ankara ün vers tes fen bl mler enst tüsü doktora tez bulanık kal te

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DOKTORA TEZİ
BULANIK KALİTE KONTROL GRAFİKLERİNDE
YENİ BİR YAKLAŞIM
(ORAN YAKLAŞIMI)
Nilüfer PEKİN ALAKOÇ
İSTATİSTİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2012
Her hakkı saklıdır
“Canım Kızım İnci Defne’ye...”
ÖZET
Doktora Tezi
BULANIK KALİTE KONTROL GRAFİKLERİNDE
YENİ BİR YAKLAŞIM
(ORAN YAKLAŞIMI)
Nilüfer PEKİN ALAKOÇ
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
İstatistik Anabilim Dalı
Danışman: Prof. Dr. Ayşen APAYDIN
Kalite kontrol grafikleri bir sürecin değişkenliğini izlemek için kullanılan en önemli
istatistiksel süreç kontrol araçlarıdır. Bu grafikler bulanık teori ile geliştirildiğinde
gerçeği daha iyi yansıtan sonuçlar elde edilir. Bunun nedeni bulanık sayılarla sürecin
daha esnek tanımlanabilmesidir. Bu çalışmada, oran yaklaşımı olarak adlandırılan,
bulanık kalite kontrol grafikleri çizmek için geliştirilmiş yeni bir yaklaşım önerilmiştir.
Bulanık c kalite kontrol grafiği çizmek için düzenlenen yaklaşım detaylarıyla
anlatılmıştır. Yaklaşımın avantajları açıklanmış ve yaklaşım literatürdeki çalışmalar ile
karşılaştırılmıştır. Oran yaklaşımı ile oluşturulmuş kontrol grafiklerinin performansları
ortalama koşum uzunlukları hesaplanarak incelenmiştir. Çalışmanın son bölümünde,
bulanık kontrol grafiklerinin kontrol dışı durumlarını tanımlayan kurallar tartışılmıştır.
Temmuz 2012, 131 sayfa
Anahtar Kelimeler: Kalite kontrol grafikleri, ortalama koşum uzunluğu (ARL), uyarı
sınırları, bulanık mantık, bulanık sayılar.
i
ABSTRACT
Ph.D. Thesis
A NEW APPROACH IN FUZZY QUALITY CONTROL CHARTS
(RATIO APPROACH)
Nilüfer PEKİN ALAKOÇ
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Statistics
Supervisor: Prof. Dr. Ayşen APAYDIN
Quality control charts which are used to monitor variation of a process are the most
important statistical process control tools. More realistic results are obtained when
these charts are developed with fuzzy theory. This is due to the fact that the process can
be defined more flexible with fuzzy numbers. In this study, a new approach named as
ratio approach developed for fuzzy quality control charts is proposed. The approach
designed for charting fuzzy c quality control chart is explained in details. The
advantages of the approach are explained and the approach is compared with the studies
in literature. Performances of quality control charts formed by ratio approach are
investigated by calculating average run lengths. At the last section of the study, rules
that define out of control situations of the fuzzy control charts are discussed.
July 2012, 131 pages
Key Words: Quality control charts, average run lenght (ARL), warning limits, fuzzy
logic, fuzzy numbers.
ii
İÇİNDEKİLER
ÖZET ............................................................................................................................... i
ABSTRACT .................................................................................................................... ii
TEŞEKKÜR ................................................................................................................... v
KISALTMALAR DİZİNİ ............................................................................................ vi
ŞEKİLLER DİZİNİ ..................................................................................................... vii
ÇİZELGELER DİZİNİ ................................................................................................ ix
1. GİRİŞ .......................................................................................................................... 1
1.1 GİRİŞ ........................................................................................................................ 1
1.2 Önceki Çalışmalar.................................................................................................... 5
1.2.1 Kalitenin tarihsel gelişimi ..................................................................................... 5
1.2.2 Bulanık mantığın tarihsel gelişimi ....................................................................... 7
1.2.3 Bulanık kalite kontrol grafiklerinde önceki çalışmalar..................................... 8
2. KALİTE VE KALİTE KONTROL GRAFİKLERİ ............................................. 13
2.1 Kalite Kontrol Grafikleri ...................................................................................... 14
2.1.1 Sürekli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafikleri ................................ 20
2.1.1.1 x ve R kalite kontrol grafikleri ..................................................................... 20
2.1.1.2 x ve s kalite kontrol grafikleri ....................................................................... 23
2.1.1.3 MR kalite kontrol grafikleri............................................................................ 25
2.1.1.4 CUSUM ve EWMA kalite kontrol grafikleri ................................................ 26
2.1.2 Kesikli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafikleri ................................ 27
2.1.2.1 p kalite kontrol grafikleri ................................................................................ 27
2.1.2.2 np kalite kontrol grafikleri .............................................................................. 28
2.1.2.3 c kalite kontrol grafikleri................................................................................. 29
2.1.2.4 u kalite kontrol grafikleri ................................................................................ 29
2.2 Kalite Kontrol Grafiklerinde Kontrol Dışı Durumlar ........................................ 31
2.3 Kalite Kontrol Grafiklerinde Uyarı Sınırları ...................................................... 35
2.4 Kalite Kontrol Grafiklerinde Performans Ölçüleri ............................................ 36
3. BULANIK MANTIK VE BULANIK KALİTE KONTROL GRAFİKLERİ .... 39
3.1 Bulanık Mantık ve Genel Tanımlar ..................................................................... 41
3.2 Üyelik Fonksiyonları .............................................................................................. 45
iii
3.3 Bulanık Sayılar ve Aritmetik İşlemler ................................................................. 51
3.4 Tip - n Bulanık Mantık .......................................................................................... 56
4. KALİTE KONTROL GRAFİKLERİNDE ORAN YAKLAŞIMI ...................... 57
4.1 Oran Yaklaşımının Temelleri ............................................................................... 59
4.2 Oran Yaklaşımı İle Oluşturulmuş Kalite Kontrol Grafiklerinde Bulanık
Sınırlar .................................................................................................................... 70
4.2.1 Sürekli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafiklerinde oran
yaklaşımı ................................................................................................................. 71
4.2.2 Kesikli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafiklerinde oran
yaklaşımı ................................................................................................................. 72
4.3 Oran yaklaşımında bulanık sayıların üyelik fonksiyonunun belirlenmesi ....... 74
4.4 Oran Yaklaşımının c Kalite Kontrol Grafiğine Uygulanması ........................... 78
4.5 Oran Yaklaşımının Avantajları ............................................................................ 86
4.6 Oran Yaklaşımı İle Oluşturulmuş Kalite Kontrol Grafiklerinde Uyarı
Sınırları ................................................................................................................... 89
4.7 Oran Yaklaşımı İle Oluşturulmuş Kalite Kontrol Grafiklerinde Performans
Ölçüleri .................................................................................................................... 91
5. BULANIK KALİTE KONTROL GRAFİKLERİNDE KONTROL DIŞI
DURUMLAR..................................................................................................... 102
5.1 Bulanık Kalite Kontrol Grafiklerinde Bulanık Kurallar ................................. 102
5.2 Bulanık Kuralların Etkileri................................................................................. 110
6. SONUÇLAR VE ÖNERİLER .............................................................................. 115
KAYNAKLAR ........................................................................................................... 119
EKLER ........................................................................................................................ 123
EK 1 Şekil 6.4’ün Elde Edilmesinde Kullanılan Üyelik Derecelerinin Bir
Kısmı .................................................................................................................. 124
EK 2 Easyfit Veri Analizi Sonuçları ......................................................................... 125
EK 3 Easyfit Veri Analizi Parametre Tahminleri................................................... 127
EK 4 Poisson(9,5) Ve k = 1,5 İle Üretilen Bulanık Sayıların Üyelik Dereceleri ... 129
ÖZGEÇMİŞ ................................................................................................................ 130
iv
TEŞEKKÜR
Tez çalışmasının hazırlanmasında bilgi ve tecrübeleriyle bana yol gösteren, desteğini
esirgemeyen, güleryüzü, hoşgörüsü, sakin ve yapıcı kişiliği ile örnek aldığım danışman
hocam Sayın Prof. Dr. Ayşen APAYDIN’a (Ankara Üniversitesi İstatistik Anabilim
Dalı ) en içten teşekkürlerimi sunarım.
Çalışma süresince, zaman ayırıp tez izleme toplantılarına katılan farklı bakış açıları ve
fikirleriyle beni yönlendiren değerli jüri üyeleri Sayın Prof. Dr. Murat Caner TESTİK’e
(Hacettepe Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Anabilim Dalı ) ve Sayın Doç. Dr. Halil
AYDOĞDU’ya (Ankara Üniversitesi İstatistik Anabilim Dalı ), tezimi okuyarak değerli
katkılarını sunan jüri üyeleri Sayın Prof. Dr. F. Zehra MULUK’a (Başkent Üniversitesi
Sigortacılık ve Risk Yönetimi Anabilim Dalı ) ve Fatih TANK’a (Ankara Üniversitesi
İstatistik Anabilim Dalı) çok teşekkür ederim.
Ayrıca, tüm hayatım boyunca daima desteklerini ve sevgilerini hissettiğim, bugünlere
gelmemi sağlayan canım annem Aynur PEKİN’e, babam İbrahim PEKİN’e ve ablam
Yasemin PEKİN DOĞAN’a minnettarım. Çalışmalarım sırasında sabır, sevgi ve anlayışla
beni dinleyen ve destekleyen sevgili eşim Uğur ALAKOÇ’a ve biricik kızım İnci Defne
ALAKOÇ’a sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
Nilüfer PEKİN ALAKOÇ
Ankara, Temmuz 2012
v
KISALTMALAR DİZİNİ
MÇ
Merkez Çizgi
AKL
Alt Kontrol Limiti
ÜKL
Üst Kontrol Limiti
MR
Hareketli Genişlik
(Moving Range)
CUSUM
Kümülatif Toplam
(Cumulative Sum)
EWMA
Üstel
Ağırlıklı Hareketli Ortalama
(Exponenetially weighted moving average)
ARL
Ortalama Koşum Uzunluğu
(Average Run Length)
ATS
İlk Sinyale Kadar Geçen Ortalama Zaman
(Average Time to Signal)
vi
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 2.1 30 Birimlik bir veri setine ait örnek kalite kontrol grafiği ............................ 16
Şekil 2.2 Kalite kontrol grafiklerinde A, B ve C bölgeleri .......................................... 32
Şekil 3.1 α - kesme kümesi .......................................................................................... 44
Şekil 3.2 Üyelik fonksiyonu ......................................................................................... 46
Şekil 3.3 Üçgensel üyelik fonksiyonu .......................................................................... 47
Şekil 3.4 Doğrusal olmayan üçgensel üyelik fonksiyonu ............................................ 48
Şekil 3.5 Yamuksal üyelik fonksiyonu ........................................................................ 48
Şekil 3.6 Gaussian üyelik fonksiyonu .......................................................................... 49
Şekil 3.7 Çan eğrisi üyelik fonksiyonu ........................................................................ 50
Şekil 3.8 Sigmodial üyelik fonksiyonu ........................................................................ 51
Şekil 3.9 Üçgensel bir bulanık sayı .............................................................................. 52
Şekil 3.10 Yamuksal bir bulanık sayı ........................................................................... 53
Şekil 4.1 Üçgensel bulanık sayılar ve bulanık kontrol sınırları için bir örnek ............. 60
Şekil 4.2 Bulanık kalite kontrol grafiğinde çakışmayan bulanık kontrol sınırları ve
yamuksal bulanık sayıların olası durumları ................................................. 64
Şekil 4.3 Bulanık kalite kontrol grafiğinde çakışan bulanık kontrol sınırları ve
yamuksal bulanık sayıların olası durumları ................................................. 67
Şekil 4.4 Üyelik dereceleri histogramı ......................................................................... 76
Şekil 4.5 Beta dağılımı olasılık yoğunluk fonksiyonu ................................................. 78
Şekil 4.6 Bulanık kontrol sınırları ................................................................................ 80
Şekil 4.7 Birinci örneklem ile tahmin edilen Beta dağılımı olasılık yoğunluk
fonksiyonu ..................................................................................................... 82
Şekil 4.8 Oran yaklaşımı ile oluşturulmuş bulanık c grafiği ........................................ 85
Şekil 4.9 Kesim 4.4'de tahmin edilen Beta dağılımı olasılık yoğunluk
fonksiyonunda uyarı sınırı ............................................................................ 90
Şekil 5.1 Kural 2: Üçgensel bulanık sayı ve bulanık sınırlar ..................................... 104
Şekil 5.2 Kural 5: Bulanık merkez çizginin tek bir tarafında olan üçgensel bulanık
sayılar ......................................................................................................... 105
Şekil 5.3 Kural 6: Düzenli olarak küçülen üçgensel bulanık sayılar ......................... 106
Şekil 5.4 Kural 8: Düzenli olarak artan ve azalan üçgensel bulanık sayılar .............. 107
vii
Şekil 5.5 Kural 10: Bulanık merkez çizginin düzenli olarak altında ve üzerinde
olan üçgensel bulanık sayılar ..................................................................... 107
Şekil 5.6 Kural 12: Yayılımı düzenli olarak azalan üçgensel bulanık sayılar ........... 108
viii
ÇİZELGELER DİZİNİ
Çizelge 3.1 Üçgensel bulanık sayılarla aritmetik işlemler ........................................... 54
Çizelge 3.2 Yamuksal bulanık sayılarla aritmetik işlemler ......................................... 55
Çizelge 4.1 Üretilen yapay bulanık sayılar için belirlenen fonksiyonlar ..................... 77
Çizelge 4.2 Birinci örneklem: α - kesme üçgensel bulanık sayılar ............................. 79
Çizelge 4.3 Bulanık kontrol sınırları ve α - kesme bulanık kontrol sınırları ............... 80
Çizelge 4.4 Birinci örneklem ile hesaplanan üyelik dereceleri .................................... 81
Çizelge 4.5 İkinci örneklem : α - kesme üçgensel bulanık sayılar .............................. 83
Çizelge 4.6 İkinci örneklem ile hesaplanan üyelik dereceleri ...................................... 84
Çizelge 4.7 Bulanık kontrol sınırları ve merkez çizgi .................................................. 93
Çizelge 4.8 Farklı parametre ve açıklık katsayısı değerleri ile hesaplanmış
ortalama koşum uzunlukları ..................................................................... 94
Çizelge 4.9 ARL değerlerinin İşaret Testi ile karşılaştırılması .................................... 99
Çizelge 4.10 Farklı parametre ve açıklık katsayısı değerleri ile hesaplanmış koşum
uzunlukları sayıları ................................................................................. 100
Çizelge 4.11 Farklı parametre ve açıklık katsayısı değerleri ile hesaplanmış
bulanık sayıların üyelik derecelerinin ortalamaları ................................ 101
Çizelge 5.1 Farklı parametre değerleri ile hesaplanmış ortalama koşum
uzunlukları .............................................................................................. 110
Çizelge 5.2 Oran yaklaşımında kural 2'nin ARL değerlerinde etkisinin ortanca
için İşaret Testi ile incelenmesi .............................................................. 111
Çizelge 5.3 Kural 2'ye uyan bulanık sayı yüzdeleri ................................................... 112
Çizelge 5.4 Kural 2'ye uyan bulanık sayıların üyelik derecelerini ortalamaları ........ 113
ix
1. GİRİŞ
1.1 GİRİŞ
Günümüzdeki rekabetçi ortamda işletmeler daha karlı üretim yapabilmek için kaliteli
ürünler üretmeyi amaçlamaktadır. Üretimin her aşamasında yüksek kalite beklentisinin
tüm üretim veya hizmet sürecinde hakim olması istenmektedir. Kalite bir ürünün ya da
hizmetin istenilen özelliklere sahip olmasıdır ve müşterilerin bir numaralı tercih
sebebidir. Çağımızda müşteri nihai ürünü kullanan müşteriden çok daha geniş bir anlam
ifade etmektedir.
Maliyeti olabildiğince düşük kusursuz ürünleri zamanında üretmek işletmelerin temel
hedefidir. Bu nedenle firmalar sürekli olarak kendilerini yenilemenin ve ürün kalitesini
arttırmanın yollarını aramaktadırlar. İstatistiksel yöntemler bu amaçla kullanılan
araçlardır. Endüstride geniş ölçüde kabul edilmiş ve en yaygın olarak kullanılan
istatistiksel yöntemler kalite kontrol grafikleridir. Kalite kontrol grafikleri ile sürecin
zaman içerisindeki değişimini izlemek, varsa olası kontrol dışı durumları ya da kusurları
yakalamak mümkündür. Bu izleme ile sürece zamanında müdahale etmeye veya önlem
almaya imkan sağlanır.
Günümüz endüstrisinde firmaların kusursuz ürün üretebilme hedefi, kullanılan
yöntemlerin hızla değişmesine ve gelişmesine neden olmaktadır. Araştırmacılar ve bilim
insanları kalitenin arttırılması ya da mevcut kalite seviyesinin korunması amacıyla
çalışmalar yapmaktadır. Bir sürecin ortalamasındaki küçük dalgalanmaları, kaymaları
yakalamak, süreci daha erken kontrol altına almak maliyet açısından önemlidir. Üretim
sistemlerinin
iyileştirme
çalışmalarında
klasik
yöntemler
her
zaman
yeterli
olmamaktadır, çünkü günümüzün karmaşık sistemleri belirsizlikler içerir. Bu nedenle
bulanık kalite kontrol grafikleri geliştirilmiştir. Kesin olmayış ve belirsizlik, insan
doğasının kararlarının temelinde vardır. İnsanın var olduğu, karar ve düşüncelerine
gerek duyulduğu tüm alanlarda olduğu gibi üretim alanı da belirsizlikler içermektedir.
Kesin olmayış ve belirsiz bilginin modellenmesi kalite kontrolde bulanık mantık ile
sağlanır. Bulanık mantık ile geliştirilen kalite kontrol araçları ile firmalar kendilerini
1
yenilemenin ve ürün kalitesini arttırmanın yollarını aramaktadırlar. Bulanık kalite
kontrol grafiklerinin geliştirilmesi süreci daha doğru sonuçlarla açıklayabilmesi
açısından önemlidir.
Bulanık kontrol grafiklerinin avantajları şu şekilde özetlenebilir:
•
Kalite kontrol grafikleri “süreç kontrol içinde” veya “süreç kontrol dışında”
sonuçlarına varır. Fakat bulanık yaklaşım ile çizilen grafikler birçok ara kararı da
içerebilir.
•
Bulanık kontrol grafikleri sadece sürecin durumunu sözel olarak tanımlamakla
kalmaz sürecin kontrol içinde ya da kontrol dışında olmasının derecesini de
belirtebilirler. Bu da gerçeğe daha yakın ve daha esnek sonuçlara ulaşılmasına neden
olur.
•
Kalite kontrol grafiklerinde verilerin gerçek ve kesin sayılar olması gerekliliğine
karşılık bulanık kontrol grafiklerinde kullanılan sayılar belirsiz verilerdir.
•
Kalite kontrol grafiklerinde alt ve üst kontrol sınırlarının değerleri örneklemdeki alt
grupların eleman sayısına bağlıdır. Bulanık grafiklerde bu olmak zorunda değildir
(Gülbay ve Kahraman 2007).
•
Bir ürünün kusurlu ya da kusurlu değil veya uygun ya da uygun değil olarak
sınıflandırmak bazı süreçlerde yetersiz kalır. Böyle durumlarda bulanık kalite kontrol
grafiklerinde ara seviyeler de tanımlanabilir.
•
Bir bulanık kalite kontrol grafiğinde birden çok kalite karakteristiği incelenebilir
(Gülbay ve Kahraman 2007).
Literatürde, 1990’lardan sonra bulanık kalite kontrol grafikleri oluşturmak için çeşitli
yaklaşımlar geliştirilmiştir. Bu çalışmaların bazı önemli dezavantajları şu şekilde
özetlenebilir:
2
•
Özellikle ilk çalışmalarda veriler bulanık sayı ya da sözel ifadeler olarak ele alınmış
ve bulanık kontrol grafiğin çiziminin bir aşamasında bir dönüşüm yöntemi ile bulanık
sayılar gerçek sayılara çevrilmiştir. Bu yaklaşımlarda hesaplamalar kolay olsa da
grafiklerin dönüşüm yöntemi kullanılarak elde edilmesi veri kaybının olmasına sebep
olur. Veri kaybı sonucun esnekliğini ve yanlış alarm oranını etkiler. Ayrıca, grafiğin
oluşturulmasında kullanılan dönüşüm yöntemi süreç hakkındaki sonucu ve grafiğin
örüntüsünü tamamen değiştirebilir.
•
Literatürde önerilen bulanık kontrol grafiklerinde, üst ve alt kontrol sınırları ve
merkez çizgi genellikle gerçek değerlerle ifade edilmiştir. Bu sayede Shewhart’ın kalite
kontrol grafiği oluşturma teknikleri bulanık grafiklere kolayca uyarlanabilmiştir. Her ne
kadar Shewhart kalite kontrol grafiklerine benzer grafikler elde etmek, grafiklerin
performanslarını karşılaştırmak için kullanılan, ortalama koşum uzunluğu istatistiğinin
hesaplanmasının kolay olmasını sağlasa da, sınırları gerçek sayılarla ifade etmek kontrol
grafiğini bulanık mantığın çerçevesinden uzaklaştırmıştır.
•
Geliştirilen yaklaşımlar genellikle teorik çalışmalardır ve yaklaşımlarda süreçler
sadece değerlere göre tanımlanır. Çizilen bir grafiğin olmaması değerlerin zamana göre
değişiminin incelenmesini imkansız hale getirir.
•
Literatürde önerilen bulanık kalite kontrol grafiklerinin bir diğer dezavantajı
varsayımlarının gerçekçi olmaması ya da varsayımlarının yaklaşımın uygulanabilirliğini
etkilemesidir. Bulanık kalite kontrol grafiğinin uygulanamıyor olması grafiğin önemli
bir eksikliğidir. Önerilen hemen hemen tüm bulanık kontrol grafikleri bazı varsayımlar
altında geliştirilmiştir. Örneğin, veri olarak ele alınan bulanık sayılar doğrusal üyelik
fonksiyonu olan yamuksal sayılardır (Gülbay ve Kahraman 2007). Bulanık sayılar
doğrusal üyelik fonksiyonu olan üçgensel sayılardır ve α - seviye bulanık açıklık ortası
yöntemi bu sayılara uygun bir dönüşüm yöntemidir (Şentürk ve Erginel 2008).
Ürünlerin uygunluğun (ya da uygunsuzluğun) derecesini belirten veriler Normal
dağılıma uymaktadır (Amirzadeh vd. 2009). Sözel olarak ifade edilen kalite
karakteristiğinin terimleri gaussian üyelik fonksiyonuna sahiptir (Faraz ve Moghadam
2007). Bu ve bunlar gibi varsayımlar bulanık kalite kontrol grafikleri konu olduğunda
kaçınılmazdır ve önerilen grafikler için sağlanması gereken önemli şartlardır fakat bu
3
varsayımlar bulanık kalite kontrol grafiklerinin her türlü gerçek hayat durumlarına
uyarlanmasını engeller ya da büyük ölçüde kısıtlar.
•
Var olan çalışmalara başka bir açıdan bakıldığında, genel olarak varsayımları az
olan yaklaşımların çok olan yaklaşımlara göre hesaplamaları oldukça zor olduğu
söylenebilir. Bu durum bulanık kalite kontrol grafikleri yaklaşımlarının uygulanmalarını
kısıtlayan başka bir önemli dezavantajdır.
Bu çalışmada bulanık kalite kontrol grafikleri çizebilmek için oran yaklaşımı olarak
adlandıran yeni bir yaklaşımın geliştirilmesi ve Shewhart kalite kontrol grafiklerinin
bulanık alternatiflerinin çizilmesi amaçlanmıştır. Varsayımlar açısından mümkün
olduğunca
esnek
bir
yaklaşım
geliştirilmeye
çalışılmıştır.
Yaklaşımın
uygulanabilirliğinin ve hesaplamalarının kolay olması göz önüne alınarak, sürece ve
uzman kararlarına göre değişimlere açık olması hedeflenmiştir. Küçük değişikliklerle
farklı kontrol grafikleri için düzenlenebilmesi göz önüne alınarak her türlü sürecin
bulanık kontrol grafiğinin çizilebilmesi amaçlanmıştır. İstenen sadece farklı kontrol
grafiklerine uyarlanabilmesi ya da oran yaklaşımı ile çeşitli bulanık kontrol grafiklerinin
çizilebilmesi değil yaklaşımın üretim süreçlerinde kullanılabilmesidir. Bu çerçevede
oran yaklaşımı olarak adlandırılan bulanık kalite kontrol grafiği oluşturma yaklaşımı
geliştirilmiştir.
Bu çalışmanın İkinci Bölüm’ünde, kalitenin farklı tanımları özetlenerek kalitenin tanımı
ve istatistiksel süreç kontrol üzerinde durulacaktır. Kalite kontrol grafiklerinin çeşitleri,
varsayımları ve literatürdeki doğal olmayan grafik örüntülerini tanımlayan kurallar
özetlenecektir. Kalite kontrol grafiklerinde uyarı sınırları ve performans ölçülerinin
anlamlarına ve hesaplamalarına değinilecektir.
Üçüncü Bölüm’de, bulanıklık ve bulanık mantık temel özellikleri ile anlatılacaktır.
Bulanık kümeler, üyelik fonksiyonu kavramlarının tanımlarına değinilecek ve tip - n
bulanık mantık üzerinde durulacaktır.
4
Tezin özgün yanını içeren Dördüncü Bölüm’de, geliştirilen oran yaklaşımı detaylarıyla
anlatılacaktır. Oran yaklaşımının Shewhart’ın kalite kontrol grafiklerine alternatif
olacak şekilde düzenlenmesi incelenecek ve bulanık c grafiği çizmek için düzenlenen
yaklaşım bir örnek ile ayrıntılarıyla anlatılacaktır. Oran yaklaşımı ile oluşturulmuş
kalite kontrol grafiklerinin literatürdeki bulanık kontrol grafiklerine göre kullanım
avantajları üzerinde durulacak ve önerilen bulanık kontrol grafiklerinde uyarı
sınırlarının hesaplamaları anlatılacaktır. Bulanık kontrol grafiklerinin performans
ölçüleri aynı bölümde incelenecek ve farklı senaryolar göz önüne alınarak, bulanık c
kontrol grafiği için ortalama koşum uzunlukları hesaplanarak sonuçlar tartışılacaktır.
Çalışmanın Beşinci Bölüm’ünde oran yaklaşımı ile çizilmiş bulanık kalite kontrol
grafiklerinde sürecin kontrol altında olmadığını gösteren rasgele olmayan grafik
örüntüleri bir dizi kurallar ile tanımlanacak ve önerilen bulanık kalite kontrol grafikleri,
tanımlanan kurallardan biri ile ortalama koşum uzunluğu istatistiği kullanılarak
incelenecektir.
Çalışmanın sonuçları ve oran yaklaşımı son bölüm olan Altıncı Bölüm’de özetlenecek
ve çeşitli uygulamalarla elde edilen bilgiler değerlendirilecektir.
1.2 Önceki Çalışmalar
1.2.1 Kalitenin tarihsel gelişimi
Kalite, bir ürünün ya da hizmetin belirli beklentileri karşılayabilme derecesini ortaya
koyan karakteristiklerinin tümüdür. Kusursuz hizmet ya da ürün üretmeye sistemli bir
yaklaşımdır, şartlara uygunluktur, verimliliktir ve müşterinin memnuniyetidir. Kalite
hemen hemen her zaman ürünlerin ve hizmetlerin ayrılmaz bir parçası olmuştur. Fakat
kalitenin öneminin anlaşılması ve kalite kontrolde yeni yöntemlerin geliştirilmesi son
yüzyıllarda olmuştur. 20. yüzyılda ise kalite kontrol alanı önemli gelişmelere sahne
olmuştur. Üretim sistemlerinde kalite kontrolün önemi artmış ve firmalar daha karlı
üretim yapabilmek amacıyla istatistiksel süreç kontrolüne ağırlık vermişlerdir.
5
1980’lerden sonra ise kalite ve kalite kontrol teknolojileri, anlayışı ve gelişmelerinde
çok hızlı yollar kat edilmiştir. Üreticiler ve firmalar arasında rekabet sonucu bir ürünün
ya da hizmetin kalitesinin arttırılma çalışması bir gereklilik halini almıştır.
Frederick W. Taylor (1911) yılında bilimsel yönetimin ilkelerini tanıtmış ve bu ilkelerle
işleri ve üretimi üstesinden gelinebilecek bileşenlere bölmüştür. Çalışanların üretimdeki
tüm işlerden sorumlu olması yerine belirli işlerde özelleştirilmesi, bu çalışanların
kalitesinin ve üretebilirliğinin görülmesine neden olmuştur.
20. yüzyılda kalite ve kalite geliştirme konularında yapılan çalışmalarda Avrupa, ABD
ve Japonya ön plana çıkmaktadır.
Kalite kontrolde istatistiksel yöntemlerin kullanılması ilk olarak Walter A. Shewhart
tarafından 1924 yılında gerçekleşmiştir. Üretim işlemini ekonomik açıdan ele almıştır.
Bu amaçla, yaptığı çalışmalarda üretim sürecinin kalitesinin, ürünlerin değişkenliği ile
ilgili olduğunu göstermiş ve değişkenliğin zaman içerisinde gösterilmesinde kalite
kontrol grafiği kavramını tanıtmıştır. Kalite kontroldeki bu önemli gelişmeler
istatistiksel kalite kontrolün başlangıç noktası olarak kabul edilmiştir (Montgomery
1996).
Shewhart’ın çalışmalarının yayınlanmasından kısa bir süre sonra Dodge ve Roming aynı
laboratuarda ürünlerin müşteriye ulaşabilecek uygunlukta olup olmadığını test etmek
amacıyla ürünlerin kısım kısım denetlenmesi üzerine bir sistem geliştirmişlerdir. Bu
sistem, kısımların kalitesini öngörebilmek için örneklemlerin kullanıldığı olasılık
yaklaşımı temeline dayanmaktadır (Feigenbaum 1983).
İşletmelerde hurda, üretimin kaçınılmaz bir parçasıdır. Hurda ve hurdadan kaynaklanan
problemleri önlemek amacıyla yapılan çalışmalarda W. E. Deming’in 1950 yılındaki
istatistik tabanlı yaklaşımları dikkat çeker. Kalitenin ve üretkenliğin geliştirildiği bu
çalışmalar ABD’den önce Japonya’da kabul görmüştür.
6
İkinci Dünya Savaşının başlamasıyla Dünya’da kalite kontrol çalışmaları daha da
genişlemiştir. Yüksek kaliteli ürünlerin üretilmesi, müşteri memnuniyeti ve daha kısa
zamanda daha karlı üretim gibi kavramlar ön plana çıkmıştır.
1980 yıllarına gelindiğinde Shewhart kalite kontrol grafikleri, Deming’in kalite
geliştirme felsefesi, Taguchi yöntemleri, deney tasarımı teknikleri, kalite güvence
kavramı tüm dünyaya yayılmıştır.
Günümüzde küresel markette rekabetçi güçlerin etkisi ile gelişmeler hızla artmış ve
üretimin birçok boyutu kalite ile beraber takip edilir olmuştur (Deming 1948, Efil 1998,
Oktay 1998, Kobu 1999) .
1.2.2 Bulanık mantığın tarihsel gelişimi
Gerçek hayat problemlerinde belirsizliklerin ve bulanıklıkların modellenmesine ihtiyaç
duyulur. Fakat bu problemler her zaman deterministik değildir. Tarihte belirsizliğin
modellenmesinde olasılık teorisi kavramı ve teknikleri kullanılmıştır. Pratikteki bu
problemlerden yola çıkılarak 1960’dan sonra olasılık teorisi üzerinde çalışılmış ve
bulanık mantık kavramı tanımlanmıştır. İlk olarak 1962 yılında Lotfi A. Zadeh
tarafından ortaya atılmıştır. Zadeh bu çalışmasında kesin olmayan sınırlara dayalı olan
“bulanık küme” teorisini açıklamıştır. Bulanık mantık ilk yıllarda şüpheyle karşılanmış
ve eleştirilmiştir. Batı dünyasından önce doğuda özellikle Japonya’da kabul görmüştür.
Daha sonraki yıllarda çeşitli alanlara yayılmış ve uygulamaları yapılmıştır (Klir ve
Yuan 1995).
İlk olarak çimento sanayi ve su arıtma sistemlerinin uygulamalarında kullanılan bulanık
mantık 1980’lerden sonra asansör, metro işletimi, trafik lambaları ve beyaz eşyalarda
kullanılmaya başlanmıştır. 1972 yılında Londra'da Mamdani bulanık mantık kullanarak
uzman sistemle bir buhar türbininin hızının ve performansının denetlenebileceğini
göstermiştir. Bulanık mantık kuramının ilk endüstriyel uygulaması ise Danimarka'daki
bir çimento fabrikasında gerçekleştirilmiştir. Sıcaklık ve oksijen ayarı bulanık mantık
7
ile yapılmıştır. Bulanık mantığın ilk önerildiği günden beri önemi gittikçe artmaktadır.
