sınır koşullarında spektral parametre bulunan sınır değer

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
SINIR KOŞULLARINDA SPEKTRAL PARAMETRE
BULUNAN SINIR DEĞER PROBLEMLERİ ÜZERİNE
Mat.Yük.Müh.Fatma AYDIN AKGÜN
FBE Matematik Mühendisliği Anabilim Dalı Matematik Mühendisliği Programında
Hazırlanan
DOKTORA TEZİ
Tez Savunma Tarihi :05/06/2008
Tez Danışmanı
: Prof.Dr.Mehmet BAYRAMOĞLU (Y.T.Ü.)
Jüri Üyeleri
: Prof.Dr. Akın Taşdizen (KÜLTÜR Ü.)
: Prof.Dr. Elimhan MAHMUDOV (İTÜ)
: Prof. Dr. Ömer GÖK (YTÜ)
: Doç.Dr. Ayşe KARA (YTÜ)
İSTANBUL, 2008
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖNSÖZ
................................................................................................................................ iii
ÖZET
................................................................................................................................ iv
ABSTRACT ............................................................................................................................... v
1.
GİRİŞ....................................................................................................................... 1
2.
SINIR KOŞULUNDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN MATRİS
KATSAYILI SINIR DEĞER PROBLEMİ ÜZERİNE...........................................8
Probleme Giriş…………………………………………………………………….8
Probleminin Özdeğer ve Özfonksiyonları............................................................. 11
Problemin Uygun Bir Hilbert Uzayında Bir Kendine-Eş Operatöre İndirgeyerek
Spektral Özelliklerinin İncelenmesi ...................................................................... 14
Özfonksiyonlara Göre Açılım ............................................................................... 21
A Operatörünün Spektral Fonksiyonu ve Rezolventi............................................ 28
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3.
3.1
3.2
3.3
SINIR KOŞULLARINDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN
GECİKEN ARGUMANLI SÜREKLİ OLMAYAN SINIR DEĞER
PROBLEMİNİN ÖZDEĞER VE ÖZFONKSİYONLARI ÜZERİNE…………..32
Problem Giriş……………………………………………………………………..32
Varlık Teoremi…………………………………………………………………....36
Özdeğer ve Özfonksiyonların Asimptotik Formülleri……………………………39
4.
SONUÇLAR ve ÖNERİLER……………………………………………………59
KAYNAKLAR……………………………………………………………………………….60
ÖZGEÇMİŞ…………………………………………………………………………………..64
ii
ÖNSÖZ
Tez çalışmamın her aşamasında bana desteklerini esirgemeyen ve bana çok şey öğreten
hocalarım başta Sayın Prof.Dr.Mehmet BAYRAMOĞLU’na ve Sayın Doç.Dr.Azad
BAYRAMOV’a sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
Aldığım eğitim ve öğretimin yanında hayatım boyunca daima ilgi, destek, yardım ve
fedakarlıklarını esirgemeyen, benim için çok değerli olan babam Vedat AYDIN ve annem
Neriman AYDIN’a emeklerinden dolayı teşekkürü bir borç bilirim.
Aynı zamanda bu uzun çalışma sürecinde beni destekleyen ve tüm zor zamanlarımda yanımda
olan eşime, oğluma, kardeşlerime ve dostlarıma çok teşekkür ederim .
Beni bu mesleği seçmem, bu alanda ilerlemem için teşvik eden çok sevgili hocam merhum
Prof. Tahir ŞİŞMAN’ı saygıyla anıyorum.
iii
i
SINIR KOŞULLARINDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN SINIR DEĞER
PROBLEMLERİ ÜZERİNE
Fatma AYDIN AKGÜN
Matematik Mühendisliği, Doktora Tezi
Sınır koşulunda spektral parametre bulunan sınır değer problemleri fizik problemlerinin
çözümünde ortaya çıkmış ve günümüze kadar bu tür problemlerin birçok özelliği değişik
çalışmalarda incelenmiştir. Bu tezde sınır koşulunda spektral parametre bulunan iki tip
problem ele alınmıştır. İlk olarak sınır koşulunda spektral parametre bulunan matris katsayılı
ikinci dereceden sınır değer probleminin spektrumu incelenmiş ve özfonksiyonlara göre
açılım formülü elde edilmiştir. Bunun yanı sıra bu sınır değer problemi ile tanımlanan kendine
eş operatörün bir alt uzayda spektral fonksiyonunun ve rezolventinin matris çekirdekli integral
operatörler olduğu gösterilmiştir. İkinci olarak süreksizlik noktasında dönüşüm koşullarına
sahip, sınır koşullarında spektral parametre bulunan, geciken argümanlı sürekli olmayan sınır
değer problemi incelenmiş, özdeğerlerinin ve özfonksiyonlarının asimptotik ifadeleri
bulunmuştur.
Anahtar Kelimeler: Kendine-eş operatör, spektral parametre, özdeğer, geç kalan argümanlı
diferansiyel denklem
iv
ON BOUNDARY VALUE PROBLEMS WHICH HAVE SPECTRAL PARAMETERS
IN BOUNDARY CONDITIONS
Fatma AYDIN AKGUN
Mathematical Engineering, Doctorate Thesis
Boundary value problems which have spectral parameter in boundary conditions are
encountered while solving physics problems and until now various properties of this kind of
problems are examined in several studies.In this thesis two types of problems which have
spectral parameters in boundary conditions are handled. Firstly, the spectrum of second order
boundary value problem with matrix coefficients, which has spectral parameter in boundary
condition, is examined and expansion formulas according to eigenfunctions are obtained.
Besides it is shown that spectral function and resolvent of self adjoint operator which is
defined by this boundary value problem in a subspace are integral operators with matrix
kernal. Second, discontinuous boundary value problem with retarded argument which has
spectral parameter in boundary conditions and transmission conditions in discontinuity is
examined, the asymptotic expressions of eigenvalues and eigenfunctions of this boundary
value problem are obtained.
Keywords: Self-adjoint operator, spectral parameter, eigenvalue, differential equation with
retarded argument
v
1
1. GİRİŞ
Sınır koşulunda spektral parametre bulunan Sınır Değer Problemleri bazı fizik ve mekanik
problemlerin çözümünde ortaya çıkmıştır.
İlk olarak Poisson ( 1820) bir mekanik problemini sınır koşulunda spektral parametre bulunan
− y '' = λ y , a < x < b
y (0) = 0 , y ' (b) = λy (b)
şeklinde sınır değer probleminin incelenmesine indirgemiştir. Bu çalışmadan günümüze kadar
sınır koşulunda spektral parametre bulunan birçok sınır değer problemi incelenmiştir. Bu
çalışmalara örnek olarak sırasıyla Walter (1973), Poisson(1820), Fulton (1977, 1980),
Russakovskii (1975, 1996), Binding, Browne, Seddighi (1993), Amara (2004), Binding,
Browne ve Watson (2006) çalışmaları gösterilebilir. Özet kısmında da belirtildiği gibi bu tez
çalışması iki bölümden oluşmuştur.
Tezin birinci bölümünde
− ( P ( x ) y ' ) ' + Q ( x ) y = λR ( x ) y , a < x < b
lim P( x) y ' ( x) = 0
x→a
β 1 y (b) − β 2 y ' (b) = −λα 1 y (b)
sınır değer probleminin spektrumu ve özfonksiyonlara göre açılım formülleri incelenmiştir.
Bunun yanı sıra bu sınır değer problemine karşılık gelen kendine eş operatörün spektral
fonksiyonunun ve rezolventinin matris çekirdekli integral operatörler olduğu gösterilmiştir.
Katsayıları nxn boyutlu matrisler olmak üzere, ek koşullarla, göz önüne alınan bu problem
katsayıları adi fonksiyonlar olan Walter (1973) çalışmasının genelleştirilmesidir.
Çalışmanın ikinci bölümünde
y '' ( x) + λ2 y ( x) + q( x) y ( x − ∆( x)) = 0
denklemi,
λy (0) + y ' (0) = 0
λ2 y (π ) + y ' (π ) = 0
sınır koşulları
,
2
ve
⎛π
⎞
⎛π
⎞
y⎜ − 0 ⎟ − δy⎜ + 0 ⎟ = 0
⎝2
⎠
⎝2
⎠
⎛π
⎞
⎛π
⎞
y ' ⎜ − 0 ⎟ − δy ' ⎜ + 0 ⎟ = 0
⎝2
⎠
⎝2
⎠
dönüşüm koşullarıyla verilen geciken argumanlı, denklemde ve sınır koşullarında özdeğer
bulunan süreksiz sınır değer problemi göz önüne alınmış, problemin özdeğerlerinin ve
özfonksiyonlarının asimptotik ifadeleri bulunmuştur.
Belirtelim ki, ilk olarak ikinci mertebeden geç kalan argumanlı diferansiyel denklem için
Sturm-Liouville tipli sınır değer probleminin özdeğer ve özfonksiyonlarının asimptotik
ifadeleri Norkin (1958) tarafından bulunmuştur. Bizim çalışmamızdaki problemin süreklilik
hali Bayramoglu, Özden Köklü, Baykal (2001, 2002) çalışmalarında incelenmiştir.
Sınır koşulunda spektral parametre bulunmayan ikinci mertebeden geç kalan argumanlı
süreksiz diferansiyel denklemin spektral özellikleri Bayramov, Öztürk Uslu, Kızılbudak
(2007) çalışmasında incelenmiştir.
Geç kalan argümanlı diferansiyel denklem yardımıyla oluşturulan farklı
sınır değer
problemlerinin farklı özellikleri (örneğin; özdeğer ve özfonksiyonların asimptotik ifadeleri,
özfonksiyonlara göre açılım formülleri, özdeğerlerin dağılımı, özdeğerler için iz formülleri
vs.) birçok makalede incelenmiştir. Örneğin Bayramoglu, Özden Köklü, Baykal (2001, 2002),
Deminko, Matveeva, (2005), Demidenko, Likhoshvai (2005), Jablonski, Twardowska (1987),
Kamenskii (1954), Nersesjan (1961), Norkin (1958,1972) çalışmalarında. Bellman, Cook
(1963), Norkin (1972) çalışmaları bu tür problemlerin çeşitli fizik uygulamalarının listesini
vermektedir.
Tezin kolay şekilde anlaşılması için gereken bazı önbilgiler aşağıda verilmiştir..
H herhangi bir Hilbert uzayı , T : H → H ise tanım kümesi D (T ) olan bir lineer operatör
olsun. Eğer xn ∈ D(T ) dizisi için xn → x , Tx n → y iken x ∈ D (T ) ve y = Tx sağlanıyorsa o
zaman T ’ye kapalı operatör denir.
Eğer xn ∈ D(T ), xn ∈ D(T ) için xn → x , xn ' → x ve Tx n → y , Tx n ' → y ' iken y = y olursa
'
'
o zaman T ’ye kapanışa sahip operatör denir. T lineer operatör olduğundan bu tanım
aşağıdaki tanıma denktir.
3
xn ∈ D (T ) , xn → 0 ve Tx n → y iken y = 0 olursa o zaman T ’ye kapanışa sahip
operatör denir. T kapanışa sahip operatör olsun. D ise x n ∈ D(T ) , x n → x , Tx n → y
'
olacak şekilde x ∈ H elemanlarının kümesi olsun. Buradan D de T x = y olacak şekilde T
'
operatörünün tanımlandığı açıktır. T lineer kapalı operatördür ve T ’nin genişletilmesidir. T
operatörüne T ’nin kapanışı denir.
Eğer λ ∈ C (C kompleks sayılar cismidir) için (T − λI )
−1
( I birim operatör ) ters operatörü
bütün H ’da tanımlı, sınırlı operatör ise o zaman λ sayısına T ’nin regular noktası denir.
Regular noktalar kümesi ρ(T ) sembolü ile gösterilir. C \ ρ(T ) kümesine T operatörünün
spektrumu denir ve σ(T ) sembolü ile gösterilir. ρ(T ) kümesine T ’nin rezolvent kümesi de
denir. ρ(T ) ’de tanımlı , (T − λI )
−1
operatör değerli fonksiyona T ’nin rezolventi denir.
Tanımdan görüldüğü gibi T ’nin özdeğerleri σ(T ) ’ye aittir. H uzayı sonlu boyutlu
olduğunda σ(T ) sadece özdeğerlerden ibarettir fakat H sonsuz boyutlu uzay olduğunda bu
söylenemez. T ’nin özdeğerler kümesi σ d ile gösterilir.
lim (T − λI ) x n = 0 olacak şekilde sınırlı, kompakt olmayan x n ∈ D(T ) dizisi varsa o zaman
n→∞
λ sayısı T operatörünün bir esaslı (essential) spektrum noktasıdır denir. T ’nin esaslı
spektrum noktalar kümesi σ e (T ) sembolü ile gösterilir. Tanımdan görüldüğü gibi
σ e (T ) ⊂ σ(T )
sağlanır.
Yine T ’nin sonsuz katlı özdeğerlerinin σ e (T ) ’ye ait olduğu açıktır. Eğer (T − λI ) −1 varsa ve
H ’da her yerde yoğun olmayan kümede tanımlanmışsa ( D (T − λI ) −1 , D (T − λI ) −1 ’in kapanışı
iken D(T − λI ) −1 ≠ H ise bu koşulu sağlayan λ ’lara T ’nin residüal (kalan) spektrum
noktaları denir. Bu küme σ r (T ) ile gösterilir.
T , H ’da her yerde yoğun D (T ) kümesinde( D(T ) = H ) tanımlı lineer operatör olsun. Her
x ∈ D (T ) için
(Tx, y ) = (x, y ∗ )
4
koşulunu sağlayan
y elemanlar kümesini D ∗ ile gösterelim. y ∈ D ∗ elemanına bir tek
y ∗ ∈ H elemanı karşılık gelir. Bu karşılık getirmeyi gerçekleştiren operatöre T ’nin eşleniği
denir ve T ∗ ile gösterilir. T ∗ lineer operatördür.
Böylece
x ∈ D(T ), y ∈ D(T ∗ ); D(T ∗ ) = D ∗ iken
(Tx, y ) = (x, T ∗ y )
olur. T : D (T ) ⊂ H → H , ( D (T ) = H ) lineer operatörü ∀x, y ∈ D (T ) için
(Tx, y ) = (x, Ty )
eşitliğini sağlıyorsa T ’ye simetrik operatör denir. Eşlenik operatörün tanımına göre T ’nin
simetrik operatör olması için T ⊂ T ∗ olması gerek ve yeterdir. T simetrik operatör iken
(Tx, x ) (x ∈ D(T ))
kuadratik formu reel değerlidir. T : H → H simetrik operatörü
∀x ∈ D (T ) için
(Tx, x ) ≥ α( x, x) ((Tx, x ) ≤ β( x, x))
olacak şekilde α ∈ R (β ∈ R ) varsa o zaman T ’ye alttan sınırlı (üstten sınırlı) operatör
denir. α >0 (α ≥ 0) iken T simetrik operatörüne pozitif (negatif olmayan) operatör denir.
Eğer T = T ∗ ise T ’ye kendine eş operatör denir. Tanımdan görüldüğü gibi her kendine eş
operatör simetriktir fakat bunun tersi söylenemez.
Simetrik operatörün özdeğerleri reeldir. Reel olmayan sayılar kümesi kendine eş operatörün
regular noktalar(rezolvent) kümesine aittir. Yani T ∗ = T iken imλ ≠ 0 koşulunu sağlayan
∀λ ∈ C , ρ(T ) ’ye aittir. Bunun yanı sıra T ∗ = T iken σ (T ) ⊂ ℜ dir.
Eğer T simetrik operatörünün kapanışı kendine eş operatör ise yani
(T )
∗
=T
ise o zaman T ’ye esaslı (essential) kendine eş operatör denir.
5
Belirtelim ki her yerde yoğun kümede tanımlı ve kapanışa sahip T operatörü için
T ∗∗ = T
sağlanır.
T simetrik operatör iken her λ için (T − λI ) ’nin değer kümesi R(T − λI ) ve R (T − λ I )
kümesi bütün H uzayı ile çakışırsa yani
(
)
R(T − λI ) = R T − λ I = H
ise o zaman T kendine eş operatördür. Burada λ sayısı, λ ’nın kompleks eşleniğini gösterir.
T : H → H simetrik operatör iken aşağıdaki teorem ispatlanabilir.
Teorem (Weidman,1980) T simetrik operatörünün kendine eş olması için her λ (imλ ≠ 0)
sayısı için
R (T ∗ − λI ) = R (T ∗ − λ I ) = H
olması gerek ve yeter koşuldur.
Not Eğer T kapalı simetrik operatör ise o zaman her λ (imλ ≠ 0) için R(T ∗ − λI ) kapalı
kümedir, yani
R(T ∗ − λI ) = R(T ∗ − λI )
R(T ∗ − λI ) lineer manifoldunun H ’ya tümleyeni (R (T ∗ − λI ) ) = η λ ’nın boyutuna T ’nin λ
⊥
noktasında defekt sayısı denir. Eğer imλ > 0 (imλ < 0) koşunu sağlayan herhangi bir λ
noktasında
dimη λ = m
(dimη λ
= n)
ise o zaman keyfi imλ > 0 (imλ < 0) koşulunu sağlayan her λ için
dimη λ = m
(dimη λ
= n)
dir. Yani dim η λ , λ üst yarı düzlemde (alt yarı düzlemde) iken λ noktasının seçiminden
bağımsızdır.
(m, n)
6
çiftine T operatörünün defekt indisi denir. Belirtelim ki m ve n sayıları sonlu veya sonsuz
olabilirler. Eğer T operatörünün defekt indisi (n, n ) şeklinde ise o zaman T operatörü
kendine eş genişlemeye sahiptir. Belirtelim ki
{
}
η λ = x ∈ D(T ∗ ) : T ∗ x = λ x ve η λ = {x ∈ D(T ∗ ) : T ∗ x = λx}
şeklindedir.
Teorem (Weidman, 1980) Kapalı T simetrik operatörünün defekt indisinin
(0,0)
olması için T ’nin kendine eş olması gerek ve yeterlidir.
İfade ettiğimiz teoremde T keyfi simetrik operatör ise o zaman T ’nin defekt indisinin (0,0)
olması için T ’nin esaslı kendine eş operatör olması gerek ve yeterlidir.
Eğer T simetrik operatörünün defekt indisi n < ∞ ve (n, n ) şeklinde ise o zaman T ’nin her
simetrik genişletilmesi olan S operatörü T ’nin sonlu boyutlu bir genişlemesidir. Yani M bir
lineer manifold ve
dim M ≤ n olmak üzere
D( S ) = D(T ) + M , D(T ) ∩ M = {0},
şeklinde gösterilebilir. Burada
D(T ) + M = {x + y : x ∈ D(T ), y ∈ M }
şeklindedir.
Teorem (Weidmann, 1980) T defekt indisi (n, n ) , n < ∞ olan bir operatör iken, bunun her
~
~
simetrik genişletilmesi T ile T ’nin esaslı spektrumu çakışır. Yani σ e (T ) = σ e (T ) dir.
A = A∗ kendine eş operatörü için aşağıdaki özelliklere sahip bir E λ ( λ ∈ ℜ) spektral
fonksiyonu (veya birim açılımı) vardır.(Akhiezer, Glazman, 1987; Weidmann, 1980;
Smirnov, 1964)
1. Eλ , her λ ∈ ℜ için bütün H ’da tanımlı bir iz düşüm operatörüdür. Yani
E λ = E λ∗ ve E λ2 = E λ dır.
2.Her λ , µ ∈ ℜ için
E λ E µ = E min( λ , µ ) .
7
3. E λ −0 = E λ .
4.Her x ∈ H için
lim E λ x = 0 , lim E λ x = x
λ → −∞
λ → +∞
Eλ ’nın yardımıyla I birim operatörü ve A operatörü sırasıyla
∞
I=
∞
∫ dEλ
,
−∞
A=
∫ λ dEλ
−∞
formülleri ile ifade edilir.
Geç kalan argümanlı 2. mertebeden lineer diferansiyel denklem genel olarak
n
(
)
x '' (t ) = ∑ ai (t ) x(t − ∆ i (t )) + bi (t ) x ' (t − ∆ i (t )) + c(t )
i =0
formundadır. Burada ∆ i (t ) ≥ 0 , a i (t ) , bi (t ) ve c (t ) ’ler bilinen fonksiyonlar ve x ' (t − ∆ i (t )) ,
x( z ) fonksiyonunun z = t − ∆ i (t ) noktasındaki türevidir.
8
2.
SINIR
KOŞULUNDA
SPEKTRAL
PARAMETRE
BULUNAN
MATRİS
KATSAYILI SINIR DEĞER PROBLEMİ ÜZERİNE
2.1 Probleme Giriş
Aşağıdaki sınır değer problemini göz önüne alalım.
