ııı - uzay

11
II - UZAY − ZAMAN SİMETRİLERİ VE GRUP YAPISI
II.A ) UZAYDA ÖTELEME VE E(1)
Sonsuz uzunlukta bir doğru üzerinde, keyfi seçilmiş bir O noktasına göre konum'u ifade
x 'in özdeğeri olarak
denkleminde yer alır. Tüm özdeğerleri reel olan x
x
eden x , konum operatörü
x

x
x
bağıntıları geçerlidir.
ve dolayısıyla üniter olan
D a
 exp  i
k a
D a
D a
xa


ve
x


dx x

x
1
‘Öteleme’ işleminde normu koruyan
operatörü hermitsel bir
 D a  
olarak yazılabilir.
 x
hermitsel olarak seçilebileceği için
   x  x
x x
dolayısıyla
x
k
jeneratörü yardımıyla
operatörlerinin Abelyen bir Lie
grubu oluşturduğu görülmektedir. Sonsuz küçük bir öteleme için
x
exp  i
x
k
k dx  

x
 i
x
x
3- boyutlu uzaylarda
denklemine
exp  i
k
 1  i k dx 

x  dx
elde edilir ve
k
 i
 i 
k dx 
 1  i k dx  x  1  i k dx 
 

 x , x   1
eşitliğinden

x
ilişkisi kurulur; bu ilişki
x
biçimine dönüşecektir.
x
 x
ile benzerlik dönüşümü uygulanması sonucu bulunan

x  dx 1
denkleminden

x , k 
 i
exp  i
k a  x exp  i k a 

oluşu Baker-Hausdorff Lemması ile de gösterilebilir. Bu Lemma
B
1
veya
komütasyon bağıntıları elde edilir. Konum ve 'Momentum' arasındaki
belirsizlik bu bağıntıların doğal sonucudur.
exp  A 
x
exp  A  
 A, A, B   A,  A,  A, B 
B+ A, B       

2!
3!
xa 1
12
olmasını öngörür. Ispatı ise bir fonksiyonun   0
etrafında açılıp
değerlendirilmesine dayanır. Basit bir örnek olarak :
e
fonksiyonun
  0
sayısını bulmak için üstel
exp     1   
etrafında
sonra da   1 ’de değerlendirerek
e  11
  1 de
2
2!

3
3!
1 1
 
2! 3!

olarak açılıp,
bulunması
hatırlanmalıdır. Baker-Hausdorff Lemma’sının kanıtlanması için
f     exp   A 
bağıntısı kullanılır:
B
exp   A   f  0   f   0   
f 0 
B
f  0 
;
f   0 
2!
2 
AB  BA   A, B
f   0 
3!
;
3 
… ifadelerini
yerleştirince Baker-Hausdorff Lemma’sı elde edilir. Tek uzay boyutunda ötelemelere daha
klasik bir yaklaşım : herhangi bir F fonksiyonunun
x
F
 F ( x)
skalar çarpımı
olarak yazılmasına dayanır. Bu fonksiyonun Maclaurin açılımı
F  x  a   F a   x F  a  
ifadesinde
x ve a ’nın yerlerini değiştirmenin bir sakıncası yoktur :
F  x  a  F  x  a F x 
Bu da
x2
x3
F   a  
F   a   . . .
2!
3!
F  x  a
a2
a3
F   x  
F   x   . . .
2!
3!


d
a2 d 2
 1  a

  F  x 
2
dx
2! dx


 d 
exp  a 
 dx 
F  x  'e etki eden diferansiyel operatörün
 d 
F  x  a   exp  a  F  x 
 dx 
.
biçiminde yazıldığında
olduğu görülür ve
elde edilir. Bu ifadeyi skalar çarpım gösteriminde yazarsak
bra-vektörleri ile ilgili şu özellikleri görebiliriz:
xa
F
xa
 d 
 exp  a

 dx 
x
F


 d 
 exp i a  i  
 dx  

x

Bu işlemi veya bunun eşdeğeri
exp i
k a
xa
xa
x

 d 
 exp  a

 dx 

xa
x
exp i
x
k a 

.
denklemini daha
somut bir biçimde ve matrislerle ifade etmek istersek tek boyutumuza bir de ‘sahte’ boyut
ekleyerek
13
1 a   x 
 x  a

