ve Pr(SB) = Pr(B) olduğundan açıkça
görülmektedir. Üçüncü aksiyomun geçerliliğini göstermek üzere
AC= ∅ olan bir C olayını ele alalım. (A ve C karşılıklı seçkindirler). O
halde
Pr[(A+C)B] = Pr[(AB) + (CB)] = Pr(AB) + Pr(CB)
olur.
AB ve CB karşılıklı olduklarından bu tip olaylarda 1-9 eşitliği
geçerlidir. Bu şekilde 1-15 eşitliğinden
Pr[(A + C) | B] =
Pr[(A + C)B] Pr( AB ) Pr(CB )
=
+
= Pr( A | B) + Pr(C | B)
Pr(B)
Pr( B )
Pr( B )
elde edilir.
Bu şekilde üçüncü aksiyom da sağlanmış olur ve koşullu olasılığın
her durumda geçerli olduğu açıkça görülür. Koşullu olasılık konusunu
daha derinleştirmeden, olayları elemanter olmayan bir örnek
üzerinde çalışmalarımızı sürdürelim. Deneyimiz gene bir zar atılması
ve olası oluşlarımız da 1’den 6’ya kadar tam sayılar olsun. A olayı
A={1,2} olarak tanımlansın. Daha önceki bilgilerimizden
Pr(A) = 1/6+1/6 = 1/3 olduğu
açıktır. B olayı çift sayıların gelmesini öngören üç elemanter olaydan
oluşmuş olsun. B = {2,4,6} , Pr(B) 1/2 ’dir. AB olayı da AB = {2} ve
Pr(AB) = 1/6 olacaktır. Bu halde Pr(A|B) koşullu olasılığı,
27
1
Pr ( AB ) 6 1
Pr ( A B ) =
= =
1 3
Pr (B )
2
olur ve bir zar atılması deneyinde, çift sayılara göre (çift sayılar
içinde) 1 veya 2 gelme olasılığının 1/3’e eşit olduğunu gösterir. Diğer
yandan 1 veya 2’ye göre (1 veya 2 içinde) çift sayıların gelmesi
koşullu olasılığının bulunması istenebilir.
Bu da,
1
Pr ( AB ) 6 1
Pr (B A) =
= =
1 2
Pr ( A)
3
olur ve bu sonucun doğruluğu açıkça görülmektedir.
Koşullu olasılığın en önemli uygulama alanlarından biri TOPLAM
OLASILIĞIN hesaplanmasında kullanılmasıdır. A1,A2,....,An gibi
karşılıklı seçkin n olay ile keyfi bir B olayını ele alalım, şekil 1-7 Ai
olayları uzay setini tamamen kaplamış olsunlar. Bu halde,
A1 + A2 + ... + An = S
(1-16)
yazılabilir. Aİ ve AJ (i ≠ j) karşılıklı seçkin olduklarından BAİ ve BAJ’ler
de karşılıklı seçkindirler. 1-16 eşitliğinden
B = B(A1 + A2 +...+ An) = BA1 + BA2 + ..... + BAn
yazılabilir ve 1-9 eşitliğine göre,
Pr (B) = Pr(BA1) + Pr(BA2) +....+ Pr (BAn)
elde edilir.
(1-17)
1-15 eşitliği dikkate alınırsa,
Pr(BAi) = Pr(B|Aİ).Pr(Aİ)
ve bu 1-17 eşitliğinde yerine yazılırsa
Pr (B) = Pr (B|A1).Pr (A1) + Pr (B|A2) Pr (A2) + ......
+ Pr (B|An) Pr(An)
(1-18)
28
ŞEKİL 1-7: Toplam Olasılık İçin Venn Diyagramı
elde edilir. Buradaki Pr(B) büyüklüğü TOPLAM OLASILIK adını alır
ve 1-18 eşitliği ile koşullu olasılıklar cinsinden ifade edilir.
Toplam olasılığın uygulanışını göstermek üzere bir örnek ele alalım.
Altı gözü olan dirençle dolu bur kutu düşünelim. Kutunun her bir
gözünde tablo 1-3’de gösterilen çeşitli değer ve sayıda dirençler
olsun.
Direnç Değerleri
Göz
numaraları
Ohm
1
2
3
4
5
6
toplam
10
Ω
500
0
200
800
1200
1000
3700
100
Ω
300
400
600
200
800
0
2300
11000 Ω
200
600
200
600
0
1000
2600
1000
1000
1000
1600
2000
2000
8600
toplam
TABLO 1-3 : Kutudaki Dirençlerin Dağılımı
29
Eğer gözlerden biri rasgele seçilerek, seçilen o gözden herhangi bir
direnç çekilirse, çekilen direncin 10 ohm olma olasılığı nedir? 1-18
eşitliğinde Aİ olaylarına karşı gelen burada 6 gözden birinin rasgele
seçilmesidir ve bu olaylar için eş olasılık varsayılmıştır.
Pr (Aİ) =
1
6
i =1, 2, 3, 4, 5, 6
B olayı 10 ohm’luk bir direnç çekilmesidir ve koşullu olasılıklar
gözlerin bu özellikte dirençlerinin sayıları ile bağlantılıdır. Yani
500 1
=
1000 2
200
2
Pr (B A3 ) =
=
1000 10
1200 6
Pr (B A5 ) =
=
2000 10
Pr (B A1 ) =
0
=0
1000
800 1
Pr (B A4 ) =
=
1600 2
1000 1
Pr (B A6 ) =
=
2000 2
Pr (B A2 ) =
olmaktadır. O halde 10 ohm’luk direnç çekilmesi olasılığı 1-18
eşitliğinden
Pr (B ) =
1 1
1 2 1 1 1 6 1 1 1
× + 0 × + × + × + × + × = 0.3833
2 6
6 10 6 2 6 10 6 2 6
olacaktır. Yukarıda koşullu olasılıkların hesabında bağıl frekans
yaklaşımının kullanıldığını belirtmek yararlı olacaktır. Ancak 1-10
eşitliği ile tanımlanan temel bağıntının aksiyom olarak yaklaşımdan
türetildiğini ifade edelim.
1-18 eşitliğindeki Pr(Aİ)
olasılıklarına ekseri (priori) BİRİNCİL
OLASILIK olarak başvurulur, çünkü Aİ olaylarının olasılıkları herhangi
bir deney yapılmadan önce tanımlanabilmektedir. B olayı deney
yapıldıktan sonra elde edilirse Ai olaylarını ortaya koyan olasılıklar,
Pr(Ai|B) koşullu olasılıklarıdır. Bu olasılıklar 1-15 eşitliğinin yeniden
yazılması ile daha önce gördüğümüz şekilde tanımlanabilirler.
30
Pr(AiB) = Pr(Ai|B) Pr(B) = Pr(B|Ai) Pr(Ai)
Bu ifadenin son kısmı B ve A’nın yerleri değiştirilmek sureti ile elde
edilmiştir. Rasgele terimi genellikle eş olasılık anlamında
kullanılmaktadır.
Bundan sonra ikinci eşitlik yazılabilir.
Pr (B Ai ) Pr ( Ai )
Pr ( Ai B ) =
, Pr (B ) ≠ 0
(1-19)
Pr (B )
Burada 1-18 eşitliği yerine yazılarak,
Pr ( Ai B ) =
Pr (B Ai ) Pr ( Ai )
Pr (B A1 )Pr ( A1 ) + ... + Pr (B An ) Pr ( An )
(1-20)
elde edilir. Pr(Ai|B) koşullu olasılığı ekseriye İKİNCİL (Posteriori)
OLASILIK adını alır, çünkü ancak deney yapıldıktan sonra
değerlendirilebilir.
1-19 ve 1-20 eşitlikleri BAYES TEOREMİ olarak bilinirler. Bir ikincil
olasılık biraz önce incelediğimiz örnek üzerinde gösterilebilir.
Gözlerden çekilen direncin 10 ohm’luk olduğu bilindiğine göre, bunun
üçüncü gözden çekilebilme olasılığı nedir? Madem ki B gene 10
ohm’luk direnç seçilebilme olasılığıdır, o halde Pr(B|Ai) olasılıkları
daha önce hesaplanan koşullu olasılıklara eşittir. Daha ileri giderek
birincil olasılıkların 1/6’ya eşit olduğu bilindiğine göre, 1-19 eşitliğinden ve daha önce hesaplanan Pr(B) kullanılmak sureti ile,
 2  1 
  
10 6
Pr ( A3 | B ) =    = 0.0869
0.3833
olur. Bu on ohm’luk direncin üçüncü gözden gelebilme olayına ait
olasılıktır.
ALIŞTIRMA 1-6
Tablo 1-3’ü kullanarak
a) 100 Ω ’luk bir direncin ikinci gözden çekilebilme olayının
b) 1000 Ω ’luk bir direncin ikinci gözden çekilebilme olayının,
olasılıklarını hesaplayınız.
31
1-7 BAĞIMSIZLIK
Olasılıkta istatiktistiksel bağımsızlık çok önemli bir kavramdır. Bu
kavram bağıl-frekans yaklaşımında, bir madeni paranın iki kez
atılması örneğinde olduğu gibi bir deneyin iki kez tekrarlanmasını
incelemek sureti ile tanıtılmıştı ve herhangi şekilde birinci denemenin
sonucunun ikinci denemeyi etkilemediği açıklanmaştı.
Bu kavram biraz daha geliştirilecek ve olayların daha genel
matematiksel ifadesi ortaya konulmaya çalışılacaktır. Ancak
değişmeyen tanım,
A ve B olayları, sadece ve sadece
Pr (AB) = Pr (A) Pr (B)
(1-21)
koşulunun sağlanması durumu için bağımsız olduğudur. Pek çok
fiziksel durumda, olayların bağımsızlığı varsayılır, çünkü bir olayın
diğerine bağlı olmasında görünen belirgin bir mekanizma yoktur.
Diğer hallerde elemanter olayların kabul edilmiş olasılıkları, bunlar
yardımı ile tanımlanmış diğer olayların bağımsızlığını görebilmemize
yol açar. Bu gibi durumlarda, bağımsızlık açıkça görülemeyebilir,
ancak 1-21 eşitliği ile kolayca bulunabilir.
Bağımsızlık kavramı ikiden çok olay için genişletilebilir. Örneğin üç
olayın var olması durumunda bağımsızlık için kombinasyonlar
aşağıda gösterilmiştir.
Pr (A1A2) = Pr (A1) Pr (A2)
Pr (A2A3) = Pr(A2) Pr (A3)
Pr (A1A3) = Pr (A1) Pr (A3)
Pr (A1A2A3) = Pr (A1)Pr(A2)Pr(A3)
Üç olayın bağımsızlığı için bu dört durum gerçeklenmelidir.
Bağımsızlığı ifade eden bu çiftler, olayların tam seti için bağımsızlığı
ifadede yeterli değildir. Genelde, eğer n olay varsa,
32
Pr (AİAJ....Ak) = Pr (Aİ) Pr (AJ) ..... Pr (Ak)
(1-22)
koşulunun sağlanması gereklidir ve her bir tamsayılar seti n’e eşit
veya daha azdır. 1-22 eşitliğine göre n olayının bağımsızılığı için 2n (n + 1) eşitlik gerekmektedir. Bağımsızlık için önemli bir uyarma 1-14
eşitliğinin özel hali için ortaya konabilir.
Pr (A + B) = Pr (A) + Pr (B) - Pr (AB)
ve eğer A ve B olayları bağımsız iseler,
Pr (A + B) = Pr (A) + Pr (B) - Pr (A) Pr (B)
(1-23)
olur. Bağımsızlığın bir başka sonucu da eğer A1, A2 ve A3’ün hepsi
bağımsız iseler
olur.
Pr [A1 (A2 + A3)] = Pr (A1) Pr (A2+ A3)
(1-24)
Bu üç olayın ikişer bağımsız olmaları durumunda 1-24 eşitliği geçerli
değildir. Genel olarak, eğer A1 ,A2 ,....,An bağımsız olaylar ise, o
halde onlardan herhangi biri, toplam çarpım ve tamamlayıcı
şekillerinde herhangi diğer olaylardan bağımsızdır.
Fiziksel durumlara ait örnekler, daha çok bir deneyin iki veya daha
fazla denenmesi ile bütünleşmiş bağımsızlıklar gösterirler. Kuşkusuz
tek bir deneme ile bütünleşmiş setlerde bağımsızlığı tanımlamak
olasıdır, ancak bu setler herhangi bir fiziksel durumu ifade
etmeyebilirler. Örneğin tek bir zar atılması deneyinde A = {1,2,3} ve
B={3,4} olaylarını ele alalım. Daha önceki sonuçlardan Pr(A) = 1/2 ve
Pr(B) = 1/3 olduğu bilinmektedir. AB olayı {3} olan tek bir elemana
sahiptir o halde Pr(AB) = 1/6’dır. Bu şekilde,
Pr(AB) = 1/6 = Pr(A).Pr(B) = 1/2.1/3 = 1/6
33
yazılabilir ve A ve B olayları bağımsızdır denilir, ancak bunun fiziksel
anlamı yeterince açık değildir. Bundan sonra incelenecek paragrafta,
birden fazla deneyin veya verilen bir deney için birden fazla
denemenin bulunduğu durumlar incelenecek ve bu incelemeler
konunun açıklığa kavuşmasına yardımcı olacaktır.
1-8 BİRLEŞTİRİLMİŞ DENEYLER
Şimdiye kadar sunulan olasılıkla ilgili çalışmalarımızda, olasılık uzayı
S yalnızca tek bir deneyle bütünleşmiş biçimde ele alınmıştı. Bu
bakış açısı, gerçeğe uygun pekçok soruna yaklaşabilmek
bakımından oldukça sınırlıdır, bu nedenle konuyu herhangi şekilde
genişletmek gerekmektedir. Şimdi iki deneyin yapıldığı bir durum ele
alalım. Örneğin deneylerden biri bir zarın atılması, diğeri de bir
madeni paranın atılması olabilir. Bu halde bulunması istenen olasılık
zar için 3 sayısının gelmesi, para içinde yazı gelmesi olabilir. Bir
diğer durumda da ikinci deney birincinin yinelenmesinden oluşabilir.
Birlikte ele alınan bu iki deney bir BiRLEŞiK DENEY şeklindedir ve
bu durum için uygun olasılık uzayının bulunmasını gerektirir. Bir
deneyin uzayı S1 ve diğer deneyin uzayı S2 olsun. S1 uzayının
elemanları,
S1 = {α 1 , α 2 ,..., α n }
ve S2 uzayının elemanları da,
S 2 = {β 1 , β 2 ,..., β m }
olarak tanımlanmış olsun. Bu durumda yeni bir uzay biçimi karşımıza
çıkar. Buna KARTEZYEN ÇARPIM UZAYI adı verilir. Kartezyen
çarpım uzayının elemanları şu şekilde sıralanır.
(α 1 , β 1 ), (α 1 , β 2 ),..., (α i , β j ),..., (α n , β m )
Bu şekilde eğer S1 n elemana ve S2 de m elemana sahipse
kartezyen çarpım uzayı, daha önce 1-4 paragrafında incelenen
çarpım veya kesişim ile karıştırılmaması açısından
S = S1 x S2
olarak gösterilebilir.
34
Birleştirilmiş deneyler için kartezyen çarpım uzayının tanıtılması
bakımından, yukarıda değindiğimiz zar ve para atılması denemeleri
için, açıklamaya çalışalım. Zar atılması deneyi için S1 uzayı
S1 = {1,2,3,4,5,6) ve
para atılması deneyi için S2 uzayı
S2 ={Tura, Yazı} = {T, Y}
‘dir. Kartezyen çarpım uzayı aşağıdaki 12 elemandan oluşur,
S = S1 X S2 = {(1,Y), (1,T), (2,Y), (2,T), (3,Y), (3,T), (4,Y), (4,T), (5,Y),
(5,T), (6,Y), (6,T)}
Şimdi yeni olasılık uzayının olaylarını tanımlamak gerekir. Eğer A1,
S1 içinde bir olay olarak ele alınan bir alt set ve A2 de S2 içinde bir
olay olarak ele alınan bir alt set ise,
A = A1 X A2
S uzayı içinde bir olaydır. Örneğin burada A1 = {1,3,5} ve A2 = {T}
olsun. Bunlara karşı gelen A olayı,
A = A1 X A2 = {(1,T), (3,T), (5,T)}
olur.
A olayının olasılığını belirlemede, bu iki deneyin bağımsız olup
olmadığının düşünülmesi gereklidir. Burada incelenecek tek durum,
bunların bağımsız olmaları halidir. Bu gibi durumlarda çarpım
uzayında olasılık, sadece kendi (orijinal) uzaylarındaki olasılıkların
çarpımıdır. O halde A1 olayının olasılığı S1 uzayındaki Pr(A1) ve A2
olayının olasılığı S2 uzayındaki Pr(A2) ise, S uzayındaki A olayının
olasılığı,
Pr (A) = Pr (A1 x A2) = Pr(A1) Pr(A2)
olacaktır.
(1-25)
35
Bu sonuç, yukarıdaki örnekten sayısal olarak gösterilebilir.
A1 = {1,3,5} için
Pr(A1) = 1/6+1/6+1/6 = 1/2
A2 = {T} için
ve
Pr(A2) = 1/2
bilindiğine göre, zar atılmasında tek sayılan ve para atılmasında
turayı elde etme olasılığı,
Pr (A) = (1/2)(1/2) = 1/4
olur.
Yukarıdaki fikirleri, ikiden fazla deney için doğrudan genelleştirmek
olasıdır. Ancak bu özel bir durum için yani aynı deneyin keyfi sayıda
yinelenmesi durumu için yapılacaktır.
1-9 BERNOULLİ DENEMELERİ
Burada incelenen durum, n defa yinelenen bir deneyde, tam olarak k
defa olması istenen özel bir olayın olasılığını bulmaktır. Örneğin, bir
madeni paranın 10 kez atılması durumunda tam olarak 4 kez tura
gelebilmesinin olasılığı nedir? Bu tip yinelenen deneyler BERNOULLI
DENEMELERİ olarak bilinirler.
Bir deney içinde olasılığı Pr(A) = p olan bir A olayını düşünelim. Bu
olayın olmama olasılığı Pr( A ) = q olacaktır. Burada p+q = 1’dir.
Sonra deneyin n kez yineleyelim ve bu denemelerin birbirinden
bağımsız olduğunu varsayalım. Bu bağımsızlık, denemelerden
herhangi birinin oluşu, herhangi şekilde geçmiş ya da gelecek
denemelerin oluşlarına bağlı olmadığını ifade eder. Bundan sonra A
olayının k kez meydana gelmesi olasılığını hesaplayalım. Burada k,
herhangi özel bir sıra örneğin ilk kez denemeyi belirtsin. Denemeler
bağımsız olduğundan, bu olaya ait olasılık,
36
Pr( A) Pr( A)... Pr( A) Pr( A ) Pr( A )... Pr( A ) = pk qn-k
14442444
3 144424443
k adet
n-k adet
olacaktır. Ancak herhangi farklı sıra ile ortaya çıkan tam k tane olayın
olmasında birçok alternatif vardır. Bağımsızlık nedeni ile bütün bu
alternatifler yukarıda gösterilen durumla aynı olasılığa sahiptirler.
Herhangi sıra ile A olayının k kez olması, belirli bir sıra ile k kez olan
karşılıklı seçkin A olaylarının toplamıdır ve bu şekilde A’nın k kez
olması olasılığı, belirli bir sıra için yukarıda verilen olasılığın farklı
sıraların numaralı ile çarpılması ile elde edilir. Ortaya atılan bu farklı
sıraların numarası sadece n elemanı bir set içinden k elemanın
alınması ile elde edilen bir sayıdır. Bu sayı, kombinasyon teorisine
göre binom katsayıları adını alır ve
n
n!
  =
(1-26)
 k  k!(n − k )!
olarak tanımlanır. Örneğin eğer, n= 4 ve k = 2 ise
 n  4!
  =
=6
 k  2!2!
‘dir. A olayının tam iki kez olması için 6 farklı sıra söz konusudur.
Bunlar kolayca şu şekilde gösterilebilir.
AA A A , A A A A , A A A A, A A A A, A AA A , A A AA
Şimdi A olayının k kez olması için hesaplanması istenen olasılık
kolayca yazılabilir.
n
p n (k ) = Pr{A olayının k kez olması} =   p k q n − k
(1-27)
k 
Bu sonucun bir uygulamasını göstermek üzere binary sayılarından (0
ve 1) oluşmuş her biri "1 sözcük" ‘word’ 32 sayı (digit) olarak
düzenlenmiş bir bilgisayar düşünelim. Eğer bir binary sayının yanlış
okunma olasılığı 10-3 ise, bir
37
sözcükteki 1 hatanın olasılığı ne olacaktır?
Bu durumda n = 32, k = 1, p = 10-3 olacaktır. O halde,
 32 
1
31
Pr {1 sözcükteki 1 hata} = P32(1) =   10 −3 (0,999 ) ≈ 0.031
1 
olur. Bir sözcükteki hiç hata olmama olayının olasılığı da kolayca
bulunabilir.
(
)
Pr(1 sözcükte hiç hata yok} = p32(0)
 32 
0
32
32
=   10 −3 (0,999 ) = (0,999 ) ≈ 0.9685
0 
Bernoulli denemelerinin farklı pek çok pratik uygulamaları vardır.
Örneğin n elemanı bir sistemde herhangi bir elemanın bozuk olma
(veya bozulma) olasılığı P olarak bilindiğine göre, sistemde bir
elemanın bozuk olma olasılığı
n
P {1 eleman bozuk} = pn(1) =   p.q ( n −1)
1 
olur.
(
)
Bazı durumlarda bir A olayının en az k kez olmasının ya da k kezden
fazla olmamasının olasılığının hesaplanması ilginç olabilir. Bu
olasılıklar arzu edilen olaya dahil edilebilen bütün oluşların
olasılıklarının toplamı ile kolayca hesaplanabilirler. Örneğin eğer bir
madeni para atılması deneyinde para 4 kez atılmış ise en az iki tura
gelmesinin olasılığı ne olacaktır? Bu durum için p = q = ½ ve n=
4’dür. Daha önce gördüğümüz yolla, tam iki tura gelme olasılığı
 4
2
P4 (2) =  (1 / 2 ) (1 / 2) 2 = (6)(1 / 4)(1 / 4) = 3 / 8
 2
Benzer şekilde üç tura gelmesi olasılığı,
 4
3
1
P4 (3) =  (1 / 2 ) (1 / 2 ) = (4)(1 / 8)(1 / 2) = 1 / 4
3
ve dört tura gelmesi olasılığı
 4
4
0
P4 (4) =  (1 / 2 ) (1 / 2 ) = (1)(1 / 16)(1) = 1 / 16
4
 
olacaktı.
38
O halde en az iki tura gelme olasılığı
Pr {en az iki tura gelmesi} = p4(2) + p4(3) + p4(4)=3/8+1/4+1/16
= 11 / 16
olmaktadır.
Buna benzer problemler için genel bağıntılar oldukça kolay ifade
edilebilir, ancak pekçok durum söz konusudur. Mamafih bunlar
aşağıdaki tablo ile özetlenebilir.
Pr {A olayının n denemede k kezden az olması} =
k −1
∑p
n
(i )
i =0
Pr {A olayının n denemede k kezden fazla olması} =
n
∑p
n
(i )
i = k +1
Pr {A olayının n denemede k kezden fazla olmaması} =
k
∑p
n
(i )
i =0
Pr {A olayının n denemede en az k kez olması} =
n
∑p
n
(i )
i=k
Bernoulli denemelerine ilişkin son bir uyarı, n’in oldukça büyük
değerler alması halinde pn(k)’nın hesaplanmasının uygun duruma
getirilme zorunluğudur. Bu durumda binom katsayıları ve p ile q’nun
büyük
kuvvetleri
hesaplamayı
güçleştirdiğinden
genellikle
hesaplamalarda daha basit fakat yaklaşık bir yol izlemek gereklidir.
Bu yaklaşım, De Moivre-Laplace Teorem olarak bilinmektedir. Eğer
npq >> 1 ve Ik – npI’nin mertebesi npq ‘nün mertebesine eşit veya
daha küçük ise bu yaklaşım
n
1
− ( k − np ) 2 / 2 npq
p n (k ) =   p k q n− k ≈
ε
2πnpq
k 
olarak tanınır.
De Moivre-Laplace teoremi, ileride incelenecek sürekli olasılık için ek
bir özellik taşımaktadır. Mamafih basit bir örnek ayrık olasılık için
yararını belirtmeye yeterlidir. Varsayalım ki bir madeni para 100 kez
atılsın ve k kez tura gelmesi istensin (burada k = 50 civarında olsun),
k’nın yaklaşık 40 ila 60 arasındaki değerleri için, p = q = ½ ve n = 100
bilindiğine göre;
39
p n (k ) ≅
1
50π
e −( k −50 )
2
/ 50
100 
 binom katsayılarını aynı mertebede bir k için
olur. Bu da 
k


hesaplanmaya çalışmaktan çok daha kolay olduğunu göstermektedir
.
ALIŞTIRMA 1-9
Bir şehirde 60 saatlik bir hafta sonu boyunca ölümle sonuçlanan 15
trafik kazası olmaktadır. Bu süre içinde 1 saatlik peryottaki kaza
olasılığı, diğer birer saatlik peryotlardaki kaza olasılıklarına eşit
olduğu varsayılarak,
a) 6 saatlik peryotta hiç kaza olmama olasılığı nedir?
b) "
"
5 kaza olma olasılığı nedir?
c) Bütün hafta sonu boyunca hiç kaza olmama olasılığı nedir?
40
PROBLEMLER
1-1 Tek bir zar atıldığında, aşağıdaki olaylara ait olasılıkları hesaplayınız.
a- 3 sayısının gelmesi
b- 3’ten küçük sayıların gelmesi.
c- Bir tek sayı gelmesi.
1-2 İki zar atıldığında, aşağıdaki olaylara ait olasılıkları hesaplayınız.
a- Toplamın 7 olması,
b- Toplamın 5’ten büyük olması,
c- Toplamın bir tek sayı olması.
1-3 Bir firma, güçleri 1/5 , 1/4 ve 1/3 hp ve çalışma gerilimleri 120 V ac,
240 V ac ve 120 V dc olan küçük elektrik motorları üretmektedir.
Motor tipleri yalnızca plakalarından ayırdedilebilmektedir. Bir dağıtıcı
firmanın elinde ayrıntıları tabloda verilen 2500 adet motor vardır.
Güç
1/5
1/4
1/3
Toplam
120 V AC
250
150
100
500
240 V AC 120 v DC
750
500
250
250
250
0
1250
750
Toplam
1500
650
350
2500
Motorlardan birinin plakasız olduğu saptanıyor. Aşağıdaki olaylara ait
olasılıkları bulunuz.
a-Plakasız motor gücünün 1/4 hp olması.
b-Plakasız motorun çalışma geriliminin 120 V dc olması.
c-Plakasız motorun gücünün 1/4 hp ve çalışma geriliminin
120 V dc olması.
d-Plakasız motorun gücünün 1/3 hp ve çalışma geriliminin
120 V dc olması.
1-4 Problem 1-3’de 120 V ac besleme gerilimine sahip motorlardan
%10’u ve 120 V dc motorlardan %2’sinin yanlış etiketlenmiş olduğu
varsayıldığına göre,
a-Rasgele bir motor seçildiğinde, bunun yanlış etiketli olma olasılığı
nedir?
b-1/4 hp gücünde bir motor seçildiğinde bunun yanlış etiketli olma
olasılığı nedir?
c-Rasgele bir motor seçildiğinde, bunun 1/5 hp gücünde ve yanlış
etiketli olma olasılığı nedir?
41
1-5 Aşağıdaki olasılıkları hesaplayınız.
a-Birbiri peşisıra bir iskambil destesi 5 kez kesiliyor. En az
üçünde as çıkması.
b-Beş kartlı bir poker elinde en az üç as olması.
c-Floş için bir kart çekilmesi.
1-6 n elemandan oluşan S uzay setinin 2n alt kümesi olduğunu ispatlayınız.
1-7 Bir S olasılık uzayı,
S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
olarak tanımlanmıştır. Bu uzaya ait üç alt küme,
A = {1,2,3}, B = {1,3,5,7,9}, C = {2,4,6,8,10}.
olduğuna göre
A+B
B+C
A+C
AB
AC
BC
setlerini bulunuz.
ABC
A
B
C
AB
AB
BC
A-C
C-A
A-B
(A-B)+B
(A-B)+C
1-8 Problem 1-4 için Venn diyagramını çizerek değerlendiriniz.
1-9 Bir olasılık uzayında, A, B ve C gibi tanımlanmış üç olay için,
Pr(A+B+C) = Pr (A) + Pr (B) + Pr (C)
- Pr (AB) - Pr (AC) - Pr (BC) + Pr (ABC)
olduğunu gösteriniz.
1-10 Bir daktilograf bazen vurmak istediği tuş yerine o tuşun hemen
sağındaki veya solundaki tuşa yanlışlıkla vurur. Bunların herbirine ait
olasılıklar 0,05’tir. Bir yazı makinasında E, R ve T harfleri yanyana
bulunmaktadır. İngilizce dilinde E harfinin kullanılma olasılğı 0,1031,
R harfinin 0,0484 ve T harfinin ise 0,0796’dır.
İngilizce bir metnin kopya edilmesi halinde, R harfinin yazılma
olasılığı nedir?
42
1-11 Belirli bir haberleşme sisteminde mesajlar 0 ve 1 olan binary sayıları
ile kodlanmışlardır. Kodlamadan sonra 0 gönderilme olasılığı 0,45 ve
1 gönderilme olasılığı 0,55’tir. Haberleşme kanalında, 0 gönderilen
işaret 0,1 olasılıkla 1 olarak ve 1 gönderilen işaret 0,2 olasılıkla 0
olarak alınmaktadır.
a-İşaret sıfır olarak alındığında, sıfır gönderilmiş olma olasılığı nedir?
b-İşaret bir olarak alındığında, bir gönderilmiş olma olasılığı nedir?
1-12 Eşyetenekli iki takımın karşılaşmaları durumunda,
a-Dört oyundan üçünü mü yoksa 8 oyundan beşini mi kazanmak
daha olasıdır?
b-Dört oyundan en az üçünü mü yoksa 8 oyundan en az beşini mi
kazanmak daha olasıdır?
1-13 Bir futbol kalecisi, kalesine atılan şutlardan 2/3’ünü yakalamaktadır.
Bir oyunda maç boyunca kaleye 5 şut atılmıştır. Takımının
kazanabilmesi için kendisine atılan şutlardan 3’ünü yakalaması
gerekmektedir.
a-Kalecinin atılan bu 5 şuttan hiçbirini yakalayamama olasılığını
bulunuz.
b-Takımının oyunu kazanma olasılığı nedir?
1-14 Çok kanallı bir mikrodalga hattı 10 aboneli özel bir telefon
haberleşmesini sağlamaktadır. Her bir abone puant zamanlarda
iletişimin uygunlukla yapılabilmesinin sağlanmasında,
a-Abonelerin %90’ının zamanın tamamı boyunca konuşabilmesi için,
b-Bütün abonelerin zamanın %90’ı süresince konuşabilmeleri için,
kaç kanala gerek vardır?
KAYNAKLAR
1.Bölüme ait kaynaklar aşağıda verilmiştir.
Beckmann,P., Elements of Applied Probability Theory. New York:
Harcourt, Brace and World,Inc.,1938
Davenport,W.B.,Jr., and W.L.Root, Introduction to Random Signals
and Noise. New York:McGraw-Hill,Inc.,1958
Drake,A.W., Fundamentals of Applied Probability Theory. New
York:McGraw-Hill,Inc.,1967
43
Gnedenko,B.Y. and A.Ya.Khinchin, An Elementary Introduction to the
Theory of Probability. New York:Dover Publications, Inc.,1962
Lanning,J.H.,Jr. Ve R.H.Battin, Random Processes in Automatic
Control. New York:McGraw Hill,Inc.,1956
Papoulis,A., Probability, Random Variables, and Stochastic
Processes. New York:McGraw Hill,Inc.,1965
Parzen,E., Modern Probability Theory and Its Applications. New
York:John Wiley and Sons,Inc.,1969
Thomas,J., An Introduction to Statistical Communication Theory.
New York:John Wiley and Sons, Inc.,1969
44
BÖLÜM 2
RASLANTI DEĞİŞKENLERİ
2-1 RASLANTI DEĞİŞKENİ KAVRAMI
Bir önceki bölümde herhangi bir deneyle bağlantılı olası oluş
sayılarının sonlu olması durumu ayrıntılı olarak açıklanmıştı. Ancak
oluşların sonlu sayıda olması olanaksızdır, çünkü gerçek yaşamda
oluşlar sonlu değildirler. Bu varsayımlar sadece bir madeni para
atılması, bir zar atılması, kutulardan direnç seçilmesi gibi deneyler
için gerçekten doğrudur ve uygulanır. Buna rağmen gerçek yaşamda,
olası oluşları sonlu olmayan pek çok deney sözkonusudur. Bu
bölümün amacı şimdiye kadar incelenen olasılık kavramları ile
bağlantılı olarak bu tip deneylerle tanışmayı sağlamaktır.
Bir deneye ait oluş sayılarının sonlu olmama durumunu tanıtmada iyi
bir yol olarak bir kutudan bir direnç çekilmesi deneyi düşünülebilir. Bir
önceki bölümde yapılan 1 ohm’luk, 10 ohm’luk ya da herhangi farklı
değerde direnç çekilme deneyi hatırlanacaktır. Bu örneklerde çekilen
dirençlerin etiketlerinin 1 ohm veya 10 ohm olması belirtilmek
istenmişti. Dirençlerin gerçek değerlerinin etiket değerlerine yakın
değerler olduğu kabul edilir ve bu değerlerden bilinmeyen fakat
ölçülebilir bir miktar farklılık gösterdikleri bilinir. Etiket değerlerinden
farklılıklar üretimin niteliğine bağlıdır ve bize yalnızca direnç
değerinin belirli sınırlar arasında olduğunu ifade ederler. Madem ki
herhangi bir direncin değeri tam olarak bilinmemektedir, o halde o bir
raslantı değişkenidir.
Bu konuyu daha derinleştirmek üzere, her biri 100 ohm olarak
etiketlenmiş bir kutu direnç düşünelim. Üretim toleransları nedeni ile
kutudaki her bir direncin birbirinden farklı değerleri vardır. Daha ileri
giderek sonsuz sayıda olası direnç değeri söz konusudur, bu nedenle
bir direnç çekilmesi deneyi sonsuz sayıda olası oluşa sahiptir. Hatta
bütün direnç değerlerinin 99,99 ohm ile 100,01 ohm arasında olduğu
bilinse bile, bu sınırlar içinde sonsuz sayıda değer vardır. Buradan şu
önemli durum karşımıza çıkar, tam olarak 100 ohm’luk bir direncin
çekilebilme olayının tanımlanan olasılığı gerçekte sıfırdır. Diğer
yandan değerleri 99,9999 ohm ile 100,0001 ohm arasındaki
dirençlerin çekilebilme olasılığı sıfırdan farklıdır.
45
Genel olarak bir direncin gerçek değeri bir raslantı değişkenidir ve
belirli sınır değerleri arasında olduğu varsayılır.
Raslantı değişkenlerini zaman fonksiyonları ile birlikte düşünmek
olasıdır ve gerçekten bu notlarda ele alınan çoğu uygulamalar bu
tipten olanlardır. Esasen raslantı değişkenleri ve rasgele zaman
fonksiyonları üçüncü bölümde ayrıntılı olarak ele alınacaktır. Bu iki
kavram arasındaki bağıntıyı vurgulamak üzere konudan bir an için
ayrılmak ve bu bölümdeki çalışmalarımızla ilgili önemli bir fiziksel
olguyu ortaya koymak yararlı olacaktır.
Tipik bir rasgele zaman fonksiyonu şekil 2-1’de X(t) olarak
gösterilmiştir. Verilen bir fiziksel olgu için bu özel zaman
ŞEKiL 2-1: Bir Rasgele Zaman Fonksiyonu
fonksiyonu, oluşabilecek sonsuz sayıdaki zaman fonksiyonlarından
sadece biridir. Gözlemlenebilen olası tüm zaman fonksiyonlarının
tamamı (kolleksiyonu) bir rasgele işlemeye aittir ve bu {x(t)} olarak
gösterilecektir. Bu olası zaman fonksiyonlarına ait "olasılık
fonksiyonları" da tanımlanmış ise yukarıda değindiğimiz bu zaman
fonksiyonlarının kolleksiyonu "ENSEMBLE" (BÜTÜN) adını alır.
Ensemble'nin herhangi özel bir fonksiyonu, örneğin x(t) ÖRNEK
FONKSİYON olarak bilinir ve herhangi bir zaman için örneğin t1
anında, örnek fonksiyonun değeri, X(t1) veya yalnızca X1 olarak
gösterilecektir ve bu gibi değer bir raslantı değişkenidir. Bu şekilde,
özetle x(t) gözlenen bir örnek fonksiyon olduğuna göre, X1 = x(t1)
rasgele değişkendir.
46
Rasgele işleme ile bütünleşmiş bir raslantı değişkeni yukarıda
değindiğimiz direnç örneği ile bütünleşmiş raslantı değişkeninden çok
daha karmaşık bir kavramdır. Öncelikle, zaman eksenindeki her bir
an için farklı bir raslantı değişkeni söz konusudur. Ancak genel olarak
iki farklı zamana karşı gelen iki farklı raslantı değişkeni arasında bir
ilişki vardır, ikinci olarak ilgilendiğimiz, örnek fonksiyondan tüm
ensemblenin örnek fonksiyonlarına kadar var olan bir rasgeleliktir.
Rasgelelik zamanın bir anından diğerine de düşünülebilir ancak bu
rasgele işlemenin temel öğesi değildir. Bu nedenle burada incelenen
raslantı değişkeni olasılığının tanımı, aynı zamanda rasgele
işlemenin olasılığının tanımıdır. Bizim başlangıç incelemelerimiz
raslantı değişkenleri üzerinde yoğunlaşacak ve daha ileride rasgele
işlemeye yönelecektir.
Mühendislik açısından, bir raslantı değişkeni yalnızca rasgele bir
deneyin oluşunun sayısal bir ifadesidir. Bu arada belirli bir deneyin
olası oluşlarının setinin S = { α } örnek uzayı veya birim set olduğunu
anımsayalım. Oluş α olduğunda, X raslantı değişkeni X( α ) olarak
belirtebileceğimiz bir değere sahiptir. Bu açıdan bir raslantı
değişkeni, sadece örnek uzayı boyunca tanımlanan gerçel değerli bir
fonksiyondur ve gerçekten bir raslantı değişkeninin temel tanımı
yalnızca (matematiksel açıdan biraz sınırlandırmak koşulu ile) bu tip
bir fonksiyondur. Genelde mühendislik uygulamaları için örnek
uzayının tam açıklıkla bilinmesi gerekmez. Yalnızca ilgilenilen
raslantı değişkenleri ile bütünleşmiş çeşitli olayların olasılıklarını ortaya koyabilmek gerekir ve bu olasılıklar çoğu kez doğrudan doğruya
fiziksel durumlardan çıkarılabilir. Raslantı değişkeninin tam olarak
tanımlanabilmesi için ne tür olaylar arzu edildiği ve uygun olasılıkların
nasıl bulunacağı soruları bu bölümün paragrafları içinde
yanıtlanacaktır.
Bir raslantı değişkeninin belirli sınırlar arasında herhangi değerde
olduğu varsayılabilirse, buna sürekli rasgele değişken adı verilebilir.
Aşağıdaki paragraflarda, aksi söylenmediği sürece bütün raslantı
değişkenleri sürekli varsayılacaktır. Ancak ayrık raslantı değişkenleri
de (bunlar sayılabilir bir setin elemanları kabul edilmek kaydı ile)
tamamen aynı yöntem ile değerlendirileceklerdir.
47
2-2 DAĞILIM FONKSİYONLARI
Birinci bölümde görülen olasılık kavramları çerçevesi içinde sürekli
raslantı değişkenlerini incelemek üzere olasılık uzayı ile bütünleşmiş
olayları tanımlamak gerekmektedir. Bu olayları tanımlamada pek çok
yol vardır, ancak aşağıda açıklanan yöntem hemen hemen herkes
tarafından kabul edilmektedir.
Yukarıda tanımlanan şekli ile X bir raslantı değişkeni olsun ve x de
bu raslantı değişkenin alabileceği herhangi bir değer olsun. Olasılık
dağılım fonksiyonu; gözlemlenen X raslantı değişkenin alabileceği
(müsade edilen) x değerine eşit ya da küçük olması olayının olasılığı
olarak tanımlanır. Matematik olarak
PX ( x) = Pr( X ≤ x)
yazılır. Mühendislik dallarında olasılık dağılım fonksiyonunu Px(x) ile
ifade etmek oldukça yaygındır ancak pek çok matematik kitabı, bu
fonksiyon için Fx(x) notasyonunu kullanmaktadır. (Olasılık dağılım
fonksiyonlarını ifadede Px(x) yerine P(x)'in de kullanılabileceğini
belirtelim).
Tanımı gereğince, madem ki olasılık dağılım fonksiyonları birer
olasılıktır, o halde birinci bölümde incelenen temel aksiyomlar ile bazı
özellikleri sağlamalıdırlar. Ayrıca olasılık dağılım fonksiyonları aynı
zamanda x'in de bir fonksiyonudur (x daha önce değindiğimiz gibi
X’in olası değerleridir) ve bu nedenle genel olarak x’in bütün değerleri
için geçerli olmalıdır. Buradan olasılık dağılım fonksiyonları, hem
birer olasılık olma ve hem de birer fonksiyon olma gereksinimlerini
yerine getirme durumundadırlar. Bunlar aşağıdaki şekilde
özetlenebilir.
1.
2.
3.
4.
0 ≤ Px ( x) ≤ 1
−∞< x < ∞
Px(- ∞ ) = 0
Px( ∞ ) = 1
Px(x), x’in artan değerleri ile azalmaz.
Pr (x1 < X ≤ x2) = Px(x2) – Px(x1)
48
Olası bazı dağılım fonksiyonları Şekil 2-2’de gösterilmiştir. Şekilde (a)
− ∞ , + ∞ aralığında olası bütün değerleri alabilen sürekli bir raslantı
değişkenini göstermektedir, (b) olası değerleri a ile b arasında yer
alan sürekli bir raslantı değişkeninin ve (c) ise olası değerleri sadece
ve sadece 0, a, b veya c olabilen ayrık bir raslantı değişkeninin
olasılık dağılım fonksiyonlarına aittir. Şekil 2-2 (c)’dekine benzer
dağılım fonksiyonlarında, X<x olduğu kadar X = x’in de PX(x)'in
tanımı kapsamına girdiğini anımsatmak yararlı olacaktır. O halde bu
şekil için örneğin PX(a) = 0,4’e eşittir, 0,2’ye eşit değildir.
ŞEKİL 2-2: Bazı Olası Olasılık Dağılım Fonksiyonları
Olasılık dağılım fonksiyonları aynı zamanda gözlenen raslantı
değişkeni X’in x’ten büyük olması (eşit değil) olayının olasılığını
tanımlamada da kullanılabilir. Bu olay, yalnızca PX(x) olasılığına ait
bir olayın tamamlayıcısı olduğundan,
Pr(X>x) = 1 – PX(x)
olacaktır.
Bir örnek olmak üzere Şekil 2-3’teki olasılık dağılım fonksiyonunu ele
alalım. Bu fonksiyon biraz evvel sıraladığımız bütün koşulları
sağlamaktadır. Şekilden (olası pek çok durum arasında) aşağıdaki
durumların doğru olduklarını görmek mümkündür.
49
ŞEKİL 2-3 : Bir Olasılık Dağılım Fonksiyonu
Pr (X ≤ -5) = 0.25
Pr (X > -5) = 1 – 0.25 = 0.75
Pr (X > 8) = 1 – 0.9 = 0.1
Pr (-5 < X ≤ 8) = 0.9 – 0.25 = 0.65
Pr ( X ≤ 0) = 1 – Pr(X >0) = 1-0.5 = 0.5
ALIŞTIRMA 2-2
Herhangi bir X raslantı değişkeni aşağıda verilen olasılık dağılım
fonksiyonuna sahiptir.
PX(x) = 0
1 1
= + x
2 2
=1
− ∞ < x ≤ -1
-1 < x < 1
1 ≤ x< ∞
1
için olasılık nedir?
4
3
b-) X >
için olasılık nedir?
4
c-) X’in varsayılabilen maksimum değeri nedir?
a-) X =
50
2-3 YOĞUNLUK FONKSiYONU
Her ne kadar dağılım fonksiyonları tek bir raslantı değişkeninin
olasılık modeli için tam bir tanım ise de ilgilenilen pek çok hesaplama
için en elverişli biçim değildir. Bunun için P(x)’in kendisi yerine P(x)’in
türevini kullanmak tercih edilebilir. Bu türeve "olasılık yoğunluk
fonksiyonu" adı verilir ve eğer varsa aşağıdaki ifade ile tanımlanır.
dPX ( x)
ε →0
ε
dx
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun fiziksel önemi en iyi şekilde olasılık
elemanı "PX(x)dx" cinsinden belirtilebilir. Bunu şu şekilde
gösterebiliriz;
p X ( x) = lim
PX ( x + ε ) − PX ( x)
=
p X ( x)dx = Pr ( x < X ≤ x + dx )
(2-1)
2-1 eşitliği açıklıkla, PX(x)dx olasılık elemanının, X raslantı
değişkeninin x ve x + dx arasında yer alması olayının olasılığına eşit
olduğunu göstermektedir.
Madem ki PX(x) bir yoğunluk fonksiyonudur ve bir olasılık belirtmez o
halde değerinin 1’den az olması gerekmez ve negatif olmayan
herhangi bir değer olabilir. Yoğunluk fonksiyonuna ait genel özellikler
aşağıdaki gibi özetlenebilir.
1.
pX(x) ≥ 0
−∞< x < ∞
∞
2.
∫p
X
( x)dx = 1
−∞
x
3.
PX(x) =
∫p
X
(u )du
−∞
x2
4.
∫p
X
( x)dx = Pr( x1 < X ≤ x 2 )
x1
Olasılık yoğunluk fonksiyonuna örnek olmak üzere, Şekil 2-2’de
gösterilen dağılım fonksiyonlarına karşı gelen yoğunluk fonksiyonları
Şekil 2-4’te gösterilmiştir. Ayrık bir raslantı değişkeni olma özel hali
için yoğunluk fonksiyonları bir
51
ŞEKiL 2-4: Şekil 2-2’deki Dağılım Fonksiyonlarına Karşı Düşen
Yoğunluk Fonksiyonları
delta fonksiyonları dizisinden oluşmaktadır. Her bir delta fonksiyonu,
dağılım fonksiyonundaki süreksizliğe uygun olarak, büyüklüğüne eşit
bir alana sahiptir. Yoğunluk fonksiyonları hem sürekli ve hem de ayrık
fonksiyonların bir araya gelmelerinden oluşabilir.
Pek çok farklı matematiksel şekilde karşımıza çıkan olasılık yoğunluk
fonksiyonları vardır ancak mühendislikteki sistem analizlerinde
bunlardan yalnızca bir kaçı önemlidir. Bunlardan bazıları bu bölümün
paragraflarında incelenecektir ve çeşitli yoğunluk fonksiyonlarını içeren
tablo EK B’de verilmiştir.
Mühendislikte, sistem analizi sorunlarının çözümlerinde sık sık
karşılaşılan bir durum, bir raslantı değişkeninin, olasılık yoğunluk
fonksiyonu bilinen bir başka raslantı değişkeni ile fonksiyonel olarak
bağıntılı olması ve ilk raslantı değişkenine ait olasılık yoğunluk
fonksiyonunun hesaplanmasının istenmesidir. Örneğin akım ya da
gerilimin olasılık yoğunluğu fonksiyonu bilindiğinde, buna bağlı olarak
güç değişiminin olasılık yoğunluk fonksiyonunun bulunması istenebilir.
Ya da bir gerilim veya akım üzerinde bazı lineer olmayan çalışmalar
yapıldıktan sonra olasılık yoğunluk fonksiyonunun bulunması
istenebilir. Bu konuda burada tam bir açıklama yapılmayacaktır, ancak
birkaç elemanter kavramın tanıtılması ilerideki çalışmalarımıza
yardımcı olacaktır.
52
Şimdi konuya matematiksel bir çerçeve çizmek üzere, Y raslantı
değişkeninin, başka bir X raslantı değişkeninin tek değerli, gerçel bir
fonksiyonu olduğunu varsayalım. Bunu
Y = f(X)*
şeklinde yazabiliriz. Burada X’in olasılık yoğunluk fonksiyonu PX(x)
verilmiş olsun ve PY(y) ile ifade edeceğimiz Y raslantı değişkeninin
olasılık yoğunluk fonksiyonunun bulunması istensin. Eğer bir an için
f(X)’i, X’in sürekli, artan bir fonksiyonu olarak değerlendirirsek,
ŞEKiL 2-5: Değişkenlerin Dönüştürülmesi
Şekil 2-5 (a)’da görülen durum söz konusudur. X raslantı değişkeninin x ve x + dx arasında yer alması ile Y raslantı değişkeninin
y + dy arasında yer alacağı açıktır. Bu olayların olasılıkları PX(x).dx
ve PY(y).dy olduğundan,
pY(y) dy = pX(x) dx
* Bu aynı zamanda X’in ve Y’nin olası değerlerinin y = f (x) olarak da
bağlantılı olduğunu ifade eder.
53
yazılabilir. Buradan istenen olasılık yoğunluk fonksiyonu
dx
pY ( y ) = p X ( x )
(2-2)
dy
elde edilir. Kuşkusuz 2-2 eşitliğinin ikinci tarafında x’e karşı gelen
değer y cinsinden yazılmalıdır. Eğer f(X), X’in sürekli, azalan bir
fonksiyonu ise, Şekil 2-5 (b), benzer sonuç elde edilecektir, ancak bu
kez türev negatif işaret taşır. Olasılık yoğunluk fonksiyonu pozitif
olmak zorunda olduğundan ayrıca şeklin geometrisinden de
görüleceği gibi türevin mutlak değerinin alınması gerektiği kolayca
anlaşılacaktır. O halde her iki durum için de,
dx
PY(y)=pX(x)
(2-3)
dy
yazılmalıdır.
Verilen bir Y için f(X)’in türevlerinin bir kısmının pozitif ve bir kısmının
negatif bölgelerde olması durumu da karşımıza çıkabilir. Bu gibi
durumlarda kısımlar ayrı ayrı incelenmeli ve karşı gelen olasılık
yoğunlukları toplanmalıdır. Bunu açıklamak üzere bütün raslantı
değişkenlerinin dönüşümlerini gösterecek bir örnek üzerinde
çalışalım.
Y = X2
fonksiyonu ile bağlı iki raslantı değişkeni ele alalım. Şekil 2-6 bu
durumu göstermektedir ve örneğin, skala faktörü hariç, biri gerilim
raslantı değişkenini ifade etmiş olsun. dx/dy türevinin mutlak değeri,
dx
1
=
dy 2 y
olarak verildiğine göre, her bir y değerine iki x değeri karşı
gelmektedir. (x = m y ). İstenen olasılık yoğunluk fonksiyonu
yalnızca,
pY(y)=
1
2 y
[p ( y ) + p (− y )]
X
X
y≥ 0
(2-4)
54
X= -
y
X=
y
ŞEKİL 2-6: Karesel Düzen Dönüşüm
Daha ileri giderek y’nin hiçbir zaman negatif değerler alamayacağı
söylenebilir, yani;
py(y) = 0
‘dır.
y<0
Raslantı değişkenlerinin dönüşümleri ile ilgili diğer bazı uygulamalar
ileride incelenecektir.
ALIŞTIRMA 2-3
X raslantı değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu
pX(x) = K {u(x + 1) - u(x - 1)} şeklindedir. Burada u(.) birim basamak
fonksiyonunu ifade eder.
a- K değerini hesaplayınız
b- X >3/4 için olasılığı hesaplayınız
c- X’in minimum değerini bulunuz.
2-4 BEKLENDİK DEĞER ve MOMENTLER
İstatistik yöntemlerle ilgili en önemli ve temel kavramlardan biri
raslantı değişkeninin ya da raslantı değişkenli fonksiyonların
ortalama değerlerinin bulunmasıdır. Zaman fonksiyonları için
ortalama değerlerin bulunması, belirli bir zaman aralığında integral
alınıp elde edilen değerin bu aralık süresine
55
bölünmesi sureti ile elde edilen, elektrik mühendislerinin yakından
bildikleri bir kavram olup, bu şekilde zaman fonksiyonunun de
bileşeninin, karesel ortalama değerinin (effektif değer) veya ortalama
gücün elde edilmesi sağlanır. Bu tip zaman ortalamaları, zamana
bağlı rasgele fonksiyonlar için de önemlidir, ancak zaman
fonksiyonunun tek bir zamana karşı gelen değeri ile tanımlanmış tek
bir raslantı değişkeni söz konusu olduğunda hiç bir anlam ifade
etmez. Bunun yerine, raslantı değişkeninin kabul edilebilir olası
değerleri sınır değerleri boyunca integre edilmek sureti ile ortalama
değerin bulunması gerekir. Bu tip bir işleme "ensemble ortalaması"
adı verilir ve sonuç beklendik değerdir. Beklendik değeri ifade
etmede Standard olarak farklı pek çok notasyon kullanılmaktadır,
ancak mühendislikte en yaygın olanları
X = E[X ] =
∞
∫ xp( x)dx
(2-5)
−∞
dir. E[X] sembolü genellikle "X in beklendik değeri" ya da " X’in
matematiksel beklendiği" olarak okunur. Daha ileride değineceğimiz,
gibi, bir çok halde bir raslantı değişkeninin pratikteki önemi, raslantı
değişkeninin ait olduğu rasgele işlemlemeden herhangi örnek
fonksiyonunun zaman ortalamasına eşit olması ile belirlenir. Bu
durumda bir akım yada gerilim fonksiyonunun beklendik değeri onun
dc bileşenini bulmaya özdeştir. Bu akıl yüretme burada açıklama
amacı ile kullanılmıştır. x’in herhangi bir fonksiyonunun beklendik
değeri benzer hesaplama ile de elde edilebilir.
E [ f ( X )] =
∞
∫ f ( x) p( x)dx
(2-6)
−∞
f(x) = xn fonksiyonunun, raslantı değişkenlerinin genel momentlerini
açıklamakta özel bir önemi vardır. Böylece
∞
[ ] ∫x
Xn =E Xn =
n
p ( x)dx
(2-7)
−∞
elde edilir. x’in en önemli momentleri n = 1 için yukarıda incelenen
beklendik değer ile n = 2 için karesel beklendik değerdir.
56
∞
[ ] ∫x
X2 =E X2 =
2
(2-8)
p ( x)dx
−∞
Gerçekten karesel beklendik değerin öneminin altını çizmek gerekir.
Genellikle bir rasgele gerilim veya akımın karesinin zaman
ortalamasına eşit olduğu varsayılabilir. Bu durumda karesel
beklendik değer (bir dirençteki) ortalama güç ile orantılıdır ve rasgele
gerilim veya akımın etkin (effektif) değerinin karesine eşittir.
Aynı ilke ile merkezi momentleri de tanımlamak olasıdır. Bunlar
sadece raslantı değişkenleri ile onların beklendik değerleri arasındaki
farkların momentleridir. Bu şekilde n inci merkezi moment,
(X − X )
n
[
]
= E (X − X ) =
n
∞
∫ (x − X )
n
p ( x)dx
(2-9)
−∞
olacaktır. n = 1 için merkezi momentin sıfır olacağı açıktır, n = 2 için
merkezi moment oldukça önemlidir ve özel bir adı vardır. Bu ad
"değişinti" (variance) olarak bilinir ve ile sembolize edilir.
∞
σ 2 = ( X − X ) = ∫ ( x − X ) 2 p( x)dx
2
(2-10)
−∞
Değişik bir yolla değişinti, toplamların beklendik değerlerine ait
kuralın kullanılması ile de tanımlanabilir. Bu kural,
E [ X 1 + X 2 + ... + X m ] = E [ X 1 ] + E [ X 2 ] + ... + E [ X m ]
olarak bilindiğine göre,
[
] [
σ 2 = E ( X − X ) = E X 2 − 2 XX + (X )
2
2
[ ]
]
= E X 2 − 2 E [ X ]X + ( X )
2
= X 2 + 2 XX + (X ) = X 2 − ( X )
2
2
(2-11)
57
olur ve görüldüğü gibi değişinti karesel beklendik değer ile beklendik
değerin karese arasındaki farka eşittir. Değişintinin karekökü σ
"standard sapma" (Standard deviation) olarak bilinir.
Elektrik devrelerinde değişinti genellikle gerilim veya akımın ac
bileşeninin (bir dirençteki) ortalama gücü ile bağlantılı olmaktadır.
Değişintinin karekökü effektif değer ölçen bir voltmetre veya
ampermetrenin gösterdiği değer olarak karşımıza çıkar.
Yukarıda incelediğimiz beklendik değerler ve momentleri açıklamak
üzere, Şekil 2-7 de gösterilen uniform olasılık yoğunluk fonksiyonuna
sahip bir rasgele değişken düşünelim.
ŞEKiL 2-7: Bir Uniform Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
Örneğin bu 20 ve 40 volt arasında lineer olarak değişen testere dişi
bir gerilim fonksiyonunun olasılık yoğunluk fonksiyonu olsun. Bu
fonksiyon matematiksel olarak şu şekilde tanımlanır.
p( x) = 0
= 1/20
=0
− ∞ < x ≤ 20
20 < x ≤ 40
40 < x < ∞
Bu raslantı değişkeninin beklendik değeri 2-5 eşitliğinin kullanılması
sureti ile elde edilirse,
58
40
1
1 x2
X = ∫ x( )dx =
⋅
20
20
2
20
40
=
20
1
(1600 − 400) = 30
40
bulunur. Bu değer, biraz önce de sözünü ettiğimiz, testere dişi
dalganın ortalama değerinden başka bir şey değildir. Karesel
beklendik değer ise 2-8 eşitliğine göre
40
1
1 x3
X = ∫ x ( )dx =
20
20 3
20
2
40
2
=
20
1
(64 − 8)10 3 = 933.3
60
olur ve bu rasgele değişkene ait değişinti de 2-11 eşitliğinden
σ 2 = X 2 − (X ) = 933.3 − (30)2 = 33,3
2
olarak hesaplanır.
Temel varsayıma bağlı olarak rasgele işlemleme değerlendirilebilir;
eğer testere dişi gerilim bir dc voltmetre ile ölçülse idi 30 voltluk bir
değer okunacaktı. Eğer effektif değer ölçen bir ac voltmetre
kullanılsaydı (dc’ye cevap vermeyen) bu kez okunacak değer 33.3
volt olacaktı.
ALIŞTIRMA 2-4
Bir X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu
1
p X ( x) = [u ( x) − u ( x − 2)] ’dir.
2
2
Y = X rasgele değişkeni için
a-) Beklendik değeri
b-) Karesel beklendik değeri
c-) Değişintiyi hesaplayınız.
59
2-5 GAUSS (GAUSSIAN) RASLANTI DEĞİŞKENİ
İnceleyeceğimiz çeşitli yoğunluk fonksiyonlarından en önemlisi
kuşkusuz Gauss ya da Normal yoğunluk fonksiyonudur. Bu fonksiyon
pekçok sebeplerden dolayı önemlidir, bunlardan bazıları şu şekilde
özetlenebilir.
1- Fiziksel olarak, gözlemlenen raslantı değişkenleri ortamında pek
çok farklı durum için iyi bir matematik modeldir. Ayrıca teorik açıdan
da iyi bir model olarak yaygınlıkla kullanılmaktadır.
2- Pek çok sayıda rasgele değişkeni uygunlukla içine alabilen,
genişlemeye açık birkaç yoğunluk fonksiyonundan biridir.
3- Gauss raslantı değişkenlerinin doğrusal (linear) kombinasyonları
yeni fakat gene Gauss olan raslantı değişkenleri elde edilmesini
sağlarlar. Hemen hemen diğer pekçok yoğunluk fonksiyonları için bu
özellik yoktur.
4- Yalnızca Gauss raslantı değişkeninden türetilmiş rasgele
işlemlemelerde, istatistiksel anlamda bütün birinci ve ikinci
momentlere ait bilgiler tam olarak elde edilebilir. Diğer
işlemlemelerde bu gerçeklenememektedir.
5- Sistem analizinde, doğrusal (linear) ve doğrusal olmayan
(nonlinear) durumlarda tam bir istatistiksel analiz için Gauss
işlemlemesi genel olarak tektir.
Gauss yoğunluk fonksiyonunun matematik ifadesi
[
] [
p( x) = 1 / 2π σ exp − (x − X ) / 2σ 2
2
]
−∞< x<∞
‘dir. Burada X ve σ 2 sırasi ile beklendik değeri ve değişintiyi ifade
etmektedir. Buna karşı gelen dağılım fonksiyonu daha kapalı bir
biçimde yazılamaz. Yoğunluk fonksiyonu ile dağılım fonksiyonuna ait
şekiller, sırası ile şekil 2-8 (a) ve (b)’de gösterilmiştir. Bu eğriler ile
ilgili bazı noktaları açıklamak yararlı olacaktır. Bunlar,
60
1- Yalnızca tek bir maksimum vardır, bu da beklendik değere karşı
gelen noktadadır.
2- Yoğunluk fonksiyonu, beklendik değere göre simetriktir.
3- Yoğunluk fonksiyonunun genişliği Standard sapma ( σ ) ile
orantılıdır. 2 σ genişliği maksimum değerin 0,607 katına karşı gelen
noktada söz konusudur. Bunlar aynı zamanda maksimum mutlak
kayma noktalarıdır.
ŞEKİL 2-8: Gauss Raslantı Değişkeni (a) Yoğunluk Fonksiyonu
(b) Dağılım Fonksiyonu
4- Yoğunluk fonksiyonunun maksimum değeri standard sapma ( σ )
ile ters orantılıdır. Madem ki yoğunluk fonksiyonunun alanı bire eşittir
o halde bu fonksiyon σ ’yi sıfıra yaklaştırmak sureti ile impuls veya
delta fonksiyonunu ifadede kullanılabilir. Bu matematiksel olarak şu
şekilde belirtilir,
[
δ ( x − X ) = lim σ →0 (1 / 2π σ ) exp − (x − X ) / 2σ 2
2
61
]
(2-13)
Delta fonksiyonunun bu ifade şekli, diğerlerine göre, sonsuza kadar
integre edilebilme avantajı sağlamaktadır.
Gauss dağılım fonksiyonu, elemanter fonksiyonlar cinsinden kapalı
biçimde ifade edilemez. Ancak genelde, tablolanmış bir fonksiyon
olarak bilinmektedir. Yoğunluk ve dağılım fonksiyonları arasındaki
ilişkiden, genel anlamda, Gauss dağılım fonksiyonu
x
P( x) =
x
[
]
2
∫ p(u )du = (1 / 2π σ ) ∫ exp − (u − X ) / 2σ du
−∞
2
(2-14)
−∞
olarak belirtilebilir. Bu fonksiyon beklendik değerin 0 ve değişintinin 1
değeri için ( X = 0, σ = 1 ) tablolanmıştır. Dağılım fonksiyonu daha çok
φ (x) ile gösterilir ve
x
φ ( x) = (1 / 2π ) ∫ exp[− u 2 / 2]du
(2-15)
−∞
olarak tanımlanır. Basit değişken dönüşümleri ile genel Gauss
dağılım fonksiyonları, φ (x) cinsinden hesaplanabilir.
P ( x) = φ [( x − X ) / σ ]
(2-16)
φ (x) değerleri için hazırlanmış tablo EK D’de verilmiştir. Tablo
sadece x’in sıfırdan büyük değerleri için hazırlanmış olduğundan sık
sık kullanacağımız bir eşitlik vermek gerekecektir. Bu eşitlik
φ (− x) = 1 − φ ( x)
(2-17)
‘dir.
Gauss rasgele değişkenine ait pek çok önemli özelliklerin varlığı
açıktır ancak iki veya daha fazla Gauss rasgele değişkenini içeren
problemlerde yararı daha belirgin şekilde ortaya çıkmaktadır. Ayrıca
yüksek mertebeden momentlerinin kolayca hesaplanabileceği de
unutulmamalıdır. 2-9 eşitliği ile tanımlanan n’inci merkezi moment
Gauss rasgele değişkeni için
62
(X − X )
n
n tek için
n çift için
=0
= 1.3.5...(n − 1)σ
n
(2-18)
olacaktır. Bu eşitliğin kullanılmasına bir örnek olmak üzere n = 4 için,
dördüncü merkezi moment
(X − X )
4
= 3σ 4
olur. Burada dikkat edilmesi gerekli bir noktayı hatırlatalım, n inci
genel moment Xn ile n inci merkezi moment arasındaki bağıntı, n = 2
için daha önce değinilen kadar basit değildir. Örneğin n = 4 için, 4
üncü genel moment Gauss rasgele değişkeni için
X 4 = 3σ 4 + 6σ 2 ( X ) 2 + (X )
4
olmaktadır.
Gauss yoğunluk fonksiyonu konusunu bitirmeden önce 2-12 eşitliğinde verilmiş Bernoulli denemeleri ile bütünleşmiş olasılık
kavramının n’in büyük değerleri için yaklaşık ifadesini (1-28 eşitliği)
karşılaştırmak ilginç olacaktır, k ve n’in tam sayı olmaları durumu
hariç De Moivre-Laplace yaklaşımı, beklendik değeri np ve değişinti
npq olan Gauss yoğunluk fonksiyonu ile aynı görünümdedir. Bernoulli
olasılıklarının ayrık oldukları dikkate alınırsa, bu durum için gerçek
yoğunluk fonksiyonları n’in ortalaması ile artan sayıda bir ( δ ) delta
fonksiyonları setidir, ve n’in artması sonucu bu delta fonksiyonlarının
belirttiği alan Gauss kuralını izler.
Bununla yakından ilgili önemli bir başka sonuç da "Merkezi Limit
Teoremi"dir. Bu ünlü teorem aynı olasılık yoğunluk fonksiyonuna
sahip çok sayıda bağımsız değişkenlerin toplamı ile ilgilidir. Eğer
bağımsız raslantı değişkenleri X 1 , X 2, ..., X n ise toplam
Y = (1 / n )[ X 1 + X 2 + ... + X n ]
63
olarak tanımlanır. O halde n’in büyük olması halinde, Y’nin yoğunluk
fonksiyonu X’lerin yoğunluk fonksiyonlarına bakılmaksızın Gauss
yoğunluk fonksiyonuna yaklaşacaktır. Bu teorem daha genel koşullar
için de geçerlidir. Ancak burada konumuzun kapsamı dışında
kalmaktadır. Önemli olan, fiziksel durumlar olarak karşımıza çıkan ve
bir çok bağımsız birleştirilmiş olayın sonucu olan, oldukça rasgelelik
içeren durumların tanınmasıdır. Bu, bir iletken içindeki elektronların
sıcaklıkla dalgalanışı, bir transistor veya bir elektron tüpünde elektron
yada deliklerin çarpışma gürültüsü, ortamdaki turbilans, okyanus
dalgaları ve diğer pekçok rasgele değişimlerin fiziksel kaynakları için
geçerlidir. O halde bağımsız elemanların olasılık yoğunluk
fonksiyonları (ve genel olarak henüz saptanamamış yukarıda
değindiğimiz olaylara ait yoğunluk fonksiyonları), gözlemlenen
değişimlerin birer Gauss yoğunluk fonksiyonu olarak ele alınması
öngörülmektedir. Merkezi limit teoremi bu varsayım için kuramsal bir
yalınlık sağlar ve hemen hemen bütün durumlarda deneysel ölçmeler
bu varsayıma karşı bir başka alternatif getirmemiştir.
ALIŞTIRMA 2-5
Gauss raslantı değişkeninin
a-) Beklendik değerinden küçük değerler için olasılığı,
b-) Beklendik değerin iki yanında m σ arasında olasılığı bulunuz
c-) Olasılığın 0,01’den büyük olmaması için beklendik değerden ne
kadar uzaklaşmak gerektiğini ( σ ) değişinti cinsinden bulunuz.
2-6 GAUSS ( RASLANTI DEĞİŞKENİ) İLE BAĞLANTILI YOĞUNLUK FONKSİYONLARI
Önceki paragrafta Gauss yoğunluk fonksiyonunun çok önemli olduğunu gösteren bazı nedenleri açıklamıştık. Pratik uygulamalarda
karşılaşılan bir başka neden de çok sayıda olasılık yoğunluk
fonksiyonunun Gauss yoğunluk fonksiyonu ile bağlantılı olması ve
ondan türetilebileceğidir. Bu paragrafın amacı, karşılaşılan bu tip
yoğunluk
fonksiyonlarını
göstermek
ve
hangi
koşullarda
karşılaşılacağını belirtmektir. Burada bunların tamamı yerine en
önemli birkaçı sıralanmıştır.
64
Güç Dağılımı :
Bir devredeki gerilim veya akımın rasgele değişken olması durumunda, direnç elemanından harcanan güç akımın ya da gerilimin
karesi ile orantılı rasgele bir değişkendir. Bu durum için dönüşüm 2-3
paragrafında incelenmişti. Burada bir Gauss akım ya da gerilimin
gücü
ile
bütünleşmiş
olasılık
yoğunluk
fonksiyonunun
hesaplanmasında kullanılacaktır. Örneğin I bir rasgele değişken I(t1)
olsun ve pI(i)’nin Gauss yoğunluğu olarak ele alınsın, güç rasgele
değişkeni W,
W=R.I2
ile verilir, ve pw(W ) olasılık yoğunluk fonksiyonunun bulunması istenir.
2-4 eşitliğinin bir sonucu olarak bu olasılık yoğunluk fonksiyonu,
(
)[ (
pW ( w) = 1 / 2 Rw p I
)
(
w / R + pI − w / R
)]
w≥0
=0
w>0
(2-19)
olarak yazılabilir. Eğer I beklendik değeri sıfır olan bir Gauss
fonksiyonu ise,
[
p I (i ) = (1 / 2π σ i ) exp − i 2 / 2σ I2
]
dir. Burada σ I2 , I akımının değişintisidir, aynı zamanda σ I 'nın akımın
etkin (effektif) değeri olarak fiziksel bir anlamı vardır. Ayrıca yoğunluk
fonksiyonu pI(i)=pI(-i) olarak simetriktir. Böylece 2-19 eşitliğindeki iki
terim eş değerlidir ve gücün olasılık yoğunluk fonksiyonu;
[
pW ( w) = (1 / σ I 2π .Rw ) exp − w / 2 Rσ I2
=0
65
]
w≥0
w<0
(2-20)
Bu yoğunluk fonksiyonu Şekil 2-9’da verilmiştir. Gücün, doğrudan
doğruya hesaplanan beklendik değeri,
[ ]
W = E RI 2 = Rσ I2
ve gücün değişintisi ise,
σ W2 = W 2 − (W ) = E [R 2 I 4 ] − (W )
2
(
= 3R 2σ I4 − Rσ I2
2
)
2
= 2.R 2σ I4
olur.
ŞEKİL 2-9: Gauss Akımının Gücünün Yoğunluk Fonksiyonu
Güç için, olasılık yoğunluk fonksiyonunun ω = 0 değerinde sonsuz
olduğunu belirtelim. Bu durumda gücün en olası değeri sıfıra eşittir.
Bu da akımın en olası değerinin sıfır olmasından kaynaklanmıştır.
Burada (dW/dI) dönüşümünün türevi sıfırdır ve olasılık yoğunluk
fonksiyonunda bir delta fonksiyonunun söz konusu olmadığını
belirtmek önemli sayılabilir.
Rayleigh Dağılımı:
Rayleigh olasılık yoğunluk fonksiyonu çeşitli farklı fiziksel durumlarda
karşımıza çıkar. Örneğin daha ileride ele alınacak Gauss yoğunluk
fonksiyonları olarak ele alınan akım veya gerilim fonksiyonlarının
tepe değerleri zarfı Rayleigh yoğunluk fonksiyonu ile çözümlenebilir.
Bu yoğunluk fonksiyonu ilk kez farklı frekanslardaki pek çok sinüs
dalgasının toplamının zar
66
fını hesaplama amacı ile ortaya atılmıştı (Lord Rayleigh,1880). Aynı
zamanda bu yoğunluk fonksiyonu ateşli silahların mermi veya
toplarının hedefe yöneltilmeleri ile ve bunlarla bütünleşmiş hatalarla
yakından ilgilidir. Eğer birbirine dik koordinat sisteminde, her iki
koordinattaki hatalar bağımsız ve Gauss olasılık yoğunluk
fonksiyonlarına sahiplerse ve eğer dik koordinat sisteminin orijini
hedef olarak saptanmışsa, bir eksen boyunca oluşacak hata X ve
diğer eksen boyunca da oluşacak hata Y alınmak sureti ile toplam
hatalı mesafe
R=
X 2 +Y2
olur. X ve Y sıfır beklendik değerli ve eşit değişintili bağımsız Gauss
rasgele değişkenleri olduğunda, R ifadesine ait olasılık yoğunluk
fonksiyonu,
[
p R (r ) = (r / σ 2 ) exp − r 2 / 2σ 2
=0
]
r≥0
r<0
(2-21)
olacaktır. Buna Rayleigh olasılık yoğunluk fonksiyonu adı verilir ve
2
Şekil 2-10’da iki farklı σ
değeri için gösterilmiştir. Rasgele
değişkenin en olası değeri σ değeridir, ancak fonksiyon maksimum
noktaya göre simetrik değildir.
ŞEKİL 2-10: Rayleigh Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
Rayleigh Dağılımına sahip bir rasgele değişkenin beklendik değeri
67
∞
∞
0
0
[
]
R = ∫ rp R (r )dr = ∫ (r 2 / σ 2 ) exp − r 2 / 2σ 2 dr
= (π / 2)σ
olarak kolayca hesaplanabilir, karesel beklendik değer ise,
∞
∞
0
0
[
]
R 2 = ∫ r 2 p R (r )dr = ∫ (r 2 / σ 2 ) exp − r 2 / 2σ 2 dr
olmaktadır. Böylece R’nin değişintisi,
σ R2 = R 2 − (R ) = [2 − (π / 2)]σ 2 = 0.429σ 2
2
olarak elde edilir.
Buradaki değişintisin, Gauss rasgele değişkenlerine ait σ 2
değişintisinden farklı olduğunu belirtelim. Aynı zamanda yoğunluk
fonksiyonunun da Gauss yoğunluk fonksiyonuna benzemediğini
hatırlatalım. Burada beklendik değer ve değişinti sadece σ 2
paremetresine bağlıdır ve istenildiği gibi değiştirilemez.
Rayleigh dağılımının kullanılışı ile Gauss rasgele işlemesinin zarfına
varabilmeye daha sonraki bölümde yer verilecektir.
Maxwell Dağılımı :
Termodinamikte klasik bir problem, ideal bir gaz içindeki bir
molekülün hızının olasılık yoğunluk fonksiyonunun bulunmasıdır.
Burada temel varsayım her bir hız bileşeninin sıfır beklendik değerli
ve σ 2 =k T/m değişintili Gauss rasgele değişkeni olmasıdır. Burada k
Boltzmann katsayısını, T mutlak sıcaklığı ve m de molekülün kütlesini
ifade etmektedir. Bu şekilde toplam hız,
V = V X 2 + VY 2 + VZ 2
68
‘dir ve buna Maxwell dağılımı adı verilir. Sonuç olarak yoğunluk
fonksiyonu.
[
pV (v) = 2 / π (v 2 / σ 2 ) exp − v 2 / 2σ 2
=0
olarak verilmiştir.
]
v≥0
v<0
(2-22)
Maxwell dağılımlı raslantı değişkeninin beklendik değeri (ortalama
molekül hızı) bilinen yolla,
V = 8 /πσ
olarak bulunabilir. Karesel beklendik değer ve değişinti,
V 2 = 3σ 2
σ V = V 2 − (V ) = (3 − (8 / π ))σ 2
2
2
= 0,453σ 2
olmaktadır.
Kinetik
hesaplandığında,
enerjinin
beklendik
değeri
buradan
ε = (1 / 2)mV 2
ve
E [ε ] = (1 / 2 )mV 2 = (3 / 2)mσ 2 = (3 / 2)m(kT / m). = (3 / 2)kT
olarak klasik sonuç elde edilir.
Chi-Square Dağılımı:
Bir raslantı değişkeni olarak,
X 2 = Y12 + Y22 + ... + Yn2
tanımlanmışsa,
yukarıdaki
sonuçların
genelleştirilmesi
söz
konusudur. Burada Y1 , Y2 ,..., Yn sıfır beklendik değerli ve değişintileri
1'e eşit bağımsız Gauss raslantı değişkenleridir. X2 raslantı
değişkenine (serbestlik derecesi n olan) Chi-Square Dağılımı adı
verilir ve olasılık yoğunluk fonksiyonu,
[(
p( x 2 ) = x 2
=0
)
n / 2 −1
]
[
/ 2 n / 2 (n / 2 − 1)! exp − x 2 / 2
69
]
x2 ≥ 0
x2 < 0
(2-23)
‘dır.
Rasgele değişkenlerin (değişintinin 1 olmasını sağlamak sureti ile)
uygun olarak normalleştirilmesi ile daha önce incelenen Güç
Dağılımı'nın n=1 için Chi-square dağılımına, Rayleigh Dağılımında
hatalı mesafenin karesinin (R2), n=2 için Chi-square Dağılımına ve
Maxwell Dağılımı'nda hızın karesinin (V2), n=3 için gene Chi - square
Dağılımına eşit olduğu görülecektir. Bu son durum molekül enerjisinin
olasılık yoğunluk fonksiyonunun elde edilmesine yol gösterecektir.
Chi - Square rasgele değişkeninin beklendik değeri ve değişintisi
bileşenlerinin değişintilerinin 1 kabul edilmesi nedeni ile kolayca
bulunabilir. Bunlar
X2 =n
(σ )
2 2
X
= 2n
‘dır.
Log - Normal Dağılım :
Karşılaşılabilecek farklı bir durum da Gauss Dağılımı ile bağlantılı bir
rasgele değişkenin, diğer bir rasgele değişkenin logaritması olarak
tanımlanması şeklinde ortaya çıkar. Örneğin haberleşme
sistemlerinde, taşıyıcı ortamda sinyal gücündeki zayıflama neper
birimi ile ifade edilen ve
A= ln (W giriş/Wçıkış) neper
olarak hesaplanan kavramdır. Burada W giriş ve Wçıkış sırası ile giriş ve
çıkıştaki sinyal gücünü belirtmektedir. Deneysel gözlemler gerçekten
A zayıflamasının Gauss raslantı değişkenine oldukça yakın olduğunu
göstermiştir. Bu nedenle ortaya çıkan sorun güç oranının olasılık
yoğunluk fonksiyonunun araştırılmasıdır.
Bu sonucu genelleştirmek üzere iki rasgele değişkenin
70
Y = ln X
veya eşdeğer olarak
X = eY
şeklinde bağıntılı olduğunu varsayalım ve Y’nin beklendik değeri Y ,
değişintisi σ Y2 olan bir Gauss rasgele değişkeni olsun. 2-3 eşitliği
kullanılarak X’in olasılık yoğunluk fonksiyonu kolayca yazılabilir.
[
] [
p X ( x) = 1 / 2π σ y x exp − (ln x − Y ) / 2σ Y2
2
=0
]
x≥0
x<0
(2-24)
Bu Log-Normal olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak bilinir.
Mühendislik uygulamalarında 10 tabanı, e tabanından daha sık
kullanılmaktadır, ancak e tabanı dönüşüm bakımından daha çok
kolaylık sağlar.
ŞEKİL 2-11: Log-Normal Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
Şekil 2-11 iki farklı yoğunluk fonksiyonunu göstermektedir. LogNormal rasgele değişkenin beklendik değeri ve değişintisi aşağıda
verilmiştir.
71
[
]
= [exp(σ ) − 1]exp 2(Y + (1 / 2)σ
X = exp Y + (1 / 2)σ Y 2
σX
2
Y2
Y2
)
2-7 DİĞER OLASILIK YOĞUNLUK FONKSİYONLARI
Gauss rasgele değişkenleri ile ilişkili yoğunluk fonksiyonlarına ek
olarak pek çok değişik tipte yoğunluk fonksiyonları karşımıza
çıkmaktadır. Bunlardan bazıları burada açıklanmış ve hangi
durumlarda karşılaşıldığı kısaca özetlenmiştir.
Uniform Dağılım :
Uniform dağılıma örnek vermek amacı ile, daha önceki paragraflarda
kısaca değinilmişti. Burada uniform dağılım genelleştirilecektir.
Uniform dağılım çoğu kez rasgele değişken için tercih edilebilir
herhangi bir değerin bulunmadığı fiziksel durumlarda karşımıza çıkar.
Örneğin rasgele bir anda olan (radyo aktif partiküllerin emisyonu gibi)
olayların genellikle eş olasılıklı olduğu varsayılır. Bir sinusoidal
kaynağın bilinmeyen faz açısı genel olarak 2 π r radyanlık bir aralık
boyunca uniform dağılımlı olarak değerlendirilir. Peryodik bir pulslar
dizisinde pulsların zamana göre durumları (radar sinyallerinin
taşınması gibi), zamanın sıfır noktasına göre gerçek durumları
bilinmediği takdirde, bir peryot boyunca uniform dağılımlı oldukları
varsayılır. Bütün bu durumlar ilerideki örneklerde yer alacaktır.
Uniform olasılık yoğunluk fonksiyonu genelde
p( x) = 1 /( x1 − x 2 )
=0
x1 < x ≤ x 2
dışında
(2-25)
olarak ifade edilebilir. Buradan kolayca
X = (1 / 2)( x1 + x 2 )
(2-26)
72
ve
σ X = (1 / 12)( x 2 − x 1 )2
2
(2-27)
olduğu görülür.
Uniform dağılımın önemli uygulamalarından biri analog - sayısal
dönüşümle bütünleşmiş hataların ortaya konmasında kullanışlıdır. Bu
işlem, sürekli bir sinyalin herhangi bir andaki değerinin alınıp bunun
sabit sayıda binary digitlerine sahip bir binary sayıya
dönüştürülmesini içerir. Binary digitlerinin sabit bir sayı yalnızca
değerlerin ayrık bir setini verdiğinden, gerçek değerle ona en yakın
ayrık değer arasındaki fark bir hata ortaya koyacaktır. Bu durum Şekil
2-12’de gösterilmiştir. Hatanın - ∆x / 2 ile ∆x / 2 aralığında uniform
dağılımlı olduğu varsayılır, burada ∆x birbirine en yakın iki değer
düzeyi arasındaki farktır. Bu şekilde 2-26 eşitliğinden hatanın
beklendik değeri sıfır ve 2-27 eşitliğinden de değişintisi ya da karesel
beklendik değeri (1/12)( ∆x )2 olarak bulunur.
ŞEKİL 2-12: Analog - Digital Dönüşümde Hata
Üstel ve Bağımlı Dağılımlar :
Uniform dağılımı incelerken rasgele zaman birimlerinde meydana
gelen olayların daha çok bu zaman birimlerinde eş olasılıkla
73
oluştuğunu varsaymıştık. Eğer olaylar arasındaki ortalama zaman
aralığı τ ile gösterilirse ∆t zaman aralığında olan bir olayın olasılığı,
bu zaman aralığının nerede olduğuna bakılmaksızın yalnızca ∆t/ τ ‘ya
eşittir ve olayın olma aralığı ∆t, τ ’ya göre oldukça kısadır. Bu
kabulden hareketle, olaylar arasındaki zaman aralığı için bir olasılık
dağılım fonksiyonu (ve dolayısı ile yoğunluk fonksiyonu) türetmek
olasıdır.
Bu türetmeyi yapmak üzere Şekil 2-13’ü ele alalım. Bir olayın t0+ τ ile
to+ τ +∆t rasgele zaman aralığında olması olayının olasılığını bulmaya
çalışalım. τ için dağılım fonksiyonu P( τ ) olduğunda ∆t aralığında
meydana gelecek olayın olasılığı aynı zamanda t0 ile t0+ τ aralığında
olayın olmama olasılığı ile to+ τ +∆t aralığında olayın olma
olasılıklarının çarpımına eşittir. (Bu iki olay bağımsızdır). O halde,
ŞEKİL 2-13: Olaylar Arasındaki Zaman Aralığı
1- P( τ ) = olayın t0 ile t0+ τ aralığında olmama olasılığı
∆t / τ = olayın ∆t aralığında olma olasılığıdır ve
P(τ + ∆t ) − P(τ ) = [1 − P(τ )](∆t / τ )
yazılabilir. Her iki tarafın ∆t ’ye bölünmek ve
yaklaşmasını sağlamak sureti ile,
lim [P (τ + ∆t ) − P(τ )] / ∆t = dP (τ ) / dτ = (1 / τ )[1 − P (τ )]
∆t →0
74
∆t ’nin sıfıra
olacağı açıktır. Elde edilen birinci mertebeden diferansiyel denklemin
çözülmesi ile,
P(τ ) = 1 − exp[− τ / τ ]
τ ≥0
(2-28)
elde edilir. Keyfi katsayının bulunmasında, P(0) = 0 olduğu ve τ ’nun
negatif olamayacağı olguları değerlendirilir. Olaylar arası zaman
aralığına ait olasılık yoğunluk fonksiyonu 2-28 eşitliğinin diferansiyeli
alınmak sureti ile
P(τ ) = (1 / τ ) exp[− τ / τ ]
=0
τ ≥0
τ <0
(2-29)
bulunur. Bu üstel olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak bilinir ve Şekil
2-14’de ortalama zaman aralığının iki farklı değeri için gösterilmiştir.
Kabul edildiği gibi, τ ’nun beklendik değeri yalnızca
ŞEKİL 2-14: Üstel Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
∞
E [τ ] = ∫ (τ / τ ) exp[− τ / τ ]dτ = τ
0
değişinti ise
σ τ = (τ )2
2
olarak karşımıza çıkar.
75
Bu yoğunluk fonksiyonunun yalnızca tek bir parametresi vardır
(Rayleigh gibi). Bu nedenle beklendik değerle değişinti birbirlerine
bağlı olup, birinin bulunması ile diğeri kolayca hesaplanabilir.
Üstel dağılımın bir uygulamasını göstermek üzere, bir uzay
gemisinde bir elemanın diğerlerinden bağımsız olarak bozulması
düzgün olarak ortalama 100 günde olmaktadır. Bu uzay gemisi bütün
elemanları fonksiyonlarını tam yapacak şekilde 200 günlük bir görev
üstlenmiştir. Herhangi bir elemanın bozulmadan görevini
tamamlaması olasılığı nedir? Bu, ilk elemanın bozulmasının 200
günden daha fazla olması olayının olasılığını bulmaya eşdeğerdir, ve
basit olarak, P(200); bu aralığın 200 güne eşit yada daha küçük
olduğunu belirttiğine göre, {1-P(200)} ‘e eşittir.
O halde 2-28 eşitliğinden
1 − P(τ ) = 1 − [1 − exp{−τ / τ }] = exp{−τ / τ }
ve
τ = 100 , τ = 200 için
1 - P(200) = exp[-200/100] = 0.1352
olacaktır.
Üstel dağılımdaki rasgele değişkenler birbirine yakın olaylar
arasındaki zaman aralığıdır. Bu rasgele değişken, herhangi bir olayla
onu izleyen k inci olay arasındaki zaman aralığı olarak
genelleştirilebilir.
Bu rasgele değişken için olasılık yoğunluk
fonksiyonu "ERLANG DAĞILIMI" olarak bilinir.
[
]
pk (τ ) = τ k −1 exp[− τ / τ ] / (τ ) (k − 1)!
k
=0
τ ≥0
τ <0
k=1,2,3,..
(2-30)
Bu tip bir rasgele değişken k inci mertebeden Erlang rasgele
değişkeni adını alır. Üstel dağılım k = 1 için bu dağılımın özel bir
halidir. Genel olarak beklendik değer ve değişinti sırası ile k τ ve
2
k (τ ) ’ye eşittir. Genel Erlang dağılımı mühendislikte sistemlerin
güvenirliğini ilgilendiren pek çok uygulama alanına sahiptir. Örneğin
bir sistemin aboneleri
76
(kullanıcıları) için bekleme süresi (telefon ve trafik sistemleri gibi), bir
haberleşme sisteminde belirli sayıdaki abonenin rasgele konuşma
talep ve sürelerini sağlamak üzere kanal sayısı vs. gibi.
Erlang dağılımı aynı zamanda küçük bir notasyon değişikliği
yapılarak gamma dağılımı ile bağlantılı olmaktadır. β = 1 / τ ve α da
k’nın tamsayı değerlerine karşı gelen sürekli bir parametre
olduğunda, gamma dağılımı;
[
]
p (τ ) = β α τ α −1 / τ (α ) exp[− βτ ]
=0
τ ≥0
τ <0
(2-31)
olmaktadır. Gamma dağılımına ait beklendik değer ve değişinti sırası
ile
α / β ve
α/β2
‘dir.
Delta Dağılımı :
Daha önce değindiğimiz gibi, olası olaylar yalnızca ayrık bir setin
değerleri olarak varsayıldığında, karşı gelen olasılık yoğunluk
fonksiyonu bir delta fonksiyonları seti olarak karşımıza çıkar. Bu
kavramı formülleştirmek ve olası herhangi bir uygulamasını
göstermek yararlı olacaktır. Bir örnek olmak üzere Şekil 2-15’de
gösterilen binary dalga şeklini ele alalım. Bu dalga şekli, verilen bir
tepe değeri için en büyük ortalama gücü ile pekçok haberleşme ve
kontrol sisteminde karşımıza çıkan bir şekildir.
ŞEKiL 2-15: Genel Bir Binary Dalga Şekli
77
İleride, rasgele işlemleme konusunda, daha ayrıntılı inceleyeceğiz,
ancak şimdi belirli herhangi bir anda X = x(t1) olarak bir rasgele
değişken ele alınacaktır. Bu rasgele değişkenin sadece x1 ve x2 gibi
iki olası değer alacağı kabul edilir. x1 değerini alma olasılığı p1 ve x2
değerini alma olasılığı p2=1–p1 olarak değerlendirilirse, X’in olasılık
yoğunluk fonksiyonu,
(2-32)
p( x) = p1δ ( x − x1 ) + p 2δ ( x − x 2 )
olur. Bu rasgele değişkene ait beklendik değer;
∞
X =
∫ x[ p δ ( x − x ) + p δ ( x − x )]dx
1
1
2
2
−∞
= p1x1+p2x2
olarak kolayca elde edilebilir. Karesel beklendik değer de benzer
şekilde,
∞
2
X =
∫ x [ p δ (x − x ) + p δ (x − x )]dx
2
1
1
2
2
−∞
= p1x12 + p2x22
bulunur, o halde değişinti,
σ 2 = X 2 − (X ) = p1 x12 + p 2 x 22 − ( p1 x1 + p 2 x 2 )2
2
= p1 p 2 ( x1 − x 2 )
2
olur. Burada p2 yerine 1–p1 yazılmak sureti ile son şekline varılabilir.
Herhangi sayıda ayrık değerleri olan rasgele değişkenler için mevcut
delta dağılımlarının benzerlik gösterdiği açıktır. O halde x1, x2, ..., xn
gibi n olası ayrık değer söz konusu ise ve her bir değere karşı gelen
olasılıklar P1, P2,..,Pn ise, olasılık yoğunluk fonksiyonu;
n
p ( x ) = ∑ p i δ ( x − xi )
(2-33)
i =1
olacaktır.
78
n
∑p
=1
i
i =1
olduğu bilinmektedir.
Yukarıdaki teknik aynen uygulanarak bu rasgele değişkenin beklendik değeri
n
X = ∑ pi xi
i =1
olarak, karesel beklendik değer de
n
X 2 = ∑ pi xi2
i =1
olarak hesaplanabilir. Buradan değişinti,
σ
2
X
 n