(
)
'
l ( y ) = − P ( x ) y ' + Q ( x ) y = λR ( x ) y
y [1] ( a ) = 0
(y
[1]
(a) = lim P( x) y ' ( x)
x→ a
a< x<b
,
(2.1.1)
)
(2.1.2)
− U β ( y ) = λ (U α ) y
(2.1.3)
Burada
U α ( y ) = α 1 y (b)
U β ( y ) = β 1 y (b) − β 2 y ' (b)
şeklindedir, ayrıca
⎛ p11 ( x) .
⎜
P( x) = ⎜ M
.
⎜ p ( x) .
⎝ n1
p1n ( x) ⎞
⎛ q11 ( x) . q1n ( x) ⎞
⎛ r11 ( x) . r1n ( x) ⎞
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
M ⎟ , Q( x) = ⎜ M
M ⎟ ve R ( x) = ⎜ M
M ⎟
.
.
⎜ q ( x) . q ( x) ⎟
⎜ r ( x) . r ( x) ⎟
p nn ( x) ⎟⎠
nn
nn
⎠
⎠
⎝ n1
⎝ n1
elemanları reel değerli sürekli fonksiyon olan kendine-eş n × n boyutlu matrisler, P ( x ) ,
b
P (b) > 0 olmak üzere negatif olmayan matris,
∫P
−1
( x) dx < ∞
ve R ( x ) pozitif tanımlı
a
matristir. Ayrıca α 1 , β1 , β 2
ise α1 β1 < 0 ve α1β 2 = 1 koşullarını sağlayan reel sayılar, λ
⎛ y1 ( x) ⎞
⎜
⎟
⎜ . ⎟
∈ L2, R [a, b] elemanları [a, b] de tanımlı kompleks
kompleks parametre ve y ( x) = ⎜
. ⎟
⎜
⎟
⎜ y ( x) ⎟
⎝ n ⎠
değerli fonksiyon olan n bileşenli vektör fonksiyonudur. P −1 ( x) , P −1 ( x) ’in normunu
gösterir. Belirtelim ki P ( x ) ve Q ( x ) ’in sürekliliği basitlik için kabul edilmiştir.
9
b
Genelde Q ( x ) ’in elemanlarının ölçülebilirliği ve
∫ Q( x) dx < ∞
olması , P ( x ) ’in negatif
a
b
olmaması,
∫P
−1
( x) dx < ∞ koşulunu sağlaması ve elemanlarının ölçülebilirliği yeterlidir.
a
Bu bölümde (2.1.1)-(2.1.3) sınır değer probleminin spektrumunu ve özfonksiyonlara göre
açılım formülünü inceleyeceğiz. Bunun yanı sıra bu sınır değer problemine karşılık gelen
kendine eş operatörün spektral fonksiyonunun ve rezolventinin matris çekirdekli integral
operatörler olduğunu göstereceğiz.
L2, R [a, b] ile her bileşeni ölçülebilir, kompleks değerli ve
b
∫ (R( x) y( x), y( x))dx < ∞ ,
a
koşulunu sağlayan y ( x) = ( y1 ( x), y 2 ( x),..., y n ( x) ) vektörlerinin kümesini gösterelim.
Bu kümede iki vektörün toplamını
y ( x) + z ( x) = ( y1 ( x) + z1 ( x), y 2 ( x) + z 2 ( x),..., y n ( x) + z n ( x) ) ile
bir vektörün skalerle çarpımını
αy ( x) = (αy1 ( x), αy 2 ( x),..., αy n ( x) )
şeklinde tanımlarsak L2, R [a, b ] kümesi lineer uzay oluşturur. Eğer iki vektörün iç çarpımını
b
( y, z ) = ∫ (R( x) y( x), z ( x))dx
a
şeklinde tanımlarsak L2, R [a, b ] uzayı aşağıdaki norma göre tam iç-çarpım uzayı yani Hilbert
uzayı oluşturur.
b
y =
∫ (R( x) y( x), y( x))dx
a
Tanımladığımız iç-çarpım ve normla oluşturulan Hilbert uzayını da L2, R [a, b ] sembolüyle
göstereceğiz. n = 1 iken,
uzayıdır.
(a, b)
de tanımlı fonksiyonlar için, L2, R [a, b] bilinen Hilbert
10
Öncelikle (2.1.1) ifadesiyle oluşturulan maksimal ve minimal operatörlerin tanımlarını
verelim.
D1 , (a, b ) açık aralığının her kapalı alt aralığında kendisi ve y [1] ( x) = P( x) y ' ( x) ’in her
bileşeni mutlak sürekli olan y ( x) vektör fonksiyonlarının kümesi olsun. R −1 ( x)l ( y ) , D1 ’e ait
her y ( x) vektör fonksiyonu için tanımlı olduğu kolayca görülür. D1 , L2, R [a, b ] de her yerde
yoğun olan bir lineer manifolddur. y ( x) elemanlarının (vektör fonksiyonlarının) kümesini
y ( x) ∈ D1 ∩ L2, R [a, b ] ve l ( y ) ∈ L2, R [a, b ]
iken D ile gösterelim. Tanım kümesi D olan L operatörünü ∀y ( x) ∈ D ve iken
Ly = R −1 ( x)l ( y )
şeklinde tanımlayalım.
L : L2, R [a, b ] → L2, R [a, b ] operatörüne L2, R [a, b ] de
R −1 ( x)l ( y ) ile oluşturulan maksimal
operatör denir (Weidman, 1980). Burada L ’nin bir lineer operatör olduğu açıktır. (a, b )
aralığında sonlu desteye sahip ve D ’ye ait fonksiyonların kümesini D0' ile gösterelim. D0' ,
L2, R [a, b ] ’de hemen her yerde yoğundur (Weidman, 1980). Tanım kümesi D0'
olan L'0
operatörünü tanımlayalım, öyleki her y ∈ D0' için
L'0 y = R −1 ( x )l ( y ) ,
şeklindedir. L'0 ’ın bir simetrik operatör olduğu kolayca görülür.
L'0 ’ın kapanışını L0 ile gösterelim. Bu durumda L0 operatörü L2, R [a, b ] ’de
R −1 ( x)l ( y )
ile oluşturulan minimal (kapalı) operatördür.
b
∫P
−1
( x) dx < ∞ koşulundan y ( x ) ∈ D ( L) için y (a ), y [1] (a), y (b), y [1] (b) vardır ve L0 ’ın
a
tanım kümesi
D ( L0 ) = {y ( x ) ∈ D ( L ) : y ( a ) = y [1] (a ) = y (b) = y [1] (b) = 0}
şeklindedir.
11
L*0 = L olduğu ve L0 ’ın defekt indisinin (2n,2n ) olduğu bilinmektedir (Weidman, 1980).
L2, R [a, b ] ’de T operatörünü aşağıdaki şekilde tanımlayalım;
{
D(T ) = y ( x) ∈ L2, R [a, b], y ( x) ve y [1] ( x), [a, b] ’de mutlak sürekli R( x) −1 l ( y ) ∈ L2, R [a, b]
}
y [1] (a) = 0 , U β ( y ) = 0
ve
∀y ( x ) ∈ D (T ) için
Ty = R −1 ( x)l ( y )
olsun. Böyle tanımlanmış T : L2, R [a, b ] → L2, R [a, b ]
operatörü kendine eş operatördür
(Weidman, 1980). Tanımladığımız T operatörünü daha sonra kullanacağız.
(2.1.1)-(2.1.3) probleminde görüldüğü gibi λ
özdeğeri ( kompleks spektral parametre)
(2.1.3) koşulunda bulunmaktadır. Buna göre lineer operatörler teorisinin yöntemleri direkt
olarak uygulanamıyor, fakat (2.1.1)-(2.1.3) problemi daha geniş uzayda göz önüne alınırsa,
problem olağan sınır değer problemine indirgenebilir.
2.2 Problemin Özdeğer ve Özfonksiyonları
(2.1.1)-(2.1.3) probleminin özfonksiyonu denildiğinde ; [a, b] aralığında birinci türevi ve
y [1] ( x) fonksiyonu mutlak sürekli, (2.1.1) denklemini ve (2.1.2)-(2.1.3) koşullarını sağlayan,
özdeş olarak sıfır olmayan ∀y ( x ) fonksiyonu anlaşılır, ve burada λ sayısı da y ( x)
fonksiyonuna karşılık gelen özdeğerdir. y ( x ) ≡ 0 fonksiyonu λ keyfi sayı iken sınır değer
probleminin çözümüdür. (Bu fonksiyon (2.1.1)-(2.1.3) sınır değer probleminin özfonksiyonu
sayılmıyor).Biz bazen P (b) y ' (b) ifadesini y [1] (b) ile göstereceğiz.
(2.1.1)-(2.1.3) probleminin kompleks özdeğerleri λ1 ve λ2 , sırasıyla bu özdeğerlere karşılık
gelen kompleks özfonksiyonlar ise y1 ( x) ve y2 ( x) olsun. Bu durumda
− (P( x) y1' ) + Q( x) y1 = λ1 R( x) y1
'
,
a< x<b
(2.2.1)
− U β ( y1 ) = λ1U α ( y1 )
(2.2.2)
y1[1] ( a) = 0
(2.2.3)
12
ve
− (P( x) y 2' ) + Q( x) y 2 = λ 2 R( x) y 2
'
a< x<b
,
(2.2.4)
− U β ( y 2 ) = λ 2U α ( y 2 )
(2.2.5)
y 2[1] ( a) = 0
(2.2.6)
olur. (2.2.1) in her iki yanını sağdan y 2 ile (2.2.4)’ ün ise her iki yanını soldan y1 ile skaler
çarpalım ( C n uzayı anlamında)(Burada y
ile bilşenleri y ’nin bileşenlerinin kompleks
eşleniği olan vektör gösterilmiştir). Böylece
(
)(
)
(
)
)(
)
(
)
− (P( x) y1' ) , y 2 + Q( x) y1 , y 2 = λ 1 R ( x) y1 , y 2
'
(
− (P( x) y 2' ) , y1 + Q( x) y 2 , y1 = λ 2 R( x) y 2 , y1
'
eşitlikleri elde edilir. Bu iki ifade birbirinden çıkarıldığında, R ( x ) kendine eş matris
olduğundan
(
)(
)
− (P( x) y1' ) , y 2 + (P( x) y 2' ) , y1 =
'
(
'
) (
)
(
− (P( x) y1' ), y 2 + (P( x) y 2' ), y1 = (λ 1 − λ 2 ) R( x) y1 , y 2
'
'
)
bulunur. Eşitliğin her iki yanının integrali alınırsa;
(
− P( x) y , y 2
'
1
) + (P( x) y , y ) = ∫ (λ
b
'
2
a
b
1
a
b
1
(
)
− λ 2 ) R( x) y1 , y 2 dx
(2.2.7)
a
olur. (2.1.2) koşulundan dolayı y1[1] (a) = 0 ve y 2[1] (a ) = 0 olduğundan (2.2.7) eşitliği
(
) (
)
b
(
)
− P(b) y (b) , y 2 (b) + P(b) y (b), y1 (b) = ∫ (λ1 − λ2 ) R( x) y1 , y 2 dx
'
1
'
2
a
şeklini alır.
U α ( y ) = α 1 y (b)
ve
U β ( y ) = β1 y (b) − β 2 y ' (b)
eşitliklerinden y (b) ve y ' (b) sırasıyla
(2.2.8)
13
y (b) =
U α ( y)
(2.2.9)
α1
y ' (b) = β1U α ( y ) − α 1U β ( y )
(2.2.10)
şeklinde bulunur. (2.2.9) ve (2.2.10) eşitlikleri (2.2.8) de kullanıldığında (2.2.8) eşitliğinin sol
tarafı
⎡⎛
U (y ) ⎞ ⎛
U ( y ) ⎞⎤
− ⎢⎜⎜ P(b)(β 1U α ( y1 ) − α 1U β ( y1 ) ), α 2 ⎟⎟ − ⎜⎜ P(b)(β 1U α ( y 2 ) − α 1U β ( y 2 ) ), α 1 ⎟⎟⎥
α1 ⎠ ⎝
α 1 ⎠⎥⎦
⎢⎣⎝
(
) (
)
(
) (
)
⎤
⎡β
β
= − ⎢ 1 P(b)U α ( y1 ),U α ( y 2 ) − P(b)U β ( y1 ),U α ( y 2 ) − 1 P(b)U α ( y 2 ),U α ( y1 ) + P(b)U β ( y 2 ),U α ( y1 ) ⎥
α1
⎦
⎣α 1
(
) (
= P(b)U β ( y1 ),U α ( y 2 ) − P(b)U β ( y 2 )U α ( y1 )
(
)
)
(
= − λ1 P(b)U α ( y1 ),U α ( y 2 ) + λ2 P(b)U α ( y 2 ),U α ( y1 )
)
olur. Buradan (2.2.8)
(
)
b
− (λ1 − λ2 ) P(b)U α ( y1 ),U α ( y 2 ) = ∫ (λ1 − λ2 )( R( x) y1 , y2 )dx
a
şeklini alır ve böylece
⎡b
⎤
⎣a
⎦
(λ1 − λ2 )⎢ ∫ ( R( x) y1 , y 2 )dx + (P(b)U α ( y1 ),U α ( y 2 ) )⎥ = 0
(2.2.11)
bulunur. (2.1.1) denkleminin katsayıları, elemanları reel değerli sürekli fonksiyon olan
matrisler olduğundan y 1 ( x) fonksiyonuda λ 1 özdeğerine karşılık gelen özvektör olacaktır.
Buna göre (2.2.11) da y 2 yerine y1 ( x ) konulursa
⎡b
⎤
−
λ
1
1 ⎢ ∫ (R ( x ) y1 , y1 )dx + (P (b )U α ( y1 ), U α ( y1 ) )⎥ = 0
⎣a
⎦
(λ
)
(2.2.12)
elde edilir. Burada y1 ( x) ≠ 0 , P (b) > 0 ve R ( x ) pozitif matris olduğundan (2.2.12) eşitliğinin
(
)
sağlanması için λ1 − λ1 =0 olması gerektiği açıktır.
14
Dolayısıyla
Im λ1 = 0
(2.2.13)
bulunur. Böylece (2.2.13) denkleminden λ1 özdeğerinin reel olduğu görülür ve λ1 keyfi
özdeğer olduğundan (2.1.1)-(2.1.3) sınır değer probleminin özdeğerlerinin reel sayılardan
oluştuğu sonucuna varılır. Ele aldığımız problemin katsayıları ve özdeğerleri reel olduğundan
dolayı özfonksiyonları da reel değerli alınabilir. Bu sonuca göre bundan sonraki hesaplarda
(2.1.1)-(2.1.3) probleminin özfonksiyonlarının ℜ n değerli olduklarını varsayacağız.
2.3 Problemin Uygun Bir Hilbert Uzayında Bir Kendine-Eş Operatöre İndirgeyerek
Spektral Özelliklerinin İncelenmesi
Öncelikle [a, b] aralığında aşağıdaki şekilde bir “ µ ölçümü” tanımlayalım
⎧⎪ R ( x)dx
µ (m) = ⎨m∫
⎪⎩ P (b)
m ⊂ [a, b )
m = {b}
(2.3.1)
µ ’nün tanımından görüldüğü gibi m ⊂ [a, b ) kümesinin ölçümü m ’nin Lebesque ölçümüne
eşittir. L2, R ([a, b ], µ ) ile [a, b] de tanımlı µ ölçülebilir ve
b
∫
a
b
f ( x) dµ = ∫ (R( x) f , f )dx + (P(b) f (b), f (b) ) < ∞
2
a
koşulunu sağlayan her x ∈ [a, b] için C n değerli fonksiyonlar kümesini gösterelim.
Burada iç çarpım
b
( f , g ) = ∫ (R( x) f ( x), g ( x) )dx + (P(b) f (b), g (b) )
a
⎛ n n
= ∫ ⎜⎜ ∑∑ rij ( x) f j ( x) g i ( x)
a ⎝ i =1 j =1
b
(
)⎞⎟⎟dx + ∑∑ (p
n
⎠
n
i =1 j =1
ij
(b) f j (b) g i (b)
şeklinde tanımlanmıştır. Bu şekilde tanımladığımız iç çarpımı
)
µ ölçümüne göre tanımlanmış
iç-çarpım olarak adlandıracağız. Bu küme de vektörlerin toplamı ve sayı ile çarpımı
işlemlerine göre, bir lineer uzaydır. L2, R ([a, b ], µ ) ayrılabilir bir Hilbert uzayı oluşturur
(Weidman, 1980).
15
Uyarı: µ ölçümünün tanımından görüldüğü gibi u ve v ∈ C n iken iç-çarpım
(u, v ) = (P(b).u, v )
şeklinde tanımlanırsa, L2, R ([a, b ], µ ) uzayı
L2, R [a, b] ⊕ C n
uzayı ile çakışır. Buradaki L2, R [a, b] daha önce tanımladığımız n bileşenli fonksiyonlardan
oluşan Lebesque uzayı ve C n ise n boyutlu kompleks vektör uzayıdır. Bir başka deyişle
∀f ( x ) ∈ L2, R ([a, b ], µ ) vektörü
⎧⎛ f1 ( x) ⎞ ⎛ f 1 (b) ⎞⎫
⎟⎜
⎟⎪
⎪⎜
⎪⎜ f 2 ( x) ⎟ ⎜ f 2 (b) ⎟⎪
f ( x) = { f ( x),U α ( f )} = ⎨⎜
⎟, ⎜
⎟⎬
⎪⎜ M ⎟ ⎜ M ⎟⎪
⎪⎜⎝ f n ( x) ⎟⎠ ⎜⎝ f n (b) ⎟⎠⎪
⎩
⎭
şeklinde yazılabilir. Sağ taraftaki f ( x) [a, b ) aralığının hemen her noktasında (Lebesque
ölçümüne göre) tanımlıdır. L2, R ([a, b ], µ ) uzayını H harfi ile gösterelim.
(2.1.1)-(2.1.3) sınır değer problemini olağan operatör denkleme indirgemek için aşağıdaki
şekilde bir A operatörü tanımlayalım.
A 'nın tanım kümesi
D( A) = {y ( x) ∈ H , y ( x) ve y ' ( x) , (a, b ) açık aralığında mutlak sürekli ve
y [1] ( a ) = 0 , α 1 y (b) = U α ( y )}
ve y ( x ) ∈ D ( A) iken
−1
⎛ y ( x) ⎞ ⎧⎪ R ( x)l ( y ) x ∈ [a, b )
⎟⎟ = ⎨
A⎜⎜
x = {b}
⎝ α 1 y (b) ⎠ ⎪⎩ − U β ( y )
(2.3.2)
olsun. A operatörünün tanımından görüldüğü gibi (2.1.1)-(2.1.3) sınır değer probleminin
özdeğer ve özvektörleri A’nın özdeğer ve özvektörleridir.
16
Böylece (2.1.1)-(2.1.3) problemi A : H → H operatörünün spektral özelliklerinin incelenmesi
problemine indirgenmiş olur. Bu nedenle (2.1.1)-(2.1.3) problemi yerine A operatörünü
inceleyeceğiz.
A operatörü simetrik, alttan sınırlı, üstten sınırsız ve esaslı (essential) kendine eş operatördür.