0 1   1 
 1 

  


k
biçiminde yazmamız gerekir. Bu da
0 i 
 

0 0
anlamına gelir.
II.B ) ZAMANDA ÖTELEME VE E(1)
Zamanda ötelemeyi sağlayan operatör de
ct
exp  i
k
o
c  
ct  c
biçiminde tanımlanır. Sonsuz küçük bir öteleme için
ct
1  i k
o
dt  
ct  cdt
elde edilir ve dolayısıyla
k
görülür:
ct
k
o
 i
d
c dt
ct
operatörünün de zamana göre türeve eşdeğer olduğu
o
d
c dt
 i
o
k

k
ve
o

 0 i 
0 0 


.
II.C ) DÜZLEMDE DÖNME VE SO(2)
 x, y 

koordinat sisteminden
 x , y 
koordinat sistemi olan
olsun :
R
 x
 x 
 y    y 
 
 
x2  y 2  x2  y 2
olmak üzere
koordinat sistemine dönüşümü sağlayan matris
değeri bu dönüşüm altında değişmez.
R
,
cos 
 
 sin 
R
. Şekilden de görülebileceği gibi
x  r cos  , y  r sin 
x  r cos(   )
yardımıyla
açısı kadar saat yönünde döndürülmüş yeni bir
y  r sin(   )
 sin  
cos  
r 
x2  y2
ve
yazılarak, trigonometrik özdeşlikler
elde edilir.
14
r 2 değişmezi iki ayrı skalar çarpım şeklinde yazılıp :
 x 
 y  
 
bu denkleme de
x
yerleştirilince
y
RR
olduğu görülür.
R
RR

1
 x
 y
 
 x
ve
 x
 y 
 
y  
 x
y  
 y
x
 x
x
 x 
y    
 y 
y
R
ve dolayısıyla
 x
y  
 y
x
özdeşlikleri
RR

1
oluşu SO  2  Lie grubunun özelliğidir.
'S’ : determinantın 1 olduğunu, 'O' :
R

R
1
sağlayan bir ortogonal matris
olduğunu, '2' ise 2  2 boyutlu bir matris olduğunu göstermektedir. Bu grubun elemanı
olan
R 'yi başka herhangi bir bilgi olmadan da bulmak mümkündür:
a c  a b 
1 0
b d   c d   0 1

 



ifadesi bize 3 denklem verir; ayrıca Det  1 koşulu
kullanılarak elde edilen 4 denklem :
a 2  c2  1
;
a bc d  0
;
b2  d 2  1
;
a d  bc  1
kullanılarak bilinmeyenlerden ikisi elenebilir:
ab
d  
c


a2 
b 1  2   1
c 

2

b  c

d 
a
15
R
Sonuçta karşımıza iki çeşit
1
Ancak

 a b
 

 b a 
R
matrisi çıkar:
veya
a b 
 b a 


.
olması gerektiğinden ikinci tür SO  2  grubunun bir elemanı olamaz;
R
a 2  b2  1
dolayısıyla çözüm
 a b
 

 b a 
R
olmak üzere
biçimindedir.
a ve b değerleri, eğimin dönmeler altında nasıl dönüştüğüne bakarak bulunabilir.
dy
dx
m 
m  0
dy 
dx 
m 
;
;
m  tan  

b
a
cos 
 
 sin 
R
Sonuç olarak gene
 a b   dx 
 dx 
 b a   dy    dy 

  
 


am  b
a  bm
m 
b   sin  , a  cos 
 sin  
cos  
ifadesine ulaşılır.
Tek değişkene bağlı bu dönme işlemi, bir diferansiyel operatörün bra-vektörüne etkisi olarak
exp  i
x,y
L
 exp  i
R
yazılabilir.
L 
L 
varsayımıyla
x cos  y sin , x sin  y cos