Son 30 yılda bulanık mantık birçok alana yayılmış ve çok çeşitli yönleri geliştirilmiştir.
Ortaya atıldığı yıllarda teorik bir araştırma konusu olarak incelenen bulanık mantığın,
günümüze kadar geçen zaman içerisinde çok farklı alanlarda uygulamaları yapılmıştır.
Bulanık mantığın kullanıldığı alanların belli başlı olanları: Biyoloji ve tıp bilimleri,
yönetim ve karar destek sistemleri, ekonomi ve finans, çevre, mühendislik ve bilgisayar
bilimleri, psikoloji, yöneylem araştırması, uzman sistemler, güvenilirlik ve kalite
kontrolü, otomatik kontrol sistemleri, istatistik, bilgi sistemleri ve görüntü tanımlamadır.
Günümüzde bulanık mantık elektrikli ev aletlerinde, beyaz eşyalarda, akıllı sistemlerin
tasarımında, fren sistemlerinde kullanılmaktadır (Klir ve Yuan 1995).
1.2.3 Bulanık kalite kontrol grafiklerinde önceki çalışmalar
Literatürde kalite kontrol grafikleri ve bulanık mantık çok çalışılmış olsa da bulanık
kalite kontrol grafikleri 1990’lardan sonra incelenmeye başlanmıştır.
Bulanık kalite kontrol grafikleri çalışmaları ilk olarak 1990’da Raz ve Wang’ın
yaptıkları iki çalışma ile başlar. Raz ve Wang (1990) ve Wang ve Raz (1990)
makalelerinde özellikler ile çalışılmış ve genel bulanık kalite kontrol grafiği yaklaşımı
önerilmiştir. Kalite karakteristiği uygun / uygun değil olarak değil mükemmel, iyi, orta,
zayıf ve kötü gibi sözel ifadelerle ara seviyeleri de belirterek incelenmiştir. Olasılıksal
ve üyelik olarak tanımlanan iki yaklaşım geliştirilmiştir. Olasılıksal yaklaşımda, kalite
karakteristiğinin sözel ifadelerinin bu ifadelerin üyelik fonksiyonlarının mod, ortanca,
α - seviye bulanık açıklık ortası dönüşüm teknikleri veya bulanık ortalama dönüşüm
değerleri ile temsil edilen gerçek değerleri hesaplanmıştır. Daha sonra bu gerçek
değerler Shewhart kalite kontrol grafikleri yöntemi ile kontrol grafiklerinin çiziminde
kullanılmıştır. Üyelik yaklaşımında, süreç seviyesi sözel ifadelerin ortalaması ile tahmin
edilmiş ve önerilen kalite kontrol grafiğinde orta çizgi sözel ifadelerin ortalaması olarak
belirlenmiştir. Kontrol sınırları ise orta çizginin süreç seviyesinin bulanıklık miktarı ile
çarpılması sonucunda elde edilmiştir. Wang ve Raz’ın (1990)’da yaptıkları ikinci
çalışmada sözel kalite karakteristiği verilerine dayanan yaklaşımların sonucunda sözel
8
terimlerin sayısının, kontrol grafiklerinin duyarlılığını etkilediği ve geliştirilen
yaklaşımların Shewhart kontrol grafiklerinden daha iyi sonuçlar verdiği ifade edilmiştir.
Bu konuda yapılmış daha sonraki ilk çalışma Kanagawa vd. (1993)’ne aittir. Wang ve
Raz’ın çalışmaları temel alınmıştır. Sözel değişkenler için kontrol grafikleri
geliştirmişlerdir. Bu terimler bulanık sayı olarak ele alınmıştır. Sözel ifadelere karşılık
gelen gerçek değerlerin olasılık yoğunluk fonksiyonlarının belirlenmesi yerine, sözel
ifadeleri bulanık veri olarak dikkate almış ve Zadeh’in olasılık fonksiyonunu kullanarak
her bir sözel ifadenin ortaya çıkma olasılığı bulunmuştur. Grafiğin sınırları, süreç
kontrol altında iken noktaların sınırların dışına çıkma olasılıklarına göre belirlenmiştir.
Sürecin durumunu açıklamak için sözel terimler kullanılmıştır.
Raz ve Wang (1990)’ın ve Kanagawa vd. (1993)’nin çalışmalarının varsayımlarının
gerçekçi olmadığı kullanılan üyelik fonksiyonlarının problemli olduğu Kanagawa vd.
(1993) tarafından ve daha sonraki çalışmalarda vurgulanmıştır. Bu nedenle süreci daha
iyi yansıtabilmek için yapılan ilk çalışma Taleb ve Limam (2002)’a aittir. Bu makalede
sözel veri için bulanık ve olasılık teorilerine dayanan farklı kontrol grafikleri üretme
prosedürleri karşılaştırılmıştır. Farklı bulanıklık derecelerinde üç küme üyelik
fonksiyonları bulanık yaklaşımlar için önerilmiştir. Literatürdeki Raz ve Wang
tarafından geliştirilen iki yöntem ve Marcucci yöntemi bir örnek üzerinde tarşılmıştır.
Bulanık yaklaşımlarda gerçek veri kullanılmış ve örnekler kontrol altındaki süreçler ve
ortalama koşum uzunluğu ile kıyaslanmıştır. Bu çalışma ile iki sonuca varılmıştır: Sözel
sayıların üyelik fonksiyonlarının bulanıklığı kontrol grafiklerini kurmada önemli bir
değişkendir ve multinominal süreçlerde bulanık kontrol grafikleri olasılık grafiklerinden
daha iyi ve daha hassas sonuçlar vermektedir.
Gülbay vd. (2004) yılına ait çalışmalarında bulanık kontrol grafiklerine farklı bir bakış
açısı ile yaklaşmışlardır. Bu çalışma Shewhart’ın kesikli rasgele değişkenler için kalite
kontrol grafikleri temel alınarak geliştirilmiştir. Süreçteki hatalı ya da uygun olmayan
ürün sayısı ile ilgilenilmiş ve verinin sözel olduğu varsayılmıştır. Geliştirilen α - kesme
kontrol grafiği gözlemin sıkılığını kontrol etmektedir. α’nın aldığı değer arttıkça
9
sonucun sıkılığı da artacağı gösterilmiştir. Yapılan uygulamalarla geliştirilen kontrol
grafiği önceki bulanık kontrol grafikleri ile karşılaştırılmıştır.
Cheng (2005), kontrol grafiklerinde kullanılan verinin önemine değinmiş ve güvenilir
olması gerektiğini savunmuştur. Bunun için hem ölçümlere hem de uzmanların
görüşlerine dayanan bir kontrol grafiğinin gerçeğe daha yakın sonuçlar vereceğini
göstermiştir. Önerilen metodolojinin iki aşaması vardır: Bunlar çevrimdışı ve çevrimiçi
aşamalarıdır. Çevrimdışı aşamasında ilk olarak bir grup uzman ürünlere puan vermiş ve
bu puanlar toplanarak bulanık sayılar yazılmıştır. İkinci, çevrimiçi, aşamada ürünlerin
kalite karakteristikleri ölçülmüştür. Oluşturulan bu bulanık sayılar ve ölçümler arasında
sinir ağlarıyla uygulanan bulanık regresyon analizi yapılmıştır. Ölçülen değerlere
karşılık gelen bulanık kalite oranları bulanık grafikler üzerinde gösterilmiş ve bu sayede
verilerin belirsizliği kontrol grafiklerinde de korunmuştur. Olabilirlik teorisi ile kontrol
dışı durumların şartları belirlenmiştir. Sadece “süreç kontrol içindedir” veya “süreç
kontrol dışındadır” olarak değil bulanıklığın ölçüsü de sonuç olarak verilmiştir.
Bulanık sayıları gerçek sayılara çevirmek için bazı dönüşüm yöntemleri kullanılır. Bu
yöntemlerin veri kaybına sebep olması bulanık sayıları veri olarak kullanan farklı
yaklaşımların üretilmesine sebep olmuştur. Bu amaçla yapılan ilk çalışmada, Gülbay ve
Kahraman (2007) kullanılan verinin kontrol grafiği üzerindeki etkisine değinmiştir.
Gülbay ve Kahraman (2007), bulanık dönüşüm tekniklerine doğrudan bulanık yaklaşım
(DBY) olarak adlandırılan farklı bir yaklaşım geliştirmiştir. Yaklaşım bulanık c kalite
kontrol grafikleri çizmek için üretilmiştir. Verilerin doğrusal üyelik fonksiyonu olan
yamuksal bulanık sayılardan oluştuğu varsayılmıştır. Shewhart’ın kontrol sınırlarının
hesaplanması yöntemi bulanık sayılara uygulanmış, üst ve alt kontrol sınırları yamuksal
bulanık sayılar ile tanımlanmıştır. Aynı şekil üzerinde bulanık sınırlar, örneklem ve α kesmeleri çizilmiş ve sonuca örneklemin alt sınır ve üst sınır arasında kalan alanına
dayanılarak varılmıştır. Önceden belirlenen kabul edilebilirlik yüzdesi ile sürecin hangi
kategoride olacağı belirtilmiştir.
10
Gülbay ve Kahraman (2007)’ın geliştirdikleri dönüşüm tekniklerine doğrudan bulanık
yaklaşım, doğal olmayan örüntülerin incelendiği yeni bir çalışma ile tekrar ele alınmıştır.
Alt ve üst kontrol sınırlarının dışında bir nokta olmaması sürecin kontrol dışında
olmadığını göstermez. Bunu incelemek için literatürde bazı kontrol dışı durumların
kuralları tanımlanmıştır. Gülbay ve Kahraman (2006) makalelerinde önemli kurallar
bulanıklaştırılarak bulanık grafiklerin kontrol dışı durumları tanımlanmıştır.
Literatürde bulanık kontrol grafikleri çalışılırken genellikle kesikli rasgele değişkenler
için kalite kontrol grafikleri tercih edilmiştir. Bunun çeşitli sebepleri vardır. En önemlisi
sözel ya da özelliklerin bulanık sayılarla daha kolay ifade edilebilmesidir. Sürekli
rasgele değişkenler için geliştirilmiş kontrol grafiklerinden ilki Faraz ve Moghadam’nın
(2007) çalışmasıdır. Bu çalışmada x kontrol grafiğine bir alternatif geliştirilmiştir.
Kalite karakteristiği sözel olarak tanımlandığı için sapma ve genel kalite seviyesi de bir
bulanık terimler kümesi ile açıklanmıştır. Sürekli verinin süreç ortalaması grafiği yerine
çizilen bu grafiğin en önemli özelliği üst sınırın yanında bir uyarı çizgisi olmasıdır. Bu
uyarı çizgisine göre geliştirilen kurallar ile süreç hakkında daha detaylı bilgi verilmiştir.
Ayrıca kuralların sonucunda yanlış karar verme olasılıklarını veren yanlış alarm oranı
da hesaplanmıştır. Verinin alt gruplarının yayılımının kontrol grafiğinde Pearson uyum
iyiliği istatistiği kullanılmıştır. Yeni yaklaşımın x grafiğine göre daha iyi bir görsel
grafik olduğu ve ortalamadaki kaymaları daha belirgin olarak gösterdiği belirtilmiştir.
Bulanık x , R ve s grafiklerinin geliştirildiği diğer bir çalışmada Şentürk ve Erginel
(2008) tarafından yapılmıştır. x , R ve s kontrol grafikleri α - seviye bulanık açıklık
ortası dönüşüm tekniği kullanılarak bulanık kalite kontrol grafiklerine dönüştürülmüştür.
Bulanık x , R ve s grafiklerinin bulanık alt sınırı, üst sınırı ve merkez çizgisi bulanık
dört işlem ile Shewhart’ın kalite kontrol grafikleri oluşturma yöntemi ile hesaplanmıştır.
α - seviye bulanık açıklık ortası dönüşüm tekniği ile bulanık sayılar ve sınırlar gerçek
sayıya dönüştürülmüş ve bulanık grafikler oluşturulmuştur. Ayrıca bulanık x ve s
kontrol grafiklerinin hesaplanması bir uygulama ile gösterilmiştir.
11
Erginel (2008) önceki çalışmasının bir benzerini tek ve hareketli ortalama grafiklerinin
bulanık halini üretmek amacıyla yapmıştır (Erginel 2008). Bulanık sayılar ile bulanık
kontrol sınırları hesaplanmıştır. Bu bulanık sayılar α - kesme bulanık ortanca dönüşüm
yöntemi ile gerçek sayılara çevrilmiş ve süreç tanımlanmıştır.
Amirzadeh vd. (2009) çalışmalarında ortalama uygunsuzluk derecesine dayanan bir
bulanık p grafiği geliştirmişlerdir. Bu grafik daha önce literatürde görülen grafiklerden
tamamen farklı bir yaklaşım ile oluşturulmuştur. Bu fark p grafiğine alternatif olarak
geliştirilen grafiğin x ve s grafiklerine benzemesidir. Veri uygun ya da uygun değil
olarak sınıflandırılmamış, yamuksal üyelik fonksiyonlarıyla uygunsuzluğun ya da
uygunluğun dereceleri belirlenmiştir. Normal dağıldığı varsayılan verinin üyelik
fonksiyonun beklenen değer ve varyansına dayanan bulanık kontrol grafiğinin alt sınır,
üst sınır ve merkez çizgisi bulunmuştur. Geliştirilen bulanık grafik ve p kontrol grafiği
çalışma karakteristiği eğrisi (operating characteristing curve) ve ortalama koşum
uzunluğu (average run length) açılarında karşılaştırılmıştır. İncelenen örnekte bulanık
grafik x ve s grafiklerine benzer şekiller vererek kontrol dışı durumları vermesine
rağmen p grafiği sürecin kontrol altında olduğunu vermiştir. Geliştirilen grafiğin
ortalamanın ve varyansın değişimlerine daha iyi yanıt verdiği ifade edilmiştir.
Hryniewicz (2007) yaptığı çalışmada, bulanık küme teorisi ile çözülen istatistiksel kalite
kontrol tekniklerinin kısa bir özetini vermiştir. İstatistiksel süreç kontrolde bulanık
küme uygulamalarına değinmiş ve son yapılan çalışmaları anlatmıştır.
12
2. KALİTE VE KALİTE KONTROL GRAFİKLERİ
Müşteri memnuniyeti anlamına gelen kalite anlayışı oldukça eski zamanlardan beri
hayatımızda olsa da, günümüz anlayışında tanımlanan kalite oldukça yenidir. Son
yüzyıllardaki teknolojik ve ekonomik gelişmeler kalite kavramının farklı durumlarda ve
kişilerce farklı tanımlanmasına sebep olmuştur. Bunun nedeni kalitenin farklı
boyutlarının olmasıdır. Dünyaca ünlü uzmanlar ve bilim insanlarına göre kalitenin
birçok farklı tanımı yapılmışıtır.
Kalite kontrol belirlenmiş kalite hedefini yakalamak amacıyla uygulanan teknikler ve
yapılan tüm faaliyetlerdir. Bu faaliyetler üretim alanında, verilerin tutulması, analizi,
varsa hatanın belirlenmesi, nedenlerinin araştırılması ve düzeltici işlemlerin yapılmasını
içerir. Müşteri tatmini sağlayacak ürünlerin en ekonomik biçimde üretilmesi amacıyla
yapılan bu çalışmalarda, istatistik önemli bir yere sahiptir (Juran ve Godfrey 1999).
Bir girdiyle başlayan ve bu girdiye katılanlar ile çıktıya dönüştürülen her türlü aktivite
veya operasyon süreç olarak tanımlandırılır. Bir süreç için çıktı, bir sonraki süreç için
girdi olarak sisteme katılır. Başka bir değişle, arka arkaya gelen süreçlerde, her bir süreç
bir önceki için müşteri konumundadır. Bir üretim süreci ise, kuruluş içinde gerçekleşen,
planlı, istenilen ürünün üretimini yapmak amacıyla bir araya getirilmiş, birbiriyle
bağlantılı etkinlikler dizisidir. İşlemler için gerekli olan girdilerle, bir talep, ihtiyaç ya
da görev gereği başlar ve müşteri istek ve beklentilerini karşılayacak çıktılar üretilerek
tamamlanır. Örneğin bir makarna fabrikasında, makarna üretimi müşteriden gelen talep
doğrultusunda başlar. Girdiler makarna hamurunda kullanılan un, su, tuz gibi
hammaddeler ve yapımda kullanılacak tüm makineler (hamur kazanı, şekillendirme
makinesi, fırın ...v.b.) dır. Üretimin başlamasından müşteri kullanımına hazır olunan son
noktaya kadar olan bütün aktiviteler üretim sürecinin içerisinde tamamlanır. Üretim
süreçlerinin alt süreçlerini de tanımlamak mümkündür. Örneğin makarna hamurunun
hazırlanması, şekillendirilip kesilmesi, fırınlanması, paketlenmesi ayrı süreçlerdir.
13
Ürünler ya da hizmetler arasındaki değişkenlik istatistik ile tanımlandığından, kalite
kontrolde istatistiksel yöntemlerin önemi büyüktür. İstatistiksel süreç kontrol, verinin
toplandığı, organize edildiği, analizinin ve yorumunun yapıldığı, bu sayede sürecin var
olan kalite seviyesinin korunduğu veya geliştirildiği yöntemlerdir. İstatistiksel süreç
kontrolde amaç belirlenebilir nedenlerden kaynaklanan değişkenliğin azaltılmasıdır.
İstatistiksel yöntemler kullanılarak bu sebeplerin belirlenmesi ve değişkenliği azaltıcı
önlemlerin alınması amaçlanmıştır. Bu sayede üretim maliyeti azalır, ürünler / hizmetler
arasındaki tutarlılık, çalışanların kaliteye katkısı ve ürün kalitesinin öngörülebilirliği
artar (Allen 2006).
Süreçleri geliştirmeye sevk eden istatistiksel süreç kontrol araçları ve teknikleri,
istatistiksel süreç kontrolün önemli bir parçasıdır. İstatistiksel süreç kontrol ile daha az
kusurlu ürün üretilir, sürecin çıktısı tek olur, yeniden işleme, hurda, ortalama maliyet,
üretimin durdurulması, harcanan işçi zamanı azalır, daha az hata yapılır, kar ve çıktı,
ürünlerin kalite seviyesi ve rekabet düzeyi artar (Eugene ve Richard 1972).
2.1 Kalite Kontrol Grafikleri
Müşteri isteklerini karşılayan bir ürün / hizmet üretildiğinde ürünün / hizmetin bu
sürecinin durağan ve tekrarlanabilir olması beklenir. Sürecin, yeterince küçük
değişkenliklerle üretim yapılabilecek ürün kalitesine sahip olması istenir. Ürün
kalitesinde ve üretkenlikte sürekli gelişme için istatistiksel süreç kontrol uzun dönem
politikası olarak görülmelidir. İstatistiksel süreç kontrol ile işletmelerde kalite ve
üretkenlikte sürekli gelişmenin arandığı bir ortam yaratılmış olunur. Bir işletmede
istatistiksel süreç kontrolün etkili olabilmesi için, tüm seviyelerdeki çalışanların
eğitilmesi, yöneticilerin liderliğinde, bir tim ile yapılması, değişkenlikteki azalmanın
öneminin tüm çalışanlarca anlaşılması, kalite geliştirmelerinin ekonomik anlamının
hesaplanması, olumlu sonuçların konuşulabiliyor olması gerekir. İstatistiksel süreç
kontrolün temel yedi aracının rutin olarak kullanılması tüm organizasyonun kalite
iyileştirme çalışmalarına katılmasını gerektirir. Bu araçlar ve teknikler kısıtlı
kullanıldığında, gelişmeler ve kontrol üzerinde elde edilen sonuçlar da kısıtlı olacaktır.
14
İstatistiksel süreç kontrol problemin nerede olduğunu ve nedenleri için bazı ipuçları
gösterir. Duyarlı önlemler ve tedbirler tespit edilerek süreç geliştirilir.
İstatistiksel süreç kontrol mühendislik, üretim, işletme, denetim, hizmet, muhasebe gibi
birçok farklı alana uygulanabilir. Bu nedenle, istatistiksel süreç kontrol, işletmelerde
toplam kontrol programlarının önemli bir parçasıdır (Duncan 1986, Devor vd. 1992).
Kalite kontrol grafikleri kalite kontrolünde kullanılan en önemli istatistiksel süreç
kontrolü araçlarından biridir. Zaman içinde çeşitli uygulamaları geliştirilmiş ve
yapılmıştır. Günümüzde endüstride en yaygın şekilde kullanılan istatistiksel kalite
araçlarıdır. Kalite kontrol grafikleri bir sürecin önceden belirlenen kalite standartlarına
uygun olup olmadığını denetlemek için kullanılan istatistiksel araçlardır. Sürecin
zamana göre değişimini özetlemek için geliştirilmişlerdir. Sürecin ne zaman istenilen
standartlarda ne zaman düzeltici hareketlerin gerekeceği kalitede ürün üretildiğini
gösterirler.
Bir ürünün performans ölçütlerinin veya spesifikasyon sınırlarının müşteri tatminini
sağlamak zorunda olan özellikleri kalite karakteristiği olarak adlandırılır. Kalite
karakteristikleri ölçülebilir özellikler olmak zorunda değildir. Örneğin makarna
üretiminde, üretilen makarnaların bir paketinin ağırlığı kalite karakteristiğidir. Ayrıca,
makarna paketinin sağlam olması, paketin boyutları, makarnanın tadı, rengi, kokusu,
görüntüsü, şekilleri diğer önemli kalite karakteristikleridir.
Kalite kontrol grafikleri üzerindeki değerler sürecin zaman içinde aldığı değerleri veya
istatistikleridir. Bu değerler kalite karakteristiğinin düzenli olarak küçük örnekler
halinde ölçülmesi veya belirlenmesi ile elde edilir.
Kalite kontrol grafikleri temel olarak örneklem kullanılarak oluşturulmuş alt sınır (AKL
- alt kontrol limiti), üst sınır (ÜKL - üst kontrol limiti) ve merkez çizgiden (MÇ - çizgi)
oluşurlar. Belirli bir zaman aralığında toplanmış verilerin ortalaması merkez çizgi ile
gösterilir. AKL ve ÜKL alınan örneğe dayanarak hesaplanır ve süreç kontrol altında
15
olduğu zaman grafikteki hemen hemen tüm rasgele değişkenlerin aralarında olacağı
değerlerdir. Bu üç istatistik kalite karakteristiğinin zaman içerisindeki değişiminin
anlaşılmasını sağlar. Kontrol grafiklerinde, yatay eksende sırasıyla alt grup ya da veri
numaraları, dikey eksende ise ölçülen kalite karakteristiğinin gözlemlenen değerleri yer
alır. Söz konusu grafiklerde sürecin zaman içerisindeki değişimleri gösterilir
(Montgomery 1996). Şekil 2.1’de 30 birimlik bir veri setine ait örnek bir kontrol grafiği
verilmiştir.
Şekil 2.1 30 Birimlik bir veri setine ait örnek kalite kontrol grafiği
Bir kalite kontrol grafiği süreci “süreç kontrol altındadır” ya da “süreç kontrol
dışındadır” olarak tanımlar. Sürecin kontrol altında olması üretim sürecinin durağan ve
istenilen standartlarda üretim yapıldığı anlamına gelir. Sürecin kontrol altında olmaması
ise sürecin müşteri beklentilerini karşılayabilmesi için geliştirilmeye ihtiyaç
duyulduğunun göstergesidir. Sürecin kontrol dışında olması sonucu, özel bir nedenden
ya da süreçteki bir müdahaleden kaynaklanabilir (Montgomery 1996).
Süreç kontrol altında ise tüm örneklem değerleri kontrol sınırlarının arasında olur.
Herhangi bir düzeltmeye gerek duyulmaz. Bir örneklem değerinin kontrol sınırları
dışında olması sürecin kontrol altında olmadığının kanıtı olarak görülür. Ayrıca, kalite
16
kontrol grafiğinde gösterilen noktalar rasgele olmayan ya da sistemik bir örüntü
gösteriyorsa süreç kontrol altında değildir. Süreci tekrar kontrol altına alabilmek için
düzeltici araştırmalar yapılmalıdır. Bu duruma neden olan belirlenebilir sebepler
bulunur, elenir ve süreç tekrar kontrol altına alınmış olur. Kontrol grafikleri süreçteki
değişimleri göstermelerine rağmen bu değişkenliğin nedenini belirtmezler (Kolarik
1995, Montgomery 1996).
Kalite kontrol grafikleri istatistik ve olasılık temellerine dayanır. Eğer X ölçülen kalite
karakteristiği değişkenini gösterirse bu kalite karakteristiği için çizilen merkez çizgi
(MÇ), üst ve alt kontrol sınırları (ÜKL, AKL)
MÇ = µ X
(2.1)
ÜKL = µ X + Lσ X
(2.2)
AKL = µ X + Lσ X
(2.3)
biçiminde verilen eşitlikler ile hesaplanır. Burada, µ X ve σ X sırasıyla kalite
karakteristiğinin ortalaması ve standart sapmasıdır. L kontrol sınırlarının merkez
çizgiden olan uzaklıklarını gösterir. Bu değer sıklıkla 3 olarak seçilir. Bu nedenle üst ve
alt kontrol sınırları 3 σ (3 sigma) kontrol sınırları olarak adlandırılır (Kolarik 1995,
Montgomery 1996).
Kontrol grafiklerinin teorisi ve ilk uygulamaları 1924 yılında Walter A. Shewhart
tarafından geliştirilmiştir. 3 σ (3 sigma) kontrol sınırlarına dayanılarak çizilen kontrol
grafikleri Shewhart kontrol grafikleri olarak adlandırılır.
Kalite kontrol grafikleri ile karar verme sürecinde hipotez testlerinden yararlanılır. Bir
kontrol grafiğinde Ho hipotezi sürecin kontrol altında olması biçiminde tanımlanır.
Sürecin test edilmesi ya da kontrol grafiğinin çizilmesi süreçten rasgele örneklemlerin
17
seçilmesi ile olur. Örneklemlerden hesaplanan ortalama, standart sapma veya genişlik
gibi istatistikler ile üretim süreciyle tanımlanan kitlenin parametreleri tahmin edilir ve
süreç hakkında karar verilir. Daha açık bir ifade ile kalite kontrol grafikleri
örneklemlerden elde edilen istatistikler ile çizilir ve süreçlerin kontrol altında olup
olmadıkları bu istatistikler ile test edilir. Kalite kontrol grafiklerinde süreç
tanımlanırken hipotez testlerinden yararlanılması, kontrol grafiklerinde hatalı karar
verme durumlarının olabileceğini gösterir. Yanlış alarm verilmesi süreç kontrol altında
iken sürecin kontrol dışında olarak sonuçlandırılmasıdır. Diğer bir yandan süreç kontrol
dışında iken kontrol altında olarak da belirlenebilir. Bu durumlar istatistikte sırasıyla tip
- I hata ve tip - II hata anlamına gelir. Kontrol grafiklerinde sınırlar hesaplanırken L
değerinin küçük dolayısıyla kontrol sınırlarının birbirine yakın olması tip - I hata
olasılığını arttırır. L değerinin büyük olması ise tip - II hata olasılığını arttıracaktır
(Montgomery 1996, Woodall 2000).
Kontrol grafiklerinin kullanılmasında kontrol grafiğinin tasarımı önemli bir faktördür.
Kalite kontrol grafiğinin tasarımı, örneklem büyüklüğünün, kontrol sınırlarının ve ne
sıklıkla örnek seçileceğinin belirlenmesi demektir. Örneğin örneklem sayısının artması,
hata olasılıklarının düşmesi, grafiğin kontrol dışı durumları daha kolay yakalaması,
fakat maliyetin artması demektir.
Literatürde verinin özelliklerine göre farklı kontrol grafikleri üretilmiştir. Niceliksel
veriler / sürekli rasgele değişkenler için kontrol grafikleri ve kesikli rasgele değişkenler
için kontrol grafikleri olmak üzere iki ana gruba ayrılır. Sürekli rasgele değişkenler için
kontrol grafiklerinde veriler sürekli rasgele değişkenlerdir ve bağımsız ve aynı dağılıma
sahip rasgele değişkenler olduğu varsayılır. Örneğin ağırlık, en, boy, hacim değerleri
ölçülebilir değerlerdir. Bu değişkenler kalite karakteristiği olarak incelendiğinde çizilen
kalite kontrol grafikleri niceliksel veriler / sürekli rasgele değişkenler için kontrol
grafikleri olarak tanımlanır. Nicel veriler için kullanılan kontrol grafikleri x ve R, x
ve s, MR (Moving range), CUSUM (Cumulative sum) ve EWMA (Exponenetially
weighted moving average) dır. En çok kullanılan kalite kontrol grafikleri x , R ve s
grafikleridir (Kolarik 1995, Montgomery 1996). Kesikli rasgele değişkenler için kalite
kontrol grafiklerinde ise kalite karakteristikleri ölçülemeyen değerlerdir. Veriler kesikli
18
ya da niteliksel verilerdir ve kesikli rasgele değişkenlerdir. Ayrıca, grafikteki kalite
karakteristiğinin sayısına göre tek değişkenli ve çok değişkenli kontrol grafikleri olarak
da sınıflandırılırlar (Montgomery 1996).
Çok sayıda kalite karakteristikleri ölçülemez ya da sayılarla ifade edilemez. Ürünler
uygun olup olmamalarına göre sınıflandırılır. Böyle durumlarda ürünler, belirli şartlara
“uygun” veya “uygun değil” olarak nitelendirildiği gibi “kusurlu” ya da “kusursuz”
olarak da ifade edilebilir. Ürünün kalite karakteristiğinin istenilen ölçüleri
karşılamaması uygunsuzluktur. Bir ürünün uygunsuz olarak tanımlanması o ürünü
kullanmaya engel olmayabilir. Örneğin konsantre meyve suyu üretiminde, üretilen bir
şişedeki içeceğin konsantrasyonunun düşük olması bu ürünün tüketilmesine engel
değildir. Başka bir kalite karakteristiği ise ürün içindeki içecek miktarının istenilen
miktarlar arasında olup olmadığı olabilir. Bir konsantre meyve suyu şişesinin içinde
istenilenden az miktarda içecek olması bu ürünü kullanılamaz yapmaz. Fakat, bir
ürünün ambalajının doğru yapılmaması, delik, ezik, kırık... v.b. olması bu ürünü
kullanmaya manidir. Kalite karakteristikleri bu şekilde tanımlanan kontrol grafikleri
kesikli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafikleri olarak adlandırılır. Kesikli
rasgele değişkenler için kalite kontrol grafikleri p, np, c ve u kontrol grafikleridir (Grant
ve Leavenworth 1996).
Shewhart kontrol grafikleri ( x ve R, x ve s, MR, p, np, c ve u), kalite karakteristiği
değerlerinin Normal dağılımdan geldiği ve bağımsız oldukları varsayımlarına dayanır.
Ne yazık ki birçok uygulamada genellikle grafiklerin oluşturulmasında bu varsayımlar
göz önüne alınmamaktadır (Montgomery 1996).
Kontrol grafikleri dünyada çok yaygın kullanılmaktadır. Bunun başlıca sebepleri kalite
kontrol grafiklerinin, kusurlu üretimini azaltıcı etkisi olması, gereksiz süreç
düzeltmelerini önlemesi, görsel bilgi içermesi, sürecin yeterliliği hakkında bilgi vermesi,
uygulamalarının ve anlaşılmalarının kolay olması, işletmedeki tüm çalışanlar tarafından
uygulanabilir olmalarıdır (Montgomery 1996).
19
İstatistiksel süreç kontrolün en önemli aracı olan kalite kontrol grafiklerinin düzenli ve
etkili bir şekilde kullanılması sürecin detaylı incelenmesine, kontrol dışı durumların
nedenlerinin belirlenmesine ve dolayısıyla sürecin geliştirilmesine sebep olur (Kolarik
1995, Montgomery 1996, Smith 2000, Besterfield 2001).
2.1.1 Sürekli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafikleri
Bir kalite kontrol grafiğinde kalite karakteristiği ölçülebiliyorsa ve sayılarla ifade
edilebiliyorsa, sürekli rasgele değişkenler için kontrol grafiği olarak adlandırılır.
Uzunluk, genişlik, çap, sertlik, ağırlık gibi değişkenler için çizilen kalite kontrol
grafikleri bu gruba girer. Uygulamalarda çok çeşitli kalite karakteristikleri ölçülebilirdir
bu nedenle sürekli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafikleri oldukça yaygın
olarak kullanılır (Nelson 1985). Bu kesimde, sürekli rasgele değişkenler için olan x ve
R, x ve s, MR, CUSUM ve EWMA kalite kontrol grafiklerinin çizimi verilecektir.