A Operatörünün Simetrik Olduğunun Gösterilmesi
Bir A operatörü simetrik bir operatör ise
( Af , g ) = ( f , Ag )
(2.3.3)
eşitliği sağlanmalıdır.Burada
(
⎛ R −1 ( x) − (Pf ' )' + Q( x) f
Af = ⎜
⎜
−Uβ ( f )
⎝
)⎞⎟ = ⎛⎜ R
⎟
⎠
( x)l ( y ) ⎞
⎟
⎜ −U ( f ) ⎟
β
⎝
⎠
−1
ve g ( x) = (g1 ( x), g 2 ( x),..., g n ( x) ) olmak üzere
⎛ g ( x) ⎞
⎟⎟
g = ⎜⎜
U
(
g
)
α
⎠
⎝
(2.3.4)
şeklinde tanımlıdır.Böylece
b
( Af , g ) = ∫ (R( x) R −1 ( x)l ( y), g )dx − (P(b)U β ( f ),U α ( g ))
(2.3.5)
a
olur. l ( y ) yerine konularak
( Af , g ) = ∫ (− (Pf ' )' + Q( x) f , g )dx − (P(b)U β ( f ),U α ( g ))
b
a
b
((
)
)
b
= ∫ − Pf , g dx + ∫ (Q( x) f , g ) dx − (P(b)U β ( f ),U α ( g ) )
' '
a
a
elde edilir. ( f , g ) = ( f ' , g )+ ( f , g ' ) olduğu göz önüne alındığında (2.3.6) denklemi
'
b
b
a
a
( Af , g ) = (− Pf ' , g ) a + ∫ (Pf ' , g ' )dx + ∫ (Q( x) f , g ) dx − (P(b)U β ( f ),U α ( g ))
b
şeklinde yazılır. f [1] (a) =0 olduğundan yukarıdaki eşitlikten
b
b
a
a
( Af , g ) = (− P(b) f ' (b), g (b))+ ∫ ( f ' , Pg ' )dx + ∫ ( f , Q( x) g ) dx − (P(b)U β ( f ),U α ( g ) )
(2.3.6)
17
(
) (
= − P(b) f (b), g (b) + f , Pg
'
) − ∫ ( f , (Pg ) )dx + ∫ ( f , Q( x) g ) dx − (P(b)U
' b
a
b
' '
a
b
β
( f ),U α ( g ) )
a
(2.3.7)
elde edilir. Başlangıç koşulu (2.1.2) den , ( f (a ), g [1] (a ) ) = 0 olduğundan (2.3.7) denklemi
( Af , g ) = (− P(b) f ' (b), g (b))+ ( f (b), P(b) g ' (b)) − ∫ ( f , (Pg ' )' )dx + ∫ ( f , Q( x) g ) dx − (P(b)U β ( f ),U α ( g ))
b
b
a
a
'
şeklinde bulunur.(2.2.10) denkleminden y (b) yerine konularak
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎠ ⎝ α1
⎠
( Af , g ) = ⎜⎜ − P(b)[β1U α ( f ) − α 1U β ( f )], U α ( g ) ⎟⎟ + ⎜⎜ U α ( f ) , P(b)[β1U α ( g ) − α 1U β ( g )]⎟⎟
α1
⎝
b
( (
))
+ ∫ f , − ( Pg ' ) ' + Q ( x) g dx − (P (b)U β ( f ),U α ( g ) )
a
=−
β1
(P(b)U α ( f ),U α ( g ) ) + (P(b)U β ( f ),U α ( g ) ) + β1 (P(b)U α ( f ),U α ( g ) )
α1
α1
b
(
(
))
− (P(b)U α ( f ),U β ( g ) ) + ∫ f ( x), − ( Pg ' ) ' + Q( x) g dx − (P(b)U β ( f ),U α ( g ) )
(2.3.8)
a
elde edilir.(2.3.8)’i düzenlediğimizde
b
( Af , g ) = ∫ ( f ( x), (− ( Pg ' ) ' + Q( x) g ))dx + (P(b)U α ( f ),−U β ( g ) )
a
b
= ∫ ( f ( x), R ( x) R −1 ( x)(− ( Pg ' ) ' + Q( x) g ))dx + (P(b)U α ( f ),−U β ( g ) )
a
b
= ∫ (R( x) f ( x), R −1 ( x)(− ( Pg ' ) ' + Q( x) g ))dx + (P(b)U α ( f ),−U β ( g ) )
a
buluruz. Buradan
b
( Af , g ) = ∫ ( f ( x), Ag ( x) )dµ = ( f , Ag )
a
olduğu görülür. Böylece (2.3.3) denklemi sağlanmış ve A operatörünün simetrik operatör
olduğu gösterilmiş olur .
A’nın alttan sınırlı olduğunun gösterilmesi
l ( y ) diferansiyel ifadesinin katsayıları ve sınır koşulundaki sayılar reel olduğundan dolayı
A : H → H operatörü reeldir (Naimark, 1968).Yani;
18
⎛ y ( x) ⎞
⎜⎜
⎟⎟ ∈ D( A) iken
⎝U α ( y ) ⎠
(
−1
'
'
⎛ y ( x) ⎞ ⎛ − R ( x) ( Py ( x)) + Q( x) y
⎟⎟ = ⎜
A ⎜⎜
⎜
− U β ( y)
⎝U α ( y ) ⎠ ⎝
)⎞⎟ = ⎛⎜ − R
⎟
⎠
⎜
⎝
−1
(
)
'
( x) ( P y ( x)) ' + Q( x) y ⎞⎟
⎟
− U β ( y)
⎠
⎛ y ( x) ⎞
⎛ y ( x) ⎞
⎟ = A⎜
= A ⎜⎜
⎜U ( y ) ⎟⎟
⎟
U
(
y
)
⎝ α
⎠
⎝ α
⎠
ve
⎛ y ( x) ⎞ ⎛ y ( x) ⎞
⎟ ∈ D( A)
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜
⎜
⎟
⎝U α ( y ) ⎠ ⎝U α ( y ) ⎠
olur. Böylece A ’nın alttan sınırlı olduğunu göstermek için, bu operatörün D ( A) ye ait olan
bileşenleri reel değerli fonksiyonlar olan vektörleri için göstermemiz yeterlidir.
A ‘nın alttan sınırlı olduğunu, yani ∀ y ∈ D ( A) için ( Ay, y ) ≥ −γ ( y, y ) olacak şekilde sabit γ
sayısının varlığını gösterelim.
(2.3.2) denkleminden
⎛ y ( x) ⎞
⎟⎟ ∈ D ( A) iken
y = ⎜⎜
⎝U α ( y ) ⎠
(
(
)
)
⎛ ⎛ R −1 ( x) − P( x) y ( x) ' ' + Q( x) y ( x) ⎞ ⎛ y ( x) ⎞ ⎞
⎟,⎜
⎟⎟
( Ay, y ) = ⎜⎜ ⎜⎜
⎟ ⎜⎝U α ( y ) ⎟⎠ ⎟
U
(
y
)
−
β
⎠
⎝⎝
⎠
b
((
(
(
)
)) )
= ∫ R( x) R −1 ( x) − P( x) y ( x) ' + Q( x) y ( x) , y ( x) dx − (P(b)U β ( y ),U α ( y ) )
'
a
şeklinde yazılır.
U β ( y ) = β 1 y (b) − β 2 y ' (b)
ve
U α ( y ) = α1 y (b)
olduğu (2.3.9) da göz önüne alındığında
(2.3.9)
19
b
b
( Ay, y ) = −(P( x) y( x) , y( x) ) a + ∫ (P( x) y( x) , y( x) )dx + ∫ (Q( x) y( x), y( x) )dx
'
b
'
'
a
a
− (P(b)[β1 y(b) − β 2 y ' (b)], α 1 y (b) )
(2.3.10)
bulunur. (2.1.2) koşulundan , ( y [1] (a), y (a) ) = 0 olur. Böylece (2.310) denklemi
b
b
a
a
( Ay, y ) = −(P(b) y ' (b), y(b) ) + ∫ (P( x) y( x) ' , y( x) ' )dx + ∫ (Q( x) y( x), y( x) )dx
− α 1 β 1 (P (b) y (b), y (b) ) + α 1 β 2 (P(b) y ' (b), y (b) )
(2.3.11)
şeklinde olur. α 1 β 2 = 1 olduğundan dolayı (2.3.11) denklemi
b
b
a
a
( Ay, y ) = ∫ (P( x) y( x) ' , y( x) ' )dx + ∫ (Q( x) y( x), y( x))dx −α 1 β1 (P(b) y(b), y(b))
(2.3.12)
şeklinde bulunur. ∀y için ( P( x) y, y ) ≥ 0 ve α 1 β1 < 0 olduğundan (2.3.12) denklemi
b
( Ay, y ) ≥ ∫ (Q( x) y( x), y( x) )dx
a
≥ −γ y
2
L
[a , b ]
2
≥ −γ y
2
H
şeklinde yazılabilir.Burada γ = max Q( x) . Böylece
a ≤ x ≤b
( Ay, y ) ≥ −γ ( y, y )
bulunmuştur. Yani A’nın alttan − γ sayısı ile sınırlı olduğu gösterilmiştir.
A Operatörünün Esaslı (essential) Kendine-eş Operatör Olduğunun Gösterilmesi
A operatörünün esaslı (essential) kendine-eş operatör olduğunu göstermek için A’nın her
yerde yoğun olduğunu göstermeliyiz.
λ , A ’nın alt sınırından küçük T ’nin özdeğeri olmayan, herhangi bir reel sayı olsun. Bu
durumda ( A − λI ) D ( A) ’nın kapanışının ( A − λI ) D ( A) = H olduğunu gösterelim.
⎛ u1 ⎞
⎛ v1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ u2 ⎟
⎜v ⎟
u = ⎜ ⎟ , v = ⎜ 2 ⎟ olmak üzere
M
M
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜u ⎟
⎜v ⎟
⎝ n⎠
⎝ n⎠
⎛u ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ ∈ H sabit tutulmuş herhangi bir eleman olsun.
⎝v⎠
20
⎛ f ( x) ⎞ ⎛ f ( x) ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ ∈ D( A) keyfi eleman iken,
⎝U α ( f ) ⎠ ⎝ α 1 f (b) ⎠
(
)
⎛
⎞ ⎛u ⎞⎞
R −1 ( x)T − λ f
⎛ f ( x) ⎞ ⎛ u ⎞ ⎞ ⎛⎜ ⎛
⎟
⎜ ( A − λI )⎜⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
=
,
⎟ ⎜ v ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ − β f (b) − β f ' (b) − λα f (b) ⎟⎟, ⎜⎜ v ⎟⎟ ⎟
⎜
α
f
(
b
)
⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝⎝
⎝ 1
1
2
1
⎠ ⎝ ⎠⎠
⎝
(
b
(
(
) )
(
)
(
) )
= ∫ R( x) R −1 ( x)T − λ f , u dx + − P(b) β1 f (b) − β 2 f ' (b) + λα 1 f (b) , v
a
b
= ∫ ((T − λR( x) ) f , u )dx + (− P(b)(U β ( f ) + λU α ( f ) ), v ) = 0
(2.3.13)
a
eşitliğinin sağlandığını varsayalım. Keyfi f ∈ D (T ) iken (2.3.13) de
(− P(b)(U β ( f ) + λU α ( f ) ), v ) =0
(2.3.14)
koşulu sağlandığında
b
∫ ((T − λR( x)) f , u )dx = 0
(2.3.15)
a
elde edilir. T = T ∗ olduğundan
(T − λR( x) )D( L) = L2, R [a, b]
şeklindedir. Böylece (2.3.15)’e göre
u ( x) = 0
bulunur. Bunu (2.3.13) te göz önüne alırsak
(− P(b)(U β ( f ) + λU α ( f ) ), v ) =0
⎛ f ( x) ⎞
⎟⎟ ∈ D( A) keyfi eleman olduğundan
olur. ⎜⎜
⎝ α 1 f (b) ⎠
(U β ( f ) + λU α ( f )) ≠ 0
olacak şekilde f ( x ) fonksiyonu vardır. Bundan dolayı (2.3.14) den v = 0 bulunur. Buradan
( A − λI ) D ( A) = H
olduğu görülür.
21
λ < −γ iken ( A − λI )−1 simetrik operatörünün sınırlı, H ’da her yerde yoğun kümede tanımlı
olduğunu dikkate alalım. Bilinen Rellich Teoremine (Hellwig, 1967) göre
( A − λI )−1
operatörünün kapanışı kendine eş operatördür. Bu ise A’ nın kapanışının kendine eş olduğunu
kanıtlar. Yani A esaslı (essential) kendine eş operatördür.
2.4 Özfonksiyonlara Göre Açılım
Önce A’nın kendine eş operatör olduğunu gösterelim. Bunun için Weidman (1987)
çalışmasında olduğu gibi aşağıdaki şekilde A1 operatörünü tanımlayalım
{
}
D( A1 ) = y ∈ D(T ) y [1] (b) = 0 iken her ∀y ∈ D( A1 ) için
A1 y = l ( y )
olsun. Daha önce tanımladığımız kendine-eş T operatörünün spektrumunun sadece aşağıdaki
forma sahip özdeğerlerden oluştuğu bilinmektedir.
λ1 ≤ λ 2 ≤ ... ≤ ... ≤ λn ≤ ...
lim λ n = ∞ .
n →∞
Bu ise T ’nin esaslı(essential) spektrumunun yani σ e ( T )’nin boş küme olduğunu gösterir.
A ve T operatörleri A1 operatörünün sonlu boyutlu genişlemeleridir. Yani D ( A) ve D (T )
kümeleri D( A1 ) modülüne göre sonlu boyutludurlar. Başka bir deyişle M 1 ve M 2 sonlu
boyutlu alt uzaylar olmak üzere D ( A) ve D (T ) sırasıyla
D( A) = D( A1 ) + M 1
D(T ) = D( A1 ) + M 2
şeklinde gösterilebilir. Burada
D( A1 ) ∩ M 1 = D( A1 ) ∩ M 2 = φ (boş küme)
şeklindedir. Aşağıdaki bilinen teoremi ifade edelim.
Teorem 2.1 Kapalı operatörün her sonlu boyutlu genişlemeleri de kapalı operatördür.
İfade ettiğimiz teoreme göre A kapalı operatördür. A’nın kapanışının kendine eş olduğunu
yani esaslı (essential) kendine eş olduğunu göstermiştik.
22
Bilinen teoreme göre (Birman and Solonyak, 1987, Glazman, 1965), kapalı operatörün esas
spektrumu ile bu operatörün her sonlu boyutlu genişletilmesinin esas spektrumu çakışır. Buna
göre
σ e ( A) = σ e (T )
olur. σ e (T ) = φ olduğundan σ e ( A) = φ olur.
Esas spektrumu boş küme olan her kendine eş operatörün spektrumu saf ayrıktır (Akhiezer,
Glazman, 1987). Buna göre alttan sınırlı A operatörünün spektrumu, yığılma noktası sadece
artı sonsuz olan, özdeğerlerden ibarettir. Bu özdeğerleri aşağıdaki şekilde yazalım.
µ1 ≤ µ 2 ≤ ... ≤ ... ≤ µ n ≤ ...
, lim µ n = ∞
n →∞
Bu aynı zamanda A ’nın üstten sınırsız olduğunu gösterir. µ i (i = 1,2,..., n..) özdeğerlerine
karşılık gelen n bileşenli ortanormal özvektörleri
ϕ1 ( x), ϕ 2 ( x),..., ϕ n ( x),...
(2.4.1)
⎛ ϕ i1 ( x) ⎞
⎜
⎟
⎜ ϕ i 2 ( x) ⎟
şeklinde tanımlanır. Belli teoreme göre (Akhiezer,
ile gösterelim. Burada ∀ ϕ i ( x) = ⎜
. ⎟
⎜
⎟
⎜ ϕ ( x) ⎟
⎝ in ⎠
Glazman, 1987; Kato, 1980) (2.4.1) vektörler sistemi H uzayının bir bazıdır. Bununla biz
aşağıdaki teoremi ispatlamış oluruz.
⎛ f1 ( x) ⎞
⎜
⎟
⎜ f2 (x ⎟
∈ H keyfi bir vektör olsun. Bu taktirde
Teorem 2.2 f ( x) = ⎜
. ⎟
⎜
⎟
⎜ f (x ⎟
⎝ n ⎠
∞
f ( x) = ∑ a k ϕ k
(2.4.2)
k =1
eşitliği doğrudur. Burada
b
a k = ∫ (R( x) f ( x), ϕ k ( x) )dx
a
, k = 1,2,...
23
şeklinde tanımlanır. (2.4.2) eşitliğindeki seri f ( x ) ’ e µ ( x ) ölçümüne göre ortakuadratik
anlamda yakınsadığından
b
N
a
k =1
2
lim ∫ f − ∑ a k ϕ k dµ ( x) = 0
N →∞
olur. Gelenekliğe dayanarak (Friedman, 1956; Hochstad, 1989; Walter, 1973) Teorem 2.2’nin
özel halini ifade edelim.
Teorem 2.3 u ∈ L2, R [a, b ] herhangi bir vektör, ϕ~k ise ϕ k ‘nın [a, b ) ’ye kısıtlaması olsun. Bu
taktirde
b
bk = ∫ (R( x)u ( x), ϕ k ( x) )dx , k = 1,2...
a
olmak üzere
∞
u = ∑ bk ϕ~k
(2.4.3)
k =1
ve
∞
0 = ∑ ϕ~k ( x)(P (b).1, U α (ϕ k ))
(2.4.4)
k =1
eşitlikleri sağlanır. (2.4.3) serisi u ( x) ’e L2, R [a, b] anlamında yakınsaktır. Ek olarak
∞
∑ U α (ϕ~ )(P(b).1,U α (ϕ )) = 1
k =1
k
k
sağlanır. Burada 1, n bileşenli birim vektördür.
İspat Teoremi ispatlamak için
⎧ u ( x) a ≤ x < b
u=⎨
⎩U α (u ) x = {b}
ve
⎧⎪ R ( x)dx M ⊂ [a, b )
∫
=
d
µ
⎨M
∫M
M = {b}
⎪⎩ P (b)
(2.4.5)
24
iken u ∈ L2, R [a, b ] elemanına ek olarak u (b) = 0 kabul ederek L2, R ([a, b ], µ ) olduğunu
∞
b
k =1
a
∑ϕ~k ∫ (u( x),ϕ k ( x)) dµ ( x) serisinin
varsayacağız ve
u ( x) ’e , µ ( x )
ölçümüne göre
ortakuadratik yakınsamasını yani;
b
N
a
k =1
lim ∫ u ( x) − ∑
N →∞
ϕ~
k
2
b
∫ (u( x),ϕ
k
( x) )dµ ( x) dµ ( x) = 0
(2.4.6)
a
olmasını kullanacağız.(2.4.6) denklemini
2
b
⎧⎪ b
⎫⎪
N
~
lim ⎨∫ u ( x) − ∑ ϕ k ∫ (u ( x), ϕ k ( x) )dµ ( x) dµ ( x)⎬
N →∞
k =1
a
⎪⎩ a
⎪⎭
2
b
⎧⎪ b
N
N
~
~
= lim ⎨∫ u ( x) − ∑ ϕ k ∫ (R ( x)u ( x), ϕ k ( x) )dx + ∑ (ϕ k )(P (b)U α (u ), U α (ϕ k ) ) dx
N →∞
k =1
k =1
a
⎪⎩ a
b
b
N
N
⎛
⎛
⎞⎛
⎞ ⎞⎫⎪
~
~
⎜
+ P(b)⎜⎜U α (u ) − ∑U α (ϕ k ) ∫ (u ( x), ϕ k ( x) )dµ ( x) ⎟⎟, ⎜⎜U α (u ) − ∑U α (ϕ k ) ∫ (u ( x), ϕ k ( x) )dµ ( x) ⎟⎟ ⎟⎬
⎟
⎜
k =1
k =1
a
a
⎝
⎠⎝
⎠ ⎠⎪⎭
⎝
(2.4.7)
şeklinde yazabiliriz. Buradan
2
b
⎧⎪ b
N
N
~
~
= lim ⎨∫ u ( x) − ∑ ϕ k ∫ (R( x)u ( x), ϕ k ( x) )dx + ∑ (ϕ k )(P(b)U α (u ), U α (ϕ k ) ) dx + (P(b)U α (u ), U α (u ) )
N →∞
k =1
k =1
a
⎪⎩ a
b
N
⎛
⎞
− 2⎜⎜ P(b)U α (u ), ∑ U α (ϕ~k ) ∫ (u ( x), ϕ k ( x) )dµ ( x) ⎟⎟
k =1
a
⎝
⎠
b
b
N
N
⎞⎫
⎛
⎜ P (b)∑ U α (ϕ~k ) ∫ (u ( x), ϕ k ( x) )dµ ( x), ∑ U α (ϕ~k ) ∫ (u ( x), ϕ k ( x) )dµ ( x) ⎟⎪⎬ = 0
⎟⎪
⎜
k =1
k =1
a
a
⎠⎭
⎝
(2.4.8)
bulunur. (2.4.8) denkleminde aşağıda yapılan ara işlemlerden sonra (2.4.9) denklemi elde
edilir.