= ∑ pi x −  ∑ pi x i 
i =1
 i =1

n
2
2
i
n
n
= (1 / 2)∑∑ p i p j (xi − x j )
2
i =1 i =1
olarak elde edilecektir.
Çok değerli delta dağılımı, haberleşme ve kontrol sistemleri ile
bağlantılı olarak ortaya çıktığı gibi, analog - digital dönüşüm
gerektiren sistemler için de karşımıza çıkar. Tipik olarak değer
sayıları 2’nin kuvvetleri olan tam sayılar seti bir binary digitler seti
olarak gösterilebilir.
2-8 KOŞULLU OLASILIK VE YOĞUNLUK FONKSİYONLARI
Koşullu olasılık kavramı, ayrık olayların oluşları ile bağlantılı olarak 16 paragrafında tanıtılmıştı. Anımsanacağı gibi bu, aynı bir olasılık
uzayında olmuş bir olaya göre bir diğer olayın olasılığının ne
olacağının bulunması idi. Bu kavramın sürekli bir rasgele değişken
için genelleştirilmesi istenebilir. Bu paragraftaki incelemeler tek bir
rasgele değişkeni kapsamına alacak biçimde sunulacak, tanım ve
örnekler verilecektir. İki veya daha çok rasgele değişken için
açıklamalar üçüncü bölümde yer alacaktır.
79
İlk olarak, bir X rasgele değişkeni için olmuş bir M olayı verildiği halde
koşullu olasılık dağılım fonksiyonunun ne olacağı sorunu
yanıtlanmalıdır. Bir an için M olayının herhangi bir olay olduğu
düşünülürse dağılım fonksiyonu genel olarak
P( x / M ) = Pr[X ≤ x | M ]
= Pr[ X ≤ x, M ] / Pr( M )
Pr( M ) > 0
(2-34)
yazılır. Burada,
{X
≤ x, M }
ve
X (ζ ) ≤ x
ζ ∈M
koşulunu eşitliğinin kullanılması ile setin sürekli durum için karşılığı
elde edilir. P(x/M)’in geçerli bir olasılık dağılım fonksiyonu olduğu
gösterilebilir ve dolayısı ile diğer dağılım fonksiyonları ile aynı
özelliğe sahip olması gerekir. Bunlar şu şekilde özetlenebilir.
1. 0 ≤ P ( x | M ) ≤ 1
−∞< x < ∞
2. P (−∞ | M ) = 0
P (∞ | M ) = 1
3. P ( x | M ) x’in artan değerleri ile azalmaz.
4. Pr[x 1 < X ≤ x 2 | M ] = P( x 2 | M) − P( x1 | M) ≥ 0
x1 < x 2
için
Şimdi koşul ile ilgili olarak M olayı hakkında açıklama yapmak
gereklidir. Bunun için çeşitli durumlar karşımıza çıkar. Örneğin,
1- M olayı, X rasgele değişkeni cinsinden belirtilebilen bir olay
olabilir. Buna ilişkin örnekler bu bölümde ele alınacaktır.
2- M olayı, bir başka rasgele değişkene bağlı sürekli ya da ayrık bir
olay olabilir. Buna ilişkin örnekler bir sonraki bölümde
incelenecektir.
3- M olayı, hem X rasgele değişkenine ve hem de başka bir rasgele
değişkene bağlı bir olay olabilir. Bu oldukça karmaşık durum
incelenmeyecektir.
80
Yukarıda sıralanan ilk alternatifi göstermek üzere, M olayı
M {X ≤ m}
olduğunu kabul edelim. Bu halde 2-34 eşitliğine göre koşullu olasılık
dağılım fonksiyonu
P( x | M) = Pr{X ≤ x | M ≤ m} = Pr{X ≤ x, M ≤ m}/ Pr{X ≤ m}
olarak yazılabilir.
Şimdi x’in ya da m’in daha büyük olması durumları için olası iki
alternatif söz konusudur. Eğer x ≥ m ise X ≤ m olayı, X ≤ x olayını da
kapsamına alır ve
Pr{X ≤ x, X ≤ m} = Pr{X ≤ m}
yazılabilir. Bu nedenle,
P( x | M) = Pr{X ≤ m}/ Pr{X ≤ m} = 1
x≥m
elde edilir. Diğer yandan eğer x ≤ m ise o halde {X ≤ x} olayını da
kapsamına alacak ve
P( x | M) = Pr{X ≤ x}/ Pr{X ≤ m} = P( x) / P(m)
bulunacaktır. Bunlara göre, koşullu olasılık dağılım fonksiyonu sonuç
olarak Şekil 2-16’da gösterilmiştir
m
Şekil 2-16: Bir Koşullu Olasılık Dağılım Fonksiyonu
81
Koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu daha önce açıklanan şekli ile
dağılım fonksiyonu ile ilişkilidir.
(2-35)
p ( x | M ) = dP ( x | M ) / dx
Bu,daha önce incelenen olasılık yoğunluk fonksiyonuna ait özellikleri
taşımaktadır, bunlar;
1. p ( x | M ) ≥ 0
−∞< x < ∞
∞
2.
∫ p(x M )dx = 1
−∞
∞
3. P ( x | M ) =
∫ p(u / M )du
−∞
x2
4.
∫ p( x | M)dx = Pr[x
1
< X ≤ x2 | M]
x1
olarak sıralanabilir. Eğer Şekil 2-16 örnek olarak alınırsa koşullu
olasılık yoğunluk fonksiyonu
∞
p ( x | M ) = (1 / P (m))(dP ( x) / dx) = p ( x) / P (m) = p ( x) /
∫ p( x)dx ,
x<m
−∞
=0
x≥m
olacaktır. Bu durum Şekil 2-17’de gösterilmiştir.
ŞEKİL 2-17: Şekil 2-16’ya Karşı Düşen Koşullu Yoğunluk Fonksiyonları
82
Koşullu olasılık yoğunluk fonksiyon aynı zamanda koşullu ortalama
değerlerin ve koşullu beklendik değerlerin bulunması amacı ile
kullanılabilirler. Örneğin koşullu beklendik değer
∞
∫ xp( x | M )dx
E[X|M] =
(2-36)
−∞
ve daha genel biçimde, herhangi bir f(X)’in koşullu beklendik değeri
∞
E[f(X)|M] =
∫ f ( x) p( x | M )dx
(2-37)
−∞
olarak ifade edilir. Koşullu beklendik değeri göstermek üzere
yukarıdaki p(x)’in Gauss yoğunluk fonksiyonu olduğu varsayılsın,
p( x) =
 (x − X )2 
exp −

2σ 2 
2π σ

1
Örneğin basitleştirmek üzere m = X olsun. O halde,
m= X
∫ (1 /
P ( m) =
) [
]
2π σ exp − (x − X ) / 2σ 2 dx = 1 / 2
2
−∞
ve
) [
(
]
p (x M ) = p ( x) /(1 / 2) = 2 / 2π σ exp − (x − X ) / 2σ 2 ,
2
=0
x< X
x≥ X
olur. Bu şekilde beklendik değer,
E [x M ] =
X
∫ 2x /
−∞
0
=
[
]
2π σ exp − (x − X ) / 2σ 2 dx
∫ 2(u + X )/
2
[
]
2π σ exp − u 2 / 2σ 2 du
−∞
= X − 2 /πσ
olacaktır.
Sözcüklerle ifade edersek, bu sonuç, verilen bir rasgele değişkene
göre bir Gauss rasgele değişkenin koşullu beklendik değeri kendi
beklendik değerinden daha küçük ve
83
X−
2
π
‘dir.
σ
2-9 ÖRNEKLER VE UYGULAMALAR
Şimdiye kadar incelenen konularda sürekli bir rasgele değişkenin
olasılık dağılım ve olasılık yoğunluk fonksiyonları temel kavramlarına
değinilmişti. Bu konuyu iki ve daha çok rasgele değişken için açmadan
önce bunların basit mühendislik problemlerine nasıl uygulanacağını bir
kaç örnekle göstermek yararlı olacaktır.
Birinci örnek olmak üzere Şekil 2-18 (a)’da gösterilen elemanter
gerilim regülasyon devresini ele alalım. Bu devre Şekil 2-18 (b)’de
gösterildiği gibi ideal akım-gerilim karakteristiğine sahip bir zener
diyotla sağlanmıştır. Bu devrede gerilim
Vz = 10
ŞEKİL 2-18: Zener Diyod Gerilim Regülatörü
(a) Regülatör Devresi (b) Zener Diyod Karakteristiği
Volt'a ulaşana kadar akım sıfırdır ve bundan sonra diyot uçlarındaki
gerilim sabit kaldığı sürece dış devreye akım verilecektir. Bu tip bir
devre genellikle katı-hal düzenlerine sınırlı gerilim uygulanabilmesi
amacı ile kullanılır. Örneğin RL, 9 Volt ile çalışan transistorlu bir
amplifikatör devresi olabilir ve eğer gerilim 10 Volt'u geçerse bu cihaz
zarar görebilir. Kaynak gerilimi Vs olup nominal değeri 12 Volt’tur.
Ancak onun gerçek dalga şekli bir testere dişi dalgalanma gösterir ve
bu nedenle bir rasgele değişkendir. Amacımız için bu rasgele
değişkenin 9 ile 15 Volt arasında ünifom bir dağılım gösterdiği
varsayılacaktır.
84
Zener diyotlar özellikleri açısından V2 gerilimlerinin yanı sıra güç
kayıpları açısından da sınırlıdırlar. Bu nedenle ortalama gücü W z = 3
Watt olan bir diyot için çalışmalarımızı sürdüreceğiz. O halde istenen
R seri direncinin gerekli kayıp limitleri içinde değerinin bulunması
olacaktır.
Zener diyot iletimde iken uçlarındaki gerilim V2=10 Volt ve içinden
geçen akım
IS =
VS − V Z
− IL
R
ve
VS >
VZ (R + RL ) 10(R + 10)
=
RL
10
Burada IL yük akımı 1A’dır. Diyottaki güç kaybı,
WZ = V Z I Z =
=
VZ (V S − VZ )
− I LV Z
R
10VS − 100
− 10
R
VS>R+10
olacaktır. Bu gücün, kaynak gerilimi Vs’in bir fonksiyonu olarak grafiği
Şekil 2-19’da ve Vs ile W z’nin olasılık yoğunluk fonksiyonları da Şekil
2-20’de gösterilmiştir.
ŞEKİL 2-19: Diyod Güç Tüketimi ile Kaynak Gerilimi Arasındaki Bağıntı
85
ŞEKİL 2-20: (a) Vs’in Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
(b) W z’in Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
Wz’nin yoğunluk fonksiyonunun sıfırda büyük bir delta fonksiyonuna
sahip olduğu görülmektedir. O halde diyot büyüklük bir zaman
kesiminde iletimde değildir, ancak W z ile Vs bu sınırlar içinde doğrusal
olarak bağımlı olduklarından W’nin daha büyük değerleri için
üniformdur. Paragraf 2-3’de incelenen yoğunluk fonksiyonlarının
dönüşümleri ile
pW ( w) = PV (R + 10 )δ (w) +
R  RW

pv 
+ R + 10 
10  10

=0
50
− 10
R
bu sınırlar dışında
0≤w≤
olduğu kolayca görülecektir. Burada Pv(.) VS’in dağılım
fonksiyonudur. O halde δ fonksiyonun belirttiği alan yalnızca diyodun iletime geçmesine sebep olan Vs gerilim değerinden daha az
olma olasılığıdır.
Diyodun güç kaybına ait beklendik değer,
E [WZ ] = WZ =
∞
∫ wp (w)dw
W
−∞
∞
=
∞
R
∫ wP (R + 10)δ (w)dw + ∫ w 10  p
V
V
0
−∞
86
 Rw

+ R + 10 dw

 10

olarak verilir.
Birinci integral (delta fonksiyonunun w=0’da olması nedeni ile) sıfıra
eşittir.
İkinci
integral
uniform
yoğunluk
fonksiyonu
1


 pV (v ) = 6 ,9 < v ≤ 15
cinsinden yazılarak
(50 / R )−10
WZ =
∫
0
(5 − R )
 R  1 
w  dw =
1.2 R
 10  6 
2
bulunur. Diyotta güç kaybının beklendik değerinin 3 Watt'a eşit ya da
daha küçük olması gerektiğinden
(5 − R )2
≤3
1 .2 R
R ≥ 2.19Ω
0<R≤5
olacaktır. R’nin 2,19 ohm’dan büyük değerleri için 3 Watt sınır koşulu
sağlanmış ve devrenin uygunlukla çalışacağı anlamı çıkar. Gerçekte
R direncinin seçimi 12 volt’luk kaynak geriliminde istenen çıkış
gerilimi yolu ile hesaplanır. Eğer istenen çıkış gerilimi 9 volt ise R
değeri,
R=
3
= 3.33Ω
9
10
olacaktır. Bu değer 2,19 ohm’luk koşul değerinden daha büyüktür ve
uygundur.
Bir başka örnek olarak, Şekil 2-21’de gösterilen bir dc voltmetresi için
ölçme alanını artırıcı bir direnç seçilmesi sorununu ele alalım.
Elimizdeki ölçme aletinin 1000 ohm iç dirençli olduğunu ve içinden
100 mikro amper geçtiğinde tam sapma yaptığını varsayalım. Ölçme
aletine 10 volt uygulandığında tam sapma sağlanması için seçilmesi
gereken R direncinin değerinin ne olması gerektiği sorusuna yanıt
aramaktayız.
87
ŞEKİL 2-21 Voltmetre Direnci Seçimi
Bunu sağlayan R direncinin nominal değeri (R* ile göstereceğimiz)
R* = (10/10-4) – 1000 = 9,9 x 104 Ω
dur. Ancak bu direnç 105 ohm’luk dirençlerin bulunduğu bir kutudan
rasgele seçilerek kullanılacaktır. Üretim toleransları açısından gerçek
direnç, beklendik değeri 105 ohm ve Standard sapması 1000 ohm
olan bir rasgele değişkendir. Bu rasgele değişken bir Gauss rasgele
değişkeni olarak değerlendirilecektir. (Standard sapmanın, beklendik
değer yanında küçük olması durumlarında bu genel bir kabul
sayılmaktadır. Büyüklükler açısından çok doğru olmasa bile pozitif
oldukları sürece sorun yoktur). Bu varsayımlarla oluşturulacak
voltmetrenin sınıfının 2’den büyük olmama olasılığını araştırmaya
çalışalım.
Direncin kabul edilebilir en küçük değeri
Rmin = [ (10-0,2)/ 10-4] -1000 = 9,7x104
ve en büyük değeri
Rmax = [ (10+0,2)/ 10-4] -1000 = 10,1x104
olur. Rasgele seçilen direncin olasılığı bu iki limit arasında olacaktır.
88
[
4
4
]
10 ,1×10 4
∫ p (r )dr
PC = Pr 9,7 × 10 < R ≤ 10,1 × 10 =
(2-38)
R
9 , 7×10 4
burada pR(r), R direncine ait Gauss olasılık yoğunluk fonksiyonudur
ve
(
)
( )
 r − 10 5


1
pR(r) = 
exp
−

2 10 6

 2π (1000 ) 
2



olarak bilinmektedir. 2-38 eşitliği ile verilen integral standard Gauss
dağılım fonksiyonu, Φ (.) , cinsinden ifade edilebilir. Bu şekilde
(
)
(
PC = Φ 10,1 × 10 4 − 10 5 / 10 3 − Φ 9,7 × 10 4 − 10 5 / 10 3
)
bulunur. Basitleştirerek,
PC = Φ (1)- Φ (-3)
= Φ (1) – [1Φ (3)]
elde edilir. Ek D’de verilen tablodan değerler alınmak sureti ile
Pc = 0,8413 - [1 - 0.9987] = 0.8400
bulunur.
Bu sonuç herhangi bir kaynaktan seçilen direnç nominal olarak
gerçek değerinde olmasa bile, mevcut olasılığın, ölçme aleti için
kabul edilebilir duyarlık sınırları içinde kaldığını ortaya koymaktadır.
Üçüncü ve son örnek koşullu olasılığa ait bir uygulamayı
öngörmektedir. Bu örnek bir otoyolda bütün araçların hızının
ölçülmesi ve 70 mil/h’ten fazla hız yapan araçların hızlarını kaydeden
bir trafik ölçüm sistemine aittir. Eğer araçların hızı Rayleigh
dağılımına uygun bir rasgele değişken ve en olası hız değeri 50
mil/h’e eşit ise, aşırı hızların beklendik
89
değerinin ne olacağının bulunması istenmektedir. Bu araçların
hızlarının, hız limitinden büyük hızlara göre koşullu beklendik değeri
bulmaya ve ondan limitin çıkarılmasına eşdeğerdir.
Araç hızı S ile gösterilirse, aranan koşullu dağılım fonksiyonu,
P[s S > 70] =
Pr{S ≤ s, S > 70}
Pr{S > 70}
(2-39)
olur. Madem ki pay yalnızca S>70 için sıfırdan farklıdır, o halde 2-39
eşitliği
P[s|S>70] = 0
[P(s ) − P(70)]
=
[1 − P(70)]
s ≤ 70
(2-40)
s>70
olarak yazılabilir. Burada P(.), S raslantı değişkeninin olasılık dağılım
fonksiyonudur. 2-40 eşitliğinin payı sadece S’in 70 ile s arasındaki
olasılığı ifade eder. Paydası ise S’in 70’ten büyük olma olasılığıdır.
Koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu 2-40 eşitliğinin s’e göre
diferansiyeli alınmak sureti ile bulunur. Bu şekilde
P(s|S>70) = 0
p (s )
=
(1 − P(70))
s ≤ 70
s > 70
elde edilir. Burada p(s) 2-41 eşitliği ile verilen Rayleigh yoğunluk
fonksiyonudur. Bu fonksiyon Şekil 2-22’de gösterilmiştir.
 s 
 − s2 
p (s ) = 
.
exp

2 
2 
 (50) 
 2(50) 
=0
90
s≥0
s<0
(2-41)
ŞEKİL 2-22: Rayleigh Dağılımlı Raslantı Değişkeninin Koşullu ve Koşulsuz
Yoğunluk Fonksiyonları
P(70) değeri 2-41 eşitliği ile kolayca elde edilebilir.
 s 

s2 
 49 
P(70) = ∫ 
. exp −
ds = 1 − exp− 
2 
2 
 50 
0  (50 ) 
 2(50 ) 
70
olur. O halde
 49 
1 - P(70) = exp − 
 50 
olacaktır. Koşullu beklendik değer ise,
∞
 s2 
 − s2 
1
exp
ds



2 
 49  70∫  (50)2 
(
)
2
50


exp − 
 50 
 49  
 7 
= 70 + 50 2π . exp   1 − Φ 
 50  
 5 
= 70 + 27,2
E [S S > 70] =
olarak bulunur. Bu şekilde aşırı hızın beklendik değeri 27,2 mil/h
olmaktadır. Ancak Rayleigh modelinin trafik sistemleri için uygun bir
model olmadığı, sonucun incelenmesinden kolayca görülmektedir.
(Gerçek olgulara göre 27,2 mil/h aşırı hız oldukça fazladır). Ancak bu
örnek koşullu beklendik değerin genel hesaplama tekniğini göstermek
açısından yararlıdır.
91
PROBLEMLER
2-1 İki zar atıldığında ilgilendiğimiz olay üst yüklerin toplamı olsun. Bu
toplam bir raslantı değişkeni olarak alındığında,
a-Bu raslantı değişkenine ait olasılık dağılım fonksiyonunu çiziniz.
b-Bu raslantı değişkeninin 7 ile 9 arasındaki değerleri için olasılık nedir?
c-Aynı işlemi 5 zarın atılması olayı için düşünerek buna ait olasılık
dağılım fonksiyonunu çiziniz.
2-2 Bir X raslantı değişkenine ait olasılık dağılım fonksiyonu şekilde
görülmektedir.
a-Px(0), nedir?
b-X raslantı değişkeninin 0 < x ≤ ∞ aralığında olasılığı nedir?
c-X raslantı değişkeninin 5 < x ≤ 10 aralığında olasılığı nedir?
2-3 Bir güç kaynağına her biri 2 watt çeken 5 yük, tek tek veya bir arada
bağlanabilmektedir. Her yük diğerlerinden bağımsız olarak zamanın
dörtte biri kadar devrede kalmaktadır.
a-Kaynaktan çekilen gücün dağılım fonksiyonunu çiziniz.
b-Kaynaktan çekilen gücün yoğunluk fonksiyonunu çiziniz.
c-Eğer kaynak yalnızca 6 watt çıkış verebiliyorsa, yük gereksinmesini
karşılama olasılığı nedir?
2-4 Bir X raslantı değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu
p ( x ) = A.e − x
x>1
=0
x ≤1
olarak verilmiştir.
a-A katsayısının değerini bulunuz.
b-X raslantı değişkeninin 1 < x ≤ 2 için olasılığı bulunuz.
c-X raslantı değişkeninin olasılık dağılım fonksiyonunu çiziniz.
92
2-5 Problem 2-4’teki raslantı değişkeni için,
a-Beklendik değeri,
b-Karesel beklendik değeri,
c-Değişintiyi, bulunuz.
2-6 Bir raslantı değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
1
p( x ) = , − 3 ≤ x ≤ 7
10
= 0 , dışında
olarak verilmiştir.
a-Beklendik değeri,
b-Karesel beklendik değeri,
c-Değişintiyi,
d-Dördüncü merkezi momenti
bulunuz.
2-7 a-P(x); sıfır beklendik değerli Gauss raslantı değişkenine ait
dağılım fonksiyonu olduğuna göre, beklendik değeri X olan Gauss
dağılımı için aşağıdaki ifadeyi ispatlayınız
P(x - X ) = 1 - P( X - x)
b-X bir Gauss raslantı değişkeni olsun, X değerlerinin %10'u 60’ın
altında ve %5'i 90’ın üstünde yer alıyorsa, X’in beklendik değer ve
değişintisi ne olur?
2-8 Bir Gauss raslantı değişkeninin beklendik değeri 2 ve değişintisi
4’tür.
a-Olasılık yoğunluk fonksiyonunu yazınız.
b-Yoğunluk fonksiyonunun x=2, x=0 ve x=4 için değerlerini
hesaplayınız.
c-X raslantı değişkeninin 0’dan büyük ve ikiden büyük değerleri
için olasılıkları bulunuz.
d-X raslantı değişkeninin ( X − σ ) < x ≤ ( X + σ ) için olasılığı bulunuz.
2-9 Bir Gauss akımının beklendik değeri 1 A ve Standard sapması 4
A’dir. Bu akım 10 ohm’luk bir dirençten geçirilmektedir.
a-Dirençte harcanan gücün beklendik değerini hesaplayınız.
b-Dirençte harcanan gücün değişintisini hesaplayınız.
c-Akımın beklendik değerinin, gücün beklendik değer ve
değişintisine etkisi nasıldır?
93
2-10 Gauss gerilim ya da akımla ilgili güce ait olasılık yoğunluk
fonksiyonunun sonsuza gittiği noktada, gerilim ve akımın sıfır
olduğunu gösteriniz (2-20 eşitliği).
2-11 Düz bir yüzeyde yuvarlanan bilyaların ortogonal hız bileşenleri,
sıfır beklendik değer ve 10 feet/s standard sapmalı bağımsız
Gauss raslantı değişkenleridir.
a-Bilyaların en olası hızı (toplam hız) nedir?
b-Hızın beklendik değeri nedir?
c-Bir bilyanın hızının 20 feet/s’den büyük olma olasılığı nedir?
2-12 Görülen fonksiyon, Simpson veya üçgen yoğunluk fonksiyonu
olup üçgen ikizkenardır.
a-Olasılık yoğunluk fonksiyonu p(x) için bir ifade yazınız.
b-Beklendik değeri hesaplayınız.
c-Değişintiyi hesaplayınız.
2-13 θ raslantı değişkeni 0 ile 2π arasında uniform dağılım
göstermektedir. θ ile bağlantılı X raslantı değişkeni
X = cos θ
eşitliği ile verildiğine göre,
a-X raslantı değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz.
b-X’in beklendik değerini hesaplayınız.
c-X’in değişintisini hesaplayınız.
2-14 a-Problem 2-13’deki raslantı değişkeni için, p(x|M) koşullu
olasılık
yoğunluk
fonksiyonunu
bulunuz.Burada
M
olayı,
( 0 ≤ θ ≤ π / 2 )’dir
ve bu fonksiyonu çiziniz.
b-Aynı olay için koşullu beklendik değeri hesaplayınız.
2-15 Bir radar sisteminin gönderdiği darbe işaretlerinin genlikleri
Rayleigh dağılımı göstermektedir. Bu darbe genliklerinin olasılık
yoğunluk fonksiyonu
2
p(r ) = r.e − r / 2
r≥0
=0
r<0
94
şeklinde olsun, ancak radar ekranında gözlenen darbeler,
gürültünün önlenmesi için belirlenen r0 sınır değerinden büyük bir
R değerine sahip olmalıdır.
a-Ekranda görülen darbelerin olasılık yoğunluk fonksiyonunu
bulunuz ve çiziniz, p(r|R>r0) .
b-Ekrana çıkan darbeler için koşullu beklendik değeri hesaplayınız.
2-16 Bir M olayı, M=(m1<X ≤ m2 ) olarak verilmiştir.
a- P(x|M), koşullu olasılık dağılım fonksiyonunun
[P(x ) − P(m1 )]
P (x M ) =
m1 < x ≤ m2
[P(m2 ) − P(m1 )]
=0
x ≤ m1
=1
x > m2
şeklinde olduğunu gösteriniz.
b-
p(x) = (1/8)x
=0
0< x≤4
dışında
verildiğine göre, p(x|M)'i M=(1<X ≤ 3) için bulunuz.
2-17 Bir X raslantı değişkeni, bir Y raslantı değişkenine lineer olan
aşağıdaki bağıntı ile bağlıdır.
Y = aX + b
Bu tür bir dönüşüm sistem analizinde çok yaygındır.
a-pY(y) yoğunluk fonksiyonunu, pY(x) cinsinden bulunuz.
b-X raslantı değişkeni için beklendik değer X ve değişinti σ X2
olduğunda Y raslantı değişkenine ait beklendik değer ve
değişintiyi bulunuz.
2-18 Elektronik ac voltmetrelerin değişik tipleri, uygulanan dalga
şekillerinin farklı karakteristikleri ile orantılı sapmalar yaparlar.
Buna rağmen skalalar bir sinüs işaretinin effektif değerini ölçmek
amacı ile ölçeklendirilirler. Bir başka dalga şekli için okunan değer
effektif değer olmayabilir.
Bu alete sıfır beklendik değer ve 10 V Standard sapmalı bir Gauss
gerilimi uygulandığı varsayılsın. Aşağıdaki şıklar için
95
aletten ne okunacaktır?
a-Ölçmede tam dalga doğrultulmuş dalga şeklinin ortalaması
sapma ile orantılıdır. Bunun anlamı X(t) uygulandığında sapma
X(t)’nin mutlak değerinin beklendik değeri ile orantılı olacağıdır.
b-Ölçmede sapma dalga şeklinin zarfının ortalaması ile orantılıdır. Gauss dalga şeklinin zarfının Rayleigh dağılımı olduğu
hatırlanmalıdır.
KAYNAKLAR:
Bölüm 1’deki kaynaklara bakınız. Özellikle Beckmann, Lanning ve
Battin, Papoulis ve Parzen.
96
BÖLÜM 3
İKİ VEYA DAHA ÇOK RASLANTI DEĞİŞKENİ
3-1 İKİ RASLANTI DEĞİŞKENİ
Şimdiye kadar yapılan bütün incelemeler tek bir raslantı değişkeni
içeren durumlar üstünde odaklanmıştı. Örneğin bu raslantı değişkeni
herhangi bir andaki bir akım ya da gerilimin değeri olabiliyordu. Ancak,
rasgele bir akım ya da gerilimin herhangi bir andaki değeri, zaman
fonksiyonunun tümünün yapısını belirtme açısından yeterli değildir. Bu
tip zaman fonksiyonları sonlu olsalar bile onlarla bütünleşmiş sonsuz
sayıda raslantı değişkene sahiptirler. Bu nedenle sürekli zaman
fonksiyonlarının durumlarının, tek bir raslantı değişken ile gerçeğe
daha yakın nasıl tanımlanabileceği sorunu gündeme gelmektedir. Bu
bölümün amacı iki raslantı değişkeni ele alarak bu genişletebilme
çabasında ilk adımı atmaktır. Bu yaklaşım, sonsuz sayıdaki raslantı
değişkene yönelik amaç için önemli olmayan bir aşama olarak
değerlendirilebilir, ancak ileride daha iyi anlaşılacağı gibi, iki raslantı
değişkenin zaman olarak birbirinden keyfi bir zaman aralığı kadar
ayrılmasının sağlanması gereksinme duyulan tek durumdur. Eğer
raslantı değişkenleri, zaman olarak, herhangi iki an için
tanımlanabiliyorsa, o halde hemen hemen bilinen bütün sistem analizi
yöntemlerinin kullanılması ile zaman fonksiyonunun büyük bir kısmına
ait bütün bilgiler elde edilebilir. Sistem analizinde karşılaşılan bir başka
durum da sistemin giriş ve çıkışı arasında, gerek aynı anda ve gerekse
farklı anlarda, bir bağıntının bulunmasının gerekliliğidir. Burada da
gene iki raslantı değişken söz konusudur.
İki raslantı değişkeni içeren durumların daha iyi anlaşılmasını
sağlamak açısından, bir önceki bölümde incelediğimiz olasılık dağılım
ve olasılık yoğunluk fonksiyonları kavramlarını geliştirmek
gerekmektedir. Sözü edilen bu iki raslantı değişkeni X ve Y ile
gösterilirse BİLEŞİK OLASILIK DAĞILIM FONKSİYONU
P( x, y ) = Pr[ X ≤ x, Y ≤ y ]
olarak tanımlanır. Bunun yalnızca; X raslantı değişkeninin x'e eşit veya
küçük olması olayının ve Y raslantı değişkeninin de y'ye eşit veya
küçük olması olayının olasılığı olduğunu belirtelim.
97
telim. Buradan doğrudan doğruya bir raslantı değişkeni için var olan
olasılık dağılım fonksiyonu genişletilebilir.
Bileşik olasılık dağılım fonksiyonu daha önce tek bir.değişken için
incelenenler ile tamamen benzer özelliklere sahiptir. Bunlar aşağıdaki
gibi özetlenebilir.
1. 0 ≤ P( x, y ) ≤ 1
2. P(− ∞, y ) = P( x,−∞ ) = P(− ∞,−∞ ) = 0
3. P(∞, ∞ ) = 1
4. P( x, y ) x ve y’nin artan değerleri ile azalmaz.
6. P(∞, y ) = PY ( y ) , P( x, ∞ ) = PX ( x )
Yukarıda özetlenen bu 5 maddeden de anlaşılacağı üzere Px(x) ve
PY(y) ile gösterilen bu iki dağılım fonksiyonunun aynı bir matematiksel
fonksiyon olması gerekmez.
Bileşik olasılık dağılım fonksiyonuna bir örnek olmak üzere iki madeni
paranın atılmasındaki oluşları ele alalım; ilk madeni para ile ilgili
raslantı değişken X olsun ve yazı gelirse 0 tura gelirse 1 değerine
sahip olduğunu varsayalım. Benzer şekilde ikinci madeni para ile ilgili
değişken Y ve gene yazı ve tura gelmesi sırası ile 0 ve 1 olarak
gösterilsin. Buna ait bileşik olasılık dağılım fonksiyonu P(x,y) Şekil 3-1’
de gösterilmiştir ve görüleceği gibi yukarıda sıralanan tüm özellikleri
sağlar.
ŞEKİL 3-1: Bileşik Olasılık Dağılım Fonksiyonu
98
Bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonunu dağılım fonksiyonunun
diferansiyeli olarak tanımlamak olasıdır. Madem ki iki ayrı değişken
söz konusudur o halde diferansiyel kısmı diferansiyel olarak ele
alınmalıdır.
p ( x, y ) =
∂ 2 P ( x, y )
∂x∂y
(3-1)
Burada diferansiyel alınma sırası önemli değildir. Olasılık elemanı;
p(x,y) dx dy = Pr [x < X ≤ x + dx, y < Y ≤ y + dy] (3-2)
olarak bilinir.
Bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonunun özellikleri tek bir raslantı
değişkeni için açıklanandan farklı olmayıp aşağıdaki gibi özetlenebilir.
1- p(x,y) ≥ 0
−∞< x < ∞
−∞ < y < ∞
∞ ∞
2-
∫ ∫ p(x, y )dxdy = 1
− ∞− ∞
x y
3- P ( x, y ) =
4- p X ( x ) =
∫ ∫ p(u, v )dvdu
− ∞− ∞
∞
∫ p(x, y )dy
pY ( y ) =
−∞
5- Pr[x1 < X ≤ x 2 , y1 < Y ≤ y 2 ] =
∞
∫ p(x, y )dx
−∞
x2 y2
∫ ∫ p(x, y )dydx
x1 y1
İkinci maddenin, herhangi bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonunun
altında kalan alanın 1’e eşit olduğunu belirttiğini not edelim.
Bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonuna ait bir örnek olmak üzere
yoğunluk fonksiyonları x1 ve x2 arasında ve de y1 ve y2 arasında sabit
olan bir çift raslantı değişkeni ele alalım. Bu halde
99
p( x, y ) =
1
(x2 − x1 )( y 2 − y1 )
, x1 < x < x2
y1 < y < y2
, dışında
=0
(3-3)
Buna ait yoğunluk fonksiyonu ve karşı gelen dağılım fonksiyonu Şekil
3-2’de gösterilmiştir.
ŞEKİL 3-2 : (a) Bileşik Dağılım (b) Yoğunluk Fonksiyonları
Bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu, tek bir raslantı değişkenin
yoğunluk fonksiyonunda olduğu gibi, iki raslantı değişkene ait
beklendik değerlerin hesaplanmasında kullanılabilir. Genelde f(XY)
gibi herhangi fonksiyonun beklendik değeri
E [ f ( X , Y )] =
+∞+∞
∫ ∫ f (x, y ) p(x, y )dxdy
(3-5)
− ∞− ∞
olarak bulunabilir.
ilerideki bölümlerde f(X,Y) = X.Y olması durumu için bulunacak
beklendik değer daha ayrıntılı olarak incelenecektir. Bu beklendik
değer İLİŞKİ (CORRELATlON) olarak bilinir ve
E [ XY ] =
∞ ∞
∫ ∫ xy. p(x, y )dx.dy
− ∞− ∞
(3-4)
100
eşitliği ile verilmiştir. Bu hesaplamaya basit bir örnek olarak Şekil 32(b)’de gösterilen bileşik yoğunluk fonksiyonunu ele alalım. Belirli bir
bölge dışında her yönde sıfıra eşit olduğuna göre, 3-4 eşitliği
2
2