2.1.1.1 x ve R kalite kontrol grafikleri
Sürekli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafiklerinde değişkenlerin hem
ortalamalarının hem de yayılımlarının grafiklerinin çizilmesine ihtiyaç duyulur. Kalite
karakteristiği bir merkezi eğilim ölçüsü ve bir yayılım ölçüsü ile incelenir. Merkezi
eğilim istatistiği olarak genellikle örneklem ortalaması, yayılım istatistiği olarak
genişlik, R = ( xmax − xmin ) , ya da standart sapma kullanılır. Yayılım ölçüsü olarak
genişlik kullanıldığında kontrol grafikleri x ve R, standart sapma kullanıldığında
kontrol grafiği x ve s grafikleri olarak adlandırılır.
x , R ve s kontrol grafikleri en önemli ve etkili istatistiksel süreç kontrol araçlarıdır. Bir
kalite karakteristiği ortalaması µ ve standart sapması σ olan bir dağılıma sahipse, n
büyüklüğündeki bir örneklemin ortalamasının dağılımı da µ ve σ
n parametreleri ile
normaldir. Pratikte µ ve σ değerleri genellikle bilinmediğinden bu parametreler x ve s
ya da R istatistikleri ile tahmin edilir (Akdeniz 2000).
20
x , R ve s kalite kontrol grafiklerinde sürecin ortalaması m sayıdaki farklı, n ölçüm
içeren alt grup gözlemlerinin ortalaması, x , ile tahmin edilir. Bu ortalama
x=
x1 + x2 + ... + xm
m
(2.4)
biçiminde hesaplanır. x i değeri i. (i=1, 2, 3,... m) alt grup örnekleminin ortalamasını
gösterir.
x , R ve s grafiklerinde ortalama için çizilmiş kontrol grafiğinde merkez çizgi değeri,
x , grafiğin üzerindeki değerler ise alt grupların ortalamalarını, x i , verir. x , R ve s
grafiklerinin en önemli farkı yayılım grafiklerinden kaynaklanır. Alt grupların
büyüklüklerine göre hangi değişkenlik istatistiğinin daha etkili olacağı temel alınarak
grafik seçilir. Alt grupların büyüklüğü, n, 10’dan (ya da 12’den) büyükse veya alt
grupların büyüklükleri değişken ise x ve R kontrol grafikleri yerine x ve s
grafiklerinin kullanılması tercih edilir (Kolarik 1995, Montgomery 1996).
Herhangi bir alt grubun ortalamasında bir kayma ortaya çıkarsa x grafiği bu kaymayı
yansıtacaktır. Benzer şekilde alt grupların değişkenliklerindeki farklar da R ya da s
grafiğinde görülecektir.
x , R ve s grafiklerinde tüm değerlerin iki kontrol grafiğinde de kontrol sınırları
içerisinde olması ve rasgele bir örüntü göstermesi sürecin kontrol altında olması
demektir. Aksi durumda süreç kontrol dışındadır.
x ve R grafiklerinde, x grafiği sürecin ortalama değere ya da merkez çizgiye göre
nasıl dağıldığını gösterir. Fakat sadece ortalamayı bilmek yeterli değildir. Alınan alt
grupların yayılımının da ölçülmesi gerekir. R grafiği alt grupların yayılımını merkez
çizgiye göre gösteren grafiktir. Her alt grup için genişlik, R, hesaplanır. Bu değerlerin
ortalaması, R , yayılım ölçüsü olarak kullanılır ve
21
R=
R1 + R2 + ... + Rm
m
(2.5)
şeklinde hesaplanır.
x ve R kontrol grafiklerinde x grafiği merkez çizgisi ve kontrol sınırları
MÇ = x
(2.6)
ÜKL = x + A 2 R
(2.7)
AKL = x − A 2 R
(2.8)
biçiminde bulunur. Burada A 2 alt grup sayısına bağlı
A2 =
3
(2.9)
d2 n
formülü ile bulunan bir değerdir. d 2 ise n alt grup büyüklüğüne bağlı katsayıdır.
Her alt grubun yayılım ölçüsü genişlik grafiği ile kontrol edilir ve formülleri
MÇ = R
(2.10)
ÜKL = D 4 R
(2.11)
AKL = D 3 R
(2.12)
biçimindedir. Burada D 3 ve D 4 ,
22
D3= 1 − 3
d3
d2
(2.13)
D4= 1+ 3
d3
d2
(2.14)
formülleri ile hesaplanır. d 2 gibi d 3 de n örneklem büyüklüğüne bağlı bir katsayıdır
(Smith 2000, Besterfield 2001, Burr 2005).
2.1.1.2 x ve s kalite kontrol grafikleri
x ve s grafiklerinde üretim süreçlerinin kalite karakteristiğinin merkezi eğilim
ölçüsünü kontrol etmek için, x ve R grafiğinde olduğu gibi, aritmetik ortalama grafiği
kullanılır. s grafiği ise süreç değişkenliğinin izlenmesinde kullanılır.
x ve R grafiklerine benzer şekilde her alt grubun kalite karakteristiği ölçümlerinin
standart sapması hesaplanır ve bu standart sapmaların
s=
s1 + s2 + ... + sm
m
(2.15)
biçiminde hesaplanan ortalaması x ve s grafiklerinde kullanılır.
Sürekli rasgele değişkenler için kullanılan x ve s kontrol grafiklerinde x grafiğinin
merkez çizgisi ve kontrol sınırları
MÇ = x
(2.16)
ÜKL = x + A 3 s
(2.17)
23
AKL = x − A 3 s
(2.18)
formülleri ile bulunur. Burada A 3 , x ve R grafiklerinde olduğu gibi alt grup
büyüklüğüne bağlı bir değerdir ve
A3 =
3
(2.19)
c4 n
biçiminde hesaplanır. Burada c 4 örneklem büyüklüğüne dayanan bir sabittir.
x ve s grafiklerinin s grafiğinin merkez çizgisi ve kontrol sınırları
MÇ = s
(2.20)
ÜKL = B 4 s
(2.21)
AKL = B 3 s
(2.22)
formülleri ile hesaplanır. Burada B 4 ve B 3 ,
B4= 1+
3
1 − c 42
c4
(2.23)
B3= 1 −
3
1 − c 42
c4
(2.24)
biçiminde hesaplanır (Smith 2000, Besterfield 2001,).
24
2.1.1.3 MR kalite kontrol grafikleri
Hareketli genişlik, MR (moving range), grafiği alt gruptaki örneklem büyüklüğü, n = 1
olduğunda kullanılır. Üretim süreci yavaş olduğunda, süreç birden çok örnek almaya
müsait olmadığında ya da bir ürünün birden çok kalite karakteristiği incelendiğinde alt
grup örneklem büyüklüğü bir olarak alınır. Bu durumda x , R ve s kontrol grafikleri
yerine sürekli rasgele değişkenler için çizilen MR grafiği kullanılır.
Arka arkaya gelen iki gözlemin genişliği alınarak yeni bir veri kümesi oluşturulur ve bu
yeni kümenin grafiği çizilerek süreç tanımlanır. Hareketli genişlik değerleri
MR i = X i − X i −1
(2.25)
biçiminde hesaplanır (Smith 2000, Besterfield 2001).
MR grafiklerinde diğer Shewhart kontrol grafiklerinde, x , R ve s, olduğu gibi ortalama
ve yayılım grafikleri ayrı ayrı çizilir ve kontrol sınırları merkez çizgiden 3 σ (3 sigma)
uzaklıkta olacak şekilde düzenlenerek hesaplanır. Hareketli genişlik kullanıldığında tek
gözlemlerin merkez çizgisi ve kontrol sınırları
MÇ = x
(2.26)
ÜKL = x + 3
MR
d2
(2.27)
AKL = x − 3
MR
d2
(2.28)
25
formülleri ile bulunur. Burada MR değeri hesaplanan tüm gözlemlerin hareketli
genişliklerinin ortalamasıdır. Başka bir değişle, m sayıdaki gözlemlerin m-1 sayıda
hareketli genişlik değeri vardır. Bu değerlerin ortalaması MR ile gösterilir.
Hareketli genişlik grafiğinde merkez çizgi ve kontrol sınırları
MÇ = MR
(2.29)
ÜKL = D 4 MR
(2.30)
AKL = D 3 MR
(2.31)
biçiminde bulunur. D 3 ve D 4 değerleri, x ve R grafiklerinde kullanılan değerlerdir
(Smith 2000, Besterfield 2001).
2.1.1.4 CUSUM ve EWMA kalite kontrol grafikleri
Kümülatif toplam, CUSUM (cumulative sum), kalite kontrol grafiği ilk olarak Page
tarafından 1954 yılında önerilmiştir. Bu grafik örneklemdeki belirli zamana kadar elde
edilen bütün değerlerin kümülatif toplamının sapmasını hesaplar ve zamana bağlı olarak
yansıtır. Bu nedenle CUSUM kontrol grafiği küçük süreç değişimlerine Shewhart
grafiklerinden çok daha hassastır.
Üstel
ağırlıklı hareketli ortalama, EWMA (exponenetially weighted moving average),
kalite kontrol grafiği CUSUM grafiği gibi süreçteki küçük kaymalarla ilgilenildiğinden
Shewhart grafiklerine alternatif olarak geliştirilmişlerdir. EWMA kontrol grafiğinin
performansı CUSUM grafiğinin performansına çok benzerdir. Bu grafiğin önemli
avantajı oluşturulmasının ve uygulanmasının CUSUM grafiğine göre kolay olmasıdır.
Ayrıca EWMA kontrol grafiği bazı durumlarda bir sonraki gözlemin tahmin
edilmesinde de kullanılabilir (Kolarik 1995, Montgomery 1996).
26
2.1.2 Kesikli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafikleri
Uygulamalarda her zaman ürünlerin belli sınırlar arasında üretilip üretilmediğine
bakılmaz. Ürünlerin hatalı olup olmadıkları ya da kusur sayıları kalite karakteristiği
olarak tanımlanabilir. İyi, kötü, sağlam, bozuk gibi sayılabilir veriler için geliştirilmiş
kesikli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafikleri p, np, c ve u grafikleridir.
2.1.2.1 p kalite kontrol grafikleri
Kusurlu oranı, p kontrol grafiği, kalitenin alt gruptaki kusurlu oranı ile ölçüldüğü
kontrol grafiğidir. Temeli Binom dağılımına dayanır. Örneklemdeki her alt grubun
kusur oranı pi ile gösterilir. m tane alt grubun her birinde n tane ürün olduğunda
kusurların ortalaması p olur ve p kontrol grafiklerinde ortalama kusur oranı
m
p=
∑ Di
i =1
mn
m
=
∑ pˆ
i
i =1
(2.32)
m
olarak hesaplanır. Burada Di i. alt gruptaki kusurların toplamıdır. Alt gruplardaki ürün
sayıları sabit olduğunda p grafiğinin merkez çizgi, üst ve alt kontrol sınırları,
MÇ = p
(2.33)
ÜKL = p + 3
p (1 − p )
n
(2.34)
AKL = p − 3
p (1 − p )
n
(2.35)
biçiminde bulunur.
27
Alt gruplardaki ürün sayısı eşit olmadığında başka bir değişle n sayısı sabit değilse her
alt grubun örneklem büyüklüğü ni ile gösterilir ve alt grupların ortalama kusurlu oranı
( p ) ve ortalama örneklem büyüklüğü ( n )
m
p=
∑D
i
i =1
m
∑n
(2.36)
i
i =1
m
n=
∑n
i
i =1
(2.37)
m
biçiminde bulunur. Bu durumda p kontrol grafiklerinde merkez çizgi ve kontrol sınırları
Eşitlik 2.33, 2.34 ve 2.35’e benzer biçimde bulunur. Ancak Eşitlik 2.34 ve 2.35’deki n
yerine n ortalama örneklem büyüklüğü kullanılır (Smith 2000, Besterfield 2001, Burr
2005).
2.1.2.2 np kalite kontrol grafikleri
np kontrol grafiği örneklem büyüklükleri sabit olan alt gruplardaki kusurlu sayılarının
grafiğidir. Bu grafiğin temeli p grafiğinde olduğu gibi Binom dağılımına dayanır. Bu
grafik teorik olarak p kusurlu oranı grafiğinin aynısıdır. p grafiğinden farkı alt grup
büyüklüklerinin sabit olmasıdır. Eğer süreçteki kusurlu oranı yerine kusurlu sayısı ile
ilgileniliyorsa bu durumda p grafiğinin değerlerinin n ile çarpılması ile elde edilen
değerlerden kurulu np grafiğini kullanır.
np kontrol grafiklerinin merkez çizgisi ve kontrol sınırları
MÇ = np
(2.38)
ÜKL = np + 3 np (1 − p )
(2.39)
28
AKL = np − 3 np(1 − p )
(2.40)
biçiminde bulunur (Smith 2000, Besterfield 2001).
2.1.2.3 c kalite kontrol grafikleri
Bazı üretim süreçlerinde ürünün uygun olmaması ya da kusuru ürünü kullanmaya mani
olmaz. Hatta bir üründe birden fazla uygun olmayan kalite karakteristiği ya da kusur
görülebilir. Böyle durumlarda c veya u grafikleri kullanılır.
Kusur sayısı, c grafiği, ürün üzerinde rastlanan bir veya birden çok kusurun sayısını
kontrol etmek için kullanılır. Poisson dağılımının prensiplerinden faydalanılarak
geliştirilmiştir. c değeri bir alt gruptaki ürünlerin kusur sayısıdır. Bu değer ve bir ürünün
kusur sayısı bir ya da daha fazla olabilir. Alt gruptaki ürün sayısı sabit olduğunda
birikimdeki hata sayısı c grafiği ile gösterilir. c kontrol grafiğinde merkez çizgi, üst ve
alt kontrol sınırları
MÇ = c
(2.41)
ÜKL = c + 3 c
(2.42)
AKL = c − 3 c
(2.43)
formülleri ile hesaplanır (Smith 2000, Besterfield 2001, Burr 2005).
2.1.2.4 u kalite kontrol grafikleri
Kusur oranı grafiğinde u birim başına düşen kusur sayısını ifade eder. Temel olarak c
grafiğine benzer. Aralarındaki önemli fark u grafiğinde alt grup büyüklüğünün p
grafiğinde olduğu gibi sabit olması gerekmemektedir. Başka bir değişle, u kontrol
29
grafiğinde alt grup büyüklükleri sabit olmayabilir. Her alt gruptaki ürün sayısı, n, sabit
olduğunda kusur sayısı grafiğinin kontrol sınırları
m
u=
∑u
i
i =1
(2.44)
m
olacak şekilde,
MÇ = u
(2.45)
ÜKL = u + 3
u
n
(2.46)
AKL = u − 3
u
n
(2.47)
biçiminde hesaplanır. n sayısı sabit olmadığında alt grup örneklem büyüklüklerinin
ortalaması
m
n=
∑n
i
i =1
(2.48)
m
şeklinde bulunur ve kontrol sınırlarında n değeri n ile değiştirilir (Smith 2000,
Besterfield 2001, Burr 2005).
30
2.2 Kalite Kontrol Grafiklerinde Kontrol Dışı Durumlar
Kalite kontrol grafiklerinde noktaların örüntüsü süreç hakkında görsel bilgi de verir. Bu
bilgi noktaların değişkenliğini azaltmak ve süreçte modifikasyonlar yapmak için
kullanılır.
Kontrol grafiğinde alt ve üst sınırların dışında nokta olması sürecin kontrol dışında
olduğunu gösterir. Fakat grafikte alt ve üst sınırların dışında nokta olmaması sürecin
kontrol altında olduğunu söylemez. Değerlerin kontrol sınırları içinde olmasına rağmen
kontrol grafiğinde düzenli değişen bir örüntü görülebilir. Bu düzenli değişen şekil
dairesel örüntü, karışım, süreç seviyesinde kayma, eğilim ve tabakalanma gibi bir şekil
olabilir ya da tanımlanmış kontrol dışı kuralları sağlayan bir örüntü olabilir. Kısacası
kalite kontrol grafiklerinde herhangi bir rasgele olmayan örüntü olması sürecin kontrol
altında olmadığını ifade eder.
Süreçteki bir sorunun mümkün olduğunca erken görülmesi önemlidir. Eğer kontrol dışı
bir durum görülürse nedenleri araştırılmalı ve süreci kontrol altına almak için gerekli
tedbirlerin ve önlemlerin alınarak sürecin tekrar istenilen kaliteye döndürülmesi gerekir.
Uygulamalarda en çok karşılaşılan, sürecin kontrol altında olmadığını gösteren grafik
örüntüleri dairesel örüntü, karışım, süreç seviyesinde kayma, eğilim ve tabakalanmadır.
Dairesel örüntü noktaların düzenli olarak azalması ve artmasıdır. Bu yapıdaki örüntüler
çoğunlukla çevresel değişimlerden kaynaklanır. Örneğin, işçilerin düzenli olarak
değişimi, sıcaklık, voltajdaki değişimler gibidir.
Karışım örüntüsünde noktaların çok büyük bir kısmı üst ve alt kontrol sınırlarının
yakınlarında, az sayıda nokta merkez çizginin yakınında olur. Bu durumda süreçteki
ölçümlerin değişkenliğinin yüksek olması beklenir. Bu gibi durumlar zaman zaman
sürece çok sık müdahale etmekten ya da üretimin paralel makinelerde yapılmasından
kaynaklanabilir.
31
Sürecin ortalamasında kayma olması noktaların dağılımının ortalamasının merkez çizgi
etrafında olmaması demektir. Ortalamadaki bu kaymanın sebebi, süreçteki ham
maddenin, makinelerin, işçilerin ya da yöntemlerin değişiminden kaynaklanabilir. Tüm
süreci etkileyecek bir değişiklik sürecin ortalamasını da değiştirir.
Eğilim, grafikteki noktaların düzenli ve devamlı olarak artması ya da azalması anlamına
gelir. Süreçteki aniden olan değişimlerden değil, aletlerin veya makinelerin bozulması,
insan hataları, mevsimsellik gibi zaman içinde artan bozulmalardan kaynaklanır.
Tabakalanma örüntü, karışım örüntüsünün tam tersidir. Grafikteki noktalar merkez çizgi
etrafında dağılmıştır. Değerlerde doğal değişkenliğin azalması sonucu bu örüntü
gözlemlenir. Bazı durumlarda değerlerde değil kontrol sınırlarının hesaplanmasında
hata olduğu görülür.
Kontrol grafiklerindeki değerlerin süreç kontrol altında ise üst ve alt sınırların içerisinde
ve rasgele dağılmış olması beklenir. Ölçümler sınırlar arasında olsa da noktaların
dizilişleri, süreçte yolunda gitmeyen bir şeyler olduğu konusunda bizi uyarabilir.
Rasgele olmayan süreçleri tanımlayan kurallar ilk olarak 1956 yılında Western Elektrik
el kitabında yayımlanmıştır. Daha sonra Nelson (1984) bu konuda önemli katkılarda
bulunmuşlardır. Kalite kontrol grafikleri daha detaylı incelenebilmek için grafikler
bölgelere ayrılmıştır. Şekil 2.2 kontrol grafiklerindeki bu bölgeleri göstermektedir.
3σ
ÜKL
2σ
A bölgesi
1σ
B bölgesi
C bölgesi
1σ
2σ
3σ
C bölgesi
MÇ
B bölgesi
A bölgesi
AKL
Şekil 2.2 Kalite kontrol grafiklerinde A, B ve C bölgeleri
32
Şekil 2.2 incelendiğinde merkez çizginin 1 standart sapma altındaki ve üzerindeki kısım
C bölgesi olarak adlandırılır. B bölgesi, C bölgesi ile 2 standart sapma arasında kalan
alandır. Üçüncü bölge olan A bölgesi ise kontrol grafiğinin en dışta kalan, 2 standart
sapma ile 3 standart sapma arasındaki kısmıdır.
Kalite kontrol grafiklerindeki doğal olmayan örüntüleri tanımlamak için Western
Elektrik el kitabında (1956) önerilen ve süreçlerin kontrol dışında olarak tanımlanması
anlamına gelen kurallar
1. 3 standart sapma kontrol sınırları dışında nokta olması,
2. Arka arkaya gelen üç noktanın ikisinin 2 standart sapma kontrol sınırlarının
dışında ve aynı tarafta olması,
3. Arka arkaya gelen beş noktanın dördünün 1 standart sapma kontrol sınırlarının
dışında ve aynı tarafta olması,
4. Arka arkaya gelen sekiz noktanın ikisinin 2 standart sapma kontrol sınırlarının
dışında olması,
biçiminde belirlenmiştir.
Nelson kuralları olarak bilinen bir dizi kural 1984 yılında yayımlanmıştır. Bu kurallar
Western Elektrik el kitabında önerilen kurallara benzer şekilde tanımlanmıştır. Nelson
kurallarına göre:
1. 3 standart sapma kontrol sınırları dışında nokta olması,
2. Arka arkaya gelen dokuz noktanın merkez çizginin tek bir tarafında olması,
3. Arka arkaya altı noktanın düzenli olarak artıyor ya da azalıyor olması,
4. Arka arkaya gelen ondört noktanın düzenli olarak bir artıyor ve bir azalıyor
olması,
5. Arka arkaya gelen üç noktanın ikisinin A bölgesinde ya da dışında aynı tarafta
olması,
33
6. Arka arkaya gelen beş noktanın dördünün B bölgesinde ya da dışında aynı tarafta
olması,
7. Arka arkaya gelen onbeş noktanın C bölgesinde merkez çizginin altında ya da
üstünde olması,
8. Arka arkaya gelen sekiz noktanın C bölgesinde olmaması,
sürecin kontrol altında olmadığını gösterir.
Literatürde kabul görmüş ve uygulamalarda en çok kullanılan kurallara göre:
1. Kontrol sınırları dışında nokta olması,
2. Arka arkaya gelen üç noktanın ikisinin A bölgesinde olması,
3. Arka arkaya gelen beş noktanın dördünün B bölgesinde ya da dışında olması,
4. Arka arkaya gelen sekiz noktanın merkez çizginin bir tarafında olması,
5. Arka arkaya gelen altı noktanın sürekli artması ya da azalması,
6. Arka arkaya gelen onbeş noktanın C bölgesinde olması,
7. Arka arkaya gelen ondört noktanın düzenli olarak artması ve azalması,
8. Arka arkaya gelen sekiz noktanın C bölgesinin dışında olması,
9. Grafikteki herhangi bir rasgele olmayan örüntü,
10. Herhangi bir noktanın uyarı çizgilerine ya da kontrol sınırlarına yakın olması,
kontrol dışı durumlar olarak tanımlanmıştır.
Bu kuralları sağlayan durumlar sürecin kontrol altında olmadığını gösterir. Fakat bu
kurallar kontrol grafiğini hassaslaştırarak yanlış alarm oranını da arttırır. Bu nedenle
kuralların uygulamalarda kullanılması karar vericinin tercihine bağlıdır (Western
Electric 1956, Nelson 1984, Montgomery 1996).
34
2.3 Kalite Kontrol Grafiklerinde Uyarı Sınırları
Bazı araştırmacılar kontrol grafiklerinde iki set kontrol sınırlarının kullanılmasını
önerirler. Dıştaki kontrol sınırları 3 σ (3 sigma) ya da hareket sınırları olarak adlandırılır.
İçteki sınırlar ise uyarı sınırları olarak adlandırılır. Uyarı sınırları 2 σ (2 sigma) kontrol
sınırlarıdır. Eğer 3 σ (3 sigma) ve 2 σ (2 sigma) sınırları arasında bir nokta bulunursa bu
durum sürecin kontrol dışına çıkabileceğinin bir işareti olarak görülür.
Kalite kontrol grafiklerinde üst ve alt uyarı sınırları
ÜUL = µ X +2σ X
(2.49)
AUL = µ X +2σ X
(2.50)
şeklinde hesaplanır (Smith 2000, Besterfield 2001).
Uyarı sınırları dışında bir veya birden fazla nokta görülürse sürecin uygun bir şekilde
işlemediği yönünde şüphelenilmesine sebep olur. Bu durumda yapılabilecekler
örneklem sıklığını ya da örneklem büyüklüğünü arttırmaktır. Böylece süreç hakkında
kısa sürede daha çok bilgi edinilir.
Bir kontrol grafiğinde uyarı sınırlarının kullanılması grafiği daha hassas bir hale getirir.
Bu sayede ortalamadaki kaymalar daha kolay görülebilir. Eğer süreçte kontrol dışı bir
durum varsa, bu durum üreticiye maliyete sebep olur. Bu açıdan bakıldığında kontrol
dışı durumların mümkün olan en kısa zamanda görülmesi önemli bir avantaj sağlar.
Uyarı
sınırları
kalite
kontrol
grafiklerinde
sıklıkla
kullanılmalarına
rağmen
dezavantajları yanlış alarm riskini arttırmalarıdır (Montgomery 1996, Smith 2000,
Besterfield 2001).
35
2.4 Kalite Kontrol Grafiklerinde Performans Ölçüleri
Bir kalite kontrol grafiği oluşturulduğunda, grafiğin ne kadar etkili olduğu
incelenmelidir. Çalışmanın bu kesiminde kalite kontrol grafiklerinin etkinliğinin nasıl
ölçüldüğü ve kalite kontrol grafiklerinin performans ölçüleri anlatılacaktır.
Kontrol grafiklerinin performanslarını karşılaştırmanın en çok kullanılan metodu
ortalama koşum uzunluğunu (average run lenght, ARL) hesaplamaktır. Koşum
uzunluğu sürecin belirli bir kalite seviyesinde kontrol grafiğinde ilk kontrol dışı durum
görülene kadar gözlenen nokta sayısıdır. Başka bir değişle, bir kalite kontrol
grafiğindeki arka arkaya gelen noktalar koşum olarak adlandırılır ve grafikte ilk kontrol
dışı sinyal gözlenene kadar elde edilen örneklerin sayısı koşum uzunluğudur. ARL,
ortalama koşum uzunluğu, ise verilen kalite seviyesinde kontrol dışı sinyale kadar elde
edilen ortalama örneklem sayısıdır. Koşum uzunluğu bir rasgele değişkendir ve dağılımı
Geometrik dağılımdır.
Eğer süreç gözlemleri birbirleri ile ilişkisiz ise ortalama koşum uzunluğu
ARL =
1
=
p P ( Bir
1
nok tan ın kontrol
dıışında
olması)
(2.51)
formülü ile bulunur (Montgomery 1996).
Burada p bir noktanın kontrol sınırları dışında olma olasılığıdır.
Ortalama koşum uzunluğu iki kalite seviyesi için hesaplanır. Sürecin kontrol altında
olduğu durumda ARL0, sürecin kontrol altında olmadığı durumda ise ARL1 olarak
gösterilir. İki kalite seviyesinde, kabul edilebilir ve reddedilebilir, ideal olan, süreç
kontrol altında iken ARL0’ın yüksek olması, süreçteki ortalamanın kaymasında ise
ARL1’in düşük olmasıdır.
36
ARL, süreç kontrol altında ise
ARL0 =
1
(2.52)
α
süreç kontrol altında değil ise
ARL1 =
1
1− β
(2.53)
biçiminde tanımlanır (Montgomery 1996).
Burada α ve β sırasıyla tip - I ve tip - II hata olasılıklarıdır. Bu olasılıklar süreç kontrol
altında iken, kontrol dışı sinyalinin gözlenmesi ve süreç kontrol dışında iken sürecin
kontrol altında tanımlanması olasılıklarıdır.
ARL’nin hesaplanması için x grafiği örnek olarak verilebilir. Bir x grafiğinde kontrol
sınırları 3 σ (3 sigma) sınırlarıdır. Ortalamadan 3 σ (3 sigma) çıkarılıp ve toplanarak
elde edilir. Süreç kontrol altında olduğu zaman Normal dağılım varsayımı altında bir
noktanın bu sınırların dışında olma olasılığı 0,0027 dir. Bu durumda ortalama koşum
uzunluğu
ARL =
1
1
=
= 370
p 0,0027
(2.54)
olarak bulunur. Bir x kalite kontrol grafiğinde süreç kontrol altında olsa da süreç
kontrol dışındadır sinyali ortalama olarak 370 örnekte bir gözlenecektir.
37
Bir kalite kontrol grafiğinin performansını ifade etmenin bir diğer yolu ise ilk sinyale
kadar ortalama zamanı (average time to signal, ATS) bulmaktır. Ortalama sinyal zamanı
ATS = ARLh
(2.55)
biçiminde bulunur. Burada h örneklemlerin alındığı zaman aralığıdır. Eğer gözlemler
belirli sabit aralıklar ile alınıyorsa ARL kullanılarak ortalama olarak ne kadar zaman
sonra alınacak örneğin kontrol dışı olarak tanımlanacağı bulunabilir. Örneğin bir x
grafiğinde her 3 saatte bir örneklem alınıyorsa ortalama olarak ATS = 370 x3 = 1110 saat
sonra ilk kontrol dışı sinyal alınacaktır.
Bir kontrol dışı sinyal alma ortalama zamanını azaltmanın iki yolu vardır: Örneklem
sayısını arttırmak ya da örneklemlerin alındığı zaman dilimlerini azaltmaktır.
ARL ve ATS performans ölçülerinin hesaplanmasının bir diğer yolu belirlenen
varsayımlar altında yeterli sayıda koşum uzunluğu bulunarak ortalamalarının
hesaplanmasıdır. Örneğin ARL0, süreç kontrol altında iken ilk kontrol dışı sinyale kadar
gözlenen değerlerin 10,000 tanesinin ortalaması ile tahmin edilir.
ARL ve ATS’nin dezavantajı sürecin kontrol dışında olduğunu sadece değerlerin
kontrol dışına çıkması ile tanımlar. Grafikteki rasgele olmayan örüntüler bu performans
ölçülerinde incelenmez (Besterfield 2001, Montgomery 1996 ve Smith 2000).
38
3. BULANIK MANTIK VE BULANIK KALİTE KONTROL GRAFİKLERİ
Çağımızda karışık gerçek hayat sistemlerini basitleştirmek ve modellemek bilimde ve
mühendislikte bir gereksinim haline gelmiştir. Geliştirilen modeller ile sistemlerin
gelecekte alacakları değerler ve gösterecekleri davranışlar tahmin edilmeye çalışılır.
Ancak gerçek hayat durumları her zaman modellenemez. Bunun sebebi sistemlerin her
zaman kesin bir durumu ifade etmemesidir. Bulanık mantık, tanımlanamayan, zor ya da
karmaşık sistemleri, sözel ifadeleri kullanarak modellemek amacıyla doğmuştur.
Mantık doğru düşünme biçimini konu alan bilimdir. Akıl yürütme kuralları ile ilgilenir.
Düşünce biçimlerinin çözümlemesidir: İleri sürülen bir düşünceden başka düşüncelerin
çıkarılmasının kurallarını inceler. İleri sürülen bu düşüncelerin doğru olup olmaması
mantığın kapsamında değildir. Doğru düşünme ifadesinde doğru kelimesi mantığın
doğrusu anlamındadır, bilginin doğrusu değildir. Bu nedenle, mantık tüm bilimlerin
temelinde yer alır (Baykal ve Beyan 2004).
Klasik mantığın uygulamaları tarih boyunca eleştirilmiştir. Gelişen bilim ve teknolojinin
etkisi mantık biliminde de görülmüş ve klasik mantığa alternatif olarak geleneksel
olmayan mantıklar geliştirilmiştir. Gerçek hayatta birçok durum iki değerli mantık ile
açıklanamaz. Adil bir para atıldığında, paranın üst yüzeyi ya yazı ya da turadır. Bir
meyve tabağından, bir meyve seçildiğinde, bu seçilen meyvenin ne olduğu kesin olarak
ortadadır. Fakat, gerçek hayatta her şey bu kadar kesin olmayabilir. Örneğin, renkleri
tanımlarken kesin olarak konuşmak mümkün değildir. Siyah ve beyaz renkleri arasında
grinin yüzlerce tonu bulunur. Bu tonların bazıları beyaza oldukça yakın bazıları ise
siyaha yakındır. Klasik mantık bir yargının, doğru ya da doğru olmaması, evet ya da
evet olmaması, durumlarını tanımlamakta yetersiz kalır. Gerçek dünyada bir şey hem A
hem de A olmayan olabilir. Bu düşünce ile ikiden fazla değerli mantıklar geliştirilmiştir.
Doğru, doğru olmayan değerlerinin yanına belki değeri de katılmıştır. Fakat zaman
içerisinde üç halin de yetersiz olduğu görülmüş ve bulanık mantık geliştirilmiştir. Klasik
mantıkta bir yargının doğru ya da yanlış olmasına karşılık bulanık mantıkta yargının
derecesi vardır. Klasik mantık ve bulanık mantığın temel farkı çelişmezlik ve üçüncü
halin olanaksızlığı ilkelerinden kaynaklanır. Bulanık mantıkta bir yargı hem A hem de
39
A olmayan olamaz denilemez. Bir insan hem canlıdır, vücudundaki ölü hücrelerden
dolayı hem de cansız olabilir. Klasik mantıkta bir yargının doğru olması ya da
olmamasına karşılık bulanık mantıkta yargının derecesi vardır (Baykal ve Beyan 2004).