25
⎧⎪ b
= lim ⎨∫
N →∞
⎪⎩ a
b
N
N
⎛
⎡
⎤
⎜ R( x) ⎢ u ( x) − ∑ ϕ~k (R( x)u ( x), ϕ k ( x) )dx + ∑ (ϕ~k )(P (b)U α (u ), U α (ϕ k ) )⎥,
∫
⎜
k =1
k =1
a
⎣
⎦
⎝
b
N
N
⎡
⎤⎞
~
~
⎢u ( x) − ∑ ϕ k ∫ (R ( x)u ( x), ϕ k ( x) )dx + ∑ (ϕ k )(P(b)U α (u ), U α (ϕ k ) )⎥ ⎟⎟dx + (P (b)U α (u ), U α (u ) )
k =1
k =1
a
⎣
⎦⎠
b
N
N
⎞
⎛
− 2⎜⎜ P (b)U α (u ), ∑ U α (ϕ~k ) ∫ (R ( x)u ( x), ϕ k ( x) )dx + ∑ U α (ϕ~k )(P(b)U α (u ), U α (ϕ k ) )⎟⎟ +
k =1
k =1
a
⎠
⎝
b
N
⎛
⎡N
⎤
⎜ P(b) ⎢∑ U α (ϕ~k ) (R( x)u ( x), ϕ k ( x) )dx + ∑ U α (ϕ~k )(P(b)U α (u ), U α (ϕ k ) )⎥,
∫
⎜
k =1
a
⎣ k =1
⎦
⎝
b
N
⎡N
⎤ ⎞⎫⎪
~
~
⎢∑ U α (ϕ k ) ∫ (R( x)u ( x), ϕ k ( x) )dx + ∑ U α (ϕ k )(P(b)U α (u ), U α (ϕ k ) )⎥ ⎟⎟⎬
k =1
a
⎣ k =1
⎦ ⎠⎪⎭
b
N
N
⎧⎪ b ⎛
⎤
⎡
= lim ⎨∫ ⎜ R ( x) ⎢ u ( x) − ∑ ϕ~k ∫ (R ( x)u ( x), ϕ k ( x) )dx + ∑ (ϕ~k )(P (b)U α (u ), U α (ϕ k ) )⎥,
⎜
N →∞
k =1
k =1
⎪⎩ a ⎝
a
⎦
⎣
b
N
N
⎡
~ (R( x)u ( x), ϕ ( x) )dx + (ϕ~ )(P(b)U (u ), U (ϕ ) )⎤ dx + (P (b)U (u ), U (u ) )⎞⎟
u
(
x
)
ϕ
−
⎢
∑
∑
α
α
α
α
k ∫
k
k
k ⎥
⎟
k =1
k =1
a
⎣
⎦
⎠
b
N
N
⎛
⎞ ⎛
⎞
− 2⎜⎜ P(b)U α (u ), ∑ U α (ϕ~k ) ∫ R( x)(u ( x), ϕ k ( x) )dx ⎟⎟ − 2⎜ P (b)U α (u ), ∑ U α (ϕ~k )(P (b)U α (u ), U α (ϕ k ) )⎟
k =1
k =1
⎠
a
⎝
⎠ ⎝
b
N
N
⎛
⎞
+ 2⎜⎜ P (b)∑ U α (ϕ~k ) ∫ (R( x)u ( x), ϕ k ( x) )dx, ∑ U α (ϕ~k )(P(b)U α (u ), U α (ϕ k ) )⎟⎟
k =1
k =1
a
⎝
⎠
b
b
N
N
⎛
⎞
+ ⎜⎜ P (b)∑ U α (ϕ~k ) ∫ (R ( x)u ( x), ϕ k ( x) )dx, ∑ U α (ϕ~k ) ∫ (R( x)u ( x), ϕ k ( x) )dx ⎟⎟
k =1
k =1
a
a
⎝
⎠
N
N
⎛
⎞
+ ⎜ P(b)∑ U α (ϕ~k )(P(b)U α (u ),U α (ϕ k ) ), ∑ U α (ϕ~k )(P(b)U α (u ),U α (ϕ k ) )⎟ = 0
k =1
k =1
⎝
⎠
(2.4.9)
Eğer (2.4.6)’dan
⎛ u (x) ⎞
⎟⎟
u = ⎜⎜
⎝ 0 ⎠
alırsak, o zaman U α (u ) = 0 olur .Böylece (2.4.6)’dan
⎧⎪ b
lim ⎨∫
N →∞
⎪⎩ a
b
b
N
N
⎛
⎡
⎤ ⎡
⎤⎞
⎜ R( x) ⎢ u ( x) − ∑ ϕ~k (R ( x)u ( x), ϕ k ( x) )dx ⎥, ⎢ u ( x) − ∑ ϕ~k (R( x)u ( x), ϕ k ( x) )dx ⎥ ⎟dx
∫
∫
⎜
⎟
k =1
k =1
a
a
⎣
⎦ ⎣
⎦⎠
⎝
b
b
N
N
⎛
⎞
+ ⎜⎜ P (b)∑ U α (ϕ~k ) ∫ (R ( x)u ( x), ϕ k ( x) )dx, ∑ U α (ϕ~k ) ∫ (R ( x)u ( x), ϕ k ( x) )dx ⎟⎟ = 0
k =1
k =1
a
a
⎝
⎠
bulunur.
(2.4.10)
26
N
B N = u ( x) − ∑
k =1
b
ϕ~
k
∫ (R( x)u ( x),ϕ
k
( x) )dx
a
ve
N
b
k =1
a
AN = ∑U α (ϕ~k ) ∫ (R( x)u ( x), ϕ k ( x) )dx
kabul edersek (2.4.10) denklemi
⎧b
lim ⎨ (R ( x) B N , B N )dx + (P (b) AN , AN ) = 0
N →∞ ∫
⎩a
şeklinde yazılabilir. P (b) > 0 ve R ( x ) pozitif matris olduğundan ,(2.4.10) eşitliğinden;
∞
b
k =1
a
∑U α (ϕ~k )∫ (R( x)u( x),ϕ k ( x))dx = 0
ve
∞
u ( x) = ∑
ϕ~
k =1
k
b
∫ (R( x)u( x),ϕ
k
( x) )dx
a
bulunur. Böylece
b
bk = ∫ (R( x)u ( x), ϕ k ( x) )dx
a
olmak üzere
∞
u = ∑ bk ϕ~k
k =1
yani (2.4.3) gösterilmiştir. (2.4.9) da
⎛ u ( x) ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
u ( x) = ⎜⎜
⎝U α (u ) ⎠ ⎝ 1 ⎠
alındığında (2.4.9) eşitliği
27
⎧⎪ b ⎛
⎛ N
⎞⎛ N
⎞⎞
lim ⎨∫ ⎜⎜ R( x)⎜ ∑ (ϕ~k )(P (b).1, U α (ϕ k ) )⎟, ⎜ ∑ (ϕ~k )(P(b).1, U α (ϕ k ) )⎟ ⎟⎟dx
N →∞ ⎪
⎝ k =1
⎠ ⎝ k =1
⎠⎠
⎩a ⎝
N
⎛
⎞
+ (P(b).1,1)) − 2⎜ P(b).1, ∑ U α (ϕ~k )(P (b).1, U α (ϕ k ) )⎟
k =1
⎝
⎠
N
N
⎛
⎞⎫
+ ⎜ P (b)∑ U α (ϕ~k )(P(b).1, U α (ϕ k ) ), ∑ U α (ϕ~k )(P(b).1, U α (ϕ k ) )⎟⎬ = 0
k =1
k =1
⎝
⎠⎭
şeklini alır. Bu ifade aşağıdaki gibi yazılabilir.
⎧⎪ b ⎛
⎛ N
⎞⎛ N
⎞⎞
lim ⎨∫ ⎜⎜ R ( x)⎜ ∑ (ϕ~k )(P (b).1, U α (ϕ k ) )⎟, ⎜ ∑ (ϕ~k )(P(b).1, U α (ϕ k ) )⎟ ⎟⎟dx
N →∞ ⎪
⎝ k =1
⎠ ⎝ k =1
⎠⎠
⎩a ⎝
(2.4.11)
⎛⎛
⎞⎛
⎞⎞
+ ⎜⎜ ⎜ P (b).1 − P (b)∑ U α (ϕ~k )(P(b).1, U α (ϕ k ) )⎟, ⎜1 − ∑ U α (ϕ~k )(P(b).1, U α (ϕ k ) )⎟ ⎟⎟ = 0
k =1
k =1
⎠⎝
⎠⎠
⎝⎝
N
N
Burada
N
⎛
⎞
⎜1 − ∑ U α (ϕ~k )(P(b).1,U α (ϕ k ) )⎟ = AN
⎝ k =1
⎠
ve
⎛ N ~
⎞
⎜ ∑ (ϕ k )(P(b).1,U α (ϕ k ) )⎟ = B N
⎝ k =1
⎠
dersek (2.4.11) eşitliği
⎧b
lim ⎨∫ (R( x) B N , B N )dx + (P(b) AN , AN ) = 0
N →∞
⎩a
şeklinde yazılabilir. R ( x ) pozitif matris ve P (b) > 0 olduğundan (2.4.12)’den
∞
∑ ϕ~ ( x)(P(b).1,U α (ϕ )) = 0
k =1
k
k
ve
∞
∑ U α (ϕ~ )(P(b).1,U α (ϕ )) = 1
k =1
bulunur.
k
k
(2.4.12)
28
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎜ 0⎟
Özel olarak 1 vektörünü 1 = ⎜ 0 ⎟ şeklinde alırsak bu durumda (2.4.4) eşitliği
⎜ ⎟
⎜M⎟
⎜ 0⎟
⎝ ⎠
∞
~
⎛
⎞
n
∑ ϕ k ⎜ ∑ pi1 (b)U α (ϕ ki ) ⎟ = 0
⎝ i =1
k =1
⎠
ve (2.4.5) eşitliği
∞
⎛
n
n
∑ ⎜⎜ ∑∑U α (ϕ
k =1
⎝
j =1 i =1
kj
⎞
) pi1 (b)U α (ϕ ki ) ⎟⎟ = 1
⎠
şeklinde yazılabilir. Burada 1 sabit sayıdır.
n boyutlu birim vektörün a. elemanı 1 diğer elemanları sıfır olmak üzere (2.4.4) ve (2.4.5)
denklemlerinin en genel halleri sırasıyla
∞
~
⎛
n
⎞
∑ ϕ k ⎜ ∑ pia (b)U α (ϕ ki ) ⎟ = 0
k =1
⎝ i =1
⎠
⎛ n n
⎞
⎜ ∑∑ U α (ϕ kj ) pia (b)U α (ϕ ki ) ⎟ = 1
∑
⎜
⎟
k =1 ⎝ j =1 i =1
⎠
∞
şeklindedir. Burada 1 sabit sayıdır.
2.5 A Operatörünün Spektral Fonksiyonu ve Rezolventi
Kendine eş A operatörünün alttan − γ sayısı ile sınırlı olduğu biliniyor. A ’nın spektral
fonksiyonunu E λ (−∞ < λ < ∞) ile gösterelim. A ∈ D ( A) iken
A( x, x ) ≥ −γ ( x, x )
olduğundan λ < −γ iken
Eλ = 0
şeklindedir. Yine basitlik için Eλ fonksiyonunu L2, R [a, b ] uzayında göz önüne alacağız. Daha
önce belirttiğimiz gibi L2, R [a, b ] uzayı H ’nın f (b) = 0 koşulunu sağlayan elemanlarının
oluşturduğu alt uzaydır.
29
f ( x) ;
⎛ f1 ( x) ⎞
⎜
⎟
⎜ f 2 ( x) ⎟
f ( x) = ⎜
∈ L2, R [a, b]
M ⎟
⎜
⎟
⎜ f ( x) ⎟
⎝ n ⎠
şeklinde verilen herhangi bir vektör fonksiyon olsun. Her reel λ için;
Eλ f =
∑ ( f ,ϕ
λk < λ
k
)ϕ k
şeklindedir. Burada
⎛ ϕ k1 ( x) ⎞
⎜
⎟
⎜ ϕ k 2 ( x) ⎟
∈ L2, R [a, b]
ϕ k ( x) = ⎜
M ⎟
⎜
⎟
⎜ ϕ ( x) ⎟
⎝ kn ⎠
fonksiyonu A −1 operatörünün λ k özdeğerine karşılık gelen özfonksiyonunun [a, b ) aralığına
kısıtlamasıdır. Burada amacımız Eλ ’nın, çekirdeği matris fonksiyon olan, integral operatör
olduğunu göstermektir.
f ( x) ve ϕ k ( x) fonksiyonlarının bileşenleri cinsinden E λ f
⎛b
⎞
Eλ f = ∑ ( f , ϕ k )ϕ k = ∑ ⎜⎜ ∫ ( R ( y ) f ( y ), ϕ k ( y ))dy ⎟⎟ϕ k ( x)
λk < λ
λk < λ ⎝ a
⎠
⎧
⎛ ϕ k1 ( x) ⎞⎫
⎟⎪
⎜
⎪
n
n
⎞⎜ ϕ k 2 ( x) ⎟⎪
⎪ ⎛⎜
= ∫ ⎨ ∑ ⎜ ∑∑ (rij ( y ) f j ( y )ϕ ki ( y ) )⎟⎟⎜
⎟⎬dy
a ⎪λk < λ⎝ i =1 j =1
⎠⎜ . ⎟⎪
⎜ ϕ ( x) ⎟⎪
⎪
⎝ kn ⎠⎭
⎩
b
b
= ∫ K ( x, y, λ ) R( y ) f ( y )dy
(2.5.1)
a
şeklinde yazılabilir. Burada
⎛ ϕ k1 ( x)ϕ k1 ( y ) ϕ k1 ( x)ϕ k 2 ( y )
⎜
⎜ ϕ ( x)ϕ k1 ( y ) ϕ k 2 ( x)ϕ k 2 ( y )
K ( x, y , λ ) = ∑ ⎜ k 2
M
M
λk < λ
⎜
⎜ ϕ ( x)ϕ ( y ) ϕ ( x)ϕ ( y )
k1
kn
k2
⎝ kn
. ϕ k1 ( x)ϕ kn ( y ) ⎞
⎟
. ϕ k 2 ( x)ϕ kn ( y ) ⎟
⎟
M
.
⎟
. ϕ kn ( x)ϕ kn ( y ) ⎟⎠
(2.5.2)
30
şeklindedir. (2.5.2) den görüldüğü gibi K ( x, y , λ ) simetrik matristir. Böylece
b
Eλ f = ∫ K ( x, y, λ ) R( y ) f ( y )dy
a
yani Eλ çekirdeği simetrik matris olan integral operatördür. µ ≤ λ iken
E µ Eλ = Eλ
olduğundan ∀f ( x ) ∈ L2, R [a, b ] iken
b
E µ E λ f ( x) = E µ ∫ K ( x, t , λ ) R(t ) f (t )dt
a
b
⎧b
⎫
= ∫ K ( x, s, µ ) R( s )⎨∫ K ( s, t , λ ) R(t ) f (t )dt ⎬ds
a
⎩a
⎭
b b
⎧
⎫
= ∫ ⎨∫ K ( x, s, µ ) R( s) K ( s, t , λ )ds ⎬ R(t ) f (t )dt
a ⎩a
⎭
= E λ f ( x)
b
= ∫ K ( x, t , λ ) R(t ) f (t )dt
(2.5.3)
a
bulunur. Burada f ( x ) keyfi olduğundan
b
∫ K ( x, s, µ ) R(s) K (s, t, λ )ds = K ( x, t, λ )
a
olduğu bulunur. l ∈ ρ ( A) için (Smirnov, 1964)
∞
Rl f ( x) =
dE λ f
∫γ λ − l
−
ifadesinden
A ≥ −γI ( I birim operator ) olduğundan
A ’nın
l ∈ ρ ( A)
noktasında
Rl
rezolventinin değeri
b
∞
Rl f ( x) =
∫γ
d λ ∫ K ( x, y, λ ) R( y ) f ( y )dy
a
−
formülü ile ifade edilir.
λ −l
(2.5.4)
31
K ( x, y , λ ) matris fonksiyonu yardımıyla ∀f ( x ) ∈ L2, R [a, b ] için
∞
b
−γ
a
f ( x) = ∫ d λ ∫ K ( x, y, λ ) R( y ) f ( y )dy
(2.5.5)
ve ∀f ( x ) ∈ D ( A) için Af ( x ) ;
∞
b
−γ
a
Af ( x) = ∫ λd λ ∫ K ( x, y, λ ) R ( y ) f ( y )dy
(2.5.6)
şeklinde yazılır. Böylece A operatörünün spektral fonksiyonunun ve rezolventinin çekirdeği
matris fonksiyon olan integral operatörler olduğunu göstermiş olduk.
32
3. SINIR KOŞULLARINDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN GECİKEN
ARGUMANLI SÜREKLİ OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMİNİN ÖZDEĞER
VE ÖZFONKSİYONLARI ÜZERİNE
3.1 Probleme Giriş
⎡ π ⎞ ⎛π ⎤
Bu bölümde ⎢0, ⎟ U ⎜ , π ⎥ aralığında
⎣ 2⎠ ⎝2 ⎦
y '' ( x) + λ2 y ( x) + q ( x) y ( x − ∆( x)) = 0
(3.1.1)
denklemi ve
λy (0) + y ' (0) = 0 ,
(3.1.2)
λ2 y (π ) + y ' (π ) = 0
(3.1.3)
sınır koşulları ,
⎛π
⎞
⎛π
⎞
y ⎜ − 0 ⎟ − δy ⎜ + 0 ⎟ = 0 ,
⎝2
⎠
⎝2
⎠
(3.1.4)
⎛π
⎞
⎛π
⎞
y ' ⎜ − 0 ⎟ − δy ' ⎜ + 0 ⎟ = 0
⎝2
⎠
⎝2
⎠
(3.1.5)
dönüşüm koşullarıyla verilen sınır değer problemini göz önüne alalım. Burada q ( x) ve
⎛π
⎞
⎡ π ⎞ ⎛π ⎤
∆ ( x ) ≥ 0 , ⎢0, ⎟ U ⎜ , π ⎥ aralığında reel değerli sürekli, sırasıyla q⎜ ± 0 ⎟ = lim q( x) ,
⎝2
⎠ x→ π2 ± 0
⎣ 2⎠ ⎝2 ⎦
⎛π
⎞
lim ∆⎜ ± 0 ⎟ = lim ∆( x)
⎝2
⎠ x → π2 ± 0
sonlu limitlerine sahip fonksiyonlar,
⎡ π⎞
x ∈ ⎢0, ⎟
⎣ 2⎠
iken
π
⎛π ⎤
x − ∆ ( x ) ≥ 0 ve x ∈ ⎜ , π ⎥ iken x − ∆ ( x) ≥ şeklindedir. Ayrıca λ > 0 reel parametre ve
2
⎝2 ⎦
⎡ π⎤
δ ≠ 0 keyfi reel sayıdır. w1 ( x, λ ) , ⎢0, ⎥ aralığında (3.1.1) denkleminin
⎣ 2⎦
w1 (0, λ ) = 1 , w1' (0, λ ) = −λ
başlangıç koşullarını sağlayan çözümü olsun.
(3.1.6)
33
⎡ π⎤
(3.1.6) başlangıç koşulları ⎢0, ⎥ aralığında (3.1.1) denklemine tek çözüm tanımlar (Norkin
⎣ 2⎦
⎡π ⎤
(1972), Teorem 1.2.1). w1 ( x, λ ) çözümünden sonra ⎢ , π ⎥ aralığında (3.1.1) denkleminin
⎣2 ⎦
w2 ( x, λ ) çözümü w1 ( x, λ ) cinsinden
⎛π ⎞
⎛π ⎞
⎛π ⎞
⎛π ⎞
w2 ⎜ , λ ⎟ = δ −1w1 ⎜ , λ ⎟ , w2' ⎜ , λ ⎟ = δ −1w1' ⎜ , λ ⎟
⎝2 ⎠
⎝2 ⎠
⎝2 ⎠
⎝2 ⎠
(3.1.7)
dönüşüm koşulları yardımıyla tanımlanabilir. (3.1.7) dönüşüm koşulları
⎡π ⎤
⎢⎣ 2 , π ⎥⎦ aralığında
⎡ π ⎞ ⎛π ⎤
(3.1.1) denklemine tek çözüm tanımlar. Sonuç olarak ⎢0, ⎟ U ⎜ , π ⎥ aralığında tanımlanan
⎣ 2⎠ ⎝2 ⎦
⎧
⎪ w1 ( x, λ )
⎪
w( x, λ ) = ⎨
⎪
⎪ w2 ( x , λ )
⎩
fonksiyonu
,
⎡ π⎞
x ∈ ⎢0, ⎟ ,
⎣ 2⎠
,
⎛π ⎤
x ∈ ⎜ ,π ⎥
⎝2 ⎦
(3.1.1) denkleminin (3.1.2) ve (3.1.3) sınır koşulları ile (3.1.4) ve (3.1.5)
dönüşüm koşullarını sağlayan çözümüdür.