1
E [XY ] = ∫ dx ∫ xy 
 dy
 ( x 2 − x1 )( y 2 − y1 ) 
x1
y1
x
y
 x2

=
(x2 − x1 )( y 2 − y1 )  2
1
=
 y 2

2
x1 
 
x2


y1 

y2
1
(x1 + x 2 )( y1 + y 2 )
4
olarak yazılabilir.
Bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonuna ait 4. özellik, bileşik olasılık
yoğunluğunun değişkenlerden biri boyunca integre edilmesi ile diğer
değişkene ait basit olasılık yoğunluk fonksiyonunun elde edilebileceğini
belirtmektedir. Buna göre, Şekil 3-2’teki yoğunluk fonksiyonu için,
y2
p x ( x) =
∫ (x
y1
=
=
1
2
− x1 )( y 2 − y1 )
1
dy
[y ]
−y )
y2
(x2 − x1 )( y 2
1
y1
1
x 2 − x1
(3-6a)
ve
x2
pY ( y ) =
∫ (x
x1
=
=
1
2
dx
− x1 )( y 2 − y1 )
1
(x2 − x1 )( y 2
1
y 2 − y1
[x ]
−y )
x2
1
x1
(3-6b)
101
olarak basit olasılık yoğunluk fonksiyonları elde edilir.
ALIŞTIRMA 3-1
Yukarıda incelenen örnekte x1 = 1 , x2
verilmiştir.
=
2 , y1 = 1 ve y2
=
4 olarak
a-) X ≥ 1 ve Y ≥ 3 için olasılığı hesaplayınız
b-) X ≥ 1,5 ve Y ≤ 2 için olasılığı hesaplayınız
c-) E [X Y]’yi bulunuz.
3-2 KOŞULLU OLASILIĞA YENiDEN BAKIŞ
Şimdi iki raslantı değişkeni için bileşik olasılık kavramını tanıtmaya
çalıştık. Sırası gelmişken daha önce incelediğimiz koşullu olasılığı daha
genelleştirmek olasıdır. Koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunun önceki
tanımında verilen herhangi keyfi bir M olayı söz konusu idi ve bununla
ilgili bir örnek verilmişti, incelememizde bu kez M olayının herhangi başka bir Y raslantı değişkeni ile bağlantılı olması durumu ele alınacaktır.
Verilen bir M olayının Y değişkeni cinsinden ifade edilmesinde pek çok
farklı yollar mevcuttur. Örneğin M olayı Y ≤ y olayı olabilir. O halde Pr(M)
yalnızca Y raslantı değişkeninin basit olasılık yoğunluk fonksiyonuna
eşit olacaktır, PY(y). Bir önceki bölümde 2-34 eşitliği ile verilen koşullu
olasılık dağılım fonksiyonunun temel tanımından
PX (x Y ≤ y ) =
Pr[ X ≤ x, M ] P ( x, y )
=
Pr( M )
PY ( y )
(3-7)
olduğu görülecektir. Bir başka olası tanım da M'nin y1<Y ≤ y2 olayı olması
durumudur. Gene 2-34 eşitliği yardımı ile,
PX (x y1 < Y ≤ y 2 ) =
P( x, y 2 ) − P( x, y1 )
PY ( y 2 ) − PY ( y1 )
(3-8)
elde edilir.
Yukarıda açıklanan her iki durum için de M olayı sıfır olmayan bir
olasılığa sahiptir: Pr(M) > 0 . Ancak en yaygın koşullu
102
olasılık biçimi Y = y olması durumudur. Y’nin sürekli dağılım gösterdiği
bütün durumlarda Pr(M) = 0’dır. Koşullu olasılık dağılım fonksiyonu bir
oran olarak tanımlandığından genellikle bu durumlar için de var olacaktır.
Bu y1=y ve y2 =y+ ∆ y olmasını sağlamak ve ∆ y’nin limitte sıfıra
yaklaştırmak sureti ile 3-8 eşitliğinden elde edilebilir.
P ( x, y + ∆y ) − P( x, y ) ∂P ( x, y ) / ∂y
=
∆y → 0 P ( y + ∆y ) − P ( y )
∂PY ( y ) / ∂y
Y
Y
PX (x Y = y ) = lim
x
∫ p(u, y )du
=
(3-9)
−∞
pY ( y )
Buna karşı gelen koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu da
p X (x Y = y ) =
∂PX (x Y = y )
∂x
=
p ( x, y )
pY ( y )
(3-10)
olacaktır. Bu şekil en yaygın kullanılan şekildir. X ve Y’nin yerleri
değiştirilmek sureti ile
pY ( y X = x ) =
p ( x, y )
p X (x )
(3-11)
elde edilir. Koşullu yoğunluk fonksiyonunun bu şekli oldukça sık kullanılır
ve daha kısa bir ifade ile gösterilebilir. Herhangi bir karıştırma tehlikesi
yoksa koşullu yoğunluk fonksiyonları
p ( x, y )
pY ( y )
p ( x, y )
p( y x ) =
p X (x )
p (x y ) =
(3-12)
(3-13)
olarak yazılabilir. Bu iki eşitlikten, 1-19 paragrafında ayrık durum için
verilen, BAYES TEOREMİ 'nin sürekli durum için ifadesi elde edilebilir,
p(x1y)’ler kısaltılmak sureti ile
p( y x ) =
p (x y ) p Y ( y )
p X (x )
(3-14)
103
Gene 3-12 ve 3-13 eşitliklerinden yararlanarak toplam olasılığı
hesaplamak olasıdır.
p X (x ) =
∞
∞
−∞
−∞
∞
∞
−∞
−∞
∫ p(x, y )dy =
∫ p(x y )p ( y )dy
Y
(3-15)
ve
pY ( y ) =
∫ p(x, y )dx = ∫ p(y x ) p (x )dx
X
(3-16)
Bu eşitlikler, 1-18 ile ayrık durum için verilen eşitliklerin sürekli durum için
karşılıklarıdır.
Koşullu yoğunluk fonksiyonlarının kullanılışı farklı pek çok durumda
karşımıza çıkar, ancak en yaygın olanı (ve büyük olasılıkla en basiti)
gözlenen herhangi bir büyüklüğün, iki büyüklüğün toplamı olması
durumudur. Genellikle bizim karşılaşacağımız konularda bunların sinyal
ve gürültü olduğu düşünülebilir. Örneğin, X(t) sinyalinin N(t) gürültüsü ile
bozulmuş olduğunu varsayalım, ancak gözlemleyebileceğimiz tek
büyüklük bu ikisinin Y(t) toplamı olacaktır. Bu durumda birbiri ile
bağlantılı uç raslantı değişkeni söz konusudur ve aralarındaki bağıntı
Y=X+N
olmaktadır. Burada gözlenen Y değerine göre X’in koşullu olasılık
yoğunluk fonksiyonunun bulunması istenmektedir p(x/y). Gözlenen Y
değerine göre X’in en olası değerinin ne olduğu ilgimizi çekmektedir, bu
X’in gerçek değeri (yani X’in gürültüden bağımsız bir şekilde
gözlemlenen değeri) için bu koşullu olasılık
p (x y ) =
p( y x ) p X (x )
pY ( y )
olacaktır. Eğer p(y/x)’in bulunması istenmiş olsaydı tek sorun N gürültü
sinyali olacak ve buna ait PN(n) yoğunluk fonksiyonunun bilindiği
varsayılacaktı. Bu şekilde
N=Y – X
ve
X’e göre
p( y x ) = p N (n = y − x ) = p N ( y − x)
104
İstenen koşullu olasılık yoğunluğu p(x/y) şimdi
p (x y ) =
p N ( y − x ) p X (x )
=
pY ( y )
p N ( y − x ) p X (x )
(3-17)
∞
∫ p ( y − x ) p (x )dx
N
X
−∞
olarak yazılabilir. Paydadaki integral 3-16 eşitliğinden hesaplanabilir. Bu
şekilde eğer sinyalin px(x) yoğunluk fonksiyonu ve gürültünün pN(n)
yoğunluk fonksiyonu biliniyorsa, p(x/y) koşullu olasılık yoğunluk
fonksiyonunu hesaplamak mümkündür. Y’nin y1 gibi bir değeri gözlenmiş
olsun. p(x/y1) için x’in değerinin maksimum olması, X’in gerçek değeri
için iyi bir kestirim (yaklaşım) demektir.
Yukarıdaki açıklamaları daha iyi değerlendirebilmek amacı ile koşullu
olasılığa bir örnek vermeye çalışalım. Sinyalin X raslantı değişkeni
olduğunu ve üstel bir yoğunluk fonksiyonuna sahip bulunduğunu
varsayalım.
pX(x)= b.exp (-bx)
=0
x ≥0
x<0
Bu tip bir yoğunluk fonksiyonu örneğin bir uzay probunun algıladığı bir
sinyal olarak karşımıza çıkabilir. Uzay probu belirli zaman aralıklarında
yüksek enerji partiküllerini sayabilir ve bunları yeryüzüne göndermek
amacı ile gerilime dönüştürebilir. Sinyale karışan gürültünün Gauss
dağılımlı ve sıfır beklendik değerli olduğu varsayılırsa, gürültünün
yoğunluk fonksiyonu,
p N (n ) =
 n2 
exp −
2 
2π σ N
 2σ N 
1
olacaktır. 3-17 eşitliğinin paydasında görülen Y'nin yoğunluk fonksiyonu
 ( y − x )2 
pY ( y ) = ∫
exp −
exp[− bx ]dx
2 
2π σ N
 2σ N 
0
2
 y − bσ N 2  

b 2σ N  
b

= exp − by +
 1 + erf 

2
2
2
σ
 
N



∞
b
(3-18)
105
olur. Buradaki hata fonksiyonu (erf) normal olasılık dağılım
fonksiyonu ile ilgilidir ve
erf ( z ) =
2
π
z
∫ε
−u 2
( )
du = 2Φ 2 z − 1
0
olarak tanımlanır. Herhangi şekilde yalnızca p(x/y) aranırsa, x’in bir
fonksiyonu olmaması nedeni ile pY (y)’yi hesaplamak gerekmez. O halde
verilen bir Y için pY(y) yalnıza bir sabittir.
İstenen koşullu yoğunluk fonksiyonu 3-17
eşitliğinden
 ( y − x )2 
b
p (x y ) =
exp −
exp[− bx]
2 
2π σ N pY ( y )
 2σ N 
=0
x≥ 0
x <0
(3-19)
şeklinde de yazılabilir. Şekil 3-3 y’nin iki farklı değeri için bu durumu
göstermektedir.
ŞEKİL 3-3: p(x|y) fonksiyonu (a) y < bσ 2 için (b) y > bσ 2 için
106
Daha önce değindiğimiz gibi, özel bir Y değeri gözlendiğinde, X’in gerçek
değeri için uygun bir yaklaşım (kestirim) p(x/y)’yi maksimum yapan x
değeridir. Koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu; üs minimum olduğunda
x’e göre maksimum olmaktadır. O halde x’in bu değeri üs ifadesinin
türevinin sıfıra eşitlenmesi sureti ile hesaplanabilir. Bu şekilde
2
2x – 2(y-b σ N ) = 0
x = y - bσ N
2
(3-20)
2
elde edilir. Bu, y-b σ N > 0 koşulu sağlandığında maksimum noktasını
belirler. Aksi halde p(x/y) üzerinde sıfır eğimli bir nokta yoktur ve en
büyük değer x =0’da meydana gelecektir. Bu sebeple varsayalım ki Y =
2
y1 değeri gözlensin. Eğer y1>b σ N ise X
için yaklaşık kestirim
2
2
Xˆ = y − bσ
olur. Diğer yandan eğer y1<b σ
ise X için yaklaşık
1
N
N
2
kestirim Xˆ = 0 olacaktır. Gürültünün daha küçülmesi, ( σ N → 0 ) , ile
X’in kestiriminin, gözlenen y1 değerine yaklaşacağını belirtelim.
ALIŞTIRMA 3-2
0-10 volt aralığında uniform dağılımlı bir de sinyali, 0 beklendik değerli
ve 2V2 değişintili bağımsız, Gauss dağılımlı bir gürültü sinyali mevcutken
ölçülmüştür.
a-) Sinyal voltajı 0<y0<10 arasında ölçülmüş olsaydı,
b-) Sinyal voltajı y0<0 için ölçülmüş olsaydı,
c-) Ölçülen değer yo = 5 volt olsaydı,
gürültü sinyaline ait en iyi kestirimler ne olacaktı?
3-3 iSTATiSTiK BAĞIMSIZLIK
istatistik bağımsızlık kavramı, ayrık olaylarla bağlantılı olarak daha önce
tanıtılmıştı, ancak sürekli halde de aynı oranda önem taşımaktadır.
Çeşitli fiziksel kaynaklardan ortaya çıkan raslantı değişkenleri hemen
hemen daima istatistik olarak bağımsızdırlar. Örneğin bir devredeki bir
direncin ürettiği rasgele termal gerilim, bir başka direnç tarafından
üretilen rasgele termal gerilim ile hiçbir şekilde bağlantılı değildir.
107
Raslantı değişkenleri aynı kaynaktan fakat farklı zamanlar için
tanımlanmışlar olsa bile gene istatistik bağımsızlık söz konusu
olabilmektedir. Örneğin aynı bir direncin yarın üreteceği termal gerilim,
bugün ürettiği termal gerilime bağlı değildir. Eğer iki raslantı değişkeni
istatistik olarak bağımsız ise bir raslantı değişkeni hakkındaki diğeri
hakkında herhangi bir özellik belirtmez.
İstatistik
olarak
bağımsız
raslantı
değişkenlerinin
bileşik
olasılık yoğunluk fonksiyonları, daima iki basit olasılık yoğunluk
fonksiyonunun çarpımı olarak ifade edilebilir. Bu bağıntı,
p(x,y) = pX(x)pY(y)
(3-21)
olup istatistik bağımsızlığın tanımı olarak kullanılabilir. Tanım için bu
ifade gerekli ve yeterlidir. Bir örnek olmak üzere bu koşulu sağlayan
bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu 3-3 eşitliğinde görülmektedir. O
halde bu iki raslantı değişkeni istatistik olarak bağımsızdır.
İstatistik bağımsızlığın sonuçlarından biri de 3-5 eşitliği ile tanımlanan
ilişki (correlation) ile ilgilidir. Bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu
ayrılabilir olduğundan 3-5 eşitliği
E [ XY ] =
∞
∞
∫ xp (x )dx ∫ yp ( y )dy
X
−∞
Y
−∞
= E [X ]E [Y ] = X Y
(3-22)
olarak yazılabilir. O halde iki istatistiksel bağımsız raslantı değişkenin
çarpımının beklendik değeri yalnızca onların beklendik değerlerinin
çarpımına eşittir. Eğer herhangi birinin beklendik değeri sıfıra eşit ise
sonuç sıfıra eşit olacaktır.
İstatistik bağımsızlığın bir diğer sonucu da koşullu olasılık yoğunluk
fonksiyonlarından basit olasılık yoğunluk fonksiyonlarına geçilebilmeyi
sağlamasıdır. Örneğin 3-12 eşitliği hatırlanırsa,
p (x y ) =
p ( x, y )
pY ( y )
108
ve eğer X ile Y istatistik olarak bağımsız iseler bileşik olasılık, basit
olasılıkların çarpımı olarak ifade edilebileceğinden,
p (x y ) =
p X ( x ) pY ( y )
= p X (x )
pY ( y )
p( y x ) =
p( x, y ) p X ( x ) pY ( y )
=
= pY ( y )
p X (x )
p X (x )
ve benzer şekilde,
elde edilir,
3-4 RASLANTI DEĞİŞKENLERİ ARASINDA İLİŞKİ (CORRELATION)
Yukarıda değinildiği gibi, bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonunun önemli
uygulamalardan biri, iki raslantı değişkenin ilişkisini (correlation) ortaya
koymaktır. Bu, bir raslantı değişkenin herhangi şekilde diğer raslantı
değişkene bağlı olup olmadığı demektir.
X ve Y raslantı değişkenleri olası x ve y değerlerine sahiplerse, bunların
çarpımlarının beklendik değeri, ilişki olarak bilinir ve 3-5 eşitliği ile
tanımlanır.
E [XY ] =
∞ ∞
∫ ∫ xyp(x, y )dxdy = XY
(3-5)
− ∞− ∞
Eğer iki raslantı değişkenin ikisininde ayrı ayrı beklendik değerleri
sıfırdan farklı ise, raslantı değişkenlerden beklendik değerlerin
çıkarılması sureti ile ilişkinin bulunması çok daha kolaylıkla elde
edilebilir. Böylece,
E [( X − X )(Y − Y )] = ( X − X )(Y − Y )
∞ ∞
=
∫ ∫ (x − X )( y − Y )p(x, y )dxdy
(3-23)
− ∞− ∞
bulunur. Buna COVARIANCE (kovaryans) adı verilmektedir. İki
raslantı değişkeni için covariance, tek bir raslantı değişkeni için
variance (değişinti) ve analogdur.
Eğer iki raslantı değişkenin ilişkisinin mertebesinin (derecesi), onlara
ait büyüklükler dikkate alınmaksızın, bulunması
109
istenirse o zaman İLİŞKİ KATSAYISI veya NORMALLEŞTİRİLMİŞ
COVARIANCE aranan yaklaşık büyüklük olmaktadır. İlişki katsayısı ρ
ile gösterilir ve
 X − X   Y − Y

 σ X   σ Y
ρ = E 
 ∞ ∞ x − X y − Y
.
p ( x, y )dxdy
 = ∫ ∫
σY
  − ∞− ∞ σ X
(3-24)
olarak tanımlanır. Burada her bir raslantı değişkenden beklendik
değerinin çıkarıldığını ve standard sapmaya bölündüğünü hatırlatalım.
Bu şekilde elde edilen raslantı değişkeni genellikle "standardlaştırılmış
değişken" olarak adlandırılır. Standardlaştırılmış bir raslantı değişkenin
beklendik değeri sıfıra ve değişintisi 1’e eşittir.
İlişki katsayısı ρ ’nın bazı özelliklerini incelemek üzere ve n raslantı
değişkenlerini standardlaştırılmış değişkenler olarak tanımlayalım.
ξ=
X−X
η=
σX
ξ =0
Y −Y
σY
η =0
2
ση2 = 1
σξ = 1
O halde
ρ = E [ξη ]
olacaktır. Şimdi
[
] [
]
E (ξ ± η ) = E ξ 2 ± 2ξη + η 2 = 1 ± 2 ρ + 1
= 2(1 ± ρ )
(
2
)
ve ξ m η 2 daima pozitif olduğundan onun beklendik değeri de pozitif
olmak zorundadır. O halde
2(1 ± ρ ) ≥ 0
110
yazılabilir. Buradan ρ ’nun 1’den daha büyük sayısal bir değer
alamayacağı görülmektedir. Yani
-1 ≤ ρ ≤ 1
dır.
Eğer X ve Y istatistik olarak bağımsız iseler
ρ = E [ξη ] = ξη = 0
olur, çünkü her ikisinin de beklendik değeri sıfırdır. Bu şekilde, istatistik
olarak bağımsız raslantı değişkenleri için ilişki katsayısı daima sıfıra
eşittir. Ancak tersinin doğru olduğu söylenemez, ilişki katsayısının sıfır
olması (ileride görüleceği üzere Gauss dağılımlı olmadıkları sürece) X ve
Y’nin istatistik bağımsızlığını belirtmez.
İlişki katsayısı herhangi bir çift raslantı değişkeni için tanımlanabilir
ancak özellikle raslantı değişkenlerinin ayrı ayrı ya da bileşik olarak
Gauss dağılımlı olmaları durumu için özel bir önemi vardır ve oldukça
kullanışlıdır. Bu gibi durumlarda bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu
aşağıdaki gibi yazılabilir.
p( x, y ) =
1
2πσ X σ Y 1 − ρ 2
.
 − 1  (x − X )2 ( y − Y )2 2(x − X )( y − Y )ρ  
exp
+
−
  (3-25)
2 
2
σ XσY
σY 2
 2 1 − ρ  σ X
 
(
)
ρ = 0 için bu denklem aşağıdaki şekli alacaktır,
 1  (x − X )2 ( y − Y )2  
p( x, y ) =
exp− 
+

2
2πσ X σ Y
σ Y 2  
 2  σ X
= p X (x ) pY ( y )
1
Bu ifade istatistik olarak bağımsız Gauss raslantı değişkenlerini
belirtir. O halde ρ = 0 olması, değişkenlerin Gauss dağılımlı olmaları
durumu için istatistik bağımsızlığı ifade eder.
111
Genel olarak herhangi raslantı değişkenleri için bazı sonuçları
değerlendirmede ilişki katsayısını kullanmak ilginç olabilir. Örneğin
standardlaştırılmış değişken tanımından hareket ederek
ve
X = σ Xξ + X
Y = σ Yη + Y
yazılabilir ve buradan
XY = E [(σ X ξ + X )(σ Y η + Y )] = E [σ X σ Y ξη + Xσ Y η + Y σ X ξ + XY ]
(3-26)
= ρσ X σ Y + XY
olmaktadır. Daha başka bir örnek olmak üzere,
[
] [
]
E ( X ± Y ) = E X 2 ± 2 XY + Y 2 = X 2 ± 2 XY + Y 2
2
= σ + (X ) ± 2 ρσ X σ Y ± 2 XY + σ Y2 + (Y )
2
X
2
2
= σ X2 + σ Y2 ± 2 ρσ X σ Y + (X ± Y )
2
verilebilir. Son terim yalnızca ( X m Y ) ’nin beklendik değerinin karesi
olduğundan ( X m Y ) ’nin değişintisi
[σ (
]
2
X ±Y )
= σ X2 + σ Y2 ± 2 ρσ X σ Y
(3-27)
olacaktır. Raslantı değişkenleri ilişkili olmadıklarında (uncorrelated,
ρ = 0 ), toplamın veya farkın değişintisi, ayrı ayrı değişintilerinin
toplamına eşittir.
ALIŞTIRMA 3-4
X, Y, Z olan üç raslantı değişkeni, yeni bir raslantı değişkeni oluşturmak
amacı ile toplanmıştır,
W=X+Y+Z
112
Raslantı değişkenleri arasında normalleştirilmiş ilişki katsayıları;
ρ XY = 0 ,
ve
ρ XZ = 1 / 2
ρ YZ = −1 / 2 ‘dir.
Raslantı değişkenlerine ait beklendik değerler ve değişintiler ise
X =1 ,
Y =1 ,
2
2
2
σ X = σY = σ Z =1
Z = −1
olarak verilmiştir,
a-) W’nin beklendik değerini ,
b-) W’nin değişintisini bulunuz.
3-5 İKİ RASLANTI DEĞİŞKENİNİN TOPLAMININ YOĞUNLUK
FONKSİYONU
Yukarıdaki incelemeler iki raslantı değişkenin toplamı (veya farkı) ile
bütünleşmiş beklendik değer ve değişintinin, ayrı ayrı raslantı
değişkenlerinin beklendik değerleri ve değişintileri ile ilişki katsayısının
bilinmesi sureti ile raslantı değişkenlere ait olasılık yoğunluk
fonksiyonlarına
gerek
duyulmaksızın
hesaplanabileceğini
göstermektedir. Ancak iki raslantı değişkenin toplamının olasılık
yoğunluk fonksiyonunun bulunması daha güç bir sorun olarak karşımıza
çıkar. Bununla ilgili bir durum burada yalnızca iki raslantı değişkenin
istatistik olarak bağımsız olması durumu için ele alınacaktır. En genel
durumun incelenmesi konumuzun dışında kalmaktadır.
X ve Y, olasılık yoğunluk fonksiyonları pX(x) ve pY(y) olan, istatistik
olarak bağımsız iki raslantı değişkeni olsun ve toplamları
Z=X+Y
ifadesi ile verilsin. Z’nin olasılık yoğunluk fonksiyonu pz(z)’nin
bulunması istendiğinde bu durum en iyi şekilde, 3-4’te gösterildiği gibi
grafik olarak açıklanabilir.
113
ŞEKİL 3-4: X+Y=Z < z Bölgesinin Gösterilişi
Z için olasılık dağılım fonksiyonu yalnızca
PZ ( z ) = Pr (Z ≤ z ) = Pr ( X + Y ≤ z )
olur ve bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu p(x,y)’nin x+y=z çizgisinin
altında kalan kısım boyunca integrasyonu ile bulunabilir. x , her bir sabit
y değeri için − ∞ < x < z − y koşulunu sağlamak zorundadır. Bu şekilde
PZ ( z ) =
∞ ∞
∫ ∫ p(x, y )dx.dy
(3-28)
− ∞− ∞
olduğundan, X ve Y’nin istatistik olarak bağımsız olması özel hali için
bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu ayrılabileceğinden
PZ ( z ) =
∞ ∞
∫ ∫ p (x ) p ( y )dxdy
X
Y
− ∞− ∞
∞
=
∫ p ( y )∫ p (x )dxdy
Y
X
−∞
yazılabilir, Z’nin olasılık yoğunluk fonksiyonu, PZ(z)’nin, z’ye göre
diferansiyeli alınmak sureti ile elde edilir.
114
p Z (z ) =
dPZ ( z ) ∞
= ∫ p y ( y ) p X ( z − y )dy
dz
−∞
(3-29)
Z yalnızca ikinci integralin üst sınırında mevcut olduğuna göre
yukarıdaki ifade ile elde edilir. Böylece Z’nin olasılık yoğunluk
fonksiyonu sadece X’in ve Y’nin olasılık yoğunluk fonksiyonlarının
KONVOLUSYONU'dur.
3-28 eşitliğinin
görünmektedir.
aşağıdaki
PZ ( z ) =
şekilde
yazılabileceği
açıklıkla
∞ ∞
∫ ∫ p(x, y )dydx
− ∞− ∞
ve aynı şekilde olasılık yoğunluk fonksiyonu
p Z (z ) =
∞
∫ p (x ) p (z − x )dx
X
Y
(3-30)
−∞
olarak yazılabilir. 3-29 ve 3-30 eşitlikleri sistem analizinde yakından
tanıdığımız konvolusyon integralinin iki eş biçimde yazılmasından
başka bir şey değildir.
Bu işlemi bir örnek üzerinde göstermek amacı ile şekil 3-5’te verilen iki
yoğunluk fonksiyonu ele alalım.
ŞEKİL 3-5: İki Raslantı Değişkenine Ait Yoğunluk Fonksiyonu
Bunlar analitik olarak;
115
ve
pX(x) = 1
= 0
0 ≤ x ≤1
dışında
py(y) = e-y
=0
y≥0
y<0
olarak ifade edilebilirler. Konvolusyon Z’nin sıfırdan büyük ve sıfırdan
küçük olmasına bağlı olarak iki kısımda ele alınmalıdır. 3-30 eşitliğine
uygun yaklaşık diyagram şekil 3-6’da gösterilmiştir. 0 < z ≤ 1 için
konvolusyon integrali
z
p Z ( z ) = ∫ (1)e −( z − x ) dx = 1 − e − z
0 < z ≤1
0
ve z>1 için aynı integral
1
p Z ( z ) = ∫ (1)e −( z − x ) dx = (e − 1)e − z
1< z < ∞
0
olur. z<0 için pz(z)=0’dır çünkü pX(x)=0, x <0 ve py(y)=0, y<0’dır. Sonuç
yoğunluk fonksiyonu şekil 3-6 (c)’de görülmektedir.
ŞEKİL 3-6 : Yoğunluk Fonksiyonlarının Konvolusyonu
(a) 0 < z < 1, (b) 1 < z <
, pZ(z)
116
İki bağımsız Gauss raslantı değişkeninin toplamının incelenmesi
ilginçtir. Bu değişkenlere ait olasılık yoğunluk fonksiyonları,
pX(x)=
py(y)=
olsun. Z=X+Y olduğuna göre 3-30 eşitliğinden Z için yoğunluk
fonksiyonu
 (x − X )2 
 (z − x − Y )2 
p Z (z ) =
exp −
exp −
dx
2 
2πσ xσ y ∫
2σ y
 2σ X 


1
olmaktadır. Bu integrasyon sonucunun

1

p z (z ) = 
 2π σ x 2 + σ y 2

(
)

 [z − (X + Y )]2 

 exp− 2 σ 2 + σ 2 



x
y

(
)
(3-31)
olduğunun gösterilmesi öğrenciye alıştırma olarak bırakılmıştır. Bu
sonuç iki bağımsız Gauss raslantı değişkeninin toplamının gene bir
Gauss raslantı değişkeni olduğunu, meydana gelen yeni Gauss raslantı
değişkeninin beklendik değerinin sözü edilen bağımsız iki değişkenin
beklendik değerlerinin toplamına ve değişintisinin de bağımsız
değişkenlere ait değişintilerin toplamına eşit olduğu açıkça
göstermektedir. Daha çok sayıda Gauss raslantı değişkenlerinin
toplanması sonucu elde edilecek yeni değişkenlerin de Gauss
değişkeni olarak kalacağı görülecektir. Yani herhangi sayıda bağımsız
Gauss raslantı değişkenlerinin toplamı sonucunda elde edilecek
raslantı değişkenleri gene Gauss tipinde bir raslantı değişkenidir. Bu
özelliği taşıyan yoğunluk fonksiyonlarının yeniden oluşturulabilir özellik
taşıdıkları söylenebilir, Burada ispatlanmayacak olmasına rağmen ilişkili
Gauss raslantı değişkenlerinin toplamları sonucu elde edilen raslantı
değişkenlerinin de birer Gauss raslantı değişkeni olacağını belirtelim.
Buna ait beklendik değer, her birinin beklendik değerlerinin toplamı
olarak ve değişintisi de 3-27 eşitliği yardımı ile hesaplanabilir.
117
3-6 KARAKTERİSTİK FONKSİYON
Bir önceki paragrafta bağımsız iki raslantı değişkenin toplamlarının
olasılık yoğunluk fonksiyonunun, bunların ayrı ayrı yoğunluk
fonksiyonlarının konvolusyonu ile elde edilebildiği gösterilmişti, ikiden
daha çok raslantı değişkenin toplamı söz konusu olduğunda, sonuç
yoğunluk fonksiyonunun, herbir raslantı değişkeninin hesaba katılacağı
şekilde konvolusyon işlemini yinelemek sureti ile elde edileceği açıktır.
Bu uzun ve yorucu bir işlem olduğundan daha kolay bir yol olup
olmadığının araştırılması doğaldır.
Sistem ve devre analizinde konvolusyonla karşılaşıldığında,
hesaplamayı basitleştirmede, bilinen dönüşüm yöntemleri kullanılabilir.
Bilindiği gibi konvolusyon dönüşüm domeninde yalnızca çarpımla
sağlanabilmektedir. Konvolusyonun yinelenmesi sorunu da dönüşüm
domeninde çok sayıda çarpım ile başarılır. Bu nedenle yoğunluk
fonksiyonunu elde etmede dönüşüm yöntemlerinin kullanılmaya
çalışılması yararlı gibi görünmektedir. Bu paragrafta bunun nasıl
başarılacağı ortaya konmaya çalışılacaktır.
Bir X raslantı değişkeninin KARAKTERİSTİK FONKSiYONU,
φ (u ) = E [e juX ]
(3-32)
olarak tanımlanır ve bu beklendik değer
∞
φ (u ) =
∫ p(x )e
juX
dx
(3-33)
−∞
eşitliği ile elde edilir. 3-33 eşitliğinin sağ tarafı, (üstel ifadede - işareti
hariç), p(x) yoğunluk fonksiyonunun Fourier Dönüşümüdür.
Karakteristik fonksiyon için işaret farklılığı kuraldan çok alışılmışlıktan
kaynaklanmıştır. Dönüşümün özelliklerinde ve uygulamalarında bir
farklılık oluşturmaz. Ters Fourier dönüşümü ile benzerlikten
yararlanarak, yoğunluk fonksiyonu ,
∞
p ( x) = (1 / 2π ) ∫ φ (u )e − jux du
−∞
eşitliğinden elde edilebilir.
(3-34)
118
Karakteristik fonksiyonun bir uygulamasını göstermek üzere, yeniden X ve Y
bağımsız raslantı değişkenlerinin toplamının (Z = X+Y) olasılık yoğunluk
fonksiyonunun bulunması sorununu ele alalım. Bu raslantı değişkenleri için
karakteristik fonksiyonlar,
∞
φ x (u ) =
∫ p (x )e
jux
x
dx
−∞
ve
∞
φ Y (u ) =
∫ p ( y )e
juy
Y
dy
−∞
dir. Konvolüsyon, dönüşümlerin (burada karakteristik fonksiyonların) çarpımına
karşı geldiğinden Z değişkeninin karakteristik fonksiyonu,
φ Z (u ) = φ X (u )φY (u )
olur. Sonuç olarak Z için yoğunluk fonksiyonu
∞
 1 
juz
p Z (z ) = 
 ∫ φ X (u )φ Y (u )e du
 2π −∞
(3-35)
olarak bulunur.
Bu yöntemi açıklamak üzere, bu önceki paragrafta incelenen uniform
dağılımlı X ve üstel dağılımlı Y raslantı değişkenleri için uygulanırsa,
pX(x) =1
=0
0 ≤ x ≤1
dışında
ve buna ait karakteristik fonksiyon
1
e juz
φ X (u ) = ∫ (1)e dx =
ju
0
1
jux
=
(e
ju
)
−1
ju
ve benzer şekilde,
pY ( y ) = e − y
=0
y≥0
y<0
0
119
ve buna ait karakteristik fonksiyon da,
∞
∞
φ Y (u ) = ∫ e e
−y
0
juy
 e (−1+ ju ) y 
 1 

dy = 
 = 
 (− 1 + ju )  0  (1 − ju ) 
olarak bulunur. O halde Z’nin karakteristik fonksiyonu,
φ Z (u ) = φ X (u )φY (u ) =
e ju − 1
ju (1 − ju )
olur ve buna karşılık gelen yoğunluk fonksiyonu,
∞
ju
 1   e − 1  − juz
p Z (z ) = 
∫
 e du
 2π −∞ ju (1 − ju ) 
∞
∞
− juz
ju (1− x )


 1   e
 1   e
=
du − 
∫
∫

du
 2π −∞ ju (1 − ju ) 
 2π −∞ ju (1 − ju ) 
= 1 - e-z
0 < z < 1 için
-z
=(e–1)e
1 < z < ∞ için
(
)
olarak elde edilir. İntegrasyonlar standard ters Fourier dönüşüm
yöntemi ile ya da tablolar yardımı ile çözümlenebilir.
Karakteristik fonksiyonun diğer bir uygulaması da rasgele bir
değişkenin momentlerinin bulunmasında kullanılmasıdır. Eğer
φ (u)’nun türevi alınacak olursa sonuç,
dφ (u )
= ∫ p ( x )( jx )e jux dx
du
−∞
∞
olur. u=0 için türev,
120
 dφ (u ) 
= j ∫ xp( x )dx = jX


 du  u =0
−∞
∞
(3-36)
olmaktadır. Daha yüksek mertebeden türevler integral içinde x’in
daha yüksek mertebeden kuvvetlerini içerir, bu sebeple n inci genel
moment
 1   d nφ (u ) 
X n = E X n =  n  
n 
 j   du  u =0
[ ]
(3-37)
olarak tanımlanabilir. Eğer karakteristik fonksiyon uygunsa, bu doğrudan
yaklaşımda istenen integralleri hesaplamaktan daha kolay elde edilebilir.
Yukarıdaki sonuçlar bazı belirgin gelişmelere açıktır. Örneğin 3-35
eşitliği keyfi sayıda bağımsız raslantı değişkeni için genişletilebilir. Eğer
X1, X2,...., Xn bağımsız raslantı değişkenleri ise ve karakteristik
fonksiyonları φ1 (u ), φ 2 (u ),...., φ n (u ) olduğuna göre,
Y = X1 + X2 + .... + Xn
gibi bir raslantı değişkenin tanımlanması halinde, Y’nin karakteristik
fonksiyonu
φ Y (u ) = φ1 (u )φ 2 (u )....φ n (u )
olacak ve yoğunluk fonksiyonu da
∞
 1 
− juy
pY ( y ) = 
 ∫ φ1 (u )φ 2 (u )....φ n (u )e du
π
2

 −∞
(3-38)
olarak elde edilebilecektir.
Karakteristik fonksiyon, raslantı değişkenlerinin bağımsız olmamaları
durumunda da kullanılabilir. Örneğin, eğer X ve Y raslantı değişkenleri
bir bileşik yoğunluk fonksiyonuna (p(x,y) ) sahipse, o halde onlara ait bir
bileşik karakteristik fonksiyon söz konusudur ve bu,
121
φx, y (u, v ) = E.e
j (uX + vY )
∞ ∞
=
∫ ∫ p(x, y )e
j (ux + vy )
dxdy
(3-39)
− ∞− ∞
olmaktadır. Karşı gelen ters dönüşüm bağıntısı ise
 1 ∞ ∞
p ( x, y ) = 
φ xy (u, v )e − j (ux +vy ) dudv
2  ∫ ∫
 2(2π )  −∞−∞
(3-40)
olacaktır.
Bileşik karakteristik fonksiyon, raslantı değişkenleri arasındaki ilişkinin
bulunmasında kullanılabilir. Örneğin
 ∂ 2φ xy (u , v ) 
E [ XY ] = XY = − 

 ∂u∂v  u =v =0
(3-41)
ve daha genel olarak
[
i
EX Y
k
]
i+k
 1   ∂ φ xy (u , v )
= X Y =  i + k  

i
k
 j   ∂u ∂v
 u =v =0
i
k
(3-42)
3-37, 3-40 ve 3-42 eşitlikleri ile verilen sonuçlar, gerekli integrasyon ve
türevlerin daima hesaplanabileceğinden, özellikle Gauss raslantı
değişkenleri için kullanışlıdır. Gauss raslantı değişkenlerinin önemli
özelliklerinden bir bütün mertebelerden momentlerin ve ilişkilerinin
yalnızca ilk iki moment ve ilişki katsayısının bilinmesi ile elde
edilebileceğidir,
ALIŞTIRMA 3-6
Bernoulli dağılımının karakteristik fonksiyonu
φ = 1 − p + ptju
olarak verildiğine göre (a) Beklendik değeri, (b) Karesel beklendik
değeri, (c) Üçüncü merkezi momenti bulunuz.
122
PROBLEMLER
3-1 X ve Y raslantı değişkenlerine ilişkin ortak olasılık yoğunluk
fonksiyonu
p(x,y) = K
0<x<1
0 < y
<x
=0
dışında
şeklinde verilmektedir.
a-p(x,y) olasılık yoğunluk fonksiyonunu çiziniz.
b-P(x,y) dağılım fonksiyonunu belirleyerek çiziniz.
c-K’nın değerini bulunuz.
d- X <(1/2) ve Y> 0 olayının ortak olasılığı nedir?
e- X’in basit olasılık yoğunluk fonksiyonu pX(x)’i bulunuz.
3-2 Problem 3-1’de verilen iki raslantı değişkeni için,
a- E[XY]’yi bulunuz.
b- Bu iki raslantı değişkeni istatistik bağımsız mıdır?
3-3 X ve Y raslantı değişkenlerine ilişkin bileşik olasılık yoğunluk
fonksiyonu,
p(x,y) = K.e-(3x+4y)
x>0, y>0
=0
dışında
şeklindedir.
a- K’nın değerini belirleyiniz.
b- P(x,y) bileşik olasılık dağılım fonksiyonunu bulunuz.
c- 0< X ≤ 1 ve 0<Y ≤ 2 olma olasılığını belirleyiniz.
d- X ve Y’nin basit olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz .
3-4 Problem 3-1’deki iki raslantı değişkeni için p(x/y) ve p(y/x) koşullu
olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz.
3-5 Bir dikdörtgenin kenarları raslantı değişkenleridir. X tabanı 0 ile 5
arasında uniform dağılımlı bir raslantı değişkeni ve yüksekliği 0 ile
X arasında uniform dağılımlı bir raslantı değişkenidir. Dikdörtgenin
alanının beklendik değerini bulunuz.
3-6 Bir işaret olduğu varsayılan X raslantı değişkeni 0 ile 10
arasında uniform dağılım göstermektedir. X’ten bağımsız bir
başka raslantı değişkeni N, -10 ile 10 arasında üçgen
dağılımlıdır (maksimum yoğunluk 0’da). Gözlenebilen raslantı
değişkeni Y = X+N ’dir.
123
a- y= -5,0 ve 5 için p(x/y) koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu
x’e bağlı olarak tanımlayınız ve çiziniz.
b- Bir gözlem sonucu y= -5 olduğuna göre, X’in gerçek değerine
en iyi kestirim nedir?
3-7 İki raslantı değişkeninin beklendik değerleri sıfır ve değişintileri
sırasıyla, 25 ve 36 olup ilişki katsayıları 0,4’tür.
a-Toplamlarının değişintisi neye eşittir?
b-Farklarının değişintisi neye eşittir?
c- a ve b şıklarını ilişki katsayısının -0,4’e eşit olması durumu için
tekrarlayınız.
3-8 İstatistik bağımsız iki raslantı değişkeni X ve Y’nin beklendik
değerleri sıfır ve değişintileri sırasıyla 36 ve 64’tür. İki yeni
raslantı değişkeni,
U = 4X + 3Y
V = 3X – 4Y
biçiminde tanımlanmıştır. U ve V’nin ilişki katsayılarını bulunuz.
3-9 Bir X raslantı değişkeni bir başka Y raslantı değişkenine
Y = aX + b
ilişkisiyle lineer olarak bağlıdır. X ve Y’nin ilişki katsayısının
a
ρ XY =
a
olduğunu gösteriniz. (Yani a pozitifse
ρ XY = −1 ’dir).
ρ XY = 1 , a negatifse
3-10 θ ve ψ istatistik bağımsız iki raslantı değişkeni olsunlar ve her ikisi
de 0 ile 2π aralığında uniform dağılımlı olsunlar. Yeni bir raslantı
değişkeni φ = θ + ψ biçiminde tanımlanmaktadır.
a- φ ‘nin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz.
124
b-
φ = θ +ψ ,
= θ + ψ − 2π ,
θ + ψ ≤ 2π
2π < θ + ψ ≤ 4π
olduğuna göre φ ‘nin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz. (a)
şıkkında düzgün dağılımlı iki raslantı değişkeninin toplamının üçgen
dağılımlı olduğuna, buna karşılık (b) şıkkında düzgün dağılımlı iki
raslantı değişkeninin mod 2π anlamında uniform dağılımlı olduğuna
dikkat ediniz.
3-11 a- Sıfır beklendik değer ve σ 2 değişintili bir Gauss raslantı
değişkeninin karakteristik fonksiyonunu bulunuz.
b- Karakteristik fonksiyonu kullanarak, bir Gauss işlemesinin n
inci merkezi momentine ilişkin (2-18) denklemi ile verilen sonucu
kontrol ediniz.
KAYNAKLAR
Bölüm 1’deki kaynaklara bakınız, özellikle Beckmann, Papoulis ve
Parzen
125
BÖLÜM 4
RASGELE İŞLEME
4-1 GİRİŞ
İkinci bölümde belirtildiği gibi rasgele işleme, olasılık tanımları ile
bütünleşmiş zaman fonksiyonlarının bir kolleksiyonudur. Olasılık
tanımları, tüm raslantı değişkenlerinin basit ve bileşik olasılık yoğunluk
fonksiyonlarını içerebilir ve bunlara belirli anlarda işlemeyi belirten
fonksiyonlar olarak bakılabilir. Olasılık tanımlarının bu türü tektir ve
burada incelenecektir.
Zaman fonksiyonlarının tüm kolleksiyonu bir bütündür (ensemble)
ve {x(t)} ile belirtilir, burada ensemblenin herhangi bir üyesi, x(t),
ensemblenin örnek fonksiyonu ya da sadece örnek fonksiyon olarak
bilinir. Genel olarak rasgele bir işlemenin yalnızca bir örnek fonksiyonu
gözlenebilir. Diğer bütün örnek fonksiyonlar gözlenemediği halde, olması
olası tüm durumları belirtir. Herhangi bir örnek fonksiyon X(t) ile
gösterilir. X(t)’nin herhangi bir t1 zamanına karşı gelen değeri bir raslantı
değişkenini tanımlar ve X(t1) ile ya da yalnızca X1 ile gösterilir.
Raslantı değişkeni kavramlarından rasgele işlemeye doğru ilerleme
mekanik olarak ele alındığında oldukça basittir ve buna ait ana ilkeler
daha önce incelenmiştir. Ancak daha güç olan adım, raslantı
değişkenleri ile rasgele işlemenin fiziksel özellikleri arasında bağ
kurulmasını sağlayan kavramların geliştirilmesidir. Bu nedenle, bu
bölümde, bu bağıntı, birkaç açıklayıcı örnekle ortaya konulmaya
çalışılacaktır.
Rasgele işlemeyi incelemede ilk adımlardan biri, verilen herhangi
bir işlemenin karakteristiklerinin tanımlanmasında kısa yoldan
yararlanılabilecek, uygun terminolojiyi geliştirmektir. Bunu sağlamada
elverişli bir yol, çiftler şeklinde düzenlenmiş tanımlayıcı setlerin
kullanılması ve işlemeyi tanımlamada bu tanımlayıcı setlerden
yararlanılmasıdır. Bu tanımlayıcı setler aşağıda sıralanmıştır.
126
1- Sürekli - Ayrık
2- Tayin Edilebilir - Tayin Edilemez
3- Durağan - Durağan Olmayan
4- Ergodik - Ergodik Olmayan
4-2 SÜREKLi VE AYRIK RASGELE İŞLEME
Bu terimler genelde raslantı değişkenlerinin olası değerleri için
kullanılırlar. Sürekli bir rasgele işleme, X(t1), X(t2) ve bunun gibi raslantı
değişkenlerinin, belirli sınırlar arasındaki olası değerlerinden herhangi bir
değeri alabileceği varsayılan bir işlemedir. İletkenlerdeki ısıl
dalgalanmaların gürültüsü, transistor veya elektron tüplerinde oluşan
çarpışma gürültüsü ve rüzgarın hızı, sürekli rasgele işlemeye ait örnekler
olarak verilebilir. Tipik bir örnek fonksiyon ve buna karşı düşen olasılık
yoğunluk fonksiyonu Şekil 4-1’de gösterilmiştir.
ŞEKİL 4-1: Sürekli Rasgele İşleme
(a) Tipik Örnek Fonksiyonu (b) Yoğunluk Fonksiyonu
Bu örnekte, olası değerlerin sınırı yarı sonsuzdur.
127
Sürekli rasgele işleme için daha duyarlı bir tanım, olasılık dağılım
fonksiyonunun sürekli olmasıdır. Bu aynı zamanda yoğunluk
fonksiyonunun herhangi bir impuls ( δ ) fonksiyonu içermediğini belirtir.
Ayrık bir rasgele işleme yalnızca belirli izole edilmiş ve genellikle sonlu
sayıda değerler alabilir. Bunların dışında herhangi bir değer alması söz
konusu değildir. Örneğin, bir anahtarın rasgele açılıp kapanmasından
dolayı gerilim değeri ya 0 ya da 100 volt olan bir örnek fonksiyon, ayrık
bir rasgele işlemeye aittir. Bu durum Şekil 4-2’de görülmektedir. Olasılık
yoğunluk fonksiyonunun yalnızca impuls ( δ ) fonksiyonlarından
oluşacağı açıktır.
ŞEKİL 4-2: Ayrık Rasgele İşleme
(a) Tipik Örnek Fonksiyon (b) Yoğunluk Fonksiyonu
Hem sürekli ve hem de ayrık elemanlar içeren durumlar da söz konusu
olabilir. Buna karışık işleme adı verilir. Örneğin, ideal bir doğrultucudan,
bir akımın geçmesi halinde, zamanın yarısında doğrultucu çıkışındaki
akım sıfır olacaktır. Buna karşı düşen olasılık yoğunluk fonksiyonu
kısmen sürekli ve kısmen de impuls fonksiyonu içerek bir özellik
gösterir, Şekil 4-3.
128
ŞEKİL 4-3: Karışık Bir Rasgeleİşleme
(a) Tipik Örnek Fonksiyonu (b) Yoğunluk Fonksiyonu
Örnek fonksiyonların zamana göre sürekli olması durumlarında bir
raslantı değişkeni herhangi bir zaman değeri için tanımlanabilir.
Raslantı değişkenlerinin yalnızca belirli ayrık zamanlarda olma durumu
(nokta işlemesi veya zaman serileri) burada incelenmeyecektir.
4-3 TAYİN EDİLEBİLİR VE TAYİN EDİLEMEZ RASGELE İŞLEME
Şimdiye kadar olan incelemelerimizin pek çoğunda, her bir örnek
fonksiyonun bir rasgele zaman fonksiyonu olduğunu ve bu nedenle
gelecek değerlerinin, gözlenen geçmiş değerlerinden tam olarak elde
edilemeyeceği görülmüştü. Bu tür bir rasgele işleme tayin edilemez
(nondeterministic) rasgele işleme olarak adlandırılır. Hemen hemen
doğal bütün işlemeler, tayin edilemez rasgele işlemelerdir, çünkü
bunları üreten ana kaynaklar ya gözlenemez ya da oldukça karmaşıktır.
Bir önceki paragrafta ele alınan bütün örnekler, tayin edilemez rasgele
işlemeye aittir.
Ancak,herhangi bir örnek fonksiyonun geçmiş değerlerine ait bilgiler
yardımı ile gelecek değerlerine ait bilgilerin tam olarak elde edilebilmesi
mümkün olan bir rasgele işleme tanımlamak olasıdır. Bu tür bir işlemeye
tayin edilebilir (deterministik) rasgele işleme adı verilir. Bir örnek olmak
üzere, her
129
Bir örnek olmak üzere, her bir örnek fonksiyonu
X (t ) = A cos(ω .t + θ )
şeklinde olan rasgele işleme düşünelim, burada A ve ω sabitleri θ
ise olasılık dağılım fonksiyonu belirli bir raslantı değişkenini
göstermektedir. Herhangi bir örnek fonksiyon için, t’nin bütün
değerlerinde, θ aynı bir değere, ensemblenin diğer örnek
fonksiyonlarından farklı değere sahip tir. Bu durumda tek rasgele
değişim ensemble boyunca olur ve zamana bağlı değildir. X(t1) , X(t2)
ve bunun gibi raslantı değişkenleri tanımlamak ve bunlar için olasılık
yoğunluk fonksiyonlarını hesaplamak mümkün olmaktadır. Tayin
edilebilir rasgele işleme kavramı biraz yapay görünmesine karşın
genellikle bir veya iki parametresi hariç bilinen işaretler için bir
olasılık modeli elde etmede elverişlidir. Örnek olarak 4-1 eşitliği ile
verilen işleme, genlik ve frekansı bilinen, ancak alıcı ile verici
arasındaki uzaklık duyarlıkta bilinemediğinden fazı bilinmeyen bir
radyo işaretini uygunlukla belirtebilir.
4-3 DURAĞAN VE DURAĞAN OLMAYAN RASGELE İŞLEME
X(t1) şeklinde bir raslantı değişkeni için olasılık yoğunluk
fonksiyonunun belirtilebileceğine daha önce değinilmişti. Ancak bu
yoğunluk fonksiyonunun t1 zamanındaki değer ile bağlantılı olacağı
dikkate alınmalıdır. Eğer bir işlemenin bütün basit ve bileşik yoğunluk
fonksiyonları zaman başlangıcının seçimine bağlı değilse bu
işlemenin Durağan (stationary) olduğu söylenir. Bu durumda daha
önce incelenen bütün beklendik değerler ve momentler sabit olup
zamanın mutlak değerinden bağımsızdır.
Eğer herhangi olasılık yoğunluk fonksiyonları zaman başlangıcının
seçimine bağlı ise bu işleme Durağan Olmayan bir işlemedir. Bu
durumda beklendik değerlerin ve momentlerin biri ya da fazlası
zamana bağlı olacaktır. Durağan olmayan rasgele giriş işaretleri ile
ilgili sistem analizi sorunları, durağan giriş işaretlerine oranla daha
karmaşıktır. Bu nedenle bundan sonraki incelemelerimizde aksi
söylenmediği sürece durağan işleme hali anlaşılmalıdır.
Herhangi bir işlemenin geçmişte sonlu herhangi bir zamanda
başlaması ve gelecekte sonlu bir zamanda bitmesi kaçınılmaz
olduğundan, gerçekte fiziksel olarak mevcut durağan bir rasgele
işlemenin olmadığı açıklıkla söylenebilir.
130
Herhangi bir işlemenin, geçmişte sonlu herhangi bir zamanda başlaması
ve gelecekte sonlu bir zamanda bitmesi kaçınılmaz olduğundan,
gerçekte fiziksel olarak, durağan bir işlemenin olmadığı açıklıkla
söylenebilir. Ancak, gözlem süresi boyunca farkedilir bir değişim
göstermeyen işlemeler pekçok fiziksel durum için geçerlidir. Buna
benzer durumlarda, işlemenin durağan varsayılması bizi gerçekle
oldukça yakınlık gösteren uygun bir matematik modele götürür.
Verilen herhangi bir durum için durağanlık yaklaşımının yapılmasının
uygun olup olmadığının saptanması kolay olmayabilir. Durağan
olmayan işleme, işlemeyi üreten düzene ve işlemenin gözlem süresine
bağlıdır. Temel bir kural olarak, kaynakta belirgin bir değişim olmadığı
ya da aksi kesin olmadığı durumlarda işlemenin durağan varsayılması
alışılagelmiştir. Örneğin, bir dirençteki elektronların rasgele
hareketlerinin ürettiği ısıl gürültü, normal koşullar altında durağan
varsayılabilir. Ancak, eğer direnç içinden geçen akımın zaman zaman
kesilip sonra yeniden akması ile ısınıyorsa, durağanık yaklaşımının
yanlış olduğu açıktır. Bir başka örnek olmak üzere, durağan bir
kaynaktan bir saatlik peryod boyunca gelen rasgele rüzgar hızını
durağan varsaymak anlamlı olabilir ancak genel anlamda bir haftalık
peryod için bu yaklaşımın kullanılmasının uygun olmayacağı açıktır.
Tayin edilebilir işlemeler belirli özel koşullar hariç durağandırlar. Bu
koşulların varlığını kabul etmek alışılmıştır. Ne var ki herhangi biri
bunun tedbirli bir seçim olduğunun farkına varmalıdır. Bunun doğal bir
oluş olması gerekmez. Örneğin (4-1) eşitliğinde tanımlanan rasgele
işleme durumu için okuyucu (beklendik değeri hesaplamak suretiyle) θ
‘nın 0 ile 2 π arasında uniform dağılımlı olması hali için kesinlikle
durağan olmayacağını kolayca gösterebilir. Bütün basit ve bileşik
yoğunluk fonksiyonlarının zaman başlangıcından bağımsız olması
istemi, sistem analizi için gerekli olduğundan çok, daha inandırıcıdır.
Genelde daha yumuşatılmış bir yol, bir raslantı değişkeninin, X(t1), t1
zamanından bağımsız olması ve iki raslantı değişkeni arasındaki
ilişkinin E[X(t1)X(t2)], yalnızca t2-t1 zaman farkına bağlı olması
durumudur. Bu iki koşulu sağlayan işleme Geniş Anlamda Durağan
(wide sense stationary) adını almaktadır. Geniş anlamda durağanlık,
beklendik değer, karesel beklendik değer, değişinti ve herhangi bir çift
raslantı değişkeninin ilişki katsayısının zaman başlangıcının seçiminden
bağımsız ve sabit olduğunu garanti eden bir özellik gösterir.
131
Rasgele girişlere, sistemlerin cevabı ile ilgili ilerideki incelemelerde, bu
cevapların elde edilmesi, işlemenin durağan ya da geniş anlamda
durağan varsayılması sonucu kolayca sağlanabilir. Her iki durağanlık
durumu için de sonuçlar aynı olacağından incelemelerimizde bu iki
durum arasındaki farklılık önemli sayılmayabilir.
4-5 ERGODİK VE ERGODİK OLMAYAN RASGELE İŞLEME
Bazı durağan rasgele işlemeler ensemblenin hemen hemen tüm
üyeleri*, tüm ensemblenin sahip olduğu aynı istatistik davranışı
gösteren bir özelliğe sahiptirler. Bu şekilde tek bir tipik örnek
fonksiyonun incelenmesi ile bu istatistik davranışı saptamak
mümkündür. Bu tip işlemeye Ergodik (ergodic) işleme adı verilir.
Ergodik işlemelerin beklendik değer ve momentleri ensemble
ortalamaları ile olduğu kadar zaman ortalamaları ile de hesaplanabilir.
Örneğin n. moment;
ϕ
n
X =
1
T →∞ 2T
n
∫ x p(x )dx = lim
−∞
T
∫ X (t )dt
n
(4-2)
−T
olarak bulunur. Ancak bu durum işleme durağan olduğu sürece
geçerlidir. O halde ergodik bir işleme aynı zamanda durağan bir
işlemedir.
(4-2) eşitliğindeki özelliği sağlamayan bir işleme ergodik olmayan bir
işlemedir. Durağan olmayan bütün işlemeler ergodik olmayan
işlemelerdir, ancak durağan olduğu halde ergodik olmayan işlemeler de
olabilir. Örneğin, örnek fonksiyonu;
X (t ) = Y . cos(ω .t + θ )
(4-3)
* Hemen hemen bütün üyeleri terimi, toplam olasılığı sıfır olan örnek
fonksiyonlar setini belirtir. Ensemblenin diğer örnek fonksiyonları aynı
davranışı göstermeyebilir. Ne var ki sıfır olasılık bu tip örnek fonksiyonların
imkansız olduğu anlamına gelmez.
132
şeklinde olan bir işleme ele alınsın. Burada ω bir sabiti, Y (ensembleye
göre) bir raslantı değişkenini ve θ da 0 ile 2 π arasında uniform
dağılımlı bir başka raslantı değişkenini göstermektedir. Ayrıca θ ve Y
istatistik bağımsız raslantı değişkenleridir. Y’nin herhangi bir örnek
fonksiyon için sabit, farklı örnek fonksiyonlar için farklı olması nedeni ile
durağan olmasına karşı ergodik olmayan bir işleme olduğu
görülmektedir.
İşlemenin yalnızca bir örnek fonksiyonu gözlenebildiğinden, herhangi
fiziksel bir işlemenin uygun yaklaşımla ergodikliğini ispatlamak genel
olarak güçtür, ancak olanaksız değildir. Bu nedenle aksini zorlayıcı
fiziksel nedenler söz konusu değilse, işlemenin ergodik varsayılması
alışılagelmiş bir durumdur.
4-6 İŞLEME PARAMETRELERİNİN ÖLÇÜLMESİ
Bir raslantı değişkeninin istatistiksel parametreleri, çeşitli t
zamanlarında, X(t) raslantı değişkeni ile bütünleşmiş istatistiksel
parametreler setidir. Bunlar, daha önce değinilen, beklendik değer,
karesel beklendik değer, değişinti, vs.dir.
İşlemenin durağan olma durumunda, işleme parametreleri bu tip raslantı
değişkenleri için aynıdır ve bu nedenle tek bir parametreler setinin ele
alınması alışılmış bir tutumdur.
Pratik önemi olan incelenebilir bir sorun, tek bir örnek fonksiyonun
(Sonlu
uzunlukta)
gözlenmesinden
işleme
parametrelerinin
kestirilmesidir, (estimating). Tek bir örnek fonksiyon söz konusu
olduğundan, parametrelerin kestirimini elde etmede ensemble
ortalamasının alınması olanaksızdır. Eğer işleme ergodik ise bu uygun
bir yaklaşım olacaktır. Çünkü, sonsuz zaman için zaman ortalaması,
(4-2) eşitliği uyarınca ensemble ortalamasına eşdeğerdir.
Öncelikle {x(t)} ergodik rasgele işlemesine ait beklendik değerin
kestirimi sorunu ele alınsın. Bu kestirim X olarak gösterilecek ve sonlu
zaman ortalaması şeklinde hesaplanacaktır. Buna göre ensemblenin
keyfi herhangi bir örnek forksiyonu için bi kestirim;
T
1
Xˆ = ∫ X (t )dt
T 0
(4-4)
133
olsun. Xˆ nin herhangi bir denemede tek bir sayı ve aynı zamanda bir
raslantı değişkeni olduğunu belirtelim. O halde farklı zaman aralıklarının
kullanılması ya da farklı örnek fonksiyonlarının gözlemlenmesi farklı
sayıların elde edilmesi sonucunu doğuracaktır. Bu nedenle Xˆ gerçek
beklendik değere ( X ) tam olarak eşit olamaz ancak eğer ölçme uygun
ise bu iki değer birbirine çok yakındır. Bu iki değerin birbirine ne kadar
yakın olması gerektiği aşağıda açıklanacaktır.
Xˆ bir raslantı değişkeni olduğundan bir beklendik değeri ve değişintisi
vardır. Eğer Xˆ , X ‘in iyi bir kestirimi ise Xˆ ’nın beklendik değeri X ’e
eşit ve değişintisi olabildiğince küçük olmalıdır. 4-4 eşitliğinden Xˆ ’nin
beklendik değeri,
1
 1
E [Xˆ ] = E  ∫ X (t )dt  = ∫ E [ X (t )]dt
T
 T
T
=
T
T
0
0
[ ]
1
1
T
Xdt = X t 0 = X
∫
T 0
T
(4-5)
olur. Beklendik değer hesaplamasında ve integrasyondaki değişiklik bu
durum için genel ve müsade edilebilir bir uygulamayı göstermektedir.
Buna benzer değişikliklerin hangi durumlarda mümkün olacağı 7.
Bölümde daha ayrıntılı olarak işlenecektir.
4-5 eşitliğinden Xˆ ‘in kendine özgü bir beklendik değeri olduğu açıktır.
Zamana göre sürekli integrasyon durumu için Xˆ ’in değişintisinin
bulunması daha karmaşık olup incelenmeyecektir, mamafih ayrık zaman
durumu değerlendirilecektir. Değişintinin 1/T ile orantılı olarak
belireceğini belirtmek yararlı olabilir. Bu nedenle, beklendik değerin daha
iyi bir kestirimi, daha uzun bir zaman aralığı boyunca, örnek fonksiyonun
ortalaması alınmak sureti ile bulunur. T sonsuza yaklaştıkça değişinti
sıfıra yaklaşır ve kestirim gerçek beklendik değere eşit olur, (ergodik
işlemleme için gerektiği gibi) .
Pratik açıdan 4-4 eşitliği ile istenen integrasyon analitik olarak nadiren
çözümlenebilir. Çünkü X(t) açık biçimde bir matematik ifadeyle
tanımlanmamış olabilir. Bunun çözümlenmesinde bir başka seçenek
gözlemlenen X(t)’nin eş zaman aralıklı örneklerine bağlı kalınmak
suretiyle sayısal integrasyon yapmaktır.
134
Bu şekilde, eğer X 1 = X (∆t ), X 2 = X (2∆t ),...., X N = X ( N∆t ),
ise X ‘in kestirimi
1
Xˆ =
N
N
∑X
(4-6)
i
i =1
olarak tanımlanabilir. Bu 4-4 eşitliğinin ayrık zaman karşılığıdır.
Xˆ kestirimi gene bir raslantı değişkenidir ve bir beklendik değeri vardır.
Bu değer,
[]
1 N
 1
E Xˆ = E  ∑ X i  =
 N i =1  N
1 N
= ∑X = X
N i =1
N
∑ E [X ]
i
i =1
(4-7)
olmaktadır. Bu nedenle kestirim hala kendine özgü bir beklendik değere
sahiptir.
Xˆ ‘in değişintisini bulmak üzere, gözlemlenen örneklerin zaman olarak
yeterli aralıklarda olduğu ve böylece bunların istatistiksel bağımsızlığı
varsayılacaktır. Bu varsayım bu aşama için uygunluk sağlar. Daha genel
bağıntılar bir sonraki bölümün paragraflarının ışığı altında
değerlendirilecektir, Xˆ ’in karesel beklendik değeri 4-8 eşitliği ile
tanımlanabilir.
()
 1
 2
E  Xˆ  = E  2


