MATEMATİK www.akademitemellisesi.com 9. Özel Tanımlı Fonksiyonlar BÖLÜM ÇİFT VE TEK FONKSİYONLAR: olduğundan ne tek nede çifttir. MUTLAK DEĞER FONKSİYONU: f:AR (A R) fonksiyonu için, f(x), |f(x)| = f(x), 1) Her xA için f(–x) = f(x) denir. f(x) 0 ise f(x) 0 ise şeklinde tanımlanan | f | fonksiyonuna f fonksiyonunun ise f ye çift fonksiyon mutlak değer fonksiyonu denir. 2) Her xA için f(–x) = – f(x) ise f ye tek fonksiyon denir. Mutlak değer fonksiyonunun içini sıfır yapan noktalar fonksiyonun kritik noktalarıdır. Bu tür fonksiyonlar incelenirken önce fonksiyon kritik noktalara göre parçalı biçimde yazılır. a) Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir. b) Tek fonksiyonların grafikleri orjine göre simetriktir. ÖRNEK c) Her fonksiyon tek veya çift değildir. f(x) = x2 – 4 ise |f(x)| in grafiğini çiziniz. ÖRNEK Aşağıdaki fonksiyonların tek veya çift fonksiyon ÇÖZÜM olup olmadıklarını inceleyiniz? f(x) = x2 – 4 x2 – 4 = 0 x1, = –2, x2 = 2 A) f(x) = 3x + 4cosx – 1 2 B) f(x) = 2x5 + 7x3 – sinx x – C) f(x) = x3 + 2x2 –3x + 2 f(x) + –2 2 x 4, |f(x)| = 2 x 4, ÇÖZÜM + + x 2 veya 2 x 2 x 2 ise ise bu fonksiyonun grafiği yukarıdaki şartları sağlayan A) f(x) = 3x2 + 4cosx –1 parçaların birleşimidir. f(–x) = 3x + 4cos(–x) – 1 = 3x + 4cosx –1 2 2 0 – 0 2 f(x) = f(–x) olduğundan çifttir. B) f(x) = 2x5 + 7x3 – sinx f(–x) = 2.(–x)5 + 7(–x)3 –sin(–x) f(–x) = –2x5 – 7x3 + sinx f(–x) = –f(x) olduğundan tektir. C) f(x) = x3 + 2x2 –3x +2 f(–x) = (–x)3 +2 (–x)2 –3(–x)+2 f(–x) = –x3 + 2x2 +3x+2 ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ 1 www.akademitemellisesi.com ÖZEL TANIMLI FONKİSYONLAR www.akademivizyon.com.tr y ÖRNEK f: R R 2 –2 x 2 x2 1 f(x) 4 2x 3 x2 2x4 x4 olarak tanımlanıyor. Buna göre, f(1) + f(3) + f(5) toplamı kaçtır? ÇÖZÜM f(1) = 12 + 1 = 2 f(3) = 4 f(5) = 2.5+3 = 13 f(1) + f(3) + f(5) = 2 + 4 + 13 = 19 ÖRNEK f(x) = |x + 2| – x fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Parçalı fonksiyonlarda dört işlem yapılırken, bileşke bulunurken verilen fonksiyonların tanım kümelerinin alt aralıklarının kesişimlerinde bu işlemler yapılır. ÇÖZÜM f(x) = |x + 2| – x x + 2 = 0 x = –2 ÖRNEK f, g: R R x – f(x) –2 + – 5 3x, f(x) 2 x 4, + , 2 f(x) 2x 2 , x 2 x 2 x2 x2 3x g(x) x 1 3 3x x 1 1 x 4 x4 fonksiyonları veriliyor. Buna göre, (f + 2g) (3) değeri kaçtır? ise ise ÇÖZÜM 2 f(3) = 5 – 3.3 = –4 g(3) = 3 + 1 = 4 (f + 2g)(3) = f(3) + 2g(3) = –4 + 2.4 = 4 –2 ÖRNEK –2 –1 f, g: R R 2x, f(x) 3 x 1, PARÇALI FONKSİYON Tanım kümesinin alt aralıklarında ayrı fonksiyonlarla tanımlanan fonksiyonlardır. g(x) , f(x) h(x) , t(x) , xa a xb bx Buradaki x = a ve x = b noktalarına fonksiyonun kritik noktaları denir. x 1 x 1 x2 g(x) x 9 fonksiyonları veriliyor. Buna göre, (gofog)(7) kaçtır? ÇÖZÜM (gofog)(7) = (gof)(g(7)) g(7) = 7 1 3 (gof)(3) = g(f(3)) f(3) = –2.3 = –6 ( 7 2 olduğu için kullanılır.) (3 > 1 olduğu kullanılır.) g(–6) = –6+9 = 3 bulunur. ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ x2 x2 için x2 –2x www.akademivizyon.com.tr MATEMATİK Parçalı Çizimi www.akademitemellisesi.com Fonksiyonlarda Grafik Herhangi bir y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilsin. y = –f(x) fonksiyonunun grafiği bulunurken y = f(x) grafiğinin x eksenine göre simetriği alınır. y = f(–x) fonksiyonunun grafiği bulunurken y = f(x) grafiğinin y eksenine göre simetriği alınır. y = f(x+a) (aR+) fonksiyonunun grafiği bulunurken y = f(x) grafiği negatif x ekseninde a birim ötelenir. y = f(x – a) (aR+) fonksiyonunun grafiği bulunurken y = f(x) grafiği pozitif x ekseninde a birim ötelenir. y = f(x)+a (aR+) fonksiyonunun grafiği bulunurken y = f(x) grafiği pozitif y ekseninde a birim ötelenir. y = f(x)–a (aR+) fonksiyonunun grafiği bulunurken y = f(x) grafiği negatif y ekseninde a birim ötelenir. Parçalı fonksiyonların grafikleri çizilirken her bir alt fonksiyonun grafiği ayrı ayrı çizilir. Bu grafiklerin ait olduğu alt aralıktaki parçası alınır. ÖRNEK x 1, f(x) 1, 2 x , x 1 1 x 1 x 1 fonksiyonun grafiğini çizelim. ÇÖZÜM x < –1 olduğu yerlerde y = x + 1 doğrusunun grafiği çizilir. –1 x < 1 olduğu yerlerde y = 2 doğrusunun grafiği çizilir. x 1 olduğu yerlerde y = x2 parabolünün grafiği çizilir. y 1 –1 1 x ÖRNEK ÖRNEK x 2 3x f(x) 0 2 x 3x x0 3 x 0 Yanda x 3 veriliyor. y = grafiği fonksiyonunun fonksiyonunun grafiğini çizelim. Buna ÇÖZÜM fonksiyonun y = x2 + 3x parabolü çizilir, bu parabolün (0, ) aralığındaki parçası alınır. y = 0 doğrusu çizilir, bu doğrunun [–3, 0] aralığındaki parçası alınır. y = –x2 – 3x parabolü çizilir, bu parabolün (–, –3) aralığındaki parçası alınır. göre, y f(x) y = 3 –f(x) 1 çizelim. y ÇÖZÜM y y = –f(x) grafiği çizilirken –3 0 x 2 grafiğini y = f(x) in x eksenine x 1 göre simetriği alınmalıdır. 2 x 3 ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ 3 www.akademitemellisesi.com ÖZEL TANIMLI FONKİSYONLAR www.akademivizyon.com.tr E) R 3. ÖRNEK y y = f(x) 5 y –2 y = f(x) 1 –2 –1 x 1 x 1 2 3 2 –5 –3 Yukarıda grafiği verilen f(x) fonksiyonunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği veriliyor. A) B) C) D) E) y = f(x–2) fonksiyonunun grafiğini çizelim. f(x) = x + 1 – x – 2 f(x) = x + 1 + x – 4 f(x) = x + 2 – x – 3 f(x) = x + 2 + x – 3 f(x) = x – 2 – x + 3 ÇÖZÜM y = f(x) grafiğini 2 birim pozitif x eksenine öteleyelim. y 4. y = f(x–2) 1 2 3 x3 x3 fonksiyonu veriliyor. (g–1of–1)(0) + (fog)(a) + 2 = 0 olduğuna göre, a kaçtır? x 1 7x 5 fog(x) x 2 16 10 4 –3 A) 6 5. B) 2 C) 0 f(x) =x+2 + x – 3 fonksiyonunun grafiği hangisidir? D) –2 E) –6 aşağıdakilerden ÇÖZÜMLÜ TEST 1. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi ne tek ne de çift fonksiyondur? A) B) C) D) E) f(x) = 7x5 – 3x3 f(x) = 5x4 + 2x2 – 3 f(x) = 2 cosx – 1 f(x) = 2x3 – x2 + 7x + 1 f(x) = x3 – sinx f(x) 5 3x 1 2. fonksiyonunun en geniş tanım kümesi nedir? A) 5,5 1 C) ,0 3 4 B) ,2 3 1 D) , 3 ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ www.akademivizyon.com.tr MATEMATİK www.akademitemellisesi.com A) B) ÇÖZÜMLER 5 –2 1 2 –2 1. f(x) = 2x3 –x2 + 7x + 1 fonksiyonunda f(–x) = 2.