Bir olayın, bir kavramın ya da bir sistemin belirsiz ya da kesin olmaması durumuna
bulanıklık denir. Bu belirsizlik durumu bulanık mantık ile ifade edilir. Bulanık mantık
sadece bir olayın olup olmaması ile değil hangi dereceye kadar olduğuyla da ilgilenir
(Baykal ve Beyan 2004).
Bir kusurlu ürünler kümesi tanımlanırsa, klasik mantığa göre bir ürün ya kusurludur ya
da kusurlu değildir, ürün ya bu kümenin elamanıdır ya da değildir. İki durum arasındaki
fark oldukça nettir. Fakat bulanık mantığa göre bu iki durum arası süreklidir. Eğer bir
ürünün az sayıda kalite karakteristiği uygun değil ya da ürünün uygunsuzluğu ürünü
etkili bir şekilde kullanmaya mani değilse ürün kusurlu olmayan ürünlere yakındır.
Başka bir açıdan bakıldığında, ürün onu kullanmaya engel olacak uygunsuzluklar
içeriyorsa bu ürün kusurlu ürünler kümesine daha yakındır. Bulanık mantıkta ürünler
kümelere ait olma dereceleri ile temsil edilir. Örneğin, ilk ürünün, kusurlu ürünler
kümesine ait olma derecesi ikinci ürünün bu kümeye ait olma derecesinden küçüktür.
Diğer açıdan, ilk ürünün kusurlu olmayan ürünler kümesine ait olma derecesi, ikinci
ürünün derecesinden büyüktür. Kısacası bulanık mantıkta kümeler arasında ara değerler
de vardır ve geçiş süreklidir.
Bulanık mantığın önemli avantajları şu şekilde özetlenebilir (Klir ve Yuan 1995):
•
Belirsizliklerin tanımlanmasında, anlatılmasında ve çalışılmasında temel olmuştur.
•
Klasik mantıktaki olası iki duruma karşılık bulanık mantık ara durumları da
gündeme getirmiş ve derecelendirerek bu çeşitli durumların bilimsel olarak ifade
edilmesini mümkün kılmıştır.
•
Uzun, şişman, güzel, küçük, hafif gibi günlük hayatta kullanılan ve sayısal olmayan
birçok değer tanımlanır: Bu sözsel ifadeler görecelidir ve kişiden kişiye göre değişebilir.
40
Bulanık mantık sözsel ifadeleri tanımlayarak insan düşünce yapısına daha yakın olmayı
sağlar.
•
Uygulama alanları çok geniştir.
•
Belirsizliğin matematiksel olarak modellenmesine olanak sağlar.
3.1 Bulanık Mantık ve Genel Tanımlar
Klasik mantıkta olduğu gibi bulanık mantık da, küme kavramına dayanır. Bulanık
mantıkta kullanılan kümeler bulanık kümeler olarak adlandırılır. Bu kesimde, bulanık
kümeler ile ilgili önemli tanımlara değinilmiştir.
Tanım 3.1: X, elemanları x ile gösterilen bir evrensel küme olsun. Elemanların A alt
kümesine aitliği üyelik fonksiyonu ile belirlenir. Üyelik fonksiyonu µ A ( x ) ile gösterilir.
A alt kümesi üyelik fonksiyonu sadece 0 ve 1 değerlerini alabilir. Eğer x elemanı A
kümesinin elemanı ise üyelik derecesi 1, elemanı değil ise üyelik derecesi 0 olur.
~
A kümesi bulanık bir alt küme olduğunda A ile gösterilir. Bu durumda üyelik
~
fonksiyonu, µ A ( x ) , [0,1] aralığında değerler alır. A bulanık kümesi µ A ( x ) üyelik
fonksiyonu
µ A ( x ) : X → [0,1]
(3.1)
ile karakterize edilmiş olur (Lai ve Hwang 1992). Üyelik derecesi 1 ise eleman bulanık
kümeye tamamen aittir. Eğer üyelik derecesi 0 ise eleman kümeye ait değildir. Üyelik
derecesi 0 ve 1 arasında ise eleman bulanık kümeye kısmen aittir. Üyelik derecesi 1’e
~
~
nekadar yakınsa x elemanı A bulanık kümesine o kadar yakındır ve elemanın A
~
kümesine aitlik derecesi de o kadar yüksektir. Eleman, A bulanık kümesinin kısmen
elemanıdır.
41
Bir elmanın bulanık kümeye ait olma üyelik derecesi bu elemanın bulanık kümeye ait
olma olasılığı değildir. Klasik mantık olasılık teorisi temellerine dayanır. Diğer taraftan
bulanık mantıkta olabilirlik dağılımları önplana çıkmaktadır.
Klasik küme kavramında olduğu gibi, bulanık kümelerde sınır kesin değildir. Bulanık
kümenin sınırı belirsiz ya da bulanıktır.
~
A bulanık kümesi
~
A = {( x, µ A ( x )) | x ∈ X }
(3.2)
biçiminde verilen ikililerin kümesi ile tanımlanır.
~
X evrensel kümesi sonlu sayıda elemana sahip olduğunda A bulanık kümesi
~
A = {µ A ( x1 ) / x1 + µ A ( x 2 ) / x 2 + ... + µ A ( x n ) / x n } = {∑ µ A ( xi ) / xi }
(3.3)
biçiminde olur. Burada “ / ” küme elemanını ve bu elemanın üyelik derecesini
göstermek için kullanılır. Benzer şekilde “ + ” işareti toplama değil birleşme
anlamındadır.
~
A bulanık kümesinin sonsuz sayıda eleman içerdiği gösterim
~
A=
{∫ µ
A
( xi ) / x i }
(3.4)
şeklinde olur. Eşitlik 3.3’de verilen tanıma benzer olarak bu gösterimde “
birleşme anlamındadır (Lai ve Hwang 1992, Zimmermann 1994).
42
∫
” işareti
Tanım 3.2: Bir bulanık kümenin, üyelik dereceleri 0’dan farklı olan tüm elemanlarının
kümesi destek kümesi olarak adlandırılır. Destek kümesi bir bulanık küme değildir ve
~
Destek( A ) = {x | µ A ( x ) > 0 and
x∈ X}
(3.5)
biçiminde tanımlanır (Lai ve Hwang 1992).
Tanım 3.3: Bulanık kümenin α - kesmesi üyelik dereceleri α’dan büyük olan tüm
elemanların kümesidir. A bulanık kümesinin α - kesmesi Aα ya da Aα olarak gösterilir.
Bu bulanık küme
Aα = {x | µ A ( x ) ≥ α
and
x∈ X}
(3.6)
olarak ifade edilir. Burada α, [0,1] aralığında değerler alır. α değeri 0 olduğunda
bulanık kümenin destek kümesi, α - kesmesine eşit olur. α değerinin 1 olması
durumunda ise α - kesme bulanık kümenin yüksekliğine eşittir. Bir bulanık kümenin
üyelik derecelerinin en yüksek noktası kümenin yüksekliğidir. Şekil 3.1’de sonsuz
sayıda elemana sahip bir bulanık kümenin üyelik fonksiyonu ve α - kesmesi verilmiştir
(Buckley 2004).
43
µ A (x )
1
α
0
Aα
x
Şekil 3.1 α - kesme kümesi
Tanım 3.4: Her ne kadar üyelik fonksiyonun değer kümesi [0,1] aralığı olarak
tanımlansa da üyelik fonksiyonu değerleri sınırlı değildir. Bir bulanık küme normal ise
bulanık kümenin yüksekliği 1’dir. Karakteristik fonksiyonun standardize edilerek [0,1]
aralığında tanımlı olması her zaman tercih edilir. Bir bulanık küme en az bir eleman için
Sup x {µ A ( x )} = 1
(3.7)
koşulunu sağlıyorsa bu bulanık küme normaldir. Eğer bir bulanık küme normal değil ise
üyelik dereceleri Sup x {µ A ( x )} değerine bölünerek küme standardize edilir (Lai ve
Hwang 1992).
Tanım 3.5: Tüm elemanların üyelik dereceleri 0 olan bulanık küme boş kümedir.
Tanım 3.6: Bir bulanık kümenin herhangi iki elemanı olan x1 ve x 2 için
µ A (δx1 + (1 − δ )x 2 ) ≥ min (µ A ( x1 ), µ A ( x 2 ))
(3.8)
44
koşulu sağlanıyorsa bulanık küme dışbükeydir. Burada δ ∈ [0,1] dır (Klir ve Yuan 1995).
Bir bulanık kümenin sahip olması beklenen iki özelliği normal ve dışbükey olmasıdır.
Aksi belirtilmedikçe bulanık kümenin veya üyelik fonksiyonun bu özellikleri taşıdığı
düşünülür.
3.2 Üyelik Fonksiyonları
Olayların veya sistemlerin ait olma dereceleri bulanık mantıkta üyelik fonksiyonları ile
tanımlanır. Küme değerlerinin üyeliklerini gösteren eğriye üyelik fonksiyonu adı verilir.
Üyelik fonksiyonlarının birçok farklı çeşidi geliştirilmiş ve uygulanmıştır. Bu
fonksiyonun değeri herhangi bir üyenin bulanık küme ile tanımlanan sisteme uygunluk
derecesini gösterir. Bulanık mantık kullanılarak bir sistem modellenmek istendiğinde bir
uzmanın bilgi ve tecrübelerinden yararlanılır. Uzmanın deneyimlerden elde edilen sözel
bilgi ile sistemi ifade edecek uygun üyelik fonksiyonu belirlenir. Çok sayıda üyelik
fonksiyonu tipi bulunmaktadır. Literatürde en çok kullanılan fonksiyonlar üçgensel,
yamuksal ve çan eğrisi üyelik fonksiyonlarıdır. Uygulanmaları ve anlaşılmaları kolay
olmaları nedeniyle endüstride çoğunlukla bu üyelik fonksiyonlarıyla sistemler
tanımlanır (Lai ve Hwang 1992).
Üyelik fonksiyonu grafiğinde X ekseni bulanık kümenin elemanlarını gösterirken Y
ekseni ise bu elamanların üyelik derecelerini gösterir. Şekil 3.2’de örnek bir üyelik
fonksiyonu verilmiştir.
45
µ A (x )
x
0
Şekil 3.2 Üyelik fonksiyonu
~
Şekil 3.2’de A bulanık kümesi sonsuz sayıda elemanı olan bir kümedir.
Bulanık kümenin alt kümesi olduğu evrensel kümede sonlu sayıda eleman olduğunda
üyelik fonksiyonu Eşitlik 3.3’de olduğu gibi ifade edilir. X evrensel kümesinde sonsuz
sayıda eleman olduğunda üyelik dereceleri fonksiyon olarak belirtilir.
Çok çeşitli üyelik fonksiyonları tanımlanmış olmasına rağmen uygulamalarda basit
fonksiyonlar tercih edilir. En çok tercih edilen üyelik fonksiyonları üçgensel, yamuksal,
Gaussian, çan eğrisi ve sigmodial fonksiyonlardır. Bu üyelik fonksiyonlarının tanımlı
olduğu bulanık kümelerin hepsi dışbükey özelliğini sağlar.
Diğer önemli üyelik fonksiyonu tipleri S, ∏ , Z ve iki sigmodial fonksiyonun farkı
şeklindeki üyelik fonksiyonlarıdır (Lai ve Hwang 1992).
Tanım 3.7 Üçgensel üyelik fonksiyonları: Üçgensel üyelik fonksiyonlarının önemli üç
değeri vardır. Bunlar a, destek kümesinin alt sınırı, b, bulanık kümenin yüksekliği ve c,
destek kümesinin üst sınırıdır. Şekil 3.3’de bir üçgensel üyelik fonksiyonu verilmiştir.
46
µ A (x )
1
0
a
b
c
x
Şekil 3.3 Üçgensel üyelik fonksiyonu
Şekil 3.3’de verilen grafiğin üyelik derecesi fonksiyonu
( x − a ) (b − a ),

µ A ( x ) = (c − x ) (c − b ),
0,

a≤ x≤b
b<x≤c
x < a veya x > c
(3.9)
biçimindedir.
Şekil 3.3’de verilen üçgensel üyelik fonksiyonu doğrusaldır, fakat üçgensel üyelik
fonksiyonları simetrik ya da doğrusal olmak zorunda değildir. Şekil 3.4’de doğrusal
olmayan bir üçgensel üyelik fonksiyonuna örnek gösterilmiştir (Dubois ve Prade 1980,
Lai ve Hwang 1992, Klir ve Yuan 1995, Dubois ve Prade 2000, Buckley 2006).
47
µ A (x )
1
x
0
Şekil 3.4 Doğrusal olmayan üçgensel üyelik fonksiyonu
Tanım 3.8 Yamuksal üyelik fonksiyonları: Üçgensel üyelik fonksiyonları yamuksal
üyelik fonksiyonlarının özel bir halidir. Üyelik fonksiyonun tanımlı olduğu bulanık
kümenin özü birden fazla eleman içerir. Bu nedenle fonksiyonun sınırları dört değer ile
belirlenir. Şekil 3.5 yamuksal üyelik fonksiyonun grafiğini göstermektedir.
µ A (x )
1
0
a
b
c
d
x
Şekil 3.5 Yamuksal üyelik fonksiyonu
Şekil 3.5’deki gibi bir grafiğin fonksiyonu
48
( x − a ) (b − a ),
1,

µ A (x ) = 
(d − x ) (d − c ),
0,
a≤ x≤b
b< x≤c
(3.10)
c<x≤d
x < a veya
x>d
biçimindedir.
Üçgensel üyelik fonksiyonlarına benzer şekilde yamuksal üyelik fonksiyonlarının da
doğrusal olması ya da olmaması hakkında bir kısıtlama yoktur (Dubois ve Prade 1980,
Lai ve Hwang 1992, Klir ve Yuan 1995, Dubois ve Prade 2000, Buckley 2006).
Tanım 3.9 Gaussian üyelik fonksiyonları: Gaussian dağılımının iki parametresi
ortalama ve standart sapmadır. Gaussian üyelik fonksiyonunda m, grafiğin orta noktası
olan ortalamayı, σ da grafiğin yayılım ölçüsünü yani standart sapmasını verir. Şekil
3.6’da örnek bir gaussian üyelik fonksiyonu grafiği verilmiştir.
µ A (x )
1
0
m
Şekil 3.6 Gaussian üyelik fonksiyonu
Gaussian üyelik fonksiyonu
49
x
 1  x − m  2 
µ A ( x ) = exp− 
 
 2  σ  
(3.11)
biçiminde tanımlanır (Dubois ve Prade 1980, Lai ve Hwang 1992, Klir ve Yuan 1995,
Dubois ve Prade 2000, Buckley 2006).
Tanım 3.10 Çan eğrisi üyelik fonksiyonları: Çan eğrisi üyelik fonksiyonun a, b ve c
olmak üzere üç parametresi vardır. a parametresi grafiğin destek kümesinin alt sınırıdır,
b parametresi eğrinin orta noktasını yani üyelik değerinin 0,5 olduğu noktasıdır, c ise
yükseklik kümesinin orta noktasıdır. Şekil 3.7’de örnek bir çan eğrisi üyelik fonksiyonu
verilmiştir.
µ A (x )
1
0,5
0
a
b
c
x
Şekil 3.7 Çan eğrisi üyelik fonksiyonu
Çan eğrisi üyelik fonksiyonu c değerine göre simetriktir ve fonksiyon




1


µ A ( x ) = exp
b 
1 + x − c 


a


(3.12)
50
biçiminde tanımlıdır (Dubois ve Prade 1980, Lai ve Hwang 1992, Klir ve Yuan 1995,
Dubois ve Prade 2000, Buckley 2006).
Tanım 3.11 Sigmodial üyelik fonksiyonları: Sigmodial üyelik fonksiyonun iki
parametresi vardır: a, sigmodial eğrinin X ekseni ile kesiştiği noktadır, b ise eğrinin orta
noktasını yani µ A (b ) = 0,5 olduğu değerdir. Bu üyelik fonksiyonu
1


− a ( x −b ) 
1 + e

µ A ( x ) = exp
(3.13)
biçimindedir ve grafiği şekil 3.8’de verilmiştir (Dubois ve Prade 1980, Lai ve Hwang
1992, Klir ve Yuan 1995, Dubois ve Prade 2000, Buckley 2006).
µ A (x )
1
0,5
0
a
b
x
Şekil 3.8 Sigmodial üyelik fonksiyonu
3.3 Bulanık Sayılar ve Aritmetik İşlemler
Normallik ve dışbükeylik özelliklerini taşıyan bir bulanık küme bulanık sayıdır. Bulanık
kümeler üyelik fonksiyonları ile belirlenir. Bu nedenle üyelik fonksiyonu tipi olduğu
kadar bulanık sayı çeşidi vardır. Üyelik fonksiyonları aynı zamanda bulanık sayı olarak
51
da bilinir. Bulanık sayılar dışbükey bulanık kümelerin özel bir halidir (Kandel 1986,
Nguyen, 2006).
Bir üçgensel sayının farklı gösterimleri vardır. X = {x, α , β } gösteriminde, x değeri
üyelik derecesinin en büyük olduğu ( µ A ( x ) = 1 ) noktasıdır. α ve β değerleri ise
sırasıyla sayının yükseklikten olan sol ve sağ uzaklıklarını verir. Üçgensel sayıların bir
diğer gösterimi ise X = {a, b, c} dır. Bu gösterimde b = x , a = x − α ve c = x + β
değerlerini ifade eder. Şekil 3.9’de doğrusal üyelik fonksiyonu olan bir üçgensel bulanık
sayı verilmiştir (Lai ve Hwang 1992).
µ A (x )
1
0
a=x-α
b=x
c=x+β x
Şekil 3.9 Üçgensel bir bulanık sayı
Benzer
şekilde
yamuksal
bulanık
sayılar, Y = {y1 , y2 ,α , β } ve Y = {a, b, c, d }
gösterimleriyle ifade edilir. Bir yamuksal bulanık sayının özü [ y1 , y 2 ] aralığıdır. Başka
bir değişle, [ y1 , y 2 ] veya [b,c] aralığındaki elemanların üyelik dereceleri birdir. α ve
β değerleri üçgensel sayılarda olduğu gibi bu aralıktan sol ve sağ uzaklıklardır.
Dolayısıyla, a = y1 − α , b = y1 , c = y 2 ve d = y 2 + β dır. Şekil 3.10’de yamuksal bir
bulanık sayı gösterilmiştir (Lai ve Hwang 1992).
52
µ A (x )
1
0 a=y1-α b=y1 c=y2
d=y2+β
x
Şekil 3.10 Yamuksal bir bulanık sayı
X / Y üçgensel / yamuksal bulanık sayılar ise bu sayıların toplamı, farkı, çarpımı ya da
bölümü de üçgensel / yamuksal bulanık sayılardır. Çizelge 3.1 - 3.2 sırasıyla üçgensel
ve yamuksal bulanık sayılarla aritmetik işlemleri göstermektedir.
53
Çizelge 3.1 Üçgensel bulanık sayılarla aritmetik işlemler (Lai ve Hwang 1992).
X = {a X , b X , c X } ve
Y = {aY , bY , cY } iki üçgensel bulanık sayı olduğunda:
X’in görüntüsü : − X = {− c X ,−b X ,−a X }
X’in tersi: X −1 = {1 / c X ,1 / b X ,1 / a X }
Toplama: X + Y = {a X + aY , b X + bY , c X + cY }
Çıkarma: X − Y = {a X − cY , b X − bY , c X − aY }
Sabit bir sayı ile çarpım:
k > 0, k ∈ R kX = {ka X , kb X , kc X }
k < 0, k ∈ R kX = {kc X , kb X , ka X }
Çarpım:
X > 0, Y > 0,
XY = {a X aY , b X bY , c X cY }
X < 0, Y > 0,
XY = {c X aY , b X bY , a X cY }
X < 0, Y < 0,
XY = {c X cY , b X bY , a X aY }
Bölme:
X > 0, Y > 0,
X / Y = {a X / cY , b X / bY , c X / aY }
X < 0, Y > 0,
X / Y = {c X / cY , b X / bY , a X / aY }
X < 0, Y < 0,
XY = {c X / aY , b X / bY , a X / cY }
54
Çizelge 3.2 Yamuksal bulanık sayılarla aritmetik işlemler (Lai ve Hwang 1992).
X = {a X , bX , c X , d X } ve
Y = {aY , bY , cY , dY } iki yamuksal bulanık sayı olduğunda:
X’in görüntüsü : − X = {− d X ,−c X ,−b X ,−a X }
X’in tersi: X −1 = {1 / d X ,1 / c X ,1 / b X ,1 / a X }
Toplama: X + Y = {a X + aY , b X + bY , c X + cY , d X + d Y }
Çıkarma: X − Y = {a X − d Y , b X − cY , c X − bY , d X − aY }
Sabit bir sayı ile çarpım:
k > 0, k ∈ R kX = {ka X , kb X , kc X , kd X }
k < 0, k ∈ R kX = {kd X , kc X , kb X , ka X }
Çarpım:
X > 0, Y > 0,
XY = {a X aY , b X bY , c X cY , d X d Y }
X < 0, Y > 0,
XY = {d X aY , c X bY , b X cY , a X d Y }
X < 0, Y < 0,
XY = {d X d Y , c X cY , b X bY , a X aY }
Bölme:
X > 0, Y > 0,
X / Y = {a X / d Y , b X / cY , c X / bY , d X / aY }
X < 0, Y > 0,
X / Y = {d X / d Y , c X / cY , b X / bY , a X / aY }
X < 0, Y < 0,
XY = {d X / aY , c X / bY , b X / cY , a X / d Y }
55
3.4 Tip - n Bulanık Mantık
Bir durum bulanık mantık ile tanımlanırken bulanık küme, elemanları ve üyelik
dereceleri tanımlanır. Her bir bulanık sayının [0,1] aralığında tanımlı bir üyelik derecesi
bulunduğunda üyelik değerleri kesin sayılardır. Bulanık mantıkta bu durum tip - 1
üyelik fonksiyonu olarak adlandırılır.
Üyelik fonksiyonunun değerinin bulanıklaştırıldığı durum tip - 2 bulanık mantık teorisi
ile açıklanır. Bir elemana ait üyelik fonksiyonu da bir bulanık küme ile tanımlanırsa
buna tip - 2 bulanık küme denir. Bu durumda tip - 1’de olduğu gibi her bir sayının
üyeliği [0,1] aralığında tek bir değer almaz. Tip - 2 bulanık mantığında kullanılan üyelik
fonksiyonları da bulanıktır. Tip - 2 bulanık mantıkta bulanık kümedeki her bir elemana
ait üyelik değeri [0,1] aralığında bir bulanık küme ile ifade edilir. Tip - 2 bulanık mantık
geleneksel bulanık mantık olarak bilenen tip - 1 bulanık mantığın genişletilmiş bir
halidir. Bu tanımlar bulanık mantığın temel ilkeleri değişmeden tip - n bulanık mantık
olarak genişletilebilir. Bulanık mantığın tip sayısı bulanıklığın derecesinin yüksekliğini
ifade eder (Klir ve Yuan 1995, Ross 1995, Çelikyılmaz ve Türkşen 2009).
Tip - 1 bulanık mantık belirsizlikleri açıklamakta her zaman istenilen performansı
gösteremeyebilir. Böyle durumlarda tip - 2 bulanık mantığın kullanılması önerilir. Tip 2 bulanık mantık tip - 1’e göre belirsizliği modellemede daha etkilidir. Bunun nedeni tip
- 2 bulanık mantık sistemlerine ait bulanık kümelerin daha fazla parametreye sahip
olmasıdır. Dolayısıyla tip - 2 bulanık sistemleri tip - 1 bulanık mantık sistemlerine göre
daha güçlü ve etkili bir yapıya sahiptir. Her ne kadar uygulama alanları çok geniş olsa
da tip - 2 bulanık mantık sistemleri ile yapılan çalışmalar çok eskiye dayanmamaktadır.
İlk olarak A. Lutfi Zadeh tarafından 1975 yılında ortaya atılmış ve daha sonra birçok
araştırmacı tarafından incelenip geliştirilmiştir. Literatürde yapılan uygulamalarda tip 2 bulanık mantık sistemlerinin tip - 1 bulanık mantık sistemleri temel alınarak yapılan
çalışmalara göre daha iyi performans gösterdiği sonucuna varılmıştır (Karnik vd. 1999,
Mendel 2001, Çelikyılmaz ve Türkşen 2009).
56
4. KALİTE KONTROL GRAFİKLERİNDE ORAN YAKLAŞIMI
Kalite kontrol grafikleri bulanık mantık ile geliştirildiğinde süreci tanımlayan
durumların, Shewhart kontrol grafiklerinde kullanılan kurallardan farklı olması beklenir.
Başka bir değişle kontrol grafiklerinde süreci tanımlayan, kontrol dışı olup olmadığını
belirten yaklaşımlar bulanık kontrol grafiklerinde olduğu gibi uygulanamaz. Bunun
nedeni bulanık sayıların kontrol grafiklerine getirdiği çeşitliliktir. Kontrol grafiğinde
kullanılan sayıların bulanık olması sürecin kontrol dışında ya da kontrol altında
olmasını
belirten
durumların
sayısını
arttırır.
Bu
durumların
tanımlanarak
sınıflandırılması süreç hakkında bilgi verebilmek için gereklidir.
Bulanık sayılardan oluşan bir süreci tanımlarken bulanık sayıların ve sınırların çakıştığı
durumları doğru sınıflandırabilmek çok önemlidir. Bulanık sayılar ile ifade edilen bir
sürecin incelenmesinde kontrol sınırlarının ya da verilerin Shewhart grafiklerinde
olduğu gibi gerçek değer ile tanımlanması beklenemez. Bulanık kontrol grafiklerinde alt,
üst kontrol sınırlarının ve merkez çizginin bulanık sayılarla gösterilmesi süreç
hakkındaki sonucun esnekliğini arttırır.
Kalite kontrol grafiklerinde sayı alt kontrol sınırından küçük ya da üst kontrol sınırından
büyük ise süreç kontrol dışındadır. Bu durum bulanık kalite kontrol grafiklerine
uyarlandığında, bulanık sayılar bulanık kontrol sınırlarının dışında ise süreç kontrol
altında değildir. Başka bir değişle, bir bulanık sayının üst veya alt kontrol sınırlarının
dışında olması, sürecin kontrol altında olmasının üyeliğinin sıfır olması anlamına gelir.
Diğer taraftan, sayılar bulanık sınırların arasında ve rasgele dağılmış ise sürecin kontrol
içinde olmasının üyeliği birdir.
Bulanık kontrol grafiklerinde bulanık sınırlar da bulanık sayılarla ifade edildiğinde
bulanık sayıların ve bulanık sınırların çakıştığı durumların tanımlanmasına ihtiyaç
duyulur. Bulanık sayı olarak hesaplanan bulanık sınırlar süreçlerin net bir şekilde
“kontrol altındadır” ya da “kontrol dışındadır” olarak tanımlanmasını imkansız bir hale
getirir. Bu durum, bulanık grafiklerin Shewhart kontrol grafiklerinden en önemli
57
farkıdır. Farklı bulanık yaklaşımlarla bulanık sayıların ve sınırların çakışmaları
değerlendirildiğinde süreçlerin farklı tanımlanmasına sebep olur. Dolayısıyla, süreçlerin
uygun bir bulanık yaklaşım ile incelenmesi doğru ve gerçeğe en yakın sonuçların elde
edilmesi açısından önemlidir.
Bu bölümde, çalışmanın özgün yanını oluşturan oran yaklaşımı tanımlanacaktır. Oran
yaklaşımı olarak adlandırılan yaklaşım ile bulanık kalite kontrol grafiklerinin çizilmesi
amaçlanmıştır. Bir bulanık sayının bulanık kontrol sınırları ve diğer sayılarla
karşılaştırılabilmesi için bulanık sayıların ve sınırların üst üste geldikleri durumların
belirlenmesi gerekmektedir. Önerilen oran yaklaşımı ile bulanık kalite kontrol
grafiklerinin bu durumları sınıflandırılarak süreçler tanımlanacaktır.
Oran yaklaşımında öncelikle süreç kontrol altında iken bulanık kontrol sınırları
hesaplanır. Yaklaşım ile hesaplanan bulanık kontrol sınırları bulanık sayılar ile gösterilir.
İkinci olarak, örneklemdeki her bir bulanık sayının bulanık kontrol sınırlarına göre
konumu belirlenir ve kontrol içinde olma üyelik dereceleri hesaplanır. Bu hesaplama
oran yaklaşımının önemli bir basamağını oluşturur. Bulanık sayıların üyelik dereceleri
[0, 1] aralığında değerler alır. Bir sayının üyelik derecesi 0 ise bulanık sayı bulanık
kontrol sınırların dışındadır. Sayı bulanık sınırların arasında ise üyelik derecesi 1
değerini alır. Üyelik derecelerinin diğer tüm değerlerinde bulanık sayıların bulanık
sınırlarla çakıştığı anlamına gelir. Bulanık grafiğin çiziminde daha sonra α - kesme
bulanık sınırlar ve α - kesme bulanık sayılar çizilir. Son olarak elde edilen üyelik
dereceleri oran yaklaşımı karar fonksiyonundaki sınıflar ile karşılaştırılır ve süreç
tanımlanır.
Çalışmada süreçlerin gerçeğe en yakın şekilde tanımlanmasını sağlayacak bir yaklaşım
geliştirilmeye çalışılmıştır. Bu nedenle en uygun üyelik fonksiyonun ve karar
fonksiyonun belirlenmesi aşamasında çok sayıda uygulamalar yapılmıştır. İncelenen
uygulamaların bir kısmı Kesim 4.3, Kesim 4.4, Kesim 4.7, ve Bölüm 5’de anlatılacaktır.
Yapılan bu uygulamalarda yaklaşım ile her türlü sürecin bulanık grafiğinin çizilebilmesi,
oran yaklaşımının farklı kontrol grafikleri çizmek için uyarlanabilmesi, hesaplanmasının
58
ve anlaşılmasının kolay olması kriterleri temel olarak göz önüne alınmıştır. Süreçleri en
doğru şekilde yansıtan fonksiyonlar oran yaklaşımı üyelik ve karar fonksiyonları olarak
atanmıştır. Bu fonksiyonlar ve oran yaklaşımının temel ilkeleri Kesim 4.1’de
verilecektir.
4.1 Oran Yaklaşımının Temelleri
Oran yaklaşımı ile çizilmiş bulanık kalite kontrol grafiklerinin oluşturulmasında
uzmanların deneyimlerinden elde edilen bulanık sayılar kullanılacaktır. Bulanık sayılar
ya da üyelik fonksiyonları hakkında herhangi bir kısıtlayıcı varsayım yoktur. Bulanık
kontrol grafiklerinde bulanık kontrol sınırlarının bulanık dört işlem ile Shewhart kontrol
grafikleri temel alınarak hesaplandığı varsayılmıştır. Örneğin doğrusal üyelik
fonksiyonu olan yamuksal bulanık sayılarla, bulanık sınırlar çizelge 3.2’de verilen
aritmetik işlemler kullanılarak hesaplanır.
Önerilen oran yaklaşımı α - kesme bulanık sayıların α - kesme bulanık sınırlara göre
konuma dayanır. Yaklaşımda süreç bulanık sayıların kontrol içinde olma üyelik
derecelerinin sınıflandırılması ile tanımlanır. Bir bulanık sayının kontrol içinde
olmasının üyelik derecesi ise sayının konumuna göre değer alır.
Aiα i. bulanık sayının α - kesmesinin genişliği olsun. Başka bir değişle, Aiα i. bulanık
sayının α - kesmesinin üst sınırı ile alt sınır arasındaki fark olarak tanımlansın. Bu
durumda
Aiα = AiαİÇ + AiαÜZ + AiαDIŞ
i = 1,2,3,..., n.
olacak şekilde;
n örneklem büyüklüğü,
59
(4.1)
AiαİÇ , i. bulanık sayının α - kesmesinin, α - kesme alt ve üst kontrol sınırlarının arasında
kalan genişliği,
AiαÜZ , i. bulanık sayının α - kesmesinin, α - kesme alt ve üst kontrol sınırlarının üzerinde
kalan genişliği ve
AiαDIŞ , i. bulanık sayının α - kesmesinin, α - kesme bulanık kontrol sınırlarının dışında
kalan genişliği olarak tanımlanır.
Eşitlik 4.1’de verilen genişlikler bir bulanık kalite kontrol grafiğinde örneklendirilmiştir.