Lemma 3.1 w( x, λ ) , (3.1.1) denkleminin çözümü olsun. λ > 0 için aşağıdaki integral
denklemler doğrudur.
w1 ( x, λ ) = − Sinλx + Cosλx −
1
x
⎡ π⎞
q(τ ) Sinλ ( x − τ ) w (τ − ∆(τ ), λ )dτ , x ∈ ⎢0, ⎟
λ∫
⎣ 2⎠
1
(3.1.8)
0
w2 ( x , λ ) =
−
1
π ⎞ 1 ⎛π ⎞
π⎞
⎛π ⎞
⎛
⎛
w1' ⎜ , λ ⎟ sin λ ⎜ x − ⎟ + w1 ⎜ , λ ⎟ cos λ ⎜ x − ⎟
2⎠ δ ⎝2 ⎠
2⎠
δλ ⎝ 2 ⎠
⎝
⎝
1
⎛π ⎤
x ∈ ⎜ ,π ⎥
⎝2 ⎦
x
q (τ ) sin λ ( x − τ ) w (τ − ∆(τ ), λ )dτ
λ π∫
2
,
2
(3.1.9)
İspat w1 ( x, λ ) , (3.1.1) denklemini sağladığından aşağıdaki eşitlik doğrudur.
x
x
x
0
0
0
''
2
∫ w1 (τ , λ )Sinλ ( x − τ )dτ + ∫ λ w1 (τ , λ )Sinλ ( x − τ )dτ + ∫ q(τ )w1 (τ − ∆(τ ), λ )Sinλ ( x − τ )dτ = 0
34
Yukarıdaki ifadede birinci integrale iki defa kısmi integrasyon uygulandıktan sonra (3.1.6)
başlangıç koşulları yardımıyla
w1 ( x, λ ) = − Sinλx + Cosλx −
1
x
λ ∫0
q(τ ) w1 (τ − ∆(τ ), λ ) Sinλ ( x − τ )dτ
elde edilir. Böylece (3.1.8)’in doğruluğu gösterilmiş olur. Aynı şekilde w2 ( x, λ ) , (3.1.1)
denklemini sağladığından aşağıdaki eşitlik doğrudur.
x
x
x
''
2
∫ w2 (τ , λ )Sinλ ( x − τ )dτ + ∫ λ w2 (τ , λ )Sinλ ( x − τ )dτ + ∫ q(τ )w2 (τ − ∆(τ ), λ )Sinλ ( x − τ )dτ = 0
π
π
2
π
2
2
Son eşitlikte birinci integrale iki defa kısmi integrasyon uygulandıktan sonra (3.1.4) ve (3.1.5)
dönüşüm koşulları yardımıyla
w2 ( x , λ ) =
−
1
x
π ⎞ 1 ⎛π ⎞
π⎞
⎛π ⎞
⎛
⎛
w1' ⎜ , λ ⎟ Sinλ ⎜ x − ⎟ + w1 ⎜ , λ ⎟Cosλ ⎜ x − ⎟
δλ ⎝ 2 ⎠
2⎠ δ ⎝2 ⎠
2⎠
⎝
⎝
1
λ π∫2
q(τ ) w2 (τ − ∆(τ ), λ ) Sinλ ( x − τ )dτ
şeklinde
bulunur.
,
Böylece (3.1.9)’un doğruluğu gösterilmiş olur. Böylece Lemma
ispatlanmıştır.
Teorem 3.1 (3.1.1)-(3.1.5) problemi sadece basit özdeğerlere sahip olabilir.
~
İspat λ , (3.1.1)-(3.1.5) probleminin özdeğeri,
⎡ π⎞
x ∈ ⎢0, ⎟
⎣ 2⎠
⎧~
~
⎪ u1 ( x, λ )
~ ⎪
u~ ( x, λ ) = ⎨
⎪~
~
⎪u 2 ( x, λ )
⎩
⎛π ⎤
x ∈ ⎜ ,π ⎥
⎝2 ⎦
~
ise λ özdeğerine karşılık gelen özfonksiyon olsun. (3.1.2) ve (3.1.6) dan
~
u~1 (0, λ ) 1
~
~
~
W u1 (0, λ ), w1 (0, λ ) = ~ ' ~
u1 (0, λ ) − λ
[
]
~
~
= −λu~1 (0, λ ) − u~1' (0, λ ) = 0
bulunur.
35
~
Norkin (1972)’deki Teorem 2.2.2’den u~1 ( x, λ )
~
ve w1 ( x, λ )
⎡ π⎤
⎢⎣0, 2 ⎥⎦ aralığında
⎛π ~⎞
bağımlıdır. Dolayısıyla u~1 = k1w1 şeklindedir. Aynı şekilde u~2 ⎜ , λ ⎟ ve
⎝2 ⎠
lineer
⎛π ~⎞
w2 ⎜ , λ ⎟ ’nında
⎝2 ⎠
~
⎡π ⎤
~
⎢ 2 , π ⎥ aralığında lineer bağımlı olduğunu gösterelim. (3.1.2) , (3.1.7) eşitlikleri ve u1 ( x, λ )
⎣
⎦
~
ile w1 ( x, λ ) nın lineer bağımlı olduğu göz önünde bulundurulursa
⎛π ~⎞
⎛π ~⎞
u~2 ⎜ , λ ⎟ w2 ⎜ , λ ⎟
⎡ ⎛ π ~ ⎞ ⎛ π ~ ⎞⎤
2 ⎠
⎝2 ⎠
W ⎢u~2 ⎜ , λ ⎟, w2 ⎜ , λ ⎟⎥ = ⎝
⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦ u~ ' ⎛⎜ π , λ~ ⎞⎟ w ' ⎛⎜ π , λ~ ⎞⎟
2
2
⎝2 ⎠
⎝2 ⎠
1 ~ ⎛π ~⎞ 1 ⎛π ~⎞
u ⎜ ,λ ⎟
w ⎜ ,λ ⎟
δ 1 ⎝ 2 ⎠ δ 1 ⎝ 2 ⎠ 1 ⎡ 1 ⎛ π ~ ⎞ ⎛ π ~ ⎞⎤
=
W u ⎜ , λ ⎟, w ⎜ , λ ⎟ = 0
=
1 ~ ' ⎛ π ~ ⎞ 1 ' ⎛ π ~ ⎞ δ 2 ⎢⎣ δ 1 ⎝ 2 ⎠ 1 ⎝ 2 ⎠⎥⎦
u1 ⎜ , λ ⎟
w1 ⎜ , λ ⎟
δ ⎝2 ⎠ δ ⎝2 ⎠
bulunur. Buradan u~2 = k2 w2 olur. Böylece
~
~
u~i ( x, λ ) = k i wi ( x, λ ) , i = 1,2
şeklinde yazılabilir. k1 ≠ 0, k2 ≠ 0 iken k1 = k2 olduğu gösterilmelidir. k1 ≠ k2
(3.1.10)
olduğunu
varsayalım. (3.1.4) ve (3.1.10) eşitliklerinden
~⎞
~⎞
⎛π
⎛π
⎛π ~⎞
⎛π ~⎞
u~⎜ − 0, λ ⎟ − δu~⎜ + 0, λ ⎟ = u~1 ⎜ , λ ⎟ − δu~2 ⎜ , λ ⎟
⎝2
⎠
⎝2
⎠
⎝2 ⎠
⎝2 ⎠
⎛π ~⎞
⎛π ~⎞
= k1 w1 ⎜ , λ ⎟ − δk 2 w2 ⎜ , λ ⎟
⎝2 ⎠
⎝2 ⎠
⎛π ~⎞
⎛π ~⎞
= k1δw2 ⎜ , λ ⎟ − δk 2 w2 ⎜ , λ ⎟
⎝2 ⎠
⎝2 ⎠
⎛π ~⎞
= δ ( k1 − k 2 ) w2 ⎜ , λ ⎟ = 0
⎝2 ⎠
bulunur. δ ≠ 0 olduğundan ve k1 ≠ k2 varsaydığımızdan eşitliğin sıfıra eşit olması için
⎛π ~⎞
w2 ⎜ , λ ⎟ = 0
⎝2 ⎠
olmalıdır.
(3.1.11)
36
Aynı işlemlerle (3.1.5)’den
⎛π ~⎞
w2' ⎜ , λ ⎟ = 0
⎝2 ⎠
~
⎡π ⎤
bulunur. w2 ( x, λ ) (3.1.1) probleminin ⎢ , π ⎥ aralığında
⎣2 ⎦
(3.1.12)
(3.1.11) ve (3.1.12) başlangıç
⎡π ⎤
koşullarını sağlayan çözümü olduğundan tüm ⎢ , π ⎥ aralığında
⎣2 ⎦
~
w2 ( x, λ ) =0
şeklindedir. (Norkin (1972),Teorem 1.2.1). Ayrıca (3.1.7), (3.1.11) ve (3.1.12) den
⎛π ~⎞
⎛π ~⎞
w1 ⎜ , λ ⎟ = w1' ⎜ , λ ⎟ = 0
⎝2 ⎠
⎝2 ⎠
~
⎡ π⎤
bulunur. Böylece tüm ⎢0, ⎥ aralığında w1 ( x, λ ) = 0 bulunur (Norkin(1972), Theorem1.2.1)
⎣ 2⎦
Ama bu
(3.1.6) başlangıç koşuluyla çelişir. Böylece k1 = k2 olduğu görülür ve teorem
ispatlanmış olur.
3.2 Varlık Teoremi
3.1 bölümünde tanımlanan w( x, λ ) fonksiyonu (3.1.1) denkleminin (3.1.2) ve (3.1.3) sınır
koşulları ile (3.1.4) ve (3.1.5) dönüşüm koşullarını sağlayan çözümüdür. w( x, λ )
(3.1.3)
sınır koşulunda yerine konulursa
F (λ ) = λ2 w( π , λ ) + w' (π , λ ) = 0
(3.2.1)
karakteristik denklemi elde edilir. Teorem 3.1’ den , (3.1.1)-(3.1.5) sınır değer probleminin
özdeğerlerinin (3.2.1) denkleminin reel kökleriyle çakıştığı görülür.
π 2
q1 =
∫ q(τ ) dτ
0
ve
π
q2 =
∫ q(τ ) dτ
π 2
olsun.
37
Lemma 3.2
1) λ ≥ 2q1 iken (3.1.8) denkleminin w1 ( x, λ ) çözümü için
w1 ( x, λ ) ≤ 2 2
⎡ π⎤
x ∈ ⎢0, ⎥
⎣ 2⎦
,
(3.2.2)
~
2) λ ≥ max{2q1 ,2q2 } iken (3.1.9) denkleminin w2 ( x, λ ) çözümü için
w2 ( x, λ ) ≤
8 2
δ
⎡π ⎤
x ∈ ⎢ , π⎥
⎣2 ⎦
,
(3.2.3)
eşitsizlikleri elde edilir.
İspat B1λ = max w1 ( x, λ ) olsun . Böylece (3.1.8) den ∀λ > 0 iken
⎡ π⎤
⎢ 0, 2 ⎥
⎣
⎦
B1λ ≤ 2 +
1
λ
(3.2.4)
B1λ q1
olur. λ ≥ 2q1 iken
B1λ ≤ 2 2
eşitsizliği yani (3.2.2) bulunur.(3.1.8) in x ’e göre türevi alınırsa
x
w1' ( x, λ) = −λCosλx − λSinλx − ∫ q(τ)Cosλ( x − τ) w1 (τ − ∆(τ), λ)dτ
0
bulunur. (3.2.2) yukarıdaki eşitlikte göz önünde bulundurulursa
w1' ( x, λ ) ≤ 2 λ + 2q1 2
şeklini alır. Buradan
w1' ( x, λ )
λ
⎡ π⎤
λ ≥ 2q1 ve x ∈ ⎢0, ⎥ iken
⎣ 2⎦
≤ 2+ 2=2 2
elde edilir.
(3.2.5)
38
B2 λ = max w2 ( x, λ ) olsun. (3.1.9), (3.2.2) ve (3.2.5) den λ > 2q1 iken
⎡π ⎤
⎢ 2 ,π ⎥
⎣
⎦
B2 λ ≤
2 2
δ
+
2 2
δ
+
1
λ
B2 λ q2
bulunur. λ ≥ max{2q1 ,2q2 } olduğunda
B2 λ ≤
8 2
δ
eşitsizliği yani (3.2.3) elde edilir. İspat tamamlanmıştır.
Teorem 3.2 Problem (3.1.1)-(3.1.5) pozitif özdeğerlerin bir sonsuz kümesine sahiptir.
İspat (3.1.9)’un x ’e göre türevini alırsak,
w2' ( x, λ ) = −
λ ⎛π ⎞
π ⎞ 1 ⎛π ⎞
π⎞
⎛
⎛
w1 ⎜ , λ ⎟ Sinλ ⎜ x − ⎟ + w1' ⎜ , λ ⎟Cosλ ⎜ x − ⎟
δ ⎝2 ⎠
2⎠ δ ⎝2 ⎠
2⎠
⎝
⎝
x
−
∫ q(τ ) w (τ − ∆(τ ), λ ) Cosλ ( x − τ ) dτ
(3.2.6)
2
π 2
bulunur.(3.1.8) ,(3.1.9),(3.2.1),(3.2.2) ve (3.2.6)’dan
λ
π⎡
π
π
⎛π
⎞ ⎤
F (λ ) = Sinλ ⎢− λCosλ − λSinλ − ∫ q(τ ) w1 (τ − ∆(τ ), λ ) Cosλ ⎜ − τ ⎟dτ ⎥
δ
2 ⎣⎢
2
2 0
⎝2
⎠ ⎦⎥
π 2
+
λ2
π⎡
π
π 1
Cosλ ⎢− Sinλ + Cosλ −
δ
2 ⎢⎣
2
2 λ
π 2
⎛π
⎞
⎤
∫ q(τ ) w (τ − ∆(τ ), λ ) Sinλ ⎜⎝ 2 − τ ⎟⎠dτ ⎥⎥
1
⎦
0
π
− λ ∫ q(τ ) w2 (τ − ∆(τ ), λ ) Sinλ (π − τ ) dτ
π 2
λ
π⎡
π
π 1
− Sinλ ⎢− Sinλ + Cosλ −
δ
2 ⎣⎢
2
2 λ
+
1
δ
Cosλ
π⎡
π
π
⎛π
⎞ ⎤
τ
τ
τ
λ
λ
τ
q
(
)
w
(
(
),
)
Sin
−
∆
−
⎜
⎟dτ ⎥
1
∫0
⎝2
⎠ ⎦⎥
π 2
⎢− λCosλ − λSinλ −
2 ⎣⎢
2
2
π 2
⎛π
⎞
⎤
∫ q(τ ) w (τ − ∆(τ ), λ ) Cosλ ⎜⎝ 2 − τ ⎟⎠ dτ ⎥⎥
1
⎦
0
π
−
∫ q(τ )w (τ − ∆(τ ), λ ) Cosλ (π − τ ) dτ = 0
(3.2.7)
2
π 2
elde edilir. λ ’yı yeterince büyük alalım. (3.2.2) ve (3.2.3)’den
− λ2 Sinλ
π
2
Cosλ
π
2
− λ2 Sin 2λ
π
2
− λ2Cosλ
π
2
Sinλ
π
2
+ λ2Cos 2λ
π
2
+ O (λ ) = 0
(3.2.7) denklemi
39
− λ2 [Sinλπ − Cosλπ ] + O(λ ) = 0
formunu alır. λ ≠ 0 olduğundan yukarıdaki eşitliği λ ’ya bölersek
− λ [Sinλπ − Cosλπ ] + O(1) = 0
veya
⎛
⎝
λSin⎜ λπ −
π⎞
⎟ + O (1) = 0
4⎠
(3.2.8)
elde edilir. Buradan da açıktır ki λ ’nın büyük değerleri için köklerin sonsuz kümesi vardır.
Teorem ispatlandı.
3.3 Özdeğerlerin ve Özfonksiyonların Asimptotik İfadeleri
Şimdi problemin özdeğerlerinin ve özfonksiyonlarının asimptotik ifadelerini bulalım. λ ’yı
⎡ π⎤
yeterince büyük varsayalım. (3.1.8) ve (3.2.2)’den ⎢0, ⎥ de
⎣ 2⎦
w1 ( x, λ ) = O(1)
(3.3.1)
⎡π ⎤
ayrıca (3.1.9) ve (3.2.3)’den ⎢ , π ⎥ de
⎣2 ⎦
w2 ( x, λ ) = O(1)
(3.3.2)
olur. w1' λ ( x, λ ) ( 0 ≤ x ≤
π
2
, λ < ∞ için) ve w2' λ ( x, λ ) ’nın (
π
2
≤ x≤π ,
λ < ∞ için)
varlık ve sürekliliği Norkin (1972) çalışmasındaki Teorem 1.4.1’ den çıkar.
⎡ π⎤
⎡π ⎤
Lemma 3.3 w1' λ ( x, λ ) ve w2' λ ( x, λ ) sırasıyla ⎢0, ⎥ ve ⎢ , π ⎥ aralıklarında
⎣ 2⎦
⎣2 ⎦
w1' λ ( x, λ ) = O (1)
,
⎡ π⎤
x ∈ ⎢0, ⎥ ,
⎣ 2⎦
(3.3.3)
w2' λ ( x, λ ) = O (1)
,
⎡π ⎤
x ∈ ⎢ ,π ⎥ .
⎣2 ⎦
(3.3.4)
şeklindedir.
40
İspat (3.1.8) in λ ’ya göre türevini alırsak (3.3.1)’den
w ( x, λ ) = − xCosλx − xSinλx −
'
1λ
−
1
λ
1
x
λ ∫0
q(τ )( x − τ )w1 (τ − ∆(τ ), λ )Cosλ ( x − τ )dτ
x
'
∫ q(τ )Sinλ ( x − τ )w1λ (τ − ∆τ )dτ +
0
x
1
∫ q(τ )w (τ − ∆(τ ), λ ) Sinλ ( x − τ )dτ .
1
λ2
0
bulunur.
K 1 ( x, λ ) = − xCosλx − xSinλx +
−
1
x
λ ∫0
1
λ2
x
∫ q(τ )w (τ − ∆(τ ), λ ) Sinλ ( x − τ ) dτ
1
0
q (τ )( x − τ ) w1 (τ − ∆ (τ ), λ ) Cosλ ( x − τ ) dτ
olmak üzere w1' λ ( x, λ )
w1' λ ( x, λ ) = −
1
x
q(τ )w λ (τ − ∆(τ ), λ ) Sinλ ( x − τ ) dτ + K ( x, λ )
λ∫
'
1
1
1
, K1 ( x, λ ) ≤ K 0 ( K 0 > 0)
0
(3.3.5)
şeklinde yazılabilir. C1λ = max w1' λ ( x, λ )
⎡ π⎤
⎢ 0, 2 ⎥
⎣
⎦
olsun.
⎡ π⎤
C1λ ’nın varlığı x ∈ ⎢0, ⎥ de C1λ ’nın
⎣ 2⎦
sürekliliğinden görülür.(3.3.5)’den
C1λ ≤
1
λ
q1C1λ + K 01
olur. Şimdi λ ≥ 2q1 olsun. Böylece
C1λ ≤ 2K 01
olur ki bu da (3.3.3)’ün doğruluğunu gösterir.
(3.3.4)’üde aynı şekilde gösterelim. (3.1.9)’un
alırsak
λ ’ya göre türevini (3.3.2)’de göz önüne
41
π ⎞ '⎛π ⎞
π⎞
⎛
⎛
⎜ x − ⎟ w1 ⎜ , λ ⎟Cosλ ⎜ x − ⎟
2⎠ ⎝2 ⎠
2⎠
⎝
⎝
π⎞ ⎛
π ⎞ 1 ⎛π ⎞
π⎞
1 '' ⎛ π ⎞
⎛
⎛
+
w1λ ⎜ , λ ⎟ Sinλ ⎜ x − ⎟ − ⎜ x − ⎟ w1 ⎜ , λ ⎟ Sinλ ⎜ x − ⎟
λδ
2⎠ ⎝
2 ⎠δ ⎝ 2 ⎠
2⎠
⎝2 ⎠
⎝
⎝
w2' λ ( x, λ ) = −
+
π⎞ 1
⎛
⎛π ⎞
w1' ⎜ , λ ⎟ Sinλ ⎜ x − ⎟ +
2 ⎠ λδ
λδ ⎝2 ⎠
⎝
1
2
π⎞ 1
⎛π ⎞
⎛
w1' ⎜ , λ ⎟Cosλ ⎜ x − ⎟ + 2
δ ⎝2 ⎠
2⎠ λ
⎝
−
−
1
1
x
1
x
x
∫π q(τ ) w (τ − ∆(τ ), λ ) Sinλ ( x − τ )dτ
2
2
q (τ ) ( x − τ ) w2 (τ − ∆(τ ), λ )Cosλ ( x − τ )dτ
λ π∫2
q (τ ) w λ (τ − ∆(τ ), λ ) Sinλ ( x − τ )dτ
λ π∫
'
2
2
bulunur.