(–x)3 –(–x)2 + 7(–x) + 1 = –2x3 –x2 –7x + 1 olduğundan ne tek ne de çift fonksiyondur. Cevap D’dir. 2. 5 – 3x–1 0 için tanımlıdır. 3x–1 5 –5 3x – 1 5 –5 C) D) 5 2 –2 –4 3x 6 2 4 x2 3 4 Tanıma kümesi ,2 aralığıdır. 3 –5 Cevap B’dir. E) 3. Grafikte görülen (0, –1) noktasının sağlamayan B ve D seçenekleri, (3, 5) noktasını sağlamayan A ve E seçenekleri elenir. Geriye C seçeneği doğru olur. Cevap C’dir 4. (g–1of–1)(0) + (fog)(a) + 2 = 0 (fog)–1(0) + (fog)(a)+2 = 0 önce (fog)–1(0) bulalım. (fog)–1(0) = m (fog)(m) = 0 I. 7m – 5 = 0 5 m 7 5 5 3 olduğu için m 7 7 –5 6. x0 2 x 1 f(x) 2 g(x) 5 2 x0 x x fonksiyonları veriliyor. Buna göre, (f.g)(x) fonksiyonunun aşağıdakilerden hangisidir? A) y x0 x0 grafiği y B) x x –2 C) y II. y D) m 4 olup m = –4 bulunur. Şimdi; –4 + (fog)(a)+2 = 0 denklemini inceleyelim. (fog)(a) = 2 ise ya 7a – 5 = 2 dır. 1 1 x –2 m2 16 0 10 m 4 m 3 olacağı için x –2 a = 1 bulunur, ancak 1 3 olduğu için E) a1 y a2 16 2 dir. 10 a2 = 36 ya da 1 x a= –2 6 Bulunur. Anacak 6 3 olduğu için a 6 dır. o zaman a = –6 Cevap E’dir ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ 5 www.akademitemellisesi.com ÖZEL TANIMLI FONKİSYONLAR www.akademivizyon.com.tr 5. x = –2 kritik noktadır. 3. 2x 1, x 2 ise f(x) x 2 ise 5 , x – 3 + 2 = 5 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {–6, 0} C) {0, 3, 6} E) {–3, 0, 3, 6} –2 1 2 B) {0, 6} D) {–3, 0, 6} –5 Cevap A’dır. 6. Alt tanım aralıklarında f ve g fonksiyonları çarpılırsa, 2x 2, (f g)(x) 2 2x , x0 x0 4. y f(x) = 1 |x-6| 1 eşitsizliğini sağlayan 2 kaç tane tamsayı değeri vardır? olduğuna göre, f(x) > 1 x –2 A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 Cevap E’dir KONU TEKRAR TESTİ 1 5. 1. f(x) = 5- | x + 3 | fonksiyonunun tanım aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) –4 x 3 D) –8 x 2 B) –9 x –1 E) 1 x 8 C) 1 x 3 2x 5 , x -1 f(x) x , -1 x 2 x2 , x 2 olduğuna göre, f(x)’in grafiği aşağıdakilerden hangisidir? y A) y B) 4 3 3 2 2 –1 5 2 2 x –1 2 y C) y D) 4 2. 3 2 fonksiyonunun en geniş aşağıdakilerden hangisidir? A) IR D) (–, 2) 4 3 1 1 f(x) = x-2 x B) (2, ) E) R - [0, 2] tanım aralığı 1 –1 5 2 x –1 –1 2 C) (0, 2) E) x –1 2 x y 1 –1 1 x –1 ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ www.akademivizyon.com.tr MATEMATİK 6. www.akademitemellisesi.com f(x) = x – 2 – x fonksiyonun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) y 8. y y 1 2 2 2 2 x D) y 2 y Yukarıdaki şekilde verilen grafik aşağıdaki fonksiyonlardan hangisine ait olabilir? 