Üçgensel bulanık sayılar ile tanımlanan bir süreçde, bulanık aritmetik ile bulanık sınırlar
ve merkez çizgi hesaplanmıştır. Bulanık sınırlar ve merkez çizgi de üçgensel bulanık
sayılardır. Hesaplamalar Bölüm 3’de, çizelge 3.1’de verilen bulanık aritmetik işlemler
kullanılarak yapılmıştır. Oran yaklaşımında bulanık sınırların hesaplanmasına Kesim
4.2’de değinilecektir. Şekil 4.1’de doğrusal üyelik fonksiyonu olan iki üçgensel bulanık
sayı ve bulanık kontrol sınırları gösterilmiştir.
~
ÜK L
~
A KL
Sayı I
Sayı II
A1α
α
A1αÜZ
A2αÜZ
A1αİÇ
A2αDIŞ
Şekil 4.1 Üçgensel bulanık sayılar ve bulanık kontrol sınırları için bir örnek
~
~
Şekil 4.1’de AKL ve ÜKL bulanık sayılarla hesaplanmış bulanık sınırları göstermektedir.
~
~
AKL bulanık alt kontrol sınırını, ÜKL ise bulanık üst kontrol sınırını ifade etmektedir.
Şekil 4.1’de doğrusal üyelik fonksiyonları olan iki üçgensel bulanık sayı kesikli
çizgilerle gösterilmiştir. Birinci bulanık sayı, bulanık alt kontrol sınırı ile çakışmakta ve
sayının bir kısmı bulanık sınırların arasındadır. Dolayısıyla birinci sayının A1α değeri
DIŞ
sıfır ve A1α , A1α değerleri sıfırdan büyüktür. İkinci bulanık sayı ise üst kontrol sınırı ile
ÜZ
İÇ
60
çakışmakta ve sayının bir kısmı kontrol sınırlarının dışındadır ve A2α
DIŞ
> 0 , A2αÜZ > 0 ve
A2αİÇ = 0 dır.
Oran yaklaşımında bir bulanık sayı bulanık sınırların dışında ise kontrol altında
olmasının üyeliği sıfırdır. Bulanık sayının α - kesme genişlikleri göz önüne alındığında
AαjDIŞ = Aαj , AαjÜZ = 0 ve AαjİÇ = 0 olur. Benzer şekilde sayı bulanık sınırların arasında ise
AiαDIŞ = 0 , AiαÜZ = 0 ve AiαİÇ = Aiα sağlanır ve sayının kontrol altında olmasının üyelik
derecesi birdir. Bulanık sayılar ve sınırlar çakıştığında, Aiα > 0 , oran yaklaşımı ile
ÜZ
sürecin kontrol altında olmasının üyelik derecesi Aiα , Aiα
İÇ
ÜZ
ve Aiα
DIŞ
genişlikleri
kullanılarak belirlenir. Önerilen oran yaklaşımı üyelik derecesi fonksiyonu,
AiαİÇ / Aiα ve AiαÜZ / Aiα
(4.2)
oranlarının ağırlıklı toplamıdır. Eğer bir bulanık sayı bulanık kontrol sınırlarıyla
çakışıyorsa, bulanık sayının kontrol içinde olmasının üyeliği
µi =
γAiα + (1 − γ )Aiα
ÜZ
İÇ
γM i + (1 − 2γ )Z iα
α
i = 1,2,3,..., n.
(4.3)
olarak tanımlandı. Burada,
{ (
)
(
) }
M iα = min sup ÜKLα − inf AKLα , Aiα
(4.4)
ve
{
(
)
(
Z iα = min inf ÜKLα - sup AKLα
) ,A
α
i
} dır.
(4.5)
61
M iα , i. bulanık sayı için Aiα ’den küçük ya da eşit, en büyük olası bulanık kontrol
sınırlarının α - kesme genişliğini, Z iα ise Aiα ’den küçük ya da eşit, i. bulanık sayının α kesme bulanık kontrol sınırlarının arasında olabileceği en büyük genişliği ifade eder.
Örneklemdeki bütün bulanık sayıların kontrol içinde olma üyelik derecelerini aynı
skalada tanımlayabilmek amacıyla fonksiyon M iα ve Z iα değerleri kullanılarak
standardize edilmiştir.
Üyelik fonksiyonunda, Eşitlik 4.3’de verilen oranların ağırlıklar sırasıyla γ ve (1 γ ) olarak tanımlanmıştır. γ karar verici tarafından geçmiş verilere dayanarak elde
edilmiş bir değerdir. γ değeri bulanık sayının α - kesmesinin, α - kesme bulanık kontrol
sınırlarının üzerinde kalan genişliğinin ağırlığıdır. (1 - γ ) ise bulanık sayının α kesmesinin α - kesme bulanık kontrol sınırlarının arasında kalan genişliğinin ağırlığı
olarak ifade edilir. γ değeri
0<
γ
(1 − γ )
<1
(4.6)
eşitsizliğini sağlamalıdır. Herhangi bir sayının bulanık kontrol sınırlarının arasında
olmasının öneminin, bu sınırların üzerinde olmasının öneminden yüksek olması
beklenir. Başka bir değişle γ değeri [0, 0,5] arasında olmalıdır.
Üyelik fonksiyonunda önemli etkisi olan γ değeri geçmiş bilgilere ve tecrübelere
dayanarak belirlenir. Bulanık sayının kontrol sınırlarının arasında ve üzerinde
olmalarının ağırlıkları olarak tanımlanan bu değer farklı süreçlerde farklı değer alabilir.
Süreçteki geçmiş ölçümler ve kararlar bu hakkında bilgi verir. Karar verici geçmiş
veriye ya da tecrübelerine dayanarak bu değeri belirler. Bu çalışmada, γ değerinin
geçmiş gerçek verilerin dağılımlarına dayanılarak karar vericiler tarafından belirlendiği
varsayılmıştır.
62
γ / (1 - γ ) değişkeninin dağılımı, parametre değerleri süreçlere göre değişen bir dağılıma
sahiptir. Bu rasgele değişken, (1 - γ )’nın γ’dan büyük olması beklenildiği için 0 ve 1
arasında değer alır. Gerçek sayılardan oluşan geçmiş bilgiler ile tanımlanır ve süreç
kontrol altında iken bu değişkenin dağılımı belirlenmiş ve parametreleri tahmin edildiği
varsayılmıştır.
Bulanık sayıların yayılımına bağlı olarak bulanık sınırların değerleri ve konumları
değişir. Hatta bulanık sınırlar çakışabilir ya da her hangi bir bulanık sayı bulanık alt ve
üst kontrol sınırlarının ikisi ile de çakışabilir. Eşitlik 4.3’de verilen üyelik fonksiyonu
α , γ değerlerine, bulanık sayılara ve bu sayıların birbirlerine göre konumlarına bağlıdır.
Eşitlik 4.3’de tanımlanan üyelik fonksiyonu α ve γ değerlerinin ve bulanık sınırların ve
sayıların tüm olası durumları göz önüne alınarak belirlenmiştir.
Önerilen fonksiyonun her türlü üyelik fonksiyonuna sahip bulanık sayılara
uygulanabileceği varsayılarak yaklaşım geliştirilmiştir. Ayrıca, bulanık sayıların kendi
yayılımları ve birbirleri arasındaki yayılım da oran yaklaşımında göz önüne alınmıştır.
Sayıların yayılımlarının büyük olması bulanık üst kontrol sınırı ile alt kontrol sınırının
çakışmasına neden olabilmekte, bu durumda bulanık kontrol sınırları arasında kalan
aralığı değiştirmektedir.
Şekil 4.2’de çakışmayan bulanık kontrol sınırları ile bir bulanık sayının oran yaklaşımı
göz önüne alındığında farklı tüm olası durumları doğrusal üyelik fonksiyonu olan
yamuksal bulanık sayılara dayanılarak gösterilmiştir.
63
1
α
~
AK L
~
ÜKL
2
α
~
AK L
~
ÜKL
3
α
~
AK L
~
ÜKL
4
α
~
AK L
~
ÜKL
5
α
~
AK L
~
ÜKL
6
α
~
AK L
~
ÜKL
Şekil 4.2 Bulanık kalite kontrol grafiğinde çakışmayan bulanık kontrol sınırları ve
yamuksal bulanık sayıların olası durumları
64
7
α
~
AK L
~
ÜK L
8
α
~
AK L
~
ÜK L
9
α
~
AK L
~
ÜK L
10
α
~
AK L
~
ÜK L
11
α
~
AK L
~
ÜK L
12
α
~
AK L
~
ÜK L
Şekil 4.2 Bulanık kalite kontrol grafiğinde çakışmayan bulanık kontrol sınırları ve
yamuksal bulanık sayıların olası durumları (devam)
65
13
α
~
AK L
~
ÜK L
14
α
~
AK L
~
ÜK L
15
α
~
AK L
~
ÜK L
Şekil 4.2 Bulanık kalite kontrol grafiğinde çakışmayan bulanık kontrol sınırları ve
yamuksal bulanık sayıların olası durumları (devam)
Şekil 4.2’de yamuksal bulanık sayılarla çizilen bir kontrol grafiğinin tek bir bulanık
sayıyı gösteren parçaları verilmiştir. Her bir parça bulanık alt ve üst kontrol sınırlarını
ve bir bulanık sayının durumu göstermektedir. Şekil 4.2 incelendiğinde, oran
yaklaşımına göre yamuksal bir bulanık sayının bulanık sınırlara göre alabileceği 15
farklı durum olduğu görülür. Bu durumlar bulanık sayılara ve bulanık sınırların
birbirlerine göre konumlarına bağlıdır. Şekil 4.2’de α - kesme bulanık sınırlar
çakışmamaktadır. Bulanık üst ve alt kontrol sınırlarının α - kesmelerinin çakışması
halinde, yamuksal bulanık sayıların olası durumları şekil 4.3’de verilmiştir.
66
16
α
~
AK L
~
ÜK L
17
α
~
AK L
~
ÜK L
18
α
~
AK L
~
ÜK L
19
α
~
AK L
~
ÜK L
20
α
~
AK L
~
ÜK L
21
α
~
AK L
~
ÜK L
Şekil 4.3 Bulanık kalite kontrol grafiğinde çakışan bulanık kontrol sınırları ve yamuksal
bulanık sayıların olası durumları
67
22
α
~
AK L
~
ÜK L
23
α
~
AK L
~
ÜK L
24
α
~
AK L
~
ÜK L
25
α
~
AK L
~
ÜK L
26
α
~
AK L
~
ÜK L
27
α
~
AK L
~
ÜK L
Şekil 4.3 Bulanık kalite kontrol grafiğinde çakışan bulanık kontrol sınırları ve yamuksal
bulanık sayıların olası durumları (devam)
68
28
α
~
AK L
~
ÜK L
29
α
~
AK L
~
ÜK L
30
α
~
AK L
~
ÜK L
Şekil 4.3 Bulanık kalite kontrol grafiğinde çakışan bulanık kontrol sınırları ve yamuksal
bulanık sayıların olası durumları (devam)
Şekil 4.2’dekine benzer şekilde, şekil 4.3’de oran yaklaşımına göre bulanık sınırların ve
yamuksal bulanık sayıların 15 olası durumu bulunmaktadır. Oran yaklaşımı
geliştirilirken bulanık sayı tipleri ve bu bulanık sayı tiplerinin ve sınırlarının tüm olası
durumları incelenmiş ve üyelik fonksiyonu tanımlanmıştır.
Shewhart kalite kontrol grafiklerinde süreç iki durum ile tanımlanır: “süreç kontrol
altındadır” ve “süreç kontrol dışındadır”. Önerilen bulanık kontrol grafiklerinde de
Shewhart kontrol grafiklerine benzer olarak sürecin iki farklı tanımı vardır. Oran
yaklaşımı ile çizilen bulanık kontrol grafiklerinde bu tanımlar bulanık sayıların üyelik
derecelerinin sınıflandırılması ile yapılır. Her bir sayının kontrol içinde olmasının üyelik
derecesi hesaplandıktan sonra bu üyelik dereceleri karar fonksiyonunda kategorize edilir.
Oran yaklaşımında karar fonksiyonu
69
kontrol altı nda ,
Süreç = 
kontrol dı şı nda ,
λ ≤ µi ≤ 1
0 ≤ µi ≤ λ
(4.7)
biçiminde tanımlanmıştır. Burada, λ değeri 0 ≤ λ ≤ 1 olacak şekilde belirlenmiş bir
parametredir.
Karar fonksiyonu olarak adlandırılan Eşitlik 4.7’deki parametre, λ, süreç kontrol altında
iken geçmiş veriye dayanılarak tahmin edilmiştir. Bu parametrenin değerinin
belirlenmesi önerilen yaklaşımın önemli bir basamağıdır. λ parametresine, olması
gerektiğinden daha büyük bir değer atanırsa, tip - I hata olasılığı artar. Bu durum kalite
kontrol grafiklerinde kontrol sınırlarının birbirlerine yaklaştırılması ile aynı etkiye
sahiptir. Diğer taraftan, parametreye küçük bir değer verildiğinde kontrol sınırlarının
birbirlerinden uzaklaştırılması ile benzer sonuç elde edilir. Tip - I hata olasılığı azalır ve
tip - II hata olasılığı artar.
Oran yaklaşımında λ parametresinin tahmin edilmesi tip - I hata olasılığına dayanır. 3 σ
(3 sigma) kontrol sınırları kullanıldığında Normal dağılım varsayımı altında tip - I hata
olasılığı 0,0027 dır. Başka bir değişle, 3 σ (3 sigma) kontrol sınırları ile 10.000 ürünün
27 tanesinin “süreç kontrol dışındadır” sonucuna yanlış karar ile varılması beklenir.
Eşitlik 4.7’de verilen karar fonksiyonu 3 σ (3 sigma) kontrol sınırları temel alınarak
oluşturulmuştur ve 3 σ (3 sigma) olasılık sınırı λ parametresini belirlemek için
kullanılmıştır.
4.2 Oran Yaklaşımı İle Oluşturulmuş Kalite Kontrol Grafiklerinde Bulanık
Sınırlar
Oran yaklaşımı farklı grafikler için de düzenlenmiş ve C programlama dili kullanılarak
birçok örnekle incelenmiştir. Bu kesimde, kalite kontrol grafiklerinin oran yaklaşımı ile
çizimi için önerilen bulanık kontrol sınırları verilecektir. Gösterimlerde süreçlerin
yamuksal bulanık sayılarla ifade edildiği varsayılmıştır. Üçgensel bulanık sayılardan
oluşan sürecin tanımlanması benzer şekilde bulunabilir.
70
4.2.1 Sürekli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafiklerinde oran yaklaşımı
Oran yaklaşımının bulanık grafiklerin çeşidiyle ilgili her hangi bir kısıtlayıcı varsayımı
yoktur. Bu nedenle oran yaklaşımı x , R ve s grafiklerine uyarlanabilir. Alt grupların
yayılım ölçüsünü belirten bulanık s ya da R grafiklerinin çizimi için alt gruplardaki
bulanık sayıların varyanslarının ya da genişliklerinin hesaplanması gerekir. Alt
gruplardaki gözlem sayıları yeterince küçük olduğunda Shewhart grafiklerinde olduğu
gibi varyans yerine genişlik ölçüsü kullanılarak yayılım grafiği elde edilebilir.
Oran yaklaşımı ile sürekli rasgele değişkenler için bulanık kalite kontrol grafiklerinin
çiziminde öncelikle bulanık kontrol sınırları hesaplanır. Bu çalışmada, x , R ve s
grafiklerine uygulanmasında diğer grafiklerde olduğu gibi Shewhart kontrol
grafiklerinin sınırları temel alınmıştır.
Bulanık x ve R kontrol grafiklerinin çizilmesinde bulanık sınırların bulunabilmesi için
alt grupların genişlik değerleri bulunmalıdır. Oran yaklaşımında her bir alt grubun
genişlik ölçüsü alt gruptaki bulanık sayıların en büyük genişliği kullanılarak hesaplanır.
i. alt grup için genişlik
[
Ri = sup( ~
xij , ~
xik
j≠k
])
(4.8)
biçiminde bulunur. Burada, ~
xij ve ~
xik i. alt gruptaki farklı bulanık sayılardır.
Yamuksal bulanık sayılar (a, b, c, d) gösterimi ile ifade edildiğinde x ve R
grafiklerinde, x grafiğinin bulanık sınırları Kesim 2.3.1.1’de verilen eşitlikler temel
alınarak hesaplanır. Oran yaklaşımı kullanılarak bulunan bulanık x grafiği merkez
çizgisi ve bulanık kontrol sınırları
(
) (
~
~
~
~
~
MÇ = a, b, c, d = MÇ a , MÇ b , MÇ c , MÇ d
)
71
(4.9)
(
) (
)
(4.10)
(
) (
)
(4.11)
~
~
~
~
~
ÜKL = a + A2 Ra , b + A2 Rb , c + A2 Rc , d + A2 Rd = ÜKL a , ÜKL b , ÜKL c , ÜKL d
~
~
~
~
~
AKL = a − A2 Rd , b − A2 Rc , c − A2 Rb , d − A2 Ra = AKL a , AKL b , AKL c , AKL d
formülleri ile bulunur. Burada A 2 , Kesim 2.3.1.1 Eşitlik 2.9’da tanımlanmıştır.
Bulanık sürekli rasgele değişkenler için kontrol grafiklerinde bulanık sayıların
yayılımlarının da süreci tanımlarken dikkate alınması gerekir. Bulanık R grafiğinin
bulanık merkez çizgisi ve bulanık kontrol sınırları ise
~
MÇ = (Ra , Rb , Rc , Rd )
(4.12)
(
)
(
)
~
~
~
~
~
ÜKL = (D 4 Ra , D 4 Rb , D 4 Rc , D 4 Rd ) = ÜKL a , ÜKL b , ÜKL c , ÜKL d
~
~
~
~
~
AKL = (D 3 Ra , D 3 Rb , D 3 Rc , D 3 Rd ) = AKL a , AKL b , AKL c , AKL d
(4.13)
(4.14)
biçiminde bulunur. Burada, D3 ve D 4 katsayıları Eşitlik 2.13 ve 2.14’de tanımlanmıştır.
Bulanık x ve R grafiklerinin, bulanık merkez çizgisi ve sınırları çizelge 3.2’de verilen
yamuksal bulanık sayılarla aritmetik işlemler kullanılarak yazılmıştır.
Bulanık x ve s grafiklerinin oran yaklaşımı ile önerilen sınırları bulanık x ve R
grafiğine benzer şekilde bulunur.
4.2.2 Kesikli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafiklerinde oran yaklaşımı
Geliştirilen oran yaklaşımı kontrol grafiklerinin farkları ile ilgili herhangi bir varsayım
taşımadığından yaklaşım farklı kesikli rasgele değişkenler için kalite kontrol
grafiklerine uyarlanabilir. Uygulamalardaki bulanık grafiklerin en önemli farkı kontrol
72
grafiklerinin bulanık kontrol sınırları hesaplamalarından kaynaklanır. Bulanık kontrol
sınırları bulunduktan sonra oran yaklaşımı bulanık veriye uygulanır ve sonuç bulanık
grafiğin anlamına göre yorumlanarak süreç tanımlanır.
Bu kesimde, oran yaklaşımı bulanık c kalite kontrol grafiğine uyarlandığında bulanık
sınırların bulunması verilmiştir. Diğer kesikli rasgele değişkenler için kalite kontrol
grafiklerinde bulanık kontrol sınırları Shewhart kontrol sınırları kullanılarak benzer
şekilde bulunabilir.
Her bir alt grubun kusur sayısı yamuksal bulanık sayılar (a, b, c, d) ile gösterildiğinde
bulanık kontrol sınırları bulanık dört işlem kullanılarak
(
) (
~
~
~
~
~
MÇ = a, b, c, d = MÇ a , MÇ b , MÇ c , MÇ d
)
(4.15)
(
)
(
)
(
)
(
)
~
~
~
~
~
ÜKL = a + 3 a , b + 3 b , c + 3 c , d + 3 d = ÜKL a , ÜKL b , ÜKL c , ÜKL d
~
~
~
~
~
AKL = a − 3 d , b − 3 c , c − 3 b , d − 3 a = AKL a , AKL b , AKL c , AKL d
(4.16)
(4.17)
biçiminde hesaplanır. Eşitlik 4.15, 4.16 ve 4.17’deki merkez çizgi ve bulanık kontrol
sınırları α - kesme uygulanarak yeniden düzenlendiğinde α - kesme bulanık merkez
çizgi ve kontrol sınırları
~
MÇ α = (a α , b , c , d α ) = (a + α (b − a ), b , c , d − α (d − c ))
(
~
~
~
~
= MÇ αa , MÇ b , MÇ c , MÇ αd
(
(
)
(4.18)
)(
)
(
)(
~
ÜKLα = a + 3 a + α b + 3 b − a + 3 a , b + 3 b , c + 3 c , d + 3 d − α d + 3 d - c + 3 c
(
~
~
~
~
= ÜKLαa , ÜKL b , ÜKL c , ÜKLαd
(
(
)
)(
))
(4.19)
)
(
)(
))
~
AKLα = a − 3 d + α b − 3 c − a − 3 d , b − 3 c , c − 3 b , d − 3 a − α d − 3 a - c − 3 b
~
~
~
~
= AKLαa , AKL b , AKL c , AKLαd
(4.20)
(
)
73
Şeklinde tanımlanır. Burada, α değeri 1 alınırsa α - kesme bulanık kontrol sınırları c
kalite kontrol grafiğinin sınırlarına eşit olur.
4.3 Oran yaklaşımında bulanık sayıların üyelik fonksiyonunun belirlenmesi
Shewhart kontrol grafiklerinin bulanık alternatiflerinin çizilebilmesi için düzenlenen
oran yaklaşımı ile çeşitli uygulamalar yapılmış ve parametrelerin ve yapay verilerin
dağılımlarının etkileri üyelik fonksiyonları ile incelenmiştir. Çalışmada, farklı veri
setleri ile denemeler yapılmış ve çok çeşitli bulanık sayılarla çeşitli bulanık grafikler
çizebilmek için oran yaklaşımı uygulanmıştır. Farklı dağılımlar ile üretilmiş bulanık
sayıların üyelik derecelerinin genel özellikleri araştırılmıştır. Poisson, Binom ve Normal
dağılımlarının çeşitli parametre değerleri ile toplam en az 10.000.000 yapay sayı
üretilmiş, bulanıklaştırılmış ve bulanık kontrol grafikleri çizilmiştir. Bu kesimde, oran
yaklaşımı ile bulunan üyelik derecelerinin olasılık yoğunluk fonksiyonlarının tahmin
edilmeleri üzerinde durulacaktır. Yapılan uygulamalar bir veri seti ile örneklendirilerek
hesaplanan üyelik derecelerinin fonksiyonları incelenmiştir.
Öncelikle, oran yaklaşımı, farklı bulanık kalite kontrol grafiklerinin çizilmesi için
düzenlenmiş ve oran yaklaşımının uyarlamaları C programlama dilinde kodlanmıştır.
Minitab 13 paket programında bulanık c ve u kontrol grafikleri için Poisson dağılımına,
p ve np kontrol grafikleri için Binom dağılımına ve x , R ve s kontrol grafikleri için
Normal dağılıma uyan yapay veriler üretilmiştir. Bu veriler çeşitli parametre değerleri
göz önüne alınarak rasgele olarak üretilmiştir.
Uygulamalarda kontrol grafiklerinin gösterdiği süreçlerin kontrol altında olduğu
varsayılmıştır. Ayrıca, γ ve α’nın farklı değerleri ile denemeler de yapılmıştır. İlgili
bulanık kontrol grafiklerine bağlı olarak üyelik dereceleri hesaplanmış ve bulanık
kontrol grafikleri çizilmiştir.
Yapılan uygulamalarda hesaplanan üyelik dereceleri ile üyelik fonksiyonu belirlenmiştir.
Easyfit paket programında sürekli değişkenler için 61 adet farklı sürekli veri dağılımı
74
incelenmiştir. Bu dağılımlar EK 2’de verilmiştir. İki sonuca varılmıştır: Üretilen yapay
sayıların dağılımı ne olursa olsun üyelik derecelerinin dağılımları aynı özellikleri
gösterir ve üyelik derecelerinin olasılık yoğunluk fonksiyonunun tahmin edilmesinde
istatistiksel olarak en iyi sonuçlar hemen hemen her zaman aynı dağılım ile elde
edilmiştir. Üyelik fonksiyonun Beta dağılımı olduğu istatistiksel olarak kanıtlanmıştır.
Beta dağılımının iki şekil parametresi vardır. Çeşitli uygulamalarla üyelik
fonksiyonlarının parametreleri tahmin edilmiş ve bu tahmin edilen değerlerin Beta
dağılımının sola çarpık ve zaman zaman tek tepeli olmasını sağlayacak değerler aldığı
görülmüştür. Beklenildiği gibi, bulanık sayıların üyelik fonksiyonları simetrik bir
dağılıma sahip değildir. Bunun nedeni kontrol grafiklerinde sayıların merkez çizgi
etrafında dağılma olasılıkları sınırlara yakın dağılma olasılıklarından her zaman yüksek
olması ve oran yaklaşımında bulanık sayıların üyelik derecelerinin merkez çizgiye
yakınlıkları göz önüne alınarak değerlendirilmesidir.
Çizilen en az 30.000 bulanık kalite kontrol grafiği uygulamasının bir örneği olarak
Binom, Poisson ve Normal dağılımların çeşitli parametre değerleri ile rasgele olarak
1000 yapay sayı üretilmiştir. Öncelikle üretilen 1000 gerçek sayı bulanıklaştırılmıştır.
Üçgensel bulanık sayılar, (a, b, c), elde etmek için gerçek sayıların standart sapması
hesaplanmış ve bir standart sapma çıkartılıp ve toplanarak bulanık sayıların sırasıyla “a”
ve “c” değerleri elde edilmiştir. Bulanıklaştırma işleminden sonra bulanık sayıların
üyelik fonksiyonları belirlenmiştir. Bu hesaplamalarda γ = 0,33 ve α = 0,60 olduğu
varsayılmıştır. Son olarak, üyelik derecelerinin olasılık yoğunluk fonksiyonu tahmin
edilmiştir. Şekil 4.4’de 1.000 birimlik bu örneklemin üyelik dereceleri ile çizilmiş
histogram verilmiştir.
75
Şekil 4.4 Üyelik dereceleri histogramı
Şekil 4.4, bulanıklaştırılmış 1.000 birimlik örneklem ile süreç kontrol altında iken
hesaplanmış üyelik derecelerinin grafiğini göstermektedir. Bu grafik Minitab 13
programı ile çizilmiştir. Grafiğin elde edilmesinde kullanılan üyelik derecelerinin bir
kısmı Ek 1’de verilmiştir.
Yapılan uygulamalarda birçok veri seti üzerinde farklı γ ve α değerleri ve dağılım
parametreleri ile çalışılmış bu değerlerin süreç hakkındaki kararı nasıl etkilediği
incelenmiştir. Histogramdan görüldüğü gibi üyelik değerleri arttıkça sıklık da
artmaktadır. Kontrol grafiğinde kullanılan ve süreci anlatan ilk verinin dağılımı ne
olursa olsun sayıların merkez çizgi etrafında olma olasılıklarının sınırlar dışında olma
olasılıklarından daha yüksek olması beklenir. Bu nedenle sıklık ve üyelik değerleri
ilişkilidir.
Uygulamalarda elde edilen üyelik dereceleri Easyfit 5.5 paket programında incelenmiş
ve verilere en uygun fonksiyonlar belirlenmiştir. 61 sürekli veri dağılımından en iyi
sonuç hemen hemen her zaman Beta dağılımı ile elde edilmiştir. Şekil 4.4’de verilen
grafiğin çiziminde kullanılan verilerin dağılımının belirlenmesi için yapılan analizin
sonuçlarının bir kısmı çizelge 4.1’de gösterilmiştir.
76
Çizelge 4.1 Üretilen yapay bulanık sayılar için belirlenen fonksiyonlar
Uyum iyiliği – Özet
#
Dağılım
Kolmogorov
Smirnov
İstatistik
Sıra
1
Beta
0.03251
1
29
Kumaraswamy
0.03316
2
28
Johnson SB
0.04052
3
48
Power Function
0.04155
4
19
Gen. Extreme Value
0.04286
5
47
Pert
0.04751
6
6
Dagum (4P)
0.05453
7
3
Burr (4P)
0.05483
8
56
Weibull (3P)
0.05575
9
24
Gumbel Min
0.05584
10
Çizelge 4.1’de verilen sonuçlar incelendiğinde Kolmogorov Smirnov testine göre üyelik
derecelerine en uygun dağılım Beta dağılımdır. Üyelik fonksiyonu incelemelerinin 61
sürekli veri dağılım için tüm sonuçları Ek 2’de, fonksiyonların parametre tahminleri Ek
3’de verilmiştir.
Momentler yöntemi ile Beta dağılımının parametreleri tahmin edilmiştir. Beta
dağılımının momentler yöntemi kurallarına göre parametre tahminleri
αˆ = x
x (1 − x )
s2 −1
βˆ = (1 − x )
(4.21)
x (1 − x )
s2 −1
(4.22)
77
biçiminde bulunur.
İncelenen örneğe göre Eşitlik 4.21 ve 4.22 ile bulunan tahminler sırasıyla αˆ = 4,4117
ve βˆ = 1,0814 olarak hesaplanmıştır.
Şekil 4.5’de bu değerlere dayanılarak çizilmiş Beta dağılımının olasılık yoğunluk
fonksiyonu verilmiştir.
Şekil 4.5 Beta dağılımı olasılık yoğunluk fonksiyonu
4.4 Oran Yaklaşımının c Kalite Kontrol Grafiğine Uygulanması
Geliştirilen oran yaklaşımının uygulamasının bir örneğini detaylarıyla vermek amacıyla
yaklaşım c grafiğine alternatif olarak düzenlenmiştir. Aynı süreçten rasgele olarak
seçildiği varsayılan iki ayrı veri setinin bulanık c grafikleri çizilmiştir. Bu veri setleri
birinci örneklem ve ikinci örneklem olarak tanımlanmıştır. Birinci örneklemde sürecin
kontrol altında ikinci örneklemde ise sürecin kontrol altında olmadığı varsayılarak iki
farklı parametre ile Poisson dağılama uyan veriler üretilmiştir. Örnekte hesaplamaların
78
kolaylığı açısından her bir paketteki kusurlu sayısının yayılımları sabit ve doğrusal
üyelik fonksiyonu olan üçgensel sayılar ile ifade edildiği varsayılmıştır.
Birinci örneklem için parametresi 25 olan Poisson dağılımdan üretilen ve
bulanıklaştırılan verilerin içinden rasgele seçilen 30 üçgensel bulanık sayı çizelge 4.2’de
verilmiştir.
Çizelge 4.2 Birinci örneklem: α - kesme üçgensel bulanık sayılar
a iα
biα
ciα
a iα
biα
ciα
1
14,3000
18,0000
21,7000
16
18,3000
22,0000
25,7000
2
32,3000
36,0000
39,7000
17
39,3000
43,0000
46,7000
3
14,3000
18,0000
21,7000
18
38,3000
42,0000
45,7000
4
16,3000
20,0000
23,7000
19
27,3000
31,0000
34,7000
5
10,3000
14,0000
17,7000
20
19,3000
23,0000
26,7000
6
27,3000
31,0000
34,7000
21
16,3000
20,0000
23,7000
7
32,3000
36,0000
39,7000
22
21,3000
25,0000
28,7000
8
25,3000
29,0000
32,7000
23
10,3000
14,0000
17,7000
9
32,3000
36,0000
39,7000
24
33,3000
37,0000
40,7000
10
17,3000
21,0000
24,7000
25
38,3000
42,0000
45,7000
11
21,3000
25,0000
28,7000
26
12,3000
16,0000
19,7000
12
36,3000
40,0000
43,7000
27
18,3000
22,0000
25,7000
13
19,3000
23,0000
26,7000
28
19,3000
23,0000
26,7000
14
15,3000
19,0000
22,7000
29
33,3000
37,0000
40,7000
15
19,3000
23,0000
26,7000
30
37,3000
41,0000
44,7000
Çizelge 4.2’de bulanıklaştırma işleminde bulanık sayıların alt ve üst değerleri, sayıların
standart sapmasının, 1,85 katıyla sırasıyla çıkarılıp toplanarak elde edilmiştir.
Kesim 4.1’de detaylarıyla anlatılan oran yaklaşımı bulanık c grafiği çizebilmek
amacıyla düzenlenmiştir. Bulanık c kontrol grafiğinin α - kesme bulanık merkez çizgisi
79
ve α - kesme bulanık kontrol sınırları Eşitlik 4.18, 4.19 ve 4.20 kullanılarak
hesaplanmış ve çizelge 4.3 ve şekil 4.6 elde edilmiştir.