π⎞ 1 ⎛
π ⎞ '⎛π ⎞
π⎞
⎛π ⎞
⎛
⎛
w1' ⎜ , λ ⎟ Sinλ ⎜ x − ⎟ +
⎜ x − ⎟ w1 ⎜ , λ ⎟Cosλ ⎜ x − ⎟
2 ⎠ λδ ⎝
2⎠ ⎝2 ⎠
2⎠
λδ ⎝2 ⎠
⎝
⎝
1 '' ⎛ π ⎞
π⎞ ⎛
π ⎞1
π
π⎞
⎛
⎛
+
w1λ ⎜ , λ ⎟ Sinλ ⎜ x − ⎟ − ⎜ x − ⎟ w1 ( , λ ) Sinλ ⎜ x − ⎟
2⎠ ⎝
2 ⎠δ
2
2⎠
λδ
⎝2 ⎠
⎝
⎝
1
K 2 ( x, λ ) = −
2
π⎞ 1
⎛π ⎞
⎛
+ w ⎜ , λ ⎟Cosλ ⎜ x − ⎟ + 2
δ ⎝2 ⎠
2⎠ λ
⎝
1
−
1
'
1
x
x
∫ q(τ ) w (τ − ∆(τ ), λ ) Sinλ ( x − τ )dτ
2
π 2
λ π∫2
q(τ )( x − τ ) w2 (τ − ∆(τ ), λ )Cosλ ( x − τ )dτ
olmak üzere w2' λ ( x, λ )
w ( x, λ ) = −
'
2λ
1
x
q(τ ) w λ (τ − ∆(τ ), λ ) Sinλ ( x − τ )dτ + K ( x, λ )
λ π∫
'
2
K 2 ( x, λ ) ≤ K 02 ( K 02 > 0)
2
şeklinde yazılabilir. C 2 λ = max w2' λ ( x, λ ) olsun, bu durumda yukarıdaki eşitlikten
⎡π ⎤
⎢ 2 ,π ⎥
⎣
⎦
C 2λ ≤
1
λ
q1C 2 λ + K 02
olur. λ ≥ max{2q1 ,2q2 } iken
C 2 k ≤ 2K 02
olur. Böylece (3.3.4)’ün doğruluğu gösterilmiş ve Lemma ispatlanmış olur.
1
1
1⎞
⎛
n bir doğal sayı olmak üzere n + − λ < iken λ 2 sayısı ⎜ n + ⎟
4⎠
4
4
⎝
komşuluğunda yer almaktadır.
2
sayısının yakın
42
2
1⎞
⎛
Teorem 3.3 n bir doğal sayı olmak üzere n ’nin büyük değerleri için , ⎜ n + ⎟ civarında
4⎠
⎝
(3.1.1)-(3.1.5)’in sadece bir özdeğeri vardır.
İspat (3.2.8) eşitliğinde O (1) ile gösterilen ifade
O(1) = −
−
−
1
δ
1
1
π 2
π
0
π 2
∫ q(τ )Sinλ (π − τ ) w1 (τ − ∆(τ ), λ )dτ −
δ
(Cosλπ + Sinλπ ) −
π
1
∫ q(τ ) w (τ − ∆(τ ), λ ) Sinλ (π − τ )dτ
2
π 2
δλ
∫ q(τ ) w (τ − ∆(τ ), λ ) Cosλ (π − τ ) dτ
1
0
λ π∫2
q (τ ) w2 (τ − ∆ (τ ), λ ) Cosλ (π − τ ) dτ
şeklindedir. Bu ifadenin λ ’ya göre türevi alınırsa
−
1
π 2
δ
1
∫ q(τ )(π − τ ) w (τ − ∆(τ ), λ ) Cosλ (π − τ ) dτ − δ ∫ q(τ ) w (τ − ∆(τ ), λ ) Sinλ (π − τ ) dτ
0
0
π
∫ q(τ )(π − τ ) w (τ − ∆(τ ), λ ) Cosλ (π − τ ) dτ − π∫ q(τ ) w (τ − ∆(τ ), λ ) Sinλ (π − τ ) dτ
π
'
2
2
2
2
+
−
+
−
'
1
1
π
−
π 2
1
π
π
Sinλπ − Cosλπ + 2
δ
δ
δλ
∫ q(τ ) w (τ − ∆(τ ), λ ) Cosλ (π − τ ) dτ
1
0
π 2
1
1
π 2
∫ q(τ ) w (τ − ∆(τ ), λ ) Cosλ (π − τ ) dτ + δλ ∫ q(τ )(π − τ ) w (τ − ∆(τ ), λ ) Sinλ (π − τ )dτ
'
1
δλ
1
0
0
π
1
∫ q(τ ) w2 (τ − ∆(τ ), λ ) Cosλ (π − τ ) dτ +
λ2
1
π 2
π 2
1
π
λ π∫2
q(τ )(π − τ ) w2 (τ − ∆(τ ), λ ) Sinλ (π − τ ) dτ
π
q (τ ) w (τ − ∆ (τ ), λ ) Cosλ (π − τ ) dτ
λ π∫
'
2
2
elde edilir.
(3.3.1) ve (3.3.4) ifadelerini göz önüne aldığımızda, λ ’nın büyük değerleri için yukarıdaki
ifade sınırlıdır. Şimdi (3.2.8)’in n’nin büyük değerlerinde basit köke sahip olduğunu
göstereceğiz.
⎛
⎝
ϕ (λ ) = λSin⎜ λπ −
π⎞
⎟ + O(1) = 0
4⎠
fonksiyonunu göz önüne alalım. Basitlik için
λπ −
π
4
= µπ dersek , λ −
1
= µ iken yukarıdaki ifade aşağıdaki formu alır.
4
43
1⎞
⎛
⎜ µ + ⎟ Sinµπ + O (1) = 0
4⎠
⎝
veya
µSinµπ + O (1) = 0
ϕ(λ ) ’nın türevini alırsak;
π⎞
⎛
⎟ + λπCos ⎜ λπ − ⎟ + O(1)
4⎠
4⎠
⎝
⎞
⎛1
= Sinµπ + ⎜ + µ ⎟πCosµπ + O (1)
⎠
⎝4
⎛
⎝
ϕ λ' (λ ) = Sin⎜ λπ −
π⎞
bulunur.
ϕµ' ( µ ) = Sinµπ + µπCosµπ + O(1)
ifadesi n’nin büyük değerlerinde ve µ ’nün n’ye dolayısıyla λ ’nın n +
1
’e
4
yakın
değerlerinde sıfıra eşit değildir.
Bu durumda Rolle teoremine göre (3.2.8) denklemi n’nin büyük değerlerinde n’nin civarında
tek(basit) köke sahiptir. (3.2.8), (3.1.1)-(3.1.5) probleminin özfonksiyonlarının asimptotik
formüllerini elde etmemizi sağlar.
n yeterince büyük olsun. (3.1.1)-(3.1.5) probleminin özdeğerlerini µ n = n + δ n iken
⎛1
⎝4
⎞
⎠
λn = ⎜ + µ n ⎟
ile ifade edelim. Bu ifadeyi
µSinµπ + O (1) = 0
denkleminde yerine koyarsak
(n + δ n ) Sin(n + δ n )π = (n + δ n ) Sin(δ nπ ) = O(1)
elde edilir. Buradan
⎛1⎞
Sin(δ n π ) = O⎜ ⎟
⎝n⎠
dolayısıyla
44
⎛1⎞
⎝n⎠
δ n = O⎜ ⎟
elde edilir. Böylece
⎛1⎞
⎝n⎠
µ n = n + O⎜ ⎟ ve λ n = n +
1
⎛1⎞
+ O⎜ ⎟
4
⎝n⎠
(3.3.6)
şeklinde bulunur. (3.3.6) formülü (3.1.1)-(3.1.5) problemlerinin özfonksiyonlarının asimptotik
formüllerini bulmayı mümkün kılar.
(3.1.8), (3.2.4) ve (3.3.1) den
⎛1⎞
w1 ( x, λ ) = Cosλx − Sinλx + O⎜ ⎟
⎝λ ⎠
veya
⎛1⎞
⎛π
⎞
w1 ( x, λ ) = 2Cos ⎜ + λx ⎟ + O⎜ ⎟
⎝λ ⎠
⎝4
⎠
(3.3.7)
ve
⎛π
⎞
w1' ( x, λ ) = −λ 2 Sin⎜ + λx ⎟ + O (1)
⎝4
⎠
(3.3.8)
bulunur. Ayrıca (3.1.9), (3.3.2), (3.3.7) ve (3.3.8)’den
w2 ( x , λ ) =
+
−
⎤
1
π ⎞⎡
π⎞
⎛
⎛π
Sinλ ⎜ x − ⎟ ⎢(−λ 2 Sin⎜ + λ ⎟ + O(1)⎥
2 ⎠⎣
2⎠
λ.δ
⎝
⎝4
⎦
π ⎞⎡
π⎞
⎛
⎛π
⎛ 1 ⎞⎤
Cosλ ⎜ x − ⎟ ⎢ 2Cos⎜ + λ ⎟ + O⎜ ⎟⎥
2 ⎠⎣
2⎠
δ
⎝
⎝4
⎝ λ ⎠⎦
1
x
1
λ π∫2
=−
=
bulunur.
q(τ ) w2 (τ − ∆(τ ), λ ) Sinλ ( x − τ )dτ
π ⎞⎡
π ⎞⎤ 1
π ⎞⎡
π ⎞⎤
⎛1⎞
⎛
⎛π
⎛
⎛π
Sinλ ⎜ x − ⎟ ⎢ 2 Sin⎜ + λ ⎟⎥ + Cosλ ⎜ x − ⎟ ⎢ 2Cos⎜ + λ ⎟⎥ + O⎜ ⎟
δ
2 ⎠⎣
2 ⎠⎦ δ
2 ⎠⎣
2 ⎠⎦
⎝λ ⎠
⎝
⎝4
⎝
⎝4
1
⎛π
⎞
⎛1⎞
Cos⎜ + λx ⎟ + O⎜ ⎟
δ
⎝4
⎠
⎝λ ⎠
2
(3.3.9)
45
(3.3.6) formülünü (3.3.7) ve (3.3.9) da yerine koyarsak
⎛π ⎛
1⎞ ⎞
⎛1⎞
U 1n ( x) = w1 ( x, λ n ) = 2Cos⎜⎜ + ⎜ n + ⎟ x ⎟⎟ + O⎜ ⎟
4⎠ ⎠
⎝n⎠
⎝4 ⎝
U 2 n ( x ) = w2 ( x , λ n ) =
⎛π ⎛
1⎞ ⎞
⎛1⎞
Cos⎜⎜ + ⎜ n + ⎟ x ⎟⎟ + O⎜ ⎟
δ
4⎠ ⎠
⎝n⎠
⎝4 ⎝
2
elde edilir. Böylece U n (x) özfonksiyonları aşağıdaki asimptotik ifadeye sahip olur.
⎧
⎛π ⎛
1⎞ ⎞
⎛1⎞
⎪ 2Cos⎜⎜ + ⎜ n + ⎟ x ⎟⎟ + O⎜ ⎟
4⎠ ⎠
⎪
⎝n⎠
⎝4 ⎝
U n ( x) = ⎨
⎪ 2 Cos⎛⎜ π + ⎛⎜ n + 1 ⎞⎟ x ⎞⎟ + O⎛⎜ 1 ⎞⎟
⎜4
⎪⎩ δ
4 ⎠ ⎟⎠
⎝n⎠
⎝
⎝
⎡ π⎞
x ∈ ⎢0, ⎟
⎣ 2⎠
⎛π ⎤
x ∈ ⎜ ,π ⎥
⎝2 ⎦
Ek koşullar altında gecikmeye bağlı daha kesin asimptotik ifadeler bulunabilir. Aşağıdaki
koşulların sağlandığını kabul edelim;
⎡ π ⎞ ⎛π ⎤
a) q ' ( x) ve ∆'' ( x) türevleri vardır ve sınırlıdır. ⎢0, ⎟ U ⎜ , π ⎥ de
⎣ 2⎠ ⎝2 ⎦
⎞
⎞
⎛π
⎛π
q ' ⎜ ± 0 ⎟ = lim q ' ( x) ve ∆'' ⎜ ± 0 ⎟ = lim ∆'' ( x) .
π
⎠ x→ 2 ±0
⎠ x → π2 ± 0
⎝2
⎝2
b) ∆' ( x) ≤ 1,
⎡ π ⎞ ⎛π ⎤
⎢⎣0, 2 ⎟⎠ U ⎜⎝ 2 , π ⎥⎦ de ∆ (0) = 0 ve
lim ∆ ( x) = 0 .
π
x→ +0
2
b’deki koşullardan
x − ∆( x) ≥ 0
x − ∆( x) ≥
π
2
⎡ π⎤
x ∈ ⎢0, ⎥
⎣ 2⎦
(3.3.10)
⎡π ⎤
x ∈ ⎢ , π⎥
⎣2 ⎦
(3.3.11)
ifadelerinin sağlandığı kolayca görülür.
⎡ π⎞
⎛π ⎤
(3.3.7), (3.3.9), (3.3.10) ve (3.3.11)’den ⎢0, ⎟ ve ⎜ , π ⎥ aralıklarında sırasıyla
⎝2 ⎦
⎣ 2⎠
⎛π
⎛ 1 ⎞⎞
+ λ (τ − ∆(τ ) ) + O⎜ ⎟ ⎟⎟
⎝ λ ⎠⎠
⎝4
ω1 (τ − ∆(τ ), λ ) = 2 Cos ⎜⎜
(3.3.12)
46
ω 2 (τ − ∆ (τ ), λ ) =
⎛π
⎛ 1 ⎞⎞
Cos ⎜⎜ + λ (τ − ∆ (τ ) ) + O⎜ ⎟ ⎟⎟
δ
⎝ λ ⎠⎠
⎝4
2
(3.3.13)
bulunur. Bu ifadeler (3.2.7)’de yerine konulursa
−
λ2
λ2
λ
λ
Sinλπ +
Cosλπ − Cosλπ − Sinλπ
δ
δ
δ
δ
π
λ 2 2
π
⎛π
⎞
⎛π
⎞
−
q (τ ) Sinλ Cosλ ⎜ − τ ⎟ Cos ⎜ + λ (τ − ∆(τ ) )⎟ dτ
∫
2
δ 0
⎝2
⎠
⎝4
⎠
π
λ 2 2
π
⎛π
⎞
⎛π
⎞
−
q (τ )Cosλ Sinλ ⎜ − τ ⎟ Cos ⎜ + λ (τ − ∆(τ ) )⎟ dτ
∫
2
δ 0
⎝2
⎠
⎝4
⎠
+
−
2
π
π
2
∫ q(τ ) Sinλ 2
δ
0
2
π
⎛π
⎞
⎛π
⎞
Sinλ ⎜ − τ ⎟ Cos ⎜ + λ (τ − ∆(τ ) )⎟ dτ
⎝2
⎠
⎝4
⎠
π
2
⎛π
⎞
⎛π
⎞
∫ q(τ )Cosλ 2 Cosλ ⎜⎝ 2 − τ ⎟⎠ Cos ⎜⎝ 4 + λ (τ − ∆(τ ))⎟⎠ dτ
δ
0
λ 2 π
⎛π
⎞
−
q (τ ) Sinλ (π − τ )Cos ⎜ + λ (τ − ∆(τ ) )⎟ dτ
∫
δ π
⎝4
⎠
2
−
2
δ
π
⎛π
⎞
∫ q(τ )Cosλ (π − τ )Cos ⎜⎝ 4 + λ (τ − ∆(τ ))⎟⎠ dτ + O(1) = 0
π
2
bulunur. Bu eşitlik düzenlenirse
λ 2π
⎛π
⎞
−
q(τ ) Sinλ (π − τ )Cos ⎜ + λ (τ − ∆ (τ ) )⎟ dτ
∫
δ 0
⎝4
⎠
−
+
2
π
⎛π
⎞
δ
∫ q(τ )Cosλ (π − τ )Cos ⎜⎝ 4 + λ (τ − ∆(τ ))⎟⎠ dτ
λ
2
0
2
δ
π⎞
π⎞ λ 2
⎛
⎛
Cos ⎜ λπ + ⎟ −
Sin ⎜ λπ + ⎟ + O(1) = 0
4⎠
4⎠
δ
⎝
⎝
şeklinde elde edilir. Bu ifadeyi
λ
’ya bölersek
δ
π
⎛π
⎞
− 2 ∫ q(τ ) Sinλ (π − τ )Cos ⎜ + λ (τ − ∆(τ ) )⎟ dτ
⎝4
⎠
0
2
π⎞
π⎞
⎛
⎛
⎛1⎞
+ λ 2 Cos ⎜ λπ + ⎟ −
Sin ⎜ λπ + ⎟ + O⎜ ⎟ = 0
4⎠ δ
4⎠
⎝
⎝
⎝λ ⎠
veya daha açık halde
.
47
π
⎡π
⎤
− ⎢ ∫ q(τ )S inλ (π − τ )C os λ (τ − ∆(τ ) ) dτ − ∫ q(τ ) Sinλ (π − τ ) Sin λ (τ − ∆(τ ) ) dτ ⎥
0
⎣0
⎦
⎛1⎞
+ λ (Cos λπ − Sin λπ ) − (Cos λπ + Sin λπ ) + O⎜ ⎟ = 0
⎝λ⎠
⎛1⎞
bulunur. K = λ (Cos λπ − Sin λπ ) − (Cos λπ + Sin λπ ) + O⎜ ⎟ olsun. Böylece son eşitlik
⎝λ ⎠
⎧π
S inλ (π − ∆(τ ) )+ Sin λ (π − (2τ − ∆(τ ) ))
− ⎨ ∫ q(τ )
dτ −
2
⎩0
π
Cos λ (π − ∆(τ ) ) − Cos λ (π − (2τ − ∆(τ ) )) ⎫
− ∫ q(τ )
dτ ⎬ + K = 0
2
0
⎭
şeklinde yazılabilir. Yukarıdaki ifade açık olarak
π
1⎧
− ⎨ ∫ q(τ )S inλπ Cos λ∆(τ ) − Cos λπ Sin λ∆(τ ) + S inλπCos λ (2τ − ∆(τ ) ) −
2 ⎩0
− Cos λπ Sin λ (2τ − ∆(τ ) ) − Cos λπCos λ (2τ − ∆(τ ) ) − S inλπ Sin λ (2τ − ∆(τ ) )
+ Cos λπ Cos λ∆(τ ) + Sin λπ Sin λ∆(τ ) dτ } + K = 0
şeklinde yazılabilir. Eşitlikteki integralin içindeki ifadeler ortak paranteze alınarak
düzenlenirse
1⎧
− ⎨S inλπ
2⎩
− Cos λπ
π
∫ q(τ ) ( Cos λ∆(τ ) + Cos λ (2τ − ∆(τ )) − Sin λ (2τ − ∆(τ )) + Sin λ∆(τ )) dτ +
0
π
⎫
∫ q(τ )( Sin λ∆(τ ) + Sin λ (2τ − ∆(τ )) + Cos λ (2τ − ∆(τ )) − Cos λ∆(τ )) dτ ⎬⎭ + K
0
π
=−
1
(Cos λπ + S inλπ ) ∫ q(τ )( Cos λ∆(τ ) − Sin λ (2τ − ∆(τ ) )) dτ
2
0
π
1
− (Sin λπ − Cos λπ ) ∫ q (τ ) (Cos λ (2τ − ∆(τ ) ) + Sin λ∆(τ ) ) dτ
2
0
⎛1⎞
+ λ (Cos λπ − Sin λπ ) − (Cos λπ + Sin λπ ) + O⎜ ⎟ = 0
⎝λ ⎠
bulunur.
(3.3.14)
48
Aşağıdaki fonksiyonları tanımlayalım.
x
⎫
1
A( x, λ , ∆(τ ) ) = ∫ q(τ ) Sinλ∆(τ ) dτ ⎪
20
⎪
⎬
x
1
B( x, λ , ∆(τ ) ) = ∫ q(τ ) Cosλ∆(τ ) dτ ⎪⎪
20
⎭
(3.3.15)
Bu fonksiyonlar 0 ≤ x ≤ π ve 0 < λ < ∞ için sınırlı olduğu açıktır.
a) ve b) koşulları altında
x
⎛1⎞
∫ q(τ ) Cosλ (2τ − ∆(τ )) dτ = O⎜⎝ λ ⎟⎠
0
x
⎛1⎞
∫0 q(τ ) Sinλ (2τ − ∆(τ )) dτ = O⎜⎝ λ ⎟⎠
(3.3.16)
formülleri Norkin(1972) çalışmasındaki Lemma 3.3.3’ün ispatında kullanılan teknikler
yardımıyla ispatlanabilir. (3.3.15) ve (3.3.16) , (3.3.14) eşitliğinde yerine konulursa
⎡
⎛1⎞ ⎤
− (Cos λπ + S inλπ ) ⎢ B(π , λ , ∆(τ ) ) + O⎜ ⎟ + 1⎥
⎝λ⎠ ⎦
⎣
⎤
⎡
⎛1⎞
− (S inλπ − Cos λπ ) ⎢ A(π , λ , ∆(τ ) ) + O⎜ ⎟ + λ ⎥ =0
⎝λ⎠
⎦
⎣
bulunur. Bu eşitlik aşağıdaki eşitliğe denktir.