.
’nin diferansiyel gösterimini bulmak için sonsuz küçük açı yaklaşımı yapılır ve
cos d  1 ve
sin d  d
 1  i L d 
x, y
x,y i
L d
x,y i
L
L
x,y
kullanılarak
x  y d , y  x d


x  y d , y  x d  x , y  x d  x , y  x d  x , y

 y
x  y d , y  x d  x , y  x d
y d
 
 
 i x
y
x 
 y
x, y

L
 x
x , y  x d  x , y
x d


 

 i  x
y
 i

x 

 y
olarak bulunur.
Daha somut bir gösterim için
denklemindeki
L

L
3
cos
 sin

 0 i 
 

i 0 
exp  i
sin 
cos 
L 
 x
cos

 y
 sin
 

matrisine uygulanan
ifadesine ulaşılır.
sin   x 
 x 

 y 
cos   y 
 


 0
işlemi sonucu da
16
exp  i
L  x
exp  i
L 

exp  i
L  y
exp  i
L 
 
x cos + y sin
x sin  y cos
denklemlerine Baker-Hausdorff Lemma’sı ile de erişmek mümkündür. Gene aynı Lemma
kullanılarak bu eşitlikler tüm 2-Boyutlu vektörlere genellenebilir :
exp  i
L  V
exp  i
L 

exp  i
L  V
exp  i
L 
 
L 

x
y
exp  i
Vx , Vy
V
x
cos + Vy sin
sin  Vy cos
V
x
Vx cos  Vy sin , Vx sin  Vy cos
II.D ) UZAYDA DÖNME VE SO(3)
SO  2  grubunun jeneratörü olan
L
3
,
z- ekseni etrafında dönme ile ilintiliydi.
3-Boyutlu uzayda 3 ayrı eksen etrafında dönme işlemlerinin jeneratörleri permütasyon
L
kullanılarak yazılır :
1
L
3

 
 
i  y  z
y 
 z
,

 
 
i  x
y
x 
 y
.
L

2
 
 
i  z
x

z 
 x
Bu jeneratörlerin komütasyon bağıntıları ve bunların sembolik kısa yazılımları
k



L,L
  i

L
k



L,k
  i

k

L,r
  i

r
k


olarak elde edilir. Dönme işlemleri altında
k

L ,L

L ,k

L ,r
i
i
i
j
j
j
  i
 L
  i
 k
  i
 r
adlandırılacaktır :
ijk
k
ijk
k
ijk


k
L,V
  i

V
gibi davranan her şey 3-Vektör olarak
.
17
II.E ) E(3)
3-boyutlu uzayda öteleme ve dönme işlemlerinin jeneratörleri bir arada, Euclid grubunun Lie
cebrini oluştururlar. Temel dönme işlemleri düzlemleri, yani koordinat çiftlerini içerdiği ve
N
N ( N 1 )
2
sayıda nesneden
N ( N 1 )
2
E N
adet çift oluşturulabileceği için SO  N 
adet jeneratörü vardır. Bunlara
grubu için
N ( N 1 )
2
grubunda 6 jeneratör vardır:
N
grubunun
tane de öteleme jeneratörü eklersek,
adet jeneratör elde etmiş oluruz. Bundan dolayı
L
ve
k
E  3
.
II.F ) VEKTÖR VE SKALAR TANIMLARI


L,k
  i

k
elde edilmesinden sonra dönme işlemleri sonucunda
davranan her şeye 3-vektör deneceği belirtilmişti.
esinlenerek de dönme işlemleri sonucunda
k2


L , k2
 

0
k
gibi
bağıntısından
gibi davranan her şeye Skalar denecektir.
II.G ) 1-BOYUTTA LORENTZ DÖNÜŞÜMLERİ VE SO(1,1)
SO  2  grubunda
R
,
x 2  y 2 ifadesini değişmez bırakan bir dönüşümdü. Benzer
biçimde SO 1,1 grubunda
,
 2  2
ifadesini değişmez bırakmaktadır.
18
Ancak bu tür bir ifadeyi skalar çarpıma benzer bir biçimde gösterebilmek için metrik
 