Çizelge 4.3 Bulanık kontrol sınırları ve α - kesme bulanık kontrol sınırları
a
b
c
~
AK L
0,11352
11,81548
23,97742
~
MÇ
18,31657
27,56667
36,81677
~
ÜKL
31,15592
43,31786
55,01981
aα
bα
cα
~
AKLα
7,13469
11,81548
16,68025
~
MÇα
23,86663
27,56667
31,26671
~
ÜKLα
38,45308
43,31786
47,99864
µ
1
α = 0,6
~
0 AKLa
~
AKLαa
~
AKLb
~ ~
AKLαc MÇa
~ ~
AKLc MÇb
~ α
MÇa
~
ÜKLa
~ α
MÇc
~
~
MÇc ÜKLαa
~
ÜKLb
~
ÜKLαc
~
ÜKLc
Şekil 4.6 Bulanık kontrol sınırları
Örneklemdeki değerler üçgensel sayılardan oluştuğu için bulanık kontrol sınırları da
üçgensel sayılar olarak bulunmuştur. Hesaplanan α - kesme bulanık kontrol sınırları
kullanılarak her bir sayının kontrol içinde olmasının üyelik derecesi belirlenmiştir. Bu
hesaplamalarda, bir sayının bulanık sınırların arasında olmasının öneminin bulanık
sınırların üzerinde olmasının öneminin iki katı olduğu varsayılmıştır. Bu varsayım ile
sürecin kontrol altında olduğu durumda bulanık sayıların bulanık grafikteki
80
konumlarının önemi ifade edilmiştir. Çizelge 4.4, çizelge 4.2’de verilen örneklemdeki
bulanık sayıların hesaplanan üyelik derecelerini göstermektedir.
Çizelge 4.4 Birinci örneklem ile hesaplanan üyelik dereceleri
µ
µ
µ
1
0,8392
11
1,0000
21
0,9743
2
0,9158
12
0,6455
22
1,0000
3
0,8392
13
1,0000
23
0,5689
4
0,9743
14
0,9068
24
0,8482
5
0,5689
15
1,0000
25
0,5104
6
1,0000
16
1,0000
26
0,7040
7
0,9158
17
0,5000
27
1,0000
8
1,0000
18
0,5104
28
1,0000
9
0,9158
19
1,0000
29
0,8482
10
1,0000
20
1,0000
30
0,5779
Çizelge 4.2’de verilen bulanık sayıların Eşitlik 4.3’de verilen üyelik fonksiyonu ile
üyelik dereceleri hesaplanmıştır. Çizelge 4.4’deki hesaplanan üyelik derecelerine göre
12 sayının kontrol sınırları arasında olduğu ve dolayısıyla üyelik derecelerinin 1 olduğu
belirlenmiştir. Geri kalan tüm bulanık sayılar α - kesme bulanık kontrol sınırları ile
çakışır. Dolayısıyla bu bulanık sayıların üyelik dereceleri 0 ve 1 arasında olarak
hesaplanmıştır. Şekil 4.7 Birinci örneklem ile belirlenen üyelik fonksiyonunu
göstermektedir.
81
Şekil 4.7 Birinci örneklem ile tahmin edilen Beta dağılımı olasılık yoğunluk fonksiyonu
Beta dağılımının parametre tahminleri Eşitlik 4.21 ve 4.22 kullanılarak sırasıyla
αˆ = 3,6974 ve βˆ = 1,1807 olarak hesaplanmıştır. İki tahmin de 1’den büyük olduğu için
dağılımın tek tepesi vardır. Beklenildiği gibi αˆ > βˆ dır ve dağılım sola çarpıktır.
Ayrıca, Beta dağılımı kullanılarak karar fonksiyonunun parametresi de tahmin edilmiş
ve λˆ = 0,2133 olarak hesaplanmıştır. Oran yaklaşımı karar fonksiyonu
kontrol altinda,
Süreç = 
kontrol disinda ,
0,2133 ≤ µ i ≤ 1
0 ≤ µ i ≤ 0,2133
(4.23)
biçiminde bulunur.
Son olarak, oran yaklaşımı ile hesaplanan üyelik dereceleri Eşitlik 4.23’deki aralıklar ile
karşılaştırılarak birinci örneklem ile verilen süreç tanımlanmış ve bulanık kontrol grafiği
çizilmiştir. Herhangi bir sayının üyelik derecesi 0 ve 0,2133 arasında bulunursa, sayı 3
σ (3 sigma) kontrol sınırlarının dışındadır. Çizelge 4.2’de verilen tüm sayıların
hesaplanan üyelik dereceleri λ̂ ’den büyüktür (Çizelge 4.3). Sonuç olarak, oran
yaklaşımı ile çizilen bulanık c grafiğine göre süreç kontrol altındadır.
82
Oran yaklaşımı, hesaplanan bulanık kontrol sınırları ve tahmin edilen karar fonksiyonu
kullanılarak yeni veri setine uygulanmıştır. İkinci veri seti, 27 parametre değeri ile
Poisson dağılımdan üretilmiştir. İkinci veri seti de üçgensel bulanık sayılardan
oluşmaktadır
ve
birinci
örneklem
ile
benzer
şekilde
sayılar
üretilmiş
ve
bulanıklaştırılmıştır. Üretilen sayılar standart sapmalarının iki katı çıkarılıp toplanarak
bulanıklaştırılmıştır. Elde edilen üçgensel bulanık sayılardan rasgele olarak seçilen 30
birimlik bir veri seti ikinci örneklem olarak adlandırılmıştır. Çizelge 4.5 ikinci
örneklemin α - kesme değerlerini göstermektedir.
Çizelge 4.5 İkinci örneklem: α - kesme üçgensel bulanık sayılar
a iα
biα
ciα
a iα
biα
ciα
1
18,8431
23,0000
27,1569
16
33,8431
38,0000
42,1569
2
10,8431
15,0000
19,1569
17
31,8431
36,0000
40,1569
3
24,8431
29,0000
33,1569
18
49,8431
54,0000
58,1569
4
23,8431
28,0000
32,1569
19
44,8431
49,0000
53,1569
5
7,8431
12,0000
16,1569
20
23,8431
28,0000
32,1569
6
22,8431
27,0000
31,1569
21
24,8431
29,0000
33,1569
7
14,8431
19,0000
23,1569
22
27,8431
32,0000
36,1569
8
18,8431
23,0000
27,1569
23
28,8431
33,0000
37,1569
9
21,8431
26,0000
30,1569
24
23,8431
28,0000
32,1569
10
19,8431
24,0000
28,1569
25
24,8431
29,0000
33,1569
11
20,8431
25,0000
29,1569
26
21,8431
26,0000
30,1569
12
6,8431
11,0000
15,1569
27
15,8431
20,0000
24,1569
13
27,8431
32,0000
36,1569
28
0,8431
5,0000
9,1569
14
32,8431
37,0000
41,1569
29
5,8431
10,0000
14,1569
15
23,8431
28,0000
32,1569
30
18,8431
23,0000
27,1569
İkinci örneklemin bulanık c kalite kontrol grafiğini çizmek için çizelge 4.5’de verilen
bulanık sayıların oran yaklaşımı üyelik fonksiyonu ile üyelik dereceleri hesaplanmıştır.
Çizelge 4.6 bu değerleri göstermektedir.
83
Çizelge 4.6 İkinci örneklem ile hesaplanan üyelik dereceleri
µ
µ
µ
1
1,0000
11
1,0000
21
1,0000
2
0,6540
12
0,4830
22
1,0000
3
1,0000
13
1,0000
23
1,0000
4
1,0000
14
0,8408
24
1,0000
5
0,5000
15
1,0000
25
1,0000
6
1,0000
16
0,7812
26
1,0000
7
0,8925
17
0,9004
27
0,9521
8
1,0000
18
0,0000
28
0,1253
9
1,0000
19
0,1929
29
0,4234
10
1,0000
20
1,0000
30
1,0000
Örnekte birinci örneklemin alındığı durumda sürecin kontrol altında olduğu
varsayılmıştı, bu örneklem ile tahmin edilen parametreler ve bulanık kontrol sınırları
kullanılarak ikinci veri seti için bulanık c grafiği çizilmiştir. Şekil 4.8 oran yaklaşımı ile
çizilmiş bulanık c kontrol grafiğini göstermektedir.
84
Şekil 4.8 Oran yaklaşımı ile oluşturulmuş bulanık c grafiği
Şekil 4.8’de verilen bulanık kontrol grafiğinde kesikli çizgilerle α - kesme bulanık üst
ve alt kontrol sınırları ve düz dik çizgilerle bulanık sayıların α - kesmeleri gösterilmiştir.
Ayrıca, λ̂ ’dan küçük üyelik dereceleri de bulanık c grafiğinde verilmiştir. Eşitlik
4.23’deki karar fonksiyonuna göre bu değer 0,2133 olarak hesaplanmıştır. Bulanık c
kontrol grafiğinde 18. 19. ve 28. numaralı bulanık sayıların kararları “süreç kontrol
dışındadır” dır. Şekil 4.8’den görüldüğü gibi 18. bulanık sayının α - kesmesi kontrol
sınırlarının dışındadır. Bu nedenle sayının kontrol içinde olma üyelik derecesi sıfırdır.
19. ve 28. bulanık sayıların üyelik dereceleri sırasıyla 0,1929 ve 0,1253 olarak
hesaplanmıştır. İki üyelik derecesi de karar fonksiyonun ikinci aralığındadır. Bu iki
bulanık sayının farkı: 19. sayı bulanık üst sınır ile çakışırken 28. bulanık sayı bulanık alt
sınır ile çakışır.
Kalite kontrol grafikleri süreç hakkında sadece “kontrol altındadır” ya da “kontrol
dışındadır” sonuçlarını vermez. Sürecin örüntüsünü de gösterir. Shewhart kontrol
85
grafiklere benzer şekilde oran yaklaşımı ile üretilmiş kontrol grafikleri de sürecin
rasgele bir örüntüsü olup olmadığı hakkında bilgi verir. Örnekte çizilmiş olan bulanık c
grafiği rasgele olmayan bir süreci ifade etmektedir. İlk 13 bulanık sayının α - kesmeleri
ya α - kesme bulanık merkez çizgiden küçük olduğu ya da bulanık merkez çizgi ile
çakıştığı görülür. Bu örüntü sürecin seviyesinin kaydığını gösterir. Ayrıca, 18 numaralı
bulanık sayıdan sonra azalan bir eğilim bütün süreci etkilemektedir.
4.5 Oran Yaklaşımının Avantajları
Kesim 4.1’de detaylarıyla anlatın yaklaşım çeşitli veri setleri ile yapılan uygulamarla
incelenmiştir. Oran yaklaşımı farklı bulanık kontrol grafiklerinin çizilmesi için
düzenlenmiş ve Kesim 1.2.2’de özetlenen literatürdeki önceki çalışmalar ile
karşılaştırılmıştır. Bu çalışmalarda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir.
•
Geliştirilen yaklaşımda, bulanık sayıların üyelik fonksiyonlarının ne şekilde olması
gerektiği belirlenmemiştir. Literatürdeki birçok çalışma üyelik fonksiyonlarının
doğrusal olduğu varsayımına dayanmaktadır. Bu yaklaşımda doğrusal olması şart
değildir. Oran yaklaşımı bulanık sayıların α - kesmesine ve sayının bulanık sınırlara
göre konumuna dayanır (Kesim 4.1). Dolayısıyla bulanık sayıların tipinin, oran
yaklaşımı ile bulanık grafiklerin çiziminde kısıtlayıcı bir etkisi yoktur.
•
Oran yaklaşımı dönüşüm yöntemi kullanılarak geliştirilmiş grafiklere göre daha
gerçekçi sonuçlar verir. Bunun nedeni herhangi bir dönüşüm yöntemi kullanılmadan
süreç tanımlandığı için veri kaybı önlenmiştir.
•
Üyelik fonksiyonu oranların ağırlıklı ortalaması ile elde edilmiştir. Sürece göre
ağırlıklar değiştirebilir.
•
Anlaşılması ve hesaplanması kolaydır.
86
•
Sürece ve uzman kararına göre karar fonksiyonu kolaylıkla değiştirilebilir. Önerilen
fonksiyonda, süreç hakkında iki karar bulunmaktadır. Kararların sayısı sürece bağlı
olarak arttırılabilir.
•
Yaklaşım esnektir ve tek varsayımı bulanık sayıların simetriden uzak olmadıklarıdır.
Bu nedenle yaklaşımın herhangi bir konuda önemli bir varsayımının olmadığı
düşünülebilir. Bu sayede farklı amaçlar için kolaylıkla değiştirilebilir.
•
Önerilen bulanık kontrol grafikleri oluşturma yaklaşımı sadece süreci tanımlamakla
kalmaz, üyelik değerleriyle sürecin kontrol içinde olmasının derecesini de verir. Süreç
üyelik dereceleri ile tanımlandığından, birçok kontrol grafiğine göre daha hassastır.
•
Küçük değişikliklerle hem sürekli rasgele değişkenler için hem de kesikli rasgele
değişkenler için kalite kontrol grafiklerine uygulanabilir.
•
Karar fonksiyonu 2 sınıftan oluşur. Bu sınıflara uyarı sınırları da eklenerek,
Shewhart kontrol grafiklerine ve literatürdeki birçok bulanık kontrol grafiklerine göre
daha hassas olması sağlanabilir.
•
Kalite kontrol grafiklerinde incelenen sadece değerlerin kontrol sınırlarının arasında
olup olmaması değildir. Kontrol grafiğindeki noktaların dağılımı da süreç hakkında
bilgi verir. Süreç ortalamasında kayma, eğilim, belirli bölgelerde yığılma ve döngüsel
örüntüler en sık rastlanan rasgele olmayan dağılımın işaretleridir. Oran yaklaşımı ile
çizilen grafikler sadece bulanık sayıların üyelik derecelerine dayanarak süreci
tanımlamaz. Çizilen grafik ile görsel olarak da süreci zamana göre takip etmek
mümkündür.
Oran yaklaşımının literatürdeki bulanık yaklaşımlara göre avantajlarını incelemek
amacıyla bir çalışma yapılmıştır. Bu çalışmada oran yaklaşımı bazı uygulamalarla
literatürdeki yaklaşımlarla karşılaştırılmıştır. Önceki çalışmaların varsayımları altında
oran yaklaşımı düzenlenmiş benzer veriler ile iki farklı yaklaşım ile oluşturulan bulanık
grafiklerin sonuçları irdelenmiştir. Yapılan uygulamalara örnek olarak Gülbay ve
Kahraman (2007)’ın bulanık c kontrol grafiği çizmek için önerdikleri doğrudan bulanık
87
yaklaşım irdelenmiştir. Gülbay ve Kahraman (2007)’ın çalışmasının geniş bir özeti
Kesim 1.2.3’de verilmiştir.
Oran yaklaşımı Gülbay ve Kahraman (2007)’ın çalışmasında varsayıldığı gibi doğrusal
üyelik fonksiyonu olan yamuksal bulanık sayılar için düzenlenmiştir. Farklı parametre
değerleri ile Poisson dağılıma uyan çok sayıda yamuksal bulanık sayılardan oluşan
yapay veri setleri ile çalışılmıştır. Doğrusal üyelik fonksiyonu olan yamuksal bulanık
sayıların oran yaklaşımı ve doğrudan bulanık yaklaşım ile bulanık c kontrol grafikleri
çizilmiştir. Yaklaşımlar C programlama dilinde kodlanmıştır ve iki yaklaşım ile en az
100 bulanık kontrol grafiği çizilmiştir. Çeşitli veri setlerinin dolayısıyla çeşitli bulanık
kontrol grafiklerinin incelenmesi sonucunda iki yaklaşım karşılaştırılmış şu sonuçlara
varılmıştır:
•
Doğrudan bulanık yaklaşım ile kıyaslandığında oran yaklaşım ile kontrol
grafiklerinin hesaplamaları oldukça kolaydır.
•
Oran yaklaşımı varsayımlar açısından doğrudan bulanık yaklaşıma göre daha
esnektir. Alan hesaplamaları temeline dayanan doğrudan bulanık yaklaşım, sayıların
yamuksal olduğu ve bu sayıların üyelik fonksiyonlarının doğrusal olduğunu varsayar.
Oran yaklaşımında bu varsayımlara gerek yoktur. Dolayısıyla doğrudan bulanık
yaklaşımının oran yaklaşımına göre çalışma alanı daha dardır.
•
Geliştirilen yaklaşımın doğrudan bulanık yaklaşıma göre daha hassas olduğu
belirlenmiştir. Bunun nedeni: doğrudan bulanık yaklaşım, sayının sınırlar içinde kalan
alanına dayanarak karar vermesidir. Fakat bir sayının bulanık merkez çizgiye ya da
bulanık sınırlara yakın olması aynı değildir. Oran yaklaşımında ağırlıklandırılmış
toplam ile belirtilen üyelik fonksiyonu ile bu fark yaratılmaya çalışılmıştır.
• Oran yaklaşımı ile sonuç doğrudan bulanık yaklaşımdan farklı olarak grafik ile ve
sayıların kontrol içinde olmalarının üyelik dereceleri ile de tanımlanmıştır.
88
4.6 Oran Yaklaşımı İle Oluşturulmuş Kalite Kontrol Grafiklerinde Uyarı Sınırları
Kalite kontrol grafiklerinde 2 σ (2 sigma) kontrol sınırları uyarı sınırları olarak
adlandırılır. Kesim 2.3.4’de kalite kontrol grafiklerinde uyarı sınırlarının tanımı, anlamı
ve hesaplamaları anlatılmıştır. Bu kesimde, oran yaklaşımı ile oluşturulmuş bulanık
kalite kontrol grafiklerinde uyarı sınırlarının hesaplanması üzerinde durulacaktır. Kesim
2.3.4’de tanımlanan kalite kontrol grafiklerinde uyarı sınırları bulanık kontrol
grafiklerine uyarlanacaktır.
Oran yaklaşımı ile oluşturulmuş bulanık kontrol grafiklerinde karar fonksiyonu iki karar
içerir (Eşitlik 4.7). Karar fonksiyonun parametresi λ’dır ve bu parametre 3 σ (3 sigma)
kontrol sınırları temel alınarak tahmin edilir (Kesim 4.1). Kesim 4.3’de, bulanık
sayıların kontrol içinde olmalarının üyelik derecelerinin olasılık yoğunluk fonksiyonu
Beta dağılımı olarak belirlendiği gösterilmişti. Karar fonksiyonun parametresi, süreç
kontrol altında olduğunda, 3 σ (3 sigma) kontrol sınırlarının olasılıkları ile tahmin
edilmişti. Oran yaklaşımı ile çizilmiş kontrol grafiklerinde uyarı sınırları bu
hesaplamalara benzer şekilde bulunur. Süreç kontrol altında iken Beta dağılımı ile
hesaplanan 2 σ (2 sigma) sınır değeri uyarı sınırı olarak adlandırılır ve λU ile gösterilir.
Normal dağılım varsayımı altında kalite kontrol grafiklerinde bir sayının uyarı sınırları
dışında olma olasılığı 0,0455’dir. Normal dağılım tablosundan okunan bu değer tip - I
hata olasılığıdır. Oran yaklaşımında, üyelik dereceleri 1’den ve 0’dan farklı olan bulanık
sayılar ile tahmin edilen Beta dağılımında bu olasılığa karşılık gelen değer λU
parametresinin tahmini olarak tanımlanır.
Bulanık kontrol grafiklerinde üyelik derecesi 3 σ (3 sigma) ve 2 σ (2 sigma) sınırları
arasında görülen bulanık sayılar Shewhart kontrol grafiklerine benzer şekilde
yorumlanır. Bu durumda herhangi bir sayının üyelik derecesi [λ U , λ ] aralığında
bulunursa sürecin kontrol dışına çıkabileceği anlamına gelir.
89
Kesim 4.4’de verilen oran yaklaşımı uygulaması uyarı sınırları ile tekrar incelenmiştir.
Çizelge 4.2’de gösterilen birinci örneklem ile süreç kontrol altında iken λ parametresi
tahmin edilmiş ve bu değer 0,2133 olarak bulunmuştu (Eşitlik 4.23). Benzer şekilde 2 σ
(2 sigma) olasılık değeri ile λU parametresi tahmin edildi ve uyarı sınırı, λ̂U = 0,4643
olarak hesaplandı. Şekil 4.9 birinci örneklem ile tahmin edilen Beta dağılımının olasılık
yoğunluk fonksiyonunu, λ̂ ve λ̂U tahminlerini göstermektedir.
Şekil 4.9 Kesim 4.4’de tahmin edilen Beta dağılımı olasılık yoğunluk fonksiyonunda
uyarı sınırı
Örnekte verilen bulanık sayılara ve hesaplanan değerlere göre eğer bir veya birden fazla
sayının üyelik derecesi [λ, λU ] = [0,2133, 0,4643] aralığında görülürse bulanık sayı
merkez çizgiden 2 σ (2 sigma) ile 3 σ (3 sigma) bulanık sınırları arasındadır.
Kesim 4.4’deki ikinci örneklem ile çizilen bulanık kontrol grafiği yorumlarına ek olarak,
Şekil 4.8’de 29 numaralı bulanık sayının uyarı sınırının dışında olduğu görülmektedir.
Başka bir değişle, 29 numaralı bulanık sayı çizelge 4.6’da verilen, 0,4234 üyelik
derecesi ile 2 σ (2 sigma) ve 3 σ (3 sigma) bulanık sınırlarının arasındadır.
90
4.7 Oran Yaklaşımı İle Oluşturulmuş Kalite Kontrol Grafiklerinde Performans
Ölçüleri
Kalite kontrol grafiklerini karşılaştırmanın en önemli yolu grafiklerin performans
ölçülerinin hesaplanmasıdır. Kesim 2.3.5’de kontrol grafiklerinin performans ölçüsü
olarak ortalama koşum uzunluğu, ARL, hesaplamalarına değinilmiştir.
Çalışmanın bu kesiminde oran yaklaşımı ile oluşturulmuş bulanık kontrol grafiklerinin
performansı belirlenen senaryo altında incelenecektir. Bulanık kontrol grafiklerinin
performanslarının Shewhart grafiklerinin performansları ile ortalama koşum uzunluğu
istatistikleri hesaplanarak karşılaştırılacaktır.
Bu kesimde yapılan çalışmalarda, oran yaklaşımı, bulanık c kalite kontrol grafiği
çizebilmek için düzenlenmiş ve bulanık grafiklerin ortalama koşum uzunlukları
hesaplanmıştır. Shewhart kalite kontrol grafiklerinin ortalama koşum uzunlukları
değerleri ile karşılaştırılmasında iki durum göz önüne alınmıştır. Sürecin kontrol altında
olduğu durumda ve kontrol altında olmadığı durumda grafiklerin ARL değerleri
hesaplanmıştır. Belirlenen bir üretim senaryosu altında sürecin kontrol altında olduğu
varsayılan durumda bulanık kontrol sınırları hesaplanmış, karar fonksiyonu belirlenmiş
ve bulanık c kontrol grafiği çizilmiştir. Bulanık grafiklerin ARL değerleri hesaplanarak
Shewhart c kalite kontrol grafiğinin ARL değerleri ile karşılaştırılmıştır. İkinci olarak
hesaplanan bulanık kontrol sınırları, ve karar fonksiyonu kullanılarak sürecin kontrol
altında olmadığı durumlarda bulanık c kontrol grafikleri çizilerek ARL değerleri
hesaplanmış ve grafiklerin performansları karşılaştırılmıştır.
LED (light emitting diode) ampullerinin üretiminin bulanık c kontrol grafiği ile
incelendiği varsayılmıştır.
LED ampuller günümüzde oldukça çok tercih edilen bir aydınlatma aracıdır. LED
kelimesi, “ışık yayan diyot” anlamındadır. İçerisindeki yarı iletken maddeye bağlı
olarak farklı renkte ışık yayabilirler. Geleneksel ve floresan lambalara göre ömürleri
91
daha uzundur, enerji tasarrufu sağlar, çevre dostudur ve maliyeti oldukça düşüktür. Bu
nedenle trafik ışıklarından otomobil farlarına kadar birçok alanda tercih edilirler.
Denemelerde LED ampullerinin boyutlarının küçük ve üretimlerinin kolay olması
nedeniyle 100’lük gruplar halinde üretildikleri varsayılmıştır. Kusur olarak tanımlanan
özellikleri ise ampullerin çalışması fakat ampulün üzerinde leke olması olarak
belirlenmiştir.
LED üretiminde ortalaması 9,5 olan Poisson dağılan veriler ile tanımlanan sürecin
kontrol altında olduğu varsayılmıştır. Ortalama kusur sayısının 9,5 kabul edilmesinin
sebebi, Shewhart c kontrol grafiğinin alt sınırının pozitif bir değer olması sağlayan en
küçük ortalama kusur sayısı olmasıdır. Uzmanlardan elde edilecek bulanık sayılar
yerine yapay olarak Poisson dağılımdan üretilen sayıların bulanıklaştırılması ile bulanık
sayılar oluşturulmuştur. Minitab 13 programında ortalama kusur sayısı 9,5 olan Poisson
dağılıma uyan rasgele veriler üretilmiştir. Hesaplamaların kolay olması nedeni ile bu
kesimdeki uygulamalarda oluşturulan bulanık sayıların doğrusal üyelik fonksiyonu olan
üçgensel sayılar olduğu varsayılmıştır. Bulanıklaştırma işlemi gerçek sayılardan
sayıların standart sapmasının açıklık katsayısı, k, katı çıkarılıp toplanarak elde edilmiştir.
Örneğin Poisson dağılımdan üretilen yapay bir veri setinin standart sapması s1 olsun. Bu
durumda gerçek sayıların, (a, b, c ) biçiminde gösterilen üçgensel bulanık sayılar olarak
bulanıklaştırılmaları
(a = b - k s1, b, c = b + ks1 )
(4.24)
biçiminde olur. Burada k, k > 0 olacak şekilde açıklık katsayısı olarak tanımlanan bir
değerdir.
Açıklık katsayısı, gerçek sayıları bulanık sayılara çevirme işleminde kullanılmıştır.
Oran yaklaşımı karar fonksiyonun λ parametresinin tahmin edilmesinde ve bulanık
kontrol sınırlarının hesaplanmasında bu bulanık sayılar ve varsayımlar kullanılmıştır.
92
Süreç kontrol altındayken bulanık kontrol sınırlarının ve λ parametresinin tahmin
edilmesi için bir çalışma yapılmıştır. Öncelikle sürecin kontrol altında olduğu durumda,
ortalama kusur sayısı 9,5 ile Poisson dağılan 1.996.080 rasgele sayı üretilmiş ve bu
sayılar
bulanıklaştırılmıştır.
Gerçek
sayılar
açıklık
katsayısı
kullanılarak
bulanıklaştırılmıştır. Bu işlemde bulanık sayıların açıklık katsayısının, k, süreç kontrol
altında olduğunda 1,5 değerini aldığı varsayılmıştır. Oran yaklaşımı ile bulanık c
kontrol grafiği çizebilmek için C programlama dilinde bir kod yazılmış ve yaklaşım
varsayımlar altında bulanık c grafiği için düzenlenmiştir. Daha sonra, 65.536 bulanık c
kontrol grafiğinin bulanık kontrol sınırları hesaplanmış ve bulanık grafikler çizilmiştir.
Elde edilen bulanık kontrol sınırlarının ortalaması hesaplanmıştır. Çizelge 4.7 bulanık c
grafiklerinin kontrol sınırlarının ortalamalarını göstermektedir.
Çizelge 4.7 Bulanık kontrol sınırları ve merkez çizgi
a
b
c
~
AK L
a
0,00000
0,00502
7,14845
~
MÇ
4,50167
9,00167
13,50167
~
ÜKL
10,85490
17,99833
2452279
a
α
α
b
cα
~
AKLα
0,00000
0,00502
2,86239
~
MÇα
7,20167
9,00167
10,80167
~
ÜKLα
15,14096
17,99833
20,60811
Sürecin kontrol altında olduğu varsayılan durumda üretilen 1.966.080 bulanık sayıların
oran yaklaşımı ile kontrol içinde olma üyelik dereceleri de hesaplanmıştır. Bu değerlerin
bir kısmı Ek 4’de verilmiştir. Üyelik dereceleri ve Eşitlik 4.21 ve 4.22 ile Beta
dağılımının parametreleri tahmin edilmiş ve αˆ = 4,93736 ve βˆ = 1,08071 olarak
bulunmuştur. λ parametresinin tahmini ise 0,43743 olarak hesaplanmış ve bulanık c
grafiğinin karar fonksiyonu
93
0,43743 ≤ µ i ≤ 1
kontrol altinda,
Süreç = 
kontrol disinda ,
(4.25)
0 ≤ µ i ≤ 0,43743
biçiminde tanımlanmıştır.
LED üretim sürecin kontrol altında olduğu varsayılan durumda bulanık c kontrol
grafiklerinin çiziminden sonra sürecinin kontrol altında olmadığı durumlar için bulanık
c kontrol grafikleri çizilmiştir. Çeşitli ortalama kusur sayıları ve açıklık katsayıları ile
yapay sayılar üretilmiş ve bu sayılara dayanarak bulanık c kontrol grafikleri çizilerek
ortalama koşum uzunlukları hesaplanmıştır.
Çizelge 4.8’de LED üretim sürecinin kontrol altında olduğu ve kontrol altında olmadığı
durumlar için bulanık c kontrol grafiğinin ve Shewhart c kontrol grafiğinin ortalama
koşum uzunlukları verilmiştir.
Çizelge 4.8 Farklı parametre ve açıklık katsayısı değerleri ile hesaplanmış ortalama
koşum uzunlukları
ARL
(Shewhart
grafiği)
1,5
1,75
2,00
2,50
3
9,5
227,27273
509,95049
(ARL0)
(ARL0)
233,50793
233,50643
233,49816
233,48061
10
138,88889
139,19309
139,18796
139,18678
139,18197
139,18182
11
56,49718
56,52033
56,51488
56,50964
56,50461
56,50309
12
26,73797
26,72416
26,72037
26,71962
26,71662
26,71633
13
14,32665
14,31123
14,30571
14,30549
14,30531
14,29804
14
8,51789
8,50803
8,50670
8,50663
8,50297
8,50230
15
5,54017
5,53716
5,53527
5,53499
5,53181
5,52813
16
3,88048
3,87710
3,87694
3,87693
3,87863
3,87446
17
2,89855
2,89629
2,89585
2,89563
2,89434
2,89362
18
2,28414
2,28360
2,28326
2,28288
2,28254
2,28228
c
k
94
Çizelge 4.7’de verilen bulanık kontrol sınırları ve λ parametre tahmini kullanılarak C
programlama dilinde kodlanan oran yaklaşımı ile koşum uzunlukları hesaplanarak
ortalamaları bulunmuştur. Shewhart c grafiğinin ortalama koşum uzunlukları da
hesaplanarak iki grafik karşılaştırılmıştır.
Çizelge 4.8’de ilk sütun ortalama kusur sayılarını göstermektedir. Karşılaştırma
yapılabilmesi için Shewhart’ın c kontrol grafiğinin ortalama koşum uzunlukları da
hesaplanmış ve bu değerler çizelge 4.8.’de ikinci sütunda verilmiştir. Üçüncü ve diğer
sütunlarda bulanık c kalite kontrol grafiğinin ortalama koşum uzunlukları ortalamaları
verilmiştir.
Ortalama kusur sayısının 9,5 olduğu durumda süreç kontrol altında olduğu
varsayılmıştır ve bu durumda hesaplanan ortalama koşum uzunluğu ARL0 dır. Diğer
tüm durumlarda ortalama koşum uzunluğu, ARL1 dır.
Shewhart kalite kontrol grafiğinin ARL hesaplamaları:
c kalite kontrol grafiğinde tip - I hata olasılığı:
α = P{X < AKL / c}+ P{X > ÜKL / c}
(4.26)
ve tip - II hata olasılığı:
β = P{AKL < X < ÜKL / c} = P{X < ÜKL / c}− P{X ≤ AKL / c}
(4.27)
formülleri ile bulunur. Burada c doğru kusur sayısı ortalamasıdır.
c kontrol grafiğinde farklı kusur sayısı ortalamaları için ortalama koşum uzunluğunun
hesaplanabilmesi için öncelikle üst ve alt kontrol sınırları bulunmalıdır. Led üretiminde
95
ortalama kusur sayısının 9,5 olduğu varsayılmıştır. Bu durumda, Shewhart kontrol
sınırları
ÜKL = c + 3 c = 9,5 + 3 9,5 = 18,74662
(4.28)
AKL = c − 3 c = 9,5 − 3 9,5 = 0,25338
(4.29)
biçiminde hesaplanır.