N

1
XiX j  = 2
∑∑
i =1 j =1
 N
N
N
N
N
∑∑ E[X
i
Xj
]
(4-8)
i =1 j =1
Burada çift toplam iki ayrı toplamın çarpımından kaynaklanmaktadır.
Örnek değerlerin istatistik bağımsız varsayılmasının sonucu,
[
]
E XiX j = X 2
i= j
= (X )
2
yazılabilir. Böylece,
i≠ j
135
()
[
1
2
 2
E  Xˆ  = 2 N X 2 + N 2 − N ( X )

 N
(
)
]
(4-9)
elde edilir. 4-8 eşitliğindeki çift toplamdan elde edilen bu sonuçta toplam
N2 terim vardır, i = j koşulu sadece N terim için sözkonusudur.
4-9 eşitliği
()
1 2

 2 1
E  Xˆ  = X 2 + 1 − (X )

 N
 N
1
2
= σ X 2 + (X )
N
(4-10)
biçiminde yazılabilir. Şimdi X ‘in değişintisi aşağıdaki şekilde yazılabilir.
( ) ( ) { [ ]} = N1 σ
 2
Var Xˆ = E  Xˆ  − E Xˆ


1
= σ X2
N
2
+ (X ) − ( X )
2
X2
2
(4-11)
Bu sonuç beklendik değerin kestiriminin değişintisinin, yalnızca ana
işlemenin değişintisinin 1/N katı olduğunu göstermektedir. Bu nedenle
daha çok sayıda örneğin ortalamasının alınması, kestirimin niteliğini iyi
yönde etkileyecektir.
Yukarıdaki sonucu göstermek üzere, karesel (kare alan) bir düzenden
geçen sıfır beklendik değerli bir Gauss rasgele işlemesinin değişintisinin
kestiriminin ve çıkışın beklendik değerinin kestiriminin hesapIanmasının
istendiği düşünülsün. Aynı zamanda çıkışın beklendik değerinin
kestiriminin standard sapmasının gerçek beklendik değerden % 10’dan
az olmasının sağlanması için ortalamaya katılacak örnek sayısının ne
olması gerektiği de sorulmaktadır. Beklendik değeri sıfır olan Gauss
işlemesinin gözlemlenen örnek fonksiyonu Y(t) ve buna ait değişinti de
σ Y 2 olsun. Bu örnek fonksiyonun karesi alınıp bunu X(t) ile gösterirsek,
X(t) = Y2(t)
yazılabilir.
136
[ ]
= E [Y ] = 3σ
X = E Y 2 = σY2
X2
4
Y4
olduğu bilinmektedir. O halde,
σ X = X 2 − ( X ) = 3σ Y − σ Y = 2σ Y
2
2
4
4
4
bulunur. Buradan, X’in kestiriminin aynı zamanda σ Y 2 ’nin kestirimi olduğu
açıkça görülmektedir. Bir adım daha ileri giderek X ’in kestiriminin
değişintisinin % 10’dan daha küçük hata istemini karşılaması açısından,
0.01( X ) = 0.01σ Y 4
2
olması gerektiği söylenebilir. (4-11) eşitliğinden,
()
1
1
Var Xˆ = σ X 2 = (2σ Y 4 ) = 0.01σ Y 4
N
N
yazılmak suretiyle, istenilen duyarlığın sağlanabilmesi için gereken
istatistik bağımsız örnek sayısının N = 200 olduğu görülecektir.
Yukarıda ele alınan konular, yalnızca bir rasgele işlemenin beklendik
değerinin kestirimi sorununa yanıt bulmakla kalmaz, aynı zamanda
beklendik değeri sıfır olan bir işlemenin değişintisinin nasıl kestirildiğini
de ortaya koyar. Aynı genel yol beklendik değeri sıfırdan farklı bir rasgele
işlemenin değişintisinin kestirilmesi için geliştirilebilir. Bu, aşağıdaki
alıştırmada ete alınmıştır.
ALIŞTIRMA 4-6
Ergodik bir rasgele işlemenin örnek fonksiyonu X(t) olsun. Bu örnek
fonksiyonun beklendik değeri X ve degişintisi σ X2 varsayılsın.
σ X2 ‘nin kestiriminin,
σˆ X =
2
()
1 N
N ˆ
X i2 −
X
∑
N − 1 i =1
N −1
2
137
()
ile hesaplanabileceğini gösteriniz. Burada Xˆ 4-6 eşitliği ile verilen X ‘in
kestirimini ifade eder ve bu kestirimin
[ ]
E σˆ X 2 = σ X 2
özelliğine sahip olduğu bilinmektedir. Ayrıca ortalama faktörünün 1/N
yerine 1/(N-1) olmasının nedenini açıklayınız.
138
PROBLEMLER
4-1 İlk şekilde görülen sistemde anahtar başlangıçta 1 konumundadır.
t=0’da bir para atılmakta ve eğer tura gelmişse anahtar 2 konumuna
getirilmektedir. Yazı gelmesi durumunda anahtarın konumu
değiştirilmemektedir. t=1’de yeniden para atılmakta ve anahtar birinci
atıştaki kurallara göre hareket ettirilmektedir. İşlem t=2’de
tekrarlanmaktadır. t=3’de anahtar 1 konumuna getirilmekte ve orada
tutulmaktadır. Bir örnek olarak üç atış sonucu TTY ise ilişkin
fonksiyon ikinci şekilde görüldüğü gibi olacaktır.
a-Yukarıda açıklanan rasgele işlemeye ait tüm olası örnek
fonksiyonları çiziniz.
b-Belli bir örnek fonksiyonun olma olasılığı nedir?
c-Bir X raslantı değişkeni v(0,5) olarak tanımlansın. Bu raslantı
değişkeninin alabileceği tüm olası değerler nelerdir? Bu bir sürekli
raslantı değişkeni midir?
4-2 Paragraf 4-1’de sıralanan dört tanımlayıcı çifte göre aşağıdaki
rasgele işaretleri sınıflandırınız. Sınıflandırmanın temeli,
tamamiyle doğru olup olmadığı değil, işlemeye uygun yaklaşıklıkla
bir olasılık modeli sağlayıp sağlamadığı olmalıdır.
a-10 yıl yarı ömürlü bir radyoaktif kaynaktan bir saatlik peryod
boyunca gözlenen alfa partiküllerinin yayılma oranı (saniyede
parçacık olarak). Gözlem süresi 10 yılık peryoddur,
b-Herhangi bir anda, 10 dakikalık peryod boyunca, 24 saatlik bir
peryod boyunca ve 360 günlük bir peryod boyunca gözlenen bir
telefon santralından yapılan telefon konuşmalarının sayısı olarak
tanımlanan bir raslantı değişkeni ile gösterilen bir işleme.
c- a bir sabit ve Y bir raslantı değişkeni olmak üzere
X(t) = at + Y
139
biçiminde örnek fonksiyonlara sahip bir işleme.
d- Y bir raslantı değişkeni ve ω 0 bir sabit olmak üzere,
X (t ) = Y cos ω 0 t
şeklinde örnek fonksiyonlara sahip bir işleme,
e- Y bir raslantı değişkeni olmak üzere, X(t) =Y biçiminde
örnek fonksiyonlara sahip bir işleme.
4-3 t0, 0 ile T arasında düzgün dağılımlı bir raslantı değişkeni olmak
üzere, şekilde görülen peryodik örnek fonksiyonlara sahip bir
rasgele işleme ele alınıyor. Burada A ve T sabitlerdir.
a-P(x) olasılık dağılım fonksiyonunu belirleyerek çiziniz.
b-p(x) olasılık yoğunluk fonksiyonunu belirleyerek çiziniz,
c- X , X 2 ve σ 2 büyüklüklerini bulunuz,
d- <•> zaman ortalamasını göstermek üzere <x> ve <x2>
büyüklüklerini bulunuz,
e- İşleme durağan mıdır? Ergodik midir?
4-4 t0, 0 ile T arasında uniform dağılımlı bir raslantı değişkeni ve Y,
t0’dan istatistik bağımsız, ±1 değerlerini eş olasılıkla alan bir
raslantı değişkeni olmak üzere şekilde görülen peryodik örnek
fonksiyona sahip bir rasgele işleme ele alınıyor. T peryodu bir
sabittir.
a-Bu işlemeyi dört tanımlayıcı çifte göre sınıflayınız.
b-Bu işleme için p(x) olasılık yoğunluk fonksiyonunu bularak
değişimini çiziniz.
c- X ve X 2 büyüklüklerini hesaplayınız.
d-< x > ve <x2> büyüklüklerini hesaplayınız,
e- İşleme durağan mıdır? Ergodik midir?
140
4-5 Beklendik değeri 200 ve değişintisi 49 olan bir Gauss rasgele
işlemesinden alınan on gerilim ölçümü aşağıda verilmiştir.
207
202
184
204
206
198
197
213
191
201
a-Rasgele işlemenin beklendik değerinin kestirimini hesaplayınız.
b-Beklendik değerin kestiriminin beklendik değeri nedir?
c-Beklendik değerin kestiriminin değişintisi nedir?
d-Rasgele işlemenin değişintisinin kestirimini hesaplayınız.
e-Rasgele işlemenin beklendik değer ve değişintisinin
kestirimleri neden gerçek beklendik değer ve değişintiye eşit
değildir.
4-6 Merkezi Limit Teoreminden çok genel koşullar altında, çok
sayıda istatistik bağımsız raslantı değişkenlerinin ortalamasının
bir
Gauss
dağılımına
yaklaştırılabileceği
bilinmektedir. Problem 4-5’ deki ölçümlerde önyargı
olmaksızın ortalamanın olasılık yoğunluk fonksiyonu
yaklaşıklıkla,
 n
p ˆ xˆ = 
X
 2πσ
()
 −n (xˆ − X )2 / 2σ 2
e


biçimindedir. X ölçümlerin gerçek beklendik değeri ve σ 2 de
gerçek değişintisidir .Bu ifadeyi ve problem 4-5’te elde edilen
σ 2 ’yi kullanarak, X ’in, yüzde 99 kesin olarak içinde kalacağı
sınırları belirleyiniz.
KAYNAKLAR
Bölüm 1’ deki kaynaklara bakınız,
özellikle Beckmann,
Davenport, ve Root, Lanning ve Battin ve Papoulis.
141
BÖLÜM 5
İLİŞKİ FONKSİYONLARI
5-1 GİRİŞ
İki raslantı değişkeni arasındaki ilişki konusuna 3-4 paragrafında
değinilmişti. Şimdi, rasgele işleme kavramlarına kısa bir giriş yapıldığı
da dikkate alınarak, bu iki konu ile bağlantılı olarak rasgele işlemelerin
(olasılıktan çok) istatistik tanımlarını yapmak mümkündür. Rasgele
işlemeye ait bütün bilgileri uygunlukla birleştirmesi nedeni ile olasılık
tanımlarının en ideal olanı olmasına karşı, pek çok mühendislik sorunu
için bu mükemmelliğe ne gerek vardır ve ne de mümkündür. Eğer temel
amaç rasgele büyüklükler üzerine odaklanmışsa, olasılık modelinin
tamamı gerekli değildir, ortalama güç ya da frekansa göre güç dağılımı
yeterli olacaktır. Eğer rasgele büyüklüklerin olasılık dağılım fonksiyonları
bilinmiyorsa, olasılık modelinin kullanılması mümkün olmaz. Her iki
durum için de belirli ortalama değerler cinsinden ifade edilebilen
istatistik tanımlar, olasılık açısından uygun bir yaklaşım sayılabilirler.
3-4 paragrafında iki raslantı değişkeni arasındaki ilişki’nin, bu
değişkenlerin çarpımının beklendik değeri olduğu belirtilmişti. Eğer bu
iki raslantı değişkeni iki farklı zaman için aynı bir rasgele işlemenin
örnekleri olarak tanımlanmışlarsa, bu beklendik değer, zaman
fonksiyonlarının ne kadar çabuk değişebildiklerini gösteren bir özellik
gösterir. Seçilen bu iki zamanın birbirine çok yakın olması halinde
raslantı değişkenlerinin oldukça yüksek ilişkili olduğu söylenebilir, çünkü
zaman fonksiyonları büyük farklılıklar doğuracak biçimde yeterince hızlı
değişim göstermezler. Diğer yandan seçilecek iki zamanın birbirinden
oldukça uzak olması durumunda raslantı değişkenlerinin değerleri
arasında oldukça az ilişki olduğu kabul edilecektir, çünkü herhangi bir
belirgin değişim söz konusu olabilir.
Daha önce tanımlanan ilişki, raslantı değişkenlerinin zaman
fonksiyonları ile bütünleşmiş olmasının gerekli olmadığı durumlar için,
yalnızca tek bir sayıdan oluşmuştu. Ancak şimdi incelenecek durumda
her bir raslantı değişkeni çifti, aralarındaki zaman farklılığına bağlı
olabilir. Bu nedenle iki raslantı değişkeni arasındaki zaman farklılığı ile
yaklaşık bir ilişki
142
fonksiyonu tanımlanır. Eğer iki raslantı değişkeni aynı bir rasgele
işlemeden kaynaklanıyorsa bu fonksiyon ÖZİLİŞKİ fonksiyonu, farklı
rasgele işlemelerden kaynaklanıyorsa ÇAPRAZ İLİŞKİ fonksiyonu
olarak adlandırılır.
Eğer X(t) bir rasgele işlemeye ait bir örnek fonksiyon ise ve raslantı
değişkenleri,
X1=X(t1)
ve
X2=X(t2)
olarak tanımlanmışlarsa özilişki fonksiyonu,
R X (t1 , t 2 ) = E [X 1 X 2 ] =
∞
∞
∫ dx ∫ x x p(x , x )dx
1
−∞
1 2
1
2
2
−∞
olarak tanımlanır. Bu tanım hem durağan olan ve hem de durağan
olmayan rasgele işlemeler için geçerlidir. Ancak, öncelikle ilgilenilecek
durağan işleme için 5-1 eşitliğinin sadeleştirilmesi mümkündür. Bir
önceki bölümden anımsanacağı gibi geniş anlamda durağan bir işleme
için benzer bütün ensemble ortalamaları zaman başlangıcından
bağımsızdır. Geniş anlamda durağan işlemeye uygun olarak,
R X (t1 , t 2 ) = R X (t1 + T , t 2 + T )
= E [ X (t1 + T ) X (t 2 + T )]
yazılabilir. Görüldüğü gibi eşitlik yalnızca t2-t1 zaman farkına bağlıdır. t2t1 zaman farkı τ ile gösterilmek ve RX(0, t2-t1) ifadesinde sıfır
kaldırılmak suretiyle 5-1 eşitliği yeniden
R X (t1 , t 2 ) = R X (0, t 2 − t1 ) = E[ X (0)X (t 2 − t1 )]
şeklinde yazılabilir. Bu durağan bir işlemeye ait özilişki fonksiyonun
tanımıdır, ve yalnızca τ ’ya bağlı olup t1 değerinden bağımsızdır.
Zaman başlangıcına bağlı olmama söz konusu olduğundan ensemble
ortalamaları alınır ve 5-2 eşitliği uygulamada aşağıdaki genel şekli ile
kullanılır.
R X (τ ) = E [X (t1 ) X (t1 + τ )]
Durağan olmayan işlemelerle ilgili ilişki fonksiyonları, örnekler arası
zaman farkının yanı sıra, ensemble ortalamasının alındığı, belirli bir
zamana bağlıdır ve Rx(t1,t2) ya da RX(t1, τ )
R X (τ ) = E [X (t )X (t + τ )]
143
şeklinde yazılmak zorundadır. Burada ve incelenecek bölümlerde
aksi söylenmedikçe bütün durumlardaki ilişki fonksiyonlarının
geniş anlamda durağan rasgele işlemeye ait olduğu varsayılacaktır.
Belirli bir örnek fonksiyon için zaman cinsinden özilişki fonksiyonu
aşağıdaki biçimde tanımlamak mümkündür.
T
1
ℜ X (τ ) = lim
T →∞ 2T
∫ x(t )x(t + τ )dt = x(t )x(t + τ )
(5-3)
−T
Burada <.> sembolü zaman ortalamasını belirtmektedir. Ergodik işleme
özel hali için x(t )x(t + τ ) , her x(t) için aynıdır ve ℜ X (τ ) ‘ye eşittir.
Matematik olarak, ergodik işleme ℜ x (τ ) = R X (τ ) olarak ifade edilebilir.
Ergodik varsayımı çoğu kez ilişki fonksiyonlarının hesaplanmasında
sadelik sağlar ve yalnızca bu özel durum için geçerlidir.
5-2 eşitliğinden, τ = 0 için Rx(0)=E[X(t1).X(t2)] yazılabileceğinden,
özilişki fonksiyonu τ = 0 için işlemenin karesel beklendik değerine
eşittir. τ ‘nun sıfırdan farklı değerleri için R X (τ ) özilişki fonksiyonu X(t)
ve X(t+ τ ) dalga şekillerinin benzerliğinin bir ölçüsü olarak düşünülebilir.
Bu noktayı açıklığa kavuşturmak üzere, X(t)’nin sıfır beklendik değerli,
durağan bir işleme olduğu ve tanımlanan fonksiyonun,
Y(t)= X(t) - ρ . X (t + τ )
şeklinde verildiği varsayılsın. Y(t)’nin karesel beklendik değerini
minimum yapacak değerinin hesaplanması ile X(t+ τ ) dalga şeklinin X(t)
dalga şekli içinde ne miktarının bulduğu ölçülebilecektir. ρ ’nun
hesaplaması, ve bulunan ifadenin ρ ‘ya göre türevinin sıfıra
eşitlenmesi ile mümkün olur. Bu yol aşağıda verilmiştir.
{
} {
E [Y (t )] = E [ X (t ) − ρ . X (t + τ )]
2
2
{
}
}
= E X 2 (t ) − 2 ρ . X (t ) X (t + τ ) + ρ 2 X 2 (t + τ )
σ Y = σ X − 2 ρ .R X (τ ) + ρ σ X
dσ Y
= −2 R X (τ ) + 2 ρ .σ X = 0
dρ
R (τ )
ρ= X
σX
2
2
2
2
2
2
2
144
5-5 eşitliğinden, ρ ‘nun RX( τ ) ile doğrudan bağlantılı olduğu ve ilişki
katsayısı olarak daha önce görüldüğü hatırlanacaktır. ρ katsayısı X(t)
dalga şeklinin τ saniye geçildikten sonra kalan kısmının bir parçası gibi
düşünülebilir. ρ ‘nun istatistik bazdan hesaplanabileceği, ensemble
boyunca örnek fonksiyonun sınırlandırılmış ortalaması olduğu ve bu
özelliğin genel olduğu önemlidir ve hatırda tutulmalıdır.
Daha önce değinildiği gibi ilişki katsayısı, ρ , -1 ile 1 arasında
değişmektedir. ρ = 1 için dalga şekillerinin eş olduğu anlaşılır ve iki
dalga şekli için tam ilişkilidir denir. ρ = 0 için dalga şekillerinin tamamen
ilişkisiz olduğu ve X(t+ τ ) dalga şeklinin X(t) dalga şekli içinde hiç
bulunmadığı anlaşılmalıdır. ρ = −1 için ise dalga şekillerinin eş olduğu
ancak işaretlerinin zıt olduğu bilinmektedir, yani X(t+ τ ), X(t)’nin ters
işaretlisidir.
Ergodik bir işleme ya da rasgele olmayan bir işaret için değişinti yerine
ortalama güç ve ensemble ilişki fonksiyonu yerine zaman ilişki
fonksiyonu alınabilir.
RX( τ ) hem ilişki katsayısı ρ ‘ya ve hem de işlemenin değişintisi σ X2 ‘ye
bağlı olduğundan, RX( τ )’nun herhangi belirli bir değerinin önemini
tahmin etmek, bunlardan birinin bilinmemesi durumunda olanaksızdır.
Örneğin eğer bir rasgele işleme sıfır beklendik değerli ve özilişki
fonksiyonu pozitif değerli ise, çoğu X(t1) ve X(t1+ τ ) raslantı
değişkenlerinin büyük olasılıkla aynı işaretli oldukları söylenebilir.*
Eğer özilişki fonksiyonu negatif değere sahipse raslantı değişkenlerinin
işaretlerinin zıt olduğu söylenir. Eğer sıfıra çok yakınsa zıt işaretli de,
aynı işaretli de olabilecekleri düşünülebilir.
* Bu eğer p(x), x1=0 eksenine göre simetrik ise kesinlikle doğrudur.
145
5-2 ÖRNEK: BINARY İŞLEMENİN ÖZİLİŞKİ FONKSİYONU
Yukarıda ele alınan kavramlar, çok basit bir özilişki fonksiyonuna sahip
bir rasgele işlemeyi örnek alarak değerlendirmeyle daha açıkça
görülebilir. Şekil 5-1 sıfır beklendik değerli, durağan, ayrık tipik bir
fonksiyonu göstermektedir. Bu işlemede yanlızca m A olası iki değer
sözkonusudur. Örnek fonksiyon bu değerlerden birinden diğerine eş
olasılıkla her "ta" saniyede değişebilir ya da aynı kalır. " t0 " zamanı "ta"
uzunluğu boyunca uniform dağılımlı ve ensemblenin olası zaman
fonksiyonlarına bağlı bir raslantı değişkenidir. Bunun anlamı, ensemble
düşünüldüğü sürece eş olasılıkla herhangi bir zamanda değerce
değişebileceğidir.
Aynı zamanda herhangi bir aralıkta X(t)’nin değerinin, herhangi başka
bir aralıktaki değerinden istatistik olarak bağımsız olduğunu varsayalım.
Şekil 5-1: Ayrık ve Durağan bir Örnek Fonksiyon
146
Bu işlemenin özilişki fonksiyonu kesin biçimde türetmeden çok yaklaşım
yolu izlenerek hesaplanacaktır. İlk olarak | τ |, ta’dan büyükse; t1 ve t1+ τ
=t2 aynı aralıkta olamaz, X1 ve X2 istatistik bağımsızdır. X1 ve X2 sıfır
beklendik değerli olduğundan, çarpımlarının beklendik değeri (3.22)’de
gösterildiği gibi sıfırdır.
R X (τ ) = E [X 1 X 2 ] = X 1 X 2 = 0
≥ 0
| τ |, ta’dan daha küçükse t1 ve t1+ τ aynı aralıkta olabilir veya
olmayabilir. Bu tamamen to‘ın değerine bağlıdır. Madem ki to herhangi
bir yerde olabilir o halde, eş olasılıkla, aynı aralıkta olma olasılığı ta ile
τ arasındaki fark ile orantılıdır. Özel olarak τ ≥ 0 için
t 0 ≤ t1 ≤ t1 + τ < t 0 + t a
t1 + τ − t a < t 0 ≤ t1
O halde
olduğu ve buradan
olacağı görülür.
Pr (t1 ve t1+ τ ’nun aynı aralıkta olması)
= Pr [(t1 + τ − t a < t 0 ≤ t1 )]
= (1 / t a )[t1 − (t1 + τ − t a )] = (t a − τ ) / t a
t0 için olasılık yoğunluk fonksiyonunun sadece 1/ta olduğu bilindiğine
göre yukarıdaki ifade yazılabilir.
τ < 0 için ise t 0 ≤ t1 + τ ≤ t1 < t 0 + t a ve buradan
t1 − t a < t 0 ≤ t1 + τ olacağı görülür.
Böylece
Pr ( t1 ve t1+ τ aynı aralıkta) = Pr[(t1 − t a ) < t 0 ≤ (t1 + τ )]
= (1 / t a )[t1 + τ − (t1 − t a )] = (t a + τ ) / t a
Sonuç olarak genelde,
147
Pr (t1 ve t1+ τ aynı aralıkta) = (ta - | τ | ) /ta
olacaktır. Her ikisinin aynı aralıkta alınması halinde X1 ve X2 çarpımı
daima A olur, aynı aralıkta alınmamaları halinde ise çarpım sıfırdır. O
halde,
t − | τ |
| τ |
2
R X (τ ) = A 2  a
 = A 1 −

ta 
 ta 

=0
0 ≤ τ ≤ ta
τ ≥ ta
(5-6)
Bu fonksiyon şekil 5-2’de gösterilmiştir,
ŞEKiL 5-2
Önceki çalışmaların ışığı altında bu özilişki fonksiyonunun fiziksel
anlamını incelemek ilginçtir,
| τ |’nun küçük olması halinde (t0’dan küçük) artan bir olasılık
sözkonusudur, X(t1) ve X(tl+ τ ) aynı değere sahip olacak ve özilişki
fonksiyonu pozitif olma özelliği gösterecektir. | τ |’nun to’dan büyük olması
halinde eş olasılıkla X(t1) ve X(t1+ τ ) aynı değerlerde olduğu kadar zıt
değerlerde olacak ve özilişki fonksiyonu sıfıra eşit olacaktır.
τ =0 için özilişki fonksiyonu A2
olacaktır.
karesel ortalama değere eşit
148
5-3 ÖZİLİŞKİ FONKSİYONLARININ ÖZELLİKLERİ
Durağan rasgele işlemelerin bütün özilişki fonksiyonlarının sahip olduğu
birkaç önemli genel özellik aşağıda özetlenmiştir.
1- Rx(0) = X 2 ’dir. O halde bir rasgele işlemenin karesel beklendik değeri
yanlızca özilişki fonksiyonunda τ yerine sıfır yazılmak suretiyle daima
elde edilebilir.
2- Rx( τ ) = Rx(- τ ) olup, özilişki fonksiyonu τ ’ya göre çift bir fonksiyondur,
çünkü geçiş yönü dikkate alınmaksızın aynı çarpım değerleri setinin
ortalaması alınarak bulunmuştur.
3- R X (τ ) ≤ R X (0) özilişki fonksiyonunun en büyük değeri daima τ =0’da
meydana gelir. τ ‘nun diğer değerleri için büyük olabilir ancak en büyük
değer değildir. Bu durum aşağıdaki şekilde kolayca gösterilebilir.
[
] [
]
E ( X 1 ± X 2 ) = E X 12 + X 22 ± 2 X 1 X 2 ≥ 0
2
[
]
E X 12 + X 22 = 2 R X (0) ≥ E (2 X 1 X 2 ) = 2 R X (τ )
ve buradan
R X (0) ≥ R X (τ )
(5-7)
4- Eğer X(t) bir dc bileşene sahipse ya da bir beklendik değeri sözkonusu
ise Rx( τ ) sabit bir bileşene sahip olacaktır. Örneğin, X(t)=A ise
R X (τ ) = E [X (t1 ) X (t1 + τ )] = E [AA] = A 2
(5-8)
Daha genel olarak eğer X(t) bir beklendik değere sahip (sıfırdan farklı) ve
sıfır beklendik değerli bir N(t) bileşeni de varsa,
X(t) = X + N(t) olur ve buradan
R X (τ ) = E {[X + N (t1 )][X + N (t1 + τ )]}
[
]
= E (X ) + XN (t1 ) + XN (t1 + τ ) + N (t1 )N (t1 + τ )
2
= ( X ) + R N (τ )
2
E [N (t1 )] = E [N (t1 + τ )] = 0
(5-9)
149
Bu durum için bile RX( τ ) sabit bir bileşene sahiptir.
5- Eğer X(t) peryodik bir bileşen içeriyorsa, R X (τ ) da aynı peryotlu
peryodik bir bileşene sahip olacaktır.
X (t ) = A. cos(ω .t + θ )
şeklinde ise, burada A ve ω sabitleri, θ da 0 ile 2π aralığında uniform
dağılımlı raslantı değişkenini belirtmektedir.
1
2π
=0
p(θ ) =
0 ≤ θ ≤ 2π
sınırlar dışında
O halde,
R X (τ ) = E [A. cos(ω .t1 + θ )A. cos(ω .t1 + ωτ + θ )]
 A2

A2
= E  cos(2ω .t1 + ωτ + 2θ ) +
cos ωτ 
2
 2

2 2π
A
1
[cos(2ω .t1 + ωτ + 2θ ) + cos ωτ ]dθ
=
∫
2 0 2π
=
A2
cos ωτ
2
(5-10)
ve en genel durum için
X (t ) = A. cos(ω .t + θ ) + N (t )
burada θ ve N(t1) bütün t1 değerleri için istatistiksel bağımsızdır. 5-9’daki
yöntem uygulanarak,
R X (τ ) =
A2
cos ωτ + R N (τ )
2
(5-11)
kolayca elde edilebilir.
Sonuç olarak özilişki fonksiyonunda peryodik bir bileşene sahip olduğu
görülecektir.
6- Eğer {X(t)} sıfır beklendik değerli bir ergodik işleme ise ve peryodik
bileşene sahip değilse,
lim R X (τ ) = 0
τ →∞
(5-12)
150
olur. τ ‘nun büyük değerleri için zamanın ilerlemesi ile geçmiş değerlerin
etkisi dışında kalması sağlanmaktadır, o halde raslantı değişkeni istatistik
bağımsızlık özelliği gösterirler.
7- Özilişki fonksiyonları keyfi herhangi bir şekle sahip olamazlar. Şekli
açıklamada bir yol, özilişki fonksiyonunun Fourier dönüşümü cinsinden
ifade edilmesine izin verilmesidir.
Eğer
ℑ[R X (τ )] =
∞
∫ R (τ )e
− jωτ
X
dτ
−∞
ise sınırlama
ℑ[R X (τ )] ≥ 0
(5-13)
(bütün τ ‘lar içindir.)
Bu sınırlamanın nedeni bir sonraki bölümde spektral yoğunluğun
incelenmesinden sonra açıklığa kavuşacaktır.
Bu sınırlamanın dışında özilişki fonksiyonunun varlığı engelleyen diğer
şeyler arasında fonksiyonun üstünün düz olması, düşey kenarları olması,
ve genellikle süreksizliklerin olması sayılabilir.
Özilişki fonksiyonu ile ilgili bir noktanın da ortaya konması gerekir. Bir
rasgele işlemenin bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonuna ait bilgilerden tek
bir özilişki fonksiyonu elde etmek uygun olmasına karşın aksi doğru
değildir. Pek çok farklı rastgele işleme, bizi aynı özilişki fonksiyonuna
götürebilir. Daha ileri gidilerek, daha sonra görüleceği gibi bir lineer
sistemin giriş işaretinin özilişki fonksiyonuna etkisi olasılık yoğunluk
fonksiyonları hakkında herhangi bir şey bilinmesine gerek olmaksızın
hesaplanabilir.
Bu nedenle, bir rasgele işlemenin ilişki fonksiyonuna ait özellikleri, olasılık
yoğunluk fonksiyonuna ait özelliklerle eş değildir, ve gerçekte daha az bilgi
verirler.
Alıştırma 5-3
Bir özilişki fonksiyonu
R X (τ ) = 100ε
−10 τ
+ 100 cos 10τ + 100
151
şeklindedir, Bu işlemenin beklendik değerini, karesel beklendik değerini ve
değişintisini bulunuz.
5-4 ÖZİLİŞKİ FONKSİYONLARININ ÖLÇÜMÜ
Lineer Sistem analizinde rasgele girişler için özilişki fonksiyonu önemli bir
rol oynadığından, önemli bir uygulama sorunu, deneysel olarak
gözlemlenen rasgele işlemler için bu fonksiyonların hesaplanmasıdır.
Genelde bileşik yoğunluk fonksiyonları nadiren bilindiğinden bu yoğunluk
fonksiyonları yardımı ile hesaplanmayabilir. Ensemblenin tek bir örnek
fonksiyonu gözlenebileceğinden bir ensemble ortalamasının bulunmasıda
söz konusu olamaz. Bu koşullar altında tek seçenek işlemlemenin ergodik
varsayılması halinde sonlu zaman aralığından zaman özilişki
fonksiyonunun hesaplanmasıdır.
Bunu gösterebilmek üzere, 0-T aralığında gözlenen özel x(t) gerilim veya
akım fonksiyonu ele alınsın. Bu durumda bu dalga şekli için bir ilişki
kestirimi tanımlamak olasıdır.
Rˆ X (τ ) =
1
T −τ
T −τ
∫ x(t )x(t + τ )dt
0 ≤ τ << T
(5-14)
0
Bu kestirim bir raslantı değişkenidir ve R̂ X (τ ) ile gösterilmiştir. Ortalama
zamanı T olmayıp T- τ alınmıştır, çünkü bu kısım x(t) ve x(t+ τ )’nun içinde
olabileceği tek olası aralıktır. Pratik uygulamaların pek çoğunda x(t)’nin
matematik ifadesinin nedeni ile 5-14’te verilen integrasyonun çözümü
olanaksızdır. Diğer bir yöntem sürekli dalga şeklinin örneklenmesi sureti ile
ayrık duruma geçilip 5-14 eşitliğidir ayrık halde yaklaşık ifadesini
yazmaktır. Bu şekilde eğer örnek fonksiyonun 0, ∆t ,2∆t ,...., N∆t
zamanlarına karşı gelen x(t) değerleri xo,x1,x2,....,xN olarak ifade edilirse
5-14 eşitliğinin ayrık eşdeğeri
Rˆ X (n∆t ) =
N −n
1
∑ xk xk +n
N − n + 1 k =0
n=0,1,2,...,M
(5-15)
M<<N
olur. Bu kestirimde ensemble boyunca raslantı değişkenidir ve Rˆ X (n∆t ) ile
gösterilir. N oldukça büyük (birkaç bin mertebesinde) olduğundan bu işlem
en iyi bir şekilde, sayısal bir bilgisayarla çözümlenir. Bu amaçla
hazırlanmış standart programlar vardır. Bu kestirimin kalitesini saptamak
üzere, Rˆ X (n∆t ) ‘nin bir raslantı
152
değişkeni olması, alınan değerlerin anlamlı olması kullanılan örnek
fonksiyona ve alınan örnekler setine bağlı olması nedeneyle, beklendik
değer ve değişintisinin hesaplanması gereklidir. Beklendik değer
N −n
1


E Rˆ X (n∆t ) = E 
X k X k +n 
∑
 N − n + 1 k =0

N −n
N −n
1
1
[
]
=
E
X
X
=
R X (n∆t )
∑ k k +n N − n + 1 ∑
N − n + 1 k =0
k =0
= R X (n∆t )
[
]
olduğundan kolayca elde edilir. Böylece kestirimin beklendik değeri,
özilişki fonksiyonunun gerçek değerine eşit olur. Bu tip bir kestirim
kutupsuz (Unbiased) olarak adlandırılır. Kestirimin değişintisinin
bulunması oldukça güçtür ve ayrıntıları konumuzun dışında kalmaktadır,
bununla beraber kestirimin değişintisinin
[
M
]
Var Rˆ X (n∆t ) ≤ (2 / N ) ∑ R X 2 (k∆t )
(5-16)
k =− M
olduğunu söyleyebiliriz.
Verilen bir duyarlık derecesi
anlama geldiğini açıklamak
fonksiyonunun her iki yanda
istensin. Eğer efektif hatanın
16 eşitliği (t = 4 ∆ t) için
4
için örnek sayısı cinsinden bu sonucun ne
açısından şekil 5-2 de gösterilen özilişki
4 nokta ile (M = 4) kestiriminin bulunması
% 5 veya daha küçük olması isteniyorsa 5-
(.05 A ) ≥ (2 / N ) ∑ A [1 + ( k ∆t / 4∆t )]
2 2
4
2
k = −4
ve bu çözümlendiği takdirde N için
N ≥ 2200 elde edilir.
Eğer ilişki fonksiyonun daha duyarlı bir kestirimi gerekli ise daha sık örnek
alınması ve daha çok hesaplama yapılması gerektiği açıktır.
153
ALIŞTIRMA 5-4
Şekil 5-2’de gösterildiği biçimde üçgen bir özilişki fonksiyonu için, efektif
hatanın %1’e eşit ya da daha küçük olması halinde N değerinin ne olması
gerekeceğini her iki yanda 5 nokta ile (M=5) hesaplayınız.
5-5 ÖZİLİŞKİ FONKSİYONUNA AİT ÖRNEKLER
Çapraz ilişki fonksiyonlarını incelemeye başlamadan önce, karşımıza
çıkabilecek bazı durumları değerlendirmek ve olası uygulamalarına ait
fikir vermek üzere bazı tipik özilişki fonksiyonlarını incelemek yararlı
olacaktır. Bu açıklamalar tüm ayrıntıları içermeyecek fakat bazı yeni
kavramlarla tanışmayı sağlayacaktır. Şekil 5-2’de görülen üçgen ilişki
fonksiyonu, üniform zaman aralıklarında değişim gösteren tipik rasgele
binary işaretlerine aittir. Bu tip bir işaret sürekli haberleşme ve kontrol
sistemlerinin pek çoğunda işaretlerinin peryodik örneklenmesi ve bunların
binary sayılara dönüştürülmesiyle karşımıza çıkar. Şekil 5-2’de gösterilen
ilişki fonksiyonu, beklendik değeri sıfır varsayılan rasgele işlemeye aittir,
fakat bu durumla her zaman karşılaşılmaz. Örneğin eğer rasgele işaret A
ve (-A yerine) sıfır değerlerini alıyorsa, bu halde işlemenin beklendik
değeri A/2 ve karesel beklendik değeri A2/2 olur. Sonuçta özilişki
fonksiyonu şekil 5-3’te görüldüğü gibi olur ve 5-9 eşitliğinin bir
uygulamasıdır.
ŞEKİL 5-3: Beklendik Değeri 0’dan Farklı Olan Binary İşlemenin Özilişki
Fonksiyonu
154
Bununla beraber bütün binary zaman fonksiyonlarının özilişki
fonksiyonlarının üçgen biçimde olacağı söylenemez. Örneğin diğer genel
bir tip binary işaret değişimleri tamamen rasgele zamanlarda olan bir
özellik gösterebilir. Eğer bütün zamanlarda eş olasılıklı ise, her bir aralığın
süresi ile bağlantılı olasılık yoğunluk fonksiyonu 2-7 paragrafında
değinildiği gibi üstel olmaktadır. Sonuçta elde edilecek özilişki fonksiyonu
da şekil 5-4’te görüldüğü gibi üstel olacaktır. Bu tip bir özilişki
fonksiyonunun bilinen matematiksel gösterilişi
R x (τ ) = A 2 ε
−α τ
(5-17)
şeklindedir. Burada α , saniyedeki aralık sayısının ortalamasıdır. Şekil
5-4’te görülen tipte binary işaretleri ve özilişki fonksiyonları karşımıza
radyoaktif monitoring düzenlerle bağlantılı olarak oldukça sık çıkmaktadır.
Bir partikül dedektörünün çıkışında rasgele oluşan pulslar bir flip-flop
devresini tetiklemede kullanılmak suretiyle binary işaret üretilir. Bu tip bir
işaret hem partiküller arasındaki zaman ortalamasını hem de oluşan
ortalama hızı ölçmede uygunluk sağlar.
ŞEKİL 5-4: (a) Rasgele Zaman Aralıklarında Tetiklenen Binary İşaret
(b) Karşı Düşen Özilişki Fonksiyonu
155
Binary olmayan bir işaretin özilişki fonksiyonu da üstel olabilir. Örneğin
oldukça geniş bantlı bir gürültü (herhangi bir olasılık yoğunluk
fonksiyonuna sahip) bir alçak geçiren RC filtresinden geçtiğinde filtre
çıkışında görülen işaretin özilişki fonksiyonu hemen hemen üstel bir
yapıda olacaktır. Bu sonuç bölüm 7’de ayrıntılı olarak ele alınacaktır.
Şimdiye kadar tartışılan bütün özilişki fonksiyonları nın bütün değerleri
için pozitif olarak ele alınmıştır. Gerekli olmamalarına karşın iki genel tip
özilişki fonksiyonu negatif bölgede değerlere sahiptir. Bunlar
R x (τ ) = A 2 ε
−α τ
cos βτ
(5-18)
R x (τ ) = A 2 sin πγτ / πγτ
(5-19)
ve
denklemleri ile verilmiş olup Şekil 5-5’de gösterilmiştir.
(a)
(b)
ŞEKİL 5-5: (a) Band Geçiren Filtre ve (b) Alçak Geçiren Filtre Çıkışlarında
Oluşan Özilişki Fonksiyonları
156
5-18 eşitliğindeki özilişki fonksiyonu geniş band gürültü uygulanan dar
banda geçiren filtrenin çıkışına, 5-19 eşitliğindeki özilişki fonksiyonu ise
ideal alçak geçiren filtre çıkışına eşittir. Bu sonuçların her ikisi de 6. ve 7,
bölümde türetilecektir. Sinyal ve filtre analizi ile bağlantılı olarak çeşitli
tipte özilişki fonksiyonunun olmasına rağmen burada en çok karşılaşılan
birkaçı verilmeye çalışılmıştır. Öğrenci 5-3 paragrafında verilen özilişki
fonksiyonlarına ait özellikleri bütün özilişki fonksiyonlarının taşıdıklarına ve
doğruladıklarına dikkat etmelidir.
ALIŞTIRMA 5-5
Şekil 5.4-a’da gösterilen binary dalga şeklinde değerlerin A ve 0 arasında
olduğunu düşünerek sonuçta elde edilecek özilişki fonksiyonuna ait eğriyi
çiziniz ve uygun noktalara değerleri yazınız.
5-6 ÇAPRAZ İLİŞKİ FONKSİYONLARI
İki ayrı rasgele işlemeye ait raslantı değişkenleri arasında bir ilişki
düşünmek olasıdır. Bu durumlarla, bir sisteme birden çok rasgele işaretin
uygulanması veya rasgele gerilim ya da akımın sistemin farklı
noktalarındaki değerlerini karşılaştırma hallerinde karşılaşılır. Eğer rasgele
işlemeler geniş anlamda bileşik durağan ise ve bu işlemelere ait örnek
fonksiyonlar X(t) ve Y(t) ile ifade ediliyorsa
X1= X(t1)
Y2 = Y(t1+ τ )
olup bu iki raslantı değişkeni için çapraz ilişki fonksiyonunu tanımlamak
olasıdır.
R XY (τ ) = E [ X 1Y2 ] =
∞
∞
∫ dx ∫ x y p(x , y )dy
1
−∞
1
2
1
2
2
(5-20)
−∞
Çapraz ilişki fonksiyonunda indisin sırası önemlidir, indisin ikinci harfi,
(t1+ τ ) da alınan raslantı değişkenini belirtir.
Aynı iki zaman için tanımlanabilir bir başka özilişki fonksiyonu da vardır.
Bu kez
157
Y1= Y(t1)
X2= X(t1+ τ )
R XY (τ ) = E [Y1 X 2 ] =
alınarak
∞
∞
−∞
−∞
∫ dy1 ∫ y1 x 2 p( y1 , x2 )dx2
(5-21)
Her iki rasgele işlemenin bileşik olarak durağan olduğu varsayılması
nedeniyle, bu çapraz ilişki fonksiyonlarının yalnızca τ zaman farkına
bağlı olacağını belirtelim.
Zaman çapraz fonksiyonları, belirli bir çift örnek fonksiyon için daha önce
olduğu gibi tanımlanabilir.
T
 1 
ℜ XY (τ ) = lim 
 x(t ) y (t + τ )dt
T →∞ 2T ∫

−T
(5-22)
ve
T
 1 
ℜ YX (τ ) = lim 
 y (t )x(t + τ )dt
T →∞ 2T ∫

−T
(5-23)
Eğer rasgele işlemeler bileşik ergodik özelliği gösteriyorlarsa, bu halde
5-22 ve 5-23 eşitlikleri örnek fonksiyonlarının her çifti için bizi aynı
sonuca götürecektir. O halde ergodik işlemeler için,
ℜ XY (τ ) = R XY (τ )
ℜ YX (τ ) = RYX (τ )
(5-24)
(5-25)
olacaktır.
Genelde, çapraz ilişki fonksiyonunun özilişki fonksiyonuna göre daha
somut bir fiziksel açıklaması yoktur. Yalnızca iki raslantı değişkeninin
birbirine ne kadar bağlı (ilgili) olduğunun bir ölçüsüdür. Buna karşın
sistem analiziyle ilgili ilerdeki incelemelerde giriş ve çıkış arasında belirli
çapraz ilişkinin, oldukça kesin ve önemli bir fiziksel özellik taşıdığı
görülecektir.
5-7 ÇAPRAZ İLİŞKİ FONKSİYONLARININ ÖZELLİKLERİ
Tüm çapraz ilişki fonksiyonlarının genel özellikleri özilişki fonksiyonlarına
ait özelliklerden oldukça farklıdır. Bunlar aşağıdaki gibi özetlenebilirler,
1- Rxy(0) ve Ryx(0) büyüklüklerinin özel olarak fiziksel bir anlamı yoktur.
158
anlamı yoktur ve karesel beklendik değeri ifade etmezler. Ancak,
Rxy(0) = Ryx(0)
özelliğini taşırlar.
2- Çapraz ilişki fonksiyonları genel olarak τ ’nun bir çift fonksiyonu
değildir. Bununla beraber aşağıdaki eşitlikle verilen bir çeşit simetri vardır.
RYX (τ ) = R XY (− τ )
(5-26)
Bu sonuçlardan, Y(t)’nin (zaman olarak) bir yönde kaydırılması, X(t)’nin
aksi yönde kaydırılmasına eşdeğer olduğu görülecektir.
3- Çapraz ilişki fonksiyonunun maksimum değerinin τ = 0 ’da olması
gerekmez. Bununla beraber
R XY (τ ) ≤ [R X (0 )RY (0 )]
1/ 2
(5-27)
olduğu gösterilebilir. R yx (τ ) için de benzer ifade yazılabilir. Çapraz ilişki
fonksiyonunun maksimumu herhangi bir noktada olabilir, ancak değeri bu
eşitlikteki değerden büyük olamaz.
4- Eğer iki rasgele işleme istatiksel olarak bağımsız ise,
R XY (τ ) = E [X 1 , Y2 ] = E [ X 1 ]E [Y2 ] = XY
= RYX (τ )
(5-28)
olur. Buna ilave olarak, her iki işleme de sıfır beklendik değerli ise bütün
τ değerleri için çapraz ilişki fonksiyonu kaybolur. Bununla beraber, bunun
aksinin doğru olması gerekmez. Çapraz ilişki fonksiyonunun sıfır olması
ve işlemelerden birinin sıfır beklendik değerli olması, bu rasgele işlemenin
bileşik Gauss raslantı değişkenleri olmasının dışında istatistik bağımsızlığı ortaya koymaz.
5- Eğer X(t), bir durağan, rasgele işleme ve X& (t) onun zamana göre
türevi ise, X(t) ve X& (t)’nin çapraz ilişki fonksiyonu
R X&X& (τ ) =
dR X (τ )
dτ
(5-29)
olarak tanımlanır. 5-29 eşitliğinin sağ tarafı özilişki fonksiyonunun τ ’ya
göre türevinden başka birşey değildir. Bu temel türev tanımı kullanılarak
kolayca gösterilebilir.
159
X (t + ε ) − X (t )
X& (t ) = lim
ε
ε →0
Buradan
[
]
R XX& (τ ) = E X (t )X& (t + τ )
X (t ) X (t + τ + ε ) − X (t )X (t + τ ) 

= E lim

ε
 ε →0

R (τ + ε ) − R X (τ ) dR X (τ )
= lim X
=
ε →0
ε
d (τ )
limit ve beklendik değer işlemlerindeki yer değiştirmelere
sürece izin verilebilir. Eğer bu işlem tekrarlanırsa,
fonksiyonunu göstermek de olasıdır. Bu fonksiyon,
R X& (τ ) = R X&X& (τ ) = −
d 2 R X (τ )
dτ 2
X& (t ) var olduğu
X& (t ) ’nin özilişki
(5-30)
olacaktır. Görüldüğü gibi eşitliğin ikinci tarafı ana özilişki fonksiyonunun
τ ’ya göre ikinci türevi olmaktadır.
ALIŞTIRMA 5-7

X1

E 
±
 R X (0 )


RY (0 ) 
Y2
2




değerini inceleyerek 5-27 eşitliğini ispatlayınız.
5-8
ÇAPRAZ İLİŞKİ
UYGULAMALAR
FONKSİYONLARINA
AİT
ÖRNEK
VE
Daha önce değinildiği gibi, çapraz ilişki fonksiyonlarının uygulamalarından
bir iki ya da daha çok rasgele girişe sahip sistemlerle ilgili idi.
160
Bunu daha ayrıntılı olarak ortaya koymak üzere, örnek fonksiyonu,
Z (t ) = X (t ) ± Y (t )
şeklinde olan bir rasgele işleme düşünülsün. X(t) ve Y(t) de rasgele
işlemenin örnek fonksiyonlarıdır. O halde tanımlama, raslantı değişkenleri
Z 1 = X 1 ± Y1 = X (t1 ) ± Y (t1 )
Z 2 = X 2 ± Y2 = X (t1 + τ ) ± Y (t1 + τ )
şeklindedir. Z(t)’nin özilişki fonksiyonu ise
RZ (τ ) = E [Z 1 Z 2 ] = E [( X 1 ± Y1 )( X 2 ± Y2 )]
= E[ X 1 X 2 + Y1Y2 ± X 1Y2 ± Y1 X 2 ]
= R X (τ ) + RY (τ ) ± R XY (τ ) ± RYX (τ )
(5-31)
olur. Bu sonuç herhangi bir sayıda raslantı değişkeni için kolayca
genişletilebilir. Genel olarak bu tip bir toplamın özilişki fonksiyonu, toplama
katılan bütün özilişki fonksiyonlarının toplamına ilave olarak bütün çapraz
ilişki fonksiyonlarının toplamına eşit olacaktır.
Eğer iki rasgele işlemenin istatistiksel olarak bağımsızlığı sözkonusu ise
ve bunlardan birinin beklendik değeri sıfır ise 5-31 eşitliğindeki her iki
çapraz ilişki fonksiyonu kalmayacak ve toplamın özilişki fonksiyonu özilişki
fonksiyonlarının toplamından oluşacaktır. Peryodik sinyallerin rasgele
gürültüden ayrılması ile bağlantılı olarak karşılaşılan bu sonucun önemini
göstermek üzere bir örnek verelim. X(t) istenen örnek fonksiyon
X (t ) = A cos(ω .t + θ )
(5-32)
şeklinde olsun. Burada θ bir raslantı değişkenidir. Daha önce
gösterildiği gibi bu işlemeye ait özilişki fonksiyonu
1
R X (τ ) =   A 2 cos ωτ
2
(5-33)
161
şeklindedir. Ayrıca bu işaretle istatistik bağımsız Y(t) örnek fonksiyonu
sıfır beklendik değerli rasgele gürültüyü belirttiğine ve özilişki fonksiyonu
RY (τ ) = B 2ε
−α τ
(5-34)
şeklinde verilmiş olduğuna göre, gözlenen Z(t) büyüklüğüne ait özilişki
fonksiyonu 5-31 eşitliğindeki gibi
RZ (τ ) = R X (τ ) + RY (τ )
1
−α τ
= A 2 cos ω .t + B 2 ε
2
(5-35)
olacaktır.
τ
ŞEKİL 5-6: Sinüsoidal İşaretin Gürültü İle Toplamının Özilişki Fonksiyonu
Bu fonksiyon Şekil 5-6’da ortalama gürültü gücü y2’nin ortalama işaret
gücü (1/2)A2’den daha büyük olması hali için gösterilmiştir. Şekilden
görüleceği üzere (gürültü özilişki fonksiyonu τ sonsuza giderken sıfıra
yaklaşması nedeniyle τ ’nun büyük değerleri için özilişki
fonksiyonunun daha çok işarete bağlı olduğu açıktır. Böylece alınan
işaret ile gürültüye ait özilişki fonksiyonunu ölçmede yaklaşık yöntemin
kullanılması ile sinüsoidal işaretin çok küçük miktarını gürültünün
büyük miktarından ayırmak olasıdır.
162
Bilinen küçük bir işareti, sinyal-gürültü birleşiminden ayırmada bir başka
yöntem çapraz ilişki işleminin yapılmasıdır. Bununla ilgili tipik bir örnek X(t)
işareti gönderen radar sistemi olabilir. Herhangi bir hedeften geri dönen
işaret X(t)’nin çok küçük bir parçasıdır ve gidip gelme süresi kadar
zamanca gecikmelidir. Radar girişinde gürültü daima var olduğundan
algılanan işaret
Y (t ) = aX (t − τ 1 ) + N (t )
(5-36)
olarak tanımlanabilir. Burada "a" birden küçük olan bir sayı, τ 1 işaretin
gidip gelmesinden dolayı zaman gecikmesi, N(t) ise alıcıdaki gürültüdür.
Tipik bir durum için dönen işaret aX(t- τ 1 ) ortalama gücü, gürültünün
ortalama gücü N(t)’den çok daha küçüktür.
Gönderilen işaretin ve toplam alıcı girişinin çapraz ilişki fonksiyonu
R XY (τ ) = E [X (t )Y (t + τ )]
= E[aX (t )X (t + τ − τ 1 ) + X (t )N (t + τ )]
= aR X (τ − τ 1 ) + R XN (τ )
(5-37)
olacaktır. İşaret ve gürültü istatistik bağımsız ve sıfır beklendik değerli
(çünkü bunlar RF bandpass işaretlerdir) olduklarından X(t) ve N(t)
arasındaki çapraz ilişki fonksiyonu bütün değerleri için sıfırdır. Bu sebeple
5-37 eşitliğine göre,
R XY (τ ) = aR X (τ − τ 1 )
(5-38)
olur. Özilişki fonksiyonlarında maksimum değerin orijinde meydana geldiği
anımsanırsa τ ’nun R xy (τ ) maksimum olacak şekilde ayarlanması halinde
τ = τ 1 , olacak ve bu değer hedefe olan mesafeyi gösterecektir.
Çapraz ilişki fonksiyonlarının gerçek ölçümleri 5-4’te özilişki
fonksiyonlarının ölçümleri için önerilen yolla ortaya konulabilir. Çapraz
ilişki fonksiyonları söz konusu olduğunda ölçmenin bu tipi hala
kutuplanmamıştır ancak kestirimin değişintisi için 5-16’da verilen sonuç
özellikle yukarıda ele alınan radar örneğindeki gibi işaret ilave ilişkisiz
gürültü içeriyorsa kesin doğru değildir.
Genel olarak söylemek gerekirse, çapraz ilişki fonksiyonunun kestiriminde
verilen bir değişintiyi elde etmek için istenen örnek sayısı, özilişki için
istenenden çok daha büyüktür.
163
5.9 ÖRNEKLENMİŞ FONKSİYON İÇİN İLİŞKİ MATRİSİ
Peryodik zaman aralıkları ile örneklenmiş tek bir zaman fonksiyonu
durumunda oluşan işareti ifadede onu vektörel olarak göstermek
kullanışlıdır. Sadece N gibi sonlu sayıda örnek ele alındığında herbir örnek
değeri, (N X 1)!lik vektörün bir elemanı olacaktır. Böylece eğer örnek
zamanları t1, t2,...,tN ise X(t) zaman fonksiyonu vektör olarak
 X (t1 ) 
 X (t ) 
2 
X =
...