 '
     
 
 '
kullanmak gereklidir. Dönüşüm denklemi
 2   2   2   2
 
 
 
     
 
G
olacağından
G
 
 
 

G


şeklindedir.
a b 
c d 


için en genel biçim
 a c  1 0   a b 
1 0 
 b d  0 1  c d   0 1

 
 



Ayrıca Det
a 2  c2  1
d 
ab
c
 1
;

olarak çözülür ve
Ancak
1

dolayısıyla çözüm
1 0 
 

0 1
 
G 
biçiminde yazılır. Buradan çıkan sonuç
ve değişmez ifade
metriği kullanılarak
G
 
     
 
;
  SO(1,1)
G
G
 
 
 
benimsenerek
ifadesinden 3 denklem elde edilir.
koşulu bunlara eklenince, oluşan 4 denklem :
a bc d  0
;
d 2  b2  1
a 2

b2  2  1  1 
c

;
b  c
 için iki farklı form ortaya çıkar:
a d b c  1

d  a
a b 
  

b a 
b
a
veya 
 .
 b a 
olması gerektiğinden ikinci tür SO 1,1 grubunun bir elemanı olamaz;
a 2  b2  1 olmak üzere
a b 
  

b a 
biçimindedir. a ve b
değerleri Hız’ın Lorentz dönüşümleri altında nasıl dönüştüğüne bakarak bulunacaktır.
II.H ) TEKRAR RELATİVİTE
Relativite gözlemcilerin eşdeğerliğine dayalı çok temel bir kavramdır :
i) Eşdeğer gözlemciler değişmezler üzerinde aynı fikirdedirler.
19
ii) Ancak detaylar hakkında çelişirler, ama bunları birbirlerine tercüme ederek
karşılıklı anlayış sağlayacak bir " lugat" vardır.
Galileo’ya göre birbirine göre sabit hızla hareket etmekte olan gözlemciler eşdeğer
gözlemcilerdir. Einstein buna ek olarak ışık hızının kaynak ve gözlemci hızından bağımsız bir
sabit olacağını öngörmüştür. İncelediği dalgayı taşıyan ortama göre hareketsiz olan
gözlemcinin özel bir durumu olması doğaldır. Dünyamız sürekli hareket halinde olduğundan
bizim ne ölçüde özel gözlemci olduğumuz 19. yüzyıl sonlarında tartışıldığında,
elektromagnetik dalgaların taşıyıcısı olduğuna ve eter adı verilen ortama göre ne hızla
hareket ettiğimiz sorusu gündeme gelmiştir. Michelson-Morley deneyinin sonucu dünyanın
eter içinde hareketsiz olduğu yönündedir. Bu da eter’in yokluğuna işaret eder. Birbirine göre
sabit hızla giden iki gözlemcinin koordinat sistemleri tam çakıştığı anda, merkezde anlık bir
ışık çakmasını ortak olarak yarattıklarını varsayalım : İki gözlemci de küresel bir ışık
x 2  y 2  z 2  c2 t 2
yayılmasına tanık olacaktır :
x2  y 2  z2  c2t 2 .
;
Basitlik açısından sabit hız x-yönünde alınır ve y  y , z  z 
 2  2
şeklinde bir değişmeze ulaşılır :
c2t 2  x2  Sabit . Bu iki gözlemcinin
 ’yı bulmak için hız dönüşümü ilişkisinden
uyumunu sağlayan dönüşüm operatörü
yararlanılır. Koordinat sistemlerinin birbirine göre hızı
a 2  b2  1
v  0
ile verilir ve
  0
b 

o
1  o2
uo
olsun. Dönüşüm denklemi
 a b   c dt 
 c dt 
 b a   dx    dx  

 



olmak üzere

 
a  b
a  b
özel hali için
 
b
a
,
a 
bulunur. Son olarak da
 o 
uo
c

1
1  o2
tanh  o
biçiminde yazılır. Bu ifadenin
olmak üzere
c  
cosh  sinh  
  

 sinh cosh 
limiti Galileo dönüşümüdür.
Lorentz dönüşümünü bra’lar üzerinden gerçekleştiren operatör
şeklindedir :
kabul edilirse
ct, x
exp  i
M 

exp  i
M 
ct cosh  x sinh , ct sinh  x cosh
20
1  i M  
ct, x
Küçük bir değişim için bu ifade
ct  x d , ct d  x