Kontrol sınırları ve ortalama kusur sayısı göz önüne alındığında tip - I hata olasılığı
α = P{X < 0,25338 / c = 9,5}+ P{X > 18,74662 / c = 9,5}
= 0,0001 + 0,0043 = 0,0044
(4.30)
olarak bulunur. Ortalama koşum uzunluğu ise ARL0 = 1 / 0,0044 = 227,27273’dür. Bu
değer çizelge 4.8’de ikinci sütunun ilk hücresinde verilmiştir.
c değeri 10 olduğunda tip - II hata olasılığı
β = P{0,25338 < X < 18,74662 / c = 10}
= P{X < 18,74662 / c = 10}− P{X ≤ 0,25338 / c = 10} = 0,9928 − 0,0000 = 0,9928
(4.31)
şeklinde bulunur. Bu durumda ARL1 = 1 / (1 - 0,9928) = 138,88889 olur. c kontrol
grafiği için hesaplanan diğer tip - II hata olasılıkları benzer şekilde bulunmuş ve ARL1
değerleri çizelge 4.8’de ikinci sütunda gösterilmiştir.
Bulanık c kalite kontrol grafiğinin ARL hesaplamaları:
96
Çizelge 4.8’in üçüncü ve diğer sütunları oran yaklaşımı ile çizilmiş bulanık c grafiğinin
çeşitli açıklık katsayısı ve ortalama kusur sayıları ile hesaplanan ortalama koşum
uzunluğu değerlerini göstermektedir.
Çizelge 4.8’de verilen her bir ortalama ARL değerinin hesaplanmasında ortalama kusur
sayıları, c, ile Poisson dağılımına uyan en az 45.000.000 sayı üretilmiş ve k ∈ [1,5, 3]
olacak şekilde açıklık katsayıları göz önüne alınarak sayılar bulanıklaştırılmıştır.
Gösterilen tüm c ve k ikilileri için bulanık c grafikleri çizilmiş ve bu grafiklerin koşum
uzunlukları hesaplanmıştır.
Çizelge 4.8’de üçüncü sütunun ilk hücresi parametre değeri, c = 9,5 ve açıklık katsayısı,
k = 1,5 olan sayılar ile hesaplanmıştır. Senaryo belirlenirken ortalama kusur sayısı 9,5
ve açıklık katsayısı 1,5 olan süreçlerin kontrol altında olduğu varsayılmıştı. Bu ikili için
hesaplanan ortalama koşum uzunluğu, 509,95049, bulanık c kontrol grafiğinin ARL0
değeridir. Üçüncü ve diğer sütunlardaki ortalama koşum uzunlukları ARL1 dır. ARL0
değerinin mümkün olduğunca yüksek ARL1 değerinin ise düşük olması istenir. Bu
istenilen durumun ne derece sağlandığı oran yaklaşımı ile oluşturulmuş bulanık c kalite
kontrol grafiğinin performansının ne derece iyi olduğunun göstergesidir.
Varsayımlar altında süreç kontrol altında iken hesaplanan ortalama koşum uzunluğu
ARL0 = 509,95049 olarak bulunmuştur. Bu değer çizelge 4.8’de koyu olarak
gösterilmiştir. İstenildiği gibi bu değer grafiğin performansı açısından incelendiğinde
yeterince büyüktür. Shewhart’ın c kontrol grafiği performansı ile karşılaştırıldığında
oran yaklaşımı ile çizilmiş bulanık c grafiğinin ortalama koşum uzunluğunun daha
büyük olduğu görülür.
Bulanık c kontrol grafiğinde süreci tanımlayan bulanık sayıların ortalama kusur sayısı
arttıkça sürecin kontrol dışında olma olasılığının artması ve ortalama koşum
uzunluğunun azalması beklenir. Beklenildiği gibi bulanık c grafiğinin tüm açıklık
katsayısı değerleri için ortalama arttıkça ARL1 küçülmektedir.
97
Açıklık katsayısı arttıkça üretilen bulanık sayıların kendi içindeki yayılımları da artar.
Bulanık sayıların kendi içindeki yayılım arttıkça daha çok sayı sürecin kontrol dışında
olduğu sinyalini verir ve ortalama koşum uzunluğu azalır (Çizelge 4.8). Başka bir
deyişle, bulanık sayıları oluşturmada kullanılan açıklık katsayısı arttıkça sürecin kontrol
altında olmadığı durumlar için hesaplanmış ortalama koşum uzunluğu değerleri hemen
hemen tüm durumlarda azalır. Çizelge 4.8’de k arttıkça ARL1 değerleri tüm ortalama
kusur sayıları için azalmaktadır.
Bulanık grafiğin ortalama koşum değerlerinin değişimi, Shewhart’ın c grafiği için
hesaplanan ARL değerleri ile karşılaştırılmıştır. Bu karşılaştırma önerilen bulanık
grafiğin performansının c grafiğinin performansına göre nasıl olduğunu ifade eder. Tüm
k değerleri için ortalama kusur sayısı arttıkça bulanık grafik Shewhart kontrol grafiği ile
hemen hemen aynı sonuçları verir (Çizelge 4.8). 10 ve 11 ortalama kusur sayıları için
çok az farkla Shewhart kontrol grafiğinin daha iyi sonuçlar verdiği söylenebilir. Örneğin
11 ortalama kusur sayısı ve 2 açıklık katsayısı ile oluşturulmuş bulanık sayıların,
bulanık kontrol grafiğinin ARL değeri 56,50964 olarak hesaplanmıştır. Bu değere
karşılık gelen Shewhart grafiğinin ARL değeri ise 56,49718 dır. Ortalama kusur sayısı
11’den büyük olduğunda ise bulanık c grafiğinin ARL değerleri, Shewhart grafiği ile
hesaplanan ARL değerlerinden küçüktür. Bulanık c grafiğinin performansının daha iyi
olduğunu gösteren bu durum parametrik olmayan İşaret Testi ile gösterilmiştir. Açıklık
katsayısı 2 olarak alınan bulanık sayılar ile çizilmiş bulanık c grafiği, Shewhart grafiği
karşılaştırılmıştır. Ortalama kusur sayısı 11’den büyük olduğu durumda Shewhart
grafiği ile hesaplanan ARL değerlerinin bulanık c grafiğinin ARL değerlerinden
istatistiksel olarak anlamlı bir farkla büyük olup olmadığı incelenmiştir. Yapılan
analizin sonuçları çizelge 4.9’da verilmiştir.
98
Çizelge 4.9 ARL değerlerinin İşaret Testi ile karşılaştırılması
Ortanca için İşaret Testi:
ARL(Shewhart grafiği) - ARL (Bulanık grafik)
Ortancanın işaret testi =
0,00000 karşı > 0,00000
N
ARL(Shewhart G.)-ARL(Bulanık G.k=2)7
aşağıda Eşit Üstünde
P
0
0
7 0,0078
Ortanca
0,00500
Çizelge 4.8’de Shewhart grafiğinin ARL değerlerinin verildiği ikinci sütunun ve açıklık
katsayısı 2 ile çizilen bulanık c grafiklerinin ARL değerlerinin gösterildiği beşinci
sütunun (kusur sayısı 11’den büyük olan durumlarda), farkları ortanca için İşaret Testi
ile karşılaştırılmıştır. Çizelge 4.9’da verilen analizin sonucunda P değeri 0,0078 olarak
hesaplanmıştır. α = 0,005 anlamlılık seviyesinde ARL değerlerinin farkının istatistiksel
olarak anlamlı olduğu bulunmuştur. Analizde kullanılan verilerin şartları altında bulanık
c grafiğinin performansının Shewhart grafiğinin performansından daha iyi olduğu
istatistiksel olarak gösterilmiştir.
Çizelge 4.8 şu şekilde özetlenebilir: Varsayımlar altında süreç kontrol altında olduğu
zaman oran yaklaşımı ile oluşturulmuş kontrol grafiği, Shewhart’ın c grafiğinden daha
iyi sonuç vermiştir. Süreç kontrol altında olmadığı zaman ise bulanık c grafiği, yaklaşık
olarak Shewhart c kontrol grafiği kadar iyi bir performans göstermiştir. Sonuç olarak,
Shewhart grafiğinin ve bulanık c grafiğinin ARL1 değerlerinin hemen hemen aynı
olduğu varsayılırsa, bulanık c kontrol grafiğinde ARL0 değerinin, Shewhart’ın c kontrol
grafiğinin ARL0 değerinden büyük olmasından dolayı, bulanık kontrol grafiğin
Shewhart’ın c grafiğinden daha iyi sonuç verdiği söylenebilir.
Çizelge 4.8’deki tüm değerler en az 1.329.138 koşum uzunluğunun ortalamasıdır.
Ortalama koşum uzunlukları bulunurken her ARL değeri için kaç koşum uzunluğunun
hesaplandığı çizelge 4.10’de verilmiştir.
99
Çizelge 4.10 Farklı parametre ve açıklık katsayısı değerleri ile hesaplanmış koşum
uzunlukları sayıları
k
c
1,50
1,75
2,00
2,50
3,00
9,5
2.287.469
4.832.353
4.832.374
4.832.586
4.832.869
10
1.945.122
2.139.664
1.945.110
1.945.143
1.945.021
11
2.072.926
2.072.899
2.073.704
2.073.746
2.073.701
12
3.407.894
3.408.203
3.407.775
3.407.817
3.408.463
13
1.329.524
1.329.791
1.329.143
1.329.368
1.329.198
14
1.464.730
1.464.702
1.464.612
1.464.709
1.464.764
15
1.496.153
1.496.227
1.496.166
1.496.219
1.496.335
16
1.499.790
1.499.790
1.499.803
1.499.792
1.499.784
17
1.499.997
1.499.993
1.499.992
1.499.997
1.499.993
18
1.500.000
1.500.000
1.500.000
1.500.000
1.500.000
Çizelge 4.10’deki koşum uzunlukları sayıları karar verici tarafından belirlenmiştir.
ARL değerleri hesaplanırken üretilen bulanık sayıların kontrol içinde olma üyelik
derecelerinin ortalamaları da hesaplanmıştır. Bu üyelik dereceleri çizelge 4.11’de
verilmiştir.
100
Çizelge 4.11 Farklı parametre ve açıklık katsayısı değerleri ile hesaplanmış bulanık
sayıların üyelik derecelerinin ortalamaları
k
c
1,50
1,75
2,00
2,50
3,00
9,5
0,96808
0,96679
0,96267
0,95647
0,94676
10
0,95964
0,95778
0,95379
0,94755
0,93734
11
0,93376
0,93079
0,92691
0,91924
0,90940
12
0,89582
0,89189
0,88797
0,87960
0,86975
13
0,84624
0,84211
0,83810
0,82995
0,81965
14
0,78628
0,78284
0,77929
0,77128
0,76216
15
0,71904
0,71603
0,71360
0,706282
0,69903
16
0,64679
0,64426
0,64295
0,63762
0,63191
17
0,57236
0,57042
0,57012
0,56722
0,56380
18
0,49822
0,49723
0,49749
0,49723
0,49659
Çizelge 4.11’deki değerler çizelge 4.10’de verilen koşum uzunlukları sayıları elde
edilene kadar üretilen bulanık sayıların üyelik derecelerinin ortalamalarıdır. Başka bir
değişle çizelge 4.11 en az 45.000.000 bulanık sayının ortalaması ile hesaplanmıştır.
Süreç kontrol altında olduğu zaman ortalama üyelik derecelerinin 1’e oldukça yakın
olması beklenir. Çizelge 4.11’da bu değer 0,96808 olarak hesaplanmıştır. Ortalama
kusur sayısı arttıkça bulanık sayılar ortalamadan kayar ve aynı zamanda bulanık
sayıların birbirleri arasındaki yayılım da artar. Bunun sonucunda ortalama kontrol içi
olmanın üyeliği belirgin bir şekilde azalır. Bu düşüş tüm k değerleri için geçerlidir.
101
5. BULANIK KALİTE KONTROL GRAFİKLERİNDE KONTROL DIŞI
DURUMLAR
Kontrol grafiğindeki rasgele olmayan bir örüntü sürecin kontrol altında olmadığına
işaret eder. Bu rasgele olmayan durumlar literatürde, sürece ve karar vericilere bağlı
olarak bir dizi kurallar ile tanımlanmıştır. Kesim 2.3.3’de bu kurallara değinilmiştir. Bu
bölümde, oran yaklaşımı ile çizilmiş bulanık kontrol grafikleri için kurallar
tanımlanarak bulanık grafiklerin kontrol dışı durumları açıklanmaya çalışılacak ve
bulanık kuralların kontrol grafiklerindeki etkileri incelenecektir.
5.1 Bulanık Kalite Kontrol Grafiklerinde Bulanık Kurallar
Bir sürecin kontrol altında olması için bulanık sayıların kontrol sınırlarının arasında ya
da üzerinde rasgele dağılmış olması beklenir. Kalite kontrol grafiklerinde olduğu gibi
rasgele olmayan örüntüler bir dizi kural ile bulanık kontrol grafiklerine uyarlanabilir.
Bulanık mantık ile kalite kontrol grafiği çizmek, sürecin birçok boyutunu da incelemeyi
gerektirir. Bu durum geliştirilen bulanık kontrol grafiğinde kontrol dışı durumlar için
tanımlanan kuralların önemini arttırır. Kalite kontrol grafiklerinde bu kuralların
kullanımı yanlış alarm oranını etkiler ve dolayısıyla karar vericinin tercihine bağlıdır.
Geliştirilen bulanık kontrol grafiğinde ise yaklaşımdan ve bulanık verilerden
kaynaklanan bazı olumsuz etkileri en aza indirebilmek ya da ortadan kaldırabilmek için
bazı kontrol dışı kuralların sayıların üyelik dereceleri hesaplanmadan incelenmesi
önerilmektedir.
Her bir kuralın belirttiği durum ve bu durumun önemi farklıdır. Bu nedenle çalışmada,
kuralların önemleri karar vericiler tarafından farklı üyelik dereceleri atanarak
belirlenebilir. Kurallar için ayrı ayrı üyelik derecesi belirlemek yanlış alarm oranını da
etkiler. Çok sayıda durum / kural dikkate alınsa da üyelik fonksiyonları ile önemi
belirlenen kuralların bu oranın düşmesine / yükselmemesine sebep olması beklenir.
Ayrıca, kalite kontrol grafiklerinde olduğu gibi doğal olmayan örüntüleri belirten
kuralların bulanık grafiklerde kullanılması karar vericinin tercihine bağlıdır.
102
Zaman zaman süreçteki normal olmayan durumlar tek bir bulanık sayıdan ya da sayının
diğer sayılara göre farklı olan özelliklerinden kaynaklanabilir. Başka bir değişle kontrol
dışı durumlar bir bulanık sayının konumundan, yayılımından veya simetrisinden
kaynaklanabilir. Bu sebeple bulanık sayıların bu özellikleri her bir sayı için ayrı ayrı
hesaplanıp kurallar ile incelenmelidir.
Bir bulanık sayının alt ve üst kontrol grafiklerine göre yeri herhangi bir dönüşüm
yöntemi ya da merkezi eğilim ölçüleri kullanılarak bulunabilir. Dönüşüm yöntemleri
bulanık sayıların gerçek sayılara dönüştürülme işlemidir. En çok kullanılan yöntemler
maksimum üyelik derecesi (tepe değeri), ağırlık merkezi, ağırlıklı ortalama, açıklık
ortası ve ortanca yöntemleridir. Bulanık sayıların yayılımı da süreç incelenirken dikkate
alınmalıdır. İstatistikte en çok kullanılan yayılım ölçüleri genişlik, standart sapma ve
varyanstır. Bulanık sürekli rasgele değişkenler için kalite kontrol grafiklerinde bulanık
sayıların yayılımlarının da süreci tanımlarken dikkate alınması gerekir. Rasgele bulanık
sayılarda iki farklı yayılım ölçüsü tanımlanır. Bunlar bulanık sayıların birbirleri
arasındaki yayılım ve her bir bulanık sayının kendi içindeki yayılım ölçüleridir.
Bu kesimde, oran yaklaşımı ile oluşturulmuş bulanık kalite kontrol grafikleri için
önerilen bulanık kurallar açıklanacaktır. Bu bulanık kuralların bir kısmı Kesim 2.3.3’de
anlatılan literatürde kabul görmüş ve uygulamalarda en çok kullanılan kuralların bulanık
kontrol grafiklerine uyarlanması ile elde edilmiştir, bir kısmı ise yalnızca tanımlanan
bulanık grafiklerde geçerli olabilecek kurallardır.
KURAL 1:
Bulanık sayı alt ve üst kontrol sınırlarının dışında ise süreç kontrol altında değildir ve
sayının kontrol dışı olmasının üyeliği birdir. Üçgensel bulanık sayılar için bu durum
bulanık sayının alt sınırının üst kontrol sınırının dışında olması veya bulanık sayının üst
sınırının alt kontrol sınırından küçük olması olarak ifade edilir.
103
Bu kural Cheng (2003) tarafında da ele alınmıştır. Alt / üst kontrol sınırının modu,
sayının α - kesmesi tarafından kapsanmıyorsa ve sayının modu alt sınırın modundan
küçük / büyük ise süreç kontrol altında değildir ya da kontrol dışı olmanın üyeliği birdir.
İki ifadenin farkı bulanık sayı ve sınırların çakıştığı durumlarda ortaya çıkar. İkinci
ifadede bulanık sayı ve sınır çakışsa da modun değerine göre sonuç belirlendiğinden
birinciye kıyasla daha çok bulanık sayı kurala uyar ve süreç kontrol dışı olarak
tanımlanır.
KURAL 2:
Sayı bulanık sınırları kapsıyorsa süreç kontrol altında değildir. Bu kuralın sağlanması
sayının değişkenliğinin büyük olması anlamına gelir. Bazı süreçlerde kural daraltılabilir:
Bulanık sayının α - kesme genişliği sınırların α - kesme genişliğinin belli bir katından
büyük ise süreç kontrol altında değildir. Şekil 5.1’de yayılımı büyük doğrusal üyelik
fonksiyonuna sahip bir üçgensel bir bulanık sayı gösterilmiştir.
α
Şekil 5.1 Kural 2: Üçgensel bulanık sayı ve bulanık sınırlar
Şekil 5.1’de bir üçgensel bulanık sayı ve bulanık sınırlar verilmiştir. Bulanık kontrol
sınırları kesikli çizgilerle ve bulanık sayı düz çizgi ile sınırları kapsayacak şekilde
gösterilmiştir. Üçgensel bulanık sayının α - kesmesi, α - kesme bulanık sınırları
kapsamaktadır.
104
KURAL 3:
Arka arkaya gelen üç bulanık sayının ikisinin α - kesmesinin 2 standart sapma bulanık
kontrol sınırlarının α - kesmesinin dışında ve aynı tarafta olması sürecin kontrol dışında
olduğunu gösterir.
KURAL 4:
Arka arkaya gelen beş bulanık sayının dördünün α - kesmesinin 1 standart sapma
bulanık kontrol sınırlarının α - kesmesinin dışında ve aynı tarafta olması sürecin kontrol
altında olmadığının işaretidir.
KURAL 5:
Arka arkaya gelen sekiz bulanık sayının α - kesmelerinin bulanık merkez çizginin α kesmesinin tek bir tarafında olması kontrol dışı bir durumu ifade eder. Şekil 5.2
doğrusal üyelik fonksiyonu olan üçgensel sayılarla çizilmiş bulanık grafiğin bir kısmı
gösterilmiştir.
Şekil 5.2 Kural 5: Bulanık merkez çizginin tek bir tarafında olan üçgensel bulanık
sayılar
Şekil 5.2.’de beş üçgensel bulanık sayı, kesikli çizgiler ile gösterilmiş bulanık merkez
çizginin tek bir tarafındadır. Dolayısıyla bulanık sayılar Kural 5’i sağlamaktadır.
105
KURAL 6:
Arka arkaya gelen altı bulanık sayının düzenli olarak artması ya da azalması süreçte
eğilim olduğunu gösterir. Şekil 5.3’de kurala sağlayan bulanık sayılardan oluşan bir
bulanık kontrol grafiği verilmiştir.
Şekil 5.3 Kural 6: Düzenli olarak küçülen üçgensel bulanık sayılar
Şekil 5.3’de verilen bulanık kontrol grafiğinde altı üçgensel bulanık sayı bir önceki
sayıya göre sürekli olarak artmaktadır.
KURAL 7:
Arka arkaya gelen onbeş bulanık sayının α - kesmelerinin 1 standart sapma bulanık
kontrol sınırlarının α - kesmelerinin arasında olması sürecin kontrol altında olmadığını
gösterir.
KURAL 8:
Arka arkaya gelen ondört bulanık sayının bir önceki sayıya göre bir artması ve bir
azalması sürecin kontrol altında olmadığı anlamına gelir. Şekil 5.4’de artan ve azalan
beş üçgensel bulanık sayı gösterilmiştir.
106
Şekil 5.4 Kural 8: Düzenli olarak artan ve azalan üçgensel bulanık sayılar
KURAL 9:
Arka arkaya gelen sekiz bulanık sayının α - kesmelerinin 1 standart sapma bulanık
kontrol sınırların α - kesmelerinin dışında olması sürecin kontrol dışında olduğunu
gösterir.
KURAL 10:
Arka arkaya gelen bulanık sayıların α - kesmelerinin merkez çizginin α - kesmesinin
düzenli olarak bir altında bir üzerinde olması rasgele olmayan bir süreci ifade eder. Bu
kuralı sağlayan üçgensel bulanık sayılar Şekil 5.5’de verilmiştir.
Şekil 5.5 Kural 10: Bulanık merkez çizginin düzenli olarak altında ve üzerinde olan
üçgensel bulanık sayılar
107
Şekil 5.5’de verilen örnekte bulanık merkez çizgi ve bulanık sayılar çakışmamaktadır.
Bu kural bulanık sınırların, merkez çizginin ve sayıların konumlarını ifade edecek ve
karşılaştırılmalarına imkan verecek bir yöntemle geliştirilebilir. Örneğin bir dönüşüm
yöntemi ile bulanık sayılar ve sınırlar gerçek sayılara çevrilebilir.
KURAL 11:
Arka arkaya gelen bulanık sayıların simetrisinin düzenli olarak artması ya da azalması
süreci etkileyen bir nedenden kaynaklanır.
KURAL 12:
Kural 11’deki kontrol dışı durum benzer şekilde bulanık sayıların yayılımından da
kaynaklanabilir. Bu durum arka arkaya gelen bulanık sayıların yayılımının düzenli
olarak artması ya da azalması olarak tanımlanır. Yayılımları düzenli olarak azalan beş
üçgensel bulanık sayı şekil 5.6’daki bulanık kontrol grafiğinde gösterilmiştir.
Şekil 5.6 Kural 12: Yayılımı düzenli olarak azalan üçgensel bulanık sayılar
KURAL 13:
Arka arkaya gelen bulanık sayıların α - kesmelerinin bulanık alt ve üst sınırların α kesmelerinin üzerinde olması sürecin kontrol dışında olduğunu belirtir. Daha geniş bir
tanım ile arka arkaya gelen bulanık sayıların merkez çizgiden uzak olması halidir.
Uzaklık kavramı süreç ortalamasına iki standart sapma uzaklıkta olan bulanık uyarı
çizgisi ile tanımlanabilir.
108
KURAL 14:
Her bir bulanık sayı ya da bulanık sayıların alt grupları için hesaplanan yayılım ve
simetri değerlerinin belirlenmiş ya da hesaplanmış sınırların dışında olması, sürecin
istenilen şartları sağlamadığını gösterir. Belirli sınırlar süreç kontrol altında iken bulanık
sayılardan hesaplanmış değerlerdir.
KURAL 15:
Bulanık kontrol grafiğinde rasgele olmayan herhangi bir örüntü sürecin kontrol altında
olmadığını gösterir.
Bulanık sayılarla çalışmak doğal olmayan örüntülerin sayısını arttırır. Bu nedenle
anlatılan kuralların sayısı Shewhart grafikleri için tanımlanan kurallardan fazladır.
Örneğin kural 2, 13 ve 14 sadece bulanık grafikler için geçerlidir. Farklı özelliklere
sahip bulanık kontrol grafiklerinin kontrol dışı durumlarını belirleyebilmek için kurallar
değiştirilebilir ya da benzer kurallar tanımlanabilir.
Veri setine, konuya ve verinin türüne göre durumlar değişkenlik gösterir. Bu yeni
durumlar deneyler ile incelenip kurallar değiştirilerek ve geliştirilerek farklı amaçlı
grafikler için bulanık kontrol grafikleri geliştirilebilir. Örneğin alt grup sayısı 1
olduğunda ya da alt grup seçilmediğinde Kural 14’de bahsedilen alt grupların yayılım,
simetri ve konum değerlerinin incelenmesi anlamsız olacaktır. Bulanık sürekli rasgele
değişkenler için kalite kontrol grafiklerinde ise alt grupların özellikleri farklı kurallar ile
incelenmelidir.
Bu kesimde anlatılan kuralların bulanık kontrol grafiği çizerken temel yaklaşım ile
beraber kullanılması amaçlanmıştır. Kontrol dışı durumları tanımlayan kuralların
bulanık kontrol grafiklerinde kullanılması grafiğin performansını olumlu yönde
etkileyecek ve bazı kuralların ise yaklaşımın gerektirdiği hesaplamalardan önce
incelenmesi sonucun elde edilmesinin daha kolay olmasını ve hesaplamalardan
kaynaklanan zaman kaybının azalmasını sağlayacaktır.
109
5.2 Bulanık Kuralların Etkileri
Bu kesimde, kuralların bulanık kontrol grafikleri üzerindeki etkilerini incelemek
amacıyla bir çalışma yapılmıştır. Kurallar, oran yaklaşımı ile çizilmiş bulanık kontrol
grafiklerine bir veya birkaç kural eklenerek grafiklerin performansları incelenmiştir.
Kesim 4.7’de verilen çizelge 4.8’de, ARL değerleri bulanık kontrol dışı kurallar
uygulanmadan hesaplanan sonuçlarla elde edilmiştir. Bu hesaplamalara Kural 2
eklenerek açıklık katsayısı 3 olan veriler için ARL değerleri tekrar hesaplanmıştır.
Hesaplanan bulanık üst ve alt sınırların çakışmaması ve bulanık sayılara göre sınırların
birbirlerine uzak olmaları göz önüne alınarak Kural 2 şu şekilde değiştirilmiştir:
Herhangi bir bulanık sayının α - kesmesinin genişliği bulanık sınırların α - kesme
genişliğinin yarısından büyük ise süreç kontrol altında değildir. Çizelge 5.1, çizelge
4.8’de verilen ARL değerlerinin bir kısmını ve kural katılarak hesaplanan ARL
değerlerini göstermektedir.
Çizelge 5.1 Farklı parametre değerleri ile hesaplanmış ortalama koşum uzunlukları
ARL
ARL
ARL
c
(Shewhart
grafiği)
9,5
227,27273
233,48061
212,78709
10
138,88889
139,18182
127,88486
11
56,49718
56,50309
52,06828
12
26,73797
26,71633
24,00567
13
14,32665
14,29804
12,11655
14
8,51789
8,50230
6,59697
15
5,54017
5,52813
3,85287
16
3,88048
3,87446
2,46175
17
2,89855
2,89362
1,75010
18
2,28414
2,28228
1,38256
(Oran yaklaşımı (Oran yaklaşımı
k=3)
k=3, Kural 2)
110
Kural 2’nin bulanık c kalite kontrol grafiği üzerindeki etkilerini karşılaştırabilmek için
grafiğin ARL değerleri hesaplanmış ve çizelge 5.1 oluşturulmuştur. Çizelge 5.1’de
ikinci sütun Shewhart c kontrol grafiğinin ARL değerleri verilmiştir. Üçüncü sütunda
oran yaklaşımı ile çizilmiş bulanık c grafiğinin açıklık katsayısı 3 olduğunda bulunan
ARL değerleri gösterilmiştir. Hesaplanan yeni ortalama koşum uzunlukları ise çizelge
5.1’de son sütunda verilmiştir. Kesim 4.7’deki hesaplamalara benzer olarak kural
eklenerek hesaplanan ARL değerleri en az 1.329.198 koşum uzunluğunun ortalaması ile
elde edilmiştir (Çizelge 4.9). Bulanık c kontrol grafiğine Kural 2 eklendiğinde
hesaplanan ARL değerleri tüm ortalama kusur sayıları için düşmüştür. Kural katılmadan
önce ortalama kusur sayısı 9,5 için 233,48061 bulunan ARL1’ın 212,78709’a düştüğü
gözlemlenmiştir.
Çizelge 5.1’deki ARL değerlerindeki değişimin istatistiksel olarak anlamlı olup
olmadığını test etmek amacıyla bir analiz yapılmıştır. Bu analizin sonuçları çizelge 5.2
verilmiştir.
Çizelge 5.2 Oran yaklaşımında kural 2’nin ARL değerlerinde etkisinin ortanca için
İşaret Testi ile incelenmesi
Ortanca için İşaret Testi:
ARL Oran Yaklaşımı - ARL Oran Yaklaşımı ve kural 2
Ortancanın işaret testi =
0,00000 karşı > 0,00000
ARL O. Y.- ARL O. Y. ve kural 2
N
10
aşağıda Eşit Üstünde
P
0
0
10 0,0010
Ortanca
2,043
Oran yaklaşımı ile çizilmiş ve Kural 2’nin eklenmediği ve eklendiği kontrol
grafiklerinin ARL değerleri arasında fark olup olmadığı parametrik olmayan testler ile
incelenmiştir. Çizelge 5.1’in üçüncü ve dördüncü sütunlarının farkı hesaplanmış ve
işaret testi ile farkların ortancasının sıfırdan büyük olup olmadığı test edilmiştir. Minitab
13 paket programı ile hesaplanan analizin sonuçları çizelge 5.2’de verilmiştir. Testin
sonucunda P değeri 0.0010 olarak bulunmuştur. α = 0.005 anlamlılık seviyesinde P
111
değerinin anlamlılık seviyesinden küçük olması, yaklaşıma Kural 2 eklendiğinde ARL
değerlerindeki azalmanın etkisinin istatistiksel olarak anlamlı olması demektir.
Üretilen bulanık sayıların ne kadarının Kural 2’ye uyduğunu görmek için çizelge 5.3
oluşturulmuştur. Çizelge 5.3 ARL hesaplamaları için üretilen bulanık sayıların sayısını
ve kaç tanesinin Kural 2’ye uyduğunu göstermektedir.
Çizelge 5.3 Kural 2’ye uyan bulanık sayı yüzdeleri
c
N
NKural 2
NKural 2 / N
9,5
1.200.000.000
32.755.858
% 2,72965
10
300.000.000
13.287.628
% 4,42921
11
150.000.000
14.457.809
% 9,63854
12
150.000.000
25.842.286
% 17,22819
13
45.000.000
11.963.258
% 26,58502
14
45.000.000
16.581.908
% 36,84868
15
45.000.000
21.178.622
% 47,06360
16
45.000.000
25.500.417
% 56,66759
17
45.000.000
29.325.625
% 65,16806
18
45.000.000
32.588.532
% 72,41896
Çizelge 5.3’de ilk sütun ortalama koşum uzunluklarını, ikinci sütun üretilen bulanık
sayıların sayısını ve üçüncü sütun ise Kural 2’ye uyan bulanık sayıların sayısını
göstermektedir. Dördüncü sütun yüzde olarak grafiği özetlemektedir. Örneğin, 12
ortalama kusur sayısı ile üretilen bulanık sayıların % 17,22819’unun α - kesme genişliği,
bulanık sınırların α - kesme genişliğinin 0,5 katından büyüktür.
Ortalama kusur sayısının artması, sürecin kontrol altında olduğu varsayılan ortalamadan
kayma olması ve Poisson dağılımdan üretilen sayıların standart sapmasında artma
olması anlamına gelir. Dolayısıyla bulanık sayıların da birbirleri arasındaki yayılım
ölçüsü artar. Bu durum ortalama kusur sayısı arttıkça, daha çok sayının Kural 2
112
tarafından tutulmasına sebep olur. Beklenen bu artış çizelge 5.3’de gözlemlenmiştir.
Ortalama kusur sayısı arttıkça dördüncü sütun değerleri de artmaktadır.
Kural 2’nin yaklaşıma etkileri üyelik derecelerinde de görülmektedir. Bu etkileri
incelemek için ortalama üyelik dereceleri hesaplanmıştır. Çizelge 5.4’de oran yaklaşımı
ile hesaplanmış bulanık sayıların kontrol içinde olma üyelik derecelerinin ortalamaları
verilmiştir.
Çizelge 5.4 Kural 2’ye uyan bulanık sayıların üyelik derecelerinin ortalamaları
c
µ (x)
(k=3)
µ (x)
(k=3, Kural 2)
9,5
0,94676
0,92241
10
0,93734
0,89826
11
0,90940
0,82667
12
0,86975
0,72772
13
0,81965
0,61204
14
0,76216
0,49212
15
0,69903
0,37973
16
0,63191
0,28144
17
0,56380
0,20123
18
0,49659
0,13897
Çizelge 5.4 oluşturulurken çizelge 4.9’de verilen koşum uzunlukları sayıları elde
edilene kadar bulanık sayılar üretilmiştir. Bu bulanık sayıların oran yaklaşımı ile üyelik
dereceleri hesaplanmadan Kural 2’ye uyup uymadıkları test edilmiştir. Kurala uyan
bulanık sayıların üyelik dereceleri 0 olarak alınmıştır. Çizelge 5.4’deki değerler Kural 2
eklenmediğinde ve eklendiğinde oran yaklaşımı ile hesaplanan ve açıklık katsayısı, k =3,
olan bulanık sayıların üyelik derecelerinin ortalamalarıdır. Çizelge 5.4 incelendiğinde
yüzde değerleri ile ters orantılı olarak ortalama kusur sayısı arttıkça bulanık sayıların
kontrol içinde olma üyelik derecelerinin ortalamasının belirgin bir şekilde düştüğü
gözlemlenmiştir.