 X (t N )
şeklinde ifade edilebilir.
Eğer X(t) bir rasgele işlemenin bir örnek fonksiyonu ise X vektörünün her
bir elemanı bir raslantı değişkenidir. Bu durumda her bir raslantı değişkeni
çifti arasındaki ilişkiyi veren (NXN) boyutlu ilişki matrisini tanımlamak
olasıdır.
[
R X = E XX T
]
 X (t1 ) X (t1 ) X (t1 ) X (t 2 ).... X (t1 ) X (t N )
 X (t ) X (t ) X (t ) X (t )....

2
1
2
2


=E
...



 X (t N ) X (t1 )................... X (t N ) X (t N ) 
Burada XT , X’in transpozesidir. Matrisdeki her bir elemanın beklendik
değeri alındığında o eleman rasgele işlemenin X(t)’den gelen özilişki
fonksiyonunun özel bir değeri olur.
164
 R X (t1 , t1 )R X (t1 , t 2 )....R X (t1 , t N )
 R (t , t )R (t , t )

X 2 1
X 2 2


RX =
....



 R X (t N , t1 )...............R X (t N , t N ) 
(5-39)
X(t)’den gelen rasgele işleme geniş anlamda durağan RX’in bütün
bileşenleri yanlızca zaman farkının bir fonksiyonu olur. Eğer örnekler
arasındaki aralık ∆t ise,
t 2 = t1 + ∆t
t 3 = t1 + 2∆t
…
t N = t1 + ( N − 1)∆t
olur ve
 R X [0]R X [∆t ]...R X [( N − 1)∆t ]
 R [∆t ]R [0]

X
 X

.

RX = 

.

.



 R X [( N − 1)∆t ]........R X [0] 
(5-40)
Burada özilişki fonksiyonunun simetri özelliği görülecektir.
R X [i.∆t ] = R X [− i.∆t ] . Bu simetrinin bir sonucu olarak RX (durağan olmasa
bile) simetrik bir matristir, ama köşegen (ve buna paralel bütün köşeler) eş
elemanlardan oluşur.
Her ne kadar daha önce RX sadece bir mantık sonucu olarak
tanımlanmışsa da, örnek değerden oluşan raslantı vektörünün ilişki matrisi
ifade için oldukça genel bir yol değildir. Daha genel bir yol kovaryans
matrisini tanımlamaktır. Bu matris raslantı değişkeninin değişinti ve
kovaryans'larından oluşur. Genelde iki raslantı değişkeni arasındaki
kovaryans
[
]
E {[X (t i ) − X (t i )] X (t j ) − X (t j ) } = σ iσ j ρ ij
(5-41)
165
olarak tanımlanır. Burada
X (t i ) = X (t i ) ’nin beklendik değeri
X (t j ) = X (t j ) ’nin beklendik değeri
σ i2 = X (t i ) ’nin değişintisi
σ 2j = X (t j ) ’nin değişintisi
σ ij = X (t i ) ve X (t j )’nin normalleştirilmiş kovaryans katsayısı;
Bu değer i=j için 1’e eşittir.
Kovaryans matris
[
(
Λ X = E ( X − X ) X T − X −T
)]
(5-42)
olarak tanımlanır. Burada X , X’in beklendik değeridir. Kovaryans
tanımlarının kullanılması sonucu,
 σ 12

σ σ ρ
Λ x =  2 1 21

...

σ N σ 1 ρ N 1
σ 1σ 2 ρ12
σ 22
...
...
...
...
...
...
σ 1σ N ρ1N 
...
...
σ N2

.



(5-43)
ρ ii = 1 i=1,2,... ,N olduğundan , 5-43 elde edilecektir. Bunun açındırılması
ile Λ x ’nin ise Rx’ in ilişkisi kolayca gösterilebilir,
Λ x = Rx − X .X T
(5-44)
Eğer rasgele işleme sıfır beklendik değerli ise
Λ x = Rx
olacaktır.
Kovaryans matrisi çin verilen yukarıdaki gösteriliş hem durağan hem de
olmayan rasgele işleme için geçerlidir. Bununla beraber
166
geniş anlamda durağan işleme durumunda, bütün değişintilerin ve verilen
bir köşegen (diyagonal) için ilişki katsayılarının aynı olduğu bilinmektedir.
O halde
σ i2 = σ 2j = σ 2
ρ ij = ρ i − j
i,,j = 1,2,….,N
i,,j = 1,2,….,N
ve
 1
 ρ
 1
Λ x = σ 2  ...

 ...
 ρ N −1
ρ1
1
.
...
...
ρ2
ρ1
.
.
...
...
...
.
1
...ρ1
ρ N −1 
ρ N −2 
... 

ρ1 
1 
(5-45)
elde edilir.
Kovaryans matrisleri konusunu bitirmeden önce, bu matrisin Gauss
işlemesinden N raslantı değişkeni için bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu
ile ilişkili olarak oynadığı rolün önemini vurgulamak gerekir. Daha önce
değinildiği gibi Gauss işlemesi herhangi sayıda raslantı değişkeni için
bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu yazmaya olanak veren birkaç
işlemeden biridir. Bu bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonunun türetilmesi
konumuzun dışındadır, ne var ki bunun
p( x ) = p[x(t1 ), x(t 2 ),..., x(t N )]

=


1
(2π )N

. exp − 1 x T − x T Λ −1 (x − x )
x
 2



ΛX 

(
)
olduğu gösterilebilir.
Burada,
Λ x , Λ x ’in determinantı ve Λ x
−1
ise inversidir.
(5-46)
167
PROBLEMLER
5-1 Şekilde görülen biçimde örnek fonksiyonlara sahip durağan bir
rasgele işleme göz önüne alınıyor. t 0 ± n.t a peryodik anlarda, b
genişlikli ve ±A genliklerini eşit olasılıklarla alan bir dikdörtgen
darbe bulunmaktadır. t0 anı,darbe genliğinden bağımsız, ta
peryodu boyunca uniform dağılımlı bir raslantı değişkenidir.
a- Rx( τ ) özilişki fonksiyonunu bulunuz.
b- ℜ(τ ) , zaman özilişki fonksiyonunu bulunuz.
c- Bu işlem ergodik olabilir mi?
d- İşlemenin karesel beklendik değeri nedir?
5-2 Durağan bir rasgele işlemenin örnek fonksiyonu, V(t), şekilde
peryodik dikdörtgen dalga şekilleridir. Her örnek fonksiyonun genliği
X, ±100 arasında düzgün dağılımlı bir raslantı değişkenidir.
Her örnek fonksiyonun t0 başlangıç gecikme zamanı X’ten bağımsız
bir raslantı değişkeni olup dalga şeklinin T peryodu boyunca uniform
dağılım gösterir. ( f(t) birim genlikli T peryodlu dikdörtgen dalga şekli
olmak üzere, V(t)=X.f(t-t0) yazılabileceğini düşünmek hesaplarda
kolaylık sağlayacaktır.)
a- RV( τ ) özilişki fonksiyonunu hesaplayınız ve çiziniz.
b- ℜ(τ ) zaman özilişki fonksiyonunu hesaplayınız.
5-3 Problem 5-2’de tanımlanan rasgele işlemenin V(t) örnek fonksiyonları 1 ohm’luk direncin uçlarında ölçülen gerilimlerdir. Dirençte
harcanan gücün özilişki fonksiyonunu bulunuz.
168
5-4 Durağan bir rasgele işlemenin özilişki fonksiyonu
R x (τ ) = 4.ε
−τ
cos πτ + cos 3πτ
şeklindedir.
a- İşleme için X 2 ve σ 2 büyüklüklerini hesaplayınız.
b- Hangi ayrık frekans bileşenlerine sahiptir?
c- Bu ilişki fonksiyonu, zamanca | τ |= 0,25s ayrılmaları halinde
raslantı değişkenleri hakkında ne bilgi vermektedir?
d- X(t) ve X(t- τ ) raslantı değişkenlerinin ilişkisiz olduğu en kısa
zaman aralığı nedir?
e-Tüm sinüsoidal bileşenleri işaret, diğer tüm bileşenleri de gürültü
olarak düşünürsek, işaret -gürültü oranı ne olur?
5-5 Sıfır beklendik değerli durağan rasgele işlemenin örnek fonksiyonları
olan X(t) ve Y(t) gibi iki işaret ele alınsın. X(t)’den r katsayısı kadar
kaydırılmış Y(t+ τ ) işaretini çıkararak yeni bir fonksiyon oluşturulsun.
Z(t) = X(t) - r.Y(t+ τ )
a- σ Z2 ‘yi minimum yapan r değerini bulunuz.
b- a şıkkında belirlenen r hangi değer aralığında değişebilir?
5-6 Şekildeki fonksiyonlardan hangileri bir özilişki fonksiyonu olamaz?
Neden?
169
5-7 Bir rasgele işlemenin örnek fonksiyonları
X (t ) = Y . cos(ω .t + θ )
şeklinde olup burada Y, ω ve θ istatistik bağımsız raslantı
değişkenleridir. Y’nin beklendik değeri 2 ve değişintisi 4’tür. θ , - π ile
π aralığında uniform dağılımlıdır, ω da -5 ile 5 aralığında uniform
dağılımlıdır.
a- İşleme durağan mıdır?
b- Rx( τ ) özilişki fonksiyonunu bulunuz.
5-8 İstatistik bağımsız iki rasgele işleme X(t) ve Y(t)’ye ilişkin özilişki
fonksiyonları,
−2 τ
R x (τ ) = 2.e
cos ωτ
−3 τ 2
RY (τ ) = 9 + e
olarak verilmiştir. Üçüncü bir rasgele işleme Z(t)’nin örnek
fonksiyonları,
Z(t) = W.X(t).Y(t)
olup burada W, beklendik değeri 2 ve değişintisi 9 olan bir raslantı
değişkenidir.
a- Rz( τ )’yu bulunuz.
b- Z(t)’nin beklendik değer ve değişintisini belirleyiniz.
5-9 İki rasgele işlemeye ait örnek fonksiyonlar,
X (t ) = A. cos(ω 0 .t + θ )
ve
Y (t ) = B. sin (ω 0 .t + θ )
olup burada θ , 0 ile 2 π aralığında uniform dağılımlı bir raslantı
değişkenidir ve A ile B sabittir.
a- R XY (τ ) ve RYX (τ ) çapraz ilişki fonksiyonlarını bulunuz.
b-Bu ilişki fonksiyonlarının τ = 0 ’daki değerleri ne anlam taşır?
5-10 Problem 5-1’de tanımlanan rasgele işlemeye ait örnek fonksiyonları
şekilde görülen yarım dalga doğrultucusuna uygulanmaktadır.
170
a- Çıkışın özilişki fonksiyonu RY (τ ) ’yu bulunuz.
b- Çapraz ilişki fonksiyonu R XY (τ ) ’yu bulunuz.
c- Çapraz ilişki fonksiyonu RYX (τ ) ’yu bulunuz.
5-11 Bir Z(t) raslantı vektörü, iki ortak, durağan bağımsız, skaler rasgele
işlemenin örnek fonksiyonları X(t) ve Y(t)’nin kombinasyonundan
oluşmaktadır. Özel olarak,
 X (t ) + Y (t )
Z (t ) = 

 X (t ) − Y (t )
olsun.
R X (τ ) = ε
−τ
RY (τ ) = ε + ε
olduğuna göre RZ( τ ) lişki matrisini bulunuz.
−τ
−2 τ
5-12 Özilişki fonksiyou,
R X (τ ) = ε cos πτ + 1
olan durağan bir rasgele işleme, ∆t =0,5 s’lik peryodik zaman
aralıklarında örneklenmektedir.
−τ
a- Bu işlemeden alınan üç örnek kümesi için tüm kovaryans
matrisini yazınız.
b- N örnek için genel kovaryans matrisini yazınız.
KAYNAKLAR
Bölüm 1’deki kaynaklara bakınız. Özellikle Beckmann, Davenport ve
Root, Papoulis ve Thomas.
171
BÖLÜM 6
SPEKTRAL YOĞUNLUK
6-1 GİRİŞ
Lineer sistemlerin analizinde Fourier ve Laplace dönüşümlerinin
kullanılması sıklıkla ve yaygınlıkla başvurulan ve çalışmalarda büyük
ölçüde kolaylık sağlayan bir yoldur. Bu kolaylığın ana nedeni, zaman
domenindeki katlama (convolution) integralinin, frekans domeninde yerini
yalnızca bir çarpıma bırakmasından kaynaklanmaktadır.
Frekans domeni yöntemlerinin yaygınlıkla kullanıldığı dikkate alındığında,
bu yöntemlerin sistem girişlerinin rasgele yapıda da olması halinde
kullanılabilir olup olmadığının sorulması doğaldır. Bu sorunun yanıtı,
onların biraz daha dikkat gerektiren yeni düzenlemeler yapılması koşuluyla
gene kullanışlı olabileceğidir. Ancak, usulüne uygun kullanıldığında,
frekans domeni yöntemleri temelde rasgele işaretler için de, rasgele
olmayan işaretler için olduğu kadar yararlar sağlayacaktır.
Bu konuya başlamadan önce, rasgele olmayan bir zaman işaretinin
frekans domeni ifadesini özetlemek yararlı olacaktır. Bunun en doğal ifade
biçimi, bizi frekans spektrumu kavramına götüren Fourier dönüşümüdür.
Herhangi rasgele olmayan bir zaman fonksiyonu, f (t)’nin Fourier
dönüşümü,
F (ω ) =
∞
∫ f (t )e
− jωt
dt
(6-1)
−∞
olarak tanımlanır. Örneğin f(t) bir gerilimi belirtiyorsa, F(w)’nın birimi
volt/Hz olacaktır. Bunun anlamı, f(t) işaretini sinüsoidal işaretlerin toplamı
şeklinde göstermek, buna karşı düşen frekans ekseni boyunca bu
bileşenlerin bağıl büyüklük ve faz değerlerinin elde edilmesidir.
Anlaşılacağı gibi f(t) işaretinin Fourier dönüşümünün büyüklüğü, frekansın
fonksiyonu olarak genlik yoğunluğu gibi fiziksel bir anlam taşır. Frekansa
göre f(t)’nin enerji dağılımının açık bir göstergesidir.
Tamamen aynı yolla bunu rasgele bir işarete uygulamak, uygun görülebilir.
Bu şekilde Fourier dönüşümü herhangi bir x(t) örnek fonksiyona
uygulandığında,
FX (ω ) =
∞
∫ x(t )e
−∞
− jωt
dt
172
yazılacaktır. Bu bir rasgele işlemenin frekans domeni ifadesi olarak
karşımıza çıkar. Ne var ki en az iki nedenle bu olanaksızdır. Öncelikle
herhangi sabit bir ω için ensemblenin olası örnek fonksiyonlarının her
birinin farklı değere sahip olması nedeniyle ensemble boyunca Fourier
dönüşümü bir raslantı değişkeni olacaktır. Bunun nedeni, (belirli bir frekans
değeri için) işlemenin ifadesi yerine yalnızca işlemenin bir üyesinin
ifadesinin elde edilmesidir. Ancak, ikinci neden olmamış olsaydı, bu
fonksiyonu ensemble boyunca beklendik değeri bulmak amacı ile
kullanmak mümkün olabilecekti, ikinci ve daha önemli neden yukarıda
yazılı FX( ω )’nın en azından durağan işleme için mevcut olmadığı ve
kullanılmasının mümkün olamayacağıdır. Kullanılabilmesi için,
∞
∫ x(t ) dt < ∞
(6-2)
−∞
olması temel koşuldur. Bu koşul, sıfırdan farklı herhangi geniş anlamda
durağan rasgele işlemeye ait örnek fonksiyon için kesinlikle sağlanamaz.
Alışılmış anlamda Fourier dönüşümü, impuls ve benzeri terimler içeren
genel fonksiyonlar için, nadiren mümkün olması dışında, mevcut değildir.
Alışılmış Fourier dönüşümünün, rasgele işlemeye ait frekans domeni
gösterilişini elde etmede sorunlarla karşılaşıldığı görüldü. O halde akla,
birleşme faktörü taşıdığından, Laplace dönüşümü gelecektir. Tek yanlı
Laplace dönüşümü f(t)’nin yalnızca t ≥ 0 değerleri için tanımlanması
nedeniyle, geniş anlamda durağan rasgele işleme için düşünülemez. Ama
iki yanlı Laplace dönüşümü konuya çözüm getirebilecektir. Laplace
dönüşümü pozitif değerler için olduğu kadar negatif değerler için de
uygundur. Bu durumda Laplace dönüşümü rasgele işlemenin hemen
hemen bütün durağan örnek fonksiyonları için vardır. Bu yaklaşımın,
dönüşüm için mükemmel olduğu düşünüldüğünde, bu kez karşımıza
dönüşüm-ters dönüşüm sorunu çıkmaktadır. Bu sorunla ilgili incelemeler
için Kompleks Değişkenler Teorisi'ne gerek vardır. Bu konu ise çalışma
alanımızın ötesinde olduğundan daha fazla ayrıntıya girilmeyecektir.
Sonuç olarak, en basit ve kabul edilebilir yaklaşım, yeniden Fourier
dönüşümüne dönmek ve yeni durum için ustaca çözümler getirmeyi
araştırmaktır.
6-2 SPEKTRAL YOĞUNLUK VE FOURİER DÖNÜŞÜMÜ ARASINDAKİ
BAĞLANTI
Fourier dönüşümü tekniğinin kullanılmasında, her bir örnek fonksiyonun
dönüşümünün mevcut olmasını sağlamak üzere durağan
173
nin örnek fonksiyonunun düzenlenmesi zorunludur. Bunu sağlamada çeşitli
yollar vardır. Bunlardan en kolayı sonlu aralıkta yeni bir örnek fonksiyon
tanımlamaktır.O halde,
XT(t) = X(t)
t ≤T <∞
=0
t >T
yazılabilir ve bu işaret kırpılmış (truncated) işaret adını alır.
T sonlu kaldıkça (6-2) eşitliğindeki koşulu sağlar ve alındığı
durağan işlemenin sonlu karesel beklendik değere eşit olmasına
neden olur. Böylece, XT(t)’nin Fourier dönüşümü alınabilir. Gerçekten de
XT(t), karesinin integrali alınabilme özelliğine sahiptir. Bu,
.
∞
∫ X (t )
T
2
(6-4)
dt < ∞
−∞
şeklinde ifade edilir.Bu özellik aşağıdaki açıklamalarda kullanılacaktır.
XT(t), Fourier dönüşümü alınabilir bir ifade olduğundan bu dönüşüm,
∞
FX (ω ) =
ω
∫ X (t )e dt
T <∞
− t
T
(6-5)
−∞
şeklinde yazılabilir. Herhangi bir örnek fonksiyona ait Fx( ω )’nın beklendik
2
değerinin limit altında olmaması hali için bile FX (ω ) ‘nin beklendik
değerinin limit içinde kaldığını göstermek üzere aşağıdaki incelemelerde
T’nin sonsuza götürülmesi gereklidir. Bunu göstermede ilk adım, XT(t) ile
FX( ω )’ya Parseval Teoremi'ni uygulamaktır. xT(t) =0 , | t |>T olduğundan,
T
∫ X T (t )dt =
2
−T
1
2π
∞
∫ F (ω )
X
2
dω
(6-6)
−∞
yazılabilir. XT(t)’nin gerçel zamanlı bir fonksiyon olma durumunda,
2
FX (ω ) = FX (ω )FX (− ω ) olduğunu kaydedelim. Burada FX(- ω ), FX( ω )’nın
kompleks eşleniğidir.
(*) Parseval Teoremi, f(t) ve g(t) gibi döşümü alınabilir zaman fonksiyonları F( ω ) ve
sırasıyla bunların Fourier dönüşümleri olduğunda
∞
∞
−∞
−∞
∫ f (t ) g (t )dt = (1 / 2π ) ∫ F (ω )G(−ω )dω
olduğunu açıklar.
G( ω )
174
Aranan büyüklük, frekansın fonksiyonu olarak ortalama güç dağılımı
olduğundan, ikinci adım, toplam zaman 2T boyunca, (6-6) eşitliğinin her iki
yanının ortalamasının alınmasıdır. Her iki taraf 2T ile bölünerek,
1
2T
T
2
∫ X T (t )dt =
−T
1
4π .T
∞
∫ F (ω )
X
2
(6-7)
dω
−∞
elde edilir. (6-7) eşitliğinin sol yanının, -T ile T aralığında örnek
fonksiyonun ortalama gücü ile orantılı olduğu görülecektir. Daha doğru
tanımla, XT(t)'nin effektif değerinin karesidir. Hatta, ergodik işleme için bu
büyüklük T için işlemenin karesel beklendik değerine yaklaşır.
Ancak, bu aşamada T’nin sonsuza gitmesi, FX( ω )’nın limit içinde
kalmaması nedeniyle olanaksızdır. Ensemblenin herhangi bir örnek
fonksiyonu X(t)’ye karşı düşen FX( ω )’nın ensembleye bağlı bir raslantı
değişkeni olacağı hatırlanmalıdır. (6-4) eşitliğinden görüldüğü gibi
integralin daima pozitif büyüklüklü olarak mevcut olması nedeniyle,
2
(1/T) FX (ω ) ’nin beklendik değerinin limitinin mevcut olduğunu varsaymak,
(hatta kanıtlamak) akılcı bir yaklaşımdır. O halde, (6-7) eşitliğindeki
ifadenin her iki yanının beklendik değeri, integrasyon ve beklendik değer
alma operasyonları yer değiştirilerek ve T → ∞ için limit arandığında,
T
∞




2
E (1 / 2T ) ∫ X T2 (t )dt  = E (1 / 4π .T ) ∫ FX (ω ) dω 
−T
−∞




∞
T
{
2
lim (1 / 2T ) ∫ X T2 (t )dt = lim (1 / 4π .T ) ∫ E FX (ω ) dω
T →∞
T →∞
−T
∞
}
(6-8)
−∞
[{
2
} ]
< X 2 >= (1 / 2π ) ∫ lim E FX (ω ) / 2T .dω
T →∞
−∞
elde edilir. Durağan işleme için karesel beklendik değerin zaman
ortalaması, karesel beklendik değere eşittir ve (6-8) eşitliği,
∞
[{
2
} ]
X 2 = (1 / 2π ) ∫ lim E FX (ω ) / 2T .dω
T →∞
−∞
(6-9)
olarak yazılabilir. (6-9) eşitliğinin sağ yanındaki integral içindeki terim
SX( ω ) ile gösterilir ve rasgele işlemenin Spektral Yoğunluğu adını alır.
175
[
2
]
S X (ω ) = lim E FX (ω ) / 2T
T →∞
(6-10)
Burada beklendik değer alınmadan T → ∞ için limit alınmasına izin
verilmesinin mümkün olmadığı anımsanmalıdır. Eğer X(t) bir gerilimi
belirtiyorsa, SX( ω )’nın birimi (volt)2/Hz olur ve bunun integrali (6-9)
eşitliğinden görüleceği gibi karesel beklendik değere eşittir.
∞
X 2 = (1 / 2π ) ∫ S X (ω )dω
(6-11)
−∞
Spektral yoğunluğun, fiziksel bazda, ortalama güç kavramından hareketle
özel bir hal olarak açıklanması mümkündür. X(t), 1 ohm’luk dirençle
birlikte ele alınan bir gerilim veya akım olduğunda X 2 dirençte harcanan
ortalama güce eşittir. Spektral yoğunluk, ω / 2π Hz’de merkezlenmiş, 1 Hz
band genişliğindeki ortalama güç olarak belirtilebilir (band genişliği birimi
Hz olup r/s değildir. Bunun nedeni (6-11) eşitliğindeki 1/2 π çarpanıdır).
Spektral yoğunluk analizi ile ilgili şimdiye kadar olan açıklamalar, konuya
başlangıç için verilmesi gereken temel bilgilerden bir anlamda daha
kapsamlı olarak sunulmuştur. Bu yolun izlenmesinin nedeni, açıklamaların
daha yüzeysel olması durumunda, yapılabilecek matematik hatalardan
sakınmaya yöneliktir. Kuşkusuz spektral yoğunluğun başlangıç
çalışmalarında, bu yöntem okuyucu için daha güç olacaktır, ancak bu ek
güçlüğün emekleri boşa çıkarmadığı hissedilir ve hatta incelemenin
karmaşıklığı nedeniyle tam olarak anlaşılmaması halinde bile okuyucuyu,
frekans domeninde daha az güçlükle karşılaşması konusunda bilgili
kılmaya yardımcı olur.
Spektral yoğunluğa bir başka yaklaşım, 6-6 paragrafında verilen özilişki
fonksiyonuna dayalı bir tanımla ilgilidir. Uygulamaya yönelik bakış
açısından bu tanım muhtemelen burada verilen genel yaklaşımdan daha
kolay anlaşılır ve daha kullanışlı bir özellik gösterir. Ancak temel tanıtımın
ortaya koyduğu fiziksel anlatımı göstermez.
Spektral yoğunluğun özelliklerinin daha ayrıntılı incelenmesine geçmeden,
sistem analizinde rasgele işleme girişin spektral yoğunluğu, rasgele
olmayan işaret girişinin dönüşümü ile aynı rolü oynamaktadır. En önemli
farklılık, spektral yoğunluğun, gerilim
176
yoğunluğu yerine güç yoğunluğunu ifade etmesidir. Bu şekilde, sistem
için bir gerilim transfer fonksiyonu yerine bir güç transfer fonksiyonu
tanımlamak gerekecektir.
ALIŞTIRMA 6-2
Yukarıda tanımlanan spektral yoğunluk, ( ω )’nın hem pozitif ve hem de
negatif değerleri için mevcut olduğundan, bazen "İki Yanlı Spektral
Yoğunluk" olarak adlandırılmaktadır. Ancak bazı yazarlar f= ω / 2π ’nin
fonksiyonu olarak tanımlanan ve yalnızca f’in pozitif değerleri için var olan
"Tek Yanlı Spektral Yoğunluk" olarak bilinen tanımı tercih ederler. Eğer
tek yanlı spektral yoğunluk GX(f) olarak verilmişse, rasgele işlemenin
karesel beklendik değeri,
∞
X 2 = ∫ G X ( f )df
0
olmaktadır. ω = 2πf ’in herhangi bir değeri için GX(f) ve SX(f)
arasındaki bağıntı nedir?
6-3 SPEKTRAL YOĞUNLUĞUN ÖZELLİKLERİ
Spektral yoğunluğun en önemli özelliği tek bir cümle ile ω 'nın gerçel,
pozitif ve çift bir fonksiyonu olduğu şeklinde özetlenebilir. Fourier
dönüşümü ile ilgili çalışmalarımızda, işaretlerin büyüklüklerinin gerçekten
daima gerçel ve pozitif olduğu anımsanacaktır. Bu nedenle işlemenin
beklendik değeri de aynı özellikleri taşıyacaktır.
Diğerlerinden daha sık karşılaşılan Spektral yoğunluğun özel biçimi,
"rasyonel" olarak adlandırılan ve polinomların oranı olarak verilen türdür.
Spektral yoğunluk ω ’nın çift fonksiyonu olduğundan, polinomlar ω ’nın
yalnızca çift kuvvetlerini içerir, yani,
S X (ω ) =
(
S 0 ω 2 n + a 2 n − 2ω 2 n − 2 + ... + a 2ω 2 + a 0
ω 2 m + b2 m −2ω 2 m −2 + ... + b2ω 2 + b0
)
(6-12)
olarak yazılabilir. İşlemenin karesel ortalama değeri sonlu olduğunda,
SX( ω )’nın altında kalan alan, (6-11) eşitliğinden, sonlu olmak zorundadır.
Bu durumda m>n olmalıdır. Çok özel bir durum olan beyaz gürültü
dışında, bu koşulun daima kabul edildiği varsayılacaktır.
177
Beyaz gürültü, bütün ω değerleri için sabit spektral yoğunluğa sahip
rasgele işlemeye verilen addır, bu SX( ω )=S0 ile ifade edilir. Ne var ki bu
tür bir işleme (karesel beklendik değeri sonsuz olduğundan) fiziksel olarak
mevcut değildir. Ancak, matematik açıdan bakıldığında, aksine
davranıldığında çok zor olan hesaplamaları son derece kolaylaştırması
nedeniyle, sıklıkla başvurulan elverişli bir yoldur. Bu kavramın kullanılması
ile ilgili nedenler ve açıklamalar ileride daha ayrıntılı olarak ele alınacaktır.
Bu tip spektral yoğunluklar süreklidir, dolayısıyla dc veya peryodik bileşen
içeren rasgele işlemelere ait olamaz. Spektral yoğunluğun birim band
genişliği başına ortalama gücü temsil ettiği düşünülürse, bu durum
kolayca anlaşılacaktır. Rasgele işlemede herhangi bir dc bileşen ayrık bir
frekans spektrumuna sahip olduğundan, sıfır band genişliğinde sonlu bir
ortalama gücü belirtir. Sıfır band genişliginde sonlu güç, sonsuz güç
yoğunluğuna karşı düşer. O halde bu durum için spektral yoğunluk sıfır
frekansında sonsuz bunun dışında sonlu olur, yani ω =0'da δ fonksiyonu
içerir. Benzeri bir durum da peryodik bileşenler için o frekanslarda δ
fonksiyonlarının oluşmasıdır. Bu sonuçların dikkate alınması, spektral
yoğunluğun hesabında sonucu daha sağlıklı elde etmede ve aynı
zamanda (6-10) eşitliğinin kullanılmasını açıklamada yardımcı olacaktır.
Arzu edilen yapıyı ortaya koymak üzere örnek fonksiyonu
X(t) = A + B cos ( ω 1t + θ )
(6-13)
olarak verilen bir rasgele işleme ele alınsın. Burada, A, B ve ω 1
sabitleri ve θ ise 0 ile 2 π arasında üniform dağılımlı bir raslantı
değişkenini göstermektedir.
p (θ ) = 1 / 2π
0 ≤ θ ≤ 2π
Kırpılmış örnek fonksiyonun Fourier dönüşümü,
T
FX (ω ) =
∫ [A + B. cos(ω t + θ )]e
1
− jωt
dt
−T
[
= A e − jωt / − jω
+ B.e
]
T
−T
− j [(ω 1+ω ).t +θ ]
+ B.e j [(ω1−ω )t +θ ] / 2[ j (ω 1 − ω )] −T
T
/ 2[− j (ω 1 + ω )] −T
T
olur. Sınır değerleri yerine yazılıp sadeleştirme yapıldığında,
178
[(
)]
FX (ω ) = (2 A. sin ωT / ω ) + B e jθ sin (ω − ω1 )T / (ω + ω 1 )
(6-14)
elde edilir. FX( ω ) büyüklüğünün karesi dokuz terimden oluşacaktır.
Bunlardan bazıları θ değişkeninden bağımsız ve diğerleri ise exp(±jö) veya
exp(±j2 θ ) içermektedir. θ içeren bütün terimlerin beklendik değerlerinin
hesaplanması sonucu kalkacağı tahmin edilebilir. Bunu göstermek üzere
ifade sembolik biçimde yazılırsa,
[
FX (ω ) = 4 A 2 sin 2 ω .T / ω 2 + B 2 sin 2 (ω − ω 1 )T / (ω − ω 1 )
2
+ sin 2 (ω + ω1 )T / (ω + ω 1 )
2
]
2
+ C (ω )e 2 jθ + C (− ω )e − jθ + D(ω )e j 2θ + D(− ω )e − j 2θ
(6-15)
elde edilir. Şimdi, θ içeren herhangi bir terimin beklendik değeri ele
alınsın. Bunların tümü G( ω ) exp(jn θ ) şeklindedir ve beklendik değeri,
[
2π
]
2π
E G (ω )e jnθ = G (ω ) ∫ (1 / 2π )e jnθ dθ = (G (ω ) / 2π )e jnθ / jn 0
0
=0
n = ± 1,±2,...
(6-16)
olacaktır. Böylece (6-15) eşitliğindeki dört terim sıfıra eşit olacak ve
eşitliğin beklendik değeri,
[
E FX (ω )
2
] = 4 A [sin ω.T / ω ]+ B [ (sin (ω − ω )T /(ω − ω ) )
2
2
2
2
2
2
1
(
)
+ sin 2 (ω + ω 1 )T / (ω + ω 1 ) ]
2
1
(6-17)
olarak bulunacaktır. (6-10) eşitliğinden spektral yoğunluk,
S X (ω ) = lim { 2 A 2T [sin ω .T / ω .T ] + (B 2T / 2 )[sin (ω − ω 1 )T / (ω − ω 1 )T ]
2
2
T →∞
+ (B 2T / 2 )[sin (ω + ω 1 )T / (ω + ω 1 )T ]
2
(6-18)
olur. Limiti incelemek üzere, ilk terimin ana bölümü ele alındığında,
179
lim T [sin ω .T / ω .T ]
2
T →∞
genel biçim gözlenmektedir. Bu limit, ω sıfırdan farklı olmak üzere
sin2 ω T’nin 1’den büyük olamayacağı ve payda T ile artacağından açıkça
sıfıra eşittir. Ancak, ω = 0 için,
sin ω .T
=1
ω .T ω =0
olup limit sonsuz olacaktır. Bu nedenle
lim T [sin ω .T / ω ] = K .δ (ω )
2
T →∞
(6-19)
yazılabilir. Burada k, δ fonksiyonunun altında kalan alanı belirtir. k değeri
(6-19) eşitliğinin her iki yanında alanların eşitlenmesi ile bulunabilir.
∞
lim ∫ T .[sin ω .T / ω .T ] dω =
2
T →∞
−∞
∞
∫ K .δ (ω )dω
(6-20)
−∞
Eşitliğin sol yanındaki integral T>0 için bütün π değerlerine göre
tablolanmıştır. Böylece limit işlemi önemini yitirir ve (6-20) eşitliği,
π .K
sonucuna varılmasını sağlar.
Tamamen benzeri işlem (6-18) eşitliğindeki diğer terimler için kullanılabilir.
Sonucun aşağıdaki ifade olduğunu göstermek okuyucuya bir alıştırma
olarak bırakılmıştır.
S X (ω ) = 2π . A 2δ (ω ) + (π / 2 )B 2δ (ω − ω 1 ) + (π / 2 )B 2δ (ω + ω 1 )
(6-21)
Buna ait spektral yoğunluk Şekil 6-1’de görülmektedir.
(6-21) eşitliğinin gerçekten aranılan karesel beklendik değeri bulmak
için yol gösterdiğini ortaya koymak üzere bu spektral yoğunluğun
alanını hesaplamak ilginçtir. (6-11) eşitliğinden,
180
∞
X 2 = (1 / 2π ) ∫ {(2π . A 2δ (ω ) + (π / 2 )B 2δ (ω − ω 1 )
−∞
+ (π / 2 )B 2δ (ω + ω 1 )}dω
[
(6-22)
= (1 / 2π ) 2π . A + (π / 2 )B + (π / 2 )B
2
2
2
]= A
2
+ (1 / 2 )B 2
yazılabilir. Okuyucu aynı sonucu, X2(t)’nin ensemble ortalamasını alarak
kolayca bulabilir.
ŞEKİL 6-1: dc ve Sinüsoidal Bileşenlerin Spektral yoğunluğu
Spektral yoğunluğun hem sürekli ve hem de ayrık bileşenlere sahip
olması da olasıdır. Bu tür bir örnek, haberleşme ya da örneklenmiş data
kontrol sistemleriyle bağlantılı olarak sıklıkla karşılaşılan ve Şekil 6-2’de
gösterilen rasgele darbe genlik dizisidir. Burada bütün darbelerin aynı
biçime sahip olduğu ve büyüklüklerinin darbeden darbeye, istatistik
ŞEKİL 6-2: Rasgele Genlikli Darbe Dizisi
181
bağımsız rsalantı değişkenleri olduğu varsayılacaktır. Ancak bütün bu
2
raslantı değişkenleri aynı bir beklendik değer, Y , ve aynı değişintiye, σ Y
sahiptir. Darbelerin tekrarlanma peryodu t1, bir sabit ve referans zamanı
herhangi bir örnek fonksiyon için t1 aralığı boyunca uniform dağılım
gösteren t0 raslantı değişkenidir.
Bu örnek için spektral yoğunluğun türetilmesi burada değerlendirilemeyecek kadar uzundur, ancak sonuç ifade bazı önemli noktaları
ortaya koymaktadır. Bu sonuç, f(t), temel darbe biçiminin Fourier
dönüşümü cinsinden ifade edilebilir ve,
S x (ω ) = F (ω ) {(σ Y2 / t1 )
2
(
+ 2π (Y ) / t1
2
2
) ∑ δ (ω − (2π .n / t ))}
∞
1
(6-23)
n = −∞
elde edilir. Eğer temel darbe biçimi t2 genişliğinde dikdörtgen ise buna
karşı düşen spektral yoğunluk Şekil 6-3’de görüldüğü gibi olacaktır. (6-23)
eşitliğinden çıkarılan genel sonuçlar aşağıdadır.
ŞEKİL 6-3 : Rasgele Genlikli Dikdörtgen Darbe Dizisine Ait Spektral Yoğunluk
1- Hem sürekli spektral büyüklükler ve hem de δ fonksiyonlarının
belirttiği alanlar temel darbe işaretinin Fourier dönüşümü
büyüklüklerinin karesi ile orantılıdır.
2- Darbelerin peryodik olma durumunda bile darbe genliklerinin
beklendik değeri sıfır ise, ayrık bir spektrum söz konusu olamaz.
3- Darbe genliklerinin değişintisi sıfır ise, sürekli bir spektrum oluşamaz.
182
Spektral yoğunluğun diğer özelliği, rasgele işlemenin türevi ile ilgilidir.
X(t)= dX(t)/dt olduğu ve X(t)’nin aşağıdaki gibi tanımlanmış SX( ω )
spektral yoğunluğa sahip olduğu varsayılsın.
[
2
]
S X (ω ) = lim E FX (ω ) / 2T
T →∞
Kırpılmış işaretin türevi X& T (t ) , jω .FX (ω ) Fourier dönüşümüne ve buna ek
olarak (±T’deki süreksizlik nedeniyle) olası iki sabit terime sahiptir, ve
bunlar limitte görülmeyecektir. Bu nedenle türevin spektral yoğunluğu,
S X& (ω ) = lim E [ jω .FX (ω )(− jω )FX (− ω ) ]/ 2T
T →∞
[
2
]
= ω 2 lim E FX (ω ) / 2T = ω 2 S X (ω )
T →∞
(6-24)
olur. Buradan, diferansiyel almak suretiyle ilk işlemeye ait spektral
yoğunluğun yalnızca ω 2 katı spektral yoğunluğa sahip yeni bir işleme
yaratılmış olduğu görülür. Bu bağıntıdan S X& (ω ) ‘nın ω =0 için sonlu olması
durumunda SX( ω )’nın ω =0 için sıfıra eşit olacağı kaydedilmelidir. Daha
ileri giderek, ω ’nın sonsuza gitmesi durumunda SX( ω ) , 1/ ω 2‘den daha
hızlı bir düşüş göstermezse S X& (ω ) ω ’nın büyük değerleri için bir sabite
yaklaşacak ve türevin karesel beklendik değeri sonsuz olacaktır. Bu,
diferansiyeli alınamaz rasgele işleme haline karşı düşer.
ALIŞTIRMA 6-3
Durağan rasgele işlemenin bir örnek fonksiyonu rasgele genlikli binary
dalga şeklinin tekrarlanması biçimindedir. (Genlikler eş olasılıkla 0 veya 1
olmaktadır). Peryot 1 ms’dir.
f= 0, 500, 1000 Hz için spektral yoğunluğu hesaplayınız.
6-4 SPEKTRAL YOĞUNLUK VE KOMPLEKS FREKANS DOMENİ
Spektral yoğunluk, şimdiye kadar olan incelemelerimizde, ω gerçel açısal
frekansın bir fonksiyonu olarak tanımlanmıştı. Ancak,
183
uygulamalarında, sistemin transfer fonksiyonunun çok kullanışlı biçim
olmasından, kompleks frekans (s) cinsinden ifade edilmesi oldukça
elverişlidir. Bu değişiklik yalnızca j ω ’nın s ile değiştirilmesi suretiyle
sağlanabilir. Bu nedenle, kompleks frekans domeninde j ω ekseni
boyunca spektral yoğunluk daha önce incelenenle aynı olacaktır.
Kompleks frekans gösterilişi, alışılmış dönüşümde ω yerine -js veya ω 2
yerine –s2 yazılmak suretiyle gerçeklenir. Sonuç spektral yoğunluk
genelde Sx(-js) olarak gösterilmelidir, ancak bu notasyon bir anlamda
yeterli görülmemektedir. Bu sebeple, s planında spektral yoğunluk
yalnızca SX(s) olarak gösterilecektir. SX(s) ve SX( ω )’nın bağıl büyüklükleri
nedeni ile farklı fonksiyonlar olacakları açıktır, bu yüzden notasyon daha
çok semboliktir.
Yalnızca ω ’nın çift kuvvetlerini içeren rasyonel spektral yoğunluk özel hali
için, bu ω 2 yerine –s2 yazmakla sağlanır. Örneğin,
(
S X (ω ) = 10(ω 2 + 5) / ω 4 + 10ω 2 + 24
)
rasyonel spektral yoğunluğu ele alınsın. Bu ifade s‘in bir fonksiyonu
olarak yazılmak istendiğinde,
(
)(
S X (s ) = S X (− jω ) = 10 − s 2 + 5 / s 4 − 10 s 2 + 24
)
(6-25)
olur.
Herhangi bir spektral yoğunluk, orantı katsayısı hariç, kompleks frekans
domeninde kutup-sıfır gösterilimi ile de belirtilebilir. Bu tür gösteriliş, bir
sonraki paragrafta değinileceği üzere, genellikle belirli hesaplamaları
sonuçlandırmada elverişlidir. (6-25) eşitliğindeki spektral yoğunluk
açıklama amacıyla ele alınırsa, eşitlik aşağıdaki şekilde çarpanlara
ayrılabilir ve kutup-sıfır gösterilişi Şekil 6-4’te görüldüğü gibi olur. Bu şekil
aynı zamanda, bu ifade biçiminin daima j ω eksenine göre simetrik olması
gibi önemli bir noktayı belirtir. Spektral yoğunluk rasyonel olmadığında,
ω ’ların –js’ler
(
)(
)
(
)(
S X (s ) = −10 s + 5 s − 5 / (s + 2 )(s − 2 ) s + 6 s − 6
184
)
ile değiştirilmesi esesı değişmemesine rağmen sonuç kolaylıkla elde
edilemez. Örneğin, spektral yoğunluk (6-23) eşitliğinde verildiği gibi
ŞEKİL 6-4: Bir Spektral Yoğunluk için Kutup-Sıfır Gösterilişi
olduğunda, kompleks frekans domeninde,
 2
2
S X (s ) = F ( s ) F (− s )  σ Y / t1 + 2π (Y ) / t12

(
) (
) ∑ δ (s − ( j 2πn / t ))
∞
1
n = −∞

(6-26)
olarak ifade edilebilir. Burada F(s), f(t) ana dalga şeklinin Laplace
dönüşümüdür.
Buna ek olarak spektral yoğunluğu, sistem analizinde daha kullanışlı
kılan,
kompleks
frekans
(s)’in
karesel
beklendik
değerinin
hesaplanmasında oldukça yararlar sağlamasıdır. Buna ilişkin uygulamalar
bir sonraki paragrafta incelenecektir.
ALIŞTIRMA 6-4
Bir spektral yoğunluk,
(
)
S X (ω ) = 1 / ω 4 + 4
şeklinde verilmiştir. Bu spektral yoğunluk için kompleks frekans domeni
kutup noktalarını belirleyiniz.
Cevap: ±1±j1
6-5 SPEKTRAL YOĞUNLUKTAN KARESEL BEKLENDİK DEĞERİ
BULMAK
Konularımızın içinde spektral yoğunluğu incelerken, rasgele iişlemenin
karesel beklendik değerinin aşağıdaki şekilde tanımlandığı
gösterilmişti.
185
∞
X 2 = (1 / 2π ) ∫ S X (ω )dω
(6-11)
−∞
Bu nedenle, karesel beklendik değer spektral yoğunluğun alanı ile
orantılıdır. Spektral yoğunluğun karmaşık bir biçimde olması ya da ω ’nın
yüksek mertebeden kuvvetlerini içermesi halinde, (6-11)’de görülen
integralin hesaplanması çok güç olacaktır. Bu tür bir integralin çözümünde
integrasyon değişkeninin kompleks değişkene (j ω yerine s koymak
suretiyle) çevirmek ve kompleks domende kapalı çevrim boyunca integral
öngören teoremleri uygulamaktır. Karesel beklendik değeri hesaplamada
bu muhtemelen en kolay ve güvenli yoldur. Ancak, belki de okuyucunun
sahip olmadığı kompleks değişkenler bilgisine gerek vardır. İlgilenenler
için işlem sırası bu paragrafın sonunda verilecektir.
Öncelikle incelenecek değişik bir yöntem, rasyonel spektral yoğunluklar
için tablolanmış bazı sonuçlardan yararlanmaktır. Bunlar çeşitli dereceden
polinomlar için tablolanmıştır ve kullanılışı yalnızca uygun sayıları
yerlerine koymaktan ibarettir. Bu genel yapı, spektral yoğunluğun simetri
özelliğinden kaynaklanır. Bunun sonucu olarak rasyonel spektral
yoğunluk daima çarpanlarına ayrılabilir.
S X (s ) = c( s )c(− s ) / d ( s )d (− s )
(6-27)
Burada c(s); sol yarıbölge sıfırlarını, c(-s); sağ yarıbölge sıfırlarını, d(s);
sol yarıbölge kutuplarını, d(-s) ; sağ yarıbölge kutuplarını içermektedir.
(6-11) eşitliğinin gerçel integrasyonu, kompleks değişken (s) cinsinden
ifade edildiğinde, karesel beklendik değer,
j∞
j∞
X = (1 / 2π . j ) ∫ S X ( s )ds = (1 / 2π . j ) ∫ [c( s )c(− s ) / d ( s )d (− s )]ds
2
− j∞
− j∞
186
(6-28)
olur. Rasyonel spektral yoğunluk özel hali için, c(s) ve d(s), s’in
polinomlarıdır ve
c( s ) = c n −1 s n−1 + c n −2 s n − 2 + ... + c0
d ( s ) = d n s n + d n−1 s n −1 + ... + d 0
olarak yazılabilir. c(s) katsayılarından bazıları sıfıra eşit olabilir, fakat d(s);
c(s)’den daha yüksek mertebeden olmalıdır aynı zamanda sıralamada
eksik bir katsayı bulunmamalıdır.
(6-28) eşitliğindeki yapıya sahip olan integraller, n’in 10'a kadar olan
değerleri için tablolanmıştır. n’in 3 veya 4’ten büyük değerleri için genelde
sonuçlar, kesinliğinden şüphe edilecek kadar karmaşıklık gösterirler. Özet
bir tablo Tablo 6-1’de verilmiştir.
j∞
I n = (1 / 2π . j ) ∫ c( s )c(− s ) / d ( s )d (− s )ds
− j∞
c( s ) = c n −1 s
n −1
+ c n −2 s n − 2 + ... + c0
d ( s ) = d n s n + d n−1 s n −1 + ... + d 0
I 1 = c02 / 2d 0 d1
I 2 = (c12 d 0 + c02 d 2 ) / 2d 0 d1 d 2
I3 =
(
)
c 22 d 0 d 1 + c12 − 2c0 c 2 d 0 d 2 + c02 d 2 d 3
2d 0 d 3 (d 1 d 2 − d 0 d 3 )
TABLO 6-1
Bir hesaplama örneği olmak üzere,
(
)(
S X (ω ) = ω 2 + 4 / ω 4 + 10ω 2 + 9
)
spektral yoğunluğu ele alınsın. ω ’lar –js’lerle değiştirildiğinde ifade
(
)(
) (
)(
)(
S X ( s ) = − s 2 − 4 / s 4 + 10 s 2 + 9 = − s 2 − 4 / s 2 − 1 s 2 − 9
187
)
(6-29)
olur. Çarpanlarına ayrılarak,
S X ( s ) = ( s + 2)(− s + 2) /( s + 1)( s + 3)(− s + 1)(− s + 3)
(6-30)
elde edilir. Buradan,
c(s) = s + 2
d(s) = (s+1)(s+3) = s2 + 4s + 3
olduğu görülecektir. Bu durumun n 2 için olduğu anlaşılacaktır.
c1 = 1
c0 = 2
d2 = 1
d1 = 4
d0 = 3
bulunur. Tablo 6-1’den I2 olarak tanımlanan büyüklük hesaplanırsa,
[
]
I 2 = c12 d 0 + c02 d 2 / 2d 0 d1 d 2 = (1) (3) + (2) 2 (1) / 2(3)(4)(1)
= (3 + 4 )/24 = 7 /24
2
bulunur. X = I 2 olduğundan,
2
X 2 = 7 / 24
elde edilir. Bu işlem, teorinin iyi anlaşılmasını gerektirmeyen, yalnızca
sonuca kolay varma yolunu gösteren elverişli bir aracı tanımlamaktadır.
Ancak biraz dikkat gerektirdiği açıktır. Öncelikle, yukarıda değinildiği gibi,
c(s)’in d(s)’ten daha küçük mertebeden olması gerekir. İkinci olarak c(s) ve
d(s)’in yalnızca sol yarıbölgede köklere sahip olması gerekir. Son olarak
da d(s)’in j ω ekseninde kökü olmaması gerekmektedir.
(6-28) eşitliğinde verilen türde integralin hesaplanmasında genel ve daha
sağlıklı yöntemin kompleks integrasyonun kullanılması ile sağlandığına
daha önce değinilmişti. Buna ait teorinin kısa bir özeti EK F’te verilmiş ve
kavramlar burada spektral yoğunluktan karesel beklendik değeri elde
etmede bir başka yöntemi tanıtmak üzere açıklanmıştır. Öğrenciye bu
genel yolun etkinliğinin tanıtılması, burada yalnızca bu yöntemin işleyiş
biçimi inceleneceğinden, önemlidir. Öğrenci, bu teori ile ilgili bütün
kavramları bilmediği takdirde matematik araçları kullanırken pek çok
yanlışlık yapabileceğini ve bu nedenle yeterli teoriyi en kısa zamanda
öğrenmesi gerektiği konusunda uyarılmalıdır.
188
Bir sonraki yöntem, artıkların (residue) hesaplanmasına dayalıdır. Ters
Laplace dönüşümünün hesaplanması ile bağlantılı olarak çoğu kez
yaptıklarımıza benzer bir yol izlenir. Örneğin (6-29) ve (6-30) eşitlikleri ile
yukarıda verilen spektral yoğunluk ele alınsın. Bu spektral yoğunluk Şekil
6-5’te görülen kutup-sıfır düzenlemesi ile belirtilebilir. (6-28) eşitliği ile
gösterilen integrasyon çevrimi j ω ekseni boyuncadır, ancak, EK F’de
incelenen
kompleks
integrasyon
yöntemi
kapalı
bir
çevrim
gerektirmektedir. Böyle bir kapalı çevrim hem sol ve hem de sağ
yarıbölgeleri çevreleyebilen sonsuz yarıçaplı bir yarıdaire eklenerek elde
edilebilir. Şekil 6-6’da görüldüğü gibi, sol yarıbölge kullanıldığında cebirsel
işaretlerde daha az güçlüklerle karşılaşılır.
Şekil 6-5: Bir Spektral Yoğunluk için Kutup-sıfır Gösterilişi
Şekil 6-6: Karesel Beklendik Değeri Bulmada İntegralin Yolu
189
Bu kapalı çevrim boyunca integral almak j ω ekseni boyunca integralle
aynıdır, R → ∞ için önemi olmayan bu yarıdairenin kullanılması
gerekmektedir. Rasyonel spektral yoğunluk için payda polinomunun, pay
polinomundan daha yüksek mertebeden olması durumunda, yalnızca çift
kuvvetler mevcut olduğundan, doğru olacaktır.
Kompleks değişkenler teorisinin temel bir sonucu, kompleks domende
basit bir kapalı çevrim boyunca integral değerinin bu çevrimin içerdiği
kutuplardaki artıkların toplamının 2 π j katına eşit olduğunu ortaya koyar
(EK F'e bakınız). Tanım gereği karesel beklendik değer 1/(2 π j) çarpanına
sahip olduğundan ve seçilen kapalı çevrim sol yarıbölgeyi kapsadığından
karesel beklendik değer genel olarak aşağıdaki gibi belirtilebilir.
X 2 = ∑ (sol yarı bölge kutup artıkları)
(6-31)
Örnek olarak yalnızca sol yarıbölgede -1 ve -3 de kutupları olan bir
durum incelenecektir. Artıklar, SX(s)’in sorudaki kutuplara ait faktörlerle
çarpılarak ve s’ler kutup değerleri olarak yerlerine konulmak suretiyle
kolayca elde edilebilir. Böylece,
K −1 = [( s + 1) S X ( s )]s = −1 = [− ( s + 2)( s − 2) /( s − 1)( s + 3)( s − 3)]s =−1 = 3 / 16
K −3 = [( s + 3) S X ( s )]s = −3 = [− ( s + 2)( s − 2) /( s + 1)( s − 1)( s − 3)]s =−3 = 5 / 48
yazılır. Buradan (6-31) eşitliği ile,
X 2 = (3 / 16) + (5 / 48) = 7 / 24
elde edilir. Bu sonuç daha önce hesaplananla aynı değerdedir.
Eğer kutuplar basit yapıda değil iseler, daha genel yol EK F'de artıkların
hesaplanmasında kullanılabilmek üzere açıklanmıştır. Genelde karesel
beklendik değer (6-31) eşitliği ile hesaplanır.
ALIŞTIRMA 6-5
Çevrim integrasyonunu kullanarak spektral yoğunluk ifadesi aşağıda
verilen rasgele işlemeye ait karesel beklendik değeri hesaplayınız ve
190
(
S X (ω ) = ω 2 / ω 4 + 3ω 2 + 2
)
Tablo 6-1 'i kullanarak sonucu kontrol ediniz.
Cevap: (1/1,41)-(1/2)
6-6 SPEKTRAL
BAĞLANTISI
YOĞUNLUĞUN
ÖZİLİŞKİ
FONKSİYONU
İLE
Özilişki fonksiyonu 5.Bölümde, iki zaman fonksiyonunun çarpımının
beklendik değeri olarak tanıtılmıştı. Bu bölümde, bunların Fourier
dönüşümlerinin çarpımının beklendik değeri ile bağlantılı olduğu
gösterilecektir. Söz konusu iki beklendik değer arasında doğrudan bir bağ
olması gerektiği görülecektir. Hemen hemen daima, sezgi yoluyla,
spektral yoğunluğun, özilişki fonksiyonunun Fourier (veya Laplace)
dönüşümü olduğu düşünülür ve bu umulan sonuçtur.
İlk olarak durağan olmayan rasgele işleme durumu ele alınacak ve sonra
elde edilen sonuçlar özelleştirilerek durağan duruma geçilecektir. (6-10)
eşitliğindeki spektral yoğunluk,
[
2
]
S X (ω ) = lim E Fx (ω ) / 2T
T →∞
(6-10)
olarak tanımlanmıştı, burada FX( ω ) kırpılmış Fourier dönüşümüdür. O
halde,
T
FX (ω ) =
∫X
T
(t ).e − jω .t dt
(6-32)
−T
yazılabilir. (6-32) eşitliği, (6-10) eşitliğinde yerine yazılarak ve
2
FX (ω ) = FX (ω ).FX (− ω ) olduğu bilindiğine göre,
T
T

− jω .t 1
S X (ω ) = lim (1 / 2T )E  ∫ X T (t1 )e
dt1 ∫ X T (t 2 )e − jω .t 2 dt 2 
T →∞
−T
 −T

bulunur. t1 ve t2 indisleri, integraller çarpımının çift katlı integral olarak
yazılması halinde değişkenlerin ayırt edilebilmesi için yazılmıştır. Böylece
(6-33) eşitliği,
191
T
T

