( ) a x y a xy a y F x ′′ ′ + + =

Mayıs 3, 2012
MATE 322 DİFERENSİYEL DENKLEMLER
3.7
Yüksek Mertebeden Lineer ve Sabit Katsayılı Diferensiyel
Denklemler
Yüksek
mertebeli
diferensiyel
denklemlerin
çözümü
2.
mertebeden
diferensiyel denklemler gibidir. Aşağıdaki diferensiyel denklemler yüksek
mertebeden
homojen
olmayan
sabit
katsayılı
lineer
diferensiyel
denklemlerdir.
Örnek 3.7.1
Yüksek mertebeli diferensiyel denklemleri çözünüz
a) y (iv ) − y′′′ = x 2 + e x
b) y′′′ − 2 y′′ − y′ + 2 y = 4e3 x
c) y′′′ + 3 y′′ − 4 y′ − 12 y = 4 cos x
3.8
İkinci Mertebe Sabit Katsayılı ve Homojen Olmayan Lineer
Diferensiyel Denklemler
Cauchy-Euler Kuralı
Bu bölümde ikinci mertebeden Cauchy-Euler diferensiyel denkleminin
çözümünü inceleyeceğiz.
a0 x2 y′′ + a1 x y′ +a2 y = F(x)
…(1)
diferensiyel denklem (1) Cauchy-Euler denklemi olarak bilinmektedir.
Bu denklemde a0 , a1 ve a2 sabit sayılardır.
D.A.Ü
Matematik Bölümü
Page 54
MATE 322 DİFERENSİYEL DENKLEMLER
x = et
Mayıs 3, 2012
dönüşümü Cauchy-Euler diferensiyel denklemini sabit
katsayılı lineer olan diferensiyel denkleme dönüştürür.
t
x > 0 olmak üzere x = e ise t = ln x
olur. Bu dönüşümler
kullanılarak aşağıdaki türevler ‫ ݐ‬bilinmeyenine bağlı olarak hesaplanır:
dy dy dt 1 dy
= . = .
dx dt dx x dt
d 2 y 1 d 2 y dt 1 dy 1 d 2 y 1 dy 1 d 2 y dy
= .
. − . = .
− . = (
− )
dx 2 x dt 2 dx x 2 dt x 2 dt 2 x 2 dt x 2 dt 2 dt
Yukarıdaki türevleri Cauchy-Euler diferensiyel denklemine
yerleştirirsek aşağıdaki diferensiyel denklemi elde ederiz:
d2y
dy
A0 2 + A1 + A2 y = G (t )
dt
dt
…(2)
veya
A0 y ′′(t ) + A1 y′(t ) + A2 y (t ) = G (t ) .
Denklem (2) elde edilirken
A0 = a0 , A1 = a1 − a2 , A2 = a2
D.A.Ü.
t
ve G (t ) = F ( e ) olarak seçilirler.
Matematik Bölümü
Page 55
Mayıs 3, 2012
MATE 322 DİFERENSİYEL DENKLEMLER
En son elde ettiğimiz diferensiyel denklemin, yani denklem (2) nin,
çözümü Cauchy-Euler denkleminin çözümünü verir. Bulduğumuz
çözüm ‫ ݐ‬bilinmeyenine bağlı olacağından
x cinsinden
kullanıp bulduğumuz çözümü
Hatırlatma:
denklemleri, yine
x = et
dönüşümünü yeniden
ifade ederiz.
Yüksek mertebeden Cauchy-Euler diferensiyel
x = et
dönüşümü kullanılarak çözülür.
Cauchy-Euler diferensiyel denklemininin en genel şekli:
n
a0 ( ax +b) y(n) + a1 ( ax +b)
n−1
y(n−1) +a2 ( ax +b)
n−2
y(n−2) +...+
an−1 ( ax +b) y′ + an y = F(x)
Bu denklemin dönüşümü
Örnek 3.8.1:
ax + b = et
Cauchy-Euler diferensiyel denklemlerini çözünüz
a) x 2
d2y
dy
− 5 x + 8 y = 2 x3 , x > 0
2
dx
dx
b) x 2
d2y
dy
+ x + 4 y = 2 x ln x
2
dx
dx
D.A.Ü.
olarak düşünülmelidir.
Matematik Bölümü
Page 56
MATE 322 DİFERENSİYEL DENKLEMLER
Mayıs 3, 2012
d2y
dy
− (2 x + 1) + y = 0
c) (2 x + 1)
2
dx
dx
2
Örnek 3.8.2
Başlangıç-değer problemini
x 2 y′′ − 6 y = ln x
1
1
y (1) = , y′(1) =
6
6
çözün.
D.A.Ü.
Matematik Bölümü
Page 57