113
Bu kesimde, tanımlanan kural 2’nin bulanık c kalite kontrol üzerindeki etkileri kalite
kontrol grafiği performans ölçüsü olan ortalama koşum uzunlukları ile incelenmiştir.
Çalışmalar bazı varsayımlar ve tanımlamalar altında yapılmıştır. Örneğin, oran
yaklaşımı ile bulanık grafikler çizilirken α’nın 0,6 ve γ’nın 0,33 olduğu varsayılmıştır.
Performans ölçüleri bulanık c grafiği için hesaplanmış ve Kural 2, açıklık katsayısı 3 ile
bulanıklaştırılan sayıların kontrol grafiğinin çizimine eklenmiştir. Ayrıca, Kural 2
etkilerinin incelemeleri için yeniden tanımlanırken “herhangi bir bulanık sayının α kesmesinin genişliğinin α - kesme bulanık sınırların genişliğinin yarısından büyük
olması kontrol dışı bir durumu gösterir” olarak varsayılmıştır. Farklı α ve γ değerleri,
bulanık kontrol grafikleri, açıklık katsayıları ve kurallar için benzer çalışmalar
yapılmıştır. Bu kesimde verilenlere benzer ya da beklenen sonuçlar elde edilmiştir.
114
6. SONUÇLAR VE ÖNERİLER
Rekabet koşullarının değişmesi ile beraber, gerçek hayatı, süreci daha iyi yansıtan
modellerin geliştirilmesine ihtiyaç duyulmuştur. Günlük yaşantıda karşılaşılan
problemlerin büyük bir çoğunluğu klasik yöntemlerle tam olarak modellenememekte ya
da durumları ifade edememektedir. Bu nedenle bulanık mantık, kalite kontrolde olduğu
gibi bilimin ve hayatın her alanına yayılmıştır. Bulanık mantık günlük hayatta
karşılaşılan kesin olmayan sonuçların tanımlanmasına imkan sağlar. Günümüz
dünyasında hiç bir şey kesin değildir ve birçok şey göreceli kavramlar içerir. Yapılan
çalışmaların ise gerçek hayatı yansıtması istenir. Bu nedenle bulanık kalite kontrol
grafiklerinin geliştirilmesi süreci daha doğru sonuçlarla açıklayabilmesi açısından
önemlidir.
Bulanık mantığın kalite kontrol grafiklerine uygulanmasının nedeni, süreci daha iyi
yansıtan kontrol grafiklerinin geliştirilmek istenmesidir. Bulanık grafikler, Shewhart
kontrol grafiklerinde olduğu gibi sadece “süreç kontrol altındadır” ya da “süreç kontrol
altında değildir” sonucunu değil aynı zamanda bulanıklığın derecesini veya ara
seviyeleri de verebilir. Bu sayede sürecin durumu hakkında daha çok ve esnek bilgi elde
edilir. Klasik grafikler sadece geçmiş veriye dayanmakta iken geliştirilmiş olan birçok
bulanık grafik ise uzmanların bilgilerine dayanır. Süreci en doğru şekilde gösteren
bilgilere dayanan ve bilgi kaybı olmaksızın hesaplanmış grafikler gerçeğe en yakın
sonuçları verir.
Bu çalışmada, bulanık kontrol grafiklerinin tarihsel gelişimi incelenmiş ve çeşitli
bulanık kalite kontrol grafiği yaklaşımlarına detaylarıyla değinilmiştir. Literatürdeki
yaklaşımların uygulamaları yapılarak avantajları ve dezavantajları incelenmiştir. Önceki
çalışmaların, önemli eksiklikleri varsayımlarının çok ve hesaplamalarının zor
olmalarıdır. Dolayısıyla, bulanık kalite kontrol grafiklerinin uygulama alanları dar ve
uygulanmaları zordur. Ayrıca, süreçlerin bir grafik ile gösterilmemesi kalite
karakteristiğinin zamana bağlı değişiminin izlenmesini imkansız hale getirir.
115
Bu tezde, literatürdeki önceki çalışmaların eksiklikleri göz önüne alınarak bulanık kalite
kontrol grafikleri çizmek için önerilen oran yaklaşımı geliştirilmiştir. Oran yaklaşımı ile
kalite kontrol grafiklerinin bulanık alternatiflerinin çizilmesi amaçlanmıştır.
Yaklaşımın temelleri Shewhart kalite kontrol grafiklerine ve bulanık kontrol sınırlarının
ve bulanık verilerin birbirlerine göre konumlarına dayanılarak oluşturulmuştur. Oran
yaklaşımının hem sürekli hem de kesikli rasgele değişkenler için olan Shewhart kalite
kontrol grafiklere uygulanabilir. Oran yaklaşımında ilk olarak, bulanık aritmetik
işlemler ile bulanık kalite kontrol grafiklerinin bulanık kontrol sınırları hesaplanır.
Geliştirilen üyelik fonksiyonu ile bulanık sayıların kontrol içinde olma üyelik dereceleri
hesaplanır. Daha sonra bu üyelik dereceleri karar fonksiyonuna göre sınıflandırılır ve
süreç tanımlanır. Oran yaklaşımında sürecin durumunu tanımlayan karar fonksiyonunda
iki karar vardır: “Süreç kontrol altındadır” ve “süreç kontrol altında değildir”.
Çalışmada ayrıca, önerilen oran yaklaşımında kullanılan ve karar vericiler tarafından
belirlendiği varsayılan parametrelerin tahmin edilmesine yönelik çalışmalar da
yapılmıştır. Bulanık sayıların kontrol içinde olma üyelik derecelerinin dağılımı tahmin
edilmiş
ve
istatistiksel
olarak
Beta
dağılımı
olduğu
gösterilmiştir.
Karar
fonksiyonundaki kararları ayıran parametrenin tahminine benzer bir hesaplamayla
bulanık kontrol grafiklerinin uyarı sınırlarının hesaplanmaları da anlatılmıştır.
Oran yaklaşımı ile oluşturulmuş bulanık kontrol grafiklerinin performansı ortalama
koşum uzunluğu, ARL ile incelenmiştir. Yapılan çok sayıda uygulamanın bir örneği
olarak bulanık c kontrol grafiğinin performansı farklı koşullar, parametre ve ortalama
kusur sayısı değerleri göz önüne alınarak hesaplanmıştır. Üretilen farklı veri setleri için
ortalama koşum uzunlukları hesaplanmış ve sonuçları Shewhart kalite kontrol grafiği
ortalama koşum uzunlukları ile karşılaştırılmıştır. Sürecin kontrol altında olduğu
durumda 2.287.469 koşum uzunluğu ile hesaplanan bulanık c kontrol grafiğinin ARL0
değeri Shewhart grafiğinin ARL0 değerinden büyük bulunmuştur. Süreç kontrol dışında
olduğunda ise c kontrol grafiğinin ve bulanık c grafiğinin hemen hemen aynı
performansı gösterdiği sonuçlarına varılmıştır.
116
Bir kalite kontrol grafiğinde sürecin kontrol altında olması için noktaların sınırların
içinde olması yeterli değildir. Kontrol grafiğindeki noktaların aynı zamanda rasgele bir
örüntüsü de olması gerekir. Kalite kontrol grafiklerinde sürecin kontrol dışında
olduğunu tanımlayan hassaslaştırma kuralları oran yaklaşımı ile çizilen bulanık kontrol
grafikleri için düzenlenmiştir. Literatürdeki önceki çalışmalardan farklı olarak sadece
kurallar bulanıklaştırılmamış bulanık veri ile kalite kontrol grafiği oluşturmanın
getirdiği farklı örüntüler de tanımlanmıştır. Yapılan çeşitli uygulamalarla önerilen
bulanık kuralların bulanık kontrol grafikleri üzerindeki etkileri incelenmiştir. Örnek
olarak, tanımlanan bulanık kurallardan biri katılarak çizilen bulanık c kalite kontrol
grafiğinin performans değişimi irdelemiştir.
Geliştirilen
yaklaşımın
en
önemli
avantajı
bulanık
kontrol
grafiklerinin
uygulanabilirliğini kısıtlayan herhangi bir varsayımının olmamasıdır. Bulanık sayıların
tipinin ne şekilde olması gerektiği belirlenmemiştir ve herhangi bir dönüşüm yöntemi
kullanılmadan süreç tanımlanır. Bu sayede yaklaşım farklı amaçlar için kolaylıkla
değiştirilebilir. Oran yaklaşımı ile sürekli ve kesikli rasgele değişkenler için bulanık
kalite kontrol grafikleri çizilebilir. Literatürdeki birçok çalışmaya göre anlaşılması ve
hesaplanması kolaydır.
Yaklaşım sürece ve uzman kararlarına göre değişimlere açıktır. Bulanık sayıların
kontrol içinde olmalarının üyelik değerinin hesaplandığı üyelik fonksiyonu oranların
ağırlıklı toplamı ile elde edilmiştir. Farklı süreçlerde farklı ağırlıklar kullanılabilir.
Önerilen karar fonksiyonunda, süreç hakkında iki karar vardır. Kararların sayısı sürece
ve uzmanlara bağlı olarak değiştirilebilir. Kalite kontrol grafiklerinin daha hassas
olmasını sağlayan uyarı sınırları ya da kontrol dışı durumları tanımlayan bulanık
kurallar bulanık grafiklere eklenebilir.
Oran yaklaşımı ile sadece süreç tanımlanmaz, bulanık kontrol grafiklerinin daha esnek
olmasını sağlayan üyelik değerleriyle sürecin kontrol içinde olmasının derecesini de
verir. Ayrıca, çizilen bir kontrol grafiğinin olması kalite karakteristiğinin zaman
içindeki değişiminin ve rasgele olmayan örüntülerin izlenmesini sağlar.
117
Bu konuda bundan sonra yapılabilecek çalışmalar kalite kontrolün diğer alanları için
geleneksel temellere dayanan bulanık yaklaşımların geliştirilmesidir.
118
KAYNAKLAR
Akdeniz, F. 2000. Olasılık ve istatistik. Nobel kitabevi, Adana.
Allen, T.T. 2006. Introduction to engineering statistics and six sigma: statistical quality
control and desing of experiments and systems. Springer, London.
Amirzadeh, V., Mashinchi, M. and Parchami, A. 2009. Construction of p - charts using
degree of nonconformity. Information Sciences, 179 (1 - 2), 1501 - 60.
Anonymous, 1956. Statistical quality control handbook. Western Electric, New York.
Baykal, N. ve Beyan, T. 2004. Bulanık mantık ilke ve temelleri. Bıçaklar Kitabevi,
Ankara.
Baykal, N. ve Beyan, T. 2004. Bulanık mantık uzman sistemler ve denetleyiciler.
Bıçaklar Kitabevi, Ankara.
Besterfield, D.H. 2001. Quality control. Prentice Hall, New Jersey.
Buckley, J.J. 2004. Fuzzy statistics. Springer, Berlin; New York.
Buckley, J.J. 2006. Fuzzy probability and statistics. Springer-Verlag, Berlin.
Burr, J.T. 2005. Elementary statistical quality control. Marcel Dekker, New York.
Cheng, C.B. 2003. Fuzzy process control based on fuzzy regression and possibility
measures, IEEE, Fuzzy Information Processing Society, NAFIPS 2003.
22nd
International
Conference
of
the
North
American
Doi:10.1109/NAFIPS.2003.1226768, pp. 127 - 131.
Cheng, C.B. 2005. Fuzzy process control: construction of control charts with fuzzy
numbers. Fuzzy Sets and Systems, 154, 2, 287 - 303.
Çelikyılmaz, A. and Türkşen, İ.B. 2009. Modeling uncertainty with fuzzy logic: with
recent theory and applications Springer, New York.
Deming, W.E. 1948. Statistical adjustment of data. John Wiley & Sons, New York.
Devor, R.E., Tsong-How, C. ve John W.S. 1992. Statistical quality design and control:
contemporary concepts and methods. Prentice Hall, New Jersey.
Dubois, D. and Prade, H. 1980. Fuzzy sets and systems: Theory and Applications.
Academic Press, New York.
Dubois, D. and Prade, H., 2000. Fundamentals of fuzzy sets, the handbook of fuzzy sets
series. Kluwer Academic Publishers, Boston/London/Dordrecht.
119
Duncan, A.J. 1986. Quality control and industrial statistics. 5th ed., Irwin Book
Company, Illinois.
Efil, İ. 1998. Toplam kalite yönetimi ve toplam kaliteye ulaşmada önemli bir araç ISO
9000 kalite güvencesi sistemi. VİPAS A.S., Bursa.
Erginel, N. 2008. Fuzzy individual and moving range control charts with α - cuts.
Journal of Intelligent & Fuzzy Systems, 19, 373 - 383.
Eugene, L.G. and Richard, S.L. 1972. Statistical quality control. McGraw-Hill, New
York.
Faraz, A. and Moghadam, M.B. 2007. Fuzzy control chart a better alternative for
Shewhart average chart. Quality and Quantity, 41, 3 (11), 375 - 385.
Feigenbaum, A.V. 1983. Total quality control, McGraw-Hill, New York.
Grant, E.L. and Leavenworth R.S. 1996. Statistical quality control. McGraw-Hill, New
York.
Gülbay, M., Kahraman, C. and Ruan, D. 2004. α - Cuts fuzzy control charts for
linguistic data. International Journal of Intelligent Systems, 19, 1173 1196.
Gülbay, M. and Kahraman, C. 2006. Development of fuzzy process control charts and
fuzzy unnatural pattern analyses. Computational Statistics and Data
Analysis, 51, 434 - 451.
Gülbay, M. and Kahraman, C. 2007. An alternative approach to fuzzy control charts:
direct fuzzy approach. Information Sciences, 77 (6), 1463 - 1480.
Hryniewicz, O. 2007. Statistics with fuzzy data in statistical quality control, Soft
Computing - A Fusion of Foundations. Methodologies and Applications,
12, 3, 229 - 234.
Juran, J.M. and Godfrey, A.B. 1999. The quality control process. McGraw-Hill, New
York.
Kanagawa, A., Tamaki, F. and Ohta, H. 1993. Control charts for process average and
variability based on linguistic data. Intelligent Journal of Production
Research, 31 (4), 913 - 922.
Kandel, A. 1986. Fuzzy mathematical techniques with applications. Addison-Wesley
Publishing Company, Boston, MA.
120
Karnik, N.N., Mendel, J.M. ve Liang, Q. 1999. Type - 2 fuzzy logic systems, IEEE
Transactions on Fuzzy Systems, 7, 6, 643 - 658.
Klir, G.J. and Yuan, B. 1995. Fuzzy sets and fuzzy logic: theory and applications.
Prentice Hall, PTR.
Kobu, B. 1999. Üretim yönetimi. Önsöz Basımevi, İstanbul.
Kolarik W.J. 1995. Creating quality concepts, systems, strategies, and tools. McGraw Hill, Inc.
Lai, Y. and
Hwang, C. 1992. Fuzzy mathematical programming: methods and
applications. Springer-Verlag, Berlin, New York.
Mendel, J. 2001. Uncertain rule - based fuzzy logic systems: Introduction and new
directions. Prentice-Hall, NJ.
Montgomery, D.C. 1996. Introduction to statistical quality control. John Wiley & Sons,
Inc., USA.
Nelson, L.S. 1984. The Shewhart control chart-tests for special causes. Journal of
Quality Technology, 16, 237-239.
Nelson, L.S. 1985. Interpreting Shewhart x-bar control charts. Journal of Quality
Technology, 17, 114-116.
Nguyen, H.T. 2006. Fundamentals of statistics with fuzzy data. Springer, Berlin; New
York.
Oktay, E. 1998. Kalite kontrol grafikleri Shewhart, Cusum, ve Ewma kontrol
grafiklerinin şeker sanayiine uygulaması üzerine bir deneme, Şafak
Yayınevi, Erzurum.
Raz, T. and Wang, J.H. 1990. Probabilistic and memberships approaches in the
construction of control charts for linguistic data. Production Planning and
Control, 1, 147 - 157.
Ross, T. 1995. Fuzzy logic with engineering applications. McGraw-Hill, New York.
~ ~
~ ~
Senturk, S. and Erginel, N. 2008. Development of fuzzy X − R and X − S control
charts using α - cuts. Information Sciences, doi:10.1016/j.ins.2008.09.022.
Smith, G. 2000. Statistical process control and quality improvement. 4th ed., Prentice
Hall. New Jersey.
Taleb, H. and Limam, M. 2002. On fuzzy and probabilistic control charts. International
Journal of Production Research, 40, 12 (15), 2849 - 2863.
121
Taylor, F.W. 1911. Principles of Scientific Management. New York and London,
Harper & brothers.
Wang, J.H. and Raz, T. 1990. On the construction of control charts using linguistic
variables. Intelligent Journal of Production Research, 28, 477 - 487.
Woodall, W.H. 2000. Controversies and contradictions in statistical process control.
Journal of Quality Technology, 20 (4), 515 - 521.
Zimmermann, H.J. 1994. Fuzzy set theory and its applications. Kluwer Academic
Publishers, Boston/London/Dordrecht.
122
EKLER
EK 1 Şekil 6.4’ün Elde Edilmesinde Kullanılan Üyelik Derecelerinin Bir Kısmı
EK 2 Easyfit Veri Analizi Sonuçları
EK 3 Easyfit Veri Analizi Parametre Tahminleri
EK 4 Poisson(9,5) Ve k = 1,5 İle Üretilen Bulanık Sayıların Üyelik Dereceleri
123
EK 1 Şekil 6.4’ün Elde Edilmesinde Kullanılan Üyelik Derecelerinin Bir Kısmı
No:
µ(x)
No:
µ(x)
No:
µ(x)
No:
µ(x)
1
0,88964
41
0,56483
81
0,99279
121
0,46579
2
0,86675
42
0,88940
82
0,96654
122
0,71526
3
0,61741
43
0,68134
83
0,99320
123
0,63776
4
0,73817
44
0,89160
84
0,73086
124
0,88485
5
0,33830
45
0,78534
85
0,91813
125
0,76570
6
0,93081
46
0,93686
86
0,92212
126
0,74670
7
0,94867
47
0,98442
87
0,95545
127
0,85526
8
0,93201
48
0,90753
88
0,73436
128
0,50000
9
0,93593
49
0,88619
89
0,85206
129
0,70815
10
0,78567
50
0,95435
90
0,77255
130
0,95371
11
0,50000
51
0,96702
91
0,70613
131
0,78449
12
0,85600
52
0,65413
92
0,99353
132
0,96276
13
0,50000
53
0,81397
93
0,86179
133
0,72411
14
0,89547
54
0,85177
94
0,86044
134
0,94495
15
0,95569
55
0,90543
95
0,84186
135
0,70649
16
0,81197
56
0,94762
96
0,71130
136
0,88168
17
0,89662
57
0,95858
97
0,77099
137
0,95834
18
0,74396
58
0,95553
98
0,86962
138
0,50512
19
0,99795
59
0,78616
99
0,81395
139
0,85374
20
0,69129
60
0,49748
100
0,90679
140
0,74016
21
0,86885
61
0,98120
101
0,90675
141
0,71827
22
0,75644
62
0,79285
102
0,59560
142
0,69838
23
0,50000
63
0,83276
103
0,98582
143
0,69852
24
0,47983
64
0,94767
104
0,83358
144
0,87467
25
0,99334
65
0,62007
105
0,55183
145
0,77237
26
0,92014
66
0,65378
106
0,77918
146
0,79571
27
0,90853
67
0,70700
107
0,50000
147
0,50000
28
0,90336
68
0,99137
108
0,87187
148
0,87446
29
0,85120
69
0,94949
109
0,68616
149
0,86710
30
0,44964
70
0,67670
110
0,97916
150
0,76719
31
0,94007
71
0,97284
111
0,94779
151
0,80942
32
0,94459
72
0,85485
112
0,51319
152
0,29483
33
0,79448
73
0,75871
113
0,80085
153
0,58486
34
0,94182
74
0,34714
114
0,89442
154
0,58804
35
0,94010
75
0,64399
115
0,67064
155
0,89802
36
0,78802
76
0,57452
116
0,55781
156
0,81289
37
0,98022
77
0,86240
117
0,81145
157
0,68966
38
0,96459
78
0,78938
118
0,96970
158
0,50000
39
0,93494
79
0,59474
119
0,74924
159
0,84263
40
0,94635
80
0,69149
120
0,99055
160
0,80915
124
EK 2 Easyfit Veri Analizi Sonuçları
Uyum iyiliği – Özet
#
Dağılım
Kolmogorov
Smirnov
İstatistik
Sıra
1
Beta
0.03251
1
29
Kumaraswamy
0.03316
2
28
Johnson SB
0.04052
3
48
Power Function
0.04155
4
19
Gen. Extreme Value
0.04286
5
47
Pert
0.04751
6
6
Dagum (4P)
0.05453
7
3
Burr (4P)
0.05483
8
56
Weibull (3P)
0.05575
9
24
Gumbel Min
0.05584
10
2
Burr
0.07603
11
22
Gen. Pareto
0.07959
12
40
Normal
0.09603
13
21
Gen. Gamma (4P)
0.09847
14
46
Pearson 6 (4P)
0.09939
15
38
Lognormal (3P)
0.10152
16
9
Error
0.10182
17
34
Log-Logistic (3P)
0.10444
18
18
Gamma (3P)
0.10513
19
52
Rice
0.10931
20
8
Erlang (3P)
0.10943
21
39
Nakagami
0.11205
22
36
Logistic
0.11389
23
17
Gamma
0.11612
24
54
Uniform
0.11762
25
20
Gen. Gamma
0.11798
26
7
Erlang
0.11798
27
26
Inv. Gaussian
0.1185
28
45
Pearson 6
0.11916
29
14
Fatigue Life (3P)
0.12445
30
55
Weibull
0.1258
31
25
Hypersecant
0.12777
32
125
EK 2 Easyfit Veri Analizi Sonuçları (devam)
44
Pearson 5 (3P)
0.13747
33
37
Lognormal
0.14179
34
33
Log-Logistic
0.15046
35
27
Inv. Gaussian (3P)
0.15052
36
13
Fatigue Life
0.15198
37
30
Laplace
0.15599
38
23
Gumbel Max
0.15616
39
4
Cauchy
0.17103
40
15
Frechet
0.18056
41
16
Frechet (3P)
0.18411
42
35
Log-Pearson 3
0.18438
43
43
Pearson 5
0.186
44
53
Triangular
0.23728
45
49
Rayleigh
0.29036
46
50
Rayleigh (2P)
0.2915
47
5
Dagum
0.29524
48
12
Exponential (2P)
0.42875
49
11
Exponential
0.43963
50
42
Pareto 2
0.44145
51
41
Pareto
0.547
52
32
Levy (2P)
0.60419
53
31
Levy
0.61309
54
51
Reciprocal
0.75746
55
10
Error Function
0.98738
56
57
Chi-Squared
No fit
58
Chi-Squared (2P)
No fit
59
Johnson SU
No fit
60
Log-Gamma
No fit
61
Student's t
No fit
126
EK 3 Easyfit Veri Analizi Parametre Tahminleri
Fitting Sonuçları
#
Dağılım
Parametreler
1
Beta
α1=4.4117 α2=1.0814
a=-0.02151 b=0.99915
2
Burr
k=1322.5 α=6.6212 β=2.5342
3
Burr (4P)
k=6809.8 α=495.7
β=59.009 γ=-57.101
4
Cauchy
σ=0.09352 µ=0.84214
5
Dagum
k=0.00337 α=2463.2 β=0.99879
6
Dagum (4P)
k=0.03953 α=201.32
β=1.732 γ=-0.73978
7
Erlang
m=27 β=0.02946
8
Erlang (3P)
m=240 β=0.01038 γ=-1.6913
9
Error
k=1.8231 σ=0.15316 µ=0.79623
10 Error Function
h=4.6168
11 Exponential
λ=1.2559
12 Exponential (2P)
λ=1.3232 γ=0.0405
13 Fatigue Life
α=0.25206 β=0.7716
14 Fatigue Life (3P)
α=0.2253 β=0.74765 γ=0.03038
15 Frechet
α=4.3108 β=0.68089
16 Frechet (3P)
α=6.0311 β=0.99307 γ=-0.29399
17 Gamma
α=27.027 β=0.02946
18 Gamma (3P)
α=240.71 β=0.01026 γ=-1.6728
19 Gen. Extreme Value
k=-0.63467 σ=0.1693 µ=0.769
20 Gen. Gamma
k=0.96411 α=23.983 β=0.02946
21 Gen. Gamma (4P)
k=1.5026 α=200.64
β=0.09714 γ=-2.5108
22 Gen. Pareto
k=-1.8709 σ=0.94733 µ=0.46626
23 Gumbel Max
σ=0.11942 µ=0.7273
24 Gumbel Min
σ=0.11942 µ=0.86516
25 Hypersecant
σ=0.15316 µ=0.79623
26 Inv. Gaussian
λ=21.52 µ=0.79623
27 Inv. Gaussian (3P)
λ=14.913 µ=0.76674 γ=0.03025
28 Johnson SB
γ=-1.2403 δ=1.1117
λ=0.9499 ξ=0.10987
29 Kumaraswamy
α1=4.288 α2=1.0758
a=-0.01772 b=0.99914
30 Laplace
λ=9.2336 µ=0.79623
127
EK 3 Easyfit Veri Analizi Parametre Tahminleri (devam)
31 Levy
σ=0.74796
32 Levy (2P)
σ=0.70242 γ=0.02489
33 Log-Logistic
α=6.9184 β=0.77795
34
LogLogistic (3P)
α=4.2903E+8 β=3.7696E+7 γ=3.7696E+7
35 Log-Pearson 3
α=0.46304 β=-0.34272 γ=-0.09215
36 Logistic
σ=0.08444 µ=0.79623
37 Lognormal
σ=0.23309 µ=-0.25084
38 Lognormal (3P)
σ=0.02582 µ=1.8003 γ=-5.2588
39 Nakagami
m=8.3937 Ω=0.65742
40 Normal
σ=0.15316 µ=0.79623
41 Pareto
α=0.33834 β=0.0405
42 Pareto 2
α=291.69 β=230.74
43 Pearson 5
α=12.8 β=9.5742
44 Pearson 5 (3P)
α=19.006 β=14.007 γ=0.02306
45 Pearson 6
α1=25.543 α2=4.6024E+7 β=1.4300E+6
46 Pearson 6 (4P)
α1=11166.0 α2=13515.0
β=14.752 γ=-11.391
47 Pert
m=0.94971 a=0.03135 b=0.99951
48 Power Function
α=3.7075 a=0.03167 b=0.99911
49 Rayleigh
σ=0.6353
50 Rayleigh (2P)
σ=0.54584 γ=0.03963
51 Reciprocal
a=0.0405 b=0.99913
52 Rice
ν=0.78075 σ=0.1547
53 Triangular
m=0.9998 a=0.03829 b=0.9998
54 Uniform
a=0.53095 b=1.0615
55 Weibull
α=5.21 β=0.86865
56 Weibull (3P)
α=5.0318E+8 β=5.8560E+7 γ=5.8560E+7
57 Chi-Squared
No fit
58 Chi-Squared (2P) No fit
59 Johnson SU
No fit
60 Log-Gamma
No fit
61 Student's t
No fit
128
EK 4 Poisson(9,5) Ve k = 1,5 İle Üretilen Bulanık Sayıların Üyelik Dereceleri
No:
µ(x)
No:
µ(x)
No:
µ(x)
No:
µ(x)
1
1,00000
41
1,00000
81
0,73226
121
1,00000
2
1,00000
42
1,00000
82
1,00000
122
1,00000
3
1,00000
43
1,00000
83
1,00000
123
1,00000
4
1,00000
44
1,00000
84
1,00000
124
0,94615
5
1,00000
45
1,00000
85
1,00000
125
1,00000
6
0,32381
46
1,00000
86
1,00000
126
1,00000
7
1,00000
47
1,00000
87
1,00000
127
1,00000
8
1,00000
48
1,00000
88
0,50000
128
1,00000
9
1,00000
49
0,90818
89
1,00000
129
1,00000
10
0,87115
50
1,00000
90
1,00000
130
1,00000
11
1,00000
51
1,00000
91
1,00000
131
1,00000
12
1,00000
52
1,00000
92
1,00000
132
1,00000
13
1,00000
53
1,00000
93
1,00000
133
1,00000
14
1,00000
54
1,00000
94
1,00000
134
1,00000
15
1,00000
55
0,76930
95
1,00000
135
1,00000
16
1,00000
56
1,00000
96
1,00000
136
1,00000
17
1,00000
57
1,00000
97
0,94615
137
1,00000
18
0,87115
58
1,00000
98
1,00000
138
1,00000
19
1,00000
59
1,00000
99
1,00000
139
1,00000
20
1,00000
60
0,76097
100
1,00000
140
1,00000
21
0,50983
61
1,00000
101
1,00000
141
1,00000
22
1,00000
62
1,00000
102
0,94615
142
0,89985
23
1,00000
63
1,00000
103
1,00000
143
1,00000
24
1,00000
64
1,00000
104
1,00000
144
1,00000
25
0,98913
65
1,00000
105
1,00000
145
1,00000
26
1,00000
66
1,00000
106
1,00000
146
1,00000
27
1,00000
67
1,00000
107
1,00000
147
1,00000
28
1,00000
68
1,00000
108
1,00000
148
1,00000
29
1,00000
69
1,00000
109
1,00000
149
1,00000
30
1,00000
70
0,94967
110
1,00000
150
1,00000
31
0,94967
71
1,00000
111
0,50000
151
1,00000
32
1,00000
72
1,00000
112
1,00000
152
1,00000
33
1,00000
73
1,00000
113
1,00000
153
1,00000
34
1,00000
74
1,00000
114
1,00000
154
0,63041
35
1,00000
75
1,00000
115
1,00000
155
1,00000
36
0,80576
76
1,00000
116
1,00000
156
1,00000
37
0,93539
77
1,00000
117
1,00000
157
1,00000
38
1,00000
78
1,00000
118
1,00000
158
1,00000
39
1,00000
79
1,00000
119
1,00000
159
1,00000
40
1,00000
80
1,00000
120
1,00000
160
1,00000
129
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
: Nilüfer PEKİN ALAKOÇ
Doğum Yeri
: Eskişehir
Doğum Tarihi : 15.09.1980
Medeni Hali
: Evli
Yabancı Dili : İngilizce
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise
: Bursa Nilüfer Milli Piyango Anadolu Lisesi (09.199106.1998)
Lisans
: ODTÜ İstatistik (Endüstri Mühendisliği Yön Eylem
Araştırması Yandal Programı) (09.1998-06.2003)
Yüksek Lisans
: ODTÜ Endüstri Mühendisliği (09.2003-01.2006)
Çalıştığı Kurum/Kurumlar ve Yıl
•
Başkent Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü (Bursiyer) 09.2005 02.2006
•
Başkent Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü (Araştırma görevlisi)
02.2006 - 09.2009
•
Atılım Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü (Öğretim görevlisi) 09.2009 -
Yayınları (SCI ve diğer)
•
Pekin, N. and Azizoğlu, M. 2008. Bi criteria flexible assembly line design
problem with equipment decisions. International Journal of Production Research,
46, 6323 - 6343.
•
Apaydın, A. ve Pekin Alakoç, N. 2009. Kalite kontrol grafiklerine bulanık
yaklaşım. 6. İstatistik Kongresi, İSTKON6.
130
•
Acır, A., Pekin Alakoç, N. and Yıldız, K. 2009. Estimation of neutronic
performance in a hybrid reactor with regression analysis. Journal of Fusion
Energy, 28, (4), 427-433, DOI: 10.1007/s10894-009-9217-y.
•
Toktaş, P. ve Pekin Alakoç, N. 2010. Bir beyaz eşya fabrikasında 6 sigma
uygulaması. 10. Üretim Araştırmaları Sempozyumu, ÜAS’10.
•
Şahin S., Pekin Alakoç, N. and Keçeci, B. 2010. A DSS based selection of solar
panels for different regions of Turkey. 10th International Conference on Clean
Energy, ICCE 2010.
•
Acır, A. and Pekin Alakoç, N. 2011. Derivation of empirical equations for
neutronic performance in a thorium fusion breeder with various coolants using
regression analysis. Expert Systems with Applications, 38 (8), 9619 – 9625.
•
Pekin Alakoç, N. and Apaydın, A. 2011. A new Approach on quality control
charts. 7 İstatistik Kongresi, İSTKON7.
131