S X (ω ) = lim (1 / 2T )E  ∫ dt 2 ∫ e − jω (t 2−t1) X T (t1 ) X T (t 2 )dt1 
T →∞
 −T −T

T
T
−T
−T
= lim (1 / 2T ) ∫ dt 2 ∫ e − jω (t 2−t1) E[ X T (t1 ) X T (t 2 )]dt1
T →∞
(6-34)
olarak yazılabilir. Beklendik değer alma işleminin, çift katlı integralin içine
alınmasının bu durum için de geçerli olduğu gösterilebilir, ancak ayrıntıları
burada incelenmeyecektir.
Yukarıdaki eşitlikte, integral içindeki beklendik değerin kırpılmış işlemenin
özilişki fonksiyonu olduğu anlaşılacaktır. O halde,
E [X T (t1 ) X T (t 2 )] = R X (t1 , t 2 )
=0
ve
t1 , t 2 ≤ T
dışında
(6-35)
→ ∞
dt 2 = dτ
yerine konarak, (6-34) eşitliği,
S x (ω ) = lim (1 / 2T )
T →∞
T − t1
T
∫ dτ ∫ e
−T − t1
− jωτ
R X (t1 , t1 + τ )dt1
−T
olur. Sınır değerleri (6-35) eşitliğine göre düzenlenmiştir. İntegrasyon
sırası değiştirilerek ve limit içeri alınarak τ ’ya göre integral,
T

 − jωτ
(
)
lim
1
/
2
T
∫−∞T →∞
∫−T R X (t1 , t1 + τ )dt1 e dτ
∞
S X (ω ) =
(6-36)
şeklini alır. (6-36) eşitliğinden, spektral yoğunluğun, öziliski fonksiyonunun zaman ortalamasının Fourier dönüşümü olduğu açıkça görülmektedir. Bu, aşağıdaki gibi daha kısa ifade ile özetlenebilir.
S X (ω ) = ℑ{< R X (t , t + τ ) >}
192
(6-37)
(6-37) eşitliği ile verilen bağıntı aynı zamanda durağan olmayan işleme
için de geçerlidir.
İşleme, durağan rasgele bir işleme olduğunda, özilişki fonksiyonu
zamandan bağımsız olur. O halde,
< R X (t1 , t1 + τ ) >= R X (τ )
yazılabilir. Benzer şekilde geniş anlamda durağan rasgele işlemenin
spektral
yoğunluğu
yalnızca,
özilişki
fonksiyonunun
Fourier
dönüşümüdür. Yani,
∞
S X (ω ) =
∫R
X
(τ )e − jωτ dτ
−∞
= ℑ{R X (τ )}
(6-38)
dir.
Wiener-Khinchine bağıntısı olarak bilinen, (6-38) eşitliği, zaman domeni
(ilişki fonksiyonu) ve frekans domeni (spektral yoğunluk) arasında geçiş
sağlaması nedeniyle, rasgele işaret analizinde son derece önemlidir.
Fourier dönüşümünün mükemmelliği dolayısıyla, geniş anlamda durağan
rasgele işlemenin özilişki fonksiyonu, spektral yoğunluğun ters Fourier
dönüşümü olmaktadır. Durağan olmayan işleme durumu için özilişki
fonksiyonu, spektral yoğunluktan elde edilemez, yalnızca (6-37)
eşitliğinden görüleceği gibi, ilişki fonksiyonunun zaman ortalaması olarak
bulunabilir. Bundan sonraki incelemelerde (6-38) eşitliğinin geçerli
olduğu, yalnızca, geniş anlamda durağan işleme ile çalışılacaktır.
Bu sonuçların kolay bir örneği olarak,
R X (τ ) = A.e
−β τ
,
A>0,
β >0
(6-39)
şeklinde bir özilişki fonksiyonu düşünülsün. τ ’daki mutlak değer işareti
özilişki fonksiyonunun simetrik oluşundan kaynaklanmaktadır. Bu
fonksiyon Şekil 6-7(a)’da gösterilmiştir ve τ =0 için türevde süreksizlik
olduğu görülmektedir. Bu nedenle (6-39) eşitliğini iki integralin toplamı
biçiminde yazmak gerekir, (biri τ ’nun negatif, diğeri pozitif değerleri için
olmak üzere).
193
a) Özilişki Fonksiyonu ve b) Spektral Yoğunluk Arasındaki Bağlantı
O halde,
S X (ω ) =
0
∞
βτ − jωτ
βτ − jωτ
∫ A.e e dτ + ∫ A.e e dτ
0
−∞
= A.e
( β − jω )τ
0
∞
/ (β − jω ) −∞ + A.e ( β − jω )τ / − (β + jω ) 0
(
= A.[1 / (β − jω ) + 1 / (β + jω )] = 2 Aβ / ω 2 + β 2
(6-40)
)
yazılır. Bu spektral yoğunluk Şekil 6-7(b) ‘de görülmektedir.
Durağan durum için verilen bir spektral yoğunluktan ters Fourier
dönüşümü kullanılarak, karşı düşen özilişki fonksiyonunu da bulmak
mümkündür.
∞
R X (τ ) = (1 / 2π ) ∫ S X (ω )e jωτ dω
(6-41)
−∞
Bu sonuçla ilgili bir uygulama bir sonraki paragrafta verilecektir.
(6-40) eşitligindeki sonucu elde etmede, orijinde eğim süreksizliği
nedeniyle, integral iki kısma ayrılmıştı. Bütün durumlar için
uygulanabilir olan farklı bir yol, özilişki fonksiyonunun simetrik olma
avantajını kullanmaktır. (6-38) eşitliği,
194
∞
S X (ω ) =
∫R
X
(τ )[cos ωτ − j. sin ωτ ].dτ
−∞
biçiminde yazıldığında, üstel terim sinüs ve kosinüs cinsinden
yazılmak suretiyle, R X (τ ) sin ωτ ’nun tek bir fonksiyon olduğu dikkate
alınarak integralin sıfır olacağı açıkça görülmektedir. Diğer yandan
R X (τ ) cos ωτ çift bir fonksiyondur ve - ∞ ’dan ∞ ’a kadar integral, 0’dan
∞ ’a kadar olan integral sonucunun tam iki katıdır. Bu nedenle,
∞
S X (ω ) = 2∫ R X (τ ) cos ωτ .dτ
(6-42)
0
bir seçenek olarak orijinin iki yanında integrasyon
gerektirmez. Geniş anlamda durağan işleme için buna karşı
düşen ters dönüşüm ifadesi,
∞
R X (τ ) = (1 / π )∫ S X (ω ) cos ωτ .dω
(6-43)
0
olarak kolayca verilebilir.
Daha önce de değinildiği üzere, spektral yoğunluk ve ilişki fonksiyonu
arasındaki bağıntı, Laplace dönüşümü cinsinden de ifade edilebilir. Ancak,
Laplace dönüşümünün sistem analizinde en sık kullanılan biçiminde
dönüşümü alınan zaman fonksiyonunun, zamanın negatif değerleri için sıfır
olması gerektiği hatırlanmalıdır. Özilişki fonksiyonları daima τ ’nun çift
fonksiyonları olduklarından, τ ’nun negatif değerleri için hiçbir zaman sıfır
olamazlar. Bu yüzden buradaki uygulamada iki yanlı Laplace dönüşümü
kullanmak gereklidir. Buna karşı düşen dönüşüm çifti,
∞
S X (s) =
∫R
X
(τ )e − sτ dτ
(6-44)
−∞
j∞
R X (τ ) = (1 / 2π . j ) ∫ S X ( s )e + sτ ds
(6-45)
− j∞
olarak kolayca gösterilebilir. Sonlu karesel beklendik değere sahip bir
işlemenin spektral yoğunluğunun jω ekseni üzerinde kutup'a sahip olması
mümkün olamayacağından, (6-45) eşitliğindeki integrasyon çevrimi daima
jω ekseni üzerinde olacaktır.
195
ALIŞTIRMA 6-6
Durağan olmayan rasgele işleme aşağıda verilen özilişki fonksiyonuna
sahiptir.
R X (t , t + τ ) = sin (4πτ + 2πτ ) + (1 / 2) cos 2πτ
SX( ω )’yı hesaplayınız.
6-7 BEYAZ GÜRÜLTÜ
Beyaz gürültü kavramına daha önce değinilmişti. Bu ad, bütün ω
değerleri için sabit olan bir spektral yoğunluğa verilmiştir ve SX( ω )=S0
olarak değerlendirilir. Bu tür bir işlemenin ilişki fonksiyonunu
hesaplamak ilginçtir. Yapılması gereken en iyi şey sonuçtan hareket
ederek doğruluğunu göstermeye çalışmaktır.
R X (τ ) = S 0δ (τ )
ile verilen ve δ fonksiyonu içeren bir özilişki fonksiyonu ele alınsın.
Bunun (6-38) eşitliğine uyarlanması,
∞
S X (ω ) =
∫R
X
(τ )e − jωτ dτ
−∞
∞
=
∫ S δ (τ )e
0
− jωτ
dτ = S 0
(6-46)
−∞
beyaz gürültü için bir sonuca varmayı sağlar. Buradan, beyaz gürültüye ait özilişki fonksiyonunun sadece spektral yoğunluğa eşit bir
alanla temsil edilen bir δ fonksiyonu olduğu açıktır.
Beyaz gürültü kavramı daha önce de değinildiği gibi imajinerdir. Çünkü,
bu tür bir işleme, spektral yoğunluğunun alanı sonsuz olmasından
dolayı sonsuz karesel beklendik değere sahiptir. Aynı sonuç ilişki
fonksiyonunda da görülür. Karesel beklendik değerin τ − 0 için özilişki
fonksiyonunun değerine eşit olması gerektiği anımsanacaktır. Bununla
beraber, beyaz gürültü kavramının, lineer sistemlerin analizinde son
derece önemli bir yeri vardır. Sistemin band genişliği, rasgele giriş
işaretinin frekans sınırlarından büyük olması durumunda, sistemin bu
işareti geçirmesi olayı sıkça karşılaşılan bir durumdur. Bu gibi hallerde,
girişin spektral yoğunluğunun beyaz gürültü varsayılması, dikkate
değer herhangi bir hata ile karşılaşılmaksızın sistem cevabının
hesaplanmasına önemli ölçüde kolaylık sağlar. Buna ait örnekler 7. ve
8. Bölümlerde incelenecektir.
Sıklıkla kullanılan diğer bir kavram Band Sınırlı Beyaz Gürültü'dür. Bu,
bir spektral yoğunluğun sonlu band genişlik boyunca sabit ve bu
frekans sınırları dışında sıfır olmasına karşı düşer.
196
S X (ω ) = S 0
ω ≤ 2πW
=0
ω > 2πW
(6-47)
Şekil 6-8(a)’da band sınırlı beyaz gürültü görülmektedir. Bu spektral
yoğunluk da karesel beklendik değeri sonlu olmasına rağmen
(gerçekten de, X 2 = 2WS 0 ) imajinerdir. Neden? İsteğe bağlı olarak iyi
bir yaklaşım sağlayabilir ve pek çok analiz probleminde elverişlilik
sağlar.
ŞEKİL 6-8: Band Sınırlı Beyaz Gürültü a) Spektral Yoğunluk b) Özilişki Fonksiyonu
Bu tür bir işlemede, özilişki fonksiyonu, (6-41) eşitliğinden kolaylıkla
elde edilir ve,
∞
R X (τ ) = (1 / 2π ) ∫ S X (ω )e jωτ dω
−∞
2πW
= (1 / 2π )
(
jωτ
jωτ
∫ S 0 e dω = (S 0 / 2π ) e / jτ
− 2πW
[
= (S 0 / 2π ) (e j 2πWτ − e − j 2πWτ ) / jτ
]
)
2πW
− 2πW
(6-48)
= (S 0 / πτ )sin 2πWτ = 2WS 0 [sin 2πWτ / 2πWτ ]
olur. Bu durum Şekil 6-8(b)’de gösterilmiştir. Limitte W sonsuza
yaklaştığında ifadenin δ fonksiyonuna yaklaştığını belirtelim.
Şekil 6-8(b)’den, band sınırlı bir işlemeye ait raslantı değişkeni,
1/2W saniyenin katları kadar zaman aralıklarında belirtiliyorsa,
ilişkisiz (uncorrelated) olacaktır. Band sınırlı fonksiyonların band
genişliklerinin iki katı sınırlarında alınan örnekler dizisi ile tek ve tam
olarak ifade edilebileceği bilinmektedir. Bu temel, örnekleme teoremi
olarak hatırlanacaktır. Bu nedenle, band sınırlı bir fonksiyon düz bir
spektral yoğunluğa sahipse, örneklerle ifade edilebilir ve örneklerin
ilişkili
197
olmayacağı görülür. Örnekler arasında ilişkinin olmayışı bundan
sonraki analiz çalışmalarında önemli yararlar sağlayabilir. Özel
olarak, (5-9) paragrafında tanımlanan ilişki matrisi bu tür örneklenmiş
işleme için diyagonal matris olacak, yani ana köşegen dışındaki
bütün terimler sıfıra eşit olacaktır.
ALIŞTIRMA 6-7
Bir spektral yoğunluk,
S X (ω ) = 0,1
ω ≤ 50π
=0
ω > 50π
olarak verilmiştir.
a- Bu işlemenin karesel beklendik değerini,
b- Özilişki fonksiyonunu sıfır yapan en küçük τ değerini bulunuz.
Cevap: 0,02 - 5
6-8 ÇAPRAZ SPEKTRAL YOĞUNLUK
Bir lineer sistemin giriş ve çıkışı gibi, ilişkili iki rasgele işleme ele
alındığında, çapraz spektral yoğunluk olarak bilinen bir çift eşitlik
tanımlamak mümkündür. Burada inceleme amaçları için yalnızca
bunları tanımlamak ve herhangi bir ispata yönelmeden birkaç
özelliğini belirtmek yararlı olacaktır.
Eğer FX (ω ) , bir işlemenin kırpılmış örnek fonksiyonunun Fourier
dönüşümü ve FY (ω ) da bir başka işlemenin benzeri ifadesi
olduğunda, bu ikisine ait çapraz spektral yoğunluk,
S XY = lim E [FX (−ω ) FY (ω )] / 2T
(6-49)
S XY = lim E [FY (−ω ) FX (ω )] / 2T
(6-50)
T →∞
T →∞
olarak tanımlanabilir.
Normal spektral yoğunluğa benzemeyen çapraz spektral
yoğunluğun pozitif, gerçel ve ω ’nın çift fonksiyonu olması
gerekmez. Ancak, aşağıdaki özelliklere sahiptir.
1- S XY (ω ) = S YX (ω )
2- Gerçel [S XY (ω )] , ω ’nın bir çift fonksiyonudur. Aynı şey
S YX (ω ) için de geçerlidir.
198
3 – İmajiner (S XY (ω ) ) , ω ’nın bir tek fonksiyonudur. Aynı şey
S YX (ω ) için de geçerlidir.
Çapraz spektral yoğunluk, çapraz ilişki fonksiyonu ile gene Fourier
dönüşümü aracı ile ilgilidir. Bileşik durağan işleme hali için,
∞
S XY (ω ) =
∫R
(τ )e − jωτ dτ
XY
(6-51)
−∞
∞
R XY (τ ) = (1 / 2π ) ∫ S XY (τ )e jωτ dω
(6-52)
−∞
∞
S YX (ω ) =
∫R
YX
(τ )e − jωτ dτ
(6-53)
−∞
∞
RYX (τ ) = (1 / 2π ) ∫ S YX (τ )e jωτ dω
(6-54)
−∞
Çapraz spektral yoğunluğun diğer özellikleri sırası geldikçe verilecektir.
6-9 SPEKTRAL YOĞUNLUĞUN ÖLÇÜLMESİ
Uygulamaya yönelik durumlarda, rasgele olaylarla karşılaşıldığında
en iyi işaret işleme sistemini oluşturmak üzere, çoğu zaman bu
olayların belirli parametrelerini ölçmek gerekir. Burada incelenecek
durum kolayca altından kalkılabilecek durum olan, kurallara uygun
olarak, işlemenin ergodik varsayılmasıdır. Bu takdirde, uygun
zaman ortalamalarından işlemenin çeşitli parametrelerini kestirmek
mümkündür. Beklendik değer ve ilişki fonksiyonu ile ilgili problemler
daha önce ele alınmıştı. Şimdi arzu edilen, işaretin yer aldığı
frekans bölgesi boyunca güç dağılımının yani spektral yoğunluğun
nasıl kestirilebileceğini incelemektir. Bu tür bilgi pek çok
mühendislik uygulamasında son derece değerlidir. Örneğin,
istenmeyen ya da karışan işaretin spektral yoğunluğunun bilinmesi
genellikle işaretin kaynağı hakkında önemli ipuçları verir ve onun
ortadan kaldırılmasına yol gösterebilir. Ortadan kaldırılmasına
olanak olmadığı hallerde, güç spektrumu hakkındaki bilgiler
çoklukla, bu işaretlerin etkilerini azaltmak üzere uygun filtrelerin
yapılabilmesine olanak sağlar.
199
Bu türe tipik bir örnek problem olmak üzere, 0 ≤ t ≤ T aralığında x(t)
işaretinin sürekli kaydedildiği varsayılsın. x(t) işareti ergodik
işlemeye ait bir örnek fonksiyondur. Kaydedilen işaretin gelmesiyle,
işlemenin SX( ω ) spektral yoğunluk kestiriminin bulunması
istenmektedir.
Spektral yoğunluğu bulmak üzere uygun bir yol, gözlenen örnek
fonksiyonun Fourier dönüşümünü bulmak ve spektral yoğunluk
kestirimi olarak dönüşümün büyüklüğünün karesini almak
düşünülebilir. Fakat, bu yol sonuç vermez. Örnek fonksiyonun
tamamının Fourier dönüşümünün mevcut olmamasından, örnek
fonksiyonun bir bölümünün Fourier dönüşümünün istenen spektral
yoğunluğun ancak zayıf bir kestirimi olacağı şaşırtıcı değildir. Bu
yol, işlemeye ait bütün (veya pek çok) örnek fonksiyonların Fourier
dönüşümlerinin büyüklüklerinin karelerinin ensemble ortalamasının
alınması halinde mümkün olabilir. Ancak, değerlendirilen tek bir
örnek fonksiyon olduğundan bu tür doğrudan yaklaşım mümkün
değildir.
Yukarıdaki amaca varmada bir başka seçenek, (6-38) eşitliğinde
görüldüğü gibi, spektral yoğunluk ve özilişki fonksiyonu arasındaki
matematik bağıntıyı kullanmaktır. (5-4) paragrafında ele alındığı
gibi, tek bir örnek fonksiyondan özilişki fonksiyonunu kestirmek
mümkün olabileceğinden, bu kestirimin Fourier dönüşümü spektral
yoğunluğun kestirimi olacaktır. Burada incelenecek olan yaklaşım
budur.
(5-14) eşitliğinde görülen ergodik bir işlemenin özilişki fonksiyonu
kestirimi, X(t) ensemblenin herhangi bir üyesi olduğunda,
T −τ
Rˆ X (τ ) = [1 / (T − τ )] ∫ X (t ) X (t + τ )dt
0 ≤ τ << T
(5-14)
0
ifadesinden elde edilir. τ , kayıt süresi olan T’nin yanında çok küçüktür ve τ ’nun müsade edilen en büyük değeri τ m ile
gösterilecek olursa, RX için yeni bir kestirim,
T −τ
ˆ
W R X (τ ) = [w(τ ) /(T − τ )] ∫ X (t ) X (t + τ ) dt
0
= w(τ ) a Rˆ X (τ )
olarak tanımlanır. Burada, | τ | > τ m için w( τ )=0 ve a Rˆ X (τ ) ’nun
bütün τ değerleri için mevcut olduğu kabul edilen τ ’nun bir çift
fonksiyonudur. Bu fonksiyon RX( τ ) kestirimini gecikme miktarına
bağlı olarak değiştirdiğinden ve 2 τ m ile sınırlı, sonlu banda sahip
olduğundan W ( τ ) fonksiyonuna genellikle Pencere adı verilir.
200
W( τ
) ile tanışmanın amacı spektral yoğunluk kestiriminin son
derece önemli bir konu olması ve bu tür kestirimlerin mühendisler
tarafından sıklıkla başvurulan bir yol olduğundan kaynaklanmıştır.
Bununla ilgili aşağıdaki kısa açıklama, konuyu tam anlamıyla
anlamak açısından yeterli değildir, fakat anlamlı bir kestirim elde
edilmesinde kavramları tanımaya ve önemini göstermeye yardımcı
olacaktır.
Özilişki fonksiyonunun Fourier dönüşümü spektral yoğunluk olduğundan, spektral yoğunluğun bir kestirimi (6-55) eşitliğinin dönüşümü alınmak suretiyle elde edilebilir.
w
[
Sˆ X (ω ) = ℑ w(τ ) a Rˆ X (τ )
]
= (1 / 2π )W (ω )*a Sˆ X (ω )
(6-56)
Burada, W( ω ), W ( τ )’nun Fourier dönüşümü ve (*) sembolü
dönüşümlerin katlamasını (convolution) belirtir. a Sˆ X (ω ) , şimdi
bütün τ değerleri için tanımlı fakat bütün τ değerleri için
kestirilemeyen a Rˆ X (τ ) ile bağlantılı spektral yoğunluktur.
Pencere fonksiyonunun önemini vurgulamak üzere, problem ne
olursa olsun bir pencere fonksiyonu olacaktır. (5-14) eşitliği yalnızca | τ |< τ M için mevcut olduğundan bu eşitlik,
wr (τ ) = 1
τ ≤τm
=0
τ >τm
(6-57)
olarak tanımlanan, dikdörtgen pencere kullanılmış olması durumu
için,
(6-55) eşitliğine eşdeğer olacaktır. Gerçekte herhangi bir
pencere fonksiyonu (6-57) eşitliğindeki dikdörtgen pencereyi kullanmakla aynı şey değildir. Bir pencereyi kullanmanın önemi, dikdörtgen pencerenin Fourier dönüşümüne dikkat edilerek gösterilebilir,
ℑ[wr (τ )] = Wr (ω ) = 2τ m [sin ωτ m / wτ m ]
(6-58)
ve bu dönüşüm, Şekil 6-9’dan görüleceği gibi zamanın yarısında
negatiftir. Bu nedenle, SX( ω ) ile konvolusyon, kendisi negatif
değerli olmadığı halde kestirim negatif değerler taşıyacaktır.
Gözlenen işaretin sonlu ( τ M<<T) uzunlukta olması Rˆ X (τ ) kendi
sınır değerleri içinde hangi duyarlıkta bilinirse bilinsin, spektral
yoğunluk kestiriminin tamamen hatalı olmasına sebep olur ve
Rˆ X (τ ) yalnızca sınırlı bölgedeki değerleri (τ < τ m ) için kestirilebilir.
201
ŞEKİL 6-9: Dikdörtgen Pencere Fonksiyonu ve Dönüşümü
Dikdörtgen pencere için sağlanan kestirim,
r
Sˆ X (ω ) = (1 / 2π )Wr (ω )*a Sˆ X (ω )
(6-59)
ˆ
ile
gösterilecektir.
mevcut
sınırlı
bilgi
ile
a S X (τ ) ,
kestirilemeyeceğinden (6-59) eşitliğinde görülen konvolüsyonun
uygulanması ile bulunamaz. Bunun yerine (5-14) eşitliği ile
Rˆ X (τ ) ’nun Fourier dönüşümü alınmak suretiyle,
Sˆ (ω ) = ℑ Rˆ (τ )
(6-60)
r
[
X
X
]
yazılır. Burada
T −τ
Rˆ X (τ ) = [1 /(T − τ )] ∫ X (t ) X (t + τ )dt
0 ≤τ ≤τm
0
=0
τ >τm
Rˆ X (τ ) = Rˆ X (−τ )
τ <0
ve
‘dır. Böylece, yukarıda değinildiği gibi, r Sˆ X (ω ) sınırlı τ
değerlerinin hangi mertebede olduğuna bakılmaksızın kestirilebilir.
Şimdi karşılaşılacak sorun, en az hata verecek şekilde r Sˆ X (ω ) ’nın
nasıl elde edileceğidir. Bu sorun diğer pencere fonksiyonlarının
seçimini gündeme getirir.
Sˆ X (ω ) ile bağlantılı güçlüğün kaynağı W r( ω )’nın yan gözleridir.
Bu güçlükten, dönüşümünün çok küçük yan gözlere sahip olduğu
bir pencere seçilmek suretiyle kaçınılabilir. Bu tür bir pencere,
yaygınlıkla kullanılan ve çoğu kez önerinin adına "Hamming
Penceresi" adıyla bilinen bir pencere olup,
r
202
 πτ
Wh (τ ) = 0.54 + 0.46 cos
τ m
=0



τ <τm
(6-61)
τ >τm
(6-61)
(a)
(b)
Şekil 6-10 (a) Hamming Penceresi ve (b) Fourier Dönüşümü
ile verilmiştir. Bu pencere ve dönüşümü Şekil 6-10’da görülmektedir.
h
 1 
Sˆ x (ω ) = 
Wh (ω )*a Sˆ x (ω )
2
π


(6-62)
ifadesi ile verilir, ancak daha önce değinildiği gibi,
olmadığı için bu katlama hesaplanamaz. Fakat eğer,

 πτ
Wh (τ ) = 0.54 + 0.46 cos
τ m

olduğuna dikkat edilirse,
a
Ŝ x (ω ) uygun

.Wr (τ )

ℑ[Wh (t )] = Wh (ω )

 
π
= 0.54δ (ω ) + 0.23δ  ω + 

τ m
 


π
  + δ  ω − 


τ m


  
   * Wr (ω )

  
Hamming penceresinin kırpılmamış sabit ve cosinüs terimlerinin
Fourier dönüşümlerinde δ fonksiyonları olacaktır. Bu ifade (6-62)
eşitliğinde yerine yazılır ve (6-59) eşitliğinden yararlanılırsa, hemen
h


π
Sˆ x (ω ) = 0.54 r Sˆ x (ω ) + 0.23 r Sˆ x  ω + 
τ m


 ˆ 
π
 + r S x  ω −

τm





(6-63)
bulunur. Ŝ X (ω ) , (6-60) eşitliği kullanılarak bulunabildiğinden ve (663) eşitliği, r Ŝ X (ω ) ’nın uyarlamasını göstermektedir. Buna sonuç
kestirimin daima pozitif olmasından emin olmak için gerek duyulur.
203
Bölüm 5-4’te özilişki fonksiyonlarının kestiriminin incelenmesinde
hemen hemen bütün pratik durumlarda gözlenen kayıtların
0, ∆t ,2∆t ,..., N∆t gibi ayrık zamanlarda örneklenmeleri ve sonuç
kestirimin toplam biçiminde olduğuna değinilmişti.
1

 N −n
Rˆ x (n∆t ) = 
 ∑ X k X k +n
 N − n + 1  k =0
n=0,1,...,M
(6-64)
Özilişki fonksiyonu yalnızca τ ’nun ayrık değerleri için
kestirildiğinden, Fourier dönüşümüne de ayrık bir yaklaşım yapmak
zorunludur. Bunu yapmada, bilgisayar zamanından da tasarruf
sağlayan yollar vardır (bilinen adıyla, Hızlı Fourier Dönüşümü,
FFT).Buradaki incelemede, (6-41) eşitliğinin, özilişki fonksiyonunun
yalnızca kosinüs dönüşümü olan ayrık biçimini ele almak yararlı
olacaktır. Buna göre dikdörtgen pencere için spektral yoğunluk
kestirimi,
M −1
ˆ (q∆ω ) = ∆t  Rˆ (0 ) + 2 Rˆ (n∆t ) cos qnπ + Rˆ (M∆t ) cos qπ 
S
∑
r x
x
x
 x

M
n =1


‘dir. Burada,
q = 0,1,2,...,M
∆ω =
π
M∆t
‘dir. Buna karşı düşen Hamming pencere kestirimi,
h
{
}
Sˆ x (q∆ω ) = 0.54 r Sˆ x (q∆ω ) + 0.23 r Sˆ x [(q + 1)∆ω ]+ r Sˆ x [(q − 1)∆ω ] (6-66)
olur ve bu ifade kestirimin son biçimini gösterir.
Mamafih, spektral yoğunluk kestiriminin kalitesinin yeterli olması
sorunu çok önemli ve aynı zamanda oldukça güçtür. Öncelikle
Hamming pencere kestirimleri bayaslanmamış değildir, yani
kestirimin beklendik değeri, spektral yoğunluğun gerçek değerini
yansıtmaz. İkinci olarak kestirimin değişintisini hesaplamak çok
zordur. Ancak bu değişinti için bir yaklaşım, 2M ∆ t’nin özilişki
fonksiyonunun tamamını içeren yeterli büyüklükte olması
durumunda (6-67) eşitliği ile ifade edilebilir.
[
]
M 2
Var h Sˆ x (q∆ω ) =
S x (q∆ω )
N
204
(6-67)
Ölçülen spektral yoğunluk frekans bandı boyunca uniform bir özellik
göstermiyorsa, Hamming pencere ile sağlanan kestirim ön
düzenleme ile minimuma indirgenebilen, ciddi hatalara neden
olabilir.Ön
düzenleme,
bilinen
yollarla
spektrumu
düzgünleştirmektir. Bu tür hatalar, özellikle spektral yoğunlukta,
gözlenen işaretin dc bileşen içermesine karşı düşen δ fonksiyonu
olarak karşımıza çıkar. Bu durumda bilgi işaretinden dc bileşeni
analizden önce çıkarmak oldukça önemlidir.
ALIŞTIRMA 6-9
Özilişki fonksiyonu,
R X (τ ) = 100[1 − 1000 τ ]
=0
τ ≤ 0.001
τ ≥ 0.001
olan rasgele işlemenin spektral yoğunluk kestirimi istenmektedir.
Kestirim ω ‘nın M =10 değeri için yapılacak ve kestirimin effektif
hatası (standard sapma) spektral yoğunluğun maksimum değerinin
%1’i mertebesinde olacak şekilde, zaman fonksiyonunun kaç
örnekten oluşması gerektiği, örnekler arası zaman aralığının ne
olması gerektiği ve kestirimin yer aldığı frekans bölgesinin Hz
olarak frekans bölgesinin ne olduğunu bulunuz.
Cevap: 10-4, 105, 5000
6-10 SPEKTRAL YOĞUNLUĞA AİT ÖRNEK VE UYGULAMALAR
Spektral yoğunluğun en önemli uygulaması rasgele girişlere sahip
lineer sistemlerin analizi ile ilgilidir. Ancak bu uygulama bir sonraki
bölümde
ayrıntılı
olarak
inceleneceğinden
burada
ele
alınmayacaktır. Onun yerine spektral yoğunluğun özelliklerini ve
hesaplama yöntemlerini vurgulamak üzere bazı örnekler
verilecektir.
İncelenecek ilk örnek, binary haberleşme sistemine bir darbe
dizisinin polaritesi yardımıyla bilgi gönderilmesine dayalı bir işarete
aittir. Bu tür bir sistemde, Şekil 6-11 (a)’da görülen dikdörtgen
darbe biçimi kullanılacağı açıktır. Bu darbelerin hepsi aynı genlikli,
fakat polariteleri eş olasılıkla pozitif veya negatiftir ve darbeden
darbeye bağımsızdır. Ne var ki, darbelerin dik kenarları bu işaretin
arzulanandan fazla band işgal etmesine neden olur. Bir başka
darbe biçimi Şekil 6-11 (b)’de görülen yükselen kosinüs darbesidir.
Cevaplanması gereken soru, dikdörtgen darbe yerine bu tür bir
darbenin kullanılması halinde band genişliğindeki azalma
miktarıdır.
205
ŞEKİL 6-11 Bir Binary İşaret (a) Dikdörtgen Darbeli (b) Yükselen
Kosinüs Darbeli
Yukarıda belirtilen her iki rasgele işleme (6-23) eşitliğindeki
genel sonuç yardımıyla açıklanabilen spektral yoğunluklara sahiptir.
Her iki halde de darbe genliğinin beklendik değeri (polaritelerin eş
olasılıklı olması nedeniyle) sıfıra eşittir. Dikdörtgen darbe genliğinin
değişintisi A2 ve yükselen kosinüs darbe için ise bu değer B2 dir. (27 paragrafına, delta dağılımına bakınız.) O halde gereken her
2
darbe için F (ω ) ‘yi bulmaktır.
Dikdörtgen darbe için f(t) darbe şekli fonksiyonu,
t
f(t) = 1
t ≤ 1
2
t
=0
t > 1
2
ve buna ait Fourier dönüşümü,
 sin (ω .t1 / 2) 
dt = t1 

 ω .t1 / 2 
−t 1 / 2
‘dür. (6-23) eşitliğine göre binary işaretin spektral yoğunluğu,
F (ω ) =
t1 / 2
∫ (1)ε
− j ωt
 sin (ω .t1 / 2 ) 
S X (ω ) = A t1 

 ω .t1 / 2 
2
2
(6-68)
olur, bunun maksimum değeri ω =0 için sözkonusudur.
Yükselen kosinüs darbe için f(t) darbe şekli,
t
1
2πt 

f (t ) = 1 + cos
t ≤ 1
2
t1 
2
=0
t >
206
t1
2
dir. Buna ait Fourier dönüşümü,
t1 / 2

1
2π .t  − jω .t
1 + cos
ε
F (ω ) =
dt
∫
2 −t 1 / 2 
t1 


 ω .t1  

sin

t1 
π2
2

= 

2  ω .t1   2  ω .t1  2 
π − 
 
 2  
 2  

olur ve spektral yoğunluk ise,
2
2




π2


2 

 ω .t 
π 2 −  1  
 2  

olmaktadır. Maksimum değer gene ω = 0 meydana gelir.
Bu
spektral
yoğunlukların
band
genişliklerinin
değerlendirilmesinde uygulanabilir pek çok farklı seçenek vardır.
Ancak iki haberleşme sistemi; sındaki girişimin azaltılması
istendiğinde, bandgenişliği, işaretin spektral yoğunluğunun belirli bir
kesri kadar küçük (örneğin %1) olmasının dışında ele almak uygun
olur. Buradan arzu edilen ω 1 değeri,
  ω .t1  
sin 

2
 B t1    2  

 
S X (ω ) = 
 4    ω .t1  


  2  
 S x (ω ) 
ω > ω1

 ≤ 0.01
 S x (0) 
yazılabilir. sin( ω .t1 / 2 ) hiçbir zaman 1’den büyük olamayacağından,
bu koşul (6-68) eşitliğini sağlayacaktır.
2
 1 

A t1 
 ω .t1 / 2  ≤ 0.01
A 2 .t1
2
olduğundan, dikdörtgen darbe hali için,
ω 1 ≈ 20 / t1
yazılabilir. Yükselen kosinüs darbe kullanılması hali için bu
koşul
(B t / 4)[1 / (ω .t / 2)] [π / (π − (ω.t / 2) )]
2
2
1
2
2
2
1
1
B 2 t1 / 4
ve
ω 1 ≈ 10,68 / t1
olarak bulunur.
207
2
≤ 0,01
Dikdörtgen darbeler yerine yükselen kosinüs darbeler kullanılması
halinde band genişliğinin hemen hemen yarıya indiği açıktır.
Bu bölümde incelenen bütün spektral yoğunluk örnekleri, spektral
yoğunlukları ω = 0
için maksimum olan alçak geçiren
fonksiyonlardı. Ancak çok sayıda pratik uygulamada, spektral
yoğunluğun maksimum değerinin herhangi yüksek bir frekansta
olduğu durumlarla karşılaşılır, ikinci örnek bu tür bir durumla ilgilidir.
Şekil 6-12 tipik bir band geçiren spektral yoğunluğu ve kutup-sıfır
düzenlenmesini göstermektedir.
ŞEKİL 6-12 (a) Band Geçiren Spektral Yoğunluk (b) Karşı Düşen Kutup Sıfır Gösterilişi.
Bu spektral yoğunluğun kompleks frekans gösterilişi kutup-sıfır
diyagramından kolayca elde edilir. O halde,
S x (s ) =
S 0 (s )(− s )
(s + α + j.ω 0 )(s + α − j.ω 0 )(s − α + j.ω 0 )(s − α − j.ω 0 )
yazılır. Burada S0 ölçek faktörüdür. Bu spektral yoğunluk
sıfır frekans değeri için sıfıra eşittir.
Bu spektral yoğunlukla ilgili karesel beklendik değer 6-5
paragrafında incelenen her iki yöntemle de elde edilebilir.
Tablo 6-1’in kullanılması halinde kolayca,
208
c(s) = s
c1= 1
2
d(s) = s +2 α s+ α 2 + ω 02
c0 = 0
d2=1 d1=2 α
d0= α 2+ ω 02
olduğu görülür. Karesel beklendik değer I2 yardımıyla,
[
]
X 2 = S 0 I 2 = S 0 c12 d 0 + c02 d 2 / 2d 0 d 1d 2
= S0
(1)2 (α 2 + ω 02 ) + 0 S 0
=
2(α 2 + ω 02 )(2α )(1) 4α
elde edilir. Bu hesaplamanın ilginç sonucu, karesel beklendik
değerin yalnızca band genişliği parametresi olan α ’ya bağlı olması
ve ω 0 merkez frekansından bağımsız olmasıdır.
Üçüncü örnek spektral yoğunluğun aşağıdaki ifadeye bağlı fiziksel
anlamını gösterecektir.
∞
1
X2 =
S x (ω )dω
2π −∫∞
Her ne kadar bu ifade, yalnızca spektral yoğunluğun altında kalan
toplam alan nedeni ile işlemenin toplam karesel beklendik değeri
ise de, daha ileri bir uygulama olarak herhangi frekans sınırları için
karesel beklendik değer benzer şekilde spektral yoğunluğun o
frekans sınırları için altında kalan kısmi alanla orantılıdır. Bu
şekilde, eğer ω1 ve ω 2 gibi herhangi frekans çifti seçilirse, bu iki
frekans arasında enerjiye sahip rasgele işlemenin bu kısmına ait
karesel beklendik değer,
ω1
ω2

1 
=
 ∫ S x (ω )dω + ∫ S x (ω )dω 
1X
2π −ω 2
ω1

2
2
=
1
π
ω2
∫ S (ω )dω
x
(6-71)
ω1
olur. (6-71) eşitliğinin ikinci biçimi S x (ω ) ’nın ω ’nın çift fonksiyonu
olmasının bir sonucudur.
Bu kavramı açıklamak üzere, (6-40) eşitliğinden türetilen spektral
yoğunluk yeniden ele alınsın.
209
S x (ω ) = 2 Aβ / (ω 2 + β 2 )
(6-40)
Burada, A işleminin toplam karesel beklendik değeridir. Toplam
karesel beklendik değerin (veya ortalama güç) yarısı olması için
frekans değerinin bulunmasının istendiği varsayılsın. Bunun anlamı
( ω 2 = ∞ için) ω 1 değerini elde etmek olacaktır. Yani,
∞
∞
1  2 Aβ 
1  1  2 Aβ
dω =  ∫  2
2 π 0  ω + β 2
π ω∫1 ω 2 + β 2 
= (1/2)A
(
)
(
)
 
dω 
 
O halde,
∞
∫ω (1 / (ω
2
))
+ β 2 dω = π / 4 β
1
A’lar kısalacağından, integral
(1 / β ) tan −1 (ω / β ) ω∞1 = (1 / β )[(π / 2) − tan −1 (ω1 / β )] = π / 4 β
olur, burada
tan −1 (ω 1 / β ) = π / 4
dir. O halde bu işlemenin ortalama gücünün yarısı β frekansının
üstünde ve yarısı da β frekansının altında oluşur. Bu özel durum
için β ’nın aynı zamanda, ω = 0 ’da maksimum değere sahip spektral
yoğunluğun yarı frekansına karşı düştüğünü belirtelim. Bu özel
durum için bu sonuç alışılmamış bir sonuç olup genel olarak doğru
değildir. Örneğin, Şekil 6-8’de gösterilen band sınırlı beyaz gürültü
durumu için spektral yoğunluk maksimum değerin yarısına
ω = 2πW ’de ulaşır, fakat ortalama gücün yarısı ω = πW değerinden
büyük değerler için sözkonusudur. Bu sonuçlar kısa açıklamalardan
anlaşılmaktadır.
ALIŞTIRMA 6-10
(6-40) eşitliğindeki spektral yoğunluk için, ortalama gücün onda birinin ω 1 ‘in üstünde yer alması için ω 1 değeri ne olmalıdır.
Cevap: 6,30 β
210
PROBLEMLER
6-1 Aşağıdaki her bir ω fonksiyonunun, spektral yoğunluk için geçerli
bir ifade olup olmadığını belirleyiniz. Geçerli bir ifade olmaması
durumunda nedenini açıklayınız.
(
b. (ω
)(
+ 10 ) / (ω
)
+ 4)
a. ω 2 + 9 / ω 4 − 3ω 2 + 2
2
(
2
4
+ 5ω
)
c. 1 / ω + 2ω + 1
2
(
)
d. ω 4 − 2 / ω 2 + 10ω 4 + 2ω 2 + 1
e. (sin (ω ) / ω )
2
[ (
)]
f. δ (ω ) + ω 2 / ω 2 + 1
6-2 (6-21) eşitliği ile verilen sonucu kullanarak, örnek fonksiyonu
aşağıda Fourier serisi açınımı ile verilmiş işlemenin spektral
yoğunluğu için bir ifade yazınız.
∞
a
X (t ) = 0 + ∑ a n cos nω 0 (t + t 0 ) + bn sin nω 0 (t + t 0 )
2 n =1
Burada t bir peryod boyunca uniform dağılımlıdır ve a ile b
sabitleri göstermektedir.
6-3 Bir rasgele işleme, şekilde görülen peryodik örnek fonksiyona
sahiptir. Burada A bir sabiti ve t ise O ile T arasındaki uniform
dağılımlı bir raslantı değişkenini göstermektedir.
a- Sx(w) spektral yoğunluğunu bularak çiziniz.
b- Problemi örnek fonksiyonu, Y(t) = A + X(t) olan işleme
için tekrarlayınız.
6-4 Bir polarite örnekleyici yakınlıkla şekilde gösterilmiştir.
Örnekleyiciyi, giriş işaretinin polaritesinin ani durumlarını
değerlendirerek ve örnek polaritesinin pozitif veya negatif
olmasına bağlı olarak, çıkışta pozitif veya negatif birim genlikli
darbeler üreten bir düzen olarak düşünelim.
211
Örnekleme frekansına göre dana geniş banda sahip, sıfır
beklendik değerli rasgele gürültü, her bir örnek diğerinden
bağımsız, bu polarite örnekleyiciye uygulandığında, çıkış
rasgele genlikli binary dalga şekli olacaktır. Çıkışın spektral
yoğunluğunu, örnekleme peryodu T ve çalışma faktörü t1/T
cinsinden hesaplayınız.
6-5 Problem 6-1’deki kabul edilebilir her bir spektral yoğunluğun
karşı
düşen kompleks frekans domeni ifadesi Sx(s)'yi
yazınız.
6-6 Problem 6-1’deki kabul edilebilir her bir spektral yoğunluğa
ait karesel beklendik değerleri hesaplayınız.
6-7 Spektral yoğunluğu,
Sx(s) = s2 / (s6-1)
olarak verilen durağan rasgele işlemenin karesel beklendik
değerini bulunuz.
6-8 Durağan bir rasgele işlemeye ait özilişki fonksiyonu,
R x (τ ) = A.e
cos ω 0τ
olarak verilmiştir. Rasgele işlemenin spektral yoğunluğunu
bularak, çiziniz.
−α τ
212
6-9
Bir rasgele işleme şekilde gösterildiği gibidir.
Burada t0, 0 ile T arasında uniform dağılımlı bir raslantı
değişkeni ve ak da diğerinden bağımsız, - 1 ile 1 arasında
uniform dağılımlı bir raslantı değişkenidir.
Bu işlemeye ait spektral yoğunluğu, önce özilişki
fonksiyonunu bulup Fourier dönüşümünü hesaplayarak elde
ediniz. Sonucu (6-23) eşitliği ile kontrol ediniz.
6-10 X(t) ve Y(t) gibi durağan iki rasgele işleme ele alınsın. SXY( ω )
ve SYX( ω )’nın gerçel ve imajiner kısımlarının ifadelerini
yazınız ve
Re SXY( ω ) = Re SYX( ω )
Im SXY( ω ) = -Im SYX( ω )
olduğunu gösteriniz.
6-11 Yeni bir Z(t) rasgele işlemesi, iki bileşik durağın X(t) ve Y(t)
rasgele işlemelerinin toplamı biçimindedir.
a- Yeni işlemeye ait SZ( ω ) spektral yoğunluğunu
hesaplayınız.
b- X(t) ve Y(t), beklendik değerleri sırasıyla X ve Y olan
istatistik bağımsız rasgele işlemeler olduğunda, SXY( ω ) ve
SYX( ω ) hakkında ne söylenebilir.
c- SXZ( ω ) çapraz spektral yoğunluğunu hesaplayınız.
6-12 Spektrumu düzgünleştirmede kullanılan pencerelerin en önce
bilinenlerinden biri,
W (τ ) = 0,5 + 0,5 cos(πτ / τ m )
τ <τm
=0
τ >τm
ifadesi ile verilen ve Hanning penceresi olarak adlandırılan
penceredir. Bu pencerenin kullanılmasının nedeni, herhangi
bir
düzgünleştirme
sağlamayan
dikdörtgen
pencere
uygulanması yerine çok basit bağıntısıyla, sonuç vermesinden
kaynaklanır.
a- (6-63) eşitliğine benzer bir ifadeyi Hanning penceresi için
elde ediniz.
b- Hamming ve Hanning pencerelerinin yangöz düzeylerini
karşılaştırın.
213
6-13 Binary haberleşmesinde kullanılması durumunda, bir üçgen
darbenin performansını, bir dikdörtgen ve bir yükselen kosinüs
darbeyle karşılaştırınız (6-10 paragrafına bakınız). Bütün
darbeler için enerjinin aynı olduğu kabul edilecektir.
6-14 Binary haberleşmede kullanılacak dikdörtgen darbe şekli için
(problem 6-13’e bakınız) yüzde 90 güç içerecek şekilde
frekans sınır değerini hesaplayınız. Aynı işlemi yüzde 99 güç
değeri için tekrarlayınız. (Çözümde nümerik veya grafik
integrasyonu kullanınız.)
6-15 Band sınırlı beyaz gürültü işlemesine ait bir örnek fonksiyonun
band-genişliği W Hz ve örnekleme aralığı ∆ t = 1/2 W’dir. Eğer
işlemenin spektral yoğunluğu S0 ise bu işlemeden alınacak N
örnek için kovaryans matrisini hesaplayınız.
KAYNAKLAR
Bölüm 1’deki kaynaklara bakınız. Özellikle Beckmann, Davenport
ve Root, Papoulis ve Thomas. Aşağıdaki ek referans güç
spektrumu kestirimi yöntemleri üzerine çok faydalıdır.
Blackman, R.B. ve J.W.Tukey, The Measurement of Power
Spectra. New York: Dover Publications, 1958.
214
BÖLÜM 7
RASGELE GİRİŞLERE LİNEER SİSTEMLERİN CEVABI
7-1 GİRİŞ
Önceki bölümlerdeki incelemeler, rasgele zaman fonksiyonlarının
uygun matematik ifadelerini bulmaya yönelikti. İkinci adım, bu
matematik ifadelerin, lineer sistem girişleri deterministik olmayan
rasgele
bir
işaret
olduğunda,
çıkış
işaretinin
nasıl
hesaplanabileceğidir.
Bu aşamada, öğrencinin zaman ve frekans domenlerinde lineer
sistemlerin analizine ait bilgilere sahip olduğu varsayılmıştır. Bu
yöntemlere burada yalnızca kavramları hatırlatmak amacıyla
değinilecek, temel kavramları yeniden gözden geçirmek üzere bir
girişimde bulunulmayacaktır. Sistem, ya impuls cevabı h(t) veya
onun Fourier dönüşümü olan transfer fonksiyonu H( ω ) ile
tanımlanır. Pek çok durumda impuls cevabının Laplace dönüşümünü transfer fonksiyonu H(s) olarak kullanmak elverişli olabilir.
Genellikle kolaylık açısından başlangıç koşulları sıfır kabul
edilecektir. Gerekli olduğu hallerde bilinen yöntemler kullanılarak
sıfırdan farklı başlangıç koşulları hesaba katılabilir.
Bir lineer sistemin girişi deterministik ise her iki yaklaşım da bizi
giriş ve çıkış arasında tek bir bağıntıya götürecektir. Sistem girişi
bir rasgele işlemenin örnek fonksiyonu olduğunda giriş ile çıkış
arasında gene tek bir bağıntı vardır. Ancak girişin rasgele yapısı
nedeniyle, kesin tanımı yapılamaz ve bu yüzden cevap için açık bir
ifade elde edilemez. Bu durumda, çıkışın ya olasılık ya da istatistik
yaklaşımları kabul edilmelidir. Bu tip tanımlar yalnızca girişler için
kullanılmaktadır. Olasılık ve istatistik* yaklaşımlar arasında en
uygun olanı istatistik yaklaşımlardır. Oldukça sınırlı sayıdaki problemler için girişe ait olasılık verileri ile çıkışın olasılık tanımlarını
elde etmek mümkün olmaktadır. Ancak, istatistik model daha çok
kullanılır ve girişin istatistik modeli üzerinde basit matematik
işlemler yapılarak çıkışın istatistik modeli kolayca elde edilebilir.
* Olasılık yaklaşımıyla belirli olasılık fonksiyonları tanımlanmış işaretleri,
istatistik yaklaşım ile de belirli ensemble ortalamaları (beklendik değer,
değişimi, özilişki fonksiyonu vs.) tanımlanmış işaretler belirtilmek
istenmektedir.
215
İstatistik yöntemlerle çıkışın, beklendik değer, ilişki fonksiyonu, ve
spektral yoğunluk gibi büyüklükleri hesaplanabilir. Bundan sonraki
çalışmalarda yalnızca istatistik yaklaşım ele alınacaktır.
7-2 ZAMAN DOMENİNDE ANALİZ
Lineer bir sistemin herhangi bir giriş işaretine cevabını katlama
yardımıyla hesaplamak mümkündür. Zamanla değişen sistemler
veya durağan olmayan rasgele işaretler ya da her ikisinin birlikte
olması hallerinde, ayrıntılar oldukça karmaşık olacaktır. Bu yüzden
burada analizin gerçekçiliğini gösterebilmek üzere fiziksel olarak
gerçeklenebilir kararlı sistemler ele alınacaktır.
ŞEKİL 7-1 Lineer Bir Sistemin Zaman Domeni Gösterilişi
Şekil 7-1’de görüldüğü gibi, giriş zaman fonksiyonu x(t), sistemin
impuls cevabı h(t) ve çıkışın zaman ifadesi y(t) olarak gösterilirse,
x(t) ve y(t) arasındaki bağıntılar,
∞
y (t ) = ∫ x(t − λ )h(λ )dλ
(7-1)
0
ya da
t
y (t ) =
∫ x(λ )h(t − λ )dλ
(7-2)
−∞
olmaktadır. Sistemin fiziksel olarak gerçeklenebilmesinde şu
kısıtlamaları vurgulamak gerekir.
h(t) = 0
t<0
(7-3)
∞
∫ h(t ) dt < ∞
(7-4)
−∞
Bu açıklamalar yardımıyla durağan rasgele işleme ile uyarılan
bir sistemin çıkışının birçok önemli karakteristikleri
hesaplanabilir.
7-3 SİSTEM ÇIKIŞININ
BEKLENDİK DEĞERİ
BEKLENDİK
VE
KARESEL
Sistemin girişi X(t), rasgele işlemenin bir örnek fonksiyonu
olduğunda, katlama integralinin en uygun biçimi,
216
∞
Y (t ) = ∫ X (t − λ )h(λ )dλ
(7-5)
0
olmaktadır. Bunun nedeni integral sınırları zamana bağlı değildir.
Bunu kullanarak, öncelikle y(t) çıkışının beklendik değeri ele
alınacaktır. Bu,
∞

Y = E [Y (t )] = E  ∫ X (t − λ )h(λ )dλ 
0

(7-6)
ile verilmiştir. İkinci ana adım, yapılan zaman integrasyonunda,
beklendik değer alma işleminin sırasının değiştirilmesi ve bu şekilde
integral işaretinin içine alınmasıdır. Bunu yapmadan önce, bu tür
sıra değişikliklerinin hangi koşullarda doğru olacağını açıklamak
yararlı olacaktır.
Çoğu kez karşılaşılan problem, raslantı değişkeninin integral altında
bulunması durumunda beklendik değerin hesaplanmasıdır. Benzer
durumlarda; hemen hemen daima integrasyonu kolaylaştırmak için
beklendik değer alma işleminin integral içine alınabilmesi istenir.
Genellikle ilgilenilen pek çok uygulamada bu yer değiştirme
mümkün olmaktadır. Bu nedenle, bu metinde herhangi bir yorum
yapılmaksızın kullanılmıştır. Ancak, kullanabilme koşullarının
tamamen anlaşılamayacağı düşünülse bile bilinmesi yararlıdır. Bu
koşullar şöyle özetlenebilir.
Eğer Z(t), bir rasgele işlemenin örnek fonksiyonu (veya örnek
fonksiyonun karesi gibi herhangi bir fonksiyon) ve f(t) de rasgele
yapıda olmayan bir zaman fonksiyonu ise,
t 2
 t2
E  ∫ Z (t ) f (t )dt  = ∫ E[Z (t )] f (t )dt
 t1
 t1
yazılabilir. Ancak:
t2
1.
∫ E[ Z (t ) ] f (t ) dt < ∞
t1
ve
2. Z(t); t1 ve t2 aralığı ile sınırlı olmalıdır. Burada t1 ve t2 sonsuz
olabilir. Ayrıca Z(t)’nin durağan olması için bir zorunluluk yoktur.
Bu sonuçların lineer sistemlerin analizinde kullanılmasında f(t)’nin
yerini h(t) alacaktır. Geniş anlamda durağan rasgele işleme girişleri
için E{|Z(t)|} büyüklüğü sabittir ve zamandan bağımsızdır. Bu
nedenle 7-4’teki kararlılık koşulu, 1. koşulu sağlayacaktır.
217
Sınırlı olmayan bazı matematik ifadeler olmasına karşın Z(t) daima
sınırlılık koşulunu fiziksel işaret olması nedeni ile sağlayacaktır.
Lineer sistemlerin çıkışlarının ortalama değerlerinin bulunması
problemine yeniden dönersek, girişe geniş anlamda durağan bir
işaret uygulandığında,
∞
∞
0
0
Y = ∫ E[ X (t − λ )]h(λ )dλ = X ∫ h(λ )dλ
(7-7)
olur. Hatırlanacağı gibi, sistemin impuls cevabının altında kalan
alan, sistemin de kazancını ifade etmektedir. Bu da ω =0 için
sistemin transfer fonksiyonuna karşı düşmektedir. Çıkışın dc
bileşeni girişin dc bileşeni ile sistemin dc kazancının çarpımına
eşittir. Eğer rasgele işaretin beklendik değeri sıfır ise (dc bileşen)
çıkışın da beklendik değeri sıfır olacaktır. Eğer sistem doğru akımı
geçirmiyorsa, çıkışın beklendik değeri daima sıfır olur.
Çıkışın karesel beklendik değerinin bulunması için iki integralin
çarpımının beklendik değerini hesaplayabilmek gerekir. Bu
genellikle değişkenleri farklı tutulan, tekrarlanan çift integral olarak
yazılır.
∞
∞