şeklinde yazılabilir. Terimleri uygun şekilde açıp, gerekli işlemleri yaparak
ct , x
M
1

i
M

ct  x d , x  ct d  ct  x d , x
d

 

 i  ct
x

x
c t 


ct  x d , x  ct , x
d
ve permütasyonları şeklinde “İtme” adını verdiğimiz
diferansiyel operatörler elde edilir. Daha somut bir gösterim için
exp  i
M 
 ct 
cosh sinh   ct 
 ct 
 x    sinh cosh   x    x  
 

  
 
cosh  sinh  
 sinh  cosh  


M
0 i 
 

 i 0


matrisine uygulanan
0
denklemindeki
işlemi sonucu da
ifadesine ulaşılır.
II.I ) 3-BOYUTTA LORENTZ DÖNÜŞÜMLERİ VE SO(3,1) LORENTZ GRUBU
SO  3,1 Lorentz Grubunun 3  3  1 / 2  6 tane jeneratörü vardır.
L
Bunlar dönme jeneratörleri :
L
2
1
 
 
 i  z
x

z 
 x
M
2


 
  i  ct
y
c t 
 y
L
,
M
ve İtme jeneratörleri :
1
,
 
 
 i  y  z
y 
 z
M
3
3
,
 
 
 i  x
y
x 
 y

 

  i  ct
x

c t 
 x

 

  i  ct
z

c t 
 z
,
şeklindedir.
21
II.J ) E(3,1) POINCARE GRUBU
SO  3,1 Lorentz grubunun jeneratörleri ile birlikte uzay-zamanda ötelemenin jeneratörleri
k
 i
o

c t
;
k
1

x
 i
k
;
2

y
 i
;
k
3
 i

z
E  3,1 Poincaré grubunun 10 jeneratörünü oluştururlar. Bu grup “Homojen olmayan
Lorentz Grubu” adıyla da bilinmektedir. Poincaré Grubunun Lie Cebiri aşağıdaki tabloda
verilmiştir:
 *,* 
L
L
i
L
i
M
M
k
k
M
k
i k
0
i
i
L
i
o
0
k
k
o
k
0
0
o
II.K ) 4-VEKTÖRLER VE LORENTZ SKALARLARI
 L,V  =i


V
 M , V  = i


V
o
Lorentz dönüşümleri altında
L,

k
2
o

k
2
 =

0
k
 k  
Lorentz dönüşümleri altında
o
,k

,
L,V  =
o


,


k
2
o

M , V 
o
k
,
2
gibi davranan her şeye 4-vektör denir.
0
= i
V
gibi davranan her şeye ise Lorentz Skaları denir.
M,

k
2
o

k
2
 =

0
22
 L , Lorentz Skaları  =


 *,* 
L
i
 M , Lorentz Skaları  =


,
V
V
Skalar
V
0
0
0
o
i Vo
M
0
i
V
 xo
, r
 x

 x
   x   a 
 ct , r 


0
konum 4-vektörünün Lorentz dönüşümü
biçiminde yeniden yazılır. E  3,1 grubunu matrislerle ifade
etmek için, yukarıdaki koordinat gösterimine sabit değerli sahte bir koordinat daha
ekleyerek, jeneratörler 5  5 matrisler olarak ifade edilebilir:
 x 