π ⎞⎡
π ⎞⎡ ⎛
⎛
⎛
⎛ 1 ⎞ ⎞⎤
⎛ 1 ⎞⎤
− Cos ⎜ λπ − ⎟ ⎢ B(π , λ , ∆(τ ) ) + 1 + O⎜ ⎟⎥ = Sin ⎜ λπ − ⎟ ⎢ A⎜⎜ π , λ , ∆(τ ) + λ + O⎜ ⎟ ⎟⎟⎥
4 ⎠⎣
4 ⎠⎣ ⎝
⎝
⎝
⎝ λ ⎠ ⎠⎦
⎝ λ ⎠⎦
Buradan
1⎞
1
⎛
⎛ 1 ⎞
tan π ⎜ λ − ⎟ = − [B (π , λ , ∆ (τ ) ) + 1] + O⎜ 2 ⎟
4⎠
λ
⎝
⎝λ ⎠
elde edilir. Bu ifadede λ yerine
λn = µ n +
1
1
= n + +δn
4
4
konulursa
tan π(n + δ n ) = tan δ n π = −
⎡ ⎛
1
⎞ ⎤
⎛ 1 ⎞
B⎜ π, n + , ∆ (τ) ⎟ + 1⎥ + O⎜ 2 ⎟
⎢
1⎞ ⎝
4
⎛
⎠ ⎦
⎝n ⎠
⎜n + ⎟ ⎣
4⎠
⎝
1
49
şeklinde bulunur ve buradan
δn = −
⎡ ⎛
1
⎞ ⎤
⎛ 1 ⎞
B⎜ π, n + , ∆ (τ) ⎟ + 1⎥ + O⎜ 2 ⎟
⎢
1⎞
4
⎛
⎠ ⎦
⎝n ⎠
π⎜ n + ⎟ ⎣ ⎝
4⎠
⎝
1
elde edilir. Böylece n ’nin büyük değerlerinde
λn = n +
1
1
−
1⎞
4 ⎛
⎜ n + ⎟π
4⎠
⎝
⎡ ⎛
1
⎞ ⎤
⎛ 1 ⎞
⎢ B⎜ π , n + 4 , ∆ (τ ) ⎟ + 1⎥ + O⎜ n 2 ⎟
⎠ ⎦
⎝ ⎠
⎣ ⎝
(3.3.17)
bulunmuş olur.
Teorem 3.4 a) ve b) koşulları altında (3.1.1)-(3.1.5) probleminin özdeğerleri (3.3.17) deki
asimptotik ifadeye sahiptir.
Şimdi (3.1.1)-(3.1.5) probleminin özfonksiyonları için daha kesin asimptotik formüller elde
edebiliriz. (3.1.8) ve (3.3.12)’den
2
ω1 (x, λ ) = − Sinλx + Cosλx −
λ
⎛π
x
⎞
⎛ 1 ⎞
2 ⎟
⎠
∫ q(τ )Sinλ (x − τ )Cos⎜⎝ 4 + λ (τ − ∆(τ ))⎟⎠dτ + O⎜⎝ λ
0
olur. Burada
π⎞
π ⎞⎤
⎛
⎞ 1⎡ ⎛
⎛π
Sinλ ( x − τ ) Cos⎜ + λ (τ − ∆(τ ) )⎟ = ⎢ Sin ⎜ λx − λ∆ (τ ) + ⎟ + Sin ⎜ λx − 2λτ + λ∆(τ ) − ⎟⎥
4⎠
4 ⎠⎦
⎝
⎠ 2⎣ ⎝
⎝4
π⎞
π ⎞⎤
1⎡ ⎛
⎛
= ⎢ Sin ⎜ λ ( x − ∆(τ ) ) + ⎟ + Sin ⎜ λ ( x − (2τ − ∆(τ )) ) − ⎟⎥
2⎣ ⎝
4⎠
4 ⎠⎦
⎝
olduğundan
ω1 ( x, λ ) = − Sin λx + Cosλx −
= − Sin λx + Cosλx −
1
λ
x
⎡
⎛
π⎞
⎛
π ⎞⎤
∫ q(τ ) ⎢⎣Sin ⎜⎝ λ (x − ∆(τ )) + 4 ⎟⎠ + Sin ⎜⎝ λ (x − (2τ − ∆(τ ))) − 4 ⎟⎠⎥⎦ dτ
2
0
x
1
q(τ )[Sin λ ( x − ∆(τ ) ) + Cos λ ( x − ∆(τ ) ) + Sin λ ( x − (2τ − ∆(τ )) )
2λ ∫0
− Cos λ ( x − (2τ − ∆(τ )) )]dτ
bulunur.
50
İntegralin içindeki trigonometrik ifadeler açık olarak yazılırsa
x
1
w1 ( x, λ ) = − Sin λx + Cosλx −
q (τ )(Sin λx Cosλ∆ (τ ) − Sin λ∆ (τ ) Cosλx ) dτ
2λ ∫0
x
1
−
q (τ )(Cos λx Cosλ∆ (τ ) + Sinλx Sin λ∆ (τ ) ) dτ
2λ ∫0
x
1
−
q (τ )[Sin λx Cosλ (2τ − ∆ (τ ) ) − Cosλx Sinλ (2τ − ∆ (τ ) )]dτ
2λ ∫0
x
1
+
q (τ )[Cos λx Cosλ (2τ − ∆(τ ) ) + Sinλx Sin λ (2τ − ∆(τ ) )]dτ
2λ ∫0
elde edilir. Bu ifade ortak parantezlere alarak düzenlendiğinde
x
x
⎡
1
1
w1 ( x, λ ) = Cosλx ⎢1 +
q
(
τ
)
Sin
(
λ
(
τ
))
d
τ
q (τ )Cos (λ∆(τ ))dτ
∆
−
∫
∫
2
λ
2
λ
0
0
⎣
x
x
⎤
1
1
q (τ ) Sinλ (2τ − ∆(τ ))dτ +
q (τ )Cosλ (2τ − ∆ (τ ))dτ ⎥
+
∫
∫
2λ 0
2λ 0
⎦
x
x
⎡
1
1
q (τ ) Sin(λ∆ (τ ))dτ −
q (τ )Cos (λ∆(τ ))dτ
+ Sinλx ⎢− 1 −
∫
∫
2
λ
2
λ
0
0
⎣
+
x
x
⎤
1
1
q
(
τ
)
Sin
λ
(
2
τ
(
τ
))
d
τ
q
(
τ
)
Cos
λ
(
2
τ
(
τ
))
d
τ
−
∆
−
−
∆
⎥
2λ ∫0
2λ ∫0
⎦
şeklini alır. (3.3.15) ve (3.3.16) yukarıdaki eşitlikte yerlerine konulursa
⎡ A( x, λ , ∆ (τ ) ) − B ( x, λ , ∆ (τ ) ) ⎤
w1 ( x, λ ) = Cosλx ⎢1 +
⎥
λ
⎣
⎦
⎛ 1 ⎞
⎡ A( x, λ , ∆ (τ ) ) + B( x, λ , ∆ (τ ) ) ⎤
+ O⎜ 2 ⎟
− Sinλx ⎢1 +
⎥
λ
⎝λ ⎠
⎣
⎦
elde edilir. Burada λ yerine (3.3.17)de verilen λn alınırsa
(3.3.18)
51
U 1n ( x) = w1 ( x, λn )
⎤
⎡
1
1
⎞
⎛
⎞
⎛
A⎜ x, n + , ∆(τ ) ⎟ − B⎜ x, n + , ∆(τ ) ⎟
⎢
⎥
⎡
⎛⎛
1
1⎞ ⎞
1
4
4
⎛
⎞⎤ ⎥
⎠+
⎝
⎠
π
τ
,
(
)
.
1
,
+
+
∆
= Cos⎜⎜ ⎜ n + ⎟ x ⎟⎟ ⎢1 + ⎝
B
n
x
⎜
⎟
⎥
1 ⎞ ⎢⎣
4 ⎠ ⎠⎢
4
n
⎛
⎝
⎠⎦ ⎥
⎝⎝
π
+
n
⎜
⎟
⎢
⎥
4⎠
⎝
⎣
⎦
⎤
⎡
1
1
⎛
⎞
⎛
⎞
A⎜ x, n + , ∆(τ ) ⎟ + B⎜ x, n + , ∆(τ ) ⎟
⎥
⎢
⎡
⎛⎛
1
1
1⎞ ⎞
4
4
⎛
⎞⎤ ⎥
⎠
⎝
⎠−
1
π
,
,
(
τ
)
.
+
+
∆
− Sin⎜⎜ ⎜ n + ⎟ x ⎟⎟ ⎢1 + ⎝
B
n
x
⎜
⎟
⎥
1 ⎞ ⎢⎣
4
4 ⎠ ⎠⎢
n
⎛
⎝
⎠⎦ ⎥
⎝⎝
π
+
n
⎜
⎟
⎥
⎢
4⎠
⎝
⎦
⎣
⎛ 1 ⎞
(3.3.19)
+ O⎜ 2 ⎟
⎝n ⎠
elde edilir. w1 ( x, λ ) ’nın (3.1.8) deki ifadesinin türevi alınıp λ ’ya böldükten sonra (3.3.12)
eşitliği göz önünde bulundurulursa
w1' ( x, λ )
λ
= −Cosλx − Sinλx −
= −Cosλx − Sinλx −
+
1
2
λ
1
x
λ ∫0
π
x
1
∫ q(τ )Cosλ ( x − τ )Cos( 4 + λ (τ − ∆(τ )))dτ + O( λ
2
)
0
q (τ )Cosλ ( x − τ )Cosλ (τ − ∆(τ ))dτ
x
1
q(τ )Cosλ ( x − τ ) Sinλ (τ − ∆(τ ))dτ + O(
λ∫
λ
2
)
0
= −Cosλx − Sinλx −
x
1
q (τ )[Cosλ ( x − ∆(τ )) + Cosλ ( x − (2τ − ∆ (τ )))
2λ ∫0
− Sinλ ( x − ∆ (τ )) − Sinλ ((2τ − ∆(τ )) − x)]dτ + O(
1
λ2
)
bulunur. Son eşitlikte trigonometrik ifadeler açık olarak yazıldığında
w1' ( x, λ )
λ
x
⎡
⎤
1
(
)
(
)
(
2
(
))
(
)
(
2
(
))
q
Cos
Cos
Sin
Sin
d
[
]
τ
λ
τ
λ
τ
τ
λ
τ
λ
τ
τ
τ
= Cosλx ⎢− 1 −
∆
+
−
∆
+
∆
−
−
∆
⎥
2λ ∫0
⎣
⎦
x
⎤
⎡
1
[
]
q
(
)
Sin
(
)
Sin
(
2
(
))
Cos
(
)
Cos
(
2
(
))
d
τ
λ
τ
λ
τ
τ
λ
τ
λ
τ
τ
τ
+ Sinλx ⎢− 1 −
∆
+
−
∆
−
∆
+
−
∆
+
⎥
2λ ∫0
⎦
⎣
1
+ O( 2 )
λ
bulunur. (3.1.15) deki eşitlikler bulduğumuz denklem de yerine konulursa
w1' ( x, λ )
λ
A( x, λ , ∆(τ ) ) + B( x, λ , ∆(τ ) ) ⎤
⎡
= Cosλx ⎢− 1 −
⎥
λ
⎦
⎣
( A(x, λ , ∆(τ ) ) − B(x, λ , ∆(τ )))⎤ + O⎛ 1 ⎞
⎡
+ Sinλx ⎢− 1 −
⎜ 2⎟
⎥⎦
λ
⎝λ ⎠
⎣
(3.3.20)
52
elde edilir. (3.1.9), (3.3.13), (3.3.16), (3.3.18) ve (3.3.20)’den
⎡
⎛ ⎛ ⎛π
⎞⎞
π
⎜ ⎜⎜ A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ + B⎛⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟
⎢
π⎞
π⎜
1
⎝2
⎠
⎝2
⎠⎠ ⎟
⎛
w2 ( x, λ ) = Sinλ ⎜ x − ⎟ ⎢− Cosλ ⎜1 + ⎝
⎟
⎢
δ
λ
2⎠
2
⎝
⎟
⎜
⎢
⎟
⎜
⎠
⎝
⎣⎢
⎛ ⎛ ⎛π
⎞⎞
π
⎜ ⎜⎜ A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ − B⎛⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟
π⎜
⎝2
⎠
⎝2
⎠⎠ ⎟
⎛ 1
+ O⎜ 2
− Sinλ ⎜1 + ⎝
⎟
λ
2
⎝λ
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
⎤
⎥
⎞⎥
⎟
⎠⎥
⎥
⎥⎦
⎡
⎛ ⎛ ⎛π
⎞⎞
π
⎜ ⎜⎜ A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ − B⎛⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟
⎢
1
π⎞
π⎜
⎠⎠ ⎟
⎝2
⎠
⎝2
⎛
+ Cosλ ⎜ x − ⎟ ⎢Cosλ ⎜1 + ⎝
⎟
2 ⎠⎢
2
δ
λ
⎝
⎜
⎟
⎢
⎜
⎟
⎢⎣
⎝
⎠
⎛ ⎛ ⎛π
⎞ ⎞⎤
π
⎜ ⎜⎜ A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ + B⎛⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎥
π⎜
⎝2
⎠
⎝2
⎠ ⎠ ⎟⎥
− Sinλ ⎜1 + ⎝
⎟⎥
2
λ
⎜
⎟⎥
⎜
⎟
⎝
⎠⎥⎦
−
2
x
⎡
⎛π
⎞⎤
⎛ 1 ⎞
2 ⎟
⎠
q (τ ) Sinλ ( x − τ ) ⎢Cos⎜ + λ (τ − ∆(τ ) ⎟⎥ + O⎜
δλ π∫
⎝4
⎠⎦
⎝λ
⎣
2
bulunur. Bu ifade düzenlenirse
⎡
⎛ ⎛ ⎛π
⎞⎞
π
⎜ ⎜⎜ A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ + B⎛⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟
⎢
π
π⎤
π⎜
1⎡
⎝2
⎠
⎝2
⎠⎠ ⎟
w2 ( x, λ ) = ⎢ SinλxCosλ − CosλxSinλ ⎥ ⎢− Cosλ ⎜1 + ⎝
⎟
δ⎣
λ
2
2 ⎦⎢
2
⎟
⎜
⎢
⎟
⎜
⎢⎣
⎠
⎝
⎛ ⎛ ⎛π
⎞ ⎞⎤
π
⎜ ⎜⎜ A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ − B⎛⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎥
π⎜
⎝2
⎠ ⎠ ⎟⎥
⎝2
⎠
− Sinλ ⎜1 + ⎝
⎟⎥
λ
2
⎟⎥
⎜
⎟
⎜
⎠⎦⎥
⎝
53
⎡
⎛ ⎛ ⎛π
⎞⎞
π
⎜ ⎜⎜ A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ − B⎛⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟
⎢
π
π⎤
π⎜
1⎡
⎠
⎝2
⎠⎠ ⎟
⎝2
+ ⎢CosλxCosλ + SinλxSinλ ⎥ ⎢Cosλ ⎜1 + ⎝
⎟
⎢
δ⎣
λ
2
2⎦
2
⎜
⎟
⎢
⎜
⎟
⎝
⎠
⎣⎢
⎛ ⎛ ⎛π
⎞ ⎞⎤
π
⎜ ⎜⎜ A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ + B⎛⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎥
π⎜
⎝2
⎠
⎝2
⎠ ⎠ ⎟⎥
− Sinλ ⎜1 + ⎝
⎟⎥
2
λ
⎜
⎟⎥
⎜
⎟
⎝
⎠⎥⎦
−
1
λδ
x
∫ q(τ )Sinλ ( x − τ )[Cosλ (τ − ∆(τ ))]dτ +
π 2
1
x
⎛ 1 ⎞
2 ⎟
⎠
q (τ ) Sinλ ( x − τ )[Sinλ (τ − ∆(τ ) )] + O⎜
λδ π∫
⎝λ
2
elde edilir. Buradan ara işlemler yapılarak
⎡
⎛ ⎛ ⎛π
⎞⎞
π
⎜ ⎜⎜ A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ + B⎛⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟
⎢
π⎜
1
⎝2
⎠
⎝2
⎠⎠ ⎟
w2 ( x, λ ) = ⎢− SinλxCos 2 λ ⎜1 + ⎝
⎟
⎢
δ
λ
2
⎜
⎟
⎢
⎜
⎟
⎝
⎠
⎣⎢
⎛ ⎛ ⎛π
⎞⎞
π
⎜ ⎜⎜ A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ + B⎛⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟
π
π⎜
⎝2
⎠
⎝2
⎠⎠ ⎟
+ CosλxSinλ Cosλ ⎜1 + ⎝
⎟
λ
2
2
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛ ⎛ ⎛π
⎞⎞
π
⎜ ⎜⎜ A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ − B⎛⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟
π
π⎜
⎝2
⎠
⎝2
⎠⎠ ⎟
− SinλxSinλ Cosλ ⎜1 + ⎝
⎟
λ
2
2
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛ ⎛ ⎛π
⎞⎞
π
⎜ ⎜⎜ A⎜ , λ , ∆ (τ ) ⎞⎟ − B⎛⎜ , λ , ∆ (τ ) ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟
π⎜
⎝2
⎝2
⎠
⎠⎠ ⎟
+ CosλxSin 2 λ ⎜1 + ⎝
⎟
λ
2
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
⎛ ⎛ ⎛π
⎞⎞
π
⎜ ⎜⎜ A⎜ , λ , ∆ (τ ) ⎞⎟ − B⎛⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟
π⎜
⎝2
⎝2
⎠
⎠⎠ ⎟
+ CosλxCos 2 λ ⎜1 + ⎝
⎟
λ
2
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
54
⎛ ⎛ ⎛π
⎞⎞
π
⎜ ⎜⎜ A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ − B⎛⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟
π
π⎜
⎝2
⎠
⎝2
⎠⎠ ⎟
+ SinλxSinλ Cosλ ⎜1 + ⎝
⎟
λ
2
2
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
⎛ ⎛ ⎛π
⎞⎞
π
⎜ ⎜⎜ A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ + B⎛⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟
π
π⎜
⎝2
⎠
⎝2
⎠⎠ ⎟
− CosλxSinλ Cosλ ⎜1 + ⎝
⎟
λ
2
2
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛ ⎛ ⎛π
⎞ ⎞⎤
π
⎜ ⎜⎜ A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ + B⎛⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎥
π⎜
⎝2
⎠
⎝2
⎠ ⎠ ⎟⎥
− SinλxSin 2 λ ⎜1 + ⎝
⎟⎥
λ
2
⎜
⎟⎥
⎜
⎟
⎝
⎠⎥⎦
−
1
λδ
x
∫ q(τ )Sinλ ( x − τ )[Cosλ (τ − ∆(τ ))]dτ +
π 2
1
x
1
q (τ ) Sinλ ( x − τ )[Sinλ (τ − ∆(τ ))] + O(
λδ π∫
λ
2
)
2
⎡
⎛ ⎛ ⎛π
⎛ ⎛ ⎛π
⎞⎞
⎞ ⎞⎤
π
π
⎜ ⎜⎜ A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ + B⎛⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟
⎜ ⎜⎜ A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ − B⎛⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎥
⎢
1
⎜
⎜
⎝2
⎠
⎝2
⎠⎠ ⎟
⎝2
⎠
⎝2
⎠ ⎠ ⎟⎥
+ Cosλx⎜1 + ⎝
= ⎢− Sinλx⎜1 + ⎝
⎟
⎟⎥
⎢
δ
λ
λ
⎜
⎟
⎜
⎟⎥
⎢
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠⎦⎥
⎣⎢
−
1
x
1
x
1
q (τ ) [Sinλ ( x − ∆(τ )) + Sinλ ( x − (2τ − ∆(τ )))]dτ
λδ π∫
2
2
+
1
⎛ 1 ⎞
2 ⎟
⎠
q(τ ) [Cosλ ( x − (2τ − ∆(τ ))) − Cosλ ( x − ∆(τ ))]dτ + O⎜
λδ π∫
2
⎝λ
2
bulunur. İntegralin içindeki trigonometrik ifadeler açılırsa
55
⎡
π
⎛ ⎛ ⎛π
⎞⎞
⎢
⎜ ⎜ A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ + B⎛⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ ⎟ ⎟
1⎢
⎠⎠ ⎟
⎠ ⎝2
⎝2
w ( x, λ ) = ⎢− Sinλx⎜1 + ⎝
2
⎜
⎟
δ⎢
λ
⎜
⎟
⎢
⎝
⎠
⎣
⎛ ⎛ ⎛π
⎞ ⎞⎤
π
⎜ ⎜⎜ A⎜ , λ , ∆ (τ ) ⎞⎟ − B⎛⎜ , λ , ∆ (τ ) ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎥
1 x
⎜ ⎝ ⎝2
⎠
⎝2
⎠ ⎠ ⎟⎥
−
q(τ )[( Sinλx Cosλ∆(τ )
+ Cosλx⎜1 +
⎟
⎥ 2λδ π∫2
λ
⎜
⎟⎥
⎜
⎟
⎝
⎠⎦⎥
− Cosλx Sinλ∆(τ )) + Sinλx Cosλ (2τ − ∆(τ )) − Sinλ (2τ − ∆(τ )) Cosλx]dτ
1
x
q(τ )[(Cosλx Cosλ (2τ − ∆(τ )) + Sinλx Sinλ (2τ − ∆(τ )))
2λδ π∫2
⎛ 1 ⎞
− (Cosλx Cosλ∆(τ ) + Sinλx Sinλ∆(τ ))]dτ + O⎜ 2 ⎟
+
⎝λ ⎠
elde edilir. İntegralli ifadeler A( x, λ , ∆τ ) ve B ( x, λ , ∆τ ) ifadeleri kullanılabilecek şekilde
düzenlenirse son eşitlikten
⎡
⎛ ⎛ ⎛π
π
⎞⎞
⎜ ⎜ A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ + B⎛⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ ⎟ ⎟
⎢
1
⎝2
⎠
⎝2
⎠⎠ ⎟
w ( x, λ ) = ⎢⎢− Sinλx⎜1 + ⎝
⎟
⎜
2
δ
λ
⎢
⎟⎟
⎜⎜
⎢⎣
⎠
⎝
⎛ ⎛ ⎛π
π
⎞ ⎞⎤
⎜ ⎜ A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ − B⎛⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ ⎟ ⎟⎥
⎝2
⎠
⎝2
⎠ ⎠ ⎟⎥
+ Cosλx⎜1 + ⎝
⎟⎥
⎜
λ
⎟⎟⎥
⎜⎜
⎠⎥⎦
⎝
x
x
Cosλ∆(τ )
Sinλ∆(τ )
1 ⎧
dτ − Cosλx ∫ q(τ )
dτ
−
⎨Sinλx ∫ q(τ )
2
2
λδ ⎩
π 2
π 2
x
Cosλ (2τ − ∆(τ ))
Sinλ (2τ − ∆(τ )) ⎫
dτ − Cosλx ∫ q(τ )
dτ ⎬
2
2
π 2
π 2
⎭
x
x
Cosλ (2τ − ∆(τ ))
Sinλ (2τ − ∆(τ ))
1 ⎧
dτ + Sinλx ∫ q(τ )
dτ
+
⎨Cosλx ∫ q(τ )
2
2
λδ ⎩
π 2
π 2
x
x
Cosλ∆(τ )
Sinλ∆(τ ) ⎫
1
− Cosλx ∫ q(τ )
dτ − Sinλx ∫ q(τ )
dτ ⎬ + O( )
2
2
π 2
π 2
⎭
λ2
x
+ Sinλx ∫ q(τ )
bulunur. Burada
Cosλ∆(τ )
∫0 q(τ ) 2 dτ =
x
olduğundan
π 2
∫
0
x
Cosλ∆(τ )
Cosλ∆(τ )
q(τ )
dτ + ∫ q(τ )
dτ
2
2
π 2
(3.3.21)
56
Cosλ∆(τ )
⎛π
⎞
dτ
B ( x, λ , ∆(τ )) = B⎜ , λ , ∆(τ ) ⎟ + ∫ q(τ )
2
⎝2
⎠ π2
x
olur ve bu eşitlik
x
∫π q(τ )
2
Cosλ∆(τ )
⎛π
⎞
dτ = B ( x, λ , ∆(τ )) − B⎜ , λ , ∆(τ ) ⎟
2
⎝2
⎠
(3.3.22)
şeklinde yazılabilir. Aynı şekilde
x
∫ q(τ )
π
2
Sinλ∆(τ )
⎛π
⎞
dτ = A( x, λ , ∆ (τ )) − A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎟
2
⎝2
⎠
(3.3.23)
olur. (3.3.16), (3.3.22) ve (3.3.23)’ü (3.3.21)’de göz önüne alırsak
⎡
⎛ ⎛ ⎛π
⎞⎞
π
⎜ ⎜⎜ A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ + B⎛⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟
⎢
1
⎜
⎠⎠ ⎟
⎝2
⎠
⎝2
w2 ( x, λ ) = ⎢− Sinλx⎜1 + ⎝
⎟
⎢
δ
λ
⎜
⎟
⎢
⎜
⎟
⎝
⎠
⎣⎢
⎛ ⎛ ⎛π
⎞ ⎞⎤
π
⎜ ⎜⎜ A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎞⎟ − B⎛⎜ , λ , ∆ (τ ) ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎥
⎜
⎠ ⎠ ⎟⎥ 1
⎝2
⎠
⎝2
+ Cosλx⎜1 + ⎝
⎟⎥ − λδ
λ
⎜
⎟⎥
⎜
⎟
⎝
⎠⎦⎥
⎧
⎡
⎞⎤
⎛π
⎨Sinλx ⎢ B(x, λ , ∆(τ ) ) − B⎜ , λ , ∆ (τ ) ⎟⎥
⎠⎦
⎝2
⎣
⎩
⎡
⎡
⎞⎤
⎛π
⎞⎤ ⎫ 1 ⎧
⎛π
− Cosλx ⎢ A( x, λ , ∆ (τ ) ) − A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎟⎥ ⎬ +
⎨− Cosλx ⎢ B(x, λ , ∆ (τ ) ) − B⎜ , λ , ∆(τ ) ⎟⎥
⎠⎦
⎝2
⎠⎦ ⎭ λδ ⎩
⎝2
⎣
⎣
⎡
1
⎛π
⎞⎤ ⎫
− Sinλx ⎢ A( x, λ , ∆(τ ) ) − A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎟⎥ ⎬ + O( 2 )
(3.3.24)
λ
⎝2
⎠⎦ ⎭
⎣
bulunur.