2 2 x 1 –1 –2 –2 C) –1 x x 2 x A) x – y = –1 C) x + 1 = y E) x + y = 1 –2 –2 B) x = y + 1 D) y = x + –x E) 2 9. | x 3 | 2 4 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 2 A) {–3, 1} D) {–3, 1, 5, 9} 7. x – y 0 bağıntısını sağlayan düzlemsel taralı bölge aşağıdakilerden hangisidir? A) B) y y x C) C) {–3, 1, 5} |2 x| | x 2| | 2x 4 | A) (2, ) D) R – {2} B) (–, 2) E) IR tanım aralığı C) [2, 4) y 11. x E) f(x) = fonksiyonunun en geniş aşağıdakilerden hangisidir? x D) y 10. B) {1, 9} E) {1, 5} x x – y = 4 bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisidir? y x ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ 7 www.akademitemellisesi.com ÖZEL TANIMLI FONKİSYONLAR www.akademivizyon.com.tr A) B) y y 3. –4 x 4 –4 x 4 f: R R olmak üzere, f(x) = x – 5+ x + 3 olduğuna göre, f fonksiyonunun kümesinin en küçük elemanı kaçtır? A) 3 y C) 4. y D) 4 x –4 –4 D) 10 Yandaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. y Buna göre, y = f(–x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) y x y x C) 12. Şekilde grafiği verilen bağıntı aşağıdakilerden hangisidir? x D) y y y x x 1 1 x –1 A) y = x – 1 C) y + x = 1 E) y = x – 1 E) y B) y = x + 1 D) y = –x + 1 x 5. KONU TEKRAR TESTİ 2 Yandaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. y 2 1. f : R R, g: R R –2 x2 , x 2 f(x) 3 , x 2 x 3 , x 2 2. B) 2 C) 3 D) 4 3 x Buna göre f fonksiyonunun grafiği tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? x 1 ve g(x) = olduğuna göre, (fog)(3) kaçtır? 2 A) 1 E) 12 x 4 –4 C) 8 x 4 y E) B) 5 görüntü A) IR – {–2, 0, 2, 3} C) IR E) IR – {–2, 2} E) 5 B) IR – [–2, 2] D) IR – {–2} f: R R olmak üzere, 2x 3 , x 2 f(x) 3x 4 , x 2 6. olduğuna göre, f–1(–5) kaçtır? A) –11 B) –7 C) –4 D) –3 y – x = 2 bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisidir? E) –2 ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ www.akademivizyon.com.tr MATEMATİK www.akademitemellisesi.com y A) A) y B) B) y x 2 –2 x 2 x x –2 C) y C) y D) y y D) y x x 2 2 –2 2 x –2 E) x 2 y –2 x y E) 10. –2 2 x + y = 3 bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisidir? y A) x y B) 3 x –3 –3 7. f(x) = x2 x x2 y tanım D) 3 aralığı 3 –3 B) –2 < x < 0 D) x 2 x y C) fonksiyonunun en geniş aşağıdakilerden hangisidir? A) –2 < x 2 C) 0 < x < 2 E) –2 < x < 2 3 x 3 –3 3 x –3 y E) 8. a.x + 1 – 5 = 4 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı –1 olduğuna göre, a kaçtır? A) –4 9. B) –2 Yandaki şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. C) –1 D) 2 –3 3 x –3 E) 4 11. y 3x f(x) 3 3x olduğuna göre, hangisidir? , x 1 , 1 x 1 , x 1 f(x) in grafiği aşağıdakilerden x Buna göre, y = –f(–x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ 9 www.akademitemellisesi.com ÖZEL TANIMLI FONKİSYONLAR www.akademivizyon.com.tr A) B) y y 3 3 –1 x 1 –1 1 x –3 C) D) y y 3 –1 1 x –1 1 x –3 E) y –1 1 x –3 12. y y = f(x) 1 –2 0 4 x Şekilde y = f(x) fonksiyonun grafiği verilmiştir. g(x) = f(x) olduğuna göre, g(x)’in tanımlı olduğu aralıklardan hangisidir? A) x < –2 D) –2 x –1 13. f ( x) birisi B) –2 x < 2 E) 1 x 4 aşağıdakilerden C) x 0 x 1 | x 1| | x 1| fonksiyonunun en geniş tanım aralığı nedir? A) x > 1 D) x < 0 B) x < 1 E) –1 < x < 1 C) x > 0 ÖZEL ACAR KALİTE DEĞER MİLAT TEMEL LİSESİ www.akademivizyon.com.tr