Y = E Y (t ) = E  ∫ X (t − λ1 )h(λ1 )dλ1 ∫ X (t − λ 2 )h(λ 2 )dλ 2 
0
0

∞
∞


= E  ∫ dλ1 ∫ X (t − λ1 )X (t − λ 2 )h(λ1 )h(λ 2 )dλ 2  (7-8)
0
0

[
2
∞
2
]
∞
= ∫ dλ1 ∫ E [X (t − λ1 )X (t − λ 2 )]h(λ1 )h(λ 2 )dλ 2
0
(7-9)
0
λ1 ve λ 2 integrasyon değişkenleri, integralleri ayırabilmek amacı ile
kullanılmışlardır.
E [ X (t − λ1 )X (t − λ 2 )] = R X (t − λ1 − t + λ 2 ) = R X (λ 2 − λ1 )
olup özilişki fonksiyonu olduğu açıktır. O halde, (7-9) eşitliği,
∞
∞
0
0
Y 2 = ∫ dλ1 ∫ R X (λ 2 − λ1 )h(λ1 )h(λ 2 )dλ 2
(7-10)
yazılabilir.
Her ne kadar, R X (τ ) ve h(t) benzer ve üstel ifadelerle
verilmişlerse, (7-10) eşitliğini hesaplamak güçlük yaratmaz.
Bununla ilgili ayrıntıya girmeye gerek
218
yoktur. Burada, bu tür özilişki fonksiyonlarının türev değerleri
orijinlerinde süreksizlik gösterirler ve integrali kısımlara ayırmak
gerekir. Buna daha sonra değinilecektir. Ancak şimdi tanıtıcı
nitelikte daha kolay bir durum incelenecektir. Eğer giriş işareti
beyaz gürültünün bir örnek fonksiyonu ise
R X (λ ) = S 0δ (τ )
olduğu anımsanacaktır. Burada S0 beyaz gürültünün spektral
yoğunluğudur. (7-10) eşitliğinde yerine yazılmak suretiyle,
∞
∞
0
0
Y 2 = ∫ dλ1 ∫ S 0δ (λ 2 − λ1 )h(λ1 )h(λ 2 )dλ 2
(7-11)
ŞEKİL 7-2: RC Devresi ve Ona Ait İmpuls Cevabı
bulunur ve λ 2 boyunca integre edilerek,
∞
Y = S 0 ∫ h 2 (λ )dλ
2
(7-12)
0
bulunur. Görüleceği gibi impuls cevabının karesinin altında kalan
alan ile orantılıdır.*
Bu kavramları gösterebilmek amacıyla basit bir örnek ele alalım. Bir
alçak geçiren RC devresi düşünelim.
(7-7) eşitliğinden yararlanarak çıkışın beklendik değeri bulunabilir.
∞
Y = X ∫ bε
0
− b .λ
dλ = Xb
ε −bλ
−b
∞
=X
(7-13)
9
* Belirtmek gerekir ki bazı fonksiyonlarda, bu integral (7-4) koşulu sağlansa bile
Iraksama olabilir. Bu duruma h(t) nin S fonksiyonu içerdiği durumlarda
karşılaşılır. Yüksek geçiren RC devresi buna örnektir.
219
Bu sonuç doğrudur çünkü devrenin dc kazancı 1'e eşittir.
Bir sonraki aşama, girişin (7-12) eşitliğindeki beyaz gürültü olması
durumunda çıkışın karesel beklendik değerini incelemektir.
∞
Y = S0 ∫ b ε
2
2
− 2 bλ
2
dλ = b S 0
0
ε −2bλ
− 2b
∞
= bS 0 / 2
(7-14)
0
Zaman sabiti ile ters orantılı olan b parametresi sistemin yarı güç
band genişliği ile ilgilidir. Bu durum için bu band genişliği, B,
1
b
=
Hz
2πRC 2π
‘dir. Buradan,
B=
Y 2 = π .B.S 0
(7-15)
şeklinde yazılabilir. O halde sistem çıkışının karesel beklendik
değeri sistemin band genişliği ile lineer olarak artar. Bu duruma
rasgele girişin band genişliği, sistemin band genişliğine göre büyük
olan durumlarda sıklıkla rastlanır.
ALIŞTIRMA 7-3
Bir sistemin impuls cevabı
h(t) = 2e1 - e-2t
t≥0
=0
t< 0
‘dır. Eğer (12 volt)2/Hz spektral yoğunluklu beyaz gürültülü sistem
girişine uygulandığında, çıkışın, (a)-Beklendik değeri, (b)-karesel
beklendik değeri bulunuz.
Cevap: 0,11
7-4 SİSTEM ÇIKIŞININ ÖZİLİŞKİ FONKSİYONU
Karesel beklendik değerin bulunması ile ilgili olan bir problem de
sistemin çıkışında özilişki fonksiyonunun hesaplanmasıdır. Tanım
olarak bu özilişki fonksiyonu,
RY (τ ) = E [Y (t )Y (t + τ )]
‘dur. (7-9) eşitliğinde t yerine t + τ koyarak,
220
∞
∞
0
0
RY (τ ) = ∫ dλ1 ∫ E [X (t − λ 2 ) X (t + τ − λ 2 )]h(λ1 )h(λ 2 )dλ 2
(7-16)
yazılabilir. Bu durumda integral içindeki beklendik değer,
E [ X (t − λ1 )X (t + τ − λ 2 )] = R X (t − λ1 − t − τ + λ 2 ) = R x (λ 2 − λ1 − τ )
olur. O halde, çıkışın özilişki fonksiyonu,
∞
∞
0
0
RY (τ ) = ∫ dλ1 ∫ R x (λ 2 − λ1 − τ )h(λ1 )h(λ 2 )dλ 2
(7-17)
olacaktır. Bu sonuçla karesel beklendik değer arasında bir benzerlik
vardır. Özellikle τ =0 için (7-10) eşitliğine eşit olur. Girişin beyaz
gürültü olması özel hali için bu ifade daha da basitleşir.
R x (τ ) = S 0δ (τ )
idi, (7-17)’de yerine yazılarak,
∞
∞
RY (τ ) = ∫ dλ1 ∫ S 0δ (λ 2 − λ1 − τ )h(λ1 )h(λ 2 )dλ 2
0
0
∞
= S 0 ∫ h(λ1 )h(λ1 + τ )dλ1
(7-18)
0
bulunur. Girişin beyaz gürültü olması durumunda çıkışın özilişki
fonksiyonu impuls cevabının zamanca özilişki fonksiyonu ile
orantılıdır.
Bu nokta Şekil 7-2’deki lineer sistem ve beyaz gürültü girişi için
gösterilebilir. Böylece,
∞
(
)
RY (τ ) = S 0 ∫ b.e −bλ be −b ( λ +τ ) dλ
0
2
= b S0e
− bτ
e −2bλ
− 2b
∞
= (bS 0 / 2 )e −bτ
τ ≥ 0 (7-19)
0
Bu sonuç ancak τ > 0 için geçerlidir. τ < 0 iken impuls cevabı
negatif değerler için daima sıfır olacağından integral bölgesi
değişmelidir. Şekil 7-3’deki iki diyagram bu duruma açıklık
getirecektir.
221
ŞEKİL 7-3 Şekil 7-2’deki RC Devresi Kullanıldığında (7-18)’deki integrasyonun
τ
’ya bağlı olarak değerlendirilişi
İntegralde çarpanların biri sıfır olunca, integral sıfır olmakta, τ < 0
olduğunda,
∞
(
)
RY (τ ) = S 0 ∫ b.e −bλ b.e −b (λ +τ ) dλ
−τ
∞
= b 2 S 0 e −bτ e −2bλ / (− 2b ) −τ = (bS 0 / 2 )e bτ
τ ≤0
(7-20)
ve (7-19) ile (7-20) eşitlikleri bütünleştirilerek tam özilişki fonksiyonu
RY (τ ) = (bS 0 / 2 )e
−b τ
−∞ <τ < ∞
(7-21)
olarak yazılabilir. τ <0 için yapılan işlemlere gerek yoktur. Madem
ki RY( τ ), τ ’nun bir çift fonksiyonudur, o halde τ >0 için yapılan
hesaplama yeterli olacaktır.
Giriş rasgele işlemesinin beyaz gürültü olmadığı durumlarda bazı
integral problemlerinin incelenmesi yararlı olacaktır. Bu amaçla
Şekil 7-2’deki RC devresine uygulanan ve aşağıda verilen özilişki
fonksiyonuna sahip bir rasgele işleme varsayılsın.
R X (τ ) = (β .S 0 / 2 )e
−β τ
−∞ <τ < ∞
(7-22)
katsayının β .S 0 / 2 seçilmesi, bu rasgele işlemenin ω = 0 ’da S0
spektral yoğunluğa sahip olmasına karşı gelir. (6-40) eşitliği ve
Şekil (7-2)’ye bakınız. Böylece alçak frekanslarda spektral yoğunluk
beyaz gürültü spektrumu ile aynı olur.
222
Uygun integrasyon sınırlarını hesaplamak üzere, özilişki
fonksiyonu, Rx (λ 2 − λ1 − τ ) ’e τ >0 için λ 2 ’nin bir fonksiyonu olarak
bakmak gerekir. Bu durum Şekil 7-4’te gösterilmiştir. (7-17)
eşitliğinin sağlanmasında λ 2 daima pozitiftir. Böylece integrasyon
bölgesinin 0’dan
( λ1 + τ )‘ya ve ( λ1 + τ )’dan sonsuza kadar
uzanacağı açıktır. Bu durumda (7-17) eşitliği aşağıdaki gibi
yazılabilir.
ŞEKİL 7-4 (7-17)’de Kullanılan Özilişki Fonksiyonu
∞
λ1 +τ
0
0
RY (τ ) = ∫ dλ1
∫ R (λ
X
∞
∞
0
λ 1+τ
+ ∫ dλ1
2
− λ1 − τ )h(λ1 )h(λ 2 )dλ 2
∫ R (λ
X
2
− λ1 − τ )h(λ1 )h(λ 2 )dλ 2
∞
(
)
= b 2 β .S 0 / 2 ∫ e −(b + β )λ1
0
(
∫e
− bτ
e −(b− β )λ2 dλ 2
0
∞
)
+ b β .S 0 / 2 ∫ e
2
λ 1+τ
− (b − β )λ1
0
∞
∫e
λ τ
βτ
e −(b + β )λ2 dλ 2
(7-23)
1+
[
∞
]
[
]
= b 2 β .S 0 / − 2(b − β ) e − βτ ∫ e −(b+ β )λ e −(b − β )(λ1+τ ) − 1 .dλ1
0
[
[
∞
] ∫e
− b β .S 0 / − 2(b + β ) e
2
βτ
− b (b − β )λ 1
[e (
− b + β )(λ 1+τ )
].dλ
1
0
]
= b 2 β .S 0 / 2(b − β ) ((− e −b.τ / 2b ) + (e − βτ / b + β ))
[
]
)](e
+ b 2 β .S 0 / 2(b + β ) (e −bτ / 2b )
[
= b 2 β .S 0 / 2(b 2 − β 2
− βτ
− (β / b )e −bτ )
223
τ >0
Simetri özelliğinden τ < 0 için doğrudan yazılarak,
[
)](
(
RY (τ ) = b 2 β .S 0 / 2 b 2 − β 2 e
−β τ
− β / be
−b τ
)
(7-24)
Bu sonucu daha önce beyaz gürültü girişi için bulduğumuz sonuçla
kıyaslamak üzere β ’nın sonsuza gitmesi durumu için limit aramakla
sonuçlandırabiliriz.
lim RY (τ ) = [b.S 0 / 2]e
−b τ
(7-25)
β →∞
Bu da (7-21) eşitliğinin aynıdır. β , b’ye oranla büyük olduğundan
sonlu kalmaktadır. Bu rasgele girişin band genişliğinin, sistem band
genişliğine göre geniş olması durumuna karşı gelir. Bu kıyaslamayı
yapmak üzere (7-24) eşitliği şu biçimde yazılarak,
RY (τ ) = [b.S 0 / 2]e
−b τ
[1 / 1 − [(b )/ β ]][1 − (b / β )e (
2
2
− β −b ) τ
]
(7-26)
bulunur. Bu ifadedeki ilk çarpan giriş beyaz gürültü iken çıkışın
özilişkisidir. İkinci çarpan beyaz gürültü yaklaşımının, gerçek özilişki
fonksiyonu ile farkı göstermektedir. β >>b olması durumunda bu
çarpanların bire yaklaşacağı açıktır.
Uygulamada pek çok durum için, girişte gürültü band genişliği, sistem
band genişliğinden çok fazladır. Bu durumda da beyaz gürültü
yaklaşımını kullanmak mümkündür. Örnek olarak, yüksek güçlü,
vakum tüplü bir kuvvetlendirici düşünülsün ve band genişliği 10 MHz
olsun. İlk aşamada karşılaşılan en önemli gürültü kaynağı shot
noise’dir. Bunun band genişliği 1000 MHz’dir. Böylece (7-26)
eşitliğindeki b/ β çarpanı, 0,01 ve beyaz gürültü yaklaşımının
kullanılması ile oluşacak hatanın %1’inden büyük olmayacaktır.
ALIŞTIRMA 7-4
Spektral yoğunluğu 6 (volt)2/Hz olan beyaz gürültü bir sistemin girişine uygulanmaktadır.
h(t) = 1 - t
=0
0 ≤ t ≤1
dışında
olduğuna göre, (a) τ = 0 için, (b) τ = 1/2 için, (c) τ =1 için sistem çıkışında özilişki fonksiyonunu bulunuz.
Cevap: 0,5 / 8,2
224
7-5 GİRİŞ VE ÇIKIŞ ARASINDA ÇAPRAZ İLİŞKİ
Rasgele işlemenin bir örnek fonksiyonu lineer bir sistemin girişine uygulandığında, çıkışla giriş arasında bir bağ kurulmalıdır. Buna çapraz
ilişki adı verilir. Çapraz ilişki, herhangi bir lineer sistemin impuls
cevabının bulunmasında pratik bir yarar sağlandığından önemlidir.
Giriş-çıkış için bir çapraz ilişki şöyle tanımlanmaktadır.
R XY (τ ) = E [X (t )Y (t + τ )]
(7-27)
ve
∞


R XY (τ ) = E  X (t )∫ X (t + τ − λ )h(λ )dλ  (7-28)
0


X(t), λ ’nın fonksiyonu olmadığından, integral içinde beklendik değer
alınabilir.
∞
R XY (τ ) = ∫ E[ X (t ) X (t + τ − λ )]h(λ )dλ
(7-29)
0
∞
= ∫ R X (τ − λ )h(λ )dλ
0
Yani çapraz ilişki fonksiyonu, sistemin impuls cevabı ile giriş
işaretinin özilişki fonksiyonunun çarpımının integralidir. Diğer çapraz
ilişki fonksiyonu ise,
∞


RYX (τ ) = E[ X (t + τ )Y (t )] = E  X (t + τ )∫ X (t − λ )h(λ )dλ 
0


∞
= ∫ E [X (t + τ ) X (t − λ )]h(λ )dλ
(7-30)
0
∞
= ∫ R x (τ + λ )h(λ )dλ
0
(7-30) eşitliğindeki özilişki fonksiyonu λ = −τ için simetrik ve impuls
cevabı ( ) ∫ () ’nın negatif değerleri için sıfır olduğundan, F (ω) = ∫x(t)e dt çapraz
ilişkisi R XY (τ ) ’dan farklı olacaktır. Ancak τ = 0 için aynı değerlere
sahip olabilirler. Yukarıdaki sonuçlar girişin beyaz gürültü olması
varsayımı ile oldukça basitleşir. Bu durumda,
∞
∞
−jωt
FXω=XTte−ωtdt
X
−∞
−∞
R X (τ ) = S 0δ (τ )
ve
∞
R XY (τ ) = ∫ S 0δ (τ − λ )h(λ )dλ = S 0 h(τ )
τ ≥0
0
=0
τ <0
225
Benzer şekilde
(7-31)
∞
RYX (τ ) = ∫ S 0δ (τ + λ )h(λ )
τ >0
0
= S 0 h(− τ )
(7-32)
τ ≤0
(7-31) eşitliği ile elde edilen sonuç sistemin impuls cevabını bulmak
üzere yeni bir yol gösterir. Şekil 7-5’teki blok diyagramı dikkate
alınırsa,
ŞEKİL 7-5 Bir Lineer Sistemin İmpuls Cevabını Ölçme Yöntemi
X(t) band genişliği, sistem band genişliğinden büyük olan rasgele
işlemenin bir örnek fonksiyonudur. Uygulamada bu oranın 1/10
olması uygun sonuçlar vermektedir. Burada girişin beyaz gürültü
olduğu varsayılacaktır. Bu giriş bir devrede τ kadar geciktirilmiştir.
Bu zaman gecikmesi doğal olarak (iletişim hattı uzunluğu, bir teypte
kaydet ve oku konumları arasındaki zaman farkı gibi) sağlanabilir.
Çarpıcı devre ile Y(t) ve X(t- τ ) çarpılarak Z(t) elde edilir ve bir alçak
geçiren filtreden geçirilir. Filtrenin band genişliği yeterince küçükse
çıkış Z(t)’nin dc bileşeni ve buna ekli küçük bir rasgele bileşenden
oluşacaktır. Girişin ergodik işleme olması halinde Z(t) de ergodik olur
ve Z(t)’nin dc bileşeni (zaman ortalaması) beklendik değeri ile aynı
olacaktır. Böylece,
< Z (t ) >≅ E[Z (t )] = E[Y (t )X (t − τ )] = R XY (τ )
(7-33)
durağan durum için,
E [Y (t )X (t − τ )] = E [X (t )Y (t + τ )] = R XY (τ )
226
(7-34)
olur. (7-31) eşitliğinden,
< Z (t ) >≅ S 0 h(τ )
≅0
τ ≥0
τ <0
Sonuç olarak alçak geçiren filtre çıkışındaki dc bileşen, impuls
cevabının, gecikme olarak tanımlanan, τ için aldığı değerle
orantılıdır. Eğer τ değiştirilebilirse sistemin tüm impuls cevabı
ölçülmüş olacaktır. İlk bakışta bu yöntemle impuls cevabının
ölçülmesi basit bir problemin zor yolla çözülmesi gibi düşünülebilir.
Örneğin bir darbe işareti uygulanıp çıkış gözlense daha kolay
bulunabilirdi denebilir. Ancak, bu doğrudan işlemin yapılamamasının iki nedeni vardır. İlki, gözlenebilecek düzeyde bir çıkış
oluşturmak üzere yeterince geniş bir darbe düzeni onun çalışma
bölgesinin dışında lineer olmayan bir bölgeye sokabilir. İkincisi ise
sistem normal çalışmasını sürdürürken sürekli olarak impuls
cevabının gözlenmesi gerekebilir. Bir darbenin tekrarlanarak girişe
uygulanması bu normal işlemi etkileyecektir. Kullanılan çapraz ilişki
yönteminde, rasgele giriş işareti, normal çalışma için ihmal
edilebilecek kadar küçük tutulabilir. Otomatik kontrol sistemleri, kimyasal proses kontrolü, uçuş sırasında uçak gövdesinin
karakteristiğinin ölçümü gibi bazı mühendislik problemlerinin
çözümünde bu yöntem başarı ile kullanılmıştır. Daha güncel ve
etkileyici bir uygulama da nükleer reaktörün kararsızlığa ne kadar
yakın olduğunun, impuls cevabının gözlenmesi ile sağlandığıdır. Bu
yöntem büyük bir alanda yer sarsıntıları ve rüzgarlara karşı dinamik
cevabın bulunmasında kullanılır.
7-6 ZAMAN DOMENİNDE SİSTEM ANALİZİ ÖRNEKLERİ
Rasgele giriş işareti için özilişki fonksiyonunun üstel biçimde
olmasına karşı düşen basit bir RC devresi 7-4 paragrafında
incelenmişti. Gerçekte, konumuzla ilgili sistemler ve girişler için bir
sonraki paragrafta değinilecek, frekans domeni yöntemleri çoğu
kez çözümde çok kullanışlı ve yararlı olmaktadır. Fakat, zaman
domeninde analizin kolay olduğu bazı durumları incelemek yararlı
olabilir. Bu da sistemin impuls cevabı ve işaretin özilişki
fonksiyonunun sınırlı zaman aralığı için basit olmasından
kaynaklanmaktadır.
Örnek olarak seçilen sistem, impuls cevabı Şekil 7-6(a) ve girişin
özilişki fonksiyonu Şekil 7-6(b)’de görülen sınırlı zaman
integratörüdür.
227
ŞEKİL 7-6 (a) Sınırlı Zaman İntegratörünün, İmpuls Cevabı (b) Girişin Özilişki
Fonksiyonu
Şekil 7-6(b)’de görülen özilişki fonksiyonu, örneğin 5-2
paragrafında değinilen ikili (binary) işlemeden gelmiş olabilir.
Tanımlanan bu özel durum için integratör çıkışı, girişin beklendik
değeri sıfır olduğundan, sıfır beklendik değerli olacaktır. Genel
olarak çıkışın beklendik değeri (7-7) eşitliği uyarınca,
T
Y = X ∫ (1 / T )dt = X
(7-35)
0
yazılabilir. Giriş işlemesinin beyaz gürültü olmadığı durumlarda, (710) eşitliği karesel ortalama değeri hesaplamada kullanılabilir.
Böylece
T
Y 2 = ∫ dλ
0
T
∫ R (λ
X
− λ1 )[1 / T ] dλ 2
2
2
(7-36)
0
elde edilir. Bu integralin hesaplanmasında, Şekil 7-7’den
yararlanmak mümkündür. Burada E{Y2} bu şeklin hacmine eşit
olmaktadır.
ŞEKİL 7-7 (7-36) eşitliğindeki integrasyonun açıklama yöntemi
228
Bu hacim, tabanları ortak ve yükseklikleri T/2’ye eşit iki piramitin
hacimleri toplamıdır. Buna göre toplam hacim,
(
Y 2 = 2(1 / 3) A 2 / T 2
)(
)(
)
2T T / 2 = (2 / 3)A 2
(7-37)
aynı sonuç (7-17) eşitliği kullanılarak çıkışın özilişki fonksiyonunu
bulmak sureti ile de hesaplanır.
T
T
RY (τ ) = ∫ dτ 1 ∫ R X (λ 2 − λ 2 − τ )(1 / T ) dλ 2
2
0
(7-38)
0
Bu çalışma okuyucuya bırakılmıştır. Bu özilişki fonksiyonuna ait
durum Şekil 7-8’de görülmektedir.
-2T
-T
0
T
2T
ŞEKİL 7-8 Sınırlı Zaman İntegratörünün Çıkışının Özilişki Fonksiyonu
Giriş rasgele işlemesinin beyaz gürültü olması halinde bu sonuç
basitleşecektir. (7-12) eşitliği kullanılmak suretiyle,
T
Y 2 = S 0 ∫ (1 / T ) dλ = S 0 / T
2
(7-39)
0
bulunur. Burada S0, girişin beyaz gürültü olması halinde spektral
yoğunluğu göstermektedir ve (7-18) eşitliği kullanılarak çıkışın
özilişki fonksiyonu Şekil 7-9’da görülmektedir.
ŞEKiL 7-9 Beyaz Gürültü Girişine Karşı Çıkışın Özilişki Fonksiyonu
229
İkinci örnek, (7-14) eşitliği sonucundan yararlanarak, geniş bir
gürültünün mevcut olması durumunda, küçük bir dc gerilimin iyi bir
ölçümünü yapmak üzere filtre özelliklerini belirlemek olacaktır. Bu
duruma, aralarında ilişkinin zayıf olduğu iki işaret arasında, çapraz
ilişkiyi ölçmeyi gerektiren sistemlerde raslanır. Şekil 7-2’deki RC
devresi giriş işaretinin aşağıdaki gibi olduğu varsayılırsa,
X(t) = A + N(t)
burada N(t) gürültüsünün özilişki fonksiyonu,
R N (τ ) = 10.e
olsun, A nın 1’ler mertebesinde olması durumunda, %1 effektif hata
ile A’nın ölçülmesi istenmektedir. Bu doğruluğa yaklaşan RC
devresinin zaman sabitinin hesaplanması gerekir. (7-24)
eşitliğinden yararlanarak sonuca varılabilir. Bu oldukça karmaşık
bir yaklaşımdır. Eğer filtre çıkışındaki gürültü değişimi giriştekine
oranla çok küçükse, filtre band genişliği giriş gürültüsüne göre çok
küçüktür. Bu koşullarda giriş için beyaz gürültü yaklaşımı çok
uygundur. Bu yaklaşımdaki ilk adım, ω = 0 civarında gürültünün
spektral yoğunluğunun bulunmasıdır. (6-39) eşitliği spektral
yoğunluğun özilişki ile aşağıdaki şekilde bağlantılı olduğunu
göstermiştir.
−1000 τ
∞
S N (ω ) = ∫ R N (τ )e − jωτ dτ
0
ω = 0 için bu ifade,
S N (0 ) =
∞
∞
∫ R (τ )dτ = 2∫ R (τ )dτ
N
N
(7-40)
0
−∞
O halde bu, özilişkinin ifadesine bağlı değildir. SN = SN(0) olduğu
görülmektedir.
∞
S N = 2(10) ∫ e −1000τ dτ = 20 / 1000 = 0,02
0
(7-14) eşitliğinden yararlanarak, filtre çıkışının ortalama değeri
N0(t),
N 02 = bS N / 2 = b(0,02) / 2 = 0,01b
olacaktır. %1’lik istenen doğruluk değerine ulaşabilmek için,
N 02 ≤ (0,01)(1,0)
230
A = 1,0 için filtre kazancı birim'e eşittir.
N 02 = 0,01b ≤ 10 −4
O halde,
b ≤ 10 −2
olduğundan
b = 1/RC, ve RC ≥ 102
olmalıdır.
7-7 FREKANS DOMENİNDE ANALİZ
Lineer sistemlerin frekans domeninde tanımlanmalarında H( ω )
sistem fonksiyonu ve H(s) transfer fonksiyonu kullanılır. Bilindiği gibi
bunlar, sistemin impuls cevabının sırasıyla Fourier ve Laplace
dönüşümleridir. Sistemin girişi x(t) ve çıkışı da y(t) ise bu değerlerin
Fourier dönüşümleri arasında,
Y( ω )= X ( ω ) H ( ω )
(7-41)
bağıntısı vardır. Laplace dönüşümü için,
Y(s) = X(s) H(s)
(7-42)
yazılabilir. Bu iki biçim de X(t)’nin durağan bir rasgele işlemeye ait
bir örnek fonksiyon olması durumu için uygun değildir. 6-1
paragrafında değinildiği gibi bu tür bir örnek fonksiyonun Fourier
dönüşümü genel olarak bulunamaz. (7-42) eşitliği için ise t >0 için
tanımlanabilir. O halde bu tip bir örnek fonksiyon, durağan işleme
için sözkonusu olamaz. Bu sorunun çözümü için spektral
yoğunluğun kullanılması gerekir. 6-6 paragrafından yararlanarak
durağan işlemenin spektral yoğunluğu işlemenin özilişki fonksiyonunun Fourier dönüşümüdür. Özilişki fonksiyonu lineer ve zamanla
değişmez sistemler için bulunmuştu. O halde spektral yoğunluk
dönüşümle sağlanacaktır.
7-8 SiSTEM ÇIKIŞINDA SPEKTRAL YOĞUNLUK
Bir işlemenin spektral yoğunluğu, işlemenin ortalama gücünün
frekansa bağlı olarak nasıl dağılım gösterdiğinin bir ölçüsüdür.
Spektral yoğunlukta değişik frekanslı bileşenlerin fazları hakkında
bir bilgi bulunmaz. Spektral yoğunlukla özilişki arasındaki bağlantı
şöyle açıklanır.
231
S x (ω ) = {R X (τ )}
(7-43)
Bu eşitlikle, (7-17) eşitliği kullanılarak, RY( τ ) ve R( τ ) arasında
h(t)’ye bağlı bir ifade yazılabilir.
∞
∞
0
0
RY (τ ) = ∫ dλ1 ∫ R X (λ 2 − λ1 − τ )h(λ1 )h(λ 2 )dλ 2
S Y (ω ) = {RY (τ )}
∞
∞
 − jωτ
d
λ
∫−∞ ∫0 1 ∫0 R X (λ2 − λ1 − τ )h(λ1 )h(λ1 )h(λ2 )dλ2 e dτ
İntegralin sırası değiştirilerek,
∞
=
∞
∞
∞
0
0
−∞
∞
∞
0
0
S Y (ω ) = ∫ dλ1 ∫ h(λ1 )h(λ 2 )dλ 2 ∫ R X (λ 2 − λ1 − τ )e − jωτ dτ
= ∫ dλ1 ∫ h(λ1 )h(λ 2 ).S X (ω )e − jω (λ2 −λ1 ) dλ 2
∞
= S X (ω )∫ h(λ1 )e
∞
jωλ1
dλ 1 ∫ h(λ 2 )e − jωλ 2 dλ 2
0
(7-44)
0
= S X (ω )H (− ω )H (ω )
= S X (ω ) H (ω )
2
Sonuçta, RX(- τ ) = RX(s) kabul edilmiştir. (7-44) eşitliğinden
görüldüğü gibi çıkışın spektral yoğunluğu, girişin spektral
yoğunluğuna bağlıdır. Bu sonuç kompleks frekans için de sağlanır.
SY(s) = SX(s) H(s) H(-s)
(7-45)
H(s), H( ω )’da s=j ω koymak suretiyle olduğu gibi, SY(s) ve SX(s) de
SY( ω ) ve SX( ω )’da -s2 = ω 2 konularak elde edilir.
(7-45) eşitliğinden, H(s)’in giriş ve çıkışın dönüşümleri arasındaki
bağıntının varlığı, H(s)H(-s)’in giriş ve çıkışın spektral yoğunlukları
arasındaki bağıntıya tamamen benzedikleri görülecektir. Bu
benzerlik, sistemin rasyonel transfer fonksiyonuna sahip olması
durumunda, girişin örnek fonksiyonunun durağan rasgele işlemeye
ait olması halinde mükemmel uygunlukla frekans domeni
yöntemlerinin kullanılmasını uygun kılar. Bu durum durağan
olmayan rasgele işlemelere her zaman uygun düşmez.
Sisteme ait spektral yoğunluk elde edildiğine göre, çıkışın karesel
beklendik değeri kolayca yazılabilir.
232
j∞
Y = (1 / 2π . j ) ∫ H ( s ) H (− s ) S X ( s )ds
2
(7-46)
− j∞
Şimdi bunu bir örnek üzerinde gösterelim ve Şekil 7-10’daki
devreyi, girişinde spektral yoğunluğu S0 olan bir beyaz gürültü ile
ele alalım.
ŞEKİL 7-10: Basit Bir RC Devresi
Çıkışın spektral yoğunluğu,
S Y ( s ) = (b /( s + b)).(b /(− s + b)).S 0 = −b 2 s 0 /( s 2 − b 2 )
(7-47)
olur. Çıkışın karesel beklendik değerini bulmak üzere, 6-5
paragrafındaki Tablo 6-1’den I1 integralini kullanmak mümkündür.
Bu nedenle (7-47) eşitliği aşağıdaki şekilde yazılmalıdır.
S Y ( s ) = (b S 0 )(b S 0 ) /( s + b)(− s + b)
Burada n= 1 olduğu açıkça görülmektedir.
c( s ) = b S 0 = c 0
d ( s) = s + b
d0 = b
d1 = 1
ve
Y 2 = I 1 = c02 / 2d 0 d 1 = b 2 S 0 / 2b = bS 0 / 2
233
(7-48)
Biraz daha karmaşık bir örnek olarak, giriş spektral yoğunluğu,
S X ( s ) = − β 2 S 0 /( s 2 − β 2 )
(7-49)
olan bir işaret ele alındığında, bu spektral yoğunluk 7-4
paragrafında kullanılan özilişki fonksiyonuna uygun seçilmiştir, bu
nedenle de ω =0 civarında değeri S0’dır. Bu kez RC devre çıkışında
spektral yoğunluk,
S Y ( s ) = (b /( s + b)).(b /(− s + b)).(− β 2 S 0 /( s 2 − β 2 ))
2
2
2
2
2
(7-50)
2
= b β S 0 /( s − b )( s − β )
olur. Gene Tablo 6-1’deki I2 integrali kullanılarak, çıkışın karesel
beklendik değeri hesaplanabilir. Böylece,
S Y ( s ) = c ( s )c ( − s ) / d ( s ) d ( − s )
[
][
]
= (bβ S 0 )(bβ S 0 ) / s 2 + (b + β ) s + bβ s 2 − (b + β ) s + bβ (7-51)
c 0 = bβ S 0
c1 = 0
d0 = d β
d1 = b+ β
d2 = 1
Buradan
Y 2 = I 2 = c02 d 2 + c12 d 0 / 2d 0 d1 d 2
= b 2 β 2 S 0 / 2bβ (b + β ) = bβ .S 0 / 2(b + β )
(7-52)
bulunur.
Giriş rasgele işlemesinin band genişliğinin sistem band genişliğine
göre geniş olduğu durumlarda sonucu yeniden incelemek yararlı
olur. (7-50) eşitliği için β >> b olduğunda,
S Y ( s ) = −b 2 S 0 /( s 2 − b 2 )(1 − s 2 / β 2 )
(7-53)
(7-47) eşitliği ile verildiği gibi beyaz gürültü girişi için, β büyük ise
(7-52) eşitliği,
Y 2 = bS 0 / 2(1 + b / β )
(7-54)
şeklinde yazılabilir.
234
Örneklerin değerlendirilmesiyle, sistemin transfer fonksiyonu ve
spektral yoğunluk fonksiyonu rasyonel olduğunda, frekans domeni
yöntemlerinin daha basit olduğu görülecektir. Sistemin daha
karmaşık olması halinde bile bu yöntemin büyük avantajları vardır.
Girişin spektral yoğunluğu veya sistemin transfer fonksiyonu
rasyonel değilse, bunlar geçerli olmayabilir.
ALIŞTIRMA 7-8
Şekil 7-10 ‘daki RC devresinin girişine, spektral yoğunluğu 1,0
(volt)2/Hz ve ban dgenişliği 50 Hz ile sınırlı beyaz gürültü uygulansa
b = 100 π için çıkışın karesel beklendik değerini bulunuz.
Cevap: 25 π
7-9 GİRİŞ
YOĞUNLUK
VE
ÇIKIŞ
ARASINDA
ÇAPRAZ
SPEKTRAL
Giriş ve çıkış arasındaki çapraz spektral yoğunluk pek kullanılmaz.
Bu nedenle işlem akışı yerine yalnızca sonuçlar verilecektir.
S XY ( s ) = H ( s ) S X ( s )
(7-55)
S YX ( s ) = H (− s ) S X ( s )
(7-56)
ve
7-10 FREKANS DOMENİ ÖRNEKLERİ
Frekans domeni yöntemleri, rasyonel spektral yoğunluğa sahip
rasgele işleme ve gerçeklenebilir filtreler ile birlikte kullanıldığında
son derece kullanışlıdır. Ancak filtre karakteristiklerini ideal
varsaymak ve giriş işlemesini beyaz gürültü olmak suretiyle, fazla
bir hata yapmaksızın, hesaplamaları basite indirgemek
mümkündür. Bunu yapmada çok önemli bir kavramın eşdeğer
gürültü band genişliği olduğu hatırlanmalıdır.
Bir sistemin eşdeğer gürültü band genişliği B, sistem girişi beyaz
gürültü olduğunda, çıkışın karesel beklendik değeri, gerçek karesel
beklendik değerle aynı ve maksimum kazancı aynı olan ideal bir
filtrenin band genişliği olarak tanımlanır. Bu kavram Şekil 7-11’de
hem alçak geçiren ve hem de band geçiren durumlar için
gösterilmiştir. Aynı beyaz gürültü girişlerine aynı karesel beklendik
değeri üreten gerçek sistemin transfer fonksiyonunun karesi altında
kalan alanın dikdörtgen şekilli transfer fonksiyonunun karesinin
altında kalan alanla aynı olması gerektiği açıktır.
235
ŞEKİL 7-11 Sistemin Eşdeğer Gürültü Band genişliği: (a) Alçak Geçiren Sistem
(b) Band Geçiren Sistem
Alçak geçirme durumunda, eşdeğer gürültü band genişliği,
[
B = 1 / 4π H (0)
2
∞
]∫ H (ω )
2
dω
−∞
[
= 1 / 4π . j H (0)
2
j∞
] ∫ H (s)H (−s)ds
Hz
(7-57)
− j∞
Eğer sistem girişi S0 spektral yoğunluklu beyaz gürültü ise çıkışın
karesel beklendik değeri,
2
Y 2 = 2 S 0 B H ( 0)
(7-58)
olarak bulunur. Band geçiren durum için |H(0)|2 yerine (7-57) ve
(7-58) eşitliklerinde |H( ω 0 ) |2 yazılmalıdır.
Eşdeğer gürültü band genişliğini hesaplamaya bir örnek olarak
Şekil 7-10’daki RC devresi ele alınsın.
Y 2 = bS0/2 = 2S0B|H(0)|2
2
|H(0)| =1 olduğundan,
B = b/4 = 1/4RC
(7-59)
olacaktır.
Eşdeğer band genişliğinin tanımlanması ile sistem çok karmaşık
olsa bile gürültü cevabını yalnızca B ve |H( ω 0 )| ile açıklamak
mümkündür.
Bu değerler sistem için ölçülebilir. Örneğin bir haberleşme
sisteminde alıcının akord edildiği frekansta gerilim kazancının
106’ya ve eşdeğer gürültü band genişliğinin de 10 kHz’e eşit olduğu
varsayıldığında, alıcı girişindeki vuru gürültüsü ve termal gürültüden
meydana gelecek toplam gürültünün band genişliği bir kaç yüz MHz
mertebesindedir ve beyaz gürültü olarak kabul edilebilir.
236
Gürültünün spektral yoğunluğu 2x10-20 (volt)2/Hz olsun (bu değer
yüksek kalitede alıcılar için geçerlidir), çıkışta işaret gücü ve güç
gücü oranının 100 olması için girişin effektif değeri ne olacaktır?
Bu sorunun yanıtı için alıcının her katının analizine geçilirse çok
güç olacaktır. Ancak eşdeğer gürültü band genişliğini kullanmak
kolaydır.
2
2
(S/N)0 = H (ω 0 ) X 2 / 2 N 0 B H (ω 0 ) = X 2 / 2 N 0 B
(7-60)
Burada, N0 giriş gürültüsünün spektral yoğunluğudur.
X
2
= 2 N 0 B(100) = 2(2 x10 − 20 )(10 4 )(100)
= 4 x10 −14
ve buradan,
X 2 = 2 x10 −7 V
olarak bulunur. Görüleceği gibi alıcının kazancı tanımlanmış olduğu
halde kullanılmamıştır, (gerek duyulmamıştır). Eşdeğer gürültü
band genişligi, giriş işlemesinin beyaz gürültü olması durumu için
kullanılmalıdır. Diğer hallerde kullanılması hatalı olur.
Bu konuya ilişkin son bir örnek olmak üzere Şekil 7-12’de görülen
geri beslemeli bir sistem ele alınacaktır.
ŞEKİL 7-12 Bir Otomatik Kontrol Sistemi
Radar antenini yönlendirme sisteminde x(t) giriş kontrol açısı
(hedef tam belli olmadığından rasgele varsayılan), y(t) de girişe
cevap olarak alınan açısal yöndür.
237
n(t), rüzgarın açısal yön üzerindeki sapmalara neden olan etkisini
simgeler. Geri besleme çevrimindeki motor ve amplifikatörün
transfer fonksiyonu,
H(s) = A/s(s+1)
olup, transfer fonksiyonu n(t) = 0 için, X(s) = l[x(t )]Y ( s ) = l[ y (t )]
ve
Y(s)=H(s)[X(s)-Y(s)]
ile hesaplanır. Amplifikatör girişi, giriş kontrol işareti ile çıkış işareti
arasındaki fark olduğundan,
Hc(s) = Y(s)/X(s) = H(s)/(1 + H(s))
= A / (s2 + s+A)
(7-61)
Giriş kontrol işaretinin spektral yoğunluğu rasgele işlemenin bir
örnek fonksiyonu olup,
SX(s)= -2 / (s2-1)
‘dır. O halde çıkışın spektral yoğunluğu,
SY(s) = Sx(s)Hc(s)Hc(-s)
= -2A2/(s2-1)(s2 + s+A)(s2-s+A)
ve çıkışın karesel beklendik değeri,
j∞
[
Y 2 = 2 A 2 / 2π . j
] ∫ ds /[s
3
(7-62)
][
]
+ 2 s 2 + ( A + 1) s + A − s 3 + 2 s 2 − ( A + 1) s + A
− j∞
Burada,
=2A2I3
c0=1,
d0=A,
c1=0,
d1=A+1,
c2=0,
d2=2,
d3=1
ve Tablo 6-1 kullanılarak,
Y 2 = 2A/(A+2)
(7-63)
elde edilir.
N(s) = l [n(t)] M(s) = l [m(t)] ile ilgili transfer fonksiyonu (7-61)
eşitliğinde görüldüğü gibidir. Bozucu etki sisteme farklı noktalardan
girmektedir.
238
M(s) = N(s) - H(s) M(s)
‘dir.
Hn(s) = M(s)/N(s) = 1/(1+H(s))
= s(s+1)/(s2 + s+A)
(7-64)
Girişen gürültüye ait spektral yoğunluk
S N ( s ) = δ (s ) − 1 / (s 2 − 0,25)
[
]
olsaydı, bu rasgele değişim ortalama değeri girişteki bozulmaya
karşı düşen bir durum gösterir ve çıkışın bozulmuş spektral
yoğunluğu,
SM(S) = SN(s)Hn(s)Hn(-s)
= [ δ (s)-1/(s2 - 0.25)] [s2(s2-1)/(s2 + s+A)(s2-s+A)]
(7-65)
Çıkıştaki bozulmadan kaynaklanan karesel beklendik değer,
j∞
[
][
]
M = (1 / 2π . j ) ∫ δ ( s ) − (1 /( s 2 − 0,25)) s 2 ( s 2 − 1) /( s 2 + s + A)( s 2 − s + A) ds
2
− j∞
olur, s = 0 için integral sıfır olacağından δ (s)’in integralinin karesel
beklendik değere bir etkisi olmaz. Kalan terimler,
j∞
[
]
M 2 = (1 / 2π . j ) ∫ s ( s + 1)(− s )(− s + 1) / s 2 + 1,5s 2 + ( A + 0,5) s + 0,5 A
− j∞
[− s
3
]
+ 1,5s 2 − ( A + 0,5) s + 0,5 A ds
= I3
Tablo 6-1 için gereken sabitler
c0 = 0
c1=1
c2 = 1
d0 = 0,5A
d1 = (A+0,5)
d2 = 1,5
ve karesel beklendik değer,
M 2 = (A + 1,5)/(2A + 1,5)
olur.
d3 = 1
(7-66)
(7-63) ve (7-66) eşitliklerinden görüldüğü gibi işaretin karesel
ortalama değeri, kazanç arttıkça büyürken, gürültünün bu değeri
küçülmektedir. Çıkışta işaret-gürültü oranının önemli olduğu
durumlarda kazancın büyük olması istenir. Uygulamada ise
sistemin hızlı değişimlerine karşı, dinamik cevabın önemi nedeniyle
kazanç sınırlanmaktadır.
239
ALIŞTIRMA 7-10
Şekil 7-10’daki RC devresinde eşdeğer gürültü band genişliği B ile
yarı güçteki band genişliği B(1/2) = b/2 π Hz arasındaki bağıntıyı
bulunuz.
Cevap: B = ( π /2)B(1/2)
240
PROBLEMLER
7-1
abc-
Spektral yoğunluğu S0 V 2/Hz olan bir beyaz gürültü işlemesi,
şekilde görülen devreye uygulanmaktadır.
Devrenin
impuls
cevabını
Devrenin dc kazancını bulunuz.
Çıkışın karesel beklendik değerini bulunuz.
bulunuz.
7-2 Bir sonlu zaman integratörü, şekilde görülen blok diyagramı ile
temsil edilebilir.
a- Sistemin impuls cevabını bulunuz.
b- Sistemin dc kazancını bulunuz.
c- Bu sistem kararlı mıdır?
d- Eğer spektral yoğunluğu S V2/Hz olan bir beyaz gürültü girişe
uygulandığında, zaman domeni yöntemlerini kullanarak çıkışın
karesel beklendik değerini bulunuz.
7-3 Bir rasgele işlemeye ait örnek fonksiyon aşağıdaki gerilim
ifadesi ile verilmiştir.
X(t) = X0 + cos (2 π t + 9)
Burada, X0, 0 ile 1 arasında uniform dağılımlı, θ , X0’dan
bağımsız ve 0 ile 2 π arasında uniform dağılımlı raslantı
değişkenleridir. Bu işleme Problem 7-2’deki sonlu zaman
integratörüne uygulandığında, çıkışın beklendik değer ve
değişintisini bulunuz.
7-4 Spektral yoğunluğu S0 V2/Hz olan beyaz gürültü şekilde görülen
devreye uygulanmaktadır.
241
Zaman domeni yöntemlerini kullanarak çıkışın özilişki fonksiyonunu
bulunuz.
7-5
Giriş işaretinin özilişki fonksiyonunun,
−β τ
R X (τ ) = ( β .S 0 / 2)e
olması durumu için Problem 7-4’ü tekrarlayınız.
7-6
Problem 7-3’te açıklanan rasgele işleme şekilde görülen
devreye uygulanmaktadır.
Çıkışın özilişki fonksiyonunu bulunuz.
7-7
Problem 7-4’deki sistem ve beyaz gürültü girişi için giriş ve
çıkış arasındaki her iki çapraz ilişki fonksiyonunu bulunuz.
7-8.1 Problem 7-4’deki sistem ve Problem 7-5’deki giriş için giriş
ve çıkış arasındaki her iki çapraz ilişki fonksiyonunu
bulunuz.
7-9 Spektral yoğunluğu S0 V2/Hz olan X(t) durağan beyaz gürültü
işlemesi şekilde görülen devreye uygulanmaktadır. Zaman
domeni yöntemlerini kullanarak, bütün τ değerleri için
RYZ ( τ ), çapraz ilişki fonksiyonunu bulunuz.
242
7-10 Bir rasgele işlemenin örnek fonksiyonu,
X(t) = A + N(t)
şeklindedir. Burada A işaretin sabit genliği ve N(t) de özilişki
fonksiyonu,
−τ
R N (τ ) = e
olan rasgele gürültüdür. X(t), alçak geçiren bir RC filtresinden
geçirilmek suretiyle işaret gürültüden ayrılmak istenmektedir.
İşaret gürültü güç oranı,
2
2
[S/N]0 = (Y ) /(Y 2 − (Y ) )
olarak tanımlandığına göre, burada Y(t) alçak geçiren filtre
çıkışıdır. A’nın gerçek değeri 0,1 V olduğu zaman 30 dB’lik
işaret-gürültü oranını sağlayacak filtrenin zaman sabitini
bulunuz.
7-11 Problem 7-1’i frekans domeni yöntemleriyle çözünüz.
7-12 Problem 7-2(d)’yi frekans domeni yöntemleriyle çözünüz.
7-13 Problem 7-4’de çıkışın spektral yoğunluğu ve özilişki
fonksiyonunu frekans domeni yöntemleriyle bulunuz.
7-14 Bir akordlu amplifikatörün maksimum kazancı 30 MHz’de 30
dB’dir. Cevap eğrisi, paralel RLC devresi şekline eşdeğerdir.
Bir beyaz gürültü kaynağı amplifikatör girişine uygulanıyor ve
çıkışın effektif değeri 10 V olarak ölçülüyor. Giriş işaretinin
spektral yoğunluğunu bulunuz.
7-15 Merkez frekansı f0 ve bandgenişliği W olan ideal band
geçiren filtre ile Spektral yoğunluğu N0 olan beyaz gürültü
girişine sahip sistem çıkışının özilişki fonksiyonunu bularak
çiziniz.
7-16 f0 taşıyıcı frekansında band sınırlı bir beyaz gürültü işareti
gönderilmek suretiyle bir objeden yansıyan işaretin sınırının
ölçülmesi düşünülmektedir. Alınan işaretle gönderilen işaret
toplanarak bu toplamın spektral yoğunluğu ölçülecektir.
Spektral yoğunluğun genliğinin peryodik oluşu bu sınır ile
ilgilidir.
243
Şekilde görülen modelin kullanılması ve α 2’nin α yanında
ihmal edilebileceği varsayılarak, bu yaklaşımın mümkün olup
olmadığı araştırılmaktadır. Hangi etki bu sistem modelinde
ölçmenin geçersizliğine neden olur?
7-17 Çoğu kez frekansın Gauss fonksiyonu olması halinde, filtre
biçiminin Gauss yaklaşımının kullanışlı olduğu bilinmektedir.
Maksimum birim kazanç ve W yarıgüç band genişlikli Gauss
biçimli bir alçak geçiren filtrenin standard sapmasını
hesaplayınız. Bu filtrenin yarıgüç band genişliği ve standard
sapması cinsinden eşdeğer gürültü band genişliğini bulunuz.
7-18 Bir direncin ürettiği termal gürültü spektral yoğunluğu, 2kTR
V2/Hz olan beyaz gürültüye oldukça yakındır. Burada,
k=
-23
1,37.10 Ws/°K olan Boltzmann katsayısı, T mutlak sıcaklık
ve R de ohm olarak dirençtir.
Bir amplifikatörde herhangi fiziksel bir direnç, bir
kondansatörle paralel bağlı eşdeğer bir devre olarak
değerlendirilir.
a- Amplifikatör gürültü girişinin karesel beklendik değerini
bulunuz ve R’den bağımsız olduğunu gösteriniz.
b- Bu sonucu fiziksel olarak açıklayınız.
c- Bu gücün ölçüldüğü bölgenin eşdeğer gürültü band
genişliği olduğuna göre uyumlu yükle, dirençten alınabilecek
maksimum gürültü gücünün kTB watt olduğunu gösteriniz.
244
7-19 Bir amplifikatörün girişinde, herhangi bir işaret daima gürültü
ile bütünleşmiş biçimdedir. Teorik olarak olası minimum
gürültü, rezistif elemanlardan kaynaklanan termal gürültüdür.
(Problem 7-18). Genel olarak amplifikatörler işareti yükseltme
işlemi sırasında ilave gürültü katacaklardır. İşaret
amplifikatörden geçerken, işaretin işaret gürültü oranının
bozulması ölçülecek gürültü miktarını kötü yönde etkiler. Bir
amplifikatörün bu karakteristiklerini belirtmede genel bir
yöntem "Gürültü Katsayısı" (Noise Figüre), F;
F=
Girisin isaret - gürültü gücü oranı
Cikis isaret - gürültü gücü oranı
oranı olarak tanımlanır.
a- Yukarıdaki tanımı kullanarak, kaskad iki amplifikatör için
toplam "gürültü katsayısı"nın
F = F1 + (F2-1)/G1
olduğunu gösteriniz. (Burada, G1 ve G2 amplifikatörlerin güç
kazançlarını ve F1 ile F2 de gürültü katsayılarını
göstermektedir).
b- Yarıgüç band genişliği 100 MHz ile tek bir zaman sabitli,
100 dB kazançlı, 13 dB gürültü katsayılı bir geniş band
video amplifikatörün giriş ve çıkış empedansları 300
ohm’dur. Giriş işareti sıfır olduğunda çıkışta gürültü
geriliminin effektif değerini hesaplayınız.
c- 10 dB’lik işaret-gürültü güç oranını çıkışında veren,
girişteki sinüs işaretinin genliğini bulunuz.
KAYNAKLAR
Bölüm 1’deki kaynaklara bakınız. Özellikle Davenport ve Root,
Lanning ve Battin, Papoulis ve Thomas.
245
BÖLÜM 8
OPTİMUM LİNEER SİSTEMLER
8-1 GİRİŞ
Daha önce, pratik sistemlerde arzu edilen çıkış işareti ile birlikte bazı
istenmeyen rasgele gürültü işaretlerinin meydana geldiğine
değinmiştik, istenmeyen bu rasgele gürültüler sistemin çıkışında
daima mevcuttur ve istenen çıkıştan sapmalara neden olur. O halde
sistemde bu gürültüden oluşacak sapmaları azaltarak sistemi
iyileştirmeye yönelik bir çözüm aramak gerekmektedir. Genellikle,
çıkıştaki gürültüyü minimuma indirgemek için sistemin impuls cevabı
veya transfer fonksiyonu seçimi ile sağlanmaya çalışılır. İşte bu tür
bir sisteme optimum sistem adı verilmektedir.
Değişik tipte işaretlerle ve değişik türde bozulmalarla karşılaşılması
halinde, optimum sistemlerle ilgili çalışmalar oldukça karmaşıklık
gösterirler. Çünkü çok farklı durumlar ve tanımlar sözkonusudur.
Gerçekte, bu konu ile ilgili literatür çok geniştir ve optimum sistemi
oluşturmaya yarayan yöntemler çok geliştirilmiştir. Burada, yalnızca
biraz terminoloji ile bazı temel kavramlar verilmeye çalışılmıştır.
Optimum sistemlerle ilgili çalışmanın ilk aşamasında optimallikle neyin anlatılmak istendiği açıklanmıştır. Çok farklı optimumluk ölçütleri
olduğundan bu yaklaşımlardan birini seçerken çok dikkatli olmak
gerekmektedir. Bu seçim aşağıdaki incelemelerimizde ele alınacaktır.
Ölçütün belirlenmesinden sonraki aşamada ise ele alınan sistemin
yapısı incelenir. Bunların dışında daha pek çok seçenek vardır.
Optimumluğu sağlama bunlar arasından seçilecek uygun yaklaşıma
bağlıdır. Bununla ilgili açıklamalar 8-3 paragrafında verilmiştir.
Öncelikle, optimum sistem belirlenmeli ve daha sonra sistem iyileştirmeye çalışılmalıdır. Bazı durumlarda iyileştirme, hemen ve açıklıkla
görülebilir ve oldukça kolaydır. Ancak bazı durumlarda ise iyileştirme,
optimum sistemi belirlemekten daha zordur. İyileştirme sorunu her
durum için farklılıklar gösterdiğinden genel bir yol çizmek mümkün
olmaz.
246
Güncel mühendislik problemlerinde son aşama ise yaklaşıklıkla ve
ekonomik olarak sistemin yapılabileceğine karar verilmesidir. Gerçek
optimum sistemi meydana getirmek çoğu kez mümkün değildir. Bu
durumda anlamlı yaklaşım optimizasyon tekniklerinin değerlerinin
araştırılmasıdır. Optimum sistem oluşturmaya yönelindiğinde bazen
sonuçlan olumlu olmasa bile çoğu kez bu denemeler yararlı bilgiler
ortaya koyarlar. Bunun nedeni optimumluk özelliklerinin herhangi
gerçek bir sistemle kıyaslanabilir bir ölçüt oluşturmasıdır. Optimumluk
arttırılmadığı sürece bu karşılaştırma, verilen sistemin geliştirilmesine
gerek olup olmadığını veya mükemmel olduğunu ve daha iyi bir
optimumluk için sağlanacak çabanın ekonomik olmayacağını açıkça
belirtir. Gerçekte bu tür bir karşılaştırma, optimum sistemlerle
çalışırken en büyük çabanın sarfedilmesini gerektirir. Burada çok
nadir olarak gerçek mükemmelliğe ulaşılabilir.
8-2 OPTİMUMLUK ÖLÇÜTLERİ
Seçilebilecek birçok farklı optimumluk ölçütleri olması nedeniyle, anlamlı bir ölçütün dayandırılabileceği bazı temelleri belirlemek gerekir.
Öncelikle, belirli özellikler içermelidir.
1. ölçüt, fiziksel bir öneme sahip olmalı ve gereksiz sonuçlara
yönelmemelidir. Örneğin, çıkışta gürültü gücü minimumda tutulmak
isteniyorsa ve sistem işaret ve gürültü için sıfır gibi bir sonuç
sağlıyorsa, bunun anlamlı bir sonuç olmadığı açıkça görülecektir. Öte
yandan verilen bir çıkış için yapılan sınırlamalar nedeniyle oluşan
çıkıştaki gürültü gücünün azaltılması uygun bir yaklaşım olabilir.
2. ölçüt, tek bir sonuca varmayı sağlamalıdır. Örneğin, çıkış
işaretinin ortalama hatasının sıfır olması pek çok sistem tarafından
sağlanabilir, ancak hatanın değişintisine bağlı olarak bunların aynı
derecede iyi olduğu söylenemez.
3. ölçüt, çözülebilir matematik yapıda olmalıdır. Bu gereksinim
pratikte uygulama alanı bulan birkaç ölçüt arasında tercih nedenidir.
Diğer bir ölçüt olaya daha uygun düşse bile, sözü edilen biçim
değinilen özelliği nedeniyle önceliklidir.
Ölçütün seçimini ekseri giriş işaretinin yapısı, yani işaretin
deterministik ya da rasgele olması etkilemektedir. Bunun nedeni
sistemin amacının bu iki tür işaret için farklı olmasıdır. Örneğin giriş
işareti deterministik ise,
247
biçimi bilinir ve gözlenmesindeki neden, mevcut olup olmadığının,
mevcut olduğunda da, zaman aralığı, büyüklüğü vs. gibi bilgilerin
sağlanmasını içerir. Diğer yandan işaret rasgele yapıda ise biçimi
bilinemediğinden, sistemin onun biçim ve özelliklerini mümkün
olduğunca yakınlıkla belirlemelidir. Sözü edilen bu iki durumdan
herhangi biri için mantıklı olan çok sayıda ölçüt seçilebilir. Buna karşı,
burada her bir durum için yalnızca birer ölçüt tanıtılmaya
çalışılacaktır. Bunlar, en genel ve en çok kullanılan ve de matematik
bazda incelenebilenler olacaktır.
Deterministik işaret durumu için optimumluk ölçütü, belirli bir zaman
için çıkışın işaret-gürültü oranını maksimum kılmaktır. Bu ölçütle,
sistem, bilinen bir şekle sahip bir işaretin varlığını bulup ortaya
çıkarmak ya da işaretin var olduğu anı ölçmek olduğunda anlamlıdır.
Bu ölçütte, işaret-gürültü oranının maksimum olacağı zamanın
bulunması açısından esneklik vardır, ancak uygun seçim işaretin
yapısından kaynaklanır.
Rasgele işaretler durumunda, optimumluk ölçütü, elde edilmesi istenen gerçek sistemin çıkışı ile gözlenen sistem çıkışı arasındaki farkın
karesel beklendik değerinin minimum yapılmasıdır. Bu ölçüt, çoğu
kez, sistemin amacı bilinmeyen bir işareti ölçme veya kontrol etme
amaçlarıyla gözlenmesi söz konusu olduğunda yararlıdır. Sistemin
çıkışı ve işaretin gerçek değeri arasındaki fark iki bileşen
içermektedir. Birinci bileşen "işaret hatası"dır ve herhangi bir gürültü
girişi mevcut değilken giriş ile çıkış arasındaki farkı simgeler. İkinci
bileşen çıkış gürültüsüdür ve aynı zamanda çıkıştaki bir hatayı temsil
eder. Toplam hata bu iki bileşenin toplamıdır. Minimuma düşürülmesi
gereken büyüklük bu toplam hatanın karesel beklendik değeri
olmaktadır.
8-3 OPTİMUM SİSTEMDEKİ KISITLAMALAR
Genellikle sistemin tipi konusunda müsade edilebilecek bazı
sınırlamaların yapılması gereklidir. Buna ilişkin en genel sınırlama,
fiziksel gerçeklenebilirlik için temel koşul olan sistemin "nedensel"
olmasıdır. Girişin gelecek değerlerine karşı cevap verebilecek
nedensel olmayan bir sistemin, fiziksel olarak gerçeklenebllir bir
sistemden seçilen bir ölçüte göre, daha iyi sonuç verebileceği
genellikle doğrudur. Fakat nedensel olmayan sistemler fiziksel olarak
gerçeklenemez ve aynı zamanda gerçel sistemlerle iyi bir
karşılaştırmaya olanak sağlamadığından uygun olmazlar.
* Nedensellik; Sistem impuls cevabının h(t)=0, t<0 koşulunu sağlaması anlamına
gelir. ((7-3) eşitliğine bakınız). Buna ek olarak (7-4) eşitliğindeki kararlılık
durumunun uygulandığı kabul edilmiştir.
248
Bilginin gelecek değerlerinden yararlanılacak biçimde kaydedilmiş
şekilde sisteme verilmesi, bu kuralda kabul edilebilir bir ayrıcalık
yaratmaktadır.
Diğer bir ortak varsayım, sistemin lineer olmasıdır. Bu varsayımın en
önemli nedeni, optimum lineer olmayan bir sistem için genel olarak
analitik bir çözümün sağlanmasının olanaksızlığıdır. Diğer yandan bir
çok halde, özellikle Gauss gürültüsünü içeren durumlarda optimum
lineer sistemlerden daha iyi sonuçlanan, lineer olmayan bir sisteme
raslanmadığı gösterilebilir. Genel olarak lineer sistemin en iyisi
olduğu söylenemez. Ancak, optimum lineer olmayan bir sistemin
bulunmasındaki güçlük nedeniyle onun aranması anlamlı
olmayacaktır.
Bir kez kabul edilebilir bir ölçüt seçilip, sistem "nedensel" ve "lineer"
olarak
sınırlandırıldığında,
ölçütü
optimumlaştıran
transfer
fonksiyonunu veya impuls cevabını bulmak genellikle mümkündür.
Bununla birlikte, bazı durumlarda, sistemi belirli bir biçime getirmek
için daha başka kısıtlamalar istenebilir. Bu tür sınırlamalar daha
genel ve karmaşık bir optimumluğun daha pahalı ve karmaşık
olmaması ve istenen sonuca ulaşmayı çabuklaştırması nedeni ile
önemlidir. Bununla ilgili örnekler ileride verilecektir.
8-4 PARAMETRE AYARLAMASI İLE OPTİMUMLAŞTIRMA
Başlıkta da belirtildiği gibi, bu yöntemle kullanılacak sistemin şekli belirlenerek seçilen ölçüte uygun sistem bileşenlerinin değerleri elde
edilir. Bu metodun yararı, karmaşıklığı önceden verilen bir sistemin
ele alınmasıdır ve sistemin karmaşıklığı, boyut, ağırlık ve maliyet
açısından kritik öneme sahip olması durumunda geniş bir uygulama
alanı bulur. Zararı ise, bu tip bir optimum sistem özelliklerinin, şekli
belirlenmemiş daha genel bir sistemdeki kadar olumlu olmamasıdır.
Bilgisayar çözümlerinin mümkün olmasına rağmen, performansı
artırmak için daha karmaşık bir sistem seçerek ve birden fazla
parametreli optimum değerleri belirleyen analitik problemlerle
başlanabilir. (Çünkü çözülmesi gereken bu benzer sistem ender
olarak lineerdir). Pratikte, analitik çözümler tek bir parametre ile
sınırlandırılmışlardır. Temel kavramları sunabilmek için burada iki
temel örnek ele alınacaktır.
Birinci örnek olarak, işaretin Şekil 8-1 (a)’da görüldüğü gibi
dikdörtgen bir darbe olduğunu ve spektral yoğunluğu, N olan beyaz
gürültü içerdi-
249
ŞEKİL 8-1 İşaret Gürültü oranını Maksimum Yapmak için işaret ve Sistem:
(a) Algılanan İşaret (b) Optimum Sistemin Belirlenen Biçimi
ğini varsayalım. İşaretin şekli belli olduğuna göre, sistemin amacı
işaretin varlığını ortaya çıkarmaktır.
Daha önce de belirtildiği gibi, bu amaç için gerekli olan ölçüt, herhangi bir andaki çıkış işaretinin gürültü gücüne oranını maksimum yapan
sistemi bulmaktır. Yani, eğer çıkış işareti, s0(t) çıkış gürültüsünün
karesel ortalama değeri M 2 ise s 02 (t 0 ) / M 2 oranını maksimum
yapan sistemin bulunması gerekir. Burada t0 bu oranı maksimum
yapacak şekilde seçilmelidir.
Parametre ayarlaması yönteminde, sistem şekli belirlidir, ve Şekil 81(b)’de gösterildiği gibi basit RC devresi kabul edilmiştir. Ayarlanması
gereken parametre, filtrenin zaman sabiti veya bu zaman sabitinin
tersidir. İlk adımlardan biri işaret-gürültü oranını maksimum yapacak
şekilde t0 zamanını seçmektir. t0 için uygun seçim, çıkış işareti
bileşeni incelendiğinde ortaya çıkar. Bu çıkış işareti aşağıda verilmiş
ve Şekil 8-2’de gösterilmiştir.
s0(t) = A [1-e-bt]
= A [1-e-bT]e-b(t-T)
0≤t <T
T ≤t <∞
(8-1)
Bu sonuç sistem analizinin bilinen herhangi bir yöntemi kullanılarak
elde edilebilir. Şekilden görüleceği gibi çıkış işareti bileşeni en büyük
değerini T anında almaktadır. Burada t0 = T almak en uygun olanıdır.
Böylece,
s0(t0) = A (1-e-bT)
(8-2)
250
olur. Bu tip bir devredeki çıkış gürültüsünün karesel beklendik değeri
daha önce de belirtildiği gibi
M 2 = bN 0 / 2
(8-3)
olarak gösterilebilir. Maksimum tutulacak işaret-gürültü oranı,
s 02 (t 0 ) / M 2 = A 2 (1 − e −bT ) 2 /(bN 0 / 2)
(8-4)
b≥0
olur. Maksimumlukla ilgili çalışmalara başlamadan önce, bu oranın
b=0 ve b = ∞ değerlerinde sıfır olduğu ve diğer bütün pozitif b
değerlerinde pozitif olduğu belirtilmelidir. Burada oranı maksimum
yapan birkaç pozitif b değeri söz konusudur. Oranı maksimum yapan
b değerini bulmak için (8-4) eşitliğinin b’ye göre türevi alınıp sıfıra
eşitlenir. Böylece,
[
[
]
]
d s 02 (t 0 ) / M 2 / db = (2 A 2 / N 0 ) 2b(1 − e −bT )Te −bT − (1 − e −bT ) / b 2 = 0
(8-5)
2
elde edilir. Bu ifade sadeleştirildiğinde,
2bT+1 = ebT
bulunur. Bu denklem
çözüldüğünde
(8-6)
sınama-yanılma
bT = 1,26
yöntemi
ile
bT
için
(8-7)
bulunur. Buradan optimum zaman sabiti de,
RC = T/1,26
(8-8)
olur. Bu değer RC filtresinde T anında, işaret-gürültü oranını
maksimum yapan zaman sabiti değeridir.
ŞEKİL 8-2 RC Filtre Çıkışında İşaret Bileşeni
251
İşlem sırasındaki bir sonraki adım, filtrenin gerçekte ne kadar iyi
olduğunun belirlenmesidir. Bu da, (8-7) eşitliği ile verilen bT’nin
optimum değerinin (8-4) eşitliğinde yerine yazılmasıyla kolayca
bulunabilir. Bu işlem yapıldığında,
[s (t ) / M ]
2
0
2
0
max
= 0,814 A 2T / N 0
(8-9)
bulunacaktır. Darbenin taşıdığı enerji A2T’dir, böylece, maksimum
işaret-gürültü oranı; işaret enerjisinin, gürültünün spektral
yoğunluğuna oranı ile orantılıdır. Bu bütün durumlar için beyaz
gürültü var olduğundan, işaret-gürültü oranını maksimum yapmada
belirgin bir özelliktir. Bir sonraki kısımda, burada olduğu gibi optimum
sistem şekli belirlenmemişse, genel olarak orantı sabitinin 0,814
yerine 1,0 olacağı gösterilmiştir. Bu örnekteki işaret gürültü
oranındaki azalma basit bir filtre için ödenecek fiyat gibi düşünülebilir.
Buradaki kayıp önemli değildir. Ancak kaybın önemli olduğu durumlarla karşılaşılabilir.
Çoğu kez ihmal edilen son adımda da b parametresinin seçimine
göre işaret-gürültü oranının ne kadar duyarlı olduğudur. Bu genellikle,
(8-4) eşitliğinin b’nin fonksiyonu olarak çizilmesi ile sağlanır. Bu
katsayı basitçe,
K = 2(1-e-bT)2/bT
şekilde ifade edilir ve sonuç Şekil 8-3’de görülmektedir.
K
bT
ŞEKİL 8-3 bT Parametresinin Fonksiyonu Olarak Çıkışın İşaret-Gürültü
Oranı
252
Şekilden görüleceği gibi işaret-gürültü oranı maksimum civarında
hızla değişmez. Bu nedenle optimum filtrede zaman sabitinin kesin
değeri çok önemli değildir.
Parametre değişimi ile optimumlaştırmada verilecek ikinci örnekte
rasgele bir işaret alınıp minimum karesel ortalama hata ölçütü
uygulanacaktır. Bu örnek için sistem özel bir devre biçiminden çok
ideal alçak geçiren bir filtre gibi davranacaktır. Ayarlanacak
parametre ise filtrenin band genişliğidir.
X(t) rasgele
yoğunluğu,
işlemenin
bir
örnek
(
S X (ω ) = A 2 / ω 2 + (2π . f a )
fonksiyonu
2
)
olup
spektral
(8-11)
ile verilmiştir. Bu işarete, spektral yoğunluğu N0 olan N(t) beyaz
gürültü eklenmiştir. Bu özellikler ideal alçak geçiren filtrenin güç
transfer karakteristiği Şekil 8-4’de gösterilmiştir.
ŞEKiL 8-4 İşaret ve Gürültü Spektral Yoğunlukları, Filtre Karakteristiği
Çalışılan ideal alçak geçiren filtre olduğundan, çıkış işaret
bileşenindeki hata E(t) = X(t) - Y(t)’dir ve filtrenin geçirme bandının
dışına düşer ve işaretin spektral yoğunluğu ile orantılıdır. Bunun
karesel beklendik değeri; işaretin spektral yoğunluğunun ±2 π B
dışındaki kısımlarda integre edilmesiyle bulunur. Simetri nedeniyle
yalnızca bir tarafın hesaplanarak 2 katının alınması yeterli
olacaktır.
∞
(
)
E 2 = (2 / 2π ) ∫ A 2 / ω 2 + (2π . f a ) dω
2πB
[
2
= (2 A 2 / 4π 2 f a ) (π / 2 ) − tan −1 ( B / f a )
]
(8-12)
253
Filtre dışındaki gürültü M(t), aşağıda verilen karesel ortalama değere
sahiptir.
2πB
M 2 = (1 / 2π )
∫π N
0
(8-13)
dω = 2 BN 0
−2 B
Toplam karesel ortalama hata (işaret ve gürültü istatistik olarak
bağımsız olduklarında) bu iki hatanın toplamıdır. Minimumlaştırılacak
birim B’ye göre seçilir. Böylece,
E 2 + M 2 = (2 A 2 / 4π 2 f a ) (π / 2 ) − tan −1 (B / f a ) + 2 BN 0
(8-14)
[
]
yazılabilir. Bu minimumlaştırma (8-14) eşitliğinin diferansiyelinin B’ye
göre alınması ve sıfıra eşitlenmesi ile tamamlanır. Bu şekilde
[
]
(2 A 2 / 4π 2 f a ) (− 1 / f a ) /(1 + (B / f a ) ) + 2 N 0 = 0
2
ve buradan,
[
B = (A 2 / 4π 2 N 0 ) − f a2
]
1/ 2
(8-15)
elde edilir. Bu optimum değere eşittir. Minimum karesel ortalama
hatanın gerçek değeri, bulunan değerin (8-14) eşitliğinde yerine
yazılmasıyla elde edilir. (8-15) ifadesi kolay bir çözüm değildir. Daha
kolay bir çözüm işaretin karesel beklendik değeri,
X 2 = A 2 / 4π . f a
alınarak elde edilir. İşaretin eşdeğer gürültü band genişliğinde
gürültünün karesel beklendik değeri,
N X 2 = π. fa N0
İşaretin eşdeğer gürültü band genişliği ( π / 2 )fa’dır. Buradan, (8-15)
eşitliği aşağıdaki gibi yazılır.
[(
) ]
B = fa X 2 / N X 2 −1
1/ 2
, X 2 > NX2
ve şekil 8-5’deki gibi gösterilebilir.
(8-16)
254
ŞEKİL 8-5 Optimum Band genişliği
İncelenen her iki örnekte de istenilen kriteri optimumlaştırmak için
sistemin yalnızca tek bir parametresi ayarlanmıştır. İki veya daha çok
parametrenin ayarlanması durumunda da aynı yol izlenir, yani en
büyük ya da en küçük tutulması gereken büyüklüğün her bir
parametreye göre türevi alınır, sıfıra eşitlenir. Bu da bize çözümü
istenen parametre değerini veren eşzamanlı denklem setini
verecektir. Fakat uygulamada bu yöntem, denklemlerin genellikle
lineer olmayan ve analitik çözümleri bilinmeyen karakterde olması
nedeniyle nadiren kullanılırlar. Çözümler çoğu kez bilgisayarlarla
yapılabilir, fakat tek olma durumunda bile sorunlar çözümsüz kalabilir.
ALIŞTIRMA 8-4
Yukarıdaki örnekte ve (8-16) eşitliği ile Şekil 8-5’de, X 2 < N X 2
olduğunda, optimum band genişliğinin ne olması gerektiği açık olarak
belirtilmemiştir. (8-14) eşitliği ile verilen toplam karesel ortalama
hatayı B’nin fonksiyonu olarak çiziniz ve optimum band genişliğinin
B= 0 olduğunu gösteriniz.
8-5 İŞARET-GÜRÜLTÜ ORANINI MAKSİMUM YAPAN SİSTEMLER
Bu paragrafta işaretin şekli bilindiğinde, belirli bir andaki işaretgürültü oranını maksimum yapan sistemler incelenecektir. Sistemin
şekli belirlenmemiş yalnızca nedensel ve lineer olması gerektiği
bilinmektedir.
255
Şekil 8-6’da notasyonlar gösterilmiştir.
s(t)+N(t)
ŞEKİL 8-6 Optimum Filtre Notasyonu
s(t) işaretinin bilindiği ve deterministik olduğu varsayılmaktadır. N(t)
ise spektral yoğunluğu N olan beyaz gürültü olarak kabul
edilecektir. Her ne kadar paragrafın sonundaki kısa konu hariç
beyaz gürültü dışındaki gürültüler burada incelenmeyecekse de,
aynı genel yol onlar için de kullanılabilecektir. Çıkışın işaret gürültü
oranı s 02 (t0)/M2 şeklinde tanımlanmıştır. Burada t0 seçilir. Amaç,
çıkış işaret-gürültü oranını maksimum yapan h(t)’nin şeklini
bulmaktır.
İlk olarak, çıkış işareti aşağıdaki gibi verilmiş olsun.
∞
s 0 (t ) = ∫ h(λ ) s (t − λ )dλ
(8-17)
0
Çıkış gürültüsünün karesel beklendik değeri de
∞
M = N 0 ∫ h 2 (λ )dλ
2
(8-18)
0
‘dir. t0 anında tanımlanan işaret gürültü oranı,
2
∞
∞