 1   0
 

a   x 
1   1 
Operatörlerin matris gösterimi aşağıdaki gibidir:
L
M
0
0
0
0
0
:
:
0
i
0
0
0
0
0
0
0
0
i
0
0
0
0
0 0
0 0
0 i
i 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 ,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
i
0
0
0
0
0
0
0
i
0
0
0
0
0
0 ,
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0 i
i 0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 ,
0
0
0
0
i
0
0
0
0
0
0
0
i
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 ,
0
0
0
0
0
i
0
0
0
0
0
0
i
0
0
0
0
0
0
0
0
0




0
0
0
0
0


23
k
k
0
0
0
0
0
:
o
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
:
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
i
0 ,
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
i ,
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
i
0
0
0
0
0
0

0 i 
0 0
0 0
0 0
0 0

Bahsi geçen gruplar arasında şu şekilde hiyerarşik bir düzen bulunmaktadır:
L,M,k,k 
o
E  3,1

L , M

L 

L 

SO  3,1

SO  3

SO  2 

L,k

L

E  3

3
veya
L,M,k,k 
o
E  3,1
3
,
k
1
,
k
2

E 2

k 

E 1
1
II.L ) CASİMİR OPERATÖRLERİ
Lie cebiri elemanlarının keyfi kuvvetlerinin çarpımlarından oluşan küme elemanları ‘Zarf
Cebiri’ olarak adlandırılır. Lie cebirinin tüm elemanları ile komütatörü sıfır olan zarf cebiri
elemanlarına Casimir Operatörleri denir. SO  3 ’ün Casimir operatörü
E  3 ’ün Casimir operatörleri
k
2
o

k
2
ve
k L
operatörlerinden biri kolaylıkla gösterilebileceği gibi
k, k

k2o  k2

m2 c 2
2
1
’dir.
L
2
,
dir. E  3,1 ’in Casimir
24
Elde edilmesi daha güç olan diğer Casimir operatörünü bulabilmek için E  3 grubunun
Casimir operatörlerinden birinin
W k  L
kL
oluşundan esinlenerek, sıfırıncı bileşeni
olan bir 4-vektör tanımlanır.
o
W
W  k L  k M
bağıntısından yararlanılır ve sonuçta


’yi bulmak için
o
M , W 
o
= i
W
bulunur.
Bu yeni operatörün Poincaré grubunun jeneratörleriyle komütatör ilişkilerinin
L,W  =i


W
 M , W  = i




k , W 


k , W 
=

o
W
o
0
=
0
,


L , W 
,


M , W 
,


k,W
,

k , W 
=
o
o
= i
 =

o
o
0
o
=
W
0
0
olduğunu göstermek zor değildir. Bu sonuçlar kullanılarak
W, W

Wo2  W2
ifadesinin de bir Casimir operatörü olduğu görülür.
Bu Lorentz skaları, parçacığın hareketsiz olduğu çerçevede
 W

0, 0
olduğu için
sıfır olacaktır. Ancak ileride görüleceği gibi, açısal momentumun cebirsel genelleştirilmesi :
L
J =L +S

W

W, W
olarak yapılınca
 k J, k Jk J 
o
 
m2 c 2
2
S2

k 
 mc

, 0


 
W


 0 ,
Lorentz çerçevesinde
mc
S



ve dolayısıyla
elde edilir. Bu sonuç temel parçacıkların sınıflandırılmasında
kütle ve spin’in önemini vurgulamaktadır.
25
II.M ) AYRIK SİMETRİLER : UZAY VE ZAMAN TERSİNMELERİ
 : Uzayda Tersinme,  : Zamanda Tersinme operatörlerinin fiziksel ve matematiksel
etkileri aşağıdaki tabloda nedenleri ile birlikte gösterilmiştir.
1
 1
 r , t | 
 r , t |

2 
 r , t | 
 r , t |

2


Gerekçe
r


Tanım
t


Tanım
d


1


i



t






i 


v,p , k


a,F


H , po , ko


H  m v2 / 2
L


L  rp





i

t
d 
r  dr
r2
 : Antilineer ! ! !
dr
dt
d 2r
a 
dt 2
v 
 
dL
dt
26
E


F  qE
B


F  q vB
d



H  d E


H  B
Ao


E   c Ao
A


B   A
Jo


J


2
Ao  o J o
2
A  o J


Zamanda tersinmenin antilineer oluşu momentumun zaman tersinmesi ile işaret değiştirme
gereğinden doğar. Momentum operatörü i