57
⎡π ⎤
Böylece x ∈ ⎢ , π ⎥ iken
⎣2 ⎦
⎡
⎛ ⎛ ⎛π
⎞⎞
π
⎜ ⎜⎜ A⎜ , λ , ∆ (τ ) ⎞⎟ + B⎛⎜ , λ , ∆ (τ ) ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟
⎢
1⎜
⎝2
⎠
⎝2
⎠⎠ ⎟
w2 ( x, λ ) = Sinλx ⎢− ⎜1 + ⎝
⎟
⎢ δ
λ
⎜
⎟
⎢
⎜
⎟
⎢⎣
⎝
⎠
−
1 ⎡
⎛π
⎞⎤ ⎤
⎛π
⎞
B ( x, λ , ∆ (τ )) − B⎜ , λ , ∆ (τ ) ⎟ + A( x, λ , ∆(τ )) − A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎟⎥ ⎥
⎢
λδ ⎣
⎝2
⎠⎦ ⎦
⎝2
⎠
⎡ ⎛ ⎛ ⎛π
⎞
⎛π
⎞⎞ ⎞
⎢ ⎜ ⎜⎜ A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎟ − B⎜ , λ , ∆(τ ) ⎟ ⎟⎟ ⎟
1⎜
⎝2
⎠
⎝2
⎠⎠ ⎟
+ Cosλx ⎢ ⎜1 + ⎝
⎟
⎢δ
λ
⎟
⎢ ⎜⎜
⎟
⎢⎣ ⎝
⎠
+
1 ⎡
⎛π
⎞
⎛π
⎞⎤ ⎤
⎛1⎞
A( x, λ , ∆ (τ )) − A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎟ − B( x, λ , ∆(τ )) + B⎜ , λ , ∆(τ ) ⎟⎥ ⎥ + O⎜ 2 ⎟
⎢
λδ ⎣
⎝2
⎠
⎝2
⎠⎦ ⎦
⎝λ ⎠
elde edilir.(3.3.25)’i düzenlersek
⎞
⎛
⎛π
⎞
⎛π
⎞
⎜
A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎟ + B⎜ , λ , ∆(τ ) ⎟ + B( x, λ , ∆(τ )) ⎟
1
2
⎠
⎝2
⎠
⎟
w2 ( x, λ ) = − Sinλx⎜1 + ⎝
⎜
⎟
λ
δ
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎛π
⎞
⎛π
⎞⎞
⎜ − B⎜ , λ , ∆(τ ) ⎟ + A( x, λ , ∆(τ )) − A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎟ ⎟
1
⎝2
⎠
⎝2
⎠⎟
− Sinλx⎜
⎜
⎟
λ
δ
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
⎛π
⎞
⎛π
⎞
⎜
A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎟ − B⎜ , λ , ∆(τ ) ⎟ + A( x, λ , ∆(τ )) ⎟
1
2
⎠
⎝2
⎠
⎟
+ Cosλx⎜1 + ⎝
⎜
⎟
λ
δ
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎛π
⎞
⎛π
⎞⎞
⎜ − A⎜ , λ , ∆(τ ) ⎟ − B( x, λ , ∆(τ )) + B⎜ , λ , ∆(τ ) ⎟ ⎟
1
⎝2
⎠
⎝2
⎠⎟
+ Cosλx⎜
⎜
⎟
λ
δ
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛1⎞
+ O⎜ 2 ⎟
⎝λ ⎠
bulunur.
(3.3.25)
58
Buradan w2 ( x, λ ) ’nın son hali
w2 ( x , λ ) =
1⎧
⎛ B ( x, λ , ∆ (τ ) ) + A( x, λ , ∆ (τ ) ) ⎞
⎟
⎨− Sinλx⎜1 +
δ⎩
λ
⎝
⎠
A( x, λ , ∆ (τ ) ) − B( x, λ , ∆ (τ ) ) ⎞⎫
1
⎛
+ Cosλx⎜1 +
⎟⎬ + O( 2 )
λ
λ
⎝
⎠⎭
⎡π ⎤
, x ∈ ⎢ ,π ⎥
⎣2 ⎦
(3.3.26)
şeklinde elde edilir. λ yerine λn ’nin (3.3.17) deki ifadesi konulursa
⎧
⎡
1
1
⎛
⎞
⎛
⎞
A⎜ x, n + , ∆(τ ) ⎟ − B⎜ x, n + , ∆(τ ) ⎟
⎪
⎢
1⎞
4
4
⎪1
⎛
⎠
⎝
⎠
w2 ( x, λn ) = U 2 n ( x) = ⎨ Cos⎜ n + ⎟ x ⎢1 + ⎝
4⎠ ⎢
n
⎝
⎪δ
⎢
⎪⎩
⎣
⎤
⎥
⎛ ⎛
1
1
⎞ ⎞
⎜⎜ B⎜ π , n + , ∆(τ ) ⎟ + 1⎟⎟ x ⎥
+
1⎞
4
⎛
⎝
⎠ ⎠ ⎥
⎜ n + ⎟π ⎝
⎥
4⎠
⎝
⎦
⎡
1
1
⎛
⎞
⎛
⎞
B⎜ x, n + , ∆ (τ ) ⎟ + A⎜ x, n + , ∆ (τ ) ⎟
⎢
1
1⎞
4
4
⎛
⎠
⎝
⎠
− Sin⎜ n + ⎟ x ⎢1 + ⎝
δ
n
4⎠ ⎢
⎝
⎢
⎣
⎤⎫
⎥⎪
⎛ ⎛
1
1
⎛ 1 ⎞
⎞ ⎞ ⎪
−
⎜⎜ B⎜ π , n + , ∆(τ ) ⎟ + 1⎟⎟ x ⎥ ⎬ + O⎜ 2 ⎟
1⎞
4
⎛
⎝n ⎠
⎝
⎠ ⎠ ⎥⎪
⎜ n + ⎟π ⎝
⎥
4⎠
⎝
⎦ ⎪⎭
(3.3.27)
bulunur.
Teorem 3.5 Eğer a) ve b) koşulları sağlanırsa, (3.1.1)-(3.1.5) probleminin U n (x)
özfonksiyonları aşağıdaki asimptotik ifadeye sahiptir.
⎧U ( x)
⎡ π⎞
x ∈ ⎢0, ⎟
⎪⎪ 1n
⎣ 2⎠
U n ( x) = ⎨
⎪U ( x) x ∈ ⎛⎜ π , π ⎤
⎥
⎪⎩ 2 n
⎝2 ⎦
Burada U 1n ( x),U 2 n ( x) sırasıyla (3.3.19) ve (3.3.27) de verilmiştir.
59
4. SONUÇ
Bu tezde sınır koşulunda spektral parametre bulunan iki tip problem ele alınmıştır. İlk olarak
− ( P ( x ) y ' ) ' + Q ( x ) y = λR ( x ) y , a < x < b
y [1] (a ) = 0 ⎛⎜ y [1] (a ) = lim P ( x) y ' ( x) ⎞⎟
x→a
⎠
⎝
'
β 1 y (b) − β 2 y (b) = −λα 1 y (b)
matris katsayılı sınır değer probleminin spektrumu incelenmiş ve özfonksiyonlara göre açılım
formülü elde edilmiştir. Bunun yanı sıra bu sınır değer problemine karşılık gelen kendine eş
operatörün spektral fonksiyonunun ve rezolventinin matris çekirdekli integral operatör olduğu
gösterilmiştir. Gelecekte bu çalışmanın P ( x ) ve Q ( x ) katsayılarının tam sürekli operatör
değerli fonksiyonlar olması durumunun incelenmesiyle devam ettirilmesi öngörülmüştür.
⎡ π ⎞ ⎛π ⎤
İkinci olarak ⎢0, ⎟ U ⎜ , π ⎥ de
⎣ 2⎠ ⎝2 ⎦
y '' ( x) + λ2 y ( x) + q( x) y ( x − ∆x) = 0
denklemi,
λy (0) + y ' (0) = 0
λ2 y (π ) + y ' (π ) = 0
sınır koşulları ve
⎛π
⎞
⎛π
⎞
y⎜ − 0 ⎟ − δy⎜ + 0 ⎟ = 0
⎝2
⎠
⎝2
⎠
⎛π
⎞
⎛π
⎞
y ' ⎜ − 0 ⎟ − δy ' ⎜ + 0 ⎟ = 0
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
dönüşüm koşullarıyla verilen geciken argümanlı, sınır koşullarında özdeğer bulunan süreksiz
sınır değer probleminin özdeğerlerinin ve özfonksiyonlarının asimptotik ifadesi bulunmuştur.
60
KAYNAKLAR
Akhiezer N.I.,Glazman I.M., (1987), Theory of Linear Operators in Hilbert Space, Dover
Publications, INC, New York.
Amara J.B., (2004), Fourth Order Spectral Problem with Eigenvalue in the Boundary
Conditions, Functional Analysis and its Applications.
Bayramoglu M., Özden Köklü K., Baykal O., (2001), Sınır Koşularında Spektral Parametre
Olan Geç Kalan Bağımsız Değişkenli Strum-Liouville Probleminin Özdeğer ve
Özfonksiyonları Üzerine, International Conference On Functional Analysis, Kyiv, Ukraine,
August 22-26.
Bayramoglu M., Özden Köklü K., Baykal O., (2002), On the Spectral Properties of the
Regular Sturm-Liouville Problem with the Lag Argument for which its Boundary Conditions
Depends on the Spectral Parameter.Turk J.Math.V.26,N:4(2002).421-431.
Bayramov A.,Öztürk Uslu S.,Kızılbudak S.,(2007), Computation of Eigenvalues and
Eigenfunctions of a Discontinuous Boundary Value Problem with Retarded Argument,
Applied Mathematics and Computation, V.191,issue 2,p.592-600
Bellman R., Cook K.L., (1963), Differential-difference equations.New York Academic
Press,London.
Binding P.A., Browne P.J., Seddighi K.,(1993), Sturm-Liouville Problems with
Eigenparameter Dependent Boundary Conditions, Proc. Edinburgh Math. Soc. 37 (1993),5772.
Binding P.A., Browne P.J and Watson B.A., (2006), Sturm-Liouville Problems with
Reducible Boundary Conditions, Proceedings of the Edinburg Mathematical Society,(2006)
49,593-608.
61
Binding P.A., Browne P.J and Watson B.A., (2004), Equivalence of Inverse Sturm-Liouville
Problems with Boundary Conditions Rationally Dependent on the Eigenparameter, J.Math.
Analysis Applic.291, 246-261.
Birman M.S. and Solonyak M.Z., (1987), Spectral Theory of Self Adjoint Operators,
DRedidel Published co Drdrecht.
Collatz L., (1963), Eigenwertaufgaben mit Technischen Anwendungen, Akademische Verlag,
Leipzig.
Deminko G.V., Matveeva I.I., (2005), Asymptotic properties of solutions of delay differential
equations. Vestnik MGU.Ser.:Matematika,Mechanika,Informatika 5 .(2005). iss.3,20-28.
Demidenko G.V., Likhoshvai V.A., (2005), On differential equations with retarded argument
.Sib.Mat.,Zh..46(2005) n.3. 417-430.
Friedman B., (1956), Principles and Techniques of Applied Mathematics, John Wiley & Sons,
London.
Fulton C.T., (1977), Two-Point Boundary Value Problems with Eigenparameter Contained in
the Boundary Conditions, Proc. R. Soc. Edinburg A77, 293-308.
Fulton C.T., (1980), Singular Eigenvalue Problems with Eigenvalue-parameter Contained in
the Boundary Conditions, Proc. R. Soc. Edinburg A87, 1-34.
Glazman I.M., (1965), Direct Methods of Qualitative Spectrum Analysis of Singular
Differential Operators, Israel Program for Scientific Translations, Jerusalem.
Hellwig G., (1967), Differential Operators of Mathematical Physics,London.
Hochstad H., (1989) Integral Equations, John Wiley & Sons, New York.
Jablonski M., Twardowska K., (1987), On boundary value problems for differential equations
with retarded argument.Universitatis I agellonce Acta Mathematica iss.26(1987)29-36.
62
Kamenskii G.A., (1954), On the asymptotic behaviour of solutions of linear differential
equations of the second order with retarded argument, Moskov.Gos.Unic.Uc.Zap.165.Mat.7
(1954) .195-2004 (Russian).
Kato T., (1980), Perturbation Theory for Linear Operators, Springer Verlag,Berlin,New-York.
Muhtarov O.SH. Kadakal M., and Altinisik N., (2005), Eigenvalues and eigenfunctions of
discontinuous Sturm-Liouville problems with eigenparameter in the boundary conditions.
Indian J.Pure Appl.Math.34(3) .501-516.
Naimark M.A., (1968), Linear Differential Operators, George G.Harrap&Company, LTD,
London.
Nersesjan A.B., (1961), Expansion in eigenfunctions of some non-selfadjoint boundary
Problems, Sibirsk.Mat Z.2(1961), 428-453(Rusça).
Norkin S.B., (1958), On boundary problem of Sturm-Liouville type for second order
differential equation with retarded argument. Izv.Vyss.Ucebn.Zaved.Matematika,No:6(7),
203-214 (Rusça).
Norkin S.B., (1972), Differential equations of second order with retarded argument.
Translations of Mathematical Monıgraphs. Vol.31. (AMS,Providence,RI,1972).
Poisson S.D., (1820), Memoire sur la Maniere d’exprimer hes Fonctions par des Series de
Quantites Periodiques, estur I’usage de cette ,Transformation dans La Resolution de Differens
Problems, Journal de I’Ecole Polytechnique, Cah. 18, pp.417-489.
Russakovskii E.M., (1975), Operator Treatment of Boundary Value Problems with Spectral
Parameters Entering via Polynomials in the Boundary Conditions, Functional Analysis
Applications 9, 358-359.
63
Russakovskii E.M., (1996), The Matrix Sturm-Liouville Problem with Spectral Parameter in
the Boundary Conditions, Algebric and Operator Aspectors, Trans.Moscow.Math.Soc., 159184.
Smirnov V.I.,(1964), A Course of Higher Mathematics, New York.
Shkalikov A.A., (1986), Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations with
Parameter in the Boundary Conditions, J. Soviet Math. 33, 1311-1342.
Tychonov A.N. and Samarskii I.I. ,(1956), Equations of Mathematical Physics, New York.
Tychonov A.N. and Samarskii I.I., (1963), Equations of Mathematical Physics.Pergamon,
Oxford.
Walter J., (1973), Regular Eigenvalue Problems with Eigenvalue Parameter in the Boundary
Condition, Math.Z.133, Page:301-312.
Weidmann J., (1980), Linear Operators in Hilbert Spaces, Graduate Texts in Mathematics,
Vol.68, Springer Verlag, New York.
Weidmann J., (1987), Spectral Theory of Ordinary Differential Operator, Springer Verlag,
London.
64
ÖZGEÇMİŞ
Doğum tarihi
20.04.1978
Doğum yeri
İstanbul
Lise
1992 –1995
F.M.V.Özel Ayazağa Işık Lisesi
Lisans
1995 –1999
Yıldız Teknik Üniversitesi
Kimya Metalurji Fakültesi
Matematik Mühendisliği Bölümü
Yüksek Lisans
2000 – 2002
Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Müh. Anabilim Dalı,
Matematik Müh. Programı
Doktora
2002-
Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Müh. Anabilim Dalı,
Matematik Müh. Programı
Çalıştığı kurumlar
2000-Devam ediyor Yıldız Teknik Üniversitesi
Kimya Metalurji Fakültesi
Matematik Mühendisliği Bölümü
Araştırma Görevlisi