s (t 0 ) / M =  ∫ h(λ ) s (t 0 − λ )dλ  / N 0 ∫ h 2 (λ )dλ
0
0

2
0
2
(8-19)
şeklinde olacaktır. Bu oranı maksimum yapmak üzere "Schwarz
Eşitsizliği”ni kullanmak uygun olacaktır. Bu eşitsizlik f(t) ve g(t) gibi
herhangi iki fonksiyon olduğunda,
2
b
b
b

2
f
(
t
)
g
(
t
)
dt
≤
f
(
t
)
dt
g 2 (t )dt
∫

∫
∫
a
a
a

(8-20)
ifadesinin yazılabileceğini ortaya koyar. Eşitlik yalnızca ve yalnızca
k, t’den bağımsız bir sabit olmak üzere f(t) = kg(t) olması halinde
sağlanır. Schwarz Eşitsizliğini (8-19) eşitliğinde yerine yazarsak
256
∞
∞
∞
0
0
0
s 02 (t 0 ) / M 2 ≤ ∫ h 2 (λ )dλ ∫ s 2 (t 0 − λ )dλ / N 0 ∫ h 2 (λ )dλ
(8-21)
olacaktır. Bu bağıntıdan işaret-gürültü oranının maksimum
değerinin, eşitliğin sağlanması halinde oluşacağı açıktır. Maksimum
değer h2( λ )’ların kısaltılması ile elde edilir.
[s (t ) / M ]
2
0
∞
2
0
max
= (1 / N 0 )∫ s 2 (t 0 − λ )dλ
(8-22)
0
eşitlik için gerekli koşulun,
h(λ ) = ks (t 0 − λ )u (λ )
(8-23)
olacağı açıktır. k’nın bir kazanç katsayısı olması nedeniyle, işaretgürültü oranını etkilemesi mümkün değildir. Buradaki k=1
yapılabildiği gibi herhangi bir sabit değere eşit alınabilir. u( λ )’nın
birim basamak fonksiyonu olması, sistemin nedensel olmasını
sağlamak içindir. Görüldüğü gibi istenen impuls cevabı giriş
işaretinin ters döndürülmüş halinin, zaman cinsinden, t kadar
geciktirilmişidir. (8-23) eşitliğinin sağ tarafında t = t0- λ şeklinde
değişken dönüşümü yapıldığında,
t0
∞
∫s
2
(t 0 − λ )dλ =
0
∫s
2
(t )dt = ε (t 0 )
(8-24)
−∞
elde edilir. Görüleceği gibi bu eşitlik, işaret-gürültü oranının
maksimum yapılacağı t0 anına kadar depolanan enerjiyi ifade eder.
Bu işaret enerjisi ε (t 0 ) ile gösterilir. Özetlersek;
1- t0 anındaki çıkışın işaret-gürültü oranı, impuls cevabı,
h(t) = s(t0-t) u(t)
(8-25)
şeklinde olan bir filtre ile maksimum yapılabilir.
2- Maksimum işaret-gürültü oranının değeri
[s (t ) / M ]
2
0
2
0
max
= ε (t 0 ) / N 0
257
(8-26)
olur. Burada ε (t 0 ) , s(t)’nin t0 anına kadar olan enerjisidir. (8-25)
eşitliği ile verilen filtreye uyumlu (matched) filtre adı verilir.
Bu konuya ilk örnek olmak üzere Şekil 8-7 (a)’da verilen bir
dikdörtgen darbeyi ele alalım ve işaret-gürültü oranını t0 = T anında
maksimum yapacak h(t) değerini araştıralım.
ŞEKİL 8-7: Dikdörtgen Darbe için Uyumlu Filtre (a) İşaret (b) Çevrilmiş ve
Kaydırılmış işaret (c) t0 = T için Optimum Filtre
Şekil 8-7(b) ters çevrilmiş ve keyfi bir t0 değeri kadar kaydırılmış
işareti göstermektedir. Sonuç olarak impuls cevabı t0 =T için Şekil
8-7 (c)’de gösterilmiştir. Matematik açıdan transfer fonksiyonu
H(t)= A
0≤t ≤T
=0
dışında
(8-27)
olarak verilir. Maksimum işaret-gürültü oranı
[s (t ) / M ]
2
0
2
0
max
= ε (t 0 ) / N 0 = A 2T / N 0
(8-28)
olarak bulunur ve (8-9) eşitliği ile karşılaştırılabilir.
t0 değerinin değişimine bağlı etkileri göstermek üzere şekiller, Şekil
8-8’de verilmiştir. Bu şekildeki grafikler, Şekil 8-7(a)’da görülen,
aynı giriş değeri s(t) için, s(t0-1), h(t), ve s(t)’yi göstermektedir.
Bunların incelenmesinden t0 < T yapılmasının maksimum işaretgürültü oranını azaltacağı görülecektir. Çünkü darbe enerjisinin
tamamına, t0 anına kadar ulaşılamaz. Diğer yandan t0>T
yapılmakla da çıkışın işaret gürültü oranı, t0 -T anındaki değerinden
daha fazla artırılamaz. Çünkü enerjinin tamamı T anına kadar
tamamlanmış olmaktadır. Ayrıca şekillerin incelenmesinden
uyumlu bir filtrenin çıkış işaretinin, giriş işaretinin şekline sahip
olamayacağı da açıktır. Buradan, amaç dikdörtgen bir darbeyi
bozulmaksızın yeniden filtre çıkışında elde etmek ise bunun
uyumlu filtrelerle elde edilmesi uygun olmayacaktır.
258
ŞEKİL 8-8 Optimum Filtreler ve Çeşitli t0 Değerlerine Tepkileri
Uyumlu filtrelere ikinci bir örnek olarak, zaman bakımından sınırsız
ancak sonlu enerjiye sahip bir işareti incelemek ilginç olacaktır. Bu
tür bir işaret,
s (t ) = A.e −bt u (t )
(8-29)
olabilir. Şekil 8-9’da gösterildiği gibi rasgele seçilmiş bir t0
optimum uyumlu filtre
259
için
h(t ) = A.e − b (t 0−t ) u (t )
(8-30)
‘dir.
ŞEKiL 8-9 Üstel Bir İşaret İçin Uyumlu Filtre
Mevcut enerjinin t0 ile artması nedeniyle, maksimum işaret-gürültü
oranı da t0’a bağlıdır. Buna göre
[s (t ) / M ]
2
0
2
0
max
= ε (t 0 ) / N 0
t0
[
= ∫ A 2 e − 2bt dt / N 0 = A 2 / 2bN 0 1 − e − 2bt 0
]
(8-31)
0
olur. t0 çok büyük yapıldığında bu değerin A2/2bN0 değerinde bir
limite yaklaşacağı açıktır. Bu nedenle, t0’ın daha büyük değerleri
daha pahalı bir sistemi gerektireceği de dikkate alınarak t0 değeri bu
limite ne kadar yaklaşılmak istendiğine bakılarak seçilmelidir.
Uyumlu filtrelerle ilgili üçüncü ve son bir örnek olmak üzere, sınırsız
enerji ve sınırsız süreye sahip yani güç işaretleri ele alınacaktır.
Peryodik olarak tekrarlanan bir dalga şekli bu tip işaretler için bir
örnek olabilir. İncelenebilir ilginç bir durum bu darbelerin radar
sistemlerinde kullanılan ve peryodik olarak tekrarlanan RF darbeler
olduğu düşünülebilir. Şekil 8-10 böyle bir işareti, aynı işaretin ters
çevrilmiş ve kaydırılmış biçimini ve uyumlu filtre çıkışını
göstermektedir. Bu şekilde t0 toplam darbe sayısına karşı düşen bir
süre olarak verilmiştir ve gerekli değildir. Darbe başına enerji,
(1/2)A2tp olduğundan, bu tip N darbeli bir uyumlu filtre çıkışının işaret
gürültü oranı,
260
[s (t ) / M ]
2
0
2
0
max
= NA 2 t P / 2 N 0
(8-32)
olacaktır. Buradan işaret gürültü oranının uyumlu filtre darbe
ŞEKİL 8-10 N Darbe için Uyumlu Filtre
sayısı N ile artacağı açıktır. Ancak, N’in çok büyük değerleri için bu
tür uyumlu filtreler üretmek çok güçtür. Bu nedenle genellikle N’in
10’dan küçük değerlerinin seçilmesi sözkonusudur.
Her ne kadar beyaz gürültü dışındaki gürültüler incelenmemişse de
genel olarak şunları söylemek mümkündür. Uyumlu filtre tanımlarını
uygulayabilmek açısından yapılacak şey yalnızca filtre girişinden
önce beyaz gürültü olmayan gürültü türlerini beyaz gürültü biçimine
dönüştürmektir. Bu tür bir düzen öndüzenleme veya önbeyazlatma
filtresi (prewhitening) olarak tanımlanır ve gürültünün spektral
yoğunluğunun tersi biçiminde bir güç transfer fonksiyonuna sahiptir.
Kuşkusuz bu öndüzenleme filtresi işaretin şeklini değiştirecektir. Bu
nedenle, uyumlu filtre, öndüzenleme filtresi çıkışındaki işareti işlemek
durumunda kalacaktır.
ALIŞTIRMA 8-5
(8-30) eşitliğindeki uyumlu filtre için maksimum işaret-gürültü oranını,
limit haldeki durumun 0,9’una eşit yapacak t0 değerini bulunuz.
Cevap:(1n10)/2b
261
8-6 KARESEL ORTALAMA HATAYI MİNİMUM YAPAN SİSTEMLER
Bu paragrafta, sistem çıkışı ile durağan rasgele işlemeden gelen
işaret sözkonusu olduğunda, giriş işareti ile çıkış işareti arasındaki
karesel ortalama hatayı minimum yapacak yöntemler anlatılacaktır.
Sistemin şekli önceden bilinmeyip lineer ve nedensel olarak
varsayılmıştır.
Bu analizleri yapabilmek için s domeni notasyonunu kullanmak uygun
olacaktır. Zaman domeninde de kullanılabilmesine karşın s
domeninde çalışmak daha uygundur. Notasyon aşağıdaki şekilde
tanımlanmıştır.
ŞEKİL 8-11 Optimum Sistem için Notasyon
Burada rasgele giriş işareti X(t)’nin SX(s) spektral yoğunluğunu
göstermektedir. Giriş gürültüsü N(t) ve spektral yoğunluğu SN(s),
çıkış işaretinin spektral yoğunluk bileşenleri de sırasıyla, SY(s) ve
SM(s)’dir. Burada, uyumlu filtrede olduğu gibi beyaz gürültü şeklinde
basitleştirme yapmak mümkün değildir.
Sistem tarafından üretilen işaret bileşenlerindeki hata daha önce
belirtildiği gibi,
E(t) = X(t) - Y(t)
‘dir. Bunun Laplace dönüşümü
FE(s) = Fx(s) - FY(s) = Fx(s) - H(s)Fx(s) = Fx(s)[1 - H(s)]
(8-33)
olur. Bu nedenle, 1-H(s); giriş işaretine ait işaret hatası ile ilgili
transfer fonksiyonudur. İşaret hatasının karesel beklendik değeri,
j∞
E 2 = (1 / 2πj ) ∫ S X ( s )[1 − H ( s )][1 − H (− s )]ds
− j∞
(8-34)
Sistem çıkışında görülen gürültü M(t)’dir ve karesel beklendik değeri,
j∞
M = (1 / 2πj ) ∫ S N ( s ) H ( s ) H (− s )ds
2
− j∞
262
(8-35)
Toplam hatanın karesel beklendik değeri, (işaret ve gürültü istatistik
bağımsız olduklarından) E 2 + M 2 ’dir, ve
j∞
2
2
E + M = (1 / 2πj )
∫ {S
X
( s )[1 − H ( s )][1 − H (− s )] + S N ( s ) H ( s ) H (− s )}ds
− j∞
(8-36)
olarak tanımlanır. Şimdi amaç, bu ifadeyi minimum yapacak olan
H(s) değerinin bulunmasıdır.
Sistemin nedensel olmamış olması halinde H(s)’in optimum değerini
bulmak oldukça kolay olacaktı. Bunu sağlamak üzere (8-36) eşitliği
yeniden düzenlenirse,
j∞
E + M = (1 / 2πj ) ∫ {[S X ( s ) + S N ( s )]H ( s ) H (− s ) − S X ( s ) H ( s )
2
2
− j∞
− S X ( s ) H (− s ) + S X ( s )}ds
(8-37)
(SX(s) + SN(s)) aynı simetri özelliklerine sahip bir spektral yoğunluk
olduğundan, biri sol diğeri sağ yarı bölgede sıfır ve kutupları olan iki
çarpana ayrılabilirler, o halde,
Sx(s) + SN(s) = Fİ(s)Fİ(-s)
(8-38)
ve bu (8-37)’de yerine yazılarak,
j∞
E 2 + M 2 = (1 / 2πj ) ∫ {[Fi ( s ) H ( s ) − ( S X ( s ) / Fi (− s ))]
− j∞
[Fi (− s) H (− s) − (S x (s) / Fi (s))] + S X ( s) S N (s ) / Fi (s ) Fi (− s )}ds
(8-39)
olacaktır. Bu eşitliğin son teriminde H(s)’in olmadığı görülecektir. Bu
yüzden, (8-39) eşitliğinin ilk teriminin iki çarpanı sıfır olduğunda,
E 2 + M 2 değeri minimum olacaktır. (Bu iki çarpanın çarpımının
negatif olamayacağını belirtelim). Buradan,
H(s) = Sx(s)/Fi(s)Fi(-s) = (Sx(s)/(Sx(s) + SN(s))
(8-40)
yazılabilir. Bu ifade ile verilen H(s) optimum transfer fonksiyonudur ve
(8-40) eşitliğinin s domeninde simetrik olduğu durumlar haricinde bu
eşitlik doğrudur. Gene bu ifadeye göre s domeninde simetri varsa
sistem nedensel bir sistemi belirtmeyecektir. Ö halde ilk olarak bu
eşitliğin sol yarı bölgedeki sıfır ve kutuplarını nedensel bir sistemi
tanımlamak amacı ile kullanılabileceği düşünülebilir.
263
Önceki paragrafta uyumlu filtrelerdeki s(t0 -t)’nin negatif zaman
kısmının elimine edilmesi gibi basit bir sorunla karşı karşıya
olmadığımız açıktır. Çünkü sistem girişindeki toplam rasgele işleme
X(t) + N(t)’dir, ve gürültü beyaz gürültü değildir. Eğer giriş beyaz
gürültü olsaydı, özilişki fonksiyonu δ fonksiyonu içerecekti. Bu
nedenle de gelecek giriş değerleri geçmiş değerleri ile ilişkisiz
olacaktı. Bu şekilde, gelecek girişlere cevap vermeyecek (nedensel)
sistem işaretin daha iyi bir kestirimine bizi götürecektir. Nedensel
sistemin elde edilmesinde ilk adım gürültü spektral yoğunluğun
beyaz gürültüye dönüştürülmesidir. Bu yüzden öndüzenleme filtresine gereksinim vardır.
H1(s) = 1 / Fi(s)
(8-41)
şeklinde transfer fonksiyonu olan bir filtre olsaydı, çıkış beyaz gürültü
olacaktı, çünkü;
[S X (s) + S N (s)]H 1 ( s) H 1 (− s ) = (S X ( s) + S N (s) ) / (Fi ( s) Fi (− s) ) = 1
Ayrıca H1(s) nedensel olacaktır. Çünkü Fi(s) yalnızca sol yarı
bölgede sıfır ve kutuplara sahiptir. Bu şekilde H1(s) giriş işareti ve
gürültü için bir öndüzenleme filtresi olmaktadır.
Diğer yandan (8-39) ifadesine bakıldığında,
Fi(s)H(s) - SX(s) / Fi(-s)
görülecektir. Burada sağ yarı bölgenin kutuplarının kaynağının 2.
terim olduğu görülür. Yukarıda bu terim, sadece sol yarı bölgedeki
kutuplardan birine sahip iki terime ayrılabilir. Böylelikle,
Fi ( s ) H ( s ) − (S X ( s ) / Fi ( s ) ) = Fi ( s ) H ( s ) − [S X ( s ) / Fi (− s )]L − [S X ( s ) / Fi (− s )]R
(8-42)
olur. Burada L sol yarı bölge kutuplarını, R de sağ yarıbölge
kutuplarını göstermektedir. Nedensel H(s) ile bütün çarpanların sıfır
yapılması mümkün değildir. Bu (8-42) eşitliğinin sağındaki ilk iki
terimin farkını elde etmek suretiyle bulunan en küçük değerdir ve
sıfıra eşitlenerek,
264
Fi(s) H(s) – [ SX(s) / Fi(-s) ]L=0
veya
H(s)=[1/Fi(s)][SX(s)/Fi(-s)]L
(8-43)
(8-43) eşitliğindeki birinci çarpan, öndüzenleme filtresi olan H1(s)’tir.
Burada ikinci çarpanın nedensel olmayan kısımlarının eliminasyonu
toplam hatanın karesel beklendik değerini minimum yapacaktır.
ŞEKİL 8-12 Optimum Wiener Filtresi
Toplam hatanın karesel beklendik değerini minimum yapan optimum
filtre Wiener Filtresi olarak adlandırılır. Bu filtre, Şekil 8-12’de
gösterildiği gibi, kaskad iki kısım olarak düşünülebilir. İlk kısım H1(s)
öndüzenleme filtresi ve ikinci kısım H2(s) gerçek filtredir. Ekseri, H1(s)
ve H2(s), H(s)’i ortadan kaldıran ortak çarpanlara sahiptir ve bu
beklenenden daha basit bir olaydır.
Wiener Filtresine bir örnek olmak üzere,
Sx(s)= -1 / (s2 – 1)
spektral yoğunluğuna sahip bir işaret ve
SN(s)= -1 / (s2 - 4)
spektral yoğunluğuna sahip bir gürültü ele alınsın. Böylece,
Fi(s)Fi(-s) = Sx(s)+SN(s)
[ (
)] [ (
)] (
)(
)(
= − 1 / s 2 − 1 + − 1 / s 2 − 4 = − 2s 2 − 5 / s 2 − 1 s 2 − 4
ve buradan,
265
)
(
)
Fi ( s ) = 2 s + 2,5 / (s + 1)(s + 2)
(8-44)
Bunun için öndüzenleme filtresi,
(
H 1 ( s ) = 1 / Fi ( s ) = ( s + 1)( s + 2) / 2 s + 2,5
)
(8-45)
yazılır. İkinci filtreye ait ifade hazır olarak aşağıdaki ifade ile
tanımlanır.
[ (
)]
(
S X ( s ) / Fi ( s ) = − 1 / s 2 − 1 [(− s + 1)(− s + 2)] / 2 − s + 2,5
(
= (s − 2) / 2 (s + 1) s − 2,5
)
Bu eşitliğin kısmi kesirlere ayrılması ile,
S X ( s ) / Fi (− s ) = [0,822 / (s + 1)] − 0,115 / s − 2,5
ve buradan
[
(
)
)]
H 2 ( s ) = [S X ( s ) / Fi (− s )]L = 0,822 / (s + 1)
(8-46)
bulunur. Optimum filtrenin son durumu ise,
[
(
)]
H ( s ) = H 1 ( s ) H 2 ( s ) = (s + 1)(s + 2) / 2 s + 2,5 [0,822 / (s + 1)]
= 0,582(s + 2) /( s + 2,5 )
(8-47)
Optimum filtrenin öndüzenleme filtresinden daha basit ve bir RC
devresi gibi kurulabileceğini kaydedelim.
Bu aşamada, son sorun, optimum filtrenin iyilik derecesinin
belirlenmesidir. Bu da minimum tutulması gereken, hatanın karesel
beklendik değerinin belirlenmesi demektir. Sistem çıkışı ile hatanın
ilişkisiz olması halinde problem büyük ölçüde basitleşir. Bu
sağlanmadığı takdirde, çıkışta hatanın küçük kalmasını sağlamak
üzere daha ileri düzeyde lineer işlem yapılması gerekecekti.
Böylece, minimum hatanın karesel beklendik değeri kolayca, giriş
işaret bileşeninin karesel beklendik değeri ile toplam filtre çıkışının
karesel beklendik değeri arasındaki farktır. Bu da H(s); (8-43) eşitliğinde verildiği gibi olduğunda,
266
(E
2
+M2
)
j∞
min
j∞
= (1 / 2πj ) ∫ S X ( s )ds − (1 / 2πj ) ∫ [S X ( s ) + S N ( s )]H ( s ) H (− s )ds
− j∞
− j∞
(8-48)
Yukarıdaki sonuçlar, minimum karesel beklendik hatanın (8-47)
eşitliği ile tanımlanan Wiener filtresi kullanılarak bulunabileceğini
göstermektedir. (8-48) eşitliğindeki integral, tablo 6-1’den veya
artıkların (residue) toplamı yardımıyla kolayca bulunabilir. Böylece,
j∞
j∞
(1 / 2πj ) ∫ S X ( s )ds = (1 / 2πj ) ∫ − 1 /( s 2 − 1)ds = 0,5
− j∞
− j∞
İkinci integral de benzer şekilde,
j∞
(1 / 2πj ) ∫ [S X ( s) + S N ( s)]H (s) H (− s)ds
− j∞
j∞
∫ [− (2s
= (1 / 2πj )
2
)(
)(
)][
(
)(
)]
− 5 / s 2 − 1 s 2 − 4 (0,582 ) s 2 − 4 / s 2 − 2,5 ds
2
− j∞
j∞
∫ [− 2(0,582) / (s
2
= (1 / 2πj )
2
)]
− 1 .ds = 0,339
− j∞
bulunur. Buradan minimum karesel beklendik hata,
(E
)
+ M 2 min = 0,5 − 0,339 = 0,161
olur. Bu değeri filtre kullanılmaksızın elde edilecek değerle
karşılaştırmak ilginç olacaktır. Filtre kullanılmaması halinde, işaret
hatası olmayacak ve toplam hatanın karesel beldendik değeri
gürültünün karesel beklendik değerine eşit olacaktı. Böylece,
(E
2
2
)
j∞
+ M 2 = N 2 = (1 / 2πj ) ∫ − 1 /( s 2 − 4)ds = 0,25
− j∞
bulunacaktı. Filtrenin kullanılmasının toplam hatayı azalttığı açıktır.
Bu azalma giriş gürültüsünün daha geniş bir band genişliğine sahip
olması halinde daha belirgin olacaktı.
ALIŞTIRMA 8-6
Bu paragrafta çalışılan örnekte, işaret spektral yoğunluğunu
aynı ve gürültüyü de spektral yoğunluğu SN(s) =1 olan beyaz
gürültü alarak
a) Toplam karesel beklendik hatayı minimum kılan Wiener
Filtresinin transfer fonksiyonunu bulunuz.
b) Elde edilen minimum karesel beklendik hatayı sadeleştiriniz.
Cevap: 0.413/(s+ 2 ), 0.0857
267
PROBLEMLER
8-1
Optimum sistem için olası iki ölçüt,
A. Belirli bir zaman için çıkışta maksimum işaret-gürültü oranı,
B.Toplam çıkış ile çıkışta arzu edilen işaret arasındaki
minimum karesel beklendik hatadır.
Aşağıda pratik durumların herbiri için hangi ölçütün en uygun
olacağını belirleyiniz.
a- Bir AM sisteminde konuşma işaretlerinin alınması,
b- Sayısal bir haberleşme sisteminde binary darbelerin
bulunması
c- Bir otomatik kontrol sisteminde rasgele bozulmalar,
d- Bir uçağın uçuş kontrol sistemi
e- Nükleer radyasyon ölçümünde partikül dedektörü
f- Bir radar sisteminde darbe işareti,
g- Bir hız kontrol radarı
h- Bir radyoastronom iteleskobu
i- Bir sismik kayıt sistemi
j- Su altı seslerine duyarlı pasif sonar sistemi
8-2 İmpuls cevabı h(t) olan şekilde gösterilen sistem, nedensel ve
girişte gürültü işareti sıfır beklendik değerli, Gauss ve beyazdır.
N(t),
M(t) çıkışının τ > 0 olan bütün değerler için N(t+ τ )’dan
bağımsız fakat τ ≤ 0 için N(t+ τ )’dan bağımsız olmadığını
ispatlayınız.
8-3 Frekansı ω 0 r/s olan sinüsoidal bir işaret, spektral yoğunluğu
N0 olan beyaz gürültü ile birleşmiş haldedir. Alçak geçiren bir
RC filtre kullanarak ortalama işaret gücünün ortalama gürültü
gücüne oranını maksimum yapmak istiyoruz. Filtrenin zaman
sabiti ne olmalıdır?
8-4
Rasgele bir işaret
X(t) = Ytu(t)
Şeklindedir. Burada Y, -3 ile 3 arasında uniform dağılım
gösteren bir raslantı değişkenidir. Bu işaret spektral yoğunluğu
1,5 V2/Hz
268
olan beyaz gürültüye eklenmiştir. Geçici sınır koşullan
kaybolduktan sonra, herhangi bir zamanda toplam karesel
ortalama hatayı minimum yapan alçak geçiren bir RC filtresi
kullanılacaktır. (Y’nin ve zaman sabitinin etkisiyle işaret
hatasının bir sabite yaklaşacağını kaydedelim.) Filtrenin zaman
sabitini bulunuz.
8-5 s(t) işareti şekilde görüldüğü gibi olup spektral yoğunluğu 0,1
V2/Hz
olan beyaz gürültü ile bütünleşmiş haldedir.
a- t0=1 anında işaret gürültü oranını maksimum yapacak
filtrenin impuls cevabını bulunuz.
b- Maksimum işaret-gürültü oranının değerini bulunuz.
c- a ve b şıklarını t = 0 için tekrarlayınız.
8-6
Bir işaret,
s (t ) = t.e −1u (t )
şeklindedir ve spektral yoğunluğu 0,005 V2/Hz olan beyaz
gürültü ile bütünleşmiş biçimdedir.
a- Herhangi bir uyumlu filtre ile elde edilebilecek en büyük
işaret-gürültü oranı nedir?
b- a şıkkında elde edilen oranın 0,9’unu elde etmek üzere
kullanılacak uyumlu filtre için t0 gözlem süresi nedir?
8-7
Bir rasgele işaretin spektral yoğunluğu,
Sx(s) = -2s2 / (s4 - 13s2 + 36)
şeklindedir ve spektral yoğunluğu bire eşit beyaz gürültü ile
bütünleşmiştir. Filtre çıkışı ile giriş işareti arasındaki karesel
ortalama hatayı minimum kılacak Wiener filtresinin transfer
fonksiyonunu bulunuz.
KAYNAKLAR
Bölüm 1’deki kaynaklara bakınız, Özellikle Davenport, Root ve
Lanning, Battin, Papoulis ve Thomas.
269
EK A
MATEMATİK TABLOLAR
TABLO A-1 TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLER
sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
cos (A ± B) = cos A cos B + sin A sin B
1
cos A cos B = 2 [cos (A + B) + cos (A - B)]
1
sin A sin B = 2 [cos (A - B) - cos (A + B)]
1
sin A cos B = 2 [sin (A + B) + sin (A - B)]
1
1
sin A + sin B = 2 sin 2 (A+B) cos 2 (A - B)
1
1
sin A - sin B = 2 sin 2 (A-B) cos 2 (A +B)
1
1
cos A + cos B = 2 cos 2 (A + B) cos 2 (A - B)
1
1
cos A - cos B = - 2 sin 2 (A + B) sin 2 (A - B)
sin 2A = 2 sin A cos A
cos 2A = 2 cos2 A - 1 = 1 - 2 sin2 A = cos2A – sin2 A
1
sin 2 A=
1
(1 − cos A)
2
1
cos 2 A=
1
(1 + cos A)
2
1
sin2 A = 2 ( 1 - cos 2A )
270
TABLO A-l (Devam)
1
(1 + cos 2 A)
2
e jx − e − jx
sin x =
2j
jx
e = cos x + j. sin x
cos 2 A =
cos x =
e jx + e − jx
2
A cos(ω .t + φ1 ) + B cos(ω .t + φ 2 ) = C cos(ω .t + φ 3 )
where C =
A 2 + B 2 − 2 AB cos(φ 2 − φ1 )
 A sin φ1 + B sin φ 2 

 A cos φ1 + B cos φ 2 
φ 3 = tan −1 
sin (ω .t + φ ) = cos(ω .t + φ − 90°)
TABLO A-2 BELİRSİZ İNTEGRALLER
1
∫ sin axdx = − a cos ax
1
∫ cos axdx = a sin ax
x sin 2ax
−
2
4a
1
∫ x sin axdx = a 2 (sin ax − ax. cos ax )
1
2
2 2
∫ x sin axdx = a 2 2ax sin ax + 2 cos ax − a x cos ax
x sin 2ax
2
∫ cos axdx = 2 + 4a
1
∫ x cos axdx = a 2 (cos ax + ax. sin ax )
1
2
2 2
∫ x cos axdx = a 3 2ax. cos ax − 2 sin ax + a x sin ax
∫ sin
2
axdx =
(
)
(
)
271
TABLO A-2 (Devam)



 cos(a − b) x cos(a + b) x  
∫ sin ax. cos bx.dx = −  2(a − b) + 2(a + b)  


sin( a − b) x sin(a + b) x

∫ cos ax. cos bx.dx = 2(a − b) + 2(a + b)
 a2 ≠ b2
∫ sin ax. sin bx.dx =
∫e
ax
dx =
sin(a − b) x sin(a + b)
−
2( a − b )
2( a + b )
1 ax
e
a
ax
∫ x.e dx =
2 ax
∫ x e dx =
e ax
(ax − 1)
a2
e ax 2 2
a x − 2ax + 2
a3
(
)
ax
∫ e sin bxdx =
e ax
(a sin bx − b cos bx )
a2 + b2
ax
∫ e cos bxdx =
e ax
(a cos bx + b sin bx )
a2 + b2
TABLO A-3 BELİRLİ İNTEGRALLER
∞
∫x
n
e − ax dx =
0
n!
Γ(n + 1)
=
n +1
a
a n+1
∞
Γ(u ) = ∫ z u −1e − z dz
0
∞
∫e
−r 2 x2
dx =
0
∞
∫ xe
0
−r 2 x 2
dx =
π
2r
1
2r 2
(Gamma function)
272
TABLO A-3 (Devam)
∞
0
∞
∫x
0
π
2 2
2 −r x
∫ x e dx =
n
2 2
e − r x dx =
4r 3
Γ[(n + 1) / 2]
2r n +1
∞
π
π
sin ax
dx = ,0,−
x
2
2
0
∫
for
a>0,a=0,a<0
∞
sin 2 x
π
∫0 x dx = 2
∞
sin 2 ax
π
∫0 x 2 dx = a 2
π
π
π
π
0
0
0
0
2
2
2
2
∫ sin mxdx = ∫ sin xdx = ∫ cos mxdx = ∫ cos xdx =
π
π
0
0
∫ sin mx. sin nx.dx = ∫ cos mx. cos nx.dx = 0
 2m

∫0 sin mx. cos nx.dx =  m 2 − n 2
0
π
m+n tek
m+n çift
π
2
,
m çift
m≠n
m,n çift
273
TABLO A-4: FOURİER DÖNÜŞÜMÜ
274
275
276
277
EK B
SIKLIKLA KARŞILAŞILAN OLASILIK DAĞILIMLARI
AYRIK OLASILIK FONKSİYONLARI
Bernoulli (Binom'un değişik biçimi)
p

Pr( x) = q = 1 − p
0

x=1
x=0
dışında
0<p<1
p X ( x) = pδ ( x − 1) + qδ ( x )
X =p
σ X 2 = pq
φ (u ) = 1 − p + pe ju
Binom
 n  x n − x
x = 0 , 1 , 2 ,..., n
  p q
Pr( x) =  x 
0
aksi halde

0 <p <1 q =1- p n = 1 , 2 ,…..
n
n
p X ( x) = ∑   p k q n −k δ ( x − k )
k =0  k 
X = np
σ X 2 = npq
φ (u ) = [1 − p + p.e ju ]
n
Pascal
 x − 1 n x −n
p q

Pr( x) =  n − 1
0

0 <p <1 q =1- p
x = n, n+1,....
aksi halde
n = 1, 2, 3,….
X = np −1
σ X = nqp −2
2
φ (u ) = p n e jnu [1 − qe ju ]
−n
278
Poisson
Pr( x) =
a x e −a
x!
x = 0, 1, 2, …
a>0
X =a
σX =a
2
φ (u ) = e a ( e
ju
−1)
SÜREKLİ DAĞILIMLAR
Beta
 (a + b − 1)! a −1
b −1
x (1 − x )

p X ( x) =  (a − 1)!(b − 1)!
0

a>0
b>0
a
X =
a+b
ab
σ X2 =
2
(a + b) (a + b + 1)
0<x<1
dışında
Cauchy
p X ( x) =
1
a
−∞< x < ∞
π a + ( x − b) 2
a>0
−∞<b < ∞
2
φ (u ) = e jbu − a u
Chi-Square
 n   −1 − n / 2 ( n / 2) −1 − x / 2
x
e
  − 1! 2
p X ( x) =  2  

0
n = 1, 2, ...
X =n
σ X 2 = 2n
φ (u ) = (1 − 2 ju ) − n / 2
279
x>0
aksi halde
Erlang
 a n x n −1e − ax
x>0

p X ( x) =  (n − 1)!
0
aksi halde

a > 0 n = 1, 2, ...
X = na −1
σ X 2 = na −2
φ (u ) = a n (a − ju ) − n
Exponential
ae − ax
p X ( x) = 
0
x>0
aksi halde
X = a −1
σ X 2 = a −2
φ (u ) = a(a − ju ) −1
Gamma
 xae−x /b

p X ( x) =  a!b a +1
0

a > -1
X = (a + 1) / b
x>0
aksi halde
b>0
σ X = (a + 1)b 2
2
φ (u ) = (1 − jbu ) − a −1
Laplace
p X ( x) =
a − a x −b
e
−∞< x < ∞
2
a>0 −∞<b < ∞
X =b
σ X 2 = 2 a −2
φ (u ) = a 2 e jbu (a 2 + u 2 ) −1
280
Log-normal
{
 exp − [ln( x − a ) − b ]2 / 2σ 2

p X ( x) = 
2π σ ( x − a )
0

σ >0
−∞< a < ∞
X = a + e b +.5σ
}
x≥ a
aksi halde
−∞<b < ∞
2
2
2
σ X = e 2b +σ (e σ − 1)
2
Maxwell
 2 3 2 −a2 x2 / 2
 a x e
p X ( x) =  π
0

a>0
x>0
aksi halde
X = 8 / π a −1
8

σ X 2 =  3 − a −2
π

Normal
p X ( x) =
1
e
2π σ X
− ( x − X ) 2 / 2σ
σX >0
φ (u ) = e
juX − ( u 2σ
X2
−∞ < x < ∞
−∞ < X < ∞
X2
/ 2)
Normal-bivariate
p X ,Y ( x, y ) =
1
2πσ X σ Y
−∞< x < ∞
−1 < ρ < 1


 − 1  x − X

exp
2
ρ
2
(
1
−
)
 σ X
1− ρ 2

σX >0
−∞ < y < ∞
φ (u, v) = exp juX + jvY −
2
  y −Y
 + 
  σY
σY > 0
1 2

u σ X 2 + 2 ρuvσ X σ Y + v 2σ Y 2 
2

(
)
281
2


2ρ
 −
(x − X )( y − Y ) 
 
 σ XσY
Rayleigh
 x − x2 / 2a2
 e
p X ( x) =  a 2
0
aksi halde
π
X =a
2


π
σ X = 2 −
2
x>0
a
2
2
Uniform
 1

p X ( x) =  b − a
0
a<x<b
aksi halde
−∞ < a <b <∞
a+b
2
(b − a )2
σ X2 =
12
jub
e − e jua
φ (u ) =
ju (b − a)
X =
Weibull
abx b−1e − ax
p X ( x) = 
0
a>0
b>0
b
1
X = 
a
σX
2
1/ b
1
= 
a
(
a<x<b
aksi halde
Γ 1 + b −1
2/b
)
{Γ(1 + 2b ) − [Γ(1 + b )] }
−1
−1
282
2
283
284
285
EK F
ÇEVRİMSEL İNTEGRASYON
Aşağıdaki tipte olan integrallerle, lineer sistemlerin analizi çalışmalarında sıklıkla karşılaşılır.
c + j∞
1
F ( s )e st ds
∫
2πj c − j∞
( F-1 )
∞
1
S X ( s )ds
2πj −∫∞
( F-2 )
(F-1) integrali, Laplace dönüşümünün inversi ve (F-2) de, spektral
yoğunluğu Sx(s) olan rasgele işlemenin karesel beklendik değerini
belirtir. Bu integraller yalnızca çok özel durumlar için elemanter
yöntemlerle çözülebilirler. Buna rağmen integrandların iyi huylu
fonksiyonlar olması hallerinde, bu integraller çoğu kez artık (residue)
yöntemi ile kolayca hesaplanabilir. Bu yöntem, kompleks değişkenler
teorisinin aşağıda verilen teoremine dayanmaktadır. Eğer F(s)
fonksiyonu, bir miktar kutup haricinde, C çevrimi üzerinde ve içinde
analitik ise F(s)’in C çevrimi boyunca integrali, F(s)'in kutup
noktalarındaki artıkların toplamının 2 π j katına eşittir. Bu eşitlik biçiminde,
∫
C
F ( s )ds = 2πj ∑ Çevrimde kutuplarin artiklari
(F-3)
olur. (F-3) eşitliğinin anlamı, C çevrimi üzerindeki her noktada F(s)’in
değeri sonsuz küçük diferansiyel yol ile çarpılıp tüm çevrim boyunca
bunların toplanması demektir. Çevrim yönü ok ile gösterildiği gibi
saat dönüş yönünün aksi yöndedir. Dönüş yönünün değiştirilmesi (F3) eşitliğinin sağ yanına negatif işaret eklenmesini gerektirir.
(F-3) eşitliğinin (F-1) ve (F-2) gibi integrallerin hesaplanmasında
yararlanabilmek üzere iki adım daha gerekmektedir. Kutuptaki
artıkların nasıl bulunacağını öğrenmek ve (F-3)’deki kapalı eğri ile (F1) ve (F-2)’deki açık eğrileri bağdaştırmayı sağlamak gerekmektedir.
286
Öncelikle kutup ve artıklar konusu ele alınsın. Tek değerli bir F(s)
fonksiyonu bir s=s0 noktası ve civarında türeve sahipse F(s) bu
noktada analitiktir denir. F(s) fonksiyonu s domeninin bir bölgesinde
analitik ise bu bölgenin her noktasında analitiktir denir. Eğer
fonksiyon, s0 noktası civarında analitik fakat s0 noktasının kendisi
analitik değilse s0 noktasına tekil nokta denir. Örneğin, F(s) = 1/(s-2)
fonksiyonunun türevi, F'(s) = -1/(s-2)2 olsun. Buradan hemen bu
fonksiyonun s = 2 noktası haricinde analitik olduğu görülür. s = 2
noktasında ise analitik değildir. Yani fonksiyon s=2’de tekillik
göstermektedir. İzole edilmiş bir tekil nokta, bir bölge içinde bulunan
bir noktanın, fonksiyonun bu nokta haricinde analitik olması demektir.
Gerçekten de yukarıdaki fonksiyon s = 2 için bir izole edilmiş tekil
noktaya sahiptir. En çok karşılaşılan tekillik kutup olma durumudur.
Eğer bir fonksiyon s = s0 noktasında sonsuz oluyor ve bu fonksiyon,
n pozitif bir tamsayı olmak üzere (s-s0)n çarpanı ile çarpıldığında
tekillik ortadan kalkıyor ise, fonksiyon s=s0 noktasında n. mertebeden
bir kutup'a sahiptir denir. Örneğin 1/sin(s) fonksiyonunun s0 noktası
bir kutup noktasıdır, ve şöyle yazılabilir.
1
1
=
3
sin s s − ( s / 3!) + ( s 5 / 5!) − ...
ve s ile çarpıldığında,
s
1
φ (s) =
=
3
5
2
s − ( s / 3!) + ( s / 5!) + ... 1 − ( s / 3!) + ( s 4 / 5!) + ...
elde edilir ve s = 0 civarında iyi huylu bir fonksiyon olduğu görülür. O
halde, F(s) =1/sin(s) fonksiyonu, s=0 noktasında birinci mertebeden
bir kutup'a sahiptir denir.
F ( s) =
Analitik fonksiyonların önemli bir özelliği, analitik olduğu bölgede
yakınsak bir seri ile ifade edilebilmeleridir. Bu özelliğin basit bir
uzantısı olarak, fonksiyonu tekil nokta civarında tanımlamak mümkün
olur. s=s0’da n. mertebeden kutbu olan bir F(s) fonksiyonu ele
alınsın, ve
φ (s ) = (s − s0 ) n F ( s)
( F- 4 )
gibi yeni bir fonksiyon tanımlayalım. Artık φ (s), s0’da analitiktir ve
F(s)’in tekilliği ortadan kalkmıştır. Bu nedenle φ (s) aşağıdaki gibi bir
Taylor Serisi'ne açındırılabilir.
287
φ (s ) = A−n + A− n +1 (s − s0 ) + A−n + 2 (s − s0 )2
+ ... + A−1 (s − s 0 )
n −1
∞
+ ∑ B k (s − s 0 )
n+ k
( F- 5)
k =0
(F-5) eşitliği (F-4) eşitliğinde yerine yazılıp F(s) için çözüldüğünde,
F (s) =
1
1
=
3
sin s
s − ( s / 3 ! ) + ( s 5 / 5 ! ) − ...
(F-6 )
bulunur. Bu açınım, s=s0 kutup noktası civarında da geçerlidir. Bu
seri s0 civarında en yakın tekil noktaya kadar olan bölgede
yakınsaktır. (F-6) eşitliğine, F(s)’in s = s0 tekil noktası civarı için,
Laurent Açınımı veya Laurent Serisi adı verilir. Bu seri farklı
karakterde iki kısımdan oluşmaktadır. Bunlardan Asal Kısım adı
verilen ilk kısım (s-s0)’ın negatif kuvvetlerini içerir. İkinci kısım ise sıfır
ve pozitif kuvvetler içeren Taylor kısmıdır. s planının tümünde
(sonsuz hariç) Taylor kısmının analitik olduğu ve s = s0 da B gibi bir
değere sahip olduğunun kabul edildiği belirtilmelidir. F(s) fonksiyonunun tekilliği olmamış olsaydı, ikinci kısım fonksiyonun tamamını
temsil edecek ve yalnızca bir Taylor açınımı olacaktı. (s-s0)-1
katsayısı olan A-1’e, F(s)’in s=s0‘daki artık'ı denir.
Kural olarak, Laurent serisinin katsayıları, Φ (s) fonksiyonunun alışılmış Taylor serisine açmak suretiyle ve sonra da (s- s0)n ile bölünerek
belirlenir. Pek çok durumda mühendislik amaçlarına yönelik daha
basit yöntemler kullanılabilir. Analitik fonksiyonların eşsiz özelliğinden
dolayı uygun biçimdeki herhangi bir seri mutlaka Laurent Serisi
olmalıdır. F(s), s’in iki polinomunun oranı biçiminde olduğunda,
bunun Laurent Serisi kolayca bulunabilir. Φ( s ) = ( s − s 0 ) n .F ( s )
oluşturulur. s-s0=v veya s=v+s0 olsun, Φ(v + s 0 ) , v=0 civarında seriye
açılarak ve pay paydaya bölünerek ayrıca v yerine s- s0 yazılarak seri
bulunur. Bir örnek olmak üzere
F ( s) =
2
s ( s 2 − 1)
2
288
fonksiyonu ele alınsın. s=-1 civarında F(s)’in Laurent serisini bulmak
üzere,
2
s ( s − 1)
olsun, ve s = v - 1 alarak,
φ (s) =
φ (v − 1) =
2
2
2
= 3
2
(v − 2v + 1)(v − 2) v − 4v − 3v − 2
2
3v v 2
−1+ −
2
4
2
3
− 2 − 3v − 4v + v )2
2 + 3v + 4v 2 − v 3
− 3v − 4v 2 + v 3
9v 2
3v 4
− 3v −
− 6v 3 +
2
2
v2
3v 4
+ 7v 3 −
2
2
2
3
v
3v
v5
+
+ v4 −
2
4
4
3
2
1
4
φ (v − 1) = −1 + v − v 2 − ...
(v-1), s ile değiştirilerek,
φ (s ) = −1 +
3
(s + 1) − 1 (s + 1)2 − ...
2
4
289
F ( s) = −
1
3 1
+ − ( s + 1) − ...
s +1 2 4
Artık'ın -1 olduğu hemen görülecektir.
s=s0 noktasında n. mertebeden kutbun artık'ını bulmak için kullanışlı
bir ifade aşağıda verilmiştir.
K S0 =
φ ( n −1) ( s 0 )
(n − 1)!
( F-7 )
Burada, φ (s) = (s-s0)n.F(s)’tir. Bu eşitlik n=1 için de geçerlidir ve
rasyonel fonksiyonlarla sınırlandırılmamıştır. F(s) iki fonksiyonun
oranı olmadığında transandant terimler yerine kutup noktası
civarındaki açınımı almaya müsade edilir. Örneğin,

sin s 1  s 3 s 5
1 s s3
F ( s ) = 2 = 2  s − + − ...
= − + − ...
3! 5!
s 3! 5!
s
s 

Bu örnekte s=0 kutup noktasında artık 1’dir.
Bir F(s) fonksiyonunun kısmı kesirlere ayrılması ile Laurent Serisi
arasında doğrudan bir bağıntı vardır. Özellikle, Hi(s), Laurent
serisinin asal kısmı olması durumunda,
F ( s ) = H 1 ( s ) + H 2 ( s )...H k ( s ) + q ( s )
yazılabilir, burada ilk k terim, k tane kutup civarında Laurent serisinin
asal kısımları ve q(s) de, s’in büyük değerleri için F(s)’i temsil eden
bir polinomdur. (a0 + a1s+ a2s2+ ... +amsm), m’in değeri ise pay ve
paydanın derecesi farklıdır. Genel olarak q(s) pay paydaya, payın
derecesi paydadan küçük oluncaya kadar bölünerek bulunur. Kalan
ifade daha sonra asal kısımlarına ayrılır.
İlk soru bu şekilde cevaplandırıldıktan sonra, geriye (F3) eşitliğindeki
çevrim ile (F-1) ve (F-2) eşitliklerinin asıl bağdaştırılabileceği sorunu
kalmış olacaktır. Bu da s’in büyük değerleri için sıfıra oldukça hızlı
yaklaşan integrantlar göz önüne alınarak çözülebilir. Bu şekilde, her
ne kadar integral çevrimi c- ∞ dan c+ ∞ ’a kadar ise de kapalı bir
çevrim olarak yol Şekil F-1’deki gibi seçilebilir.
290
ŞEKİL F-1 s-Planında İntegrasyon Yolu
R0 → ∞ limiti için eksenin sol tarafındaki yarıçember üzerinde integral sıfıra
yaklaşır, ve c-j ∞ ’dan c+j ∞ yolu boyunca alınan integrale yaklaşır.
∫
C1 + C 2
F ( s )ds = ∫ F ( s )ds + ∫ F ( s )ds
C1
(F-8)
C2
Herhangi özel bir durumda, C2 boyunca alınan integralin tüm integrale katkısı
araştırılmalıdır.
c + j∞
∫ F (s)ds = lim ∫
R0 →∞ C1 + C 2
c − j∞
F ( s )ds
= 2πj ∑ artiklar
(F-9)
Aşağıdaki iki özel durum, sorun çıkaran pek çok hali kapsamaktadır,
1- F(s), paydasının derecesi payının derecesinden en az iki büyük
olacak biçimde rasyonel kesir ise,
c + j∞
∫ F (s)ds = ∫
c − j∞
C1 + C 2
F ( s )ds
olduğu kolayca gösterilebilir.
2-F1(s), sonlu sayıdaki kutup noktası hariç, sol yarı planda analitik ve
s → ∞ iken düzgün olarak sıfıra yaklaşıyorsa, ( σ < 0), pozitif t
değerleri için
lim ∫ F1 ( s )e st ds = 0
R0 →∞ C 2
doğrudur. Bu özel durumdan yararlanarak inversiyon integrali,
c + j∞
f (t ) =
1
1
F1 ( s )e st ds =
F1 ( s )e st ds = ∑ k j
∫
∫
C
+
C
2πj c − j∞
2πj 1 2
j
291
Burada kj’ler, j. kutuptaki mutlak yakınsak residue (artık)lardır. Aşağıdaki iki
örnek bu işlemleri açıklamaktadır.
ÖRNEK 1
Spektral yoğunluğu aşağıda verilen rasgele işlemenin,
1
S X (ω ) = 2
(ω + 1)(ω 2 + 4)
Karesel beklendik değerini bulunuz. Sx(s)’e dönüştürülerek,
1
1
S X (s) =
= 2
2
2
(− s + 1)(− s + 4) ( s − 1)( s 2 − 4)
ve karesel beklendik değer
j∞
1
ds
X =
= k −1 + k − 2
∫
2
2πj − j∞ ( s − 1)( s 2 − 4)
2
olur. Sx(s), kısmı kesirlerine ayrılarak artıklar.
1
1
k −1 =
=
(−1 − 1)(1 − 4) 6
1
1
k −2 =
=−
(4 − 1)(−2 − 2)
12
Bu şekilde,
X2 = 1 /6- 1 /12 = 1/12
F(s) = 1 / s(s+2)
‘in ters Laplace dönüşümünü bulunuz.
c + j∞
1
e st
f (t ) =
ds = k 0 + k − 2
2πj c −∫j∞ s ( s + 2)
(F-7) eşitliğinden,
k0 =
e st
s+2
=
1
2
=
e −2 t
−2
s =0
st
k −2 =
e
s
s = −2
ve böylece,
f (t ) =
1
(1 − e − 2t )
2
t>0