’in işaret değiştirmesi ancak i ’nin
x
işaret değiştirmesi ile sağlanır. Daha matematiksel bir yaklaşımla:
t
exp  i cko   
0
exp  i cko   
t 

0  exp  i cko    
  i cko    
dolayısıyla
 i ck  
o
exp  i cko   

0   exp  i cko    



0


 exp  i cko     exp  i cko  



.
 ko  
 'nın Antilineer olduğu görülür.
k
o
kullanarak
 i   i ,
27
II.N) FİZİKSEL DEĞİŞKENLERİN AYRIK SİMETRİLERE GÖRE
SINIFLANDIRILMASI




po , J o , Ao , i

1 
c t
E,d,M
4-Vektörlerin 0'ıncı bileşeni
Polar 3-Vektörler
B,,L
p , J , A , i 
Sahte 3-Vektörler
4-Vektörlerin vektör bileşeni

4-vektörlerin vektör kısmı dışındaki vektörler aslında antisimetrik tensör bileşenleridir.
Magnetik dipol momentinin açısal momentum ile aynı kutuda yer alması, iki değişken
arasındaki
 
e
L
2m
ilişkisini açıklamaktadır.
Birçok denklemi Lorentz skalarları olarak yazmak mümkündür:
,J
 0
: Yük Korunumu
,A
 0
: Lorentz Ayarı
,

,

p,p
2
: D’Alambert (Dalga) Operatörü
2
  0
 m2 c 2
p  eA , p  eA
: Dalga Denklemi
: 4-Momentum - Kütle İlişkisi
 m2 c 2
: En Yalın Genelleme İlkesi
28
II.O ) SONUÇ
Öncelikle deneyler arasında ayırım yapmak gerekir: malzemenin özelliklerini araştıran
Katıhal Fiziği deneyleri ile doğanın temel yapıtaşlarının sırlarını araştıran Yüksek Enerji
deneyleri bir tutulamaz. Doğanın yapıtaşlarını ve bunların Uzay-Zamanla olan ilişkilerini
inceleyen deneylerde :
1. Yapılan bir deneyle yeni bir olgunun gözlemlenmesi,
2. Bunu açıklayan bir hipotez oluşturulması,
3. Bu hipotezin öngördüğü yeni olguların da deneyle doğrulanması
olarak özetlenen klasik yaklaşım geçerliliğini kaybeder. Temel fizikte rastlantıya dayanan
deneysel buluşlar dönemi geride kalmıştır. Milyarlarca dolarlık maliyetlerin söz konusu
olduğu deneylerde körebe metodu ile araştırma lüksü yoktur. Genel relativite göz ardı
edilirse doğanın temel ve kesin simetrisi Poincaré simetrisidir ve bilinen tüm parçacıklar bu
simetrinin indirgenemez temsilleridir. Yapılacak her deneyin Poincaré simetrisi gerçeğini göz
önüne alarak tasarlanması zorunludur. Sir Arthur Eddington’un yarı şaka olarak ifade ettiği
'Teori tarafından doğrulanmadıkça her ortaya atılan deneysel sonuca pek güvenmemek
gerekir' ilkesi uyarınca Poincaré simetrisini ihlal eden sonuçlara şüpheyle bakmak gerekir.
Fiziğin bu evresinde, Poincaré simetrisinin geçerli olmayacağı uç noktaların incelenmesi için
büyük kaynakları kumar masasına yatırmak yerine kozmoloji'den yararlanmak daha akılcı
olur.
PROBLEMLER
P.II.1 ) Baker–Hausdorff Lemma’sını kullanarak
exp  i L 3  
 V1 
 
 V2  exp  i
V 
 3
olduğunu ispatlayın.
L 
3


 


cos sin 0  V1 
 sin cos 0  V2 
 0
  
0
1  V 

 3





29

 1
m
bağıntılarından ve


L,V
L
2
i)
ii)

m
L ,V 

3
 L2 ,
V


V
  2
L

2
3
L
;
  iV

3
 V L V L


rˆ
normalize edilince
m
 m
m
sağlayan bir vektör operatörden yola çıkarak
3
3

V

V 



 rˆ 


rˆ
olduğunu ispatlayın,
1
diferansiyel operatörlerini kullanarak
sonra da
operatörlerinin
olduğunu ispatlayın,

iii) Bu sonuçlara dayanarak
iv)
L , L 
SO  3 jeneratörleri
P.II.2 )
1
rˆ 0 0
olduğunu gösterin,
 Sabit olduğunu ispatlayın,
 sin  exp i   olduğunu gösterin. Bu sonuç
 1
2
2 1 ( 2 ) !
sin  exp  i
4
! !

biçimini
alır. ( Condon – Shortley gösterimi )
v)

P.II.3 )
  1
m
L
i
P.II.4 ) a)
b)
,
L

UV
,
L
m

olduğunu ispatlayın.
operatörlerini küresel polar koordinatlarda yazın.
ifadesinin bir skalar olduğunu gösterin ,
U×V
ifadesinin bir vektör olduğunu gösterin.
P.II.5 ) İki Lorentz dönüşüm matrisini çarparak Einstein hız toplama kuralını oluşturun.
P.II.6 ) 5M
kütlesi hareketsiz durumdayken iki tane 2M kütleli parçacığa bozunuyor.
Bozunma ürünlerinin bağıl hızını hesaplayın.
P.II.7 ) Laboratuarda hızlı elektronları hareketsiz elektron hedeflerine yollayarak
e e  e  e  e  e  'Çift Yaratma' deneyinde ‘Laboratuar Çerçevesi’nden ‘Kütle
Merkezi’ çerçevesine taşıyan Lorentz dönüşümünü bulun. Çift yaratma eşik enerjisinde bu
iki çerçevenin bağıl hızı nedir ?
30
L
P.II.8 )
vektörünün bir 4-Vektör’ün vektör bileşeni olamayacağını gösterin.
P.II.9 )
i)
 =
23
L
 =
M
,
 i
g
1
01


, cd
ab
 =
,
1
31
L
 =
02
ac
ii) Yukarıdaki denklemin 
 =
,
2
12
M
 =
,
2
L
03
3
M
gösteriminde
3
bd  g ad bc  g bc ad  g bd a

 =
=
40
=
k
o
,
41
k
1
,

42
gösteriminde de geçerli olması için sözde koordinatın metriği
x
P.II.10 ) Konum operatörü
olduğunu gösterin,
k
 =
,
2
43
g 44
k
3
ne olmalıdır ?
relativistik olmayan fizikte bir operatör olduğu için
Galilei grubunun yapısı Poincaré grubundan farklıdır.

B
= exp i
Mg uo 
x
 exp i
M
p
 exp i
M
g
g
olarak tanımlanan ‘İtme’ operatörünün
uo 
x exp  i M
uo 
p exp  i M
g
g
uo  
x
 uot
uo  
p
 muo
1
;
1
denklemlerini sağlaması gerekir. Baker-Hausdorff lemma’sını kullanarak hermitsel bir
M  x , p
jeneratörü oluşturun.
g
P.II.11 ) E  2 
grubu x -y düzleminde iki öteleme ve
r 
oluşur.
R   r
3
i) Genel grup elemanını
ii)
k
1
,
k
2
,
L
3
 ro
;
 x
r   
 y
z- ekseni etrafında bir dönmeden
,
x 
a   o .
 yo 
3  3 bir matris olarak oluşturun,
jeneratörlerini oluşturun,
iii) Tüm komütasyon bağıntılarını elde edin ve bir tablo halinde özetleyin.
P.II.12 ) E  2,1
grubunun jeneratörlerini saptayın.